Universidad de Baja CaliforniaMaestría en Educación Matemáticas GEOMETRÍA ANALÍTICA Alumna: Gabriela Robledo Ramírez CORREO ELECTRÓNICO: [email protected] M.C. Pedro Ramírez Parra Diciembre 2015. LÍNEA RECTA 1. Sea la recta 2x + 3y – 6 = 0 1.2 Ecuación de su forma general a sus formas: común o simplificada, simétrica y normal. 2 x +3 y−6=0 Ax + By+C=0 Coeficientes: A= 2 B= 3 C= -6 2 x +3 y−6=0 Ecuación de la recta en su forma general 3 y=−2 x +6 y= −2 x +6 3 y= −2 x +2 3 Ecuación de la recta en la forma común y=mx +b Forma Simétrica o Canónica x y + =1 a b x y + =1 3 2 Ecuación de la recta en su forma normal r=± √ A 2 +B 2 r=± √ ( 2 ) + ( 3 ) =± √ 4+ 9=± √ 13 2 2 A B C x+ y+ =0 2 2 2 2 ± √ A +B ±√ A +B ± √ A 2+ B2 2 3 −6 x+ y+ =0 √13 √ 13 √ 13 2 x +3 y−6 =0 √ 13 1.3 Determina los siguientes valores: Ordenada al origen y=b= x= −C −−6 = =2 B 3 Abscisa al origen −C −−6 = =3 A 2 Pendiente de la recta 832050 y =1.5547 x+ 0.m= −A −2 = B 3 Ángulo que forma la recta con el eje de las x θ=arctg m θ=arctg− θ=arctg m 2 3 θ=arctg θ=−33.664100589 p= 6 =1.664100589 √ 13 xcosα+ ysenα=d Ángulo que forma esa distancia con el eje x cosw= A ± √ A2 + B2 senw= B ± √ A 2+ B 2 .69006753 ° ∝=146.3099325 ° ( −23 ) θ=−33 ° 41ʹ 24 ʺ Si 180° =179° 59 ʹ60 ʺ −33 ° 41 ʹ 24 ʺ θ=146 ° 18 ' 36 Distancia de la recta al origen −p= C ± √ A 2 +B 2 −p= −6 √13 2 3y 6 x+ = √ 13 √ 13 √ 13 0. 832050) w=56.5547 ) w=56.cosw= 2 √13 senw= w=arccos ( 0.30 ¿ 56 ° 18 ' 35 Grafica de la recta 2x + 3y – 6 = 0 ¿ 56 ° 18 ' 35 .30 3 √ 13 w=arcsen(0. el signo del radical debe ser contrario a c .4 Ejercicio línea recta Ecuación de la recta en su forma general 3 x−4 y−24=0 Ax + By+C=0 Coeficientes: A=3 B=−4 C=−24 3 x−4 y−24=0 Ecuación de la recta en su forma general −4 y=−3 x +24 y= −3 x +24 −4 y= 3x −6 4 Ecuación de la recta en la forma común Forma Simétrica o Canónica x y + =1 a b x y + =1 8 −6 Ecuación de la recta en su forma normal r=± √ A 2 +B 2 r=± √ ( 3 ) + (−4 ) =± √ 9+16=± √ 25 2 2 r=± 5 Como c es negativo .1. r=5 A B C x+ y+ =0 2 2 2 2 ± √ A +B ±√ A +B ± √ A 2+ B2 3 4 24 x− y− =0 5 5 5 3 x−4 y−24 =0 5 Determina los siguientes valores: Ordenada al origen y=b= −C −−24 = =−6 B −4 Abscisa al origen x= −C −−24 24 = = =8 A 3 3 m= Pendiente de la recta −A −3 3 = = B −4 4 Ángulo que forma la recta con el eje de las x θ=arctg m θ=arctg m . 13010235 ¿ 53° 07 ' 48 senw= senw= B ± √ A 2+ B 2 −4 =−0.8 y=4.θ=arctg ( 34 ) θ=arctg θ=36.6 ) w=53.13010235 ¿−53 ° 07 ' 48 .6 5 w=arccos ( 0.1301024 ° ( 34 ) θ=36 ° 52ʹ 11ʺ Si 180° =179° 59 ʹ 60 ʺ −36 ° 52ʹ 11 ʺ θ=143 ° 07 ' 49 Distancia de la recta al origen −p= C ± √ A 2 +B 2 −p= −24 5 p= 24 =4.8) w=−53.6 x−0.8 5 w=arcsen(−0.86989765 ° ∝=143.8 5 3 4 24 x− y= 5 5 5 0.8 xcosα+ ysenα=d Ángulo que forma esa distancia con el eje x cosw= A ± √ A2 + B2 3 cosw= =0. con la cual se puede conocer el ángulo de inclinación.Grafica de la recta 3 x−4 y−24=0 1. para demarcar espacios físicos. La línea recta tiene diversos usos en la vida cotidiana. Una característica de cualquier recta es que tiene una pendiente. mecánica e industrial.5 Conclusiones La recta es una función de primer grado de dos variables y para trazarla se requieren dos puntos. conocer los beneficios o . como referencia en la construcción civil. nos sirve para: medir la distancia más corta entre dos puntos. Centro y radio de la circunferencia 3 x2 +3 y 2−9 x +12 y−21=0 x 2+ y 2 + Dx+ Ey + F=0 . CIRCUNFERENCIA 2. demanda y depreciación en el área económico-administrativa. así como para medir la oferta.perdidas de la producción de un bien o servicio. 5.5 ¿ ¿ y+2 ¿ ¿ ¿ x −h ¿ ¿ y−k ¿ ¿ ¿ r 2=13.25+ y + 4 y +4=7 +2.25+4 x−1.5 2 2 k= −E −4 = =−2 2 2 −1.25 2 ¿ ¿ 4 =¿ 2 .2 2 3 x 3 y 9 x 12 y 21 0 + − + − = 3 3 3 3 3 3 x 2+ y 2 −3 x + 4 y−7=0 D=−3 E=4 F=−7 h= −D −(−3 ) = =1.5 ¿ ¿ −3 =¿ 2 C=(1.25 r= √ 13.−2) 2 2 x −3 x+2. 1 Gráfica 2.r=3.2 Ejercicio circunferencia .64005494 r= √ D2+ E2−4 F 2 4 ¿ ¿ ¿ 2−4(−7) (−3)2+ ¿ √¿ r=¿ 2. 2 2 2 x +2 y + 8 x −12 y −10=0 x 2+ y 2 + Dx+ Ey + F=0 2 x 2 2 y2 8 x 12 y 10 0 + + − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y + 4 x−6 y−5=0 D=4 E=−6 F=−5 h= −D −4 = =−2 2 2 k= −E −(−6 ) = =3 2 2 C=(−2.3) r= √ D2+ E2−4 F 2 −6 ¿ ¿ ¿ 2−4(−5) (4)2 +¿ √¿ r=¿ r= √ 18 Gráfica . así como en la fabricación de balones.4). PARABOLA 3. Una figura geométrica caracterizada por ser una curva cerrada.3 Conclusiones Uno de los elementos matemáticos más conocidos es la circunferencia. relojes. p=distancia del vértice al foco V =( 5. glorietas. bicicletas. k ) . Es indudable la importancia del circulo y de la circunferencia en nuestro diario vivir. conocido como centro. y cuya directriz es la recta x=7. En la actualidad sigue siendo utilizada en el transporte. como en la sincronización de diversas ruedas para engranajes mecánicos o como ejecutor de movimientos uniformes continuos.4 ) p=−2 V =( h . entre muchas cosas más. la sucesión de muchos puntos que guardan una misma distancia a otro. o bien. encontramos monedas. Ecuación de la parábola que tiene su vértice en V (5. cd’s. Desde la antigüedad existen un sinnúmero de aplicaciones tanto en el transporte. adornos.2. entre otras cosas. 1 Grafica Ecuación general de la parábola .y−k ¿ ¿ ¿ y−4 ¿ ¿ ¿ y−4 ¿ ¿ ¿ Ecuación ordinaria de la parábola y−4 ¿ ¿ ¿ ¿ y 2−4 y−4 y +16 ¿ y 2−8 y +16 y 2−8 y +16=−8 x + 40 y 2−8 y +16+ 8 x−40=0 y 2+ 8 x−8 y−24=0 3. -1). k ) x−h ¿ ¿ ¿ x−4 ¿ ¿ ¿ x−4 ¿ ¿ ¿ Ecuación ordinaria de la parábola x−4 ¿ ¿ ¿ ¿ x 2−4 x−4 x +16 .2 Ejercicios parábola a. Encuentra la ecuación de la parábola que tiene su vértice en V (4. y cuya directriz es la recta y=1.3. p=distancia del vértice al foco V =( 4.−1 ) p=−2 V =( h . p=distancia del vértice al foco V =(−3.2 ) p= V =( h . y cuya directriz es la recta x= −5 2 .2 ¿ x −8 x+16 2 x −8 x+16=−8 y−8 2 x −8 x+16 +8 y +8=0 x 2−8 x+ 8 y+ 24=0 Ecuación general de la parábola b.2). k ) −1 2 . Encuentra la ecuación de la parábola que tiene su vértice en V (-3. y−k ¿ ¿ ¿ y−2 ¿ ¿ ¿ y−2 ¿ ¿ ¿ Ecuación ordinaria de la parábola y−2 ¿ ¿ ¿ ¿ y 2−2 y−2 y +4 ¿ y 2−4 y+ 4 y 2−4 y +4=−2 x −6 y 2−4 y +4 +2 x +6=0 y 2+ 2 x−4 y +10=0 Ecuación general de la parábola . La ecuación canónica de la parábola es fácil de escribir. Algunas otras aplicaciones las podemos encontrar en la arquitectura. sencilla de dibujar y tiene una forma que se interpreta directamente. entre otras. antenas parabólicas.3. simétrica con respecto a la recta que pasa por el foco y perpendicular a la directriz. .3 Conclusiones Una parábola es una curva con dos brazos abiertos. tenemos muchas parábolas a nuestro alrededor. Aunque algunas veces no seamos conscientes de ello. en los puentes colgantes y los chorros de agua de las fuentes. arcos. La propiedad más importante de la parábola es su propiedad óptica. este hecho se utiliza en el diseño de faros y lámparas sordas. Elementos de una Elipse . Definición y descripción de Elipse La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano.ELIPSE 4. de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de dicho plano es siempre igual a una constante. Los dos puntos fijos se denominan “focos” de la elipse. mayor que la distancia entre los dos puntos fijos. donde: h.-6) y V ˈ (1.1 La forma ordinaria de la ecuación de la elipse horizontal x h 2 y k es: a2 b2 1 .-6) están sobre el eje focal y de acuerdo a sus coordenadas. k son las coordenadas del centro a es el semieje mayor y b el menor 4. las coordenadas de sus focos y su excentricidad.4.-6) y la longitud de cada lado recto es 9/2. por lo que se . Solución: Dado que los vértices V (9.-6) y Vˈ (1. se observa que tienen la misma ordenada (-6).2 Problema involucrando la ecuación de la elipse horizontal Los vértices de una elipse son los puntos V (9. determinar la ecuación de la elipse. deduce que dicho eje es paralelo al eje “x”. se determina la longitud del eje mayor de la elipse: ´ d=VVˈ=2a= √( x 1−x 2)2 +( y 1− y 2)2 2 a= √(9−1)2 +(−6+6)2 2 a= √(8)2+(0)2=√ 64 2 a=8 Longitud del semieje mayor 8 a= =4 y a2 =(4)2=16 2 .-6) Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos. por lo que sus coordenadas son: h= x 1+ x2 2 k= h= 9+ 1 10 = 2 2 k= h=5 y1+ y2 2 −6−6 −12 = 2 2 k =−6 El centro es “O” (5. la ecuación de la elipse ( x−h)2 ( y−k )2 + =1 a2 b2 que utilizaremos es: El centro de la elipse es el punto medio del segmento ´ VVˈ (eje mayor de la elipse). por lo tanto. −6+3 ) A ˈ ( 5. tenemos que: 2 2b 9 = 4 2 4 b2=36 b2 = 36 4 2 b =9 b=±3 Longitud del semieje menor La longitud del eje menor es 2b=6 Las coordenadas de los extremos del eje menor son: A ( h .−3) Aˈ (5. k ) . k +b ) Aˈ (h .−9) Por la relación 2 2 b2=a2−c2 .2 2b 9 = a 2 Si la longitud del lado recto es y como a=4. son: F( h+c .−6−3 ) A (5. tenemos que: 2 c =a −b c 2=16−9 2 c =7 y c=± √ 7 Las coordenadas de los focos de la elipse. k) y Fˈ(h−c . k−b) y A ( 5. vertical o de manera oblicua.−6) Fˈ(5− √ 7 .F(5+ √7 . .3 Conclusiones La elipse es una curva simétrica cerrada.6614( e<1) a 4 La ecuación de la elipse es: 2 2 ( x−5) ( y +6) + =1 16 9 Gráfica 4.−6) La excentricidad de la elipse es: c 7 e= = √ =0. la elipse tiene una propiedad óptica importante. que puede estar ubicada en el plano de manera horizontal. Al igual que la parábola. de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias equidistantes a dos puntos fijos del plano que se denominan “focos”. Definición y descripción de hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de un conjunto de puntos que se mueven en un plano. Elementos de una hipérbola . es decir. La importancia de las elipses en el estudio de la matemática radica en que las fórmulas y estructura de la misma. es siempre igual a una cantidad constante positiva y menor que la distancia entre los focos.Algunas de las aplicaciones de la elipse las podemos encontrar en la acústica. científicos y profesionales realizar diferentes cálculos a través de sus propiedades. los focos y el punto medio de dicho segmento no pueden pertenecer al lugar geométrico. HIPÉRBOLA 5. La anterior definición no es aplicable al caso en que el punto móvil se mueve sobre la recta que pasa por los focos a excepción del segmento comprendido entre ellos. permiten a los matemáticos. medicina y óptica. También se hace notar la semejanza que por definición tienen la elipse y la hipérbola. 1 Ejercicio Hipérbola a. tenemos: 2 b=3 y b =9 Como la longitud de cada lado recto es 6. Determinar la ecuación de la hipérbola y sus otros elementos. la longitud de cada lado recto es 6. Solución: De las coordenadas de los puntos extremos del eje conjugado.5.0) y Aʹ(3.0). tenemos: 2 b2 =6 a 2 ( 9 )=6 a a= 18 6 a=3 a2=9 Aplicando la relación: b2=c 2−a2 . Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos A (3. 3 √ ¿ F¿ Fˈ(0. y la del eje transverso es 2 a=6 .−c) Fʹ (0.3 ) Vʹ ( 0.a ) Vˈ(0. la y la del eje conjugado es 2 b=6 .−3 √ 2) a=3 La longitud del semieje transverso es longitud del semieje conjugado es longitud entre los focos es b=3 2 c=6 √ 2 .c 2=a 2+ b2 c 2=9+ 9 c 2=18 y c=± √ 18=± 3 √ 2 Los puntos extremos del eje conjugado están sobre el eje “x”.−a) V ( 0. por lo que el eje focal de la hipérbola esta sobre el eje “y”. c ) 2 0. la .−3 ) Las coordenadas de los focos son: F ( 0. La ecuación de la hipérbola por aplicar es: y2 x2 − =1 a 2 b2 y2 x2 − =1 9 9 Las coordenadas de los vértices de la hipérbola son: V ( 0. el cual es perpendicular al eje transverso. Solución: Dado que los vértices V (3.3). determinar la ecuación de la hipérbola y todos sus otros elementos.-1) y Vʹ (3.3) están sobre el eje focal y de acuerdo a sus coordenadas. se observa que tienen la misma abscisa (3). h= x v + x vˈ y +y k = v vʹ 2 2 .La excentricidad de la hipérbola es: c 3 2 e= = √ = √2(e >1) a 3 Las ecuaciones de las directrices son: a 3 y=± =± e √2 Gráfica b.-1) y V ˈ (3. Los vértices de una hipérbola son los puntos V (3. y su excentricidad es 3/2. por lo que se deduce que dicho eje es paralelo al eje “y”. tenemos que: . Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos.1). se determina la longitud del eje transverso de la hipérbola: √ ´ =2 a= ( x v −x vˈ )2 + ( y v − y vʹ )2 d=VVʹ 2 a= √(3−3)2 +(−1−3)2 2 a= √(0)2+(−4)2= √16 2 a=4 La longitud del semieje transverso es: 2 a=4 4 a= =2 y a2=4 2 Si la excentricidad de la hipérbola es: c 3 = a 2 c 3 = 2 2 c= 2 (3 ) 2 c=3 y c 2=9 Sea la longitud entre los focos de Por la relación b2=9−4 b2=c 2−a2 2 c=6 y como a=2 .h= 3+3 6 −1+3 2 = k= = 2 2 2 2 h=3 k =1 El centro de la hipérbola es Oˈ (3. 1) La longitud de cada lado recto es: L. k + c) Fˈ(h . k−c) F ( 3.= 2 b2 2( 5) = =5 a 2 La ecuación de la hipérbola es: ( y−k)2 ( x−h )2 − =1 a2 b2 2 2 ( y−1) ( x−3 ) − =1 4 5 . son: A ( h+b .−2) Las coordenadas de los puntos extremos del eje conjugado. k ) A (3+ √5 . Las coordenadas de los focos de a hipérbola son: F ( h . 1) Aˈ (3−√ 5 . R . k ) Aʹ (h−b .2 b =5 y b=± √ 5 Longitud del semieje conjugado La longitud del eje conjugado es 2 b=2 √ 5 . 1−3) F(3. 1+3 ) Fʹ (3. 4) Fˈ(3. en trayectorias de cometas y en física. Algunas de las aplicaciones de la hipérbola en la vida cotidiana las podemos encontrar en la construcción de edificaciones. e incluso se puede desarrollar nuevas. son de suma importancia ya que son la base de muchas estructuras y artefactos.Gráfica 5. se complementa el entendimiento que se puede tener de una figura o una estructura. o cualquier sección cónica en sí. el eje conjugado y el centro. construcción de espejos y telescopios. mejorar las anteriores o aprovechar más propiedades y principios en las mismas. . Puede estar ubicada en el plano de manera horizontal. Al conocer los valores o magnitudes que se pueden calcular a través de estas curvas.2 Conclusiones La hipérbola se compone de dos curvas separadas que son simétricas respecto al eje transversal. vertical o de manera oblicua. Las curvas.