PRUEBAS DE HIPÓTESISInferencia Estadística - Sección “C” UFM Claudia Contreras PRUEBAS DE HIPÓTESIS En muchas situaciones se realizan proposiciones o afirmaciones respecto al valor de un parámetro poblacional (en la exigencia de cumplimiento de una norma, índices de procesos). Estas proposiciones se deben contrastar con la realidad (mediante el muestreo de datos), para tomar una decisión entre aceptar y rechazar la afirmación. La prueba de hipótesis es una herramienta mediante la cual se busca comprobar alguna proposición o afirmación sobre la población, a partir de los datos de la muestra. La verdad o falsedad de una hipótesis no puede conocerse con total seguridad a menos que pueda examinarse toda la población. Claudia Contreras - Inferencia Estadística PRUEBAS DE HIPÓTESIS – Procedimiento General 1. Definir Hipótesis Establecer la Hipótesis Nula (H0) y la Hipótesis Alternativa (Ha) Definir el nivel de significancia para controlar el error Tipo I. Identificar tipo de prueba. Identificar la distribución muestral asociada (“Z” o “t” de Student ) y calcular el estadístico de prueba. 2. Especificar Nivel de Significancia 3. Calcular Estadístico de Prueba 4. Establecer reglas de decisión Establecer la regla de decisión bajo la cual se rechaza H0, a través del valor crítico o valor-p. 5. Rechazar o no Claudia Contreras - Inferencia Estadística Formular conclusiones. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Se puede definir como un supuesto tentativo acerca de un parámetro poblacional (media, varianza, proporción, etc). HIPÓTESIS NULA ( H0) Es la hipótesis que será sometida a prueba, se supone tentativamente verdadera, también se denomina Hipótesis de no diferencia porque parte del supuesto que no hay diferencia entre el valor verdadero del parámetro y su valor hipotético. HIPÓTESIS ALTERNATIVA (Ha) Es una hipótesis que contradice lo que establece la hipótesis nula. También se le conoce como hipótesis del investigador o de la investigación. Describe lo que ha de considerarse si la hipótesis nula es rechazada. Claudia Contreras - Inferencia Estadística FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS ¿Cómo decidir o establecer qué proposición se establece como hipótesis nula y cuál como alternativa? Cuando se realiza una investigación en el desarrollo de un nuevo método, sistema, producto se empieza por definir la hipótesis alternativa como la conclusión que el investigador desea sustentar. La hipótesis nula expresa la creencia o supuesto acerca del valor del parámetro poblacional que debe ser comprobado. La hipótesis nula debe contener una proposición de igualdad (≤, ≥, =). Ambas hipótesis son complementarias. Es decir, las dos deben contener de manera exhaustiva todos los valores posibles de que los parámetros pueden asumir. Claudia Contreras - Inferencia Estadística Para verificarlo se realizará una prueba en una muestra de llantas.6mg Para demostrarlo analizará una muestra de cigarros producidos utilizando el nuevo método. manifiesta que la vida promedio de estas llantas es de por lo menos 40000 millas. Una empresa tabacalera afirma haber encontrado un método para curar las hojas de cigarro que da como resultado un contenido promedio de nicotina menor a 1. El productor de una llanta de fibra de vidrio. Claudia Contreras .6mg por cigarro. Todos los cigarros que se encuentran en el mercado tienen un contenido promedio de nicotina de por lo menos 1.FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Ejemplo 1. Ejemplo 2.Inferencia Estadística . Todos los cigarros que se encuentran en el mercado tienen un contenido promedio de nicotina de por lo menos 1.FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Ejemplo 1. El productor de una llanta de fibra de vidrio. H0: Ha: ≥ . H0: Ha: Claudia Contreras .6mg Para demostrarlo analizará una muestra de cigarros producidos utilizando el nuevo método.Inferencia Estadística ≥ < . manifiesta que la vida promedio de estas llantas es de por lo menos 40000 millas. < . Una empresa tabacalera afirma haber encontrado un método para curar las hojas de cigarro que da como resultado un contenido promedio de nicotina menor a 1. Ejemplo 2. Para verificarlo se realizará una prueba en una muestra de llantas.6mg por cigarro. FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Ejemplo 3. H0: Ha: = ≠ Claudia Contreras .Inferencia Estadística . Con periodicidad se selecciona una muestra para determinar si se está llenando de manera insuficiente o en demasía. Si se determina que hay llenado insuficiente o en demasía la producción se suspende y se ajusta el llenado. Formule la hipótesis nula y alternativa que ayudarán a determinar si se debe ajustar el peso. Una operación de la línea de producción está diseñada para llenar cajas con un peso medio de 32 onzas de detergente. FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Aquí se muestran las tres formas que pueden asumir H0 y Ha.Inferencia Estadística . Observe que en la hipótesis nula siempre aparece la igualdad. H0: ≥ Ha: < H0: ≤ Ha: > H0: = Ha: ≠ Pruebas de una cola (unilateral) Pruebas de dos colas (bilateral) Claudia Contreras . refiriéndonos a las pruebas de hipótesis para la media poblacional. cuando ésta es verdadera. debe considerarse que existe posibilidad de error.ERRORES TIPO I Y TIPO II Dado que la prueba de hipótesis se basa en información muestral. Condición real de la Población D E C I S I Ó N H0 es verdadera H0 es aceptada H0 es rechazada Decisión Correcta Ha es verdadera Error Tipo II Error Tipo I Decisión Correcta Error Tipo I : Se rechaza H0. Claudia Contreras . Error Tipo II: Se acepta H0.Inferencia Estadística . cuando ésta es falsa. NIVEL DE SIGNFICANCIA A la probabilidad de cometer un error de Tipo I se denota por y se le llama el nivel o tamaño de la significancia de la prueba. se selecciona a priori por el investigador de El valor de acuerdo con su experiencia y objetivos.05 (5%) y 0.01 (1%). es decir: = = ( ⋮ ) Aunque no existe una regla general para seleccionar el valor de suelen utilizarse 0. Claudia Contreras .Inferencia Estadística . Claudia Contreras . cuando rechazaramos H0 es decir estableceríamos que el nuevo sistema de inyección es mejor que el actual cuando en realidad no es así. Las hipótesis serían H0: Ha: ≤ > Entonces se cometería un Error Tipo I.NIVEL DE SIGNFICANCIA (Cont.) Si por ejemplo se elige un = % . Ejemplo 4. Se desarrolla un nuevo sistema de inyección de combustible que tiene proyectado mejorar el rendimiento en millas por galón de combustible. al diseñar una prueba entonces podemos esperar que en 5 ocasiones de cada 100 se rechazará la H0 cuando debería ser aceptada (porque por azar la muestra cae en la región de rechazo). El sistema actual para un modelo determinado alcanza 24 millas por galón en manejo urbano.Inferencia Estadística . o sea que tenemos una probabilidad de 95% que no rechazaremos H0 cuando sea cierta. Antes de implementar el nuevo sistema se busca un respaldo estadístico que sustente que este sistema es mejor que el actual. Se desarrolla un nuevo sistema de inyección de combustible que tiene proyectado mejorar el rendimiento en millas por galón de combustible. El sistema actual para un modelo determinado alcanza 24 millas por galón en manejo urbano. cuando aceptamos H0 es decir estableceríamos que el nuevo sistema de inyección no es mejor que el actual cuando en realidad si mejora el rendimiento. Antes de implementar el nuevo sistema se busca un respaldo estadístico que sustente que este sistema es mejor que el actual. denotada por . Claudia Contreras .ERROR TIPO II Para evaluar un experimento de prueba de hipótesis también se requiere calcular la probabilidad del error de Tipo II.Inferencia Estadística . Las hipótesis serían H0: Ha: ≤ > Entonces se cometería un Error Tipo II. es decir: = = ( ⋮ ) Para el ejemplo 4. Por lo que el rechazo de siempres se considera una conclusión fuerte. es decir se controla la probabilidad de cometer error Tipo I. Por otro lado la decisión de aceptar se considera una conclusión débil. Por lo que en lugar de decir “se acepta ” se prefiere decir “incapaz de rechazar ” (porque no existe gran evidencia que sea cierta sino que hay gran evidencia de que sea falsa). a menos que se conozca que es considerablemente pequeño. (los datos muestrales aportan evidencia fuerte que es falsa.Inferencia Estadística .CONCLUSIONES FUERTE Y DÉBIL Dado que el investigador escoge el valor de . entonces se puede controlar la probabilidad de rechazar de manera errónea . Claudia Contreras . Se rechaza H0 si la media muestral cae en cualquiera de las dos regiones de rechazo. El valor crítico separa la región de no rechazo de la de rechazo.TIPOS DE PRUEBA: PRUEBA DE DOS COLAS La hipótesis planteada de H0 se formula con la igualdad. no se puede rechazar la hipótesis nula. Si el estadístico de prueba cae dentro de la región de aceptación.Inferencia Estadística . una región de rechazo (región crítica) y una región de no rechazo (aceptación). Claudia Contreras . Ha: H0: = ≠ Región de Rechazo Región de NO Rechazo de H0 Región de Rechazo Valor Crítico Valor Crítico La distribución de muestreo del estadístico de prueba se divide en dos regiones. TIPOS DE PRUEBA: PRUEBA DE DOS COLAS Ejemplo 5. Se tiene interés en la rapidez de combustión de un agente propulsor para los sistemas de salida de emergencia en aeronaves. H0: Ha: = ≠ Región de Rechazo Región de NO Rechazo de H0 Región de Rechazo Valor Crítico Valor Crítico Claudia Contreras . Especialmente interesa la rapidez de combustión promedio. de manera específica interesa decidir si esta rapidez promedio es o no 50cm/seg.Inferencia Estadística . TIPOS DE PRUEBA: PRUEBA DE UNA COLA La hipótesis planteada de H0 se formula con ≤ . Región de rechazo Región de aceptación Región de aceptación Región de rechazo Claudia Contreras .Inferencia Estadística . ≥. TIPOS DE PRUEBA: PRUEBA DE UNA COLA Ejemplo 6.Inferencia Estadística . Para ello se toma una muestra de 30 bachilleres de cada colegio. H0: Ha: ≥ < Claudia Contreras . El departamento de admisión de una universidad ha considerado que completará el 100% de sus matrículas disponibles solo con bachilleres de los colegios cuyos promedios sean al menos de 14 puntos. los bachilleres son convocados a presentar prueba de admisión. y si se supera este parámetro. En las pruebas de hipótesis para la media población ( ). cuando se conoce la desviación estándar ( ) poblacional.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA ESTADÍSTICO DE PRUEBA Es un número obtenido a través de los valores de la muestra. es utilizado para tomar la decisión entre rechazar o no la Hipótesis nula. o cuando el valor de la muestra es grande (30 ó más) se utiliza la distribución normal estándar. Este número al compararse con el valor crítico. el valor del estadístico de prueba se determina: = − Si la población tiene distribución normal.Inferencia Estadística . Claudia Contreras . el procedimiento de prueba de hipótesis será exacto y puede utilizarse con cualquier tamaño de muestra. Si no es normal pero aproximadamente simétrico con muestras de hasta 15 pueden esperarse resultados aceptables. . (el enunciado de Ha) a un nivel de % de significancia” Claudia Contreras . Si se rechaza H0 se concluye: “Existe suficiente evidencia para indicar que .Inferencia Estadística . de lo contrario no se podrá rechazar H0.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA REGLA DE DECISIÓN Y CONCLUSIÓN Si el valor calculado del estadístico de prueba queda localizado dentro de la región crítica se rechaza H0. En otras palabras el valor-p es la probabilidad que la hipótesis nula sea cierta. Este valor –p solo depende de la muestra tomada. Valores-p pequeños indican una evidencia mayor contra la hipótesis nula. Claudia Contreras . H0 se rechaza. es decir para una muestra y un estadístico calculado se puede obtener su valor –p y compararlo con un especificado.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA VALOR -p Es una probabilidad que aporta una medida de evidencia suministrada por la muestra contra la hipótesis nula. Entonces si el valor-p < .Inferencia Estadística . Ejemplo.5 Kg. a nivel = 0.Inferencia Estadística . (1%). con una desviación típica poblacional de 0.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA Un fabricante provee una fibra sintética que se considera tiene una resistencia de ruptura de 8Kg.Caso 1 Solución Paso 1 : Planteamiento de hipótesis : = : ≠ Paso 2: Se ha definido un nivel de significancia = . Se tiene que una muestra simple de 50 trozos de fibra sintética la resistencia de ruptura media es 7.01 la hipótesis que = frente a la alternativa que ≠ .8 Kg. Queremos probar. una prueba de hipótesis de dos colas o bilateral. se trata de Claudia Contreras . se tiene un = .) Solución Paso 3 : Debido al tamaño de la muestra y a que se conoce el valor de se puede utilizar la distribución Z. + ) son: -2.58 y +2. distribución normal estándar los valores críticos (− .Inferencia Estadística .PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA Ejemplo. .Caso 1 (Cont. .58 Claudia Contreras . De la tabla de la Para un valor de = . − .Caso 1 (Cont. Paso 4. = − = .) Solución Paso 3 (Cont.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA Ejemplo. Claudia Contreras .Inferencia Estadística . Observe que el estadístico de prueba cae en la región de Rechazo por lo que debe ser rechazada.) : Ahora calculemos el valor del estadístico de prueba para determinar si cae en la región de rechazo o en la de aceptación. =− . ó ≥ . La Regla de Rechazo se establecería: Rechazar ≤− ó ≥ si ≤− . Concluimos que: debe ser rechazada.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA Ejemplo.83. ya que “Existe suficiente evidencia para indicar que la resistencia de ruptura media no es igual a 8Kg a un nivel de % de significancia” Claudia Contreras .) Solución Paso 5: Del análisis de los pasos previos Z= -2.Caso 1 (Cont.Inferencia Estadística . Por lo tanto. Concluimos que: “Existe suficiente evidencia para indicar que .estipula: Rechazar si valor-p ≤ debe ser rechazada.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA Ejemplo.Caso 1 (Cont.0023. valor- Paso 5: A partir del valor-p se establece que p ≤ .Inferencia Estadística .) Solución (Utilizando Valor-p) Paso 4: Del estadístico de prueba calculamos el área total de la región de rechazo.83. . el área de la región de rechazo de la derecha es la misma. el área es 0. De la tabla normal estándar para Z=-2. el área total que corresponde al valor-p es: − = .la resistencia de ruptura media no es igual a 8Kg a un nivel de % de significancia” Claudia Contreras . = . Por simetría. Este valor corresponde al área de la región de rechazo a la izquierda. La regla de rechazo utilizando el valor. Suponga que la desviación estándar poblacional es US$20700. se trata de . Use = . Solución Paso 1 : Planteamiento de hipótesis : ≤ : > Paso 2: Se ha definido un nivel de significancia = .PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA Playbill es una revista que se distribuye entre personas que asisten a obras musicales.100. En una muestra de 60 personas de la Bahía que suelen acudir al teatro se encontró que el ingreso medio es US$126. El ingreso medio anual por familia de la población de lectores de Playbill es de US$119155. Claudia Contreras .Inferencia Estadística (1%). una prueba de hipótesis de una cola o unilateral. Ejemplo. Un grupo de San Francisco asegura que las personas de la zona de la Bahía el ingreso medio es más alto.Caso 2 Establezca una conclusión con respecto a sí las personas de la zona de la Bahía tienen un ingreso medio por familia más alto que los demás lectores de Playbill. ) Solución Paso 3 : Debido al tamaño de la muestra y a que se conoce el valor de se puede utilizar la distribución Z. 2. el valor crítico es (+ ( .Inferencia Estadística .33 Claudia Contreras .33 = .Caso 2 (Cont.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA Ejemplo. Para un valor de = . De la tabla de la distribución normal estándar ) ) : +2. Caso 2 (Cont.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA Ejemplo.) : Ahora calculemos el valor del estadístico de prueba para determinar si cae en la región de rechazo o en la de aceptación. Paso 4. La Regla de Rechazo se establecería: Rechazar ≥ .) Solución Paso 3 (Cont. Observe que el estadístico de prueba cae en la región de Rechazo por lo que debe ser rechazada.Inferencia Estadística . si ≥ ( ) Claudia Contreras . = − = − = . 60.) Solución Paso 5: Del análisis de los pasos previos Z= 2. ya que “Existe suficiente evidencia para indicar que el ingreso medio de las personas de la Zona de la Bahía es mayor a US$119155 a un nivel de % de significancia” Claudia Contreras .Inferencia Estadística . Concluimos que: debe ser rechazada.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA Ejemplo.Caso 2 (Cont. De la tabla normal estándar para Z=2. el área que corresponde al valor-p es: − Rechazar = . Por lo tanto.estipula: Paso 5: A partir del valor-p se establece que p ≤ . Concluimos que: “Existe suficiente evidencia para indicar que el ingreso medio de las personas de la Zona de la Bahía es mayor a US$119155 a un nivel de % de significancia” Claudia Contreras .0047.9953) es 0.) Solución (Utilizando Valor-p) Paso 4: Del estadístico de prueba calculamos el área total de la región de rechazo. el área de la cola superior es (10. .Caso 2 (Cont. valorLa regla de rechazo utilizando el valor.60.Inferencia Estadística . si valor-p ≤ debe ser rechazada.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA Ejemplo. Inferencia Estadística . . Se selecciona una muestra aleatoria simple y se establece un intervalo de confianza de la forma: ± 2. Si el intervalo de confianza contiene el valor caso contrario es rechazada. en Claudia Contreras . no es rechazada.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA RELACIÓN ENTRE ESTIMACIÓN POR INTERVALO Y PRUEBA DE HIPÓTESIS Se puede utilizar el método del intervalo de confianza para probar una hipótesis de la forma: H0: = Ha: ≠ 1. ± .Solución Caso 1 (Utilizando estimación por intervalo) Un fabricante provee una fibra sintética que se considera tiene una resistencia de ruptura de 8Kg.5 Kg. a nivel = 0.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA RELACIÓN ENTRE ESTIMACIÓN POR INTERVALO Y PRUEBA DE HIPÓTESIS Ejemplo. .Inferencia Estadística . Solución Se tienen las hipótesis: : = : ≠ El intervalo de confianza. Se tiene que una muestra simple de 50 trozos de fibra sintética la resistencia de ruptura media es 7.8 Kg. 7. con base a la información del caso: . Queremos probar. con una desviación típica poblacional de 0. ± (7. Claudia Contreras .01 la hipótesis que = frente a la alternativa que ≠ .618.982) Se debe rechazar ya que no se encuentra en el intervalo de confianza. Inferencia Estadística .PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA RESUMEN Prueba de cola inferior Hipótesis Estadístico de Prueba Regla de rechazo: Método de valor-p Regla de rechazo: Método del valor crítico : : Prueba de cola superior : : Prueba de dos colas : : ≥ < − ≤ > − = ≠ − = = = Rechazar valor-p≤ Rechazar ≤− si: Rechazar valor-p≤ Rechazar ≥ si: Rechazar valor-p≤ si: si: si: Rechazar si: ≤− ≥ Claudia Contreras . Suponga que la desviación estándar poblacional es = .5 minutos. ¿Esto sustenta su conclusión? Claudia Contreras . Ejercicio de práctica a) Formule las hipótesis para esta aplicación b) En una muestra de 120 clientes.Inferencia Estadística . En este canal se transmitían noticias. . ¿Cuál es el valor-p? c) Con = . minutos. La duración de la programación se basa en el supuesto que la media poblacional del tiempo de los clientes que esperan en fila en una caja es 8 minutos. reportajes cortos y publicidad. ¿Cuál es su conclusión? d) Calcule un intervalo de confianza de 95% para la media poblacional. Se utilizará una muestra de tiempos de espera reales para probar este supuesto y determinar si el tiempo medio de espera difiere de ese estándar.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: CONOCIDA CNN y ActMedia presentaron un canal de televisión dirigido a las personas que esperan en las colas de supermercados. la media muestral del tiempo de espera fue de 8. Si no es normal. cuando se desconoce la desviación estándar ( ) poblacional. se utiliza la distribución t. Los pasos a seguir para la prueba de hipótesis son los mismos que cuando σ se conoce. el procedimiento de prueba de hipótesis será exacto para cualquier tamaño de muestra. dará un resultado aproximado y presentará buenas aproximaciones para n ≥ 30.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: DESCONOCIDA ESTADÍSTICO DE PRUEBA En las pruebas de hipótesis para la media población ( ). el valor del estadístico de prueba se determina: = − Si la población tiene distribución normal.de Student con − grados de libertad.Inferencia Estadística . la diferencia se encuentra en el cálculo del estadístico de prueba y del valor-p. Si la población es muy sesgada se recomiendan tamaños de muestra de alrededor de 50. Claudia Contreras . 05 de nivel de significancia ¿puede concluir que la nueva máquina es más rápida?. Una muestra de 10 horas seleccionadas al azar el mes pasado indica que la producción media por hora de la nueva máquina es de 256. Claudia Contreras . (5%). según el proveedor aumentará la tasa de producción. Con 0. con desviación estándar muestral de 6 por hora. Se compró una máquina nueva que. se trata de una prueba de hipótesis de una cola o unilateral (cola superior).Caso 3 La tasa actual para producir fusibles de 5 amperios es de 250 por hora. Solución Paso 1 : Planteamiento de hipótesis : ≤ : > Paso 2: Se ha definido un nivel de significancia = .Inferencia Estadística .PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: DESCONOCIDA Ejemplo. Caso 3 (Cont. = . Para un valor de = .833 Claudia Contreras . = .) Solución Paso 3 : Debido a que se desconoce el valor de se utilizará la distribución t. Calculando el estadístico de prueba. . = .PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: DESCONOCIDA Ejemplo. con 9 grados de libertad. se tiene = = − = − = . el valor crítico (de la Tabla de la Distribución-t) Valor crítico 1. Se asumirá que la distribución de la población es simétrica.Inferencia Estadística . PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: DESCONOCIDA Ejemplo.16 cae en la región de rechazo entonces rechazada.Caso 3 (Cont.Inferencia Estadística . La Regla de Rechazo se establecería: Rechazar ≥ . . Observe que el estadístico de prueba cae en la región de Rechazo por lo que debe ser rechazada. debe ser si : Como t = 3.) Solución Paso 4. Paso 5: Concluimos que: “Existe suficiente evidencia para indicar que la nueva máquina es más rápida a un nivel de % de significancia” Claudia Contreras . Caso 3 (Cont. 5 La regla de rechazo utilizando el valor.) Solución (Utilizando Valor-p) Paso 4: Del estadístico de prueba calculamos el área total de la región de rechazo.estipula: si valor-p ≤ debe ser rechazada.CD(3.9) − Rechazar = .PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: DESCONOCIDA Ejemplo. Concluimos que: “Existe suficiente evidencia para indicar que la nueva máquina es más rápida a un nivel de % de significancia” Claudia Contreras .16. Paso 5: A partir del valor-p se establece que valor-p ≤ .Inferencia Estadística . para t =3. .T. Utilizando Excel: =DISTR.1622. árboles. Los gerentes consideran que se requieren dos horas de trabajo para plantar un árbol mediano.2 1.Caso 4 Joan´s Nursery se especializa en jardines de zonas residenciales diseñados según el gusto del cliente.3 Con un nivel de significancia de = .4 2.Inferencia Estadística . ¿Cuál es su conclusión? Solución Paso 1 : Planteamiento de hipótesis : = : ≠ Claudia Contreras . realice una prueba para ver si el tiempo necesario para plantar los árboles difieren de 2 horas. .6 3 2.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: DESCONOCIDA Ejemplo. La estimación del precio se basa en el número de arbustos. realmente requeridos en una muestra de 10 árboles plantados el mes pasado. A continuación se presentan los tiempos en horas.6 2.3 1.4 2. 1.5 2.7 2. etc. 4 2.Inferencia Estadística 0. una prueba de hipótesis de dos colas o bilateral.7 1.52 . se trata de Debido a que se desconoce el valor de se utilizará la distribución t.49 0. (5%).25 0.5 2.4 2.2 2.16 0 0.64 0. Utilizando la muestra calcularemos la desviación estándar muestral y la media muestral.) Solución Paso 2: Se ha definido un nivel de significancia = .PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: DESCONOCIDA Ejemplo.64 0.01 0.4 = ∑ = = .Caso 4 (Cont.6 2.04 0. = ( ( ) ) = 0.3 22 Claudia Contreras . Se asumirá que la distribución de la población es simétrica. ( − ) 1.16 0.3 2.01 2.6 3 1. los valores críticos (de la Tabla de la Distribución-t) Valor crítico Valor crítico / / = . = . Valor crítico: t = -2.262 Valor crítico: t = 2.Caso 4 (Cont. Para un valor de = . .) Solución Paso 3 : Debido a que se desconoce el valor de se utilizará la distribución t. con 9 grados de libertad. . Se asumirá que la distribución de la población es simétrica. =− .262 Área de No rechazo Claudia Contreras . se tiene = = − = . = . − .PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: DESCONOCIDA Ejemplo. . Calculando el estadístico de prueba. = . = .Inferencia Estadística . 216 no cae en la región de rechazo. no existe razón para modificar el criterio de 2 horas en la estimación de costos. entonces rechazada. ó ≤ − .Caso 4 (Cont. Paso 5: Concluimos que: “ no puede ser rechazada”. La Regla de Rechazo se establecería: Rechazar ≥ . Observe que el estadístico de prueba cae en la región de No Rechazo por lo que no puede rechazarse .) Solución Paso 4. no puede ser si : Como t = 1. Claudia Contreras .PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: DESCONOCIDA Ejemplo.Inferencia Estadística . no existe razón para modificar el criterio de 2 horas en la estimación de costos.T. por lo que el área total es el área de la cola superior más el área de la cola inferior.2C(1.) Solución (Utilizando Valor-p) Paso 4: Del estadístico de prueba calculamos el área total de la región de rechazo. Concluimos que: Concluimos que: “ no puede ser rechazada”.2535 si valor-p ≤ no puede ser rechazada.216 Recuerde que es una prueba de dos colas. La regla de rechazo utilizando el valor. Utilizando Excel: ==DISTR.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: DESCONOCIDA Ejemplo.Caso 4 (Cont.Inferencia Estadística . para t =1.estipula: Paso 5: A partir del valor-p se establece que valor-p > .22. Claudia Contreras . .9) − Rechazar = . Inferencia Estadística .PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: DESCONOCIDA RESUMEN Prueba de cola inferior Hipótesis Estadístico de Prueba Regla de rechazo: Método de valor-p Regla de rechazo: Método del valor crítico : : Prueba de cola superior : : Prueba de dos colas : : ≥ < − ≤ > − = ≠ − = = = Rechazar valor-p≤ Rechazar ≤− si: Rechazar valor-p≤ Rechazar ≥ si: Rechazar valor-p≤ si: si: si: Rechazar si: ≤− ≥ Claudia Contreras . con una desviación estándar muestral de 65000 sujetos. c) Con = . Ejercicio de práctica a) Formule las hipótesis si el director de CNN desea información sobre cualquier cambio en la cantidad de espectadores de la empresa. b) ¿Cuál es el valor-p? Si utiliza la tabla t-student indique entre que rango se encuentra este valor. ¿Cuál es su conclusión? (Utilice el método de valor d) ¿Qué indicaría al director de CNN.Inferencia Estadística . crítico) . Nielsen Media Research indica que en 2002 la media de audiencia de CNN fue de 600000 espectadores por día. Suponga que en una muestra de 40 días durante la 1era mitad de 2003 la cantidad media de espectadores fue de 612000.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL: DESCONOCIDA CNN tiene el liderazgo de noticias de televisión por cable. al respecto? Claudia Contreras . H0: ≥ Ha: < H0: ≤ Ha: > H0: = Ha: ≠ PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL Pruebas de una cola (unilateral) Pruebas de dos colas (bilateral) Claudia Contreras .Inferencia Estadística .Aquí se muestran las tres formas que pueden asumir H0 y Ha. refiriéndonos a las pruebas de hipótesis para la proporción poblacional. Observe que en la hipótesis nula siempre aparece la igualdad. En la mayor parte de las aplicaciones las muestras son lo suficientemente grandes para utilizar la aproximación a normal. para calcular este estadístico: = − = − ( − ) Se supone que np≥ − ≥ .Inferencia Estadística . se utiliza la diferencia entre la proporción muestral ( ) y la poblacional y su error estándar.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL ESTADÍSTICO DE PRUEBA En las pruebas de hipótesis para la proporción poblacional ( ). Claudia Contreras . Se utiliza la distribución Z. con lo cual se puede utilizar una distribución normal como aproximación a la distribución de muestreo de . Caso 5 En un estudio diseñado para investigar si ciertos detonadores empleados con explosivos en una mina de carbón cumple con los requerimientos de que al menos 90% encenderá el explosivo al ser detonados. Claudia Contreras .Inferencia Estadística .PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL Ejemplo. (5%). se trata de una prueba de hipótesis de una cola o unilateral (cola inferior).05. Se encontró en una muestra que 174 de 200 detonadores funcionaron adecuadamente. Solución Paso 1 : Planteamiento de hipótesis : ≥ : < Paso 2: Se ha definido un nivel de significancia = . Compruebe esta hipótesis con un nivel de significancia de 0. . se tiene = = . = − ( − ) = .645 Claudia Contreras . el valor crítico (de la Tabla de la Distribución-Z) -1. − .PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL Ejemplo. Para un valor de Valor crítico = . = .Caso 5 (Cont.) Solución Paso 3 :Calculando el estadístico de prueba. .Inferencia Estadística . ) =− . . ( . = . Como Z = -1. La Regla de Rechazo se establecería: Rechazar ≤− . no existe suficiente evidencia para afirmar que la clase de detonador no cumple con sus normas.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL Ejemplo.” no puede ser si : Claudia Contreras .Inferencia Estadística .Caso 5 (Cont. Observe que el estadístico de prueba cae en la región de No Rechazo por lo que no puede rechazarse .41 no cae en la región de rechazo. entonces rechazada.) Solución Paso 4. Paso 5: Concluimos que: “ no puede ser rechazada. Por lo tanto. el área que corresponde al valor-p es: − Rechazar = . no existe suficiente evidencia para afirmar que la clase de detonador no cumple con sus normas.0793.Caso 5 (Cont. De la tabla normal estándar P(z ≤ − .) Solución (Utilizando Valor-p) Paso 4: Del estadístico de prueba calculamos el área total de la región de rechazo.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL Ejemplo.” Claudia Contreras .estipula: Paso 5: A partir del valor-p se establece que valor-p > . Concluimos que: “ no puede ser rechazada.que es el área de la cola inferior. . ) =0. si valor-p ≤ no puede ser rechazada.Inferencia Estadística . La regla de rechazo utilizando el valor. Inferencia Estadística .PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL RESUMEN Prueba de cola inferior Hipótesis Estadístico de Prueba == : : Prueba de cola superior : : Prueba de dos colas : : ≥ < − ( − ) == ≤ > − ( − ) == = ≠ − ( − ) Regla de rechazo: Método de valor-p Regla de rechazo: Método del valor crítico Rechazar valor-p≤ si: Rechazar valor-p≤ Rechazar ≥ si: Rechazar valor-p≤ si: Rechazar si: ≤− si: Rechazar si: ≤− ≥ Claudia Contreras .