DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALESFACULTAD DE CIENCIAS E E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INGENIERÍA INFORMÁTICA ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I TEMA: FRACCIONES SEMANA: 01 TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 501 SEMESTETRE: 2015 - II PROPOSICIÓN LÓGICA El ser humano en la vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito,..., etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones, estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo este el precedente fundamental para el desarrollo del pensamiento humano. Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los enunciados (frases u oraciones) y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de estas podemos llegar a una conclusión, siendo la ciencia encargada del estudio de estas, la lógica. ENUNCIADO.- Denominamos así a toda frase u oración. Ejemplos: 1) Prohibido fumar. 2) x2+y2≥9 3) Tribunal en Lima verá denuncias sobre Ancash 4) 4x – 1= – 5 5) ¿Qué hora es? 6) Fallo contra megacomisión enfrenta al Poder Judicial y al Congreso 7) Él es estudiante de la facultad de ciencias Administrativas y Contables 8) - 6,78 > 1,43 9) El desempleo bajó levemente en febrero 10) ¡Auxilio! 11) Deténgase. 12) Ollanta Humala no es el presidente del Perú. 13) Paolo guerrero es jugador de futbol 14) ¿Dónde estabas? 15) Prohibido hacer ruido 16) Juez anula todos los informes que acusan a García PROPOSICIÓN.- Una proposición es un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas simultáneamente. 1. Café con leche. 2. Está viajando. 3. Ve la televisión. 4. Lee una carta. 5. Se baña temprano. 6. Amarra sus zapatos. 7. Bolea sus zapatos. 8. Abre la ventana. 9. Cierra la puerta. 10. Pinta su casa. 11. El vende comida. 12. Lava los trastos. 13. Pinta un cuadro. 14. Toma fotografías. Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL.
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[email protected] Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ 999685938 Página 1 de 13 DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INGENIERÍA INFORMÁTICA ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I 15. Está estudiando. 16. Juega futbol. 17. Practica basquetbol. 18. Lee el periódico. 19. Lávate los dientes. 20. Él está fumando. 21. Vamos a comer. 22. Se lava los dientes. 23. Come nieve. 24. Salió a comer. 25. Usa gafas. 26. Tiene anteojos. 27. Un diente picado. 28. Tiene mucho volumen. 29. Está escribiendo. 30. Se está rasurando. 31. Va a afeitarse. 32. Ve una película. 33. Está en el teatro. 34. Está con sus amigos 35. Tiene una motocicleta Representación simbólica: p, q, r, s, t,..., etc. Ejemplos: VALOR DE REPRESENTACIÓN PROPOSICIÓN VERDAD SIMBÓLICA p: El pentágono tiene cuatro lados F r: Mario Vargas Llosa escribió conversación en la catedral V s: Ica es la región más afectada por el terremoto del 2 007 V t: El parque de la identidad se encuentra ubicado en Chilca F p: -4+3=7 F r: 3,56 > 0,099 V El valor veritativo o valor de verdad de una proposición se expresa simbólicamente. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota por V(p) Se escribe: V(p) = V. Si valor de verdad de la proposición p es verdadera Se lee: el valor de verdad de la proposición p es verdadera Se escribe: V(p) = F. Si valor de verdad de la proposición p es falsa Se lee: el valor de verdad de la proposición p es falsa EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES LÓGICAS.- Son las expresiones que indican orden, advertencia, saludo, exclamación o interrogación. Es decir, estas expresiones sólo se quedan como enunciados. Ejemplos: - Miguel Lic.: ¡Buenos días!. Ángel Tarazona Giraldo - ¡Hola, Harry! E_MAIL.
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[email protected] - ¿Qué edad tienes? Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ 999685938 - No faltes. - Prohibido fumar. - ¿Así se llaman esas criaturas? - Página 2 de ¡Viva 13 la matemática! DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INGENIERÍA INFORMÁTICA ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I ENUNCIADOS ABIERTOS.- Los enunciados que usan las palabras “el”, “ella” o las letras x, y, z, ... , etc. No tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos, es decir, no son proposiciones. Pero, si a estas palabras o letras se les asigna un determinado objeto o valor, llamado constante, el resultado es una proposición. A este tipo de enunciados se les denomina enunciados abiertos. Ejemplos: - Ella es estudiante de contabilidad - x–3>7 - 5x + 3y = 2 Si en el primer ejemplo reemplazamos ella por Meredditt, se tiene, “Meredditt es estudiante de contabilidad”, que es una proposición donde su valor de verdad es V ó F dependiendo de que si Meredditt sea o no estudiante de contabilidad. Si en el segundo ejemplo “x” toma un valor menor o igual que 10 la proposición es falsa y si “x” toma un valor mayor a 10 la proposición es verdadera. En el tercer ejemplo las variables o letras “x” , “y” pueden tomar infinitos valores para que el valor de verdad de la ecuación sea verdadera o falsa. CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS.- Los conectivos lógicos son símbolos que enlazan proposiciones simples o atómicas, sin formar parte de ellas: estos símbolos también toman el nombre de operadores. Los conectivos lógicos que usamos en matemática son: LENGUAJE LENGUAJE NOMBRE DEL OPERADOR COLOQUIAL SIMBÓLICO no ~ La negación y La conjunción o La disyunción inclusiva Si ... entonces ... La condicional ... sí y sólo sí ... La bicondicional O bien ... o bien La disyunción exclusiva = Delta (Cuarta letra del alfabeto griego que corresponde a “d” latina) CLASES DE LÓGICAS: PROPOSICIONES PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS.- Cuando en ella no existe conectivo u operador lógico alguno. 01. Un caballo negro. 02. Él está dormido. 03. Mi computadora. 04. Es un teléfono. 05. Está lloviendo. 06. Un día nublado. Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL.
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[email protected] Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ 999685938 Página 3 de 13 DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INGENIERÍA INFORMÁTICA ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I 07. Usa zapatos. 08. Se está peinando. 09. Lava su ropa. 10. Está planchando. 11. Vamos a comer. 12. Va a leer. 13. Salió el sol. 14. Va caminando. 15. Déjalo hablar. Ejemplos: - p: El cuadrado tiene 5 lados - q: 3 x 4 = 12 - r: 9 es múltiplo de 3 PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES.- Cuando en ella existe o está presente al menos un conectivo u operador lógico. “El frijol es amarillo o negro” (en esta oración se puede comprobar si el frijol es de un color u otro estando dividida entre amarillo y negro y de éstos se desprende la verdad). “Su teléfono es negro o rosa” (En esta oración, se puede comprobar si el teléfono es de un color u otro, teniendo sólo dos posibilidades). “Él está componiendo coches o motocicletas” (Esta oracioón tiene la discrepancia entre el tipo de compostura que hace). “La computadora es grande o pequeña” (La oración se divide por el tamaño lo que nos dará la conclusión correspondiente). “La computadora es negra o blanca” (tiene una discrepancia que puede cargar la veracidad en un sentido u otro). Ejemplos: p: 12 - 5 ≠ 9 q p: Rosario jugó, aunque estuvo lesionado q p: Llegué tarde porque el carro se malogró OPERACIONES CON PROPOSICIONES.- Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números, en lógica se estudian operaciones entre proposiciones. LA NEGACIÓN.- La negación de una proposición p se escribe “~ p” y se lee “no p” ó “no es cierto que p” ó “es falso que p” y es otra proposición que niega que se cumpla p. p ~p V F F V Ejemplo: Sea la proposición: p: 4 x 5 = 20 (V) Su negación es: ~ p: no es cierto que 4 x 5 = 20 (F) Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL.
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[email protected] Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ 999685938 Página 4 de 13 DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INGENIERÍA INFORMÁTICA ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I o se puede escribir: ~ p: 4 x 5 ≠ 20 (F) Simbólicamente: V( ~ p) = F LA CONJUNCIÓN.- Dadas las proposiciones p, q, se simboliza “p ∧ q” y se lee “p y q”, sólo es verdadero cuando ambos son verdaderos, en los demás casos siempre es falso. p q pq V V V V F F F V F F F F Ejemplo: Sean las proposiciones: p: 7 es un número par (F) q: 7 es menor que 5 (F) p q: 7 es un número par y 7 es menor que 5 (F) Simbólicamente: V(p q) = F NOTA: En toda proposición, las palabras: “pero”, “sin embargo”, “además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez”, etc. Equivalen al conectivo ” “ LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA.- Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p ∨ q” y se lee “p ó q”, sólo es falso cuando ambos son falsos, en los demás casos siempre es verdadero. p q pq V V V V F V F V V F F F Ejemplo: Dadas las proposiciones: p: 4 < 7 (V) q: 4 = 7 (F) p q: 4 < 7 ó 4 = 7 (V) Simbólicamente: V(p q) = V LA CONDICIONAL.- Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p → q” y se lee “si p entonces q” ó “p implica q” ó “p es suficiente para que q”, etc., sólo es falso cuando el primero es verdadero y el segundo es falso, en los demás casos siempre es verdadero. ( p = antecedente y q = consecuente) p q pq V V V V F F F V V Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL.
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[email protected] Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ 999685938 Página 5 de 13 DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INGENIERÍA INFORMÁTICA ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I Ejemplo: p q : Si gano las elecciones entonces bajaré el precio de los combustibles Ejemplo: Sean las proposiciones: p: 3 es un número primo (V) q: 31 es un número par (F) p q : si 3 es un número primo entonces 31 es un número par (F) Simbólicamente: V(p q) = F NOTA: En toda proposición las palabras: “porque”, “puesto que”, “ya que”, “siempre que”, “cuando”, “si”, “cada vez que”, “dado que”, son conectivos que representan a la condicional. Se caracterizan porque después de cada uno de estos términos esta el antecedente Ejemplo: No jugué porque llegué tarde p: no jugué (consecuente) q: llegué tarde (antecedente) Simbólicamente: q p LA BICONDICIONAL.- “p ↔ q” y se lee “p si y solo si q”, es verdadero cuando los valores de verdad son iguales y es falso cuando los dos valores de verdad son diferentes. Dada dos proposiciones p, q se escribe p q p q V V V V F F F V F F F V Ejemplo: Sean las proposiciones: p: 3 < 7 (V) q: 3 + 5 < 7 + 5 (V) p q: 3 < 7 si y solamente si 3 + 5 < 7 + 5 (V) Simbólicamente: V(p q) = V LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.- Dadas las proposiciones p, q se escribe “p ∆ q” y se lee “o bien p o bien q”, es falso si los valores de verdad de las proposiciones son iguales y es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones son diferentes. p q p q V V F V F V Lic.: F Miguel V Ángel Tarazona V Giraldo E_MAIL.
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[email protected] F Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ 999685938 Página 6 de 13 DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INGENIERÍA INFORMÁTICA ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I Ejemplo: Sean las proposiciones: p: 4 > 7 (F) q: 4 < 7 (V) p q: o bien 4 > 7 o bien 4 < 7 (V) Simbólicamente: V(p q) = V EXPRESAR EN EL LENGUAJE SIMÓLICO PROPOSICIONES LÓGICAS DEL LENGUAJE ESCRITO: Para expresar en el lenguaje simbólico proposiciones que se encuentran en el lenguaje escrito es necesario subrayar y escribir el conectivo u operador correspondiente. DETERMINAR EL VALOR DE VERDAD DE PROPOSICIONES LÓGICAS Para determinar el valor de verdad de una proposición, primero se expresa en el lenguaje simbólico, luego se asigna el valor d verdad de la proposición simple, para luego operar con los conectivos correspondientes hasta determinar el valor de verdad de la proposición compuesta. RESUMEN p q pq p q pq pq pq V V V V V V F V F F V F F V F V F V V F V F F F F V V F ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 01 1) Escribe al lado derecho de cada una de estas expresiones, si es: enunciado, proposición o enunciado abierto. (1) ¡Hola que tal! (2) x² + 1 < 10 (3) El lapicero es rojo pero no es amarillo (4) Él es administrador y contador (5) ¿Vives con tu primo? (6) El nuevo local de la facultad de ciencias administrativas y contables se encuentra en Chorrillos. 2) Formula ejemplos de enunciados, proposiciones y enunciados abiertos. Cinco ejemplos de cada uno. 3) Expresa en el lenguaje simbólico: a) No es cierto que, Ollanta Humala no es el presidente de Ecuador. b) Es falso que, Mayumi llegó tarde porque se quedó dormida. c) Paolo Guerrero llego tarde al partido pero jugó. d) Si hoy es miércoles entonces mañana no es martes 4) Que diferencias y similitudes estableces entre una proposición simple y una proposición compuesta Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL.
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[email protected] Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ 999685938 Página 8 de 13 DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INGENIERÍA INFORMÁTICA ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I Se aplica la fórmula 2n = 22 = 4 Significa que en la primera columna se tendrán 4 valores, 2 verdaderos y 2 falsos En la segunda columna se tendrán la mitad de lo anterior, en este caso, un verdadero y un falso p q ~ (p q) (~p) (~q) V V F V V F F F V F V F V F V V F V V F V V V F F F V F V V V V PASOS 2 1 6 3 5 4 La columna 6 es el resultado de evaluar el esquema molecular o proposición compuesta por el método de la tabla de valores de verdad. La columna resultado presenta diferentes formas, que a continuación estudiamos. TAUTOLOGÍA.- Llamamos tautología si en la columna resultado todos los valores son verdaderos CONTRADICCIÓN.- Llamamos contradicción si en la columna resultado todos los valores son falsos. CONTINGENCIA.- Llamamos contingencia si en la columna resultado se encuentra verdaderos y falsos, sin considerar cuántos verdaderos o cuántos falsos existan, es suficiente que se encuentren ambos. IMPLICACIÓN LÓGICA Y EQUIVALENCIA LÓGICA IMPLICACIÓN LÓGICA.- Se llama implicación lógica o simplemente implicación a toda condicional p q que sea tautología. Ejemplo: Verifica si la siguiente condicional es una implicación lógica: (p q) ~ q ~ p p q (p q) ~ q ~p V V V F F V F V F F F V V F F V V F F V V F F V V V V V En la columna resultado se observa los valores de verdad, en este caso todos son verdaderos. Entonces, afirmamos que la condicional es tautología, por tanto, es una implicación lógica. Si en la columna resultado se obtiene contradicción o contingencia, entonces, no existe implicación lógica. EQUIVALENCIA LÓGICA.- Se llama equivalencia lógica o simplemente equivalencia a toda bicondicional p q que sea tautología. Ejemplo: Verifica si la siguiente bicondicional es una equivalencia lógica: Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL.
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[email protected] Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ 999685938 Página 11 de 13 DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INGENIERÍA INFORMÁTICA ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I Válida el argumento (p q) p Solución Aplicando las leyes del álgebra proposicional ( p q) p …………….. Ley condicional (p q) p …………….. Ley de De Morgan p …………….. Ley de absorción ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 04 1) Verifica la validez de los siguientes argumentos aplicando las leyes del álgebra proposicional y construyendo tablas de verdad: a) p q b) (p q) r qp qr ______ ___________ q Pq 2) Valida el siguiente argumento lógico: La parada militar no se realizará en Huancayo porque Doe Run bloquea la carretera central Lo colegios emblemáticos amenazan con protestas en contra del gobierno Doe Run no bloqueará la carretera central Por lo tanto, La parada militar se realizará en Huancayo 3) Valida la siguiente inferencia lógica: Si el gobierno suspende el estado de emergencia entonces Espinar vuelve a la calma Los dirigentes de Espinar tienen intereses electoreros Espinar no vuelve a la calma Por lo tanto, El gobierno no suspende el estado de emergencia 4) Valida el siguiente argumento lógico: Si se realiza el estudio técnico entonces el aeropuerto de Jauja va No se realiza el estudio técnico porque los jaujinos protestan Los jaujinos no protestan Por tanto, el aeropuerto de Jauja no va 5) Valida el siguiente argumento lógico: Si canto bien entonces no gano el concurso No ganaré el concurso porque tengo pocos votos por la red Canté bien Por tanto, no gané el concurso 6) Valida la siguiente inferencia lógica: Los ministros no comunican al pueblo sobre las obras del gobierno dado que son mudos. No es cierto que, los ministros sean mudos porque con frecuencia son entrevistados en los medios de comunicación. Por tanto, los ministros no son mudos. Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL.
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[email protected] Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ 999685938 Página 12 de 13 DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INGENIERÍA INFORMÁTICA ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I 7) Valida el siguiente argumento lógico: Si trabajo no puedo estudiar. Estudio o apruebo matemática. Trabajé. Por lo tanto, aprobé matemática 8) Valida la siguiente inferencia lógica: Conga no va porque la minería contamina las lagunas. Si la minería no contamina las lagunas entonces los ríos traen agua no contaminada. Los ríos traen agua contaminada. Por lo tanto, Conga va. 9) Valida la siguiente inferencia lógica: Si gano las elecciones bajaré el precio de los combustibles. Bajaré el precio de los combustibles si los electores votan por mí. Los electores no votaron por mí. Por tanto no bajaré el precio de los combustibles BIBLIOGRAFÍA Instituto de Ciencias y Humanidades. (2008). Algebra y principios del análisis. Lima: Lumbreras. Zill, D., & Wright, W. (2011). Cálculo. Trascendentes tempranas. México, D.F: Mc Graw Hill. Fuller, G., Wilson, W., & Miller, H. (1986). Algebra Universitaria. Mexico D.F: Continental. Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. México, D.F: CENGAGE Learning. REFERENCIAS https://medium.com/@matematicasdiscretaslibro/cap%C3%ADtulo-4-l%C3%B3gica-de-proposiciones-ad02028fc8cf https://guillermoquinonesdiaz.blogspot.pe/p/logica-proposicional.html Vídeos en YouTube: Enunciados, proposiciones y enunciado abierto: https://youtu.be/-mwtBmNCWBM Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL.
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