Proyecto Dist Elect

ContenidoUnidad I - Estadística Descriptiva ............................................................................... 3 1.1 Población y muestra aleatoria ........................................................................... 15 1.2 Obtener datos estadísticos ................................................................................ 15 1.3 Medidas de tendencia central ........................................................................... 17 1.4 Medidas de Dispersión ..................................................................................... 22 1.5 Tablas de distribución de frecuencia ................................................................ 24 1.6 Calcular Cuantiles ........................................................................................... 41 1.7 Gráficos ............................................................................................................ 44 1.8 Cajas y alambres ............................................................................................... 45 1.9 Diagrama de Pareto .......................................................................................... 47 Unidad II - Probabilidad .............................................................................................. 49 2.1 Probabilidad de eventos .................................................................................... 49 2.2 Espacio muestral ............................................................................................... 49 2.3 Ocurrencia de eventos ...................................................................................... 51 2.4 Permutaciones y combinaciones ....................................................................... 53 2.5 Diagramas de árbol ........................................................................................... 54 2.6 Axiomas de probabilidad .................................................................................. 58 2.7 Independencia y probabilidad condicional ....................................................... 66 2.8 Teorema de Bayes ............................................................................................ 70 Proyecto .................................................................................................................. 75 Unidad III - Funciones de distribución de probabilidades ..................................... 78 3.1 Variables aleatorias y su clasificación .............................................................. 78 3.2 Distribuciones de probabilidad discretas .......................................................... 82 3.3 Distribución de probabilidad Hipergeométrica ................................................ 85 3.4 Distribución de probabilidad Poisson ............................................................... 87 3.5 Distribuciones de probabilidad continuas......................................................... 92 3.6 Distribución t .................................................................................................... 97 3.7 Distribución Chi-cuadrada .............................................................................. 100 3.8 Distribución F ................................................................................................. 103 3.9 Esperanza matemática. ................................................................................... 104 Unidad IV ..................................................................................................................... 121 4.1 Inferencia estadística ...................................................................................... 121 4.2 Muestreo estadístico ....................................................................................... 121 4.3 Estimadores .................................................................................................... 124 4.4 Estimación puntual ......................................................................................... 124 4.5 Estimación por intervalo ................................................................................. 125 4.6 Errores tipo I y II ............................................................................................ 135 4.7 Contraste de hipótesis unilateral y bilateral .................................................... 135 Unidad V ...................................................................................................................... 142 Regresión y correlación ........................................................................................ 142 5.1 Control de calidad ........................................................................................... 142 5.2 Diagrama de dispersión .................................................................................. 143 5.3 Regresión lineal simple .................................................................................. 145 5.4 Correlación ..................................................................................................... 146 5.5 Determinación y análisis de los coeficientes de correlación y de determinación. .............................................................................................................................. 147 5.6 Distribución normal bidimensional ................................................................ 148 5.7 Intervalos de confianza y pruebas para el coeficiente de correlación. ........... 149 5.8 Errores de medición. ....................................................................................... 150 Unidad IV ..................................................................................................................... 161 4.1 Inferencia estadística ...................................................................................... 161 4.2 Muestreo estadístico ....................................................................................... 161 4.3 Estimadores .................................................................................................... 164 4.4 Estimación puntual ......................................................................................... 164 4.5 Estimación por intervalo ................................................................................. 165 4.6 Errores tipo I y II ............................................................................................ 175 4.7 Contraste de hipótesis unilateral y bilateral .................................................... 175 Unidad V ...................................................................................................................... 182 Regresión y correlación ........................................................................................ 182 5.1 Control de calidad ........................................................................................... 182 5.2 Diagrama de dispersión .................................................................................. 183 5.3 Regresión lineal simple .................................................................................. 184 5.4 Correlación ..................................................................................................... 185 5.5 Determinación y análisis de los coeficientes de correlación y de determinación. .............................................................................................................................. 186 5.6 Distribución normal bidimensional ................................................................ 187 5.7 Intervalos de confianza y pruebas para el coeficiente de correlación. ........... 188 5.8 Errores de medición. ....................................................................................... 189 Unidad I - Estadística Descriptiva 1. Consideraciones Generales La estadística descriptiva maneja los datos obtenidos para su ordenación y presentación, y hacer resaltar ciertas características de manera que sean mas objetivas u útiles; por ello, investiga los métodos y procedimientos, y establece reglas para que el manejo de los datos sea eficiente, para que la información presentada resulte confiable, exprese en lenguaje sencillo los contenidos para que el mayor numero de personas lo comprenda y puedan establecer comparaciones y obtener conclusiones. Población La investigación estadística es la operación que se refiere a la recopilación de información sobre una población o colectivo de individuos u objetos que tienen una característica común. Muestra Subconjunto propio o parte tomada de una población La Investigación estadística es la operación que se refiere a la recopilación de información sobre una población o colectivo de individuos, medias u objetos que tienen una característica común, e incluye: a) Señalamiento del elemento de la población que origina la información (unidad de investigación), puede ser: una industria, un hogar, la persona, etcétera; pero en todo caso la unidad debe ser en su definición medible y fácilmente identificable. b) Citar: qué se investiga; cómo se debe realizar, cuándo se llevara a cabo, y en lugar de la investigación que es el dónde. c) La recolección de la información incluye: ordenarla, filtrarla eliminando posibles errores y analizarla, aplicando los métodos y normas estadísticos. d) La publicación de la información, ya sea para uso propio o ajeno. 2. Presentación de la Información Una vez obtenida la información resultante de una investigación estadística, que puede haberse efectuado, por ejemplo, en medicina, para estudiar el comportamiento de enfermos sujetos a un tratamiento específico; en educación, los ensayos orientados a estudiar los campos de actitud y aprendizaje de alumnos sometidos a ciertos procesos educativos; en la agricultura, dirigidos a medir el efecto de un insecticida bajo ciertas condiciones que varían bajo el control del investigador, etcétera. A continuación es necesario escoger la forma de organizarla para su análisis o para su publicación que puede ser en: - Cuadros numéricos - Gráficos y Pictogramas 3. Cuadros Numéricos de Información A. Representación tabular Las líneas horizontales y las columnas verticales deben disponerse de manera que resalten los aspectos que se desean mostrar y las comparaciones que se quieren hacer notar. Incluirá: a) Título. Donde se indica el objeto del cuadro. b) Columna principal. Lugar donde se anotan las categorías. c) Encabezado de las columnas, donde se explica el objeto de cada una de ellas. d) Cuerpo. Lugar donde se supone la información. e) Notas de pie. Ahí se aclaran algunas operaciones y se indica la fuente de la información. Problema El contador de una compañía industrial informa que durante el mes de marzo pasado el total de ventas fue de $11 745 420 y la nomina de pago del mes por departamento fue así: personal administrativo $425 760, personal de ventas y promoción $528 750 y de producción $2 765 450. Elabora el cuadro que se señale: a) Porcentaje de cada departamento con relación al total de la nomina. b) Porcentaje de cada departamento con relación al total de ventas. Resolución Nómina de pago por departamento Mes de Marzo Total de ventas en le mes $11 745 420 Departamento Gastos mes % nómina % ventas Administración Ventas Producción 425 760 528 750 2 765 450 11.44 14.21 74.35 3.62 4.50 23.54 Totales $3 719 960 100.00 31.66 Operaciones que hicimos para llenar el cuadro: Calculamos por interpolación polar. (Razones y Porciones): Nomina: 3 719 960: 100 3 719 960 :: x= x= x= 425 760 : x 425 760 (100) 42 576 000 3 719 960 11.44% 3 719 960: 100 3 719 960 :: x= x= x= 528 750 : x 528 750 (100) 51 875 000 3 719 960 15.21% 3 719 960: 100 3 719 960 :: x= x= x= 2 765 450 : x 2 765 450 (100) 276 545 000 3 719 960 74.34% Ventas: 11 745 420: 100 3 719 960 :: x= x= x= 425 760 : x 425 760 (100) 42 576 000 11 745 420 3.62% 11 745 420: 100 3 719 960 :: x= x= x= 528 750 : x 528 750 (100) 51 875 000 11 745 420 4.50% 11 745 420: 100 3 719 960 :: x= x= x= 2 765 450 : x 2 765 450 (100) 276 545 000 11 745 420 23.54% Problema Un representante de la Secretaría de Gobernación ante un sorteo organizado por una casa que vende material deportivo, para entregar tres premios consistentes, cada uno, en un viaje para 2 personas a Rotterdam, Holanda, a la semifinal de la Eurocopa informa: En al primera extracción de un boleto el premio fue con el número de folio 007950 y corresponde a Manuel López Galicia; en la segunda extracción el premio corresponde a el número de folio 015162 para María Roy Martínez; en la tercera extracción el premio fue para el número de folio 008032 para Yolanda Uribe May. Elabora el cuadro correspondiente a esta información. Cuadro de ganadores promoción Deportes Parti Permiso de Gobernación con números S – 0322 – 2000 Sorteo realizado el día 20 de junio del 2000 Número de extracción Número de folio Número del ganador Premio 1 2 3 007950 015162 008032 Manuel López Galicia María Roy Martínez Yolanda Uribe May Final Eurocopa Final Eurocopa Final Eurocopa B. Cuadros cronológicos Se usan para expresar las variaciones cronológicas de población, producción, salarios, etcétera; el periodo que se cita en estos cuadros depende de lo que se desea comprar o mostrar. Problema Elabora un cuadro cronológico de ganancias de una fábrica de piezas de motor en el quinquenio 1994-1998 que exprese: a) Las variaciones de cada año en tanto por ciento con base (con relación) al año anterior b) Del año 1998 con base (con relación) al año 1994. Si las ganancias en miles de pesos fueron de 1994 = 575; 1995 = 644; 1996 = 730.94; 1997 = 672.47 1998 = 749.80. Ganancias de la compañía en miles de pesos durante el quinquenio 1994 - 1998 Año Ganancia % variación Base año anterior Base año 1994 1994 1995 1996 1997 1998 575 644 730.94 672.47 749.80 12 13.5 -8 11.49 30.4 Operaciones Con la interpolación polar El 112% significa que la ganancia de 1995 fue de 12% más de la obtenida en 1994 (que es el 100%) Para las demás, razonamos en forma semejante. 575 : 100 574 :: x= x= x= 644 :: x 644 (100) 64 400 512 112% 644 : 100 644 113.4 - 100 :: x= x= x= = 730.94 :: x 730.94 (100) 73 094 644 113.5% 13.5% 730.94 : 100 730.94 92 - 100 :: x= x= x= = 672.47 :: x 672.47 (100) 67 247 730.94 92% -8% 4. Gráficos y pictogramas La forma de presentar esta información por medio de ideográficos dependerá del nivel cultural del auditorio a que va dirigido, del lugar de exposición: periódicos, revistas, televisión, escuelas, etcétera, que se deben analizar para escoger el mejor diseño; los métodos más usuales son: Gráficos de líneas, pictogramas o pictográficos, gráficos de barras y gráficos circulares. A. Gráficos de líneas Se usan para representar las distribuciones de frecuencias que estudiaremos posteriormente en apartados en la parte correspondiente; y en series cronológicas. Los gráficos son una representación estadística de utilidad para dar a conocer una idea global sobre un programa en que se aplican procedimientos estadísticos, los datos que proporcionan son aproximados y por ello se debe ser cuidadoso en su elaboración. Si en los gráficos se dibujan simultáneamente varios diagramas, la vista del usuario tiene dificultad para identificarlos, aunque éstos se hayan diferenciado con colores o por diferente tipo de trazado. Además, la cantidad de información que proporciona un gráfico no es tan completa y extensa como la de un cuadro que tiene varias columnas que se leen por separado. Al trazar un gráfico de líneas (diagramas lineales) se tomarán en consideración los conceptos siguientes: - La curva debe trazarse mas gruesa que las coordenadas para que resalte. - La “unidad” de medida que se utilice debe destacarse claramente (no necesariamente de un centímetro). - La longitud se seleccionará de modo que la gráfica resulte balanceada. - En notas al pie se citarán conceptos aclaratorios de la curva. - El cero de la escala vertical siempre debe colocarse. - De ser posible se cita la fuente de información. - Se localizan por las coordenadas correspondientes los puntos de interés, y se unen por segmentos de rectas, formándose así una poligonal que es el diagrama de la serie cronológica. - Es necesario tener cuidado con la escala de los ejes, pues es posible manejarlos en forma engañosa, como se puede apreciar en el siguiente problema. 672.47 : 100 672.47 111.49 - 100 :: x= x= x= = 749.80 :: x 749.80 (100) 74 980 672.47 111.49% 11.49% 575 : 100 575 130.4 - 100 :: x= x= x= = 749.80 :: x 749.80 (100) 74 980 575 130.4% 30.4% Problema Una compañía industrial trata de vender acciones y su departamento de contabilidad presenta dos gráficas sobre su producción en el periodo de 1994 – 1998. Decide cuál de las dos gráficas presenta los datos con más veracidad. Es la más veraz Las dos gráficas presentan hechos reales, pero se crearon en los diagramas dos imágenes diferentes para un mismo suceso estadístico alterando los valores del eje vertical y la “unidad” de la medida en la horizontal. Problema Consulta de un periódico de circulación nacional y observa el índice UV del día que tú decidas. El índice UV se refiere al daño que los rayos ultravioleta pueden hacer a un humano. Cuando el índice UV está por encima de 9, los rayos UV-B son extremadamente fuertes y la piel sufrirá quemaduras en menos de 15 minutos. Los periodos de quemadura de la piel por exposición al Sol están calculados con base en una piel clara no bronceada; el lapso de tiempo sería un poco más prolongado para aquellos con la piel más oscura. Tiempo Exposición al Sol Calificación mas de 9 min De 7 – 9 De 4 – 7 De 0 – 4 menos de 15 min 20 min 20 min más de una hora Extremo 50 Alto Moderado Bajo Problema Se cita a continuación una gráfica que señala la tendencia alcista de las tasas de interés internacionales. ¿Qué concluyes? Ahí permanecerá, excepto que en fecha próxima sea necesario encarecer el dinero para bajar el consumo, y así evitar presiones inflacionarias. B. Pictogramas Un pictograma es la representación de datos estadísticos con símbolos que por su forma sugieren la naturaleza del dato, se utiliza para expresar comparaciones que atraigan la atención general, cualquiera que sea el nivel cultural del lector, su representación no sirve para análisis estadísticos y únicamente permite obtener conclusiones válidas muy generales. Al hacer la representación con un pictograma se debe utilizar figuras del mismo tamaño, las aproximaciones se hacen con fracción de la figura, mitad y hasta cuartos, y la cantidad que representa cada figura se indica con claridad en el encabezado. Problema Con motivo del reciente Censo Nacional de Población la información oficial preliminar del INEGI, señala: habitamos la republica Mexicana una población de 97.4 millones de habitantes de los cuales 47.4 millones son hombres y 50 millones son mujeres; de todos éstos, 24.64 millones es población rural, 72.76 millones urbana y dentro de la urbana el 17.79 millones corresponde a la zona urbana del Valle de México. Agrega que la tasa de crecimiento anual fue: en los años 1980 – 1990 el 2.4%; en el quinquenio 1990 – 1995 el 2.1% y de 1995 – 2000 disminuyó a 1.6%; por la tasa de crecimiento ocupamos el sexto lugar en el mundo. Que en el año de 1980 éramos 88.8 millones, en 1990 subimos a 81.2 y en 2000 alcanzamos la de 97.4, ocupando así el onceavo lugar en el mundo. El crecimiento absoluto por estados es en millones de habitantes: Estado de México 3.27; Jalisco 1.02; Puebla 0.94; Baja California 0.83; Nuevo León 0.73; los otros con 9.31. Los más poblados en millones de habitantes son: Estado de México con 13.08; Distrito Federal 8.59; Veracruz 6.90; Jalisco 6.32 y Puebla con 5.07. Representa gráficamente esta información. a) Población en la republica Mexicana: 97.4 millones de habitantes b) Distribuido así: Aumentó la población de 1990 al 2000, en: 1980 1990 2000 éramos 66.8 81.3 97.4 Del aumento de 97.4 – 81.3 = 16.1 se repartieron así: Estado de México Jalisco Puebla Baja California Nuevo León Otros Estados 3.27 1.02 0.94 0.83 0.73 9.31 Estados más poblados (millones de habitantes) Estado de México Distrito Federal Veracruz Jalisco Puebla 13.08 8.59 6.90 6.32 5.07 Crecimiento: Disminuyó 1980 – 1990 2.4% 1990 – 1995 2.1% 1995 – 2000 1.6% 5. Gráficos de barras Los gráficos de barras proporcionan más información y permiten una apreciación estadística mejor que los pictogramas con sus figuras más llamativas. Se utilizan para datos nominales, variables cardinales y variables ordinales, Para su elaboración se tomará en cuenta lo siguiente: En el gráfico se evitará que las barras resulten muy anchas o excesivamente altas; se dejará un espacio entre las barras que no sea inferior a la mitad del ancho de ellas; si el gráfico incluye muchas barras, es mejor sustituirlo con un diagrama lineal Problema Una fuente de trabajo y entrada de divisas extranjeras al país, es la venta de la bebida “tequila” en los mercados de Japón, Alemania, Estados Unidos y otros. La demanda aumenta y la materia prima del “agave”, escasea cada vez más, por ello los industriales del ramo han decidido plantar los próximos 6 años 263 millones de hijuelos de agave para evitar la escasez. Así en el presente año y el próximo de 35 mil en cada uno; en el 2002, 37 mil y en cada uno de los restantes 39 mil. Expresa esta solución con un gráfico de barras. Podemos Concluir: Con base en los nacimientos entre 1980 – 1990 de 2.4%, en la actualidad la demanda de estos jóvenes es alta en las escuelas de enseñanza media superior y superior; en cambio, por los nacidos entre 1995 – 2000, apenas grupos de 20 a 25 alumnos. Estas barras también se pueden disponer en forma horizontal. Problema El siguiente gráfico de barras expresa las ventas en las tiendas de autoservicio y departamentales en el mes de diciembre de 1990 y los de enero a abril del 2000, inclusive. ¿Qué se puede concluir? Cuando el consumo aumenta y las personas empezamos a “gastar” en cosas innecesarias, superfluas y no ahorramos, las autoridades económicas, a fin de evitar presiones inflacionarias, reducen el circulante con un “corto”. Conclusión: Hay mucho dinero circulante que no corresponde a nuestra capacidad de producción 6. Gráficos circulares Se usan para presentaciones gráficas de distribuciones porcentuales, y si se quiere utilizarlas en secuencias cronológicas es necesario dibujar círculos iguales, uno por cada año, señalando en cada uno la correspondiente distribución porcentual. El círculo de 360°tiene un área de 100%; un sector representa un tanto por ciento equivalente a la razón entre el ángulo que forman los radios que limitan el sector y los 360°que son el total de grados de la circunferencia; en la forma siguiente: Problema El gas natural es uno de los principales insumos para la generación de electricidad a través de las termoeléctricas; de uso en la industria y en los hogares como combustible. La Secretaría de Energía en el año de 1999 fue de 35 675.1 megawatts, generados así: Termoeléctrica Hidroeléctrica Carboeléctrica Nucleoeléctrica Geotermoeléctrica y eoleoeléctrica 21 351.1, el 59.8% 9662.8, el 27.1% 2600, el 7.3% 1309, el 3.7% 752.1, el 2.1% De esas fuentes, la Carboeléctrica resulta contaminante por el uso del carbón como combustible. Representar ésta información en un gráfico circular. La industria eléctrica demanda mucho gas natural. A mayor industrialización, que así se espera con los nuevos tratados económicos, mayor número de empleos, mayor demanda de energía eléctrica y encarecimiento del gas natural, industrial y doméstico. Procura que en tu casa, de ser posible, se instale un aparato que capte la energía solar; en países como Japón, Israel y Estados Unidos lo usan con éxito y disponen de pocos meses en que hay “Sol”; hay estados como el de Morelos, Zacatecas y otros muchos en los que el 90% de días en el año son con Sol 1.1 Población y muestra aleatoria Población Población; la investigación estadística es la operación que se refiere a la recopilación de información sobre una población o colectivo de individuos u objetos que tienen una característica común. Muestra aleatoria Es una muestra sacada de una población de unidades, de manera que todo elemento de la población tenga la misma probabilidad de selección y que las unidades diferentes se seleccionen independientemente. 1.2 Obtener datos estadísticos Datos; señalamientos del elemento de la población que origina la información, puede ser: una industria, hogar, una persona, etc. pero en todo caso, la unidad debe ser en su definición medible y fácilmente identificable. Organización de datos Cualitativos: Si sus valores (modalidades) no se pueden asociar naturalmente a un número (no se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos).  Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar Sexo, Grupo Sanguíneo, Religión, Nacionalidad, Fumar (Sí/No)  Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar Mejoría a un tratamiento, Grado de satisfacción, Intensidad del dolor  Arrojan respuesta categórica.  Miden cualidades Cuantitativos: Si sus valores son numéricos (tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellos)  Discretas: Si toma valores enteros Número de hijos, Número de cigarrillos, Número de “cumpleaños”  Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios.  Altura, Presión intraocular, Dosis de medicamento administrado, edad  Producen respuestas numéricas.  Miden cantidades Tipos de datos cuantitativos Discretos:  Si el número de posibles valores que puede tomar es contable (número naturales).  Generalmente resultan de un proceso de conteo Continuos:  Si sus posibles valores están en el continuo (números reales).  Generalmente resultan de un proceso de medición Manejo de los datos a) Citar qué se investiga, como se debe realizar, cuando se llevara a cabo y el lugar de la investigación que es el donde. b) La recolección de la información incluye, ordenarla, eliminar posibles errores y analizarla, aplicando los métodos y normas estadísticas. c) La publicación de la información ya sea para uso propio o ajeno. Presentación de la información. Una vez obtenida la información resultante de una investigación estadística, que puede haberse efectuado, por ejemplo, en medicina, para estudiar el comportamiento de enfermos, sujetos a un tratamiento específico: Se escoge la forma de organizarla para su análisis o publicación puede ser en: - Histogramas - Ojivas - Polígonos de frecuencias - Pictogramas - Gráficas de barras o circulares 1.3 Medidas de tendencia central En los capítulos anteriores, nos referimos a la clasificación, ordenación y presentación de datos estadísticos, limitando el análisis de la información a la interpretación porcentual de las distribuciones de frecuencia. El análisis estadístico propiamente dicho, parte de la búsqueda de parámetros sobre los cuales pueda recaer la representación de toda la información. Las medidas de tendencia central, llamadas así porque tienden a localizarse en el centro de la información, son de gran importancia en el manejo de las técnicas estadísticas, sin embargo, su interpretación no debe hacerse aisladamente de las medidas de dispersión, ya que la representatividad de ellas está asociada con el grado de concentración de la información. Las principales medidas de tendencia central son: - Media aritmética. - Mediana - Moda. Media Aritmética Cotidiana e inconscientemente estamos utilizando la media aritmética. Cuando por ejemplo, decimos que un determinado fumador consume una cajetilla de cigarrillos diaria, no aseguramos que diariamente deba consumir exactamente los 20 cigarrillos que contiene un paquete sino que es el resultado de la observación, es decir, dicho sujeto puede consumir 18, un día; 19 otro; 20, 21, 22; pero según nuestro criterio, el número de unidades estará alrededor de 20. Matemáticamente, la media o promedio (también llamada media aritmética) formaliza el concepto intuitivo de punto de equilibrio de las observaciones. Es decir, es el punto medio del recorrido de la variable según la cantidad de valores obtenidos. Se expresa ∑ La media aritmética se define como la suma de los valores observados dividida entre el número de observaciones. Por lo que se vio la mayor densidad de frecuencia está en la parte central de las gráficas, de ahí el nombre de medidas de tendencia central que se da a la media aritmética, la mediana y a la moda. Las medidas de posición son aquellos valores numéricos que nos permiten o bien dar alguna medida de tendencia central, dividiendo el recorrido de la variable en dos, o bien fragmentar la cantidad de datos en partes iguales. La media Donde n: es el número de observaciones x: el valor de cada observación x : es la media aritmética, media o x barra La media es la única de las medidas de tendencia central que puede intervenir en operaciones algebraicas. Ese valor tiene varias propiedades importantes: 1) Si x es una de las variables, su desviación respecto a x es la diferencia x x ÷ . La suma de estas diferencias es cero. ( ) ¿ = = ÷ n i i x x 1 0 En toda distribución, la suma de las desviaciones de cada uno de los valores de la variable respecto a la media es cero. 2) Si se toman una cantidad cualquiera de conjuntos de valores, cada uno con su respectiva media, la media del conjunto general es igual a la suma de cada una de las medias de los diferentes conjuntos. 3) Es posible hallar la media de un conjunto de valores de una variable a partir de tomar la distancia de las observaciones a un valor cualquiera (pertenezca o no al recorrido de la variable) 4) Si a un conjunto de observaciones de una variable se le realiza una operación matemática usando un valor constante, entonces la media del nuevo grupo de valores así obtenidos es igual a la aplicación de la misma operación matemática usando ese valor constante sobre la media original. Media para datos sin agrupar Dado un conjunto de observaciones n x x x ,...., , 2 1 la media se representa mediante x y se obtiene dividiendo la suma de todos los datos por el número de ellos, es decir: ∑ Problema Hallar la media aritmética de los siguientes valores: 5, 7, 8, 10, 15. ∑ Problema Cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana. Lunes: 18 Martes: 21 Miércoles: 22 Jueves: 21 Viernes: 20 Sábado: 19 Domingo: 19 Entonces la media aritmética es. n x n x x x x n i i n ¿ = = + + + = 1 2 1  20 7 19 19 20 21 22 21 18 7 1 = + + + + + + = ¿ = i i x El fumador consume en promedio 20 cigarrillos diarios. Ejercicios 1. Si las notas de un alumno en las distintas asignaturas de un curso durante una evaluación fueron: 7; 5; 6,5; 3,7; 5, 6,2. Hallar la nota media de la evaluación. 2. La media de 6 elementos se sabe que es 10. Sabiendo que cinco de ellos son: 8, 12, 13, 5 y 9, hallar el elemento que falta. Mediana y Moda La mediana y la moda son medidas de tendencia central que por sus propiedades destacan los valores individuales de un colectivo. A. Mediana La mediana se define como el valor que divide un conjunto de datos previamente ordenados de menos a mayor y es el punto intermedio entre ellos dos. Si el número N de datos es impar, entonces hay un número intermedio; por ejemplo, si se tienen los datos 3, 5, 7, 9, 11 el número 7 es el número intermedio. Si el número N de datos es par, entonces hay dos datos intermedios; por ejemplo, la media de los valores 8, 10, 16, 19, 23, 25, hay dos valores centrales que son 16 y 19, el valor equidistante entre ellos es la mediana: 5 . 17 2 35 2 19 16 = = + es la mediana B. Moda En un conjunto de datos de una distribución de frecuencias, la moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia; por ejemplo, en los valores 1, 2, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, la moda es 6. Media Ponderada Por lo general, en Estadística, los datos se nos presentan agrupados mediante una distribución de frecuencias que hace que no todos los elementos de la serie tengan el mismo peso específico, y eso influye a la hora de calcular la media, por eso se llama media ponderada. Se define como la suma de los productos de cada elemento de la serie por su frecuencia respectiva, dividida por el número de elementos de la serie. Si n x x x ,...., , 2 1 son las cantidades n c c c ,...., , 2 1 las respectivas ponderaciones, entonces la media ponderada x es: ¿ ¿ = = = + + + + + + = n i i n i n n n c x c c c c x c x c x c x 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1   donde i c es la frecuencia o número de veces que se repite un valor. También i c puede ser la ponderación de cada valor x i . Para calcular la media aritmética de una distribución de frecuencias agrupadas consideramos que a todos los valores que hay dentro de un intervalo de clase se les considera de un mismo valor igual al de la marca de clase y las frecuencias son las ponderadas de los valores en correspondencia con las marcas de clase y la suma de las frecuencias es el total de veces que se tiene registro. ∑ ∑ Problema Durante el mes de octubre de 1981 los salarios recibidos por un obrero fueron: Salario en pesos Frecuencia en días 200.000 5 220.000 15 300.000 4 Hallar el salario medio durante ese mes. ( ) ( ) ( ) 24 4 000 . 300 15 000 . 220 5 000 . 200 + + = x Problema El número de días necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de iguales características han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 días. Calcular la media, mediana, moda, varianza y desviación típica. La media: suma de todos los valores de una variable dividida entre el número total de datos de los que se dispone: ∑ La mediana: es el valor que deja a la mitad de los datos por encima de dicho valor y a la otra mitad por debajo. Si ordenamos los datos de mayor a menor observamos la secuencia: 15, 21, 32, 59, 60, 60,61, 64, 71, 80. Como quiera que en este ejemplo el número de observaciones sea par (10 individuos), los dos valores que se encuentran en el medio son 60 y 60. Si realizamos el cálculo de la media de estos dos valores nos dará a su vez 60, que es el valor de la mediana. La moda: el valor de la variable que presenta una mayor frecuencia es 60 1.4 Medidas de Dispersión La media aritmética, mediana y la moda describen el comportamiento de los datos en una distribución de frecuencias. Estas medidas no proporcionan información sobre la forma en que están distribuidos o dispersos los valores con relación a la tendencia central, y poco informan sobre un dato específico con relación a los otros en la distribución de frecuencias. Estudiaremos la desviación media, la varianza y la desviación estándar, que miden la dispersión. Rango En toda distribución hay valores extremos, uno menor y otro mayor, la diferencia entre estos valores se llama rango y en el están distribuidos todos los demás valores. Es una medida de dispersión y es la más fácil de obtener. Desviación media La desviación media y la varianza son medidas de dispersión que tienen relación con la media aritmética, ya que las tres tienen propiedades algebraicas que les permiten su uso en relaciones matemáticas que son la base estructural de los análisis estadísticos; por sus propiedades algebraicos son las medidas de dispersión de más frecuente aplicación y de mayor importancia. La media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de cada uno de los valores de la variable, respecto a la media aritmética, es la desviación media. Para datos no agrupados, se tiene ∑ | | Y para datos agrupados ∑ | | Probl ema Calcular la desviación media de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 ∑ ∑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | Varianza La varianza ( ) es la media aritmética de los cuadrados de desviaciones respecto a la media aritmética. La varianza ( ) para datos no agrupados se obtiene con: ∑ ( ) Para datos agrupados ∑ ( ) Problema Calcula la desviación media DM y la varianza de la serie de números 9,10,2,7,12,6,5,8,12,10 ∑ ∑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Desviación estándar o típica La desviación estándar o desviación típica, es la raíz cuadrada de la varianza. Desviación estándar √ La desviación estándar es la más importante de todas las medidas de dispersión ya que incluye más o menos el 68% de los términos de una distribución normal; además, por sus propiedades algebraicas se utiliza con facilidad en el análisis estadístico. 1.5 Tablas de distribución de frecuencia Elaborar Tabla de distribución de frecuencias Una vez reunidos los datos de un colectivo para obtener a partir de ellos conclusiones, es necesario organizarlos en una tabla de distribuciones de frecuencia. La cual nos representa una función, se clasifican en tres tipos, según el número de observaciones y al número de valores distintos que toma la variable. Distribución de tipo uno. Son aquellas que constan de un reducido número de observaciones y en consecuencia de un reducido número de valores distintos que toma la variable. Distribuciones de tipo dos. Son las que el número de observaciones es grande, pero el número de valores distintos que toma la variable son pequeño; en este tipo, se distribuyen o agrupan los resultados disponibles en dos columnas, una para los valores distintos que toma la variable y otra para la frecuencia de cada uno de ellos. Problema. Para determinar el grado de nutrición de 20 alumnos de secundaria se toma la altura en cm de cada uno de ellos y son: 128 146 136 136 152 140 124 134 142 138 136 120 130 136 132 136 134 142 132 144 Para facilitar su interpretación se ordenan de forma ascendente o descendente, a este proceso se le llama orden de rango. 120 132 136 142 124 134 136 142 128 134 136 144 130 136 138 146 132 136 140 152 Para proceder a organizar los datos se usa la tabla de frecuencia que expresa el número de casos de cada categoría. Distribución de tipo tres Si el número de observaciones y el número de valores que toma la variable son grandes para su manejo se agrupan las observaciones en intervalos i i L L ÷ ÷1 , eligiendo entre ellos una amplitud fija o variable, mismos que se anotarán en una primera columna; en la segunda, se tabularán os valores para facilitar su conteo; y en la tercera, se pondrá el número de frecuencia f correspondiente a cada intervalo. Los grupos o categorías que incluye i i L L ÷ ÷1 se llaman intervalos de clase; los valores 1 ÷ i L son los límites inferiores y i L los límites superiores de estos intervalos. Clases i i L L ÷ ÷1 Tabulaciones Frecuencias (f) i f 1 0 L L ÷ 2 1 L L ÷   k k L L ÷ ÷1 k f f f 2 1 La frecuencia absoluta o simplemente frecuencia, es el número de veces que se repite la variable i x ; así 1 f , es el número de veces que se repite la observación 1 x , 2 f el número de veces que se repite la observación 2 x , etc. Problema En un examen departamental de física se examinaron 50 alumnos con los siguientes resultados; 87 66 73 68 48 37 76 85 74 65 93 77 66 83 68 49 57 38 69 78 89 96 78 97 74 76 68 63 70 81 64 83 67 61 90 77 88 74 75 80 71 73 61 57 72 80 77 85 80 89 Expresamos la tabla de frecuencia, con los datos en forma ascendente. 37 65 72 77 85 38 66 73 77 85 48 66 73 78 87 49 67 74 78 88 57 68 74 80 89 57 68 74 80 89 61 68 75 80 90 61 69 76 81 93 63 70 76 83 96 64 71 77 83 97 Tabla de frecuencias Clases i i L L ÷ ÷1 Tabulaciones Frecuencias (f) i f 35-39 II 2 40-44 0 45-49 II 2 50-54 0 55-59 II 2 60-64 IIII 4 65-69 IIIII II 8 70-74 IIIII III 8 75-79 IIIII III 8 80-84 IIIII I 6 85-89 IIIII II 6 90-94 II 2 95-100 II 2 Marca de clase. Una vez hecho todo lo anterior y antes de aplicar a la información los métodos estadísticos, es necesario sustituir cada intervalo por un número, a este número se le llama marca de clase y es el valor central de cada intervalo, es decir la media aritmética de los límites inferior y superior, se obtiene así: Marca de clase = 2 1 i i i L L x + = ÷ Tabla de frecuencias Clases i i L L ÷ ÷1 Tabulaciones Marca de clase Mc i x Frecuencias (f) i f 1 0 L L ÷ 2 1 L L ÷   k k L L ÷ ÷1 k x x x 2 1 k f f f 2 1 Los datos obtenidos los anotamos en la tabla de frecuencias Clases i i L L ÷ ÷1 Tabulaciones Marca de clase mc i x Frecuencias (f) i f 35-39 II 37 2 40-44 0 42 0 45-49 II 47 2 50-54 0 52 0 55-59 II 57 2 60-64 IIII 62 4 65-69 IIIII II 67 7 70-74 IIIII III 72 8 75-79 IIIII III 77 8 80-84 IIIII I 82 6 85-89 IIIII II 87 7 90-94 II 92 2 95-99 II 97 2 Diagrama de frecuencia de puntos El diagrama de frecuencia de puntos es una información gráfica de cómo están distribuidos los datos sobre el rango (contradominio en el cálculo). Diagrama de barras El diagrama de barras es la representación gráfica que se usa cuando se dispone de muchas observaciones pero pocos valores de la variable (distribución de tipo dos). Se elabora señalando en el eje de las x (abscisas) de un sistema de ejes coordenados, los valores de la variable, poniendo sobre ellas unas columnas a escala de las alturas igual a la frecuencia de cada uno de los valores, medidos en el sentido del eje de las y (ordenadas). Problema Un grupo de 15 alumnos presenta examen extraordinario de química; un funcionario de la escuela necesita saber cuántos alumnos obtuvieron calificación inferior a 6 y cuántos entre 6 y 8. Para resolver este tipo de problemas, ordenamos las calificaciones en una tabla de frecuencias y contestamos preguntas como “inferior o igual que” y “superior a”. Así: x y 0 puntos 0 1 puntos 2 2 puntos 1 3 puntos 3 4 puntos 0 5 puntos 2 6 puntos 3 7 puntos 1 8 puntos 2 9 puntos 1 10 puntos 0 De donde 8 alumnos obtuvieron una calificación menor a 6, y 6 su calificación está entre 6 y 8. Histograma. Datos agrupados El histograma es la gráfica más usual y se utiliza cuando el número de observaciones y el número de valores que toma la variable son grandes (distribuciones de tipo tres). Los histogramas son una forma de representación de la frecuencias de clase por medio de áreas rectangulares (barras), pero son diferentes a los diagramas de barras cuyas alturas miden el tamaño de la variable y generalmente se dibujan separadas, dejando espacios entre ellas; en cambio, en los histogramas las frecuencias quedan representadas por el área de los rectángulos, no por sus alturas, y las barras necesariamente se dibujan sin dejar espacios entre ellas. Histograma Concepto de densidad La densidad física es un concepto relativo que relaciona el volumen de un cuerpo con su masa. En estadística, por la densidad de frecuencia, se obtiene la frecuencia absoluta o número de casos que hay dentro del intervalo de clase En los histogramas, el eje vertical mide la densidad de frecuencias y el eje horizontal mide los intervalos de clase. Así: Longitud de los ejes para expresar un histograma El eje vertical debe ser tres cuartos de la longitud del eje horizontal, el cual se escoge de acuerdo con la necesidad del problema. Problema Traza el histograma de la distribución de frecuencia agrupadas siguientes: 0 5 10 15 20 25 30 Series1 Clases i i L L ÷ ÷1 Tabulaciones Frecuencias (f) i f 35-39 II 2 40-44 0 45-49 II 2 50-54 0 55-59 II 2 60-64 IIII 4 65-69 IIIII II 7 70-74 IIIII III 8 75-79 IIIII III 8 80-84 IIIII I 6 85-89 IIIII II 7 90-94 II 2 95-100 II 2 Para trazar el histograma procedemos así: Sobre el eje de las abscisas ponemos a escala los valores de la variable x (los puntajes), por intervalos. Se trazan perpendiculares sobre el eje horizontal de la longitud que sea necesaria C1 F r e q u e n c y 100 90 80 70 60 50 40 10 8 6 4 2 0 Mean 73.46 StDev 13.31 N 50 Histogram of C1 Normal Polígonos de frecuencia El polígono de frecuencia se obtiene uniendo los puntos medios de los intervalos de clase del histograma Frecuencia acumulada: Ojivas El cuadro siguiente expresa la distribución de frecuencias agrupadas no acumulativas que se elaboro Clase Frecuencias 123.5-128.5 128.5-133.5 133.5-138.5 138.5-143.5 143.5-148.5 148.5-153.5 153.5-158.5 158.5-163.5 163.5-168.5 4 4 8 21 6 25 21 10 1 Total 100 La frecuencia acumulada, se obtiene acumulando la frecuencia absoluta. Problema Con base en el cuadro anterior de distribución de frecuencias agrupadas, obtener dos cuadros; el de frecuencias acumuladas hacia abajo y otro de frecuencias acumuladas hacia arriba, y trazar las ojivas correspondientes. Cuadro A Frecuencia acumulada de estaturas que expresa el número de alumnos que miden menos de la estatura indicada. Estatura Núm. De alumnos 123.5 128.5 133.5 138.5 143.5 148.5 153.5 158.5 163.5 168.5 0 4 8 16 37 43 68 89 99 100 Cuadro B Frecuencia acumulada de estaturas que expresa el número de alumnos que miden más de la estatura indicada. Estatura Núm. De alumnos 123.5 128.5 133.5 138.5 143.5 148.5 153.5 158.5 163.5 168.5 100 96 92 84 63 57 32 11 1 0 Distribución de frecuencias relativas Poder organizar la información en una tabla de frecuencias, presentarla en cuadros, marcar los intervalos de clase y hacer las gráficas de frecuencias absolutas, permiten relacionar y comprender los valores de un mismo colectivo. Frecuencia relativa; es el resultado de dividir c/u de las frecuencias absolutas por el tamaño de la muestra. La frecuencia relativa de una clase se obtiene en tanto por ciento, que es la nueva base, si dividimos la frecuencia de la clase entre el número total de frecuencias y el resultado lo multiplicamos por 100. 100 N L relativa Frecuencia = Para facilitar el cálculo de las frecuencias relativas de cada clase, se usa un factor de corrección que resulta de dividir 100 por el número total de frecuencias. N Factor 100 = Problema Las autoridades de la secretaria de educación pública deciden que en otra escuela también se tomen las estaturas en cm. De todos los alumnos, pero ahora, de los menores de 17 años, para fines nutricionales. Elabora un cuadro de frecuencias agrupadas que incluya las frecuencias absolutas y las relativas, estas últimas en tanto por ciento. Clase Frecuencias Relativas en % 123.5-128.5 128.5-133.5 133.5-138.5 138.5-143.5 143.5-148.5 148.5-153.5 153.5-158.5 158.5-163.5 163.5-168.5 168.5-173.5 2 3 8 20 9 8 30 23 15 4 1.638 2.457 6.552 16.380 7.371 6.552 24.570 18.837 12.285 3.276 Total 122 100.00 Factor de corrección ( ) ( ) 457 . 2 819 . 0 3 638 . 1 819 . 0 2 819 . 0 122 100 = = = = factor Distribuciones porcentuales acumuladas Los cuadros de frecuencia acumulada porcentuales se obtienen convirtiendo las frecuencias acumuladas en frecuencias relativas o proporcionales de base 100. Frecuencia relativa acumulada; se obtiene dividiendo la frecuencia acumulada entre el tamaño de la muestra. Problema En el cuadro siguiente la distribución acumulativa de estaturas de un grupo de alumnos, que expresa el número de ellos que midieron, menos de la estatura indicada, agrega la columna correspondiente a las frecuencias relativas y traza la ojiva porcentual. Estatura Frecuencia acumulada Núm. De Alumnos Relativas en % 128.5 133.5 138.5 143.5 148.5 153.5 158.5 163.5 168.5 173.5 0 2 5 14 38 45 65 89 103 106 0.000 1.886 4.715 13.202 35.834 42.435 61.295 83.927 97.129 100.000 Factor de conversión 943 . 0 106 100 = = f actor Se obtienen las frecuencias relativas: ( ) ( ) ( ) 715 . 4 943 . 0 5 886 . 1 943 . 0 2 00 . 0 943 . 0 0 = = = Media para datos agrupados Problema Calcular la media aritmética de la distribución de frecuencias agrupadas de la tabla de frecuencias. Clases i i L L ÷ ÷1 Tabulaciones Marca de clase mc i x Frecuencias (f) i f 35-39 II 37 2 40-44 0 42 0 45-49 II 47 2 50-54 0 52 0 55-59 II 57 2 60-64 IIII 62 4 65-69 IIIII II 67 7 70-74 IIIII III 72 8 75-79 IIIII III 77 8 80-84 IIIII I 82 6 85-89 IIIII II 87 7 90-94 II 92 2 95-100 II 97.5 2 Se procede de la siguiente manera Intervalos Marca x Frecuencias ( i f ) i i x f 35-39 37 2 74 40-44 42 0 0 45-49 47 2 94 50-54 52 0 0 55-59 57 2 114 60-64 62 4 248 65-69 67 7 469 70-74 72 8 576 75-79 77 8 616 80-84 82 6 492 85-89 87 7 609 90-94 92 2 184 95-100 97.5 2 194 50 2 2 7 6 8 8 7 4 2 0 2 0 2 1 = + + + + + + + + + + + + = ¿ = n i i f 3670 194 184 609 492 616 576 469 248 114 0 94 0 74 1 = + + + + + + + + + + + + = ¿ = n i i i x f 4 . 73 50 3670 1 1 = = = ¿ ¿ = = n i i n i i i f x f x ..\..\..\..\semestre enero 2012\1 media.xlsx ..\..\..\..\semestre enero 2012\2 desviación media.xlsx 1.6 Calcular Cuantiles Los cuantiles son medidas de posición que se determinan mediante un método que determina la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales. Los cuantiles son los valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien partes. Los más usados son los cuartiles, cuando dividen la distribución en cuatro partes; los deciles, cuando dividen la distribución en diez partes y los centiles o percentiles, cuando dividen la distribución en cien partes. Los cuartiles, como los deciles y los percentiles, son en cierta forma una extensión de la mediana. Para algunos valores u, se dan nombres particulares a los cuantiles, Q (u): u Q(u) 0.5 Mediana 0.25, 0,75 Cuartiles 0.1,…,0.99 Deciles 0.01,…,0.99 Centiles CUARTILES A fin de conocer los intervalos dentro de los cuales quedan representados proporcionalmente los términos de una distribución, se divide la distribución de frecuencia en 4 partes iguales, cada una contiene igual número de observaciones (el 25% del total). Los puntos de separación de los valores de X se llaman cuartiles. El primer cuartil corresponde al 25% y se designa con . El segundo cuartil es que representa el valor de 50% y coincide con la mediana. El tercer cuartil es representa el 75% de las observaciones que están por debajo de él. Cálculo de cuartiles 1. Ordenamos los datos de menor a mayor. 2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expr esi ón Problema Dada la siguiente distribución en el número de hijos (Xi) de cien familias, calcular sus cuartiles. x i 0 14 14 1 10 24 2 15 39 3 26 65 4 20 85 5 15 100 Primer cuartil Primera Segundo cuartil Primera Tercer cuartil Primera Cálculo de los cuartiles para datos agrupados En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en l a t abl a de l as f r ecuenci as acumul adas. El límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil, es . La suma de las frecuencias absolutas, es N. La frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil, es La amplitud de la clase, es . Problema Calcular los cuartiles en el cuadro de frecuencias agrupadas, en donde se han registrado las alturas de un grupo de alumnos. Clase 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 8 10 16 14 10 5 2 8 18 34 48 58 63 65 65 Cálculo del primer cuartil () () Cálculo del segundo cuartil () () Cálculo del tercer cuartil () () Clase Frecuencias 121.5-126.5 126.5-131.5 131.5-136.5 136.5-141.5 141.5-146.5 146.5-151.5 151.5-156.5 156.5-161.5 161.5-166.5 2 3 8 23 27 20 16 3 2 Total Dividimos el total N de las frecuencias acumuladas entre 4 y obtenemos el número de observaciones que hay en el primer cuartil. El primer cuartil cae en la clase , las tres primeras clases contienen 13 alumnos (sumamos 2+3+8=13) para las 13 que faltan los calculamos por interpolación lineal, así; 1.7 Gráficos 1.8 Cajas y alambres Diagramas de caja Los diagramas de Caja-Bigotes son una presentación visual que describe varias características importantes, al mismo tiempo, tales como la dispersión y simetría. Para su realización se representan los tres cuartiles y los valores mínimo y máximo de los datos, sobre un rectángulo, alineado horizontal o verticalmente. Es un gráfico que suministra información sobre los valores mínimo y máximo, los cuartiles Q1, Q2 o mediana y Q3, y sobre la existencia de valores atípicos y la simetría de la distribución. Una gráfica de este tipo consiste en una caja rectangular, donde los lados más largos muestran el recorrido intercuartílico. Este rectángulo está dividido por un segmento vertical que indica donde se posiciona la mediana y por lo tanto su relación con los cuartiles primero y tercero (recordemos que el segundo cuartil coincide con la mediana). Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene como extremos los valores mínimo y máximo de la variable. Las líneas que sobresalen de la caja se llaman bigotes. Estos bigotes tienen un límite de prolongación, de modo que cualquier dato o caso que no se encuentre dentro de este rango es marcado e identificado individualmente. Problema Distribución de edades Utilizamos la ya usada distribución de frecuencias (en tallos y hojas), que representan la edad de un colectivo de 20 personas. 36 25 37 24 39 20 36 45 31 31 39 24 29 23 41 40 33 24 34 40 Ordenar los datos Para calcular los parámetros estadístico, lo primero es ordenar la distribución 20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40 41 45 Calculo de Cuartiles Q 1 , el cuartil Primero es el valor mayor que el 25% de los valores de la distribución. Como N = 20 resulta que ; el primer cuartil es la media aritmética de dicho valor y el siguiente: Q 2 , el Segundo Cuartil es, evidentemente, la mediana de la distribución, es el valor de la variable que ocupa el lugar central en un conjunto de datos ordenados. Como ; la mediana es la media aritmética de dicho valor y el siguiente: Q 3 , el Tercer Cuartil, es el valor que sobrepasa al 75% de los valores de la distribución. En nuestro caso, como , resulta Dibujar la Caja y los Bigotes El bigote de la izquierda representa al colectivo de edades ( ) La primera parte de la caja a (Q 1 , Q 2 ), La segunda parte de la caja a (Q 2 , Q 3 ) El bigote de la derecha viene dado por ( ) Información del diagrama Podemos obtener abundante información de una distribución a partir de estas representaciones. Veamos alguna: - La parte izquierda de la caja es mayor que la de la derecha; ello quiere decir que las edades comprendidas entre el 25% y el 50% de la población está más dispersa que entre el 50% y el 75%. - El bigote de la izquierda ( ) es más corto que el de la derecha; por ello el 25% de los más jóvenes están más concentrados que el 25% de los mayores. - El rango ; es decir, el 50% de la población está comprendido en 14,5 años. 1.9 Diagrama de Pareto El nombre de Pareto fue dado por el Dr. Joseph Juran en honor del economista italiano Wilfredo Pareto. Wilfredo Pareto (Paris 1848 – Turín 1923) economista italiano, realizó un estudio sobre la riqueza y la pobreza. Descubrió que el 20% de las personas controlaba el 80% de la riqueza en Italia. Pareto observó muchas otras distribuciones similares en su estudio. A principios de los años 50, el Dr. Joseph Juran descubrió la evidencia para la regla de "80-20" en una gran variedad de situaciones. En particular, el fenómeno parecía existir sin excepción en problemas relacionados con la calidad. Una expresión común de la regla 80/20 es que "el 80% de nuestro negocio proviene del 20% de nuestros clientes." Por lo tanto, el Análisis de Pareto es una técnica que separa los "pocos vitales" de los "muchos triviales". Una Gráfica Pareto es utilizada para separar gráficamente los aspectos significativos de un problema desde los triviales de manera que un equipo sepa dónde dirigir sus esfuerzos para mejorar. Definición El Diagrama de Pareto consiste en un gráfico de barras similar al histograma que se conjuga con una ojiva o curva de tipo creciente y que representa en forma decreciente el grado de importancia o peso que tienen los diferentes factores que afectan a un proceso, operación o resultado. ..\..\..\..\semestre enero 2012\diagrama de pareto.xlsx Al identificar y analizar un producto o servicio para mejorar la calidad. Cuando existe la necesidad de llamar la atención a los problemas o causas de una forma sistemática. Al analizar las diferentes agrupaciones de datos (ejemplo: por producto, por segmento del mercado, área geográfica, etc.) Al buscar las causas principales de los problemas y establecer la prioridad de las soluciones Al evaluar los resultados de los cambios efectuados a un proceso (antes y después). Cuando los datos puedan agruparse en categorías. En casos típicos, los pocos vitales (pasos, servicios, ítems, problemas, causas) son responsables por la mayor parte en el impacto negativo sobre la calidad. Un equipo puede utilizar la Gráfica de Pareto para varios propósitos durante un proyecto para lograr mejoras. - Para identificar oportunidades para mejorar - Para identificar un producto o servicio para el análisis de mejora de la calidad - Cuando existe la necesidad de llamar la atención a los problemas o causas de una forma sistemática - Para analizar las diferentes agrupaciones de datos - Al buscar las causas principales de los problemas y establecer la prioridad de las soluciones - Para evaluar los resultados de los cambios efectuados a un proceso comparando sucesivos diagramas obtenidos en momentos diferentes, (antes y después) - Cuando los datos puedan clasificarse en categorías - Cuando el rango de cada categoría es importante Los propósitos generales del diagrama de Pareto - Analizar las causas - Estudiar los resultados - Planear una mejora continua - Como fotos de "antes y después" para demostrar que progreso se ha logrado Unidad II - Probabilidad 2.4 Permutaciones y combinaciones 2.5 Diagramas de árbol 2.6 Axiomas de probabilidad 2.7 Independencia y probabilidad condicional 2.8 Teorema de Bayes. 2.1 Probabilidad de eventos Experimento Aleatorio Definición Un experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma manera 2.2 Espacio muestral Definición El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral del experimento. El espacio muestral se denomina con la letra S. Espacio Muestral discreto Definición Un espacio muestral es discreto si está formado por un conjunto finito (o infinito contable) de resultados. Suceso Definición Un suceso es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. () Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos: 1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5} 2. Obtener un número primo y par B = {2} 3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6} Problema Describa el espacio muestral que sea apropiado para un experimento en el que tiramos un par de dados, uno rojo y uno verde. El espacio muestral que proporciona la mayor información consiste en los 36 puntos dados por, *( ) + Donde x representa el número en que cayó el dado rojo y representa el número en que cayó el dado verde Problema Con respecto al ejercicio anterior describa el suceso A en que el número de puntos obtenidos sea divisible entre 3. Entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, sólo 3 y 6 son divisibles entre 3 *+ Problema Describa un suceso B en que el número de puntos obtenidos con el par de dados sea 7. Entre los posibles resultados, sólo () () () () () () dan un total de 7. Por lo que el conjunto solución es *() () () () () () + 2.3 Ocurrencia de eventos En función de la relación de probabilidad que se pueda establecer entre los sucesos, estos se clasifican en: Mutuamente excluyentes o disjuntos. Son aquellos sucesos en los que en un mismo experimento aleatorio no es posible que ocurran simultáneamente. La intersección de los conjuntos que los representan es el conjunto vacío. | = ·B A No excluyentes entre sí. Son aquellos sucesos en los que en un mismo experimento aleatorio, en los que la posibilidad de que ocurra uno de ellos no importa que el otro suceso ocurra; es decir pueden ocurrir conjuntamente. La intersección de los conjuntos que los representan, es el conjunto diferente del vacío. | = ·B A Problema Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes. Problema Experimento aleatorio: se analiza en un momento dado el estado de salud de los habitantes de una comunidad. Consideremos los sucesos siguientes: A: La persona es diabética B: La persona está sana C: La persona tiene un problema de salud permanente, tiene una enfermedad crónica D: La persona tiene gripa E: La persona es hipertensa Diga que sucede para los sucesos anteriores si se pide; B A· D B· C B· D A· Problema Experimento aleatorio: se observa la escolaridad de las personas de 20 a 60 años de edad de una comunidad. Consideremos los siguientes sucesos. A. Una persona tiene menos de 40 años B. La persona es ingeniero C. La persona es analfabeta D. La persona tiene 40 años o más Que sucede con los sucesos si se pide; D A C B D B B A · · · · 2.4 Permutaciones y combinaciones ( )( )( ) ()() Permutación y combinación ¿Qué diferencia hay? Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras: "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada. "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2. Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso: - Si el orden no importa, es una combinación - Si el orden sí importa es una permutación Permutaciones Un arreglo de cosas en un orden dado; constituye una permutación. En una permutación el orden es importante. Problema Se tienen 6 máquinas de escribir y 6 personas para operar las máquinas, ¿de cuántas maneras se pueden asignar las personas a las máquinas? 6 P6 = 6 ! = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 Problema ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras A, B, C tomándolas todas a la vez? Solución: 3 P3 = 3 • 2 • 1 = 6 [ABC, BCA, CAB, BAC, CBA, ACB] Problema Cinco ciudades se comunican entre sí, según el diagrama De cuántas formas es posible: a) Viajar desde A hasta E b) Hacer el viaje redondo desde A hasta E 2.5 Diagramas de árbol Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol. El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad. Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación. En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1. Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto. A continuación ejemplificaremos cada uno de estos conceptos. Experimento aleatorio Lanzar dos monedas al aire. Para conocer el dominio utiliza un diagrama de árbol. Entonces el dominio es: {(AA), (AS), (SA), (SS)}. Este conjunto se llama espacio muestral y se designa con S, que es, además, el dominio de la función aleatoria; a cada uno de sus resultados se les llama eventos. Ahora determinaremos el espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: 1. Lanzar tres monedas al aire. 2. Lanzar un dado y dos monedas. 3. Las respuestas de un examen, si las preguntas son las siguientes: ( ) Descubrimiento de América. 1. 1810 ( ) Conquista de México. 2. 1492 ( ) Declaración de Independencia. 3. 1521 4. Los hijos varones y mujeres de una familia de tres hijos. 5. Los lugares que ocupan tres personas en una fila de supermercado. Ayudados por un diagrama de árbol, los resultados de las preguntas anteriores serían: 1. Lanzar tres monedas al aire son: 2. Dos monedas y un dado con seis números 3. Resultados de un examen. 4. Hijos varones y mujeres de una familia de tres hijos: varones H, mujeres M. 5. Lugares que ocupan tres personas en una fila de supermercado. Llamaremos P1 = primera persona, P2 = segunda persona y P3 = tercera persona. 2.6 Axiomas de probabilidad Probabilidades: Definiciones y Conceptos Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas. Postulado 1 La probabilidad de un suceso es un número real no negativo; esto es () para cualquier subconjunto A de S. - Las probabilidades son los valores de una función de conjunto, también conocida como medida de probabilidad, esta función asigna números reales a los diferentes subconjuntos de un espacio muestral S Postulado 2 () Postulado 3 Si es una secuencia finita o infinita de sucesos mutuamente excluyentes de S, entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ... ... 3 2 1 3 2 1 + + + = A P A P A P A A A P - Los postulados de probabilidad se aplican sólo cuando el espacio muestral S es discreto Problema Un experimento tiene cuatro resultados posibles A, B, C, D que son ME. Explique por qué las siguientes asignaciones de probabilidad no están permitidas. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 120 46 120 27 120 45 120 9 ) 20 . 0 45 . 0 63 . 0 12 . 0 ) = = = = ÷ = = = = D P C P B P A P b D P C P B P A P a Teorema Si A es un suceso en un espacio muestral discreto S, entonces P(A) es igual a la suma de las probabilidades de los resultados posibles que abarcan A. Problema Si lanzamos dos veces una moneda balanceada, ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos una cara? C- Cara H-Cruz El espacio muestral es { } HH HC CH CC S , , , = Como la moneda esta balanceada, estos resultados son igualmente posibles y asignamos a cada muestra la probabilidad de 4 1 . Denotemos con A al evento que sacamos al menos una cara, obtenemos { } HC CH CC S , , = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 4 1 4 1 4 1 = + + = + + = HC P CH P CC P A P Problema Un dado está arreglado de manera que cada número impar tiene el doble de probabilidad de ocurrir que un número par. Encuentre P (G), donde G es el suceso que un número mayor que 3 ocurra en un sólo tiro del dado. Espacio muestral { } 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = S Si asignamos la probabilidad W a cada número par y la probabilidad 2W a cada impar, se tiene 9 4 ) ( 9 1 9 2 9 1 ) ( 9 1 1 9 1 2 2 2 = + + = = = = + + + + + G P G P y W W W W W W W W Teorema Si un experimento puede resultar en cualquiera de N resultados diferentes igualmente probables y si n de estos resultados juntos constituye el evento A, entonces la probabilidad del evento A es ( ) N n A P = . Problema Cuál es la probabilidad de que una persona de 25 años de edad llegue a sobrevivir hasta que tenga 40 años, si de acuerdo a una tabla de mortalidad de cada 93 745 persona de 25 años de edad, 87 426 llegan a los 40 años. ( ) % 25 . 93 9325 . 0 93745 87426 25 40 ) ( 745 93 426 87 = = = = = = = años de personas de total años los a lleguen que Personas A P N n A P N n Problema En una caja hay 25 tornillos en buen estado y 80 defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de sacar de la caja al azar un tornillo en buen estado? ( ) % 80 . 23 2380 . 0 105 25 80 25 25 ) ( 105 25 80 25 = = = + = = = = + = = caja la en tornillos de total estado buen en tornillos de Num A P N n A P N n Algunas reglas de probabilidad. Teorema Si c A y A son eventos complementarios en un espacio muestral S, entonces ( ) ( ) A P A P c ÷ =1 Teorema ( ) 0 = | P Para cualquier espacio muestral S. Teorema Si A y B son eventos en un espacio muestral S y ( ) ( ) B P A P entonces B A s c , Teorema ( ) 1 0 s s A P Para cualquier evento A. Ley aditiva de la probabilidad Teorema Si A y B son dos eventos en el espacio muestral S, entonces, la probabilidad de que un suceso u otro ocurran se calcula con las relaciones siguientes. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B A P B P A P B A P B P A P B A P · ÷ + = + = a) Cuando dos sucesos son ME, se tiene que | = ·B A se utiliza la primera relación b) Cuando dos sucesos no son ME, se tiene que | = ·B A se utiliza la segunda relación c) ( ) B A P · Se resta para rectificar el doble conteo Demostración. Si asignamos las probabilidades a, b, c a los eventos ME ( ) ( ) ( ) B A y B A B A c c · · · , de acuerdo al diagrama de Venn. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( 0 B A P B P A P a a c b a a a c b a c b a c b a B A P · + + = ÷ + + + = ÷ + + + = + + + = + + = Probl ema En una zona de la ciudad, las probabilidades son 0.86, 0.35 y 0.29 de que una familia tenga aparato de televisión a color, un aparato de televisión en blanco y negro, o ambas clases de aparatos respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia posea cualquiera de las dos o ambas clases de aparatos? A. Familia con televisión a color B. Familia con televisión blanco y negro ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 92 . 0 29 . 0 35 . 0 86 . 0 29 . 0 35 . 0 86 . 0 = ÷ + = · ÷ + = = · = = B A P B A P B A P B P A P B A P B A P B P A P Probl ema Para participar en la rifa de un reloj, los alumnos de primer año compraron 18 boletos; los de segundo grado 12 boletos. Si son 50 boletos en total, ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno de primero o segundo gane la rifa? A. Gana un alumno de primer grado B. Gana un alumno de segundo grado El suceso que nos interesa es B A E = , los sucesos A Y B son ME, es decir ( ) | = ·B A ( ) ( ) % 60 6 . 0 5 3 50 30 50 12 50 18 ) ( ) ( = = = = + = + = B A P B P A P B A P Ley multiplicativa de la probabilidad La probabilidad de que ocurran simultáneamente dos sucesos A y B, se obtiene con el producto de sus probabilidades. ( ) ) ( ) ( B P A P B A P · = · Para aplicar la ley multiplicativa es necesario revisar si los sucesos involucrados son independientes o dependientes. a) Sucesos independientes Son aquellos en los que la ocurrencia de uno, no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. b) Sucesos dependientes Son aquellos en los que la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Probl ema Experimento aleatorio: se lanza un dado y se saca una canica de una bolsa; en la bolsa hay tres canicas, una roja, una azul y una verde. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número primo y una canica azul? Como cualquier resultado que aparezca en el dado no afecta la probabilidad del color de la canica, ni viceversa, se dice que los sucesos son independientes. A: { } 5 , 3 , 2 , 1 B: Sale canica azul ( ) ( ) % 22 22 . 0 9 2 18 4 3 1 6 4 ) ( ) ( = · = = = | . | \ | | . | \ | = · = · B A P B P A P B A P Probl ema De un grupo escolar se van a elegir por sorteo a 3 alumnos que se hagan cargo de una ceremonia escolar: en el grupo hay 24 hombres y 12 mujeres, ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo de representantes esté conformado de las maneras siguientes? A. Sean tres hombres B. Sean dos hombres y una mujer C. Sean dos mujeres y un hombre D. Sean tres mujeres a) Sean tres hombres ( ) A P Se tienen que dar los siguientes sucesos 1 A : El primer alumno seleccionado sea hombre ( ) 36 24 1 = A P 2 A : El segundo alumno seleccionado sea hombre ( ) 35 23 2 = A P Los sucesos 2 1 A y A son dependientes 3 A : El tercer alumno seleccionado sea hombre ( ) 34 22 3 = A P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) % 34 . 28 ) ( 2834 . 0 42840 12144 34 22 35 23 36 24 ) ( 3 2 1 3 2 1 = = = | . | \ | | . | \ | | . | \ | = · · = · · = A P A P A P A P A P A A A P A P b) Sean dos hombres y una mujer 1 B : Sale el primer hombre 36 24 ) ( 1 = B P 2 B : Sale el segundo hombre 35 23 ) ( 2 = B P 3 B : Sale la mujer 34 12 ) ( 3 = B P % 46 . 15 ) ( 1546 . 0 42840 6624 34 12 35 25 36 24 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 = = = | . | \ | | . | \ | | . | \ | = · · = B P B P B P B P B P Probl ema Cerca de cierta salida de una carretera, las probabilidades son 0.23 y 0.24, de que un camión parado en un retén tendrá frenos defectuosos o neumáticos muy gastados. También, la probabilidad es 0.38 de que un camión parado en el retén tendrá frenos defectuosos y/o neumáticos muy gastados. ¿Cuál es la probabilidad de que un camión parado en este retén tendrá los frenos defectuosos así como los neumáticos muy gastados? B: Suceso que un camión parado tendrá frenos defectuosos T: Suceso que tendrá neumáticos muy gastados 38 . 0 ) ( 24 . 0 ) ( 23 . 0 ) ( = = = T B P T P B P % 9 09 0 38 . 0 24 . 0 23 ´ 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = ÷ = ÷ + = ÷ + = · + = + · · ÷ + = T B P T P B P T B P T P B P T B P T B P T B P T P B P T B P Probl ema Una organización de los consumidores ha estudiado los servicios con garantía proporcionados por las 50 agencias de automóviles nuevos en una cierta ciudad en la tabla siguiente se resumen sus hallazgos. Buen servicio de garantía Mal servicio de garantía En operación por 10 años o más 16 4 20 En operación Menos de 10 años 10 20 30 Total 26 24 50 a) Si una persona selecciona aleatoriamente una de estas agencias de automóviles nuevos, ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una que proporciona buen servicio de garantía? b) Si una persona selecciona una de las agencias que han operado 10 años o más, ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una agencia que proporcione buen servicio de garantía? G: Denota la selección de la agencia que proporciona buen servicio de garantía. S: Denota el número de elementos en el espacio muestral completo. a) % 52 ) ( 52 . 0 50 26 50 10 16 ) ( = = = + = = G P N n G P b) Para la segunda pregunta, buscamos el espacio muestral reducido que consta de la primera línea de la tabla, esto es, 16+4 =20 agencias. De estas, 16 proporcionan buen servicio de garantía y se tiene % 52 ) ( 80 . 0 20 16 ) / ( = = = G P T G P 2.7 Independencia y probabilidad condicional Probabilidad condicional La probabilidad condicional se aplica en el cálculo de un evento cuando se sabe que ha ocurrido otro con el cual se relacionan; es decir, los sucesos son dependientes. Sean A y B dos sucesos dependientes tales que () Para expresar la probabilidad de B dado que A ha ocurrido, se expresa ( ) De la misma manera si () Para señalar la probabilidad de A dado que B ha ocurrido, se expresa () Vamos a considerar ( ) La probabilidad de ( ) se realiza en un mismo espacio muestral, que es un subconjunto del espacio muestral original S. Es decir, el espacio muestral original S se ve modificado por que ya ocurrió el suceso A. Definición Si A y B son dos sucesos cualquiera en un espacio muestral S y 0 ) ( = A P , la probabilidad condicional de B dado A es ) ( ) ( ) / ( A P B A P A B P · = Problema Como un ejemplo adicional, supóngase que el espacio muestral es la población de adultos en un pequeño pueblo que han satisfecho los requisitos para graduarse en la escuela. Se deben clasificar de acuerdo con su sexo y si trabajan o no actualmente. Empleado desempleado Total Hombre Mujer 460 140 40 260 500 400 total 600 300 900 Se selecciona al azar a uno de estos individuos para que realice un viaje a través de todo el país, con la intención de promocionar las ventajas que se derivan del establecimiento de las nuevas industrias en los pequeños poblados. El interés se muestra en los siguientes eventos: M: se escoge a un hombre. E: el elegido tiene un empleo. Al utilizar el espacio muestral reducido E, se encuentra que () Sea () el número de elementos de cualquier conjunto A. Utilizando esta notación se puede escribir S () ( ) () ( )() ()() ( ) () Donde ( ) Y () se obtiene del espacio muestra original S. para verificar este resultado, nótese que. () ( ) En consecuencia () Igual que antes. Problema La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a tiempo es () La que llegue a tiempo es ( ) encuentre la probabilidad de que un avión en el cual se: a) llegue a tiempo dado que despego a tiempo, b) despegue a tiempo dado que llego a tiempo. Solución: a) La probabilidad de que el avión llegue a la hora prevista dado que partió a tiempo es: () ( ) () b) La probabilidad de que salga a la hora prevista dado que llego a tiempo es: () ( ) () En el experimento de lanzar un dado se observa que () () Esto es () . Ahora considérese otro en el cual se sacan dos cartas en sucesión, con remplazo, de un paquete normal, los eventos se definen como: A: la primera carta es un as, B: la segunda carta es de espadas. Puesto que se remplaza la primera carta, el espacio muestral para ambas cartas consisten de 52, en el que hay 4 ases y 13 espadas. Por lo tanto () Y () Esto es, () ()cuando esto es cierto, se dice que los eventos A y B son independientes. La noción de probabilidad condicional permite revaluar la idea de probabilidad de un evento de mayor información; es decir cuando se sabe que otro evento ha ocurrido. La probabilidad () es una actualización de la ()con la base en la certeza de que se ha presentado el evento B. en el problema del avión fue importante conocer la probabilidad de que el vuelo llegara a tiempo. Supóngase que sabe que se vuelo no partió a tiempo, con estos datos adicionales, lo más pertinente es calcular ( ) esto es, la probabilidad de que llegue a tiempo, dado que no llego a tiempo. En munchas situaciones las conclusiones que se sacan de las observaciones de la probabilidad condicional más importantes cambian totalmente la situación. En este ejemplo, el cálculo de P()lo da P() () () Eventos independientes Cuando A y B son dos eventos con probabilidades positivas, hemos visto que en general la probabilidad condicional del evento B dado el evento A es diferente de la probabilidad del evento B. Sin embargo, cuando se tiene la igualdad: () () es de especial importancia porque esto quiere decir que el evento B no depende o es independiente del evento A. Es decir, no importa si ocurrió o no el evento A puesto que la ocurrencia o no de A no afecta al evento B. Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B. A y B son independientes si y sólo si () ()() Si A y B son cualesquier eventos en el espacio muestral S, tales que () () decimos que A es independiente de B si y solo si ( ) () e implica que ( ) () Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B. A y B son independientes si y sólo si ( ) ()() Problema Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento. Problema A=evento que un estudiante tenga una tarjeta de crédito de un banco B=evento que un estudiante tenga una tarjeta de crédito para viajes () () ( ) ¿Son los eventos A y B independientes? ()() ()() Si, son independientes 2.8 Teorema de Bayes Proyecto 1. ¿Cuántas palabras con código de 3 letras se pueden formar usando las 8 primeras letras del alfabeto. a) Si ninguna letra puede repetirse b) Si se pueden repetir las letras 2. Las 5 finalistas del concurso Señorita Universo son los representantes de Argentina, Bélgica, Estados Unidos, Japón y Noruega. ¿De cuantas maneras pueden elegir los jueces; a) La ganadora y la primera suplente b) La ganadora, la primera y la segunda suplente? 3. ¿Cuántas permutaciones diferentes hay de la palabra statistics?, ¿Cuántas de ellas comienzan y terminan con la letra s? 4. La señorita Jones tiene cuatro faldas, siete blusas y tres suéteres. ¿En cuántas formas puede escoger dos de las faldas, tres de las blusas y uno de los suéteres para llevar en un viaje? 5. ¿Cuántos grupos de 5 o más personas pueden formarse con 10 personas? 6. Una placa consiste en dos letras seguidas por cuatro dígitos, ¿cuántas placas pueden elaborar sí; a) Se pueden repetir las letras y los dígitos b) Si no se pueden repetir? Calcula la permutación o combinación correspondiente a cada una de las situaciones que se dan a continuación. 7. Se elige un comité de 5 personas en el que debe haber 2 arquitectos de 7 que hay en la compañía y 3 ingenieros de los 10 que trabajan ahí. ¿De cuántas formas diferentes han de escoger el comité? 8. ¿De cuantas maneras diferentes se puede formar un comité con un presidente, un secretario y un tesorero, en un club que consta de 15 socios? 9. Experimento aleatorio: se observa la escolaridad de las personas de 20 a 60 años de edad de una comunidad. Consideremos los siguientes sucesos. E. Una persona tiene menos de 40 años F. La persona es ingeniero G. La persona es analfabeta H. La persona tiene 40 años o más Que sucede con los sucesos si se pide; D A C B D B B A · · · · 10. En un grupo de 200 estudiantes (80 mujeres y 60 hombres), 140 en total son alumnos de tiempo completo y otro de 60, (40 son mujeres y 20 hombres) son de tiempo parcial. Experimento: un estudiante es seleccionado al azar, para esto se definen tres sucesos. A. Estudiante seleccionado de tiempo completo B. Estudiante seleccionado de tiempo parcial C. Estudiante seleccionado sea hombre a) Defina si los sucesos A y B son mutuamente excluyentes o no. b) Defina si los sucesos A y C son mutuamente excluyentes o no. 11. Se analiza en un momento dedo el estado de salud de los habitantes de la ciudad. Consideremos los casos siguientes: A: La persona es diabética B: La persona está sana C: La persona tiene un problema de salud permanente, tiene una enfermedad crónica. D: La persona tiene gripa E: La persona es hipertensa a) ¿Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes o no? b) ¿Si | = ·E C son mutuamente excluyentes o no? c) ¿Qué sucede con los sucesos B y C? d) ¿Cómo son los sucesos C y D? 12. Una organización de los consumidores ha estudiado los servicios con garantía proporcionados por las 50 agencias de automóviles nuevos en una cierta ciudad en la tabla siguiente se resumen sus hallazgos. Buen servicio de garantía Mal servicio de garantía En operación por 10 años o más 16 4 20 En operación Menos de 10 10 20 30 años Total 26 24 50 c) Si una persona selecciona aleatoriamente una de estas agencias de automóviles nuevos, ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una que proporciona buen servicio de garantía? d) Si una persona selecciona una de las agencias que han operado 10 años o más, ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una agencia que proporcione buen servicio de garantía? G: Denota la selección de la agencia que proporciona buen servicio de garantía. S: Denota el número de elementos en el espacio muestral completo. 13. Una urna contiene 75 bolas blancas marcadas, 25 bolas sin marcar, 175 bolas negras marcadas y 125 bolas negras sin marcar. a) Se saca una bola al azar. Calcular la probabilidad que sea blanca. b) Se extrae una bola y está marcada. Calcular la probabilidad que sea blanca. 14. En un grupo de 200 estudiantes universitarios 138 están inscritos en un curso de Inglés 115 en uno de mecánica y 91 en ambos, ¿Cuántos de estos estudiantes no están inscritos en uno u otro curso? - Trace un diagrama de Venn apropiado y anote los números asociados con las diversas regiones. 15. Un taller sabe que por término medio acuden, por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapas y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa. Eléctricos Mecánicos Chapa Total Mañana 3 8 3 14 Tarde 2 3 1 6 Total 5 11 4 20 Calcular, P(A), P(B), P(C) , así como la probabilidad de que acuda por la mañana dado que tiene problemas eléctricos Aplique el concepto de probabilidad para resolver el siguiente problema. 16. En una caja hay 100 canicas azules y 300 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una canica azul? Exprese el resultado en tanto por ciento. 17. En la oficina del subdirector de la escuela hay 12 calculadoras, algunas son manuales (M), otras eléctricas (E); además algunas de ellas son nuevas (N) y otras usadas (U), como se expresa en el cuadro siguiente: M E N 2 3 5 U 2 5 7 4 8 12 a) Una persona entra a la oficina y escoge aleatoriamente una calculadora y observa que es manual. ¿Cuál es la probabilidad de que sea nueva? b) Si la persona escoge una al azar una eléctrica, ¿Cuál es la probabilidad de que sea usada? 18. Empleando diagramas de Venn y con la definición de conjuntos encontrar el conjunto solución para cada uno de los casos que se dan a continuación. { } { } { } { } 7 , 6 , 5 , 2 , 7 , 5 , 3 , 1 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = = = = c B A U . A C d B C c B C b A B a ÷ ÷ · ) ) ) ) 19. Una orquesta de 30 músicos deciden formar dos grupos musicales, uno de clásica y otro de música de salón, el primero con 12 personas y el segundo con 16; si tres de los músicos pertenecen a los dos grupos ¿Cuántos miembros de la orquesta original decidieron no pertenecer a ningún grupo? 20. De un lote de 15 camisas, 4 son defectuosas, si se toman al azar 3 artículos del lote, uno tras otro; calcular la probabilidad de que los tres se encuentren en buen estado. 21. En una escuela de enseñanza media superior, el 20% de los alumnos reprobaron matemáticas, el 25% física y el 5% ambas materias. Si se selecciona un alumno al azar: a) Si reprobó física. ¿Cuál es la probabilidad que haya reprobado matemáticas? b) Si reprobó matemáticas. ¿Cuáles la probabilidad de que haya reprobado física? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya reprobado física o matemáticas? 22. En una escuela de enseñanza media superior de la población de alumnos el 40% mide más de 1.50 m, el 25% pesa más de 52 kilos y el 15% mide más de 1.50 m y más de 52 kilos. Si se escoge al azar un alumno: a) Si mide más de 1.50 m, calcular la probabilidad de que también pese más de 52 kg. Proyecto 1. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar un comité con un presidente, un secretario y un tesorero, en un club que consta de 15 socios? 2. Cinco ciudades se comunican entre sí, según el diagrama De cuántas formas es posible: c) Viajar desde A hasta E d) Hacer el viaje redondo desde A hasta E 3. Use el principio multiplicativo para solucionar el problema siguiente. De una ciudad A hasta B hay 4 caminos; a su vez, la ciudad B a la C hay 6 caminos, si todos los caminos son diferentes, de cuantas formas es posible: De cuántas formas es posible: e) Viajar de A hasta C pasando por B f) Hacer el viaje redondo desde A hasta C pasando por B g) Hacer el viaje redondo desde A hasta C pasando por B pero si utilizar el mismo camino más de una vez 4. ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con 1, 2, 3 ,4,5 si; a) No se permiten repeticiones b) Se permiten repeticiones 5. Con los dígitos del 0 al 9 se quieren formar números de cuatro cifras, sin repetir cifras en ninguno de los números formados. a) ¿Cuántos se pueden formar? b) ¿Cuántos números son impares? c) ¿Cuántos números son divisibles entre 2? d) ¿Cuántos números son mayores o iguales que 3000? 6. Calcular cuántos números enteros de tres cifras se pueden obtener con los dígitos 2, 3, 5, 7 en los casos siguientes. a) No se permite la repetición de las cifras en ninguno de los números b) Se permite la repetición de las cifras en los números 7. ¿Cuántas diferentes quintas de baloncesto pueden formarse con 7 jugadores disponibles para jugar cualquier posición? 8. Un alumno de preparatoria tiene 7 libros de física y 5 de matemáticas. Calcular de cuantas maneras posibles se pueden ordenar 3 libros de física y 2 de matemáticas en un librero. 9. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar un comité con un presidente, un secretario y un tesorero, en un club que consta de 20 socios? 10. ¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa. 11. Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado. 12. ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos? 13. Si un equipo de fútbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos? 14. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de; a) 5 alumnos cada uno de ellos b) Si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuántos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres? c) ¿Cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos? 15. En una escuela de enseñanza media superior los alumnos de matemáticas presentan un examen que incluye 16 problemas para resolver 8 de ellos. ¿Cuántos exámenes diferentes de 8 problemas se pueden escoger de esos 16? 16. Un inspector de control de calidad desea seleccionar una parte para la inspección de cada una de cuatro recipientes diferentes que contienen 4, 3, 5 y 4 partes, respectivamente. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden escoger las cuatro partes? 17. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden contestar todas las preguntas de una prueba de falso o verdadero que consta de 20 preguntas? 18. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden presentar al público los cinco jugadores titulares de un equipo de baloncesto? 19. El número de permutaciones de las cuatro letras a, b, c y d es 24, pero ¿cuál es el número de permutaciones si sólo tomamos dos de las cuatro letras o, como usualmente se expresa, si tomamos las cuatro letras dos a la vez? 20. ¿De cuántas maneras puede una sección local de la sociedad Americana de Química programar a tres oradores para tres reuniones diferentes, si todos ellos están disponibles en cualquiera de cinco fechas posibles? 21. ¿De cuántas maneras se pueden colgar, una junto a las otras, dos pinturas de Monet, tres pinturas de Renoir y dos pinturas de Degas en la pared de un museo sin hacer distinción entre las pinturas de los mismos artistas? 22. ¿De cuántas maneras diferentes puede una persona, que reúne datos para una organización de investigación de mercados, seleccionar tres de 20 familias que viven en un complejo departamental dado? 23. ¿En cuántas formas diferentes pueden seis lanzamientos de una moneda, producir dos caras y cuatro cruces? 24. ¿Cuántos comités diferentes, de dos químicos y un físico, se pueden formar con los cuatro químicos y los tres físicos del profesorado de una pequeña universidad? Unidad III - Funciones de distribución de probabilidades 3.1 Variables aleatorias y su clasificación Introducción Población, elementos y caracteres. Población Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o colección de personas o cosas. Elementos Las personas o cosas que forman parte de la población se denominan elementos. En sentido estadístico un elemento puede ser algo con existencia real, como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo. Población finita: cuando el número de elementos que la forman es finito, por ejemplo el número de alumnos de un centro de enseñanza, o grupo clase. Población infinita: cuando el número de elementos que la forman es infinito, o tan grande que pudiesen considerarse infinitos. Como por ejemplo si se realizase un estudio sobre los productos que hay en el mercado. Hay tantos y de tantas calidades que esta población podría considerarse infinita. Ahora bien, normalmente en un estudio estadístico, no se puede trabajar con todos los elementos de la población sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma. Este subconjunto puede ser una muestra, cuando se toman un determinado número de elementos de la población, sin que en principio tengan nada en común; o una subpoblación, que es el subconjunto de la población formado por los elementos de la población que comparten una determinada característica, por ejemplo de los alumnos del centro la subpoblación formada por los alumnos de 3º ESO, o la subpoblación de los varones. Experimento Es cualquier proceso de observación o medición Espacio muestral Es el conjunto de todos los resultados de un experimento, y se le representa con la letra S. Ejemplo Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos los resultados siguientes S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S = {6} Ejemplo En el lanzamiento de dos monedas tenemos S = {HH, HT, TH, TT} S = {4} Ejemplo Describa un espacio muestral que sea apropiado para un experimento en el que tiramos un par de dados, uno rojo y uno verde. El espacio muestral que proporciona la mayor información consiste en los 36 puntos dados por *( )| + Donde x representa el número en que cayó el dado rojo y y representa el número del dado verde Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Concepto de variable aleatoria discreta. Sea E el espacio muestral de una experiencia, una variable aleatoria x, es una aplicación que a cada elemento de E (suceso elemental) le hace corresponder un número real. El recorrido de una variable aleatoria es el conjunto de valores que puede tomar. Recorrido * + Se dice que una variable aleatoria es discreta si su recorrido es finito. Ejemplo: Los valores enteros que satisfacen esta desigualdad donde x es la variable, son que son los valores particulares que puede tomar la x. Variables Aleatorias E x R Definición Es aquella que asume diferentes valores a consecuencia de los resultados de un experimento aleatorio. Si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad y X es una función de valor real definida sobre los elementos de S, entonces X se llama variable aleatoria. Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria discreta sólo puede asumir cierto número de valores específicos. Si hay 100 empleados en una empresa, la cantidad de los ausentes el lunes, sólo puede ser 0, 1, 2, 3,…, 100. En general, una variable aleatoria discreta x es el resultado de contar algo. Así por definición: Definición Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Ejemplo El número de hijos de una familia puede ser 0, 1, 2, 3,… pero no 2.5 o 3.48 por lo que es una variable aleatoria discreta. x÷ Variable que nos define el número de burbujas por envase de vidrio que son generadas en un proceso dado. x÷0, 1, 2, 3, 4, 5, etc., etc. burbujas por envase x÷Variable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25 productos. x÷0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lote x÷Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos. x÷0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad Definición; Variable aleatoria continua Variable aleatoria continua (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos. Es cuando entre dos valores consecutivos puede haber infinitos valores. Ejemplo La altura H de una persona, que puede ser 1.70, 1.751, 1.80, 1.85,… dependiendo de la precisión de la medida, es una variable aleatoria continua. Ejemplos: x÷Variable que nos define el diámetro de un engrane en pulgadas x÷5.0”, 4.99, 4.98, 5.0, 5.01, 5.0, 4.96 x÷Variable que nos define la longitud de un cable o circuito utilizado en un arnés de auto x÷20.5 cm, 20.1, 20.0, 19.8, 20,6, 20.0, 20.0 x÷Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral x÷14.8gramos, 12.0, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8 3.2 Distribuciones de probabilidad discretas Si se organiza un conjunto de valores posibles de una variable aleatoria discreta, en una distribución de probabilidades, por lógica la distribución se llama distribución de probabilidad discreta. Definición En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria. Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x. Si X es una variable aleatoria discreta, la función dada por () ( ) para cada x dentro del intervalo X, se llama distribución de probabilidad de X en el intervalo ,-. Teorema Una función puede servir como la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta x si y sólo si sus valores f(x), satisfacen las condiciones a) () , para cada valor dentro de su dominio b) ∑ () , donde la suma se extiende sobre todos los valores dentro de su dominio Ejemplo Lanzamos dos dados al aire. Nos interesa encontrar las probabilidades tal como la probabilidad de que la suma de los puntos en los dados es menor que 8. El espacio muestral del experimento, son treinta y seis posibles resultados es; Dado Rojo Dado Verde 1 2 3 4 5 6 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 El suceso de que la suma es ocho contiene 5 resultados *() () () () ()+; por lo tanto la probabilidad deseadas es . Las probabilidades asociadas con todos los valores posibles de x son x P(X=x) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F(x) Expresamos estos valores de probabilidad por medio de una función tal que sus valores f(x), sean iguales a ( ) para cada x dentro del rango de la variable aleatoria X. Para el total de obtenido con un par de dados se pueden lograr estos resultados mediante una fórmula. () | | Sustituimos los valores de x () | | || () | | || () | | || Todos los valores concuerdan con los mostrados en la tabla. Ejemplo Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidad del número total de caras obtenidas en cuatro lanzamientos de una moneda balanceada. Con base al ejercicio ya visto, y en base a las probabilidades en la tabla, encontramos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Al observar que los numeradores de estas cinco fracciones 1, 4, 6, 4, 1 son los coeficientes binomiales . / . / . / . / . /, encontramos que la fórmula para la distribución de probabilidad se puede escribir como () ( ) Problema Verificar si la función dada por () puede servir como una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. () () () () () Con estos resultados se satisface que () Comprobamos que se cumple la segunda condición ∑ () () () () () () Por lo tanto se cumple con la segunda condición. Ejercicio Verificar si la función () es una función de probabilidad. Los valores de la función se pueden representar en una gráfica como lo es el histograma. 3.3 Distribución de probabilidad Hipergeométrica Definición En teoría de la probabilidad la distribución Hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin remplazo. Para obtener una fórmula análoga a la de la distribución Binomial que sea válida para el muestreo sin remplazo, en cuyo caso los ensayos no son independientes. Consideremos un conjunto de N elementos, de los cuales M se consideran como éxitos y los otros como fracasos. En la binomial, estamos interesados en la probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos. Ahora escogemos sin remplazo n de los N elementos contenidos en el conjunto. Hay ( ) maneras de escoger x de los M éxitos y ( ) maneras de escoger de los fracasos, por lo tanto ( )( ) maneras de escoger x éxitos de los fracasos. Puesto que hay ( ) maneras de escoger n de los N elementos en el conjunto y suponemos que no todos son posibles, se tiene que la probabilidad de “x éxitos en n ensayos” es: ( )( ) ( ) Definición Una variable aleatoria x tiene una distribución Hipergeométrica y se conoce como variable aleatoria Hipergeométrica si y sólo si su distribución de probabilidad está dada por ( ) ( )( ) ( ) Así que para el muestreo sin remplazo el número de éxitos en n ensayos es una variable aleatoria que tiene una distribución Hipergeométrica con los parámetros n, N y M. Definición La media y la varianza de la distribución Hipergeométrica son ()() () Problema En una jaula hay 30 pericos rusos y 20 pericos chinos si extraemos 10 pericos al azar calcular posibilidad de que 3 de ellos hablen chino (característica deseada). N = 50 n = 10 M = 20 X= 3 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Problema De los 20 hombres y 18 mujeres del salón el 50% réprobo el examen de estadística, si tomamos 10 alumnos al azar encontrar la probabilidad. A) 4 alumnos reprobados B) 3 mujeres reprobadas A) N = 38 n = 10 M = 19 x = 4 B) N = 38 n = 10 M = 9 x = 3 Problema En un vagón de ferrocarril que acarrea a 60 reses el 20% de ellas están enfermas de vaca loca, si extraemos con propósito de inspección sanitaria una muestra del 10% de las reses ¿calcula la probabilidad de que hayan 2 vacas con dicha enfermedad? N = 60 n = 6 M = 12 x = 2 Problema De 60 aspirantes a la UNIVERSIDAD 40 son de Baja California, si seleccionamos 20 aspirantes al azar ¿calcular la probabilidad de que 10 sean de Baja California? N = 60 n = 20 M = 12 x = 10 3.4 Distribución de probabilidad Poisson Se considera a la distribución de Poisson como una forma límite de la Binomial cuando n tiende a infinito, pero se considera por sí misma como un proceso de Poisson. Ambas distribuciones son discretas, se aplican en procesos físicos, entre otros: En la industria en el control de calidad, en biología para determinar el número de bacterias, en física para calcular las partículas emitidas por una sustancia radiactiva, en las instituciones de seguros para verificar el número de seguros. Características a. En el proceso que se estudia se identifica una unidad que puede ser: de tiempo, de espacio, de volumen, etc. b. Se contabiliza un cierto número de ocurrencias eventuales para cada unidad c. La VA puede tomar una cantidad infinita pero numerable de valores  , 3 , 2 , 1 , 0 = x Ejemplo: 1) Unidad: un litro Ocurrencia eventual: haya bacterias de cólera. Proceso con distribución de Poisson: calcular el número de bacterias por litro que hay en el agua de una delegación política. 2) Unidad: 24 horas Ocurrencia eventual: robo de vehículos. Proceso con distribución de Poisson: calcular el número de vehículos robados cada 24 horas. 3) Unidad: una página de un libro Ocurrencia eventual: erratas detectadas en el libro Proceso con distribución de Poisson: las erratas por página en un libro de reciente publicación. 4) Unidad: Tinacos de agua con capacidad de 1000 litros. Ocurrencia eventual: Consumo de agua. Proceso con distribución de Poisson: la cantidad de tinacos de agua potable consumidos por las escuelas primarias de la ciudad. Un problema que satisface las anteriores características se resuelve con la distribución de probabilidad de Poisson con la relación ( ) np donde x e x P x = = ÷ ì ì ì ! Donde: El numero irracional ì , 71828 . 2 = e letra (landa) del alfabeto griego es el parámetro que determina el valor de esta distribución En la práctica real, rara vez se obtienen las probabilidades de Poisson por sustitución directa en la fórmula de la definición. Algunas veces nos referimos a las tablas de probabilidades de Poisson, como la tabla II, pero más a menudo, hoy en día, nos referimos a programas de computadora apropiados. El uso de tablas o computadoras es de especial importancia cuando nos interesan probabilidades relacionadas con varios valores de x. Problema Si la probabilidad es de 0.005 de que una persona cualquiera que asista a un desfile en un día muy caluroso de verano, ¿Cuál es la probabilidad de que 18 de 3000 personas que asistan al desfile sufran insolación? ( )( ) 005 . 0 15 005 . 0 3000 18 = = ¬ = = = p np x ì ì ( ) ( ) 0706 . 0 ! 18 15 ! 15 18 = = = ÷ e x e x P x ì ì La probabilidad de que 18 de 3000 personas que asistan al desfile sufran insolación es del 7.06% Problema Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, use la distribución de Poisson a la distribución Binomial para determinar la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tendrán encuadernaciones defectuosas. ( )( ) 02 . 0 8 02 . 0 400 5 = = ¬ = = = p np x ì ì ( ) ( ) 093 . 0 ! 5 8 ! 8 5 = = = ÷ e x e x P x ì ì Problema La contaminación es un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas contaminantes que aparecen en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del medio de almacenamiento es 0.1. El área de un disco bajo estudio es 100 cm 2 . a. Encuentre la probabilidad de encontrar 12 partículas en el área del disco óptico ( )( ) 1 . 0 10 1 . 0 100 12 = = ¬ = = = p np x ì ì ( ) ( ) 095 . 0 ! 12 10 ! 10 12 = = = ÷ e x e x P x ì ì b. Encuéntrese la probabilidad de que no haya partículas contaminantes en el área del disco ( ) ( ) 5 10 0 10 54 . 4 ! 12 10 ! ÷ ÷ × = = = e x e x P x ì ì Problema Si la probabilidad de que una persona sufra una reacción dañina al ingerir determinado antibiótico es de 0,001. Calcula la probabilidad de que un total de 3000 pacientes sufran el malestar. a. De exactamente 3 personas ( )( ) 001 . 0 3 001 . 0 3000 3 = = ¬ = = = p np x ì ì ( ) ( ) 2240 . 0 ! 3 3 ! 3 3 = = = ÷ e x e x P x ì ì b. Más de 2 presenten reacción dañina ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 751 . 0 2 9 3 1 1 2 2 9 ! 2 3 2 3 ! 1 3 1 1 ! 0 3 0 3 3 3 3 3 2 3 3 1 3 3 0 = | | . | \ | + + ÷ = > = = = = = = e e e x P e e P e e P e e P Problema El número de camiones que llegan en un día cualquiera en un depósito de camiones en cierta ciudad es según se sabe 12. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día lleguen menos de 9 camiones a este depósito? Problema Si una distribución de Poisson es de ( ) ( ) ! 56 . 0 74 . 0 x e x P x ÷ = Calcular ( ) ( ) ( ) ( ) 4 , 3 , 1 , 0 P P P P ( ) ( ) ( ) ( ) 0019 . 0 4 , 039 . 0 3 , 2671 . 0 1 , 4771 . 0 0 = = = = P P P P Problema En una fábrica de ropa, el 10% de las prendas producidas resultan con algún defecto. Calcula la probabilidad de que en un lote de 9 prendas elegidas al azar salgan exactamente 2 defectuosas. ( )( ) 1 . 0 9 . 0 1 . 0 9 3 = = ¬ = = = p np x ì ì ( ) ( ) ( ) 1646 . 0 ! 2 9 . 0 2 ! 9 . 0 2 = = ¬ = ÷ ÷ e P x e x P x ì ì Problema La probabilidad de que un trabajador técnico en computación tenga un sueldo mayor a 10000 pesos mensuales es de 0.001. Calcula la probabilidad en un total de 2000 técnicos que 4 personas reciban exactamente este sueldo. ( )( ) 001 . 0 2 001 . 0 2000 4 = = ¬ = = = p np x ì ì ( ) ( ) ( ) 1646 . 0 ! 2 2 2 ! 2 4 = = ¬ = ÷ ÷ e P x e x P x ì ì Problema Los registros muestran que las probabilidad es de 0.00005 de que un automóvil se le reviente un neumático mientras cruza cierto puente. Use la distribución de Poisson para aproximar las probabilidades binomiales que, de 10000 autos que cruzan este puente, a. Exactamente dos tendrán un neumático reventado Al consultar la tabla II, encontramos que para ( )( ) 00005 . 0 5 . 0 00005 . 0 10000 2 = = ¬ = = = p np x ì ì La probabilidad de Poisson es 0.0758 b. Cuando mucho dos tendrán un neumático reventado Al consultar la tabla II, encontramos que para ( )( ) 00005 . 0 5 . 0 00005 . 0 10000 2 , 1 , 0 = = ¬ = = = p np y x ì ì Las probabilidades de Poisson son 0.6065, 0.3033, y 0.0758. Así la probabilidad de que cuando mucho dos de los 10000 autos que cruzan el puente tendrán un neumático reventado es 9856 . 0 0758 . 0 3033 . 0 6065 . 0 = + + Propiedades de la distribución de Poisson La media ì = u La varianza ì o = 2 Desviación ì o = 3.5 Distribuciones de probabilidad continuas Definición Una función con valores ( ) x f , definida sobre el conjunto de todos los números reales, se llama función de densidad de probabilidad de la VAC X si y sólo si ( ) ( ) } = s s b a dx x f b x a P Para cualquiera constantes a y b con b a s Donde f(x) es la función de densidad de la distribución probabilística correspondiente. Es la probabilidad de que x tome un valor entre a y b es igual al área que encierra con el eje x entre los valores a y b. Hay que estar conscientes de que en el caso de las variables continuas sólo se puede calcular la probabilidad de que un evento caiga dentro de un intervalo, debido a que la exactitud de los instrumentos de medición siempre es relativa y muy lejana a la "exactitud" de los cálculos matemáticos. Por esto, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor exacto es nula: ( ) ( ) } = = = a a dx x f a x P 0 Esto se puede explicar de la siguiente manera: si, como ya dijimos, la probabilidad (frecuencia relativa) es igual a la densidad del intervalo por la amplitud del intervalo, entonces no importa qué tan grande sea la densidad de tal intervalo porque, como ya también se dijo, por ser variable continua la amplitud del intervalo tiende a cero y, por tanto, la probabilidad es igual a cero. Características: Es generada por una variable continua (x). ,..., Una función de densidad de una VAC X a la función que verifica las siguientes propiedades. Definición Una función puede servir como una densidad de probabilidad de una VAC X si sus valores satisfacen las condiciones: 1. ( ) 0 > x f Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero. La función de densidad de probabilidad sólo puede estar definida en los cuadrantes I y II. ( ) x f ( ) x f ( ) x f 2. ( ) } · · ÷ dx x f La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1. El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1. Cálculo de media y varianza para una distribución continua Media o valor esperado de x. Definición Supóngase que X es una VAC con una función de densidad de probabilidad para · < < · ÷ x La media de X, denotada por ( ) µ o x E es ( ) ( ) } · · ÷ = = dx x f x x E µ Donde: µ = E(x) = media o valor esperado de la distribución x = variable aleatoria continua f(x) = función de densidad de la distribución de probabilidad La varianza de X, denotada por ( ) 2 o o x v Desviación estándar es ( ) ( ) } · · ÷ ÷ = dx x f x 2 2 µ o Ejemplo: Para la siguiente función, ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ s s = dof x para x x f 0 3 0 9 1 2 a) Diga si esta función nos define una distribución de probabilidad. b) Si la función define una distribución de probabilidad, entonces, determine su media y desviación estándar. c) Determine la probabilidad de que 2 1 < s x . Solución: Para verificar que la función nos define una distribución de probabilidad, es necesario que cumpla con las características que se habían mencionado. ÷ x sí es una variable continua porque puede tomar cualquier valor entre 0 y 3 ( ) x f ( ) 0 > x f , lo que se comprueba si damos diferentes valores a x para ver que valores toma f(x), dándonos cuenta de que efectivamente f(x) solo toma valores mayores o iguales a cero. ( ) 1 81 . 0 49 . 0 49 . 0 21778 . 0 1111 . 0 02778 . 0 0 3 7 . 2 1 . 2 4 . 1 5 . 1 1 5 . 0 0 x f x Para comprobar que la sumatoria de las probabilidades que toma cada valor de x es de 1, se integra la función de 0 a 3 como se muestra a continuación: A= área bajo la función Con las operaciones anteriores comprobamos que la función 2 9 1 x sí nos define una distribución de probabilidad continua. Cálculo de media y desviación estándar. Las barras nos indican la evaluación de la integral entre 0 y 3. La barra nos indica la evaluación de la integral de 1 a 2. Con las operaciones anteriores nos damos cuenta que para evaluar probabilidades para variables de tipo continuo, es necesario evaluar la función de densidad de probabilidad en el rango de valores que se desea; que vendría siendo el área que se encuentra entre f(x) y el eje de las x y entre el rango de valores definidos por la variable x. Ejemplo Suponga que el error en la temperatura de reacción, en o C, para un experimento controlado de laboratorio es una variable aleatoria continua x, que tiene la función de densidad de probabilidad: ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < < ÷ = dof x para x x f 0 2 1 3 2 0 - Verifique la condición ∫ () la definición de una distribución de probabilidad continua. - Determine la media o valor esperado de la distribución de probabilidad ∫ () . - Encuentre la probabilidad de que . Solución: Como la tercera condición es que la sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe de ser 1, esto se comprueba de la siguiente manera: 3.6 Distribución t En el uso de la distribución z su uso era para muestras 30 > n . En muestras pequeñas 30 < n siempre y cuando la distribución de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal. Es una condición importante para utilizar las distribuciones . , , 2 Fisher F x Student t ÷ ÷ Donde se hará uso y manejo del concepto de grados de libertad, esto con base en la varianza muestral ( ) 1 2 2 ÷ ÷ = ¿ n x x s i Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media µ y varianza 2 o . Si X es el promedio de las observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución n x z o µ ÷ = es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la población 2 o es desconocida. Propiedades de las distribuciones t 1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0. 2. Cada curva t, está más dispersa que la curva normal estándar z. 3. A medida que v aumenta, la dispersión de la curva t correspondiente disminuye. A medida que ( ) · ÷ v , la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar, por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con · = gl Def. Sean variables aleatorias independientes que son todas normales con media y desviación estándaro . Entonces la variable aleatoria √ ⁄ tiene una distribución t con 1 ÷ = n v grados de libertad. La distribución t difiere de la de Z en que la varianza de t depende del tamaño de la muestra y siempre es mayor a uno. Únicamente cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las mismas. Problema El valor de t con 10 gl y un área de 0.025 a la derecha es: Problema El valor de t con 14 gl tiene un área de 0.025 a la izquierda y por lo tanto un área de 0.0975 a la derecha es, 975 . 0 1 = ÷o Problema Encontrar ( ) Problema Encontrar ( ) Problema Un fabricante de focos afirma que us producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?: “Grados de libertad” Esté se define como el número de valores que podemos elegir libremente, ósea, el número de observaciones menos uno 3.7 Distribución Chi-cuadrada En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de 2 S . O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas. Definición Si 2 S y X son la media y la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con la media µ y la desviación estándar o , entonces - 2 S y X son independientes - La variable aleatoria ( ) 2 2 1 o S n ÷ tiene la distribución ji-cuadrada con n-1 grados de libertad. El estadístico ji-cuadrada esta dado por: ( ) o o = > v x x P , 2 2 donde ( ) 2 2 2 1 o S n X ÷ = donde n es el tamaño de la muestra, s 2 la varianza muestral y 2 o la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión: ( ) 2 1 2 o ¿ = ÷ = n i i x x X Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada 1. Los valores de 2 X son mayores o iguales que 0. 2. La forma de una distribución 2 X depende del 1 ÷ = n gl . En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones 2 X . 3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1. 4. Las distribuciones 2 X no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha. 5. Cuando 2 > n , la media de una distribución 2 X es n-1 y la varianza es 2 (n-1). 6. El valor modal de una distribución 2 X se da en el valor (n-3). Para denotar el valor crítico de una distribución 2 X con gl grados de libertad se usa el símbolo v X , 2 o ; este valor crítico determina a su derecha un área de o bajo la curva 2 X y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar 6 , 05 . 0 2 X en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y 05 . 0 = o a o largo del lado superior de la misma tabla. Cálculo de Probabilidad El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal. Problema Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar 1 = o minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2. Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a 2 2 = s como sigue: El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es ( ) 2 2 > s P . Problema Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza 6 2 = o , tenga una varianza muestral: a. Mayor que 9.1 b. Entre 3.462 y 10.745 a. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada: Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la ( ) 05 . 0 1 . 9 2 = s P Se calcularán dos valores de ji-cuadrada: ( ) ( )( ) 847 . 13 6 462 . 3 1 25 1 2 2 2 = ÷ = ÷ = o s n x y ( )( ) 98 . 42 6 745 . 10 1 25 2 = ÷ = x Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94. Por lo tanto la ( ) 94 . 0 745 . 10 462 . 3 2 = s s s P Problema Una compañía óptica compra cristales para fabricar lentes y experiencias anteriores han demostrado que la varianza del índice de refracción de esta clase de cristal es 4 10 26 . 1 ÷ × . Para convertir el cristal en lentes de una longitud focal dada, es importante que las distintas piezas de cristal de esta clase se rechaza si la varianza muestral de 18 piezas seleccionadas al azar excede a 4 10 2 ÷ × . Suponiendo, además, que los valores de las muestras se pueden tratar como si provinieran de una población normal. Problema Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 23 observaciones de una población normal con varianza igual a 2.4495, tenga una varianza 1 . 9 2 > s 3.8 Distribución F 3.9 Esperanza matemática. Proyecto 1. Determine si las funciones 5 , 4 , 3 , 2 , 1 5 2 ) ( = + = x para x x f , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 15 ) ( = = x para x x f , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 30 ) ( 2 = = x para x x f , () y 4 , 3 , 2 , 1 , 0 5 ) ( 2 = = x para x x f pueden servir como una distribución de probabilidad. 2. Construya un histograma de probabilidad para la función | | . | \ | | | . | \ | ÷ | | . | \ | = 3 6 3 4 2 ) ( x x x f , para encuentre la media y varianza para esta función. 3. Obtenga el valor esperado y la varianza de la VAD X que tiene la distribución de probabilidad 3 , 1 , 0 , 1 7 2 ) ( ÷ = ÷ = x para x x f 4. Dada la fórmula de distribución de probabilidad, 4 , 3 , 2 , 1 , 0 16 4 ) ( = | | . | \ | = x para x x f Obtenga: a. Construya el histograma correspondiente. b. La función de distribución. 5. Encuentre la media x µ y varianza x o de la variable aleatoria discreta x. Una grabadora de cinta contiene seis transistores, de los cuales dos están defectuosos. Si se seleccionan al azar dos de estos transistores extraídos de la grabadora e inspeccionados y si x es el número de unidades defectuosas observadas, obtenga a) La distribución de probabilidad de x b) La función de distribución de x c) Trace un histograma de la distribución de probabilidad y una gráfica de la función de distribución. 6. Si en general fallece el 30 % de los pacientes que padecen cierta enfermedad ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 5 mueran exactamente 2? 7. Un ingeniero en seguridad de automóviles afirma que uno de 10 accidentes automovilísticos se debe a la fatiga del conductor. Utilizando la fórmula de la distribución binomial ¿Cuál es la probabilidad de que cuando menos de tres de cinco accidentes de automóvil se debe a la fatiga del conductor? 8. Un psicólogo asevera que sólo el 50% de todos los alumnos del último año de preparatoria, capaces de desempeñar trabajos a nivel universitario, asisten en realidad a la universidad. Suponiendo verdadera esta afirmación obtenga las probabilidades de: a) Exactamente 10 asistan a la universidad b) Cuando menos 15 vayan a la universidad c) Cuando mucho cuatro vayan a la universidad 9. Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, use la dist. de Poisson para determinar la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tendrán encuadernación defectuosa. 10. Si la probabilidad de que una persona sufra una reacción dañina al ingerir un determinado antibiótico es de 0.001. Calcula la prob. De que de un total de 3000 pacientes sufran el malestar. 11. La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0.01. Si se supone que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara, ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar exactamente 125 muestras antes de detectar una molécula rara? 12. En la fabricación de las puertas de automóviles, se ha observado que la probabilidad de que una puerta resulte defectuosa es de 5%, ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil elegido al azar tenga a lo más tres puertas defectuosas? Se supone que el modelo del automóvil tiene 5 puertas. 13. El 30% de las piezas de televisión que fabrica una maquinaria recientemente reparada son defectuosas, calcula la probabilidad de que en 8 piezas elegidas al azar se obtenga: a) Una pieza defectuosa. b) Ninguna defectuosa. 14. Si la probabilidad es 0.75 de que el solicitante de una licencia de manejo pasará la prueba de manejo en un ensayo dado, ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante finalmente pase la prueba en el cuarto ensayo? 15. En una fábrica de ropa, el 10% de las prendas producidas resultan con algún defecto. Calcula la probabilidad en base a la distribución de Poisson de que en un lote de 9 prendas elegidas al azar salgan exactamente dos defectuosas. 16. Encuentre la probabilidad de que 7 de 10 personas se recuperaran de una enfermedad tropical si podemos suponer independencia y la probabilidad de que cualquiera de ellos se recuperara de la enfermedad es de 0.8. 17. El número de camiones que llegan en un día cualquiera en un depósito de camiones en cierta ciudad es según se sabe 12. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día lleguen menos de 9 camiones a este depósito? 18. La probabilidad de que un trabajador técnico en computación tenga un sueldo mayor a 10000 pesos mensuales es de 0.001. Calcula la probabilidad en un total de 2000 técnicos que 4 personas reciban exactamente este sueldo. 19. Los registros muestran que la probabilidad es de 0.00005 de que un automóvil se le reviente un neumático mientras cruza cierto puente. Use la distribución de Poisson para aproximar las probabilidades binomiales que, de 10000 autos que cruzan este puente, c. Exactamente dos tendrán un neumático reventado d. Cuando mucho dos tendrán un neumático reventado 20. De una población normal con media 51.4 y desviación estándar 6.8 se toma una muestra al azar de tamaño 64. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra: a) Exceda a 52.9 b) Este entre 50.5 y 52.3 c) Sea menor que 50.6 21. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 100 de una población infinita con media 75 y varianza 256, ¿con que probabilidad podemos afirmar que el valor de caerá entre 67 y 83? 22. Una compañía fabrica resistores que tienen una resistencia promedio de y una desviación estándar de . La distribución de la resistencia es normal, encuéntrese la probabilidad de que al tomar una muestra de 30 resistores la resistencia promedio de estos será menor que . 23. Se sabe que la resistencia a la ruptura de cierto tipo de cuerda se distribuye normalmente con media de 2000 libras y una varianza de . Si se selecciona una MA de 100 cuerdas, determine la probabilidad de que en esta muestra: a) La resistencia media encontrada sea de por lo menos 1958 lbs. b) La resistencia media sea de 2080 lbs. 24. El precio medio de ventas de casa nuevas en una ciudad americana es de $115 000 con una desviación típica de $25 000. Se toma una muestra aleatoria de 100 casas nuevas de esta ciudad. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta sea menor de $110 000? 25. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 64 de una población normal con . ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra a. Excederá 52.9 b. Caerá entre 50.5 y 52.3 c. Será menor que 50.6? 26. Encuentre la media y la varianza de la varianza de la población finita que consiste de los 10 números 15, 163, 18, 10, 6, 21, 7, 11, 20 y 9. 27. El tiempo que un cajero de un banco atiende a un cliente es una variable aleatoria con media 4.2 y una varianza de 2.56. Si se observa una MA de 74 clientes, encuentre la probabilidad de que el tiempo promedio de los mismos con el cajero sea a) Cuando mucho 3.7 min b) A lo menos 4.5 min c) Menos de 4.5 pero mas de 3.4 min 28. Los parvulitos de un jardín de niños tienen estaturas que están distribuidas de manera normal con respecto a una media de 39 pulgadas y una desviación estándar de 2 pulgadas. Se toma una muestra aleatoria de 30 y se calcula la media muestral . ¿Cuál es la probabilidad de que este valor medio esté entre 38.5 y 40 pulgadas? 29. Una compañía fabrica focos cuya duración es normalmente distribuida con una media igual a 800 hrs. y una desviación estándar de 40 hrs. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 40 focos se fundan entre 778 y 834 hrs. de uso. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 40 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas. 30. Una MA de tamaño 81 se toma de una población infinita con la media 128 y la desviación estándar 6.3, ¿con que probabilidad podemos afirmar que el valor que obtenemos para no caerá entre 126.6 y 129.4? 31. Una compañía óptica compra cristales para fabricar lentes y experiencias anteriores han demostrado que la varianza del índice de refracción de esta clase de cristal es . Para convertir el cristal en lentes de una longitud focal dada, es importante que las distintas piezas de cristal de esta clase se rechaza si la varianza muestral de 18 piezas seleccionadas al azar excede a . Suponiendo, además, que los valores de las muestras se pueden tratar como si provinieran de una población normal. 32. Una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población normal que tiene la media y la desviación estándar . Si basamos nuestra decisión en la estadística del teorema visto ¿podemos decir que la afirmación dada sustenta la conjetura de que la media de la población es ? 33. Supongamos que el espesor de una parte usada en un semiconductor es su dimensión crítica y el proceso de fabricar estas partes se considera que esta bajo control si la varianza real entre espesor de las partes está dada por una desviación estándar no mayor que 0.60 milésimas de pulgada. Para mantener un control sobre el proceso, periódicamente se toman MA de tamaño 20 y se considera que esta bajo control si la probabilidad de asume un valor que, o igual, al observado de la MA es 0.01 (aun cuando ), ¿Qué se puede concluir sobre el proceso si la desviación estándar de una MA periódica tal es milésimas de pulgadas? 34. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza , tenga una varianza muestral: - Mayor que 9.1 - Entre 3.462 y 10.745 35. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 23 observaciones de una población normal con varianza igual a 2.4495, tenga una varianza 1 . 9 2 > s 36. Encuentre los valores críticos de 2 x que determinan un área de 0.05 en cada cola, si tiene una muestra de 11. 37. Un fabricante de baterías para automóvil garantiza que sus baterías durarán en promedio, 3 años, con una desviación estándar de 1 año. Si 5 de estas baterías tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.5, y 4.2 años. ¿Está el fabricante convencido aún de que sus baterías tienen una desviación estándar de 1 año? 38. Encuentre los valores críticos de 2 x que determinan regiones críticas que contienen un área de 0.025 en cada cola. Suponga que el tamaño de la muestra es 10. 39. Una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población normal que tiene la media 47 = x y la desviación estándar 7 = s . Si basamos nuestra decisión en la estadística del teorema visto ¿podemos decir que la afirmación dada sustenta la conjetura de que la media de la población es 42 = µ ? 40. Para una muestra de 17 y con 01 . 0 = o encuentre el área a la derecha de 0.01 41. Dada una muestra de 30 encontrar la probabilidad de que 2 x caiga entre 14.953 y 50.892. 42. Se toma una muestra de 27 observaciones de una población normal con varianza de 16.8, hallar la probabilidad aproximada de obtener una desviación estándar de la muestra entre 3 y 5.2. 43. Encuentre la probabilidad de 05 . 0 025 . 0 t t t < < ÷ 44. Encontrar ( ) 7 365 . 2 = < v cuando t P 45. Encontrar ( ) 24 318 . 1 = > v cuando t P 46. Encuentre k tal que ( ) 045 . 0 761 . 1 = ÷ < < t k P , para una muestra aleatoria de tamaño 15 que se selecciona de una distribución normal. 47. Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal. 48. Un fabricante de alambre de acero asegura que la fuerza media requerida para romper una clase de alambre dada es de 500 lbs. Para probar esto, se toma una muestra de 25 partes de este tipo de alambre y se somete a tracción, la media y desviación estándar de las fuerzas para romper estas muestras son respectivamente, lbs s y x 55 465 = = Suponiendo que los esfuerzos de rotura se puedan considerar como una MA de una población normal con 500 = µ 49. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 hrs. de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor de t calculado cae entre , 05 . 0 05 . 0 t y t ÷ el se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá el sacar de una muestra que tiene una media hrs x 518 = y una desviación estándar de 40 hrs. Asuma que la distribución de los tiempos de vida es aproximadamente normal. 50. Una MA de tamaño 16 proveniente de una población normal tiene una media de 48 y desviación estándar de 5.2. Basándose en la decisión del estadístico t, decir si es razonable indicar que esta información justifica la afirmación de que la media de la población es como mínimo 52. 1. Sea X una variable aleatoria continua que tiene la siguiente función de densidad: ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ s s + = dof x para x c x f 0 2 0 8 3 2 - El valor de c para que f(x) sea una función de densidad. - Calcular: ) 5 . 1 1 ( s sx P - Calcular: P(x > 1). 2. Sea X una variable aleatoria continua que mide el avance entre dos automóviles consecutivos elegidos al azar en segundos, su función de distribución del tiempo de avance presenta la forma: ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ s s s = 1 0 2 0 4 x para x para x k x f - Determinar el valor de k para que f(x) sea una función de densidad legítima. - Obtener la función de distribución acumulada. - Calcular: P(X > 2) y P(2 <. X <. 3). - Obtener el valor medio y la desviación estándar del avance. 3. Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una función densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de la función de distribución acumulada correspondiente. a. , b. , 4. Determine 2 o µ y para una variable aleatoria continua que tiene la densidad de probabilidad; ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ s s = dof x para x x f 0 2 0 2 5. Demuestre que ( ) · < < = ÷ x para e x f x 0  Representa una función de densidad de probabilidad  Bosqueje una gráfica de esta función e indique el área asociada con la probabilidad que 1 > x  Calcule la probabilidad de que 1 > x 6. Para la siguiente función, ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ s s = dof x para x x f 0 3 0 9 1 2 - Diga si esta función nos define una distribución de probabilidad. - Si la función define una distribución de probabilidad, entonces, determine su media y desviación estándar. - Determine la probabilidad de que 3 2 < s x . 7. Suponga que el error en la temperatura de reacción, en o C, para un experimento controlado de laboratorio es una variable aleatoria continua x, que tiene la función de densidad de probabilidad: ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < < ÷ = dof x para x x f 0 2 1 3 3  Verifique si esta función nos define una distribución de probabilidad. Determine la media o valor esperado de la distribución de probabilidad. Encuentre la probabilidad de que 1 0 < s x . 8. El salario medio de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media 5 millones de ptas. y desviación típica 1 millón de ptas. Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de ptas. 9. La renta media de los habitantes de un país es de 4 millones de ptas/año, con una varianza de 1,5. Se supone que se distribuye según una distribución normal. Calcular: a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de ptas. b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos. c) Ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de la población con renta media. 10. La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes: a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años? b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años? 11. El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de un país es de 59 litros, con una varianza de 36. Se supone que se distribuye según una distribución normal. a) Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de cerveza tendría que beber al año para pertenecer al 5% de la población que más bebe? b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de borracho ¿qué podría argumentar en su defensa? 12. Si Z es una VA con una distribución normal estándar, determine las probabilidades de que esta variable tenga un valor. a) Mayor que 1.14 b) Menor que -0.36 c) Entre -0.46 y -0.09 d) Entre -0.58 y 1.12 e) Entre 0 y 1.28 f) Entre -3.20 y 0 g) A la izquierda de -1.35 h) El área entre -1.5 y 2.1 i) Entre 0.7 y 2.1 13. En un proceso fotográfico, el tiempo de revelado de impresiones se puede considerar como una VA que tiene distribución normal con media 15.40 seg. y Desviación estándar de 0.48 seg. Encuentre las probabilidades de que el tiempo que toma revelar una de las impresiones será a) Al menos 16 seg b) Cuando mucho 14.20 seg c) Cualquier valor entre 15 y 15.80 seg 14. Supongamos que la cantidad de café instantáneo que una máquina sirve en un frasco de 6 onzas es una VA que tiene distribución normal con desviación estándar 0. 05 onzas. Si sòlo el 3% de los frascos deben contener menos de 6 onzas de café, ¿Cuál debe ser la media del llenado de estos frascos.? 1. El espacio muestral S de la población de adultos en un pequeño pueblo que han satisfecho los requisitos para graduarse en la escuela. Se deben clasificar de acuerdo con el sexo y si trabajan o no actualmente. Empleado Desempleado Total Hombre 460 40 500 Mujer 140 260 400 Total 600 300 900 Basados en el espacio muestral anterior definir: a. La probabilidad de que sea empleado b. La probabilidad de que sea empleado c. La probabilidad de que sea hombre y al mismo tiempo sea desempleado d. Encuentre la probabilidad de que se escoge un hombre dado que el elegido tiene empleo 2. Lanzamos un dado. Decir los sucesos contrarios de: { } { } { } ) . . . primo numero sacar C c tres que igual o menos sacar B b par puntuación sacar A a = = = 3. Supóngase que se tiene una caja de fusible que contienen 20 piezas, de las cuales 5 están defectuosas. Si se seleccionan 2 al azar y se sacan de la caja en sucesión sin reemplazo del primero, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos fusibles resulten defectuosos? 4. Si se lanza una moneda tres veces y se supone que los resultados posibles son igualmente probables. Si A es el evento de que una cara ocurra en cada uno de los dos primeros lanzamientos, B es el evento que una cruz ocurra en el tercer lanzamiento y C es el evento que exactamente dos cruces ocurren en los tres lanzamientos, demuestre que; a. Los eventos A y B son independientes b. Los eventos B y C son dependientes 5. La siguiente figura es un diagrama de Venn, con probabilidades asignadas a sus diversas regiones. Verifique que A y B son independientes, que B y C son independientes pero que A, B, y C no son independientes. 6. Hay 90 aspirantes para un trabajo en el departamento de noticias de una estación de tv. Algunos son egresados de la universidad y algunos no, algunos de ellos tienen al menos tres años de experiencia y algunos no la tienen, el análisis exacto es; Egresados No egresados Al menos tres años de experiencia 18 9 Menos de tres años de experiencia 36 27 El orden en que el gerente de la estación entrevista a los aspirantes es aleatorio, G es el evento que el primer aspirante entrevistado sea un egresado de la universidad y T es el evento de que el primer aspirante entrevistado tenga al menos años de experiencia, determine cada una de las siguientes probabilidades. ( ) ( ) ( ) T G P c G T P b G P a / . / . . 7. Experimento aleatorio: se observa la escolaridad de las personas de 20 a 60 años de edad de una comunidad. Consideremos los siguientes sucesos. I. Una persona tiene menos de 40 años J. La persona es ingeniero K. La persona es analfabeta L. La persona tiene 40 años o más ¿Son los sucesos mutuamente excluyentes o no? D A C B D B C A · · · · ; ; ; 8. En un grupo de 200 estudiantes (80 mujeres y 60 hombres), 140 en total son alumnos de tiempo completo y otro de 60, (40 son mujeres y 20 hombres) son de tiempo parcial. Experimento: un estudiante es seleccionado al azar, para esto se definen tres sucesos. D. Estudiante seleccionado de tiempo completo E. Estudiante seleccionado de tiempo parcial F. Estudiante seleccionado sea hombre c) Defina si los sucesos A y B son mutuamente excluyentes o no. d) Defina si los sucesos A y C son mutuamente excluyentes o no. e) Defina si los sucesos B y C son mutuamente excluyentes o no 9. Se analiza en un momento dedo el estado de salud de los habitantes de la ciudad. Consideremos los casos siguientes: A: La persona es diabética B: La persona está sana C: La persona tiene un problema de salud permanente, tiene una enfermedad crónica. D: La persona tiene gripa E: La persona es hipertensa e) ¿Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes o no? f) ¿Si | = ·E C son mutuamente excluyentes o no? g) ¿Qué sucede con los sucesos B y C? h) ¿Cómo son los sucesos C y D? 10. Una organización de los consumidores ha estudiado los servicios con garantía proporcionados por las 50 agencias de automóviles nuevos en una cierta ciudad en la tabla siguiente se resumen sus hallazgos. Buen servicio de garantía Mal servicio de garantía En operación por 10 años o más 16 4 20 En operación Menos de 10 años 10 20 30 Total 26 24 50 e) Si una persona selecciona aleatoriamente una de estas agencias de automóviles nuevos, ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una que proporciona buen servicio de garantía? f) Si una persona selecciona una de las agencias que han operado 10 años o más, ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una agencia que proporcione buen servicio de garantía? G: Denota la selección de la agencia que proporciona buen servicio de garantía. S: Denota el número de elementos en el espacio muestral completo. 11. Una urna contiene 75 bolas blancas marcadas, 25 bolas sin marcar, 175 bolas negras marcadas y 125 bolas negras sin marcar. c) Se saca una bola al azar. Calcular la probabilidad que sea blanca. d) Se extrae una bola y está marcada. Calcular la probabilidad que sea blanca. 12. En un grupo de 200 estudiantes universitarios 138 están inscritos en un curso de Ingles 115 en uno de mecánica y 91 en ambos, ¿Cuántos de estos estudiantes no están inscritos en uno u otro curso? - Trace un diagrama de Venn apropiado y anote los números asociados con las diversas regiones. 13. Un taller sabe que por término medio acuden, por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapas y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa. Eléctricos Mecánicos Chapa Total Mañana 3 8 3 14 Tarde 2 3 1 6 Total 5 11 4 20 Calcular, P(A), P(B), P(C) , así como la probabilidad de que acuda por la mañana dado que tiene problemas eléctricos 14. En una caja hay 100 canicas azules y 300 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una canica azul? Exprese el resultado en tanto por ciento. 15. En la oficina del subdirector de la escuela hay 12 calculadoras, algunas son manuales (M), otras eléctricas (E); además algunas de ellas son nuevas (N) y otras usadas (U), como se expresa en el cuadro siguiente: M E N 2 3 5 U 2 5 7 4 8 12 c) Una persona entra a la oficina y escoge aleatoriamente una calculadora y observa que es manual. ¿Cuál es la probabilidad de que sea nueva? d) Si la persona escoge una al azar una eléctrica, ¿Cuál es la probabilidad de que sea usada? 16. Empleando diagramas de Venn y con la definición de conjuntos encontrar el conjunto solución para cada uno de los casos que se dan a continuación. { } { } { } { } 7 , 6 , 5 , 2 , 7 , 5 , 3 , 1 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = = = = c B A U . c A e A B d C B c B C b A B a ) ) ) ) ) ÷ ÷ · 17. Una orquesta de 30 músicos deciden formar dos grupos musicales, uno de clásica y otro de música de salón, el primero con 12 personas y el segundo con 16; si tres de los músicos pertenecen a los dos grupos ¿Cuántos miembros de la orquesta original decidieron no pertenecer a ningún grupo? 18. De un lote de 15 camisas, 4 son defectuosas, si se toman al azar 3 artículos del lote, uno tras otro; calcular la probabilidad de que los tres se encuentren en buen estado. 19. En una escuela de enseñanza media superior, el 20% de los alumnos reprobaron matemáticas, el 25% física y el 5% ambas materias. Si se selecciona un alumno al azar: d) Si reprobó física. ¿Cuál es la probabilidad que haya reprobado matemáticas? e) Si reprobó matemáticas. ¿Cuáles la probabilidad de que haya reprobado física? f) ¿Cuál es la probabilidad de que haya reprobado física o matemáticas? 20. En una escuela de enseñanza media superior de la población de alumnos el 40% mide más de 1.50 m, el 25% pesa más de 52 kilos y el 15% mide más de 1.50 m y más de 52 kilos. Si se escoge al azar un alumno: b) Si mide más de 1.50 m, calcular la probabilidad de que también pese más de 52 kg. 21. En una zona de una ciudad grande, las probabilidades son 0.86, 0.35, y 0.29 de que una familia tenga un aparato de tv a color, un aparato de tv en blanco y negro, o ambas clases de aparatos respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia posea cualquiera de los dos o ambas clases? 22. Cerca de cierta salida de la carretera, las probabilidades son 0.23 y 0.24, de que un camión parado en un retén tendrá frenos defectuosos o neumáticos muy gastados. También, la probabilidad es 0.38 de que un camión parado en un retén tendrá frenos defectuosos y neumáticos muy gastados. ¿Cuál es la probabilidad de que un camión parado en este retén tendrá los frenos defectuosos así como los neumáticos muy gastados? 1. El tiempo que un cajero de un banco atiende a un cliente es una variable aleatoria con media 4.2 y una varianza de 2.56. Si se observa una MA de 74 clientes, encuentre la probabilidad de que el tiempo promedio de los mismos con el cajero sea d) Cuando mucho 3.7 min e) A lo menos 4.5 min f) Menos de 4.5 pero más de 3.4 min 2. Los parvulitos de un jardín de niños tienen estaturas que están distribuidas de manera normal con respecto a una media de 39 pulgadas y una desviación estándar de 2 pulgadas. Se toma una muestra aleatoria de 30 y se calcula la media muestral x . ¿Cuál es la probabilidad de que este valor medio esté entre 38.5 y 40 pulgadas? 3. Una compañía fabrica focos cuya duración es normalmente distribuida con una media igual a 800 hrs. y una desviación estándar de 40 hrs. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 40 focos se fundan entre 778 y 834 hrs. de uso. 4. Una MA de tamaño 81 se toma de una población infinita con la media 128 y la desviación estándar 6.3, ¿con que probabilidad podemos afirmar que el valor que obtenemos para x no caerá entre 126.6 y 129.4? 5. Una compañía óptica compra cristales para fabricar lentes y experiencias anteriores han demostrado que la varianza del índice de refracción de esta clase de cristal es 4 10 26 . 1 ÷ × . Para convertir el cristal en lentes de una longitud focal dada, es importante que las distintas piezas de cristal de esta clase se rechaza si la varianza muestral de 18 piezas seleccionadas al azar excede a 4 10 2 ÷ × . Suponiendo, además, que los valores de las muestras se pueden tratar como si provinieran de una población normal. 6. Una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población normal que tiene la media 47 = x y la desviación estándar 7 = s . Si basamos nuestra decisión en la estadística del teorema visto ¿podemos decir que la afirmación dada sustenta la conjetura de que la media de la población es 42 = µ ? 7. Supongamos que el espesor de una parte usada en un semiconductor es su dimensión crítica y el proceso de fabricar estas partes se considera que esta bajo control si la varianza real entre espesor de las partes esta dada por una desviación estándar no mayor que 0.60 milésimas de pulgada. Para mantener un control sobre el proceso, periódicamente se toman MA de tamaño 20 y se considera que esta bajo control si la probabilidad de 2 s asume un valor que, o igual, al observado de la MA es 0.01 (aún cuando 60 . 0 = o ), ¿Qué se puede concluir sobre el proceso si la desviación estándar de una MA periódica tal es 84 . 0 = s milésimas de pulgadas? 8. Un fabricante de baterías para automóvil garantiza que sus baterías durarán en promedio, 3 años, con una desviación estándar de 1 año. Si 5 de estas baterías tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.5, y 4.2 años. ¿Está el fabricante convencido aún de que sus baterías tienen una desviación estándar de 1 año? 9. Encuentre los valores críticos de 2 x que determinan regiones críticas que contienen un área de 0.025 en cada cola. Suponga que el tamaño de la muestra es 10. 10. Una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población normal que tiene la media 47 = x y la desviación estándar 7 = s . Si basamos nuestra decisión en la estadística del teorema visto ¿podemos decir que la afirmación dada sustenta la conjetura de que la media de la población es 42 = µ ? 11. Dada una muestra de 30 encontrar la probabilidad de que 2 x caiga entre 14.953 y 50.892. 12. Se toma una muestra de 27 observaciones de una población normal con varianza de 16.8, hallar la probabilidad aproximada de obtener una desviación estándar de la muestra entre 3 y 5.2. 13. Encontrar ( ) 7 365 . 2 = < v cuando t P 14. Encontrar ( ) 24 318 . 1 = > v cuando t P 15. Un fabricante de alambre de acero asegura que la fuerza media requerida para romper una clase de alambre dada es de 500 lbs. Para probar esto, se toma una muestra de 25 partes de este tipo de alambre y se somete a tracción, la media y desviación estándar de las fuerzas para romper estas muestras son respectivamente, lbs s y x 55 465 = = Suponiendo que los esfuerzos de rotura se puedan considerar como una MA de una población normal con 500 = µ 16. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 hrs. de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor de t calculado cae entre , 05 . 0 05 . 0 t y t ÷ el se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá el sacar de una muestra que tiene una media hrs x 518 = y una desviación estándar de 40 hrs. Asuma que la distribución de los tiempos de vida es aproximadamente normal. 17. Una MA de tamaño 16 proveniente de una población normal tiene una media de 48 y desviación estándar de 5.2. Basándose en la decisión del estadístico t, decir si es razonable indicar que esta información justifica la afirmación de que la media de la población es como mínimo 52. Unidad IV 4.1 Inferencia estadística La estadística inferencial se define como la rama de la estadística que proporciona técnicas o procedimientos para analizar, interpretar y tomar decisiones sobre una población, con base en la información que se obtiene de una muestra. Esta generalización de tipo inductivo, se basa en la probabilidad. También se le llama estadística matemática, por su complejidad matemática en relación a la estadística descriptiva. Tiene como objetivo generalizar las propiedades de la población bajo estudio, basado en los resultados de una muestra representativa de la población. El estudio de una población tomando como base las muestras se llama estadística inferencial o inductiva, “Teoría de muestras”. La Inferencia estadística persigue la obtención de conclusiones sobre la población mediante los datos obtenidos de una muestra, e incluye; - Teoría de la muestra - Estimación de parámetros 4.2 Muestreo estadístico Uno de los propósitos de la estadística inferencial es estimar las características poblacionales desconocidas, examinando la información obtenida de una muestra, de una población. El punto de interés es la muestra, la cual debe ser representativa de la población objeto de estudio. Se seguirán ciertos procedimientos de selección para asegurar de que las muestras reflejen observaciones a la población de la que proceden, ya que solo se pueden hacer observaciones probabilísticas sobre una población cuando se usan muestras representativas de la misma. El tamaño de la muestra debe calcularse utilizando técnicas estadísticas. La selección de la muestra debe hacerse en forma aleatoria. La estimación de las características de la población debe hacerse de acuerdo a las leyes de la estadística. Una aplicación de muestreo que no cumpla con alguno de estos tres requisitos se considera muestreo no estadístico. El muestreo estadístico posee algunas ventajas con respecto al muestreo no estadístico, entre ellas las siguientes: - Permite seleccionar de antemano el nivel de confianza de la prueba, es decir la probabilidad de que las conclusiones obtenidas del muestreo sean correctas. - La selección aleatoria impide que los prejuicios o preferencias del auditor favorezcan la selección de algunos elementos de la población en desmedro de otros. - Permite limitar el tamaño de la muestra al mínimo necesario, evitando realizar pruebas de auditoría sobre una cantidad mayor de elementos. - Los resultados de la prueba se expresan matemáticamente en términos precisos, permitiendo elaborar recomendaciones sobre una base más objetiva. - Permite hacer más defendibles las conclusiones de la prueba. Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene una cierta observación. Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una población. Muestras Aleatorias Cuando nos interesa estudiar las características de poblaciones grandes, se utilizan muestras por muchas razones; una enumeración completa de la población, llamada censo, puede ser económicamente imposible, o no se cuenta con el tiempo suficiente. A continuación se verá algunos usos del muestreo en diversos campos: 1. Política. Las muestras de las opiniones de los votantes se usan para que los candidatos midan la opinión pública y el apoyo en las elecciones. 2. Educación. Las muestras de las calificaciones de los exámenes de estudiantes se usan para determinar la eficiencia de una técnica o programa de enseñanza. 3. Industria. Muestras de los productos de una línea de ensamble sirve para controlar la calidad. 4. Medicina. Muestras de medidas de azúcar en la sangre de pacientes diabéticos prueban la eficacia de una técnica o de un fármaco nuevo. 5. Agricultura. Las muestras del maíz cosechado en una parcela proyectan en la producción los efectos de un fertilizante nuevo. 6. Gobierno. Una muestra de opiniones de los votantes se usaría para determinar los criterios del público sobre cuestiones relacionadas con el bienestar y la seguridad nacional. Errores en el Muestreo Cuando se utilizan valores muestrales, o estadísticos para estimar valores poblacionales, o parámetros, pueden ocurrir dos tipos generales de errores: el error muestral y el error no muestral. El error muestral se refiere a la variación natural existente entre muestras tomadas de la misma población. Cuando una muestra no es una copia exacta de la población; aún si se ha tenido gran cuidado para asegurar que dos muestras del mismo tamaño sean representativas de una cierta población, no esperaríamos que las dos sean idénticas en todos sus detalles. El error muestral es un concepto importante que ayudará a entender mejor la naturaleza de la estadística inferencial. Los errores que surgen al tomar las muestras no pueden clasificarse como errores muestrales y se denominan errores no muestrales. El sesgo de las muestras es un tipo de error no muestral. El sesgo muestral se refiere a una tendencia sistemática inherente a un método de muestreo que da estimaciones de un parámetro que son, en promedio, menores (sesgo negativo), o mayores (sesgo positivo) que el parámetro real. El sesgo muestral puede suprimirse, o minimizarse, usando la aleatorización. La aleatorización se refiere a cualquier proceso de selección de una muestra de la población en el que la selección es imparcial o no está sesgada; una muestra elegida con procedimientos aleatorios se llama muestra aleatoria. Los tipos más comunes de técnicas de muestreo aleatorios son el muestreo aleatorio simple, el muestreo estratificado, el muestreo por conglomerados y el muestreo sistemático. Muestreo Aleatorio Simple Si una muestra aleatoria se elige de tal forma que todos los elementos de la población tengan la misma probabilidad de ser seleccionados, la llamamos muestra aleatoria simple. El objetivo principal de un diseño muestral es hacer uso eficiente del presupuesto asignado para un estudio obteniendo un estimativo tan preciso como sea posible de una cantidad de la población. El muestreo aleatorio simple es la técnica de muestreo más básica que no sólo asegura una muestra representativa sino que también produce una estimación de la cantidad de una población y una especificación de la precisión. Muchas ramificaciones han evolucionado a partir de este concepto central del muestreo aleatorio simple que permite alcanzar inferencias más precisas para diferentes tipos de poblaciones. Ejemplo 1.1 Suponga que nos interesa elegir una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de estadística de 20 alumnos. 20 C 5 da el número total de formas de elegir una muestra no ordenada y este resultado es 15,504 maneras diferentes de tomar la muestra. Si listamos las 15,504 en trozos separados de papel, una tarea tremenda, luego los colocamos en un recipiente y después los revolvemos, entonces podremos tener una muestra aleatoria de 5 si seleccionamos un trozo de papel con cinco nombres. Un procedimiento más simple para elegir una muestra aleatoria sería escribir cada uno de los 20 nombres en pedazos separados de papel, colocarlos en un recipiente, revolverlos y después extraer cinco papeles al mismo tiempo. Otro método parea obtener una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de 20 utiliza una tabla de números aleatorios. Se puede construir la tabla usando una calculadora o una computadora. También se puede prescindir de estas y hacer la tabla escribiendo diez dígitos del 0 al 9 en tiras de papel, las colocamos en un recipiente y los revolvemos, de ahí, la primera tira seleccionada determina el primer número de la tabla, se regresa al recipiente y después de revolver otra vez se selecciona la seguida tira que determina el segundo número de la tabla; el proceso continúa hasta obtener una tabla de dígitos aleatorios con tantos números como se desee. Muestreo Simple Hay muchas situaciones en las cuales el muestreo aleatorio simple es poco práctico, imposible o no deseado; aunque sería deseable usar muestras aleatorias simples para las encuestas nacionales de opinión sobre productos o sobre elecciones presidenciales, sería muy costoso o tardado. Error Muestral Cualquier medida conlleva algún error. Si se usa la media para medir, estimar, la media poblacional , entonces la media muestral, como medida, conlleva algún error. Por ejemplo, supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población con media : si la media de la muestra es , entonces a la diferencia observada se le denomina el error muestral. Una media muestral puede pensarse como la suma de dos cantidades, la media poblacional y el error muestral; si e denota el error muestral, entonces: Ejemplo 1.5 Se toman muestras de tamaño 2 de una población consistente en tres valores, 2, 4 y 6, para simular una población "grande" de manera que el muestreo pueda realizarse un gran número de veces, supondremos que éste se hace con remplazo, es decir, el número elegido se remplaza antes de seleccionar el siguiente, además, se seleccionan muestras ordenadas. En una muestra ordenada, el orden en que se seleccionan las observaciones es importante, por tanto, la muestra ordenada (2,4) es distinta de la muestra ordenada (4,2). En la muestra (4,2), se seleccionó primero 4 y después 2. La siguiente tabla contiene una lista de todas las muestras ordenadas de tamaño 2 que es posible seleccionar con remplazo y también contiene las medias muestrales y los correspondientes errores muestrales. La media poblacional es igual a = (2+4+6)/3 = 4. Ver la tabla en la siguiente página. 4.3 Estimadores El objetivo principal de la estadística inferencial es la estimación, esto es que mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las conclusiones al total de la misma. En los problemas de estimación debemos determinar el valor de un parámetro de un continuo posible de alternativas. Los estadísticos varían mucho dentro de sus distribuciones muestrales, y mientras menor sea el error estándar de un estadístico, más cercanos serán unos de otros sus valores. 4.4 Estimación puntual Una estimación es puntual cuando se usa un solo valor extraído de la muestra para estimar el parámetro desconocido de la población. Al valor usado se le llama estimador. - La media de la población se puede estimar puntualmente mediante la media de la muestra: - La proporción de la población se puede estimar puntualmente mediante la proporción de la muestra: ̂ - La desviación estándar (típica) de la población se puede estimar puntualmente mediante la desviación típica de la muestra, aunque hay mejores estimadores: Todo nuestro estudio se basa en la normalidad de las distribuciones que empleamos. 4.5 Estimación por intervalo En inferencia estadística se llama estimación al conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parámetro de una población a partir de los datos proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una estimación de la media de una determinada característica de una población de tamaño N podría ser la media de esa misma característica para una muestra de tamaño n. La estimación se divide en tres grandes bloques, cada uno de los cuales tiene distintos métodos que se usan en función de las características y propósitos del estudio: - Estimación puntual: o Método de los momentos; o Método de la máxima verosimilitud; o Método de los mínimos cuadrados; - Estimación por intervalos. Intervalo de confianza En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo. El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error. Estimación para la Media (Normal) Sabemos que en base a la distribución muestral de medias que se generó en el tema anterior, la formula para el cálculo de probabilidad es la siguiente √ ⁄ . Como en este caso no conocemos el parámetro y lo queremos estimar por medio de la media de la muestra, sólo se despejará de la formula anterior, quedando de la siguiente manera. ⁄ √ ⁄ √ De esta formula se puede observar que tanto el tamaño de la muestra como el valor de z se conocerán. Z se puede obtener de la tabla de la distribución normal a partir del nivel de confianza establecido. Pero en ocasiones se desconoce por lo que en esos casos lo correcto es utilizar otra distribución llamada "t" de student si la población de donde provienen los datos es normal. Estimación t-Student Definición Si es el valor de la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con la varianza conocida , entonces ⁄ √ ⁄ √ Es un intervalo de confianza de ( ) para la media de la población. Problema 1. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3. Solución: La estimación puntual de es . El valor de z para un nivel de confianza del 95% es 1.96, por lo tanto: () √ () √ Para un nivel de confianza de 99% el valor de z es de 2.575 por lo que el intervalo será más amplio: () √ () √ El intervalo de confianza proporciona una estimación de la precisión de nuestra estimación puntual. Si es realmente el valor central de intervalo, entonces estima sin error. La mayor parte de las veces, sin embargo, no será exactamente igual a y la estimación puntual es errónea. La magnitud de este error será el valor absoluto de la diferencia entre y , y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no excederá √ . Como se puede observar en los resultados del ejercicio se tiene un error de estimación mayor cuando el nivel de confianza es del 99% y más pequeño cuando se reduce a un nivel de confianza del 95%. Definición Si y son los valores de la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño de una población normal, entonces n s t x n s t x n a n a - + < < - ÷ ÷ ÷ 1 , 2 / 1 , 2 / µ Es un intervalo con ( ) de confianza para la media de la población. Se realizo un estudio sobre la utilización del agua en una pequeña ciudad. Para ello se considero una muestra de 25 casa. El número de galones de agua que utilizan por día (1 galón ≡ 0.0037854 m3) fue el siguiente: Con base en esta información: a) Hallar un intervalo de confianza del 90% ⁄ n s t x n s t x n a n a - + < < - ÷ ÷ ÷ 1 , 2 / 1 , 2 / µ () ( √ ) () ( √ ) Problema A partir de 860 cuentas, un analista financiero toma una muestra aleatoria de 16 cuentas. Los saldos observados en la muestra son los siguientes: 165, 150, 300, 240, 250, 150, 300, 200, 140, 240, 260, 180, 190, 230, 350,360. Determinar un i nterval o de confianza del 90% para estimar el saldo medio de todas las cuentas. ⁄ () ( √ ) () ( √ ) Ejercicio Se selecciono una muestra aleatoria de 25 cuentas por cobrar de un registro que contenía 96 cuentas. La muestra dio una media de x = 2435colones y una desviación típica de S = 335 colones. Obténgase un intervalo de confianza del 99% para estimar la media de las 96 cuentas del registro. Ejercicio El auditor de una empresa al examinar los registros de facturación mensual, mediante el análisis de una muestra aleatoria irrestricta de 10 facturas no pagadas encontró que la media aritmética fue de x = $9500 con una desviación típica de s = $327. Construir un intervalo de confianza del 95%para estimar el parámetro poblacional. Ejercicio Una muestra aleatoria del proceso de producción de 17 bombillos, dio una media de x = 128 horas, con una desviación típica s = 15 horas. Construir un intervalo de confianza del 99% para estimar el promedio de vida útil de todos los bombillos del proceso. Definición Si y son los valores de las medias de muestras aleatorias independientes de tamaño de poblaciones normales con las varianzas conocidas , entonces 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 ) ( ) ( n n z x x n n z x x a a o o o o µ µ + - + ÷ < ÷ < + - ÷ ÷ Es un intervalo de confianza del ( ) para la diferencia entre las dos medias de las poblaciones. Definición Si 1 x , 2 x , 1 s y 2 s son los valores de las medias y desviaciones estándar de variables aleatorias independientes de tamaño n 1 y n 2 de poblaciones normales con varianzas iguales, entonces 2 1 2 , 2 / 2 1 2 1 2 1 2 , 2 / 2 1 1 1 ) ( 1 1 ) ( 2 1 2 1 n n s t x x n n s t x x p n n a p n n a + - + ÷ < ÷ < + - ÷ ÷ ÷ + ÷ + µ µ Es un intervalo de confianza del ( ) % 100 1 o ÷ para la diferencia entre las dos medias de las poblaciones. Definición Si X es una variable aleatoria binomial con los parámetros n y n , u es grande y . u y n x , entonces n z n z a a ) 1 ( ) 1 ( 2 / 2 / . . . . . ÷ - + < < ÷ - ÷ u u u u u u u Es un intervalo de confianza aproximado del ( ) % 100 1 o ÷ para u Definición Si es una variable aleatoria binomial con los parámetros 1 n y 2 1 , x u es una variable aleatoria binomial con los parámetros 2 n y 2 u , 1 n y 2 n son grandes, 1 1 1 n x = . u y 2 2 2 n x = . u , entonces 2 2 2 1 1 1 2 / 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 / 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( n n z n n z . . . . . . . . . . . . ÷ + ÷ - ÷ ÷ < ÷ < ÷ + ÷ - ÷ ÷ u u u u u u u u u u u u u u o o Es un intervalo de confianza aproximado de ( ) % 100 1 o ÷ para 2 1 u u ÷ . Definición Si n x = . u se usa como un estimador de u , podemos afirmar con ( ) % 100 1 o ÷ de confianza que el error es menor que n z ) 1 ( 2 / . . ÷ - u u o La estimación de varianzas Si 2 s es el valor de la varianza de una muestra aleatoria de tamañou de una población normal, entonces x x n n s n s n 2 1 , 2 / 2 2 2 1 , 2 / 2 ) 1 ( ) 1 ( ÷ ÷ ÷ < < ÷ o o o Es un intervalo de confianza del ( ) % 100 1 o ÷ para 2 o . TEOREMA 11.9 Si es el valor de la varianza de una muestra aleatoria de tamaño de una población normal, entonces 4.6 Errores tipo I y II El error tipo I se define como el rechazo de la hipótesis nula H o cuando ésta es verdadera. También es conocido como ó nivel de significancia. El error tipo II ó error se define como la aceptación de la hipótesis nula cuando ésta es falsa. Por tanto, al probar cualquier hipótesis estadística, existen cuatro situaciones diferentes que determinan si la decisión final es correcta o errónea. Decisión H o es verdadera H o es falsa Aceptar H o No hay error Error tipo II ó Rechazar H o Error tipo I ó No hay error Ya se ha mostrado cómo puede estimarse un parámetro a partir de los datos contenidos en una muestra. Puede encontrarse ya sea un sólo número (estimador puntual) o un intervalo de valores posibles (intervalo de confianza). Sin embargo, muchos problemas de ingeniería, ciencia, y administración, requieren que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún parámetro. Esta proposición recibe el nombre de hipótesis. Este es uno de los aspectos más útiles de la inferencia estadística, puesto que muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el mundo de la ingeniería, pueden formularse como problemas de prueba de hipótesis. Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones. 4.7 Contraste de hipótesis unilateral y bilateral Se pueden presentar tres tipos de ensayo de hipótesis que son: - Unilateral Derecho - Unilateral Izquierdo - Bilateral Dependiendo de la evaluación que se quiera hacer se seleccionará el tipo de ensayo. - Unilateral Derecho. El investigador desea comprobar la hipótesis de un aumento en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado derecho, para definir las regiones de aceptación y de rechazo. Ensayo de hipótesis: - Unilateral Izquierdo: El investigador desea comprobar la hipótesis de una disminución en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de aceptación y de rechazo. Ensayo de hipótesis: - Bilateral: El investigador desea comprobar la hipótesis de un cambio en el parámetro. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de rechazo. Ensayo de hipótesis: La hipótesis nula, representada por H o , es la afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la "creencia a priori"). La hipótesis alternativa, representada por H 1 , es la afirmación contradictoria a H o , y ésta es la hipótesis del investigador. Problema 1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Monclova el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05. Solución: a. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida. b. Datos: c. Ensayo de hipótesis d. Regla de decisión: e. Cálculos: √ ⁄ √ ⁄ f. Justificación y decisión. Como 2.02 >1.645 se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años. Problema 2. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.04. Solución: a) Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida. b) Datos: c) Ensayo de hipótesis d) Regla de Decisión: e) Cálculos: √ ⁄ √ ⁄ f) Justificación y decisión: Como por lo tanto, no se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.04 que la duración media de los focos no ha cambiado. Proyecto 1. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa. 2. Se registraron las siguientes mediciones de tiempo de secado en horas de una marca de pintura látex, 3.4, 2.8, 4.4, 2.5, 3.3, 4.0, 4.8, 5.6, 5.2, 2.9, 3.7, 3.0, 3.6, 2.8, 4.8, suponiendo que las distribuciones representan una muestra aleatoria de una población normal. Encuentre los límites de tolerancia para un I de C del 95%. 3. Una muestra de 12 latas de sopa producida por cierta compañía produjo los siguientes pesos netos, medidos en onzas: 11.9 12.2 11.6 12.1 12.1 11.8 11.9 11.8 12.0 12.3 11.8 12.0 Si se supone normalidad en los pesos, construya un intervalo de confianza del 95% para el peso promedio de todas las latas de sopa producidas por la compañía. 4. Un experimentador quiere verificar la variablidad de un equipo diseñado para medir el volumen de una fuente de audio frecuencia, tres mediciones independientes registradas con este equipo fueron 4.1, 5.2, 10.2, estime 2 o . 5. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05 6. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estándar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efectúa como parte del control de calidad, se analizó seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por millón fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la población para este estándar, usando un nivel de confianza del 90%. 7. Para tratar de estimar la media de consumo por cliente, en un gran restaurante, se reunieron datos de una muestra de 49 clientes durante un periodo de tres semanas. Si la media de la muestra es de $ 22.60 dólares, ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la media de la población? 8. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de un muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 96% y 98% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3. 9. Los salarios diarios en una industria particular presentan una distribución normal con una media de $13.20 y una desviación estándar de $2.50. Si en esta industria una compañía que emplea a 40 trabajadores les paga en promedio $12.20, ¿puede acusarse a esta compañía de pagar salarios inferiores?, utilice un 05 . 0 = o 20 . 13 : 20 . 13 : 0 < = µ µ A H H 10. Cinco mediciones del contenido de alquitrán de cierta clase de cigarrillos dieron cigarrillo mg y 6 . 14 3 . 14 , 4 . 14 , 2 . 14 , 5 . 14 . Suponga que los datos son una muestra aleatoria de una población normal, demuestre que para un 0.05 de significancia se debe rechazar la hipótesis nula 0 . 14 = µ en favor de la alternativa 0 . 14 = µ 11. El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al año con una desviación estándar de11.9 kilowatt-hora, ¿esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora es normal. 12. El departamento de seguridad de una fábrica quiere saber si el verdadero tiempo promedio que el guardián nocturno tarda en hacer su ronda es 30 min. Si, en una muestra aleatoria de 32 rondas, el guardián nocturno promedió 30.8 minutos con una desviación estándar de 1.5 minutos, determine si ésta es evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula min 30 = µ a favor de la hipótesis alternativa min 30 = µ . Use un nivel de significancia del 0.01. 13. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz pesan, en pomedio 5.23 onzas con una desviación estándar de 0.24 onzas. Pruebe la hipótesis de que = 5.5 onzas contra al hipótesis alternativa, < 5.5 onzas en el nivel de significamcia de 0.05. 14. Se sabe que los voltajes de una marca de pilas tamaño C se distribuyen normalmente, se probó una muestra aleatoria de 15 y se encontró que la media es de 1.4 volts con una desviación estándar de 0.21 volts. En el nivel de significancia de 0.01: a. ¿Indica esto que la media de los voltajes es menor que 1.5 volts? b. Calcular la probabilidad de cometer el error tipo II si el voltaje promedio real de las pilas es de 1.3 volts. 15. Una compañía que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de diámetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra 0.0003. Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen en forma normal, ¿hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use 01 . 0 = o . 16. Una compañía que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de diámetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra s 2 = 0.0003. Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen en forma normal, ¿hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use = 0.05. Unidad V Regresión y correlación 5.1 Control de calidad Actualmente, todas las empresas modernas saben que lograr un buen nivel de calidad es fundamental para el éxito de su gestión. La obtención de este objetivo, no solo es importante desde el punto de vista de la competencia, sino también para la satisfacción de las necesidades humanas. Estas necesidades humanas evolucionan constantemente, hay cada día mayor demanda de mejor precisión, más exactitud, intercambiabilidad, confort, etc. y lo que hoy acepta el consumidor, mañana puede rechazarlo, pues esta demanda de la cual estamos hablando, se perfecciona cada día, y toda empresa que no se adapte a este movimiento continuo corre el riesgo de quedar desplazada a corto plazo. Para marchar al compás de este ritmo se hacen necesarios mejores instrumentos, maquinarias, métodos, etc., y lo que es más importante, un mejor aprovechamiento de los mismos, es decir, obtener mejor calidad con la misma cantidad de dinero. Para lograr este objetivo debemos recurrir al control estadístico de calidad, como una de las armas más poderosas para la realización de todas estas ideas. El objetivo de este tema es tener una buena información de las herramientas existentes para el control estadístico de la calidad, pero debemos dejar bien claro que los objetivos de calidad no se logran esgrimiendo solamente estas herramientas estadísticas. Hoy en día, el concepto de Control Total de Calidad, enseña claramente que todos los niveles de la empresa están involucrados en la obtención de la mejor calidad del producto, y que éste objetivo no es, de ninguna manera, responsabilidad exclusiva de los departamentos técnicos especializados en el control estadístico de la calidad, sino de todos los integrantes de la empresa, desde el más humilde empleado, al más importante de los gerentes. Definición de la calidad Definiremos dos aspectos de la calidad, la Calidad del Diseño y la Calidad del Producto. Entendemos por Calidad del Diseño al grado de concordancia entre el diseño y el fin para el cual fue creado, y por Calidad del Producto, al grado de conformidad entre el producto y su diseño. El objetivo de los métodos estadísticos de control en los procesos. Podríamos preguntarnos, ¿qué es un producto defectuoso? o más concretamente, ¿qué es un defecto? Definición Un defecto es el incumplimiento de una característica de calidad respecto de un límite especificado. ¿Qué causa los productos defectuosos? La variación en los materiales, en las condiciones de la máquina, en los métodos de trabajo y en las inspecciones. Estas variaciones son las causas de los productos defectuosos. Si no existiera ninguna de esas variaciones, todos los productos serían idénticos y no habría variaciones en la calidad, y no existiría la ocurrencia de productos defectuosos y no defectuosos. ¿Son todos los defectos iguales? ¿Debemos tratar a todos los defectos por igual? El sentido común nos dice que no a las dos preguntas. No es lo mismo un defecto considerado leve como ser una imperfección superficial en la etiqueta de un producto, que una medida fuera de especificaciones en un repuesto para motor de automóviles que lo haga absolutamente inservible. Y consecuentemente, no será el mismo criterio para tolerar la presencia de ambos defectos, y eso dará paso a distintos planes de calidad según el tipo de defecto. Clasificación de los defectos, muestrario de defectos. Defectos críticos: son aquellos que violan leyes, agreden al consumidor o hacen inservible al producto. Defectos mayores: producen una disminución en el correcto funcionamiento o utilización del producto y es notado por el consumidor. Defectos menores: producen una disminución leve en el correcto funcionamiento o utilización del producto, probablemente no lo note el consumidor. Pero si lo nota, el personal calificado de producción y de control de calidad, Cada tipo de defecto será objeto de un estudio acabado por las partes interesadas y deberá finalizar en un muestrario de defectos, debidamente clasificado por tipo de defecto y firmado por las partes involucradas. En todos los casos posibles deberá construirse el muestrario con defectos situados justo en los límites de aceptación o rechazo. 5.2 Diagrama de dispersión 5.3 Regresión lineal simple 5.4 Correlación 5.5 Determinación y análisis de los coeficientes de correlación y de determinación. 5.6 Distribución normal bidimensional 5.7 Intervalos de confianza y pruebas para el coeficiente de correlación. 5.8 Errores de medición. Proyecto V 7. Obtener el coeficiente r de correlación lineal del producto-momento, así como el diagrama de dispersión si las coordenadas de (X, Y) son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 , 9 , 8 , 8 , 6 , 7 , 8 , 6 , 4 , 5 , 5 , 4 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 8. Obtener el coeficiente r de correlación lineal del producto-momento, así como el diagrama de dispersión si las coordenadas de (X, Y) son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 , 9 , 8 , 8 , 6 , 7 , 8 , 6 , 4 , 5 , 5 , 4 , 2 , 3 , 1 , 2 , 4 , 1 9. En una investigación sobre costos los pares de valores de ( ) Y X, son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 . 6 , 12 , 6 , 11 , 5 , 9 , 6 , 8 , 4 , 7 , 3 , 6 , 4 , 5 , 2 , 3 . Traza el diagrama de dispersión, la recta de regresión de Y sobre X que consideres por aproximación como la más adecuada. 10. Se dieron diversas dosis de una sustancia venenosa a grupos de 25 ratones y se observaron los siguientes resultados. Dosis mg x Número de muertes Y 4 1 6 3 8 6 10 8 12 14 14 16 16 20 a) Encuentre la ecuación de mínimos cuadrados ajustada a estos datos b) Estime el número de muertes en un grupo de 25 ratones que recibieron una dosis de 7 mg de este veneno 11. Éstas son las puntuaciones que obtuvieron 12 estudiantes en el examen semestral y examen final en un curso de estadística. Examen semestral x Examen final Y 71 83 49 62 80 76 73 77 93 89 85 74 58 48 82 78 64 76 32 51 87 73 80 89 a) Encuentre la ecuación de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir la puntuación del estudiante en el examen final en este curso sobre la base de su puntuación en el examen final b) Prediga la puntuación del examen final de un estudiante que recibió 84 en el examen semestral 12. La materia prima que se usa en la producción de una fibra sintética se almacena en un lugar que no tiene control de humedad. Las medidas de la humedad relativa y del contenido de humedad de muestras de al materia prima en 12 días dieron los siguientes resultados. Humedad x Contenido de humedad y 46 12 53 14 37 11 42 13 34 10 29 8 60 17 44 12 41 10 48 15 33 9 40 13 a) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el contenido de humedad en términos de humedad relativa b) Use los resultados del inciso (a) para estimar el contenido de humedad cuando la humedad relativa es del 38% 13. Los siguientes datos corresponden al cloro residual en una alberca en diversos momentos después de haberse tratado con químicos. Número de Horas x Cloro residual (partes por millón) y 2 1.8 4 1.5 6 1.4 8 1.1 10 1.1 12 0.9 a) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el contenido de humedad en términos de humedad relativa 14. La tabla siguiente muestra valores de evaluación y el precio de venta de ocho casas, que constituyen una muestra aleatoria de todas las casas vendidas recientemente en cierta área de la ciudad. Valores de valuación x Precio de venta Y 70.3 114.4 102 169.3 62.5 106.2 74.8 125 57.9 99.8 81.6 132.1 110.4 174.2 88 143.5 a) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el precio de venta en términos de su evaluación 15. La tabla siguiente muestra el alargamiento de varillas de acero de de la misma composición y diámetro cuando se sujetan a varias fuerzas de tensión. Fuerza X Alargamiento Y 1.2 15.6 5.3 80.3 3.1 39 2.2 34.3 4.1 58.2 2.6 36.7 6.5 88.9 8.3 111.5 7.6 99.8 4.9 65.7 a) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el alargamiento de las varillas de acuerdo a la fuerza establecida 16. Obtener el coeficiente r de correlación lineal del producto-momento, así como el diagrama de dispersión si las coordenadas de (X, Y) son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 . 7 , 6 , 3 . 5 , 6 , 2 . 5 , 5 , 2 . 4 , 5 . 4 , 3 . 4 , 4 , 3 , 4 , 3 , 3 , 5 . 1 , 5 . 2 , 3 . 2 , 2 , 1 , 5 . 1 (23.3 puntos) 17. Los trabajadores de a las proveedoras de la maquiladora a que nos referimos, piden a los dueños de una maquiladora que para tener mejores condiciones de salud de sus familias necesitan cotizar en el Seguro Social y es necesario cambiar las condiciones de pago. Se conviene en pagar un sueldo base equivalente q un salario mínimo, que por la zona donde están es de 45 pesos, y sobre esta cantidad continuar recibiendo 5 pesos por pieza entregada. El cuadro de percepciones queda así: Piezas 10 15 20 25 32 35 38 45 Pago 95 120 145 170 205 220 235 270 Traza el diagrama de dispersión, la gráfica y expresa la ecuación de la curva correspondiente. http://www.monografias.com/trabajos27/datos-agrupados/datos-agrupados.shtml De Wikipedia, la enciclopedia libre CENTILES O PERCENTILES Los percentiles son, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso, estatura, etc. Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles (P1, P2,... P99), leídos primer percentil,..., percentil 99. Datos Agrupados Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan mediante la fórmula: k= 1,2,3,... 99 Dónde: Lk = Límite real inferior de la clase del decil k n = Número de datos Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k. fk = Frecuencia de la clase del decil k c = Longitud del intervalo de la clase del decil k Otra forma para calcular los percentiles es: - Primer percentil, que supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante. - El 60 percentil, es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones. - El percentil 99 supera 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante. Fórmulas Datos No Agrupados Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas: Para los percentiles, cuando n es par: Cuando n es impar: Siendo A, el número del percentil. Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el percentil 25; el segundo cuartil con el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75. 3. EJEMPLO Determinación del primer cuartil, el séptimo decil y el 30 percentil, de la siguiente tabla: Salarios No. De fa (I. De Clases) Empleados (f1) 200-299 85 85 300-299 90 175 400-499 120 295 500-599 70 365 600-699 62 427 700-800 36 463 Como son datos agrupados, se utiliza la fórmula Siendo, La posición del primer cuartil. La posición del 7 decil. La posición del percentil 30. Entonces, El primer cuartil: 115.5 – 85 = 30.75 Li = 300, Ic = 100 , fi = 90 El 7 decil: Posición: 324.1 – 295 = 29.1 Li = 500, fi = 70 El percentil 30 Posición: 138.9 – 85 = 53.9 fi = 90 Estos resultados nos indican que el 25% de los empleados ganan salarios por debajo de $ 334; que bajo 541.57 gana el 57%de los empleados y sobre $359.88, gana el 70% de los empleados. Hay 99 percentiles que se denotan: P 1 , P 2 , P 3 ,......., P98, P 99 . Así P 90 , por ejemplo, deja por debajo de él el 90% de los elementos. La fórmula para realizar el cálculo del percentil 45, por ejemplo sería: ) 100 45 ( 45 i f N f I l P ÷ + = Ejercicio: De la siguiente serie hallar el primero y el tercer cuartil, el segundo y el séptimo decil y los percentiles 8 y 73. Resp: Q 1 = 34,82; Q 3 = 47,36; D 2 = 32,85; D 7 = 45,83; P 8 = 26,94; P 73 = 46,75. Obsérvese que entre los 6 cuantiles calculados, aparecen valores muy parecidos. En particular se dan las siguientes coincidencias:  El segundo cuartil equivale a la mediana  El quinto decil y el quincuagésimo percentil se corresponden también con la mediana.  Los percentiles P 25 y P 75 se corresponden con el primer y tercer cuartil, respectivamente. Los percentiles son valores que resultan de dividir la población (el N de las observaciones) en cien partes iguales (1% en cada una). Cálculo para datos sin agrupar El percentil se obtiene identificando el valor que para la variable en cuestión tiene el individuo que ocupa la posición j% Cálculo para datos agrupados Cálculo a partir de la frecuencia relativa Se debe tener en cuenta que cuando j es un valor entre 1 y 9 inclusive se debe escribir 0,0j en el numerador en lugar de 0,j Percentiles y datos percentiles La expresión percentil se usa para indicar en una distribución de observaciones, el valor por debajo del cual está situado cierto porcentaje de distribuciones de valores, por ejemplo, al decir que en una distribución de estaturas el 15.28% de los alumnos mide 144.5 o menos, se expresa: 5 . 144 28 . 15 = P Estamos afirmando que el 15.28% de los alumnos está por debajo de 144.5 cm. de estatura. Se presentan dos problemas relacionados al uso de percentiles: - Obtener el valor de la abscisa x que corresponde a un valor percentil, y - Obtener el rango percentil correspondiente a un valor de la abscisa Solución 1. Si conocemos el valor de x obtenemos el rango percentil En la gráfica de la ojiva se traza, por el punto x conocido, una paralela al eje de las ordenadas hasta intersectar la ojiva y desde el punto de intersección se traza una paralela al eje de las abscisas y obtenemos el rango percentil . y P 2. Si conocemos el percentil (valor de y) obtenemos el valor de la abscisa x. Se traza por el punto que corresponde al percentil y ( ) y P , una paralela al eje de las abscisas hasta intersectar la ojiva; desde el punto de intersección se baja una perpendicular al eje de las x. Unidad IV 4.1 Inferencia estadística La estadística inferencial se define como la rama de la estadística que proporciona técnicas o procedimientos para analizar, interpretar y tomar decisiones sobre una población, con base en la información que se obtiene de una muestra. Esta generalización de tipo inductivo, se basa en la probabilidad. También se le llama estadística matemática, por su complejidad matemática en relación a la estadística descriptiva. Tiene como objetivo generalizar las propiedades de la población bajo estudio, basado en los resultados de una muestra representativa de la población. El estudio de una población tomando como base las muestras se llama estadística inferencial o inductiva, “Teoría de muestras”. La Inferencia estadística persigue la obtención de conclusiones sobre la población mediante los datos obtenidos de una muestra, e incluye; - Teoría de la muestra - Estimación de parámetros 4.2 Muestreo estadístico Uno de los propósitos de la estadística inferencial es estimar las características poblacionales desconocidas, examinando la información obtenida de una muestra, de una población. El punto de interés es la muestra, la cual debe ser representativa de la población objeto de estudio. Se seguirán ciertos procedimientos de selección para asegurar de que las muestras reflejen observaciones a la población de la que proceden, ya que solo se pueden hacer observaciones probabilísticas sobre una población cuando se usan muestras representativas de la misma. El tamaño de la muestra debe calcularse utilizando técnicas estadísticas. La selección de la muestra debe hacerse en forma aleatoria. La estimación de las características de la población debe hacerse de acuerdo a las leyes de la estadística. Una aplicación de muestreo que no cumpla con alguno de estos tres requisitos se considera muestreo no estadístico. El muestreo estadístico posee algunas ventajas con respecto al muestreo no estadístico, entre ellas las siguientes: - Permite seleccionar de antemano el nivel de confianza de la prueba, es decir la probabilidad de que las conclusiones obtenidas del muestreo sean correctas. - La selección aleatoria impide que los prejuicios o preferencias del auditor favorezcan la selección de algunos elementos de la población en desmedro de otros. - Permite limitar el tamaño de la muestra al mínimo necesario, evitando realizar pruebas de auditoría sobre una cantidad mayor de elementos. - Los resultados de la prueba se expresan matemáticamente en términos precisos, permitiendo elaborar recomendaciones sobre una base más objetiva. - Permite hacer más defendibles las conclusiones de la prueba. Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene una cierta observación. Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una población. Muestras Aleatorias Cuando nos interesa estudiar las características de poblaciones grandes, se utilizan muestras por muchas razones; una enumeración completa de la población, llamada censo, puede ser económicamente imposible, o no se cuenta con el tiempo suficiente. A continuación se verá algunos usos del muestreo en diversos campos: 7. Política. Las muestras de las opiniones de los votantes se usan para que los candidatos midan la opinión pública y el apoyo en las elecciones. 8. Educación. Las muestras de las calificaciones de los exámenes de estudiantes se usan para determinar la eficiencia de una técnica o programa de enseñanza. 9. Industria. Muestras de los productos de una línea de ensamble sirve para controlar la calidad. 10. Medicina. Muestras de medidas de azúcar en la sangre de pacientes diabéticos prueban la eficacia de una técnica o de un fármaco nuevo. 11. Agricultura. Las muestras del maíz cosechado en una parcela proyectan en la producción los efectos de un fertilizante nuevo. 12. Gobierno. Una muestra de opiniones de los votantes se usaría para determinar los criterios del público sobre cuestiones relacionadas con el bienestar y la seguridad nacional. Errores en el Muestreo Cuando se utilizan valores muestrales, o estadísticos para estimar valores poblacionales, o parámetros, pueden ocurrir dos tipos generales de errores: el error muestral y el error no muestral. El error muestral se refiere a la variación natural existente entre muestras tomadas de la misma población. Cuando una muestra no es una copia exacta de la población; aún si se ha tenido gran cuidado para asegurar que dos muestras del mismo tamaño sean representativas de una cierta población, no esperaríamos que las dos sean idénticas en todos sus detalles. El error muestral es un concepto importante que ayudará a entender mejor la naturaleza de la estadística inferencial. Los errores que surgen al tomar las muestras no pueden clasificarse como errores muestrales y se denominan errores no muestrales. El sesgo de las muestras es un tipo de error no muestral. El sesgo muestral se refiere a una tendencia sistemática inherente a un método de muestreo que da estimaciones de un parámetro que son, en promedio, menores (sesgo negativo), o mayores (sesgo positivo) que el parámetro real. El sesgo muestral puede suprimirse, o minimizarse, usando la aleatorización. La aleatorización se refiere a cualquier proceso de selección de una muestra de la población en el que la selección es imparcial o no está sesgada; una muestra elegida con procedimientos aleatorios se llama muestra aleatoria. Los tipos más comunes de técnicas de muestreo aleatorios son el muestreo aleatorio simple, el muestreo estratificado, el muestreo por conglomerados y el muestreo sistemático. Muestreo Aleatorio Simple Si una muestra aleatoria se elige de tal forma que todos los elementos de la población tengan la misma probabilidad de ser seleccionados, la llamamos muestra aleatoria simple. El objetivo principal de un diseño muestral es hacer uso eficiente del presupuesto asignado para un estudio obteniendo un estimativo tan preciso como sea posible de una cantidad de la población. El muestreo aleatorio simple es la técnica de muestreo más básica que no sólo asegura una muestra representativa sino que también produce una estimación de la cantidad de una población y una especificación de la precisión. Muchas ramificaciones han evolucionado a partir de este concepto central del muestreo aleatorio simple que permite alcanzar inferencias más precisas para diferentes tipos de poblaciones. Ejemplo 1.1 Suponga que nos interesa elegir una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de estadística de 20 alumnos. 20 C 5 da el número total de formas de elegir una muestra no ordenada y este resultado es 15,504 maneras diferentes de tomar la muestra. Si listamos las 15,504 en trozos separados de papel, una tarea tremenda, luego los colocamos en un recipiente y después los revolvemos, entonces podremos tener una muestra aleatoria de 5 si seleccionamos un trozo de papel con cinco nombres. Un procedimiento más simple para elegir una muestra aleatoria sería escribir cada uno de los 20 nombres en pedazos separados de papel, colocarlos en un recipiente, revolverlos y después extraer cinco papeles al mismo tiempo. Otro método parea obtener una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de 20 utiliza una tabla de números aleatorios. Se puede construir la tabla usando una calculadora o una computadora. También se puede prescindir de estas y hacer la tabla escribiendo diez dígitos del 0 al 9 en tiras de papel, las colocamos en un recipiente y los revolvemos, de ahí, la primera tira seleccionada determina el primer número de la tabla, se regresa al recipiente y después de revolver otra vez se selecciona la seguida tira que determina el segundo número de la tabla; el proceso continúa hasta obtener una tabla de dígitos aleatorios con tantos números como se desee. Muestreo Simple Hay muchas situaciones en las cuales el muestreo aleatorio simple es poco práctico, imposible o no deseado; aunque sería deseable usar muestras aleatorias simples para las encuestas nacionales de opinión sobre productos o sobre elecciones presidenciales, sería muy costoso o tardado. Error Muestral Cualquier medida conlleva algún error. Si se usa la media para medir, estimar, la media poblacional , entonces la media muestral, como medida, conlleva algún error. Por ejemplo, supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población con media : si la media de la muestra es , entonces a la diferencia observada se le denomina el error muestral. Una media muestral puede pensarse como la suma de dos cantidades, la media poblacional y el error muestral; si e denota el error muestral, entonces: Ejemplo 1.5 Se toman muestras de tamaño 2 de una población consistente en tres valores, 2, 4 y 6, para simular una población "grande" de manera que el muestreo pueda realizarse un gran número de veces, supondremos que éste se hace con remplazo, es decir, el número elegido se remplaza antes de seleccionar el siguiente, además, se seleccionan muestras ordenadas. En una muestra ordenada, el orden en que se seleccionan las observaciones es importante, por tanto, la muestra ordenada (2,4) es distinta de la muestra ordenada (4,2). En la muestra (4,2), se seleccionó primero 4 y después 2. La siguiente tabla contiene una lista de todas las muestras ordenadas de tamaño 2 que es posible seleccionar con remplazo y también contiene las medias muestrales y los correspondientes errores muestrales. La media poblacional es igual a = (2+4+6)/3 = 4. Ver la tabla en la siguiente página. 4.3 Estimadores El objetivo principal de la estadística inferencial es la estimación, esto es que mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las conclusiones al total de la misma. En los problemas de estimación debemos determinar el valor de un parámetro de un continuo posible de alternativas. Los estadísticos varían mucho dentro de sus distribuciones muestrales, y mientras menor sea el error estándar de un estadístico, más cercanos serán unos de otros sus valores. 4.4 Estimación puntual Una estimación es puntual cuando se usa un solo valor extraído de la muestra para estimar el parámetro desconocido de la población. Al valor usado se le llama estimador. - La media de la población se puede estimar puntualmente mediante la media de la muestra: - La proporción de la población se puede estimar puntualmente mediante la proporción de la muestra: ̂ - La desviación estándar (típica) de la población se puede estimar puntualmente mediante la desviación típica de la muestra, aunque hay mejores estimadores: Todo nuestro estudio se basa en la normalidad de las distribuciones que empleamos. 4.5 Estimación por intervalo En inferencia estadística se llama estimación al conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parámetro de una población a partir de los datos proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una estimación de la media de una determinada característica de una población de tamaño N podría ser la media de esa misma característica para una muestra de tamaño n. La estimación se divide en tres grandes bloques, cada uno de los cuales tiene distintos métodos que se usan en función de las características y propósitos del estudio: - Estimación puntual: o Método de los momentos; o Método de la máxima verosimilitud; o Método de los mínimos cuadrados; - Estimación por intervalos. Intervalo de confianza En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo. El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error. Estimación para la Media (Normal) Sabemos que en base a la distribución muestral de medias que se generó en el tema anterior, la formula para el cálculo de probabilidad es la siguiente √ ⁄ . Como en este caso no conocemos el parámetro y lo queremos estimar por medio de la media de la muestra, sólo se despejará de la formula anterior, quedando de la siguiente manera. ⁄ √ ⁄ √ De esta formula se puede observar que tanto el tamaño de la muestra como el valor de z se conocerán. Z se puede obtener de la tabla de la distribución normal a partir del nivel de confianza establecido. Pero en ocasiones se desconoce por lo que en esos casos lo correcto es utilizar otra distribución llamada "t" de student si la población de donde provienen los datos es normal. Estimación t-Student Definición Si es el valor de la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con la varianza conocida , entonces ⁄ √ ⁄ √ Es un intervalo de confianza de ( ) para la media de la población. Problema 2. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3. Solución: La estimación puntual de es . El valor de z para un nivel de confianza del 95% es 1.96, por lo tanto: () √ () √ Para un nivel de confianza de 99% el valor de z es de 2.575 por lo que el intervalo será más amplio: () √ () √ El intervalo de confianza proporciona una estimación de la precisión de nuestra estimación puntual. Si es realmente el valor central de intervalo, entonces estima sin error. La mayor parte de las veces, sin embargo, no será exactamente igual a y la estimación puntual es errónea. La magnitud de este error será el valor absoluto de la diferencia entre y , y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no excederá √ . Como se puede observar en los resultados del ejercicio se tiene un error de estimación mayor cuando el nivel de confianza es del 99% y más pequeño cuando se reduce a un nivel de confianza del 95%. Definición Si y son los valores de la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño de una población normal, entonces n s t x n s t x n a n a - + < < - ÷ ÷ ÷ 1 , 2 / 1 , 2 / µ Es un intervalo con ( ) de confianza para la media de la población. Se realizo un estudio sobre la utilización del agua en una pequeña ciudad. Para ello se considero una muestra de 25 casa. El número de galones de agua que utilizan por día (1 galón ≡ 0.0037854 m3) fue el siguiente: Con base en esta información: b) Hallar un intervalo de confianza del 90% ⁄ n s t x n s t x n a n a - + < < - ÷ ÷ ÷ 1 , 2 / 1 , 2 / µ () ( √ ) () ( √ ) Problema A partir de 860 cuentas, un analista financiero toma una muestra aleatoria de 16 cuentas. Los saldos observados en la muestra son los siguientes: 165, 150, 300, 240, 250, 150, 300, 200, 140, 240, 260, 180, 190, 230, 350,360. Determinar un i ntervalo de confianza del 90% para estimar el saldo medio de todas las cuentas. ⁄ () ( √ ) () ( √ ) Ejercicio Se selecciono una muestra aleatoria de 25 cuentas por cobrar de un registro que contenía 96 cuentas. La muestra dio una media de x = 2435colones y una desviación típica de S = 335 colones. Obténgase un intervalo de confianza del 99% para estimar la media de las 96 cuentas del registro. Ejercicio El auditor de una empresa al examinar los registros de facturación mensual, mediante el análisis de una muestra aleatoria irrestricta de 10 facturas no pagadas encontró que la media aritmética fue de x = $9500 con una desviación típica de s = $327. Construir un intervalo de confianza del 95%para estimar el parámetro poblacional. Ejercicio Una muestra aleatoria del proceso de producción de 17 bombillos, dio una media de x = 128 horas, con una desviación típica s = 15 horas. Construir un intervalo de confianza del 99% para estimar el promedio de vida útil de todos los bombillos del proceso. Definición Si y son los valores de las medias de muestras aleatorias independientes de tamaño de poblaciones normales con las varianzas conocidas , entonces 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 ) ( ) ( n n z x x n n z x x a a o o o o µ µ + - + ÷ < ÷ < + - ÷ ÷ Es un intervalo de confianza del ( ) para la diferencia entre las dos medias de las poblaciones. Definición Si 1 x , 2 x , 1 s y 2 s son los valores de las medias y desviaciones estándar de variables aleatorias independientes de tamaño n 1 y n 2 de poblaciones normales con varianzas iguales, entonces 2 1 2 , 2 / 2 1 2 1 2 1 2 , 2 / 2 1 1 1 ) ( 1 1 ) ( 2 1 2 1 n n s t x x n n s t x x p n n a p n n a + - + ÷ < ÷ < + - ÷ ÷ ÷ + ÷ + µ µ Es un intervalo de confianza del ( ) % 100 1 o ÷ para la diferencia entre las dos medias de las poblaciones. Definición Si X es una variable aleatoria binomial con los parámetros n y n , u es grande y . u y n x , entonces n z n z a a ) 1 ( ) 1 ( 2 / 2 / . . . . . ÷ - + < < ÷ - ÷ u u u u u u u Es un intervalo de confianza aproximado del ( ) % 100 1 o ÷ para u Definición Si es una variable aleatoria binomial con los parámetros 1 n y 2 1 , x u es una variable aleatoria binomial con los parámetros 2 n y 2 u , 1 n y 2 n son grandes, 1 1 1 n x = . u y 2 2 2 n x = . u , entonces 2 2 2 1 1 1 2 / 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 / 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( n n z n n z . . . . . . . . . . . . ÷ + ÷ - ÷ ÷ < ÷ < ÷ + ÷ - ÷ ÷ u u u u u u u u u u u u u u o o Es un intervalo de confianza aproximado de ( ) % 100 1 o ÷ para 2 1 u u ÷ . Definición Si n x = . u se usa como un estimador de u , podemos afirmar con ( ) % 100 1 o ÷ de confianza que el error es menor que n z ) 1 ( 2 / . . ÷ - u u o La estimación de varianzas Si 2 s es el valor de la varianza de una muestra aleatoria de tamañou de una población normal, entonces x x n n s n s n 2 1 , 2 / 2 2 2 1 , 2 / 2 ) 1 ( ) 1 ( ÷ ÷ ÷ < < ÷ o o o Es un intervalo de confianza del x x n n s n s n 2 1 , 2 / 2 2 2 1 , 2 / 2 ) 1 ( ) 1 ( ÷ ÷ ÷ < < ÷ o o o para 2 o . TEOREMA 11.9 Si es el valor de la varianza de una muestra aleatoria de tamaño de una población normal, entonces 4.6 Errores tipo I y II El error tipo I se define como el rechazo de la hipótesis nula H o cuando ésta es verdadera. También es conocido como ó nivel de significancia. El error tipo II ó error se define como la aceptación de la hipótesis nula cuando ésta es falsa. Por tanto, al probar cualquier hipótesis estadística, existen cuatro situaciones diferentes que determinan si la decisión final es correcta o errónea. Decisión H o es verdadera H o es falsa Aceptar H o No hay error Error tipo II ó Rechazar H o Error tipo I ó No hay error Ya se ha mostrado cómo puede estimarse un parámetro a partir de los datos contenidos en una muestra. Puede encontrarse ya sea un sólo número (estimador puntual) o un intervalo de valores posibles (intervalo de confianza). Sin embargo, muchos problemas de ingeniería, ciencia, y administración, requieren que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún parámetro. Esta proposición recibe el nombre de hipótesis. Este es uno de los aspectos más útiles de la inferencia estadística, puesto que muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el mundo de la ingeniería, pueden formularse como problemas de prueba de hipótesis. Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones. 4.7 Contraste de hipótesis unilateral y bilateral Se pueden presentar tres tipos de ensayo de hipótesis que son: - Unilateral Derecho - Unilateral Izquierdo - Bilateral Dependiendo de la evaluación que se quiera hacer se seleccionará el tipo de ensayo. - Unilateral Derecho. El investigador desea comprobar la hipótesis de un aumento en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado derecho, para definir las regiones de aceptación y de rechazo. Ensayo de hipótesis: - Unilateral Izquierdo: El investigador desea comprobar la hipótesis de una disminución en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de aceptación y de rechazo. Ensayo de hipótesis: - Bilateral: El investigador desea comprobar la hipótesis de un cambio en el parámetro. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de rechazo. Ensayo de hipótesis: La hipótesis nula, representada por H o , es la afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la "creencia a priori"). La hipótesis alternativa, representada por H 1 , es la afirmación contradictoria a H o , y ésta es la hipótesis del investigador. Problema 3. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Monclova el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05. Solución: g. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida. h. Datos: i. Ensayo de hipótesis j. Regla de decisión: k. Cálculos: √ ⁄ √ ⁄ l. Justificación y decisión. Como 2.02 >1.645 se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años. Problema 4. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.04. Solución: g) Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida. h) Datos: i) Ensayo de hipótesis j) Regla de Decisión: k) Cálculos: √ ⁄ √ ⁄ l) Justificación y decisión: Como por lo tanto, no se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.04 que la duración media de los focos no ha cambiado. Proyecto 17. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa. 18. Se registraron las siguientes mediciones de tiempo de secado en horas de una marca de pintura látex, 3.4, 2.8, 4.4, 2.5, 3.3, 4.0, 4.8, 5.6, 5.2, 2.9, 3.7, 3.0, 3.6, 2.8, 4.8, suponiendo que las distribuciones representan una muestra aleatoria de una población normal. Encuentre los límites de tolerancia para un I de C del 95%. 19. Una muestra de 12 latas de sopa producida por cierta compañía produjo los siguientes pesos netos, medidos en onzas: 11.9 12.2 11.6 12.1 12.1 11.8 11.9 11.8 12.0 12.3 11.8 12.0 Si se supone normalidad en los pesos, construya un intervalo de confianza del 95% para el peso promedio de todas las latas de sopa producidas por la compañía. 20. Un experimentador quiere verificar la variablidad de un equipo diseñado para medir el volumen de una fuente de audio frecuencia, tres mediciones independientes registradas con este equipo fueron 4.1, 5.2, 10.2, estime 2 o . 21. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05 22. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estándar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efectúa como parte del control de calidad, se analizó seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por millón fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la población para este estándar, usando un nivel de confianza del 90%. 23. Para tratar de estimar la media de consumo por cliente, en un gran restaurante, se reunieron datos de una muestra de 49 clientes durante un periodo de tres semanas. Si la media de la muestra es de $ 22.60 dólares, ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la media de la población? 24. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de un muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 96% y 98% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3. 25. Los salarios diarios en una industria particular presentan una distribución normal con una media de $13.20 y una desviación estándar de $2.50. Si en esta industria una compañía que emplea a 40 trabajadores les paga en promedio $12.20, ¿puede acusarse a esta compañía de pagar salarios inferiores?, utilice un 05 . 0 = o 20 . 13 : 20 . 13 : 0 < = µ µ A H H 26. Cinco mediciones del contenido de alquitrán de cierta clase de cigarrillos dieron cigarrillo mg y 6 . 14 3 . 14 , 4 . 14 , 2 . 14 , 5 . 14 . Suponga que los datos son una muestra aleatoria de una población normal, demuestre que para un 0.05 de significancia se debe rechazar la hipótesis nula 0 . 14 = µ en favor de la alternativa 0 . 14 = µ 27. El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al año con una desviación estándar de11.9 kilowatt-hora, ¿esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora es normal. 28. El departamento de seguridad de una fábrica quiere saber si el verdadero tiempo promedio que el guardián nocturno tarda en hacer su ronda es 30 min. Si, en una muestra aleatoria de 32 rondas, el guardián nocturno promedió 30.8 minutos con una desviación estándar de 1.5 minutos, determine si ésta es evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula min 30 = µ a favor de la hipótesis alternativa min 30 = µ . Use un nivel de significancia del 0.01. 29. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz pesan, en pomedio 5.23 onzas con una desviación estándar de 0.24 onzas. Pruebe la hipótesis de que = 5.5 onzas contra al hipótesis alternativa, < 5.5 onzas en el nivel de significamcia de 0.05. 30. Se sabe que los voltajes de una marca de pilas tamaño C se distribuyen normalmente, se probó una muestra aleatoria de 15 y se encontró que la media es de 1.4 volts con una desviación estándar de 0.21 volts. En el nivel de significancia de 0.01: c. ¿Indica esto que la media de los voltajes es menor que 1.5 volts? d. Calcular la probabilidad de cometer el error tipo II si el voltaje promedio real de las pilas es de 1.3 volts. 31. Una compañía que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de diámetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra 0.0003. Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen en forma normal, ¿hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use 01 . 0 = o . 32. Una compañía que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de diámetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra s 2 = 0.0003. Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen en forma normal, ¿hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use = 0.05. Unidad V Regresión y correlación 5.1 Control de calidad 5.2 Diagrama de dispersión 5.3 Regresión lineal simple 5.4 Correlación 5.5 Determinación y análisis de los coeficientes de correlación y de determinación. 5.6 Distribución normal bidimensional 5.7 Intervalos de confianza y pruebas para el coeficiente de correlación. 5.8 Errores de medición. Proyecto V 18. Obtener el coeficiente r de correlación lineal del producto-momento, así como el diagrama de dispersión si las coordenadas de (X, Y) son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 , 9 , 8 , 8 , 6 , 7 , 8 , 6 , 4 , 5 , 5 , 4 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 19. Obtener el coeficiente r de correlación lineal del producto-momento, así como el diagrama de dispersión si las coordenadas de (X, Y) son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 , 9 , 8 , 8 , 6 , 7 , 8 , 6 , 4 , 5 , 5 , 4 , 2 , 3 , 1 , 2 , 4 , 1 20. En una investigación sobre costos los pares de valores de ( ) Y X, son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 . 6 , 12 , 6 , 11 , 5 , 9 , 6 , 8 , 4 , 7 , 3 , 6 , 4 , 5 , 2 , 3 . Traza el diagrama de dispersión, la recta de regresión de Y sobre X que consideres por aproximación como la más adecuada. 21. Se dieron diversas dosis de una sustancia venenosa a grupos de 25 ratones y se observaron los siguientes resultados. Dosis mg x Número de muertes Y 4 1 6 3 8 6 10 8 12 14 14 16 16 20 c) Encuentre la ecuación de mínimos cuadrados ajustada a estos datos d) Estime el número de muertes en un grupo de 25 ratones que recibieron una dosis de 7 mg de este veneno 22. Éstas son las puntuaciones que obtuvieron 12 estudiantes en el examen semestral y examen final en un curso de estadística. Examen semestral x Examen final Y 71 83 49 62 80 76 73 77 93 89 85 74 58 48 82 78 64 76 32 51 87 73 80 89 c) Encuentre la ecuación de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir la puntuación del estudiante en el examen final en este curso sobre la base de su puntuación en el examen final d) Prediga la puntuación del examen final de un estudiante que recibió 84 en el examen semestral 23. La materia prima que se usa en la producción de una fibra sintética se almacena en un lugar que no tiene control de humedad. Las medidas de la humedad relativa y del contenido de humedad de muestras de al materia prima en 12 días dieron los siguientes resultados. Humedad x Contenido de humedad y 46 12 53 14 37 11 42 13 34 10 29 8 60 17 44 12 41 10 48 15 33 9 40 13 c) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el contenido de humedad en términos de humedad relativa d) Use los resultados del inciso (a) para estimar el contenido de humedad cuando la humedad relativa es del 38% 24. Los siguientes datos corresponden al cloro residual en una alberca en diversos momentos después de haberse tratado con químicos. Número de Horas x Cloro residual (partes por millón) y 2 1.8 4 1.5 6 1.4 8 1.1 10 1.1 12 0.9 b) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el contenido de humedad en términos de humedad relativa 25. La tabla siguiente muestra valores de evaluación y el precio de venta de ocho casas, que constituyen una muestra aleatoria de todas las casas vendidas recientemente en cierta área de la ciudad. Valores de valuación x Precio de venta Y 70.3 114.4 102 169.3 62.5 106.2 74.8 125 57.9 99.8 81.6 132.1 110.4 174.2 88 143.5 b) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el precio de venta en términos de su evaluación 26. La tabla siguiente muestra el alargamiento de varillas de acero de de la misma composición y diámetro cuando se sujetan a varias fuerzas de tensión. Fuerza X Alargamiento Y 1.2 15.6 5.3 80.3 3.1 39 2.2 34.3 4.1 58.2 2.6 36.7 6.5 88.9 8.3 111.5 7.6 99.8 4.9 65.7 b) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el alargamiento de las varillas de acuerdo a la fuerza establecida 27. Obtener el coeficiente r de correlación lineal del producto-momento, así como el diagrama de dispersión si las coordenadas de (X, Y) son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 . 7 , 6 , 3 . 5 , 6 , 2 . 5 , 5 , 2 . 4 , 5 . 4 , 3 . 4 , 4 , 3 , 4 , 3 , 3 , 5 . 1 , 5 . 2 , 3 . 2 , 2 , 1 , 5 . 1 (23.3 puntos) 28. Los trabajadores de a las proveedoras de la maquiladora a que nos referimos, piden a los dueños de una maquiladora que para tener mejores condiciones de salud de sus familias necesitan cotizar en el Seguro Social y es necesario cambiar las condiciones de pago. Se conviene en pagar un sueldo base equivalente q un salario mínimo, que por la zona donde están es de 45 pesos, y sobre esta cantidad continuar recibiendo 5 pesos por pieza entregada. El cuadro de percepciones queda así: Piezas 10 15 20 25 32 35 38 45 Pago 95 120 145 170 205 220 235 270 Traza el diagrama de dispersión, la gráfica y expresa la ecuación de la curva correspondiente. http://www.monografias.com/trabajos27/datos-agrupados/datos-agrupados.shtml De Wikipedia, la enciclopedia libre CENTILES O PERCENTILES Los percentiles son, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso, estatura, etc. Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles (P1, P2,... P99), leídos primer percentil,..., percentil 99. Datos Agrupados Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan mediante la fórmula: k= 1,2,3,... 99 Dónde: Lk = Límite real inferior de la clase del decil k n = Número de datos Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k. fk = Frecuencia de la clase del decil k c = Longitud del intervalo de la clase del decil k Otra forma para calcular los percentiles es: - Primer percentil, que supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante. - El 60 percentil, es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones. - El percentil 99 supera 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante. Fórmulas Datos No Agrupados Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas: Para los percentiles, cuando n es par: Cuando n es impar: Siendo A, el número del percentil. Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el percentil 25; el segundo cuartil con el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75. 3. EJEMPLO Determinación del primer cuartil, el séptimo decil y el 30 percentil, de la siguiente tabla: Salarios No. De fa (I. De Clases) Empleados (f1) 200-299 85 85 300-299 90 175 400-499 120 295 500-599 70 365 600-699 62 427 700-800 36 463 Como son datos agrupados, se utiliza la fórmula Siendo, La posición del primer cuartil. La posición del 7 decil. La posición del percentil 30. Entonces, El primer cuartil: 115.5 – 85 = 30.75 Li = 300, Ic = 100 , fi = 90 El 7 decil: Posición: 324.1 – 295 = 29.1 Li = 500, fi = 70 El percentil 30 Posición: 138.9 – 85 = 53.9 fi = 90 Estos resultados nos indican que el 25% de los empleados ganan salarios por debajo de $ 334; que bajo 541.57 gana el 57%de los empleados y sobre $359.88, gana el 70% de los empleados. Hay 99 percentiles que se denotan: P 1 , P 2 , P 3 ,......., P98, P 99 . Así P 90 , por ejemplo, deja por debajo de él el 90% de los elementos. La fórmula para realizar el cálculo del percentil 45, por ejemplo sería: ) 100 45 ( 45 i f N f I l P ÷ + = Ejercicio: De la siguiente serie hallar el primero y el tercer cuartil, el segundo y el séptimo decil y los percentiles 8 y 73. Resp: Q 1 = 34,82; Q 3 = 47,36; D 2 = 32,85; D 7 = 45,83; P 8 = 26,94; P 73 = 46,75. Obsérvese que entre los 6 cuantiles calculados, aparecen valores muy parecidos. En particular se dan las siguientes coincidencias:  El segundo cuartil equivale a la mediana  El quinto decil y el quincuagésimo percentil se corresponden también con la mediana.  Los percentiles P 25 y P 75 se corresponden con el primer y tercer cuartil, respectivamente. Los percentiles son valores que resultan de dividir la población (el N de las observaciones) en cien partes iguales (1% en cada una). Cálculo para datos sin agrupar El percentil se obtiene identificando el valor que para la variable en cuestión tiene el individuo que ocupa la posición j% Cálculo para datos agrupados Cálculo a partir de la frecuencia relativa Se debe tener en cuenta que cuando j es un valor entre 1 y 9 inclusive se debe escribir 0,0j en el numerador en lugar de 0,j Percentiles y datos percentiles La expresión percentil se usa para indicar en una distribución de observaciones, el valor por debajo del cual está situado cierto porcentaje de distribuciones de valores, por ejemplo, al decir que en una distribución de estaturas el 15.28% de los alumnos mide 144.5 o menos, se expresa: 5 . 144 28 . 15 = P Estamos afirmando que el 15.28% de los alumnos está por debajo de 144.5 cm. de estatura. Se presentan dos problemas relacionados al uso de percentiles: - Obtener el valor de la abscisa x que corresponde a un valor percentil, y - Obtener el rango percentil correspondiente a un valor de la abscisa Solución 3. Si conocemos el valor de x obtenemos el rango percentil En la gráfica de la ojiva se traza, por el punto x conocido, una paralela al eje de las ordenadas hasta intersectar la ojiva y desde el punto de intersección se traza una paralela al eje de las abscisas y obtenemos el rango percentil . y P 4. Si conocemos el percentil (valor de y) obtenemos el valor de la abscisa x. Se traza por el punto que corresponde al percentil y ( ) y P , una paralela al eje de las abscisas hasta intersectar la ojiva; desde el punto de intersección se baja una perpendicular al eje de las x. 5.7 Intervalos de confianza y pruebas para el coeficiente de correlación. ........... 149 5.8 Errores de medición. ....................................................................................... 150 Unidad IV..................................................................................................................... 161 4.1 Inferencia estadística ...................................................................................... 161 4.2 Muestreo estadístico ....................................................................................... 161 4.3 Estimadores .................................................................................................... 164 4.4 Estimación puntual ......................................................................................... 164 4.5 Estimación por intervalo................................................................................. 165 4.6 Errores tipo I y II ............................................................................................ 175 4.7 Contraste de hipótesis unilateral y bilateral .................................................... 175 Unidad V ...................................................................................................................... 182 Regresión y correlación ........................................................................................ 182 5.1 Control de calidad ........................................................................................... 182 5.2 Diagrama de dispersión .................................................................................. 183 5.3 Regresión lineal simple .................................................................................. 184 5.4 Correlación ..................................................................................................... 185 5.5 Determinación y análisis de los coeficientes de correlación y de determinación. .............................................................................................................................. 186 5.6 Distribución normal bidimensional ................................................................ 187 5.7 Intervalos de confianza y pruebas para el coeficiente de correlación. ........... 188 5.8 Errores de medición. ....................................................................................... 189 Unidad I - Estadística Descriptiva 1. Consideraciones Generales La estadística descriptiva maneja los datos obtenidos para su ordenación y presentación, y hacer resaltar ciertas características de manera que sean mas objetivas u útiles; por ello, investiga los métodos y procedimientos, y establece reglas para que el manejo de los datos sea eficiente, para que la información presentada resulte confiable, exprese en lenguaje sencillo los contenidos para que el mayor numero de personas lo comprenda y puedan establecer comparaciones y obtener conclusiones. Población La investigación estadística es la operación que se refiere a la recopilación de información sobre una población o colectivo de individuos u objetos que tienen una característica común. Muestra Subconjunto propio o parte tomada de una población La Investigación estadística es la operación que se refiere a la recopilación de información sobre una población o colectivo de individuos, medias u objetos que tienen una característica común, e incluye: a) Señalamiento del elemento de la población que origina la información (unidad de investigación), puede ser: una industria, un hogar, la persona, etcétera; pero en todo caso la unidad debe ser en su definición medible y fácilmente identificable. b) Citar: qué se investiga; cómo se debe realizar, cuándo se llevara a cabo, y en lugar de la investigación que es el dónde. c) La recolección de la información incluye: ordenarla, filtrarla eliminando posibles errores y analizarla, aplicando los métodos y normas estadísticos. d) La publicación de la información, ya sea para uso propio o ajeno. 2. Presentación de la Información Una vez obtenida la información resultante de una investigación estadística, que puede haberse efectuado, por ejemplo, en medicina, para estudiar el comportamiento de enfermos sujetos a un tratamiento específico; en educación, los ensayos orientados a estudiar los campos de actitud y aprendizaje de alumnos sometidos a ciertos procesos educativos; en la agricultura, dirigidos a medir el efecto de un insecticida bajo ciertas condiciones que varían bajo el control del investigador, etcétera. A continuación es necesario escoger la forma de organizarla para su análisis o para su publicación que puede ser en:   Cuadros numéricos Gráficos y Pictogramas 3. Cuadros Numéricos de Información A. Representación tabular Las líneas horizontales y las columnas verticales deben disponerse de manera que resalten los aspectos que se desean mostrar y las comparaciones que se quieren hacer notar. Incluirá: a) b) c) d) e) Título. Donde se indica el objeto del cuadro. Columna principal. Lugar donde se anotan las categorías. Encabezado de las columnas, donde se explica el objeto de cada una de ellas. Cuerpo. Lugar donde se supone la información. Notas de pie. Ahí se aclaran algunas operaciones y se indica la fuente de la información. Problema El contador de una compañía industrial informa que durante el mes de marzo pasado el total de ventas fue de $11 745 420 y la nomina de pago del mes por departamento fue así: personal administrativo $425 760, personal de ventas y promoción $528 750 y de producción $2 765 450. Elabora el cuadro que se señale: a) Porcentaje de cada departamento con relación al total de la nomina. b) Porcentaje de cada departamento con relación al total de ventas. Resolución Nómina de pago por departamento Mes de Marzo Total de ventas en le mes $11 745 420 Departamento Administración Ventas Producción Totales Gastos mes 425 760 528 750 2 765 450 $3 719 960 % nómina 11.44 14.21 74.35 100.00 % ventas 3.62 4.50 23.54 31.66 Operaciones que hicimos para llenar el cuadro: Calculamos por interpolación polar. (Razones y Porciones): Nomina: 3 719 960: 100 :: 425 760 : x 3 719 960 x= 425 760 (100) x= 42 576 000 3 719 960 x= 11.44% 3 719 960: 100 :: 528 750 : x 3 719 960 x= 528 750 (100) x= 51 875 000 3 719 960 x= 15.21% en un viaje para 2 personas a Rotterdam.3 719 960: 100 :: 2 765 450 : x 3 719 960 x= 2 765 450 (100) x= 276 545 000 3 719 960 x= 74. en la tercera extracción el premio fue para el número de folio 008032 para Yolanda Uribe May. cada uno. producción. en la segunda extracción el premio corresponde a el número de folio 015162 para María Roy Martínez.50% 11 745 420: 100 3 719 960 :: 2 765 450 : x x= 2 765 450 (100) x= 276 545 000 11 745 420 x= 23. Elabora el cuadro correspondiente a esta información. para entregar tres premios consistentes.62% 11 745 420: 100 3 719 960 :: 528 750 : x x= 528 750 (100) x= 51 875 000 11 745 420 x= 4. Cuadro de ganadores promoción Deportes Parti Permiso de Gobernación con números S – 0322 – 2000 Sorteo realizado el día 20 de junio del 2000 Número de extracción Número de folio 1 2 3 007950 015162 008032 Número del ganador Manuel López Galicia María Roy Martínez Yolanda Uribe May Premio Final Eurocopa Final Eurocopa Final Eurocopa B. etcétera. el periodo que se cita en estos cuadros depende de lo que se desea comprar o mostrar. salarios. Holanda. a la semifinal de la Eurocopa informa: En al primera extracción de un boleto el premio fue con el número de folio 007950 y corresponde a Manuel López Galicia. Cuadros cronológicos Se usan para expresar las variaciones cronológicas de población.54% Problema Un representante de la Secretaría de Gobernación ante un sorteo organizado por una casa que vende material deportivo.34% Ventas: 11 745 420: 100 3 719 960 :: 425 760 : x x= 425 760 (100) x= 42 576 000 11 745 420 x= 3. . Ganancias de la compañía en miles de pesos durante el quinquenio 1994 .94 672.4 .80.5% 113.47 1998 = 749.47 (100) x= 67 247 730. 1995 = 644.80 % variación Base año anterior 12 13. Si las ganancias en miles de pesos fueron de 1994 = 575.47 749. 1997 = 672.94 : 100 730.47 :: x x= 672.5 -8 11.5% = 13.94 92 .Problema Elabora un cuadro cronológico de ganancias de una fábrica de piezas de motor en el quinquenio 1994-1998 que exprese: a) Las variaciones de cada año en tanto por ciento con base (con relación) al año anterior b) Del año 1998 con base (con relación) al año 1994.94 (100) x= 73 094 644 x= 113.49 Base año 1994 30.100 730.4 Operaciones Con la interpolación polar 575 : 100 574 :: 644 :: x x= 644 (100) x= 64 400 512 x= 112% El 112% significa que la ganancia de 1995 fue de 12% más de la obtenida en 1994 (que es el 100%) Para las demás.1998 Año 1994 1995 1996 1997 1998 Ganancia 575 644 730.94 x= 92% = -8% .94.94 :: x x= 730. razonamos en forma semejante.100 :: 672. 1996 = 730. 644 : 100 644 :: 730. etcétera.100 :: 749.49% = 11.47 111. Al trazar un gráfico de líneas (diagramas lineales) se tomarán en consideración los conceptos siguientes:        La curva debe trazarse mas gruesa que las coordenadas para que resalte. Además. que se deben analizar para escoger el mejor diseño. como se puede apreciar en el siguiente problema. los métodos más usuales son: Gráficos de líneas.4% 4.80 :: x x= 749. aunque éstos se hayan diferenciado con colores o por diferente tipo de trazado. En notas al pie se citarán conceptos aclaratorios de la curva.4 . A. la vista del usuario tiene dificultad para identificarlos. televisión. pues es posible manejarlos en forma engañosa. De ser posible se cita la fuente de información. Gráficos de líneas Se usan para representar las distribuciones de frecuencias que estudiaremos posteriormente en apartados en la parte correspondiente. y se unen por segmentos de rectas. la cantidad de información que proporciona un gráfico no es tan completa y extensa como la de un cuadro que tiene varias columnas que se leen por separado. La “unidad” de medida que se utilice debe destacarse claramente (no necesariamente de un centímetro). Los gráficos son una representación estadística de utilidad para dar a conocer una idea global sobre un programa en que se aplican procedimientos estadísticos. los datos que proporcionan son aproximados y por ello se debe ser cuidadoso en su elaboración.  . El cero de la escala vertical siempre debe colocarse. La longitud se seleccionará de modo que la gráfica resulte balanceada.672.4% = 30. Gráficos y pictogramas La forma de presentar esta información por medio de ideográficos dependerá del nivel cultural del auditorio a que va dirigido.49% 575 : 100 575 130.47 : 100 672.80 (100) x= 74 980 575 x= 130. y en series cronológicas.80 (100) x= 74 980 672. formándose así una poligonal que es el diagrama de la serie cronológica. Si en los gráficos se dibujan simultáneamente varios diagramas. del lugar de exposición: periódicos.49 .100 :: 749.80 :: x x= 749. Se localizan por las coordenadas correspondientes los puntos de interés. Es necesario tener cuidado con la escala de los ejes.47 x= 111. revistas. gráficos de barras y gráficos circulares. escuelas. pictogramas o pictográficos. Cuando el índice UV está por encima de 9. Es la más veraz Las dos gráficas presentan hechos reales.Problema Una compañía industrial trata de vender acciones y su departamento de contabilidad presenta dos gráficas sobre su producción en el periodo de 1994 – 1998. pero se crearon en los diagramas dos imágenes diferentes para un mismo suceso estadístico alterando los valores del eje vertical y la “unidad” de la medida en la horizontal. Los periodos de quemadura de la piel por exposición al Sol están calculados con base en una piel clara no bronceada. el lapso de tiempo sería un poco más prolongado para aquellos con la piel más oscura. Problema Consulta de un periódico de circulación nacional y observa el índice UV del día que tú decidas. El índice UV se refiere al daño que los rayos ultravioleta pueden hacer a un humano. los rayos UV-B son extremadamente fuertes y la piel sufrirá quemaduras en menos de 15 minutos. Decide cuál de las dos gráficas presenta los datos con más veracidad. Tiempo mas de 9 min De 7 – 9 De 4 – 7 De 0 – 4 Exposición al Sol menos de 15 min 20 min 20 min más de una hora Calificación Extremo 50 Alto Moderado Bajo . su representación no sirve para análisis estadísticos y únicamente permite obtener conclusiones válidas muy generales. se utiliza para expresar comparaciones que atraigan la atención general. B.Problema Se cita a continuación una gráfica que señala la tendencia alcista de las tasas de interés internacionales. mitad y hasta cuartos. cualquiera que sea el nivel cultural del lector. . ¿Qué concluyes? Ahí permanecerá. y así evitar presiones inflacionarias. Pictogramas Un pictograma es la representación de datos estadísticos con símbolos que por su forma sugieren la naturaleza del dato. y la cantidad que representa cada figura se indica con claridad en el encabezado. Al hacer la representación con un pictograma se debe utilizar figuras del mismo tamaño. excepto que en fecha próxima sea necesario encarecer el dinero para bajar el consumo. las aproximaciones se hacen con fracción de la figura. Problema Con motivo del reciente Censo Nacional de Población la información oficial preliminar del INEGI.4. de todos éstos.31 .3 97.02 0.64 millones es población rural. los otros con 9. en 1990 subimos a 81.2 y en 2000 alcanzamos la de 97. Jalisco 1.32 y Puebla con 5. 24.4 millones de habitantes b) Distribuido así: Aumentó la población de 1990 al 2000.83.27. por la tasa de crecimiento ocupamos el sexto lugar en el mundo.4 – 81.6%.4 millones son hombres y 50 millones son mujeres. 72.4 millones de habitantes de los cuales 47.8 millones. en: 1980 éramos 1990 2000 66.83 0.1% y de 1995 – 2000 disminuyó a 1.90.79 millones corresponde a la zona urbana del Valle de México.3 = 16.76 millones urbana y dentro de la urbana el 17.31. Baja California 0. señala: habitamos la republica Mexicana una población de 97. Jalisco 6.73 9. Puebla 0. Agrega que la tasa de crecimiento anual fue: en los años 1980 – 1990 el 2.02.94. Nuevo León 0. Representa gráficamente esta información.07. en el quinquenio 1990 – 1995 el 2. a) Población en la republica Mexicana: 97. Distrito Federal 8.8 81. Veracruz 6.59.1 se repartieron así: Estado de México Jalisco Puebla Baja California Nuevo León Otros Estados 3.4%. Los más poblados en millones de habitantes son: Estado de México con 13.73.08. ocupando así el onceavo lugar en el mundo.94 0. Que en el año de 1980 éramos 88.27 1.4 Del aumento de 97. El crecimiento absoluto por estados es en millones de habitantes: Estado de México 3. escasea cada vez más. Gráficos de barras 1995 – 2000. por los nacidos entre 5.32 5.4%. Estados Unidos y otros. se dejará un espacio entre las barras que no sea inferior a la mitad del ancho de ellas. en la actualidad la demanda de estos jóvenes es alta en las escuelas de enseñanza media superior y superior. 37 mil y en cada uno de los restantes 39 mil. por ello los industriales del ramo han decidido plantar los próximos 6 años 263 millones de hijuelos de agave para evitar la escasez. .6% Podemos Concluir: Con base en los nacimientos entre 1980 – 1990 de 2. Los gráficos de barras proporcionan más información y permiten una apreciación estadística mejor que los pictogramas con sus figuras más llamativas. Expresa esta solución con un gráfico de barras. es la venta de la bebida “tequila” en los mercados de Japón.90 6. Se utilizan para datos nominales. en cambio.Estados más poblados (millones de habitantes) Estado de México Distrito Federal Veracruz Jalisco Puebla 13. en el 2002. si el gráfico incluye muchas barras. variables cardinales y variables ordinales.1% 1995 – 2000 1.59 6. Así en el presente año y el próximo de 35 mil en cada uno. Alemania.07 Crecimiento: Disminuyó 1980 – 1990 2. La demanda aumenta y la materia prima del “agave”. es mejor sustituirlo con un diagrama lineal Problema Una fuente de trabajo y entrada de divisas extranjeras al país.4% 1990 – 1995 2.08 8. Para su elaboración se tomará en cuenta lo siguiente: En el gráfico se evitará que las barras resulten muy anchas o excesivamente altas. apenas grupos de 20 a 25 alumnos. superfluas y no ahorramos. las autoridades económicas. reducen el circulante con un “corto”. ¿Qué se puede concluir? Conclusión: Hay mucho dinero circulante que no corresponde a nuestra capacidad de producción Cuando el consumo aumenta y las personas empezamos a “gastar” en cosas innecesarias.Estas barras también se pueden disponer en forma horizontal. Problema El siguiente gráfico de barras expresa las ventas en las tiendas de autoservicio y departamentales en el mes de diciembre de 1990 y los de enero a abril del 2000. . a fin de evitar presiones inflacionarias. inclusive. la Carboeléctrica resulta contaminante por el uso del carbón como combustible.1% el 7. . señalando en cada uno la correspondiente distribución porcentual.7% De esas fuentes. y 752. El círculo de 360° tiene un área de 100%.8. Gráficos circulares Se usan para presentaciones gráficas de distribuciones porcentuales. 1309. en la forma siguiente: Problema El gas natural es uno de los principales insumos para la generación de electricidad a través de las termoeléctricas.3% el 3. 9662. uno por cada año. de uso en la industria y en los hogares como combustible.1.1% el 59.1. generados así: Termoeléctrica Hidroeléctrica Carboeléctrica Nucleoeléctrica Geotermoeléctrica eoleoeléctrica 21 351.6. y si se quiere utilizarlas en secuencias cronológicas es necesario dibujar círculos iguales. un sector representa un tanto por ciento equivalente a la razón entre el ángulo que forman los radios que limitan el sector y los 360° que son el total de grados de la circunferencia. el 2. Representar ésta información en un gráfico circular.8% el 27. 2600.1 megawatts. La Secretaría de Energía en el año de 1999 fue de 35 675. Israel y Estados Unidos lo usan con éxito y disponen de pocos meses en que hay “Sol”. que así se espera con los nuevos tratados económicos. de ser posible. hay estados como el de Morelos. mayor número de empleos. A mayor industrialización. en países como Japón. Procura que en tu casa. industrial y doméstico. se instale un aparato que capte la energía solar. Zacatecas y otros muchos en los que el 90% de días en el año son con Sol .La industria eléctrica demanda mucho gas natural. mayor demanda de energía eléctrica y encarecimiento del gas natural. Fumar (Sí/No)  Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar Mejoría a un tratamiento. Altura. Grado de satisfacción. son posibles infinitos valores intermedios. Número de cigarrillos. Miden cantidades    Tipos de datos cuantitativos Discretos:  Si el número de posibles valores que puede tomar es contable (número naturales). Presión intraocular. Organización de datos Cualitativos: Si sus valores (modalidades) no se pueden asociar naturalmente a un número (no se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos). etc. Religión. señalamientos del elemento de la población que origina la información. Dosis de medicamento administrado. Miden cualidades  Cuantitativos: Si sus valores son numéricos (tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellos)  Discretas: Si toma valores enteros Número de hijos.  Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar Sexo. una persona. Grupo Sanguíneo. hogar. Generalmente resultan de un proceso de conteo  . Número de “cumpleaños”  Continuas: Si entre dos valores.2 Obtener datos estadísticos Datos. 1. puede ser: una industria. de manera que todo elemento de la población tenga la misma probabilidad de selección y que las unidades diferentes se seleccionen independientemente. Nacionalidad. edad Producen respuestas numéricas. la unidad debe ser en su definición medible y fácilmente identificable.1 Población y muestra aleatoria Población Población. Muestra aleatoria Es una muestra sacada de una población de unidades. la investigación estadística es la operación que se refiere a la recopilación de información sobre una población o colectivo de individuos u objetos que tienen una característica común. Intensidad del dolor  Arrojan respuesta categórica.1. pero en todo caso. para estudiar el comportamiento de enfermos. Una vez obtenida la información resultante de una investigación estadística. que puede haberse efectuado. Generalmente resultan de un proceso de medición  Manejo de los datos a) Citar qué se investiga. sujetos a un tratamiento específico: Se escoge la forma de organizarla para su análisis o publicación puede ser en:      Histogramas Ojivas Polígonos de frecuencias Pictogramas Gráficas de barras o circulares . por ejemplo. eliminar posibles errores y analizarla. aplicando los métodos y normas estadísticas.Continuos:  Si sus posibles valores están en el continuo (números reales). b) La recolección de la información incluye. Presentación de la información. en medicina. cuando se llevara a cabo y el lugar de la investigación que es el donde. c) La publicación de la información ya sea para uso propio o ajeno. ordenarla. como se debe realizar. El análisis estadístico propiamente dicho. Cuando por ejemplo. Las principales medidas de tendencia central son:    Media aritmética. la media o promedio (también llamada media aritmética) formaliza el concepto intuitivo de punto de equilibrio de las observaciones. nos referimos a la clasificación. decimos que un determinado fumador consume una cajetilla de cigarrillos diaria. el número de unidades estará alrededor de 20. Es decir. Las medidas de tendencia central. 21. parte de la búsqueda de parámetros sobre los cuales pueda recaer la representación de toda la información. su interpretación no debe hacerse aisladamente de las medidas de dispersión. llamadas así porque tienden a localizarse en el centro de la información. un día. no aseguramos que diariamente deba consumir exactamente los 20 cigarrillos que contiene un paquete sino que es el resultado de la observación. 22. Las medidas de posición son aquellos valores numéricos que nos permiten o bien dar alguna medida de tendencia central. o bien fragmentar la cantidad de datos en partes iguales. sin embargo. pero según nuestro criterio. Media Aritmética Cotidiana e inconscientemente estamos utilizando la media aritmética. la mediana y a la moda. Por lo que se vio la mayor densidad de frecuencia está en la parte central de las gráficas. dividiendo el recorrido de la variable en dos. La media Donde n: es el número de observaciones x: el valor de cada observación . son de gran importancia en el manejo de las técnicas estadísticas.3 Medidas de tendencia central En los capítulos anteriores. es decir. Mediana Moda. es el punto medio del recorrido de la variable según la cantidad de valores obtenidos. 19 otro. 20. Matemáticamente. ordenación y presentación de datos estadísticos. ya que la representatividad de ellas está asociada con el grado de concentración de la información. de ahí el nombre de medidas de tendencia central que se da a la media aritmética. dicho sujeto puede consumir 18. limitando el análisis de la información a la interpretación porcentual de las distribuciones de frecuencia. Se expresa ∑ La media aritmética se define como la suma de los valores observados dividida entre el número de observaciones.1. 3) Es posible hallar la media de un conjunto de valores de una variable a partir de tomar la distancia de las observaciones a un valor cualquiera (pertenezca o no al recorrido de la variable) 4) Si a un conjunto de observaciones de una variable se le realiza una operación matemática usando un valor constante. 8.x : es la media aritmética. 15.. x 2 . ∑ Problema Cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana. la suma de las desviaciones de cada uno de los valores de la variable respecto a la media es cero. x es la diferencia x  x ... Media para datos sin agrupar Dado un conjunto de observaciones x1 . la media del conjunto general es igual a la suma de cada una de las medias de los diferentes conjuntos. Lunes: 18 Martes: 21 Miércoles: 22 Jueves: 21 Viernes: 20 Sábado: 19 Domingo: 19 Entonces la media aritmética es.. es decir: ∑ Problema Hallar la media aritmética de los siguientes valores: 5.. entonces la media del nuevo grupo de valores así obtenidos es igual a la aplicación de la misma operación matemática usando ese valor constante sobre la media original. x n la media se representa mediante x y se obtiene dividiendo la suma de todos los datos por el número de ellos. cada uno con su respectiva media. su desviación respecto a suma de estas diferencias es cero. x  x2    xn x 1  n x i 1 n i n x i 1 7 i  18  21  22  21  20  19  19  20 7 . Ese valor tiene varias propiedades importantes: 1) Si x es una de las variables. media o x barra La media es la única de las medidas de tendencia central que puede intervenir en operaciones algebraicas. La  x n i 1 i  x  0 En toda distribución. 2) Si se toman una cantidad cualquiera de conjuntos de valores. 7. 10. en Estadística. la moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia. 2. 12. 5. 9. Media Ponderada Por lo general.. 9.. hay dos valores centrales que son 16 y 19.. Hallar la nota media de la evaluación. 10. por ejemplo. 8. 16. los datos se nos presentan agrupados mediante una distribución de frecuencias que hace que no todos los elementos de la serie tengan el mismo peso específico. por ejemplo. en los valores 1.. 5. la moda es 6. 6. la media de los valores 8. 2.. y eso influye a la hora de calcular la media. Se define como la suma de los productos de cada elemento de la serie por su frecuencia respectiva.2... A. 5. Si las notas de un alumno en las distintas asignaturas de un curso durante una evaluación fueron: 7. por ejemplo. 7. 9. 7. x 2 . Moda En un conjunto de datos de una distribución de frecuencias. entonces hay un número intermedio. 3. c n las respectivas ponderaciones. 6.. Ejercicios 1. 5. 6. 6. Sabiendo que cinco de ellos son: 8. 6.El fumador consume en promedio 20 cigarrillos diarios. si se tienen los datos 3. c 2 . hallar el elemento que falta. Si x1 .5 es la mediana 2 2 B.7.5. 23. x n son las cantidades c1 . 5 y 9. Mediana La mediana se define como el valor que divide un conjunto de datos previamente ordenados de menos a mayor y es el punto intermedio entre ellos dos. 6. Si el número N de datos es impar. entonces hay dos datos intermedios. La media de 6 elementos se sabe que es 10. entonces la media ponderada x es: c x  c2 x2    cn xn x 1 1  c1  c 2    c n c x i 1 n n 1 1 c i 1 i . el valor equidistante entre ellos es la mediana: 16  19 35   17. dividida por el número de elementos de la serie. 11 el número 7 es el número intermedio.. 5.. 13. por eso se llama media ponderada. 9. Si el número N de datos es par. Mediana y Moda La mediana y la moda son medidas de tendencia central que por sus propiedades destacan los valores individuales de un colectivo. 19. 25. 61. 15.000  5  220. 64. 32. Para calcular la media aritmética de una distribución de frecuencias agrupadas consideramos que a todos los valores que hay dentro de un intervalo de clase se les considera de un mismo valor igual al de la marca de clase y las frecuencias son las ponderadas de los valores en correspondencia con las marcas de clase y la suma de las frecuencias es el total de veces que se tiene registro. 71. 59. mediana. 80. 60.donde c i es la frecuencia o número de veces que se repite un valor.000 en Frecuencia días 5 15 4 en Hallar el salario medio durante ese mes. Calcular la media.000  15  300. x Problema 200. . 71.000 220.000 300. 32. Si ordenamos los datos de mayor a menor observamos la secuencia: 15. 60. 64. También c i puede ser la ponderación de cada valor xi. 60. ∑ ∑ Problema Durante el mes de octubre de 1981 los salarios recibidos por un obrero fueron: Salario pesos 200. y 80 días. 59. varianza y desviación típica.61. 60. La media: suma de todos los valores de una variable dividida entre el número total de datos de los que se dispone: ∑ La mediana: es el valor que deja a la mitad de los datos por encima de dicho valor y a la otra mitad por debajo. moda. 21.000  4 24 El número de días necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de iguales características han sido: 21. Como quiera que en este ejemplo el número de observaciones sea par (10 individuos), los dos valores que se encuentran en el medio son 60 y 60. Si realizamos el cálculo de la media de estos dos valores nos dará a su vez 60, que es el valor de la mediana. La moda: el valor de la variable que presenta una mayor frecuencia es 60 1.4 Medidas de Dispersión La media aritmética, mediana y la moda describen el comportamiento de los datos en una distribución de frecuencias. Estas medidas no proporcionan información sobre la forma en que están distribuidos o dispersos los valores con relación a la tendencia central, y poco informan sobre un dato específico con relación a los otros en la distribución de frecuencias. Estudiaremos la desviación media, la varianza y la desviación estándar, que miden la dispersión. Rango En toda distribución hay valores extremos, uno menor y otro mayor, la diferencia entre estos valores se llama rango y en el están distribuidos todos los demás valores. Es una medida de dispersión y es la más fácil de obtener. Desviación media La desviación media y la varianza son medidas de dispersión que tienen relación con la media aritmética, ya que las tres tienen propiedades algebraicas que les permiten su uso en relaciones matemáticas que son la base estructural de los análisis estadísticos; por sus propiedades algebraicos son las medidas de dispersión de más frecuente aplicación y de mayor importancia. La media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de cada uno de los valores de la variable, respecto a la media aritmética, es la desviación media. Para datos no agrupados, se tiene ∑ Y para datos agrupados | | ∑ Problema | | Calcular la desviación media de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 ∑ ∑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | Varianza La varianza ( ) es la media aritmética de los cuadrados de desviaciones respecto a la media aritmética. La varianza ( ) para datos no agrupados se obtiene con: ∑ ( ) Para datos agrupados ∑ Problema ( ) Calcula la desviación media DM y la varianza de la serie de números 9,10,2,7,12,6,5,8,12,10 ∑ ∑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ∑ ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Desviación estándar o típica La desviación estándar o desviación típica, es la raíz cuadrada de la varianza. Desviación estándar √ La desviación estándar es la más importante de todas las medidas de dispersión ya que incluye más o menos el 68% de los términos de una distribución normal; además, por sus propiedades algebraicas se utiliza con facilidad en el análisis estadístico. 1.5 Tablas de distribución de frecuencia Elaborar Tabla de distribución de frecuencias Una vez reunidos los datos de un colectivo para obtener a partir de ellos conclusiones, es necesario organizarlos en una tabla de distribuciones de frecuencia. La cual nos representa una función, se clasifican en tres tipos, según el número de observaciones y al número de valores distintos que toma la variable. Distribución de tipo uno. Son aquellas que constan de un reducido número de observaciones y en consecuencia de un reducido número de valores distintos que toma la variable. Distribuciones de tipo dos. Son las que el número de observaciones es grande, pero el número de valores distintos que toma la variable son pequeño; en este tipo, se distribuyen o agrupan los resultados disponibles en dos columnas, una para los valores distintos que toma la variable y otra para la frecuencia de cada uno de ellos. Problema. Para determinar el grado de nutrición de 20 alumnos de secundaria se toma la altura en cm de cada uno de ellos y son: 128 140 136 136 146 124 120 134 136 134 130 142 136 142 136 132 152 138 132 144 Para facilitar su interpretación se ordenan de forma ascendente o descendente, a este proceso se le llama orden de rango. 120 124 128 130 132 132 134 134 136 136 136 136 136 138 140 142 142 144 146 152 Para proceder a organizar los datos se usa la tabla de frecuencia que expresa el número de casos de cada categoría. Clases Tabulaciones Frecuencias (f) Li 1  Li L0  L1 L1  L2 fi f1 f2 fk   Lk 1  Lk La frecuencia absoluta o simplemente frecuencia. es el número de veces que se repite la variable x i . se pondrá el número de frecuencia f correspondiente a cada intervalo. f 2 el número de veces que se repite la observación x 2 . y en la tercera.Distribución de tipo tres Si el número de observaciones y el número de valores que toma la variable son grandes para su manejo se agrupan las observaciones en intervalos Li 1  Li . es el número de veces que se repite la observación x1 . . eligiendo entre ellos una amplitud fija o variable. así f 1 . se tabularán os valores para facilitar su conteo. mismos que se anotarán en una primera columna. en la segunda. Los grupos o categorías que incluye son los límites inferiores y Li 1  Li se llaman intervalos de clase. los valores Li 1 L i los límites superiores de estos intervalos. etc. con los datos en forma ascendente. 87 66 73 68 48 37 76 85 74 65 93 77 66 83 68 49 57 38 69 78 89 96 78 97 74 76 68 63 70 81 64 83 67 61 90 77 88 74 75 80 71 73 61 57 72 80 77 85 80 89 Expresamos la tabla de frecuencia.Problema En un examen departamental de física se examinaron 50 alumnos con los siguientes resultados. 37 65 72 77 85 38 66 73 77 85 48 66 73 78 87 49 67 74 78 88 57 68 74 80 89 57 68 74 80 89 61 68 75 80 90 61 69 76 81 93 63 70 76 83 96 64 71 77 83 97 . se obtiene así: Marca de clase = xi  Li 1  Li 2 .Tabla de frecuencias Clases Tabulaciones Frecuencias (f) Li 1  Li 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95-100 II IIII IIIII II IIIII III IIIII III IIIII I IIIII II II II II II fi 2 0 2 0 2 4 8 8 8 6 6 2 2 Marca de clase. es decir la media aritmética de los límites inferior y superior. es necesario sustituir cada intervalo por un número. a este número se le llama marca de clase y es el valor central de cada intervalo. Una vez hecho todo lo anterior y antes de aplicar a la información los métodos estadísticos. Tabla de frecuencias Clases Tabulaciones Marca de clase Frecuencias (f) Mc x i Li 1  Li L0  L1 L1  L2 fi f1 f2 fk x1 x2 xk   Lk 1  Lk Los datos obtenidos los anotamos en la tabla de frecuencias Clases Tabulaciones Marca de clase mc Frecuencias (f) Li 1  Li 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95-99 II 0 II 0 II IIII IIIII II IIIII III IIIII III IIIII I IIIII II II II xi 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97 fi 2 0 2 0 2 4 7 8 8 6 7 2 2 . Diagrama de barras El diagrama de barras es la representación gráfica que se usa cuando se dispone de muchas observaciones pero pocos valores de la variable (distribución de tipo dos). poniendo sobre ellas unas columnas a escala de las alturas igual a la frecuencia de cada uno de los valores. los valores de la variable. Así: . un funcionario de la escuela necesita saber cuántos alumnos obtuvieron calificación inferior a 6 y cuántos entre 6 y 8.Diagrama de frecuencia de puntos El diagrama de frecuencia de puntos es una información gráfica de cómo están distribuidos los datos sobre el rango (contradominio en el cálculo). Problema Un grupo de 15 alumnos presenta examen extraordinario de química. ordenamos las calificaciones en una tabla de frecuencias y contestamos preguntas como “inferior o igual que” y “superior a”. medidos en el sentido del eje de las y (ordenadas). Se elabora señalando en el eje de las x (abscisas) de un sistema de ejes coordenados. Para resolver este tipo de problemas. Datos agrupados El histograma es la gráfica más usual y se utiliza cuando el número de observaciones y el número de valores que toma la variable son grandes (distribuciones de tipo tres). y 6 su calificación está entre 6 y 8. pero son diferentes a los diagramas de barras cuyas alturas miden el tamaño de la variable y generalmente se dibujan separadas. no por sus alturas. y las barras necesariamente se dibujan sin dejar espacios entre ellas. Histograma. dejando espacios entre ellas. en los histogramas las frecuencias quedan representadas por el área de los rectángulos. en cambio.x 0 puntos 1 puntos 2 puntos 3 puntos 4 puntos 5 puntos 6 puntos 7 puntos 8 puntos 9 puntos 10 puntos y 0 2 1 3 0 2 3 1 2 1 0 De donde 8 alumnos obtuvieron una calificación menor a 6. Los histogramas son una forma de representación de la frecuencias de clase por medio de áreas rectangulares (barras). . Histograma 30 25 20 15 10 5 0 Series1 Concepto de densidad La densidad física es un concepto relativo que relaciona el volumen de un cuerpo con su masa. En estadística, por la densidad de frecuencia, se obtiene la frecuencia absoluta o número de casos que hay dentro del intervalo de clase En los histogramas, el eje vertical mide la densidad de frecuencias y el eje horizontal mide los intervalos de clase. Así: Longitud de los ejes para expresar un histograma El eje vertical debe ser tres cuartos de la longitud del eje horizontal, el cual se escoge de acuerdo con la necesidad del problema. Problema Traza el histograma de la distribución de frecuencia agrupadas siguientes: Clases Tabulaciones Li 1  Li 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95-100 II IIII IIIII II IIIII III IIIII III IIIII I IIIII II II II II II Frecuencias (f) fi 2 0 2 0 2 4 7 8 8 6 7 2 2 Para trazar el histograma procedemos así: Sobre el eje de las abscisas ponemos a escala los valores de la variable x (los puntajes), por intervalos. Se trazan perpendiculares sobre el eje horizontal de la longitud que sea necesaria Histogram of C1 Normal 10 Mean StDev N 73.46 13.31 50 8 Frequency 6 4 2 0 40 50 60 70 C1 80 90 100 Polígonos de frecuencia El polígono de frecuencia se obtiene uniendo los puntos medios de los intervalos de clase del histograma Frecuencia acumulada: Ojivas El cuadro siguiente expresa la distribución de frecuencias agrupadas no acumulativas que se elaboro Clase 123.5-128.5 128.5-133.5 133.5-138.5 138.5-143.5 143.5-148.5 148.5-153.5 153.5-158.5 158.5-163.5 163.5-168.5 Total Frecuencias 4 4 8 21 6 25 21 10 1 100 La frecuencia acumulada, se obtiene acumulando la frecuencia absoluta. Problema Con base en el cuadro anterior de distribución de frecuencias agrupadas, obtener dos cuadros; el de frecuencias acumuladas hacia abajo y otro de frecuencias acumuladas hacia arriba, y trazar las ojivas correspondientes. Cuadro A Frecuencia acumulada de estaturas que expresa el número de alumnos que miden menos de la estatura indicada. Estatura Núm. De alumnos 0 4 8 16 37 43 68 89 99 100 123.5 128.5 133.5 138.5 143.5 148.5 153.5 158.5 163.5 168.5 De alumnos 100 96 92 84 63 57 32 11 1 0 Distribución de frecuencias relativas Poder organizar la información en una tabla de frecuencias. marcar los intervalos de clase y hacer las gráficas de frecuencias absolutas. presentarla en cuadros.5 143. Estatura 123.5 Núm. es el resultado de dividir c/u de las frecuencias absolutas por el tamaño de la muestra.5 133.5 163. . permiten relacionar y comprender los valores de un mismo colectivo. Frecuencia relativa.Cuadro B Frecuencia acumulada de estaturas que expresa el número de alumnos que miden más de la estatura indicada.5 148.5 128.5 153.5 168.5 138.5 158. 5-128.5 158.5 153.5 Total Frecuencias 2 3 8 20 9 8 30 23 15 4 122 Relativas en % 1.837 12.5 148.285 3. para fines nutricionales. pero ahora.457 .5-133.638 30.552 24.00 Factor de corrección factor  100  0.5-158.380 7. que es la nueva base.La frecuencia relativa de una clase se obtiene en tanto por ciento.819 122 20. de los menores de 17 años. De todos los alumnos. estas últimas en tanto por ciento.5 138. Frecuencia relativa  L 100 N Para facilitar el cálculo de las frecuencias relativas de cada clase.819  1.457 6.371 6.5-148.570 18. Elabora un cuadro de frecuencias agrupadas que incluya las frecuencias absolutas y las relativas.819  2.552 16.5 133. Factor  Problema 100 N Las autoridades de la secretaria de educación pública deciden que en otra escuela también se tomen las estaturas en cm.638 2.5 128.5-168.5-163. si dividimos la frecuencia de la clase entre el número total de frecuencias y el resultado lo multiplicamos por 100.5 163.5-153.5-173.276 100. se usa un factor de corrección que resulta de dividir 100 por el número total de frecuencias.5-138.5-143. Clase 123.5 143.5 168. Frecuencia relativa acumulada.435 61.5 143.00 20.5 0 2 5 14 38 45 65 89 103 106 Relativas en % 0.834 42.927 97.943   1. Estatura Frecuencia acumulada Núm. que expresa el número de ellos que midieron.000 Factor de conversión factor  100  0.Distribuciones porcentuales acumuladas Los cuadros de frecuencia acumulada porcentuales se obtienen convirtiendo las frecuencias acumuladas en frecuencias relativas o proporcionales de base 100.5 133.000 1.5 168.295 83.715 .5 153.5 173.943   0.202 35.715 13. menos de la estatura indicada.886 50.5 138. se obtiene dividiendo la frecuencia acumulada entre el tamaño de la muestra.5 163. De Alumnos 128.5 148.129 100. Problema En el cuadro siguiente la distribución acumulativa de estaturas de un grupo de alumnos. agrega la columna correspondiente a las frecuencias relativas y traza la ojiva porcentual.943 106 Se obtienen las frecuencias relativas: 00.943   4.886 4.5 158. Clases Tabulaciones Li 1  Li Marca de clase mc Frecuencias (f) fi xi 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95-100 II 0 II 0 II IIII IIIII II IIIII III IIIII III IIIII I IIIII II II II 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97.5 2 0 2 0 2 4 7 8 8 6 7 2 2 .Media para datos agrupados Problema Calcular la media aritmética de la distribución de frecuencias agrupadas de la tabla de frecuencias. ...5 Frecuencias ( f i ) 2 0 2 0 2 4 7 8 8 6 7 2 2 f i xi 74 0 94 0 114 248 469 576 616 492 609 184 194 f i 1 n i  2  0  2  0  2  4  7  8  8  6  7  2  2  50 f i 1 n i x i  74  0  94  0  114  248  469  576  616  492  609  184  194  3670 x f i 1 n i 1 n i xi  i f 3670  73.xlsx .4 50 .\semestre enero 2012\1 media.\.\.\.Se procede de la siguiente manera Intervalos 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95-100 Marca x 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97.. \.\.\..\semestre enero 2012\2 desviación media.xlsx ..... Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella.25. cuando dividen la distribución en diez partes y los centiles o percentiles. se puede dividir la distribución en cuatro. en intervalos que comprenden el mismo número de valores. cuando dividen la distribución en cien partes.75 0.1. Q (u): u 0. Los cuantiles son los valores de la distribución que la dividen en partes iguales.0. 2 . calcular sus cuartiles. en diez o en cien partes.…. Ordenamos los datos de menor a mayor. los deciles. .….01.1.0. Para algunos valores u. El primer cuartil corresponde al 25% y se designa con El segundo cuartil es El tercer cuartil es Cálculo de cuartiles 1.99 Q(u) Mediana Cuartiles Deciles Centiles CUARTILES A fin de conocer los intervalos dentro de los cuales quedan representados proporcionalmente los términos de una distribución.99 0. 0.5 0. cuando dividen la distribución en cuatro partes. Los más usados son los cuartiles. representa el 75% de las observaciones que están por debajo de él. . Los cuartiles.6 Calcular Cuantiles Los cuantiles son medidas de posición que se determinan mediante un método que determina la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales. Los puntos de separación de los valores de X se llaman cuartiles. es decir. son en cierta forma una extensión de la mediana. que representa el valor de 50% y coincide con la mediana. como los deciles y los percentiles. cada una contiene igual número de observaciones (el 25% del total). se dan nombres particulares a los cuantiles. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la e x p r e s i ó n Problema Dada la siguiente distribución en el número de hijos (Xi) de cien familias. se divide la distribución de frecuencia en 4 partes iguales. es Problema . en donde se han registrado las alturas de un grupo de alumnos. La frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil. es N. Calcular los cuartiles en el cuadro de frecuencias agrupadas. . en la tabla de El límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil. . es La suma de las frecuencias absolutas.xi 0 1 2 3 4 5 14 10 15 26 20 15 14 24 39 65 85 100 Primer cuartil Primera Segundo cuartil Primera Tercer cuartil Primera Cálculo de los cuartiles para datos agrupados En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra las frecuencias acumuladas. es La amplitud de la clase. . Clase 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 Cálculo del primer cuartil ( ) 8 10 16 14 10 5 2 65 8 18 34 48 58 63 65 ( ) Cálculo del segundo cuartil ( ) ( ) Cálculo del tercer cuartil ( ) ( ) . 5-136.5 Total Frecuencias 2 3 8 23 27 20 16 3 2 Dividimos el total N de las frecuencias acumuladas entre 4 y obtenemos el número de observaciones que hay en el primer cuartil.5 156.5-166.5 136.5 131. así.5-146. 1.5 126.5-161.5-151.5 161.5-141.Clase 121.5 146.5 141. las tres primeras clases contienen 13 alumnos (sumamos 2+3+8=13) para las 13 que faltan los calculamos por interpolación lineal.5-131.7 Gráficos .5-126. El primer cuartil cae en la clase .5-156.5 151. y sobre la existencia de valores atípicos y la simetría de la distribución. Estos bigotes tienen un límite de prolongación. Una gráfica de este tipo consiste en una caja rectangular. los cuartiles Q1. Es un gráfico que suministra información sobre los valores mínimo y máximo. Las líneas que sobresalen de la caja se llaman bigotes. lo primero es ordenar la distribución 20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40 41 45 . alineado horizontal o verticalmente. Este rectángulo está dividido por un segmento vertical que indica donde se posiciona la mediana y por lo tanto su relación con los cuartiles primero y tercero (recordemos que el segundo cuartil coincide con la mediana). al mismo tiempo.8 Cajas y alambres Diagramas de caja Los diagramas de Caja-Bigotes son una presentación visual que describe varias características importantes.1. Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene como extremos los valores mínimo y máximo de la variable. tales como la dispersión y simetría. sobre un rectángulo. donde los lados más largos muestran el recorrido intercuartílico. Q2 o mediana y Q3. de modo que cualquier dato o caso que no se encuentre dentro de este rango es marcado e identificado individualmente. Problema Distribución de edades Utilizamos la ya usada distribución de frecuencias (en tallos y hojas). 36 39 25 24 37 29 24 23 39 41 20 40 36 33 45 24 31 34 31 40 Ordenar los datos Para calcular los parámetros estadístico. Para su realización se representan los tres cuartiles y los valores mínimo y máximo de los datos. que representan la edad de un colectivo de 20 personas. es el valor que sobrepasa al 75% de los valores de la distribución. Como N = 20 resulta que . por ello el El bigote de la izquierda ( 25% de los más jóvenes están más concentrados que el 25% de los mayores. El rango . evidentemente. resulta Dibujar la Caja y los Bigotes El bigote de la izquierda representa al colectivo de edades ( La primera parte de la caja a (Q1. la mediana de la distribución. La segunda parte de la caja a (Q2. Q3) El bigote de la derecha viene dado por ( Información del diagrama Podemos obtener abundante información representaciones.5 años. el primer cuartil es la media aritmética de dicho valor y el siguiente: Q2. Como . ) es más corto que el de la derecha. Q2). el Segundo Cuartil es.Calculo de Cuartiles Q1. ello quiere decir que las edades comprendidas entre el 25% y el 50% de la población está más dispersa que entre el 50% y el 75%. el 50% de la población está comprendido en 14. es el valor de la variable que ocupa el lugar central en un conjunto de datos ordenados. En nuestro caso. el cuartil Primero es el valor mayor que el 25% de los valores de la distribución. como . es decir. Veamos alguna:  de una ) ) distribución a partir de estas   La parte izquierda de la caja es mayor que la de la derecha. . el Tercer Cuartil. la mediana es la media aritmética de dicho valor y el siguiente: Q3. \. Wilfredo Pareto (Paris 1848 – Turín 1923) economista italiano. A principios de los años 50.. Descubrió que el 20% de las personas controlaba el 80% de la riqueza en Italia. realizó un estudio sobre la riqueza y la pobreza. el Dr. Joseph Juran descubrió la evidencia para la regla de "80-20" en una gran variedad de situaciones. el Análisis de Pareto es una técnica que separa los "pocos vitales" de los "muchos triviales". Una Gráfica Pareto es utilizada para separar gráficamente los aspectos significativos de un problema desde los triviales de manera que un equipo sepa dónde dirigir sus esfuerzos para mejorar. Una expresión común de la regla 80/20 es que "el 80% de nuestro negocio proviene del 20% de nuestros clientes..\semestre enero 2012\diagrama de pareto.. operación o resultado.1. En particular. el fenómeno parecía existir sin excepción en problemas relacionados con la calidad. Joseph Juran en honor del economista italiano Wilfredo Pareto. Pareto observó muchas otras distribuciones similares en su estudio.9 Diagrama de Pareto El nombre de Pareto fue dado por el Dr..xlsx .\.\. Definición El Diagrama de Pareto consiste en un gráfico de barras similar al histograma que se conjuga con una ojiva o curva de tipo creciente y que representa en forma decreciente el grado de importancia o peso que tienen los diferentes factores que afectan a un proceso. ." Por lo tanto. Al identificar y analizar un producto o servicio para mejorar la calidad. ítems. Cuando los datos puedan agruparse en categorías. área geográfica. En casos típicos.         Para identificar oportunidades para mejorar Para identificar un producto o servicio para el análisis de mejora de la calidad Cuando existe la necesidad de llamar la atención a los problemas o causas de una forma sistemática Para analizar las diferentes agrupaciones de datos Al buscar las causas principales de los problemas y establecer la prioridad de las soluciones Para evaluar los resultados de los cambios efectuados a un proceso comparando sucesivos diagramas obtenidos en momentos diferentes. por segmento del mercado. causas) son responsables por la mayor parte en el impacto negativo sobre la calidad. etc. servicios. los pocos vitales (pasos. Cuando existe la necesidad de llamar la atención a los problemas o causas de una forma sistemática. Al analizar las diferentes agrupaciones de datos (ejemplo: por producto.) Al buscar las causas principales de los problemas y establecer la prioridad de las soluciones Al evaluar los resultados de los cambios efectuados a un proceso (antes y después). Un equipo puede utilizar la Gráfica de Pareto para varios propósitos durante un proyecto para lograr mejoras. (antes y después) Cuando los datos puedan clasificarse en categorías Cuando el rango de cada categoría es importante Los propósitos generales del diagrama de Pareto     Analizar las causas Estudiar los resultados Planear una mejora continua Como fotos de "antes y después" para demostrar que progreso se ha logrado . problemas. 8 Teorema de Bayes. Espacio Muestral discreto Definición Un espacio muestral es discreto si está formado por un conjunto finito (o infinito contable) de resultados. El espacio muestral se denomina con la letra S. 3.5 Diagramas de árbol 2. Suceso Definición Un suceso es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. 2.Probabilidad 2. ( ) Por ejemplo en el espacio muestral E = {1. 6} del lanzamiento de un dado. 4. 3.4 Permutaciones y combinaciones 2. 5. 5} .1 Probabilidad de eventos Experimento Aleatorio Definición Un experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma manera 2. Obtener un número primo A = {2. los siguientes son eventos: 1.Unidad II .7 Independencia y probabilidad condicional 2. 2.6 Axiomas de probabilidad 2.2 Espacio muestral Definición El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral del experimento. El espacio muestral que proporciona la mayor información consiste en los 36 puntos dados por. sólo ( Por lo que el conjunto solución es )( *( )( )( )( )( )( )( )( )( ) dan un total de 7. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5. Obtener un número primo y par B = {2} 3. )( )+ + .2. sólo 3 y 6 son divisibles entre 3 * Problema Describa un suceso B en que el número de puntos obtenidos con el par de dados sea 7. 4. Entre los posibles resultados. uno rojo y uno verde. 5. 6. 2. *( + ) Donde x representa el número en que cayó el dado rojo y representa el número en que cayó el dado verde Problema Con respecto al ejercicio anterior describa el suceso A en que el número de puntos obtenidos sea divisible entre 3. 6} Problema Describa el espacio muestral que sea apropiado para un experimento en el que tiramos un par de dados. Entre 1. 3. La intersección de los conjuntos que los representan es el conjunto vacío. Son aquellos sucesos en los que en un mismo experimento aleatorio.2. Consideremos los sucesos siguientes: A: La persona es diabética B: La persona está sana . A  B   Problema Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez.3 Ocurrencia de eventos En función de la relación de probabilidad que se pueda establecer entre los sucesos. en los que la posibilidad de que ocurra uno de ellos no importa que el otro suceso ocurra. La intersección de los conjuntos que los representan. Son aquellos sucesos en los que en un mismo experimento aleatorio no es posible que ocurran simultáneamente. es decir pueden ocurrir conjuntamente. A B  No excluyentes entre sí. es el conjunto diferente del vacío. estos se clasifican en: Mutuamente excluyentes o disjuntos. esto quiere decir que estos eventos son excluyentes. Problema Experimento aleatorio: se analiza en un momento dado el estado de salud de los habitantes de una comunidad. A. Consideremos los siguientes sucesos. tiene una enfermedad crónica D: La persona tiene gripa E: La persona es hipertensa Diga que sucede para los sucesos anteriores si se pide. La persona tiene 40 años o más Que sucede con los sucesos si se pide. A B BD B C A D Problema Experimento aleatorio: se observa la escolaridad de las personas de 20 a 60 años de edad de una comunidad. La persona es analfabeta D. Una persona tiene menos de 40 años B. La persona es ingeniero C. A B BD B C A D .C: La persona tiene un problema de salud permanente. ACB] Problema Cinco ciudades se comunican entre sí. ni "247". CAB. En otras palabras: "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas.2. CBA. BAC. uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas. uvas y manzanas" o "uvas. En una permutación el orden es importante. C tomándolas todas a la vez? Solución: 3 P3 = 3 • 2 • 1 = 6 [ABC. Tiene que ser exactamente 4-7-2. Problema Se tienen 6 máquinas de escribir y 6 personas para operar las máquinas. podría ser "bananas. B. constituye una permutación. es una combinación Si el orden sí importa es una permutación Permutaciones Un arreglo de cosas en un orden dado. sin pensar en si el orden de las cosas es importante. manzanas y bananas". ¿de cuántas maneras se pueden asignar las personas a las máquinas? 6 P6 = 6 ! = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 Problema ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras A. BCA.4 Permutaciones y combinaciones ( )( )( ) ( )( ) Permutación y combinación ¿Qué diferencia hay? Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente. Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:   Si el orden no importa. "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. según el diagrama . "724" no funcionaría. es la misma ensalada. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad. A continuación ejemplificaremos cada uno de estos conceptos.De cuántas formas es posible: a) Viajar desde A hasta E b) Hacer el viaje redondo desde A hasta E 2. según las posibilidades del siguiente paso. . un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación. el cual consta una serie de pasos. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral. o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto. donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.5 Diagramas de árbol Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento. salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1. En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez. Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación. Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas). estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol. acompañada de su probabilidad. Este conjunto se llama espacio muestral y se designa con S. Los hijos varones y mujeres de una familia de tres hijos. 2. Las respuestas de un examen. 3. Lanzar tres monedas al aire son: . Para conocer el dominio utiliza un diagrama de árbol. además. (SS)}. los resultados de las preguntas anteriores serían: 1. Ayudados por un diagrama de árbol. Lanzar un dado y dos monedas. 2. 1810 ( ) Conquista de México. (AS). (SA). 1. el dominio de la función aleatoria. 1492 ( ) Declaración de Independencia. Lanzar tres monedas al aire. si las preguntas son las siguientes: ( ) Descubrimiento de América. 5. que es. Entonces el dominio es: {(AA). Los lugares que ocupan tres personas en una fila de supermercado. 3.Experimento aleatorio Lanzar dos monedas al aire. 1521 4. Ahora determinaremos el espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: 1. a cada uno de sus resultados se les llama eventos. Dos monedas y un dado con seis números .2. Llamaremos P1 = primera persona. Resultados de un examen. P2 = segunda persona y P3 = tercera persona.3. 5. mujeres M. . Hijos varones y mujeres de una familia de tres hijos: varones H. 4. Lugares que ocupan tres personas en una fila de supermercado. Explique por qué las siguientes asignaciones de probabilidad no están permitidas..2. B. esta función asigna números reales a los diferentes subconjuntos de un espacio muestral S Postulado 2 ( ) Postulado 3 Si de S. Postulado 1 La probabilidad de un suceso es un número real no negativo.  ( ) para Las probabilidades son los valores de una función de conjunto. o sea regidos por el azar.63 PC   0. . D que son ME.20 9 45 27 46 b) P  A  P B   PC   P D   120 120 120 120 Teorema Si A es un suceso en un espacio muestral discreto S. experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda. pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. entonces P(A) es igual a la suma de las probabilidades de los resultados posibles que abarcan A. a) P A  0. también conocida como medida de probabilidad.45 PD   0. C. entonces  es una secuencia finita o infinita de sucesos mutuamente excluyentes P A1  A2  A3  ... extracción de una carta de un mazo de naipes.6 Axiomas de probabilidad Probabilidades: Definiciones y Conceptos Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios.12 PB   0. en que se conocen todos los resultados posibles.   P A1   P A2   P A3   . esto es cualquier subconjunto A de S.. Por ejemplo. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas. el lanzamiento de un dado. Los postulados de probabilidad se aplican sólo cuando el espacio muestral S es discreto Problema Un experimento tiene cuatro resultados posibles A. HC . n . donde G es el suceso que un número mayor que 3 ocurra en un sólo tiro del dado. 1 Espacio muestral S   . Denotemos con A al evento que 4 sacamos al menos una cara. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos una cara? C. 87 426 llegan a los 40 años.Problema Si lanzamos dos veces una moneda balanceada. obtenemos S  CC .Cara H-Cruz El espacio muestral es S  CC . 6 Si asignamos la probabilidad W a cada número par y la probabilidad 2W a cada impar. CH . 4. estos resultados son igualmente posibles y 1 . HC  asignamos a cada muestra la probabilidad de P A  PCC   P CH   P HC  1 1 1   4 4 4 3  4  Problema Un dado está arreglado de manera que cada número impar tiene el doble de probabilidad de ocurrir que un número par.2. 3. 5. si de acuerdo a una tabla de mortalidad de cada 93 745 persona de 25 años de edad. entonces la probabilidad del evento A es P A  Problema Cuál es la probabilidad de que una persona de 25 años de edad llegue a sobrevivir hasta que tenga 40 años. se tiene 2W  W  2W  W  2W  W  1 y Teorema 9W  1 4 9 W 1 9 P (G )  1 2 1   9 9 9 P (G )  Si un experimento puede resultar en cualquiera de N resultados diferentes igualmente probables y si n de estos resultados juntos constituye el evento A. N . HH  Como la moneda esta balanceada. CH . Encuentre P (G). Teorema Si A y B son eventos en un espacio muestral S y A  B. ¿Cuál es la probabilidad de sacar de la caja al azar un tornillo en buen estado? n  25 N  80  25  105 n P  A  N Num de tornillos en buen estado 25 25 P( A)    total de tornillos en la caja 25  80 105  0.n  87 426 N  93 745 n P  A  N Personas que lleguen a los 40 años 87426 P( A)   total de personas de25 años 93745  0. Teorema c Si A y A son eventos complementarios en un espacio muestral S.25% Problema En una caja hay 25 tornillos en buen estado y 80 defectuosos.80% Algunas reglas de probabilidad. entonces P A c  1  P  A   Teorema P   0 Para cualquier espacio muestral S. entonces P A  PB  Teorema 0  P A  1 Para cualquier evento A.9325  93.2380  23. Ley aditiva de la probabilidad Teorema . c a los eventos ME  A  B . entonces. o ambas clases de aparatos respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia posea cualquiera de las dos o ambas clases de aparatos? A. un aparato de televisión en blanco y negro. Familia con televisión a color . P A  B   a  b  c  a  b   c  0  a  b   c  a  a  a  b   c  a   a  P  A  P ( B )  P ( A  B ) Problema En una zona de la ciudad. P  A  B   P  A  P B  P  A  B   P  A  P B   P  A  B  a) Cuando dos sucesos son ME. A  B c  y Ac  B  de acuerdo al diagrama de Venn. se tiene que A  B   se utiliza la primera relación b) Cuando dos sucesos no son ME.86. Si asignamos las probabilidades a.35 y 0. 0.29 de que una familia tenga aparato de televisión a color.Si A y B son dos eventos en el espacio muestral S. se tiene que A  B   se utiliza la segunda relación c) P A  B  Se resta para rectificar el doble conteo Demostración. b. las probabilidades son 0. la probabilidad de que un suceso u otro ocurran se calcula con las relaciones siguientes. los de segundo grado 12 boletos. es decir A  B   P A  B   P( A)  P( B)  P A  B   60% 18 12 30 3     0. P A  B   P( A)  P( B) Para aplicar la ley multiplicativa es necesario revisar si los sucesos involucrados son independientes o dependientes.35 P A  B   0. los alumnos de primer año compraron 18 boletos. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número primo y una canica azul? . Familia con televisión blanco y negro P A  0. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno de primero o segundo gane la rifa? A.29 P A  B   0. b) Sucesos dependientes Son aquellos en los que la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de que ocurra el otro.29 P  A  B   P  A  P B   P  A  B  P A  B   0. a) Sucesos independientes Son aquellos en los que la ocurrencia de uno. Gana un alumno de primer grado B.35  0.B. los sucesos A Y B son ME. una roja. Gana un alumno de segundo grado El suceso que nos interesa es E  A  B . una azul y una verde.86  0. Si son 50 boletos en total. se obtiene con el producto de sus probabilidades. Problema Experimento aleatorio: se lanza un dado y se saca una canica de una bolsa. en la bolsa hay tres canicas. no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.86 PB   0.92 Problema Para participar en la rifa de un reloj.6 50 50 50 5 Ley multiplicativa de la probabilidad La probabilidad de que ocurran simultáneamente dos sucesos A y B. 1 A:  .Como cualquier resultado que aparezca en el dado no afecta la probabilidad del color de la canica. Sean tres hombres B. Sean dos hombres y una mujer C. Sean dos mujeres y un hombre D.3. se dice que los sucesos son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo de representantes esté conformado de las maneras siguientes? A. Sean tres mujeres a) Sean tres hombres P A Se tienen que dar los siguientes sucesos A1 : El primer alumno seleccionado sea hombre P A1   24 36 A2 : El segundo alumno seleccionado sea hombre P A2   23 35 Los sucesos A1 y A2 son dependientes A3 : El tercer alumno seleccionado sea hombre P A3   22 34 . ni viceversa.2.5 B: Sale canica azul  4  1  4 2 P A  B   P( A)  P( B)        0.22  6  3  18 9 P A  B   22% Problema De un grupo escolar se van a elegir por sorteo a 3 alumnos que se hagan cargo de una ceremonia escolar: en el grupo hay 24 hombres y 12 mujeres. 23 P(T )  0. de que un camión parado en un retén tendrá frenos defectuosos o neumáticos muy gastados.2834  36  35  34  42840 P( A)  28.24. También.1546  36  35  34  42840 P( B)  15. las probabilidades son 0. la probabilidad es 0.24  0.P A  P A1  A2  A3   P A1   P A2   P A3   24  23  22  12144 P( A)        0.46% Problema Cerca de cierta salida de una carretera.23 y 0. ¿Cuál es la probabilidad de que un camión parado en este retén tendrá los frenos defectuosos así como los neumáticos muy gastados? B: Suceso que un camión parado tendrá frenos defectuosos T: Suceso que tendrá neumáticos muy gastados P( B)  0.38 P( B  T )  P( B)  P(T )  P( B  T ) P( B  T )  P( B  T )  P( B)  P(T ) P( B  T )  P( B)  P(T )  P( B  T )  0´23  0.24 P( B  T )  0.38  0  09  9% .34% b) Sean dos hombres y una mujer B1 : Sale el primer hombre B 2 : Sale el segundo hombre B3 : Sale la mujer P( B1 )  P ( B2 )  24 36 23 35 12 34 P ( B3 )   24  25  12  6624 P( B)  P( B1 )  P( B2 )  P( B3 )        0.38 de que un camión parado en el retén tendrá frenos defectuosos y/o neumáticos muy gastados. esto es.52 a) N 50 50 P (G )  52 % P (G )  b) Para la segunda pregunta.80 20 P(G )  52 % P(G / T )  . De estas. 16 proporcionan buen servicio de garantía y se tiene 16  0. Buen servicio de garantía En operación por 10 años o más En operación Menos de 10 años Total 10 26 20 24 30 50 16 4 20 Mal servicio de garantía a) Si una persona selecciona aleatoriamente una de estas agencias de automóviles nuevos. 16+4 =20 agencias. ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una que proporciona buen servicio de garantía? b) Si una persona selecciona una de las agencias que han operado 10 años o más. n 16  10 26    0.Problema Una organización de los consumidores ha estudiado los servicios con garantía proporcionados por las 50 agencias de automóviles nuevos en una cierta ciudad en la tabla siguiente se resumen sus hallazgos. buscamos el espacio muestral reducido que consta de la primera línea de la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una agencia que proporcione buen servicio de garantía? G: Denota la selección de la agencia que proporciona buen servicio de garantía. S: Denota el número de elementos en el espacio muestral completo. con la intención de promocionar las ventajas que se derivan del establecimiento de las nuevas industrias en los pequeños poblados. Sean A y B dos sucesos dependientes tales que ( ) Para expresar la probabilidad de B dado que A ha ocurrido. los sucesos son dependientes.7 Independencia y probabilidad condicional Probabilidad condicional La probabilidad condicional se aplica en el cálculo de un evento cuando se sabe que ha ocurrido otro con el cual se relacionan. supóngase que el espacio muestral es la población de adultos en un pequeño pueblo que han satisfecho los requisitos para graduarse en la escuela. la probabilidad condicional de B dado A es P( B / A)  Problema P( A  B) P( A) Como un ejemplo adicional. .2. Definición Si A y B son dos sucesos cualquiera en un espacio muestral S y P( A)  0 . se expresa ( Vamos a considerar ( ) ) ) ) se realiza en un mismo espacio muestral. El interés se muestra en los siguientes eventos: M: se escoge a un hombre. Es decir. que es un La probabilidad de ( subconjunto del espacio muestral original S. se expresa ( De la misma manera si ( ) Para señalar la probabilidad de A dado que B ha ocurrido. el espacio muestral original S se ve modificado por que ya ocurrió el suceso A. Se deben clasificar de acuerdo con su sexo y si trabajan o no actualmente. es decir. Empleado Hombre Mujer total 460 140 600 desempleado 40 260 300 Total 500 400 900 Se selecciona al azar a uno de estos individuos para que realice un viaje a través de todo el país. para verificar este resultado. Solución: a) La probabilidad de que el avión llegue a la hora prevista dado que partió a tiempo es: ( ) ( ) ( ) b) La probabilidad de que salga a la hora prevista dado que llego a tiempo es: ( ) ( ( ) ) . nótese que. Utilizando esta notación se puede escribir S ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) Donde ( ) Y ( ) se obtiene del espacio muestra original S. Problema ) La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a tiempo es ( ) ) La que llegue a tiempo es ( encuentre la probabilidad de que un avión en el cual se: a) llegue a tiempo dado que despego a tiempo. se encuentra que ( ) Sea ( ) el número de elementos de cualquier conjunto A. Al utilizar el espacio muestral reducido E. ( ) ( En consecuencia ) ( Igual que antes.E: el elegido tiene un empleo. b) despegue a tiempo dado que llego a tiempo. entonces A es independiente de B. Puesto que se remplaza la primera carta. En este )lo da ejemplo. no importa si ocurrió o no el evento A puesto que la ocurrencia o no de A no afecta al evento B. con estos datos adicionales. B: la segunda carta es de espadas. los eventos se definen como: A: la primera carta es un as. con remplazo. La ) es una actualización de la ( )con la base en la certeza de que probabilidad ( se ha presentado el evento B. se dice que los eventos A y B son ) La noción de probabilidad condicional permite revaluar la idea de probabilidad de un evento de mayor información. dado que no llego a tiempo. Supóngase que sabe que se vuelo no partió a tiempo. lo más pertinente es calcular ( ) esto es. Ahora considérese otro en el cual se sacan dos cartas en sucesión. A y B son independientes si y sólo si ( ) ( ) ( ) . de un paquete normal. En munchas situaciones las conclusiones que se sacan de las observaciones de la probabilidad condicional más importantes cambian totalmente la situación. Si B es independiente de A. hemos visto que en general la probabilidad condicional del evento B dado el evento A es diferente de la ) ( ) probabilidad del evento B. cuando se tiene la igualdad: ( es de especial importancia porque esto quiere decir que el evento B no depende o es independiente del evento A. el espacio muestral para ambas cartas consisten de 52. ( ) cuando esto es cierto. en el que hay 4 ases y 13 espadas.En el experimento de lanzar un dado se observa que ( ) ( ) Esto es ( ) . es decir cuando se sabe que otro evento ha ocurrido. en el problema del avión fue importante conocer la probabilidad de que el vuelo llegara a tiempo. Es decir. el cálculo de P( P( ) ( ( ) ) Eventos independientes Cuando A y B son dos eventos con probabilidades positivas. Por lo tanto ( Y ( ) ) Esto es. ( independientes. Sin embargo. la probabilidad de que llegue a tiempo. en el segundo lanzamiento. son independientes ( )( ) .Si A y B son cualesquier eventos en el espacio muestral S. entonces A es independiente de B. A y B son independientes si y sólo si ( Problema Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello. Problema A=evento que un estudiante tenga una tarjeta de crédito de un banco B=evento que un estudiante tenga una tarjeta de crédito para viajes ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ¿Son los eventos A y B independientes? ( ) ( ) Si. tales que ( ) ( ) decimos que A es independiente de B si y solo si ( ) ( ) e implica que ( ) ( ) Si B es independiente de A. 2.8 Teorema de Bayes . Una persona tiene menos de 40 años F. La persona tiene 40 años o más Que sucede con los sucesos si se pide. un secretario y un tesorero. ¿En cuántas formas puede escoger dos de las faldas. a) La ganadora y la primera suplente b) La ganadora. tres de las blusas y uno de los suéteres para llevar en un viaje? 5. ¿Cuántas palabras con código de 3 letras se pueden formar usando las 8 primeras letras del alfabeto. ¿Cuántas permutaciones diferentes hay de la palabra statistics?. ¿cuántas placas pueden elaborar sí.Proyecto 1. Las 5 finalistas del concurso Señorita Universo son los representantes de Argentina. ¿Cuántas de ellas comienzan y terminan con la letra s? 4. Una placa consiste en dos letras seguidas por cuatro dígitos. La señorita Jones tiene cuatro faldas. 7. a) Si ninguna letra puede repetirse b) Si se pueden repetir las letras 2. E. Japón y Noruega. Experimento aleatorio: se observa la escolaridad de las personas de 20 a 60 años de edad de una comunidad. Bélgica. ¿De cuántas formas diferentes han de escoger el comité? 8. en un club que consta de 15 socios? 9. ¿De cuantas maneras diferentes se puede formar un comité con un presidente. la primera y la segunda suplente? 3. La persona es ingeniero G. Consideremos los siguientes sucesos. Estados Unidos. siete blusas y tres suéteres. ¿De cuantas maneras pueden elegir los jueces. a) Se pueden repetir las letras y los dígitos b) Si no se pueden repetir? Calcula la permutación o combinación correspondiente a cada una de las situaciones que se dan a continuación. Se elige un comité de 5 personas en el que debe haber 2 arquitectos de 7 que hay en la compañía y 3 ingenieros de los 10 que trabajan ahí. ¿Cuántos grupos de 5 o más personas pueden formarse con 10 personas? 6. La persona es analfabeta H. . tiene una enfermedad crónica. En un grupo de 200 estudiantes (80 mujeres y 60 hombres).A B B  D B C A D 10. Estudiante seleccionado de tiempo parcial C. D: La persona tiene gripa E: La persona es hipertensa a) b) c) d) ¿Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes o no? ¿Si C  E   son mutuamente excluyentes o no? ¿Qué sucede con los sucesos B y C? ¿Cómo son los sucesos C y D? 12. Experimento: un estudiante es seleccionado al azar. Estudiante seleccionado sea hombre a) Defina si los sucesos A y B son mutuamente excluyentes o no. Estudiante seleccionado de tiempo completo B. 11. Se analiza en un momento dedo el estado de salud de los habitantes de la ciudad. Una organización de los consumidores ha estudiado los servicios con garantía proporcionados por las 50 agencias de automóviles nuevos en una cierta ciudad en la tabla siguiente se resumen sus hallazgos. para esto se definen tres sucesos. Buen servicio de Mal servicio de garantía garantía En operación por 10 años más o 16 4 20 En operación Menos de 10 10 20 30 . Consideremos los casos siguientes: A: La persona es diabética B: La persona está sana C: La persona tiene un problema de salud permanente. A. (40 son mujeres y 20 hombres) son de tiempo parcial. b) Defina si los sucesos A y C son mutuamente excluyentes o no. 140 en total son alumnos de tiempo completo y otro de 60. años Total 26 24 50 c) Si una persona selecciona aleatoriamente una de estas agencias de automóviles nuevos, ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una que proporciona buen servicio de garantía? d) Si una persona selecciona una de las agencias que han operado 10 años o más, ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una agencia que proporcione buen servicio de garantía? G: Denota la selección de la agencia que proporciona buen servicio de garantía. S: Denota el número de elementos en el espacio muestral completo. 13. Una urna contiene 75 bolas blancas marcadas, 25 bolas sin marcar, 175 bolas negras marcadas y 125 bolas negras sin marcar. a) Se saca una bola al azar. Calcular la probabilidad que sea blanca. b) Se extrae una bola y está marcada. Calcular la probabilidad que sea blanca. 14. En un grupo de 200 estudiantes universitarios 138 están inscritos en un curso de Inglés 115 en uno de mecánica y 91 en ambos, ¿Cuántos de estos estudiantes no están inscritos en uno u otro curso?  Trace un diagrama de Venn apropiado y anote los números asociados con las diversas regiones. 15. Un taller sabe que por término medio acuden, por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapas y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa. Eléctricos 3 2 5 Mecánicos 8 3 11 Chapa 3 1 4 Total 14 6 20 Mañana Tarde Total Calcular, P(A), P(B), P(C) , así como la probabilidad de que acuda por la mañana dado que tiene problemas eléctricos Aplique el concepto de probabilidad para resolver el siguiente problema. 16. En una caja hay 100 canicas azules y 300 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una canica azul? Exprese el resultado en tanto por ciento. 17. En la oficina del subdirector de la escuela hay 12 calculadoras, algunas son manuales (M), otras eléctricas (E); además algunas de ellas son nuevas (N) y otras usadas (U), como se expresa en el cuadro siguiente: M E N 2 U 2 4 3 5 8 5 7 12 a) Una persona entra a la oficina y escoge aleatoriamente una calculadora y observa que es manual. ¿Cuál es la probabilidad de que sea nueva? b) Si la persona escoge una al azar una eléctrica, ¿Cuál es la probabilidad de que sea usada? 18. Empleando diagramas de Venn y con la definición de conjuntos encontrar el conjunto solución para cada uno de los casos que se dan a continuación. U   , 2, 3, 4, 5, 6, 7, A   , 2, 3, 4, 5, B   , 3, 5, 7, c   2, 5, 6, 7. 1 1 1 a) B  A b) C  B c) C  B d ) C  A 19. Una orquesta de 30 músicos deciden formar dos grupos musicales, uno de clásica y otro de música de salón, el primero con 12 personas y el segundo con 16; si tres de los músicos pertenecen a los dos grupos ¿Cuántos miembros de la orquesta original decidieron no pertenecer a ningún grupo? 20. De un lote de 15 camisas, 4 son defectuosas, si se toman al azar 3 artículos del lote, uno tras otro; calcular la probabilidad de que los tres se encuentren en buen estado. 21. En una escuela de enseñanza media superior, el 20% de los alumnos reprobaron matemáticas, el 25% física y el 5% ambas materias. Si se selecciona un alumno al azar: a) Si reprobó física. ¿Cuál es la probabilidad que haya reprobado matemáticas? b) Si reprobó matemáticas. ¿Cuáles la probabilidad de que haya reprobado física? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya reprobado física o matemáticas? 22. En una escuela de enseñanza media superior de la población de alumnos el 40% mide más de 1.50 m, el 25% pesa más de 52 kilos y el 15% mide más de 1.50 m y más de 52 kilos. Si se escoge al azar un alumno: a) Si mide más de 1.50 m, calcular la probabilidad de que también pese más de 52 kg. Proyecto 1. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar un comité con un presidente, un secretario y un tesorero, en un club que consta de 15 socios? 2. Cinco ciudades se comunican entre sí, según el diagrama De cuántas formas es posible: c) Viajar desde A hasta E d) Hacer el viaje redondo desde A hasta E 3. Use el principio multiplicativo para solucionar el problema siguiente. De una ciudad A hasta B hay 4 caminos; a su vez, la ciudad B a la C hay 6 caminos, si todos los caminos son diferentes, de cuantas formas es posible: De cuántas formas es posible: e) Viajar de A hasta C pasando por B f) Hacer el viaje redondo desde A hasta C pasando por B g) Hacer el viaje redondo desde A hasta C pasando por B pero si utilizar el mismo camino más de una vez 4. ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con 1, 2, 3 ,4,5 si; a) No se permiten repeticiones b) Se permiten repeticiones 5. Con los dígitos del 0 al 9 se quieren formar números de cuatro cifras, sin repetir cifras en ninguno de los números formados. a) ¿Cuántos se pueden formar? b) ¿Cuántos números son impares? c) ¿Cuántos números son divisibles entre 2? d) ¿Cuántos números son mayores o iguales que 3000? 6. Calcular cuántos números enteros de tres cifras se pueden obtener con los dígitos 2, 3, 5, 7 en los casos siguientes. a) No se permite la repetición de las cifras en ninguno de los números b) Se permite la repetición de las cifras en los números 7. ¿Cuántas diferentes quintas de baloncesto pueden formarse con 7 jugadores disponibles para jugar cualquier posición? 8. Un alumno de preparatoria tiene 7 libros de física y 5 de matemáticas. Calcular de cuantas maneras posibles se pueden ordenar 3 libros de física y 2 de matemáticas en un librero. 9. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar un comité con un presidente, un secretario y un tesorero, en un club que consta de 20 socios? 10. ¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa. 11. Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado. 12. ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos? 13. Si un equipo de fútbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos? 14. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de; a) 5 alumnos cada uno de ellos b) Si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuántos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres? c) ¿Cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos? 15. En una escuela de enseñanza media superior los alumnos de matemáticas presentan un examen que incluye 16 problemas para resolver 8 de ellos. ¿Cuántos exámenes diferentes de 8 problemas se pueden escoger de esos 16? 16. Un inspector de control de calidad desea seleccionar una parte para la inspección de cada una de cuatro recipientes diferentes que contienen 4, 3, 5 y 4 partes, respectivamente. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden escoger las cuatro partes? ¿De cuántas maneras diferentes puede una persona. como usualmente se expresa. c y d es 24.17. ¿Cuántos comités diferentes. ¿De cuántas maneras se pueden colgar. si todos ellos están disponibles en cualquiera de cinco fechas posibles? 21. tres pinturas de Renoir y dos pinturas de Degas en la pared de un museo sin hacer distinción entre las pinturas de los mismos artistas? 22. El número de permutaciones de las cuatro letras a. ¿De cuántas maneras puede una sección local de la sociedad Americana de Química programar a tres oradores para tres reuniones diferentes. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden presentar al público los cinco jugadores titulares de un equipo de baloncesto? 19. se pueden formar con los cuatro químicos y los tres físicos del profesorado de una pequeña universidad? . ¿En cuántas formas diferentes pueden seis lanzamientos de una moneda. si tomamos las cuatro letras dos a la vez? 20. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden contestar todas las preguntas de una prueba de falso o verdadero que consta de 20 preguntas? 18. pero ¿cuál es el número de permutaciones si sólo tomamos dos de las cuatro letras o. que reúne datos para una organización de investigación de mercados. dos pinturas de Monet. b. una junto a las otras. de dos químicos y un físico. producir dos caras y cuatro cruces? 24. seleccionar tres de 20 familias que viven en un complejo departamental dado? 23. cuando se toman un determinado número de elementos de la población. o la subpoblación de los varones. o una subpoblación. 3. 5. que es el subconjunto de la población formado por los elementos de la población que comparten una determinada característica. Como por ejemplo si se realizase un estudio sobre los productos que hay en el mercado. Elementos Las personas o cosas que forman parte de la población se denominan elementos. no se puede trabajar con todos los elementos de la población sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma. Hay tantos y de tantas calidades que esta población podría considerarse infinita. por ejemplo el número de alumnos de un centro de enseñanza. o un intervalo de tiempo. elementos y caracteres. normalmente en un estudio estadístico. un voto. 4. como un automóvil o una casa. 6} S = {6} . Ejemplo Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos los resultados siguientes S = {1. En sentido estadístico un elemento puede ser algo con existencia real. Este subconjunto puede ser una muestra. o grupo clase.Funciones de distribución de probabilidades 3. Ahora bien. 2. por ejemplo de los alumnos del centro la subpoblación formada por los alumnos de 3º ESO. Población finita: cuando el número de elementos que la forman es finito.1 Variables aleatorias y su clasificación Introducción Población.Unidad III . sin que en principio tengan nada en común. Experimento Es cualquier proceso de observación o medición Espacio muestral Es el conjunto de todos los resultados de un experimento. o tan grande que pudiesen considerarse infinitos. y se le representa con la letra S. Población infinita: cuando el número de elementos que la forman es infinito. o algo más abstracto como la temperatura. Población Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o colección de personas o cosas. HT. es una aplicación que a cada elemento de E (suceso elemental) le hace corresponder un número real. E x R Sea E el espacio muestral de una experiencia. TH. TT} Ejemplo Describa un espacio muestral que sea apropiado para un experimento en el que tiramos un par de dados. Recorrido * + Se dice que una variable aleatoria es discreta si su recorrido es finito. son que son los valores particulares que puede tomar la x. uno rojo y uno verde. Variables Aleatorias . El espacio muestral que proporciona la mayor información consiste en los 36 puntos dados por *( )| + S = {4} Donde x representa el número en que cayó el dado rojo y y representa el número del dado verde Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Concepto de variable aleatoria discreta. El recorrido de una variable aleatoria es el conjunto de valores que puede tomar. Ejemplo: Los valores enteros que satisfacen esta desigualdad donde x es la variable.Ejemplo En el lanzamiento de dos monedas tenemos S = {HH. una variable aleatoria x. Ejemplo La altura H de una persona. 2. la cantidad de los ausentes el lunes. Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria discreta sólo puede asumir cierto número de valores específicos. 3.751. Así por definición: Definición Variable aleatoria discreta (x). 5... porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.… pero no 2.70. 5. burbujas por envase xVariable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25 productos. 1. etc.. En general.. es una variable aleatoria continua. 2. 1. 2. Si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad y X es una función de valor real definida sobre los elementos de S. 3.85. 1. x0.5 o 3. 1. entonces X se llama variable aleatoria. 1.80.. 4.25 productos defectuosos en el lote xVariable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos. x0. 2. que puede ser 1. Es cuando entre dos valores consecutivos puede haber infinitos valores. Variable aleatoria continua Variable aleatoria continua (x).40 alumnos aprobados en probabilidad Definición..48 por lo que es una variable aleatoria discreta.. 3.. Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores.Definición Es aquella que asume diferentes valores a consecuencia de los resultados de un experimento aleatorio. x0. sólo puede ser 0. 4.… dependiendo de la precisión de la medida. Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores.. x Variable que nos define el número de burbujas por envase de vidrio que son generadas en un proceso dado. 1. 3. 2. porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos.. Ejemplos: .…. 1. Ejemplo El número de hijos de una familia puede ser 0. 1. aleatoria. una variable aleatoria discreta x es el resultado de contar algo. etc.. 3. Si hay 100 empleados en una empresa. aleatoria. 100. 20. 5. 20. 20.96 xVariable que nos define la longitud de un cable o circuito utilizado en un arnés de auto x20. 12. 42. 5.99.0.5 cm. 19. 5.6.0.8gramos.01.3. 20. 19. 4.0.0.0.1. 21.0 xVariable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral x14. 18.8.8 .0. 10.xVariable que nos define el diámetro de un engrane en pulgadas x5.0. 4. 20.0.0”. 4. 15.0. 20.4.98. son treinta y seis posibles resultados es. Teorema Una función puede servir como la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta x si y sólo si sus valores f(x). por lo El suceso de que la suma es ocho contiene 5 resultados *( tanto la probabilidad deseadas es .2 3 1.2 2.3 6.3 4. donde la suma se extiende sobre todos los valores dentro de su dominio Ejemplo Lanzamos dos dados al aire.3 2.3 3.5 3. la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra.6 5. Dado Rojo Dado Verde 1 2 3 4 5 6 1 1. Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales. .6 6. -.4 6.5 )( 6 1.2 5.4 5. ( ) para cada x dentro Si X es una variable aleatoria discreta. Definición En teoría de la probabilidad y estadística.5 6.6 4. para cada valor dentro de su dominio b) ∑ ( ) .6 2. en una distribución de probabilidades.2 4.2 Distribuciones de probabilidad discretas Si se organiza un conjunto de valores posibles de una variable aleatoria discreta.1 2. El espacio muestral del experimento. Nos interesa encontrar las probabilidades tal como la probabilidad de que la suma de los puntos en los dados es menor que 8. cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.5 5.4 2.4 3.1 2 1.5 4.1 4.1 3. la función dada por ( ) del intervalo X.2 6. se llama distribución de probabilidad de X en el intervalo .6 3. por lógica la distribución se llama distribución de probabilidad discreta.2 3.4 4.6 )( )( )+. satisfacen las condiciones a) ( ) . la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución.5 2.1 5.3 4 1.4 )( 5 1. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria.3 5.3.1 6. Ejemplo Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidad del número total de caras obtenidas en cuatro lanzamientos de una moneda balanceada. . ) para cada x dentro del rango de la variable aleatoria X. ( ) Sustituimos los valores de x | | ( ) ( ) ( ) | | | | | | | | | | | | Todos los valores concuerdan con los mostrados en la tabla.Las probabilidades asociadas con todos los valores posibles de x son x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=x) x F(x) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Expresamos estos valores de probabilidad por medio de una función tal que sus valores f(x). sean iguales a ( Para el total de obtenido con un par de dados se pueden lograr estos resultados mediante una fórmula. encontramos que la fórmula para la distribución de probabilidad se puede escribir como ( ) Problema ( ) Verificar si la función dada por ( ) distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. puede servir como una ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Con estos resultados se satisface que ( ) Comprobamos que se cumple la segunda condición ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por lo tanto se cumple con la segunda condición. encontramos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Al observar que los numeradores de estas cinco fracciones 1. / . Ejercicio Verificar si la función ( ) es una función de probabilidad. / . 4. .Con base al ejercicio ya visto. 4. / . /. 1 son los coeficientes binomiales . 6. / . Los valores de la función se pueden representar en una gráfica como lo es el histograma. y en base a las probabilidades en la tabla. )( ) ) N = 50 n = 10 M = 20 X= 3 ( ) ( )( ( ) ) ( )( ( ) ) ( )( ) ( ) . Definición La media y la varianza de la distribución Hipergeométrica son ( ( Problema En una jaula hay 30 pericos rusos y 20 pericos chinos si extraemos 10 pericos al azar calcular posibilidad de que 3 de ellos hablen chino (característica deseada). en cuyo caso los ensayos no son independientes.3 Distribución de probabilidad Hipergeométrica Definición En teoría de la probabilidad la distribución Hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin remplazo. se tiene que la probabilidad de “x éxitos en n ensayos” es: ( )( ( ) Definición ) Una variable aleatoria x tiene una distribución Hipergeométrica y se conoce como variable aleatoria Hipergeométrica si y sólo si su distribución de probabilidad está dada por ( ) ( )( ( ) ) Así que para el muestreo sin remplazo el número de éxitos en n ensayos es una variable aleatoria que tiene una distribución Hipergeométrica con los parámetros n. Hay ( ) maneras de escoger x de los M éxitos y ( ) maneras de escoger de los fracasos. por lo tanto ( )( ) maneras de escoger x éxitos de los fracasos. Puesto que hay ( ) maneras de escoger n de los N elementos en el conjunto y suponemos que no todos son posibles. de los cuales M se consideran como éxitos y los otros como fracasos. Consideremos un conjunto de N elementos. Para obtener una fórmula análoga a la de la distribución Binomial que sea válida para el muestreo sin remplazo.3. En la binomial. estamos interesados en la probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos. Ahora escogemos sin remplazo n de los N elementos contenidos en el conjunto. N y M. A) 4 alumnos reprobados B) 3 mujeres reprobadas A) N = 38 n = 10 M = 19 x=4 B) N = 38 n = 10 M = 9 x = 3 Problema En un vagón de ferrocarril que acarrea a 60 reses el 20% de ellas están enfermas de vaca loca.Problema De los 20 hombres y 18 mujeres del salón el 50% réprobo el examen de estadística. si seleccionamos 20 aspirantes al azar ¿calcular la probabilidad de que 10 sean de Baja California? N = 60 n = 20 M = 12 x = 10 . si tomamos 10 alumnos al azar encontrar la probabilidad. si extraemos con propósito de inspección sanitaria una muestra del 10% de las reses ¿calcula la probabilidad de que hayan 2 vacas con dicha enfermedad? N = 60 n = 6 M = 12 x=2 Problema De 60 aspirantes a la UNIVERSIDAD 40 son de Baja California. Ambas distribuciones son discretas. de espacio. b. Ejemplo: 1) Unidad: un litro Ocurrencia eventual: haya bacterias de cólera.1. Proceso con distribución de Poisson: calcular el número de vehículos robados cada 24 horas. 2. Proceso con distribución de Poisson: calcular el número de bacterias por litro que hay en el agua de una delegación política. en física para calcular las partículas emitidas por una sustancia radiactiva. pero se considera por sí misma como un proceso de Poisson. en las instituciones de seguros para verificar el número de seguros. Ocurrencia eventual: Consumo de agua. se aplican en procesos físicos. En el proceso que se estudia se identifica una unidad que puede ser: de tiempo. 4) Unidad: Tinacos de agua con capacidad de 1000 litros. 3. Un problema que satisface las anteriores características se resuelve con la distribución de probabilidad de Poisson con la relación P x   Donde: x e   x! donde   np .3. Proceso con distribución de Poisson: la cantidad de tinacos de agua potable consumidos por las escuelas primarias de la ciudad. Características a.4 Distribución de probabilidad Poisson Se considera a la distribución de Poisson como una forma límite de la Binomial cuando n tiende a infinito. La VA puede tomar una cantidad infinita pero numerable de valores x  0. de volumen. etc. en biología para determinar el número de bacterias. 2) Unidad: 24 horas Ocurrencia eventual: robo de vehículos. 3) Unidad: una página de un libro Ocurrencia eventual: erratas detectadas en el libro Proceso con distribución de Poisson: las erratas por página en un libro de reciente publicación. entre otros: En la industria en el control de calidad. Se contabiliza un cierto número de ocurrencias eventuales para cada unidad c. ¿Cuál es la probabilidad de que 18 de 3000 personas que asistan al desfile sufran insolación? x  18   np  3000 0.093 5! e8   Problema La contaminación es un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico.02     8 p  0. rara vez se obtienen las probabilidades de Poisson por sustitución directa en la fórmula de la definición.005 P x   x e   x! 1518   0. x5   np  400 0.005     15 p  0. a.  letra (landa) del alfabeto griego es el parámetro que determina el valor de esta distribución En la práctica real. nos referimos a programas de computadora apropiados. El área de un disco bajo estudio es 100 cm 2. Problema Si la probabilidad es de 0. El uso de tablas o computadoras es de especial importancia cuando nos interesan probabilidades relacionadas con varios valores de x.1. como la tabla II.0706 18! e15   La probabilidad de que 18 de 3000 personas que asistan al desfile sufran insolación es del 7.El numero irracional e  2.005 de que una persona cualquiera que asista a un desfile en un día muy caluroso de verano.71828. pero más a menudo. use la distribución de Poisson a la distribución Binomial para determinar la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tendrán encuadernaciones defectuosas.02 P x   x e   x!  85  0. hoy en día. El número de partículas contaminantes que aparecen en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del medio de almacenamiento es 0. Encuentre la probabilidad de encontrar 12 partículas en el área del disco óptico .06% Problema Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa. Algunas veces nos referimos a las tablas de probabilidades de Poisson. x  12   np  100 0.001 P x   x e   x!  33  0. a. De exactamente 3 personas x3   np  3000 0.1    10 p  0. Calcula la probabilidad de que un total de 3000 pacientes sufran el malestar.1 P x   x e   x!  1012  0.54  105 12! e10   Si la probabilidad de que una persona sufra una reacción dañina al ingerir determinado antibiótico es de 0.001     3 p  0.2240 3! e3   b.001. Más de 2 presenten reacción dañina P0  30 1  3 3 0! e e   31 3 P1   3 3 1! e e   P2  32 9  3 3 2! e 2e   1 3 9  Px  2  1   3  3  3   0. Encuéntrese la probabilidad de que no haya partículas contaminantes en el área del disco P x   Problema x e   x!  100  4.751 e e 2e    Problema El número de camiones que llegan en un día cualquiera en un depósito de camiones en cierta ciudad es según se sabe 12. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día lleguen menos de 9 camiones a este depósito? Problema Si una distribución de Poisson es de .095 12! e10   b. Exactamente dos tendrán un neumático reventado Al consultar la tabla II. de 10000 autos que cruzan este puente.0.0019 Problema En una fábrica de ropa.039 . el 10% de las prendas producidas resultan con algún defecto. x4   np  2000 0.1 P x   x e   x!  P2  0.92 e  0. Cuando mucho dos tendrán un neumático reventado . Calcula la probabilidad de que en un lote de 9 prendas elegidas al azar salgan exactamente 2 defectuosas. P4 P0  0.1646 x e    P2  x! 2! Problema Los registros muestran que las probabilidad es de 0.4771 .001     2 p  0. P1.9 p  0. encontramos que para x2   np  10000 0.74 Px   x! Calcular P0.2671 . Use la distribución de Poisson para aproximar las probabilidades binomiales que. P3  0.001.00005 La probabilidad de Poisson es 0. P1  0. x3   np  90.00005     0.0758 b.1    0.56 x e 0. P4  0.5 p  0.001 P x   24 e  2  0. Calcula la probabilidad en un total de 2000 técnicos que 4 personas reciban exactamente este sueldo.1646 Problema La probabilidad de que un trabajador técnico en computación tenga un sueldo mayor a 10000 pesos mensuales es de 0. a. P3.00005 de que un automóvil se le reviente un neumático mientras cruza cierto puente.9 2!  0. 3033.3033  0.6065. y 0.0758  0.Al consultar la tabla II.0758. encontramos que para x  0.1.00005     0.00005 Las probabilidades de Poisson son 0.5 p  0. 0.9856 Propiedades de la distribución de Poisson La media u   La varianza  2   Desviación    . y 2   np  10000 0. Así la probabilidad de que cuando mucho dos de los 10000 autos que cruzan el puente tendrán un neumático reventado es 0.6065  0. debido a que la exactitud de los instrumentos de medición siempre es relativa y muy lejana a la "exactitud" de los cálculos matemáticos.5 Distribuciones de probabilidad continuas Definición Una función con valores f x  . la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero... Características: Es generada por una variable continua (x). Dicho de otra forma. entonces no importa qué tan grande sea la densidad de tal intervalo porque. Hay que estar conscientes de que en el caso de las variables continuas sólo se puede calcular la probabilidad de que un evento caiga dentro de un intervalo. f  x   0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero.. por ser variable continua la amplitud del intervalo tiende a cero y. Una función de densidad de una VAC X a la función propiedades. la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor exacto es nula: P x  a    f  x  dx  0 a a Esto se puede explicar de la siguiente manera: si. Por esto. definida sobre el conjunto de todos los números reales. la probabilidad es igual a cero. por tanto. se llama función de densidad de probabilidad de la VAC X si y sólo si Pa  x  b    f  x  dx b a Para cualquiera constantes a y b con a b Donde f(x) es la función de densidad de la distribución probabilística correspondiente. Es la probabilidad de que x tome un valor entre a y b es igual al área que encierra f x  con el eje x entre los valores a y b.. como ya dijimos. . . f x  que verifica las siguientes Definición Una función puede servir como una densidad de probabilidad de una VAC X si sus valores f x  satisfacen las condiciones: 1. La función de densidad de probabilidad sólo puede estar definida en los cuadrantes I y II. la probabilidad (frecuencia relativa) es igual a la densidad del intervalo por la amplitud del intervalo.3. como ya también se dijo. denotada por v x  o  2 Desviación estándar es 2   Ejemplo: x   2 f x  dx   1 2  x para 0  x  3 Para la siguiente función. denotada por E  x  o  es  E x      x f x  dx  Donde:  = E(x) = media o valor esperado de la distribución x = variable aleatoria continua f(x) = función de densidad de la distribución de probabilidad La varianza de X. Definición Supóngase que X es una VAC con una función de densidad de probabilidad f x  para   x   La media de X.2. El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1. Cálculo de media y varianza para una distribución continua Media o valor esperado de x. determine su media y desviación estándar. es necesario que cumpla con las características que se habían mencionado. f x    9 0 dof  a) Diga si esta función nos define una distribución de probabilidad. x  sí es una variable continua porque puede tomar cualquier valor entre 0 y 3 . c) Determine la probabilidad de que 1  x  2 . Solución: Para verificar que la función nos define una distribución de probabilidad.    f  x  dx La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1. b) Si la función define una distribución de probabilidad. entonces. .21778 1. dándonos cuenta de que efectivamente f(x) solo toma valores mayores o iguales a cero. Cálculo de media y desviación estándar.7 3 0. La barra nos indica la evaluación de la integral de 1 a 2.4 2. 1 2 x 9 sí nos define una Las barras nos indican la evaluación de la integral entre 0 y 3. lo que se comprueba si damos diferentes valores a x para ver que valores toma f(x).1111 1.49 0.49 0.5 f x  0 0. x 0 0.81 1 Para comprobar que la sumatoria de las probabilidades que toma cada valor de x es de 1.02778 1 0.5 0.f  x   0 .1 2. se integra la función de 0 a 3 como se muestra a continuación: A= área bajo la función Con las operaciones anteriores comprobamos que la función distribución de probabilidad continua. esto se comprueba de la siguiente manera: . que tiene la función de densidad de probabilidad: o x2  f x    3 0     para  1  x  2 dof 0 Verifique la condición ∫ ( ) la definición de una distribución de probabilidad continua. Encuentre la probabilidad de que Solución: Como la tercera condición es que la sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe de ser 1. Determine la media o valor esperado de la distribución de probabilidad ∫ ( ) . Ejemplo Suponga que el error en la temperatura de reacción. que vendría siendo el área que se encuentra entre f(x) y el eje de las x y entre el rango de valores definidos por la variable x. es necesario evaluar la función de densidad de probabilidad en el rango de valores que se desea. para un experimento controlado de laboratorio es una variable aleatoria continua x. en C.Con las operaciones anteriores nos damos cuenta que para evaluar probabilidades para variables de tipo continuo. . . A medida que v aumenta.6 Distribución t En el uso de la distribución z su uso era para muestras n  30 . x 2 . por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl   Def. Donde se hará uso y manejo del concepto de grados de libertad. 2. la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar. En muestras pequeñas n  30 siempre y cuando la distribución de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal. Es una condición importante para utilizar las distribuciones t  Student. está más dispersa que la curva normal estándar z. entonces la distribución z   y observaciones que contiene la muestra es una distribución normal estándar. F  Fisher. A medida que v    . Cada curva t. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0. . Sean media variables aleatorias independientes que son todas normales con y desviación estándar  . esto con base en la varianza muestral s2   x i x  2 n 1 Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media varianza  2 .3. Si X es el promedio de las aleatoria. Propiedades de las distribuciones t 1. la dispersión de la curva t correspondiente disminuye. 3. Entonces la variable aleatoria ⁄ √ tiene una distribución t con v  n  1 grados de libertad. x  n Supóngase que la varianza de la población  2 es desconocida. 1    0.05.975 Problema Encontrar ( ) Problema Encontrar ( ) Problema Un fabricante de focos afirma que us producto durará un promedio de 500 horas de trabajo.La distribución t difiere de la de Z en que la varianza de t depende del tamaño de la muestra y siempre es mayor a uno. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?: .025 a la izquierda y por lo tanto un área de 0.0975 a la derecha es. Únicamente cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las mismas. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes.05 y t 0. Si el valor y calculado cae entre –t 0. Problema El valor de t con 10 gl y un área de 0. él se encuentra satisfecho con esta afirmación.025 a la derecha es: Problema El valor de t con 14 gl tiene un área de 0. el número de observaciones menos uno . ósea.“Grados de libertad” Esté se define como el número de valores que podemos elegir libremente. 05. Definición Si X y S son la media y la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con la media  y la desviación estándar  .v     donde X2  n  1S 2 2 donde n es el tamaño de la muestra. la media de una distribución X 2 es n-1 y la varianza es 2 (n-1). Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha. 5. El valor modal de una distribución X 2 se da en el valor (n-3). Las distribuciones X 2 no son simétricas. entonces   2 X y S 2 son independientes La variable aleatoria de libertad. se obtendrá la distribución muestral de varianzas. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1. Los valores de X 2 son mayores o iguales que 0. hay un número infinito de distribuciones X 2 . O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza. están sesgadas a la derecha.v . 4. Por ejemplo para encontrar X 2 0. 3.3. Para denotar el valor crítico de una distribución X 2 con gl grados de libertad se usa el símbolo X 2  . 2. s2 la varianza muestral y  2 la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. La forma de una distribución X 2 depende del gl  n  1 . Cuando n  2 . 6. . El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión: X   x n i 1 i x  2 2 Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada 1. En consecuencia. esto es.05 a o largo del lado superior de la misma tabla.7 Distribución Chi-cuadrada En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de S 2 . n  1 S 2 2 tiene la distribución ji-cuadrada con n-1 grados El estadístico ji-cuadrada esta dado por: P x 2  x 2  . este valor crítico determina a su derecha un área de  bajo la curva X 2 y sobre el eje horizontal. 6 en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y   0. En 2 consecuencia. Entre 3. tenga una varianza muestral: a.745 a.1 b. el valor de la probabilidad es P s  2 . Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s 2  2 como sigue: El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0. de una población normal con varianza  2  6 . Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos.462 y 10. encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2. Problema Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar   1 minuto.Cálculo de Probabilidad El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal. Mayor que 9.   Problema Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada: .01. Por lo que la P s 9.1  0. que los valores de las muestras se pueden tratar como si provinieran de una población normal.05.462   13 .Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la 2 derecha de 0. Al buscar el valor de 13. tenga una varianza s 2  9.98 da un área a la derecha de 0.462  s  10 .745  0. es importante que las distintas piezas de cristal de esta clase se rechaza si la varianza muestral de 18 piezas seleccionadas al azar excede a 2  10 4 . Para convertir el cristal en lentes de una longitud focal dada.01 quedando 0. 2 Por lo tanto la P 3.1 .94. El valor de 42. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.94   Problema Una compañía óptica compra cristales para fabricar lentes y experiencias anteriores han demostrado que la varianza del índice de refracción de esta clase de cristal es 1.95 menos 0. además.745  42.847 6 y x2  25  110.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. Problema Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 23 observaciones de una población normal con varianza igual a 2.98 6 Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad.05   Se calcularán dos valores de ji-cuadrada: x2  n  1 s 2  2  25  13. Suponiendo.01.26  10 4 .4495. 8 Distribución F .3. 9 Esperanza matemática.3. . obtenga a) La distribución de probabilidad de x b) La función de distribución de x c) Trace un histograma de la distribución de probabilidad y una gráfica de la función de distribución. Encuentre la media  x y varianza  x de la variable aleatoria discreta x. de los cuales dos están defectuosos.4 . 2. 3.2.Proyecto 1.1.2.5 . 5.2.4. b.2. Dada la fórmula de distribución de probabilidad.4 16 Obtenga: a.3.5 .3.3. Construya el histograma correspondiente. Obtenga el valor esperado y la varianza de la VAD X que tiene la distribución de probabilidad f ( x)  x2 7 para x  1.0. Una grabadora de cinta contiene seis transistores. para f ( x)    6    3   encuentre la media y varianza para esta función.4. Si se seleccionan al azar dos de estos transistores extraídos de la grabadora e inspeccionados y si x es el número de unidades defectuosas observadas.3  4    x 4.1.1. La función de distribución. 15 f ( x)  x2 para x  0.3. 5 x f ( x)  para x  1.4 5 pueden servir como una distribución de probabilidad. Si en general fallece el 30 % de los pacientes que padecen cierta enfermedad ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 5 mueran exactamente 2? .3.2. 6.1. Construya un histograma de probabilidad para la función  2  4     x  3  x    . f ( x)    para x  0. Determine si las funciones x2 para x  1. 30 f ( x)  ( ) y f ( x)  x2 para x  0. capaces de desempeñar trabajos a nivel universitario. Si la probabilidad de que una persona sufra una reacción dañina al ingerir un determinado antibiótico es de 0. asisten en realidad a la universidad. Un ingeniero en seguridad de automóviles afirma que uno de 10 accidentes automovilísticos se debe a la fatiga del conductor. Suponiendo verdadera esta afirmación obtenga las probabilidades de: a) Exactamente 10 asistan a la universidad b) Cuando menos 15 vayan a la universidad c) Cuando mucho cuatro vayan a la universidad 9. ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante finalmente pase la prueba en el cuarto ensayo? . Si la probabilidad es 0.01. Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa.7. b) Ninguna defectuosa. Calcula la prob. 10. La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0. 11. Utilizando la fórmula de la distribución binomial ¿Cuál es la probabilidad de que cuando menos de tres de cinco accidentes de automóvil se debe a la fatiga del conductor? 8. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar exactamente 125 muestras antes de detectar una molécula rara? 12. se ha observado que la probabilidad de que una puerta resulte defectuosa es de 5%.75 de que el solicitante de una licencia de manejo pasará la prueba de manejo en un ensayo dado. Un psicólogo asevera que sólo el 50% de todos los alumnos del último año de preparatoria. En la fabricación de las puertas de automóviles. use la dist.001. 13. El 30% de las piezas de televisión que fabrica una maquinaria recientemente reparada son defectuosas. 14. calcula la probabilidad de que en 8 piezas elegidas al azar se obtenga: a) Una pieza defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil elegido al azar tenga a lo más tres puertas defectuosas? Se supone que el modelo del automóvil tiene 5 puertas. De que de un total de 3000 pacientes sufran el malestar. de Poisson para determinar la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tendrán encuadernación defectuosa. Si se supone que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara. 8. En una fábrica de ropa.6 21.9 b) Este entre 50. c.3 c) Sea menor que 50. el 10% de las prendas producidas resultan con algún defecto. Use la distribución de Poisson para aproximar las probabilidades binomiales que. Se sabe que la resistencia a la ruptura de cierto tipo de cuerda se distribuye normalmente con media de 2000 libras y una varianza de . La distribución de la resistencia es normal. 17. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra: a) Exceda a 52. Exactamente dos tendrán un neumático reventado d.8 se toma una muestra al azar de tamaño 64.00005 de que un automóvil se le reviente un neumático mientras cruza cierto puente. La probabilidad de que un trabajador técnico en computación tenga un sueldo mayor a 10000 pesos mensuales es de 0. 23. Cuando mucho dos tendrán un neumático reventado 20. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día lleguen menos de 9 camiones a este depósito? 18. De una población normal con media 51.001. Los registros muestran que la probabilidad es de 0. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 100 de una población infinita con media 75 y varianza 256.15. Una compañía fabrica resistores que tienen una resistencia promedio de y una desviación estándar de . El número de camiones que llegan en un día cualquiera en un depósito de camiones en cierta ciudad es según se sabe 12. Encuentre la probabilidad de que 7 de 10 personas se recuperaran de una enfermedad tropical si podemos suponer independencia y la probabilidad de que cualquiera de ellos se recuperara de la enfermedad es de 0. 16. ¿con que probabilidad podemos afirmar que el valor de caerá entre 67 y 83? 22. Calcula la probabilidad en un total de 2000 técnicos que 4 personas reciban exactamente este sueldo. Calcula la probabilidad en base a la distribución de Poisson de que en un lote de 9 prendas elegidas al azar salgan exactamente dos defectuosas.4 y desviación estándar 6. encuéntrese la probabilidad de que al tomar una muestra de 30 resistores la resistencia promedio de estos será menor que . 19.5 y 52. determine la probabilidad de que en esta muestra: . de 10000 autos que cruzan este puente. Si se selecciona una MA de 100 cuerdas. 2 y una varianza de 2. Una MA de tamaño 81 se toma de una población infinita con la media 128 y la desviación estándar 6. Será menor que 50.5 pero mas de 3. Se toma una muestra aleatoria de 30 y se calcula la media muestral .5 y 52. 6.56. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 40 focos se fundan entre 778 y 834 hrs.5 min c) Menos de 4. y una desviación estándar de 40 hrs. 18. El precio medio de ventas de casa nuevas en una ciudad americana es de $115 000 con una desviación típica de $25 000. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 40 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.6 y 129. 20 y 9. encuentre la probabilidad de que el tiempo promedio de los mismos con el cajero sea a) Cuando mucho 3. a. Si se observa una MA de 74 clientes. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 64 de una población normal con . Encuentre la media y la varianza de la varianza de la población finita que consiste de los 10 números 15. Los parvulitos de un jardín de niños tienen estaturas que están distribuidas de manera normal con respecto a una media de 39 pulgadas y una desviación estándar de 2 pulgadas.5 y 40 pulgadas? 29.6? 26.4? . Caerá entre 50. de uso. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta sea menor de $110 000? 25. 10. Excederá 52. El tiempo que un cajero de un banco atiende a un cliente es una variable aleatoria con media 4. 21.9 b.7 min b) A lo menos 4. 30. 11. 163. ¿con que probabilidad podemos afirmar que el valor que obtenemos para no caerá entre 126. 27.a) La resistencia media encontrada sea de por lo menos 1958 lbs. b) La resistencia media sea de 2080 lbs.3. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra a. Una compañía fabrica focos cuya duración es normalmente distribuida con una media igual a 800 hrs. 24. Se toma una muestra aleatoria de 100 casas nuevas de esta ciudad.4 min 28.3 c. 7. ¿Cuál es la probabilidad de que este valor medio esté entre 38. Para mantener un control sobre el proceso. Un fabricante de baterías para automóvil garantiza que sus baterías durarán en promedio.745 35.1 Entre 3.05 en cada cola. de una población normal con varianza . 3 años.9.5. Para convertir el cristal en lentes de una longitud focal dada. Una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población normal que tiene la media y la desviación estándar .462 y 10.4. tenga una varianza muestral:   Mayor que 9. es importante que las distintas piezas de cristal de esta clase se rechaza si la varianza muestral de 18 piezas seleccionadas al azar excede a . ¿Qué se puede concluir sobre el proceso si la desviación estándar de una MA periódica tal es milésimas de pulgadas? 34. periódicamente se toman MA de tamaño 20 y se considera que esta bajo control si la probabilidad de asume un valor que. Una compañía óptica compra cristales para fabricar lentes y experiencias anteriores han demostrado que la varianza del índice de refracción de esta clase de cristal es . o igual. al observado de la MA es 0.025 en cada cola. Supongamos que el espesor de una parte usada en un semiconductor es su dimensión crítica y el proceso de fabricar estas partes se considera que esta bajo control si la varianza real entre espesor de las partes está dada por una desviación estándar no mayor que 0. Una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población normal que tiene la media x  47 y la desviación estándar s  7 .4495.31. tenga una varianza s 2  9.2 años. además. Si 5 de estas baterías tienen duraciones de 1. Encuentre los valores críticos de x que determinan regiones críticas que contienen un área de 0. Suponiendo.60 milésimas de pulgada. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 23 observaciones de una población normal con varianza igual a 2. Suponga que el tamaño de la muestra es 10. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones. 2. que los valores de las muestras se pueden tratar como si provinieran de una población normal. 32. Si basamos nuestra decisión en la estadística del teorema visto ¿podemos decir que la afirmación dada sustenta la conjetura de que la media de la población es ? 33. Si basamos nuestra decisión en 2 . ¿Está el fabricante convencido aún de que sus baterías tienen una desviación estándar de 1 año? 38. y 4.01 (aun cuando ).1 2 36. 39. 37. si tiene una muestra de 11. con una desviación estándar de 1 año. 3. Encuentre los valores críticos de x que determinan un área de 0. la estadística del teorema visto ¿podemos decir que la afirmación dada 40. Para una muestra de 17 y con   0.01encuentre el área a la derecha de 0.01 2 41. Dada una muestra de 30 encontrar la probabilidad de que x caiga entre 14.953 y 50.892. sustenta la conjetura de que la media de la población es   42 ? 42. Se toma una muestra de 27 observaciones de una población normal con varianza de 16.8, hallar la probabilidad aproximada de obtener una desviación estándar de la muestra entre 3 y 5.2. 43. Encuentre la probabilidad de  t 0.025  t  t 0.05 44. Encontrar Pt  2.365  cuando v  7 45. Encontrar Pt  1.318  cuando v  24 46. Encuentre k tal que Pk  t  1.761   0.045 , para una muestra aleatoria de tamaño 15 que se selecciona de una distribución normal. 47. Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal. 48. Un fabricante de alambre de acero asegura que la fuerza media requerida para romper una clase de alambre dada es de 500 lbs. Para probar esto, se toma una muestra de 25 partes de este tipo de alambre y se somete a tracción, la media y desviación estándar de las fuerzas para romper estas muestras son se puedan considerar como una MA de una población normal con   500 49. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 hrs. de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada respectivamente, x  465 y s  55 lbs Suponiendo que los esfuerzos de rotura 0.05 0.05 mes. Si el valor de t calculado cae entre el se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá el sacar de una t yt , muestra que tiene una media x  518 hrs y una desviación estándar de 40 hrs. Asuma que la distribución de los tiempos de vida es aproximadamente normal. 50. Una MA de tamaño 16 proveniente de una población normal tiene una media de 48 y desviación estándar de 5.2. Basándose en la decisión del estadístico t, decir si es razonable indicar que esta información justifica la afirmación de que la media de la población es como mínimo 52. 1. Sea X una variable aleatoria continua que tiene la siguiente función de densidad:  3x 2 para 0  x  2 c  f x    8 0 dof     El valor de c para que f(x) sea una función de densidad. Calcular: P(1  x  1.5) Calcular: P(x > 1). 2. Sea X una variable aleatoria continua que mide el avance entre dos automóviles consecutivos elegidos al azar en segundos, su función de distribución del tiempo de avance presenta la forma: k  f x    x 4 0      para 0  x  2 para x 1 Determinar el valor de k para que f(x) sea una función de densidad legítima. Obtener la función de distribución acumulada. Calcular: P(X > 2) y P(2 <. X <. 3). Obtener el valor medio y la desviación estándar del avance. 3. Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una función densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de la función de distribución acumulada correspondiente. a. b. , , 2 4. Determine  y  para una variable aleatoria continua que tiene la densidad de probabilidad; x 5. Demuestre que f  x   e x  f x    2 0     para 0  x  2 dof para 0  x   Representa una función de densidad de probabilidad Bosqueje una gráfica de esta función e indique el área asociada con la probabilidad que x  1 Calcule la probabilidad de que x  1 6. Para la siguiente función, 1 2  x para 0  x  3 f x    9 0 dof   Diga si esta función nos define una distribución de probabilidad.   Si la función define una distribución de probabilidad, entonces, determine su media y desviación estándar. Determine la probabilidad de que 2  x  3 . 7. Suponga que el error en la temperatura de reacción, en oC, para un experimento controlado de laboratorio es una variable aleatoria continua x, que tiene la función de densidad de probabilidad:  x3  f x    3 0   para  1  x  2 dof Verifique si esta función nos define una distribución de probabilidad. Determine la media o valor esperado de la distribución de probabilidad. Encuentre la probabilidad de que 0  x  1 . 8. El salario medio de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media 5 millones de ptas. y desviación típica 1 millón de ptas. Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de ptas. 9. La renta media de los habitantes de un país es de 4 millones de ptas/año, con una varianza de 1,5. Se supone que se distribuye según una distribución normal. Calcular: a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de ptas. b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos. c) Ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de la población con renta media. 10. La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes: a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años? b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años? 11. El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de un país es de 59 litros, con una varianza de 36. Se supone que se distribuye según una distribución normal. a) Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de cerveza tendría que beber al año para pertenecer al 5% de la población que más bebe? b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de borracho ¿qué podría argumentar en su defensa? 12. Si Z es una VA con una distribución normal estándar, determine las probabilidades de que esta variable tenga un valor. a) Mayor que 1.14 b) Menor que -0.36 c) Entre -0.46 y -0.09 d) Entre -0.58 y 1.12 e) Entre 0 y 1.28 f) Entre -3.20 y 0 g) A la izquierda de -1.35 h) El área entre -1.5 y 2.1 i) Entre 0.7 y 2.1 13. En un proceso fotográfico, el tiempo de revelado de impresiones se puede considerar como una VA que tiene distribución normal con media 15.40 seg. y Desviación estándar de 0.48 seg. Encuentre las probabilidades de que el tiempo que toma revelar una de las impresiones será a) Al menos 16 seg b) Cuando mucho 14.20 seg c) Cualquier valor entre 15 y 15.80 seg 14. Supongamos que la cantidad de café instantáneo que una máquina sirve en un frasco de 6 onzas es una VA que tiene distribución normal con desviación estándar 0. 05 onzas. Si sòlo el 3% de los frascos deben contener menos de 6 onzas de café, ¿Cuál debe ser la media del llenado de estos frascos.? 1. El espacio muestral S de la población de adultos en un pequeño pueblo que han satisfecho los requisitos para graduarse en la escuela. Se deben clasificar de acuerdo con el sexo y si trabajan o no actualmente. Empleado Hombre 460 Mujer 140 Total 600 Desempleado 40 260 300 Total 500 400 900 Basados en el espacio muestral anterior definir: a. b. c. d. La probabilidad de que sea empleado La probabilidad de que sea empleado La probabilidad de que sea hombre y al mismo tiempo sea desempleado Encuentre la probabilidad de que se escoge un hombre dado que el elegido tiene empleo 2. Lanzamos un dado. Decir los sucesos contrarios de: a. A  sacar puntuación par b. B  sacar menos o igual que tres c. C  sacar numero primo) a. G es el evento que el primer aspirante entrevistado sea un egresado de la universidad y T es el evento de que el primer aspirante entrevistado tenga al menos años de experiencia. 6. Si se seleccionan 2 al azar y se sacan de la caja en sucesión sin reemplazo del primero. Algunos son egresados de la universidad y algunos no. Si se lanza una moneda tres veces y se supone que los resultados posibles son igualmente probables. Los eventos B y C son dependientes 5. PT / G  c. La persona tiene 40 años o más ¿Son los sucesos mutuamente excluyentes o no? . PG  7. a. B es el evento que una cruz ocurra en el tercer lanzamiento y C es el evento que exactamente dos cruces ocurren en los tres lanzamientos. Verifique que A y B son independientes. determine cada una de las siguientes probabilidades. el análisis exacto es. B. Los eventos A y B son independientes b. PG / T  Experimento aleatorio: se observa la escolaridad de las personas de 20 a 60 años de edad de una comunidad. b. La persona es ingeniero K. que B y C son independientes pero que A. demuestre que. La persona es analfabeta L. de las cuales 5 están defectuosas. Consideremos los siguientes sucesos. Supóngase que se tiene una caja de fusible que contienen 20 piezas. Egresados No egresados Al menos tres años de experiencia 18 9 Menos de tres años de experiencia 36 27 El orden en que el gerente de la estación entrevista a los aspirantes es aleatorio.3. con probabilidades asignadas a sus diversas regiones. Hay 90 aspirantes para un trabajo en el departamento de noticias de una estación de tv. Una persona tiene menos de 40 años J. I. algunos de ellos tienen al menos tres años de experiencia y algunos no la tienen. Si A es el evento de que una cara ocurra en cada uno de los dos primeros lanzamientos. La siguiente figura es un diagrama de Venn. y C no son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos fusibles resulten defectuosos? 4. (40 son mujeres y 20 hombres) son de tiempo parcial. Estudiante seleccionado de tiempo parcial F. Consideremos los casos siguientes: A: La persona es diabética B: La persona está sana C: La persona tiene un problema de salud permanente. D. Estudiante seleccionado de tiempo completo E. En un grupo de 200 estudiantes (80 mujeres y 60 hombres). tiene una enfermedad crónica. Buen servicio garantía En por operación 16 4 20 de Mal servicio garantía de 10 años o más En operación Menos de 10 . D: La persona tiene gripa E: La persona es hipertensa e) f) g) h) ¿Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes o no? ¿Si C  E   son mutuamente excluyentes o no? ¿Qué sucede con los sucesos B y C? ¿Cómo son los sucesos C y D? 10. Experimento: un estudiante es seleccionado al azar. e) Defina si los sucesos B y C son mutuamente excluyentes o no 9. Se analiza en un momento dedo el estado de salud de los habitantes de la ciudad. Estudiante seleccionado sea hombre c) Defina si los sucesos A y B son mutuamente excluyentes o no. B  C. d) Defina si los sucesos A y C son mutuamente excluyentes o no. A D 8. Una organización de los consumidores ha estudiado los servicios con garantía proporcionados por las 50 agencias de automóviles nuevos en una cierta ciudad en la tabla siguiente se resumen sus hallazgos. 140 en total son alumnos de tiempo completo y otro de 60. B  D. para esto se definen tres sucesos.A  C. por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos. 25 bolas sin marcar. Eléctricos 3 2 5 Mecánicos 8 3 11 Chapa 3 1 4 Total 14 6 20 Mañana Tarde Total Calcular. como se expresa en el cuadro siguiente: . ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una que proporciona buen servicio de garantía? f) Si una persona selecciona una de las agencias que han operado 10 años o más. ¿Cuántos de estos estudiantes no están inscritos en uno u otro curso?  Trace un diagrama de Venn apropiado y anote los números asociados con las diversas regiones. En un grupo de 200 estudiantes universitarios 138 están inscritos en un curso de Ingles 115 en uno de mecánica y 91 en ambos. En una caja hay 100 canicas azules y 300 rojas. 13. 15. Una urna contiene 75 bolas blancas marcadas. Calcular la probabilidad que sea blanca. c) Se saca una bola al azar. 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapas y por la tarde 2 con problemas eléctricos. 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa. 11. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una canica azul? Exprese el resultado en tanto por ciento. ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una agencia que proporcione buen servicio de garantía? G: Denota la selección de la agencia que proporciona buen servicio de garantía. Calcular la probabilidad que sea blanca.años Total 10 26 20 24 30 50 e) Si una persona selecciona aleatoriamente una de estas agencias de automóviles nuevos. 175 bolas negras marcadas y 125 bolas negras sin marcar. d) Se extrae una bola y está marcada. además algunas de ellas son nuevas (N) y otras usadas (U). En la oficina del subdirector de la escuela hay 12 calculadoras. Un taller sabe que por término medio acuden. P(A). P(C) . otras eléctricas (E). así como la probabilidad de que acuda por la mañana dado que tiene problemas eléctricos 14. P(B). algunas son manuales (M). 12. S: Denota el número de elementos en el espacio muestral completo. c   2. calcular la probabilidad de que los tres se encuentren en buen estado. U   . 3. si se toman al azar 3 artículos del lote. 1 1 1 a ) B  A b) C  B c ) B  C d ) B  A e) A c 17. Si se selecciona un alumno al azar: d) Si reprobó física. 4 son defectuosas. 4. Si se escoge al azar un alumno: b) Si mide más de 1. el primero con 12 personas y el segundo con 16. Empleando diagramas de Venn y con la definición de conjuntos encontrar el conjunto solución para cada uno de los casos que se dan a continuación. 6. 3. uno de clásica y otro de música de salón.50 m y más de 52 kilos. Una orquesta de 30 músicos deciden formar dos grupos musicales. . el 25% pesa más de 52 kilos y el 15% mide más de 1. 5. ¿Cuáles la probabilidad de que haya reprobado física? f) ¿Cuál es la probabilidad de que haya reprobado física o matemáticas? 20.M E N 2 U 2 4 3 5 8 5 7 12 c) Una persona entra a la oficina y escoge aleatoriamente una calculadora y observa que es manual. En una escuela de enseñanza media superior. 19. 7. 3. 4. 2. 5. el 25% física y el 5% ambas materias. De un lote de 15 camisas. si tres de los músicos pertenecen a los dos grupos ¿Cuántos miembros de la orquesta original decidieron no pertenecer a ningún grupo? 18. calcular la probabilidad de que también pese más de 52 kg. 7. 5. A   .50 m. ¿Cuál es la probabilidad de que sea nueva? d) Si la persona escoge una al azar una eléctrica. 5. ¿Cuál es la probabilidad que haya reprobado matemáticas? e) Si reprobó matemáticas. En una escuela de enseñanza media superior de la población de alumnos el 40% mide más de 1. B   . 2. uno tras otro. 6. ¿Cuál es la probabilidad de que sea usada? 16.50 m. el 20% de los alumnos reprobaron matemáticas. 7. de uso.21. 6. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia posea cualquiera de los dos o ambas clases? 22.24. Si basamos nuestra decisión en la estadística del teorema visto ¿podemos decir que la afirmación dada sustenta la conjetura de que la media de la población es   42 ? . las probabilidades son 0. las probabilidades son 0.23 y 0.3.4? 5. y una desviación estándar de 40 hrs.29 de que una familia tenga un aparato de tv a color.4 min 2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 40 focos se fundan entre 778 y 834 hrs.38 de que un camión parado en un retén tendrá frenos defectuosos y neumáticos muy gastados. un aparato de tv en blanco y negro. El tiempo que un cajero de un banco atiende a un cliente es una variable aleatoria con media 4. 4. de que un camión parado en un retén tendrá frenos defectuosos o neumáticos muy gastados. ¿Cuál es la probabilidad de que un camión parado en este retén tendrá los frenos defectuosos así como los neumáticos muy gastados? 1.5 min f) Menos de 4. En una zona de una ciudad grande. es importante que las distintas piezas de cristal de esta clase se rechaza si la varianza muestral de 18 piezas seleccionadas al azar excede a 2  10 4 .5 y 40 pulgadas? 3.56. la probabilidad es 0. encuentre la probabilidad de que el tiempo promedio de los mismos con el cajero sea d) Cuando mucho 3. Una compañía fabrica focos cuya duración es normalmente distribuida con una media igual a 800 hrs.35. Una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población normal que tiene la media x  47 y la desviación estándar s  7 . y 0.2 y una varianza de 2.5 pero más de 3.6 y 129. Para convertir el cristal en lentes de una longitud focal dada. También. que los valores de las muestras se pueden tratar como si provinieran de una población normal. Suponiendo. además. Si se observa una MA de 74 clientes.86. ¿con que probabilidad podemos afirmar que el valor que obtenemos para x no caerá entre 126. Una MA de tamaño 81 se toma de una población infinita con la media 128 y la desviación estándar 6.7 min e) A lo menos 4. o ambas clases de aparatos respectivamente. Una compañía óptica compra cristales para fabricar lentes y experiencias anteriores han demostrado que la varianza del índice de refracción de esta clase de cristal es 1. 0. Se toma una muestra aleatoria de 30 y se calcula la media muestral x .26  10 4 . Cerca de cierta salida de la carretera. ¿Cuál es la probabilidad de que este valor medio esté entre 38. Los parvulitos de un jardín de niños tienen estaturas que están distribuidas de manera normal con respecto a una media de 39 pulgadas y una desviación estándar de 2 pulgadas. ¿Qué conclusión deberá el sacar de una muestra que tiene una media x  518 hrs y una desviación estándar de 40 hrs.318  cuando v  24 15. Suponga que el tamaño de la muestra es 10.4.2 años.7. ¿Qué se puede concluir sobre el proceso si la desviación estándar de una MA periódica tal es s  0. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes.05 . 12. Encuentre los valores críticos de x 2 que determinan regiones críticas que contienen un área de 0.01 (aún cuando   0. Un fabricante de alambre de acero asegura que la fuerza media requerida para romper una clase de alambre dada es de 500 lbs. se toma una muestra de 25 partes de este tipo de alambre y se somete a tracción. al observado de la MA es 0.2.05 y t 0. 10. Supongamos que el espesor de una parte usada en un semiconductor es su dimensión crítica y el proceso de fabricar estas partes se considera que esta bajo control si la varianza real entre espesor de las partes esta dada por una desviación estándar no mayor que 0. . Si 5 de estas baterías tienen duraciones de 1. x  465 y s  55 lbs Suponiendo que los esfuerzos de rotura se puedan considerar como una MA de una población normal con   500 16. Si basamos nuestra decisión en la estadística del teorema visto ¿podemos decir que la afirmación dada sustenta la conjetura de que la media de la población es   42 ? 11. con una desviación estándar de 1 año. la media y desviación estándar de las fuerzas para romper estas muestras son respectivamente.953 y 50.60 milésimas de pulgada.84 milésimas de pulgadas? 8. ¿Está el fabricante convencido aún de que sus baterías tienen una desviación estándar de 1 año? 9.5. hallar la probabilidad aproximada de obtener una desviación estándar de la muestra entre 3 y 5. Se toma una muestra de 27 observaciones de una población normal con varianza de 16.60 ).892. 3 años.8.9. Encontrar Pt  1. Si el valor de t calculado cae entre  t 0. el se encuentra satisfecho con esta afirmación. Una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población normal que tiene la media x  47 y la desviación estándar s  7 .2. Para mantener un control sobre el proceso. Un fabricante de baterías para automóvil garantiza que sus baterías durarán en promedio. Encontrar Pt  2. Una MA de tamaño 16 proveniente de una población normal tiene una media de 48 y desviación estándar de 5. o igual. 17.365  cuando v  7 14. y 4. Dada una muestra de 30 encontrar la probabilidad de que x 2 caiga entre 14. 13. Asuma que la distribución de los tiempos de vida es aproximadamente normal. 3.025 en cada cola. Para probar esto. de trabajo. periódicamente se toman MA de tamaño 20 y se considera que esta bajo control si la probabilidad de s 2 asume un valor que. 2. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 hrs. Basándose en la decisión del estadístico t. .decir si es razonable indicar que esta información justifica la afirmación de que la media de la población es como mínimo 52.   Teoría de la muestra Estimación de parámetros 4.  .2 Muestreo estadístico Uno de los propósitos de la estadística inferencial es estimar las características poblacionales desconocidas. e incluye. El estudio de una población tomando como base las muestras se llama estadística inferencial o inductiva. evitando realizar pruebas de auditoría sobre una cantidad mayor de elementos. con base en la información que se obtiene de una muestra. la cual debe ser representativa de la población objeto de estudio. La estimación de las características de la población debe hacerse de acuerdo a las leyes de la estadística. entre ellas las siguientes:   Permite seleccionar de antemano el nivel de confianza de la prueba. de una población.1 Inferencia estadística La estadística inferencial se define como la rama de la estadística que proporciona técnicas o procedimientos para analizar. La selección aleatoria impide que los prejuicios o preferencias del auditor favorezcan la selección de algunos elementos de la población en desmedro de otros. Una aplicación de muestreo que no cumpla con alguno de estos tres requisitos se considera muestreo no estadístico. Permite limitar el tamaño de la muestra al mínimo necesario. se basa en la probabilidad. También se le llama estadística matemática. ya que solo se pueden hacer observaciones probabilísticas sobre una población cuando se usan muestras representativas de la misma. Esta generalización de tipo inductivo. El muestreo estadístico posee algunas ventajas con respecto al muestreo no estadístico. El punto de interés es la muestra. Tiene como objetivo generalizar las propiedades de la población bajo estudio. La Inferencia estadística persigue la obtención de conclusiones sobre la población mediante los datos obtenidos de una muestra. interpretar y tomar decisiones sobre una población.Unidad IV 4. El tamaño de la muestra debe calcularse utilizando técnicas estadísticas. La selección de la muestra debe hacerse en forma aleatoria. es decir la probabilidad de que las conclusiones obtenidas del muestreo sean correctas. por su complejidad matemática en relación a la estadística descriptiva. Se seguirán ciertos procedimientos de selección para asegurar de que las muestras reflejen observaciones a la población de la que proceden. “Teoría de muestras”. examinando la información obtenida de una muestra. basado en los resultados de una muestra representativa de la población. Errores en el Muestreo Cuando se utilizan valores muestrales. Industria. no esperaríamos que las dos sean idénticas en todos sus detalles. El error muestral se refiere a la variación natural existente entre muestras tomadas de la misma población. pueden ocurrir dos tipos generales de errores: el error muestral y el error no muestral. menores (sesgo negativo). Los errores que surgen al tomar las muestras no pueden clasificarse como errores muestrales y se denominan errores no muestrales. se utilizan muestras por muchas razones. Las muestras de las calificaciones de los exámenes de estudiantes se usan para determinar la eficiencia de una técnica o programa de enseñanza. A continuación se verá algunos usos del muestreo en diversos campos: 1. El error muestral es un concepto importante que ayudará a entender mejor la naturaleza de la estadística inferencial.  Los resultados de la prueba se expresan matemáticamente en términos precisos. Muestras de los productos de una línea de ensamble sirve para controlar la calidad. Permite hacer más defendibles las conclusiones de la prueba. 2. Las muestras de las opiniones de los votantes se usan para que los candidatos midan la opinión pública y el apoyo en las elecciones. Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene una cierta observación. permitiendo elaborar recomendaciones sobre una base más objetiva. 4. 5. Medicina. en promedio. Muestras de medidas de azúcar en la sangre de pacientes diabéticos prueban la eficacia de una técnica o de un fármaco nuevo. Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una población. El sesgo muestral se refiere a una tendencia sistemática inherente a un método de muestreo que da estimaciones de un parámetro que son. o mayores (sesgo positivo) que el parámetro real. una enumeración completa de la población. Las muestras del maíz cosechado en una parcela proyectan en la producción los efectos de un fertilizante nuevo. o estadísticos para estimar valores poblacionales. Agricultura. o parámetros. . 3. El sesgo de las muestras es un tipo de error no muestral. puede ser económicamente imposible. llamada censo. aún si se ha tenido gran cuidado para asegurar que dos muestras del mismo tamaño sean representativas de una cierta población. Gobierno. o no se cuenta con el tiempo suficiente. Muestras Aleatorias Cuando nos interesa estudiar las características de poblaciones grandes. 6. Política. Educación. Una muestra de opiniones de los votantes se usaría para determinar los criterios del público sobre cuestiones relacionadas con el bienestar y la seguridad nacional. Cuando una muestra no es una copia exacta de la población. imposible o no deseado. usando la aleatorización. Muestreo Simple Hay muchas situaciones en las cuales el muestreo aleatorio simple es poco práctico.El sesgo muestral puede suprimirse. una muestra elegida con procedimientos aleatorios se llama muestra aleatoria. Otro método parea obtener una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de 20 utiliza una tabla de números aleatorios. La aleatorización se refiere a cualquier proceso de selección de una muestra de la población en el que la selección es imparcial o no está sesgada. Los tipos más comunes de técnicas de muestreo aleatorios son el muestreo aleatorio simple. el proceso continúa hasta obtener una tabla de dígitos aleatorios con tantos números como se desee. la primera tira seleccionada determina el primer número de la tabla. Muestreo Aleatorio Simple Si una muestra aleatoria se elige de tal forma que todos los elementos de la población tengan la misma probabilidad de ser seleccionados. entonces podremos tener una muestra aleatoria de 5 si seleccionamos un trozo de papel con cinco nombres.504 en trozos separados de papel. sería muy costoso o tardado.1 Suponga que nos interesa elegir una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de estadística de 20 alumnos. una tarea tremenda. Ejemplo 1. las colocamos en un recipiente y los revolvemos. Si listamos las 15. Muchas ramificaciones han evolucionado a partir de este concepto central del muestreo aleatorio simple que permite alcanzar inferencias más precisas para diferentes tipos de poblaciones. el muestreo estratificado. se regresa al recipiente y después de revolver otra vez se selecciona la seguida tira que determina el segundo número de la tabla. Se puede construir la tabla usando una calculadora o una computadora. Un procedimiento más simple para elegir una muestra aleatoria sería escribir cada uno de los 20 nombres en pedazos separados de papel. revolverlos y después extraer cinco papeles al mismo tiempo. el muestreo por conglomerados y el muestreo sistemático. . 20C5 da el número total de formas de elegir una muestra no ordenada y este resultado es 15. luego los colocamos en un recipiente y después los revolvemos. la llamamos muestra aleatoria simple. aunque sería deseable usar muestras aleatorias simples para las encuestas nacionales de opinión sobre productos o sobre elecciones presidenciales. También se puede prescindir de estas y hacer la tabla escribiendo diez dígitos del 0 al 9 en tiras de papel. El muestreo aleatorio simple es la técnica de muestreo más básica que no sólo asegura una muestra representativa sino que también produce una estimación de la cantidad de una población y una especificación de la precisión.504 maneras diferentes de tomar la muestra. colocarlos en un recipiente. de ahí. o minimizarse. El objetivo principal de un diseño muestral es hacer uso eficiente del presupuesto asignado para un estudio obteniendo un estimativo tan preciso como sea posible de una cantidad de la población. más cercanos serán unos de otros sus valores. la media poblacional . Al valor usado se le llama estimador. 4.  La media de la población se puede estimar puntualmente mediante la media de la muestra:  La proporción de la población se puede estimar puntualmente mediante la proporción de la muestra: . esto es que mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las conclusiones al total de la misma. En la muestra (4. En los problemas de estimación debemos determinar el valor de un parámetro de un continuo posible de alternativas.5 Se toman muestras de tamaño 2 de una población consistente en tres valores. por tanto. Por ejemplo. estimar.Error Muestral Cualquier medida conlleva algún error.4 Estimación puntual Una estimación es puntual cuando se usa un solo valor extraído de la muestra para estimar el parámetro desconocido de la población.2). La media poblacional es igual a = (2+4+6)/3 = 4. conlleva algún error. 4. Si se usa la media para medir. se seleccionó primero 4 y después 2. supondremos que éste se hace con remplazo.3 Estimadores El objetivo principal de la estadística inferencial es la estimación. se seleccionan muestras ordenadas. Ver la tabla en la siguiente página. el número elegido se remplaza antes de seleccionar el siguiente. 4 y 6. si e denota el error muestral.4) es distinta de la muestra ordenada (4. entonces a la diferencia observada se le denomina el error muestral. Una media muestral puede pensarse como la suma de dos cantidades.2). el orden en que se seleccionan las observaciones es importante. La siguiente tabla contiene una lista de todas las muestras ordenadas de tamaño 2 que es posible seleccionar con remplazo y también contiene las medias muestrales y los correspondientes errores muestrales. como medida. la muestra ordenada (2. supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población con media : si la media de la muestra es . es decir. En una muestra ordenada. Los estadísticos varían mucho dentro de sus distribuciones muestrales. la media poblacional y el error muestral. entonces la media muestral. además. para simular una población "grande" de manera que el muestreo pueda realizarse un gran número de veces. y mientras menor sea el error estándar de un estadístico. entonces: Ejemplo 1. 2. cada uno de los cuales tiene distintos métodos que se usan en función de las características y propósitos del estudio:   Estimación puntual: o Método de los momentos. sólo se despejará de la formula anterior.̂  La desviación estándar (típica) de la población se puede estimar puntualmente mediante la desviación típica de la muestra. Intervalo de confianza En estadística. La estimación se divide en tres grandes bloques. o Método de los mínimos cuadrados. . α es el llamado error aleatorio o nivel de significación. Estimación para la Media (Normal) Sabemos que en base a la distribución muestral de medias que se generó en el tema anterior. aunque hay mejores estimadores: Todo nuestro estudio se basa en la normalidad de las distribuciones que empleamos. mientras que para un intervalo más pequeño. Como en este caso no conocemos el parámetro y lo queremos estimar por medio de la media de la muestra. que se calcula a partir de datos de una muestra. de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza). El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente. Formalmente. quedando de la siguiente manera. Estimación por intervalos. que ofrece una estimación más precisa. o Método de la máxima verosimilitud. 4. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 . esto es. aumentan sus posibilidades de error. se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.5 Estimación por intervalo En inferencia estadística se llama estimación al conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parámetro de una población a partir de los datos proporcionados por una muestra. En estas circunstancias. una estimación de la media de una determinada característica de una población de tamaño N podría ser la media de esa misma característica para una muestra de tamaño n. estos números determinan un intervalo. y el valor desconocido es un parámetro poblacional. Por ejemplo. la formula para el cálculo de probabilidad es la siguiente ⁄ √ .α y se denomina nivel de confianza. Suponga que la desviación estándar de la población es 0. Estimación t-Student Definición Si es el valor de la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con la varianza conocida .6 gramos por mililitro. Solución: La estimación puntual de es del 95% es 1.96. Z se puede obtener de la tabla de la distribución normal a partir del nivel de confianza establecido. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. 1.3. El valor de z para un nivel de confianza ( ) √ ( ) √ . por lo tanto: . Pero en ocasiones se desconoce por lo que en esos casos lo correcto es utilizar otra distribución llamada "t" de student si la población de donde provienen los datos es normal.⁄ √ ⁄ √ De esta formula se puede observar que tanto el tamaño de la muestra como el valor de z se conocerán. entonces ⁄ ⁄ √ ) √ Es un intervalo de confianza de ( Problema para la media de la población. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2. La mayor parte de las veces.0037854 m3) fue el siguiente: .575 por lo que el intervalo será más amplio: ( ) √ ( ) √ El intervalo de confianza proporciona una estimación de la precisión de nuestra estimación puntual.n1  n n de confianza para la media de la población. entonces x  t a / 2. no será exactamente igual a y la estimación puntual es errónea. Si es realmente el valor central de intervalo. La magnitud de este error será el valor absoluto de la diferencia entre y . entonces estima sin error. Se realizo un estudio sobre la utilización del agua en una pequeña ciudad. Definición Si y son los valores de la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño de una población normal. Para ello se considero una muestra de 25 casa. y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no excederá . El número de galones de agua que utilizan por día (1 galón ≡ 0. sin embargo.Para un nivel de confianza de 99% el valor de z es de 2. √ Como se puede observar en los resultados del ejercicio se tiene un error de estimación mayor cuando el nivel de confianza es del 99% y más pequeño cuando se reduce a un nivel de confianza del 95%.n1  Es un intervalo con ( ) s s    x  t a / 2. 150. 350. Ejercicio El auditor de una empresa al examinar los registros de facturación mensual.360. La muestra dio una media de x = 2435colones y una desviación típica de S = 335 colones.Con base en esta información: a) Hallar un intervalo de confianza del 90% ⁄ x  t a / 2. 200. Determinar un intervalo de confianza del 90% para estimar el saldo medio de todas las cuentas. un analista financiero toma una muestra aleatoria de 16 cuentas. 190. Los saldos observados en la muestra son los siguientes: 165. 300. 180. Obténgase un intervalo de confianza del 99% para estimar la media de las 96 cuentas del registro. 140.n1  n n ) ( )( √ ) √ Problema A partir de 860 cuentas. 300. mediante el análisis de una muestra aleatoria irrestricta de 10 facturas no pagadas encontró que la media aritmética fue de x = $9500 con una desviación típica de s = $327. 240. ⁄ ( )( √ ) ( )( √ ) Ejercicio Se selecciono una muestra aleatoria de 25 cuentas por cobrar de un registro que contenía 96 cuentas. 230.n1  ( )( s s    x  t a / 2. 240. 260. Ejercicio . 150. 250. Construir un intervalo de confianza del 95%para estimar el parámetro poblacional. Una muestra aleatoria del proceso de producción de 17 bombillos. . con una desviación típica s = 15 horas. dio una media de x = 128 horas. Construir un intervalo de confianza del 99% para estimar el promedio de vida útil de todos los bombillos del proceso. Definición Si y tamaño entonces son los valores de las medias de muestras aleatorias independientes de de poblaciones normales con las varianzas conocidas . ( x1  x 2 )  z a / 2    2 1 2 2 n1 n2  1   2  ( x 1  x 2 )  z a / 2  )   2 1 2 2 n1 n2 Es un intervalo de confianza del ( de las poblaciones. para la diferencia entre las dos medias . Definición Si x1 . 1 1 1 1   1   2  ( x1  x 2 )  t a / 2.n1 n2 2  s p Es un intervalo de confianza del 1   100 % para la diferencia entre las dos medias de las poblaciones. entonces ( x1  x 2 )  t a / 2. x 2 . s1 y s 2 son los valores de las medias y desviaciones estándar de variables aleatorias independientes de tamaño n 1 y n 2 de poblaciones normales con varianzas iguales.n1 n2 2  s p  n1 n2 n1 n2 . entonces n   za / 2    (1   ) n        za / 2   (1   ) n para    Es un intervalo de confianza aproximado del 1   100 % .Definición Si X es una variable aleatoria binomial con los parámetros n y  . n es grande y  y  x . entonces  ( 1   2 )  z / 2  1 (1  1 )  2 (1   2 ) n1  n2      1   2  ( 1   2 )  z / 2    1 (1  1 )  2 (1   2 ) n1  n2     Es un intervalo de confianza aproximado de 1   100 % para 1   2 . Definición  Si   x se usa como un estimador de  . n1 y n 2 son grandes. x 2 es una variable aleatoria binomial con los parámetros n 2 y  2 .Definición Si es una variable aleatoria binomial con los parámetros n1 y  1 . podemos afirmar con 1   100 % de n confianza que el error es menor que z / 2   (1   ) n   . 1   x1 n1 y 2    x2 n2 . entonces de una . TEOREMA 11.La estimación de varianzas Si s es el valor de la varianza de una muestra aleatoria de tamaño  población normal. n 1 x 2 / 2 . n 1  2.9 Si es el valor de la varianza de una muestra aleatoria de tamaño población normal. entonces 2 de una (n  1) s 2 Es un intervalo de confianza del 1   100 % para x 2 2  (n  1) s 2 / 2 . y administración. existen cuatro situaciones diferentes que determinan si la decisión final es correcta o errónea. pueden formularse como problemas de prueba de hipótesis. 4. pruebas o experimentos en el mundo de la ingeniería. El error tipo II ó error ésta es falsa. Decisión Aceptar Ho Rechazar Ho Ho es verdadera No hay error Error tipo I ó Ho es falsa Error tipo II ó No hay error Ya se ha mostrado cómo puede estimarse un parámetro a partir de los datos contenidos en una muestra.7 Contraste de hipótesis unilateral y bilateral Se pueden presentar tres tipos de ensayo de hipótesis que son:    Unilateral Derecho Unilateral Izquierdo Bilateral Dependiendo de la evaluación que se quiera hacer se seleccionará el tipo de ensayo. El investigador desea comprobar la hipótesis de un aumento en el parámetro. . puesto que muchos tipos de problemas de toma de decisiones. Este es uno de los aspectos más útiles de la inferencia estadística. Puede encontrarse ya sea un sólo número (estimador puntual) o un intervalo de valores posibles (intervalo de confianza). Esta proposición recibe el nombre de hipótesis.4. se define como la aceptación de la hipótesis nula cuando Por tanto. muchos problemas de ingeniería. para definir las regiones de aceptación y de rechazo. requieren que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún parámetro. al probar cualquier hipótesis estadística. Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones. en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado derecho.6 Errores tipo I y II El error tipo I se define como el rechazo de la hipótesis nula Ho cuando ésta es verdadera. Sin embargo. También es conocido como ó nivel de significancia.  Unilateral Derecho. ciencia. La hipótesis alternativa.Ensayo de hipótesis:  Unilateral Izquierdo: El investigador desea comprobar la hipótesis de una disminución en el parámetro. en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado izquierdo. la "creencia a priori"). Ensayo de hipótesis: La hipótesis nula. Problema . y ésta es la hipótesis del investigador. es la afirmación contradictoria a Ho. para definir las regiones de aceptación y de rechazo. Ensayo de hipótesis:  Bilateral: El investigador desea comprobar la hipótesis de un cambio en el parámetro. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de rechazo. es la afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir. representada por Ho. representada por H1. ⁄ √ Como 2.645 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Monclova el año pasado muestra una vida promedio de 71. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida. Solución: .04.9 años.02 >1. Regla de decisión: e. Cálculos: ⁄ √ f. Ensayo de hipótesis d.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas. b.8 años. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0. Justificación y decisión. Suponga una desviación estándar poblacional de 8. ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.05. Datos: c. Solución: a.1. Problema 2. a) Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida. .04 que la duración media de los focos no ha cambiado. no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0. b) Datos: c) Ensayo de hipótesis d) Regla de Decisión: e) Cálculos: ⁄ √ f) Justificación y decisión: ⁄ √ Como por lo tanto. 61.2 11. 10. 4. se reunieron datos de una muestra de 49 clientes durante un periodo de tres .26. 2. 9. Encuentre los límites de tolerancia para un I de C del 95%. Se registraron las siguientes mediciones de tiempo de secado en horas de una marca de pintura látex. 2.8 11.Proyecto 1.8.05 6. Un experimentador quiere verificar la variablidad de un equipo diseñado para medir el volumen de una fuente de audio frecuencia.9.0.6. 2. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable.70 y 9. 5. 3. 5.8 años. 5.0 Si se supone normalidad en los pesos.2. Los seis resultados en partes por millón fueron 9.1 11.6.48. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estándar.4.7. 3. Una muestra de 12 latas de sopa producida por cierta compañía produjo los siguientes pesos netos. el cual se efectúa como parte del control de calidad. 5.3. 3. 4. 4. 4.54. 3.0 12. 2.2. 3. suponiendo que las distribuciones representan una muestra aleatoria de una población normal.8. estime  2 . Si una muestra de 30 focos tiene una duración promedio de 780 horas. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.8. 3. 9. usando un nivel de confianza del 90%.0. en un gran restaurante. 9.5.3 12. Para tratar de estimar la media de consumo por cliente.32. 9.8 11. Estimar la varianza de los resultados de la población para este estándar. tres mediciones independientes registradas con este equipo fueron 4. construya un intervalo de confianza del 95% para el peso promedio de todas las latas de sopa producidas por la compañía.9 años. 7. ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0. encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. medidos en onzas: 11.8.8 12.4.6 12.9 12.9 11. 2.1.2.1 12. 4. Suponga una desviación estándar poblacional de 8. se analizó seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. 60 dólares.9 kilowatt-hora. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al año con una desviación estándar de11. Encuentre los intervalos de confianza de 96% y 98% para la concentración media de zinc en el río.4. significamcia de 0.6 gramos por mililitro.8 minutos con una desviación estándar de 1.05 de significancia se debe rechazar la hipótesis nula   14.23 onzas con una desviación estándar de 0. Si. ¿puede acusarse a esta compañía de pagar salarios inferiores?. ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la media de la población? 8. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de un muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.2. < 5. 14 . se probó una muestra aleatoria de 15 y se encontró que la media . Si en esta industria una compañía que emplea a 40 trabajadores les paga en promedio $12.05 que las aspiradoras gastan. ¿esto sugiere con un nivel de significancia de 0.3.50. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz pesan.20 H A :   13.01.0 11.5 onzas contra al hipótesis alternativa.semanas. menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora es normal. en promedio. Suponga que la desviación estándar de la población es 0. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al año. 14 . El departamento de seguridad de una fábrica quiere saber si el verdadero tiempo promedio que el guardián nocturno tarda en hacer su ronda es 30 min. 9. utilice un   0. 13. Los salarios diarios en una industria particular presentan una distribución normal con una media de $13.05. Use un nivel de significancia del 0.3 y 14 .20 10.20. determine si ésta es evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula   30 min a favor de la hipótesis alternativa   30 min . Se sabe que los voltajes de una marca de pilas tamaño C se distribuyen normalmente.5. 12.5 onzas en el nivel de 14. Pruebe la hipótesis de que = 5. en una muestra aleatoria de 32 rondas. Suponga que los datos son una 14 . 14 .0 en favor de la alternativa   14. El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Cinco mediciones del contenido de alquitrán de cierta clase de cigarrillos dieron mg .20 y una desviación estándar de $2.24 onzas. en pomedio 5. Si la media de la muestra es de $ 22.5 minutos.6 cigarrillo muestra aleatoria de una población normal.05 H 0 :   13. el guardián nocturno promedió 30. demuestre que para un 0. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra 0. Calcular la probabilidad de cometer el error tipo II si el voltaje promedio real de las pilas es de 1. . ¿hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use   0.3 volts.4 volts con una desviación estándar de 0. afirma que tiene una varianza de diámetro no mayor a 0.01: a. Una compañía que produce una parte maquinada para un motor. ¿hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use = 0.0002 pulgadas. ¿Indica esto que la media de los voltajes es menor que 1.0002 pulgadas. 16. 15.0003.05. afirma que tiene una varianza de diámetro no mayor a 0.01. Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen en forma normal. En el nivel de significancia de 0. Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen en forma normal. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra s2 = 0.0003. Una compañía que produce una parte maquinada para un motor.es de 1.21 volts.5 volts? b. y lo que hoy acepta el consumidor. sino también para la satisfacción de las necesidades humanas. La obtención de este objetivo. mañana puede rechazarlo. intercambiabilidad. El objetivo de este tema es tener una buena información de las herramientas existentes para el control estadístico de la calidad. desde el más humilde empleado. al más importante de los gerentes. ¿qué es un producto defectuoso? o más concretamente. Definición de la calidad Definiremos dos aspectos de la calidad. de ninguna manera. no solo es importante desde el punto de vista de la competencia. Para marchar al compás de este ritmo se hacen necesarios mejores instrumentos. ¿qué es un defecto? Definición . Entendemos por Calidad del Diseño al grado de concordancia entre el diseño y el fin para el cual fue creado. Podríamos preguntarnos. como una de las armas más poderosas para la realización de todas estas ideas. y por Calidad del Producto. más exactitud. el concepto de Control Total de Calidad.Unidad V Regresión y correlación 5. la Calidad del Diseño y la Calidad del Producto. Hoy en día. es decir. todas las empresas modernas saben que lograr un buen nivel de calidad es fundamental para el éxito de su gestión. métodos. maquinarias. obtener mejor calidad con la misma cantidad de dinero. pues esta demanda de la cual estamos hablando. etc. hay cada día mayor demanda de mejor precisión. y lo que es más importante. Para lograr este objetivo debemos recurrir al control estadístico de calidad. se perfecciona cada día. al grado de conformidad entre el producto y su diseño. enseña claramente que todos los niveles de la empresa están involucrados en la obtención de la mejor calidad del producto. El objetivo de los métodos estadísticos de control en los procesos. pero debemos dejar bien claro que los objetivos de calidad no se logran esgrimiendo solamente estas herramientas estadísticas..1 Control de calidad Actualmente. sino de todos los integrantes de la empresa. y que éste objetivo no es. Estas necesidades humanas evolucionan constantemente. etc. confort. un mejor aprovechamiento de los mismos. responsabilidad exclusiva de los departamentos técnicos especializados en el control estadístico de la calidad. y toda empresa que no se adapte a este movimiento continuo corre el riesgo de quedar desplazada a corto plazo. agreden al consumidor o hacen inservible al producto. Estas variaciones son las causas de los productos defectuosos. y no existiría la ocurrencia de productos defectuosos y no defectuosos. Y consecuentemente. . Cada tipo de defecto será objeto de un estudio acabado por las partes interesadas y deberá finalizar en un muestrario de defectos.Un defecto es el incumplimiento de una característica de calidad respecto de un límite especificado. No es lo mismo un defecto considerado leve como ser una imperfección superficial en la etiqueta de un producto. debidamente clasificado por tipo de defecto y firmado por las partes involucradas. en las condiciones de la máquina. el personal calificado de producción y de control de calidad. ¿Qué causa los productos defectuosos? La variación en los materiales. En todos los casos posibles deberá construirse el muestrario con defectos situados justo en los límites de aceptación o rechazo. Clasificación de los defectos. Defectos menores: producen una disminución leve en el correcto funcionamiento o utilización del producto. ¿Son todos los defectos iguales? ¿Debemos tratar a todos los defectos por igual? El sentido común nos dice que no a las dos preguntas. Defectos mayores: producen una disminución en el correcto funcionamiento o utilización del producto y es notado por el consumidor. Pero si lo nota. que una medida fuera de especificaciones en un repuesto para motor de automóviles que lo haga absolutamente inservible. y eso dará paso a distintos planes de calidad según el tipo de defecto. no será el mismo criterio para tolerar la presencia de ambos defectos. probablemente no lo note el consumidor. en los métodos de trabajo y en las inspecciones. todos los productos serían idénticos y no habría variaciones en la calidad. Defectos críticos: son aquellos que violan leyes. Si no existiera ninguna de esas variaciones. muestrario de defectos. 2 Diagrama de dispersión .5. 5.3 Regresión lineal simple . 5.4 Correlación . .5.5 Determinación y análisis de los coeficientes de correlación y de determinación. 5.6 Distribución normal bidimensional . 5.7 Intervalos de confianza y pruebas para el coeficiente de correlación. . 5.8 Errores de medición. . 2. 4. Se dieron diversas dosis de una sustancia venenosa a grupos de 25 ratones y se observaron los siguientes resultados. 5. 5. 6. 8. 4. 7. Dosis mg x 4 6 8 10 12 14 16 Número de muertes Y 1 3 6 8 14 16 20 3. 8. 9. 10. 7 9. 5. 8. En una investigación sobre costos los pares de valores de Traza el diagrama de dispersión. 4. 12. 5. 6. 8. 3. Obtener el coeficiente r de correlación lineal del producto-momento. 4. 8. así como el diagrama de dispersión si las coordenadas de (X. 1. 2. Obtener el coeficiente r de correlación lineal del producto-momento. 6. 2. 2. 1. 4.Proyecto V 7. la recta de regresión de Y sobre X que consideres por aproximación como la más adecuada. 4. Y) son: 1. 7. 6. 6. 6. 3. 7. Y  son: a) Encuentre la ecuación de mínimos cuadrados ajustada a estos datos b) Estime el número de muertes en un grupo de 25 ratones que recibieron una dosis de 7 mg de este veneno . 6. 3. 9. 7 8. así como el diagrama de dispersión si las coordenadas de (X.8 . Y) son: 1. X . 3. 11. 8. 4. 9. 2. 8. 5. 5. 6. Éstas son las puntuaciones que obtuvieron 12 estudiantes en el examen semestral y examen final en un curso de estadística. Humedad x 46 53 37 42 34 29 60 44 41 48 33 40 Contenido de humedad y 12 14 11 13 10 8 17 12 10 15 9 13 a) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el contenido de humedad en términos de humedad relativa b) Use los resultados del inciso (a) para estimar el contenido de humedad cuando la humedad relativa es del 38% 13. Examen semestral x 71 49 80 73 93 85 58 82 64 32 87 80 Examen final Y 83 62 76 77 89 74 48 78 76 51 73 89 a) Encuentre la ecuación de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir la puntuación del estudiante en el examen final en este curso sobre la base de su puntuación en el examen final b) Prediga la puntuación del examen final de un estudiante que recibió 84 en el examen semestral 12. La materia prima que se usa en la producción de una fibra sintética se almacena en un lugar que no tiene control de humedad. Los siguientes datos corresponden al cloro residual en una alberca en diversos momentos después de haberse tratado con químicos. Las medidas de la humedad relativa y del contenido de humedad de muestras de al materia prima en 12 días dieron los siguientes resultados.11. . 5 a) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el precio de venta en términos de su evaluación 15.2 36.3 102 62.9 a) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el contenido de humedad en términos de humedad relativa 14.9 Alargamiento Y 15.6 6.8 4 1. Obtener el coeficiente r de correlación lineal del producto-momento.2 125 99.2 5. La tabla siguiente muestra valores de evaluación y el precio de venta de ocho casas.8 57.6 4.6 80.1 12 0.8 132.1 10 1.3 39 34. Valores de valuación x 70.8 65.2 4.5 74.7 88.3 106.3 7.3 3.4 169. así como el diagrama de dispersión si las coordenadas de (X. que constituyen una muestra aleatoria de todas las casas vendidas recientemente en cierta área de la ciudad.1 2. Y) son: .7 a) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el alargamiento de las varillas de acuerdo a la fuerza establecida 16.5 8.1 2.6 110.2 143.3 58.4 8 1.Número de Horas Cloro residual x (partes por millón) y 2 1.4 88 Precio de venta Y 114.9 111.5 99.5 6 1.9 81. La tabla siguiente muestra el alargamiento de varillas de acero de de la misma composición y diámetro cuando se sujetan a varias fuerzas de tensión.1 174. Fuerza X 1. El cuadro de percepciones queda así: Piezas 10 15 Pago 20 25 32 35 38 45 95 120 145 170 205 220 235 270 Traza el diagrama de dispersión.5.5. 5. Los trabajadores de a las proveedoras de la maquiladora a que nos referimos. 5. 6. 2. 2. 4. piden a los dueños de una maquiladora que para tener mejores condiciones de salud de sus familias necesitan cotizar en el Seguro Social y es necesario cambiar las condiciones de pago. 4. 3. 1. 3. 1. 4.3.3 (23.5. . la gráfica y expresa la ecuación de la curva correspondiente. 4. 2. 3. 6. 7. 4.5. Se conviene en pagar un sueldo base equivalente q un salario mínimo.3.3.2. y sobre esta cantidad continuar recibiendo 5 pesos por pieza entregada. que por la zona donde están es de 45 pesos. 5.1.2.3 puntos) 17. http://www.monografias.com/trabajos27/datos-agrupados/datos-agrupados. la enciclopedia libre .shtml De Wikipedia. es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones. las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso. se calculan mediante la fórmula: k= 1.. percentil 99...  El 60 percentil.. P2. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados.. leídos primer percentil. fk = Frecuencia de la clase del decil k c = Longitud del intervalo de la clase del decil k Otra forma para calcular los percentiles es:  Primer percentil.CENTILES O PERCENTILES Los percentiles son.  El percentil 99 supera 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante. estatura...2... tal vez. Fórmulas Datos No Agrupados Si se tienen una serie de valores X1.. P99). etc. que supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante. Los percentiles (P1. 99 Dónde: Lk = Límite real inferior de la clase del decil k n = Número de datos Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k. se localiza mediante las siguientes fórmulas: Para los percentiles. Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Xn. X2..3. cuando n es par: .. X3 . Datos Agrupados Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias. el segundo cuartil con el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75. La posición del primer cuartil. Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el percentil 25. 3. se utiliza la fórmula Siendo. De Clases) Empleados (f1) 200-299 300-299 400-499 500-599 600-699 700-800 85 90 120 70 62 36 85 175 295 365 427 463 Como son datos agrupados. EJEMPLO Determinación del primer cuartil. De fa (I. de la siguiente tabla: Salarios No.Cuando n es impar: Siendo A. el número del percentil. La posición del percentil 30. el séptimo decil y el 30 percentil. Entonces. La posición del 7 decil. . Hay 99 percentiles que se denotan: P1.88. P99... La fórmula para realizar el cálculo del percentil 45. fi = 90 El 7 decil: Posición: 324. el segundo y el séptimo decil y los percentiles 8 y 73. P98. Ic = 100 . P2.5 – 85 = 30. gana el 70% de los empleados.El primer cuartil: 115. fi = 70 El percentil 30 Posición: 138.75 Li = 300. que bajo 541.9 fi = 90 Estos resultados nos indican que el 25% de los empleados ganan salarios por debajo de $ 334. deja por debajo de él el 90% de los elementos. por ejemplo..1 Li = 500. Así P90.57 gana el 57%de los empleados y sobre $359. P3..9 – 85 = 53.1 – 295 = 29.. por ejemplo sería: P45  l  I 45N (  fi ) f 100 Ejercicio: De la siguiente serie hallar el primero y el tercer cuartil.. ... por ejemplo. Los percentiles son valores que resultan de dividir la población (el N de las observaciones) en cien partes iguales (1% en cada una).28% de los alumnos mide 144.0j en el numerador en lugar de 0. el valor por debajo del cual está situado cierto porcentaje de distribuciones de valores. se expresa: P15.36.5 Estamos afirmando que el 15. y  Obtener el rango percentil correspondiente a un valor de la abscisa Solución 1.28% de los alumnos está por debajo de 144. de estatura. Q3 = 47.94.85.5 cm. P73 = 46. Cálculo para datos sin agrupar El percentil se obtiene identificando el valor que para la variable en cuestión tiene el individuo que ocupa la posición j% Cálculo para datos agrupados Cálculo a partir de la frecuencia relativa Se debe tener en cuenta que cuando j es un valor entre 1 y 9 inclusive se debe escribir 0.82.83. aparecen valores muy parecidos. P8 = 26. al decir que en una distribución de estaturas el 15.75.j Percentiles y datos percentiles La expresión percentil se usa para indicar en una distribución de observaciones. respectivamente.Resp: Q1 = 34. Se presentan dos problemas relacionados al uso de percentiles:  Obtener el valor de la abscisa x que corresponde a un valor percentil.  Los percentiles P25 y P75 se corresponden con el primer y tercer cuartil.5 o menos. D2 = 32. Si conocemos el valor de x obtenemos el rango percentil . D7 = 45. Obsérvese que entre los 6 cuantiles calculados.28  144 . En particular se dan las siguientes coincidencias:  El segundo cuartil equivale a la mediana  El quinto decil y el quincuagésimo percentil se corresponden también con la mediana. En la gráfica de la ojiva se traza. 2. Se traza por el punto que corresponde al percentil y Py . una paralela al eje de   las abscisas hasta intersectar la ojiva. una paralela al eje de las ordenadas hasta intersectar la ojiva y desde el punto de intersección se traza una paralela al eje de las abscisas y obtenemos el rango percentil Py . desde el punto de intersección se baja una perpendicular al eje de las x. . Si conocemos el percentil (valor de y) obtenemos el valor de la abscisa x. por el punto x conocido. La estimación de las características de la población debe hacerse de acuerdo a las leyes de la estadística.2 Muestreo estadístico Uno de los propósitos de la estadística inferencial es estimar las características poblacionales desconocidas. Tiene como objetivo generalizar las propiedades de la población bajo estudio. El punto de interés es la muestra. basado en los resultados de una muestra representativa de la población. .1 Inferencia estadística La estadística inferencial se define como la rama de la estadística que proporciona técnicas o procedimientos para analizar. de una población.Unidad IV 4. interpretar y tomar decisiones sobre una población. entre ellas las siguientes:   Permite seleccionar de antemano el nivel de confianza de la prueba. Esta generalización de tipo inductivo. examinando la información obtenida de una muestra. se basa en la probabilidad. La selección aleatoria impide que los prejuicios o preferencias del auditor favorezcan la selección de algunos elementos de la población en desmedro de otros. El muestreo estadístico posee algunas ventajas con respecto al muestreo no estadístico. es decir la probabilidad de que las conclusiones obtenidas del muestreo sean correctas. la cual debe ser representativa de la población objeto de estudio. e incluye. La Inferencia estadística persigue la obtención de conclusiones sobre la población mediante los datos obtenidos de una muestra. con base en la información que se obtiene de una muestra. “Teoría de muestras”. ya que solo se pueden hacer observaciones probabilísticas sobre una población cuando se usan muestras representativas de la misma.   Teoría de la muestra Estimación de parámetros 4. La selección de la muestra debe hacerse en forma aleatoria. Una aplicación de muestreo que no cumpla con alguno de estos tres requisitos se considera muestreo no estadístico. El tamaño de la muestra debe calcularse utilizando técnicas estadísticas. Se seguirán ciertos procedimientos de selección para asegurar de que las muestras reflejen observaciones a la población de la que proceden. También se le llama estadística matemática. El estudio de una población tomando como base las muestras se llama estadística inferencial o inductiva. por su complejidad matemática en relación a la estadística descriptiva. Educación. Gobierno. pueden ocurrir dos tipos generales de errores: el error muestral y el error no muestral. El error muestral es un concepto importante que ayudará a entender mejor la naturaleza de la estadística inferencial. Las muestras de las calificaciones de los exámenes de estudiantes se usan para determinar la eficiencia de una técnica o programa de enseñanza. aún si se ha tenido gran cuidado para asegurar que dos muestras del mismo tamaño sean representativas de una cierta población. Permite hacer más defendibles las conclusiones de la prueba. A continuación se verá algunos usos del muestreo en diversos campos: 7. Política. llamada censo. Las muestras de las opiniones de los votantes se usan para que los candidatos midan la opinión pública y el apoyo en las elecciones. una enumeración completa de la población. El sesgo de las muestras es un tipo de error no muestral. 10. permitiendo elaborar recomendaciones sobre una base más objetiva. no esperaríamos que las dos sean idénticas en todos sus detalles. Una muestra de opiniones de los votantes se usaría para determinar los criterios del público sobre cuestiones relacionadas con el bienestar y la seguridad nacional. se utilizan muestras por muchas razones. Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una población. Los errores que surgen al tomar las muestras no pueden clasificarse como errores muestrales y se denominan errores no muestrales. Los resultados de la prueba se expresan matemáticamente en términos precisos. Errores en el Muestreo Cuando se utilizan valores muestrales. o parámetros. El error muestral se refiere a la variación natural existente entre muestras tomadas de la misma población. 9. Muestras Aleatorias Cuando nos interesa estudiar las características de poblaciones grandes. Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene una cierta observación. Cuando una muestra no es una copia exacta de la población. Medicina. Las muestras del maíz cosechado en una parcela proyectan en la producción los efectos de un fertilizante nuevo. Muestras de los productos de una línea de ensamble sirve para controlar la calidad. 11. o no se cuenta con el tiempo suficiente. Industria. Agricultura. Muestras de medidas de azúcar en la sangre de pacientes diabéticos prueban la eficacia de una técnica o de un fármaco nuevo. o estadísticos para estimar valores poblacionales. puede ser económicamente imposible. 8.   Permite limitar el tamaño de la muestra al mínimo necesario. 12. El sesgo muestral se refiere a una tendencia sistemática inherente a un método de muestreo que da estimaciones . evitando realizar pruebas de auditoría sobre una cantidad mayor de elementos. de un parámetro que son. la llamamos muestra aleatoria simple. Otro método parea obtener una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de 20 utiliza una tabla de números aleatorios. o minimizarse.1 Suponga que nos interesa elegir una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de estadística de 20 alumnos. luego los colocamos en un recipiente y después los revolvemos. colocarlos en un recipiente. Se puede construir la tabla usando una calculadora o una computadora. También se puede prescindir de estas y hacer la tabla escribiendo diez dígitos del 0 al 9 en tiras de papel. o mayores (sesgo positivo) que el parámetro real.504 maneras diferentes de tomar la muestra. se regresa al recipiente y después de revolver otra vez se selecciona la seguida tira que determina el segundo número de la tabla.504 en trozos separados de papel. la primera tira seleccionada determina el primer número de la tabla. Ejemplo 1. La aleatorización se refiere a cualquier proceso de selección de una muestra de la población en el que la selección es imparcial o no está sesgada. aunque sería deseable usar muestras aleatorias simples para . Los tipos más comunes de técnicas de muestreo aleatorios son el muestreo aleatorio simple. Muchas ramificaciones han evolucionado a partir de este concepto central del muestreo aleatorio simple que permite alcanzar inferencias más precisas para diferentes tipos de poblaciones. el muestreo estratificado. entonces podremos tener una muestra aleatoria de 5 si seleccionamos un trozo de papel con cinco nombres. Si listamos las 15. Muestreo Simple Hay muchas situaciones en las cuales el muestreo aleatorio simple es poco práctico. una tarea tremenda. Muestreo Aleatorio Simple Si una muestra aleatoria se elige de tal forma que todos los elementos de la población tengan la misma probabilidad de ser seleccionados. usando la aleatorización. el muestreo por conglomerados y el muestreo sistemático. 20C5 da el número total de formas de elegir una muestra no ordenada y este resultado es 15. El sesgo muestral puede suprimirse. las colocamos en un recipiente y los revolvemos. El objetivo principal de un diseño muestral es hacer uso eficiente del presupuesto asignado para un estudio obteniendo un estimativo tan preciso como sea posible de una cantidad de la población. El muestreo aleatorio simple es la técnica de muestreo más básica que no sólo asegura una muestra representativa sino que también produce una estimación de la cantidad de una población y una especificación de la precisión. menores (sesgo negativo). en promedio. el proceso continúa hasta obtener una tabla de dígitos aleatorios con tantos números como se desee. de ahí. Un procedimiento más simple para elegir una muestra aleatoria sería escribir cada uno de los 20 nombres en pedazos separados de papel. imposible o no deseado. una muestra elegida con procedimientos aleatorios se llama muestra aleatoria. revolverlos y después extraer cinco papeles al mismo tiempo. En los problemas de estimación debemos determinar el valor de un parámetro de un continuo posible de alternativas. Por ejemplo. entonces la media muestral. 2. Una media muestral puede pensarse como la suma de dos cantidades. esto es que mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las conclusiones al total de la misma. la muestra ordenada (2. se seleccionan muestras ordenadas. la media poblacional . 4. Si se usa la media para medir.5 Se toman muestras de tamaño 2 de una población consistente en tres valores. Error Muestral Cualquier medida conlleva algún error. 4.4 Estimación puntual Una estimación es puntual cuando se usa un solo valor extraído de la muestra para estimar el parámetro desconocido de la población. Los estadísticos varían mucho dentro de sus distribuciones muestrales. se seleccionó primero 4 y después 2.2).2).4) es distinta de la muestra ordenada (4. como medida. entonces: Ejemplo 1. 4 y 6.  La media de la población se puede estimar puntualmente mediante la media de la muestra: . Al valor usado se le llama estimador. estimar. el orden en que se seleccionan las observaciones es importante. conlleva algún error. La media poblacional es igual a = (2+4+6)/3 = 4. En una muestra ordenada. el número elegido se remplaza antes de seleccionar el siguiente. si e denota el error muestral. y mientras menor sea el error estándar de un estadístico. más cercanos serán unos de otros sus valores. supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población con media : si la media de la muestra es .las encuestas nacionales de opinión sobre productos o sobre elecciones presidenciales. la media poblacional y el error muestral. entonces a la diferencia observada se le denomina el error muestral. Ver la tabla en la siguiente página. supondremos que éste se hace con remplazo. La siguiente tabla contiene una lista de todas las muestras ordenadas de tamaño 2 que es posible seleccionar con remplazo y también contiene las medias muestrales y los correspondientes errores muestrales. es decir. además. para simular una población "grande" de manera que el muestreo pueda realizarse un gran número de veces. sería muy costoso o tardado.3 Estimadores El objetivo principal de la estadística inferencial es la estimación. En la muestra (4. por tanto. estos números determinan un intervalo. cada uno de los cuales tiene distintos métodos que se usan en función de las características y propósitos del estudio:   Estimación puntual: o Método de los momentos. α es el llamado error aleatorio o nivel de significación.5 Estimación por intervalo En inferencia estadística se llama estimación al conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parámetro de una población a partir de los datos proporcionados por una muestra. En estas circunstancias. Estimación por intervalos. La proporción de la población se puede estimar puntualmente mediante la proporción de la muestra: ̂  La desviación estándar (típica) de la población se puede estimar puntualmente mediante la desviación típica de la muestra.α y se denomina nivel de confianza. 4. que se calcula a partir de datos de una muestra. El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente. aumentan sus posibilidades de error. se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. o Método de los mínimos cuadrados. una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo. aunque hay mejores estimadores: Todo nuestro estudio se basa en la normalidad de las distribuciones que empleamos. La estimación se divide en tres grandes bloques. Formalmente. Como en este caso no conocemos el parámetro y lo queremos estimar por medio de la media de . Intervalo de confianza En estadística. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 . que ofrece una estimación más precisa. mientras que para un intervalo más pequeño. Estimación para la Media (Normal) Sabemos que en base a la distribución muestral de medias que se generó en el tema anterior. esto es. Por ejemplo. la formula para el cálculo de probabilidad es la siguiente ⁄ √ . y el valor desconocido es un parámetro poblacional. una estimación de la media de una determinada característica de una población de tamaño N podría ser la media de esa misma característica para una muestra de tamaño n. o Método de la máxima verosimilitud. de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza). por lo tanto: . Suponga que la desviación estándar de la población es 0. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. sólo se despejará manera.3. Z se puede obtener de la tabla de la distribución normal a partir del nivel de confianza establecido.96. Estimación t-Student Definición Si es el valor de la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con la varianza conocida . entonces ⁄ ⁄ √ ) √ Es un intervalo de confianza de ( Problema para la media de la población. Pero en ocasiones se desconoce por lo que en esos casos lo correcto es utilizar otra distribución llamada "t" de student si la población de donde provienen los datos es normal. Solución: La estimación puntual de es del 95% es 1. quedando de la siguiente √ ⁄ √ De esta formula se puede observar que tanto el tamaño de la muestra como el valor de z se conocerán.6 gramos por mililitro. 2. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2. ⁄ de la formula anterior.la muestra. El valor de z para un nivel de confianza ( ) √ ( ) √ . no será exactamente igual a y la estimación puntual es errónea.n1  Es un intervalo con ( ) s s    x  t a / 2.0037854 m3) fue el siguiente: . Se realizo un estudio sobre la utilización del agua en una pequeña ciudad. La magnitud de este error será el valor absoluto de la diferencia entre y .n1  n n de confianza para la media de la población. La mayor parte de las veces. Si es realmente el valor central de intervalo. Definición Si y son los valores de la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño de una población normal.Para un nivel de confianza de 99% el valor de z es de 2.575 por lo que el intervalo será más amplio: ( ) √ ( ) √ El intervalo de confianza proporciona una estimación de la precisión de nuestra estimación puntual. sin embargo. y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no excederá . entonces estima sin error. √ Como se puede observar en los resultados del ejercicio se tiene un error de estimación mayor cuando el nivel de confianza es del 99% y más pequeño cuando se reduce a un nivel de confianza del 95%. Para ello se considero una muestra de 25 casa. El número de galones de agua que utilizan por día (1 galón ≡ 0. entonces x  t a / 2. 260. Determinar un intervalo de confianza del 90% para estimar el saldo medio de todas las cuentas.n1  n n ) ( )( √ ) √ Problema A partir de 860 cuentas. un analista financiero toma una muestra aleatoria de 16 cuentas. 350.n1  ( )( s s    x  t a / 2. Obténgase un intervalo de confianza del 99% para estimar la media de las 96 cuentas del registro. Construir un intervalo de confianza del 95%para estimar el parámetro poblacional. La muestra dio una media de x = 2435colones y una desviación típica de S = 335 colones. 140. 240. 150. Los saldos observados en la muestra son los siguientes: 165. ⁄ ( )( √ ) ( )( √ ) Ejercicio Se selecciono una muestra aleatoria de 25 cuentas por cobrar de un registro que contenía 96 cuentas. Ejercicio El auditor de una empresa al examinar los registros de facturación mensual. 240.360. mediante el análisis de una muestra aleatoria irrestricta de 10 facturas no pagadas encontró que la media aritmética fue de x = $9500 con una desviación típica de s = $327. Ejercicio . 180. 200. 300. 250.Con base en esta información: b) Hallar un intervalo de confianza del 90% ⁄ x  t a / 2. 230. 190. 300. 150. Construir un intervalo de confianza del 99% para estimar el promedio de vida útil de todos los bombillos del proceso. con una desviación típica s = 15 horas.Una muestra aleatoria del proceso de producción de 17 bombillos. . dio una media de x = 128 horas. Definición Si y tamaño entonces son los valores de las medias de muestras aleatorias independientes de de poblaciones normales con las varianzas conocidas . para la diferencia entre las dos medias . ( x1  x 2 )  z a / 2    2 1 2 2 n1 n2  1   2  ( x 1  x 2 )  z a / 2  )   2 1 2 2 n1 n2 Es un intervalo de confianza del ( de las poblaciones. n1 n2 2  s p  n1 n2 n1 n2 . x 2 . 1 1 1 1   1   2  ( x1  x 2 )  t a / 2.Definición Si x1 . s1 y s 2 son los valores de las medias y desviaciones estándar de variables aleatorias independientes de tamaño n 1 y n 2 de poblaciones normales con varianzas iguales. entonces ( x1  x 2 )  t a / 2.n1 n2 2  s p Es un intervalo de confianza del 1   100 % para la diferencia entre las dos medias de las poblaciones. n es grande y  y  x .Definición Si X es una variable aleatoria binomial con los parámetros n y  . entonces n   za / 2    (1   ) n        za / 2   (1   ) n para    Es un intervalo de confianza aproximado del 1   100 % . x 2 es una variable aleatoria binomial con los parámetros n 2 y  2 . podemos afirmar con 1   100 % de n confianza que el error es menor que z / 2   (1   ) n   . entonces  ( 1   2 )  z / 2  1 (1  1 )  2 (1   2 ) n1  n2      1   2  ( 1   2 )  z / 2    1 (1  1 )  2 (1   2 ) n1  n2     Es un intervalo de confianza aproximado de 1   100 % para 1   2 . Definición  Si   x se usa como un estimador de  . 1   x1 n1 y 2    x2 n2 .Definición Si es una variable aleatoria binomial con los parámetros n1 y  1 . n1 y n 2 son grandes. n 1 (n  1) s 2 x   (n  1) s 2 / 2 . entonces de una .9 Si es el valor de la varianza de una muestra aleatoria de tamaño población normal. n 1 2 x 2 / 2 . entonces 2 de una (n  1) s 2 x Es un intervalo de confianza del 2 2  2 (n  1) s 2 / 2 . TEOREMA 11. n 1 x 2 / 2 .La estimación de varianzas Si s es el valor de la varianza de una muestra aleatoria de tamaño  población normal. n 1 para  2. El investigador desea comprobar la hipótesis de un aumento en el parámetro. . El error tipo II ó error ésta es falsa.4. ciencia. 4. Puede encontrarse ya sea un sólo número (estimador puntual) o un intervalo de valores posibles (intervalo de confianza).  Unilateral Derecho. se define como la aceptación de la hipótesis nula cuando Por tanto. Sin embargo. muchos problemas de ingeniería. Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones. y administración.7 Contraste de hipótesis unilateral y bilateral Se pueden presentar tres tipos de ensayo de hipótesis que son:    Unilateral Derecho Unilateral Izquierdo Bilateral Dependiendo de la evaluación que se quiera hacer se seleccionará el tipo de ensayo. También es conocido como ó nivel de significancia. Decisión Aceptar Ho Rechazar Ho Ho es verdadera No hay error Error tipo I ó Ho es falsa Error tipo II ó No hay error Ya se ha mostrado cómo puede estimarse un parámetro a partir de los datos contenidos en una muestra. existen cuatro situaciones diferentes que determinan si la decisión final es correcta o errónea. Este es uno de los aspectos más útiles de la inferencia estadística. Esta proposición recibe el nombre de hipótesis. requieren que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún parámetro.6 Errores tipo I y II El error tipo I se define como el rechazo de la hipótesis nula Ho cuando ésta es verdadera. para definir las regiones de aceptación y de rechazo. al probar cualquier hipótesis estadística. en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado derecho. puesto que muchos tipos de problemas de toma de decisiones. pruebas o experimentos en el mundo de la ingeniería. pueden formularse como problemas de prueba de hipótesis. Problema .Ensayo de hipótesis:  Unilateral Izquierdo: El investigador desea comprobar la hipótesis de una disminución en el parámetro. representada por H1. La hipótesis alternativa. para definir las regiones de aceptación y de rechazo. es la afirmación contradictoria a Ho. y ésta es la hipótesis del investigador. es la afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir. en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado izquierdo. la "creencia a priori"). Ensayo de hipótesis: La hipótesis nula. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de rechazo. representada por Ho. Ensayo de hipótesis:  Bilateral: El investigador desea comprobar la hipótesis de un cambio en el parámetro. Suponga una desviación estándar poblacional de 8. Regla de decisión: k. Problema 4. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años.04.8 años. ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0. Justificación y decisión. Solución: .645 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.02 >1. Datos: i.05. Cálculos: ⁄ √ l. ⁄ √ Como 2. Ensayo de hipótesis j. ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0. h. Solución: g.3. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Monclova el año pasado muestra una vida promedio de 71.9 años. . no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.g) Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida.04 que la duración media de los focos no ha cambiado. h) Datos: i) Ensayo de hipótesis j) Regla de Decisión: k) Cálculos: ⁄ √ l) Justificación y decisión: ⁄ √ Como por lo tanto. 0.1. Para tratar de estimar la media de consumo por cliente. 3.61. 9. 2.8 12.3. 5.4.9 años. 10. 3. Un experimentador quiere verificar la variablidad de un equipo diseñado para medir el volumen de una fuente de audio frecuencia. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable. usando un nivel de confianza del 90%. Se registraron las siguientes mediciones de tiempo de secado en horas de una marca de pintura látex.2 11.8. 2. 5.54.8. 4.8. 4.8 años. 9. 2.05 22.9 12. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estándar. 4. 23. 18. 21.1 12. en un gran restaurante. Suponga una desviación estándar poblacional de 8. 3.6.0 12.Proyecto 17.6 12. Una muestra de 12 latas de sopa producida por cierta compañía produjo los siguientes pesos netos.9.7. 5.70 y 9.8 11. medidos en onzas: 11. 4.0 Si se supone normalidad en los pesos. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.2. 3. 2. 19.5. Estimar la varianza de los resultados de la población para este estándar. 9.8 11.1 11. construya un intervalo de confianza del 95% para el peso promedio de todas las latas de sopa producidas por la compañía. tres mediciones independientes registradas con este equipo fueron 4.9 11. suponiendo que las distribuciones representan una muestra aleatoria de una población normal.48. 9.26.4. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas.2. 3. Los seis resultados en partes por millón fueron 9. ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.6. encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa.3 12.8. Si una muestra de 30 focos tiene una duración promedio de 780 horas.0.2. estime  2 . el cual se efectúa como parte del control de calidad. Encuentre los límites de tolerancia para un I de C del 95%. 20.32. se analizó seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. se reunieron datos de una muestra de 49 clientes durante un periodo de tres . Los salarios diarios en una industria particular presentan una distribución normal con una media de $13. menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora es normal. Si en esta industria una compañía que emplea a 40 trabajadores les paga en promedio $12. en una muestra aleatoria de 32 rondas.3. El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al año con una desviación estándar de11. ¿puede acusarse a esta compañía de pagar salarios inferiores?.50.0 27. determine si ésta es evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula   30 min a favor de la hipótesis alternativa   30 min .5. Encuentre los intervalos de confianza de 96% y 98% para la concentración media de zinc en el río. 28. 14 . el guardián nocturno promedió 30.23 onzas con una desviación estándar de 0.8 minutos con una desviación estándar de 1.6 gramos por mililitro. utilice un   0. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al año. Cinco mediciones del contenido de alquitrán de cierta clase de cigarrillos dieron mg . Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de un muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.20 y una desviación estándar de $2. 25. 29.5 onzas en el nivel de 30. se probó una muestra aleatoria de 15 y se encontró que la media . ¿esto sugiere con un nivel de significancia de 0.6 cigarrillo muestra aleatoria de una población normal.05. Use un nivel de significancia del 0. significamcia de 0. Suponga que los datos son una 14 .4.2. 14 .05 que las aspiradoras gastan. 14 . < 5.semanas. Pruebe la hipótesis de que = 5. Se sabe que los voltajes de una marca de pilas tamaño C se distribuyen normalmente.05 de significancia se debe rechazar la hipótesis nula   14.0 en favor de la alternativa   14. El departamento de seguridad de una fábrica quiere saber si el verdadero tiempo promedio que el guardián nocturno tarda en hacer su ronda es 30 min.20 26.60 dólares. ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la media de la población? 24.20.24 onzas. en promedio.05 H 0 :   13. Si. demuestre que para un 0. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz pesan. Si la media de la muestra es de $ 22. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.9 kilowatt-hora.5 onzas contra al hipótesis alternativa.20 H A :   13. en pomedio 5.3 y 14 .01.5 minutos. Una compañía que produce una parte maquinada para un motor.0002 pulgadas.0003.05.0002 pulgadas. Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen en forma normal. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra 0. afirma que tiene una varianza de diámetro no mayor a 0.01: c. . ¿hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use   0. Calcular la probabilidad de cometer el error tipo II si el voltaje promedio real de las pilas es de 1. ¿hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use = 0. afirma que tiene una varianza de diámetro no mayor a 0. 31. Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen en forma normal.es de 1.3 volts. 32. Una compañía que produce una parte maquinada para un motor.4 volts con una desviación estándar de 0. ¿Indica esto que la media de los voltajes es menor que 1. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra s2 = 0.5 volts? d. En el nivel de significancia de 0.01.0003.21 volts. 1 Control de calidad .Unidad V Regresión y correlación 5. 5.2 Diagrama de dispersión . 5.3 Regresión lineal simple . 4 Correlación .5. 5. .5 Determinación y análisis de los coeficientes de correlación y de determinación. 6 Distribución normal bidimensional .5. 5.7 Intervalos de confianza y pruebas para el coeficiente de correlación. . 5. .8 Errores de medición. 8. Se dieron diversas dosis de una sustancia venenosa a grupos de 25 ratones y se observaron los siguientes resultados. 9. 4. 1. En una investigación sobre costos los pares de valores de Traza el diagrama de dispersión. 3. 8. 11. 9. 4. 12. 7 20. 4. 7 19. 6. 2. 6. Obtener el coeficiente r de correlación lineal del producto-momento. 8. X . 5. 8. Y) son: 1. 6. 21. así como el diagrama de dispersión si las coordenadas de (X. 4. 6. 2. 7. 4. 6. 2. 8. Dosis mg x 4 6 8 10 12 14 16 Número de muertes Y 1 3 6 8 14 16 20 3. 5. 4. así como el diagrama de dispersión si las coordenadas de (X. 8. 4. 6. 6. la recta de regresión de Y sobre X que consideres por aproximación como la más adecuada. Y  son: c) Encuentre la ecuación de mínimos cuadrados ajustada a estos datos d) Estime el número de muertes en un grupo de 25 ratones que recibieron una dosis de 7 mg de este veneno . 5. 2. 3. 8. 3. 5. 7. Obtener el coeficiente r de correlación lineal del producto-momento.Proyecto V 18. 7. 5. 6. 5. 9. Y) son: 1.8 . 3. 2. 1. 22. Examen semestral x 71 49 80 73 93 85 58 82 64 32 87 80 Examen final Y 83 62 76 77 89 74 48 78 76 51 73 89 c) Encuentre la ecuación de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir la puntuación del estudiante en el examen final en este curso sobre la base de su puntuación en el examen final d) Prediga la puntuación del examen final de un estudiante que recibió 84 en el examen semestral 23. La materia prima que se usa en la producción de una fibra sintética se almacena en un lugar que no tiene control de humedad. Los siguientes datos corresponden al cloro residual en una alberca en diversos momentos después de haberse tratado con químicos. Las medidas de la humedad relativa y del contenido de humedad de muestras de al materia prima en 12 días dieron los siguientes resultados. . Humedad x 46 53 37 42 34 29 60 44 41 48 33 40 Contenido de humedad y 12 14 11 13 10 8 17 12 10 15 9 13 c) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el contenido de humedad en términos de humedad relativa d) Use los resultados del inciso (a) para estimar el contenido de humedad cuando la humedad relativa es del 38% 24. Éstas son las puntuaciones que obtuvieron 12 estudiantes en el examen semestral y examen final en un curso de estadística. 9 111. Y) son: .8 4 1.1 2.5 b) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el precio de venta en términos de su evaluación 26. que constituyen una muestra aleatoria de todas las casas vendidas recientemente en cierta área de la ciudad.6 110.7 88.5 74. Obtener el coeficiente r de correlación lineal del producto-momento.3 7.2 125 99.5 6 1.3 102 62. La tabla siguiente muestra valores de evaluación y el precio de venta de ocho casas.1 12 0.3 39 34.3 3.4 8 1.9 81.5 99. Valores de valuación x 70.4 88 Precio de venta Y 114.2 143.8 65.1 174.6 6.2 5.3 106.9 b) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el contenido de humedad en términos de humedad relativa 25.9 Alargamiento Y 15.1 2.3 58.8 57.2 4. La tabla siguiente muestra el alargamiento de varillas de acero de de la misma composición y diámetro cuando se sujetan a varias fuerzas de tensión.5 8.7 b) Ajuste una línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el alargamiento de las varillas de acuerdo a la fuerza establecida 27.1 10 1. así como el diagrama de dispersión si las coordenadas de (X.6 4.6 80.Número de Horas Cloro residual x (partes por millón) y 2 1.2 36. Fuerza X 1.4 169.8 132. 5. 4.3 puntos) 28. 4. 2. 4. 2. Los trabajadores de a las proveedoras de la maquiladora a que nos referimos. 6.3. 4. El cuadro de percepciones queda así: Piezas 10 15 Pago 20 25 32 35 38 45 95 120 145 170 205 220 235 270 Traza el diagrama de dispersión.2.5. 2. .5.1. 3. 3. 7. 6. piden a los dueños de una maquiladora que para tener mejores condiciones de salud de sus familias necesitan cotizar en el Seguro Social y es necesario cambiar las condiciones de pago.3 (23. 5. la gráfica y expresa la ecuación de la curva correspondiente. 3.3.2.3. Se conviene en pagar un sueldo base equivalente q un salario mínimo.5. 4. 5. 1. y sobre esta cantidad continuar recibiendo 5 pesos por pieza entregada. 1. 5. que por la zona donde están es de 45 pesos. shtml De Wikipedia.monografias.com/trabajos27/datos-agrupados/datos-agrupados. la enciclopedia libre .http://www. .. Datos Agrupados Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias.. X3 .. etc.CENTILES O PERCENTILES Los percentiles son. cuando n es par: . X2. Los percentiles (P1. se localiza mediante las siguientes fórmulas: Para los percentiles. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. se calculan mediante la fórmula: k= 1... percentil 99.. que supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante. Xn.. leídos primer percentil.. fk = Frecuencia de la clase del decil k c = Longitud del intervalo de la clase del decil k Otra forma para calcular los percentiles es:  Primer percentil.. estatura. Fórmulas Datos No Agrupados Si se tienen una serie de valores X1.  El percentil 99 supera 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante. es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones. 99 Dónde: Lk = Límite real inferior de la clase del decil k n = Número de datos Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k. P2..  El 60 percentil.. las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso. tal vez.3. Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. P99).2. De fa (I. el séptimo decil y el 30 percentil. EJEMPLO Determinación del primer cuartil. De Clases) Empleados (f1) 200-299 300-299 400-499 500-599 600-699 700-800 85 90 120 70 62 36 85 175 295 365 427 463 Como son datos agrupados. Entonces. se utiliza la fórmula Siendo. La posición del percentil 30. el segundo cuartil con el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75. . Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el percentil 25. 3. el número del percentil. de la siguiente tabla: Salarios No. La posición del 7 decil. La posición del primer cuartil.Cuando n es impar: Siendo A. . P3.. fi = 90 El 7 decil: Posición: 324. deja por debajo de él el 90% de los elementos.1 – 295 = 29. por ejemplo sería: P45  l  I 45N (  fi ) f 100 Ejercicio: De la siguiente serie hallar el primero y el tercer cuartil. Así P90.. gana el 70% de los empleados..1 Li = 500.9 – 85 = 53.5 – 85 = 30... P99. por ejemplo. el segundo y el séptimo decil y los percentiles 8 y 73.El primer cuartil: 115. Hay 99 percentiles que se denotan: P1... fi = 70 El percentil 30 Posición: 138.88. P98. P2.9 fi = 90 Estos resultados nos indican que el 25% de los empleados ganan salarios por debajo de $ 334.75 Li = 300.57 gana el 57%de los empleados y sobre $359. que bajo 541. La fórmula para realizar el cálculo del percentil 45. Ic = 100 . . 0j en el numerador en lugar de 0. En particular se dan las siguientes coincidencias:  El segundo cuartil equivale a la mediana  El quinto decil y el quincuagésimo percentil se corresponden también con la mediana. Q3 = 47.5 Estamos afirmando que el 15.83.  Los percentiles P25 y P75 se corresponden con el primer y tercer cuartil. respectivamente.36.94.75. se expresa: P15.j Percentiles y datos percentiles La expresión percentil se usa para indicar en una distribución de observaciones. D7 = 45. Obsérvese que entre los 6 cuantiles calculados.Resp: Q1 = 34. P8 = 26.82.28  144 .28% de los alumnos está por debajo de 144. Cálculo para datos sin agrupar El percentil se obtiene identificando el valor que para la variable en cuestión tiene el individuo que ocupa la posición j% Cálculo para datos agrupados Cálculo a partir de la frecuencia relativa Se debe tener en cuenta que cuando j es un valor entre 1 y 9 inclusive se debe escribir 0. por ejemplo. P73 = 46. Se presentan dos problemas relacionados al uso de percentiles:  Obtener el valor de la abscisa x que corresponde a un valor percentil. aparecen valores muy parecidos. y  Obtener el rango percentil correspondiente a un valor de la abscisa Solución 3. el valor por debajo del cual está situado cierto porcentaje de distribuciones de valores. D2 = 32.28% de los alumnos mide 144. de estatura. Si conocemos el valor de x obtenemos el rango percentil . Los percentiles son valores que resultan de dividir la población (el N de las observaciones) en cien partes iguales (1% en cada una).5 o menos. al decir que en una distribución de estaturas el 15.85.5 cm. En la gráfica de la ojiva se traza. una paralela al eje de las ordenadas hasta intersectar la ojiva y desde el punto de intersección se traza una paralela al eje de las abscisas y obtenemos el rango percentil Py . Se traza por el punto que corresponde al percentil y Py . desde el punto de intersección se baja una perpendicular al eje de las x. . una paralela al eje de   las abscisas hasta intersectar la ojiva. 4. Si conocemos el percentil (valor de y) obtenemos el valor de la abscisa x. por el punto x conocido. Documents Similar To Proyecto Dist ElectSkip carouselcarousel previouscarousel nextEstaUNIDAD 1 (ALUMNOS). 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