Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) Geometria Plana 1. Na figura abaixo ABCD é um retângulo, ABMN é um quadrado e MD é um arco da circunferência de centro A e raio AM. O valor de tgθ é : a) b) c) d) 3 3 2 2 2 2 ∧ 2. Na figura plana, abaixo, ABCDE é um paralelogramo e CE = ED , A B C = 120º, B A D = 80º, B C D = 90º .O ângulo θ mede: a) 20º b) 30º c) 40º d) 60º 3. Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e θ = 60º é um dos ângulos formados pelas diagonais. Se a e b são, respectivamente, os lados CD e BC pode-se dizer que: a) b = 3a 3 a 2 c) a = 3b ∧ ∧ b) b = d) a = 4. a) b) c) d) 3 b 2 Um polígono convexo com 21 diagonais: Tem 30 lados. Tem mais de 30 lados. Tem menos de 30 lados. Não existe. 5. Num triângulo retângulo ABC, os catetos AB e AC medem, em cm, respectivamente: 3 e 1. O seno do ângulo oposto ao lado AB é: 1 1 3 3 b) d) a) c) 2 3 2 3 1 Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 6. Na figura abaixo, PM ⊥ MQ , PN ⊥ NQ , MQ = NQ e o ângulo M P N = 60º. ∧ ∧ O ângulo P Q M mede: a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º 7. Na figura abaixo, PQ = QR = RS = ST = 1 cm, QR ⊥ PQ , RS ⊥ PR , ST ⊥ PS . Então o comprimento PT , em cm, é igual a: a) 2 b) 3 c) 2 d) 3 8. Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm o mesmo perímetro. Se a área do triângulo é 9 3 cm 2 , então a diagonal do quadrado, em centímetros, é: 9 b) 9 2 2 9 2 a) c) d) 2 2 2 9. Na figura abaixo, MN é o diâmetro do círculo de centro O e P é um ponto da ∧ circunferência tal que o ângulo P O N = 60º. Se o diâmetro do círculo é 4 cm, o comprimento da corda MP, em cm, é: a) 2 3 b) 4 3 c) 2 2 d) 4 2 10. Se o comprimento de um retângulo R é diminuído de 1 cm e a largura é aumentada de 2 cm, então sua área é aumentada de 2 cm 2 . Se o seu comprimento é aumentado de 2 cm e a sua largura diminuída de 1 cm, então sua área é diminuída de 1 cm 2 . A área de R, em cm 2 , é: a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 11. Um triângulo tem ângulos de 30º e 45º. Se o lado oposto ao ângulo de 45º mede 8 cm, então o lado oposto ao ângulo de 30º mede, em cm: a) 4 b) 2 2 c) 6 d) 4 2 2 Então o ângulo ∧ ∧ G F M mede: a) 28º b) 56º c) 62º d) 64º 13. em centímetros. ( ) Existe um único plano que contém três pontos não colineares. V c) F. A soma das áreas desses retângulos. V b) F. ( ) Dado um ponto M num plano existe uma única reta passando por M e contida no plano. Se a área entre C1 e C 2 é igual a 16π cm 2 . V. então o comprimento de PQ . Seja P um ponto interior a um triângulo eqüilátero de altura h. Coloque V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas. dadas respectivamente por h j = 3 j + 2 . é: a) 380 b) 335 c) 760 d) 670 3 . 20. F b) V. V. ( ) Para que uma reta seja paralela a um plano é necessário e suficiente que seja paralela a toda reta do plano. F. V d) F. F. PQ é uma corda de C 2 e tangente a C1 . A soma das distâncias de P aos lados é: d) h 3h h 2h a) b) c) 4 2 3 14. em cm 2 . F. ( ) A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. F. determinam sempre três retas contidas neste plano. V. Na figura abaixo C1 e C 2 são duas circunferências concêntricas. F. 2. de cima para baixo. F. j = 1. ( ) Três pontos quaisquer num plano. F c) V. F. K . é: a) b) c) d) 8 10 16 32 17. V. Na figura abaixo. ( ) O lugar geométrico dos pontos de um plano situado a uma distância d de um ponto P é uma reta. ( ) Um plano fica bem determinado por uma reta e um ponto. é: a) V. V 15. de cima para baixo.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 12. F 16. FM = MN = GN e o ângulo G N M = 28º . existe um plano que os contém. Coloque V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas. em cm. F. V. ( ) Dados dois pontos distintos P e Q no espaço. A seqüência correta de letras. V. V. V. Considere 20 retângulos de bases iguais a 1 cm e altura. é: a) V. A seqüência correta de letras. F d) F. A soma das áreas dos retângulos indicados na figura é: 55 56 54 a) b) c) 216 216 216 d) 57 216 22. MNPQ é um retângulo. é: a) 20 b) 24 c) 28 d) 32 21. então cosecx é igual a: a) 2 3 3 b) 3 2 2 c) 5 4 d) 5 3 23. Considere a figura abaixo. em cm 2 . NP = 3 cm e MR = RS = SP . Então a área do círculo. em cm. A área do círculo. t são tangentes ao círculo. é igual a: a) b) c) d) 24π 26π 28π 30π 4 . mede a) 18π b) 16π c) 12π d) 9π 20. tem perímetro igual a 40 cm e uma das bases excede a outra de 12 cm. O ângulo igual a a) 72º d) 112º 19. em cm 2 . r // s e r. Se x é a medida do ângulo agudo formado pelas diagonais de um retângulo de lados 5 cm e 10 cm. PQ = 3 cm e MN = 8 cm.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 3 do seu suplemento mede: 2 b) 78º c) 108º 18. Um trapézio isósceles circunscrito a um círculo. MN = 6 cm. Na figura abaixo. é igual a: a) b) c) d) 2 3 4 5 24. A área de um losango mede 28 cm 2 e a distância entre dois lados opostos mede 4 cm. Na figura abaixo. s. Então o perímetro do losango. A área do triângulo RSN. em cm 2 . S. Este triângulo é base de um prisma reto cujo volume mede 32 cm 3 . O número de elementos do conjunto de pontos deste plano eqüidistantes da circunferência e das duas tangentes é: a) 0 b) 1 c) 3 d) infinito 27.sen é: n a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 M 29. usando as aproximações π = 3. R e P. 31. ADEF é um quadrado. Num triângulo retângulo.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 25. Três semi-retas partem de um mesmo ponto Q. 0) . ABC é um triângulo retângulo em A. Determine o comprimento do círculo inscrito no AC = π π quadrado ADEF. Na figura.8 . Calcule a melhor aproximação inteira para a área hachurada na figura. respectivamente. Um polígono regular de n lados está inscrito em um circulo de raio igual a 2 cm. Na figura. N onde M é a área do triângulo ABC e N é a área do triângulo ABD. 150 100 cm e AB = cm. em cm. formando três ângulos que cobrem todo o plano e são proporcionais aos números 11. mede: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 26. Considere uma circunferência de raio r e duas tangentes paralelas a essa circunferência. A circunferência e as tangentes pertencem ao mesmo plano. então o valor de n. R(. Q(0. Q.1 e 3 = 1. mede: a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 28. 5 . A altura do prisma em cm. O suplemento do maior dos três ângulos. AB = 2 cm e CD = 6 cm. C 1 e C 2 são circunferências que passam pelos pontos P. 360° Se o polígono tem área igual a 12 cm 2 . 30. Determine o valor de . a hipotenusa mede 17 cm e as medidas dos catetos são números consecutivos. Q. r é paralela a s. 12 e 13.12 . em graus. 2). 0) e S( 12 . Considere os pontos P(0. -2). 37. θ = 2α . 35. 36. a área do polígono. Determine. Q2 o quadrado construído a partir de Q1 . a maior área possível que o triângulo ACB pode ter quando o ponto C se desloca sobre a circunferência. AC = 6 cm. 34. em cm. B . Determine. Calcule. o comprimento do segmento CD. em cm. Na figura.: A melhor aproximação é obtida quando as substituições de π e feitas no final dos cálculos. Na figura. Sejam Q1 um quadrado de lado l = 2m. Qual o valor de K 2 ? 33. em cm 2 . conforme a figura. ligando-se os pontos médios de cada um de seus lados. Determine. Calcular o número máximo de circunferências distintas que contenham pelo menos três destes pontos. 6 . 3 são 32. BD = 12 cm e AB = 7 cm. sendo AE e BD as medianas correspondentes aos lados BC e AC. AE é perpendicular a BD . os segmentos AB e CD são paralelos. ligando-se os pontos médios de cada um de seus lados e Q3 o quadrado construído a partir de Q2 . Um polígono regular de 12 lados é inscrito numa circunferência de raio igual a 3 cm.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) OBS. respectivamente. BD = 7 cm e AB = K cm. em cm 2 . Os quatro vértices de um retângulo são os pontos A. Seja AB o diâmetro de uma circunferência de raio igual a 3cm e C um ponto sobre esta circunferência diferente de A e B. a área da região sombreada. o comprimento da bissetriz do ângulo reto deste triângulo. C e D. Calcule. Os catetos de um triângulo medem 7 2 cm e 42 2 cm. em m 2 . 38. 44. Determine. 7 .b). determine em cm 2 a área do trapézio. 41. Em um trapézio retângulo. A figura abaixo representa um quadrado de lado igual a 32( 2 + 1) m. Considere um triângulo com ângulos internos α . no interior do qual estão dispostos cinco círculos de raios iguais. em m 2 .Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 39.7 e cot gβ = 0. 40. FC = 27 cm. β e γ . Calcule. em cm. Determine o número n de lados de um polígono regular convexo que possui 54 diagonais. DE = 9 cm. Determine (em graus) a medida do maior dos ângulos do triângulo. onde a e b expressam em cm a medidas das bases maior e menor do trapézio. o prolongamento dos seus lados não paralelos forma um ângulo de 30°. 45. A área de um triângulo é dada pela fórmula A = a 2 + b2 onde a e b são dois de 4 seus lados. inscrito numa circunferência de raio igual a 5m.9 e ainda que o lado oposto ao ângulo α mede 46. AD = 4 cm. 46. o comprimento da altura do triângulo em relação a esse lado. calcule. 42. Na figura abaixo. FB e GA estão dispostos de modo que BD é paralelo a CE e FB é paralelo a GA .8cm. de tal forma que um deles é concêntrico ao quadrado e que tangencia os outros quatro. calcule em metros o raio destes círculos. Sabendo-se que cot gγ = 1. Os segmentos BD. a área da região do plano limitada por um polígono regular de doze lados. 43. Sabendo-se que cada um dos quatro círculos não concêntricos ao quadrado é tangente a dois lados consecutivos do quadrado. calcule em cm o valor de (a + b)(a . CE . No trapézio isósceles ABCD (Figura abaixo) é conhecido que a medida da base maior AB é o dobro da medida da base menor CD e que o ângulo α mede 60º. Se a medida da base CD é 24 3 cm. Sabendo que um destes lados mede 4 cm e que a área do trapézio é 3 cm 2 . em cm. o comprimento de GC . O hexágono regular ABCDEFA tem 10 cm 2 . mede 2 cm. 52. Considere. Determine a distância. 2 8S − 1 determine o valor da expressão . 51. 48. do ângulo AOB. em cm.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 47. considere Q e T respectivamente um quadrado e um triângulo eqüilátero cujos lados medem a cm. BC é paralelo a AO e o ângulo OAC mede 35º. Se o ângulo AEC mede 45º e S é a área da região hachurada. em cm. Se a é um número real positivo. calcule o valor de R − 2 2 . 8 . 49. de P ao quarto vértice. na figura abaixo. obtida prolongando-se os lados do hexágono nos dois sentidos. AB é um diâmetro do círculo de raio 1 cm. em graus. O é o centro do círculo. ao vértice oposto é 14 cm e a um terceiro vértice é 10 cm. Sabendo-se que as retas r e s são tangentes à circunferência e perpendiculares em P e que o segmento AB . calcule o valor de A = 3S . a circunferência de centro O e raio R. π 50. Na figura abaixo. Determine o valor. da figura estrelada abaixo. paralelo à s. Na figura abaixo. CD é uma corda tal 1 que AE = EO = cm. Se S é a razão entre a área de Q e a área de T. Um ponto P está localizado no interior de um retângulo de modo que sua distância a um vértice é 5 cm. respectivamente. Na figura abaixo. NP e PQ são semicírculos de centros O. AD = 40 cm e DE = 32 cm. 58. Os segmentos DE e DF são perpendiculares aos lados AB e BC . 1 96 A . semicircunferências e Y. os arcos MN. perpendiculares aos lados AB e AC . Determine 2 11π − 6 3 limitada pelo arco RPS e o segmento RS perpendicular a PO . onde A é a área da figura respectivamente e raios . O quadrilátero ABCD. Por um ponto S interior a um triangulo ABC. 9 . Se AB = 50 cm. 57. ABC e ACB são proporcionais a 3. APC e BQC. 54. calcule o comprimento de DF em cm. sabendo-se que BAC. 1 e 2. 2 e 1. Seja AB ∩ r1 = {M } e AC ∩ r2 = {N } . N. Se AB = 2 2 cm é a hipotenusa do triângulo ABC abaixo. ACDE e BCFG. calcular π + Y . M. um triângulo eqüilátero ABC de lado igual a L cm em três círculos tangentes dois a dois. traçam-se retas r1 e r2 . Seja A a área obtida da intersecção do triângulo com o complementar A . da união dos três círculos. Duas das diagonais de um pentágono regular convexo se interceptam determinando sobre cada uma delas dois segmentos. 56. retângulos. Calcule (2 3 − π ) 55. em cm 2 a área da região hachurada. abaixo. determine o valor de ( 5 + 1) x . Considere no plano.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 53. o valor do ângulo MSN. Determine. é um paralelogramo. com centros nos vértices do triângulo e de raios iguais a 2 cm. respectivamente. respectivamente. Se x é o menor destes segmentos e o lado do pentágono é igual a 4 cm. em graus. Determine a área. Determine o valor de p. 66. Calcule a décima parte da soma dos ângulos internos e externos de um polígono. Determine a distância (em cm) entre r e s.5. calcule o comprimento. 60. em centímetros. Um dos catetos de um triângulo retângulo foi aumentado em 25% de seu comprimento. ∧ 6 π m. sabendo-se que o seno do ângulo agudo é 0. a hipotenusa BC mede 12 cm. 10 . 61. Para que a área do triângulo não se altere é necessário que o outro cateto sofra uma diminuição percentual de p%. 101 101 101 101 Calcule 101 a + 20 b. Se AD é o segmento de reta que forma um ângulo de π 4 rd com AC . Determine a área (em m 2 ) do setor circular hachurado na figura abaixo.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 59. da altura relativa à hipotenusa. de um trapézio isósceles circunscrito a uma circunferência de raio igual a 2 cm. Sejam a e b lados do retângulo de área máxima dentre os retângulos cujos lados satisfazem a equação: 2b 3b 100b b a + a + + a + + a + +K+ a + = 60 . determine o valor (em cm) de 7 6 x AD . cujo número de diagonais é igual ao número de lados. em cm 2 . Uma secante r a uma circunferência de 6 cm de raio determina uma corda AB = 8 2 cm de comprimento. sabendo que o ângulo A B C mede rd e o diâmetro AB mede 8 6 π 63. Se M é o ponto médio da hipotenusa e a mediana AM é a média geométrica dos catetos AB e AC. 64. Seja ABC um triângulo retângulo onde AC = 4 3 e AB = 3 3 . A reta s é paralela a r e tangencia a circunferência no menor arco AB. 62. 65. Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em A. Em um triângulo retângulo. Um pedaço de papel. a medida ∧ do ângulo P Y B de modo que a área do triângulo PXY seja mínima. 72. Se P é um ponto fixo entre A e B e o triângulo PXY é retângulo em P. a soma dos outros dois lados do triângulo. Se AB = 10 cm e AC = 6 cm. 68. a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC . determine log 2 a + log 2 b ≥ 6 .Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 67.Em um triângulo retângulo ABC a razão entre os catetos AC e AB é ∧ 2 . 70. então sen B é igual a: 1 2 1 a) b) c) d) 2 13 13 3 3 e) 1 3 73. a área do trapézio mede: a) 20 cm 2 b) 15 cm 2 c) 10 cm 2 d) 25 cm 2 e) 30 cm 2 11 . Sabendo que AB = 6 cm e cosθ = . C e D conforme mostra a figura. em centímetros. Se o comprimento do lado BC é o menor possível. B. r e s são retas perpendiculares ao segmento AB . determine. tem vértices nos pontos A. Dobra-se o papel de tal forma que o vértice C fique sobre 3 o lado AD . 71. Se o seno do ângulo oposto ao cateto b é igual a 2 o valor mínimo que a área do triângulo pode assumir. em forma retangular. O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio igual a 15 cm. 69. Seja ABC um triângulo com área igual a 9 m 2 e o ângulo  igual a 30º. Se B é o 3 ângulo oposto ao menor cateto. calcule. a hipotenusa a e o cateto b satisfazem à relação 3 . Então. Na figura. em graus. determine. em metros. o 2 comprimento da dobra BE . em centímetros. determine. As bases de um trapézio isósceles circunscritível medem 8 cm e 2 cm. Determine. 75. a altura do prédio? 79. em cm. o valor de 8r. Determine. Seja r o raio do círculo circunscrito ao triângulo cujos lados medem 10 m. 10 cm e 12 cm. Determine a medida do lado AB. em cm. Se AB = 20 cm. seja R a razão entre a área do hexágono regular circunscrito e a área do hexágono regular inscrito em C. deste prolongamento? 77. Considere m quadrilátero convexo ABCD de área igual a 66 cm 2 . O menor lado é prolongado até encontrar a bissetriz do ângulo externo oposto a este lado. 83. Se P e Q são. 17 m e 21 m. Afastando-se. então o perímetro do triângulo APR. A figura abaixo. o ângulo de visualização é a metade do anterior. então a área do quadrilátero ABQP. 7 cm e 8 cm. é igual a: b) 3 e) 6 5 10 d) 4 a) c) 2 2 81. Determine o número de diagonais desse polígono. Qual é a medida. Se o triângulo CMN é eqüilátero. Os lados de um triângulo medem 8 cm. ABCD é um quadrado com área igual a uma unidade. Um observador estando 18 m de um prédio o visualiza sob um certo ângulo. Seja ABCD um quadrado de lado 4 cm com centro O e diagonais AC e BD. respectivamente. ∧ o ângulo B mede 60º. a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD. na direção perpendicular ao prédio. 82. 76. Duas tangentes são traçadas em um círculo de um ponto exterior A e tocam o círculo nos pontos B e C. em cm 2 . 80. em metros. mais 30 m. Determine o valor de 30R. os lados AC e BC medem. os pontos médios dos segmentos AO e BO.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 74. As mediatrizes de dois lados adjacentes de um polígono regular formam um ângulo de 24°. então sua área é igual a: a) 2 3 − 3 b) 1 − c) 3 3 3 4 2 d) 2 e) 4 − 2 3 78. em cm. respectivamente. em cm 2 . respectivamente. Uma terceira tangente intercepta o segmento AB em P e AC em R e toca o círculo em Q. em metros. é igual a : 12 . e. Qual é. sabendo que esta é maior do que 3 cm. Num triângulo ABC. Dada uma circunferência C de raio r. o raio da circunferência externa da coroa. E e F. em cm. em cm. determine.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) a) b) c) d) e) 39. Os segmentos AC e CD estão numa reta r.5 84.5 41 41. respectivamente. Sabendo que o raio da circunferência interna da coroa mede 6 cm. do lado AD. Em uma coroa circular estão inscritas 6 circunferências. Se PA e RC medem respectivamente 9 cm e 7 cm. em cm. do segmento QB. determine. Se os vértices B e E estão no mesmo semiplano determinado por r. Sabendo-se que AFED é um losango de lado L e que os lados AC e AB medem. o valor de L. Suas hipotenusas PC e RA cortam-se no ponto Q entre A e R. Se L é a medida. Os lados AC e CD dos triângulos eqüiláteros ABC e CED medem respectivamente 6 m e 3 m. respectivamente. 89. Os triângulos retângulos APC e ARC têm em comum o cateto AC. 54 cm e 108 cm. 85.5 40 40. Seja B o pé da perpendicular baixada de Q sobre AC e x a medida. 86. pontos entre A e B. B e C. em cm. determine o valor de L2 para que a área do paralelogramo seja máxima. 88. Determine. então o perímetro. o triplo da soma das medidas dos outros dois lados. 13 . e. em cm. Sejam ABC um triangulo e D. A e C. O raio do círculo inscrito em um triângulo é igual a 4 cm. Um dos lados do triângulo é dividido pelo seu ponto de tangência em dois segmentos medindo 6 cm e 8 cm. são consecutivos e AD mede 9 m. respectivamente. determine o valor de 16x. cada uma tangente às duas vizinhas. do quadrilátero ABED é igual a: a) 3(6 + 3 ) 2 3 c) 3 7 + e) 3 7 + 2 2 5 2 b) 3 6 + d) 3 8 − 3 4 87. em metros. O paralelogramo ABCD tem as medidas do lado AB e da diagonal BD iguais a 7 cm. Se o segmento FC mede 1 m. 14 . 94. em cm 2 .5 cm. em graus. 92. temos um círculo. Sejam a e b as bases de h a altura. em graus. em progressão aritmética. calcule quantos quilômetros quadrados possui uma fazenda com 700 hectares. PQ = 2. Se PQ é perpendicular a AB e PR é perpendicular a AC . a área do triângulo ABC. nesta ordem. cuja área mede 169 cm 2 . O círculo toca a hipotenusa AB num ponto P e o cateto BC no ponto E. de raio igual a 2 cm. Seja F o ponto do lado BC de modo que AF é perpendicular a BC. temos: AB = AC = 6 cm. dos ângulos indicados na figura. o valor de A + B. determine x para que A seja a maior possível. Na figura. Se AP mede 6 cm e BE mede 4 cm. medidas em centímetros. o valor de a + b . Determine. Se os números a. Com cada uma destas partes constrói-se um quadrado de lado igual a x metros e com a outra parte constrói-se um círculo de raio igual a y metros. h e b. Sejam A e B as medidas. determine. 91. Na figura abaixo. determine o comprimento do cateto AC.000m 2 . em m 2 . inscrito num triângulo ABC. a área do triângulo ABC.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 90.5 cm e PR = 1. em cm. No triangulo  é reto e D é um ponto do cateto AC tal que os segmentos BD e DC têm o mesmo comprimento igual a 1 m. em cm 2 . Se A é a soma das medidas. Se um hectare mede 10. de um trapézio. 93. retângulo em C. 96. da área do quadrado e da área do círculo. calcule. Um pedaço de arame de 20 m de comprimento é dividido em duas partes. calcule. 95. Dado um triângulo retângulo. Sejam ABC um triângulo retângulo em A. Calcule. π 101. 4 centímetros representa 12 quilômetros. 10 centímetros representarão quantos quilômetros? 100. calcule o raio do círculo menor. Um triângulo ABC é inscrito num círculo de raio R cm. Se 3 cos(α ) = . C = 2α . Em um mapa cartográfico. calcule. em cm 2 . 104. ∧ ∧ 103. Dois círculos tangentes entre si são ambos tangentes nos dois lados de um ângulo de medida 2θ .Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 97. Se AB = 3 cm e sen = 2 3 do triângulo ABP. calcule. Num triângulo ABC. em cm 2 . 99. em cm 2 . Neste mesmo mapa. o valor de AD . Na figura. as  1 . 5 102. Seja ABCD um paralelogramo. relativa ao lado AB . em cm 2 . a área do círculo. encontre o valor de X. e DE a altura do triângulo ABD. Sabendo-se que o círculo maior possui raio R. a área do triângulo ABC. 15 . 98. Se o segmento 2 BC = 8 cm e o arco BC = 90º. AB = AC = CD e AD = 8 cm. ABD é um triângulo retângulo em A. AB = X cm e BC = 5 cm. AD sua altura. a área quais se interceptam em P. a área do triângulo. tem-se  = α . Se a soma dos comprimentos destas circunferências é 21 π cm e um dos catetos mede 8 cm. relativa ao lado BC . calcule. nele se inscreve uma circunferência de raio r cm e a ele se circunscreve uma outra circunferência de raio R cm. calcule. em centímetros. Traçam-se as bissetrizes dos ângulos  e B . Se AC = 9 cm e DE = 4 cm. Se AB é um diâmetro desta circunferência. 110. BC = 12 cm e CD = 14 cm. 212 cm e a soma de seus catetos é 20 cm.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 105. Determine a tangente do menor ângulo agudo deste triângulo. em centímetros. são necessários para revestir uma área retangular que mede 90 cm de comprimento por 120 cm de largura? 108. Observe a figura abaixo. Quantos azulejos quadrados. determine a medida. Um quadro Q se encontra numa parede vertical com sua base ao nível dos olhos de um observador que o vê segundo um ângulo de 15°. medindo 15 cm de lado. Após caminha horizontalmente 5 metros na direção perpendicular ao quadro. 107. Se AB = 19 cm. e cujo raio mede 2 cm. e o ângulo BOC mede 60°. na qual temos uma circunferência com centro no ponto O. Determine a altura h do quadro. 16 . Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Considere a figura abaixo na qual os segmentos de reta AB e CD são perpendiculares ao segmento de reta BC. A hipotenusa de um triângulo mede Determinar a área deste triângulo. calcule a área hachurada. 106. 109. o observador passa e vê-lo segundo um ângulo de 30°. do segmento de reta AD. então as cordas BD e AC medem. de AE será: a) 17 b) 15 c) 13 d) 11 e) 6 112. Considere a circunferência abaixo.5 cm. então 1 é igual a : S2 a) 1 b) 4 d) 2 1 1 c) e) 4 2 113.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 111. Se AB = 3 cm. respectivamente: c) 5 e 3 a) 4 10 e 12 d) 6 e 4 b) 16 e 8 e) 7 e 5 17 . Sejam r e s retas paralelas conforme a figura: Se S1 representa a área do triangulo ABC e S 2 representa a área do paralelogramo S ADFC e B o ponto médio do segmento AD . em cm. AB = 3 cm e CD = 5 cm. AB . então a medida. AC e AB são cordas. BC = 4 cm e DE = 8 cm. Se o raio desta circunferência mede 6. BD . onde AD é um diâmetro. Considere a figura abaixo na qual AB ⊥ BC . BC ⊥ CD e CD ⊥ DE . em cm. Considere a figura abaixo na qual: 1. 116. Se o menor ângulo. mede 30º. Considere as duas circunferências concêntricas abaixo: Seja t a reta tangente à menor circunferência no ponto B. 18 . Suponha que o muro e a parede são x perpendiculares ao chão e que este é plano (veja figura). determine a razão entre as áreas da maior e da menor circunferência. 2. onde tgθ = 3 . e seja s a reta tangente à maior circunferência no ponto B. A reta r é tangente a c1 e a reta s é tangente a c1 e c2. Um muro com y metros de altura se encontra a x metros de uma parede de um edifício.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 114. entre t e s. Então podemos afirmar corretamente que: c) α = 4 β 5 a) α = β 2 3 b) α = β d) α = 2 β 2 e) α = 2 β 3 117. A área do semicírculo c1 é quatro vezes a área do semicírculo c2. Uma escada que está tocando a parede e apoiada sobre o muro faz um y ângulo θ com o chão. d) apenas a I e III são verdadeiras. Analise agora as afirmativas abaixo. entre P e Q é: a) b) c) d) e) 13 3 12 3 11 3 10 3 9 3 120. II. Se a distância entre os centros das circunferências é igual a 18 cm e os seus raios medem 4 cm e 5 cm. A área do triângulo PQN é maior do que a área do triângulo OQN. em cm. e) apenas II e III são verdadeiras. então o número real que representa a distância. a função que expressa a soma das áreas das duas figuras em termos de x será: 2 x2 3 x2 x 3 2 + (10 − x ) c) f ( x) = a) f ( x ) = + 10 − 2 16 3 4 b) x x2 f ( x) = 10 − + 12 4 2 d) e) x2 3 x f ( x) = + 10 − 4 4 2 x f ( x) = x + 10 − 3 2 2 19 . III. em que a reta que passa por P e O é paralela à reta que passa por Q e N. c) apenas III é verdadeira. Se usarmos x cm para fazermos o quadrado e (30 . Um arame medindo 30 cm será cortado em duas partes que serão utilizadas. É correto afirmar que: a) apenas I é verdadeira.x) cm para fazermos o triângulo eqüilátero. b) apenas a II é verdadeira. respectivamente. As áreas dos triângulos PQN e OQN são iguais. uma para fazer um quadrado e outra para fazer um triângulo eqüilátero.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) o comprimento da escada é: a) 3 2 3 x2 + y2 1 c) 3 3 3 x2 + y2 3 1 2 1 x2 + y2 2 e) 1 3 1 x2 + y2 2 3 b) 2 2 2 x3 + y3 d) 118. a reta passando por P e Q é tangente às duas circunferências em P e Q. Considere a figura abaixo. 119. A área do triângulo OQM é igual à área do quadrilátero NPQM. Na figura abaixo. I. O comprimento do segmento de reta AB é igual à metade do comprimento da circunferência α .5 cm 9. Na figura abaixo. AC ' 123. Se a medida dos lados de ABC é igual a 3 3 cm e a distância entre os lados paralelos mede 2 cm.5 cm 20 . os triângulos ABC e AB’C’ são semelhantes. Se então o perímetro AB’C’ dividido pelo perímetro de ABC é igual a: 1 a) 8 1 b) 6 1 c) 4 1 d) 2 e) 1 AC = 4. O segmento de reta AC é um diâmetro da circunferência α . Considere a figura abaixo. AC A' C ' e BC B ' C ' . na qual: O segmento de reta AB é tangente à circunferência α em A. Então a área do triângulo ABC dividida pela área de α é igual a: 1 a) 2 2 b) 3 c) 1 4 d) 3 5 e) 3 122.5 cm 10. então a medida das alturas de A’B’C’ é igual a: a) b) c) d) e) 11. Na figura abaixo. temos dois triângulos eqüiláteros ABC e A’B’C’ que possuem o mesmo baricentro.5 cm 8.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 121. tais que AB A' B '.5 cm 7. c.c. π π +4 2π 4 e) 2 21 . Sejam α . a medida do perímetro desse triângulo é: a) 3( 3 + 2)u. o triângulo ABC é retângulo em B. Sejam α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo. β e θ os ângulos internos de um triângulo. a área desse triângulo (em cm2) é: a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 125. Se senα = senβ e se a medida da hipotenusa é 4 cm. Na figura abaixo. e a bissetriz do ângulo β mede duas unidades de comprimento (u.c.c. respectivamente. d) 3( 3 + 1)u. a razão entre o perímetro da região hachurada e o perímetro da circunferência é: 1 a) 3 π +4 b) 4π c) d) e) 3( 3 − 1)u. c) 3 3u. b) ( 3 + 1)u. 126.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) 124.c. O cosseno do ângulo ˆ BAC é: 12 a) 13 11 b) 13 10 c) 13 6 d) 13 1 e) 13 127.). Se as medidas desses ângulos são diretamente proporcionais a 1. Na figura abaixo.c. 2 e 3. é igual a: a) 2 b) 2.5 e) 4 128. Ao dobramos a cartolina.5 c) 3 d) 3. sem emborcá-la. resulta num polígono P que tem uma parte branca e uma parte preta visíveis. A razão 129. Assinale a alternativa na qual consta a melhor aproximação da porcentagem da área branca visível do polígono P em relação à área de P.Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006) área H . Uma folha de cartolina quadrada é colocada sobre uma mesa. A cartolina é branca no seu lado visível e preta no seu verso. ao longo de um segmento que une um vértice ao ponto médio de um lado não incidente sobre esse vértice. a) 67% b) 65% c) 50% d) 35% e) 33% 22 . onde H é o hexágono regular ABCDEF (com vértices área K nomeados no sentido horário) e K é o hexágono obtido pela intersecção dos triângulos ACE e BDF.