PROYECTO FINAL MECÁNICA DE FLUIDOSCFD – FLUJO DEL AIRE A TRAVÉS DE DOS TIPOS DE FLECHAS ELABORADO POR: ALAN MATEO DELGADILLO ORTEGA PRESENTADO A: ANDRÉS EDUARDO TORRES ABELLO PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA BOGOTÁ 23 DE NOVIEMBRE 2015 TABLA DE CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................. 3 1.1. FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LA FLECHA EN VUELO ...................................................... 3 1.1.1. EL PESO .............................................................................................................................. 3 1.1.2. LA RESISTENCIA DEL AIRE ............................................................................................... 4 1.2. LA FUERZA RECUPERADORA .................................................................................................. 4 1.3. ESTABILIDAD Y CONTROL DE LA FLECHA EN VUELO .......................................................... 5 2. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA A SIMULAR ...................................................................................... 6 2.1. Importancia ................................................................................................................................... 6 2.2. Tipo de fluido y propiedades ........................................................................................................ 6 3. SUPOSICIONES.................................................................................................................................. 6 4. SELECCIÓN DE LA DIMENSIÓN ....................................................................................................... 6 5. DEFINICIÓN DE LA GEOMETRÍA ...................................................................................................... 7 6. DESCRIPCIÓN DE CONDICIONES DE FLUJO Y LÍMITES DEL DOMINIO COMPUTACIONAL 8 7. MODELO CONCEPTUAL .................................................................................................................... 8 7.1. Malla 1 ......................................................................................................................................... 8 7.2. Malla 2 ........................................................................................................................................ 10 7.3. Malla 3 ........................................................................................................................................ 10 7.4. Malla 4 ........................................................................................................................................ 11 7.5. Malla 5 ........................................................................................................................................ 12 8. DEFINICIÓN DE LOS LÍMITES DEL MODELO 1. ............................................................................ 13 8.1. 8.2. Mallas rectangulares .................................................................................................................. 13 Mallas cilíndricas ............................................................................................................................ 13 9. DEFINICIÓN Y EXPLICACIÓN DEL TIPO DE CONDICIONES DE CONTORNO USADAS EN LA SIMULACIÓN ........................................................................................................................................ 14 10. DEFINICIÓN DEL MODELO USADO PARA LA EJECUCIÓN DE LA SIMULACIÓN ................... 14 11. TIPO DE MODELO ......................................................................................................................... 14 11.1. K-epsilon ................................................................................................................................. 14 11.2. Spalart Allmaras ..................................................................................................................... 15 11.3. Scale-Adaptive Simulation (SAS) ........................................................................................... 15 12. DOS RESULTADOS PREVIOS AL FINAL..................................................................................... 16 MODELO 1: ....................................................................................................................................... 16 13. REFINAMIENTO DE MALLA.......................................................................................................... 18 14. Test de independencia de malla .................................................................................................... 19 15. ANÁLISIS DE RESULTADOS ........................................................................................................ 20 16. CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 23 Está compuesta por una punta (de tiro sobre diana o caza). de modo que éste siempre se dirige hacia el suelo. que debe estar situado por delante de su longitud media. un astil y un emplumado que normalmente es de tres plumas o cuatro plumas. EL PESO El Peso es la fuerza que hace que nuestras flechas tiendan a dirigirse naturalmente hacia el centro de nuestro planeta. al igual que a un avión. Las puntas de tiro sobre diana son cónicas. FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LA FLECHA EN VUELO La flecha se mueve en el aire. El Peso se aplica sobre el centro de gravedad de la flecha. la Resistencia Aerodinámica y la Fuerza Recuperadora.1. y por la acción de la gravedad.1. mientras que las puntas de caza tienen formas varias. usadas en la caza menor. Las puntas pueden tener diversas formas. aunque su valor permanece constante. habrá una pequeña componente que se sumará o restará a la Resistencia Aerodinámica. Deberemos considerar que. dependiendo del ángulo que forme el peso con la trayectoria de la flecha.1. Todas son fuerzas que actúan en contra del movimiento de la flecha y que rápidamente agotan su energía. de ahí que la caza con arco se pueda realizar sólo a muy corta distancia. Esto es la causa de que la flecha se frene hasta alcanzar la parte más alta de la trayectoria y que se acelere a partir de ése punto. . El Peso va variando su dirección dependiendo del punto de la trayectoria donde se encuentre la flecha. INTRODUCCIÓN Una flecha es un proyectil que se dispara con un arco. las tres principales fuerzas que actúan sobre el movimiento de la flecha son el Peso. El peso se ve afectado por la cantidad de masa de nuestras flechas. Al no tener ningún motor que la propulse después de su lanzamiento. desde la conocida forma triangular hasta las que son cilíndricas o en equis. 1. 1.1. y por tanto se ve afectada por las mismas leyes de la Aerodinámica. aumentando la presión en ésa zona. que devuelva la flecha a su trayectoria original. donde se sitúan las plumas o aletas. LA RESISTENCIA DEL AIRE La otra fuerza que interviene. 1. 1. Una flecha en vuelo tiende naturalmente a oscilar. lo que junto a pequeñas irregularidades en las capas de aire que atraviesa. Lo que intentamos al lanzar una flecha. y otra a la que simplemente dejamos caer de nuestros dedos. En la flecha.2. A más Peso mayor será la estabilidad de la flecha y su penetración. Si soltáramos dos flechas al mismo tiempo. éste choca con una cara de éstas y es obligado a desviarse. La resistencia se produce principalmente por dos causas por el rozamiento del aire con la superficie de la flecha y por el hecho de existir una Fuerza Recuperadora. es que sea capaz de recorrer el mayor espacio posible antes de que el peso le haga caer al suelo. es aquella que se opone al movimiento de avance de la flecha. debido a la flexión inicial que sufre al ser disparada.1. LA FUERZA RECUPERADORA Ésta fuerza es proporcionada por la cola de la flecha. mayor será también la inercia y por tanto las fuerzas necesarias para desestabilizar la flecha o para devolverla a su posición de equilibrio.2. Esto se consigue colocando unas pequeñas alas al final de la flecha. hacen que sea necesario algún tipo de fuerza recuperadora. en los dos únicos puntos donde podemos encontrar este último factor de resistencia de un modo significativo es en las aletas o plumas y en las hojas de las puntas de caza. una lanzada por el arco con un ángulo de 0º sobre el horizonte. Cuanto mayor sea la velocidad y la superficie de la flecha en contacto con el aire. ambas llegarían al suelo simultáneamente. la Resistencia Aerodinámica. mayor será también su resistencia y la rapidez con la que pierde su energía. Al colocar las plumas o aletas de plástico en un ángulo con respecto al flujo de aire.Cuanto mayor sea el Peso. Ésta es una fuerza que hace que la energía de la flecha se vaya consumiendo rápidamente. a la vez que por la otra se ve forzado a rodearla de forma que se aparta de la superficie produciendo una disminución de la presión y por tanto una fuerza . y proporcional al peso de la punta. la superficie situada por detrás del centro de gravedad debe ser mayor que la situada por delante. Cuando la flecha se desestabiliza en vuelo y se presenta al viento con un determinado ángulo. Deberemos administrar sabiamente éstas fuerzas básicas a la hora de diseñar y construir nuestras flechas. ESTABILIDAD Y CONTROL DE LA FLECHA EN VUELO El Peso. para poder obtener unas prestaciones máximas con un mínimo de penalización. Una desalineación de uno o dos grados puede ser suficiente como para enviar nuestra flecha a varios centímetros del blanco. Estas fuerzas serán mayores a medida que aumenta el ángulo con el que coloquemos las plumas en la flecha. Por su forma.3. dos pequeñas hojas auxiliares. incluso en distancias cortas. Las puntas de caza de hojas fijas se ven afectadas por lo que se conoce como efecto canard o más vulgarmente como planeo. . roces con ramas u otros objetos. similar a lo que sería tratar de conducir una bicicleta al revés. El caso más común de desestabilización con este tipo de puntas consiste en una mala alineación con respecto al eje longitudinal de la flecha. como las plumas o aletas. Esto es debido a que la instalación de estas puntas se hace pegándolas sobre un adaptador que después se suele enroscar a la flecha. con una enorme hoja principal y. la superficie de las cuchillas crea una fuerza que tiende a apartar la flecha de su posición inicial. 1. Las puntas que se ven más afectadas por una mala alineación son las llamadas tradicionales. las hojas de la punta no son más que otra superficie de estabilización. rachas de aire. Si nuestras flechas fueran naturalmente estables. Las flechas se estabilizan por el llamado Efecto Veleta: . flexión del astil. pero colocada por delante del centro de gravedad por lo que sus efectos contribuyen a una estabilidad negativa. etc. no sería necesario añadir aletas o plumas a su parte posterior.dirigida en el sentido de mayor a menor presión. en ocasiones.Para que una flecha sea estable en vuelo. la Resistencia y la Fuerza Recuperadora vemos que están íntimamente ligados al control de la flecha y por tanto a la precisión del tiro. pero están sometidas a continuas perturbaciones como pueden ser: arcos mal ajustados. se compone de nitrógeno (78%). oxigeno (21%).2. y otras sustancias (1%). y alrededor se debe presentar un aumento de velocidad. En la cola se debe generar una estela y turbulencia debido al rápido paso del fluido.7894e-05. Cerca de la sup erficie de la flecha la velocidad debe ser cero porque existe mayor cortante. SUPOSICIONES En ambos casos la punta de la cabeza de las flechas es la que debe sufrir mayor presión. por esta razón siempre se han ido diseñando cada vez flechas más aerodinámicas y efectivas a través del tiempo. pero en el caso de la flecha en equis.2. Importancia Las flechas a través de la historia han sido importantes. tanto en la cacería como en los deportes. Tipo de fluido y propiedades El medio en el cual las fechas se mueven es el aire. y para ambas flechas tanto detrás de la punta y de la cola se deben presentar succiones.1. . 3. 4. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA A SIMULAR 2. SELECCIÓN DE LA DIMENSIÓN Ya que el objetivo de este proyecto es definir bien el comportamiento del fluido cuando una flecha de cierta geometría se mueve a cierta velocidad. 2. sin embargo solo ha sido hasta hace unos años que se ha podido empezar a realizar modelos computacionales que permitan mejorar el entendimiento de los fenómenos que afectan su trayectoria. esta va generar mayor turbulencia debido a que la cabeza permite el paso de mayor cantidad de aire a través de ella. El aire es una mezcla homogénea de gases que constituyen la atmosfera terrestre. La importancia de estos modelos es que en la actualidad nos permiten modificar y mejorar estas herramientas para hacer más óptima la cacería y el deporte. Las propiedades principales son su densidad de 1. porque esta se genera con tres componentes y si se baja una dimensión estaríamos limitados por el modelo. se elige en tres dimensiones donde se puede ver con claridad todos los fenómenos que intervienen. No es lo mismo expresar por ejemplo la vorticidad en dos dimensiones que en tres.225 Kg/m^3 y su viscosidad de 1. el cual es el fluido predilecto para simular en ANSYS-FLUENT ya que en la mayoría de los casos es el dominio real de las flechas. en el modelo de la cabeza de las flechas. modelo de la Vista isométrica de flecha con modelo de la cabeza cónica: . Flecha con modelo de la cabeza cónica: Vista isométrica de flecha con cabeza en equis. Flecha con modelo de la cabeza en equis. la cual es de 50 cm. La diferencia que tienen estas.5. donde una tiene una forma cónica con un diámetro en la base de 3 cm y la otra tiene una forma en equis con una longitud de 3 cm en la base. donde después de realizarlas se exportaron para poder ser utilizadas en el programa ANSYS-FLUENT. y también el mismo diámetro en el cuerpo de la flecha el cual es de 1 cm. Las dos flechas tienen la misma longitud desde el cuello de la flecha hasta la cola. DEFINICIÓN DE LA GEOMETRÍA La geometría de las dos flechas fue realizada mediante el programa Solidworks. la dimensión en el eje longitudinal cercano a la cola era muy corto entonces no se alcanzaba a ver la estela que deja la flecha. Los principales problemas que tuvo fueron: las dimensiones transversales eran demasiado grandes.6. sin embargo. El movimiento que se va a presentar es turbulento por las magnitudes de la velocidad y la poca viscosidad del aire. Los valores de densidad y de fluido se dejaron predeterminados para el aire. Esta malla fue la que más rápido convergió con 100 iteraciones. 7. la cual es la velocidad promedio en la que salen disparadas las flechas en el tiro con arco. se decidió después de varias iteraciones que el mejor punto para empezar era la cara de entrada que ya tenía los 70 m/s y permitía la convergencia en un menor tiempo. MODELO CONCEPTUAL En el enmallado se definieron diferentes formas geométricas para las mallas los cuales fueron rectángulos y cilindros. y el enmallado era poco refinado. Malla 1 En primera instancia se ensayó con una malla rectangular. 7. por lo cual para el diseño se programó una entrada de velocidad de 70 m/s que es aproximadamente 250 km/h. Como valor inicial se tomó el 0 manométrico de presión y una temperatura de 15°C o 273 K. DESCRIPCIÓN DE CONDICIONES DE FLUJO Y LÍMITES DEL DOMINIO COMPUTACIONAL Las flechas para cacería salen a una velocidad aproximada de 63 m/s y en el deporte de tiro con arco salen en promedio a 70 m/s. también geometrías diferentes para los componentes de la malla como triángulos. tetraedros y rectángulos. .1. fue la que menos resultados correctos arrojo. los cuales se colocaron de diferente tamaño de acuerdo al refinamiento a utilizar en la malla. Malla número 1. y sin refinamiento. Grafica N° 1. De convergencia. Rectangular de elementos hexaédricos. . Malla 2 La segunda malla también de forma rectangular se le refinó los elementos y se cambiaron a tetraedros ya que estos se pueden cubrir el volumen de una mejor forma.3. Se disminuyeron las dimensiones para mejorar la visualización de la estela que dejaban las flechas. Esta malla mejoró considerablemente los resultados ya que estuvieron más enfocados en el objeto y al haber mayor cantidad de elementos las gráficas muestran una mayor precisión. y muy poco refinamiento 7. es la igual que la anterior pero con un mayor refinamiento. Malla 3 Es una malla con geometría rectangular. Por lo anterior arrojo unos resultados diferentes y menos precisos. no convergió bajo el mismo método. Malla número 2. el refinamiento resulto en un mayor tiempo de iteración y esfuerzo del computador. no obstante. Esta malla debería ser la que mejor resultados arroje.2.7. . Rectangular de elementos tetraédricos. En contraposición. aroojando resultados no muy exactos. . tan solo con 170 iteraciones. Rectangular de elementos tetraédricos. Malla número 4. Cilíndrica de elementos tetraédricos.4.Malla número 3. Malla 4 Con el fin de cambiar la forma geométrica de la malla se construyó una de forma cilíndrica para que se ajustara mejor a la forma radial de la flecha. Convergió muy rápido. y poco refinamiento. esta primera malla se hizo con elementos hexaédricos no muy refinados. y el mejor refinamiento. 7. Fue la malla con mejores resultados. más ajustada a las dimensiones de las flechas. .Grafica N° 2 de convergencia 7.5. fue la que más tiempo tomo para converger. Malla 5 La última malla es un modelo más refinado que todos los anteriores con elementos tetraédricos y una malla más pequeña. Malla número 5. sin embargo. Rectangular de elementos tetraédricos. más pequeña y bastante refinamiento. Grafica N° 3 de convergencia 8. Mallas cilíndricas Para las mallas cilíndricas funcionan igual la entrada y la salida. INLET WALL INLET WALL . las que rodeaban la flecha.2. que cumple la misma función que las anteriores cuatro paredes.1. Mallas rectangulares Para las mallas rectangulares la superficie hacia donde apuntan la cabeza de las flechas era la entrada de aire del modelo (INLET). se configuraron para que fueran paredes que no generaran cortante (WALL). El resto. 8. DEFINICIÓN DE LOS LÍMITES DEL MODELO 1. pero ahora lo que rodea la flecha es solo una gran superficie. 8. la superficie hacia donde apuntaban las colas de las flecha era la salida del modelo (OUTLET). Por último. Spalart-Allmaras. cuando se tiene un alto número de Reynolds las fuerzas de inercia son mucho más grandes . OUTLET DEFINICIÓN Y EXPLICACIÓN DEL TIPO DE CONDICIONES DE CONTORNO USADAS EN LA SIMULACIÓN La velocidad de entrada es de 70 m/s ya que esta es una velocidad promedio a la cual salen disparadas en el tiro con arco las flechas. Las paredes de los modelos vienen predeterminados para que trabajen como solidos que generan cortante. y la presión manométrica se dejó predeterminada como 0. La temperatura del modelo es 15° C . En específico. se debe mencionar que el fluido es el aire con las características anteriormente mencionadas y la flecha es de aluminio como se hacen algunas hoy en día.1. 11. 11.OUTLET 9. 10. para simplificar y reducir los cálculos que tiene que hacer el programa y poder obtener los resultados en menos tiempo. Scale-Adaptive Simulation (SAS). K-epsilon Es un modelo donde la turbulencia es una condición de flujo. DEFINICIÓN DEL MODELO USADO PARA LA EJECUCIÓN DE LA SIMULACIÓN El uso de diferentes métodos numéricos arroja diferentes resultados. TIPO DE MODELO El modelo utilizado en este proyecto es estático. para la simulación del modelo computacional se usaron los siguientes tres métodos: kepsilon. sin embargo para el objetivo del proyecto no se necesitan. y aprovechando que el programa ya lo tenía en su base de datos. 11.vt).3. es decir la ecuación en un punto no depende de la solución en otros puntos y hace predicciones muy buenas cuando se usa para resolver problemas relacionados con la aeronáutica.que las de fuerza por viscosidad. Spalart Allmaras Este modelo de turbulencia propuesto por Spalart . La configuración final de términos suministra un control sobre las regiones laminares de las capas de esfuerzos. Scale-Adaptive Simulation (SAS) Este método permite la resolver el espectro de turbulencias para condiciones de flujos inestables. siempre que estos sean mucho más pequeños que los valores en la región turbulenta. Esto se debe al dominio de la zona turbulenta sobre la zona no turbulenta. . Un control que tiene dos aspectos principales: mantener el flujo laminar y la transición donde se decida durante el planteamiento del problema. 11. El modelo es esencialmente insensible a valores distintos de cero. El concepto de SAS está basado en la introducción de la escala de longitud de Von Karman en la ecuación de la escala de turbulencia (Arc. por lo que las perturbaciones no se alcanzan a disipar y el flujo es turbulento.2.Allmaras se diferencia de otros modelos de una sola ecuación debido a que el modelo resultante es local. Esta característica le da un plus adicional al nuevo modelo respecto a varios modelos de dos ecuaciones tomando en cuenta que muchos de ellos son muy sensibles a los valores de la corriente libre. .12. DOS RESULTADOS PREVIOS AL FINAL MODELO 1: En este modelo las presiones están incorrectas debido a que la malla era muy poco refinada y no se alcanzan a generar buenos detalles del contorno de presiones en las flecha. ya que cubre solo algunas partes. En este modelo nos damos cuenta que la malla no estaba bien ajustada a las flechas. por lo cual nos muestra como si la velocidad fuera la misma en toda la malla lo cual es erróneo. ya que podemos ver que los resultados se pueden en todo el contorno de las flechas. . y esto se debe a que la malla utilizada fue más ajustada y era la mas refinada. debido al buen ajuste de la malla y la buena refinación que permite tomar todas las partes y rincones de las flechas. Este modelo tiene las velocidades correctas. MODELO 2 : Este modelo las presiones están mucho mejor. donde la malla más fina arroja unos resultados más acertados que la otra. y es mucho mas grande en sus dimensiones. sin embargo el de la derecha es menos refinado que el de la izquierda. REFINAMIENTO DE MALLA MALLA 1: MALLA 2: Ambos modelos se realizaron con mallas rectangulares.13. esta deja una estela tanto en la cabeza como en la cola. . MALLA 1: MALLA 2: Ya en esta grafica se puede apreciar como dan resultados diferentes. Por otro lado el de la derecha se resolvió con Spalart – Allmaras y el de la izquierda con k-epsilon. pero al ser la flecha tan larga comparada con su sección transversal y a velocidades cercanas a los 70 m/s el fluido tiene tiempo de recuperar su trayectoria. se puede deducir lo anterior ya que la flecha no crea una reducción total de la velocidad en todo su borde. En esta versión de las imágenes se puede ver con mayor claridad lo anteriormente dicho. y también que se corrieron con diferentes tipos de malla. puesto que una malla era cilíndrica y la otra rectangular.Allmaras le hicieron falta iteraciones para llegar al estado que llego la de al lado corriendo con SAS. 14. lo más probable es que a la de la derecha que fue corrida con método Spalart . Test de independencia de malla FLECHAS TIPO EQUIS: En las flechas tipo equis se puede observar que aunque los resultado finales varíen se puede extraer información muy similar de ambas gráficas. . aunque nos podemos dar cuenta que no es de mucha relevancia la malla que se utilice siempre y cuando se hagan el número de iteraciones correctas para que la tolerancia no juegue un papel tan importante en los resultados. ANÁLISIS DE RESULTADOS GRÁFICAS DE CONTORNO DE PRESIONES: FLECHA EN EQUIS: FLECHA CILÍNDRICA: Esta grafican nos permite ver como se distribuyen las presiones por toda la flecha desde la cabeza hasta la cola. donde en la flecha con cabeza en equis permite el paso de una cantidad mayor de aire.15. Como se esperaba la máxima presión la recibe la punta pero se disipa rápidamente por la aerodinámica de la flecha. También se puede observar como en la sección frontal de las plumas se genera una variación de presiones. lo que ocasiones una mayor presión en las plumas en comparación a la flecha con cabeza cónica que no permite el paso de aire. . El contorno de velocidades sobre el sólido es totalmente de color azul. . se ve como la estela parte de los puntos donde el fluido genera turbulencia y como afecta la velocidad a las presiones contorneadas en el sólido. Velocidades y contorno de presión: Esta es la mejor grafica para saber qué pasa con ambas variables a la vez. mostrando que la velocidad más alta se ve cuando el aire sobrepasa la cabeza de las flechas.Líneas de velocidad vista frontal: se puede ver como las líneas de velocidad pasan por la flechas. es decir con velocidad 0. . • CABEZA: • COLA: Velocidad y contorno de presión en la cola y en la punta: son dos formas de ver la mima gráfica. porque es en ese sector donde el fluido no se mueve por la fuerza cortante que genera la pared del sólido. donde en la cola y la cabeza se muestra cómo se generan diferentes velocidades alrededor y en la primera se pueden identificar las magnitudes. como que los resultados sean verídicos. 4. Después de realizar el modelo de las flechas en CFD se concluye que es muy importante ahorrar costo computacional y tiempo de simulación. 2. 7. La correcta generación de las mallas es uno de los pasos más fundamentales para que tanto el programa corra de forma adecuada. Respecto a las flecha modeladas en CFD se reconoce que hizo falta acomodase mejor a la geometría real y que también existe un componente rotacional que no se incluyó por la complejidad que tiene converger a un resultado coherente. la flecha con cabeza cónica es mucha más aerodinámica en comparación a la flecha con cabeza en equis. Podemos ver que al comparar las dos flechas. La correcta generación de las mayas un uno de los pasos más fundamentales para que tanto el programa corra de forma adecuada. Se deben hacer pruebas experimentales que corroboren el modelo computacional para así corregir el sistema o en el caso que este bien.16. De ser necesario resolver el problema de la manera más simple sin distorsionar la realidad. 5. Las flechas a pesar de la variación que tienen en su cabeza ambas muestran ser aerodinámicas. Se debe encontrar un equilibrio entre el costo computacional y el tiempo que se va a disponer para el proyecto. sin que se comprometan los resultados. Para una misma malla y geometría se pueden generar diferentes resultados dependiendo del método numérico usado y los valores de referencia que le imponga al programa. aplicar los resultados en futuras investigaciones. 8. como que los resultados sean verídicos. 3. para sacar el máximo provecho. 9. CONCLUSIONES 1. 6. . wikipedia.com/index.f.1 mediante un software de dinamica de fluidos computacional. (s.). (s.f.5: Bow and Arrow.com/BroadheadTipsCross-Arrows-MK150E/dp/B00A7BRRIK Arc. Obtenido de WikipediaWeb Site. (s.edu/ansys_help/cfx_thry/thry_turb_sas.vt. (14 de Mayo de 2015). Obtenido de Made How Web Site: http://www. Analisis aerodinamico del ala del navigator x-2. Wikipedia.com/Volume-5/Bow-and-Arrow.Bibliografía Amazon. Obtenido http://www.org/wiki/Flecha .com/ Made How.org/wiki/Aire https://es. How Products Are Made vol.f. Bogotá. 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Report "Proyecto Final Mecánica de Fluidos 2 Docx"