1.1.D er Begriff Prozessrechentechnik 1 1. Einführung 1.1. Der Begriff Prozessrechentechnik Laut Norm (IEV 351-18-3A) ist ein Prozessrechner ein Rechner, der direkt mit einem (meist physikalischen) Prozess über Prozessschnittstellen zum Echtzeitdatenaustausch gekoppelt ist. Bild 1 zeigt das allgemeine Prinzip eines Prozessrechners. Bild 1: Allgemeines Prinzip eines Prozessrechners 1.2. Ziele der Vorlesung Nach Bild 1 sind bei einem allgemeinen Prozessrechner analoge und digitale Ein- und Ausgänge und z.B. zusätzliche Schnittstellen für eine Anbindung an Busysteme vorhanden. Im Rahmen dieser Vorlesung soll der Prozessrechner schwerpunktmäßig als digitaler Regler genutzt werden. Ziel dabei ist, den Rechenalgorithmus nach Bild 1 theoretisch und praktisch zu verwirklichen, um den Prozess aus Informationen seiner Zustands- und Führungsgrößen, die ggf. A/D-gewandelt werden, über einen D/A-W andler durch analoge Stellgrößen zu beeinflussen. Kenntnisse über Hard- und Software von Rechnern sind aus mehreren Veranstaltungen vorhanden und in der Vorlesung Prozesssteuerung I [1] wird W issen über Echtzeitdatenverarbeitung mit Standardrechnern vermittelt. Deshalb wird in dieser Vorlesung nicht auf Hardware von Datenverarbeitungsanlagen und Schnittstellen eingegangen. 1.3. Unterschied analog/kontinuierlich zu digital/zeitdiskret Beispiel für analoges System Lineare analoge kontinuierliche Systeme sind u.a. bekannt aus den Vorlesungen Regelungstechnik, Grundlagen der Elektrotechnik 3 oder Mathematik 3 (DGL dafür). Basis der Berechnung von dynamischen Systemen sind dabei Differentialgleichungen (DGLn). Als Beispiel soll für Bild 2 die DGL aufgestellt werden: (1) (2) oder als Laplace-Transformierte (3) Bild 2: Beispiel für ein kontinuierliches System oder als Übertragungsfunktion (4) Ein kontinuierliches dynamisches System wird entweder durch eine DGL (im Zeitbereich oder Lapalace-Bereich) oder als Übertragungsfunktion in p beschrieben. Version 2.0 18.09.2006, 11.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.wpd 2 1. Einführung Diskretes Systeme In einem diskreten System werden dessen Prozessgrößen entweder nur zu definierten, meist periodisch mit einer Zeitdauer, der Abtastdauer, auftretenden Zeitpunkten betrachtet (zeitdiskret) oder die Prozessgrößen besitzen einen diskreten, nicht reellen W ertebereich (wertediskret). Die Periodendauer, also das Zeitraster, in dem der Vorgang seinen W ert ändert, heißt die Abtastdauer T. Für diesen Zeitraum werden die Größen des Prozesses (des Systems) meist als konstant angenommen oder sie sind konstant. W ie später (Abschnitt 3.6) gezeigt wird, können auch analoge Systeme diskret beschrieben werden. Beispiel für ein diskretes System im nichttechnischen Bereich Ein nichttechnisches Beispiel aus dem Bereich der diskreten Prozesse ist die Zinsrechnung. Ein Sparer zahlt am Beginn eines jeden Jahres i den Betrag/Einsatz E(i) ein. Das Kapital K wird mit dem Zinssatz e verzinst. Am Beginn des nächsten Jahres i+1 hat er somit das Kapital K(i+1) = K(i) + K(i)*e+ E(i+1) welches sich aus altem Kapital K(i), Zinsen plus Spareinsatz ergibt. Nach Umformung erhält man K(i+1) - (1+ e)*K(i) = E(i+1). (6) (5) Auf der linken Seite steht die Prozessgröße „Kapital“ als Differenz, auf der rechten Seite die Anregung, die Eingangsgröße „Einsatz“. In Anlehnung an lineare DGLn [z:B (2)] mit konstanten Koeffizienten wird Gleichung (6) eine lineare Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten genannt. Da in (6) nur eine Differenz zweier W erte auftritt, ist (6) eine Differenzengleichung 1. Ordnung. Nach (3) und (4) werden kontinuierliche Systeme Laplace transformiert mit der Laplace Variablen p. W ie später in Kapitel 3 gezeigt wird, erfolgt für Differenzengleichung en eine z-Transformation und die Übertragungsfunktion ergibt sich in z anstatt in p. Kontinuierliche Systeme, die durch DGLn gegeben sind, können z.B. für die Behandlung in Abtastregelungen näherungsweise durch Differenzengleichungen beschrieben werden, siehe Abschnitt 3.6. Die Eingangsgrößen der kontinuierlichen Systeme sind analoge Signale. Für deren Verarbeitung im Prozessrechner eingelesen müssen diese Signale diskretisiert werden, siehe Abschnitt 3.1. 1.4. Unterschied zwischen analogen und diskreten Regelungen Die Struktur eines analogen Regelkreises ist u.a. aus der Vorlesung Regelungstechnik [2] bekannt, siehe Bild 3: Bild 3: W irkungsplan eines analogen Standardregelkreises c w e m y x r q Zielgröße Führungsgröße Regeldifferenz, Regelfehler Reglerausgangsgröße (Eingangsgröße Stelleinrichtung) Stellgröße (Ausgangsgröße Steller, Eingangsgröße Steller) Regelgröße Rückführgröße Aufgabengröße In Bild 3 bedeuten: Version 2.0 18.09.2006, 11.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.wpd 1.5. Inhalt der Vorlesung 3 Die Regelung mit einem digitalen Regler ist der analogen Struktur nach Bild 3 ähnlich. Unterschiede: 1. Der Regelalgorithmus erfolgt digital. 2. Beim analogen Regler hat jeder Signalzeitpunkt Bedeutung für die Berechnung der analogen Stellgröße. Der digitale Regler arbeitet taktweise in den Zeitabständen der Abtastzeit T (Rechnertaktzeit). 3. Soll- und Istwerte müssen diskretesiert werden. D.h für den Bereich einer Abtastzeit T werden Soll- und Istwerte als konstant angenommen. Der Begriff Taster in Bild 4 bedeutet somit, dass aus dem M esssignal x(t) die diskreten W erte x(t=0) = x 0 x(t=T) = x 1 x(t=2T) = x 2 .... gebildet werden müssen. 4. Der Sollwert für die Regelung kann entweder analog oder digital vorgegeben werden. Bei analogen Vorgaben ist dieser zu diskretisieren. Bild 4: Möglicher W irkungsplan einer Abtastregelung 1.5. Inhalt der Vorlesung In Kapitel 2 werden einige Grundlagen der Vorlesung Regelungstechnik [2] kurz zusammengefasst, die in spätere Abschnitten der Prozessrechentechnik benötigt werden. Kapitel 2 dient somit den Studierenden zur Überprüfung ihrer Vorkenntnisse und es wird empfohlen, den Stoff aus Kapitel 2 zu wiederholen, damit Unklarheiten in der Vorlesung beseitigt werden können. Einige neue Abschnitte aus Kap. 2 werden bei Bedarf erläutert und deren Theorie in den Kapiteln ab 3 anschließend angewandt. Kapitel 3 beschäftigt sich mit der Theorie von Abtastregelungen. Hier werden diskrete Regelalgorithmen (siehe Bild 4) beschrieben. Ein weiteres wichtiges Thema ist die Beschreibung von Taster und Speicher (siehe Bild 4), später Abtasthalteglied genannt. Aufbauend auf bekannte analoge Reglerentwurfsverfahren ([1], bzw. Kap. 2) wird die Umsetzung von analog ermittelten Reglerkennwerten in Parameterwerte für digitale Regelalgorithmen dargestellt. Zur Beschreibung der diskreten Systeme (u.a. digitaler diskreter Regler) werden allgemein Differenzengleichungen und z-Transformation benutzt. Diese Beschreibungsformen werden hier vorgestellt. In Kapitel 4 erfolgt eine Vertiefung des in Kap. 3 vermittelten Stoffes durch Anwendung der Theorie anhand zweier einfacher Systeme: S Abschnitt 4.1: Diskrete Regelung einer PT1-Strecke mit einem I-Regler S Abschnitt 4.2: Diskrete Regelung einer PT2-Strecke mit einem PI-Regler Ziel ist es (auch in der parallelverlaufenden Laborveranstaltung), die Theorie der Abtastregelungen anhand eines praktischen Beispiels zu erläutern. Grundlage bilden dabei die in Kapitel 5 dargestellte Modellbildung und analoge Regelung eines Antriebs mit Gleichstrommotor. Vermittlung von Theorie und Erläuterung einer zugehörigen Regelung für Drehzahl und Lage erfolgen in Kapitel 6. In Kapitel 7 erfolgt die Beschreibung von DGLn höherer Ordnung (n $ 2) mit Hilfe der Zustandesraumtheorie, die dann vom Kontinuierlichen auf die diskrete Zustandsraumtheorie erweitert wird. Abschließend wird in Kapitel 8 die Regelung von zeitdiskreten Systemen mit Digitalreglern beschrieben. Dabei erfolgt die Reglersynthese in z, also im Diskreten. Version 2.0 18.09.2006, 11.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.wpd 3.1.1. Ausführliche Herleitung der angegeben Formel erfolgen u.1. 2.a.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. Transformation von y und dessen Ableitung y(t) F-------M F-------M Y(p) p*Y(p) .1. Bildbereichsgrößengroß Y(p) Sowohl die Laplace-Transformation (Abschnitt 2.4 2.1.1. 11. Laplace-Transformation Zeit-Bereich => Frequenz-Bereich oder Bildbereich Y(p) = £{y(t)} Y(p) M-------F y(t) (7) 2. Formeln zur Laplace-Transformation In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Formel der Laplace-Transformation wiederholt.y0 (9) (10) F-------M (11) F-------M (12) F-------M (13) Version 2. Rücktransformation Frequenz-Bereich => Zeit-Bereich y(t) = £ -1{Y(p)} y(t) F-------M Y(p) (8) Anmerkung: Zeitgrößen klein y(t) Frequenzgrößen.2006. in [3] bis [5].[3] bis [5]) durchgeführt. W iederholung analoge Theorie 2. Es sei darauf hingewiesen.0 18. Wiederholung analoge Theorie 2.1) als auch deren Rücktransformation (Abschnitt 2.wpd . 2.1. dass für die Symbole der Laplacevariablen sowohl „p“ als auch „s“ benutzt werden können.2) werden in der Praxis mit Hilfe von Tabellen (siehe Abschnitt 2.a.4) und Partialbruchzerlegung (siehe u.2.1.09. 1. 18. Verschiebungssatz Bild 5 £ T0 > 0 (27) Eine Verschiebung von y(t) um T 0 in Richtung der Zeitachse bewirkt im Bildbereich eine Multiplikation mit . Förderband.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.1. Signallaufzeit.2. Anmerkung: Beispiel: Die Verschiebung im Zeitbereich kann physikalisch als Totzeit (Laufzeit) gedeutet werden. 11.e -at (20) t*e -at (21) e -at*cos(w1t) e -at*sin(w1t) cos(w1t +j) (22) (23) (24) e -at*cos(w1t + j) (25) (26) Tabelle 1: Korrespondenztabelle der Laplace-Transformation 2.e -t/T (19) 1 .1. welches eine Verschiebung nach rechts bedeutet.5.09.wpd Version 2.0 .2006. D aher erscheinen physikalisch sinnvoll nur Totzeiten (Laufzeiten) größer Null. Form eln zur Laplace-Transform ation 5 2. Transformation und Rücktransformation mit Tabelle y(t) 1 = e(t) t = t*e(t) = r(t) Y(p) Nummer (14) (15) e -at (16) cos(w1t) (17) sin(w1t) (18) 1 .4. Bei der Funktion y1(t) wird “t” nur durch “ô” ersetzt: y 1(t) ÿ y 1(ô) In der Funktion y 2(t) wird “t” ersetzt durch “t-ô”: y 2(t) ÿ y 2(t-ô) Die Funktion y2 wird somit verschoben und gespiegelt. 2. siehe Bild 6. Die Integration erfolgt über ô.0 18. Die Integration erfolgt von ô = 0 bis ô = t. Version 2.7. siehe Bild 6. Dämpfungssatz gegeben: gesucht: Lösung: y(t) £{y(t)*e -at} £{y(t)*e -at} = Y(p+a) y(t)*e -at F---M Y(p+a) Y(p) (28) 2. ohne dass sich das Ergebnis ändert. Teilbild b. die von der Variablen ô abhängig sind. Die Aussage des Faltungsintegrals soll nun anschaulich verdeutlicht werden. t ist nur konstanter Parameter für das Integral. Die von der Variablen t abhängigen Funktionen y 1(t) und y 2(t) werden überführt in von der Variablen ô abhängigen Funktionen. Um das Faltungsintegral (29) für einen t-W ert zu bestimmen.09. müssen die zwei in Bild 6b darstellten Funktionen multipliziert und integriert werden. Faltungsintegral Das Faltungsintegrals verknüpft zwei gegebene Funktionen y 1(t) und y 2(t) mit Hilfe der Definition (29) zu einer dritten Funktion. Sowohl y1(t) als auch y2(t-ô) sind Funktionen.6 2.8.wpd . Faltungssatz y 1(t) y 2(t) F---M F---M Y 1(p) Y 2(p) Y(p) = Y 1(p)*Y 2(p) (30) Fazit: Die Transformation des Faltungsintegrals zw eier Funktionen ergibt die M ultiplikation der Laplace-Transformierten der Einzelfunktionen. Bild 6: Anschauliche Bedeutung des Faltungsintegrals Das Integral (29) kann für einen bestimmten (im Moment konstanten) Zeitpunkt t gedeutet werden. Die Zeit t ist in der Funktion y2 nur noch als konstanter Parameter anzusehen. 11.1.2006.6. Das Ergebnis wird durch die obere Integrationsgrenze wieder eine Funktion von t.1. Die Funktion y2 ist somit im Vergleich zur Funktion y1 um den Parameter “t” gefaltet. Ohne Beweis: Die Funktionen y 1 und y 2 dürfen auch getauscht werden. W iederholung analoge Theorie 2.1.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. 2.Breite infinitesimal klein. .2. D er ideale Einheitsstoß und die Einheitssprungfunktion 7 2. .2006.wpd . Der ideale Einheitsstoß und die Einheitssprungfunktion 2.2.1. 2.Amplitude unendlich.2. Bild 7: Grenzübergang von ô gegen Null ergibt: (33) Laplace-Transformieren von d(t) £{d(t)} = £ £* £{d(t)} = 1 d(t) F------M 1 (34) Version 2. Diracsche Funktion.Impulsfläche A = 1. .nur bei t = 0 von Null verschieden.2. Grenzwertsätze (31) (32) 2. Impulsfunktion der Fläche „1" Die spezielle Impulsfunktion Dirac-Impuls d(t) ist definiert durch folgende Eigenschaften: .09. Beschreibung des Impulses mit Hilfe von e-Funktionen und Grenzübergang => => Bild 7 verdeutlicht den Einfluss von kleineren ô.0 18. Anschaulich darstellen lässt sich der Impuls entweder durch ein Rechteck oder durch eine e-Funktion der Fläche 1.2. Definition des idealen Einheitsstoßes Anderer Name: Dirac-Impuls. 11.1.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. Bei kleiner werdenden ô steigt die Amplitude und die Impulsform wird deutlicher.9. 39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. .4. .2. multipliziert mit Fläche ungleich eins) : . 2. Bild 8: Impulsfunktion Diriac-Impuls erklärt anhand von Rechtecken der Fläche 1 (35) Laplace-Transformieren von d(t) £{d(t)} = £ £ £ £ d(t) F------M 1 Praktische Anwendung von Impulsfunktionen (ideale Einheitsstöße.09.8 2. 11.Einschalten einer idealen Spannungsquelle an C.3.0 18.Impulsantwort in der Regelungstechnik.Kraftstoß in der Mechanik . Die Einheitssprungfunktion Bild 9: Einheitssprungfunktion Der Einheitssprung e(t) nach Bild 9 ist definiert als: u(t) = 0 für t < 0 u(t) = 1 für t > 0 (36) Version 2. W iederholung analoge Theorie 2.2.wpd . Beschreibung des idealen Einheitsstoßes mit Hilfe von Rechtecken und Grenzübergang Bild 8 zeigt Rechtecke mit der Fläche 1.2006. 1.09.3. Ordnung nach Bild 10 ergibt sich für die Ausgangsgröße v die folgende DGL: (40) In der Regel sind in (40) mehrere b i gleich Null.3.3. Beschreibung von linearen System 2. unter Anwendung von (9) bis (13) auf (40) für ein System 4.3. Für ein System n.wpd (44) (45) (46) . Impulsantwort/Gewichtsfunktion W ird auf das System nach Bild 10 auf den Eingang der Einheitsimpuls nach Abschnitt 2. 11.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. Ordnung mit u als Eingangs.2.3. der Gewichtsfunktion v(t) = g(t) (Gewichtsfunktion) Einsetzen von (44) und (45) unter Anwendung von (34) in (42) ergibt: G(p) = £{g(t)} Die Laplace-Transformierte der Gewichtsfunktion ist die Übertragungsfunktion. Beschreibung von linearen System 9 2.2 (33) gegeben u(t) = d(t) (Idealer Einheitsstoß) antwortet das System mit der speziellen Impulsantwort. 2. Ordnung : V(p)[a 4*p 4 + a 3*p 3 + a 2*p 2 + a 1*p + a 0] = U(p)[b 3*p 3 + b 2*p 2 + b 1*p + b 0] (41) Die Übertragungsfunktion eines Systems wird definiert als das Verhältnis der Laplace-transformierten Zeitfunktionen von Ausgangs.2006.und v als Ausgangsgröße 2.zu Eingangsgröße: (42) Für das System nach Bild 10 ergibt sich durch Anwendung von (42) auf (41) die Übertragungsfunktion.B.5. Version 2. Zusammenhang zwischen Einheitssprung und Dirac-Impuls Der Einheitssprung (36) lässt sich mit Hilfe des Grenzwertes auch als eine Funktion angeben: (37) Differenzieren von (37) ergibt: (38) Der Vergleich von (38) und (33) lässt erkennen (39) dass die zeitliche Ableitung des Einheitssprunges e(t) die Gewichtsfunktion d(t) ist.3.0 18.2. Beschreibung durch die Übertragungsfunktion Mit v(t=0) ergibt sich z. Bild 10: System n. Beschreibung durch Differentialgleichungen (DGLn) Für die dynamische Beschreibung von Systemen benutzt man DGLn. (43) 2.2. wpd . Die Teilantwort des Systems auf den Teilimpuls (51) lautet: dv = g(t-t)*u(t) dt Zur Berechnung von v(t) muss (52) über t integriert werden: (52) (51) (53) Nach (53) lasst sich die Systemantwort mit Hilfe des Faltungsintegrals. genannt Übergangsfunktion: v(t) = h(t) (Übergangsfunktion) (48) Einsetzen von (47) und (48) unter Anwendung von (14) in (42) ergibt: H(p) = £{h(t)} (49) 2.2.09. dass die Ableitung des Einheitssprunges e(t) der Dirac-Impuls d(t) ist. berechnen.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. Version 2. W iederholung analoge Theorie 2.10 2. 11.2.4. Bild 11: Beliebiges Anregungssignal eines Systems Der in Bild 11 schraffierte Teil des Signals u(ô) kann angesehen werden als ein Teilimpuls der Fläche u(t) d t der zum Zeitpunkt t erfolgt. siehe (29).4 (36) gegeben u(t) = e(t) (Einheitssprung) (47) antwortet das System mit der speziellen Sprungantwort.3.2006.6.5.4 besagt. Damit ist die Gewichtsfunktion g(t) die Ableitung der Übergangsfunktion h(t): (50) 2. siehe Bild 11.3.3. Zusammenhang Übergangsfunktion h(t) und Gewichtsfunktion g(t) Die Gleichung (39) aus Abschnitt 2. Bei linearen Systemen lässt sich dieses auf die Antwort übertragen.0 18. Sprungantwort/Übergangsfunktion W ird auf das System nach Bild 10 auf den Eingang der Einheitssprung nach Abschnitt 2. Berechnung der Systemantwort bei beliebiger Anregung mit Hilfe der und Gewichtsfunktion Das Eingangssignal u(t) des Systems nach Bild 10 wird für einen infinitesimal kleinen Zeitraum dt zur Zeit t betrachtet. 4. P-Glied.Integrierbeiwert. I-Regelglied Blocksymbol Übergangsfunktion h(t) = t/T I Bodediagramm (58) DGL/Gleichung (59) (59) Gewichtsfunktion (60) (61) (60) Steigung in F -20 dB/Dekade Übertragungsfunktion (62) Tabelle 3: Integrierglied.4. Übertragungsfunktionen elementarer Übertragungsglieder Diese Übertragungsglieder wurden sehr ausführlich in [2] behandelt. P-Regelglied Blocksymbol Übergangsfunktion h(t) = K p*e(t) (54) Bodediagramm F = 20dB*ln(K p) DGL/Gleichung v = K p*u (55) Gewichtsfunktion g(t) = K p*d(t) (56) Übertragungsfunktion G(p) = K p (57) Tabelle 2: Proportionalglied. Integrierglied.4. I-Glied. I-Regelglied. 11.09.4. 2.1. Proportionalglied. P-Glied.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.Integrierzeit Version 2. Die Darstellungen hier erleichtert die W iederholung des Stoffes. siehe dort.2006. K I . Ü bertragungsfunktionen elem entarer Ü bertragungsglieder 11 2.2.0 18.wpd . K p Proportionalbeiwert 2. P-Regelglied.2. T I=1/K I . I-Glied. 4.4.wpd .3.2006. DT1-Glied Version 2.4. W iederholung analoge Theorie 2. Reales Differenzierglied mit Verzögerung 1.0 18.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. Ordnung.e -t/T) (63) Bodediagramm F Max = 20*lg(K P) DGL/Gleichung (64) (65) Gewichtsfunktion (66) Übertragungsfunktion Steigung für F (wT >> 1) -20 dB/Dekade (67) Tabelle 4: Verzögerungsglied 1.12 2.09. 11. Verzögerungsglied 1. Ordnung. Ordnung. PT1-Glied 2. PT1-Glied Blocksymbol Übergangsfunktion h(t) = K p*(1. Ordnung. DT1-Glied Blocksymbol Übergangsfunktion Bodediagramm DGL/Gleichung Gewichtsfunktion Übertragungsfunktion Tabelle 5: Reales Differenzierglied mit Verzögerung 1. wpd .39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.4. Verzögerungsglied 2.09. schwingungsfähig (J < 1) Version 2. Verzögerungsglied 2. Ordnung. PT2-Glied.2.0 18. Ordnung. Ü bertragungsfunktionen elem entarer Ü bertragungsglieder 13 2. 11. Ordnung.4. nicht schwingungsfähig Blocksymbol Übergangsfunktion (68) Bodediagramm DGL/Gleichung (69) (70) Gewichtsfunktion (71) (72) Übertragungsfunktion (73) F m = 20*lg(K P) (74) Tabelle 6: Verzögerungsglied 2.4.2006. nicht schwingungsfähig (J >1) 2. PT2-Glied. Ordnung. PT2-Glied. schwingungsfähig Blocksymbol Übergangsfunktion (75) DGL/Gleichung Bodediagramm (76) (77) Gewichtsfunktion (78) (79) Übertragungsfunktion F m = 20*lg(K P) (80) Tabelle 7: Verzögerungsglied 2. PT2-Glied.5.6. 7.14 2. W iederholung analoge Theorie 2. PIDT1-Regler Blocksymbol Übergangsfunktion Bodediagramm DGL/Gleichung Gewichtsfunktion Übertragungsfunktion Tabelle 9: PIDT1-Regler Version 2. PI-Regelglied Blocksymbol Übergangsfunktion (81) Bodediagramm DGL/Gleichung (82) v=x + K P*u (83) Übertragungsfunktion (84) Gewichtsfunktion (88) F m = 20*lg(K P) (85) (86) (87) Tabelle 8: PI-Regelglied K I = K P/T i = 1/ T I 2.4.2006.4.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.8.wpd .0 18. 11.09. Reglerdimensionierungsverfahren 2. Dieses ist mit einer Verringerung der Ordnung verbunden. Einfluss der Näherung a) Originalfunktion (PT3) b) Näherung PT2 c) Näherung PT1 Version 2.09. die Strecke beschreiben.0 18.5.1.2006.1) oder mit Hilfe der Sprungantwort/Übergangsfunktion (Abschnitt 2. kann man entweder mit Hilfe der Übertragungsfunktion oder des Frequenzgangs (Abschnitt 2.5. Vereinfachung der Übertragungsfunktion Das allgemeine System n-ter Ordnung (89) lässt sich mit Hilfe von Reihenentwicklungen annähern durch ein System 2. Dieses soll am Beispiel gezeigt werden. Um für diese Strecken Regler zu entwerfen.A.1.1.5. Vereinfachen. dass im unterem Frequenzbereich (ù < 1/9 s) die Näherung mit den PT1-Glied (93) noch gute Ergebnisse liefert.5.1. bzw.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. (93) und (94) in einem Bodediagramm dargestellt. Die Näherung mit den PT2-Glied (94) zeigt noch für etwas größere Frequenzen eine gute Näherung.1. Ordnung (91) Die Näherungen (90) und (91) können später für einen Reglerentwurf genutzt werden.5. Ordnung als PDT2-Glied (90) oder einfacher als PT2-Glied oder durch ein System 1. Reglerdim ensionierungsverfahren 15 2. Ersatzübertragungsfunktion Im allgemeinen sind die zu regelnden Strecken dynamische Systeme höherer Ordnung.5. Bild 12: Bodediagramm. Die Übertragungsfunktion (92) wird mit Hilfe von (90) und (91) angenähert: (93) (94) Zum Vergleich sind (92). Bei Näherungen ist immer auf den Gültigkeitsbereich zu achten. erfolgt i.wpd .2. Bild 12 zeigt.3) 2. eine Vereinfachung der Strecke. 11. (siehe (73)/(74)) mit den Zeitkonstanten T e1 und T e2 sowie der Verstärkung K Pe angenähert werden: (98) Version 2. W iederholung analoge Theorie 2.3. Überführung der Sprungantwort/Übergangsfunktion in eine Übertragungsfunktion Bei vielen Systemen kann man eine Sprungantwort/Übergangsfunktion aufnehmen und aus dieser eine Ersatzübertragungsfunktion herleiten. Bild 13: Annäherung der Ü bergangsfunktion durch ein PT1-Glied hier: K Pe = 6.5.1.1.1.5.1. 2.4) Totzeitglied oder eine Kombination oberer Näherungen.5.1.3. PT1-Glied Verläuft die Übergangsfunktion in der Form nach Bild 13.2.3. 11. kann diese durch ein PT1-Glied mit der Zeitkonstanten T e und der Verstärkung K Pe angenähert werden: (97) Die W erte K Pe und T e können aus Bild 13 abgelesen werden.2.3.2006.09.wpd . PT2-Glied nicht schwingungsfähig Verläuft die Übergangsfunktion in der Form nach Bild 14.5.1.6 < J < 1 (Abschnitt 2.1.3) PT2-Glied stark schwingungsfähig.5.0 18.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. Das Totzeitglied ist leicht aus der Sprungantwort zu beschreiben und soll hier nicht behandelt werden. J < 0. kann diese durch ein PT2-Glied.2) PT2-Glied leicht schwingungsfähig. T e = 40 ms 2.3.5.1) PT2-Glied nicht schwingungsfähig. Als Ersatzübertragungsfunktionen werden im allgemeinen verwendet: PT1-Glied (Abschnitt 2.6 (Abschnitt 2. Ersatzübertragungsfunktion des Totzeitgliedes Das Totzeitglied mit der Übertragungsfunktion in p (95) wird in eine Reihe entwickelt: und nach den ersten Glied abgebrochen: (96) Nach (96) kann ein Totzeitglied mit der Laufzeit T t in erster Näherung durch ein PT1-Glied mit Ersatzzeitkonstanten T t an genähert werden.16 2.1.3.5. 0.3.1. J > 1 (Abschnitt 2. 2.5. 8 vom Endwert erreicht haben.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.46 Die Ersatzzeitkonstanten ergeben sich dann zu: T e1 = 0.5. Die beiden Zeiten geben die Stellen an.1 und 0.167 Aus Bild 15 kann abgelesen werden: a = T 1/T 08 = 0.2 s = 0.2 s K Pe = 10 Das Verhältnis wird berechnet: T 01/T 08 = 1. J >1 Die Ersatzverstärkung K Pe kann aus Bild 14.46*7.21 b = T 2/T 08 = 0.2 s/7.09.2 s = 3.2. Hinweis: Dieses Verfahren kann nur bei Systemen ohne Totzeit angewendet werden.21*7.5 s T e2 = 0. Die Ersatzzeitkonstanten T e1 und T e2 werden mit Hilfe der zwei Zeiten T 01 und T 08 (siehe Bild 14) identifiziert. Reglerdim ensionierungsverfahren 17 Bild 14: Annäherung der Übergangsfunktion durch ein PT2-Glied.3 s Version 2. T 08 wird aus der Übergangsfunktion (Bild 14) abgelesen.wpd .2006. Beispiel: Für die Übergangsfunktion nach Bild 14 lassen sich ablesen: T 01 = 1. Aus dem Verhältnis T 01 und T 08 werden nach Bild 15 die W erte T 1/T 08 und T 2/T 08 abgelesen. 11. aus dem Endwert direkt abgelesen werden. Bild 15: Zeitkonstante T e1 und T e2 eines PT2-Gliedes (J > 1) als Funktion vom Verhältnis T 01/T 08 Für die Ersatzzeitkonstanten T e1 und T e2 aus (301) erhält man T e1 = (T 1/T 08)*T 08 = a*T 08 (99) T e2 = (T 2/T 08)*T 08 = b*T 08 wobei sich T 1/T 08 und T 2/T 08 aus Bild 15 ergeben.0 18.2 s = 1.2 s T 08 = 7. bei denen die Übergangsfunktion 0. wpd . 11.3. kann der Überschwingungsgrad schlecht ermittelt werden.09.2 die Zeiten T 01 und T 08 ermittelt. an denen die Übergangsfunktion 0. W iederholung analoge Theorie 2.6 < J < 1 Verläuft die Übergangsfunktion nach Bild 16. Da die Übergangsfunktion aus Bild 16 stärk gedämpft ist. 0. Aus dem Verhältnis der Zeiten T 01/T 08 werden aus Bild 17 die Kenngrößen ablesen: J (101) Version 2. 0.8 des Endwertes erreicht.3.0 18.1 bzw.2006.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.3.1. PT2-Glied. leicht schwingungsfähig Bild 16: Annäherung der Übergangsfunktion durch ein PT2-Glied.1. kann diese durch ein PT2-Glied nach (80) angenähert werden: (100) Die Ersatzverstärkung K Pe kann nach Bild 16 aus dem Endwert direkt abgelesen werden.5.18 2. Deshalb werden wie in Abschnitt 2.5. 5. Reglerdim ensionierungsverfahren 19 Bild 17: Kenngrößen eines schwingungsfähigen PT2-Gliedes aus dem Verhältnis der Zeiten T 01/T 08 a) Dämpfung J b) w0. 11.870 s = 0.9 wo*T 08 = 2.193.0 18.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.747 T 08 = 3.09.2006.7 Berechnung von w0 ergibt nach (101): Version 2. bezogen auf T 08 Beispiel: Aus der Übergangsfunktion nach Bild 16 lassen sich ablesen: K Pe = 10 T 01 = 0. Damit kann aus Bild 17 abgelesen werden: J = 0.wpd .2.870 s Das Verhältnis wird berechnet: T 01/T 08 = 0747 s/3. 6 Aus Bild 18 kann der relative Maximalwert (102) abgelesen werden.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. Nach (75) beträgt die Kreisfrequenz (103) Aus (103) kann das gesuchte ù 0 bestimmt werden: (104) Bild 19: Dämpfung eines PT2-Gliedes als Funktion des relativen Maximalwertes Beispiel: Für die Übergangsfunktion nach Bild 18 lassen sich ablesen: K e = 10 h max = 11.0 18.wpd . Die Ersatzverstärkung K Pe kann auch hier aus den Endwert der Übergangsfunktion (Beharrungswert) abgelesen werden. W iederholung analoge Theorie 2.09. Aus Bild 19 kann mit dem W ert von (102) direkt in die gesuchte Dämpfung J abgelesen werden.3. J < 0.6 T p/2 = 8. kann diese auch durch ein PT2-Glied nach (100) angenähert werden.3. T p/2. 11.2006.4.4 s = 5.2 s Aus Bild 19 lässt sich mit ablesen: Nach (104) ergibt sich: J = 0.6 s .1.5. PT2-Glied stark schwingungsfähig Verläuft die Übergangsfunktion in der Form nach Bild 18. W eiterhin ist aus Bild 18 die Periodendauer abzulesen bzw.5 Version 2. Bild 18: A n nä he rung der Ü b e rga ngsfunktio n durch ein PT2-Glied.20 2. Aus Bodediagramm erkennbar: Für ù # 3 s -1 ist eine gute Übereinstimmung zwischen Näherung 1. Ordnung G E2(p) an.1.Original G E2(p) = Näherung 2.0 18.1 Beispiel 1: Gegeben ist die Übertragungsfunktion a) Geben Sie eine Ersatzübertragungsfunktion 2. Ordnung G E1(p) an. Ordnung G E2(p) an. Ordnung G E1(p) = Näherung 1.2006. a) b) c) G(p) .09. Ordnung G E1(p) an. 20 ms + 40ms =60ms b) Geben Sie eine Ersatzübertragungsfunktion 1. für Näherung 2. Version 2. c) Stellen Sie Originalübertragungsfunktion und die 2 Ersatzübertragungsfunktionen im Bodediagramm dar.5. muss ù D (Durchtrittskreisfrequenz) im Bereich der gut angepassten W ert liegen.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. Verwendet man die Ersatzübertragungsfunktion zur Reglerauslegung. Beispiele und Aufgaben zu Abschnitt 2. Ordnung bin etwa ù # 20 s -1.wpd .2. b) Geben Sie eine Ersatzübertragungsfunktion 1.4.3 s = 0. Ordnung und der gegebenen Übertragungsfunktion gegeben. 11.5. Ordnung d) Schätzen Sie den Bereich der Näherung ab.36 s c) Stellen Sie Originalübertragungsfunktion und die 2 Ersatzübertragungsfunktionen im Bodediagramm dar.5. Lösungsweg: a) Geben Sie eine Ersatzübertragungsfunktion 2. 60 ms + 0. d) Schätzen Sie den Bereich der Näherung ab. Reglerdim ensionierungsverfahren 21 2. a) Bestimmen Sie eineErsatzübertragungsfunktion 2.5*g(t) Die Strecke hat die dargestellte Sprungantwort. Version 2. Ordnung.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. Ordnung. 11.wpd . W iederholung analoge Theorie Beispiel 2: Eine Strecke wird am Eingang mit einem Sprung der Höhe 0. Ordnung. Ablesen aus Sprungantwort: T T = 50 ms Totzeit eines Laufzeitgliedes T V1 = 100 ms Verzögerungszeit eines PT1-Gliedes t64 Eingang u End = 0. Lösungsweg: a) Bestimmen Sie eine Ersatzübertragungsfunktion 2.09.2006.0 18. b) Bestimmen Sie eine Ersatzübertragungsfunktion 1.5 beaufschlagt: u(t) = 0.5 Ausgang v End = 12 b) Bestimmen Sie eine Ersatzübertragungsfunktion 1.22 2. Ordnung. 2.wpd .3 Vend = 15 Vmax = 18.09.5 T p/2 = 0.3*s(t) Die Strecke hat die dargestellte Sprungantwort. Reglerdim ensionierungsverfahren 23 Beispiel 3 Eine Strecke wird am Eingang mit einem Sprung der Höhe 0.58 s Berechnung: Abgelesen aus Bild 19:h = 0.5. Bestimmen Sie eine Ersatzübertragungsfunktion.0 18.35 s = 0.93 s . 11.5 beaufschlagt: u(t) = 0.2006.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.0. Lösungsweg: Ablesen aus Diagramm: u End = 0.42 Nach (104) ergibt sich Version 2. 1. 2. Version 2. Aufgabe 2. Ordnung G E2(p) an. Geben Sie eine Ersatzübertragungsfunktion 1.1 A Gegeben ist die Übertragungsfunktion a) b) c) d) Geben Sie eine Ersatzübertragungsfunktion 2.24 2. 11.wpd . Dämpfung einer Strecke 2.5. Ordnung G E1(p) an. bestimmen Sie eine Ersatzübertragungsfunktion. W iederholung analoge Theorie Aufgabe 2.2.B (Thema: Ersatzübertragungsfunktion aus Sprungantwort) Die folgenden Übergangsfunktionen wurden aufgenommen.2006. Schätzen Sie den Bereich der Näherung ab. Ordnung Eine Übertragungsfunktion 2.0 18.5.5. Ordnung (105) kann auch angegeben werden in der Form (106) Durch Koeffizientenvergleich von (105) und (106) ergibt sich => (107) => (108) Die Nullstellen von (106) bestimmen den Einschwingvorgang und ergeben sich zu: (109) Die Lage der Nullstellen (109) in der komplexen Ebene verdeutlicht Bild 20.09. Stellen Sie Originalübertragungsfunktion und die 2 Ersatzübertragungsfunktionen im Bodediagramm dar.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. sondern allgemein für Strecken n-ter Ordnung. Bei J = 1 stellt sich der aperiodische Grenzfall ein. aufklingend (116) (117) (118) Die oben angegebenen Stabilitätsbedingungen (116) bis (118) gelten nicht nur für eine Strecke 2.0 18. Version 2. desto gedämpfter ist die Schwingung.wpd . w0-Kennkreisfrequenz Eigenfrequenz Die homogene Lösung (Einschwingvorgang) zu (105/106) lautet: (112) (113) Dämpfungsgrad (111) (114) Mit (112) und (113) lässt sich (114) angeben als: (115) Je größer der Faktor J.7 etwa nur 4 % Überschwingungen bei der Sprungantwort. Verstärker) vorhanden. Reglerdim ensionierungsverfahren 25 Bild 20: Lage der Pole (Eigenwerte) in der komplexen Ebene Aus (109) ergibt sich: (110) Nach (110) ist der Betrag der Nullstellen gleich w0. Sind aktive Elemente (z. Nur wird hier ohne aktive Elemente der instabile Arbeitspunkt nicht erreicht. Dabei sind alle n-Pole der Strecke zu bestimmen. stellt sich Stabilität ein. 11. kann Instabilität auftreten. Theoretisch gibt es auch bei passiven Strecken (z. R-L-C-Schwingkreise) weist immer Stabilität auf (L-C bedeutet nur theoretisch die Stabilitätsgrenze).5. Hinweis 2: Ein passives Element (z. J = 1 bedeutet die Grenze zum Überschwingungen. Nur ein Pol kann schon die Instabilität oder die Stabilitätsgrenze bewirken. Hinweis 1: Die Nullstellen des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion sind auch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms in l bei der Bestimmung der homogen Lösung der zu gehörigen DGL. Ist (114/115)abklingend. Ordnung (wie hergeleitet).39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.B. labil Instabilität. Stabilität Die Stabilität lässt sich aus der homogen Lösung der DGL herleiten.B.2. Dann kann J auch als Kosinus des W inkels a aus Bild 20 angesehen werden: J = cos(a) Aus (109) kann abgelesen werden: t-Abklingzeitkonstante. der Übergang von konjungiert komplexen zu reellen Nullstellen. magnetischen Aufhängung) Instabilität.09.2006.B. J = 0. Aus (109) und (114) folgt: Re(p K ) < 0 Re(p K ) = 0 Re(p K ) > 0 => => => Stabilität Stabilitätsgrenze. 2006.wpd .5.1 kann mit einem I-Regler geregelt werden.0 18.5. Bild 21: Mit der Übertragungsfunktion des Regelgliedes Regelung einer PT1-Strecke mit I-Regler (119) und der Strecke mit der Verstärkung K P und der Ersatzzeitkonstanten T e (120) ergibt sich aus (119) und (120) für die Übertragungsfunktion des offenen Kreises: (121) Mit der Abkürzung (122) lässt sich (121) angeben durch: (123) Die Übertragungsfunktion des geschlossen Kreises für ein System nach B ild 21 ohne Übertragungsfunktion im Rückführzweig kann sich wie folgt berechnet werden: (124) Durch Einsetzen von (123) in (124) ergibt sich: (125) Die Integrationszeit T IK soll durch Vorgabe der Dämpfung J nach Abschnitt 2.09.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. 11.5. siehe Bild 21. W iederholung analoge Theorie 2. Der Vergleich von (125) mit (106) lässt erkennen: (126) (127) Durch Einsetzen von (127) in (126) ergibt sich: Version 2.1 erfolgen.3. Regelung einer PT1-Strecke mit einem I-Regler durch Vorgabe der Dämpfung Eine Strecke mit einer Ersatzübertragungsfunktion nach Abschnitt 2.26 2. Die Übertragungsfunktion des offenen Kreises (130) sollte zur analytischen Reglersynthese 2. Dazu könnte man T i zu T 1 oder T 2 setzen. der Integrierbeiwert K I des Regelgliedes bestimmen: T I = K p*4*J 2*T e . Pol-Nullstellen-Kompensation Bild 22: Beispiel für Pol-Nullstellen-Kompensation.3 (letzter Abschnitt) bestimmt werden. 11. K I = 1/T I .2006. wo eine PT2-Strecke mit Hilfe eines PI-Reglers geregelt werden soll. Ordnung sein.wpd .4. wählt man: Ti = T2 Mit (131) kürzt sich in (130) eine Nullstelle gegen eine Polstelle.09. Version 2.5.5. T 2 > T 1 Am Beispiel nach Bild 22 soll die Pol-Nullstellen-Kompensation erläutert werden. W ill man die Regelung möglichst schnell machen.0 18.2.5. (127) und (128) lässt sich die Integrierzeit T I bzw. Reglerdim ensionierungsverfahren 27 T IK = 4*J 2*T e (128) Durch Verknüpfung von (122) und (128) bzw. (129) Zusammenfassung (Kopie 123) T IK = 4*h 2*T e (Kopie 128) 2.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. und man erhält: (131) (132) mit hat (132) die gleiche Struktur als (123) und T IK kann mit Hilfe von (128) aus Abschnitt 2. 11.5.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.1.2 s = 0. W iederholung analoge Theorie Beispiel zu den Abschnitten 2. Sprungantwort der geregelten Strecke Version 2.7 s T e = T 12 = 0.7 s = 2.2 s T 1 = 0.5.2006.3 und 2.4 K S = 0. Lösungsweg: Es wird gewählt (damit schnell): Ti = T3 = 2 s Ersatzübertragungsfunktion T 12 = T 1 + T 2 = 0.09. Bild 24: Struktur Probe Beispiel mit Matlab Bild 25: Beispiel.5.wpd .28 2.8 s Probe mit Matlab nach Bild 24 ergibt die Sprungantwort der Regelung nach Bild 25.4 T 2 = 0. 2.7 s Aus (128) ergibt sich mit h = 1 (ohne Überschwingen): T IK = 4*h 2 *T e = 4*1 2*0.0 18.5 s T3 = 2 s Bild 23: Die PT3-Strecke nach Bild 23 Struktur der Regelung für Beispiel soll mit einen PI-Regler möglichst schnell ohne Überschwingen geregelt werden.5 s + 0. mit wg : 3dB-Bandbreite Achtung: Stellgliedverhalten bzgl. Die Phasenreserve ist die Differenz des Phasengangs des aufgeschnittenen Regelkreises zu -180 o bei der Durchtrittsfrequenz wc.09.08 s T 3 = 0. am besten G o(s=0) 6 4 (I-Anteil(e)).2006.5.2.4. S Parameterunempfindlichkeit 20*lg (| G o (s)|) durchdringt mit möglichst geringer Steigung die 0db-Linie (> -20 db / Dekade).wpd .5.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. Zunächst wird der Entwurf im Bodediagramm dargestellt. die in der Veranstaltung Prozessrechentechnik angewendet werden.04 s T 2 = 0. Dämpfung Ortskurve von G 0 (s) muss in hinreichendem Abstand vom kritischen Punkt verlaufen (s. Reglerentwurf im Bodediagramm In diesem Abschnitt werden die Reglerentwurfsverfahren aus der Vorlesung Regelungstechnik [2] aufgeführt.und Zeitverhaltens (Phasenverschiebung. 2. Reglerdim ensionierungsverfahren 29 Aufgabe 2.2. c) Schnelligkeit. S Abschätzung des Einflusses von Parameteränderungen.5. G s(s) |jw kann analytisch oder experimentell gefunden werden.1.A K S = 3 T 1 = 0.5. Nyquistkriterium) => Pasenreserve j m (Betragsreserve G m) muss angemessen groß sein für S gutes Führungsverhalten: 50 o < j m < 80 o (12dB < G m < 20dB) S gutes Störverhalten: 20 o < j m < 60 o ( 4dB < G m < 12dB) b) Bleibende Regeldifferenz e 4 soll hinreichend klein sein (Verstärkung bei t => 4 sehr groß). 11.0 18. Syntheseaufgabe W ie muss der Reglerfrequenzgang von G R(s) die Kreisübertragungsfunktion des offenen Kreise G o(s) verändern. M erkmale des Bodediagramms Anschauliche Darstellung des Systemverhaltens mit S Abschätzung des Verstärkungs.5.5. 2. Bandbreite und Beschränkung.5. 2. der Führungssprungantwort) Für die Anstiegszeit T sr gilt (Näherungsbetrachtung für G 0 (s) durch hinreichend gedämpftes System zweiter Ordnung): .B. Anstiegszeit (z.6 s Die dargestellte PT3-Strecke soll mit einen PI-Regler möglichst schnell mit 4% Überschwingen geregelt werden. "Schnelligkeit") in Abhängigkeit der Kreisfrequenz. Reglerentwurf erfolgt über Darstellung der Kreisübertragungsfunktion des offenen Kreises G o(s)=G R(s)*Gs(s). bei dem durch ein Regelglied eine definierte Phasenreserve j m oder Amplitudenreserve G m eingestellt wird.5. S Streckenfrequenzgang. damit der geschlossene Kreis folgende Anforderungen erfüllt: a) Stabilität. Version 2. Einstellung der Phasenreserve mit PID-Regler W irkung: vereint die Merkmale von P-. 11.5. Phase bleibt unverändert! Entwurf: | G o | mit K PR verschieben.wpd . PD-Regler. nicht genauer Phase anheben.6.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. stabiler.(PID-) Regler wählen nein: PD. Das Moment wird integriert zur Größe Geschwindigkeit (Drehzahl). d.5.30 2.5.5. Reglerentwurf symmetrisches Optimum (siehe Abschnitt 6. große Stellgrößen bei schnellen Änderungen der Regeldifferenz. In diesem Fall kann die Regelung für x 3 langsamer sein als die für die erste und zweite Größe. jedoch nicht schneller Entwurf: S | G o | für die Ermittlung von K PR wie beim P-Regler einstellen. dabei j m durch zusätzliche Phasenreserve Än(10° < Än > 15°) größer als gewünscht wählen.0 18.5. Einstellung der Phasenreserve mit PI-Regler W irkung: Regelung wird genauer. kann jede Ausgangsgröße einzeln geregelt werden.6.3. Einstellung der Phasenreserve mit PD-Regler (real: PDT1-Regler. Achtung: 1/T n nicht zu klein wählen (T n zu groß). damit wc größer werden kann ( 1/T d in die Nähe der Durchtrittsfrequenz wc des unkompensierten Falles) Achtung: D-Anteil problematisch: Störungen werden verstärkt. Größe x 2.09. Anwendung findet die Kaskadenregelung sehr häufig bei der Regelung von Antriebsmaschinen.5. die Regelung für x 2 kann wiederum langsamer sein als für die erste Größe. Bei einer Gleichstrommaschine wäre y die Spannung und x 1 die Größe Strom oder Moment.5. Kaskadenregelung Bild 26: Mögliche Reihenschaltung einer zu regelnden Strecke Lässt sich eine zu regelnde Strecke gemäß Bild 26 als Reihenschaltung mehrerer Übertragungsfunktionen mit kleiner werdender D ynamik darstellen.° S Knickfrequenz 1/T n des PI-Reglers so legen. ggf.4. Einstellung der Phasenreserve mit P-Regler W irkung: nur Einfluss auf Betragsgang. sonst tritt einschleichendes (kriechendes) Verhalten auf! Fragen: wc groß genug? nein: PID-Regler wählen 2.2.2006.7.6.4) 2. Nochmalige Integration ergibt die Position (Drehwinkel). 2. PI-. x 2 und x 3 wird ein Version 2.5.(PID-) Regler wählen 2. Größe x 3. W iederholung analoge Theorie 2. die Verzögerungszeit von G S1 ist kleiner als die von G s2 und die ist wiederum kleiner als die von G S3. 2.5. Für jede der Größen x 1. Fragen: S |G o (0)| für gewünschte Regeldifferenz groß genug? S w c groß genug? nein: PI.5.h. die Regelungen bilden dann eine Kaskade.5. bis gewünschte Phasenreserve j m erreicht wird. dass zusätzliche Phasenreserve Dj durch Phasengang dieses Regelgliedes aufgehoben wird . Lead-Glied) W irkung: Entwurf: Regelung wird schneller. Reglerentwurf Betragsoptimum xxx noch 2. Geben Sie die Struktur an. 11.wpd . G Mess2(p) und G S2(p) kann der Regler der zweiten Kaskade ausgelegt werden. Mit G eW1(p). Kaskadenregelung 31 eigener Regler dimensioniert. Bild 27: W irkungsplan einer dreischleifigen Kaskadenregelung Für die Strecke nach Bild 26 wir unter Nichtbeachtung der Größen x 2 und x 3 der x 1-Regler für die Große x 1 nach bekannten Verfahren dimensioniert. Dimensionierung der nächsten Kaskade. Bild 29: W irkungsplan der mittleren Kaskade Nach bekannten Verfahren wird der x 2-Regler nach Bild 29 entworfen. Version 2.6. Damit die Dimensionierung des x 2-Reglers einfacher wird.5.1) vereinfacht werden.B. ergibt sich für den geschossenen Kreis zwischen m 2 und x 1 deren Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises: (133) Bild 28: W irkplan der inneren Kaskade Im allgemeinen ist (133) von höherer Ordnung.6. Aufgabe 2. Bild 27 zeigt die Struktur.2006. Zur besseren Übersicht ist dieser Teil aus Bild 27 nochmals in Bild 29 dargestellt.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.09.0 18. kann z. (133) mit Hilfe einer Ersatzübertragungsfunktion G e1(p) (siehe Abschnitt 2. Ist der x 1-Regler dimensioniert.2. Struktur siehe Bild 28. Danach wiederholt sich das gleiche Schema: Bilden der Übertragungsfunktion von m 3 nach x 2.A Bild 30: In Kaskade zu regelnde Strecke Die Streck nach Bild 30 soll in Kaskade geregelt werden. Beschreibung der Ersatzübertragungsfunktion. 11.7.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. W iederholung analoge Theorie 2. Weitere nützliche regelungstechnische Formeln 2. Mit und den Umformungen a 2*p 2 + a 1*p +1 = 1 ergeben sich die zwei Verzögungszeiten des PT2-Gliedes (137) (138) Version 2.7. Linearfaktorzerlegung PT2-Glied Das allgemeine PT2-Glied (nicht schwingungsfähig) soll in die Linearfaktoren zerlegt werden. Offener Kreis. Sonderfall Rückführung 1 Um schneller die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises nach Bild 31 zu bilden (134) wird die Übertragungsfunktion des offenen Kreises aufgespalten in Zähler.32 2.2006.und Nennerpolynom (135) Durch Einsetzen von (135) in (134) ergibt sich (136) 2. geschlossener Kreis Bild 31: Struktur zur Bildung des geschlossenen Kreises.1.wpd .09.0 18.2.7. RT-W iederholungsaufgabe 1 (ohne Unterlagen) Geben Sie an.2. die Laplace-Tranformierten der folgenden Funktion für die gilt : u(t<0) =0 und a) u(t) = 5 V b) u(t) = 6mV*e -t/T1 -t/4ms c) u(t) = 2 V*(1 .09. Wiederholungsaufgaben zu Regelungstechnik (RT) Diese W iederholungsaufgaben sind kein Inhalt der Vorlesung PRT. b) Geben Sie dessen Laplace-Tranformierte an.8. sollte die Lösung dieser Aufgaben keine Schwierigkeit bedeuten. Diese W iederholungsaufgaben sind gedacht für Studierende die vor länger Zeit RT gehört haben und nicht mehr ganz so fit sind in RT.wpd . 11.0 18. RT-W iederholungsaufgabe 6 a) Skizzieren Sie einen realen Einheitsimpuls der Form y(t) = K*e -t/10µs b) Geben Sie dessen Laplace-Tranformierte an.2006. Version 2. Für Studierende die den Stoff der Vorlesung Regelungstechnik (RT) verstanden haben. W iederholungsaufgaben zu Regelungstechnik (RT) 33 2.5 V u 0N = 4 Vs -1 u 0O = 6 Vs -2 RT-W iederholungsaufgabe 4 Geben Sie die Laplace-Tranformierte des dargestellten Zeitverlaufs an.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2.e ) d) u(t) = 5 V*sin(40*s -1*t) -1 e) u(t) = 3 V* cos(2*s *t) f) u(t) = 78 mV*e -t/2ms*[cos(3*s -1*t) + 4*sin(3*s -1*t) g) u(t) = = 8 V t$ 2 s u(t) = 0 t<2s RT-W iederholungsaufgabe 2 (ohne Unterlagen) Geben Sie die Zeitfunktionen der folgenden Laplace-Tranformierten an: a) b) c) d) e) f) RT-W iederholungsaufgabe 3 Geben Sie die Laplace-Tranformierte der folgenden der folgenden Zeitfunktion mit Anfangsbedingungen an. RT-W iederholungsaufgabe 5 a) Skizzieren Sie einen realen rechteckförmigen Einheitsimpuls der Breite ô = 10 µs.7. a) 4*u’ u(t=0) = u 0 = 5 V b) 6*iO i0 = 5 A i0' = 2 As -1 c) 5*uO + 2*uN + 3*u u 0 = 2. Geben Sie die Übertragungsfunktion G(p) an.wpd . u(t) = K*s(t) Der Ausgang antwortet mit V(p) = {v(t)}. RT-W iederholungsaufgabe 11 Für ein P-Glied mit K p = 10 ist: a) Die Sprungantwort für u(t) = 0. Geben Sie die Übertragungsfunktion G(p) an RT-W iederholungsaufgabe 10 Ein System wird am Eingang mit einem Sprung beaufschlagt. RT-W iederholungsaufgabe 13 Für ein I-Glied mit T I = 5 ms ist: a) Die Sprungantwort für u(t) = 0. Die Ausgang antwortet mit V(p) = {v(t)}.34 2. b) Das Bodediagramm zu skizzieren. b) Das Bodediagramm zu skizzieren. 11. Die Antwort sei v(t) = g(t). c) Die Übertragungsfunktion anzugeben. Version 2.7 V zu skizzieren Kennzeichnen Sie in der Skizze T i und T I.7 V zu skizzieren. W iederholung analoge Theorie RT-W iederholungsaufgabe 7 a) b) Geben Sie die allgemeine DGL für ein System 3. RT-W iederholungsaufgabe 8 Ein System wird am Eingang mit dem Einheitsimpuls u(t) = ä(t) beaufschlagt.7 V zu skizzieren. RT-W iederholungsaufgabe 12 Für ein PT1-Glied mit K p = 10 und T 1 = 5 ms ist: a) Die Sprungantwort für u(t) = 0.09. Ordnung an. c) Die Übertragungsfunktion anzugeben. W ie bestimmt man aus v(t) die Übertragungsfunktion RT-W iederholungsaufgabe 9 Ein System wird am Eingang mit U(p) = {u(t)} beaufschlagt. K p = 10 ist: a) Die Sprungantwort für u(t) = 0. c) Die Übertragungsfunktion anzugeben.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. c) Die Übertragungsfunktion anzugeben. Gegen Sie die zugehörige Übertragungsfunktion an. RT-W iederholungsaufgabe 14 Für ein PI-Glied mit T i = 2 ms.0 18. b) Das Bodediagramm zu skizzieren.2006. b) Das Bodediagramm zu skizzieren.7 V zu skizzieren. K p = 10 ist: a) Die Sprungantwort für u(t) = 0. T 1 = 0.2.09.1 s und T 2 = 10 s den W ert h an.2006. 11. b) Das Bodediagramm zu skizzieren.7 V zu skizzieren Kennzeichnen Sie in der Skizze T i und T I.7.39 Uhr C:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_06_07_Kap_1_Kap_2. W iederholungsaufgaben zu Regelungstechnik (RT) 35 RT-W iederholungsaufgabe 15 Für ein PI-Glied mit T I = 5 ms.wpd .0 18.7 einstellen. RT-W iederholungsaufgabe 19 Gegeben ist ein schwingungsfähiges PT2-Glied. RT-W iederholungsaufgabe 20 W ann ist ein PT2 Glied stabil? a) In Bezug auf die Pole? b) In Bezug auf h? c) In Bezug auf die Koeffizienten a 0. a 1 und a 2? Version 2. RT-W iederholungsaufgabe 17 W as bedeutet bei einem PT2-Glied schwingungsfähig ? RT-W iederholungsaufgabe 18 Geben Sie für ein PT2-Glied mit K p = 10. Bestimmen Sie a 2 und a 1 damit sich die Parameter ù 0 = 20 s -1 und h = 0. RT-W iederholungsaufgaben 16 Geben Sie 3 allgemeine Formen eines PT2-Gliedes an. c) Die Übertragungsfunktion anzugeben.