Las expresiones que contienen la palabra “El” y “Ella” también se consideran como enunciadoMINISTERIO DEDUCACION abierto. Ejemplos: Universidad Nacional de Piura Facultad de Ciencias Sociales y Educación x+2=3 Cierto día el Perú entro en crisis. x2 + y3 = 3 CAP. I.: LOGICA FORMAL ENUNCIADO Se llama enunciado a toda expresión matemática Ejemplos: 5–2=3 ENUNCIADO CERRADO: frase, oración o Se considera como enunciado cerrado a todo concepto bien definido. Ejemplo La historia es una ciencia social que estudia, analiza e interpreta los hechos importantes del pasado a través del tiempo y el espacio. ¡Te necesito Ven!. A boca cerrada no entra mosca. PROPOSICIÓN (Proposición lógica) Nota: - Es todo enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambos simultáneamente. Ejemplos: Toda proposición es un enunciado pero no viceversa. Todo enunciado cerrado es una proposición verdadera. 5–2=3 Paris es la capital de Francia. x2 – y2 = (x + y) (x – y) CAP. II.: CLASES DE PROPOSICIONES OBSERVACIÓN: (a) Se consideran como proposiciones: - Las oraciones aseverativas a) Informativas b) Descriptivas c) Explicativas - Las leyes científicas - Las fórmulas matemáticas - Las formulas y/o esquemas lógicos - Los enunciados cerrados (definiciones) (b) No son considerados como proposiciones - Las oraciones no aseverativas a) Exclamativas b) Imperativas c) Desiderativas d) Interrogativas Los hechos o personajes literarios Los proverbios, modismos y refranes Creencias religiosas, supersticiones y mitos Enunciados abiertos o indefinidos. PROPOSICIONES SIMPLES: Llamadas también atómicas o singulares, son aquellos enunciados que no llevan conectivos lógicos es decir tienen un solo sujeto y un solo predicado. Ejemplos La biología es una ciencia. Los Chancas 3<6 fueron grandes guerreros. CLASES DE PROPOSICIONES SIMPLES a) Proposiciones Simples Predicativas: Son aquellas expresiones que atribuyen o afirman un predicado a un sujeto. Generalmente obedecen a la fórmula: S Ejemplos es P ENUNCIADO Proposicional): ABIERTO (Función La biología es una ciencia. Los Chancas fueron grandes Llamados también enunciados indefinidos, son aquellos que contienen una variable o variables y que no tienen la propiedad de ser verdadero o falso. guerreros. 2, es un número primo Jamás A b) Proposiciones Simples Relacionales: Son aquellas expresiones en N cuales se las e relacionan dos o más sujetos que tienen la misma categoría gramatical. g (sustantivo, adjetivo, etc.) a Obedecen a la fórmula d S R S o S y S R r Ejemplos: e Isabel es prima de Juana. s 2+2=5–1 3<6 E PROPOSICIONES COMPUESTAS: x Llamadas también moleculares,t coligativas o complejas, son aquellas expresiones que se e obtienen de la combinación de dos o más proposiciones simples enlazadas r conectivos por 1 2 1 2 Es absurdo que A Es inconcebible que A No ocurre que A No es cierto que A Es imposible que A No es verdad que A Es mentira que A Es inadmisible que A No acaece que A No es innegable que A De ninguna forma se da A Es erróneo que A Es incierto que A Nadie que sea A Es incorrecto que A No es inobjetable que A No siempre que A No es que A En modo alguno A En forma alguna A b) lógicos. Ejemplos: “O pedro viaja a Europa o Asia” Si práctico deporte entonces tendré buen estado físico. CLASES COMPUESTAS a) DE PROPOSICIONES Conjuntiva Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción gramatical copulativa “Y” o expresiones equilvalentes. Ejemplo: La UNP forma profesionales y es un centro de investigación. Conector: ∧ ; . ; & ; x Formalización: p ∧ q EL CONJUNTOR Símbolos: A∧ B;A.B;A&B;AxB Traducción Verbal: se lee AyB A incluso B Negativa Son aquellas en donde el adverbio negativo “no” o sus expresiones equivalentes afectan a una o más proposiciones. Ejemplos: Es falso que Juan sea peruano. No es cierto que sea utilitarista y naturalista a la vez. Conector: ∼ , ¬ , – Formalización: ∼ p EL NEGADOR Símbolos: ∼ A, ¬A, - A Traducción Verbal: se lee No A Nunca A (negadores internos) 2 A pero B A aunque B A al igual que B A tal como B A tanto como B A también B A así como B A vemos que también B A al mismo tiempo que B A sin embargo B A es compatible con B A aún cuando B A del mismo modo B A de la misma manera B A no obstante B A empero B Tanto A como, cuanto B Siempre ambos A con B A sino B No sólo A sino también B A asimismo B A a pesar de B A a la vez B A igualmente B A de la misma manera B Sin que A tampoco B Cierto que A lo mismo que B Simultáneamente A con B Símbolos: A∨ B,A+B Traducción Verbal: se lee AoB A a menos que B a menos que A B A salvo que B A y bien, o también B A excepto B A o incluso B A o a la vez B A ya bien B A y/o B Disyuntiva excluyente Se vincula a través del conector ”o ………o…….” Ejemplo O estas despierto o estas durmiendo. Conector: ∨ ; ≡ ; ↔, Formalización: p ∆ q ∆, ⊕, >-< EL DISYUNTOR EXCLUYENTE Símbolos: A ∨ B;A ≡ B; A ↔ B, A>-<B; A∆B Traducción Verbal: se lee OAoB O bien A o bien B A o B (en sentidos excluyentes) A o solamente B A o únicamente B A o solo B A no es equivalente a B No es equivalente A con B A no biimplica a B c) Disyuntiva Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción disyuntiva “o” su expresión equivalente “u”. Pueden ser: Disyuntiva Incluyente Se vincula a través del conector ………………. Ejemplo Conector: …………... o Mónica es poeta o deportista ∨, + d) Formalización: p ∨ q Condicional Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción condicional “si…… entonces……………” o sus expresiones equivalentes. Ejemplo: Si práctico deporte entonces tendré buen estado físico. La proposición condicional consta de dos elementos, el antecedente y el consecuente. Las proposiciones condicionales pueden ser: EL DISYUNTOR INCLUYENTE Condicional directa ( Implicador ) Antecedente y consecuente van en ese orden respectivo. Ejemplo 3 Si A te vas entonces C estaré triste. Conector: →; ⊃ ; ⇒ Formalización: p → q EL IMPLICADOR Símbolos: A → B; A ⊃ B; A ⇒B Traducción Verbal: se lee Si A entonces B Siempre que A por consiguiente B Ya que A bien se ve que B Con tal que A es obvio que B Cuando A así pues B Toda vez que A en consecuencia B Ya que A es evidente B De A deviene B De A derivamos B A implica B Como quiera que A por lo cual B En el caso de que A en tal sentido B Una condición necesaria .para A es B A es condición suficiente para B A sólo si B De A deducimos (inferimos, concluimos, llegamos) en B, etc. Símbolos: A ← B; A ⊂B; B → A Traducción Verbal: se lee Sólo si A B A si B A porque B A siempre que B Es condición necesaria A para B A para B Para A es suficiente B A puesto que B A dado que B A supone que B A pues B A en vista que B, etc. e) Bicondicional Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción compuesta “si y sólo si” o sus expresiones equivalentes. Ejemplo: La pera es dulce si y sólo si está madura. Conector: ↔ , ≡ Formalización: p ↔ q EL BIIMPLICADOR Símbolos: A ↔ B, A ≡ B Traducción Verbal: se lee A si y solo si B A siempre y cuando B A se define lógicamente como B A es equivalente, equivale B A por lo cual mismo que B A si de la misma forma B A es idéntica a B A es igualmente (es igual, entonces )B A cada vez que y sólo si B A es equipotente a B A es condición necesaria y suficiente para B A siempre que y solo cuando B Condicional inversa (Replicador) Consecuente y antecedente van en ese orden respectivo. Ejemplo iré de vacaciones siempre que acabe con el A trabajo C Conector: ← ; ⊂ Formalización: p ← q EL REPLICADOR CAP. III.: FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES 4 Definición: Es el proceso por el cual una proposición escrita en el lenguaje natural es traducida a un lenguaje simbólico. Para ello cada proposición se reemplaza por una variable proposicional ( p, q, r, etc.) y el conector lógico por el operador correspondiente. Negación Conjunción Disyunción Débil Disyunción Fuerte Condicional Bicondicional no p pyq poq opoq si p entonces q p si y solo si q ∼ p p ∧q p ∨q p⊕q p →q p↔q SIGNOS DE AGRUPACIÓN: Son: ( [ { NOTA: 1) El operador lógico de mayor jerarquía dentro de un esquema molecular es aquel que esta fuera o entre menos signos de agrupación. 2) Cada esquema molecular tiene un nombre, el cual esta determinado por la constante lógica de mayor jerarquía ) : paréntesis ] : corchete } : llaves CARACTERÍSTICAS FORMALIZADO a) b) c) d) e) DEL LENGUAJE Es simbólico Es universal Es convencional Es abstracto No es ambiguo DEL LENGUAJE ELEMENTOS FORMALIZADO Variables: Son símbolos que pueden ser utilizados para reemplazar a cualquier fórmula o proposición, de allí el nombre de variables. Tenemos los siguientes tipos de variables: Variables Proposicionales: Son símbolos que reemplazan a las proposiciones simples y para ello se utilizan las letras minúsculas a partir de la: p, q, r, s, .... Constantes: Llamado también operador o conectivo lógico, son símbolos que reemplazan a los conjunciones gramaticales y al adverbio de negación. Se clasifican: A) Monádicos: Cuando afecta a una variable o un esquema. Específicamente se trata de la negación (∼ ). Ejemplos: * ∼ p * (la negación afecta a la variable p) (la negación afecta a todo el ∼ [(p→q) ∨ (r↔s)] PASOS PARA FORMALIZAR: 1) Determinar las proposiciones simples que se encuentran reemplazarlos variable. 2) Identificar las conjunciones gramaticales y los adverbios de negación para reemplazarlos por sus respectivas constantes. 3) Jerarquizar las constantes lógicas, para ello debemos analizar los signos de agrupación y el sentido de la expresión. Recomendaciones I) La formalización debe ser literal (tal y como esta escrito no valen equivalencias) Ejemplos: - Es falso que Manuel no es millonario ∼ (∼ p) La cucaracha y el tiburón comen cualquier cosa p ∧q II) Las expresiones lingüísticas de doble negación (innegable, inobjetable, etc.) Se formaliza como tal Ejemplo: Es innegable que los vertebrados son reptiles ∼ ∼p III) Las negaciones por prefijos se formalizan Ejemplo: * Carmen es infeliz : OBSERVACIÓN Los términos: Ni p ni q ≡ ∼ p ∧∼ q ≡ p ↓ q No p o no q ≡ ∼ p ∨∼ q ≡ p | q ∼p en toda con la las expresión y variables preposicionales, cada proposición con una esquema que esta dentro del corchete) B) Diádicos: Cuando relaciona a dos variables o dos esquemas. En este rubro se encuentran todos los demás operadores lógicos. Ejemplos * (p→q) (El condicional “→” relaciona a dos variables p, q) * (p∨ ↔ (p→q) q) (La bicondicional “↔” relaciona dos esquemas) * p∨ r) (q∧ (La disyunción “∨ relaciona a ” un esquema y a una variable) CONSTANTES U OPERADORES LÓGICOS 5 CAP. IV.: VERDAD FORMAL FUNCIÓN DE VERDAD: Es la correspondencia que existe entre el conjunto de proposiciones y sus valores de verdad. o p V V F F q V F V F p ← V V F V q La Disyunción Excluyente p V V F F q V F V F p ∨ F V V F q A p q r . . f B V F o La Bicondicional p V V F F q V F V F p ↔ V F F V q COMBINACIÓN DE UNA PROPOSICIONES Obedece a la siguiente fórmula: O MAS Número de Combinaciones = 2n Donde: n = número de variables proposicionales TAUTOLOGÍA Cuando en el esquema molecular todos son verdaderos. DEFINICIÓN o DE PROPOSICIONES COMPUESTAS La Negación p V F ∼p F V CONTRADICCIÓN Cuando en el esquema molecular todos son falsos. o La Conjunción p V V F F q V F V F p ∧ V F F F q CONTINGENCIA Cuando en el esquema molecular resultan verdaderos y falsos. o La Disyunción Incluyente p V V F F q V F V F p ∨ V V V F q o El Implicador p V V F F q V F V F p → V F V V q o El Replicador 6 PROBLEMAS PROPUESTOS Practiquemos en el aula 1. A continuación se te presenta cuatro tarjetas, cada una con cinco alternativas. Selecciona la(s) que consideres correcta y completa en De las siguientes los espacios en blanco: Son ejemplos de expresiones: proposiciones: 1 2 1. ¡Buenas Noches! 1. Tres mas dos es mayor que dos 2. ¿Cómo estas? mas uno. 3. El Perú es un país 2. ¡Hola! sudamericano. 3. El cuadrado es un 4. Vete a comprar al mercado. paralelogramo. 5. Te deseo suerte en tu 4. Deseo viajar al Cuzco. examen. 5. La Antártica es un continente Son enunciados: perdido. ____Todas_________ Son ciertas: ____1,3,5_________ ______________________________ De las siguientes expresiones: 3 Dios mío. El Perú es un país latinoamericano. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. X es un eminente profesor del Pronafcap. El “Tungsteno” es una obra de Vallejo. No son proposiciones:_____________ ______________________________ 4 De los siguientes enunciados, no son proposiciones: A grandes males, grandes remedios. Julio y Enrique son amigos. 3,1416 es mayor que 3,11112 Mañana es sábado si hoy es viernes. El Huascarán tiene 6768mts de altura. Son correctas:____________________ 2. Se te presentan un tablero que contiene, proposiciones simples y compuestas. Identifica cuales son y formalice dichos enunciados. 1.- Julio y Dante son 2.- El número 1332 es 3.- Justo al igual que 4.- El 28 de julio de 1821 5.- Roberto es político pero es 7 Hermanos. P. Compuesta PΛQ divisible por 11. P. Simple Gerardo son profesores. P. Compuesta PΛQ se celebra el día de la Independencia del Perú. P. Simple 9.-El que llueva es condición suficiente para obtener buenas cosechas. P. Compuesta P→Q honesto. P. Compuesta PΛQ 6.- No ocurre que, las aguas de las corriente peruana sean calientes. ¬p 7.- El Huascarán se encuentra en la cordillera Oriental de los Andes o se encuentra en la cordillera Occidental. P. Compuesta PVQ 12.-La neurona es la unidad biológica del sistema nervioso. 8.- La tierra es un planeta del sistema planetario solar. P. Simple 10.-.El Perú posee una extensión de 1 285 215,60 km2 P. Simple 11.- Piura es una ciudad calurosa y emprendedora. 13.-Todo vegetal realiza la fotosíntesis cuando y sólo cuando tiene clorofila. 14.- Es falso que, los políticos sean honestos. 15.- Mariela estudia sin embargo trabaja. 3. Analiza los siguientes párrafos o argumentos, descomponlos en sus proposiciones simples e identifica los conectores. a. Si la pena de muerte se implanta en el Perú por violación a niños menores de edad, las personas que cometen este delito serian sentenciadas a pena de muerte. Pero las personas que cometen violación a niños menores de edad no son sentenciados a pena de muerte, salvo que la pena de muerte se implante en el Perú por este delito. b. Si Lima no es la capital del Perú y Buenos Aires es la capital de Bolivia, entonces ambas no son capitales de Chile. c. O bien el asma afecta a los pulmones o bien al corazón y a los huesos; pero no es el caso que afecta al corazón del mismo modo a los pulmones. 8 d. Thales de Mileto fue matemático tal como filósofo. Calvino fue protestante si y solamente si no se sometió a la ortodoxia católica. En consecuencia Thales fue matemático salvo que también Calvino fue protestante. 4. Decida si cada una de las oraciones siguientes es o no una proposición. a. Tenga un feliz día. b. Levántese y pase a que lo cuenten. c. 8+15=23. d. No todos los números son positivos. e. El deporte es saludable. f. Desde 1950, más personas han muerto en accidentes automovilísticos que de cáncer. a. b. c. d. e. 5. Decida si cada una de las proposiciones siguientes es compuesta. Mi hermana contrajo matrimonio en Chiclayo. Yo leo novelas y leo periódicos. Se regarán las flores. El nombre de su tía es Lucía Hoy no llovió en el sur de Tumbes. 6. Represente con p a la proposición “Ella tiene ojos azules” y con q a “El tiene 43 años de edad”. Traduzca cada proposición compuesta a palabras. a. ~p b. ~q c. pνq d. pΛq e. ~p→q a) b) c) 7. Formalizar las siguientes proposiciones Verónica y Claudia son contemporáneas __________________ Perú y Chile son países con democracia ________________ Cuatro y Seis son múltiplos de dos ___________________ 9 d) e) f) g) La Lógica es una ciencia formal, la Matemática también ________ Mariátegui fue escritor, revolucionario y periodista ____________ Es falso que, voy a la capacitación y no a la biblioteca _________ Para que un cuerpo se caliente es suficiente que se dilate______ h) Es imposible pensar que Martin cometió este crimen a no ser que lo hizo por despecho. Sin embargo nunca tuvo problemas con su esposa, dado que ella fue una mujer inteligente. _______________ i) Si es absurdo que Morropón o Piura son la capital del departamento de Piura, luego se ve que Morropón o Chiclayo son la capital de Lambayeque _______________________ 8. Evaluar los siguientes esquemas moleculares. j) p V V F F q V F V F k) p q p →¬ ( p ∨ q ) ↔ ¬ p [ ( p ∨ ¬ q) ∧ ¬ ( p ∨ ¬ q)] ∧ ¬ q V V F F V F V F l) A B [ p ∆ ( ¬ p ∆ ¬ q)] ↔ [ (¬ p ∆ ¬ q ) ∆ q ] 10 V V F F V F V F 9. Sean las proposiciones p y q falsas y r verdadera. encontrar el valor de verdad de: ¬( p ∨ r) → ( ¬ r ∨ ¬ q ) a) V b) F c) Tautología Contingencia d) Contradicción e) 10. Si el esquema ( p → ¬ q ) es falso y ( p ∧ q ) ∨ r verdadera, hallar el valor de verdad de ( r ↔ q ) → ( p ∨ ¬ q ) . a) V b) F c) Tautología Contingencia d) Contradicción e) 11. Si p, q, r son proposiciones verdaderas y s es falso. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. • [( p ∧ q ) ∧ r ] → s • (p → q) → r • [( p ∧ q ) → (r ∧ s )] → (q ∧ s ) a) VVV 12. Si b) FFF c) VFV d) FVF e) FVV ¬ p ∨ ¬ q es verdadera b) FF y ( p ∧ q ) ↔ ( p ∨ q ) también es verdadera. ¿Cuales son los valores de verdad de p y q? c) FV d) VF a) VV 13. Si el esquema ( p ∧ ¬ r ) ↔ ( s → w) es verdadera y el esquema ( ¬ w → ¬ s ) es falso. Hallar el valor de verdad de: • ( p ∨ q ) ∨ (r ∨ s ) • ( s ↔ ¬ w) → ( r ∨ ¬ p ) • [T → ( w ∨ ¬ p ) ] ∧ ¬ ( p → r ) , (T es verdadero) a) VVV b) FFF c) VFF d) VVF e) FVV 11 14. Por la tabla de verdad, determina si cada una de los esquemas es tautológico, contradictorio o consistente. a) ¬ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( q → ¬ p ) b) ( p → q ) → [ ¬ q → ( r ∨ ¬ p ) ] c) [ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( ¬ r → q ) ] → ( r ∧ ¬ p ) 15. Diga cual(es) son proposiciones condicionales. a) No sólo hay deuda también hay pobreza. b) Es inadmisible que la vaca no es herbívoro ni mamífero. c) Dante no es rico pero es feliz. d) Si hay motivación, hay aprendizaje. e) Es falso que los precios no suben todos los días. f) No es verdad que el etanol no sea un alcohol. Bibliografía 1. ALLENDOERFER, Carl y OAKLEY, Cletus (1967): Introducción a la Matemática Superior, México: Mc Graw-Hill. 2. 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