UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARAcuando se le somete a un esfuerzo cortante, sin importar lo pequeño que sea el esfuerzo aplicado". SISTEMAS DE UNIDADES Hoy existen en el mundo cuatro sistemas de unidades de medida, dos de ellos denominados gravitacionales y los otros dos denominados absolutos. Son sistemas gravitacionales aquellos que tienen como unidad fundamental la unidad de fuerza, siendo en ellos la unidad de masa, CATÁLOGO DE LAS PROPIEDADES FÍSICAS unidad derivada. Son sistemas absolutos DE LOS FLUIDOS aquellos que tienen como unidad fundamental la unidad de masa, siendo pues, la unidad de ¿Que es un fluido? fuerza unidad derivada. Un fluido es una sustancia capaz de fluir, por lo que el término "fluido" engloba a líquidos y SISTEMA INGLES gases. Hay fluidos que fluyen tan lentamente El sistema inglés de unidades o sistema imperial, es que se pueden considerar sólidos, como el vidrio aún usado ampliamente en los Estados Unidos de o el asfalto. América y, cada vez en menor medida, en algunos No existe una línea divisoria entre los líquidos y países con tradición británica. Debido a la intensa los gases, porque cambiando la presión y la relación comercial que tiene nuestro país con los temperatura unos cambian en otros. EUA, existen aún en México muchos productos fabricados con especificaciones en este sistema. Una definición más formal: "un fluido es una sustancia que se deforma continuamente SISTEMA INTERNACIONAL 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Debido a que en el mundo científico buscaba un La longitud y tiempo no dependen de la solo sistema de unidades que resultara práctico, aceleración de la gravedad, la masa si está en claro y de acuerdo con los avances de la ciencia función de la gravedad. en 1960 científicos y técnicos de todo el mundo se reunieron en Ginebra, Suiza y acordaron adoptar el llamado Sistema Internacional de Unidades (SI). Este Propiedades físicas de los fluidos relacionados con sistema se basa en el llamado MKS cuyas iniciales la masa gravedad y peso: corresponden a metro, Kilogramo y segundo. El Sistema Internacional tiene como magnitudes y unidades fundamentales como las siguientes: para Peso específico (𝛾 gamma) longitud al metro (m), para masa al Kilogramo (kg), para tiempo el segundo (s), para fuerza el Newton El peso específico es aquel que relaciona el peso (N), para temperatura al Kelvin (K), para intensidad de un componente con su volumen, quedando de corriente eléctrico al ampere (A), para la representado con las siguientes formulas; intensidad luminosa la candela (cd) y para cantidad de sustancia el mol.esto hace que el 𝑊 𝑚𝑔 segundo se convierta en minuto. 𝛾= = =𝜌∗𝑔 𝑉 𝑣 MKS ABSOLUTO 𝛾 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 La longitud, masa y tiempo no están en función de 𝑊 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 la gravedad (g). 𝑉 = 𝑣𝑜𝑙ú𝑚𝑒𝑛 MKS TECNICO 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 2 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA 2.202 𝑙𝑏 3) 1𝑚3 𝑔 = 𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝛾 = (62.5𝑘𝑔/𝑚 ( )( ) 1 𝑘𝑔 (0.3048𝑓𝑡)3 = 4860.18 𝑙𝑏/𝑓𝑡 3 SISTEMA MKS ABSOLUTO (para este sistema convertimos sólo las unidades en kg- masa, del MKS técnico) 𝑘𝑔𝑚 Ejemplo 62.5 𝑠𝑒𝑔2 𝛾= 𝑚3 = 6.37𝑘𝑔/𝑚2 ∗ 𝑠𝑒𝑔2 Calcular el peso específico de un líquido que pesa 𝑚 9.8067 2 𝑠 75 kg y abarca un volumen de 1.2 m 3 ( ) SISTEMA MKS TÉCNICO 75 𝑘𝑔 𝑘𝑔 𝛾= 1.2𝑚3 = 62.5 𝑚3 SISTEMA INTERNACIONAL DENSIDAD 𝛒 (𝐫𝐨) 𝛾 = (62.5𝑘𝑔/𝑚3 )(9.81𝑚/𝑠 2 ) = 613.125𝑁/𝑚3 La densidad es una medida utilizada en la física y la SISTEMA INGLÉS química para determinar la cantidad de masa contenida en un determinado volumen. 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 3 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA La densidad es una propiedad intensiva, ya que no 𝑘𝑔 𝛾 62 .5 3 𝑚 𝑘𝑔∗𝑠𝑒𝑔2 𝜌 = 𝑔 = 9.8067 𝑚 = 6.37 depende la cantidad que tengas la densidad de 𝑠2 𝑚4 una sustancia va a ser siempre la misma. Por ejemplo : una gota de agua tiene la misma densidad que un litro o miles de litros. Tomamos el peso específico en el SI 𝑚 𝛾 𝜌= = 𝑉 𝑔 SISTEMA INTERNACIONAL Dónde: 𝛾 613 .125𝑁 /𝑚3 𝜌=𝑔 = 9.8067 2 𝑚 = 62.52𝑘𝑔/𝑚3 𝑠 ρ: densidad m: masa V: volumen g= aceleración de la gravedad SISTEMA INGLÉS 𝑘𝑔∗𝑠𝑒𝑔2 2.202 𝑙𝑏 1𝑚4 𝑙𝑏∗𝑠𝑒𝑔2 𝜌 = 6.37 𝑚4 ( 1 𝑘𝑔 ) ((0.3048 𝑓𝑡)4 ) = 1625.16 𝑓𝑡4 Con el ejemplo anterior, para sacar densidad con la fórmula Tomamos el peso específico en el sistema técnico SISTEMA MKS TÉCNICO SISTEMA MKS ABSOLUTO 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 4 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA 𝑘𝑔 6.37 𝛾𝑚 𝜌 𝑚2 𝑠𝑒𝑔2 𝜌= 𝑚 = 0.683𝑘𝑔/𝑚3 𝜌𝑟 = = 𝑚 9.8067 𝛾𝐻2 𝑂 𝜌𝐻2 𝑂 𝑠2 𝜌𝑟 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝛾𝑚 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝛾𝐻2 𝑂 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝜌𝑚 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝜌𝐻2 𝑂 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 DENSIDAD RELATIVA MASA Es la relación entre el peso específico del cuerpo y La masa, es la medida de la inercia, que el peso específico de la sustancia de referencia. únicamente para algunos casos puede entenderse La sustancia de referencia es aire para los gases y como la magnitud que cuantifica la cantidad de agua para los sólidos y líquidos. materia de un cuerpo. La unidad de masa, en el La densidad relativa es adimensional Sistema Internacional de Unidades es el kilogramo 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 5 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA (kg). Es una cantidad escalar y no debe confundirse 62.52𝑘𝑔 𝑚 = 𝜌∗ 𝑉 = (1.2𝑚3 ) = 75.04𝑘𝑔 con el peso, que es una cantidad vectorial que 𝑚3 representa una fuerza. 𝑘𝑔 ∗ 𝑠𝑒𝑔2 SISTEMA INGLES 𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉 = 7.64 𝑚 𝑘𝑔 ∗ 𝑠𝑒𝑔2 2.202 𝑙𝑏 1𝑚 𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉 = 7.64 ( )( ) 𝑚 1 𝑘𝑔 0.3048 𝑓𝑡 𝑙𝑏𝑠𝑒𝑔2 EJEMPLO.- Tomamos la densidad del ejemplo = 55.19 𝑓𝑡 anterior en MKS TÉCNICO MKS TÉCNICO SISTEMA MKS ABSOLUTO 0.683𝑘𝑔 𝑘𝑔 ∗ 𝑠𝑒𝑔2 3) 𝑘𝑔 ∗ 𝑠𝑒𝑔2 𝑚 = 𝜌∗𝑉 = ( ) (1.2𝑚3 ) = 0.8196 𝑘𝑔 𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉 = ( 6.37 ) ( 1.2𝑚 = 7.64 𝑚3 𝑚4 𝑚 SISTEMA INTERNACIONAL PESO El peso de un cuerpo es una magnitud vectorial, 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 6 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA el cual se define como la fuerza con la cual un 𝑘𝑔 𝑊 = (62.5 ) (1.2𝑚3 ) = 75𝑘𝑔 cuerpo actúa sobre un punto de apoyo, a causa 𝑚3 de la atracción de este cuerpo por la fuerza de la gravedad. SISTEMA INTERNACIONAL La situación más corriente, es la del peso de los 𝑊 = (613.125𝑁/𝑚3 )(1.2𝑚3 ) = 735.75𝑁 cuerpos en las proximidades de la superficie de SISTEMA INGLES un planeta como la Tierra, o de un satélite. El peso de un cuerpo depende de la intensidad del campo gravitato 2.202 𝑙𝑏 𝑊 = (75𝑘𝑔) ( ) = 165.15𝑙𝑏 1𝑘𝑔 rio y de la masa del cuerpo. En el Sistema SISTEMA MKS ABSOLUTO Internacional de Magnitudes se establece que el peso, cuando el sistema de referencia es la Tierra, 𝑊 = (6.37𝑘𝑔/𝑚2 ∗ 𝑠𝑒𝑔2 )(1.2𝑚3 ) = 735.75𝑘𝑔/𝑚 ∗ 𝑠𝑒𝑔2 comprende no solo la fuerza gravitatoria local, sino también la fuerza centrífuga local debida a la rotación; por el contrario, el empuje atmosférico no VISCOSIDAD (Dinámica ó absoluta) se incluye. La viscosidad es una magnitud que representa la "resistencia a fluir" o densidad de un fluido. A mayor 𝑊 = 𝛾∗𝑉 viscosidad, más espeso es el fluido; y a menor Con el peso especifico del ejercicio anterior viscosidad, menos espeso. El término viscosidad sacaremos el peso. viene de la palabra latina viscum, que en botánica designa al muérdago común, y hace alusión al SISTEMA MKS TECNICO típico zumo espeso de sus bayas. De este zumo se preparaba la "liga", una masa pegajosa usada para 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 7 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA cazar pájaros. "Viscoso" significa, por lo tanto, La viscosidad es la resistencia interna que presentan "espeso como liga". los fluidos a deformarse continuamente cuando se les aplican esfuerzos cortantes. Al hablar de resistencia interna nos referimos a una Por lo tanto la viscosidad es la oposición de un especie de “fricción” entre partículas de fluido. Esa fluido a las deformaciones tangenciales, es debida “fricción” es de diferente naturaleza que la que se a las fuerzas de cohesión moleculares. Todos los presenta entre dos superficies de cuerpos sólidos. fluidos conocidos presentan algo de viscosidad, De hecho, en los líquidos la viscosidad depende siendo el modelo de viscosidad nula una principalmente de la cohesión ent re las moléculas aproximación bastante buena para ciertas del propio líquido. aplicaciones. Un fluido que no tiene viscosidad se llama fluido ideal. La viscosidad solo se manifiesta en líquidos en Se llama cohesión a las fuerzas de atracción entre movimiento, se ha definido la viscosidad como la las moléculas de un mismo material. Las fuerzas de relación existente entre el esfuerzo cortante y el cohesión son de origen eléctrico, y permiten gradiente de velocidad. Esta viscosidad recibe el explicar gran parte del comportamiento a nivel nombre de viscosidad absoluta o viscosidad macro de los materiales. dinámica. Generalmente se representa por la letra LEY DE NEWTON griega . Se conoce también otra viscosidad, El concepto de viscosidad nació con Newton, denominada viscosidad cinemática, y se cuando en su obra "Philosophiae Naturalis. Principia representa por . Matematica" afirmó que la resistencia ejercida, y que surge a partir de una falta en el deslizamiento de un fluido, si el resto de factores se mantienen, es proporcional a la velocidad a la que las partes de 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 8 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA un fluido son separadas entre sí. De este modo, se La tensión cortante o tensión de corte es aquella establece la proporcionalidad existente entre el que, fijado un plano, actúa tangente al mismo se le esfuerzo por unidad de área (F/A) necesario para denomina con la letra T (tau). producir un gradiente de velocidades en un fluido, 𝑑𝑣/𝑑𝑦 siendo la constante de proporcionalidad un factor = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖 que describe "la capacidad de deslizamiento de un fluido" (más tarde esta constante de El gradiente de velocidad es una medida de proporcionalidad fue llamada viscosidad). La cambio de velocidad, conocida también como hipótesis propuesta por Newton se suele representar rapidez de corte. Como la tensión de corte es con un esquema como el de la Figura 2.1, en el que directamente proporcional al gradiente de velocidad, podemos establecer la siguiente se muestra dos superficies de superficie A, expresión matemática. separadas por una distancia Y, estando una de ellas sometida a una fuerza F que le provoca una velocidad V. Al mismo tiempo, se suele describir La viscosidad de un fluido Newtoniano se suele matemáticamente los principios establecidos por representar con la letra griega μ, pero para fluidos Newton a partir de una expresión matemática no Newtonianos la viscosidad aparente se suele como la ecuación. representar entonces con la letra griega η. 𝜏 Los fluidos newtonianos es un fluido 𝜇= 𝑑𝑣/𝑑𝑦 cuya viscosidad puede considerarse constante en el tiempo. Los fluidos newtonianos son uno de los fluidos más sencillos de describir. La curva que Dónde: muestra la relación entre el esfuerzo o cizalla contra su velocidad de deformación es lineal. El mejor 𝜇 = 𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ejemplo de este tipo de fluidos es el agua en contraposición al pegamento, la miel o 𝜏 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 𝑜 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑎 los geles y sangre que son ejemplos de fluido no newtoniano. 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 9 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA tipo de flujo se puede ver con aceite viscoso como Dependiendo de la velocidad y viscosidad de un el que usan los autos en la transmisión o en el motor) fluido se pueden determinar dos tipos de flujos A nivel molecular la viscosidad está determinada Flujo turbulento: si la velocidad es “alta” y la por las fuerzas de cohesión y por el intercambio en viscosidad “baja”, las partículas de fluido se mueven la cantidad de movimiento de las moléculas. En los en trayectorias caóticas formando torbellinos de líquidos las fuerzas de cohesión predominan y se relajan o disminuyen cuando aumenta la diversos tamaños y con gran efecto de mezclado, a temperatura, por ello la viscosidad disminuye. En los esto se le llama flujo turbulento. Este tipo de flujo lo podemos ver en las volutas de humo de un cigarro, gases, las fuerzas de cohesión son muy pequeñas y en el polvo que arrastran las ráfagas de viento, en la predomina el intercambio de la cantidad de corriente de un río y una cascada, también se movimiento al aumentar la temperatura aumenta la presenta en el humo del escape de un camión, en energía cinética de las moléculas y por lo tanto, el número e intensidad de choques entre ellas, el agua saliendo por la llave, de hecho es el tipo de aumentando el intercambio en la cantidad de flujo que se presenta comúnmente en la naturaleza. movimiento, por ello es que la viscosidad aumenta. Flujo laminar. Si l velocidad es “alta” y la velocidad “baja”, podemos observar un movimiento ordenado de las partículas, con trayectorias rectas y paralelas, deslizándose unas sobre otras como si estuvieran formando capas o láminas. Este tipo de flujo que se presenta cuando escurre miel sobre una superficie ligeramente inclinada o al sacar una cuchara que estaba adentro de la miel. (El mismo 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 10 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA En la práctica, la unidad usada es de tipo absoluto, corresponde al sistema cgs y se llama Poise Las dimensiones de la viscosidad en el sistema técnico son: 𝑔𝑟 1 Poise = 1 𝑐𝑚 ∗ 𝑠 = 0.10 𝐾𝑔 = 0.1 𝑃𝑎 ∗ 𝑠 𝑚∗𝑠 𝜏 𝐹 𝐿 2 𝜇= = = 𝐹 𝐿2 𝑇 𝐿𝑇 𝐿 1 𝑑𝑣 1 𝑑𝑦 Las unidades de la viscosidad en el sistema MKS absoluto o Sistema Internacional son: VISCOSIDAD CINEMATICA Es el cociente entre la viscosidad dinámica y la 𝜏 𝑃𝑎 𝐾𝑔∗𝑚 1 𝐾𝑔 𝜇= = 𝑠= 𝑠= densidad 𝑚𝑠𝑒𝑔 𝑚 1 𝑑𝑣 1 𝑠² 𝑚² 𝑚∗𝑠 𝑑𝑦 Las unidades de la viscosidad en el sistema MKS 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝜇 𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 = = 𝜗= técnico 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝜌 𝜏 𝐾𝑔 𝐾𝑔 ∗ 𝑠 Sus dimensiones en los 4 sistemas son iguales. 𝜇= 𝑑𝑣 = 𝑚2 𝑚𝑠 1 = 𝑚2 𝑑𝑦 𝑚 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 11 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA [ ] [ν] = [𝜇] = 𝑀 𝐿−1 𝑇 −1 = 𝐿2 𝑇 −1 Entre estos tipos de esfuerzos encontramos los 𝜌 𝑀𝐿−3 siguientes 2 conceptos que son de suma importancia o de gran relación con los esfuerzos de compresión los cuales son: elasticidad y compresibilidad. Sabemos que en los sólidos, la elasticidad es la capacidad que tiene un cuerpo de recuperar su forma original después de que ha sido deformado, en los fluidos, debido a que carecen de forma Elasticidad. Es la capacidad de recuperar su volumen después de que ha sufrido un cambio de presión o una fuerza. También designa la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS EN LOS ESFUERZOS DE sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de COMPRESION. recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan. El esfuerzo de compresión es la resultante de las tensiones o presiones que existe dentro de un sólido 1 𝑑𝑃 𝑑𝑃 deformable o medio continuo, caracterizada 𝐸𝑣 = = − = − 𝐶𝑣 𝑑𝑉/𝑉 𝑑𝜌/𝜌 porque tiende a una reducción de volumen del Donde: cuerpo, y a un acortamiento del cuerpo en determinada dirección (Coeficiente de Poisson). Ev = elasticidad volumétrica. V = volumen 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 12 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA P = presión 𝜌 = densidad. Cohesión. Si la fuerza que mantienen unidas las C𝜗 = compresibilidad moléculas de una misma sustancia por la fuerza de cohesión, si dos gotas de agua se juntan forma un Compresibilidad. Es la capacidad de los fluidos de sola, lo mismo pasa con 2 gotas de mercurio. La cambiar su volumen con un cambio de presión. Es fuerza de cohesión es la propiedad con la que las el cambio de volumen dv en relación al volumen moléculas de agua se atraen entre sí. original V por cada cambio de presión dP, a esto Debido a esta interacción se forma cuerpos de se le dice que es la capacidad de comprimirse un agua de grandes volúmenes por adhesión de líquido en un recipient e llamado compresibilidad. moléculas de agua, las gotas. Compresibilidad = Cv = − 𝑑𝑉/𝑉 = 𝑑𝜌/𝜌 Los puentes de hidrogeno mantienen las moléculas 𝑑𝑃 𝑑𝜌 de agua fuertemente unidas, formando una estructura compacta que la convierte en un líquido casi incomprensible. Al no poder comprimirse puede funcionar en algunos animales como un esqueleto hidrostático, como ocurre en algunos gusanos barrenadores capaces de perforar la roca PROPIEDADES FÍSICA DE LAS FUERZAS A NIVEL mediante la presión generada por sus líquidos MOLECULAR internos. Estos puentes se pueden romper fácilmente con la llegada de otra molécula con un polo Molécula: En química, se llama molécula a un negativo o positivo dependiendo de la molécula, o conjunto de al menos con el calor. dos átomos enlazados covalentes que forman un sistema estable y eléctricamente neutro. La fuerza de cohesión permite que el agua se mantenga liquida a temperaturas no extremas. 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 13 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA También en los gases, la fuerza de cohesión puede Cuando aplicamos una fuerza solo permite observarse en su licuefacción, que tiene lugar al pequeños desplazamientos de las moléculas comprimir una serie de moléculas y producirse entre sí, cuando cesa la fuerza exterior, las fuerza de atracción suficiente mente altas para fuerzas de cohesión vuelven a colocar las proporcionar una estructura liquida. moléculas en su posición inicial. En los líquidos, la cohesión se refleja en la tensión En los líquidos, las fuerzas de cohesión son superficial, causada por una fuerza no equilibrada elevadas en dos direcciones espaciales, y hacia el interior del líquido que actúa sobre las entre planos o capas de fluidos son muy moléculas superficiales, y también en la débiles. Por otra parte las fuerzas de transformación de un líquido en sólido cuando se adherencia con los sólidos son muy elevadas. comprimen las moléculas lo suficiente. En los sólidos, Cuando aplicamos una fuerza tangencial al la cohesión depende de cómo estén distribuidos los líquido, este rompe sus débiles enlaces entre átomos, las moléculas y los iones, lo que a su vez capas, y las capas de líquido deslizan unas depende del estado de equilibrio (o desequilibrio) con otras. Cuando cesa la fuerza, las fuerzas de las partículas atómicas. Muchos compuestos de cohesión no son lo suficiente fuertes como orgánicos, por ejemplo, forman cristales para volver a colocar las moléculas en su moleculares, en los que los átomos están posición inicial, queda deformado. La capa fuertemente unidos dentro de las moléculas, pero de fluido que se encuentra justo en contacto éstas se encuentran poco unidas entre sí. con el sólido, se queda pegada a éste, y las capas de fluido que se encuentran unas juntas a las otras deslizan entre sí. La cohesión se caracteriza así según el estado de las sustancias: En los gases, las fuerzas de cohesión son En los sólidos, las fuerzas de cohesión son despreciables, las moléculas se encuentran elevadas y en las tres direcciones espaciales. en constante movimiento. Las fuerzas de 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 14 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA adherencia con los sólidos y los líquidos son mismo cuerpo, mientras que la adhesión es la importantes. Al aplicarse una fuerza de corte, interacción entre las superficies de distintos cuerpos se aumenta la velocidad media de las moléculas. Como estas partículas con más velocidad media (más cantidad de movimiento) se mueven en el espacio, COMPORTAMIENTO EN INTERFASES Y TUBOS algunas pasan a las capas contiguas CAPILARES aumentando a su vez la velocidad media de esas capas adyacentes, estas a su vez con una cantidad de movimiento más pequeña, Tensión superficial algunas de sus partículas pasan a la capa de mayor cantidad de movimiento (afectada por el esfuerzo de corte) frenándola. La superficie libre de un líquido en contacto con la atmósfera se comporta como si fuera una Adhesión. Es la propiedad de la materia por la cual membrana elástica de pequeña resistencia, lo que se unen y plasman dos superficies de sustancias permite que los insectos caminen por la superficie iguales o diferentes cuando entran en contacto, y libre del agua y que una aguja no se hunda si es se mantienen juntas por fuerzas intermoleculares. depositada con cuidado. La adhesión ha jugado un papel muy importante en muchos aspectos de las técnicas de construcción tradicionales. La adhesión del ladrillo con el mortero El comportamiento anterior se debe a la cohesión (cemento) es un ejemplo claro. La cohesión es de las moléculas. Al interior de la masa líquida, una distinta de la adhesión. La cohesión es la fuerza de molécula es atraída en todas direcciones por las atracción entre partículas adyacentes dentro de un moléculas que le rodean, pero en la capa limítrofe con la atmosfera solo atraída hacia abajo y hacia 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 15 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA los lados (la atracción hacia arriba por las pocas moléculas de vapor y por las moléculas de aire, es muy pequeña), produciendo ese comportamiento de membrana elástica. Las moléculas a lo largo de la superficie libre del líquido están sometidas a una fuerza neta hacia el interior. Una molécula en interior de la masa líquida es Una molécula de la superficie es atraída solo hacia atraída por los demás en todas direcciones abajo y hacia los lados. Consecuencia física de esta fuerza no equilibrada a lo largo de la superficie: creación de una ‘piel ‘membrana’ hipotética. Tensión superficial Podemos establecer una analogía con el lienzo de salvamento que es tensado horizontalmente en σ (sigma): intensidad de la atracción molecular todas direcciones, por un grupo de bomberos por unidad de longitud. colocados en círculo, lo cual le confiere cierta Unidades en SI: N/m capacidad de carga vertical. De hecho, considerar Es la razón de la ascensión o bajada de líquidos a la superficie los líquidos como si fuera una por tubos de diámetro muy pequeño membrana elástica es también una analogía (capilaridad) teórica. Suele despreciarse en las aplicaciones de Ingeniería Fluido mecánica La tensión superficial σ (sigma) se define como la fuerza en la superficie del líquido, en dirección 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 16 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA normal a una línea de longitud unitaria trazada en superficie del líquido, aunque por lo general se esa superficie. expresa en contacto con el aire. De aquí se desprende que sus dimensiones serán La tensión superficial también se presenta en la fuerza por longitud formación de gotas, burbujas pequeños y pequeños chorros. Las pompas o burbujas de jabón proporcionan una buena oportunidad de observar 𝐹 el comportamiento de la membrana elástica, [𝜎] = = 𝐹 𝐿−1 𝐿 siendo uno de los objetos más delgados que se pueden observar a simple vista. Por lo tanto: Al observar las magnitudes de la tensión superficial En el MKS absoluto sus unidades son Newton por de diferentes líquidos en las tablas del final de esta metro: N/m unidad, podemos percatarnos que son muy En el MKS técnico sus unidades son kilogramo fuerza pequeñas: 0.029 N/m para el benceno, 0.026 N/m por metro: Kg/m para el petróleo crudo, 0.073 N/m para el agua, etc. Esto es el motivo para que en la mayor parte de los problemas de ingeniería no se tome en Debido a que la tensión superficial depende cuenta. directamente de las fuerzas de cohesión intermoleculares, su magnitud disminuirá al aumentar la temperatura. También depende del fluido que se encuentre en contacto con la 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 17 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Capilaridad energía potencial por unidad de volumen en un fluido. Para definir con mayor propiedad el Se conoce como capilaridad el efecto de concepto de presión en un fluido se distinguen ascensión (o descenso) de la superficie libre de un habitualmente varias formas de medir la presión: por líquido dentro de un tubo de pequeño diámetro, su origen, por el instrumento usado para medirlas y llamado por ello capilar. En un tubo capilar la por su escala. superficie libre de los líquidos deja de ser una línea recta horizontal y forma una superficie curva CLASIFICACION POR SU ORIGEN. llamada menisco. La capilaridad también se presenta en medios porosos. presión mecánica.- Es la que se desarrolla entre las superficies en contacto de dos cuerpos sólido Presión neumática.- Es aquella presión ocasionada por el aire u otro gas en reposo. También podría llamarse aerostática. PROPIEDADES FISICAS DE LOS FLUIDOS EN RELACION Presión atmosférica.- es la presión A PRESION, TMPERATURA Y CAMBIOS DE ESTADO. ocasionada por la atmosfera. A pesar de que el aire es muy ligero (su peso especifico es La presión en un fluido es la presión termodinámica aproximadamente de 1 kg/m³), la capa de que interviene en la ecuación constitutiva y en la aire que cubre al planeta es lo bastante ecuación de movimiento del fluido, en algunos gruesa como para ejercer una presión casos especiales esta presión coincide con la considerable sobre la superficie de la tierra y presión media o incluso con la presión hidrostática. de cualquier objeto, (del orden de 1 kg/cm²). Todas las presiones representan una medida de la 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 18 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA h = es la profundidad del punto considerado; es Presión media. Es el promedio de las presiones decir, la distancia vertical medida desde la según diferentes direcciones en un fluido, superficie libre del líquido, en sentido descendente cuando el fluido está en reposo esta presión media coincide con la presión hidrostática. Presión hidrodinámica. es la presión termodinámica dependiente de la dirección Presión hidrostática. es la parte de la presión considerada alrededor de un punto que debida al peso de un fluido en reposo. En un dependerá además del peso del fluido, el fluido en reposo la única presión existente es estado de movimiento del mismo la presión hidrostática, en un fluido en movimiento además puede aparecer una INSTRUMENTO DE MEDICION. presión hidrodinámica adicional relacionada con la velocidad del fluido. Es la presión que Presión manométrica.- es la que se mide sufren los cuerpos sumergidos en un líquido o mediante los instrumentos llamados fluido por el simple y sencillo hecho de manómetros. Los hay de muchos tipos, 1 pero sumergirse dentro de este. Se define por la la característica común es que miden la fórmula donde es la presión presión a partir de la presión atmosférica del hidrostática, es el peso específico y lugar en donde realiza la medición, es decir, profundidad bajo la superficie del fluido. consideran al cero en el valor de la presión atmosférica local, y toman como positiva 𝑃= 𝛾ℎ cualquier presión mayor y como negativa, o vacío parcial, a cualquier sección presión Donde: menor. Como el cero de esta escala está en relación a la presión atmosférica local y P = es la presión en un punto γ = es el peso específico del líquido 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 19 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA cambia con ella, se dice que es relativo, de el cero dela escala esta en relación a la ahí el nombre de la escala. presión ambiente, por eso se llama relativa. La idea es muy simple, cuando decimos que presión barométrica.- la medida con el la llanta de un auto está desinflada porque barómetro. El barómetro es el instrumento “no tiene aire” o mejor dicho “no tiene utilizado para medir la presión atmosférica, presión”, no estamos pensando que dentro por lo tanto presión barométrica y presión de la llanta exista el vacío total, de hecho, si atmosférica son dos términos empleados para tiene aire, pero está a la misma presión que el denominar a la misma presión, es decir, son aire de afuera, es decir, a la presión sinónimos. atmosférica local, la cual se considera cero. El primer barómetro fue construido por el físico Presión absoluta: Es la presión medida desde italiano llamado Torricelli. Consta de un tubo el cero absoluto que es el vacío total o de vidrio cerrado por un extremo al que se absoluto, también se puede entender como lleno con mercurio y después se coloco con la la ausencia total de presión. parte abierta dentro de una cubeta que Imaginemos un recipiente de paredes gruesas también contenía ese metal líquido y resistentes al que se le conecta una poderosa bomba de vacío. Antes de encender la bomba, la presión dentro y fuera del recipiente es la atmosférica local. Por simplicidad supongamos un valor de 1 CLASIFICACION POR SU ESCALA USADA. kg/cm². Un medidor de presión relativa conectado al recipiente marcaría cero y un Presión relativa: es aquella que se mide a medidor de presión absoluta marcaría1 partir de la presión atmosférica local. Es decir kg/cm². 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 20 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Ebullición. Es el proceso físico en el que la materia P = presión dada a la cual se quiere medir el punto pasa a estado gaseoso. Se realiza cuando la de ebullición (comúnmente la presión atmosférica) temperatura de la totalidad del líquido iguala al Teb = punto de ebullición del líquido a la presión punto de ebullición del líquido a esa presión. Si se dada (P) continúa calentando el líquido, este absorbe el calor, pero sin aumentar la temperatura el calor se Evaporación. La evaporación es un proceso físico emplea en la conversión de la materia de un que consiste en el paso lento y gradual de un estado líquido al estado gaseoso, hasta que la estado líquido hacia un estado gaseoso, tras haber totalidad de la masa pasa al estado gaseoso. En adquirido suficiente energía para vencer la tensión este momento es posible aumentar la temperatura superficial. A diferencia de la ebullición, la de la materia, ya como gas. evaporación se puede producir a cualquier temperatura, siendo más rápido cuanto más Este proceso es muy distinto al de la evaporación, elevada sea esta. No es necesario que toda la que es paulatino y para el que altitudes superiores, masa alcance el punto de ebullición. Cuando existe la presión atmosférica media disminuye, por lo que un espacio libre encima de un líquido, una parte de el líquido necesita temperaturas menores para sus moléculas está en forma gaseosa, al equilibrase, entrar en ebullición. la cantidad de materia gaseosa define la presión En una olla a presión, el agua, por ejemplo, llega a de vapor saturante, la cual no depende del una temperatura de 120 a 130ºC antes de hervir, volumen, pero varía según la naturaleza del líquido debido a la mayor presión alcanzada por los gases y la temperatura. Si la cantidad de gas es inferior a en su interior de la olla, la cocción de la comida se la presión de vapor saturante, una parte de las da más rápidamente. moléculas pasan de la fase líquida a la gaseosa: eso es la evaporación. Cuando la presión de vapor La adición de aditivos al agua puede hacer iguala a la atmosférica, se produce la ebullición. aumentar o disminuir su punto de ebullición. 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 21 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA En hidrología, la evaporación es una de las variables A la formación de burbujas de vapor o cavidades hidrológicas importantes al momento de establecer por efect o de la disminución de la presión dent ro el balance hídrico de una determinada cuenca de un flujo se le llama cavitación. hidrográfica o parte de esta. En este caso, se debe distinguir entre la evaporación desde superficies A veces estas burbujas se acumulan en la parte más libres y la evaporación desde el suelo. La alta de una tubería y llegan a taponarla evaporación de agua es importante e interrumpiendo el flujo, esto se previene con indispensable en la vida, ya que el vapor de agua, válvulas o respiraderos como los que se colocan al condensarse se transforma en nubes y vuelve en junto a los tinacos en la mayoría de las casas y que forma de lluvia, nieve, niebla o rocío. se conocen como “jarros de aire. Vista como una operación unitaria, la evaporación es utilizada para eliminar el vapor formado por ebullición de una solución o suspensión líquida Cavitación. Dentro de un flujo la presión puede disminuir por aumento de velocidad o de posición o por una combinación de ambos factores. 2 Si la presión disminuye lo suficiente y llega a ser igual o menor que la presión de vapor (correspondiente a la temperatura que exista), en esa zona del flujo se formaran las burbujas de vapor que también se llaman cavidades. 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 22 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 1: El empuje hidrostático es igual al volumen de la cuña de distribución de presiones. La profundidad del centro de presiones según la ec. Y las caract erísticas indicadas en la fig. 2.10 vale. Calcular el empuje hidrostático y el centro de presiones sobre la pared de 2 m de ancho de un tanque de almacenamiento de agua para los siguientes casos a) pared vertical con líquido de un solo lado (fig. 2.10) b) pared 𝒉𝟐 𝑿 𝟐 inclinada con líquido en ambos lados (fig. 2.11) 𝒁𝒙 = 𝒉 + = 𝟏. 𝟔 𝒎 𝟏𝟐𝒉 𝟐 Este valor también es el de la profundidad del centro de gravedad de la cuña de distribución de presiones Solución a: En la figura 2.10 se muestra la distribución de presiones Solución b). hidrostáticas del agua sobre la pared vertical. La presión total La distribución de presiones el lineal en ambos lados y de 𝑡𝑜𝑛 para 𝛾 = 1 , 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 𝑣𝑎𝑙𝑒 sentido contrario, siendo la distribución resultante como se 𝑚3 muestra en la figura 2.11ª. 𝒉 𝒉𝟐 𝟐. 𝟒𝟐 𝑷 = 𝜸𝒃𝒉 = 𝜸𝒃 = 𝟏𝒙𝟐𝒙 𝟐 𝟐 𝟐 En la misma forma que en la solución (a), el empuje hidrostático sobre la pared es el volumen de la cuña de 𝑷 = 𝟓. 𝟕𝟔 𝒕𝒐𝒏 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 23 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA distribución de presiones de ancho b, indicada con el área (𝟐. 𝟒𝟐 − 𝟏. 𝟒𝟐 ) sombreada, la cual se puede determinar calculando el área =𝟏𝑿𝟐 = 𝟒. 𝟑𝟖𝟖 𝒕𝒐𝒏 𝟐 𝑿 𝟎. 𝟖𝟔𝟔 del triangulo de presiones de la izquierda m enos el de la derecha. Tomando momentos de las fuerzas respecto del punto A, obtenemos: Para el triangulo a la izquierda 𝒉𝟏𝟐 𝟐 𝒉𝟏 𝒉𝟏𝟐 𝒉𝟏 − (𝒉𝟐/𝟑) 𝒉𝟏𝟐 𝑷 𝒚𝒌 = 𝜸 𝒃 𝑿 − 𝜸𝒃 𝑷𝟏 = 𝜸 𝒃 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 Sustituyendo el valor de P, yk se puede despejar y escribir en la Aplicada a la distancia Y k1, desde el punto A, entonces forma 𝟐 𝒉𝟏 𝒀𝒌𝟏 = 𝒉𝟏 𝟏 𝒉𝟏𝟑 − 𝒉𝟐𝟑 𝟐. 𝟒 𝟐. 𝟗𝟏𝟔 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒚𝒌 = − = − = 𝟏. 𝟔𝟗𝟒 𝒎 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒉𝟏𝟐 − 𝒉𝟐𝟐 𝟎. 𝟖𝟔𝟔𝟔 𝟑 𝑿 𝟎. 𝟖𝟔𝟔 Para el triangulo a la derecha se tiene que 𝒉𝟐𝟐 Solución c) 𝑷𝟐 = 𝜸 𝒃 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 para el caso de la figura 2.11b es sufi ciente hacer 𝜃 = 90° en las ecuaciones anteriores, resultado. Aplicada a la distancia Yk2, desde el punto A, resulta. 𝒉𝟏𝟑 − 𝒉𝟐𝟑 𝟐. 𝟒𝟐 − 𝟏. 𝟒𝟐 𝑷 =𝜸𝒃 =𝟏𝒙𝟐𝒙 = 𝟑. 𝟖 𝒕𝒐𝒏 𝒉𝟐 𝟐 𝟐 𝒉𝟏 − ( ) 𝒀𝒌𝟐 = 𝟑 𝟏 𝒉𝟏𝟑 − 𝒉𝟐𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒚𝒌 = 𝒛𝒙 = 𝒉𝟏 − 𝟑 𝒉𝟏𝟐 − 𝒉𝟐𝟐 El empuje total esta representado por la cuña 𝟏 𝟐. 𝟒𝟑 − 𝟏. 𝟒𝟑 sombreada: 𝒚𝒌 = 𝟐. 𝟒 − = 𝟏. 𝟒𝟐𝟖 𝒎 𝟑 𝟐. 𝟒𝟐 − 𝟏. 𝟒𝟐 𝒉𝟏𝟐 − 𝒉𝟐𝟐 𝑷 = 𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 = 𝜸 𝒃 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 24 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 2 𝒂𝟏 + 𝒉 𝒑𝟐 = 𝜸𝒃 𝒂𝟐 = 𝟐 Se desean obtener los empujes hidrostáticos por unidad de ancho, así como los centros de presiones 𝟏+𝟑 =𝟏𝒙𝟏 𝟐. 𝟐 = 𝟒. 𝟒 𝒕𝒐𝒏 𝟐 sobre Los centros de presión coinciden con los de gravedad de las áreas de las cuñar a saber: 𝟐 𝟐 𝒁𝒌𝟏 = 𝒂𝟏 = 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟔𝟔𝟕 𝒎 𝟑 𝟑 Para el centro de gravedad del área trapecial de la cuña de presiones 2, se puede usar la ecuación indicada en la tabla 2.1. 𝒂𝟐 𝒂𝟏 + 𝟐𝒉 𝟐. 𝟐 𝟏 + 𝟔 𝒀𝒌𝟐 = = = 𝟏. 𝟐𝟖𝟑 𝒎 𝟑 𝒂𝟏 + 𝒉 𝟑 𝟏+𝟑 𝒉−𝒂𝟏 𝒁𝒌𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒚𝒌𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒂𝟏 + 𝒚𝒌𝟐 ( ) 𝒂𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟏. 𝟐𝟐𝟖𝟑 = 𝟐. 𝟏𝟔𝟔 𝒎 𝟐. 𝟐 Las caras a1 y a2, del muro mostrado en la figura 2.12. Solución: 𝟏 𝒑𝟏 = 𝜸𝒃 𝒂𝟏𝟐 = 𝟐 𝟏 = 𝒙 𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟓 𝒕𝒐𝒏 𝟐 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 25 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 3 superficie AGB, y aplicada en el centro de gravedad del área encerrada. Resulta Determinar el empuje hidrostático y el centro de 𝝅 presiones sobre la superficie cilíndrica AB, mostrada en la 𝑷=𝜸𝒃 𝑫𝟐 ; e=0.2122 D 𝟖 figura 2.16 El empuje total sobre la superficie será la Solución: resultante de las dos componentes: La componente horizontal del empuje hidrostático 𝑷 = √𝑷𝟐 + 𝑷𝟐 sobre la superficie cilíndrica de ancho b, es igual al área sombreada del trapecio, es decir de acuerdo con las Esta fuerza debe ser radical al cilindro. Ecs. 𝒅 𝑷 = 𝜸 𝒃 𝑫 (𝒁 + ) 𝟐 Y su posición corresponde a la profundidad del centro de gravedad del trapecio: 𝑫 𝟑𝒛 + 𝟐𝑫 𝒁𝒌 = +𝒛 𝟑 𝟐𝒛 + 𝑫 La componente vertical del empuje se puede obtener siguiendo este razonamiento: sobre la sobre la superficie BG se ejerce un empuje vertical P, ASCENDE que equivale al peso de la columna v irtual del liquido sobre esa superficie, como se muestra en la figura. La resultante de ambas fuerzas es igual al empuje vertical total ascendente sobre toda la superficie; esto equivale al peso de la columna v irtual de líquido encerrado por la 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 26 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA 𝒅𝒛 Problema 4. Por otra parte, si r1 d 𝜽 = 𝒅𝒔 = 𝜽, de aquí resulta 𝒔𝒆𝒏 dz Determinar la altura h a la que asciende un liquido = sen θ dθ y se puede escribir 𝛾𝑧 𝑑𝑧 = 𝜎 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 , cuya r1 por encima de la cresta de un vertedor de pared 𝜸𝒛𝟐 integración conduce a = −𝝈 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒄. delgada, por efecto de la tensión superficial 𝟐 Siendo 𝜽 = 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒛 = 𝟎 , la constante de integración v ale 𝒄 = 𝝈 𝒚, 𝒂𝒔𝒊𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 para 𝒛 = 𝒉, 𝜽 = 𝟗𝟎° − 𝜽𝒘 se obtiene 𝜸 𝒉𝟐 − = 𝝈 [𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝟗𝟎° − 𝜽𝟎)] = 𝝈(𝟏 − 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟎) 𝟐 De este modo la cresta del vertedor que alcanza la superficie libre del liquido por efecto de la tensión Solución superficial, antes de producirse el vertido, resulta de considerar que 𝜃0 = 0 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟, a saber: Al introducir una placa plana vertical dentro de un liquido de peso especifico 𝛾 , la superficie liquida adopta 𝟐𝝈 una forma cilíndrica cóncava hacia arriba en la 𝒉=√ 𝜸 proximidad de la placa, De acuerdo con la Ecuación para 𝑟 2 = ∞ 𝑦 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙, la preción en un liquido 𝑔 para los medios agua-aire, 𝜎 = 0.077 ; 𝛾= cerca de la placa, sobre la horizontal que coincide con 𝑐𝑚 1 𝑔/𝑐𝑚3, h v ale el niv el original del liquido, v ale 𝝈 𝒅𝒛 𝟐(𝟎. 𝟎𝟕𝟕) 𝜸𝒛 = O bien, 𝒚 𝒛 𝒅𝒛 = 𝝈 𝒉=√ = 𝟎. 𝟑𝟗𝟐 𝒎 𝒓𝟏 𝒓𝟏 𝟏 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 27 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 5 Problema 6 N|1 b) 𝒗𝝈 = 𝒙𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒚; 𝒗𝜸 = −𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒚 Determinar para los siguientes campos de flujo 𝝏𝒗𝝈 𝝏𝒗𝜸 incompresible aquellos que satisfagan la ecuación de = 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚; = −𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚 continuidad e indicar cuales son rotacionales (típicos de un fluido v iscoso) y cuales irrotacionales (típicos de un 𝒅𝒊𝒗 𝒗 = 𝟎 fluido no v iscoso). 𝝏𝒗𝝈 𝝏𝒗𝜸 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒚; = −𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒚 a) 𝒗𝝈 = (𝒙 − 𝟐𝒚)𝒕; 𝒗𝜸 = −(𝟐𝒙 + 𝒚)𝒕 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒗𝝈 𝝏𝒗𝜸 [𝒓𝒐𝒕 𝒗]𝝈 = (𝒙𝟐 − 𝟐)𝒔𝒆𝒏 𝒚 ≠ 𝟎 = 𝒕; = −𝒕 𝝏𝒙 𝝏𝒚 El flujo es permanente, incomprensible y 𝒅𝒊𝒗 𝒗 = 𝒕 − 𝒕 = 𝟎 rotacional. 𝝏𝒗𝝈 𝝏𝒗𝜸 Problema 7 = −𝟐𝒕; = −𝟐𝒕 𝝏𝒙 𝝏𝒚 c) 𝒗𝝈 = 𝒙 + 𝒚; 𝒗𝜸 = 𝒙 − 𝒚 𝝏𝒗𝝈 𝝏𝒗𝜸 [𝒓𝒐𝒕 𝒗]𝝈 = 𝟎; [𝒓𝒐𝒕 𝒗]𝜸 = 𝟎; [𝒓𝒐𝒕 𝒗]𝒙 = ( − ) 𝝏𝒗𝝈 𝝏𝒗𝜸 𝝏𝒙 𝝏𝒚 = 𝟏; = −𝟏 𝝏𝒙 𝝏𝒚 [𝒓𝒐𝒕 𝒗]𝝈 = −𝟐𝒕 + 𝟐𝒕 = 𝟎 𝒅𝒊𝒗 𝒗 = 𝟎 El flujo es no permanente, incomprensible e 𝝏𝒗𝝈 𝝏𝒗𝜸 irrotacional = 𝟏; =𝟏 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝒅𝒊𝒗 𝒗 = 𝟎 El flujo es permanente, incomprensible e irrotacional 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 28 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 8 sen Pe * b * h 1 h22 2 Calcule el ángulo de inclinación de una pared 2* E plana y rectangular, respecto al fondo del depósito (aguas arriba de la pared) que sostiene un tirante de sen 1000 kg * ( 0.3m ) * (0.65 m) 2 (0.45 m) 2 agua a cada lado, lo cual genera un Empuje m3 2 * 35 .12 kg hidrostático (E) de 344.2 N, el tirante aguas arriba de la pared es de 65 cm y el tirante aguas abajo es de 45 cm, sen = 0.9396 el ancho de la pared es de 30 cm. Datos Sen-1 (0.9396) = 69.98 = 69.98° = 69.98° El ángulo calculado es el ángulo de inclinación de la pared con respecto a la superficie libre del agua (aguas E = 35.12 kg Yk = 37.2 cm arriba de la pared); el v alor buscado es el ángulo de h1 = 65 cm inclinación de la pared con respecto al fondo del = 110.02° h2 = 45 cm depósito () entonces considerando ángulos alternos = 180 - = 180 – 69.98 = 110.02 Pe = 1000 kg/m3 E = 344.2 N = 35.12 kg El ángulo buscado es = 110.02° b = 30 cm = 0.3 m h1 = 65 cm = 0.65 m Si la pared es inclinada con = 69.98° entonces, seno h2= 45 cm = 0.45 m 69.98° = 0.9396 = ¿? Yk = ¿? 1 h 3 h23 yk h1 12 3 h1 h22 E Pe * b * h 2 h22 1 (0.65m) 3 (0.45m)3 yk 0.65m yk = 0.372 m 3 (0.65m) 2 (0.45m) 2 1 2 * sen =37.2 cm 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 29 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 9 Calcule el ángulo de inclinación de una pared plana y rectangular, respecto a la superficie libre del sen Pe * b * h1 h22 2 agua (aguas arriba de la pared) que sostiene un tirante 2* E de agua a cada lado, lo cual genera un Empuje hidrostático (E) de 811.6 kg, el tirante aguas arriba de la sen 1000 kg * ( 0 . 7 m ) * (2m) 2 (1.3m) 2 pared es de 2 m y el tirante aguas abajo es de 1.3 m, el m3 2 * 811 .6kg ancho de la pared es de 70 cm. sen = 0.9962 +6 Para calcular el valor del ángulo se utiliza la función Datos inv ersa del seno (sen-1) = 85° Sen-1 (0.9962) = 85 E = 811.6 kg Yk = 1.163 m h1 = 2 m = 85° h2 = 1.3 m 1 h 3 h23 yk h1 12 Pe = 1000 kg/m3 3 h1 h22 E = 811.6 kg b = 70 cm = 0.7 m h1 = 2 m 1 (8m) 3 (2m) 3 h2= 1.3 m yk 8m 3 (8m) 2 (2m) 2 = ¿? Yk = ¿? E Pe * b * h 1 2 h22 2 * sen yk = 1.163 m 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 30 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 11 Calcule el ancho que debe tener una pared E Pe * b * h1 2 h22 plana y rectangular con agua en ambos lados, inclinada a 65° con respecto a la superficie libre del agua (aguas 2 * sen arriba de la pared). Considere la altura del agua (aguas 2 * sen * E 2 * 0.9063 * 2879.8kg b b Pe * h12 h22 arriba de la pared) de 3.2 m y la altura del agua (aguas abajo) de 2.6 m. El Empuje hidrostático que recibe la kg 1000 3 * (3.2m) 2 (2.6m) 2 m pared es de 28,222 N. b = 1.5 m 1 h 3 h23 = 65° yk h1 12 3 h1 h22 E = 2879.8 kg Yk = 1.744 m h1 = 3.2m h2 = 2.6 m 1 (3.2m) 3 (2.6m) 3 yk 3.2m 3 (3.2m) 2 (2.6m) 2 Datos yk = 1.744 m h1 = 3.2 m h2 = 2.6 m Pe = 1000 kg/m3 E = 28222 N = 2879.8 kg b = ¿? Yk = ¿? Si la pared es inclinada con = 65° entonces, seno 65° = 0.9063 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 31 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 12: E Pe * b * h1 2 h22 Calcule el tirante que existe aguas abajo de una pared plana v ertical y rectangular, considerando que recibe un 2 * sen Empuje hidrostático de 2793 N, cuando el tirante aguas arriba de la pared es de 1.2 m y el ancho de la misma es 2 * sen * E de 60 cm. h2 h12 Pe * b 2 * 1 * 285kg h2 (1.2m) 2 Yk = 71.4 cm kg h1 = 1.2 m 1000 3 * (0.6m) E = 285 kg m h2 = 70 cm h2 = 0.7 m = 70 cm 1 h13 h23 Datos y k h1 2 3 h1 h22 Pe = 1000 kg/m3 E = 2793 N = 285 kg 1 (8m) 3 (2m) 3 y k 8m b = 60 cm = 0.6 m 3 (8m) 2 (2m) 2 h1 = 1.2 m h2= ¿? yk = 0.714 m = 71.4 cm Yk = ¿? Si la pared es v ertical entonces = 90° por tanto, seno 90° = 1 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 32 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 13: E Pe * b * h1 2 h22 Calcule el tirante que existe aguas arriba de una pared plana vertical y rectangular, considerando que 2 * sen recibe un Empuje hidrostático de 39,200,000 dinas, cuando el tirante aguas abajo de la pared es de 30 cm y 2 * sen * E el ancho de la misma es de 50 cm. h1 h22 Pe * b 2 * 1 * 40kg h1 (0.3m) 2 Yk = 29.5 cm kg h1 = 50 cm 1000 3 * (0.5m) E = 40 kg m h2 = 30 cm h1 = 0.5 m = 50 cm 1 h13 h23 Datos yk h1 2 3 h1 h22 h2 = 30 cm = 0.3 m Pe = 1000 kg/m3 1 (0.5m) 3 (0.3m) 3 y k 0.5m E = 39,200,000 dinas = 392 N = 40 kg 3 (0.5m) 2 (0.3m) 2 b = 50 cm = 0.5 m h1 = ¿? yk = 0.295 m = 29.5 cm Yk = ¿? Si la pared es vertical entonces = 90° por tanto, seno 90° = 1 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 33 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 14: E Pe * b * h1 2 h22 Calcule el ancho que debe tener una pared plana, vertical y rectangular con agua en ambos lados. 2 * sen Considere la altura del agua (aguas arriba de la pared) 2 * sen * E b Pe * h12 h22 de 2.3 m y la altura del agua (aguas abajo) de 1.6 m. El Empuje hidrostático que recibe la pared es de 10701.6 N. 2 * 1 * 1092kg b kg 1000 3 * (2.3m) 2 (1.6m) 2 m h1 = 2.3 m Yk = 1.31 m b = 0.8 m = 80 cm E = 1092 kg h2 = 1.6 m 1 h 3 h23 yk h1 12 3 h1 h22 Datos 1 (2.3m) 3 (1.6m) 3 yk 2.3m 3 (2.3m) 2 (1.6m) 2 h1 = 2.3 m h2 = 1.6 m yk = 1.31 m Pe = 1000 kg/m3 E = 10701.6 N = 1092 kg b = ¿? Yk = ¿? Si la pared es vertical entonces = 90° por tanto, seno 90° = 1 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 34 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 15: Calcule el Empuje hidrostático (E) que se genera sobre una pared plana vertical y rectangular con agua E Pe * b * h 1 2 h22 en ambos lados de la misma. El tirante aguas arriba de la pared (h1) es de 1.8 m y el tirante aguas abajo (h2) es de 2 * sen 80 cm. Considere el ancho de la pared de 1.5 m. Calcule también el centro de presiones (yk). E 1000 kg * 1.5 m * (1.8m) (0.8m) 2 2 m3 2 *1 E = 1950 kg h1 = 1.8 m Yk = 1.12 m 1 h 3 h23 E = 1950 kg yk h1 12 3 h1 h22 h2 = 0.8 m 1 (1.8m) 3 (0.8m) 3 yk 1.8m 3 (1.8m) 2 (0.8m) 2 Datos yk = 1.12 m h1 = 1.8 m h2 = 80 cm = 0.8 m b = 1.5 m Pe = 1000 kg/m3 E = ¿? Yk = ¿? Si la pared es vertical entonces = 90° por tanto, seno 90° = 1 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 35 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 16: 1 3 1 Calcule el diámetro que debe tener una E 3 300kg r r compuerta plana, vertical y circular que recibe un Pe * kg Empuje hidrostático de 300 kg. En este caso la altura del 1000 m 3 * 3.1416 agua coincide con el diámetro de la compuerta. Calcule además el punto de aplicación del Empuje. r = 0.457 m D = 2* r D= 2*0.457 m = 0.914 m 5 5 yk r (0.457m) (1.25)(0.457m) 4 4 h = 0.914 m Yk = 0.571 m D E = 300 kg yk = 0.571 m Datos: E = 300 kg Pe = 1000 kg/m3 D = ¿? Yk = ¿? E Pe * * r 3 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 36 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 17: 2* E h1 h22 Pe * b Calcule la altura de agua que existe en un dique (desde el fondo hasta la superficie libre del agua), considerando que el agua es retenida por una compuerta plana, h1 2 * (15750kg) (0.5m) 2 vertical y rectangular, con un ancho de 2 m La kg 1000 3 * (2m) compuerta se encuentra sumergida bajo una lámina de m 50 cm de profundidad. El Empuje hidrostático generado sobre una compuerta (E) es de 154350 N. Calcule h1 = 4 m también el centro de presiones (yk). 1 h13 h23 yk h1 3 h12 h22 h2 = 0.5 m Yk = 2.65 m 1 (4m) 3 (0.5m) 3 h1 = 4 m y k 4m E1 = 15750 kg 3 (4m) 2 (0.5m) 2 yk = 2.65 m b1 = 2 m b2 = 3 m h2 = 50 cm = 0.5 m E1 = 154350 N = 15750 kg Pe = 1000 kg/m3 h1 =¿? 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 37 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 18: 2* E b Calcule el ancho que debe tener una compuerta plana, Pe * h12 h22 vertical y rectangular que se encuentra sumergida bajo una lámina de agua de 50 cm; esta compuerta debe 2 * 2500kg soportar un Empuje hidrostático de 2500 kg, cuando la b altura del agua desde el fondo hasta la superficie libre kg 1000 3 * (2.987m) 2 (0.5m) 2 m de la misma es de 9.8 pies. Determine el punto de aplicación del Empuje. b = 0.58 m = 58 cm h2 = 0.5 m 1 h13 h23 yk h1 (h1 - h2 ) 3 h12 h22 h1 = 2.987 m Yk = 1.97 m E = 2500 kg 1 (2.987m) 3 (0.5m) 3 yk 2.987m b 3 (2.987m) 2 (0.5m) 2 yk = 1.97 m Datos: h2 = 50 cm = 0.5 m E = 2500 kg h1 = 9.8 pies = 2.987 m Pe = 1000 kg/m3 b = ¿? Yk = ¿? 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 38 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 19: 2* E h2 h12 Pe * b Calcule el tirante de agua que existe sobre una compuerta plana, v ertical y rectangular. Considerando que ésta tiene un ancho de 2 m y la altura del agua 2 * (60000kg) h2 (8m) 2 desde el fondo del dique hasta la superficie libre del kg 1000 3 * (2m) agua es de 8 m. El empuje que la compuerta recibe es m de 60,000 kg. Calcule el punto de presiones del Empuje hidrostático. h2 = 2 m 1 h13 h23 h2 = 2 m yk h1 (h1 - h2 ) 3 h12 h22 Yk = 5.2 m h1 = 8 m E = 60000 kg 1 (8m) 3 (2m) 3 yk 8m b 3 (8m) 2 (2m) 2 yk = 5.2 m Datos: b=2m h1 = 8 m E = 60,000 kg Pe = 1000 kg/m3 h2 = ¿? Yk = ¿? 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 39 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 20: E Pe * b * h 1 2 h22 2 Calcule el empuje hidrostático que se genera sobre una pared plana, vertical y rectangular de 90 cm de ancho que se encuentra sumergida bajo una lámina de agua E 1000 kg * 0.9 m * 2 (2.5m) (0.3m) 2 de 30 cm de altura; considere que la altura desde el m3 2 fondo del canal hasta la superficie libre del agua es de 2.5 m. Calcule el centro de presiones del Empuje E = 2772 kg hidrostático. 1 h13 h23 yk h1 3 h12 h22 h2 = 0.3 m (h1 - h2 ) 1 (2.5m) 3 (0.3m) 3 y k 2.5m 3 (2.5m) 2 (0.3m) 2 h1 = 2.5 m Yk = 1.66 m E = 2772 kg b yk = 1.66 m Datos: b = 90 cm = 0.9 m h2 = 30 cm = 0.3 m h1 = 2.5 m Pe = 1000 kg/m3 E = ¿? Yk = ¿? 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 40 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 21: Calcule el empuje hidrostático que se genera E Pe * yG * A sobre una compuerta plana vertical y de forma circular, considerando que el la altura del agua coincide con el yG r yG 0.3m diámetro de la compuerta y es igual a 60 cm. Determine el punto de aplicación del Empuje hidrostático sobre la compuerta. r 2 (0.3m) 2 Ix 0.10225 m 2 4 4 Ix 0.0225m 2 Yk = 0.375 m y k yG 0.3m 0.375m D h = 0.6 m yG 0.3m E = 84.9 kg A * r 2 (3.1416 )( 0.3m) 2 0.283 m 2 kg E 1000 3 0.3m 0.283 m 2 84 .9kg m Utilizando la ecuación particular Datos: E Pe * * r 3 h = D = 60 cm = 0.6 m 3 kg Pe = 1000 kg/m3 E 1000 3 3.1416 0.3 m 84.8 kg E = ¿? m Yk = ¿? Utilizando la Ecuación General 5 5 yk r (0.3m) (1.25)(0.3m) 0.375m E Pe * sen * yG * A 4 4 Si la compuerta es v ertical =90° entonces el Sen 90° = 1 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 41 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 22: E Pe * sen * yG * A Calcule el Empuje hidrostático que se genera sobre una Si la compuerta es v ertical =90° entonces el Sen 90° = 1 compuerta plana y vertical de forma trapezoidal, donde la base mayor mide 1.2 m y la base menor mide 80 cm. La altura de agua coincide con la altura de la E Pe * yG * A compuerta y es igual a 1.5 m. Calcule el centro de presiones del Empuje hidrostático. h 2B b yG B 3 Bb h = 1.5 m Yk = 1.03 m 1.5m 2(1.2m) 0.8m 3.2m h E = 1200 kg yG 0.5m (0.5m)(1.6) 0.8m 3 (1.2m 0.8m) 2m b h2 2 Bb (1.5m) 2 2(1.2m)(0.8m) 2 1.92m 2 Ix 1 1 (0.125m )1 Datos: 18 ( B b) 2 18 (1.2m 0.8m) 2 4m 2 B = 1.2 m b = 80 cm = 0.8 m Ix 0.185m 2 h = 1.5 m y k yG 0.8m 1.03m yG 0.8m Pe = 1000 kg/m3 E = ¿? Yk = ¿? B b 1.2m 0.8m A h (1.5m) 1.5m 2 2 2 Utilizando la Ecuación General kg E 1000 3 0.8m 1.5m 2 1200 kg m 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 42 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Solución: Utilizando la ecuación particular h 2 2 B 2 3Bb b 2 kg (1.5m) 2 2 * (1.2m) 2 3 * (1.Presión 2m)(0.8men ) el (0fondo .8m) 2 = 50 + 𝑌𝑔𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎 (ℎ) E Pe 1000 3 6 ( B b) m 6 (1.2m 0.8m) Presión en el fondo = 50 + (12.34) (2) = 74.68 kPa kg 1000 3 0.375m 2 3.2 m 1200 kg Problema 24 m a) Convertir una altura de presión de 5 m de agua Problema 23 en altura de aceite, de densidad relativ a 0.750. Determinar la presión en el fondo de un depósito que b) Convertir una altura de presión de 60 cm de contiene glicerina bajo presión, tal como se muestra en mercurio en altura de aceite, de densidad relativa la Figura. 0.750. Solución: ℎ𝑎𝑔𝑢𝑎 5 a. ℎ 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = = = 6.67𝑚 𝑑𝑒𝑛. 𝑟𝑒𝑙. 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 0.750 ℎ𝑎𝑔𝑢𝑎 ( 13.57) (0.60) b. ℎ 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = = = 10.86𝑚 𝑑𝑒𝑛. 𝑟𝑒𝑙. 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 0.750 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 43 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 25 Encontrar ¿Cuál es la presión atmosférica en kilopascales si la a) la altura de la superficie líquida libre en el lectura de un barómetro de mercurio es de 742 mm? piezómetro A, b) la elev ación de la superficie del líquido en el piezómetro B Solución: c) la presión total en el fondo del depósito. 𝑝 = 𝑦ℎ = (133.1) (742/1000) = 98.8 𝑘𝑃𝑎 Solución: Problema 26 a. El líquido A ascenderá sencillamente en el Tal como se muestra en la Figura, un depósito abierto, piezómetro A hasta el mismo niv el que el líquido A con dos piezómetros laterales, contiene dos líquidos en el depósito, es decir, a 2 m. inmiscibles. b. El líquido B ascenderá en el piezómetro B 0.3 m, como resultado de la presión ejercida por el líquido B, más una cantidad adicional, hA, debida a la sobrepresión PA, ejercida por el líquido 𝑃𝐴 = 𝑦ℎ = (0.72)(9.79)(1.7) = 11.98 𝑘𝑃𝑎 ℎ𝐴 = 𝑝/𝑦 = 11.98/(2.36 · 9.79) = 0.519 𝑚. El líquido B alcanzará en el piezómetro B la altura 0.3 + 0.519 = 0.819 m. 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 44 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA c. Presión en el fondo = (0.72)(9.79) (1.7) + Problema 28 (2.36)(9.79)(0.3) = 18.9 kPa. Aceite de densidad relativ a 0.750 está fluyendo a través de la boquilla mostrada en la Figura y desequilibra la columna de mercurio del manómetro en U. Determinar Problema 27 el v alor de h si la presión en A es de 1.40 kp/cm2. Determinar la presión manométrica en A en kp/cm2 debida a la columna de mercurio (den. rel. 13.57) en el Solución: manómetro en U mostrado en la Figura. Presión en B = presión en C Solución: Al utilizar como unidad kp/cm2: 𝑃 ′𝐴 + 𝛾ℎ (𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒) = 𝑃 ′ 𝐷 + 104 𝛾ℎ (𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜) B y C están al mismo nivel y en el mismo líquido, el 104 mercurio; por tanto, podemos igualar las presiones en B y (0.750)(1000)(0.825) + ℎ (13.57)(1000) ℎ 1.40 + = , 104 104 C en kp/m2 (man). 𝑦 ℎ = 1.14𝑚 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝐵 = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝐶 𝑃𝐴 + 𝑦ℎ (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 𝑃𝐷 + 𝑦ℎ (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜) 𝑃𝐴+ 1000 (3.60 – 3.00) = 𝑂 + (13.57)(1000)(3.80 – 3.00) 𝐴𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟, 𝑃𝐴 = 10256 𝑘𝑝/𝑚2 𝑦 𝑃𝐴 = 10256/10 4 = 1.0256 𝑘𝑝/𝑐𝑚2 (𝑚𝑎𝑛). 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 45 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 29 Problema 30 Un manómetro diferencial está unido a dos secciones Los recipientes A y B rectas A y B de una tubería horizontal por la que circula contienen agua a las agua. La lectura en el manómetro de mercurio es de presiones respectivas de 0.60 m, siendo el niv el más cercano a A el más bajo. 276 kPa y 138 kPa. ¿Cuál Calcular la diferencia de presiones entre A y B en es la lectura en el kp/cm². Véase la siguiente Figura. manómetro diferencial de mercurio mostrado en Solución: la Figura? Nota: Un croquis o dibujo ayuda a esclarecer el análisis de todos los problemas y a reducir las equivocaciones. Aun un simple diagrama de una línea puede serv ir. Solución: Altura de presión en C = altura de presión en D Al utilizar como unidad el m de agua: Altura de presión en C = altura de presión en D 𝑃𝐴 /𝛾 − 𝑧 = [𝑃𝐵 /𝛾 − (𝑧 + 0.60)] + (13.57) (0.60) 276 138 + 𝑥+ℎ = − 𝑦 + 13.57ℎ (𝑒𝑛 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎) De aquí, 9.79 9.79 𝑃𝐴 𝑃𝐵 − = 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝛾 𝛾 Ordenando 14.096 + 𝑥 + 𝑦 = (13.57 − 1) ℎ. = (0.60)(13.57 − 1) = 7.54𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 y 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = (7.54)(1000)/10 4 = 0.754 𝑘𝑝/𝑐𝑚2 Al sustituir 𝑥 + 𝑦 = 1.829 𝑚 y despejar se obtiene 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 46 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 31 diferencia en elevación. Como los pesos específicos del altura de presión al nivel A-A es de 0.091 m de agua y los gas y del aire son del mismo orden de magnitud, debe pesos específicos del gas y del aire son, tenerse en cuenta el cambio en la presión atmosférica respectivamente, 5.50 y 12.35 N/m3. con la altitud. Se utilizarán presiones absolutas. Determinar: (𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎) 𝑃𝐶 = (𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎) 𝑃𝐷 (𝑝𝑎) (𝐴𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎) 𝑃𝐸 + 9790ℎ = (𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎) 𝑃𝐴 – 5.50 · 91 La lectura en el manómetro de agua de tubo en U, que mide la presión del gas al nivel B, según se muestra en la Se calcula ahora la presión absoluta en A en función de Figura. la presión atmosférica en E, obteniendo primero la presión atmosférica en F y luego PA. (𝑎𝑏𝑠. ) 𝑃𝐴 = [(𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠.) 𝑃𝐸 + 12.35 (ℎ + 91 – 0.091)] + (0.091 · 9790) (𝑃𝑎) Sustituyendo este valor en (A), eliminando PE y despreciando los términos muy pequeños, se obtiene: 9790ℎ = (91)(12.35 – 5.50) + (0.091)(9790) , Solución: 𝑦 ℎ = 0.155 𝑚, Se supone que tanto el peso específico del aire como el 𝑜 155 𝑚𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 del gas permanecen constantes en los 91 m de 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 47 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 32 Problema 33 Un manómetro diferencial está acoplado entre dos depósitos tal como se muestra en la Figura. Calcular la diferencia de presiones entre las cámaras A y B. Solución: Determinar la diferencia de presiones entre A y B para el sistema mostrado en la Figura. Solución: 𝑘𝑁 𝑘𝑁 𝑃𝐴 − 9.79𝑥 − (0.8)(9.79)(0.70) + (9.79) (𝑥 − 0.80) = 𝑃𝐵 𝛾 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 = 132.8 , 𝛾 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒𝑆𝐴𝐸30 = 8,996 , 𝑚3 𝑚3 𝑃𝐴 − 9.79𝑥 – 5.482 + (9.79𝑥 − 7.832) = 𝑃𝐵 𝑘𝑁 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 13.3 𝑘𝑝𝑎 𝛾 𝑡. 𝑐𝑙𝑜𝑟𝑢𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛𝑜 = 15,57 𝑚3 𝑃𝐴 + (8.996) (1.1) + (132.8) (0.3) − (15.57) (0.8) = 𝑃𝐵 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = − 37.28 kPa (es decir, 𝑃𝐵 > 𝑃𝐴) 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 48 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 34 Un gato hidráulico tiene las dimensiones que se muestran en la figura adjunta; si se ejerce una fuerza de 100 N en la palanca del gato, se pide: a) Presión ejercida en A1 expresada en bares. b) Carga F2 que puede soportar el gato expresado en daN. r) 62,2 bar; 1.221,3 daN. 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 49 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 35 Solución: Desarrollar a) La traza AB representa un área plana cualquiera a) la ecuación que da la fuerza hidrostática que sobre la que actúa un fluido y que forma el actúa sobre un área plana ángulo θ con la horizontal, como se muestra en la b) localizar la fuerza. Figura 3.2. Se considera un área elemental de forma que todas sus partículas están situadas a la misma distancia h por debajo de la superficie libre del líquido. En la figura v iene representada por la banda con rayado inclinado, y la presión sobre esta área es uniforme. Por tanto, la fuerza que actúa sobre esta área dA es igual al producto de la presión p por el área dA o bien: dF = pdA = yhdA Sumando todas las fuerzas elementales y considerando que h = y sen θ, F = ∫ 𝑦 ℎ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦 (𝑦 sen θ) 𝑑𝐴 = = (y sen θ) ∫ 𝑦𝑑𝐴 = (y sen θ) Ycg A Donde y y θ son constantes y, por estática, ∫ 𝑦 𝑑𝐴 = YcgA. Como hcg = Ycg senθ 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 50 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA F = y hcg A, 𝐼0 = 𝑦𝑐𝑝 𝑦𝑐𝑔 𝐴 b) Para situar la fuerza F se procede a tomar En forma más conv eniente, a partir del teorema de momentos como en estática. El eje OX se escoge Steiner, como la intersección del plano que contiene la superficie con la superficie libre del agua. Todas las distancias y se miden a partir de este eje, y la distancia a la fuerza resultante se presenta por Se observa que la posición del centro de presión está YcP' que mide la distancia al centro de presión. siempre por debajo del centro de gravedad de la Como la suma de los momentos de todas las superficie o bien (YcP - Ycg) es siempre positivo, ya que fuerzas respecto del eje OX = momento de la Icg es esencialmente positivo. fuerza resultante, se obtiene ∫(𝑑𝐹 · 𝑦) = 𝑝. 𝑌𝑐𝑃 Pero 𝑑𝐹 = 𝑦ℎ 𝑑𝐴 = 𝑌 (𝑦 sen θ) 𝑑𝐴 Y 𝐹 = (𝑦 sen θ) (𝑌𝑐𝑔𝐴). De aquí. (𝑦 sen θ) ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴 = (𝑦 sen θ) (𝑌𝑐𝑔𝐴 ) 𝑌𝑐𝑝 Como: ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴 es el momento de inercia del área plana respecto del eje OX, 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 51 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 36 formada por (dx dy) de forma que para los momentos Situar lateralmente la posición del centro de presión. puede tomarse la distancia x convenientemente. Referirse a la Figura 3.2. Tomando momentos respecto de un eje "𝑌1 ,𝑌1" 𝐹 𝑥𝑒𝑝 = ∫(𝑑𝐹 𝑥) Al utilizar los valores obtenidos en el Problema (5) anterior, (𝑦 ℎ𝑐𝑔 𝐴 )𝑥𝑐𝑝 = ∫ 𝑝 (𝑑𝑥 𝑑𝑦)𝑥 = ∫ 𝑦ℎ (𝑑𝑥 𝑑𝑦 )𝑥 (𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃) (𝑌𝑐𝑔 𝐴 )𝑥𝑐𝑝 = (𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃) ∫ 𝑥 𝑦(𝑑𝑥 𝑑𝑦) Ya que h = y sen θ. La integral representa el producto de inercia del área plana respecto de los ejes X e Y seleccionados, representado por 𝐼𝑥𝑦. Por tanto, 𝐼𝑥𝑦 (𝐼𝑥𝑦)𝑒𝑔 𝑥 𝑐𝑝 = = + 𝑥𝑒𝑔 𝑦𝑒𝑔 𝐴 𝑦𝑒𝑔 𝐴 Si uno u otro de los ejes centroidales fuera un eje de simetría del área plana 𝐼𝑥𝑦. Sería nulo y la posición lateral Solución: del centro de presión estaría sobre el eje Y que pasa a través del centro de gravedad (no se muestra en la Si bien, en general, no se requiere conocer la posición figura). Obsérvese que el producto de inercia respecto lateral del centro de presión, en algunas ocasiones es de un sistema de ejes que pasan por el centro de necesaria dicha información. Utilizando el dibujo del gravedad (𝐼𝑥𝑦 )𝑒𝑔 , puede ser positivo o negativo, de problema precedente, el área elemental dA está ahora 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 52 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA forma que la posición lateral del centro de presión puede caer a uno u otro lado del eje centroidal y. Por tanto: 𝐹 = 𝑦ℎ𝐴 = 1.000 (3,60 + 0,90) (1,80 . 2,40) = 19.440 kp Problema 37 2.4( 1.8) 3/12 Que actúa a la distancia: 𝑦𝑐𝑝 = + 4.5( 1.8 ∙ 2.4) El agua alcanza el nivel E en la tubería unida al depósito 4.5 = 4.56 𝑚 𝑑𝑒 𝑂 ABCD que se muestra en la Figura, Despreciando el peso del depósito y de la tubería de elev ación. b) La presión en el fondo BC es uniforme; por consiguiente, la fuerza: Solucionar los siguientes puntos: 𝐹 = 𝑃𝐴 = (𝑦ℎ)𝐴 = 1.000 (5,40)(6 . 2,40) = 77.760 𝑘𝑝 a) determinar y situar la fuerza resultante que actúa sobre el área AB de 2.40 m de anchura. c) El peso total del agua es: b) Encontrar la fuerza total sobre el fondo del 𝑊 = 1.000 (6 . 1,8 . 2,4 + 3,6 . 𝑂, 10) = 26.280 𝑘𝑝. depósito. c) Comparar el peso total del agua con la resultante obtenida en b) y explicar la diferencia. El cuerpo libre constituido por la parte inferior del depósito (cortado por un plano horizontal justamente encima del nivel BC) pondrá de manifiesto una fuerza, Solución: dirigida hacia abajo, sobre el área BC de 77.760 kp, fuerza v ertical de tracción sobre las paredes del a) La profundidad del centro de gravedad del área AB, depósito y fuerza de reacción sobre el plano soporte. La respecto de la superficie libre del agua en E, es de 4,50 reacción ha de ser igual al peso total del agua, es decir, m. 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 53 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA 26.280 kp, La tracción en las paredes del depósito es producida por la fuerza vertical, dirigida hacia arriba, Solución: que actúa sobre la parte superior AD del depósito, que es igual Deben calcularse el valor de las fuerzas debidas a la acción de los líquidos y su posición. Para el lado 𝐹𝐴𝐷 = (𝑦ℎ) 𝐴 = 1.000 (3,6)(14,4 − 0,1) derecho, = 51.480 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝐹𝑎𝑐 = 𝑦ℎ𝑐𝑔𝐴 = (0,750 . 1.000)(0,9)(1,8 . 1,2) Se ha aclarado así una aparente paradoja, pues el = 1.460 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 cuerpo libre considerado, la suma de las fuerzas v erticales es igual a cero, es decir: Y actúa en: 𝑦𝑐𝑝 = 1.2 (1.8) 3/12 + 0.9 = 1.2 𝑚 𝑑𝑒 𝐴 0.9( 1.2 ∙ 1.8) 77.760 − 26.280 − 51.480 = 𝑂 Se observa que la presión que actúa sobre la parte Con lo que se satisface la condición de equilibrio. derecha de la compuerta AB rectangular varía linealmente desde una presión manométrica nula hasta el v alor que corresponde a los 1,80 m de aceite (p = yh Problema 38 es una ecuación lineal). El diagrama de cargas ABC La compuerta AB de la Figura (a) tiene 1,20 m de pone de manifiesto este hecho. anchura y está articulada en A. La lectura mano métrica Sólo para el caso de áreas rectangulares, el centro de en G es = 0,15 kp/cm² y el aceite que ocupa el depósito gravedad de este diagrama de cargas coincide con el de la derecha tiene una densidad relativa de 0,750. centro de presión. El centro de gravedad está localizado ¿Qué fuerza horizontal debe aplicarse en B para que la a (2/3) (1,8) = 1,2 m de A, como ya se ha obtenido. compuerta AB se mantenga en equilibrio? 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 54 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Para el lado izquierdo, es necesario convertir la presión Que actúa hacia la derecha sobre el centro de presión. negativa, debida al aire, en su equiv alente en metros de 1.2 (1.8) 3/12 agua. Para el área rectangular sumergida 𝑦𝑐𝑝 = +3 = 3(1.8 ·1.2) 𝑃 0.15(104 𝑘𝑝/𝑚2 ) 3.09 𝑚 𝑑𝑒 𝑂, ℎ= − =− = −1.5 𝑚 𝛾 (1000 𝑘𝑝/𝑚3 ) o bien el centro de presión está a (3.09 – 2.10) = 0.99 m Esta altura de presión negativa es equivalente a un de A. descenso del nivel del agua de 1,50 m. Es útil y conveniente el empleo de una superficie de agua En la Figura (b) se muestra el diagrama del cuerpo libre imaginaria (IWS: Imaginary Water Surface) 1,50 m por de la compuerta AB con las fuerzas actuantes. La suma debajo de la superficie real y resolver el problema por de momentos respecto de A debe ser igual a cero. aplicación directa de las ecuaciones fundamentales. Tomado como positiv o el giro de las agujas del reloj. Así, + 1460(1.2) + 1,8𝐹 − 6480(0.99) = 𝑂 𝑦 𝐹 𝐹𝑎𝑔 = 1.000 (2,1 + 0,9) (1,8 . 1,2) = 6.480 𝑘𝑝 = 2590 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 55 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 39 1,2 (3)³/12 𝑦𝑐𝑝 = + 1.5 = 2 𝑚 𝑑𝑒 𝐴 1.5 (1.2 ∗ 3) El depósito de la Figura, contiene aceite y agua. Encontrar la fuerza resultante sobre la pared ABC, que b) El agua actúa sobre la cara BC y la acción del líquido tiene 1.20 m de anchura. superior puede tenerse en cuenta por la altura o profundidad de agua equiv alente. Se emplea en este segundo cálculo la superficie de agua imaginaria (IWS), Solución: situando la IWS por cambio de los 3 m de aceite en los 0,800 (3) = 2,40 m de agua. Por tanto, La fuerza total sobre ABC es 𝐹𝐵𝐶 = 1.000 (2,4 + 0,9)(1,8 . 1,2) igual a ( 𝐹𝐴𝐵 + = 7.128 𝑘𝑝 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑡ú𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝐹𝐵𝐶 ). Hay que (1.8) 3 1,2 encontrar cada 𝑦𝑐𝑝 = 12 + 3.3 = 3.38 𝑚 𝑑𝑒 𝑂 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛, 3.3(1.2 ∗ 1.8) una de las 0.6 + 3.38 = 3.98 𝑚 𝑑𝑒 𝐴 fuerzas, situar su posición y, aplicando el principio de los momentos, hallar la posición de la fuerza total resultante La fuerza resultante total = 4320 + 7128 = 11448 kp, que sobre la pared ABC. actúa en el centro de presión que corresponde al área total. El momento de esta resultante = la suma de los a) 𝐹𝐴𝐵 = (0.800)(1000) (1.5) (3)(1.2) = 4320 kp, que actúa momentos de las dos fuerzas parciales anteriores. en el punto (2/3) (3) m de A, o sea, 2m por debajo. Tomando momentos respecto de A. Puede obtenerse este mismo valor aplicando la fórmula conocida, como sigue: 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 56 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA 11448 Ycp = 4320(2) + 7128(3.98) e Ycp = Solución: 3.23 de A 2 𝐹𝐴𝐵 = (9.79)(4)(9.24 · 4) = 1447 kN, que actúa a ( ) (9.24) 3 Pueden emplearse para estos cálculos otros métodos, = 6.16 m de 𝐴 pero el presentado aquí reduce los errores tanto en el planteamiento como en los cálculos. 𝐹𝐵𝐶 = (9.79) (8) (3 · 4) = 940 kN, que actúa sobre el centro de gravedad de BC, ya que la presión es uniforme sobre Problema 40 BC. Tomando momentos respecto de B (positivo el En la Figura, la compuerta ABC está articulada en B y sentido de giro de las agujas de un reloj). tiene 4 m de longitud. Despreciando el peso de la 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜 = + (1447 · 3.08) − (940)(1.50) = compuerta, determinar el momento no equilibrado debido a la acción del agua sobre la compuerta. = + 3.047 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 (𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑔𝑢𝑗𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗) 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 57 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 41 Solución: La compuerta AB de 2 m de diámetro de la Figura 3.9 Cuando el centro de presión coincida con el eje C no puede girar alrededor del eje horizontal C situado 40 mm actuará sobre la compuerta ningún momento no por debajo del centro de gravedad. ¿Hasta qué altura h equilibrado. Calculando la distancia del centro de puede ascender el agua sin que se produzca un presión: momento, no equilibrado respecto de C, en el sentido 𝐼𝑐𝑔 𝜋𝑑 4/64 de las agujas de un reloj? 𝑦𝑐𝑝 = 𝑦𝑐𝑔 𝐴 + 𝑦𝑐𝑔 = 𝑦𝑐𝑔 (𝜋𝑑 2 /4) + 𝑦𝑐𝑔 𝜋22/64 40 De aquí tenemos: 𝑦𝑐𝑝 − 𝑦𝑐𝑔 = ( = 𝑚 (𝑑𝑎𝑑𝑜) ℎ+1) (𝜋22/4) 1000 De donde ℎ = 5.25 𝑚 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐴 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 58 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 42 𝐹1 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵 = (9.79) (𝑛6² / 4 . 1) = 277 𝑘𝑁 Determinar y situar las componentes de la fuerza debida a la acción del agua sobre la compuerta del sector AB Que pasa por el centro de gravedad del volumen de de la Figura de abajo, por metro de longitud de líquido. El centro de gravedad del cuadrante de un compuerta. círculo está situado a una distancia de (4/3) · (𝑟/𝜋) de cada uno de los radios perpendiculares que lo limitan. Por tanto, 𝑋𝑐𝑝 = (4/3) ∙ (6/𝜋) = 2.55 𝑚 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝐵𝐶 Nota: Cada una de las fuerzas elementales dF actúa normal a la curva AB y, por tanto, su línea de acción pasa por el eje C. La fuerza resultante también pasará por C. Para confirmar esta proposición, se toman momentos respecto de C, como sigue: Solución: ∑ 𝑀𝑐 = − (176)(4) + (277)(2,55) ≅ 𝑂 𝐹𝐻 = fuerza sobre la proyección vertical de CB = 𝑦 ℎ 𝑐𝑔 𝐴 𝐶𝐵 = = (9.79) (3) (6 · 1) = 176 𝑘𝑁 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑡ú𝑎 𝑎 (2/3 ) (6) = 4 𝑚 𝑑𝑒 𝐶 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 59 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 43 b) La reacción en B es igual a la suma algebraica del peso del cilindro y la componente vertical neta de la El cilindro de la Figura 3.11, de 2 m de diámetro, pesa fuerza debida a la acción del líquido. La acción del 2500 kp Y tiene una longitud de 1.50 m. Determinar las líquido sobre la superficie curvada CDB se compone de reacciones en A y B despreciando el rozamiento. la fuerza sobre la parte CD, dirigida hacia abajo, y la fuerza sobre DB, dirigida hacia arriba. La componente v ertical neta es la suma algebraica de estas dos fuerzas. 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝐹1 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 (𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜) 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐷𝐵 = = (0.800) ∙ (1.000) · (1 ,5) (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐷𝑂𝐵 + á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐷𝑂𝐶𝐸) 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝐹1 = (0.800) ∙ (1.000) ∙ (1 ,5) (á𝑟𝑒𝑎 𝑟𝑎𝑦𝑎𝑑𝑎 𝐷𝐸𝐶) Se observa que el cuadrado DOCE menos el área Solución: DEC es igual al cuadrante del círculo DOC, y la a) La reacción en A es debida a la componente componente v ertical neta será: horizontal de la fuerza que el líquido ejerce sobre el (Neta) 𝐹𝐼 = (0.800) · (1000) · (1 ,5)(𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐷𝑂𝐵 + cilindro, o bien, 𝐷𝑂𝐶) ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 = 𝐹𝐻 = (0.800 ∙ 1000) (1) (2 ∙ 1.5) = 2400 𝑘𝑝 = (0 .800) ∙ (1000) ∙ (1.5)[(1/2)𝜋 2 )] = 1894 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 Dirigida hacia la derecha. Por tanto, la reacción en A es Finalmente, ∑ 𝑌 = O , 2500 − 1894 − 𝐵 = 𝑂, 𝑦 𝐵= igual a 2.400 kp dirigida hacia la izquierda. 606 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 60 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA En este problema particular la componente hacia arriba (empuje) es igual al peso del líquido desplazado a la Solución: = 1290 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 izquierda del plano v ertical COB. (Neta) 𝐹𝐻 = 𝑐𝑜𝑚𝑝. 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴𝐵 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 − Problema 44 𝑐𝑜𝑚𝑝. 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐶𝐵 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 = (0.750)(1.000) 0.6(1.2 ∙ 1) − (1000)0.3(0.6 · 1) la Figura se muestra el cilindro de 2,4 m de diámetro que = 360 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎. pesa 250 kp y reposa sobre el fondo de un depósito de 1 (Neta) 𝐹𝑣 = 𝑐𝑜𝑚𝑝. ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴𝐵 + m de longitud. Se v ierten agua y aceite en la parte 𝑐𝑜𝑚𝑝. ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐶𝐵 izquierda y derecha del depósito hasta unas = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 + 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 (𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 − 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜)𝑎𝑔𝑢𝑎 profundidades de 0.6 y 1.2 m, respectivamente. Hallar los módulos de las componentes horizontal y vertical de la 1 = (0.750 · 1000 · 1 ∙ 𝜋1.22 ) 4 fuerza que mantiene al cilindro justamente en contacto 1 1 + {1000 · 1 [ ( 𝜋1.22 ) − ( − ∙ 0.6 ∙ √1.08)]} 6 2 con el depósito en B. = 1290 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 61 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 45 = (9.79)(𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑜𝑛𝑜 + 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜) = El estribo semicónico ABE, que se muestra en la Figura, se utiliza para soportar la torre semicilíndrica ABCD. Calcular 1 𝜋12 1 2 1 𝜋22 1 1000 ( · 3 + 𝜋1 ) (9.79) [( ∙ 6 ) + ( 𝜋22 ∙ 3)] 2 3 2 2 3 2 las componentes horizontal y vertical debidas a la fuerza = 308 𝑘𝑁 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 que produce la acción del agua sobre el estribo ABE. Problema 46 Solución: Una piedra pesa 90 N en el aire y 50 N cuando está FH = fuerza sobre la sumergida en el agua. Calcular el volumen y la densidad proyección vertical del relativ a de la piedra. semicono = Solución: Todos los problemas en trabajos de ingeniería se analizan mucho mejor 1 = (9.79)(3 + 2) ( ∙ 6 ∙ 4) = 587 𝑘𝑁 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 mediante el empleo del 2 diagrama del cuerpo libre. F v = peso del volumen de agua sobre la superficie Con referencia a la Figura, curvada (imaginaria) = 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 62 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA se indica en ella el peso total de 90 N que actúa hacia abajo, la tracción en la cuerda de unión a la balanza de Solución: 50 N dirígida hacia arríba y el empuje FB que actúa también hacia arriba. De aquí: Con referencia al diagrama del cuerpo libre de la Figura ∑𝑌 = 0 se tiene: 90 − 50 − 𝐹𝐵 = 𝑂, 𝐹𝐵 = 40 𝑁 ∑𝑌 = 0 Como 𝑒𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 de aquí: 𝑊 − 𝐹𝐵 − 5 = 0, (𝐴 )𝑊 = 5 + 𝐹𝐵 40 = 9790 𝑁/𝑚3 (𝑣), 𝑦 𝑣 = 0.00409 𝑚³ 𝑒𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 𝐹𝐵 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎 90𝑁 = 1000(0.2 ∙ 0.2 ∙ 0.4) = 16 𝑘𝑝 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙 = = = 2.25 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑜𝑙. 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 40𝑁 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑑𝑒 (𝐴 )𝑊 = 5 + 16 = 21 𝑘𝑝, 21 𝑦 𝐷𝑟 = = 1.31 16 Problema 47 Un objeto prismático de 20 cm de espesor por 20 cm de anchura y 40 cm de longitud se pesa en el agua a una profundidad de 50 cm, dando la medida 5 kp. ¿Cuánto pesa en el aire y cuál es su densidad relativ a? 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 63 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 48 Problema 49 Una gabarra rectangular, de 7.6 m por 3 m de base y 3.7 Un bloque de madera flota en el agua sobresaliendo de m de profundidad, pesa 350 kN y flota sobre agua dulce. la superficie 50 mm. Cuando se pone en glicerina, de densidad relativ a 1.35, sobresalen 76 mm de la superficie Determinar del líquido. Determinar la densidad relativ a de la a) ¿Qué profundidad se sumerge? madera. b) Si el agua tiene una profundidad de 3,7 m, ¿qué Solución: peso de piedras debe cargarse en la gabarra para que ésta repose sobre el fondo? El peso total de la pieza es (𝑎) 𝑊 = 𝐷𝑟(9.79)(𝐴 · ℎ), Y los Solución: pesos del agua y la glicerina desplazados son, respectivamente, (𝑏) 𝑊𝑤 = (9.79 𝐴)(ℎ − 50)/1000, y a. 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑎𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎 (𝑐) 𝑊𝐺 = 1.35(9.79 𝐴 )(ℎ − 76)/1000. 350 350 = (9.79)(76)(3 . 𝑌), 𝑌 = (9.79)(7.6)(3) Como cada uno de los pesos de líquidos desplazados es 𝑌 = 1.57 𝑚 𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑎 igual al peso del bloque, (b) = (c), o bien: b. 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑎𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑚á𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎𝑠 = (9.79 𝐴)(ℎ − 50)/1000 = 1.35 ∙ (9.79 𝐴)(ℎ − 76)/1000, 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎 ℎ = 150𝑚𝑚 350 + 𝑊𝑠 = (9.79)(7.6)(3)(3.7), 150 (150 − 50) 𝐶𝑜𝑚𝑜(𝑎) = (𝑏), 𝐷𝑟 ∙ 9.79 𝐴( ) = 9.79 ∙ 𝐴 , 𝑊𝑠 = 476 𝑘𝑁 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎𝑠 1000 1000 𝐷𝑟 = 0,667 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 64 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Problema 50 Un hidrómetro pesa 0,0216 N Y su extremo superior es un v ástago cilíndrico de 0,28 cm de diámetro. ¿Cuál será la diferencia entre las longitudes de emergencia del v ástago cuando flota en aceite de densidad relativ a 0,780 Y en alcohol de densidad relativ a 0,821? Solución: Peso del hidrómetro = peso del líquido desplazado 0,0216 = 0,821 ·9.790· V1 De donde VI = 2,69 .10−6 'm3 (en alcohol). Para la posición 2, 0,0216 = 0,780 . 9.790 (VI + Ah) = 1 9.790 [(2,69· 10-6) + ( 𝜋 n) (2,8/1.000)2h] 4 de donde h = 0,0225 m = 2,25 cm. 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 65 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA La posición relativa de sus moléculas puede cambiar de forma abrupta. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Todos los fluidos son compresibles en cierto grado. No obstante, los líquidos son fluidos igual que los gases. Tienen v iscosidad, aunque la v iscosidad en los gases Se denomina fluido a un tipo de medio es mucho menor que en los líquidos. continuo formado por alguna sustancia entre cuyas moléculas hay una fuerza de atracción débil. Los fluidos Compresible: Esta propiedad de los fluidos les permite se caracterizan por cambiar de forma sin que existan mediante un agente externo al cambio de su fuerzas restituidas tendentes a recuperar la forma v elocidad y v olumen, esta características son muy "original" (lo cual constituye la principal diferencia con usadas para la industria como palancas de presión. un sólido deformable). Un fluido es un conjunto de partículas que se mantienen unidas entre si por fuerzas cohesivas débiles y/o las paredes de un recipiente; el término engloba a los líquidos y los gases. En el cambio CLASIFICACIÓN DE LOS LIQUIDOS de forma de un fluido la posición que toman sus moléculas v aría, ante una fuerza aplicada sobre ellos, Los fluidos se pueden clasificar de acuerdo a diferentes pues justamente fluyen. Los líquidos toman la forma del características que presentan en: recipiente que los aloja, manteniendo su propio volumen, mientras que los gases carecen tanto de Newtonianos volumen como de forma propios. Las moléculas no No newtonianos cohesionadas se deslizan en los líquidos, y se mueven O también en: con libertad en los gases. Los fluidos están conformados por los líquidos y los gases, siendo los segundos mucho Líquidos menos v iscosos (casi fluidos ideales). Gases 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 66 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Peso de un cuerpo = g.Volumen PESO ESPECÍFICO. Unidades para el peso específico: [ g ] = [ F/L3 ] Es el peso del fluido por unidad de v olumen: Peso específico del agua Cambia de lugar dependiendo de la magnitud Peso de la aceleración de la grav edad g. Temperatura Específico Sus dimensiones físicas son y °C N/m3 sus unidades en el S.I . son N/m3 0 9805 5 9806 El peso específico de una sustancia es su peso por 10 9803 unidad de volumen 20 9786 40 9737 60 9658 Peso = m.g 80 9557 Peso = r.Volumen.g 100 9438 Peso específico = g g agua 4 °C = 9,8 kN/m3 Peso masa.grav edad g= = = r.g Volumen Volumen 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 67 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA DENSIDAD. DENSIDAD RELATIVA Se define como masa por unidad de v olumen: La densidad relativa de una sustancia es la relación existente entre su densidad y la de otra sustancia de referencia; en consecuencia, es una magnitud a dimensional (sin unidades) Sus dimensiones físicas son y sus unidades en el S.I . son kg/m3 La densidad o densidad absoluta es la magnitud que Donde es la densidad relativa, es la densidad de la expresa la relación entre la masa y el volumen de una sustancia, y es la densidad de referencia o absoluta. sustancia. Su unidad en el Sistema Internacional es kilogramo por metro cúbico (kg/m3), Para los líquidos y los sólidos, la densidad de referencia aunque frecuentemente también es expresada en habitual es la del agua líquida a la presión de 1 atm y la g/cm3. La densidad es una magnitud intensiv a. temperatura de 4 °C. En esas condiciones, la densidad absoluta del agua destilada es de 1000 kg/m3, es decir, 1 kg/dm3. Para los gases, la densidad de referencia habitual es la del aire a la presión de 1 atm y la temperatura de 0 °C. Siendo , la densidad; m, la masa; y V, el volumen de la sustancia. 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 68 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA VISCOCIDAD CINEMATICA. Viscosidad cinemática: es la relación entre la viscosidad absoluta y la densidad de masa del Esta propiedad es una de las más importantes en el fluido estudio de los fluidos y se pone de manifiesto cuando los fluidos están en mov imiento. La v iscosidad de un fluido se define como su -Unidades en el S.I .: m2/s resistencia al corte. Se puede decir que es -Unidades en el cgs: cm2/s (stoke) equiv alente a la fricción entre dos sólidos en mov imiento relativo. Cuando deslizamos un sólido sobre otro, es preciso PRESIONES EN LOS FLUIDOS. aplicar una fuerza igual en dirección y magnitud a la fuerza de rozamiento pero de sentido opuesto: Con el término “fuerza” describimos la interacción mecánica entre dos cuerpos. En estática de fluidos , esta variable resulta ser un poco abstracta, por lo que nos interesa más la fuerza dividida por el área sobre la donde (m) es el coeficiente de rozamiento y ( ) es que se aplica dicha fuerza. la fuerza normal, para que el sólido se mueva con velocidad constante ( ) en dirección, sentido y En mecánica de sólidos la variable correspondiente se magnitud. denomina “esfuerzo”, esto es, cuando realizamos un esfuerzo sobre un objeto que tiene una forma determinada, estamos ejerciendo una fuerza por Tipos de viscosidad: unidad de área y podemos deformar el objeto, es decir, le podemos cambiar su forma. En un punto en reposo dentro de un fluido la presión Viscosidad absoluta o dinámica: h tiene la misma magnitud en todas las direcciones. Esto significa que si tenemos un área muy pequeña -Unidades en el S.I .: N s/m2 (dA), libre de girar dentro del fluido en torno a su -Unidades en el cgs: dina centro, la fuerza debida a la presión tendrá s/cm2 (poise) 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 69 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA magnitud constante y actúa sobre el área en todas direcciones a pesar de la orientación de dicha área. Vamos a demostrarlo: Sobre el lado vertical (dy) se estará ejerciendo una presión (px ) y la magnitud de la fuerza correspondiente será: Sobre el lado inclinado de la cuña, la presión sobre (ds) corresponderá a una fuerza cuya magnitud es: Como el volumen considerado está en equilibrio traslacional, se cumple la Primera Ley de Newton: Tenemos un elemento de fluido en forma de cuña de grosor 1 unidad de longitud, cuya densidad es y cuyo peso es: En esta última ecuación se puede despreciar el término debido al peso: Sobre el lado horizontal (dx) se estará ejerciendo una presión (py ) y la fuerza correspondiente será: 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 70 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Por otro lado, sabemos que: Si el fluido no es v iscoso, no se producen esfuerzos de cizalla, aunque el fluido se esté moviendo, y por tanto la presión en un punto es la misma en todas las direcciones. Por tanto, Con esto queda demostrado que la presión en un punto dentro de un fluido estacionario tiene la misma magnitud en todas direcciones. Si el fluido se encuentra en mov imiento, de manera que una capa horizontal se mueve con respecto a la capa adyacente, y dicho fluido tiene v iscosidad diferente de cero, se producen esfuerzos de cizalla y las presiones normales aplicadas en un punto ya no son iguales en magnitud en todas direcciones. En este caso, la presión en dicho punto se define como el promedio de todas las presiones aplicadas sobre él: 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 71 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA PRINCIPIO DE ARQUIMIDES: Cuando un objeto sumergido se pesa suspendiéndolo de un dinamómetro, la lectura del dinamómetro (peso aparente) es inferior al peso del objeto (Figura 6-1). Esto se conoce como Principio de Arquímedes, que puede enunciarse como: Todo cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascensional igual al peso del fluido desplazado. PRINCIPIO DE PASCAL: EJEMPLO Se desea elevar un cuerpo de 1000 kg utilizando una elevadora hidráulica de plato grande circular de 50 cm de radio y plato pequeño circular de 8 cm de radio, calcula cuánta fuerza hay que hacer en el émbolo pequeño. En este ejercicio nos dan datos para calcular las dos superficies y para el peso a levantar, es decir calculamos prev iamente S1, S2, F2 y calculamos F1 despejando. El principio de Arquímedes puede deducirse determinando el empuje total, debido a la presión, que el fluido ejerce sobre la superficie que delimita el sólido (Figura 6-2). S2 = π R2 = π 0,52 = 0,785 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 72 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA m2 S1 = π R2 = π 0,082 = 0,0201 m2 TIPOS DE FLUJOS: F2 = m g = 1000 · 9,8 = 9800 N FLUJO ESTACIONARIO Se da este tipo de flujo cuando las variables que lo caracterizan son constantes en el tiempo. Estas Si multiplicamos en cruz y despejamos F1 = F2 · S1 / variables ya no dependerán del tiempo, como por S2 introduciendo los datos anteriores: ejemplo la velocidad la cual puede tener un determinado valor constante en el F1 = 251 N punto (x1,y1,z1), pero pudiera cambiar su valor en otro punto (x2,y2,z2). Así se cumple que: CINEMATICA DE LOS FLUIDOS Las partículas dentro de un flujo pueden seguir Un flujo es no estacionario si las variables físicas que trayectorias definidas denominadas “líneas de corriente”. lo caracterizan dependen del tiempo en todos los Una línea de corriente es una línea continua trazada a través de un fluido siguiendo la dirección del vector puntos del fluido , entonces: velocidad en cada punto. Así, el vector velocidad es tangente a la línea de corriente en todos los puntos del flujo. No hay flujo a través de una línea de corriente, sino a lo largo de ella e indica la dirección que lleva el fluido en mov imiento en cada punto. Como en un flujo estacionario la velocidad en un punto es constante en el tiempo, todas las Para observar el flujo de un fluido, se pueden inyectar partículas del fluido que llegan a un determinado en las mismas diferentes sustancias, partículas brillantes, punto seguirán moviéndose a lo largo de la línea de tinte o humo, y así rastrear el movimiento de las corriente que pasa por ese punto. Por tanto, en este partículas. Los rastros que dejan estas sustancias se tipo de flujo la trayectoria de las partículas es la denominan “líneas de emisión”. propia línea de corriente y no puede haber dos líneas de corriente que pasen por el mismo punto, 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 73 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA es decir, las líneas de corriente no se pueden cruzar. incompresible. En caso contrario, se dice que el flujo En un flujo estacionario el patrón de las líneas de es compresible. corriente es constante en el tiempo. FLUJO VISCOSO Si el flujo no es estacionario, las líneas de corriente pueden cambiar de dirección de un instante a otro, Ya sabemos que la viscosidad en un fluido es la por lo que una partícula puede seguir una línea de resistencia que presenta éste a los esfuerzos corriente en un instante y al siguiente seguir otra tangenciales. Se pudiera considerar el equivalente línea de corriente distinta. de la fricción en el movimiento de cuerpos sólidos. Cuanto mayor sea la viscosidad en un flujo, mayor deberán ser las fuerzas externas que hay que FLUJO UNIFORME aplicar para conservar el flujo. Cuando el efecto de la viscosidad en el flujo es despreciable, se Tenemos este tipo de flujo cuando la variable considera que estamos ante un flujo no viscoso. física es igual en todos los puntos del flujo. Por ejemplo, en un flujo uniforme la velocidad de todas FLUJO IRROTACIONAL las partículas es la misma en cualquier instante de tiempo, por tanto, la velocidad no va a depender Cuando se tiene un fluido que se desplaza en una de la posición de la partícula de fluido, aunque corriente circular, pero las partículas del fluido no giran alrededor del eje que pasa por su centro de puede variar en el tiempo : masas, se dice que el flujo es irrotacional. En caso contrario estamos ante un flujo rotacional. FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO Cuando las variables físicas varían de punto a Un flujo es laminar cuando sus partículas se punto, se dice que el flujo es no uniforme. muev en a lo largo de trayectorias suaves en láminas o capas, de manera que una capa se FLUJO INCOMPRESIBLE desliza suavemente sobre otra capa adyacente. Este tipo de flujos cumple la Ley de Viscosidad de Cuando se comprime un flujo de fluido, si la densidad Newton. permanece constante, se dice que el flujo es 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 74 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Un flujo es turbulento cuando sus partículas se muev en en trayectorias muy irregulares que causan colisiones entre las partículas, produciéndose un importante intercambio de cantidad de mov imiento entre ellas. La turbulencia establece esfuerzos de cizalla importantes y causa pérdidas de energía en todo el flujo. La acción de la v iscosidad amortigua la turbulencia en un flujo. Por tanto, si tenemos un fluido con baja viscosidad, alta velocidad y de gran extensión, moviéndose con un flujo laminar, éste se convertiría muy rápidamente en un flujo turbulento. La naturaleza laminar o turbulenta de un flujo se indica mediante el “número de Reynolds”. GASTO O CAUDAL El caudal o gasto es una de las magnitudes principales en el estudio de la hidrodinámica. Se define como el volumen de líquido que fluye por unidad de tiempo . Sus unidades en el Sistema I nternacional son los m /s y su expresión matemática: 3 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 75 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA PRACTICA LABORATORIO DE HIDRAULICA “PRESION Agua HIDROSTATICA” Mas H Área Hcg Hcp F F Bpft a (c (m2) (cm (cm hidrostáti teóri m (g) m) s) s) ca ca N experime ntal 50 4.5 0.0033 2.25 3.00 0.7423 0.728 0.18 gr cm 3 5 100 6.5 0.0048 3.25 4.33 1.54 1.55 0.17 gr cm 75 83 125 7.2 0.0054 3.6 4.8 1.69 1.907 0.20 gr cm 0 3 150 8.1 0.0060 4.05 5.4 2.381 3.21 0.17 gr cm 75 3 200 9.5 0.0071 4.75 6.33 3.264 3.32 0.16 gr cm 25 83 Objetiv o de la práctica: Determinar la presión hidrostática que ejerce un fluido. EQUIPO Y MATERIAL Pesas Equipo para la presión hidrostática 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 76 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA PROCEDIMIENTO: Colocar las pesas correspondientes según el calculo . Tanto como el agua hasta que quede en la medida Nivelar nuestro aparato indicada Realizar las mediciones correspondientes, brazo de Agregar agua al aparato. palanca, altura y base de nuestro equipo 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 77 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Tomar notas de alturas que arroja ya agregada el agua. DATOS Brazo de palanca 28cm Base=7.5 H=10 cm g =9.81 m/seg2 Cálculos. y formulas : 𝐴= ℎ ∗𝑏 Hacer el mismo procedimiento para las pesas de 100gr, (7.5)(9.5) 𝐴= = 0.007125 125gr, 150gr200gr. 10000 Al final de la practica se procede a limpiar los aparatos y ℎ ℎ𝑐𝑔 = tirar el agua. 2 9.5 ℎ𝑐𝑔 = = 4.75 2 ℎ2 ℎ𝑐𝑝 = 12 + ℎ𝑐𝑔 ℎ𝑐𝑔 (9.5) 2 ℎ𝑐𝑝 = 12 + 4.75 = 6.33 4.75 ℎ𝑐𝑔 𝑓𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎 = 𝛾 ∗ 𝐴 ( ) 100 𝑓 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎 = (9810)(0.007125) = 3.32 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 78 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA 𝐵𝑝𝑓𝑡 = (𝑑𝑖𝑠. 𝑏𝑝 − ℎ) + ℎ𝑐𝑝 13.83 (20𝑐𝑚 − 9.5𝑐𝑚) + 6.33 = = 0.1683 100 𝑚 ∗ 𝑔 ℎ𝑝 𝑓ℎ𝑒𝑥𝑝 = 𝐵𝑝𝑓𝑡 (0.20)(9.81)(0.28) = 3.264 0.1683 “ El procedimiento anterior se utiliza en todos los datos de la tabla que por funciones practicas no lo incluí.” Conclusión: EN LA PRACTI CA PUDIMOS OBSERVAR QUE AL AUMENTAR EL VOLUMEN HAY UN AUMENTO EN LA PRESION HI DROSTATI CA, MISMO QUE PUDIMOS COMPARAR CON LA OBTENCION DE DI FERENTES MEDIDAS DE VOLUMEN, ESTO A SU VEZ LO CALCULAMOS EN FORMA TEORI CA Y EN FORMA PRACTI CA. EN ESTE TAMBIEN I NFLUYE LA PRESI ON ATMOSFERI CA. 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 79 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA PROBBLEMA 1 GASTO EN D V B AA = V D AD + V C AC 𝑨𝑩 𝑨𝑪 𝑽𝑫 = 𝑽𝑩 − VC 𝑨𝑫 𝑨𝑫 𝝅 𝝅 (𝟎. 𝟑𝟓) 𝟐 (𝟎. 𝟏𝟐𝟓)𝟐 𝟒 𝑽𝑫 = 𝝅 𝟒 (𝟎. 𝟔𝟓) − 𝝅 (𝟑) = (𝟎. 𝟎𝟕𝟓)𝟐 (𝟎. 𝟎𝟕𝟓)𝟐 Datos: 𝟒 𝟒 V c= 3 m/seg V B= 0.65 m/seg Calcular: 𝟏𝟒. 𝟏𝟓 − 𝟖. 𝟑𝟑 = 𝟓. 𝟖𝟐𝒎/𝒔𝒆𝒈= VD Q total, así como gasto c/ramal 𝝅 𝑸𝑫 = 𝑽𝑫 𝑨𝑫 = (𝟎. 𝟎𝟕𝟓) 𝟐(𝟓.𝟖𝟐) 𝟒 Q=V A AA = V B AB despejar V A = GASTO TOTAL 𝑸𝑫 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝟕 𝒎𝟑/𝒔𝒆𝒈 𝑽𝑩 𝑨𝑩 ( 𝟎.𝟔𝟓)( 𝟎.𝟎𝟗𝟔𝟐 ) V a= V A= ( 𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟒 ) = 𝟐. 𝟒𝟔𝟏𝟖 𝒎/𝒔𝒆𝒈 𝑸𝑪 + 𝑸𝑫 = 𝟎. 𝟑𝟔𝟖 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝟕 = 𝟎. 𝟔𝟐𝟓 𝒎𝟑/𝒔𝒆𝒈=Qt 𝑨𝑨 𝝅 𝑸𝒕 = (𝟐. 𝟒𝟓) ( (𝟎.𝟏𝟖𝟐 )) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟑 𝒎𝟑/𝒔𝒆𝒈 𝟒 𝑄𝑡 = 62.34 ℎ𝑠/𝑠𝑒𝑔 Calcular el gasto de cada ramal Gasto en C 𝑸𝒄 = 𝑽𝑪 𝑨𝑪 = (𝟑)(𝝅/𝟒(𝟎. 𝟏𝟐𝟓) 𝟐) = 𝟎. 𝟎𝟑𝟔𝟖𝒎𝟑 /𝒔 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 80 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA PROBLEMA 2 𝝅 𝑨𝟓𝑽𝟓 ( 𝟎.𝟎𝟓) 𝟐(𝟏𝟒.𝟎𝟎𝟕𝟏𝒎/𝒔 𝑽𝟐 = 𝒗𝒛 = 𝟒 𝝅 =1.5363m/s 𝑨𝟐 (𝟎.𝟏𝟓) 𝟐 𝟒 𝑸 = 𝑽𝟐 𝑨𝟐 = 𝑽𝟓 𝑨𝟓 𝝅 𝑸 = (𝟏. 𝟓𝟓𝟔𝟑)( (. 𝟏𝟓)𝟐)) = 𝟎. 𝟎𝟐𝟕𝟓𝟎 𝒎𝟑 /𝒔𝒆𝒈 𝟒 𝒑𝟏 𝒗 𝟏𝟐 𝒑𝟐 𝒗 𝟐𝟐 𝒛𝟏 + + = 𝒛𝟐 + + 𝜸 𝟐𝒈 𝜸 𝟐𝒈 𝒑𝟐 𝒗 𝟐 (𝟏. 𝟓𝟓) 𝟐 = 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 − 𝟐 = 𝟏𝟎 − 𝟕𝟓 − = 𝟐. 𝟑𝟕𝟓𝟔𝒎 = 𝒉𝟐 𝜸 𝟐𝒈 𝟏𝟗. 𝟑𝟐 𝟒𝑸 𝑽𝟐 = = 𝟏. 𝟓𝟓𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈 𝝅𝑫𝟐𝟐 (1-5) Bernaulli para calcular Q. 𝑷𝟏 𝑽𝟏𝟐 𝒑𝟓 𝑽𝟓𝟐 𝒁𝟏 = + = 𝒛𝟓 + 𝑷𝒁 = 𝟐. 𝟑𝟕𝟓 ∗ 𝟖𝟓𝟔 = 𝟐𝟎𝟑𝟑. 𝟓𝒌𝒈/𝒎𝟐 𝜸 𝟐𝒈 𝜸 𝟐𝒈 𝒛𝟏= 𝑽𝟓𝟐 ∴ 𝑽𝟓 = √𝟏𝟎𝒎(𝟏𝟗𝟔𝟐𝒎/𝒈𝟐)=14.0071 𝒑𝟐 𝒗𝟐𝟐 𝒑𝟑 𝒗𝟐𝟑 𝟐𝒈 𝒛𝟐 + + = 𝒛𝟑 + + 𝜸 𝟐𝒈 𝜸 𝟐𝒈 𝒑𝟑 𝟕. 𝟓 + 𝟐. 𝟑𝟕𝟓𝟔𝒎 + 𝟎. 𝟏𝟐𝟐𝟒𝟓𝒎 = 𝟑 + + 𝟎. 𝟑𝟏𝟕𝟐𝒎 𝜸 𝑸 = 𝑨𝟐 𝑽𝟐 = 𝑨𝟓 𝑽𝟓 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 81 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA ( 𝟑.𝟓𝟎𝟏𝟒) 𝟐 𝒑𝟒 10.126= + 𝟐 ( 𝟗.𝟖𝟏) 𝜸 𝒑𝟑 𝟗. 𝟗𝟗𝟖𝟎𝟓 = 𝟑. 𝟑𝟏𝟕𝟐 + 10.126-0.6248= 𝒑𝟒 𝜸 𝜸 𝒑𝟒 9.5011= 𝜸 𝟒(𝟎. 𝟎𝟐𝟕𝟓𝟎) 𝒗𝟑 = = 𝟔. 𝟐𝟐𝟒𝟕𝒎/𝒔 𝒑𝟒=(𝟗.𝟓𝟎𝟏𝟏𝒎)(𝟖𝟓𝟎𝒌𝒈/𝒎𝟐) = 𝝅(𝟎. 𝟎𝟕𝟓) 𝒑𝟒 =8,075.966kg/m2 PROBLEMA 3 𝒑𝟑 = 𝟗. 𝟗𝟗𝟖𝟎𝟓 − 𝟑. 𝟑𝟏𝟕𝟐 = 𝟔. 𝟔𝟖𝟎𝟖𝟓𝒎 𝜸 𝒑𝟑= (𝟖𝟓𝟎𝒌𝒈/𝒎𝟑)(𝟔. 𝟖𝟎𝟖𝟓𝒎)=5787.255kg/m2 𝒑𝟑 𝒗 𝟐𝟑 𝒑𝟒 𝒗 𝟐𝟒 Por el codo reductor fluye petróleo crudo (Dr=0.866) 𝒛𝟓 + + = 𝒛𝟒 + + 𝜸 𝟐𝒈 𝜸 𝟐𝒈 Calcular el gasto si el manómetro diferencial marca 𝒑𝟒 𝒗𝟒𝟐 𝟑 + 𝟔. 𝟖𝟎𝟖𝟓𝒎 + 𝟎. 𝟑𝟏𝟕𝟓 = + 𝜸 𝟐𝒈 h=0.450m 𝒗 𝟒= 𝟒(𝟎.𝟎𝟐𝟕𝟓𝟎) =𝟑.𝟓𝟎𝟏𝟒 𝒎/𝒔 D 1=300mm 𝝅(𝟎.𝟏) 𝟐 D 2=180mm 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 82 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA Resolviendo el manómetro diferencial: 𝜸𝒉𝟐𝒐 1000 kg/m3 𝟏 𝟏 [(𝒑𝟐 − 𝒑𝟏 ) ] + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 ) = (𝒗𝟐𝟏 − 𝑽𝟐𝟏) 𝝁 𝟐𝒈 𝒌𝒈 𝜸𝒑𝒆𝒕𝒓𝒐𝒍𝒆𝒐 = 𝟖𝟔𝟔 𝟏 𝒎𝟑 [(𝟖𝟔𝟔(−𝒙 + 𝒚) − 𝟔𝟏𝟏𝟕. 𝟕𝟓) ] + (𝒙 − 𝒚) + 𝟎. 𝟒𝟓𝟎𝒎 𝟖𝟔𝟔 𝜸𝒉𝒈 = 𝟏𝟑𝟓𝟗𝟓𝒌𝒈/𝒎𝟑 𝟏 = (𝑽𝟐𝟐 − 𝑽𝟐𝟏) 𝟐𝒈 𝒑𝟏 − 𝜸𝒑(𝒙) − 𝜸𝒉𝒈(𝟎. 𝟒𝟓𝟎𝒎) + 𝜸𝒑(𝒚) = 𝒑𝟐 𝟖𝟔𝟔(−𝒙 + 𝒚) 𝟔𝟏𝟏𝟕.𝟕𝟓 Ecuación 1 − + (𝒙 − 𝒚) + 𝟎. 𝟒𝟓𝟎𝒎 𝟖𝟔𝟔 𝟖𝟔𝟔 𝒑𝟐 − 𝒑𝟏 = 𝟖𝟔𝟔(𝒙) − 𝟔𝟏𝟏𝟕. 𝟕𝟓 + 𝟖𝟔𝟔(𝒚) 𝒑𝟐− 𝒑𝟏 = 𝟖𝟔𝟔(−𝒙 + 𝒚) − 𝟔𝟏𝟏𝟕. 𝟕𝟓 Ecuación 3 (𝟏 − 𝟕. 𝟎𝟔𝟓 + 𝟎. 𝟒𝟓𝟎)(𝟐(𝟗. 𝟖𝟏)) = (𝑽𝟐𝟐 − 𝑽𝟐𝟏) POR CONTINUIDAD Por geometría de la figura 𝒗 Ecuación 2 𝑸= = 𝒗𝟏 𝑨𝟏 = 𝑽𝟐 𝑨𝟐 𝒕 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 = 𝒙 + 𝒉 − 𝒚 𝝅 𝑽𝟏 𝟎. 𝟑𝒎𝟐 ∴= 𝝅 𝟒 (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 ) − 𝒉 = 𝒙 − 𝒚 (−𝟏) (. 𝟏𝟖𝟎𝒎𝟐) 𝟒 −(𝒛𝒛 − 𝒛𝟏 ) + 𝒉 = −𝒙 + 𝒚 Ecuación 4 Por la ecuación de bernoulli 𝒗𝟐 = 𝟕. 𝟕𝟏 𝒗𝟐𝟏 𝒑𝟏 𝒗𝟐𝟏 𝒑𝟐 𝒗𝟐𝟐 𝒗𝟐 𝑨𝟐 𝟎. 𝟏𝟖𝟎𝟐 𝒛𝟏 + + = 𝒛𝟐 + + 𝒗𝟏 = 𝟎. 𝟑𝟔𝒗𝟐 → 𝒗𝟏 = = 𝜸 𝟐𝒈 𝜸 𝟐𝒈 𝑨𝟏 𝟎. 𝟑𝟎𝟐 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 83 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA 𝑽𝟐𝟏 = 𝟏𝟐𝟗𝟔𝑽𝟐𝟐 −𝟏𝟎𝟖. 𝟒𝟖 𝒗𝟐𝟐 − 𝒗𝟐𝟏 = √ = 𝒗𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟏𝟔𝟑𝟖𝒎/𝒔𝒆𝒈 −𝟎. 𝟖𝟕𝟎𝟒 𝑽 𝑸= = 𝑽 𝟏 𝑨𝟏 = 𝑽 𝟐 𝑨 𝟐 𝑻 𝑽𝟏(𝟎. 𝟎𝟕𝟎𝟔) = (𝟏𝟏. 𝟏𝟔𝟑𝟖)(𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝟒) 𝝅(𝟎. 𝟑𝟎) 𝟐 𝑨𝟏 = = 𝟎. 𝟎𝟕𝟎𝟔𝟔𝟖𝟓𝟖𝟑𝟒𝑴𝟐 𝟒 𝝅(𝟎. 𝟏𝟖𝟎) 𝟐 𝑨𝟐 = = 𝟎. 𝟎𝟓𝟒𝟒𝟔𝟗𝑴𝟐 𝟒 𝟎. 𝟐𝟖𝟑𝟓 𝑽𝟒 = = 𝑽𝟏 = 𝟒. 𝟎𝟏𝟓𝟓 𝒎/𝒔 𝟎. 𝟎𝟕𝟎𝟔 𝟒. 𝟎𝟏𝟓𝟓𝒎 𝑸=( ) (𝟎. 𝟎𝟕𝟎𝟔) = (𝟏𝟏. 𝟏𝟔𝟑𝟖)(𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝟒) 𝒔 0.2835=0.2835m3/s 12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página 84