Proporción en las escalas musicalesTabla de Contenido 1.- Introducción 2.- La escala: intervalos y cocientes 3.- La escala "pitagórica" 3.1.- Deducción de la escala diatónica 3.2.- Tetracordes y las siete escalas 3.3.- Extension a la escala cromática: La espiral de quintas (o cuartas) 4.- La Lambda de Platón y las tres medias 5.- La escala del Temperamento Igual 6.- La escala de Intervalos Justos 6.1.- Deducción a partir de las medias aritmética y armónica 6.2.- Comparación de intervalos entre escalas 6.3.- Los intervalos de las escalas en el monocorde 7.- Los Modos Aulos griegos 7.1.- Antecedentes históricos 7.2.- Una forma alternativa de estudiar el monocorde 7.3.- Deducción a partir de la media armónica 7.4.- Los siete antiguos Modos griegos 7.5.- Los siete Modos griegos como subespecies 8.- La escala de Doce Quintas 8.1.- La estructura de la escala y las quintas formadas 8.2.- Acerca de la frecuencia de afinación correcta A=432Hz 9.- Referencias 1.- Introducción Hace un tiempo, cuando reproduje y extendí parte de la investigación de Jean-Claude Perez sobre el ADN, encontré algunos intervalos musicales en diversos cocientes (ratios) de las poblaciones de codones del ADN del genoma humano completo (véase este artículo). Tratando de encontrar alguna explicación para estos hallazgos, como no tenía conocimientos musicales, empecé a estudiar la estructura de las escalas musicales. Había aprendido del excelente libro sobre Geometría Sagrada de Robert Lawlor que las escalas musicales están de alguna forma relacionadas con las media aritmética, geométrica y armónica, pero él no profundizaba más en el asunto. A parte de la más ámpliamente conocida Escala del Temperamento Igual, también me sentí atraído por el comunmente conocido cómo sistema de afinación "Pitagórica". Para mi sorpresa, descubrí que este sistema de afinación no era el que usaba realmente la Escuela Pitágorica (fué introducido con posterioridad por Aristógeno). La música pitagórica estaba basada muy probablemente en los antiguos Modos Aulós, redescubiertos y cuidadosamente documentados por Kathleen Schlesinger, cuidadora de instrumentos musicales antiguos del Museo Británico, después de darse cuenta de que los agujeros para los dedos de los aulós Griegos parecían ser equidistantes. En la primera parte de este artículo introduciré los fundamentos matemáticos básicos que hay detrás de las escalas musicales, de forma que cualquiera sin conocimientos musicales como yo pueda entender su estructura. La mayoría de libros sobre teoría musical se focalizan en el proceso aritmético, pero la falta de un soporte gráfico dificulta su estudio. Para ayudar a comparar distintas escalas musicales y a entender su estructura de intervalos, introduzco un método gráfico sencillo basado en colores en el cual los intervalos están dibujados a escala. Ello simplifica enormemente su estudio, y espero que también pueda resultar de utilidad al músico experto. Si eres músico y encuentras algún error en mi exposición, por favor házmelo saber; confío en que la figura de abajo te deje con la curiosidad suficiente como para seguir leyendo... Voy a mostrar como la estructura de las escalas musicales, tanto actuales como antiguas, puede obtenerse fácilmente a partir de las tres medias matemáticas (aritmética, geométrica y armónica), y cómo la gran diversidad de intervalos musicales disponibles en los antiguos Modos Aulos Griegos se ha ido perdiendo gradualmente de la práctica musical común. Por último, explicaré la estructura de una nueva escala desarrollada por la violinista Maria Renold, la cual combina lo mejor de la antigua escala de Aristógeno y de la moderna Escala del Temperamento Igual: la Escala de las Doce Quintas. Ello nos permitirá introducir el hecho de que tanto la estructura de una escala como la frecuencia a la cual está afinada tienen efectos diferentes sobre el ser humano, algo que sospecho puede estar relacionado con la estructura geométrica del sonido en el espacio tridimensional. Este tema se discutirá más a fondo en la segunda parte del artículo. Escalas Diatónicas antiguas y modernas comparadas 2.- La escala: intervalos y cocientes El intervalo musical báscio es la octava, la cual contiene un número infinito de frecuencias entre una frecuencia de referencia (la tónica) y su doble. La escalas particionan el continuo de una octava en diversas porciones conocidas como intervalos. A medida que una pieza musical progresa, usa intervalos y combinaciones de intervalos (acordes) de este subconjunto predefinido. La estructura de una escala determinada es la misma en todas las octavas. el número de intervalos así como la longitud de cada intervalo en una escala suelen estar determinados culturalmente. No obstante, el conjunto de todas las posibles notas por octava habitualmente se reduce a un número muy reducido: siete notas en nuestra escala diatónica, pero hasta 22 notas por octava en algunas tradiciones indias, arábigas o turcas [1]. Maria Renold destaca la octava y la escala como sigue [2]: "La octava es un intervalo excepcionalmente importante en la experiencia musical de la humanidad occidental. Muchas escalas están contenidas dentro de la octava, y todos los intervalos, que buscamos entender aquí, están contenidos en esas escalas. Cada escala que progresa de la nota clave o tónica hasta la octava, tanto si es ascendente como descendente, la mayoría de la gente la oye coomo un todo orgánico -con una audición cuidadosa, hasta la escala cromática de doce notas. Por lo tanto la estructura completa de intervalos de una escala puede considerarse una estructura orgánica con sus propias leyes que procede de la octava." Las siete notas en la escala diatónica, que se corresponden con las siete teclas blancas del piano, a menudo se numeran con cifras romanas según su posición, desde la primera nota o tónica (DO=I) pasando por la séptima nota (SI=VII) hasta la octava nota (DO=VIII) que también es la primera nota de la siguiente octava: La longitud de un intervalo comprendido entre dos notas de frecuencias f1 y f2se mide por su cociente (ratio) f2/f1. La cuarta nota (FA=IV) se dice que forma un intervalo de una Cuarta con la primera nota (DO=I). Si el cociente de frecuencias de estas dos notas es exactamente 4/3, se dice que forman una 4ª Perfecta. De forma similar, la quinta nota (SOL=V) forma una 5ª Perfecta con la primera nota si su cociente es exactamente 3/2. Las cinco notas restantes desde una 4ª perfecta hasta la octava también forman un intervalo de una 5ª perfecta, porque 2/(4/3) = 3/2. Así pues, la octava se puede dividir de forma exacta en dos intervalos de una 4ª perfecta y una 5ª perfecta (Figura 1). Los intervalos también pueden formarse en orden descendente (como las notas pueden tocarse de igual forma), y en este caso los cocientes entre sus frecuencias correspondientes será un número comprendido entre 1/2 y 1, por ejemplo 2/3 para una 5ª perfecta descendiente, y 3/4 para una 4ª perfecta descendiente (Figura 1). Las notas en una octava siempre se pueden representar mediante números comprendidos entre 1 y 2, siempre que normalicemos la frecuencia de todas las notas con respecto a la tónica (primera nota). A pesar de que las figura de arriba y de abajo puedan sugerir lo contrario, la longitud de cada intervalo individual de la escala diatónica no es la misma. En breve introduciremos un método gráfico para representar cada intervalo a escala, pero primero necesitamos introducir la medida de un intervalo en cents. Figura 1: Una octava siempre se puede representar mediante números comprendidos entre 1 y 2 siempre que las frecuqencias de todas sus notas se normalicen respecto a la frecuencia de la primera nota. La octava se puede dividir de forma exacta en dos intervalos de una 4ª perfecta y una 5ª perfecta, tanto descendiente como ascendiente. Trabajar con cociente enteros no resulta cómodo porque se tiene que operar de forma multiplicativa. Por ejemplo para conseguir el intervalo de una octava a partir de una 4ª perfecta y una 5ª perfecta, se tienen que multiplicar los cocientes individuales: (4/3) x (3/2) = 2. Además, los intervalos musicales que se usan en la moderna Escala del Temperamento Igual no son cocientes enteros exactos entre sus frecuencias correspondientes. Los teóricos de música han desarrollado un método alternativo para representar un intervalo que se comporta de forma aditiva y utiliza números reales. La función matemática que convierte el producto en suma de forma natural es el logaritmo, ya que log(ab) = log(a) + log(b) y log(b/a) = log(b) - log(a). Un intervalo f2/f1 a menudo se expresa en Cents según la fórmula 1200·log2(f2/f1). De esta forma, una octava ocupa exactamente 1200 cents (Figura 2a). Resulta habitual normalizar todos los intervalos de una octava respecto a la tónica (Figura 2b). (a) (b) Figura 2: Representación alternativa de un intervalo musical como un cociente lineal o en cents logarítmicos, tanto de forma (a) direca o (b) normalizada. La figura siguiente muestra diversos ejemplos de intervalos encontrados en la práctica musical comúm, como cocientes enteros y en cents. De ahora en adelante, todos los intervalos se dibujarán a escala, con una longitud proporcional al valor del intervalo en cents. Ello proporciona una forma sencilla de sumar y comparar intervalos de forma gráfica. Figura 3: Ejemplos de algunos intervalos musicales comunes. La representación logarítmica de los intervalos musicales traduce la multiplicación de cocientes en suma de cents (Figura 4). el cociente del intervalo resultante es el producto de los cocientes de cada intervalo constituyente. La Figura 4b contiene ejemplos de suma de algunos de los intervalos mostrados en la Figura 3 de arriba. La longitud de cada intervalo se ha dibujado a escala. de forma proporcional a su valor en cents. Siguiendo nuestra representación gráfica. para obtener el resultado de la suma de dos intervalos tan sólo se necesita ponerlos uno a continuación del otro. Si se unen dos intervalos. . Cuando se necesita dibujar más de un intervalo simultáneamente. . el cociente de cualquiera de los intervalos individuales (intervalos entre notas consecutivas) puede obtenerse dividiendo los cocientes acumulados de las dos notas que forman el intervalo. o alternativamente restando sus valores equivalentes en cents (Figura 5). Esta operación equivale a normalizar (dividir) la frecuencia de cada nota por la frecuencia de la tónica (Figura 5a).(a) (b) Figura 4: Tres notas definen dos intervalos musicales que se pueden unir operando de forma multiplicativa o de forma aditiva en cents. como sucede cuando estamos representando las siete notas de una escala diatónica. En ese tipo de representación. resulta habitual sustituir cada nota por el intervalo acumulado desde la tónica hasta esa nota. que eran conocidos como los Harmonistas. o bien restando sus valores equivalentes en cents.. un ataque escrito al sistema musical pitagórico.(b) (a) Figura 5: Cada nota en una representación conjunta de diversos intervalos normalmente se normaliza con respecto a la tónica. pero en realidad fue introducido por Aristógeno de la escuela de los Teoristas en sus 12 polémicas. la escala griega basada . Por lo tanto.La escala "Pitagórica" 3.Deducción de la escala diatónica La escala griega de site notas que ha sobrevivido de forma escrita estaba basada en quintas y cuartas perfectas. Cualquiera de los intervalos individuales (entre dos notas consecutivas) puede calcularse o bien dividiendo los cocientes correspondientes. Esta escala se conoce en todas partes como afinamiento "Pitagórico". 3. Por lo tanto el cociente correspondiente representa el intervalo acumulado desde la tónica hasta esa nota. en realidad usaban los siete Modos Aulos descritos en una sección posterior [3]. Pitágoras y sus discípulos..1. en cuartas y quintas perfectas que vamos a describir debería llamarse en realidad escala Aristogeniana. y la de un semitono "pitagórico" (243/128 o 90. dependiendo de la nota en la que queramos "aterrizar". La Figura 6 muestra dos alternativas diferentes de efectuar esos saltos para completar las ocho notas de la escala. Figura 3).91 cents.22 cents. ¿Cuántos intervalos individuales distintos hay en esta escala? Para calcular la longitud de cada intervalo individual hay que dividir sus cocientes acumulados. la séptima nota se alcanza en el paso 4. de forma ascendente o descendente según convenga. ambas carentes de la última nota: la octava. La Figura 7c muestra . El resultado final despues de los seis pasos de la primera secuencia se muestra en la Figura 7a. Figura 6: Dos formas posibles de obtener las ocho notas de la escala "pitagórica" mediante saltos alternativos de una cuarta o una quinta perfecta. Más adelante mostraré un antiguo método chino que permite calcular las escalas "pitagóricas" de cinco notas (pentatónica) y de siete notas (heptatónica). La premisa básica de esta escala es que contenga tantas cuartas y quintas perfectas como sea posible. pueden obtenerse fácilmente usando seis "saltos" alternativos de una cuarta perfecta (un intervalo de cuatro notas con un cociente de 4/3) o una quinta perfecta (un intervalo de cinco notas con un cociente de 3/2). véase la Figura 4b). ya sea de forma ascendente o descendente. El semitono "pitagórico" es menor (en el argot musical más llano) que medio tono completo. y su cociente es (4/3)·(4/3) = 16/9. Cada salto proporciona el cociente acumulado desde la tónica hasta la nota de "aterrizaje" multiplicando los cocientes correspondientes (como se describe en la Figura 1 de arriba). Por ejemplo si seguimos la primera secuencia de saltos. incluyendo la octava. La longitud de todos los intervalos en esta escala. El resultado sorprendente es que hay tan sólo dos longitudes de intervalo diferentes como se muestra en la Figura 7b: la de un tono completo "pitagórico" (9/8 o 203. los nombres comúnmente aceptados para las siete notas de la escala diatónica (que también pueden verse como intervalos acumulados respecto a la tónica). (a) (b) . 04 cents) si varía la longitud de cualquiera de sus constituyentes: por ejemplo si uno de los tonos completos se reduce a 10/9 como sucede en la Escala de los Intervalos Justos (véase más adelante). Resulta importante observar que no todos los intervalos de cuatro notas consecutivas forman una cuarta perfecta.(c) Figura 7: (a) El cociente acumulado de cada nota en la escala "Pitagórica" obtenida después de la primera secuencia de seis pasos que se detalla en la Figura 6. La asignación no es aleatoria: se hace de tal forma que el intervalo E-F sea el semitono ubicado después de dos tonos completos consecutivos.96 cents). en la cual a cada nota se le asigna una letra del conjunto A-G. y el intervalo B-C' es el semitono que sigue a tres tonos completos consecutivos.Tetracordes y las siete escalas En la figura precedente hemos introducido otra notación habitual en la práctica musical. cada nota puede verse también como un intervalo acumulado desde la tónica. (c) Los nombres comunmente aceptados de cada nota de la escala diatónica. La cuarta perfecta contiene dos tonos completos "pitagóricos" y un semitono. (b) Esta escala contine sólo dos intervalos individuales distintos. pero no será perfecta (cociente exacto de 4/3 o 498. Cualquier combinación de dos tonos completos más un semitono es una cuarta. 3. De forma similar. una 5ª perfecta contiene exactamente tres tonos completos "pitagóricos" más un semitono "pitagórico" (cociente exacto de 3/2 o 701.. La estructura de esta escala griega fue originalmente .2. .dividida por Aristógeno en dos tetracordes separados por en medio por un tono completo (Figura 8). Figura 8: Escala C "pitagórica" como dos tetracordes. por lo tanto se llama Escala E. pero con una distribución distinta. (a) (b) Figura 9: (a) El cociente acumulado de cada nota en la escala "pitagórica" después de la segunda secuencia de seis pasos detallada en la Figura 6. pero empieza en un semitono "pitagórico" seguido por tres tonos completos. (b) La secuencia de intervalos empieza en la nota E. La secuencia de intervalos es la misma. el lector puede comprobar que el resultado final sería el que se muestra en la Figura 9. ¿Qué habría sucedido si hubiéramos utilizado el segundo conjunto de seis pasos de la Figura 6? Procediendo como arriba. El número total de tonos completos y semitonos es el mismo. dependiendo de la nota en que empiece la escala (Figura 10). originalmente descritas por Aristógeno en orden descendente. . y también según la visión del mundo Ptolomea (Figura 11a). De hecho. si dibujamos dos octavas consecutivas podemos ver fácilmente que en realidad existen siete escalas "pitagóricas" distintas. también se llamaban modos. pero no deben confundirse con los antiguos Modos Aulós griegos que tratamos en una sección posterior. según en qué nota empiece la escala. ealidad hay siete escalas o modos en la escala diatónica "pitagórica". Los nombres originales de les siete escalas griegas se convirtieron posteriormente en los modos ascendentes eclesiásticos y sus nombres de mezclaron por error (Figura 11b). Cada escala estaba asociada a un planeta distinto según Nicómaco. Estas siete escalas.Puede apreciarse que la escala E de la Figura 8b es en ralidad un "desplazamiento circular" de la escala C mostrada en la Figura 9b. Figura 11: Las siete escalas griegas descendientes. voy a servirme de un antiguo método chino para calcular la escala "pitagórica" pentatónica. 3.Extensión a una escala cromática: La espiral de quintas (o cuartas) Hasta ahora tan sólo hemos considerado la escala diatónica de siete notas. ¿Es posible extender la escala "pitagórica" diatónica a una escala cromática? Para responder a esta pregunta. pero la mayor parte de la música occiental moderna utiliza una escala de doce notas conocida como escala cromática.. aunque resulta mucho más fácil de entender si usamos el intervalo complementario de una cuarta.C.3. su asociación a los planetas y su posterior conversión en modos eclesiásticos [2]. y su expresión más antigua está atribuida a Kuan Tzu (siglo VII A. que luego puede extenderse a una escala heptatónica y por último a una escala de doce notas.) el cual explica cómo aplicarla de froma aritmética y geométrica para generar la escala pentatónica [4]. Este procedimiento se conoce en todas partes como "La espiral de quintas". La regla se conoce com "sumar o restar un tercio". Se tiene que empezar por "tres . C. La secuencia de notas G.108.E. 108108·(1/3)=72=32·23. el tercer paso 72+72·(1/3)=96=3·25.72.necesitamos calcular sus cocientes. En la escala G la secuencia de enteros 64. cualquiera de esos números puede pensarse como una frecuencia.C. +1/3.E.G. E.E. las cuales forman la antigua escala pentatónica. 9/8. Observando la Figura 10.E puede obtenerse empezando por la nota B y efectuando los cuatro pasos alternados de +1/3. y el cuarto y último paso 9696·(1/3)=64=26.D. -1/3.1/3). -1/3 (Figura 12b).108 representa las notas G. .96. Obsérvese que cualquier otra permutación cíclica de esas notas también serviría (D.81.G).C. 27/16. la primera nota es la tónica o nota de referencia. es decir 3x3x3x3=34=81. el segundo paso.A. Ambas escalas nos proporcionan la misma secuencia cíclica de cinco notas. podemos ver que en la escala C corresponden a la secuencia de notas C.A.A. Sumar un tercio en realidad significa ascender una cuarta perfecta (4/3 = 1 + 1/3). C-E (3ª Mayor). podemos ver que la escala G comparte con la escala C la misma estructura de intervalos inicial.G. ¿Resultan familiares estos cocientes? Si nos fijamos de nuevo en la Figura 7. 3/2.C.D.G.A.D. mientras que restar un tercio es equivalente a descender una quinta perfecta (2/3 = 1 .D. 81/64.cuatro veces". Normalizando por número menor 64 y reordenando obtenemos 1. C-G (5ª Perfecta) y C-A (6ª Mayor).C. luego para saber cómo están ubicados en una escala musical -o cómo están separados por intervalos.72. El lector se debe estar preguntando: ¿y la secuencia 81. El primer paso sería 81+81·(1/3)=108=33·22.D. En realidad.64 qué tiene que ver con la música? Bien.E. El proceso completo se entiende mejor de forma gráfica (Figura 12).96. y aplicar la regla hasta que las potencia de 3 se agoten.A. o A. y los cuatro cocientes siguientes son intervalos: CD (2ª Mayor). Esto se ilustra en la Figura 14 en el proceso de cuatro pasos que genera la escala pentatónica.864.768. empezando en la nota B genera la escala heptatónica F. La escala heptatónica contiene todos los intervalos internos de la escala "pitagórica" diatónica ¡¡excepto la octava!! Esta es una limitación conocida del proceso de obtención de las notas exclusivamente a partir de cuartas (o quintas). De hecho. Esta escala puede representarse d 729. también conocida como el heptacorde de Terpander (Figura 13).G. (b) La aplicació pentatónica G. descender una quinta en realidad es equivalente a ascender una cuarta y trasladar la nota resultante a la primera octava dividiendo por 2.E después de cuatro pasos.D.C.E después de seis pasos. la cual puede representarse de forma numérica por la secuencia de números La regla simple de "sumar o restar un tercio" puede extenderse dos pasos más hasta generar la escala heptatónica.B.D."sumar o restar un tercio" en realidad es equivalente a ascender una 4ª perfecta o descender una 5ª perfecta. Por lo tanto.972.A.A. .B. los saltos alternativos de más/menos un tercio pueden sustituirse por saltos positivos de +1/3 (ascender una 4ª perfecta) seguidos de la división por la potencia de 2 adecuada. la cuarta número 7 puede alargarse ligeramente dando lugar a lo que se conoce como el tono "lobo". después del sexto paso se observa que los cocientes obtenidos testán formados por cifras cada vez mayores. y esto hace posible continuar con cuartas perfectas y alcanzar una octava perfecta en el doceavo paso (Figura 15).Figura 14: Descender una quinta en realidad es equivalente a ascender una cuarta y trasladar hacia abajo a la primera octava. El error entre la quinta octava perfecta y la que se alcanza después de 12 cuartas perfectas se conoce como la coma "pitagórica" (23. No obstante. . y que el proceso final no acaba en una octava perfecta. Para obtener las doce notas de la escala cromática. Para superar este problema. este proceso puede iterarse doce veces.46 cents). Para llegar a la quinta octava sin el error d s). En este caso el tono "lobo" aparece en la nota f#.obtención de la escala cromática "pitagórica" a partir de una secuencia de cuartas. la cuarta número 7 se alarga ligeramente dando lugar al tono "lobo" en la nota a#. El resultado es la escala cromática "pita El tono "lobo" puede caer en notas distintas. . En la figura siguiente mostramos el mismo proceso empezando por la nota C más familiar. dependiendo de la nota en la que se empiece el proceso. donde también podemos ver sus correspondientes intervalos con respecto a la tónica C. Sus nombres estándar se muestran en la Figura 18. con el tono "lobo" ubicado en la nota f#. una nota ubicada exactamente en el medio de la Escala del Temperamento Igual (véase sección posterior).Figura 17: La escala "pitagórica" cromática en el modo C. Para hacer la figura completa. En la escala C corresponden con las dos aproximaciones "pitagóricas" del tritono. . Las cinco nuevas notas obtenidas corresponderían a las teclas negras del piano. mostramos los dos posibles valores del tono "lobo": la cuarta aumentada o la quinta disminuida. Si analizamos detenidamente los cocientes contenidos en los intervalos de esta escala. ya sea positiva o negativa. La Figura 19 resume este análisis. Por último. convirtiendo así un valor entero en una fracción comprendida entre 1 y 2.notas adicionales de la escala C cromática "pitagórica". no querría terminar el estudio de la escala "pitagórica" sin destacar la importancia del número 3 en esta escala. Dada una determinada potencia de 3. . podemos ver que están todos basados en potencias de 3. el número 2 actúa como un comodín que nos permite trasladarla a la octava 1-2. luego cada número es la media geométrica entre su número precedente y el siguiente (por ejemplo 9=32 es la media geométrica entre 3=31 y 27=33). 8 y 12) los cuales pueden obtenerse fácilmente a partir de sus vecinos mediante la media aritmética y armónica. 4. La Lambda "completa" contiene también los números rojos de enmedio (6.La Lambda de Platón y las tres medias La famosa disposición de las tres primeras potencias de los números 2 y 3 conocida como la Lambda de Platón (Figura 20a) nos ayudará a introducir las tres medias (aritmética..Figura 19: Los doce intervalos de la escala cromática "pitagórica" como potencias de 3. . La Figura 20b nos recuerda cómo calcular las tres medias y cómo están relacionada entre sí. geométrica y armónica) en las escalas musicales. Los números en negro de la Lambda original siguen unaprogresión geométrica. luego cada uno es la Media Geométrica (GM) entre los números precedente y siguiente. y una 5ª perfecta (3/2). por ejemplo 8 = 2·6·12/(6+12). . por ejemplo 9 = (6+12)/2. Los números en rojo pueden obtenerse a través de la Media Aritmética (AM) y la Media Armónica (HM) definidas en la derecha. El lector probablemente se estará preguntando qué tiene todo esto que ver con los intervalos musicales: la explicació se encuentra en la Figura 21b.(b) La tres medias (a) La Lambda de Platón Figura 20: Los números en negro en la Lambda de Platón (a la izquierda) siguen una progresión geométrica. La relación entre tods estos números y las tres medias se entiende mejor si se reagrupan en lo que se conoce como la Tabla de Nicómaco (Figura 21a). forman los intervalos de una octava (2). y la media armónica de los dos números por debajo de él. Allí podemos ver que los números de la Tabla de Nicómaco. Cada número es la media aritmética de los dos números por encima de él. eso es así tanto en la primera fila (potencias de 2) como en todas las demás. tomados en la dirección apropiada. una 4ª perfecta (4/3). Cada número en una fila dobla su predecesor. (a) Tabla de Nicómaco (b) Intervalos musicales Figura 21: (a) Los números de la Lambda de Platón pueden reorganizarse en forma de una tabla también conocida como Tabla de Nicómaco. Los números 6 y 12 forman una octava. una 5ª perfecta (3/2) y una octava (2). Consideremos que cada número de las tablas superiores representa la frecuencia de una nota. La nota inferior de la octava se suele llamar tónica. (b) Los números de la tabla de Nicómacotambién están relacionados a través de los intervalos musicales más básicos de una 4ª perfecta (4/3). La Figura 22 ilustra este hecho. y la 5ª perfecta (en este caso 9) es su media aritmética. El hecho interesante es que la 4ª perfecta (en este ejemplo 8) es la media armónica de los dos extremos de la octava (6 y 12). . El número 8 forma un intervalo de una 4ª perfecta con la tónica 6 puesto que forman el cociente 8/6 = 4/3. aritmética o armónica de dos números de su alrededor. Eston son los dos pilares de la escala "pitagórica" discutida en la sección previa. Cada número de la tabla puede obtenerse como la media geométrica. En las secciones siguientes voy a mostrar cómo estas dos medias son también el corazón tanto de la Escala de los Intervalos Justos cómo de los antiguos Modos Aulós griegos. Los números 8 y 9 están contenidos en esta octava. y el número 9 forma una 5ª perfecta con la tónica porue 9/6=3/2. La escala del Temperamento Igual Antes de entrar en la descripción y la estructura de las escalas de Intervalos Justos tanto antiguas como más recientes. la escala se divide en 12 semitonos iguales. S=21/12=1. Es decir. Esta escala habitualmente se da por supuesta de uso universal en los intrumentos de teclado. de la cual el cociente de frecuencias de cada semitono tiene que ser la raíz doceava de dos. ya que la mayoría de libros sobre escalas y harmonía musical se focalizan exclusivamente en el 12-tet. En el dominio logarítmico la longitud de un semitono es exactamente 1200·log2(21/12)=(1200/12)·log2(2)=100 cents..Figura 22: 4ª perfecta (media armónica) y 5ª perfecta (media aritmética) 5. Según William Sethares [1] "muchos músicos y compositores occidentales modernos incluso desconocen que existen alternativas. la Figura 23 muestra la escala 12-tet así como la escala diatónica que contiene en su interior: . Siguiendo nuestra notación gráfica. Esto no sorprende. La idea del Temperamento Igual es muy simple: se fuerza que las 12 notas de la escala cromática suenen separadas una misma distancia.. la cual es el sistema de afinación utilizado hoy en día en la mayoría de pianos. vamos a introducir la escala moderna de 12 notas del Temperamento Igual (también llamada 12-tet). Por lo tanto el cociente de frecuencias entre notas sucesivas ya no resulta una fracción (número racional) sino un número real. pero resulta importante saber que no existía en la práctica musical común con instrumentos hasta principios del siglo XX. irracional. y muchas escuelas musicales ofrecen pocos cursos sobre música fuera del 12-tet. Si el semitono tiene un cociente S y queremos alcanzar la octava después de 12 semitonos.05946.. la ecuación que se debe resolver es S12=2. a pesar de que una porción significativa del repertorio musical histórico fuera escrito antes de que el 12-tet fuese común". . Los tritonos. mientras que una quinta perfecta (cociente 3/2) mide 702 cents. terceras menores y sextas mayores se experimentan como genuinas." 6.1. Según Maria Renold "esto puede explicar por qué la calidad de los doce intervalos de esta escala es completamente diferente. Así pues. y si volvemos a dividir por dos cada una de las dos mitades.Deducción a partir de las medias aritmética y armónica Una crítica de la escala del Temperamento Igual es que ninguno de sus intervalos es puro. La escala de Intervalos . terceras mayores. lo cual equivale a realizar la raíz cúbica en el dominio lineal.43].La escala de Intervalos Justos 6. mientras que las quintas. cuartas. Este hecho es comunmente reconocido [2. sextas menores segundas mayores y las dos séptimas suenan falsas [. p. si dividimos la octava en dos mitades (en cents) obtenemos el tritono. Por ejemplo las quintas miden 700 cents.La escala del Temperamento Igual diatónica y cromática. A partir de aquí se necesita dividir cada nuevo intervalo en tres partes para obtener las ocho notas restantes. obtenemos la 3ª Menor y la 6ª Mayor. Se pueden deducir fácilmente si uno se da cuenta de que la media geométrica de dos intervalos es equivalente a la media aritmética de sus valores correspondientes en cents.. la imperfección del tono lobo se ha repartido por igual entre todas las quintas.] es decir falsificadas al oido humano. Tan sólo tres de las doc notas de la escala 12-tet están relacionadas con una de las medias introducidas en la sección previa. ninguno se obtiene como un cociente exacto entre dos frecuencias. En esta escala.. Esos intervalos tienen cociente de enteros pequeños y por ello suenan consonantes al oido. El proceso se ilustra de forma gráfica en la Figura 24. La gente encuentra más agradables los intervalos basados en cocientes de enteros pequeños porque el oído prefiere cocientes pequeños de forma natural. en el mismo intervalo de tiempo. Si continuamos estas divisiones. la media aritmética de una octava ascendente 1-2 es la 5ª perfecta (3/2). como muestra Maria Renold en el capítulo 7 de su excelente libro bajo el título "Los principios de forma de las escalas Justas" [2].Justos puede definirse como el equivalente de la escala 12-tet pero compuesta de intervalos puros. La media aritmética entre la quinta y la tónica nos da la tercera mayor justa 5/4 (Figura 24e) y por último la media armónica entre esta última y la tónica proporciona la nota restante. estos también se pueden deducir a partir de las medias aritmética y armónica dentro de la octava. Pero ¿Cuáles son los valores precisos de esos cocientes exactos? No debería sorprendernos saber que. esta regularidad consiste en el hecho que los pulsos entregados por los dos tonos. la segunda mayor justa 10/9 (Figura 24f): (a) (b) . la media aritmética entre la cuarta y la octava nos da la sexta mayor justa 5/3 (Figura 24b). tal como sucedió con la 4ª y la 5ª perfectas. La media aritmética entre la quinta y la octava (Figura 24c) nos proporciona un tono intermedio que no se usa en la escala (7/4). mientras que su media armónica es la 4ª perfecta (4/3). p.79]: "Las consonancias agradables son pares de tonos que golpean el oído con una cierta regularidad. para no mantener el tímpano en un tormento perpetuo. doblándose en dos direcciones distintas cediendo a los impulsos contínuamente discordantes". cuya media aritmética con la octava da lugar a la séptima justa 15/8 (Figura 24d). Como ya sabemos de la sección 4 (Figura 24a). Galileo lo explicó de la siguiente forma [1. han de ser conmensurables en número. basados en enteros. (c) (d) (e) (f) Figura 24: La estructura de la escala de Intervalos Justos se puede obtener a partir de las medias aritmética y armónica. así como los . En la Figura 25 se muestra la longitud de los intervalos de la escala diatónica de Intervalos Justos proporcionalmente a sus valores en cents. Existe una pequeña variante de esta escala en la cual los dos tonos completos del principio están intercambiados (en este caso. Figura 25: Los Intervalos Justos de la escala diatónica. Puede observarse que hay sólo tres intervalos individuales distintos en esta escala con cocientes 9/8. La escala menor también se puede deducir a partir de las medias aritmética y armónica. . la segunda mayor resulta de la media aritmética en lugar de la media armónica entre la tercera mayor y la tónica). pero no vamos a entrar en ese detalle aquí [2]. que corresponde a un desplazamiento de la tónica a la nota A de forma que la tercera mayor se convierte en una tercera menor. Los músicos también usan una Escala Menor. 10/9 and 16/15 (ver de nuevo las Figuras 3 y 4 anteriores).cocientes exactos de las notas de esta escala. La escala que hemos obtenido en realidad se conoce en la práctica musical actual como Escala Mayor. ya que (5/4)·(8/5) = 2. es decir suman una octava. es decir tiene la misma secuencia de intervalos tanto ascendentes como descendentes. también se han incluido en la figura las aproximaciones justas del tritono del temperamento igual. la sexta mayor en 2/(6/5) = 5/3.Se puede obtener una escala de Intervalos Justos cromática sumando o restando un semitono a las notas apropiadas de la escala diatónica de siete notas (Figura 26a). la cuarta aumentada y la quinta disminuida. resulta absolutamente simétrica. Para hacerla autocontenida. Nótese la inversión que tiene lugar en comparación con esas mismas dos notas de la escala cromática "pitagórica" (ver Figura 19). Ello también demuestra que estos dos intervalos son complementarios. descender una tercera menor (6/5) nos situa en su simétrica ascendente. ya sea en el numerador o en el denominador. Podemos apreciar en la Figura 26b que el número cinco sólo aparece elevado a la primera potencia. También resulta interesante observar que la estructura de la escala de Intervalos Justos ha incorporado potencias del número 5 a las potencias del número 3 que se usaban de forma exclusiva en la escala de Aristógeno. y que las potencia de tres se han reducido al segundo grado. Ante todo. La escala resultante merece diversas consideraciones. Esto también se puede observar en los cocientes de los intervalos: por ejemplo el intervalo simétrico de la tercera mayor (5/4) es la sexta menor (8/5) puesto que 2/(5/4) = 8/5. De forma similar. (a) . Si desplazamos la tónica a la nota D estaríamos tocando en el modo o escala D (a veces también conocido como clave D). Está claro que esta escala cromática contiene muchos intervalos puros en su interior. Pero en ese caso el intervalo de una cuarta dejaría de ser una cuarta perfecta. p. en lugar de un tono "pitagórico" y un tono cromático. A menudo se critica la escala de Intervalos Justos debido a esta limitación: es inherentemente específica del modo. los entusiastas de los Intervalos Justos típicamente están dispuestos a cambiar la afinación de sus instrumentos de una escala JI a otra para piezas específicas. Por lo tanto esta cuarta sonaría diferente. Simplemente si una pieza no encaja bien en el contexto de JI.62]: "Muchos defensores de los Intervalos Justos (JI) no insisten en que toda la música se tenga que tocar necesariamente en JI. en lo que respecta a la música polifónica moderna. no se debería tocar de esa forma. esta figura nos permite ver una limitación inherente de esta escala. William Sethares responde a esta crítica como sigue [1. Por el contrario. ya que contendría dos tonos completos "pitagóricos".(b) Figura 26: Escala cromática de Intervalos Justos en base a potencias de 3 y 5." . Los intervalos justos contenidos en esta escala se muestran en la Figura 27. Además. Figura 27 6. en los intervalos de las escalas musicales discutidas hasta ahora.. tanto cuantitativas como cualitativas. sextas y séptimas son marcadamente distintas. Las diferencias cuantitativas se resumen de forma gráfica en la Figura 28a para las escalas diatónicas y en la Figura 28b para las escalas cromáticas. Lo que parece obvio es que las diferencias cuantitativas que existen entre los intervalos musicales.Comparación de intervalos entre escalas Existen algunas diferencias. Los valores correspondientes en cents se comparan en la Tabla 1. Resulta curioso darse cuenta de que los intervalos "pitagóricos" aparecen más cerca de los intervalos del Temperamento Igual que de los Intervalos Justos. como es el caso de las diferencias claras entre los .2. mientras que las segundas. La escala "pitagórica" y la escala de los Intervalos Justos comparten la quarta y la quinta perfectas. terceras. En una sección posterior veremos cómo Maria Renold combinó lo mejor de estas dos escalas dando lugar a su Escala de las Doce Quintas. se deberían trasladar en diferencias cualitativas.intervalos justos y los verdaderos. (a) . (b) Figura 28: Comparación gráfica de las escalas (a) diatónica y (b) cromática del Temperamento Igual. Las diferencias cuantitativas aparecen en la Tabla 1 de abajo. . "pitagórica" y de Intervalos Justos. por el contrario." 6. . Se puede disfrutar su brillantez y belleza con equanimidad y alegría. Consiste en una cámara resonante..3.. Siguiendo su terminología. En cambio la última pulsa un poco pero suena como si radiase luz. apreciablemente mayor situada en 243:128 o 1109.15]: "Los intervalos que tienen distinta longitud y por tanto cualidades distintas son los más usados hoy en día para tocar música [. si se quiere satisfacer al oido y liberar la increible tensión producida.] Las diferencias cualitativas entre las terceras mayores justa y verdadera es que la primera suena pacífica. de una a tres cuerdas de piano. ella ha constatado lo siguiente [2. pero con una voluptuosidad subyacente. Entre las dos terceras menores puede experimentarse que la tercera manor justa suena no pulsante y triste. p.Tabla 1 Maria Renold ha dedicado muchos años de su vida al estudio y la comparación de las escalas musicales y sus intervalos. Pero la séptima verdadera. Esto se muestra en la siguiente ilustración artesanal de Elsie Hamilton [5]: Figure 29: Ilustración del monocorde por Elsie Hamilton. ya sea para arriba o para abajo hacia la sexta mayor. y no ejerce compulsión alguna sobre el oido humano que se deba resolver. brillante y valiente. la tercera menor verdadera suena excitada. pero también se puede sentir que tiene una agudeza subyacente. Con respecto a las diferencias cualitativas. y en algunos casos una barra deslizante o puente móvil que permite seleccionar la porciónde la cuerda que se quiere tocar. suena brillante y pacífica. aunque obviamente tiene un carácter ligeramente disonante..78 cents. Está comunmente aceptado que una séptima mayor justa 15:8 con 1088. llamaremos intervalos verdaderos a los intervalos "pitagóricos" (Tabla 1). dejándola resonar sin resolver.Los intervalos justos en el monocorde El monocorde es un "instrumento" sencillo supuestamente desarrollado por Pitágoras para estudiar las frecuencias y los intervalos musicales. así como a una de sus cuestiones más profundamente sentidas como es la frecuencia de concierto correcta.27 cents tiene que resolverse hacia una consonancia cercana. Entre las séptimas mayores se ha encontrado una diferencia destacable pero inesperada. casi en suspensió. Cuando tocamos una cuerda de longitud L. Si la cuerda se divide en dos mitades y se toca una de ellas -desplazando el puente móvil a la posición adecuada para mantener inmóvil el resto de la cuerda. cuatro y más partes para producir todos los múltiplos enteros de la frecuencia fundamental de la cuerda.La cuerda tiene una frecuencia característica que está inversamente relacionada con su longitud. Figura 30 Este proceso puede generalizarse para producir frecuencias sonoras que estén relacionadas con la fundamental a través de cualquiera de los intervalos justos que hemos estudiado en esta sección (Figura 32): dividiendo la cuerda en tres partesy tocando 2/3 de su longitud produce una frecuencia 3/2 veces la . Este proceso se puede iterar dividiendo la longitud de la cuerda en tres. también llamados armónicos o sobretonos (Figura 30). se genera una onda estacionaria con una frecuencia fundamental proporcional a 1/L.se produce una frecuencia doble de la fundamental. Esta onda se propaga al medio colindante como una onda de presión longitudinal. y si su frecuencia cae en el rango audible (aproximadamente entre 20Hz y 20KHz) puede apreciarse con nuestros oidos. Figura 31 7.Los Modos Aulós griegos "Chicos. estudiad vuestros monocordes" (Últimas palabras de Pitágoras) 7. Dividiendo la cuerda en cuatro partes y tocando 3/4 partes produce una frecuencia que es la cuarta perfecta de la fundamental.-Antecedentes históricos . una división de la cuerda en cinco partes permite generar la sexta mayor (3/5 partes) y la tercera mayor (4/5 partes).1. Estas marcas en el monocorde con una separación irregular son las mismas que podemos encontrar en una guitarra.fundamental. que es una quinta perfecta (tocando 1/3 de la longitud de la cuerda se produce una quinta perfecta pero situada una octava por encima). De forma similar.. el registro escrito más antiguo sobre la música griega en el que la mayoría de estudiantes basan sus estudios se conoce como los Elementos Armónicos de Aristógeno. ella se dió cuenta de que los agujeros para los dedos de los aulós griegos parecían ser equidistantes. la forma de entender la música pasa por entender el canto. Citando a Maria Renold [2. El hecho es que existen otras escalas Justas aparte de las que hemos discutido hasta ahora. Desafortunadamente.27]: "Aunque raramente utilizadas en la música occidental durante los últimos cuatrocientos o quinientos años. en ese algo nuevo que él introduce no tienen cabida los modos tal y como se entendían de forma tradicional. que aquí llamamos los siete Modos Aulósde la antigua Grecia. una colección de libros que han subrevivido prácticamente intactos. La música es mucho más rica en sus posibilidades de lo que Aristógeno permitió. pero no existe razón alguna para construir la música. pero él excluyó cuanquier otra posibilidad desus enseñanzas. La crítica principal a estos hechos históricos es la siguiente [3]: no existe ninguna razón para basar las escalas necesariamente en los tetracordes de Aristógeno. Simpson en su excelente revisión de los antiguos modos griegos [3]. apelar a los límites impuestos por la capacidad de la voz humana. Por . ni para construir los tetracordes de forma descendente -como Aristógeno siempre hacía. Aristógeno podía. a pesar de que no existe ningún registro escrito que confirme este hecho. quintas y octavas. Estos libros contienen un ataque y una crítica a aquellos que Aristógeno llamaba los harmonistas de la escuela pitagórica. Para corregir sus errores y poner la ciencia de la música sobre suelo firme. la quinta perfecta. incluyendo sus equivalentes de los modos antiguos -ya que utiliza el nombre de los modos para algunas de sus escalas. se conocen desde tiempos antiguos y se han venido utilizando hasta el momento entre las gentes de Asia. se llaman 'harmonai' por su redescubridora la musicologista [y Fellow del Instituto de Arqueología de la Universidad de Liverpool] Kathleen Schlesinger.p. y de hecho lo hizo. probablemente porque en realidad no entendía lo que los pitagóricos estaban en realidad haciendo. o en otras palabras los modalistas (porque harmonia designa modo musical en griego). produce al juntarlo con la cuarta perfecta el último intervalo consonante que es la octava (según Aristógeno sólo existían esos tres intervalos consonantes). etc. Como explica de forma clara Peter L. Aristógeno básicamente dice [3] que los modalistas no entendían lo básico acerca de la música y que lo hacían prácticamente todo mal. Cmo cuidadora de instrumentos musicales antiguosen el Museo Británico. las islas de Escocia. Según Aristógeno. que es la cuarta perfecta. Aristógeno tira por la borda toda la teoría que se llevaba en su tiempo y la reemplaza por algo nuevo.Cuando empecé a estudiar la estructura de las escalas musicales me sentí atraído por la simplicidad matemática del llamado método de "Afinamiento Ptagórico" que he explicado en la sección 2. Prácticamente en todas partes se atribuye esta escala a nuestro gran maestro griego Pitágoras.están constituidas por distintos tipos de tetracordes y sus combinaciones (ver sección 2). y la forma de entender el canto es empezar por el menor intervalo consonante. o su teoría.P. El siguiente intervalo consonante. Todas la escalas de Aristógeno. según esos límites. Estas escalas. Gracias a su entrenamiento específico supo que esos instrumentos no podían producir las escalas y los intervalos de hoy en día. Grecia.ni para limitar los intervalos consonantes a las cuartas. América del Norte. Schlesinger estableció los tipos y la forma de esas escalas durante más de 25 años de investigación publicados en 1938 en su libro Los Aulós Griegos". . estando hechas de plata.." 7. La cuerda entera proporciona una frecuencia de referencia que habitualmente es la tónica en la teoría musical moderna. Schlesinger era de la opinión que los Modos nacieron mucho antes incluso de la época de Pitágoras [. a las flautas de plata de Ur en Caldea.C. Tocando un número creciente de segmentos cada vez genera el sonido de fracciones más y más pequeñas de esa frecuencia más alta. y a partir de la cual se forman todos los intervalos restantes en orden ascendente (ver Figura 31). "la Sra. el segmento más pequeño en la cuerda así dividida proporciona otra frecuencia de referencia. ¿Y si lo dividimos en un número fijo de partes a ver qué sucede? En la Figura 32 mostramos un ejemplo del monocorde dividido en cinco segmentos iguales. una de sus discípulas. en realidad la frecuencia más alta para un número de segmentos dado..2.. Según Elsie Hamilton.] ella apunta a que podemos remontarnos hasta alrededor del año 2800 B. han resistido el paso del tiempo [5]. que se conocen como subtonos (Figura 32). Sin embargo. y en las cuales encontramos orificios a distancias iguales y que.lo tanto esas escalas tenían que ser distintas.Una forma alternativa de estudiar el monocorde Hay una forma más simple de estudiar las frecuencias sonoras usando el monocorde que dividir su cuerda en un número desigual de partes cada vez. que fueron excavadas bajo la dirección de Sir Leonard Woolley. A continuación encontramos otra octava en f/4.Figura 32 A través de este sencillo ejemplo podemos empezar a aprecir las posibilidades ilimitadas de esos subtonos. aunque en dirección descendente. El diagrama siguiente de Elsie Hamilton ilustra este hecho hasta los 16 segmentos. (2) las fracciones que se muestran corresponden a divisiones de la longitud de la cuerda -not a frecuencias. por lo tanto las sucesivas octavas descendentes contienen un número creciente de intervalos (densamente empaquetados). y también el de una tercera mayor (5/4). y (3) el número de segmento aumenta . El cuarto subtono f/5 nos permite estudiar el intervalo de una sexta (5/3) con el segundo subtono. Por favor obsérvese lo siguiente: (1) la longitud de cada segmento no es proporcional al intervalo correspondiente como en nuestros dibujos de colores. que forma un intervalo de una quinta perfecta descendente con el segundo subtono ya que (f/3)/(f/2) = 2/3. El primer subtono (f/2) forma con la frecuencia (más alta) de referencia f el intervalo de una octava. Tomando tres segmentos obtenemos el siguiente subtono. La octava siguiente no se encuentra hasta la frecuencia f/8. la media armónica de la octava genera la cuarta nota (en realidad una cuarta perfecta). como se ha explicado en la Figura 32 de arriba en dirección opuesta. Como ya hemos visto en la Figura 24..de derecha a izquierda.Deducción a partir de la media armónica Seleccionemos la octava contenida entre las frecuencias del 16º subtono (f/16) y el octavo (f/8) de la frecuencia de referencia f o Arché que no debe confundirse con la tónica de la escala que en nuestro caso sería f/16. Tocando un número creciente de segmentos proporciona una secuencia de subtonos 16/2. de la frecuencia de referencia mayor 16/1 también conocida como arché. 7. Para ser capaz de tocar cualquiera de esos intervalos. Siguiendo el método de Maria Renold's. hasta alcanzar la frecuencia menor 16/16 al usar la cuerda entera. Si ese fuera el caso. necesitaríamos un monocorde con almenos dos cuerdas.. 16/4. la frecuencias correspondentes serían sus valores inversos. 16/3.3. obtenemos la frecuencia de las seis notas restantes tal como sigue:: . Los Modos Aulós antiguos empiezan en la siguiente octava. manteniendo una cuerda por ejemplo en el quinto segmento y la otra cuerda en el tercer segmento produciría el sonido de una sexta mayor descendente (3/5). . Ahora si continuamos com media armónicas en lugar de cambiar a la media aritmética. A partir de este diagrama resulta interesante apreciar que las primeras tres octavas (hasta el octavo subtono) contienen la mayoría de intervalos de la escala Justa. la que se encuentra entre los subtonos 8º y 16º. Figure 33: División de un monocorde en 16 segmentos iguales ilustrada por Elsie Hamilton [5]. Los números que se muestran son fracciones de la longitud de la cuerda. voy a mostrar como se puede deducir de forma sencilla el primero de esos modos usando exclusivamente la media armónica. (a) (b) (c) (d) . (e) (f) (g) . Las notas en los Modos Aulós a menudo se numeran en términos del número de segmento que produce cada nota that produces each note [2]. 24 y 28 divisiones de la cuerda.. tendríamos que dividirlo en 16 segmentos iguales como en la Figura 33 anterior y utilizar sólo la segunda mitad de las divisiones. Por favor obsérvese que. como se ilustra en el siguiente diagrama original de Elsie Hamilton [5]: . 20. 13/12.Figura 34: La estructura de las escalas en los antiguos Modos Aulós griegos puede obtenerse a partir de la media armónica. Figure 35 Para tocar esta escala en un monocorde. cuando se lee de izquiera a derecha el Modo Hipodorio de Saturno en realidad es una escala ascendente. a pesar de estar basados en la serie de subtonos. podemos observar que el primer intervalo es (1/15)/(1/16) = 16/15 o un semitono cromático. y los últimos dos intervalos también nos suenan familiares: 10/9 el tono justo y 9/8 el tono "pitagórico". 12/11 and 11/10 son "nuevos" para nosotros y son característicos de los Modos griegos. Lo que hemos obtenido es lo que los matemáticos llaman una serie armónica. La Figura 35 muestra las longitudes de intervalos reales en cents siguiendo esa numeració u utilizando nuestra convención de colores (véase la leyenda de colores en la Figura 38 más adelante). 7. los siguientes cuatro intervalos 15/13. 22.4.Los siete antiguos Modos griegos Los seis Modos griegos restantes se obtienen usando 18. excepto por la fracción ausente 1/14 que sería una novena nota en la escala. Esas son las frecuencias del antiguo Modo Hipodorio de Saturno [2]. 1/20. 1/16. Por ejemplo si ajustamos la longitud total de la cuerda L de manera que su fundamental sea f0~1/L = 128Hz.Figura 36: Divisiones en un monocorde para tocar los siete Modos Aulós griegos. Así pues. la frecuencia de referencia o Arché es diferente para cada modo. 1/18. ya que que la longitud total de la cuerda es la misma. Podemos observar en este diagrama que cada modo tiene un segmento básico de longitud distinta. pero el modo del Sol tendría una Arché f = 128·22 = 2816 Hz. . El diagrama de arriba puede malinterpretarse porque el primer segmento. Por favor obsérvese que las notas que se encuentran por debajo (a la izquierda) del 16º subtono usan los subtonos dobles de la octava diatónica (8º a 16º) omitiendo los subtonos que se encuentran enmedio: por ejemplo los cuatro subtonos más bajos del modo del Sol son 1/22. entonces el Arché del modo de Saturno sería f=128/(1/16) = 128·16 = 2048 Hz. Nótese que este modo tiene dos formas. El modo central Dorio asociado al Sol era el modo principal en el antiguo sistema musical griego. uno termina dándose cuenta de que todos los modos contienen los mismos intervalos pero en un orden diferente. Ahora viene la parte interesante. parece tener la misma longitud en cada modo y eso no es así como acabamos de explicar. Figura 37 Los siete antiguos Modos griegos tienen una particularidad característica: cada uno está formado por dos tetracordes distintos. ¿Cuál es la estructura de intervalos de los seis nuevos modos que acabamos de obtener? Si se realizan los cálculos matemáticos.el que se encuentra entre la primera división y el inicio de la cuerda. no todos los modos tienen esas dos formas (véase la Figura 40) pero esas dos divisiones nunca se usaban simultáneamente en ningún modo. una usando la división 1/14 y la otra usando la división 1/15. Esto se ilustra en la figura . Esto se ilustra de forma gráfica en la Figura 37. realizando un desplazamiento cíclico (excepto en los casos en queel intervalo 15/13 se reemplaza por el intervalo 15/14 o al revés. Figura 38). La escala moderna de Intervalos Justos utiliza este tetracorde en realidad dos veces. ¿Alguno de los anteriores tetracordes le resulta familiar? Como probablemente habrá adivinado.siguiente. siguiendo la disposición típica propuesta por Aristógeno (Figura 39). se trata del primer tetracorde del Modo Hipolidio de Marte. Parece que la escala diatónica moderna ha perdido la pureza o diversidad de intervalos original que solía tener en el antiguo Modo Hipolidio. re 38: Los antiguos Modos Auló griegos como tetracordes. Se puede apreciar que cada modo puede generarse a partir del modo precedente cogiendo el último intervalo e insertándolo al principio. . donde se muestra la laongitud de cada intervalo en cents. . reproduciendo la Tabla 5 del libro de Maria Renold [2. p. existe una forma de superar esta limitación aparente.30].Los Modos Aulós griegos como subespecies Para poder tocar los siete modos distintos en un sólo instrumento. y en "acomodar" cada modo en una porción distinta de la cuerda.5. Con esta operación.Figura 39: Nuestros escala moderna de Intervalos Justos contiene el primer tetracorde del Modo Hipolidio asociado a Marte. por sorprendente que pueda parecer a primera vista. 7. éste se debería reafinar cada vez porque el número de divisiones de la cuerda es distinto en cada modo. ¡su estructura de intervalos no se ve alterada! La figura siguiente lo ilustra de forma gráfica. pero cada modo tiene su propia tónica y. El truco consiste en dividir la cuerda en un número de segmentos suficientemente grande (al menos 28). . los siete modos comparten el mismo intervalo medio 18/16 (que los antiguos griegos llamaban mese) y también tienen la misma frecuencia de referencia. Sin embargo. La escala de Doce Quintas .. con sus complicaciones de pulsos y demás" [5]. Según Elsie Hamilton. sino almenos siete. y a un afinador de pianos le resulta mucho más fácil afinar un piano a los Modos que afinarlo según el método ordinario. quien ha adoptado los Modos griegos como base para sus composiciones musicales. "con los siete Modos Planetarios no sólo tenemos dos experiencias distintas como en nuestras escalas modernas Mayor y Menor.Figure 40: Los antiguos Modos griegos como especies. Otra ventaja es que "el Modo griego está construido siguiendo la propia Ley Natural (la Serie Armónica) sin ningún compromiso [como sucedía en la espiral de quintas de la escala de Aristógeno]. que resulta bastante individual y peculiar de ese modo en concreto. porque cada uno de los Modos griegos nos proporciona un "ethos" o atmósfera completamente diferente. 8. de esta forma nuestra experiencia musical se ve enormemente enriquecida". A esta escala la llamó la escala de las Doce Quintas [2]. Elis.La estructura de la escala y las quintas formadas En 1962. Maria Renold encontró de oído una escala cromática de doce tonos en la cual todas la claves mayores y menores son posibles. Para que quede claro que los cinco nuevos tonos son medias geométricas y para diferenciarlos de los tonos ordinarios y de los tonos del tempramento igual. Figura 41 .8]. Se los llamó Delis. luego Gelis contiene ambos nombres indicando así que esos semitonos no son ni llanos ni agudos [2. Gelis. Esto es equivalente a situar los cinco semitonos extra -que corresponden a las teclas negras del piano.8. se inserta un nuevo tono enmedio de cada tono completo que surge de la media geométrica de las dos frecuencias extremas del tono completo en cuestión (Figura 41). y que está hecha por completo de lo que ella llama intervalos genuinos para el oido. partiendo de la escala C "pitagórica" que hemos presentado en la sección 2. En la Tabla 2 se compara la longitud de los intervalos resultantes en cents con los de las escalas cromáticas vistas hasta el momento.. Alis and Belis -en alemán Ges significa llano y Gis significa agudo. La estructura de la escala es muy simple: empezando por las siete notas de la escala C "pitagórica". p.1.en el centro exacto del tono completo expresado en cents. La figura siguiente muestra los cocientes de intervalos acumulados de la escala de doce notas obtenida siguiendo este método. Table 2 Es importante enfatizar que los cinco tonos que son medias geométricas se encontraron de oido. El hecho de que existe una quinta genuina para el oido que es menor que la quinta del Temperamento Igual es un fenómeno que sólo se puede descubrir de oído. con un sonido tan falso e insatisfactorio" [2. Difiere de todas las otras quintas que han sido clasificadas de forma acústica hasta el momento presente" . Las cualidades de estos nuevos intervalos difieren de los intervalos de las escalas Justa y de Aristógeno.] Parece que con anterioridad sólo eran capaces de crear este tono en la composición activa de música los artistas. La escala de doce quintas parece ser capaz de hacer aparecer este tono a través tan sólo de las proporciones de intervalos entre tonos" [2. Los doce tonos forman "una escala cromática con un sonido genuino y 24 escalas mayores y menores con un sonido igualmente genuino que son válidas pra realizar cualquier trabajo de composición con instrumentos de afinamiento fijo. La quinta formada se puede reconocer por su carácter ligeramente crudo o seco. convirtiendo en innecesario afinamiento del Temperamento Igual. Una prueba con cualquier instrumento afinado de esta forma demuestra que este este es el caso. p. instrumentistas y directores que tenían un don especial. Maria Renold destaca que su escala de doce quintas "sólo fue posible después de descubrir lo que llama la quinta formada. Los pianos se pueden afinar a la escala de doce quintas.. por lo que Maria Renold los llamó intervalos "formados".. Un tono de sonido libre similar se observó en un coro de unas 20 liras afinadas de esta forma. músicos y público experimentaron una plenitud de sonido inspirante que provenía del medio de la habitación [.63]. "estos intervalos formados se armonizan con los intervalos verdaderos consiguiendo armonías bien sonantes y disonancias características". El público comentaba que el sonido del piano de Maria Renold con la nueva afinación no parecía proceder directamente del propio instrumento "sino que sonaba libremente como si procediera del centro de la habitación.57]. Según ella. p. 63]. 8. diez de ellas son quintas perfectas y dos de ellas son quintas formadas -que contienen dos semitonos "pitagóricos"en lugar de uno solo: Figura 42: The fifths in Maria Renold's scale of twelve fifths.Acerca de la frecuencia de afinación correcta A=432Hz Maria Renold pone de manifiesto que "conviene tener presente una característica clave de la escala de doce quintas. La figura siguiente ilustra las doce quintas de esta escala.[2. Mientras que los intervalos y tonos tienen efecto bonito. placentero y armónico sobre el ser humano cuando se afinan a C=256Hz.61]. se convierten en antisociales y además causan que las personas se provoquen las unas a las otras si se utiliza la frecuencia de afinación A=440Hz [de uso común hoy en día]. p.04Hz y A=432Hz. sino que tonos de determinadas frecuencias tienen determinadas cualidades que pueden tener efectos mayores sobre los seres humanos" [2. Este comentario surgió a partir de las experiencias siguientes: "La primera vez que Maria Renold (violista y violinista de concierto) afinó su gran piano Steinway al recién hallado método de afinación. p. Esta observación hecha a menudo muestra que los intervalos genuinos al oído no son lo único que importa en música.2. el único diapasón de . Gelis=362.. [3] Simpson. Timbre. Temple Lodge. Sin embargo.Referencias [1] Sethares. 2004. 1953. Springer. la llamada 'C del filósofo'. Jay: "Beyond Measure. El malestar experimentado anteriormente había desaparecido y tanto los intervalos como los tonos sonaban placenteros y bellos. Entonces surge de forma natural la pregunta ¿es esa observación también válida para las demás escalas como el ámpliamente extendido Temperamento Igual? En el siguiente artículo describiremos los experimentos llevados a cabo por Maria Renold para confirmar que en efecto así es. Scales. que sonaban perfectamente claros y armónicos. . [2] Renold. pudieran levantar un estado de ánimo tan antisocial entre los oyentes. El mismo fenómeno siempre tenía lugar. and Number". Esa observación sólo puede conducir a una conclusión: sólo pueden ser los tonos basados en la frecuencia de afinación A=440Hz los que causan ese estado de ánimo antisocial" [2. 2002. Tones and the Concert Pitch c = 128 Hz".. Elsie: "The Modes of Ancient Greece". Todos los presentes se deleitaron con el espléndido sonido y se vieron envueltos por un estado de ánimo armónico que dejaba a la gente libre". no se trataba de un error. así era.que disponía era a A=440Hz. World Scientific. William A: "Tuning. 9. Spectrum. Piezas tanto clásicas como modernas sonaban con una belleza nunca antes oída. musicalmente inusual. "Parecía totalmente improbable que los intervalos de ese nuevo método. [4] Kappraff. fue una ocasión para celebrar y se tocó música de inmediato con ese instrumento y su sonido absolutamente magnífico. Peter LP: "The sound of Music: On the Ancient Greek Modes".69]. Scale". "Para asegurarse de la primera observación. La solución sólo se encontró cuando se reafinó el piano a la frecuencia C=256Hz sugerida por Rudolf Steiner. por lo que el piano se afinó según esta frecuencia. se repitió el experimento con liras durante muchos años y en muchos lugares. Myth. p. entonces sí fue una verdadera celebración. Cuando se tocó más música en el piano nuevamente afinado. [5] Hamilton. Maria: "Intervals. Una vez hecho. pero después de unos momentos de desarrolló una atmósfera crecientemente maliciosa entre los presentes". A Guided Tour Through Nature. 2004.