En Un TiempoEdgar Roel Acosta Carrillo Proyecto Integrador Modulo 18 Semana 4 Grupo 3 Planteamiento • Una asociación contra el cáncer de niños se encarga de recolectar latas de refrescos desechables con el propósito de venderlas y así obtener una cantidad de dinero extra para continuar con su labor. • Según su estadística, la ecuación que representa el número de latas a recolectar es la siguiente f(x)= -x2 + 10x donde f(x) señala la cantidad de latas recolectar y “x” representa el tiempo en semanas. Ligado a esto, la asociación ya cuenta con 20,000 latas que ha recolectado por su cuenta. 2. Realiza el bosquejo de la gráfica que representa la ecuación, y con ayuda de la gráfica responde las siguientes preguntas: • Eje X: • -x2 + 10x = 0 • x(-x+10) = 0 • Ya tenemos una solución x=0, y la otra sale de • -x+ 10 =0 • x=10 • Se comienza en 0 y termina en 10. ¿Cuál es el punto máximo del número de latas que se recolectan, así como el tiempo en el que ya no se recolecta nada? • El punto máximo es el vértice de la parábola, así que la primera coordenada es: −𝒃 −𝟏𝟎 𝟏𝟎 • 𝟐𝒂 = −𝟐 = 𝟐 =𝟓 𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐 • 𝒙= 𝟒𝒂 𝟒(−𝟏)(𝟓)−𝟏𝟎𝟐 • 𝒙= 𝟒(−𝟏) −𝟏𝟐𝟎 • 𝒙 = −𝟒 = 𝟑𝟎 • Punto máximo • (5,30) ¿Cuál es el punto máximo del número de latas que se recolectan, así como el tiempo en el que ya no se recolecta nada? −𝒃 −𝟏𝟎 𝟏𝟎 • 𝟐𝒂 = −𝟐 = 𝟐 =𝟓 𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐 • 𝒙= 𝟒𝒂 𝟒(−𝟏)(𝟓)−𝟏𝟎𝟐 • 𝒙= 𝟒(−𝟏) −𝟏𝟐𝟎 • 𝒙= −𝟒 = 𝟑𝟎 • Punto máximo • (5,30) Para obtener el máximo mediante cálculo diferencial, derivamos la función: f′(x)=−2x+10+5 • El único punto crítico es la solución de la ecuación −2x+10=0 x=-10/-2=5 • Se deduce que en x=5 se obtiene el máximo de latas. Y=-x2+10x+5 Y = - (52) + 10 (5) =5 = -25 + 50+5 = 30 Luego el vértice es punto (5,30) Tiempo donde se dejó de recolectar: −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 −10± 102 −4(−1)(5) • 𝑥= 2𝑎 =𝑥= 2(−1) =𝑥= −10± 100+20 −2 • −10+ 120 • 𝑥1 = −2 = −0.48 −10− 120 • 𝑥2 = −2 = 10.48 Graficas x y -0.48 -0.03 Latas de Refrescos 0 5 35.00 1 14 30.00 2 21 25.00 3 26 4 29 20.00 5 30 15.00 6 29 10.00 7 26 8 21 5.00 9 14 0.00 10 5 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 -5.00 10.48 -0.03 ¿Cuál es la relación que existe entre el tiempo y el número de latas que se juntaron? y ¿Cuál sería el total de latas en el punto máximo, en conjunto con lo ya obtenido por la asociación con anterioridad? • La relación entre el tiempo y el número de tapas recolectadas será una función. Como la función f(x) que tenemos es la del número de tapas que se recogen diariamente (suponiendo el día como unidad de tiempo), el número de tapas recogidas hasta el día x será la integral de f(x). 145,000 latas. 𝒙 = 𝒙𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟓 x y -0.48 -0.03 Latas 0 5 35.00 1 14 30.00 2 21 25.00 3 26 4 29 20.00 5 30 15.00 10.00 125 5.00 125,000 0.00 145,000 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 -5.00 Obtén la ecuación de la recta secante a partir de la función derivada (de la que ya te fue dada anteriormente) y el valor de su pendiente. Luego, intégrala en la misma gráfica anterior y responde (en un audio) a la siguiente pregunta: Considera que para la pendiente tendrás que usar los siguientes valores: X1 = 0 X2 = 5 Y1 = 20 Y2= 30 • F(x)= -x2 + 10x • F’(x) = -2x + 10 30−20 10 • 𝑚= 5−0 = 5 =2 Grafica en Excel Latas Tangente Secante X Y Y = 30 Y= 2 x + 20 Latas de Refrescos 45.00 -0.48 -0.03 X Y X Y 40.00 0 5 0 30 0 20 1 14 3 30 2 24 35.00 2 21 6 30 4 28 30.00 3 26 9 30 6 32 4 29 10 30 8 36 25.00 5 30 10 40 20.00 6 29 15.00 7 26 8 21 10.00 9 14 5.00 10 5 10 -0.03 0.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 -5.00 Grafica ¿Qué relación existe entre el punto máximo alcanzado y la recta secante y su pendiente?