ISELInstituto Superior de Engenharia de Lisboa CURSO PÓS-GRADUADO DE ESPECIALIZAÇÃO Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos 2005/2006 Técnicas de Avaliação (1) Modelação em Acontecimentos Raros M.Isabel Fraga Alves
[email protected] http://docentes.deio.fc.ul.pt/fragaalves/ Departamento de Estatística e Investigação Operacional (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 2 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Katrina : Um desastre (não)natural? •Nova Orleães encontra-se situada abaixo do nível do mar, no meio de dois lagos, a norte e a Este, e do rio Mississipi a sul. •De acordo com as informações divulgadas pelas autoridades locais, esta inundação deveu-se, sobretudo, a uma brecha de 60 metros num dique junto ao lago Pontchartrain. (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 3 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa New Orleans After Hurricane Katrina: An Unnatural Disaster? •The next thing they need to do is to have a double-tiered dike system. I'll refer to them as dikes instead of levees, because we need Dutch engineers to design these structures, not the Army Corps of Engineers. •The first structure should be a concrete damn structure of at least 40-50 feet high that is built all along the lake and every Canal that connects to the lake. •This plan would cost billions, but would guarantee that New Orleans would NEVER face this tragedy again. •WE can work with Dutch engineers and get this engineered properly. NewYorkTimes,Sept’05 (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 4 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa New Orleans After Hurricane Katrina: An Unnatural Disaster? •New Orleans was built on a delta. •Engineers surrounded it with dikes for flood protection. •Yes, I know about Holland. •Holland is not on the Mississippi River. It is not in hurricane alley. •It was a matter of time. So is the next disaster, if this lesson isn't learned. Do we really want to do this again in 20 years? (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 5 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa O que são Valores Extremos? •Quando calamidades naturais de grande magnitude acontecem, questionamos acerca da sua ocorrência e frequência → Acontecimentos Raros? • Poderiam ter sido tomadas providências (do Lat. providentia, acto de ver com antecipação: s. f., suprema sabedoria divina (grafado com inicial maiúscula); Deus; medida, resolução que se toma para evitar um mal ou para corrigir irregularidades; acontecimento feliz; pessoa que protege outrem; prevenção) de forma a prevenir ou a estarmos melhor preparados para tais calamidades? • Secas, Inundações, Terramotos, Furacões ou Ventos Ciclónicos, Tempestades de Precipitação, ... (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 6 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa O que são Valores Extremos? • Um engenheiro em Nova Orleães pode querer construir um dique com uma altura tal que só “muito raramente” vê ameaçada a sua estrutura face a calamidades associadas. • Um engenheiro no Japão pode estar interessado em construir um arranha-céus que permaneça intacto perante um “terramoto de 100-anos”, i.e., que em média “ocorre de 100 em 100 anos” • Um engenheiro pode querer construir uma ponte sobre o Mississipi, fixando a sua altura de forma a que esperemos que a água do rio ultrapasse o nível da ponte “muito raramente”, digamos “uma vez em 200 anos” (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 7 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa O que são Valores Extremos? • Os exemplos apresentados são apenas alguns dos muitos que poderíamos enumerar, na área de → Fenómenos Naturais • É evidente que as características de interesse naqueles casos são extremos no sentido que focamos a nossa atenção para o • MÍNIMO ( por ex, SECAS – Mínimo da quantidade de Precipitação ) • MÁXIMO ( por ex, INUNDAÇÕES – Máximo do Caudal de um rio ) (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 8 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Porque são importantes os Modelos de Valores Extremos? • Em muitas aplicações estatísticas o interesse é dirigido para a estimação de características centrais (ex, o valor médio da precipitação, o valor médio da temperatura) tendo por base amostras aleatórias provenientes da população sob estudo. • No entanto, em muitas áreas aplicadas, estamos interessados na ocorrência de acontecimentos raros, ie, de grandes ou pequenos valores. • Para os engenheiros, é sabido que os valores utilizados em construção (barragens, edifícios, pontes, etc) são obtidos como um compromisso entre segurança e custo, ie, garantindo a sua “sobrevivência” quando sujeitos a condições extremas e a um “custo” razoável. (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 9 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Porque são importantes os Modelos de Valores Extremos? • A estimação na área de valores extremos é difícil, devido à falta de dados disponíveis. • O uso de factores ou cargas de segurança tem sido uma solução clássica para o problema, mas actualmente é sabido que esta solução não é completamente satisfatória quer em termos de segurança quer de custo: por um lado, elevadas probabilidades de falha podem vir a ser obtidas; por outro, eventualmente os projectos de construção têm associados gastos elevados desnecessariamente. • O conhecimento das distribuições do máximo (e do mínimo) dos fenómenos de interesse é importante na obtenção de boas soluções em problemas de planeamento. (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 10 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Exemplos de Aplicação • Engenharia Marítima → alturas de onda para a construção de plataformas, diques, molhes costeiros, quebra-mar, etc. Qual a distribuição da onda máxima? • Engenharia Estrutural → ventos extremos, em termos de velocidade do vento (ou incidência sísmica), tendo por objectivo a construção de edifícios. Qual a distribuição da velocidade de vento máxima? • Meteorologia → condições meteorológicas extremas influenciam muitos aspectos da vida do ser humano tais como a agricultura ou vida animal, tempo de vida de certos materiais. Nestes casos, mais uma vez se centra a atenção na ocorrência de valores extremos (temperaturas muito baixas ou muito altas, por ex.) Qual a probabilidade desses acontecimentos raros? • E ainda ... Resistência de materiais, Fadiga de materiais, Resistência à corrosão, estudos de Poluição, etc... ! (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 11 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Ficheiros de Dados (Castillo, Hadi Balakrishnan & Sarabia 2005) • Wind Data → velocidade máxima anual do vento, em milhas/hora, registadas num dado local, durante um período de 50 anos (para a construção de edifícios) • Flood Data → caudal máximo anual de um rio, em metros cúbicos, medido num dado local, durante 60 anos (planeamento de prevenção contra inundações). • Wave Data → altura de onda máxima anual, em pés, observadas num dado local ao longo de 50 anos (construção de quebra-mar). • Epicenter Data → a distância, em milhas, de uma dada central nuclear ao epicentro dos 60 terramotos mais recentes, e com grau de intensidade acima de um certo limiar (prevenção do risco associado a sismos próximos da central nuclear). Os geólogos detectaram uma falha a 50Km da central e que será a principal causa dos sismos naquela área. • Precipitation Data → a precipitaçãp total anual em Filadélfia, nos últimos 40 anos, medida em polegadas, (prevenção contra seca). (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 12 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Castillo,E., Hadi,A.S., Balakrishnan,N. and Sarabia,J. M., (2005), Extreme Value and Related Models in Engineering and Science Applications, New York: John Wiley & Sons. Data Set Name Table Number Wind 1.1 Flood 1.2 Wave 1.3 Epicenter 1.9 Precipitation 1.13 http://personales.unican.es/castie/extremes/ (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 13 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelos de Valores Extremos ÷ • Análise de Valores Extremos Modelos dirigidos para Valores extremos, não valores centrais; modelar a cauda da distribuição de interesse •Problema: Como fazer inferência para além da amostra de dados ? •Uma Resposta: usar técnicas baseadas na Teoria de Valores Extremos de forma a proceder a inferências estatísticas sobre acontecimentos raros usando apenas uma quantidade limitada de dados! • Notação: 1 2 ( , , , ) amostra da caracteristica Amostr , modelo ( ) a . n X X X X F x ÷ = s s ÷ s 1: 2: : : =: Amostra Ordenada n n n n n n m X X X M ( ) ( ) 1 ( Cauda de ). F x P X x F x F = > = ÷ ÷ Máximo da Amostra + Mínimo da Amostra + (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 14 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa População e Amostra ÷ X variável aleatória. Trata-se da característica de estudo (População). • Notação: 1 2 ( , , , ) n X X X amostra aleatória. Réplicas de X . ÷ valor que a v.a. pode assumir x 1 2 ( , , , ) n x x x amostra de dados (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 15 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa v.a. discreta e v.a. contínua • Exemplo 1: Suponhamos que o estado de determinada estrutura de betão (uma ponte, por ex) pode ser classificado em uma de 3 categorias: MAU, RAZOÁVEL ou BOM Seja X a v.a. que assume três valores v.a. discreta { } ÷1 , 0 , 1 Seja Y a v.a. que assume valores numa escala contínua de 0 a 10 v.a. contínua { } s s ÷ ( ¸ ¸ :0 10 0,10 y y (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 16 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelo Probabilístico discreto • Exemplo 1(cont): é possível estabelecer que na referida ponte 20% do betão está em estado MAU, 30% é RAZOÁVEL e 50% está BOM. Se um pedaço da estrutura for analisado ao acaso, então: = ( ¸ ¸ = ÷ = ( ¸ ¸ 1 0.2 P MAU P X = ( ¸ ¸ = = ( ¸ ¸ 0 0.3 P Razoavel P X = ( ¸ ¸ = = ( ¸ ¸ 1 0.5 P BOM P X x | -1 0 1 total ___________________________ P[X=x] | 0.2 0.3 0.5 1 • Função de massa de probabilidade (f.m.p.) f.m.p. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x Med(X):= Mediana de X = 0 (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 17 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelo Probabilístico discreto • Exemplo 1(cont): calcular a probabilidade de, escolhido um pedaço de betão ao acaso, o estado não ser MAU. ( ) 1 0.2 P A P X = = ÷ = ( ¸ ¸ x | -1 0 1 _____________________ F(x) | 0.2 0.5 1.0 • Função de distribuição (f.d.) F(x)=P [Xs x] Acontecimento A={MAU} = {X=-1}; Acontecimento contrário A c ={não MAU} ={X=0 ou X=1} ( ) 1 1 1 0.2 0.8 c P A P X = ÷ = ÷ = ÷ = ( ¸ ¸ ( ) 0 ou 1 0 1 0.3 0.5 0.8 c P A P X X P X P X = = = = = + = = + = ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ f.d. 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x [ 0] P X = [ 1] P X = ÷ [ 1] P X = Med(X):= Mediana de X = 0 (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 18 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa f.d.p. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 2 4 6 8 10 y 6 . 1 4 0.5 0.3 0.2 Mau Razoável Bom 4 . 1 8 Modelo Probabilístico contínuo • Exemplo 1(cont): de acordo com uma escala contínua de 0 a 10, e estabelecendo ainda que na referida ponte 20% do betão está em estado MAU, 30% é RAZOÁVEL e 50% está BOM, um modelo probabilístico possível é dado pela função densidade de probabilidade (f.d.p.) na figura e de acordo com as classificações nas categorias: 0 4.18 0.2 P MAU P Y = ( ¸ ¸ s < = ( ¸ ¸ 4.18 6.14 0.3 P Razoavel P Y = ( ¸ ¸ s < = ( ¸ ¸ = ( ¸ ¸ s s = ( ¸ ¸ 6.14 10 0.5 P BOM P Y • Função densidade de probabilidade (f.d.p.): f(y) Med(Y) := Mediana de Y=6.14 | | | | = ÷ | | \ . \ . s s 2 ( ) 1.2 1 , 10 10 0 10 y y f y y (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 19 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelo Probabilístico contínuo f.d.p. 0 0.1 0.2 0 2 4 6 8 10 y F (y ) f.d. 0 0.5 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.14 M e d ( Y ) F(y) y • Função de distribuição (f.d.): F(y)=P[Ys y] Med(Y) := Mediana de Y=6.14 ÷· = = } ( ): ( ) ? y F f t dt y (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 20 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa f.d. 0 0.5 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.14 M e d ( Y ) F(y) y Modelo Probabilístico contínuo f.d.p. 0 0.1 0.2 0 2 4 6 8 10 y F (y ) ÷· = = } ( ): ( ) ? y F f t dt y • Função de distribuição (f.d.): F(y)=P[Ys y] Med(Y) := Mediana de Y=6.14 (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 21 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa f.d. 0 0.5 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.14 M e d ( Y ) F(y) y Modelo Probabilístico contínuo f.d.p. 0 0.1 0.2 0 2 4 6 8 10 y F (y ) ÷· = = } ( ): ( ) ? y F f t dt y • Função de distribuição (f.d.): F(y)=P[Ys y] Med(Y) := Mediana de Y=6.14 (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 22 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelo Probabilístico Discreto s = > ( ¸ ¸ = = ( ¸ ¸ = = ( ¸ ¸ ¿ ¿ 0 1 ( ) : x t x P X x P X x F x P X t ÷· > = = } } ( ) 0 ( ) 1 ( ) : ( ) x f x f x dx F x f t dt R Modelo Probabilístico Contínuo (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 23 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelo Probabilístico Discreto [ ] : x E X x P X x = · = ( ¸ ¸ ¿ [ ]: ( ) E X x f x dx = · } R Modelo Probabilístico Contínuo Valor Médio de X • Exemplo1.(cont.): = ÷ × + × + × = [ ]: ( 1) 0.2 0 0.3 1 0.5 0.3 E X | | | | = · = · ÷ = | | \ . \ . } } 2 10 10 0 0 [ ]: ( ) 1.2 1 6.0 10 10 y y E Y y f y dy y dy (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 24 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Média da Amostra 1 2 ( , , , ) n X X X amostra aleatória. Réplicas de X . ÷ = ÷ ÷ 1 2 ( , , , ) (1, 1, 1,1,1,0,1,0,1,1) n x x x amostra de dados = = ¿ 1 1 n i i X X n { } { } = = = + ÷ + ÷ + + + + + + + = = × ÷ + × + × = ¿ 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 0 1 0 1 1 10 1 2 ( 1) 2 0 6 1 0.4 10 n i i x x n µ = 0.3 X (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 25 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Média da Amostra 1 2 ( , , , ) n Y Y Y amostra aleatória. Réplicas de Y . ÷ = 1 2 ( , , , ) (9.0,2.0,3.5,8.5,6.5, 4.0, 4.5,6.0,8.0,7.0) n y y y amostra de dados = = ¿ 1 1 n i i Y Y n { } = = = = ¿ 1 1 1 59 5.9 10 n i i y y n µ = 6 Y (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 26 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Amostra Ordenada s s s 1: 2: : n n n n Y Y Y Amostra ordenada (e.o.’s) ÷ s s s s s s s s s 3.5 4.0 4.5 6.0 6.5 2. 7.0 8.0 8.5 0 9.0 = + = (6.0 6.5) /2 6.25 mediana da amostra dados ordenados s s s 1: 2: : n n n n y y y ÷ ÷ ÷ Mínimo Máximo (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 27 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelo Probabilístico Discreto = · = ( ¸ ¸ ¿ 2 2 [ ]: x E X x P X x = · } 2 2 [ ]: ( ) E X x f x dx R Modelo Probabilístico Contínuo Variância de X • Exemplo1.(cont.): = ÷ × + × + × = 2 2 2 2 [ ]: ( 1) 0.2 0 0.3 1 0.5 0.7 E X | | | | = · = · ÷ = | | \ . \ . } } 2 10 10 2 2 2 0 0 [ ]: ( ) 1.2 1 40 10 10 y y E Y y f y dy y dy o µ µ µ ÷ = ÷ = ÷ = 2 2 2 2 [ ]: [( ) ] [ ] , com [ ] Var X E X E X E X o = ÷ = 2 2 : 0.7 (0.3) 0.61 X o = ÷ = 2 2 : 40 6 4 Y (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 28 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Variância da Amostra 1 2 ( , , , ) n X X X amostra aleatória. Réplicas de X . ÷ amostra de dados da população X = = = ÷ ~ ÷ ÷ ¿ ¿ 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) , para grande 1 n n i i i i S X X X X n n n = ÷ ÷ 1 2 ( , , , ) (1, 1, 1,1,1,0,1,0,1,1) n x x x = = = ÷ = ÷ = ¿ ¿ 10 10 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 0.71 ( ) 0.64 9 10 i i i i s x x x x o = 2 0.61 X (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 29 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Variância da Amostra 1 2 ( , , , ) n Y Y Y amostra aleatória. Réplicas de Y . ÷ = 1 2 ( , , , ) (9.0,2.0,3.5,8.5,6.5, 4.0, 4.5,6.0,8.0,7.0) n y y y amostra de dados da população Y = = = ÷ ~ ÷ ÷ ¿ ¿ 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) , para grande 1 n n i i i i S Y Y Y Y n n n = = = ÷ = ÷ = ¿ ¿ 10 10 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 5.43 ( ) 4.89 9 10 i i i i s y y y y o = 2 4 Y (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 30 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Excedência de nível Excedência:. Seja X uma v.a. e u um dado valor de nível. O acontecimento {X=x} é denominado de excedência do nível u se x> u. 0 1 2 3 4 u= X=x (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 31 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Excedência de nível e modelo Bernoulli Exemplo:. As ondas podem destruir um quebra-mar quando as suas alturas excedam um dado valor, digamos 9m. Então não importa se a altura de uma onda é 9.5, 10, 0u 12m , porque as consequências destes acontecimentos são as mesmas. Seja X uma v.a. da altura das ondas e Y u a v.a. definida por é uma v.a. de Bernoulli com probabilidade de sucesso ¦ = ´ ¹ ˆ 1, se ocorre excedencia : ˆ 0, se nao ocorre excedencia u Y u Y = > [ ] u p P X u = = ÷ [ ] [ ] (1 ) u u u u u E Y p Var Y p p (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 32 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Excedência de nível e modelo Bernoulli Exemplo(altura de onda máxima anual): Ao planear um quebra- mar, os engenheiros civis necessitam de definir o nível de altura de onda, o qual corresponde à altura tal que o quebra-mar terá a resistência suficiente para a enfrentar, no caso de ocorrer, sem estragos. Então um planeamento natural para esse valor seria tomar a altura máxima de onda que atinge o quebra-mar durante o seu tempo de vida. Contudo, este valor é aleatório e não pode ser encontrado. Então, a única coisa que um engenheiro pode fazer é escolher este valor de modo a que venha a ser excedido com uma pequena probabilidade. Para obter esta probabilidade (ou o valor) é necessário conhecer a probabilidade de excedência de certos valores ao longo do ano. Se estivermos interessados no acontecimento da altura máxima anual de onda exceder um dado nível h 0 , temos uma v.a. Bernoulli. (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 33 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Período de Retorno e modelo Geométrico Suponha-se que um dado acontecimento A (cheia, excedência de nível,…) é tal que a probabilidade de ocorrência durante um período (1 ano) é um pequeno valor p. Consideremos a sequência de experiências de Bernoulli (A ou A c ) ao longo do tempo. O tempo (em anos) até a primeira ocorrência A é uma v.a. Geométrica X , com E[X]=1/p. Período de retorno: Seja A um acontecimento, e T o tempo aleatório entre sucessivas ocorrências de A. O valor médio de T, E[T] é designado por período de retorno de A. (tempo médio para o retorno desse acontecimento) (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 34 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Períodos de Retorno Se F é a f.d. do máximo anual X, o período de retorno, T x, do acontecimento A={X>x} (excedência) é T x = 1/P[A] = [1-F(x)] -1 anos . Se F é a f.d. do mínimo anual X*, o período de retorno, T x *, do acontecimento A*={X<x} (“shortfall”ou queda) é T x * = 1/P[A*] = [F(x)] -1 anos . (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 35 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Período de Retorno de uma cheia Exemplo: Seja F a f.d. do cheia máxima anual (em m 3 /seg) numa dada secção do rio ( ÷ | | = ÷ ÷ ( | \ . ¸ ¸ 38.5 ( ) exp exp 7.8 modelo Gu x F x mbel. O período de retorno de cheias de 70 m 3 /seg é = = ÷ 70 1 57.24 anos. 1 (70) T F Quer dizer: uma cheia máxima anual de 70 m 3 /seg ocorre, em média uma vez em 57.24 anos (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 36 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Nível de altura de onda Exemplo: Um quebra-mar é desenhado para resistir durante uma vida média útil de 50 anos. Seja F a f.d. da altura máxima anual de onda (em pés) é ( ÷ | | = ÷ ÷ ( | \ . ¸ ¸ 15 ( ) exp exp 4 modelo Gum h F h bel. O nível de altura de onda deverá verificar = ÷ 1 50 anos. 1 ( ) F h Quer dizer: nível de altura de onda é h =30.61 pés (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 37 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa f.d.p. x φ(x ) µ a b P [ a < X s b ] x f.d. 0 0.5 1 Φ(x ) x µ b a Φ(a) Φ(b) Modelo Normal N(µ,o) | ÷ | = ¢ } ( ) ( ): ( ) a b a x dx b • Função de distribuição (f.d.): Φ(x)=P[Xs x] Med(X) = E [ X ] = m (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 38 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelo Normal N(µ,o) f.d.p. x φ(x ) µ x µ÷ o µ+ o 68.27% (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 39 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelo Normal N(µ,o) f.d.p. x φ(x ) µ x µ÷ 2o µ+ 2o 95.45% (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 40 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelo Normal N(µ,o) f.d.p. x φ(x ) µ x µ÷ 3o µ+ 3o 99.73% (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 41 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelo Gumbel f.d.p. f (x ) µ x µ÷ o µ+ o 72.37% 14.41% 13.22% (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 42 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelo Gumbel f.d.p. f (x ) µ x µ÷ 2o µ+ 2o 95.71% 4.22% 0.07% (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 43 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelos Normal & Gumbel f.d.p. - 3 . 5 - 3 - 2 . 5 - 2 - 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 5 . 5 6 6 . 5 7 x φ(x ) f (x ) (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 44 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelos Normal & Gumbel f.d. 0 0.5 1 - 3 . 5 - 2 . 5 - 1 . 5 - 0 . 5 0 . 5 1 . 5 2 . 5 3 . 5 4 . 5 5 . 5 6 . 5 x Φ(x ) Λ( x ) (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 45 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Normal & Gumbel Gráfico das funções densidade relativamente aos modelos Normal e Gumbel, para idênticos valores médio e variância 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -3 2 7 Normal Gumbel Gráfico das funções densidade relativamente aos modelos Normal(0,1) e Gumbel padrão. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -3 2 7 Gumbel Normal (0,1) (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 46 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelo Normal N (µ,o) 2 1 1 ( ) exp , , , 0 2 2 X x x µ µ o o o t ¢ ÷ ( | | = ÷ e e > ( | \ . ( ¸ ¸ R R • f.d.p. de X • Valor médio de X 2 1 1 ( ) exp , 2 2 z z z t ¢ ( = ÷ e ( ¸ ¸ R E X µ = ( ¸ ¸ • Variância de X 2 Var X o = ( ¸ ¸ • Normal padrão N (0,1) : X Z µ o ÷ = tem f.d.p. (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 47 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Modelo Gumbel (ì,o) 1 ( ) exp exp , , , 0 x x x f x ì ì ì o o o o ( ÷ ÷ | | = ÷ ÷ ÷ e e > ( | \ . ¸ ¸ R R • f.d.p. de X • Valor médio de Z 0.57772 E Z = ( ¸ ¸ • Variância de Z 2 6 Var Z t = ( ¸ ¸ • Gumbel (0,1) : X Z ì o ÷ = tem f.d. ( ) exp exp , x x x ì o ( ÷ | | = ÷ ÷ e ( | \ . ¸ ¸ A R • f.d. de X ( ) ( ) exp exp , z e z z e z ÷ ÷ ( = ÷ ÷ = e ¸ ¸ A R (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 48 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Função distribuição empírica 1 2 ( , , , ) n X X X dados ordenados s s s 1: 2: : n n n n x x x amostra aleatória. Réplicas de X com f.d. F(x)=P[Xsx] ? ? ÷ 1 2 ( , , , ) n x x x amostra de dados • função distribuição empírica (f.d.e.) + = . < ¦ ¦ ¦ = s < ´ ¦ > ¦ ¹ 1: : 1: : 1, , - 1 0 , se ( ) : , se , 1 , se n n i n i n n n i n x x x x x x x x i F n Modelo ? Qual a f.d. F da população? (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 49 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa f.d.'s e f.d.e. 0 1 - 3 . 5 - 2 . 5 - 1 . 5 - 0 . 5 0 . 5 1 . 5 2 . 5 3 . 5 4 . 5 5 . 5 x Φ(x ) Λ( x ) 0.05 0.95 Λ -1 (0.95) Φ -1 (0.95) Q0.95 f.d.e. Quantis extremos: Normal ou Gumbel?? = 1:10 2:10 10:10 ( , , , ) (-1.5,-0.5,-0.2,0.1,0.2,0.5,0.8,0.9,1.3,2.1) x x x Modelo ? amostra gerada do modelo Gumbel ! (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 50 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Caudas Pesadas ou Leves ? • Fazemos frequentemente uma distinção (mesmo que instintiva!...) entre distribuições “bem-comportadas” e distribuições “perigosas” com cauda pesada A classe das distribuições “bem-comportadas” consiste naquelas distribuições com cauda limitada exponencialmente, → grandes observações não são impossíveis, mas a probabilidade de ocorrência decresce a uma velocidade exponencial para zero, à medida que o nível de patamar se torna cada vez maior. → caudas leves. Por outro lado, uma das principais preocupações é a detecção de distribuições consideradas “perigosas” → distribuições de cauda pesada → não existe um limite exponencial, sendo mais provável que se obtenham grandes observações. As grandes observações exercem forte influência na soma total das observações. (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 51 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Normal vs. Gumbel de máximos Gráficos da f.d.p. e da f.d. do máximo de amostras de dimensão n=1,2,10,100,1000,10000 provenientes do modelo Normal(0,1) Gráficos da f.d.p. e da f.d. do máximo de amostras de dimensão n=1,2,10,100,1000,10000 provenientes dos modelos Gumbel padrão. (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 52 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Normal vs. Gumbel de mínimos Gráficos da f.d.p. e da f.d. do mínimo de amostras de dimensão n=1,2,10,100,1000,10000 provenientes do modelo Normal(0,1) f.d.p. e f.d. do mínimo de amostras de dimensão n=1,2,10,100,1000,10000 provenientes dos modelos Gumbel de mínimos padrão. (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 53 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa 1 ( ). n n P X x P X x F x = s s ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ = 1 [ ] , , n n P M x P X x X x s = s s ( ¸ ¸ • . . , sup( , ( ) 1), q c n F F M x x x F x ÷÷÷÷ = < limite superior do suporte Suponha- se que existem >0 e : , para d ) o ( to n n n n n n a b P M G b z a z z ÷· e s + ÷÷÷÷÷ e ( ¸ ¸ R R • Então Teoria Básica - A distribuição do Máximo M n :=X n:n ( ) 1 / exp 1 , 1 0, se 0 ( ) exp( exp( )), z , se 0 ( ) z G z z G z z ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ÷ ¦ ( ÷ + + > = ¦ ¸ ¸ ÷ = ´ ¦ ÷ ÷ e = ¹ R F ¸ e G D( ) [GVE- Generalizada de Valores Extremos] Representação de von Mises-Jenkinson • (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 54 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa As distribuições the Valores Extremos (máximos) • • • (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 55 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa GVE(¸) -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Gev(0.5)=Fréchet Gev(-0.5)=Weibull Gev(0)=Gumbel (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 56 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa ( ) = ÷ > · · > ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷ ÷ 1 1 1 1 ( ) . n n P X x P X x F x • ÷÷÷÷ = > . . * * , inf( , ( ) 0), q c n F F m x x x F x limite inferior do suporte ÷· e ( s + ÷÷÷÷÷ e ¸ ¸ * * * * * Suponha- se que existem >0 e : , para tod ( ) o n n n n n n a b P m G a z z b z R R • Então Teoria Básica - A distribuição do Mínimo m n :=X 1:n ( ) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ÷ ¦ ( ÷ ÷ ÷ ÷ > = ¦ ¸ ¸ ÷ ÷ ÷ = ´ ¦ ÷ ÷ e = ¹ = 1/ * * 1 exp 1 , 1 0, se 0 ( ) 1 ( ) 1 exp( exp( )), z , se 0 ( ) z z G z G z G z z R * G ¸ e F D( ) [GVE*- de mínimos] • s = ÷ > = ÷ > > ( ¸ ¸ 1 [ ] 1 [ ] 1 , , n n n P m x P m x P X x X x (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 57 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa As distribuições the Valores Extremos (mínimos) • A GVE* engloba os 3 tipos de mínimos:[Fisher-Tippett] • Fréchet de mínimos: • Weibull de mínimos: • Gumbel de mínimos: o o o ÷ u = ÷ ÷ ÷ < > * ( ) 1 exp( ( ) ), 0, 0; z z z o o o + = ÷ ÷ > > * ( ) 1 exp( ), 0, 0; z z z * ( ) 1 exp( exp( )), . z z z A = ÷ ÷ e R ¸ o = > 1/ 0 ¸ = 0 ¸ o = ÷ < 1/ 0 (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 58 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa p-quantis da população e p-quantis empíricos • População : X com f.d. F(x) = tal que , ( ) p p x x F p • p-quantil de X : dados ordenados s s s 1: 2: : n n n n x x x • p-quantil empírico : + [ ] 1: com [ ]:= "parte inteira de " , p n n p n np x ÷ = tal que , : ( ) p p x x F p (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 59 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa p-quantis das distribuições de Valores Extremos (máximos) • GVE : • Fréchet : • Weibull : • Gumbel : ¸ = ( ) p G z p o + = ( ) p z p o u = ( ) p z p A = ( ) p z p ¸ ¸ ¸ ÷ ( = ÷ ÷ ÷ = ¸ ¸ 1 ( log( )) / , 0 p z p o o ÷ = ÷ > ( ¸ ¸ 1 log( ) , 0 p z p o o = ÷ ÷ > ( ¸ ¸ 1 log( ) , 0 p z p = ÷ ÷ ( ¸ ¸ log log( ) p p z (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 60 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa p-quantis das distribuições de Valores Extremos (mínimos) • GVE* : • Fréchet de mínimos: • Weibull de mínimos: • Gumbel de mínimos: ¸ = * ( ) p z G p o + = * ( ) p z p o u = * ( ) p z p A = * ( ) p z p ¸ ¸ ¸ ÷ ( = ÷ ÷ ÷ = ¸ ¸ 1 ( log(1 )) / , 0 p z p o o ÷ = ÷ ÷ ÷ > ( ¸ ¸ 1 log(1 ) , 0 p z p o o = ÷ ÷ > ( ¸ ¸ 1 log(1 ) , 0 p z p = ÷ ÷ ( ¸ ¸ log log(1 ) p p z (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 61 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa p-quantis para Modelos com Localização e Escala • Localização = ì Escala = o >0 ì o = + X Z ì o = + p p x z • p-quantil para X (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 62 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Papel de Probabilidades Plot (PPP) • Trata-se de um método gráfico de validação preliminar de um modelo F(x;a,b), associado à característica sob estudo, X, com base numa amostra observada. = ( ; , ) p F x a b • Obtenção de um papel de probabilidades: 1ºpasso: encontrar uma transformação que expresse a equação numa forma linear, ie, através duma recta do tipo = · + ( ) ( ) g p h x a b (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 63 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Papel de Probabilidades Plot (PPP) = = + : 1,2, , : , 1 i n i n i p n = : : 1, 2, , ( ) ( ) para , . i n i n i n p vers g u h s x • amostra de dados observados: dados ordenados: s s s 1: 2: : n n n n x x x 1 2 ( , , , ) n x x x • Definam-se as “plotting positions”: • Obtenção de um papel de probabilidades (cont.): 2ºpasso: marcar a núvem de pontos (plot) = ~ · + : : 1, 2, , ( ) ( ) , para i n i n i n h x a g b p Se o Modelo subjacente é F(x;a,b) ...... os pontos dispõe-se aproximadamente ao longo da recta , i.e., (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 64 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Papel de Probabilidades Plot (PPP) ì o o · + ÷ = = = = ÷ ÷ = ( ) ( ) , ( ) log( log( )), ( ) , 1 , g p h x g a b a p h x b p x • Exemplo: Gumbel (máximos), com localização ì ,escala o ( ; ) exp exp , , , 0; , x x x ì ì o ì o o ( ÷ | | A = ÷ ÷ e > ( | \ . ¸ ¸ R ì ì o o ( ÷ | | = A = ÷ ÷ ( | \ . ¸ ¸ · ( ; , ) exp exp x p x ì o ÷ | | ÷ = ÷ | \ . log( ) exp x p ì o ÷ ÷ = ÷ · log( log( )) x p obtendo-se a relação linear: ì o o ÷ ÷ = + · ÷ 1 log( log( )) p x (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 65 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Papel de Probabilidades Plot (PPP) o o ì o = = ÷ ÷ = · + = ÷ = ÷ ( ) ( ) , ( ) log( log( )), ( ) lo ) , g , ( log g p h x g p h x a p a b x b • Exemplo: Weibull (máximos), com localização ì e escala o o o o o o ì ì o ì ( ÷ | | + = ÷ ÷ < > ( | \ . ( ¸ ¸ fixado!) ( ; , ) exp , ( , ; , 0 x x x o o o ì ì o ( ÷ | | = + = ÷ ÷ ( | \ . ( ¸ ¸ · ( ; , ) exp x p x o ì o ÷ | | ÷ = ÷ | \ . log( ) x p o ì o ÷ | | ÷ = ÷ | \ . ·log( log( )) log x p o ì o o ÷ ÷ = ÷ ÷ + · log( log( )) log( ) log p x obtendo-se a relação linear: (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 66 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Transformações para PPP = · + , ( ) ( ) g p h x a b g(p) h(x) PPP ì o A( ; , ) x ì ÷ ÷ log( ) x o ì o u ( ; , ) x o ì o + ( ; , ) x ì o A * ( ; , ) x o ì o u * ( ; , ) x o ì o + * ( ; , ) x ÷ ÷ log( log( )) p ÷ ÷ log( log(1 )) p ì ÷ ÷ log( ) x ì ÷ log( ) x ì ÷ log( ) x x x ÷ ÷ log( log( )) p ÷ ÷ log( log( )) p ÷ ÷ log( log(1 )) p ÷ ÷ log( log(1 )) p (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 67 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Dados: “wave heights” – Tabela1.3 • amostra ordenada dos dados; dimensão : n=50 2.91 6.93 9.17 10.28 11.82 13.88 14.86 17.36 21.06 24.75 3.74 7.21 9.50 10.45 12.27 13.98 15.03 18.68 21.13 25.45 4.09 7.92 9.62 10.77 12.68 14.32 15.30 18.72 21.53 28.13 5.88 8.26 10.00 11.65 13.28 14.38 16.07 19.44 21.80 29.95 6.42 8.79 10.14 11.65 13.46 14.46 16.23 20.09 23.15 37.19 • Wave Data → altura de onda máxima anual, em pés, observadas num dado local ao longo de 50 anos (construção de quebra-mar). • Os dados foram obtidos em águas costeiras. •O objectivo do estudo é construir um quebra-mar. •A altura de onda é, por definição, uma variável aleatória não-negativa, limitada superiormente. Esta suposição é clara para águas costeiras, mas não evidente para o alto mar. (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 68 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Dados: “wave heights” – Tabela1.3 Wave Heights y = 0.165x - 1.8473 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 10 20 30 40 xi:n - l o g ( - l o g ( p i ) ) plot - PPP (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 69 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Dados: “wave heights” – Tabela1.3 Gumbel (máximos), com localização ì ,escala o ( ; ) exp exp , , , 0; , x x x ì ì o ì o o ( ÷ | | A = ÷ ÷ e > ( | \ . ¸ ¸ R localização ì ? escala o ? ì o o · + ÷ ÷ = = = = ÷ ÷ = = ÷ = = 0.165 1.8473 1 0.165, 1.847 ( ) ( ) ( ) , ( ) log( log( )), 3 ( ) g p h x h x g p p a h a x b b x o o ì o ì = = = = × = ˆ ˆ 6.06 1/ 0.165 1. ˆ ˆ ˆ 6.06 8473 1.8473 11.2 ì o A = A 11.2, 6.06 ( ; ) ( ; ) ˆ ˆ , x x (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 70 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Dados: “wave heights” – Tabela1.3 Gumbel (máximos) estimada 11.2,6.06 ( ; ) ( ; ) exp e 11.2 ˆ ˆ , 6.0 . 6 xp , x x x x ì o ( ÷ | | A = A = ÷ ÷ e ( | \ . ¸ ¸ R qual a probabilidade da altura de onda máxima anual exceder 40 pés? > = ÷ s = ÷ A ( ÷ | | = ÷ ÷ ÷ ( | \ . ¸ ¸ = ÷ = 11.2, 6.06 1 [ 40] 1 [ 40] 1 (40; ) 40 1 exp exp 1 0.991 1.2 6. 06 0.009 P X P X (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 71 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Dados: “wave heights” – Tabela1.3 Gumbel (máximos) estimada 11.2,6.06 ( ; ) ( ; ) exp e 11.2 ˆ ˆ , 6.0 . 6 xp , x x x x ì o ( ÷ | | A = A = ÷ ÷ e ( | \ . ¸ ¸ R qual o nível de altura de onda para um período de retorno de 50 anos? = ÷ A ' = ÷ ÷ = 11.2, 6.06 1 50 anos 1 ( ; ) 11.2 6.06ln( ln(0.98)) 34.85 pe s h h Quer dizer: para um período de retorno de 50 anos, nível de altura de onda é h =34.85 pés (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 72 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Q-Q plot – Tabela1.3 : ( ˆ ˆ ln( ln( )) ˆ ) i n x pi ì o ÷ = ÷ ÷ A qualidade da Gumbel (máximos) estimada? 11.2,6.06 ( ; ) ( ; ) exp e 11.2 ˆ ˆ , 6.06 xp , x x x x ì o ( ÷ | | A = A = ÷ ÷ e ( | \ . ¸ ¸ R Quer dizer: a núvem de pontos do Q-Q plot deverá estar sensivelmente ao longo da recta bissectriz do 1º quadrante. Wave Heights 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 10 20 30 40 : ( 1 1 . 2 6 . 0 6 l n ( l n ( ) ) ˆ ) i n x p i ÷ = ÷ ÷ A : i n x : , para 1,2, , i n i n x = versus (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 73 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa P-P plot – Tabela1.3 : : 11.2,6 ( .06 ( ; ) ˆ ) i n i n x x A = A qualidade da Gumbel (máximos) estimada? 11.2,6.06 ( ; ) ( ; ) exp e 11.2 ˆ ˆ , 6.06 xp , x x x x ì o ( ÷ | | A = A = ÷ ÷ e ( | \ . ¸ ¸ R Quer dizer: os pontos do P-P plot deverão estar sensivelmente ao longo da recta bissectriz do 1º quadrante, no quadrado [0,1]x[0,1] , para 1,2, , i i n p = versus Wave Heights 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 : : 1 1 . 2 , 6 ( . 0 6 ( ; ) ˆ ) i n i n x x A = A i p (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 74 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Dados: “Houmb” – Tabela1.6 • amostra ordenada dos dados; dimensão : n=24 • Houmb’s Data → altura significativa de onda máxima anual, medidas em Miken-Skomvaer (Noruega) e publicados por Houmb e Overvik (1977). • O objectivo do estudo é construir estruturas marítimas. 5.60 7.80 9.05 9.80 11.10 11.75 6.55 7.90 9.15 9.90 11.30 12.85 6.65 8.00 9.40 10.85 11.30 12.90 7.35 8.5 9.60 10.90 11.55 13.40 (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 75 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Dados: “Houmb” – Tabela1.6 plot - PPP Houmb's data y = 1.0684x + 1.652 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 -ln(13.5-xi:n) - l o g ( - l o g ( p i ) ) Weibull de máximos ?? ...localização ì =13.5 ??? (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 76 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Dados: “Houmb” – Tabela1.6 plot - PPP Weibull de máximos ?? ...localização ì =16 ??? Houmb's data y = 2.9637x + 5.7948 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 -ln(16-xi:n) - l o g ( - l o g ( p i ) ) (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 77 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Dados: “Houmb” – Tabela1.6 plot - PPP Weibull de máximos ?? ...localização ì =17 ??? Houmb's data y = 3.529x + 7.3812 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -2.5 -2 -1.5 -1 -ln(17-xi:n) - l o g ( - l o g ( p i ) ) (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 78 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Dados: “Houmb” – Tabela1.6 plot - PPP Weibull de máximos ! ...localização ì =13.5 ??? ...localização ì =16 ??? ...localização ì =17 ??? Prossiga-se com a estimação da escala o e forma o para: ... localização ì =13.5 ...localização ì =16 ...localização ì =17 para a Weibull estimada Q-Q plots ... P-P plots ... (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 79 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Ajustamento da GVE aos Máximos Anuais - MMA Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4 Bloco 5 • modelo GVE com parâmetros de localização ì e escala o ( ; , ) , , 0, ¸ ì ¸ ì o ì o ¸ o ÷ | | = e > e | \ . R R x G x G ¸ índice de cauda (forma) (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 80 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Ajustamento da GP aos Excessos de nível - POT • modelo GP com parâmetros de localização ì e escala o ( ; , ) 1 log ( ; , ) ¸ ¸ ì o ì o = + H x G x ¸ índice de cauda (forma) Excessos acima : d o - i u X u u (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 81 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Abordagem semi-paramétrica Maiores Observações (MO) (G ) ¸ eD F : n n X 1: ÷ n n X 2: ÷ n n X 3: ÷ n n X ÷ n n X k+1: ÷ ÷ n n X k+1: Nível aleatório (1) Modelação em Acontecimentos Raros – 82 Protecção Civil - Riscos Naturais e Tecnológicos ISEL Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Algumas Referências Beirlant, J., Goegebeur, Y., Segers, J. and Teugels, J.(2004). Statistics of Extremes: Theory and Applications. John Wiley & Sons. Castillo, E., Hadi, A. S., Balakrishnan, N. and Sarabia, J. M., (2005). Extreme Value and Related Models in Engineering and Science Applications, New York: John Wiley & Sons. Embrechts,P., Kluppelberg,C. e Mikosch, T. (1997). Modelling Extremal Events. Springer- Verlag. de Haan, L. (1990). Fighting the arch-enemy with mathematics. Statistica Neerlandica 44, 45-68. Reiss, R.-D. and Thomas, M. (2001). Statistical Analysis of Extreme Values, with Applications to Insurance, Finance,Hydrology and Other Fields. 2nd ed. Birkhauser. Verlag.