Capítulo 10Prueba de hipótesis de una muestra Estadística aplicada a los negocios y la economía Los ejercicios que aquí se presentan tienen como objetivo que el estudiante se familiarice con los datos que debe incorporar en los estadísticos de prueba y los pasos que debe seguir para llegar a los resultados solicitados, de acuerdo a los supuestos de cada situación. En ningún momento se debe interpretar que los enunciados y supuestos son similares a los enunciados y supuestos de las pruebas escritas de la asignatura. Los ejercicios planteados son un complemento de las teletutorías y radiotutorías. A. Cuando se conoce la desviación estándar de la población Ejercicio 2, página 347 Se selecciona una muestra de 36 observaciones de una población normal. La media muestral es de 12, y el tamaño de la muestra 36. La desviación estándar de la población es 3. Utilice el nivel de significancia 0,02. Ho: u <= 10 H1: u > 10 a) Es una prueba de una o de dos colas? Es una prueba de una cola pues esto lo define la H1 la cual indica que el promedio sea mayor que 10. La prueba está ubicada del lado derecho de la curva normal. b) Cuál es la regla de decisión? Se rechaza Ho si Zc > Zt es decir se rechaza si Zc > 2,06 c) Cuál es el valor del estadístico de prueba? Zc = (x – u)/(σ/Ѵn) = (12-10)/(3/Ѵ36) = 4 d) Cuál es su decisión al respecto de Ho? Dado que Zc = 4 > Zt = 2,06, se rechaza la hipótesis nula e) Cuál es el valor p? Interpreta este valor P(z >= 4) = 0,000, ni siquiera está en la tabla de probabilidades de la página 782, por lo que es menor que el alfa de 0,02 lo que implica que se rechaza la hipótesis nula con mayor seguridad. 89.67 < Zt = -1. 15.5 – 0. se rechaza la hipótesis nula e) Cuál es el valor p? Interpreta este valor P (z <= -2. La media de la muestra es de 215. La prueba está ubicada del lado izquierdo de la curva normal.67). página 347 Se selecciona una muestra de 64 observaciones de una población normal. y la desviación estándar de la población. Ho: u >= 220 H1: u < 220 a) Es una prueba de una o de dos colas? Es una prueba de una cola pues esto lo define la H1 la cual indica que el promedio sea menor que 220.67 es 0. . b) Cuál es la regla de decisión? Se rechaza Ho si Zc < Zt es decir se rechaza si Zc < -1. entonces se rechaza Ho con más confianza ya que hay evidencia muy fuerte de que H0 no es verdadera. Lleve a cabo la prueba de hipótesis.4962 = 0. utilice el nivel de significancia 0.03. Como 0.0038 es menor que el nivel de significancia de 0.03.0038.89 c) Cuál es el valor del estadístico de prueba? Zc = (x – u)/(σ/Ѵn) = (215-220)/(15/Ѵ64) = -2.Ejercicio 4.67 d) Cuál es su decisión al respecto de Ho? Dado que Zc = -2. La probabilidad de encontrar un valor de z igual o menor a -2. Con el nivel de significancia de 0. Como ese valor tan pequeño es menor que el nivel de significancia de 0. página 348 En el momento en que fue contratada como mesera en el Grumney Family Restaurant. se rechaza la hipótesis nula e) Cuál es el valor p? Interpreta este valor P (z >= 8.Ejercicio 8. Los primeros 35 días de trabajar en el restaurante.85 > Zt = 2. La probabilidad de encontrar un valor de z igual o mayor a 8. entonces se rechaza Ho con más seguridad ya que hay evidencia muy fuerte de que H0 no es verdadera.24/Ѵ35) = 8. cercano a 0 (no está en la tabla de la página 782). . ¿La señora Brigden puede concluir que gana un promedio de más de $80 en propinas?.85).01. la suma media de sus propinas fue de $84.85.33.24.01. a) Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa Ho: u <= 80 H1: u > 80 b) Cuál es la regla de decisión? Se rechaza Ho si Zc > Zt es decir se rechaza si Zc > 2.80)/(3.85 . a Beth Brigden le dijeron: “Puedes ganar en promedio más de $80 al día en propinas”.85 d) Cuál es su decisión al respecto de Ho? Dado que Zc = 8.33 c) Cuál es el valor del estadístico de prueba? Zc = (x – u)/(σ/Ѵn) = (84.85 es muy pequeño. Suponga que la desviación estándar de la distribución de población es de $3. a) Formule la regla de decisión? Se rechaza Ho si tc > tt es decir se rechaza si tc > 3.319 Se rechaza Ho si tc < tt es decir se rechaza si tc < -1. Cuando no se conoce la desviación estándar de la población Ejercicio 10. de 2.7 minutos. prueba de una cola.01. la técnica actual requiere 42.319 .04 c) Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? Dado que tc = 4.3 H1: µ < 42. El tiempo medio de montaje de una muestra aleatoria de 24 carros. Con los datos anteriores el valor crítico de la t de Student es: -1.B.10. la zona de rechazo se encuentra a la izquierda la distribución.1 = 23 grados de libertad y un α = 0. con la nueva técnica. Utilice el nivel de significancia 0.3 b) Regla de decisión con n . Con un nivel de significancia de 0.106. ¿puede concluir que el tiempo de montaje con la nueva técnica es más breve? a) Sean las siguientes hipótesis: Ho: µ ≥ 42.10. fue de 40.04 > tt = 3. la media muestral fue de 407. página 352 Sean las siguientes hipótesis: Ho: µ = 400 H1: µ ≠ 400 En el caso de una muestra aleatoria de 12 observaciones seleccionada de una población normal.6 minutos. página 353 La administración de White Industries analiza una nueva técnica para armar un carro de golf. se rechaza la hipótesis nula Ejercicio 12. de 6.3 minutos de trabajo en promedio. y la desviación estándar de la muestra.106 b) Calcule el valor de estadístico de prueba x̅ − µ 𝑡 = 𝑠/√𝑛 = 407−400 6/√12 = 4. y la desviación estándar. 7/√24 = −3. 14 12 14 15 16 15 12 14 12 13 14 13 13 12 16 13 15 10 14 13 Con un nivel de significancia de 0. las aerolíneas han recibido quejas relacionadas con los boletos. se distribuye aproximadamente de acuerdo con la distribución de probabilidad normal. b) Ilustre la cantidad de quejas por aeropuerto en una distribución de frecuencia o en un diagrama de dispersión. ¿la agencia de investigación puede concluir que la cantidad media de quejas por aeropuerto es menor de 15 al mes? a) ¿Qué suposición se requiere antes de llevar a cabo una prueba de hipótesis? Que la característica que se está estudiando (cantidad de quejas por aeropuerto.085 d) Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? Dado que tc = -3.319. en este caso) en la población. en particular cuando se requiere hacer un enlace para cambiar de línea. la mayoría de los que viajan por avión compra sus boletos por internet. ¿Es razonable concluir que la población se rige por una distribución normal? .3 2.c) Calcule el valor de estadístico de prueba 𝑡= x̅ − µ 𝑠/√𝑛 = 40. página 353 En la actualidad. Para analizar el problema. los pasajeros evitan la preocupación de cuidar un boleto de papel. se rechaza la hipótesis nula Por lo tanto se puede concluir que el tiempo de montaje con la nueva técnica es más breve.05. en fechas recientes. No obstante. una agencia de investigación independiente tomó una muestra aleatoria de 20 aeropuertos y recogió información relacionada con la cantidad de quejas que hubo sobre los boletos durante marzo.085 < tt = -1.6 − 42. Ejercicio 14. de la que se obtuvo la muestra. A continuación se presenta la información. De esta forma. además de que las aerolíneas ahorran. a un nivel de significancia de 10%. Representación gráfica 12 Frecuencia 10 8 6 4 2 0 10 12 14 y mayor. Por consiguiente.729 se rechaza la hipótesis nula.. dado que la hipótesis alternativa establece la relación “menor que”). La regla de decisión es: Rechazar la hipótesis nula si el valor calculado de t (tc) es menor que -1. Clase Gráficamente.729 (por la cola inferior. la distribución de los datos se “asemeja” a una distribución aproximadamente normal. H0: µ ≥ 15 (cantidad media de quejas por aeropuerto mayor o igual a 15) H1: µ < 15 (cantidad media de quejas por aeropuerto menor que 15) Nivel de significancia α =0. . hay evidencia suficiente para concluir que la cantidad media de quejas por aeropuerto es menor a 15. el valor crítico del estadístico de prueba t es -1. al nivel de significancia del 0.5044 = −4.05. c) Realice una prueba de hipótesis e interprete los resultados.46 < -1.05.46 √n √20 Dado que -4. es una prueba de una cola.729.. Se calcula el estadístico de prueba. No rechazar la hipótesis nula en caso contrario. Aunque la herramienta gráfica no es suficiente para llegar a una conclusión definitiva. la desviación estándar poblacional desconocida por lo que se debe usar la distribución t de Student para realizar la prueba con (n-1) = (20-1) = 19 grados de libertad. t de Student: tc = x̅ − μ 13.5 − 15 s = 1. Eso significa que. 40) 120 √ c) Dado que -2. Ho: π = 0. Pruebas de hipótesis relacionadas con proporciones Ejercicio 22.96 b) Estadístico de prueba es: Zc = p−π π(1−π) √ n = 0. P(0 a Z) = 0.475 implica que Z = 1. para una probabilidad de 0.05? a) Formule la regla de decisión b) Calcule el valor del estadístico de prueba c) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? a) La regla de decisión es: Rechazar la hipótesis nula si el valor calculado de Z (Zc) es menor que -1.C. ¿Puede rechazar la hipótesis nula en el nivel de significancia de 0.22 < -1.40(1−0.475= (0.96 se rechaza la hipótesis nula. Es una prueba de dos colas.40 Una muestra de 120 observaciones reveló que p = 0.5 – 0. página 359 Sean las siguientes hipótesis. = −2. No rechazar la hipótesis nula en caso contrario.30. entonces qué valor debe tener Z.40 0. α/2 = 0.025.30−0.025).40 H1: π ≠ 0.05/2 = 0.22 .96. 40−0. La regla de decisión es: Rechazar la hipótesis nula si el valor calculado de Z (Zc) es mayor que 2.33 Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia: α = 0. P (0 a Z) = 0. Las principales razones fueron una sobrepoblación de graduados universitarios y una economía débil.33(1−0. Con un nivel de significancia de 0. para una probabilidad de 0.06 (Zc > Zt ).33 0. De cada tres graduados solo uno consigue empleo. π=0.480 = (0.33 Ho: π = 0. entonces se rechaza la hipótesis nula. Paso 1: se establece la hipótesis nula y alternativa. No rechazar la hipótesis nula en caso contrario.12 > 2.480 implica que Z = 2. esto quiere decir que 1/3 parte tiene trabajo.12 Paso 4: Se formula la regla de decisión.02.02). . página 359 Un artículo reciente de USA Today informó que sólo hay un trabajo disponible por cada tres nuevos graduados de universidad. Puede concluirse que una proporción mayor de estudiantes de la escuela tienen empleo.06 Paso 5: Se toma la decisión Dado que 2.40 Zc = p−π π(1−π) √ n = 0.02. α = 0.Ejercicio 24. ¿Puede concluir que una proporción mayor de estudiantes de su escuela tienen empleo? Nota: se recomienda utilizar el procedimiento de los cinco pasos para la prueba de hipótesis. entonces ¿Qué valor debe tener Z?. Para calcular el valor de Z tabular se hace lo siguiente: Es una prueba de una cola.06. Una encuesta de 200 recién graduados reveló que 80 estudiantes tenían trabajo.5 – 0.33) 200 √ = 2.02 Paso 3: Se selecciona el estadístico de prueba: P = 80/200 = 0.33 H1: π ˃ 0. entre el total de muestra. Se utiliza -1. La regla de decisión es: Rechazar la hipótesis nula si el valor calculado de Z (Zc) es menor que -1.65 < -0.40 Paso 4: Se formula la regla de decisión.65. No rechazar la hipótesis nula en caso contrario.48−0. entonces NO se rechaza la hipótesis nula. Zc = p−π π(1−π) √ n = 0.50 Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia: α = 0. ¿Hubo una reducción significativa en la proporción de estudiantes que cambian de área el primer año en este programa? Realice una prueba con un nivel de significancia de 0. por tanto no hay evidencia estadísticamente significativa de que hubo una reducción en la proporción de estudiantes que cambian de área en el primer año en el programa.4505 entonces se toma esta probabilidad para resolver el ejercicio.40 ( Zt < Zc).05). Una muestra aleatoria de 100 estudiantes de la Facultada de Administración reveló que 48 habían cambiado de área de estudio después del primer año del programa de estudios. α = 0. Ho: π = 0.50 H1: π < 0. esto quiere decir que P (0 a Z) = 0. Para calcular el valor de Z tabular se hace lo siguiente: Es una prueba de una cola.4505 implica que Z = 1. Nota: se recomienda utilizar el procedimiento de los cinco pasos para la prueba de hipótesis.05 Paso 3: Se selecciona el estadístico de prueba: Para calcular la proporción muestral se divide el número de estudiantes que cambiaron de área en la muestra.50(1−0. Paso 5: Se toma la decisión Dado que -1. página 359 Una investigación de la universidad de Toledo indica que el 50% de los estudiantes cambia de área de estudios después del primer año en un programa.05. en la tabla aparece la probabilidad 0. Paso 1: se establece la hipótesis nula y alternativa.65 porque la hipótesis alternativa indica que la zona de rechazo se ubica en la cola izquierda de la distribución normal estándar. . para una probabilidad de 0.Ejercicio 26. esto es p = 48/100 = 0.5 – 0.05.50) 100 √ = −0.65.50 0.48.4500 = (0. entonces ¿Qué valor debe tener Z?.
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