Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng.Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 – CAPÍTULO IV – MÉTODOS DE SIMPLIFICAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS 4.1 – INTRODUÇÃO A complexidade do circuito lógico e da expressão lógica que o circuito representa estão diretamente ligadas. Embora a tabela da verdade que representa uma determinada função seja única, devido as diferentes possibilidades de simplificações a serem utilizadas, a expressão lógica resultante pode ser escrita de diferentes formas. A utilização da simplificação algébrica para minimização de funções lógicas não segue regras claras e seqüenciais para a correta manipulação algébrica, fazendo desta técnica um procedimento ineficiente e fortemente dependente da experiência do projetista. Neste capítulo são apresentados dois métodos de simplificação de funções lógicas conhecidos como Método de Karnaugh e o Método de Quine-McCluskey. A utilização destes métodos segue regras claras e bem definidas que se forem empregadas corretamente, há a garantia de que a função resultante desta simplificação é a menor função lógica possível. 4.2 – MÉTODO DE KARNAUGH O método de Karnaugh é um método de representação gráfica que permite a percepção visual dos termos fundamentais que compõe a função lógica, de modo a combiná-los para formar a função lógica simplificada. O requisito básico para a utilização do mapa de Karnaugh é que a função lógica a ser simplificada esteja representada na sua forma canônica de soma de produtos. No mapa de Karnaugh, há somente uma localização para a representação do valor característico de cada mintermo. Este método pode ser utilizado para simplificar expressões lógicas de até 6 variáveis de entrada. Entretanto, o nosso estudo se concentrará em mapas de Karnaugh de até 5 variáveis, devido a complexidade existente no mapa de 6 variáveis. Para simplificar funções lógicas com mais de 5 variáveis de entrada, o método de Quine-McCluskey é mais prático. 4.2.1 – Mapas de Karnaugh Para a montagem dos mapas de Karnaugh deve ser observado que entre duas células vizinhas, ou dois mintermos consecutivos, somente uma variável pode alterar seu valor. Quando da utilização dos mapas de Karnaugh para simplificação de funções lógicas, cada uma das células receberá um valor lógico “0” ou “1”, de acordo com o valor correspondente na tabela da verdade. Cada célula que compõe o mapa de Karnaugh representa um mintermo, que é obtido pela interseção das variáveis presente na linha e na coluna correspondente. Mapa de Karnaugh para 2 variáveis (A,B) Seja a tabela da verdade para uma função de 2 variáveis, onde os termos mi correspondem aos mintermos formados pela combinação das variáveis de entrada correspondentes. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 S m0 m1 m2 m3 O mapa de karnaugh correspondente é mostrado a seguir. Prof. Hélio Leães Hey são introduzidos no mapa na ordem contrária daquela em que estão representados na tabela da verdade. entre 2 células vizinhas somente uma variável pode alterar sua informação.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng. Hélio Leães Hey . onde os termos mi correspondem aos mintermos formados pela combinação das variáveis de entrada correspondentes.D) Seja a tabela da verdade para uma função de 4 variáveis. A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 m12 m13 m14 m15 Prof.B. onde os termos mi correspondem aos mintermos formados pela combinação das variáveis de entrada correspondentes. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 B m0 m2 B m1 m3 A A - Mapa de Karnaugh para 3 variáveis (A.B. destacados na tabela e no mapa.C) Seja a tabela da verdade para uma função de 3 variáveis.C. A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 S m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 O mapa de Karnaugh correspondente é mostrado a seguir. Isto é devido ao fato de que para a correta montagem do mapa de Karnaugh. A A BC BC m0 m1 m4 m5 BC m3 m7 BC m2 m6 Mapa de Karnaugh para 4 variáveis (A. Deve ser observado que os mintermos m2 e m3 e m6 e m7. Os comentários feitos para o mapa de 3 variáveis também são validos para os mapas de 4 e 5 variáveis.C.B. E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 m12 m13 m14 m15 E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S m16 m17 m18 m19 m20 m21 m22 m23 m24 m25 m26 m27 m28 m29 m30 m31 Para o caso do mapa de 5 variáveis a montagem segue o mesmo procedimento adotado para o mapa de 4 variáveis. E E ! AB AB AB AB CD m0 m4 m12 m8 CD m1 m5 m13 m9 CD m3 m7 m15 m11 ! CD m2 m6 m14 m10 AB AB AB AB CD m16 m20 m28 m24 CD m17 m21 m29 m25 CD m19 m23 m31 m27 CD m18 m22 m30 m26 Prof. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 O mapa de karnaugh correspondente é mostrado a seguir. onde os termos mi correspondem aos mintermos formados pela combinação das variáveis de entrada correspondentes. A diferença existente é que para o caso de 5 variáveis teremos dois mapas de 4 variáveis. onde a quinta variável vale “0”’para o primeiro mapa e vale “1” para o segundo mapa.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng.D.E) Seja a tabela da verdade para uma função de 4 variáveis. Hélio Leães Hey . CD m0 m4 m12 m8 CD m1 m5 m13 m9 CD m3 m7 m15 m11 AB AB AB AB - CD m2 m6 m14 m10 Mapa de Karnaugh para 5 variáveis (A. 2. Prof.Regras Para Minimização de Mapas com 2 Variáveis • Tenta-se agrupar as regiões onde “S” é igual a “1” no menor número de pares(2) possíveis. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 4. são a simplificação para o par.2.1– Para Duas (2) Variáveis Exemplo 1: Seja a seguinte tabela da verdade: A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A forma canônica da soma de produtos da função “S” é dada por: S = AB + AB + AB Transpondo os valores de “S” da tabela da verdade para o diagrama de Karnaugh e utilizando-se as regras listadas abaixo para simplificação de funções de 2 variáveis. Hélio Leães Hey . resulta no mapa mostrado a seguir. .Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng. para a correta utilização do Mapa de Karnaugh deve-se montar a tabela da verdade da função a ser simplificada e transpor para o diagrama de Karnaugh os valores correspondentes a cada mintermo. resulta no mapa mostrado a seguir.2. 4.2 – Técnicas de Simplificação através dos Mapas de Karnaugh Conforme já foi visto. S = A+ B Exemplo 2: Seja a seguinte tabela da verdade: S A B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A forma canônica da soma de produtos da função “S” é dada por: S = AB + AB + AB Transpondo os valores de “S” para o diagrama de Karnaugh e utilizando-se as regras listadas abaixo para simplificação de funções de 2 variáveis. • As regiões onde “S” é “1” que não puderem ser agrupadas em pares são consideradas isoladamente. A partir daí. • As variáveis cujo valor não variar dentro do par. aplica-se então as regra de minimização. A expressão S mostrada abaixo é resultante da simplificação utilizada. • As regiões que não puderem ser agrupadas em quadras.2– Para Três (3) Variáveis Exemplo 1: Seja a seguinte tabela da verdade: A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 S 1 0 1 1 1 0 1 0 A forma canônica da soma de produtos da função “S” é dada por: S = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC Transpondo os valores de “S” para o diagrama de karnaugh resulta: . A expressão S mostrada abaixo é resultante da simplificação utilizada. são as simplificações obtidas. devem se considerados isoladamente. S = A+ B ou S = A. • As variáveis cujo valor não variar dentro dos quadros ou pares. se possível.2. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 A expressão S mostrada abaixo é resultante da simplificação utilizada. S = C + AB Prof. Hélio Leães Hey .B 4. devem ser agrupadas em pares.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng.Regras Para Minimização de Mapas com 3 Variáveis • Tenta-se agrupar em quadros as regiões onde “S” é igual a “1” e são adjacentes. e as onde “S” é igual a “1” que não puderem ser agrupados.2. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 Exemplo 2: Seja a seguinte tabela da verdade A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 S 0 1 0 1 1 1 1 0 A forma canônica da soma de produtos da função “S” é dada por: S = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC A expressão S mostrada abaixo é resultante da simplificação utilizada.2.3– Para Quatro (4) Variáveis Seja a seguinte tabela verdade: A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 Prof.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng. Hélio Leães Hey . S = AC + BC + AC 4.2. S = D + A. S = ABC D + ABCD + ABC D + ABC D + ABC D + ABCD + ABC D + ABCD Transpondo os valores da expressão lógica acima. • As regiões onde “S” é “1”. para o diagrama de Karnaugh abaixo.B . que não puderem ser agrupadas. Hélio Leães Hey . • As regiões que não puderem ser agrupadas em oitavas devem ser agrupadas em quadros e pares sucessivamente. A expressão S mostrada abaixo é resultante da simplificação utilizada. resulta: S = AB + AD + BCD + ABC D Prof.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 Transpondo os valores de “S” para o diagrama de Karnaugh resulta: .C + A.C Exemplo 2: Dada a expressão lógica abaixo na forma canônica. quadros e pares. devem ser consideradas isoladamente.Regras Para Minimização de Mapas com 4 Variáveis • Inicialmente deve-se agrupar em oitavas as regiões onde “S” é igual a “1” e são adjacentes. • As variáveis cujo valor não variar dentro das oitavas. obtenha a expressão mínima. são as simplificações. • As regiões que não puderem ser agrupadas em oitavas devem ser agrupadas em quadros e pares sucessivamente.2. por exemplo. Prof. que se tivermos em cada um dos mapas ( E e E ) um quadra ocupando as mesmas posições. A diferença fundamental é que células que ocupam a mesma posição nos dois mapas são adjacentes. • Inicialmente deve-se agrupar em oitavas as regiões onde “S” é igual a “1” e são adjacentes. Hélio Leães Hey . estas quadras formam na realidade uma oitava.2. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 4. Isto significa. • Considere os mapas individualmente para simplificação.3– Para Cinco (5) Variáveis Seja a seguinte tabela verdade: E C D A B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 S 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 Transpondo os valores de “S” para o diagrama de Karnaugh resulta: E E ! AB AB AB AB CD 0 1 1 0 CD 1 1 1 1 CD 0 0 0 1 ! CD 0 0 0 1 AB AB AB AB CD 0 0 0 0 CD 1 1 1 1 CD 0 1 0 1 CD 0 0 0 1 Oitava Regras Para Minimização de Mapas com 5 Variáveis Quadra A simplificação de mapas de cinco variáveis segue os mesmos princípios que o de 4 variáveis.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng. Hélio Leães Hey .C 1 0 B. As variáveis cujo valor não variar dentro das oitavas. Para estas condições.B . não há nenhum valor definido a ser especificado para a variável de saída (0 ou 1). Exemplo: Seja uma função lógica de 3 variáveis de entrada A.2.3 – Condições Irrelevantes Existem algumas funções lógicas em que certas condições de variáveis de entradas nunca deverão ocorrer. a saída poderá assumir tanto o nível lógico “1” como o nível lógico “0”.C + A. devem ser consideradas isoladamente. As condições irrelevantes são definidas com a letra “X” na tabela da verdade. A expressão S mostrada abaixo é resultante da simplificação utilizada. que não puderem ser agrupadas. conhecidas como condições irrelevantes ou don’t-care conditions. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 • As regiões onde “S” é “1”.C .D + B. S = A+C Prof. Caso haja.C x 1 B. quadras e duplas que estejam nas mesmas posições nos dois mapas.E + A. 0 ou 1. são as simplificações. isto é. O valor a ser escolhido para condição irrelevante será aquela que permitir uma maior simplificação para a expressão lógica. Em uma mesma função lógica.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng. É sabido que a condição A=C=0 nunca deverá ocorrer. S = C .C 1 0 A A BC x 1 A expressão S mostrada abaixo é resultante da simplificação utilizada. onde as condições onde A=C=0 são representadas com “X” indicando que estas condições são irrelevantes. A condição irrelevante significa que para uma dada combinação de variáveis de entrada. • Sobreponha os mapas e verifique se há oitavas. quadros e pares. a saída F deve ser igual a 1.B.D. A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F X 1 X 1 1 0 1 0 Transpondo os valores de “F” para o diagrama de Karnaugh resulta: B. B e C e uma variável de saída F a qual deve obedecer a seguinte regra: . a quinta variável deve ser excluída do termo resultante visto que esta variável altera seu valor. pode haver mais de uma condição irrelevante não sendo necessário que todas tenham que assumir o mesmo valor.Sempre que A=B e B≠C ou A≠B e B=C . O mapa de Karnaugh que define a função lógica F é mostrado abaixo.E 4. a quadra passou a ser redundante visto que todos os seus termos tiveram de ser usados nas duplas. S = A. as duas condições irrelevantes foram consideradas como sendo valor lógico “1”.4 – Observações sobre o uso do Método de karnaugh Existem casos em que após seguir os passos recomendados para a correta simplificação do mapa de karnaugh. Desta forma. CD 0 x 0 0 CD 1 x 1 1 CD 0 0 x 1 AB AB AB AB CD 0 x 0 0 A expressão S mostrada abaixo é resultante da simplificação utilizada.B. todos os termos que compõe a quadra foram usados para formar os pares mostrados.C. A simplificação correta é então mostrada abaixo: CD 0 1 0 0 CD 0 1 1 1 CD 1 1 1 0 AB AB AB AB CD 0 0 1 0 A expressão S mostrada abaixo é resultante da simplificação utilizada.D + A. 4. algumas das simplificações utilizadas podem tornar-se redundantes. como já mencionado.D + A. para obtenção da função mínima a quadra deve ser eliminada.C + A. S = C .D Prof. Inicialmente foram agrupados os termos que geraram a quadra existente.D Neste caso. Este é o caso da simplificação do mapa mostrado abaixo. Com isto. para obter a máxima simplificação. Seja agora o seguinte mapa de karnaugh para uma função de 4 variáveis de entrada.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng. Entretanto. Hélio Leães Hey .C + A. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 Para obter a máxima simplificação. Após. duas condições irrelevantes foram consideradas como valor lógico “1” e as outras duas como “0”.2.B. para a simplificação dos demais termos.C . não há a obrigatoriedade de que todas as condições irrelevantes assumam valores idênticos. Para funções com mais de cinco variáveis de entrada. Hélio Leães Hey . b) a escolha do menor subconjunto de primos implicantes que representam a função original. eles formam um novo termo. 11. os termos primos implicantes gerados nos passos anteriores devem ser tabulados. Este método. diferentemente do método de Karnaugh. 15) 1º passo: Tabular todos os mintermos que compõe a função. 4º passo: Repetir o passo acima. 5. Exemplo 1: Minimize a função F(A. 5º passo: Repetir o 3º passo.B. porém em relação aos grupos obtidos no 4º passo. Os termos que não puderem ser agrupados são os primos implicantes. Para minimizar estas dificuldades é apresentado o método de Quine-McCluskey. m 3 5 7 11 12 13 14 15 A 0 0 0 1 1 1 1 1 B 0 1 1 0 1 1 1 1 C 1 0 1 1 0 0 1 1 D 1 1 1 1 0 1 0 1 Prof. sendo bastante dependente da habilidade e da percepção visual do projetista para o reconhecimento das melhores formas de se agrupar os mintermos. é bastante difícil garantir a simplificação máxima. Este método foi inicialmente proposto por Quine em 1952 e posteriormente aperfeiçoado por McCluskey em 1956. Para facilitar o entendimento deste método. Este novo termo é representado por um traço no lugar da variável que alterou a sua informação. 14. 7º passo: Selecione o menor conjunto de primos implicantes que cobrem todos os mintermos da função original. a seguir são apresentados alguns exemplos. Primo implicante e um termo que não pode ser combinado com qualquer outro termo.Regras para Aplicação do Método de Quine-McCluskey O método de Quine-McCluskey consiste de 7 passos. 13. 7. na sua representação binária. . que é um método tabular. 3º passo: Compare cada termo de um grupo com cada termo do grupo seguinte.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng. O método consiste de 2 tarefas básicas que são: a) A geração de todos os mintermos (primos implicantes) que são candidatos a estarem presentes na função simplificada. na sua representação binária. 2º passo: Agrupar em ordem crescente os mintermos de acordo com o numero de “1” que possui. podendo ser facilmente implementado em forma de um software para uso em microcomputadores. 6º passo: Após não haver mais termos a serem agrupados. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 4. D)=∑m(3. Se os termos comparados são adjacentes (possuem apenas uma variável com valor diferente). segue regras claras e bem definidas para a obtenção da função simplificada. os quais são descritos a seguir: 1º passo: Tabular todos os mintermos que compõe a função. porém em relação aos grupos obtidos no 3º passo.C.3 – Método de Quine-McCluskey O método de Karnaugh visto na seção anterior é um método gráfico de tentativa e erro. 12. 1 P.B.I.15 12.7/13. Este novo termo é representado por um traço no lugar da variável que alterou a sua informação.13 12.I.13/7. passa-se direto para o 7º passo.I.3 P.15 14.4 4º passo: Repetir o passo acima. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 2º passo: Agrupar em ordem crescente os mintermos de acordo com o numero de “1” que possui.3 Como não ha mais termos a serem agrupados. eles formam um novo termo.14 7.3 m 3.4 m 3.2 P. a função simplificada deverá ser formada por todos os termos primos implicantes.I.I. O primo implicante P.11 5.7 5.7 3. Hélio Leães Hey .1+ P. visto que na tabela acima todos os temos são primos implicantes.11/7.I. " " " " " " " " 3º passo: Compare cada termo de um grupo com cada termo do grupo seguinte.’s P.15 12.2 e igual a B. Grupo 2 3 4 m 3 5 12 7 11 13 14 15 A 0 0 1 0 1 1 1 1 B 0 1 1 1 0 1 1 1 C 1 0 0 1 1 0 1 1 D 1 1 0 1 1 1 0 1 P.D.14/13. Grupo 2.I.I. P.1e igual a C.I.3 3 # 5 # # # 7 # # # 11 # 12 # # 13 # # # 14 # # 15 # # # # # De acordo com a tabela acima.I.15 5. Isto se deve ao fato de que os mintermos 3 e 11 são cobertos apenas pelo primo Prof.I.2+ P.D e o P. Grupo 2.1 P.3/3. Os termos que não puderem ser agrupados são os primos implicantes.2 P.15 A 0 ! 0 ! 1 1 ! 1 1 1 B ! 0 1 1 1 1 1 ! 1 1 C 1 1 ! 0 0 ! 1 1 ! 1 D 1 1 1 1 ! 0 1 1 1 ! P.I. Se os termos comparados são adjacentes (possuem apenas uma variável com valor diferente). " " " " " " " " " " 3.13 12.I. P.I.15 3.13/14.7/11. o P.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng.15 11.3 e igual a A. 7º passo: Selecione o menor conjunto de primo implicantes que cobrem todos os mintermos da função original. porém em relação aos grupos obtidos no 3 passo.15 A ! ! ! ! 1 1 B ! ! 1 1 1 1 C 1 1 ! ! ! ! D 1 1 1 1 ! ! P.I.15 13.I.15 5. D. 1º passo: Tabular todos os mintermos que compõe a função. C .13 12.2 2. Este novo termo é representado por um traço no lugar da variável que alterou a sua informação.1 0. 9. 11. Desta forma todos os primos implicantes são primos implicantes essenciais e devem fazer parte da função simplificada. F ( A.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng. 1.13 12. m 0 1 2 9 11 12 13 27 28 29 A 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 B 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 C 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 D 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 E 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2º passo: Agrupar em ordem crescente os mintermos de acordo com o numero de “1” que possui.1 1.I.27 13.6 " " 3. 13.I. 12.B + C. 27. E)=∑m(0.29 A 0 0 0 0 0 0 ! ! ! 1 B 0 0 ! 1 1 1 1 1 1 1 C 0 0 0 0 ! 1 1 0 1 1 D 0 ! 0 ! 0 0 0 1 0 0 E ! 0 1 1 1 ! 0 1 1 ! P. 2.2 1.I. " " " " " " " " " " 4 3º passo: Compare cada termo de um grupo com cada termo do grupo seguinte. D) = A.11 9.4 Prof.I. Grupo 0 1 2 3 m 0 1 2 9 12 11 13 28 27 29 A 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 B 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 C 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 D 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 E 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 P.28 11. Desta forma a função simplificada resultante é mostrada abaixo. eles formam um novo termo.D + B. Hélio Leães Hey . Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 implicante 1. B. o mintermos 5 e coberto apenas pelo primo implicante 2 e os mintermos 12 e 14 são cobertos apenas pelo primo implicante 3. P.I. Se os termos comparados são adjacentes (possuem apenas uma variável com valor diferente).I.3 m 0. na sua representação binária.I. 29). C.3 P.9 9.I.D Exemplo 2: Minimize a função F(A.5 " " P. 28. Grupo 0. Os termos que não puderem ser agrupados são os primos implicantes.4 P.29 28.2 P.1 P. B. Os mintermos considerados como condições irrelevantes são tabulados juntamente com os demais mintermos que formam a função original. 2. na sua representação binária. Desta forma a função simplificada resultante é mostrada abaixo. Porém.6+ P.C. P.I.C .D + B. B. os primos implicantes P.4.D.7 são primos implicantes essenciais e devem obrigatoriamente serem incluídos na função simplificada.2.I.29 A ! ! B 1 1 C 1 1 D 0 0 E ! ! P.5 P. P.28/13.I.1 P. onde são definidos os primos implicantes que deverão fazer parte da função simplificada final.C . no 7º passo.2 P. Estes primos implicantes cobrem os seguintes mintermos: 0. 27. as condições irrelevantes não são incluídas no processo de seleção.I. Para facilitar o entendimento deste método.I. porém em relação aos grupos obtidos no 3º passo.I. visto que na tabela acima todos os temos são primos implicantes. F ( A.B.B . Exemplo 1: Minimize a função F(A.2+ P.I. na escolha do menor subconjunto de primos implicantes.I.Aplicação do Método de Quine-McCluskey em Funções com Condições Irrelevantes O procedimento a ser adotado nos casos de funções que apresentam condições irrelevantes é idêntico ao apresentado até o 7º passo.I.D .I.C .4 m 12.D)=∑m(3.11) 1º passo: Tabular todos os mintermos que compõe a função. passa-se direto para o 7º passo.3. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 4º passo: Repetir o passo acima.E .9. 11.’s P. C . a seguir é apresentado um exercício exemplo.C.6 P.13/28.3 0 # # 1 # # 2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 9 11 12 13 27 28 29 De acordo com a tabela acima.I. m 1 3 4 6 7 9 11 14 A 0 0 0 0 0 1 1 1 B 0 0 1 1 1 0 0 1 C 0 1 0 1 1 0 1 1 D 1 1 0 0 1 1 1 0 Prof.I. Hélio Leães Hey . P.I. Neste caso o primo implicante a ser selecionado é o P.7+P.I.7. 28 e 29.I.6 e P.7 P.29 12.6. Deve-se ainda selecionar os primos implicantes que cubram os mintermos 1 e 9. D) = B.4 P. 12.I.I.3/3.3 P. 7º passo: Selecione o menor conjunto de primo implicantes que cobrem todos os mintermos da função original.E + A.14) + ∑d(1.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng. Grupo 2.E + A.I.7 Como não há mais termos a serem agrupados. 13. I.11 A ! ! B 0 0 C ! ! D 1 1 P.11 1. " " " " " " " " 3 3º passo: Compare cada termo de um grupo com cada termo do grupo seguinte. porém em relação aos grupos obtidos no 3 passo. B. D) = B .I. Deve-se ainda selecionar um primo implicante que cubra o mintermo 7.4+ P. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 2º passo: Agrupar em ordem crescente os mintermos de acordo com o numero de “1” que possui. P.I.2/2.I.I.I.I.I.3 m 1.I.3 4º passo: Repetir o passo acima. Os mintermos considerados como condições irrelevantes não são incluídos na tabela.1 P. F ( A.14 9.5 P.I.I.2 P.4 P.D Prof. Hélio Leães Hey .I.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng.5 Como não ha mais termos a serem agrupados. 2. C . Neste caso foi selecionado o primo implicante P.I.6 3. visto que na tabela acima todos os temos são primos implicantes.2 m 1.3/9.9 4. Estes primos implicantes cobrem os seguintes mintermos: 3.2 " P.7 6.3 P. 7º passo: Selecione o menor conjunto de primo implicantes que cobrem todos os mintermos da função original.I.I.11 6. Este novo termo é representado por um traço no lugar da variável que alterou a sua informação. P.I. os primos implicantes P.D + A. 9 e 14.3 1.5 são primos implicantes essenciais e devem obrigatoriamente serem incluídos na função simplificada. Grupo 1.I. Grupo 1. eles formam um novo termo. Desta forma a função simplificada resultante e mostrada abaixo.4 " 2.3 P. Os termos que não puderem ser agrupados são os primos implicantes. " " P. Se os termos comparados são adjacentes (possuem apenas uma variável com valor diferente). passa-se direto para o 7 passo.I.9/3.I.2 3 # # # 7 # # 9 14 # # # # # De acordo com a tabela acima.7 3. Grupo 1 2 m 1 4 3 6 9 7 11 14 A 0 0 0 0 1 0 1 1 B 0 1 0 1 0 1 0 1 C 0 0 1 1 0 1 1 1 D 1 0 1 0 1 1 1 0 P.D + B.11 A 0 ! 0 0 ! 0 ! 1 B 0 0 1 ! 0 1 1 0 C ! 0 ! 1 1 1 1 ! D 1 1 0 1 1 ! 0 1 P.4 e P.5+ P.C.C.’s P. D)=∑m(0.F)=∑m(6.11.1 P.D.31) b) F(A.29) + ∑d(3.18.23.27) f) F(A.D)=∑m(2.14) d) F(A.C.61) g) F(A.b b.2 P.10.E)=∑m(0.2.b .15.27.1.12) + ∑d(5.I.2 P. a) P.3.5.1.3 P.3.D.17.19.C.B.c a.15.7.E)=∑m(0.15) + ∑d(2.38.31) e) F(A.B.1 P.4 P.C.3.11.4.13.4.I.16.I.102.27.I.I.11.C.13. Obtenha a expressão simplificada destas funções na forma de soma de produtos.8.52.’s P.7.15.17.11.C.5 a.17.28.16.D)=∑m(1.I.B.I.7.I.5 a.c a.E)=∑m(0.26) + ∑d(2.C.E)=∑m(0.’s P.c a.Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng.5.D.20.17.D.b.3 P.I.’s P.15.d 0 # 1 # 4 # # 5 # # 6 # # 7 # 9 11 15 # # # # # # c) P.D)=∑m(0.8.I.4.5 P.D.27) d) F(A.12.16.C.103.29) + ∑d(3.I.I.d a .45.27) 2)Minimize as funções abaixo.1.4. a) F(A.19.E.57.21.12.29.B.13.6.I.3.18.E.7.6 a. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415 EXERCÍCIOS – CAPÍTULO 2 1)Minimize as funções abaixo.4.I.16.15) b) F(A.26) + ∑d(2.C.27.60.C.13) e) F(A.5.B.b a.23. a) F(A.8.21.3.3.25.11.C.11. utilizando o método de Quine-McCluskey.3 P.I.d 0 # 4 # 5 # # 6 11 13 # 15 # # # # # # b) P.C.41. utilizando o método de Karnaugh.C.D.27) c) F(A.I.3.B.6.19.1.c 1 # # 2 3 # # 4 5 # 6 # # # # # # # Prof.I.25.b a.E)=∑m(4.39.5.2 P.d a.10.c a.21.E)=∑m(4.10.5.21.12.6.B.B.18.I.c c.4 P.d b .F.4 P.B.22.B.2.D.9.20.I.c b.B.127) 3) Abaixo são mostradas as tabelas de primos implicantes de funções booleanas.D.22.1 P.10.9.c b.10.15) c) F(A.G)=∑m(20. Hélio Leães Hey .4.B.25.13.