Distribución De Probabilida d Normal UNIVERSIDAD PACCIOLI DE CÓRDOBA LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS PROYECTO DE CLASE Estadística II JEHU ROJAS GONZÁLEZ JESUS SANGUINO MEDINA LAEMI IV MTRO. ERNESTO MORAN CABRERA Presentación En este siguiente artículo basaremos nuestro proyecto en la aplicación de métodos estadísticos, en el cual ocuparemos diferentes tipos de pasos, realizamos un marco teórico en el que se habla de las diferentes teorías que determinamos investigar que se extrajo del libro y artículos de fuentes distintas de la Estadística. El presente documento nos ocupamos en recolectar diferentes conceptos básicos de la estadística, usaremos palabras claves para identificar los conceptos más prácticos. De probabilidad binomial, distribución probabilística binomial e inferencia estadística. Adjuntamos casos prácticos utilizando los tipos de fórmulas, ampliando con la teoría explicativa obtenida, como para que se utiliza la frecuencia binomial y en qué casos aplicarla. Finalizamos nuestra presentación al explicar y analizar casos prácticos de probabilidad binomial, distribución probabilística e inferencia estadística. Los objetivos de nuestro artículo es ayudar a conocer más, clara y precisa la información que empleamos en nuestra vida cotidiana a ser más eficientes y didácticos. ya que la estadística que reúne.ayudando con referencias sencillas. así podemos llegar a una conclusión y así facilitar nuestros objetivos. Al desarrollar nuestro proyecto Asemos referencias que este es de gran ayuda a nuestra carrera y profesionalismo como individuos y aplicar correctamente los métodos estadísticos. . organiza. recuenta. A desenvolvernos en nuestra sociedad a tener más capacidad de entendimiento con nuestra realidad. tabula los hechos. dando u mostrando casos prácticos y sus pasos para elaborar el cálculo.Propósito Mostrar los pasos correctos tanto metodológicos prácticos ocupándonos en el análisis de la distribución probabilista normal. . siendo de especificidad dentro del ámbito administrativo . Introducción Hoy en día la estadística ha llegado a tal grado de perfeccionamiento y especialización. en la cual no se apliquen los métodos estadísticos como una herramienta de trabajo valiosísima e insustituible. El siguiente escrito y fuente de información tiene como objetivo la orientación estadística a los problemas que surgen en las empresas y mediante datos numéricos poder tomar las decisiones correctas y así poder optimizar los recursos y cumplir los objetivos empresariales. control o planificación. Se presentara de manera clara y precisa teorías y fórmulas que sustentan la práctica estadística para su desarrollo de manera elocuente dando a conocer al campo de la teoría pero enfocado de manera práctica en problemas operaciones de la empresa mostrando resultados correctos y como descripción se emplearan modelos de campana o gauss . que casi no existe disciplina científica. o técnica. de investigación. En el contenido de nuestra tema mostramos el desarrollo de capítulos que facilitaran el entendimiento de la práctica que en segundo acto presentamos este modelo estadístico de gauss cumple características perfectas para la simplificación a la resolución de casos presentados dentro del área de calidad y producción Sin duda este documento le será práctico al lector para la comprensión de las distribuciones pirobalísticas continuas (normal) Índice Presentación Propósito Introducción Marco teórico Distribución probabilística normal Casos Conclusión Recomendaciones Fuentes bibliográficas . justificada por la frecuencia o normalidad con la que los ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a Muchas variables aleatorias esta continuas distribución. En otras ocasiones. se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una forma en forma de campana.Introducción De Marco Teórico Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. al considerar distribuciones binomiales. Dentro de este tema o apartado nuestro tema central es la distribución normal en donde trataremos temas de acuerdo a lo que convertir una distribución probabilística binomial a normal de acuerdo a métodos o seguimientos que vamos a presentar al igual que mencionar aspectos de suma importancia que estos ayudaran al lector a comprender más de lo que es la distribución normal . Su propio nombre indica su extendida utilización. tipo B (n.p). para un mismo valor de p y de valores de n cada vez mayores. presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. 2 Contrastes De Normalidad 2.englobados en un marco teórico que se conocerá instrumentos teóricos prácticos para la fácil comprensión del tema y una amplia visión del tema Contenido Del Marco Teórico Antecedentes históricos 1.2 Campana De Gauss 1.1 Distribución De Probabilidad Binomial 1.3 Familias De Distribuciones Normales 1.3 Importancia De La Distribución Normal 1.3 Uso De Tabla De Distribución Normal 2.4 Cálculos De Probabilidades Normales .1 Distribución Normal A Estándar 2.5 Características De La Distribución Normal 2. los juegos de azar no ganaron nada con el conocimiento de la distribución normal y en esa época no se encontraron aplicaciones prácticas a esta distribución.1754). Sin embargo. Los astrónomos siempre se encontraban ante la difícil situación de que los resultados de sus medidas eran diferentes. lo . para encontrar finalmente la ecuación de la curva normal. mediante un pequeño trabajo que publicó el matemático francés Abraham De Moivre (1667 .5 Aplicación de la distribución normal en una empresa Antecedentes históricos 1. como medio de evaluar aproximadamente la función de distribución Binomial para valores grandes de n. en que apareció un problema práctico que requirió la distribución normal para su solución. por lo que curva y ecuación cayeron en el olvido.2. Su pensamiento fue desde el histograma hasta la curva continua. donde daba asesoramiento sobre los juegos de azar. No fue sino hasta finales del siglo XVIII y principios de XIX.1 Distribución de probabilidad binomial La distribución normal nació el 12 de noviembre de 1933. De Moivre fue expulsado de Francia por ser hugonote y fue a vivir a Inglaterra. Se conoce como curva o campana de Gauss o distribución Normal.cual era originado por la imperfección de los aparatos que utilizaban. Éstos se reparten en valores bajos. Él observó que la distribución de frecuencias de los resultados de las medidas se aproximaba a una distribución normal. Durante el siglo XIX se realizaron diversos intentos tratando de establecerle a esta distribución la ley probabilística base de todas las variables continuas y debido a esto se utilizó el término normal. apareciendo su primera referencia impresa en 1809. 1. tenían que averiguar la forma de encontrar el valor correcto más probable ante una gran cantidad de resultados. quien hizo la entrada triunfal de esta distribución al mostrar su enorme importancia en la solución de una amplia gama de problemas. por lo que a la curva se le llamó Curva de Errores de Gauss y a la distribución correspondiente se le conoció incorrectamente como Distribución Gaussiana. No obstante que haya sido Gauss quien dio a conocer esta distribución. es una representación gráfica de la distribución normal de un grupo de datos. medios y altos. eminente en todos los campos de la ciencia. Sin embargo. la realidad es que fue Adolphe Lambert Quételet.2 Campana de Gauss Campana de Gauss. . Gauss (1777–1855) introdujo la distribución normal para la solución de este problema. creando un gráfico de forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado parámetro. Al parecer Quételet fue el primero que habló de “Distribución Normal”. El nombre de "campana" se lo dio Esprit Jouffret que uso este término (bell surface) (superficie campana) por primera vez en 1872.Aunque la campana de Gauss lleva el nombre del genio de las matemáticas Carl Friedrich Gauss . El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicos y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre. que reprodujo en la segunda edición de su obra “The Doctrine of Chance” (1738) como aproximación de la distribución normal para valores grandes de n. Este resultado fue ampliado por Pierre-Simón de Laplace en su libro “Teoría analítica de las probabilidades” (1812). realmente la distribución normal la descubrió y público por primera vez Abraham Moivre (por eso en algunos libros se llama la distribución de Moivre – Gauss) en un artículo del año 1733.3 Importancia de la Distribución Normal La distribución normal o distribución de Gauss es sin duda la más importante y la de más aplicación de todas las distribuciones . Ecuaciones La campana de Gauss está definida por la función: 1. Las clasificaciones correspondientes a pruebas de aptitud. sigue una distribución normal de parámetros μ y σ si su función de densidad es: 1 f ( x) e 2 Donde μ.continuas.71828 ) Abreviadamente la indicaremos por XN (μ.σ). lluvias. f(x) es continua en toda la recta real. . etc. se puede considerar adecuada la distribución normal: . . -∞< x<+∞ y tales que -∞<μ<+∞ y σ>0. (π=3. etc.14159. Definición: Diremos que una variable aleatoria X. Esta distribución es bastante adecuada para describir la distribución de muchos conjuntos de datos que ocurren en la naturaleza. e=2.Datos meteorológicos correspondientes a temperaturas. Para ello veremos que se cumplen las siguientes propiedades: 1.Las medidas físicas de productos manufacturados. de tipo continuo.σ) Veamos ahora la representación gráfica de la función de densidad f(x) de la N( μ.Las alturas de individuos de una edad y sexo dado. Así pues para los siguientes conjuntos de datos... . σ ( x )2 2 2 . . la industria y la navegación. .La vida media de un tipo de lámparas con un voltaje dado.. f(x). f(x) presenta un máximo cuando x=μ. de una distribución normal de parámetros μ y σ: Se observa que tiene forma de campana. ese máximo vale f(μ)= 1 2 El gráfico nos muestra la representación gráfica de la función de densidad. de aquí que frecuentemente se le llame campana de Gauss. 4. f(x) tiene como asíntota horizontal el eje de abscisas. 5. También se pone de manifiesto que el parámetro μ corresponde al máximo y al centro de la distribución y el . y estrictamente decreciente cuando x>μ. f(x) es simétrica respecto de x = μ es decir es simétrica respecto del parámetro μ.2. 3. f(x) es estrictamente creciente cuando x<μ. Debido a .parámetro σ nos da idea del grado de apertura o aplastamiento de la curva f(x). que corresponde a los valores de los parámetros μ=0 y σ=1. Dentro de esta familia de distribuciones normales hay una muy importante. es decir la distribución N(0. 1. Veamos pues que la expresión 1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2 nos da la función de densidad de una familia de distribuciones normales para los diferentes valores de los parámetros μ y σ. 1) y recibe el nombre de distribución tipificada o estándar. La distribución tiene 2 parámetros: media (m) y desviación estándar (s) y queda perfectamente determinada por ellos. cuya correspondiente función de densidad se obtiene haciendo μ=0 σ=1 en la expresión 1 f ( x) e 2 y ( x )2 2 2 1.5 características de la distribución normal Las principales características de esta distribución son: 1.4 familias de distribuciones normales. 6.1 distribución normal o estándar La distribución normal con μ = 0 y σ=1. por lo que solamente se juntan en menos infinito (-¥) y en más infinito (+¥). por lo que se le llama curva acampanada o campana de Gauss 5. N(0. calcular la probabilidad de que una variable normal tome valores superiores a un . La curva tiene forma de campana. aunque en la práctica la curva se corta en +4s y -4s. 4. La moda (el valor más frecuente). 3. ya que. La curva se extiende en ambas direcciones y tiende gradualmente a unirse al eje de las x (se hace asintótica al eje de las x). se llama distribución normal tipificada o distribución normal estándar y su función de distribución está tabulada para determinados valores. 2. es decir.1). 7. e invariablemente la tangente en este punto de inflexión corta al eje de las x a una distancia de 2 desviaciones estándar (+2s y -2s). la mediana (el valor central) y la media tienen el mismo valor. se encuentra a una distancia de una desviación estándar (+s y -s) respecto al eje de las y. El área total bajo la curva y el eje de las x es la unidad. el 50% del área está a la izquierda de la media y el otro 50% a la derecha. como se aprecia en la tabla 1 de la página siguiente. El punto de inflexión de la curva (el punto donde la curva deja de ser cóncava hacia abajo y empieza a ser cóncava hacia arriba). s) 2.esto es que la notación abreviada que se usa para representar la distribución es N(m. La distribución es simétrica respecto a la media. equivale al cálculo de la integral de la función de densidad y esta integral no puede estimarse directamente para valores de z. la distribución se asemeja bastante a la de una normal. un histograma o un diagrama de cajas.1) el siguientes proceso: 2. y que es necesario disponer de otros métodos más rigurosos para contrastar este tipo de hipótesis. es claramente asimétrica y diferente de la gaussiana. Tal y como ya se apuntaba antes. sin embargo.3 Contrastes de Normalidad La verificación de la hipótesis de normalidad resulta esencial para poder aplicar muchos de los procedimientos estadísticos que habitualmente se manejan. se debe transformar la variable a una variable normal tipificada. entre 0 y 4. Para calcular probabilidades en el caso de variables normales. por ejemplo. Siendo la representación gráfica de esta función la que se muestra en la imagen 2.z dado. podrá ayudarnos a decidir si es razonable o no el considerar que proceden de una característica de Distribución normal. por no existir la primitiva. σ). la simple exploración visual de los datos observados mediante. P ara la edad. con media μ y desviación típica σ. Correspondientes a una muestra de 100 mujeres de las que se determinó su peso y edad. Resulta obvio que este tipo de estudio no puede llevarnos sino a obtener una opinión meramente subjetiva acerca de la posible distribución de nuestros datos. N( μ. Para el caso del peso. N(0. . Si por ejemplo queremos calcular p (Z ≤ 2_78). por ejemplo. 3. para estos valores mayores que 3’99. 2. deberemos plantearnos el saber si los datos se distribuyen de una forma simétrica con respecto a su media o presentan algún grado de asimetría. Por tanto p (Z ≤ 2_78) = 0_9973.En primer lugar. Aunque la simetría de la distribución pueda valorarse. Buscar las centésimas en la primera fila (en este caso 8). tenemos la probabilidad buscada. en este caso 0’9973. los valores de media. atendiendo a algunas medidas descriptivas de la variable en cuestión8 (comparando. basta fijarse en que las probabilidades correspondientes a valores tales como 3’62 y mayores ya valen 0’9999 (prácticamente 1). 2. resultará útil disponer de algún índice que nos permita cuantificar cualquier desviación.4 Uso de las tablas de distribución normal La normal N (0. Por eso. 1) se encuentra tabulada. diremos que la probabilidad es aproximadamente p (Z ≤ 5_62) ≈ 1 . Buscar la parte entera y las décimas en la primera columna (en este caso 2’7). En el punto común a la fila y la columna que hemos encontrado. mediana y moda). de modo simple. para valores a partir de 0 y hasta 3’99. hemos de realizar los pasos: 1. pues es ésta una de las características fundamentales de la distribución de Gauss. Si queremos calcular una probabilidad de un valor mayor que 3’99. con lo que acabamos de tipificar: p (166 ≤ X ≤ 170) = p (−2 ≤ X − 168 ≤ 2) = p_−28≤ X − 1688 .5 Cálculo de probabilidades en normales N(x. X es una N(168. Ejemplo: Las estaturas de 600 soldados se distribuyen de acuerdo a una distribución normal de media 168 y desviación típica 8 cm.como calcular probabilidades. . entonces la variable Z = X − xσ Sigue una distribución N(0.1)?. Utilizando el resultado anterior. σ) Si no tenemos una distribución N (0. primero restamos x=168 en la desigualdad: p (166 ≤ X ≤ 170) = p(166 − 168 ≤ X − 168 ≤ 170 − 168) = p(−2 ≤ X − 168 ≤ 2) Y ahora dividimos entre σ = 8. 1). 1) se denomina tipificación de la variable X). si no tenemos tabla salvo para N(0.Cuantos soldados miden entre 166 y 170 cm? Sea X la distribución de los soldados. σ). Nos piden p(166 ≤ X ≤ 170). (El paso de la variable X −→ N(x.2. σ) a la Z −→ N (0.1). El siguiente resultado nos da la respuesta.8). Propiedad: Si X sigue una distribución N(x. sino una N(x. σ) cualquiera. tienen menor frecuencia de ocurrencia que los valores centrales. ´esta ya es normal N (0.5). Ejercicios: 1) En una distribución N (22. d) 70 kg.1) y se encuentra en las tablas: p (166 ≤ X ≤ 170) = p (−0_25 ≤ Z ≤ 0_25) = p (Z ≤ 0_25) − p(Z ≤ −0_25) = 0. o menos c) menos de 60 kg. Además la distribución es . tanto inferiores como superiores. La media.Llamando a X − 1688= Z. 2) Los pesos de 60 soldados siguen una distribución N (67. la distribución de frecuencias de esta variable tiene ciertas características: es aproximadamente simétrica. p(17 ≤ X ≤ 30). p(X ≥ 27).5987 (Pues p (Z ≤ −0_25) = p(Z ≥ 0_25) = 1 − p(Z ≤ 0_25) = 1 − 0_5987 = 0_4013). Campana de gauss Campana de Gauss Como puede apreciarse. p (15 ≤ X ≤ 20).5). Calcula la probabilidad de que el Peso sea: a) mayor de 80 kg. p(X ≥ 125). b) 50 kg. la moda y la mediana son prácticamente iguales y los valores extremos. e) Entre 60 y 70 kg inclusive. calcula: p(X ≤ 27). posee una gran cantidad de valores cerca del centro. La distribución normal de una variable aleatoria Y tiene la siguiente función de densidad: Donde μ puede asumir valores entre menos infinito e infinito y σ puede asumir valores entre cero e infinito. es decir con distribución de valores superiores a la media igual a la de valores por debajo de la media. Está definida para todo R y para valores en la abscisa que tienden a infinito y a menos infinito. el área comprendida entre el eje de las abscisas y la curva es igual a la unidad. La distribución normal es un modelo de probabilidad y una vez adoptado el modelo es posible responder a las siguientes preguntas: -¿Cuál es la probabilidad de que la variable en estudio tome valores menores a un valor determinado? . La localización del centro de la campana está dado por el parámetro µ (también conocido como esperanza de Y) y la mayor o menor amplitud de la campana viene dada por el parámetro σ2 (la varianza de Y en la población). Como toda función de densidad. se aproxima al eje horizontal sin tocarlo (curva asintótica).simétrica. ésta divide a la gráfica en partes iguales. Como la función es simétrica respecto de μ. el responder a esta pregunta podría indicar si se necesitará o no aplicar herbicida (este podría ser el caso de modelación de una variable aleatoria discreta como si se tratara de una continua). Si a las vacas se les da una nueva ración que aumenta en 5 l la producción diaria. el responder a esta pregunta podría indicar la posibilidad de obtener rendimientos que no justifiquen el costo de producción. Supongamos que la producción de leche diaria de las vacas de un tambo se distribuye como el modelo normal. con esperanza 25 l y varianza 9 l 2.Por ejemplo. Podemos tener distribuciones normales con iguales valores de varianza pero diferentes valores de esperanza. por ejemplo. al clasificar tubérculos de papa dado que aquellos con volumen entre 59 cm 3 y 80 cm3 son considerados de valor comercial. si la variable es el rendimiento de un cultivar. -¿Cuál es la probabilidad de que la variable en estudio tome valores mayores a un valor determinado? Si la variable aleatoria en estudio es la cantidad de semillas de maleza en el suelo antes de la siembra. la función de densidad de la producción de leche diaria de los animales con la nueva ración tendrá un valor esperado de 30 l . pero no modifica las varianzas. -¿Cuál es la probabilidad de que la variable en estudio tome valores entre 2 valores determinados? Esta probabilidad es de interés. Si se llama A a esta área.Funciones de densidad normal con la misma varianza pero distintas medias (µ1 = 25 y µ2 = 30) El cálculo de probabilidades en variables aleatorias continuas. se puede representar simbólicamente lo expuesto anteriormente como: A = P (y1≤ Y ≤ y2) . puede realizarse gráficamente midiendo el área bajo la curva de la función de densidad correspondiente al intervalo de valores de interés. En cualquier distribución continua si se fijan dos puntos cualesquiera. como es el caso de las variables con distribución Normal. sobre el eje que representa los valores de la variable (abscisas). por ejemplo y1 y y2. la porción del área por debajo de la curva que queda comprendida entre esos dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable aleatoria se realice entre y1 y y2. 49)). Esta probabilidad se obtuvo con InfoStat integrando la función de densidad normal (con parámetros media=60 y varianza=49) entre 50 y 65: Marco teórico Fuentes de información .La probabilidad que un dato de rendimiento tomado al azar desde la población esté comprendido en el intervalo 50 a 65 qq/ha. con media de 60 qq/ha y varianza de 49 (qq/ha)2 (esta especificación suele escribirse de manera concisa como Y~N(60. está representada por el área sombreada en la figura la cual es igual a la proporción de la superficie del área respecto al área total bajo la curva (que por ser una función de densidad vale 1). si Y es el rendimiento de un híbrido de maíz que puede modelarse con una distribución normal. De esta manera se lee que la probabilidad del evento “observar un rendimiento comprendido entre 50 y 65 qq/ha” es de 0. Por ejemplo.6859. Manufactura Delgada (Lean) y Six Sigma en empresas mexicanas El término Lean fue acuñado por un grupo de estudio del Massachussets Institute of Technology para analizar en el nivel mundial los métodos de manufactura de las empresas de la industria automotriz. ISBN 968‐7270‐13‐6. Elementos básicos de Estadística Económica y Empresarial.). Barón F. (Ed. (1978). El grupo destacó las ventajas de manufactura del mejor fabricante en su clase (la empresa automotriz japonesa Toyota) y denominó como Lean Manufacturing al grupo de métodos que había utilizado desde la década de los años sesenta y que posteriormente . Estadística para administración y economía.) Grupo Editorial Iberoamericana. [2] o Martín Pliego. [3] Mendenhall. J.M.. W.J.. (Ed. o A. ISBN 0‐201‐64405‐3. Madrid. F.) Prentice Hall. Addison‐Wesley Iberoamericana. Introducción a la Estadística Económica y Empresarial. (1988).E. [4] Montiel. Reinmuth. F. [5] Peña.J. M. (2ª Ed. Rius. (2004).H.o DeGroot.) o Thomson. (1997). D. (2ª Ed.. Madrid. (2001). Probabilidad y Estadística. Como ejemplos. La distancia entre los procesos tuvo una disminución considerable 30% en promedio del costo de todos los inventarios. En la Manufactura Delgada (Lean) se ha eliminado el compromiso entre productividad. durante la década de los años ochenta Sony de Japón introdujo más de 200 modelos de walk man y la empresa japonesa Seiko introdujo un reloj por cada día hábil. sin complicaciones matemáticas. con objeto de minimizar el uso de recursos a través de la empresa para lograr la satisfacción del cliente. menos inversión en inventarios de materiales y herramentales. reflejado en entregas oportunas de la variedad de productos solicitada y con tendencia a los cero defectos. . inversión. menos espacio y menos horas de ingeniería para desarrollar un nuevo producto.se afinó en la década de los setenta con la participación de Taiichi Onho y Shigeo Shingo. El estudio demuestra que la Manufactura Delgada (Lean) usa menos de cada cosa en la planta. La metodología de Manufactura Delgada (Lean) se ha empezado a utilizar en algunas empresas de manufactura establecidas en México como una alternativa para mejorar la productividad y costos por su simplicidad. calidad y mezcla o variedad de productos. se encontró que este último logró reducciones en: 50% o más del espacio utilizado para manufactura. ya que utiliza el sentido común y trabajo en equipo. así lo revela una encuesta industrial realizada en abril de 2001 por la revista Manufactura. menos esfuerzo humano.4 Después de comparar y analizar en algunas empresas el sistema tradicional de manufactura con el de Manufactura Delgada. Sigma. Costo del producto en promedio 30%. Con referencia a la figura 1. es una letra griega que simboliza la desviación estándar. En promedio del tiempo de ciclo de manufactura en un 100% del tiempo de preparación de cambio de modelo. su sigma será mayor que la sigma resultante de tomar sólo a los habitantes masculinos adultos de 30 años. De tablas de valores de la distribución normal acumulada. Entre mayor sea su valor. como se demostró en la encuesta de la revista Manufactura. indicará que hay una variación mayor entre productos o componentes producidos en el proceso y viceversa. un . Defectos 50% en promedio Por lo anterior.Tiempo de entregas desde el pedido hasta la entrega del producto terminado en promedio fue del 50%. las empresas de diversos países están ahora implantando como estrategia competitiva los métodos de la Manufactura Lean en sus plantas de manufactura. mencionada anteriormente. incluyendo las plantas en México (subsidiarias y maquiladoras). se utiliza en estadística aplicada a la producción como un indicador de la dispersión o variabilidad esperada de los productos o componentes producidos en un proceso. la capacidad en número de sigmas del proceso se determina por el número de veces que el valor numérico de la desviación estándar cabe en la distancia que existe entre la media aritmética del proceso si se distribuye en forma normal y el límite de especificaciones que se encuentre más cerca de ésta (ya sea el inferior LIE o el límite superior LSE). imagínese la variabilidad que existe entre las estaturas de los habitantes de una ciudad. Como analogía. Costo de herramentales para un nuevo producto en promedio 30%. 31 .5 sigma por diversas razones de variación normal en los procesos y la capacidad a largo plazo quedará en sólo 4.4 defectos por cada millón de defectos en la característica del producto. empresa que desarrolló e implantó por primera vez esta metodología.5 sigma a largo plazo.5 sigma.27% de defectos en esa característica. a largo plazo (un mes o más) la media del proceso se recorrerá máximo 1.proceso con capacidad de 3 sigma.5 sigmas de distancia entre el límite de especificación más cercano a la media aritmética del proceso y la media del proceso mima. Inc. En realidad Motorola. teniendo una probabilidad de generar sólo 3.5 sigma. un proceso con capacidad de 4. tiene 3 sigmas de distancia entre los límites de especificación para una cierta característica y la media aritmética del proceso. teniendo una probabilidad de generar 0. de Estados Unidos de América. tiene 4. sugiere que si la producción a corto plazo (un día o un turno) tiene una capacidad de 6 sigma (con 6 sigmas de distancia entre la media del proceso y cada uno de los límites de especificación). siendo la razón por la cual un proceso con capacidad a corto plazo de 6 sigma (Seis Sigma) en realidad se comporte como un proceso con capacidad de 4. 5 sigmas (largo plazo). productos y servicios cuyo objetivo es tener máximo 3. La capacidad en sigmas se mide por la distancia entre la media del proceso y el límite de especificación (LIE o LSE) más cercano. tal como una dimensión o una cualidad que pudiera ser encontrada fuera de especificaciones y representar . por tener procesos diferentes.Fig. ya que no será igual en todos los casos para las diferentes empresas. Una oportunidad está representada por la inspección de alguna característica del producto. Seis Sigma es una metodología que sirve para reducir la variabilidad en los procesos.4 defectos o errores en cada millón de oportunidades. 1 Distribución del proceso centrada (corto plazo) y recorrida 1. Obviamente este corrimiento entre el corto y largo plazo se debe considerar sólo como una referencia. la permanencia en la empresa de los líderes de proyecto y a veces de los coordinadores a nivel gerencial. con ayuda de métodos estadísticos desarrollados desde la década de los años 1920 y otros métodos especiales conformados en una metodología denominada Six Sigma 32 (Seis Sigma). otros defectos quedaban ocultos y se presentaban cuando el cliente usaba el producto. misma que le permitió a Motorola obtener reducciones de costo e incremento en utilidades significativas. Seis Sigma se diferencia en que las mejoras se realizan por equipos especiales con líderes de proyecto contratados exclusivamente para este fin. Para dar idea de lo que significa tener un nivel de calidad de Seis Sigma.un defecto o error. En algunas empresas.33 Lo anterior. equivaldría a no limpiar el área de la cabeza de un alfiler. Por otra parte. tampoco fallaba con el cliente. La metodología fue desarrollada por Motorola en la década de los años 1980. La filosofía tradicional de calidad total promueve que se hagan mejoras continuas por todos los miembros de la empresa. si se tratara de limpiar una alfombra de 1500 pies cuadrados. ocasionando quejas y reclamaciones. dependerá del éxito de los proyectos. Éste fue el fundamento básico que motivó el desarrollo de procesos muy capaces que no generaban productos defectuosos. aunado a que Motorola ganó el premio . El ingeniero Bill Smith estudió y reportó que si un producto fallaba durante la producción y se reparaba. es decir la responsabilidad de mejorar se asigna a todos los departamentos y empleados. si el producto no fallaba durante la producción. quienes hacen una selección cuidadosa de los proyectos que presenten las mejores oportunidades de mejora y concentrando en estos proyectos los recursos y esfuerzos que sean necesarios. Estandarización y Reconocimiento. logrando en corto tiempo incrementos significativos en utilidades y de satisfacción de sus clientes. atrajo la atención de otras grandes corporaciones de los Estados Unidos de América como General Electric. A . Análisis. Texas Instruments. continuación se detallan. al final se monitorean las variables críticas y se mantiene el proceso en control estadístico. Sony y Polaroid. las cuales también iniciaron la implantación de la metodología de calidad Seis Sigma en sus organizaciones. La metodología Seis Sigma estudia un problema real apoyándose en métodos estadísticos. Medición. Control.34 Posteriormente estas empresas han expandido la aplicación de la metodología Seis Sigma hacia sus subsidiarias en otras partes del mundo incluyendo México. Mejoramiento. se identifican estadísticamente las variables que tienen más influencia en la variabilidad de los procesos y los niveles en que el desempeño es óptimo. se realizan análisis estadísticos para identificar las fuentes de variabilidad. Allied Signal. Conjuntando la experiencia y metodología de implantación de Seis Sigma publicada por varias empresas se puede resumir en general en las siguientes siete fases básicas: Definición del proyecto de mejora.Malcolm Baldrige en 1988. a) Tan solo hay 100 plazas.7 5. La nota media ha sido aún 5. ¿sería oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su éxito? b) Va a ver una segunda oportunidad para el 20% de notas más altas que no se hayan clasificados.000 aspirantes.5.Casos Prácticos Aun examen de oposición se han presentado 2.5.5 N=7. Usted ha obtenido un 7.5 .7. con una varianza de 1. ¿a partir de que nota se podrá participar en esta repesca? M=5.7 7. 22 .41% de celebrar su éxito. 25% 20% b) M=5.32 de calificación.En promedio los aspirantes que han obtenido un 7. .8235=x-5.5 X=6.32 Aproximadamente las que podrían buscar una repesca son los hayan obtenidos un 6.5 N=20% X 1.7 tendrán 96. 87=x-59 .El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de un país es de 59 litros. a) si usted presume de un bebedor. se supone que se distribuye según una distribución normal.05 .645= 9. con una varianza de 36.45 M=5 N=5% 1. ¿Cuántos litros de cerveza tendría que beber al año para pertenecer al 5% que más bebe? . Rob es ingeniero. Calcule los valores z de Rob y Rachel y comente los resultados. Datos: M=35000 N=50000 X= Z= Z= . Rob y Rachel. donde el salario medio de ejecutivos con menos de cinco años de experiencia es de $35000. Ambos se graduaron de la universidad hace dos años y actualmente cada uno gana $ 50000 anuales. La familia Camp tiene gemelos.X=68.87 litros de cerveza al año que pertenece al 5% de la población. con una desviación estándar $8000. con una desviación estándar de $5000.87 En promedio un bebedor tendrá que beber 68. Rachel trabaja en la industria de las ventas de menudeo. El salario medio de los ingenieros con menos de cinco años de experiencia es de $60000. Z= 500000 35000 Datos: M=60000 N= X= Z= Z= . Asuma que esta distribución sigue una distribución normal Cuál es la probabilidad de que el programa de la próxima semana: A)..¿Tenga cuanto menos 23 millones de espectadores? c).72.93 y Rob un 47.En promedio Rachel gana un 96.. pero ambos ganan igual..¿Sobrepase los 40 millones de espectadores? ///Datos: /M=29 N=30 y 34 .¿Tenga entre 30 y 34 millones de espectadores? b). Pero sus departamentos ganan diferente /// / / El número de espectadores de American Idol tiene una media de 29 millones con una desviación estándar de 5 millones. /X=/ /Z= Z= 34 30 29 Z= Z=.M=29 N=23 X= 2 29 Z= .262 La probabilidad que tengan entre el 30 y 34 millones de espectadores la próxima semana es del 26.2% b).0793 .3413 / . Z= La probabilidad de que tengan cuanto menos del 23 millones de espectadores es del 38.49 c).M=29 //N=40 X= N=40 29 40 . 61% Conclusión Dentro de este temas explicamos la importancia de la estadística para el manejo de cada uno de los elementos en lo que se encuentra./ //Z= Z= La probabilidad de que el programa alcance los 40 millones de espectadores es del 48. tal que una probabilidad particular de ocurrencia esté asociada con cada resultado. El estudio de probabilidades continuas lo presentamos mediante un gráfico en el cual se denomina campana de gauss visualizando el . la relación entre el cálculo estadístico y la aplicación para los manejos administrativos dentro del área de producción y calidad Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente de todos los resultados posibles para esa variable aleatoria. el evento nulo). Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente de todos los resultados posibles para esa variable aleatoria. La regla más evidente para las probabilidades es que deben variar en valor de 0 a 1.espacio entre uno y más valores donde se demuestra la comprobación de los factores El punto medio de una clase (o marca de clase) es el punto a la mitad de los límites de cada clase y es representativo de los datos de esa clase. La probabilidad involucrada es una porción o fracción cuyo valor varía entre cero y uno exclusivamente. el evento cierto). Observamos un evento que no tiene posibilidad de ocurrir (es decir. tiene una probabilidad de cero. Tenemos que ser precisos en saber si los valores de sus variables de estos sistemas toman valores . tiene una probabilidad de uno. La probabilidad simple se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un evento simple. Un evento imposible tiene una probabilidad cero de ocurrir. y un evento cierto tiene una probabilidad uno de ocurrir. tal que una probabilidad particular de ocurrencia esté asociada con cada resultado. La probabilidad es la posibilidad u oportunidad de que suceda un evento particular. En estos temas analizamos distribuciones de probabilidad aleatoria de tipo discreto específicamente continuas. Es importante saber cómo se comportan los sistemas con el fin de anticiparnos a posibles problemas. mientras que un evento que seguramente ocurrirá (es decir. Como futuros L.E. en estos casos resulta útil utilizar el método de probabilidades continuas. el uso de las probabilidades en las organizaciones ayuda a tener un pronóstico y una mayor exactitud matemática sin lugar a duda aprender estos métodos de cálculo serán de gran apoyo para el desempeño como profesionistas en un campo laboral competitivo Recomendaciones Al aplicar cada uno de los métodos de probabilidades hacerlo de una manera específica en el cual demostremos el uso y la aplicación de por qué se utilizara como será de beneficio Cuando deseamos en algún trabajo de investigación realizar inferencias acerca de la media o de la varianza poblacional de variables aleatorias continuas o discretas. se tiene que tomar una decisión a corto plazo debido a que su curva característica es prolongada al principio factor. y además trabajamos con estimadores insesgados para los parámetros poblacionales y tamaños muéstrales mayores a 30.A. y esta distribución se encuentra en la mayoría de los sistemas. ya que si bien es cierto . que tenemos que disminuir rápidamente la última toma exclusivamente valores enteros.enteros o valores fraccionados de ahí la importancia de clasificarlos como valores discretos o valores continuos El primero se caracteriza por tomar valores de 0-1 en sus resultados El hipergeometrico se concluye que es el más crítico para analizar porque. HILL/INTERAMERICANA DE MEXICO. Si trabajamos con tamaños muéstrales menores a 30 y deseamos que la longitud del intervalo sea pequeña es mejor utilizar la estimación Jacknife. Para elegir cada uno de los elementos en lo que se da cada una de las disciplinas que conlleva realizar los cálculos se debe de utilizar cálculos de acuerdo a la necesidad a investigar Fuentes de información PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SPIEGEL.L. J. Quinta Edición. • http://www. Probabilidad y Estadística Aplicación y métodos.1995. el método mostrado en una campana de gauss se visualiza de una manera fácil de interpretar y analizar los datos arrogados para su fácil manejo de la información presentada. .htm • Devore. En español Mc • GRAW. MURRAY • http://bochica. Thomson Learning.edu.html • Cannavos G. (2000). Ed.udea.ambos métodos proporcionan los mismos resultados.co/~bcalderon/4_relvarianzasnormale s. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias.net/libros/2006a/rmss/a8.eumed. 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