Proyecto Optimización de Turbinas Hidráulicas

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: http://www.researchgate.net/publication/280740888 OPTIMIZACIÓN DE TURBINAS HIDRÁULICAS CON LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CONFERENCE PAPER · AUGUST 2014 READS 34 1 AUTHOR: Yeiber Edgardo Vides Vidal Corporación Universitaria de la Costa 1 PUBLICATION 0 CITATIONS SEE PROFILE Available from: Yeiber Edgardo Vides Vidal Retrieved on: 20 October 2015 prevalece en la optimización de cualquier proceso que pueda tratarse en este caso las turbinas hidráulicas. ydelahoz17@cuc. Para la debida realización del paper. this paper presents an application of the subject to optimization processes concerning the function of three hydraulic turbines of a company under different situations which may be submitted in the generation energy.co. bajo diferentes situaciones problema que puedan presentarse en las mismas y/o en las que pueda evaluarse la producción de cada una de ella. Beltrán. Jiménez.co.html 1 INTRODUCCIÓN En la formación de ingenieros. Este factor es decisivo al momento de escoger el tipo de turbina hidráulica que se instala en la planta. debido a que ofrece un conjunto de técnicas útiles que hacen parte del análisis real de variables y condiciones asociadas a la observación con los enfoques gráficos. De la Hoz. 2 REFERENTES TEORICOS Turbinas Hidráulicas. La turbina hidráulica (Fig. 1. en este caso. Santana. msantana3@cuc. was taken into consideration a set of operations required to property attached. Teniendo en cuenta el marco de ideas anterior. Este proceso toma en consideración varios factores entre los cuales uno de los más importantes es la caída de agua (head). el presente documento expone una aplicación del tema para los procesos de optimización referentes a la función de 3 turbinas hidráulicas de una compañía bajo diferentes situaciones por las cuales pueden ser sometidas en la generación de energía. Y. ebarraga2@cuc. para ello se tiene el caudal del agua como una variable y depende de las condiciones externas. optimization. abeltran8@cuc. jjimenez40@cuc. de manera que se obtuvieran los resultados deseados. optimización. Vides Universidad de la Costa CUC. Anaya. se tuvo en cuenta un conjunto de operaciones necesarias adheridas a la propiedad. procurando la solución más convincente de los problemas. a una elevación más alta y convertirla en energía mecánica y luego en eléctrica. hydraulic turbines. RESUMEN: Basados en el teorema de los multiplicadores de Lagrange.co. so that the desired results are obtained.edu.edu.edu. KEYWORDS: Lagrange multipliers.vierayclavijo. ABSTRACT: Based on the theorem Lagrange multipliers. 1 . el estudio del cálculo vectorial es fundamental. Se establecen las respectivas funciones con sus variables y las restricciones como puntos de apoyo y finalmente representar el análisis de los comportamientos de las anteriores.co. turbinas hidráulicas. La función de una planta hidroeléctrica es utilizar la energía potencial del agua almacenada en un lago.OPTIMIZACIÓN DE TURBINAS HIDRÁULICAS L. Fig.co. J.org/html/paginas/cursos/cursos_ 2003/0307_azores/az_03_05. [email protected]. Tomada de “La energía hidráulica” por Jesús Enrique Mesa Alonso. Emprender el análisis de problemas reales con aplicaciones de métodos matemáticos para resolver.edu. M. For the proper performance of the paper. Facultad de Ingeniería lanaya5@cuc. Las turbinas se pueden clasificar de varias maneras estas son:  Según la dirección en que entra el agua: Turbinas axiales: El agua (rojo) entra en el rodete en la dirección del eje. A. Y.edu. http://www. PALABRAS CLAVE: Multiplicadores de Lagrange. Barragán. The respective roles with their variables and constraints and support points are established and eventually represent the analysis of the behavior of the above.co.edu. se va aplicar el teorema de los multiplicadores de Lagrange para optimizar la función de 3 turbinas hidroeléctricas de una compañía prestadora de servicios de energía.1) es la encargada de transformar la energía por esto es de vital importancia saber elegir la adecuada para cada sistema hidroeléctrico. Estructura general de una turbina hidroeléctrica. cuando se opera una estación hidroeléctrica se busca generar energía. E. es por ello que el conocimiento del rendimiento de una central hidroeléctrica. en m. que bajo las formas modificadas de hoy se conoce como rueda Pelton. como medida de seguridad se usa una válvula esférica [2]. se traduce en una mejor explotación de la misma mediante la optimización del aprovechamiento del agua disponible. Hn= salto neto. no obstante el agua puede salir en cualquier dirección. tal que la presión debida a la cabeza de la planta se mantiene sobre el rodete. en kW. Tomada de: http://fluidos. el rendimiento de las ruedas tangenciales ha llegado hasta 95%.s-2. en porcentaje. es importante anotar que son muy eficientes. hace girar un generador que está acoplado al eje de la turbina para producir energía eléctrica.unizar. asi que remplazamos en la ecuación Turbina de sobrepresión o de reacción: La turbina de reacción actúa por el agua que se mueve a una velocidad relativamente baja. Turbinas axiales y radiales. 2.eia.Turbinas radiales: El agua (verde) entra en sentido radial.es/dctmf/jblasco/AFTAgitacion/AFT200 40606. [3]. que se usa para controlar el flujo de agua. La válvula de aguja. [9] . Teorema de Bernoulli En la turbina Pelton. La expresión que define el rendimiento de la turbina. el agua tiene una presión muy alta. primero se empleó la denominada rueda tangencial introducida por el ingeniero suizo Zuppinger en 1846.html ( ) ( ) ( ) ( ) Masa sobre volumen es densidad. con esto remplazamos fuerza por P*A ( ) ( ) Sin embargo área por distancia es igual a volumen ( ) ( ) ( Luego dividimos toda la igualdad por volumen Fig. deja pasar un chorro de agua que choca con los álabes de la turbina transfiriéndole su energía y haciendo girar la turbina. ρ= densidad del agua. en kW. δg= pérdidas en engranajes. Donde Pa= potencia en barras del alternador. δc= pérdidas en cojinetes. δa= pérdidas del alternador. Esta. es: Fig. en kW. δv= pérdidas en volantes de inercia.co/hidraulica/articuloses/maquinashi draulicas/turbinashidraulicas/turbinashidraulicas. en kg. pero bajo presión.htm ( )  De acuerdo al modo de obrar del agua: Turbinas a chorro o de acción simple o directa: Son aquellas en las que el fluido de trabajo no sufre un cambio de presión importante en su paso a través de rodete. En la aplicación de la energía en la hidrodinámica de fluidos (teorema de Bernoulli). nos india que la variación de la energía cinética más la variación de la energía potencial es igual a la variación del trabajo requerido esto es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Es necesario saber que la fuerza es igual a la presión por el área a la que se ejerce la presión. Tomada de “Estudio teórico experimental de la agitación” por Sonia Ansó. dotada con uno o varios grupos turbinaalternador.edu. Rendimiento de una turbina El rendimiento de un turbina se determina por el cálculo entre el cociente entre la energía producida por la misma y la energía disponible. en m. en kW. a su vez. g= aceleración local de la gravedad. Qt= caudal turbinado. 3. Elena Barge y Stefanie Demming. cerrado. en kW. http://www.m-3. Turbina tipo Pelton. El agua llega al cuerpo de la turbina (rodete) a través de un sistema denominado de distribución que es totalmente ( ) ( ) ( ) ( ) Posteriormente los términos iguales pasan de un lado de la igualdad 2 .s-1. [5] Hasta la mitad del siglo XIX. en m3. Maine. Sea ( ) un punto tal que: ( ) ( ) Suponiendo que ( ) y ( ) son linealmente independientes. Sean ( ) y ( ) funciones con derivadas parciales continuas. En consecuencia. producir más energía usando sólo una turbina? Haga una gráfica de las tres funciones de potencia y úsela para ayudar a 3 determinar si un flujo entrante de 1000 pies /s debe distribuirse a las tres turbinas o llevarse sólo a una. Si f alcanza un extremo ) relativo en ( ) sujeto a la condición ( . que da la cantidad de energía eléctrica generada como función de la cantidad de agua que llega a la turbina. Se desea maximizar la producción total de energía ( ) para un flujo total dado y hallar los flujos de cada turbina en términos de . Si el flujo entrante es de 3400 pies /s ¿qué recomendaría a la compañía? Fundamento del método de Lagrange. La razón a la que circula el agua en las tuberías varía. Sea ( ) un punto tal que ( ) ( ) y . La estación generadora cuenta con tres turbinas hidroeléctricas distintas. se determinaron los siguientes modelos cuadráticos para la salida de potencia de cada turbina. (Si usted determina que debe usarse sólo una turbina. [14] (1) 1. Nuestras limitaciones son que los flujos deben sumar el flujo total entrante y las restricciones de dominio anterior deben cumplirse. ¿es más eficiente usar dos turbinas que usar tres? 6. existen valores y tales que: [1]. 4. opera una estación generadora hidroeléctrica en el río Penobscot. Se puede decir que es fijo. cada una con función de potencia conocida (única). Quizá para algunos niveles de flujo sería ventajoso usar dos turbinas. junto con los flujos permisibles de operación: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 3 ANALISIS DE DATOS R// 1. ¿es posible.( ) ( ) ( ) ( ) Donde: 3 Flujo que pasa por la turbina i en pies /s Potencia generada por la turbina i en kilowatts 3 Flujo total que pasa por la estación en pies /s Finalmente las variables generales quedaran igualadas a una constante. Para simplificar los cálculos eliminamos el factor constante que posee cada flujo de la siguiente forma: 3 . Usando evidencias experimentales y la ecuación de Bernoulli según Stewart [12]. utilice multiplicadores de Lagrange para hallar los valores de los flujos individuales (como funciones de ) que hagan máxima la producción total de energía sujeta a las restricciones y las restricciones de dominio de cada Q.1 PROBLEMA DE APLICACIÓN La Great Northern Paper Company de Millinocket. la presión sumara a la densidad y a la velocidad y estas a su vez a la gravedad y a la altura [4]. se desea determinar el flujo a cada turbina que dé la máxima producción total de energía. determine la distribución a las turbinas y verifique (intentando algunas distribuciones cercanas) que su (el suyo) resultado sea máximo de verdad. Si se usan las tres turbinas. ¿cuáles dos turbinas recomendaría usar? Utilice multiplicadores de Lagrange para determinar cómo debe distribuirse el flujo entre las dos turbinas para hacer máxima la producción de energía. dependiendo de condiciones externas. de modo que el objetivo es determinar cómo distribuir agua entre las turbinas para dar la máxima producción total de energía para cualquier caudal. 2. [13] ( ) ( ) es válido el resultado ( ) (3) 2. es decir. en algunas situaciones. Hasta ahora supusimos que las tres turbinas están operando. Si f alcanza un extremo ) relativo en ( ) sujeto a las condiciones ( ) y ( . [6]. existe un tal que: [15] ( ) ( ) (2) Para dos o más condiciones de ligadura: Sean ( ). El agua de una presa se lleva por tuberías a la estación generadora. Para un flujo de entrada de 2500 pies /s. ¿Para qué valores de del lector? 3. ( ) y ( ) funciones con derivadas parciales continuas. ¿cuál debe ser?)¿Qué 3 pasa si el flujo es de sólo 600 pies /s? 5. [10]. Para este flujo. Si el flujo entrante 3 es de 1500 pies /s. 84*10^5)*Q3.08*10^5)*Q1.^2).89+0.51+0. Si ( ) ( ( 4 ) ) ⁄ ⁄ ⁄ . Del resultado obtenido en el anterior punto se tiene que los valores de válidos son: Del dominio de cada turbina se tiene que:    resultados Obtenidos estos dominios de se concluye que los valores permitidos para el flujo total son de: Igualando la ecuación ① y ②: ⁄ entonces: R// 3.1380*Q3 -(3.(6*Q3)/78125 Simplificando y obtenidos se tiene que: organizando los en ⑤ y ⑥: ( ) ( ) R// 2. diff(KW1) ans = 1277/10000 (6021017265658797*Q1)/737869762948382 06464 syms Q2 KW2=(-24.1277*Q1-(4.69*10^5)*Q2. diff(KW2) ans = 679/5000 (432576148528489*Q2)/4611686018427387 904 syms Q3 KW3=(-27.( ) ( Igualando ③ y②: ) Nos queda que: ( ) ( ) ( ) Sustituyendo ⑤ y ⑥ en ④: Sujeto a la restricción ( ) Entonces: ( ) Utilizando Matlab para derivadas de la función ( instrucción diff. se tiene que: ( ) hallar las primeras ) mediante la Reemplazando syms Q1 KW1=(-18.02+0.^2). diff(KW3) ans = 69/500 .^2).1358*Q2 -(4. ^2).1358*Q2-(4.69*10^5)*Q2^2)*(170-(1.69*10^5)*Q2^2)*(170-(1.1380*Q3-(3. plot (x1.6*10^-6)*QT^2).1277*x1 -(4.6*10^-6)*QT^2) KW2 = 8. simplificando: Realizando los cálculos en Matlab se tiene que:  >> QT=2500.1380*Q3-(3.'k').z3. se obtiene que:  Tomando : >> QT=2500.3624*QT+54. tomando las .^2).1358*x1 -(4. >> KW1=(-18.^2).917982835212801e+003 >> KW2=(-24. z2=y2.5700 >> Q2=20.89+0.*(170-(1.6*10^-6)*x2. >> Q2=770. y2=(-24.Entonces.1277*Q1-(4.6*10^-6)*QT^2).84*10^5)*Q3^2)*(170-(1. >> KW3=(-27.6*10^-6)*QT^2) KW1 = 8.841107680000000e+004 5 .^2).18 Q1 = 777.02+0. Entonces simplificando se tiene que: Tomando : >> QT=2500.2967*QT Q2 = 762. x2=(250:50:1225).1358*Q2-(4. hold on.1277*Q1-(4. >> Q2=765. >> Q1=780.69*10^5)*Q2^2)*(170-(1. Para esto se utilizó el programa Matlab.z2. simplificando: Obtenidas estas comparaciones se puede decir para ⁄ ⁄ ⁄ se obtiene la producción máxima de energía.6*10^-6)*QT^2). y1=(-18.6*10^-6)*x1.121365448458240e+004 >> KW1+KW2+KW3 ans = 2.2300 >> KW1=(-18.7000 >> Q3=0.^2).1380*Q3-(3.51+0. >> KW1+KW2+KW3 ans = 2.841682139963521e+004 Entonces. >> Q3=955.08*10^5)*x1. >> Q1=775. plot (x1. >> Q3=955. grid on.841143480000001e+004 Luego de reemplazar estos valores en la ecuación de la producción total de energía y utilizando Matlab.6*10^-6)*QT^2).6*10^-6)*QT^2). plot (x2.*(170-(1.08*10^5)*Q1^2)*(170-(1.'r').285184079840001e+003 >> KW3=(-27. >> KW1+KW2+KW3 ans = 2.08*10^5)*Q1^2)*(170-(1.89+0. y se digitaron los siguientes códigos para trazar la gráfica: clear.02+0.95+0.6*10^-6)*QT^2) KW3 = 1. >> KW3=(-27.51+0. y3=(-27. z3=y3. >> KW2=(-24.02+0. hold on.z1). que R// 4. x1=(250:50:1110).1380*x2 -(3.02+0.84*10^5)*x2.51+0.6*10^-6)*x1.84*10^5)*Q3^2)*(170-(1. z1=y1.84*10^5)*Q3^2)*(170-(1. >> KW2=(-24.23 Q3 = 960.1358*Q2-(4. Q1=0. Se graficaron las potencias de las tres turbinas en función de su dominio de admisión del flujo de agua. >> KW1=(-18.1277*Q1-(4.69*10^5)*x1.6*10^-6)*QT^2).3411*QT-75.89+0.08*10^5)*Q1^2)*(170-(1.^2).51+0.89+0.*(170-(1. clc. 51+0. de los resultados del punto 1 se obtiene que: ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ Utilizando Matlab se tiene: Entonces.1277*Q1-(4.18 Q1 = 2.95+0.6*10^-6)*QT^2) KW1 = 2.2967*QT Q2 = 3. en función del flujo total entrante de agua realizada en Matlab. >> QT=1000 QT = 1000 >> Q1=0.23 Q3 = 4. Entonces se puede concluir que para un flujo 3 de 1000 pies /s es mejor utilizar una sola turbina (Turbina 3) ya que produce mayor energía que usando las tres. Si tomáramos 3 las tres turbinas para el flujo de 1000 pies /s. Energía producida de cada turbina.6*10^-6)*QT^2) KW2 = 2.1358*Q2-(4.166300000000000e+002 3 Si el flujo solo es de 600 pies /s no se podrían utilizar las tres turbinas. aproximadamente 12100 kW.3411*QT-75.009510809972738e+003 >>KW1+KW2+KW3 ans = 8.1380*Q3-(3.89+0.339848719355901e+003 >> KW3=(-27.659200000000000e+002 >> Q2=20.400955744479230e+003 Al observar la gráfica vemos que para un flujo de 3 agua de 1000 pies /s.3624*QT+54.84*10^5)*Q3^2)*(170-(1.69*10^5)*Q2^2)*(170-(1. produce mayor energía.08*10^5)*Q1^2)*(170-(1. entonces supondremos utilizar una sola y al observar la gráfica nuevamente vemos que 3 la para un flujo de 600 pies /s.6*10^-6)*QT^2) KW3 = 4. la Turbina 3 produce la mayor potencia.176500000000000e+002 >> Q3=0. 6 1200 . >> KW1=(-18.051596215150592e+003 >> KW2=(-24. con estos flujos se obtendría una producción total de energía de . la Turbina 1.14000 12000 Energía producida (kW) 10000 8000 Turbina 1 Turbina 2 Turbina 3 6000 4000 2000 0 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Flujo de agua (pies 3/s) Grafica 1. ya que el flujo mínimo de cada 3 turbina es de 250 pies /s.02+0. 84*10^5)*Q3^2)*(170-(1.23 KW1=(-18.1358*Q2-(4. se necesitarán usar las tres turbinas. así que no se puede trabajar con los anteriores cálculos.89+0.95+0. diff(KW1) ans = 1277/10000 (6021017265658797*Q1)/737869762948382 06464 syms Q3 KW3=(-27.364700000000000e+002 Q2 = 466 Q3 = 5.3411*QT-75. entonces sería 3 recomendable repartir el flujo entrante de 1500 pies /s entre la Turbina 1 y 3.(6*Q3)/78125 Simplificando e igualando se tiene: Igualando la ecuación ① y ②: Entonces para este flujo.757073751040001e+003 KW3 = 6.1380*Q3 -(3.6*10^-6)*QT^2) KW3=(-27. Si sumamos el flujo máximo de las tres turbinas.^2). R// 6.978300000000000e+002 KW1 = 4. pero De ③: ⁄ ⁄ ⁄ Entonces la producción total de energía es: Similar al punto 1: ( ) Si se utilizaran las tres turbinas la producción total de energía sería de: ( ) ⁄ Nos queda que: ⁄ ( ) ( ) ⁄ ⁄ ⁄ Sujeto a la restricción ( ⁄ ) >> QT=1500 QT = 1500 >> Q1=0.51+0.84*10^5)*Q3.948257102299139e+003 >> KW1+KW2+KW3 ans = 1.654333958676173e+004 Entonces: ( ) ( ) Realizando las respectivas derivadas parciales.1277*Q1-(4.02+0. vemos que 3 a partir de flujos de 450 pies /s. Al observar la gráfica del punto 4.6*10^-6)*QT^2) Q1 = 4.08*10^5)*Q1^2)*(170-(1. así que buscaremos cómo distribuir el flujo entrante.1380*Q3-(3. la Turbina 2 produce la menor cantidad de energía.6*10^-6)*QT^2) KW2=(-24. se tiene que: syms Q1 KW1=(-18. sería mejor utilizar dos turbinas (Turbina 1 y 3) que utilizar las 3.89+0. Entonces se desea optimizar la función sujeto a la restricción .2967*QT Q3=0.18 Q2=20.838008733422594e+003 KW2 = 4. Por los dominios de cada turbina.08*10^5)*Q1.^2). resulta un flujo de 3425 3 3 pies /s que es mayor a 3400 pies /s.⁄ R// 5.02+0. Reemplazando Q1 en ③: ⁄ ⁄ 7 .69*10^5)*Q2^2)*(170-(1. Observamos del punto 2 que el flujo entrante 3 de 3400 pies /s no está dentro del dominio hallado para el flujo total. ⁄ . diff(KW3) ans = 69/500 .3624*QT+54.1277*Q1-(4. 1 se observa que la Turbina 3 produce mayor energía cuando los flujos son altos.89+0. >> QT=3400. >> KW1+KW2+KW3 ans = 3.^2).1358*Q2 -(4.51+0. diff(KW2) ans = 679/5000 (432576148528489*Q2)/4611686018427387 904 Se obtiene una producción total de energía de .1277*Q1-(4.51+0.6*10^-6)*QT^2).02+0. >> KW1=(-18.69*10^5)*Q2^2)*(170-(1. >> KW1+KW2+KW3 ans = 3. .387886996800000e+004 Igualando la ecuación ① y ②: Reemplazando Q1 en ③: ⁄ 8 . y así se ha encontrado las distribuciones que optimizan la producción total de energía.08*10^5)*Q1^2)*(170-(1.1358*Q2-(4.02+0. Utilizando Matlab se tiene: ) Nos queda que: ( ) ( ) Sujeto a la restricción ( ⁄ ⁄ >> QT=3400 QT = 3400 >> Q3=1225 Q3 = 1225 >> Q1=1110 Q1 = 1110 >> Q2=1065 Q2 = 1065 >> KW1=(-18. Al igual que el punto 5 se desea optimizar la función sujeto a la restricción ⁄ .69*10^5)*Q2^2)*(170-(1.69*10^5)*Q2.6*10^-6)*QT^2).⁄ De la Graf. >> KW2=(-24. >> Q1=1100. >> Q3=1200.1380*Q3-(3.^2). diff(KW1) ans = 1277/10000 (6021017265658797*Q1)/737869762948382 06464 syms Q2 KW2=(-24.89+0.08*10^5)*Q1^2)*(170-(1.08*10^5)*Q1. >> KW3=(-27. pero el resultado significa que el flujo está optimizado. y el flujo restante de 1065 pies /s a la Turbina 2.1380*Q3-(3.84*10^5)*Q3^2)*(170-(1. >> Q2=1100.89+0. >> KW3=(-27.1358*Q2-(4.6*10^-6)*QT^2). pero ⁄ De ③: ⁄ Entonces: ( ) ( Se observa que el valor de Q1 supera el flujo máximo permitido para la Turbina 1. se tiene que: syms Q1 KW1=(-18. entonces recomendaría a la empresa que utilice al máximo la 3 3 Turbina 1 y 3 con flujos de 1110 pies /s y 1225 pies /s 3 respectivamente. >> KW2=(-24.6*10^-6)*QT^2).6*10^-6)*QT^2).6*10^-6)*QT^2).1277*Q1-(4.84*10^5)*Q3^2)*(170-(1. Simplificando e igualando se tiene: Verificando con distribuciones cercanas ( ).1277*Q1-(4. entonces sería recomendable utilizar la Turbina 3 en su máxima 3 capacidad de 1225 pies /s y distribuir el flujo restante entre la Turbina 1 y 2.51+0.392404353692001e+004 ) Entonces: ( ) ( ) Realizando las respectivas derivadas parciales. Helba.157-158 [11] Rodríguez.fi. [En línea].co/hidraulica/articuloses/maquinashi draulicas/turbinashidraulicas/turbinashidraulicas. Ed México: D. México. Omega. México. Obteniendo así una producción total de energía de .eia.es/docencia/primerciclo/calculo/Gr upo1B/multivar.es/rendimiento_turbinas_hidraulicas. y se logra concluir que la turbina tres genera mucho mayor energía cuando el caudal es mayor a 650 pies3/s y que puede ser utilizada para altos caudales siempre y cuando se tenga en cuenta su máximo dominio de admisión de flujo de agua. España: Alicante. México. Ed. México. España. Disponible en <http://www. Ed.html> [Consultado: 15/04/2014] ASEIng. 2. México. Centrales Hidráulicas: Turbinas Hidráulicas. Cálculo. Teóricamente las ecuaciones de potencia que demuestran la resolución de las funciones en el teorema de Lagrange son basadas en un análisis sistemático que determina el manejo de del cálculo en la ingeniería como base de los fundamentos físicos que se generan en los campos derivados de la física en general. Octava Edición.upm. Ed. S. basadas en las evidencias experimentales y por la ecuación de Bernoulli. Vol. Cálculo de varias variables. Quinta edición. Turbinas Hidráulicas.co/grupos/centrales/files/capitulo% 204.F. [En línea]. Calculo y geometría analítica. Madrid. 288-289 [15] Zill.dma. Ed. Ed México:D. nos ayuda a determinar los comportamientos físicos que se generan en la parte hidroeléctrica como es tal caso. 4 CONCLUSIONES. Larson R. McGraw-Hill. MATLAB® para ingenieros.ucm. 2011. Editores.[10] R. Primera Edición. U. Cálculo Varias Variables. Cálculo Multivariable. Mott. Cuarta Edición. Mecanica de fluidos: Interpretación de la ecuación de Bernoulli.asing. [13] Thomas F. se determinó que el cálculo de las derivadas en las aplicaciones del teorema de lagrange en cada uno de los modelos cuadráticos para la salida de potencia de cada turbina. Disponible en <http://fluidos. 2007. Larson R. Ed. A. Con base en esto. pp. Ed. 1999. Iberoamericana. [En línea]. 9 .edu. Además es aplicable la lectura y análisis de gráficas para evaluar el comportamiento que se genera físicamente dentro del proceso de manejo de potencia y el evento turbulento. 5 REFERENCIAS [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] Amillo J.pdf [Consultado: 2/05/2014] [12] Stewart J. Mataix.udea.pdf [Consultado: 15/04/2014] Moore H. pp. Addison-Wesley. International Thomson. Máquinas Hidráulicas. [En línea]. Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas: Ecuación fundamental de la hidronímica o ecuación de Bernoulli.pdf> [Consultado: 15/04/2014] Anónimo.edu.2000. 2010.F. Funciones de varias variables. 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