Prueba de Hipótesis Acerca de Parámetros Poblacionales

PRUEBAS DE HIPOTESISHugo Guadalupe Alamilla Mayorga Maestría en Enseñanza de las matemáticas Materia: Estadística PRUEBA DE HIPÓTESIS ACERCA DE PARÁMETROS POBLACIONALES En situaciones prácticas, una inferencia estadística puede comprender la estimación de un parámetro poblacional o tomar decisiones acerca del valor del parámetro. Por ejemplo, si una compañía farmacéutica está fermentando un tanque de antibiótico, se pueden usar muestras del tanque para estimar la potencia media m para todo el antibiótico del tanque. En contraste, suponga que la compañía no se interesa en la potencia media exacta del antibiótico, sino sólo satisfacer los estándares de potencia mínimos del gobierno. Entonces la compañía puede usar muestras del tanque para decidir entre estas dos posibilidades: • La potencia media 𝜇 no excede la potencia mínima permisible. • La potencia media 𝜇 excede la potencia mínima permisible. El problema de la compañía farmacéutica ilustra una prueba estadística de hipótesis. UNA PRUEBA ESTADÍSTICA DE HIPÓTESIS Una prueba estadística de hipótesis está formada de cinco partes: 1. La hipótesis nula, denotada por 𝐻0 2. La hipótesis alternativa, denotada por 𝐻𝑎 3. El estadístico de prueba y su valor 𝑝. 4. La región de rechazo 5. La conclusión. Cuando se especifiquen estos cinco elementos, se define una prueba particular; cambiar una o más de las partes crea una nueva prueba. Veamos con más detalle cada parte de la prueba estadística de hipótesis. UNA PRUEBA DE MUESTRA GRANDE ACERCA DE UNA MEDIA POBLACIONAL (PRUEBA DE UNA COLA) Los altos porcentajes de ocupación en vuelos regulares son esenciales para la rentabilidad corporativa. Suponga que un vuelo regular debe promediar al menos 60% de ocupación para ser rentable y un examen del porcentaje de ocupación para 120 vuelos de las 10:00 a.m. de Atlanta a Dallas mostró una ocupación media por vuelo de 58% y una desviación estándar de 11%. a) Si 𝜇 es la ocupación media por vuelo y si la compañía decide determinar si este vuelo es rentable o no lo es, dé la hipótesis alternativa y nula para la prueba. 𝐻0 : 𝜇 = 60% 𝐻𝑎 : 𝜇 > 60% b) ¿La hipótesis alternativa del inciso a) implica una prueba de una o de dos colas? Explique. Se requiere una prueba de una cola porque la prueba alternativa es:𝐻𝑎 : 𝜇 > 60% c) ¿Los datos de ocupación para los 120 vuelos sugieren que este vuelo regular no es rentable? Pruebe usando a 𝛼 =.05. 58 − 60 𝑧= = −1.9991 11/ 120 Como el nivel de significancia es 𝛼 = 0.05 y la prueba es de una cola (la derecha), la región de rechazo está determinada por un valor crítico con área de cola igual a 𝛼 = 0.05; esto es, 𝐻0 puede ser rechaza si 𝑧 > 1.645 como 𝑧 = −1.99991 no es mayor que el valor crítico, 𝐻0 no es rechazada. Por lo que podemos concluir que el viaje no es rentable. PRUEBA DE DOS COLAS  Potencia de un antibiótico Un fabricante de medicamentos dijo que la potencia media de uno de sus antibióticos fue 80%. Se probó una muestra aleatoria de 𝑛 =100 cápsulas y produjo una media muestral de 𝑥= ҧ 79.7% con una desviación estándar de s = .8%. ¿Los datos presentan sufi ciencia evidencia para refutar lo dicho por el fabricante? Sea 𝛼 = .05.  a. Exprese la hipótesis nula a ser probada. 𝐻0 : 𝜇 = 80%  b. Exprese la hipótesis alternativa. 𝐻𝑎 : 𝜇 ≠ 80%  c. Realiza una prueba estadística de la hipótesis nula y exprese su conclusión. 𝐻0 : 𝜇 = 80% 𝐻𝑎 : 𝜇 ≠ 80% La estimación puntual para 𝜇 es 𝑥.ҧ Por tanto, la estadística de prueba es: 𝑥ҧ − 𝜇0 79.7% − 60% 15 𝑧≈ 𝑠 = =− = −3.75 0.8 4 𝑛 100 Región de rechazo: Para esta prueba de dos colas se usan valores de 𝑧 en las colas derecha e izquierda de la 𝛼distribución estándar normal. Usando 𝛼 =.05, los valores críticos que separan las regiones de rechazo y aceptación cortan áreas de = .025 en las colas 2 derecha e izquierda. Estos valores son 𝑧 = ±1.96 y la hipótesis nula será rechazada si 𝑧 >1.96 o 𝑧 < −1.96. Como 𝑧 = −3.75 y el valor calculado de z cae en la región de rechazo, el fabricante puede rechazar la hipótesis nula de que 𝜇 =80% y concluir que la potencia no es la deseada. La probabilidad de rechazar 𝐻0 cuando 𝐻0 es verdadera y 𝛼 =.05, una probabilidad bastante pequeña. Por tanto, el fabricante está razonablemente seguro que su conclusión es correcta. Prueba estadística de muestras grandes para 𝜇1 − 𝜇2 (Una cola).  ¿Cura para el resfriado común? Se planeó un experimento para comparar el tiempo medio (en días), necesario para recuperarse de un resfriado común, en personas a las que a diario se les dio una dosis de 4 miligramos (mg) de vitamina C contra otras a las que no se dio un suplemento vitamínico. Suponga que 35 adultos fueron seleccionados al azar para cada categoría del tratamiento y que los tiempos medios de recuperación y desviaciones estándar para los dos grupos fueron como sigue:  a. Suponga que el objetivo de su investigación es demostrar que el uso de vitamina C reduce el tiempo medio necesario para recuperarse de un resfriado común y sus complicaciones. Dé las hipótesis nula y alternativa para la prueba. ¿Esta prueba es de una o de dos colas? b. Realice la prueba estadística de la hipótesis nula del inciso a) y exprese su conclusión. Pruebe usando 𝛼 = .05.  1. 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 = 0  2. 𝐻𝑎 : 𝜇1 − 𝜇2 > 0  3. Estadístico de prueba: 𝑥1 − 𝑥2 5.8 − 6.9 𝑧≈ = = −2.073 𝑠12 𝑠23 1.22 2.92 + + 35 35 𝑛1 𝑛2 4. Región de rechazo: Para esta prueba de una cola se usan valores de 𝑧 en las cola derecha de la distribución estándar normal. Usando 𝛼 =.05, el valor critico es de. Este valor es 𝑧 = 1.645 la hipótesis nula será rechazada si 𝑧 >1.645. 5. Como 𝑧=-2.073 no se encuentra en la región de rechazo, por lo que no rechazamos la hipótesis nula. Prueba estadística de muestras grandes para 𝜇1 − 𝜇2 (dos colas).  Salarios iniciales, otra vez En un intento por comparar los salarios iniciales para estudiantes universitarios que tienen especialidad en ingeniería química y ciencias computacionales (véase el ejercicio 8.45), se seleccionaron muestras aleatorias de 50 recién graduados universitarios en cada especialidad y se obtuvo la siguiente información. a)¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar una diferencia en salarios iniciales promedio para graduados universitarios con especialidad en ingeniería química y ciencias computacionales? Pruebe usando 𝛼 =.05. 1. 𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0 2. 𝐻𝑎 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0 Estadístico de prueba 𝑥1 −𝑥2 53659−51042 3. 𝑧 ≈ = = 5.686 3 22252 23752 𝑠2 1 + 𝑠2 + 50 50 𝑛1 𝑛2 4. Región de rechazo: Para esta prueba de dos colas se usan valores de 𝑧 en las colas derecha e izquierda de la distribución estándar normal. Usando 𝛼 =.05, los 𝛼 valores críticos que separan las regiones de rechazo y aceptación cortan áreas de = .025 en las colas derecha e izquierda. Estos valores son 𝑧 = ±1.96 y 2 la hipótesis nula será rechazada si 𝑧 >1.96 o 𝑧 < −1.96. 5. Como 𝑧 = 5.686 > 1.96 cae en la región de rechazo, por lo que podemos descartar la hipótesis nula. Por lo tanto los datos son indican una diferencia en salarios iniciales promedio para graduados con especialidad en ingeniería química y ciencias computacionales con un margen de error de 𝛼 = 0.05.