Propiedades de Las Sustancias Puras

TERMODINÁMICA UNIDAD II.Propiedades de las sustancias puras § II. Propiedades de las sustancias puras. En este capítulo se estudiarán a las sustancias puras, éstas resultan de interés debido a su amplia aplicabilidad en problemas técnicos de ingeniería; se establecerá la ecuación de estado para las sustancias puras en su forma diferencial, así como el método para resolverla haciendo uso de los coeficientes de compresibilidad isotérmica y de dilatación térmica, lo que nos permitirá determinar los cambios de estado de las sustancias puras al someterse a un proceso cuasi-estático; asimismo se deducirá la ecuación de estado de los gases ideales y con ella, se estudiarán los cambios de estado termodinámico de los gases, cuando estos pueden ser considerados como gases ideales; más adelante se expone el uso de las llamadas tablas de vapor, lo cual nos permitirá estudiar procesos en los que intervienen sustancias puras. Finalmente se discutirá, de manera breve, algunas ecuaciones de estado para los gases, mismas que representan aproximaciones teóricas al comportamiento de los gases reales. II. 1. II. 1. Concepto de sustancia pura y ejemplos Una sustancia compresible simple es aquella que, cuando se le estudia, sus efectos de superficie y sus interacciones gravitacionales, magnéticas o eléctricas no son significativos; solo son relevantes los cambios en volumen o presión, p. ej., la expansión de un gas confinado en un recipiente cilíndrico dotado con un émbolo. Un sistema compresible simple es aquel formado por una sustancia compresible simple. Estos sistemas se agrupan en las siguientes categorías: 1. Substancia pura. Es aquella que tiene una composición química homogénea e invariable y se encuentra en estado sólido, líquido o gaseoso o en una mezcla de dos cualquiera de ellos o los tres; p. ej., el agua líquida, una mezcla de hielo y vapor de agua, alcohol en cualquiera de sus fases o bien un gas noble. 2. Mezcla homogénea de distintos componentes, p. ej., una mezcla de gases inertes o químicamente activos pero que no reaccionan entre sí, una mezcla de líquidos o una disolución como por ejemplo el agua de azúcar o el agua de sal. 3. Mezcla heterogénea, p. ej., una mezcla de líquidos no miscibles como el agua y el aceite o una mezcla de gases distintos en contacto con una mezcla de diferentes líquidos, etc. Los sistemas compresibles simples son muy usuales en ingeniería, por lo que, a menos que se especifique lo contrario, nuestro estudio posterior versa sobre estos sistemas, en específico los constituidos por una substancia pura. II. 2. II. 2. Estados y cambios de agregación de la materia Efectuemos el siguiente experimento. Considere 1 Kg de agua dentro de un cilindro dotado de un pistón, ver figura 2.1. Con las condiciones iniciales siguientes: con un peso determinado sobre el pistón, conservamos la presión constante al interior del cilindro, digamos a 0.1 MPa; y establecemos la temperatura inicial a 20ºC. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 40 40 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras (a) Calentamos el agua con un mechero bunsen. En la medida de que esto ocurre, la temperatura del agua se va elevando, así también aumenta ligeramente su volumen específico. (b) Cuando la temperatura alcanza el valor de 99.6ºC inicia el cambio de fase, i. e., el líquido empieza a cambiar en vapor. Si continuamos calentando el líquido, se observa que la presión y la temperatura permanecen constantes, 0.1 MPa y 99.6ºC, pero en el sistema el cambio de fase se acentúa, hasta que todo el líquido se transforma en vapor. Durante esta etapa el volumen específico aumenta sensiblemente. (c) De seguirse calentando el vapor, se observa que aún cuando la presión permanezca constante, p = 0.1 MPa, aumentan la temperatura T y el volumen específico v. Se le llama temperatura de saturación a la temperatura a la que se efectúa la evaporación de una sustancia a una presión determinada. Asimismo, se conoce como presión de saturación a la presión a la que se efectúa la evaporación de la sustancia a una temperatura específica. En el experimento realizado, p = 0.1 MPa es la presión de saturación del agua, a la temperatura de T = 99.6ºC. De la misma forma, T = 99.6ºC es su temperatura de saturación a la presión p = 0.1 MPa. Se denotan como ps y Ts a la presión y temperatura de saturación de una sustancia específica. A diferentes valores de ps , le corresponden diferentes valores de Ts y viceversa. Por ejemplo, como se vio, cuando el agua se encuentra a una presión ps= 0.1 MPa, la correspondiente temperatura de saturación es Ts = 99.6ºC, en tanto que cuando ps = 1 MPa, se encuentra que Ts = 179.9ºC. A la relación funcional entre ps y Ts, para una sustancia pura; se le llama curva de presión de vapor. (Ver fig. 2.2.) Se llama líquido saturado a una sustancia que permanece líquida cuando p = ps y T = Ts. Asimismo, se llama líquido sobre enfriado o líquido comprimido a una sustancia que se encuentra a una presión p y temperatura T < Ts, correspondiente a esa presión. La denominación se debe a que, se puede pensar al sistema, o bien como si la sustancia no ha alcanzado su temperatura de saturación, o bien que la presión es mayor que la de saturación, p > ps, para la temperatura dada. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 41 41 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 Vapor de agua Vapor de agua Agua líquida Agua líquida (c) (b) (a) Fig. 2.1 Región del vapor sobre calentado Fig. 2.2. Curva de Presión de vapor. Región del líquido sobre enfriado o comprimido p s T s TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Cuando un vapor se encuentra a una temperatura T > Ts, se le llama vapor sobrecalentado. Para un vapor sobrecalentado, la presión y la temperatura son variables independientes, en efecto, la temperatura puede crecer mientras la presión permanece constante y viceversa. En general, los gases, bajo condiciones ambientales, son vapores altamente sobrecalentados. Cuando una cantidad m de sustancia, se encuentra a presión y temperatura ps y Ts, pero parte de ella (mf) es líquida y otra parte (mg) vapor, se define la calidad, χ , de la sustancia como: f g g m m m + · χ . . . (II.1) Es decir, la fracción de masa que ha pasado a la fase gaseosa respecto de la masa toda de la substancia. La calidad es una propiedad intensiva e indica el porcentaje de la sustancia que se mantiene en forma de vapor. Debe recalcarse que, la calidad se define sólo cuando la sustancia se encuentra a presión y temperatura ps y Ts. Es decir, es una variable que nos será de utilidad en los procesos de cambio de fase líquida a vapor; más adelante se hará uso de esta afirmación. Una sustancia que permanece como vapor a la presión y temperatura ps y Ts, se le llama vapor seco saturado, el último adjetivo es para enfatizar que % 100 ó 1 · χ . II. 2. 1. Diagrama de fases Se ha establecido que los estados de equilibrio de un sistema termodinámico simple se pueden definir mediante tres coordenadas: dos intensivas y la temperatura; para el caso de las sustancias puras, las coordenadas son la presión p del sistema, su volumen específico v y su temperatura θ. A falta de especificación contraria, se entiende que estas coordenadas se miden usando el Sistema Internacional de unidades (SI) es decir, la presión en pascales (Newton/m 2 ), el volumen en m 3 y la temperatura en grados Kelvin. Cada estado de equilibrio de una sustancia pura se especifica por medio de las mediciones efectuadas sobre las variables (p, v, θ) mismas que satisfacen a su ecuación de estado, φ = φ (p, v, θ); la terna de valores correspondientes a las coordenadas termodinámicas, puede considerarse como un punto en un espacio tridimensional con coordenadas rectangulares p- v-θ, al que se llama espacio termodinámico. Debido a que las coordenadas termodinámicas están relacionadas entre sí por medio de la ecuación de estado, entonces los estados de equilibrio constituyen una superficie conocida como superficie termodinámica. Cuando en un sistema cambia al menos una de sus coordenadas termodinámicas, se dice que el sistema ha cambiado de estado. En el espacio p-v-θ, a las trayectorias que unen a dos estados diferentes se les llama transformaciones termodinámicas. En estas notas únicamente se tratarán transformaciones cuyo punto inicial y final son estados de equilibrio. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 42 42 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 • 1 2 • p 1 p 2 v v 2 v 1 p p p 1 p 2 ° ° 1 2 v v 1 v 2 (a) p 2 p p 1 ° ° 1 2 v 2 ° ° 1 v 1 v 2 Fig. 2.3. (a) Superficie y transformación termodinámicas. (b) - (d) Diagramas de estado (b) (c) (d) θ TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras La representación de los estados termodinámicos y las transformaciones entre ellos en un espacio tridimensional es en general complicada, por ello es usual proyectar los estados de equilibrio y las transformaciones sobre los planos cartesianos formados por dos cualquiera de las coordenadas termodinámicas: p-v, p-θ ó v-θ, a las gráficas resultantes se les llama diagramas de estado, en cada caso, se conoce el valor de dos variables y la tercera se determina por medio de la ecuación de estado del sistema, Ver fig. 2.3. La elección sobre que coordenada se elige como el eje vertical y cuál como el horizontal, sólo depende de nuestra conveniencia ante el problema que se esté tratando. Las transformaciones termodinámicas son de dos tipos: las cuasi-estáticas o en equilibrio, aquellas que conectan a dos estados de equilibrio cualesquiera del sistema a través de una secuencia continua de estados intermedios de equilibrio, en la figura 2.3, la gráfica correspondiente a este tipo de transformaciones consistirían de puntos que se encuentran sobre la superficie termodinámica; y las fuera de equilibrio, transformaciones en las que no todos los estados intermedios del sistema se encuentran en equilibrio termodinámico, es decir, hay estados intermedios en los que las diferentes partes que conforman al sistema tienen diferentes temperatura, presión, densidad, etc. La curva que representaría a una transformación fuera de equilibrio, en la figura 2.3, se saldría total o parcialmente de la superficie termodinámica. Estrictamente, los procesos termodinámicos ocurren, en mayor o menor grado, fuera del equilibrio, sin embargo, el desequilibrio puede hacerse tan pequeño como se quiera siempre que se disminuya la velocidad con la que se ejecuta la transformación. Realmente las transformaciones cuasi-estáticas son idealizaciones teóricas de las situaciones físicas que se presentan, es decir, una transformación fuera de equilibrio tiende a una transformación en equilibrio en la medida en que la velocidad de la transformación tiende a cero, a esto se debe la denominación de cuasi-estática. Para una sustancia pura con coordenadas termodinámicas: p, v, θ, las transformaciones cuasi-estáticas más importantes, las cuales se estudiarán más adelante son: las que se Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 43 43 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras ejecutan a presión constante, llamadas isobáricas, las que transcurren sin cambios de volumen, llamadas isocóricas, y las que se realizan a una temperatura fija, denominadas isotérmicas. 1 II. 2. 2. Cambios de fase para una substancia compresible simple Ahora se realizarán una serie de experimentos similares al descrito en la sección anterior: se parte de una masa constante de agua al interior de un cilindro hueco dotado con un pistón. (Ver fig. 2.1) En todos los experimentos la temperatura inicial del agua será Ti = 20ºC. El primer experimento se realiza a una presión constante de 0.1 MPa (equivalente a la presión atmosférica estándar) y cada vez que se realice un nuevo experimento se aumentará la presión y se le mantiene constante durante su ejecución. Debido a que de un experimento al siguiente la presión aumenta, el volumen inicial del líquido también cambia, en cada experimento es más pequeño, aunque las variaciones no son muy grandes. Las mediciones realizadas se grafican en un diagrama de estado θ-v, mostrándose los resultados en la fig. 2.4. El primer experimento, línea A-B- C-D, inicia en el punto A, donde el agua tiene una temperatura de 20ºC y presión de 0.1 MPa, se empieza a calentar conservando su presión constante; debido al calentamiento, aumenta su temperatura hasta alcanzar el valor de T1 = 99.6ºC, punto B, en el que empieza el proceso de ebullición, en esta etapa, aun cuando se continúa calentando al sistema, su temperatura no cambia, únicamente se realiza el cambio de fase, el agua pasa de líquido a gas, pero el cambio en el volumen específico del sistema si es considerable; cuando termina el proceso de ebullición, el sistema consta únicamente de vapor, punto C. En este punto, si se sigue calentando al sistema, éste aumentará su temperatura y su volumen específico, como lo muestra la trayectoria CD. Para el segundo experimento, similar al primero, el agua parte de la misma temperatura inicial, pero ahora con una presión p = 1 MPa, la cual permanecerá constante durante la ejecución del ensayo, el punto E en el diagrama indica las condiciones iniciales del sistema, la disminución del volumen específico se debe al aumento en la presión. Ahora bien, al proporcionar calor al sistema, se alcanza el punto de ebullición cuando T = 179.9ºC, punto F, a partir de ese momento, nuevamente, toda ministración de calor al sistema le sirve a éste 1 Más adelante, cuando se precise el concepto de “calor” y se estudie la 1ª Ley de la Termodinámica, se tratarán también las transformaciones adiabáticas y las transformaciones cíclicas. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 44 44 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 Q O L H D M A E I P B F K G C N J T i = 20º C θ v Punto crítico 22.9 MPa 40 MPa 10 MPa 1 MPa 0.1 MPa • Línea de líquido saturado Línea de vapor saturado Fig. 2.4 T 1 = 311.1ºC T 2 = 179.9ºC T 1 = 99.6ºC TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras para cambiar de fase, no aumenta la temperatura, únicamente el volumen específico, hasta transformarse completamente en vapor, punto G. De nuevo, si se continúa calentando al sistema, el vapor aumentará su temperatura y volumen. Los siguientes experimentos mostrados en la gráfica son similares, únicamente se aumenta la presión inicial y consecuentemente disminuye su volumen específico. Cuando se parte de la presión p = 22.9 MPa, el sistema describe la trayectoria M-N-O, en la que, en ningún momento se detecta un cambio de fase, el sistema cambia de manera continua su volumen específico. Si se indica por C a la curva que une a los puntos donde inicia el proceso de ebullición, así como los puntos donde termina, ésta tiene un máximo en el punto N. La parte anterior a N, se le llama línea de líquido saturado, en tanto que a la parte posterior, línea de vapor saturado. El punto N, es el único punto en que la curva representativa de los estados por los que pasa el sistema durante este último experimento toca a C, es llamado el punto crítico; para el agua el punto crítico se alcanza cuando pc = 22.9 MPa, valor que se conoce como presión crítica, la temperatura correspondiente, temperatura crítica, es Tc = 374.14ºC y el volumen crítico, vc = 0.003 155 m 3 /kg. Se observa que la curva representativa de este proceso M-N-O, tiene un punto de inflexión en N. El agua a presiones superiores a su presión crítica, pc = 22.9, nunca cambia de estado, al proporcionarle calor, únicamente se observa un cambio continuo en su volumen específico, bajo estas circunstancias, se dice que la substancia es un fluido. A presiones supercríticas, p > pc, se dice: - Si T < Tc, que la sustancia es un líquido comprimido, y - Si T > Tc, que la sustancia es un vapor sobrecalentado. Es importante hacer notar que las diferentes sustancias puras, se comportan de manera similar al agua, es decir, si partimos de su estado líquido, su comportamiento bajo calentamiento a presión constante, plasmado en un diagrama θ-v, es similar al mostrado en la figura 2.4, con el distintivo de que cada sustancia tiene un conjunto específico de valores críticos: pc , Tc, y v c; diversos textos de termodinámica citan tablas con estos valores. 2 Considere ahora una secuencia de experimentos similares al descrito, con la diferencia de que en esta ocasión el sistema lo constituye 1 kg de hielo, a la temperatura inicial de -20ºC. Como en el conjunto de experimentos anteriores, para el primer ensayo al sistema se le imprime la presión de 100 kPa (aproximadamente una atmósfera) la cual permanecerá constante durante su desarrollo, y en cada nuevo estudio se aumentará la presión. 2 Ver, p. ej., VAN WYLEN, G. J., and et all. (2006). Fundamentos de Termodinámica. Edit. Limusa Wiley. 2ª Edición, México. pág. 796. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 45 45 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Nuevamente, se procede a calentar paulatinamente el hielo, observándose una aumento de su volumen específico, salvo por la aclaración que se hará más adelante; cuando el sistema alcanza la temperatura de 0 o C, el hielo empieza a fundirse, es decir, inicia el proceso de fusión, en esta situación se dice que el hielo es un sólido saturado; a partir de este instante y durante la etapa de fusión, todo el calor que se proporciona al sistema es utilizado por éste para efectuar el cambio de fase conservando su temperatura constante. Cuando ya se ha fundido el hielo, si se continúa proporcionando calor al sistema, sólo se logra calentar el líquido, resultando aumentos muy pequeños en su volumen específico, como ya se observó. Una vez fundido el hielo, como se indicó, si se continúa calentando el sistema, éste aumentará su temperatura y su volumen específico. El comportamiento del cambio de fase sólido-líquido, es muy similar al cambio de fase líquido-gas, analizado anteriormente. Es importante señalar que durante el proceso de fusión, la mayor parte de las sustancias puras aumentan su volumen específico, es decir, disminuyen su densidad, ya que son más compactas en su estado sólido que en el líquido, por eso todo sólido se hunde en su líquido; sin embargo para el agua, la situación es inversa durante un pequeño intervalo de temperatura por arriba de los 0ºC: entre 0 y 8 grados centígrados, durante el proceso de fusión su volumen especifico disminuye, es decir, su densidad aumenta o equivalentemente, el líquido es más pesado que el sólido. Efectivamente, el agua es, hasta donde se sabe, la única sustancia pura para la cual su sólido flota sobre su líquido; esta situación se debe a la disposición relativa de los átomos de hidrógeno con respecto al de oxígeno en la molécula de agua y tiene repercusiones tan importantes como el hecho de que pueda preservarse la vida en el planeta. Cuando se disminuye la presión inicial sobre el hielo, p. ej., se inicia el experimento con hielo a -20ºC y a una presión de 0.260 kPa; al calentar el hielo, se produce un incremento en su temperatura y cuando esta alcanza los -10ºC, el hielo empieza a pasar de la fase sólida a la fase vapor, en un proceso que se conoce como sublimación; transferencias ulteriores de calor al sistema dan como resultado el sobrecalentamiento del vapor. Finalmente, considere hielo a -20ºC, pero a una presión mayor que la del experimento anterior, sea ahora pi = 0.6113 kPa, al ir transfiriendo calor al sistema, éste va aumentando su temperatura, hasta que alcanza 0.01ºC; una vez en este estado, si se continua proporcionando calor al sistema, se observa que parte del hielo se transforma en vapor y parte en líquido, a este estado se le conoce como el punto triple del agua. Todas las substancias tienen diferentes puntos críticos y puntos triples, la siguiente tabla muestra algunas de ellas. Substancia Punto crítico Punto triple Temperatura ºC Presión MPa Volumen m 3 /kg Temperatura ºC Presión kPa Agua 374.14 22.09 0.003155 0.01 0.6113 Dióxido de carbono 31.05 7.39 0.002143 -56.4 520.8 Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 46 46 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Oxígeno -118.35 5.08 0.002438 -219 0.15 Hidrógeno -239.85 1.30 0.032192 -259 7.194 El gráfico 2.5 sintetiza los resultados obtenidos en los experimentos discutidos: Los procesos A-B, C-D, E-F, G-H, son isobáricos, se ejecutan a presión constante. El proceso A-B se ejecuta a muy baja presión, inicia con agua en su fase sólida y en la línea de sublimación, pasa a la fase gaseosa. La línea de sublimación, cuando se representa en un diagrama de estado θ-v, presenta características similares a las de la línea de vaporización, presentadas en la figura 2.4; procesos similares son los que ocurren en la línea de fusión. En el proceso C-D, el agua se mantiene a la presión de 0.6113 kPa, el sistema se va calentando y el punto triple ocurre cuando θ = 0.01ºC. La línea E-F nos representa un proceso que inicia con el agua en su fase sólida, en el cual, al aumentar la temperatura al sistema, primero, pasa a la fase líquida, etapa en que cruza la línea de fusión, luego el líquido se calienta hasta que pasa a su fase gaseosa, etapa en que cruza la línea de vaporización. Finalmente, para presiones mayores a la presión critica, proceso G-H, durante el calentamiento, no es distinguible un cambio de fase del agua, de líquido a vapor, solamente es observable un cambio continuo en el volumen específico del sistema, en este último caso, como se puntualizó, se dice que la sustancia constituye un fluido. Se recalca: • En el punto triple se interceptan las tres líneas: fusión, sublimación y evaporación. Como se indicó, coexisten las tres fases: sólida, líquida y vapor. • La línea de evaporación termina en el punto crítico, más allá no hay un cambio identificable entre la fase líquida y la fase vapor. Los experimentos descritos e ilustrados con los gráficos, muestran el comportamiento del agua, sin embargo, estas observaciones son generalizables a todos las sustancias puras, con la acotación de que cada sustancia tiene, como se indicó, diferentes valores para sus puntos triples y críticos. Estos puntos, constituyen puntos de referencia cuando se analiza el comportamiento de una substancia, p. ej., cuando se tiene una substancia a presiones mayores a su presión crítica, no es posible tener una fase líquida y una fase vapor en equilibrio. Otro resultado experimental también de importancia, pero que no se tratará detalladamente en estas notas, es que una substancia pura puede presentar varias fases sólidas, una transformación entre una fase sólida y otra se llama transformación alotrópica. Por lo anterior, una substancia pura puede tener varios puntos triples, pero sólo en uno de ellos estarán en Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 47 47 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 Línea de vaporización G H p θ • Fase sólida Fase líquida E F Línea de fusión Fase gaseosa Punto crítico • A B Línea de sublimación C D Punto triple E F Línea de fusión Fig. 2.5 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras equilibrio las fases sólida, líquida y vapor; en los otros puntos tripes, sólo coexisten dos fases sólidas y una líquida; dos fases sólidas y una fase vapor; o tres fases sólidas. Una vez analizados los cambios de fase para las sustancias puras, es conveniente abrir un paréntesis para revisar con un poco más de detalle, el comportamiento del agua en su paso de la fase líquida a la sólida. II. 2. 2.1. El comportamiento del agua. Todas las sustancias al pasar del estado sólido al líquido se expanden puesto que sus moléculas adquieren energía cinética y aumenta la distancia media entre ellas. Si ρ es la densidad de materia correspondiente, i. e., ρ = V m , entonces los cuerpos disminuyen su densidad al pasar del estado sólido al líquido, debido a esto los sólidos se hunden en sus líquidos. Con el agua, durante aproximadamente los primeros 8ºC a partir de que inicia la fusión, ocurre lo contrario, ver figura 1. Al pasar el agua de 0ºC a 4ºC, no se dilata sino que se contrae, más allá de los 4ºC el agua empieza de nuevo a dilatarse. El comportamiento descrito se debe a la disposición geométrica de los átomos de hidrógeno con respecto al átomo de oxígeno, esta disposición es como la cabeza de un ratón, donde las líneas que unen al centro del átomo de oxígeno con cada uno de los centros de los átomos de hidrógeno forman un ángulo de, aproximadamente, 52º, como lo ilustra la figura 7, quedando el vector “momento dipolar magnético” emergiendo radialmente del átomo de oxígeno, sobre el eje de simetría de la estructura y el sentido apuntando hacia los átomos de hidrógeno. Al iniciar el proceso de condensación (agua →hielo) las moléculas de agua se agrupan formando una estructura cristalina, con la forma de una pirámide hexagonal regular, con los átomos de la base en una disposición geométrica similar a la mostrada en la figura 8, estructura tal que el momento dipolar magnético total de estos cúmulos es cero. Esta geometría contiene espacios relativamente grandes en su región central, aumentando el volumen promedio ocupado por cada molécula, es decir, disminuyendo la densidad del hielo con respecto a la del agua. Lo descrito tiene en parte responsabilidad de la existencia de vida en la tierra. En efecto, si el hielo fuese más denso que el agua, cada invierno se formarían capas de hielo en el fondo de los ríos, lagunas y el mar, el agua por encima del hielo produciría para éste un efecto invernadero protegiendo al hielo del calor durante las otras estaciones del año, de manera que al siguiente invierno, sobre una capa de hielo, se formaría otra y así sucesivamente Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 48 48 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 1.0008 1.0004 1.0000 V(cm 3 ) T(ºC) 4 8 12 Fig. 6 52º Fig.7 Fig. 8 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras hasta que en el decurso del tiempo, ríos, lagunas y mar quedarían congelados, aniquilándose la vida en el agua, así como la circulación natural de ésta, terminando paulatinamente con toda la vida en el planeta. II. 3. II. 3. Ecuación de estado para una sustancia compresible simple. Se demostró, con ayuda de la ley cero, que un sistema termodinámico, cuyo estado puede describirse mediante dos variables independientes X y Y, satisface una ecuación que define su temperatura empírica, a saber: ) ( Y , X f · θ . . . (II.1) la cual es llamada ecuación de estado del sistema. Es claro, que si el estado del sistema requiere de n variables independientes para su descripción, esta ecuación toma la forma: ) ( 2 1 n X , X , X f  · θ . . . (II.2) En ambos casos, la forma analítica de la función depende del sistema que se esté describiendo, por otra parte, si bien todo sistema termodinámico tiene su propia ecuación de estado, puede ocurrir que en algunos casos el comportamiento del sistema sea tan complicado que no sea posible expresar a la función de estado por medio de expresiones matemáticas conocidas, es decir, no se puede encontrar para ella una forma analítica. Una ecuación de estado representa las características peculiares de un sistema en contraste con las de otro y ha de determinarse, por consiguiente, mediante experimentación. Debe hacerse notar que, cuando se utilizan teorías moleculares y se formulan hipótesis sobre la naturaleza de las fuerzas intermoleculares y la estructura de las moléculas que conforman a un sistema, se puede calcular la presión que estas ejercen sobre las paredes del recipiente que las contiene. Sin embargo, la termodinámica en sí, es una teoría macroscópica y en consecuencia no tiene relación alguna con modelos microscópicos que puedan representar al sistema bajo estudio. En consecuencia, una teoría como la termodinámica, basada sobre leyes macroscópicas generales de la naturaleza, no es capaz de expresar el comportamiento de un sistema como consecuencia de modelos moleculares o atómicos; así pues, una ecuación de estado explicita no es una consecuencia teórica deducida a partir de la termodinámica, sino que constituye un resultado experimental agregado a ella. La ecuación de estado expresa los resultados de experimentos en los cuales se miden las variables termodinámicas de un sistema con la mayor precisión posible, dentro de un intervalo limitado de valores y hasta un cierto margen de error. Es por esto, que una ecuación de estado tiene solo la precisión de los experimentos que condujeron a su formulación y es válida únicamente dentro del intervalo de valores medidos. Fuera de este intervalo puede resultar valida otra ecuación distinta. En lo que a la termodinámica concierne, sólo es importante que exista una ecuación de estado, no la posibilidad de que esta pueda ser expresada en forma analítica. Consideremos la ecuación de estado, ecuación (II.1) para una sustancia compresible simple: Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 49 49 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras ) ( V , p θ θ · . . . (II.3) Esta ecuación nos describe estados únicos del sistema, en el sentido de que dadas dos variables cualesquiera de entre: θ, p, V , la tercer variable queda determinada unívocamente, dentro de los límites de variación de las variables para la cual fue integrada la ecuación y dentro de estas restricciones, cuando es posible despejar cualquiera de éstas últimas variables en términos de la otra y de θ. Por lo anterior, consideremos a ) , ( θ p V V · , como la ecuación de estado del sistema; la diferencial de V es: θ θ θ d V dp p V dV p , _ ¸ ¸ ∂ ∂ + , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · . . . (II.4) Otra formulación de la ecuación de estado de una substancia compresible simple, se obtiene escribiendo a la presión en términos del volumen V y de la temperatura θ, p = p(V, θ ) en este caso, la diferencial de la presión es: θ θ θ d p dV V p dp V , _ ¸ ¸ ∂ ∂ + , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · . . . (II.5) Para estar en condiciones de integrar la ecuación (II.4) es preciso conocer, para cada sustancia determinada el valor de los coeficientes θ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ p V y p V , _ ¸ ¸ ∂ ∂ θ ; por tanto, investiguemos el significado de estos términos. II. 3. 1. Compresibilidad Isotérmica y Dilatación térmica. Cuando a una porción de materia se le aumenta (disminuye) la presión, se obtiene como resultado una disminución (aumento) de su volumen, a este fenómeno se le llama compresibilidad. La compresibilidad depende de la constitución de la materia, es decir, no responden de la misma manera ante la presión el agua y el acero. Veamos, la materia puede presentarse en estado sólido, líquido o gaseoso: en el estado sólido, las moléculas que componen al sistema se encuentran bastante juntas, por ello, al tratar de acercarlas más aparecen fuerzas de repulsión intermoleculares que impiden esta acción, es decir, los sólidos son difíciles de comprimir; en el estado líquido, las moléculas que componen al sistema se encuentran relativamente libres, sin embargo, la distancia promedio entre ellas no es lo suficientemente grande como para evitar la repulsión intermolecular, por ello no deja de ser difícil el tratar de comprimir un líquido, aun cuando presentan una compresibilidad mayor respecto a los Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 50 50 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras sólidos; en particular, cuando se estudia mecánica de fluidos, suele separarse a estos en dos categorías: fluidos compresibles y fluidos incompresibles; finalmente, el caso de los gases es diferente, sus moléculas se encuentran prácticamente libres y a una distancia promedio relativamente grande, por lo que las posibilidades de poderlo comprimir, es decir, su compresibilidad, es alta. La compresibilidad se define como el cambio relativo del volumen de un cuerpo, debido a una variación de la presión que se ejerce sobre él. En general, la magnitud de la compresibilidad depende de las condiciones bajo las cuales se lleva a cabo la compresión 3 , por ello se debe especificar el modo en que se efectúa tal operación, bien manteniendo la temperatura del sistema constante o bien sin intercambio de calor 4 entre el sistema y el medio; en el primer caso decimos que es una compresibilidad isotérmica y en tanto que en el segundo una compresibilidad adiabática. Por el momento estudiaremos la primera. La figura 2.6 muestra un cuerpo de volumen inicial V0, el cual se encuentra sometido a una presión p. Cuando se aumenta la presión de manera cuasi estática, del valor p al valor p+∆p, manteniéndose invariable la temperatura, su volumen se reduce al valor V1, de manera que el incremento en la presión, por una cantidad ∆p, produce un cambio en su volumen por la cantidad ∆V = V1 - V0. Las observaciones experimentales muestran que la deformación volumétrica unitaria del cuerpo, 0 V V ∆ , cambia proporcionalmente y en sentido contrario respecto a la variación de la presión que se ejerce sobre él: p V V ∆ ∝ ∆ − 0 . . . (II.6)´ Si el proceso se realiza a temperatura constante y se denota por κ al coeficiente de compresibilidad isotérmica (constante que transforma la proporcionalidad en igualdad): p V V ∆ · ∆ − κ 0 . . . (II.6)´´ Cuando la constitución del sistema no es homogénea, el coeficiente de compresibilidad isotérmica puede variar de una parte a otra del cuerpo, por lo que es más conveniente definirlo en términos de un proceso al límite, es decir: T p p V V p V V lím , _ ¸ ¸ ∂ ∂ − · , _ ¸ ¸ ∆ ∆ , _ ¸ ¸ − · → ∆ 1 1 0 κ . . . (II.6) Los coeficientes de compresibilidad de las diferentes substancias, se definen como cantidades positivas, debido a ello se introduce el signo menos en las expresiones anteriores, i. e., al agregar el signo menos se compensa el hecho de que un aumento en la 3 Por compresión se entenderá una compresión propiamente dicha o una descompresión, es decir, un cambio en la presión. 4 En este apartado se habla intuitivamente del concepto “calor”, más adelante se precisará como una forma de energía. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 51 51 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 Fig. 2.6 p+∆p V 0 V 1 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras presión es acompañada por una disminución en el volumen y viceversa. El símbolo ∂ nos indica una derivación parcial de la variable V, es decir, la derivada con respecto a la presión, conservando a la temperatura θ (y, en su caso, cualquier otra variable termodinámica) constante. Los valores del coeficiente de compresibilidad isotérmica se obtienen experimentalmente y son típicos para cada sustancia. Por otra parte, la observación del comportamiento de los cuerpos bajo los cambios de temperatura muestra que, normalmente, se expanden al calentarse y se contraen al enfriarse; se dice normalmente, porque este comportamiento no es general, por ejemplo, al agua, durante un proceso de fusión le ocurre lo contrario, esto ya ha sido discutido. Se conoce como dilatación térmica, al cambio de longitud, área o volumen que sufre un cuerpo sólido o un fluido (en este caso únicamente de volumen) debido únicamente a un cambio en su temperatura. Consideremos, como se muestra en la figura 1, una barra de un cierto material la cual, cuando se encuentra a una Temperatura To, tiene una longitud lo. Al aumentarle su temperatura, por el medio que sea, hasta un valor T, se observa que la barra aumenta su longitud a l. El incremento en la temperatura o T T T − · ∆ , es el responsable del incremento en su longitud, dado por o l l l − · ∆ . Para cambios moderados en la temperatura, experimentalmente se observa que la dilatación lineal unitaria, o o o l l l l l − · ∆ , es directamente proporcional a las variaciones en la temperatura, T ∆ , es decir, en la medida en que T ∆ aumenta (disminuye) o l Δl aumenta (disminuye), se modelan estas observaciones en la proporcionalidad: o l l ∆ ∝ T ∆ . . . (II.7)´ Misma que se transforma en una igualdad cuando se multiplica el segundo miembro por una constante, a la que denotamos por α y llamamos coeficiente de dilatación lineal, obteniéndose: o l l ∆ = α T ∆ . . . (II.7)´´ Expresión que, cuando el material no es homogéneo, nos conduce a la siguiente formulación puntual del coeficiente de dilatación lineal: p T l l l l lím , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · , _ ¸ ¸ ∆ ∆ , _ ¸ ¸ · → ∆ T T 1 1 0 α . . . (II.7) De manera similar tenemos para el coeficiente de dilatación superficial: p T S S S S lím , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · , _ ¸ ¸ ∆ ∆ , _ ¸ ¸ · → ∆ T T 1 1 0 λ . . . (II.8) Y: p T V V V V lím , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · , _ ¸ ¸ ∆ ∆ , _ ¸ ¸ · → ∆ T T 1 1 0 β . . . (II.9) Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 52 52 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 Q T o l o l o T l Fig. 1 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Para coeficiente de expansividad volumétrica, denotados como λ y β respectivamente. En las aplicaciones técnicas, para sólidos es más usual el coeficiente de dilatación lineal (II.7), en tanto que para gases y líquidos el coeficiente de expansividad volumétrica (II.9). La siguiente tabla muestra algunos coeficientes de expansión volumétrica. Líquido 1 4 10 − − · C o β Líquido 1 4 10 − − · C o β Alcohol 11 Benceno 12.4 Glicerina 5.1 Mercurio 1.8 Agua 2.1 Gasolina 9.5 Acetona 14.87 Aire (20ºC) 34.1 Aire (0ºC) 36.6 Fuente: Tipler, P. A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología. Ed. Reverte Barcelona. Ejem. 1. Ejem. 1. En el desierto la temperatura en el día puede llegar a 110º F y en la noche desciende hasta 40º F. Si ahí se instalan rieles de acero para un ferrocarril, en secciones de 50 ft ¿Qué espacio debe dejarse entre las secciones para permitir la dilatación? El coeficiente de dilatación lineal para el acero es de 1 x 10 -5 ºC -1 . Conocemos α = 1 x 10 -5 ºC -1 , y lo = 50 ft. Calculemos el incremento de temperatura en ºC: f T = C 0 43.33 ) 32 110 ( 9 5 · − i T = C 0 4.44 ) 32 40 ( 9 5 · − por tanto: C . . T o 38.99 44 4 33 43 · − · ∆ , entonces: T l l o ∆ α ∆ · = ft . -2 5 x10 95 1 )(38.99) 10 )( 50 ( ≅ − Ahora bien, despejando a las derivadas parciales que aparecen en la definición de los coeficientes de compresibilidad isotérmica κ, y de expansión volumétrica β, definidos en las expresiones (II.6) y (II.9) se obtiene: V p V T κ − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ y V T V p β · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ Y sustituyendo estas expresiones en la ecuación (II.4) obtenemos una formulación diferencial de la ecuación de estado de una substancia compresible simple: θ β κ Vd Vdp dV + − · . . . (II.4)´ Dividiendo esta ecuación entre V, se llega a: θ β κ d dp V dV + − · . . . (II.4)´´ Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 53 53 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Ecuación que puede integrarse si se conoce, para una substancia determinada, la forma funcional de κ y β respecto de las coordenadas termodinámicas del sistema; estas últimas determinaciones se efectúan experimentalmente. Ejem. 2. Ejem. 2. Justificar matemáticamente el siguiente hecho experimental: para la mayoría de sólidos, el coeficiente de expansividad volumétrico es aproximadamente el triple del coeficiente de dilatación lineal. La figura 2.7 representa a un trozo de material homogéneo en cuanto a constitución, en la cual se observará el comportamiento de un elemento de él, con un volumen inicial 3 2 1 l l l V i · , bajo cambios de temperatura. La longitud i l con 3 2 1 , , · i es la longitud del elemento paralela a al eje x i (= x, y, z). Al aumentar la temperatura por una cantidad T ∆ , el volumen del elemento cambia a: ) )( )( ( 3 3 2 2 1 1 l l l l l l V f ∆ + ∆ + ∆ + · . Entonces del coeficiente de dilatación térmica, , _ ¸ ¸ ≅ T ∆ ∆ β V V i 1 , se obtiene: i f i V V V ) ( V − · ≅∆ β ∆T ; Sustituyendo f V , y desarrollando el algebra correspondiente: i f i V V V ) ( V − · ≅∆ β ∆T = 1 2 3 3 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 l l l l l l l l l l l l l l l l l l ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ; Despreciando los términos de la forma k j i l l l ∆ ∆ + , por ser infinitesimales de 2º orden: ≅ β ∆ ) ( V i T 3 2 1 3 2 1 3 2 1 l l l l l l l l l ∆ + ∆ + ∆ ; Ahora se divide la ecuación entre 3 2 1 l l l V i · , obteniéndose: ≅ β ∆ ) ( T 3 3 2 2 1 1 l l l l l l ∆ + ∆ + ∆ ⇒ ≅ β ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 3 3 2 2 1 1 T T T ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ l l l l l l + + , Donde cada uno de los sumandos del 2º miembro, representan al coeficientes de dilatación lineal relacionados a la dirección de cada uno de los ejes coordenados; sin embargo, por ser el material homogéneo, no hay razón para pensar en que sean diferentes, por tanto: ≅ β α 3 . Compruebe el lector, siguiendo un método similar que α λ 2 ≅ . Ahora bien, para Integrar la ecuación de estado: dT T p dV V p dp V T , _ ¸ ¸ ∂ ∂ + , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · . . . (II.5) Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 54 54 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 Fig. 2.7 x l 1 l 2 l 3 y z TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Es necesario escribir en términos de cantidades conocidas a los coeficientes: θ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ V p y V p , _ ¸ ¸ ∂ ∂ θ , para ello haremos uso del siguiente teorema matemático: Si X, Y, Z son funciones implícitas de la ecuación f(X, Y, Z) = 0, entonces se cumplen: i) Z Z X Y Y X , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ 1 ; y ii) 1 − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ Y X Z X Z Z Y Y X (Se deja la demostración al lector). Aplicando estos teoremas se tiene que, para el coeficiente T V p , _ ¸ ¸ ∂ ∂ : V p V V p T T κ 1 1 − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ . . . (II.10) Donde hemos aplicado de manera consecutiva el inciso (i) del teorema y el resultado (II.6). Por otra parte, aplicando el inciso (ii), (i) del teorema y usando los resultados (II.6) y (II.9), al segundo coeficiente de la ecuación (II.5) se tiene: 1 − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ T p V p V V T p θ ⇒ V T V p V T p p T V β − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ ⇒ T V p V V T p , _ ¸ ¸ ∂ ∂ − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ β ⇒ κ β κ β · − − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ V V T p V . . . (II.11) Sustituyendo los resultados (II.10) y (II.11) en (II.5) se obtiene una segunda formulación para cambios infinitesimales de estado: dV V dT dp κ κ β 1 − · . . . (II.5)´ Ejem. 3. Ejem. 3. Para la acetona a 20ºC y a la presión de 1 bar; 1 3 10 x 487 1 − − · C . o β ; 1 6 10 x 62 − − · bar κ ; y 1 3 287 1 − · g cm . v . Encuentre: a) El valor de v T p , _ ¸ ¸ ∂ ∂ ; b) La presión generada cuando la acetona se calienta a volumen constante desde 20ºC y 1 bar, hasta 30ºC; y Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 55 55 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras c) El cambio de volumen cuando la acetona pasa de 20ºC y 1 bar a 0ºC y 10 bar. a) Si en la ecuación (II.4)´´ mantenemos el volumen constante, se obtiene: ⇒ · T d dp β κ κ β · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ V p T y sustituyendo datos: C bar . p o V 24 10 2x 6 10 x 487 1 6 3 · · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ − − T . Este resultado también pudo haberse obtenido directamente de la ecuación (II.11). b) Considerando la última ecuación se tiene que: C bar p o V 24 · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ T ⇒ C bar p o 24 · T ∆ ∆ , es decir, T ∆ ∆ 24 · p = 24(30-20) = 240 bar ⇒ 240 · − i f p p ⇒ bar p f 241 · . c) Integremos la ecuación (II.4)´´: ∫ ∫ ∫ + − · 2 1 2 1 2 1 T T p p v v d dp v dv T β κ ; como κ y β son constantes: ) ( ) ( 1 2 1 2 1 2 T T p p v v ln − + − − · β κ ⇒ 1 2 v v ln = -(62x10 -6 )(10-1) + (1.487x10 -3 )(0-20) = -0.028811 ⇒ · · − 028811 0 1 2 . e v v 0.9716 ⇒ 1.250 ) 287 1 )( 9716 0 ( 2 · · . . v ⇒ g cm . . v v 3 1 2 .03655 0 287 1 250 1 − · − · − Ejem. 4. Ejem. 4. Se mantiene a volumen constante una masa de mercurio a la presión atmosférica normal y a la temperatura de 0ºC. Si aumentamos la temperatura a 10ºC ¿Cuál será la presión final? De las tablas de constantes físicas se obtiene β y κ para el mercurio, observando que en el intervalo de temperatura de 0 a 10ºC son prácticamente constantes y tienen por valores: 1 6 10 x 181 − − · K β y 1 11 10 x 82 3 − − · Pa . κ . Para un cambio de temperatura tan pequeño, el volumen de la masa de mercurio permanece constante, por tanto, haciendo dV =0 en la ecuación (II.4)´´ nos queda: dT dp κ β · ⇒ (integrando, con β y κ constantes) ∫ ∫ · 2 1 2 1 T T p p dT dp κ β ⇒ ) ( 1 2 1 2 T T p p − · − κ β ⇒ (sustituyendo datos) ) 0 1 ( 10 82 3 10 x 181 1 11 1 6 1 2 K Pa x . K p p − − − − · − Pa p p 5 1 2 10 x 473 · − ⇒ Pa Pa p Pa p 5 5 1 5 2 10 x 1 10 x 473 10 x 473 + · + · ⇒ Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 56 56 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Pa x p 5 2 10 474 · Un tema de elasticidad bastante relacionado en el ámbito de la ingeniería civil con la dilatación térmica de los cuerpos, es el del Módulo de Young. La materia en general, independientemente de la fase en que se encuentre, tiene propiedades elásticas, debido a estas propiedades es que, por ejemplo, se transmiten las ondas sonoras a través de ella. Considere una barra metálica cilíndrica, de longitud l y sección transversal de área A, ver figura 2.8, apliquemos a ésta una fuerza de compresión (tracción) de magnitud F, entonces, se llama esfuerzo y se denota por σ, a la cantidad de fuerza aplicada por unidad de área transversal, σ = F/A. Como resultado de este esfuerzo, se observa una disminución (aumento) de su dimensión en la dirección de la fuerza aplicada; si denotamos por ∆l a esta disminución (aumento) en su longitud, entonces al cociente ∆l/l se le llama la deformación unitaria y es un hecho experimental que el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria, es decir: l l A F ∆ ∝ · σ . . . (II.12)´ A la constante que transforma en igualdad a la proporcionalidad anterior se le conoce como el Módulo de Young 5 , el cual depende de la naturaleza o constitución de la barra, así: l l Y A F ∆ · · σ . . . (II.12) Cuando se aplica un esfuerzo a un cuerpo, se dice que se ha excedido el límite elástico si al suspenderlo, el material no vuelve a su longitud inicial. Por otra parte, el esfuerzo al cual se rompe el límite elástico de tracción se le llama resistencia a la tracción y se denota por t σ ; asimismo, se conoce como resistencia a la compresión, el esfuerzo al cual ocurre la ruptura del límite elástico bajo compresiones y se denota por c σ . El Módulo de Young se define únicamente para sólidos 6 , en tanto que las propiedades elásticas de líquidos y gases se tratan con el Módulo de elasticidad volumétrica; procedamos a su definición. Consideremos ahora una porción de líquido o gas con volumen V. A través de su frontera se encuentran igualadas las presiones externas e internas, pero si por algún medio aumentamos, la presión en el 5 Estas ecuaciones no deben sorprendernos, no son más que reformulaciones de la Ley de Hooke, la cual señala que: “cuando en un sistema deseamos sacar a un cuerpo un distancia ∆x desde una posición de equilibrio estable, es necesario aplicar, al menos una fuerza F de magnitud F = k ∆x, donde k, llamada “constante restaurativa”, depende únicamente de las características del sistema”. 6 Asimismo, el Módulo de Elasticidad Transversal o de Cizalladura, el cual no trataremos aquí, es por sus características solo aplicable a materiales sólidos. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 57 57 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 F ∆l A Fig. 2.8 Fig. 2.9 p+∆p V 0 V 1 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras exterior, el sistema tiende a comprimirse por una cantidad ∆V, hasta que nuevamente se establece el equilibrio, Ver figura 2.9. Bajo estas condiciones, se define como esfuerzo volumétrico al incremento de la fuerza por unidad de área, se denota por p y es igual a A F . También se define la deformación volumétrica unitaria como V V ∆ , siendo V el volumen inicial del sistema; experimentalmente se verifica que el esfuerzo volumétrico es directamente proporcional a la deformación volumétrica. A la constante de proporcionalidad se le llama Módulo de elasticidad volumétrica y se denota por B, pudiéndose escribir la expresión: V V B A F p ∆ − · · . . . (II.13) El signo menos se debe a que, por una parte, se considera a B como una cantidad positiva y por otra, los aumentos de presión siempre van acompañados de disminuciones del volumen. Ejem. 5. Ejem. 5. Considere una barra de aluminio que es 25 cm más corta que otra barra de cobre. Calcular: a) La longitud de cada una de las barras sabiendo que la diferencia de longitudes es la misma a cualquier temperatura. b) La tensión que soportaría la barra de cobre si estuviera empotrada en los extremos y la temperatura ambiente disminuyera 30ºC. Donde: ; 10 x 2 2 1 5 Al − − · C . o α ; 10 x 7 1 1 5 Cu − − · C . o α Pa. 10 x 22 1 11 . Y Cu · a) Inicialmente se tiene que: 25 (Cu) 0 (Al) 0 − ·L L . . . (a) Y a cualquier temperatura: T L L T L L ∆ + · ∆ + · Al 0(Al) 0(Al) Al 0(Al) Al ) 1 ( α α . . . (b) T L L T L L ∆ + · ∆ + · Cu 0(Cu) 0(Cu) Cu 0(Cu) Cu ) 1 ( α α . . . (c) Estas ecuaciones las obtenemos de la aplicación de la ecuación (II.7). Ahora restando de (c) la ecuación (b): T L T L L L L L ∆ − ∆ + − · − Al 0(Al) Cu 0(Cu) 0(Al) 0(Cu) Al Cu ) ( α α Pero para que la diferencia de longitud sea la misma para cualquier temperatura, tendrán que ser iguales los incrementos de longitud de cada una de ellas: T L T L ∆ · ∆ Cu 0(Cu) Al 0(Al) α α ⇒ Cu 0(Cu) Al 0(Al) α α L L · usando (a): Cu 0(Cu) Al 0(Cu) ) 25 ( α α L L · − ⇒ · − · Cu Al Al 0(Cu) 25 α α α L cm . . . 110 7 1 2 2 ) 2 2 ( 25 · − · · Al Cu 0(Cu) 0(Al) α α L L cm . . 85 2 2 7 1 110 · Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 58 58 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras b) La tensión sobre la barra de cobre empotrada sería, de acuerdo a (II.15): T Y l l Y A F ∆ · ∆ · · α σ = 1.22 x 10 11 x 1.7 x 10 -5 x 30 = 62.22 x 10 6 Pa. Ejem. 6. Ejem. 6. El coeficiente de dilatación lineal de una varilla se determina midiendo su longitud a dos temperaturas distintas con una regla de acero. A 8ºC la regla indica 130 cm; a 40ºC la lectura es de 130.4 cm. Calcúlese el coeficiente de dilatación lineal de la varilla. (Coeficiente de dilatación lineal del acero 1 6 K 10 x 12 − − · α ). Debe considerarse el hecho que una elongación (compresión) lineal de un material por efecto de un cambio de temperatura, es una propiedad intrínseca de éste, la cual es caracterizada por la α de ese material. Cuando medimos la varilla a 40ºC, la regla de acero también está a esa temperatura y por tanto también se habrá alargado desde su situación inicial, por tanto, estas mediciones nos proporcionan una elongación “aparente” de la regla, debida a una aparente α , la cual se verá disminuida por la elongación de la “regla”, por lo que si le agregamos la elongación de ésta, determinada por la regla α , nos dará la elongación real, real α , de la varilla: aparente regla real α α α + · ⇒ regla real aparente α α α − · . . . (a) Entonces para la elongación aparente de la regla podemos escribir, con base en las mediciones: ) 1 ( 130 4 130 T . aparente ∆ + · α y como ∆T = 32ºC ⇒ )(32) ( 130 4 0 regla real . α α − · 130x32 0.4 ) ( · − regla real α α ⇒ 4 - 6 1.08x10 130x32 0.4 10 x 12 · + · − real α Ejem. 7. Ejem. 7. Un trabajador de la construcción utiliza una cinta de acero para medir la longitud de una columna de soporte de aluminio. Si la longitud medida es de 18.7 m cuando la temperatura es de 21.2ºC, ¿cuál es la longitud medida cuando la temperatura sube a 29.4ºC? (Nota: no considere la expansión de la cinta de acero) Partimos de la ecuación p l l , _ ¸ ¸ ∆ ∆ · T 1 α , donde C . . . T T T o i f 2 8 2 21 4 29 · − · − · ∆ y m . l 7 18 · . Además ; 10 x 2 2 1 5 Al − − · C . o α entonces, despejando a f l tenemos: ) 2 8 )( 10 x 2 2 )( 7 18 ( 7 18 5 . . . . T l l l f − + · ∆ + · α ⇒ m . . . l f 7034 18 0034 0 7 18 · + · . Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 59 59 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras PROBLEMAS. SECCIÓN 1 Prob. 1. Prob. 1. Un puente está formado por un arco de acero de 518 m de largo. ¿Cuánto cambia su longitud entre los extremos de temperatura -20ºC en invierno y 35ºC en verano? Y ¿En cuánto se incrementa la tensión que soportan sus empotramientos debido a este cambio de temperatura? Prob. 2. Prob. 2. Un anillo de oro tiene un diámetro interior de 2.168 cm a una temperatura de 15ºC. Determine su diámetro interior a 100ºC. (Para el oro α = 1.42 x 10 -5 ºC -1 ) Prob. 3. Prob. 3. La densidad del oro a 20ºC es 19.3 g/cm 3 y su coeficiente de dilatación lineal es 14.3 x 10 -6 ºC. ¿Cuál será la densidad del oro a 100ºC? Prob. 4. Prob. 4. Dos termómetros idénticos, uno de mercurio y otro de aceite, tienen el mismo volumen a 0ºC. Encuéntrese la razón de las longitudes l de la división correspondiente a 1ºC en la escala del termómetro de mercurio y l1 de una división de la escala del termómetro de aceite. El coeficiente de expansión volumétrica del mercurio es β, y del aceite β1 pudiéndose considerar constantes en el intervalo de operación. Prob. 5. Prob. 5. Se mide una barra de cobre con una cinta métrica de acero de 2 m de longitud. La medida se realiza a 10ºC, que es la temperatura de calibración de la cinta, y da 75 cm. ¿Cuál será la lectura en la cinta de la longitud de la barra cuando la temperatura ambiente sea de 35ºC? ) 10 x 7 1 y 10 x 1 1 ( 1 5 1 5 − − − − · · C . C . cobre acero α α Prob. 6. Prob. 6. Un anillo de acero de 75 mm de diámetro interior a 20ºC ha de ser calentado e introducción en un eje de latón de 75.05 mm de diámetro a 20ºC. a) ¿A qué temperatura ha de calentarse el anillo? b) ¿A qué temperatura debería enfriarse el conjunto para que el anillo salga solo del eje? ) 10 x 2 y 10 x 2 1 ( 1 5 1 5 − − − − · · C C . latón acero α α Prob. 7. Prob. 7. A 15ºC una varilla de hierro mide 50 cm y otra de estaño, 49.98 cm. Se desea saber a qué temperatura ambas varillas miden lo mismo. ) 10 x 23 y 10 x 2 1 ( 1 6 1 6 − − − − · · C C . Sn Fe α α Prob. 8. Prob. 8. Un tanque de gasolina subterráneo a 54ºF puede contener 1000 galones de gasolina. Si el conductor de un camión cisterna llena el tanque subterráneo en un Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 60 60 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras día en el que la temperatura es de 90ºF, ¿cuántos galones puede verter en él, de acuerdo con la medida que indica el camión? (Suponga que la gasolina se enfría a 54ºF al entrar al tanque). Prob. 9. Prob. 9. El diámetro de un orificio practicado en una placa de cobre a 20ºC es de 3.0 mm. ¿A qué temperatura se deberá enfriar el cobre para que ese diámetro sea de 2.99 mm? Prob. 10. Prob. 10. El volumen de un cubo de metal se incrementa en 0.5 % cuando la temperatura del cubo se eleva en 100ºC. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación lineal de este metal? Prob. 11. Prob. 11. Un anillo de cobre debe ajustarse perfectamente en un cilindro de acero. El diámetro del cilindro mide exactamente 5 cm a 20ºC y el diámetro interior del anillo 4.98 cm. Calcular a qué temperatura habrá de calentarse el anillo para poder introducirlo en el cilindro. a) Si se calienta sólo el anillo; b) Si se calienta el conjunto; c) Si se calienta sólo el eje. ) 10 x 12 y 10 x 17 ( 1 6 1 6 − − − − · · K K Acero Cu α α Prob. 12. Prob. 12. ¿En qué porcentaje se incrementa el volumen de un cubo de bronce cuando se calienta de 20ºC a 100ºC? Se conoce 1 6 10 x 17 − − · K Bronce α . Prob. 13. Prob. 13. Un cubo de cobre mide 40 cm por lado a 20ºC. ¿Cuál es el volumen del cubo cuando la temperatura llega a 1500ºC? Prob. 14. Prob. 14. Demuestre que si X, Y, Z son funciones implícitas de la ecuación f (X, Y, Z) = 0, entonces se cumplen: i) Z Z X Y Y X , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ 1 ; y ii) 1 − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ Y X Z X Z Z Y Y X Prob. 15. Prob. 15. Un vaso de laboratorio construido con pyrex (α = 0.3 x 10 -5 ºC -1 ) está lleno hasta el borde con 200 ml de glicerina (β = 5.1 x 10 -4 ºC -1 ). ¿Cuánta glicerina se derramará por el borde si el sistema se calienta de 20ºC a 100ºC? Prob. 16. Prob. 16. El mercurio tiene una densidad de 13.6 g/cm 3 , a 0ºC . Halle su densidad a 27ºC si β = 0.3 x 10 -5 ºC -1 . Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 61 61 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 T – 0ºC 1.0000 1.0004 1.0008 0 4 8 12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Prob. 17. Prob. 17. Con base a la gráfica que se muestra, encuentre la densidad del agua a 8ºC y a 12ºC con cuatro cifras decimales. Suponga que la variación del volumen respecto de la temperatura tiene forma parabólica. Prob. 18. Prob. 18. (a) Si el coeficiente de dilatación volumétrica de un sólido es tres veces su coeficiente de dilatación lineal, halle el incremento de volumen de una esfera maciza de cobre de 0.5 m de radio, para un cambio de temperatura de 0ºC a 700ºC. (b) Halle el incremento de volumen si la esfera de cobre fuera hueca (un cascarón delgado). Prob. 19. Prob. 19. Un puente de concreto tiene 7km de longitud. Si el coeficiente de dilatación lineal del concreto es α = 12 x 10 -6 ºC -1 , halle la dilatación total de este puente en pulgadas para un cambio de temperatura de 20ºC a 40ºC. Prob. 20. Prob. 20. Un termómetro de hidrógeno con un volumen constante V 0 sufre un cambio de presión de p 0 mm de Hg a p 1 mm de Hg, al calentarse de θ 0 = 0ºC a θ 1 . Encuéntrese la temperatura θ 1 del gas si el coeficiente de expansión volumétrica es β y el de compresibilidad isotérmica es κ. Prob. 21. Prob. 21. Un armazón para lentes están hechos de plástico epóxico (α = 13 x 10 -5 ºC -1 ). A temperatura ambiente, 20ºC las armazones tienen orificios circulares para la lente de 2.20 cm de radio. ¿A qué temperatura se deben calentar las armazones para insertar lentes de 2.21 cm de radio? Prob. 22. Prob. 22. Una varilla de acero de 30 cm de longitud y 2 x 2 cm de sección transversal se calienta hasta que su temperatura aumenta 15ºC. (a) Halle su nueva longitud. (b) Si cuando esta fría se prensa por sus dos extremos y después se calienta, ¿Qué fuerza ejerce la varilla sobre la prensa? De su respuesta en Newtons y en Libras. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 62 62 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 V - cm TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras II. 4. II. 4. Ecuación de estado de los gases ideales. Una ecuación de estado para la que se obtiene una expresión matemática relativamente simple, es la que corresponde al comportamiento de los gases claro, siempre que sus coordenadas termodinámicas permanezcan dentro de ciertos límites, mismos que se precisarán más adelante. Considere varios gases: H2, N2, O2, CO2, NH3, etc., a cada uno de ellos se les hace variar la presión, disminuyéndola en cada etapa del experimento, pero conservando constante su temperatura. En cada una de las etapas se efectúan mediciones de la presión p y del volumen molar v n V · , luego se grafican los resultados en un diagrama donde θ v p es el eje de las ordenadas y p el de las abscisas. La figura 2.6 muestra los resultados; éstos pueden resumirse de la siguiente manera: (a) Todas las isotermas correspondientes interceptan al eje de las ordenadas en el mismo punto, independientemente de la naturaleza del gas. Debido a que la reducción de la presión no puede llevarse hasta el valor cero, el punto de coincidencia se obtiene por medio de un proceso de extrapolación. Además, cuando se repiten los experimentos con un sólo gas, pero variando en cada caso la temperatura, se obtiene que: (b) Las diferentes isotermas de un mismo gas, intersecan el eje de las ordenadas en el mismo punto referido en (a). De aquí, concluimos que todo gas real, independientemente de su naturaleza y su temperatura, tiende a obedecer a presiones muy bajas una relación universal. Se simboliza por R al punto de intersección de las rectas indicadas en (a) y (b), por lo que se puede escribir: R · , _ ¸ ¸ → θ n pV lím p 0 Al valor R se le llama: la constante universal de los gases. Se define entonces a un gas ideal como aquel que satisface la ecuación de estado: θ R n pV · . . . (II.14) Para cualquier intervalo de temperatura y presión. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 63 63 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 p θ v p O 2 H 2 CO 2 N 2 NH 3 Fig. 2.6. Isotermas correspondientes R TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Debe notarse que un gas ideal no existe realmente en la naturaleza, éste sólo es una idealización bastante conveniente para representar, en primera aproximación, el comportamiento de un gas real. De hecho, la representación resulta correcta únicamente en el límite de muy bajas densidades (o muy bajas presiones). En efecto, cuando la presión o la densidad de un gas es muy baja, podemos modelar su comportamiento, a nivel molecular, como el de un conjunto de esferas rígidas, las cuales no tienen ningún tipo de interacción hasta cuando chocan unas con otras, debido a ello se mueven con mucha libertad en el interior del recipiente que las contiene; al eliminar las interacciones moleculares, se está haciendo caso omiso de la naturaleza del gas, por lo que el comportamiento de todos ellos es similar. Las unidades de R en el sistema internacional son: [ ] [ ] [ ] K mol Kg joule K mol Kg m m newton n V P ⋅ ⋅ · ⋅ ⋅ · 1 ] 1 ¸ ⋅ · 3 2 θ R Y su valor numérico es: R = 8.314 x 10 3 joules / Kg-mole K. II. 4. 1. Ley de Charles y Gay-Lussac. Ley de Boyle-Mariotte. En 1802, Louis Joseph Gay-Lussac publicó una primera ley relativa al comportamiento de los gases, que establecía: bajo condiciones de presión constante, los cambios en el volumen de un gas son directamente proporcionales a sus cambios de temperatura. Al publicar sus resultados experimentales, hacía referencia a un trabajo inédito de Jacques Charles que databa de 1787 y en el cual éste ya había llegado a las mismas conclusiones, por lo que el enunciado es conocido como Ley de Charles y Gay-Lussac. Simbólicamente, la ley enunciada puede escribirse como: θ ∆ ∝ ∆V . . . (II.15)´ Cuando p permanece constante. Llamando k, a la constante de proporcionalidad necesaria para convertir (II.15)´ en una igualdad: θ ∆ · ∆ k V . . . (II:15) Cuando p permanece constante. Veamos desde otro punto de vista la ecuación anterior. Los gases reales comunes, en condiciones ambientales, presentan una temperatura de saturación muy por debajo de la temperatura ambiente, por tanto pueden considerarse como gases ideales 7 ; bajo este supuesto, los gases con los que Gay-Lussac y Charles efectuaron sus experimentos obedecían a la ecuación de estado de los gases ideales, θ R n PV · , consecuentemente , si 7 En condiciones ambientales los gases reales son vapores altamente sobrecalentados (la temperatura ambiente es mucho mayor que su temperatura de saturación) por tanto su comportamiento es similar al de un conjunto de “bolas rígidas” sin interacciones moleculares. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 64 64 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras al inicio de un proceso en el que se mantiene la presión constante, o p , un gas se encuentra en el estado determinado por los valores o o o V p θ , , , cumple con: 0 0 0 θ R n V p · . . . (II.16) Si luego, en virtud del proceso, p. ej., de calentamiento, se aumenta su temperatura al valor 1 θ, su volumen cambiará al valor 1 V , de manera que, al final del proceso se cumple: 1 1 0 θ R n V p · . . . (II.17) Restando la ecuación (II.17) de la (II.16) y haciendo el álgebra correspondiente se obtiene: θ ∆ · ∆ 0 p n V R . . . (II.18) Ecuación idéntica a la ecuación (II.15), con la utilidad adicional de que aporta el valor de la constante de proporcionalidad, es decir, 0 p n k R · . Este análisis indica que la ecuación de estado de los gases ideales es un planteamiento más general que el de la Ley de Charles y Gay-Lussac, de manera que la primera implica la segunda. Sin embargo, históricamente el desarrollo fue en sentido contrario, tanto la Ley de Charles y Gay-Lussac como la de Boyle- Mariotte, que veremos adelante, representaron premisas para intuir y concluir la ecuación de estado de los gases ideales. A través de la conocida como segunda ley de Gay-Lussac, este científico estableció que las variaciones de la presión y de la temperatura de un gas son directamente proporcionales cuando el cambio de estado del gas se realiza sin alterar su volumen; es decir, estableció que: θ ∆ · ∆ k p . . . (II.19) Cuando V permanece constante. Se deja como ejercicio al lector deducir esta ley a partir de la ecuación de estado de los gases ideales y calcular el valor de la constante de proporcionalidad k. De manera independiente, los físicos Robert Boyle, Inglés (1627-1691) y Edme Mariotte, Francés (1620-1684) llegaron de manera experimental a la siguiente conclusión hoy conocida como la Ley de Boyle-Mariotte: A temperatura constante, el volumen de un gas es proporcional al inverso de su presión. Esta Ley escrita de manera matemática queda como: p k V ∝ . . . (II.20) Cuando θ permanece constante. También se deja como ejercicio al lector deducir esta ley a partir de la ecuación de estado de los gases ideales y calcular el valor de la constante de proporcionalidad k. Veamos ahora formulaciones equivalentes de la ecuación de estado de los gases ideales. Esta ecuación es: θ R n pV · . . . (II.14) Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 65 65 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Donde R = 8.314 x 10 3 joules / Kg-mole K en el SI, o bien 1,545 ft lbf / lbmol R en el sistema inglés, y n es el número de moles del sistema. Dividiendo la ecuación (II.14) entre m, la masa total del sistema, se obtiene que, θ m n m V p R · ; y como m = nM; donde M es el peso molecular de la sustancia bajo estudio, entonces la ecuación queda como: θ R · pv . . . (II.14)´ Donde v es el volumen específico de la sustancia y M R R · es una constante que tiene un valor definido para cada substancia, en la literatura sobre termodinámica se encuentran tablas que proporcionan los valores de R para muchas de ellas. 8 Ahora dividiendo (II.14) entre n, el número de moles, de la substancia, se tiene: θ R · v p . . . (II.14)´´ En esta expresión v representa el volumen molar de la sustancia. Así también, multiplicando la ecuación (II.14)´ por la masa total del gas: θ R m pV · . . . (II.14)´´´ Ejem. 8. Ejem. 8. Un cilindro vertical con diámetro de 150 mm tiene montado, sin fricción, un pistón de 6 kg y está lleno con gas neón a 50ºC. La presión atmosférica exterior es de 98 kPa y el volumen del neón es de 4000 cm 3 . Encuentre la masa del neón. Las condiciones físicas normales son: presión de 760 mm Hg = 101.325 kPa y Temperatura de 0 ºC. En la práctica los gases que se encuentran en condiciones físicas normales o cercanas a ellas, se comportan como un gas ideal. La temperatura del gas neón en grados Kelvin es T = 50 ºC = (273.15+50)K = 323.15 K. La presión en el gas se debe, por una parte, a la presión atmosférica p o = 98 kPa; y por otra, al peso del pistón, A mg p p · , donde m = 6 kg, g = 9.81 m/s; siendo el área A, sobre la que se ejerce esta fuerza: A = πr 2 = (3.1416)(0.075) 2 m 2 = 0.01767 m 2 . Entonces: kPa m N p p 331 3 134 331 3 01767 0 81 9 6 2 . . , . ) . ( · · · ⇒ kPa p p p p o T 331 101. · + · ; de este resultado se concluye que, en este caso, se puede considerar al gas neón como un gas 8 Ver, p. ej., VAN WYLEN, G. J., and et all. (2006). Fundamentos de Termodinámica. Edit. Limusa Wiley. 2ª Edición, México. págs. 797-798. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 66 66 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 T=50ºC P 0 Gas Neón mg 50ºC 0.1 kPa Bomba TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras ideal, por tanto de la ecuación (II.14)´´´: θ R m pV · ⇒ θ R pV m · ; donde el valor de R para el gas neón 9 es R = 0.41195 kJ / kg-K; sustituyendo datos en la ecuación anterior: kg . k m kPa . m 3 3 3 10 x 0448 3 ) K)(323.15K - J/kg (0.41195 ) 10 x 4 )( 331 101 ( − − · · . Ejem. 9. Ejem. 9. Un cilindro para gas tiene 1 m de longitud y un diámetro interior de 20 cm; se vacía y después se llena con dióxido de carbono gaseoso a 25ºC. ¿A qué presión se tiene que cargar si debe contener 1.2 kg de este gas? Como D = 20cm ⇒ r = 10 cm = 1x10 -1 m, por tanto el volumen a llenar es: l r V 2 π · , esto es: 3 2 031416 0 1 10 1416 3 m V . ) )( )( . ( · · − . Por otra parte, de las tablas, se tiene: K J 18802 0 − · kg k . R . Y la temperatura en grados Kelvin es: K 15 298. · T ; y aplicando nuevamente la ecuación (II.14)´´´: V m p RT · , con los valores encontrados: MPa 1413 2 031416 0 ) 15 298 )( 02 188 )( 2 1 ( 3 . m . K . K kg / . kg . p · ⋅ · J . Ejem. 10. Ejem. 10. Se utiliza una bomba de vacío para evacuar una cámara en donde se secan algunos especímenes a 50ºC. La bomba tiene un régimen de desplazamiento de 0.5 m 3 /s con una presión de entrada de 0.1 kPa y una temperatura de 50ºC. ¿Cuánto vapor de agua se ha eliminado en un período de 30 min? Primero respondamos la pregunta ¿Qué volumen de vapor de agua se ha eliminado de la cámara en 30 min? Como el desplazamiento es de 0.5 m 3 /s, en 30 min = 1,800 s, se han evacuado: (0.5 m 3 /s)( 1,800 s) = 900 m 3 . El gas que se está expulsando es vapor de agua que se encuentra, en la cámara, a la presión atmosférica: Po = 1atm = 101.325 kPa; es extraído por la bomba a una presión más baja, 1000 1 ≈ de la presión atmosférica. Entonces, de la ecuación de estado de los gases ideales, se tiene: RT pV m · ; donde: p = 0.1 kPa = 100 N/m 2 , presión a la que la bomba toma al gas. 9 Idem. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 67 67 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras T = 50ºC = (50 + 273.15)K = 323.15 K; y R = 461.52 N m/kg K, valor obtenido en las tablas indicadas. Sustituyendo estos valores en la expresión para m, de la ecuación de estado: kg . K . K kg m N . m m N RT pV m 603 0 ) 15 323 )( 52 461 ( ) 900 )( 100 ( 3 2 · ⋅ ⋅ · · . Ejem. 11. Ejem. 11. Un depósito metálico cilíndrico de 0.5ft de radio y 5ft de altura, contiene 25 lb m de oxígeno a la temperatura de 122ºF. ¿A qué presión se encuentra? Efectuemos los cálculos en el SI: El volumen del depósito es: 3 2 2 3.927 ) 5 ( ) 5 0 )( 1416 3 ( ft ft ft . . l r V · · · π , pero 1ft 3 = 2.832 x 10 -2 m 3 , por tanto: V = (3.927)( 2.832 x 10 -2 ) m 3 = 11.12 x 10 -2 m 3 Para el oxígeno R = 0.25983 kJ/kgK, T = 122ºF = C C o o 50 ) 32 122 ( 9 5 · − = 323.15 K, y m = 25 lbm = (25)(0.453592 kg) = 11.34 kg. Sustituyendo estos datos en la ecuación de estado de los gases ideales, se obtiene: MPa m . K . K kg J . kg V mRT p 8.56 ) 0 x1 12 11 ( ) 15 323 )( 0 x1 25983 0 )( 1.34 1 ( 3 2 3 ≅ ⋅ · · − Ejem. 12. Ejem. 12. Un globo que inicialmente se encuentra desinflado, se conecta mediante una válvula a un depósito que contiene gas helio a 1 MPa a la temperatura ambiente de 20ºC. Se abre la válvula y el globo se infla a presión constante de 100 kPa, que es la presión ambiente, hasta que alcanza la forma esférica con diámetro D1 = 1m. Si el globo se infla más, el material de que está construido se estira y la presión interior estará dada por la expresión: D D D D C P P 1 1 0 ) 1 ( − + · . . . (1) El globo se infla lentamente hasta un diámetro final de 4 m, punto en el cual la presión interior es de 400 kPa. La temperatura permanece constante a 20ºC. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 68 68 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Determine el volumen mínimo que se requiere en el depósito de helio para inflar el globo. Se trabajará el problema en dos etapas: 1ª) Va desde que el globo esta desinflado, hasta que alcanza el diámetro D1 = 1m (r = 0.5 m). (El contexto de esta etapa del análisis es el depósito). 2ª) Va desde que el diámetro del globo es 1m, hasta que alcanza 4m (r = 2 m) en esta etapa, el He varia su presión, de acuerdo a la expresión (1). (El contexto de esta etapa del análisis es el globo). 1ª) etapa. Sea m i la masa total de He que inicialmente se encuentra en el depósito, y m1 la masa que queda en el depósito después de llenar al globo sin estirarlo. Considerando al gas como ideal, se cumplen las siguientes ecuaciones al principio y al final de esta etapa respectivamente: (2) (1) 1 1   RT m V p RT m V p i i · · El volumen del depósito V que ocupa el gas, es el mismo tanto para la cantidad m i de gas que hay al principio en el tanque, como para la cantidad m1 que hay al finalizar la etapa. La presión al iniciarse el proceso es Pa p i 6 10 · , la constante del gas para el helio es, R = K kg J . ⋅ 3 10 x 07703 2 , y la temperatura T = 293.15 K al interior del tanque, se conserva constante durante esta 1ª etapa del proceso. De las ecuaciones (1) y (2): i i i i p m m p m m p p 1 1 1 1 · ⇒ · . . . (3) donde . Pa p i 6 10 · En esta etapa, la masa que se transfiere al globo es (m i - m1). 2ª) etapa. El globo se infla, pasando de un radio r1 = 0.5 m, a otro de r2 = 2 m. Al iniciar esta etapa, el globo tiene un volumen V1 = 3 3 3 1 0.524 ) 5 0 )( 1416 3 ( 3 4 3 4 m . . r · · π , y al finalizarla, V2 = 3 3 2 33.51 8 ) 1416 3 ( 3 4 3 4 m . r · · π . Al principio de esta etapa, en el globo hay (m i - m1) unidades de masa, las cuales están a la temperatura y presión del ambiente, i. e., Pa kPa p 5 1 10 100 · · y K . C T o 15 293 20 1 · · ; en consecuencia: kg K . K kg J m . Pa RT V p m m i 0.0861 ) 15 293 )( (2077.03 ) 524 0 )( 10 ( 3 6 1 1 1 1 ≅ ⋅ · · − , y despejando a m i : 0861 0 1 . m m i + · . . . (4) Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 69 69 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 20ºC 1 MPa Válvula . D TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Para cumplir la condición de tener el depósito de volumen mínimo que permita inflar el globo, es necesario que el globo se infle utilizando toda la masa de helio en el depósito, es decir, durante la segunda etapa, la masa en el depósito pasa de m1 a 0, en consecuencia la presión interna en el tanque pasa de p1 a 0. Por tanto, masa m1 pasa a ocupar en el globo un volumen: ∆V = V2 – V1 = (33.51 – 0.524) m 3 = 32.986 m 3 , a la temperatura K . T 15 293 2 · , y con una presión final de Pa p 5 2 10 x 4 · ; así, al finalizar la 2ª etapa se cumple que: ⇒ · 2 1 2 RT m V p ∆ 2 2 1 RT V p m ∆ · , y sustituyendo los valores anteriores: kg . . . RT V p m 21.67 ) 15 293 )( 03 2077 ( ) 986 32 )( 10 x 4 ( 5 2 2 1 · · ∆ · . . . (5) Sustituyendo (5) en (4): kg . . . m m i 21.7561 0861 0 67 21 0861 0 1 · + · + · Finalmente, se despeja V de la ecuación (1) y se sustituyen los valores encontrados: 3 6 25 13 10 ) 15 293 )( 03 2077 )( 7561 21 ( m . . . . p RT m V i i · · · Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 70 70 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 g P 0 Aire 25 cm TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras PROBLEMAS. SECCIÓN 2 Prob. 1. Prob. 1. En condiciones normales (T = 0ºC; p = 1 atm) el peso molecular y la densidad de algunos gases son los que se especifica a en la siguiente tabla: a) Calcúlese el volumen molar de los gases tabulados. b) ¿Qué conclusiones puede sacar del resultado (a)? Prob. 2. Prob. 2. Un depósito rígido de 1 m 3 que contiene aire a 1 MPa y 400 K está conectado a una línea de aire como se muestra en la figura. La válvula se abre y el aire fluye al depósito hasta que la presión llega a 5 MPa, punto en el cuál se cierra la válvula y al medirse la temperatura interior esta resulta ser de 450 K. a. ¿Qué masa de aire hay en el depósito antes y después del proceso? b. Por último, el depósito se enfría a la temperatura ambiente, 300 K. ¿Cuál es entonces la presión dentro del depósito? Prob. 3. Prob. 3. Un conjunto de pistón y cilindro como el que se muestra en la figura, contiene aire a 250 kPa y 300ºC. El pistón de 50 kg tiene un diámetro de 0.1 m e inicialmente hace presión sobre los soportes. La atmósfera se encuentra a una presión de 100 kPa y a 20ºC de temperatura. Ahora el cilindro se enfría a medida que el calor se transfiere al ambiente. a. ¿A qué temperatura empieza a descender el pistón? b. ¿Cuánto ha descendido el pistón cuando la temperatura llega al ambiente? Prob. 4. Prob. 4. Un cilindro tiene un pistón grueso que inicialmente se sostiene mediante un perno como se muestra en la figura. El cilindro contiene dióxido de carbono a 150 kPa Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 71 71 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 Gas Peso molecular M Densidad g/cm 3 Nitrógeno 28.016 0.0012505 Aire 28.96 0.0012928 Argón 39.944 0.0017839 CO 28.01 0.0012504 O2 31.9988 0.0014276 Depósito Depósito X Línea de aire CO 2 100 mm 100 mm 50 mm TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras y a la temperatura ambiente de 290 K. El pistón metálico tiene una densidad de 8,000 kg/m 3 y la presión atmosférica es de 101 kPa. Ahora se retira el perno y se permite que el pistón se mueva; después de cierto tiempo, el gas vuelve a la temperatura ambiente. ¿Se encuentra el pistón contra los soportes? Prob. 5. Prob. 5. El aire en una llanta se encuentra inicialmente a -10ºC y 190 kPa. Después de manejar cierto tiempo, la temperatura sube a 10ºC. Determine la nueva presión. Debe hacer una suposición por su parte. Prob. 6. Prob. 6. A partir de la ecuación de estado de los gases ideales deducir (a) La 2ª Ley de Gay-Lussac; (b) La Ley de Boyle-Mariotte. En cada caso determinar el valor de la constante de proporcionalidad. Prob. 7. Prob. 7. A partir de las leyes de Gay-Lussac y de Boyle-Mariotte, deducir la ecuación de Clapeyron o ecuación de estado de los gases ideales. 10 Prob. 8. Prob. 8. Un cilindro se equipa con un pistón de 10 cm de diámetro que está sujeto a un resorte lineal (la fuerza es proporcional a la distancia) como se muestra en la figura. La constante de fuerza del resorte es de 80 kN/m y el pistón inicialmente descansa sobre los soportes, con un volumen de cilindro de 1 l. Se abre la válvula de la línea de aire y el pistón empieza a elevarse cuando la presión en el cilindro es de 150 kPa. Cuando la válvula se cierra, el volumen del cilindro es de 1.5 l y la temperatura es de 80ºC. ¿Qué masa de aire hay dentro del cilindro? Prob. 9. Prob. 9. Un recipiente rígido sellado tiene un volumen de 1 m 3 y contiene 1 kg de agua a 100ºC. Ahora el recipiente se calienta. Si se instala una válvula de seguridad sensible a la presión, ¿a qué presión se debe ajustar la válvula para alcanzar una temperatura máxima de 200ºC? Prob. 10. Prob. 10. Calcule la constante universal de los gases R = 8.314 x 10 3 joules / Kg-mole K, en las siguientes unidades: a) K mol g atm lt o − − b) K mol g erg o − c) K mol g cal o − d) K mol lb lb ft o − − 10 Ver: Kirillin, V. A. et all. (1976). Termodinámica Técnica. Ed. MIR. Moscú. Cap. I, Sec. 4. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 72 72 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 Aire x Línea de suministro de aire TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Prob. 11. Prob. 11. Un chofer infla unos neumáticos a una presión de 28 lb/plg 2 antes de salir a carretera una mañana. La temperatura promedio del aire dentro del neumático es de 16ºC. Después de recorrer cierta distancia encuentra que la presión es de 34 lb/plg 2 . Suponiendo que el volumen del neumático no cambia, que no hay fugas y que el aire se comporta como un gas ideal, ¿cuál ha sido el aumento en la temperatura del aire? ¿Qué ocurre si en ese momento vuelve a poner la presión inicial? ¿Se recomendaría esa operación? Prob. 12. Prob. 12. Un tanque contiene CO2 a una presión de 70 atm y a una temperatura de 250ºK. Suponiendo al CO2 como gas ideal y que el tanque tiene un volumen de 0.01m3, calcúlese: a) La masa en kg-moles de CO2 que contiene el tanque. b) El incremento en la presión si la temperatura aumenta a 750ºK. c) La masa de CO2 que puede sustraerse del tanque a 250ºK antes de que la presión se reduzca a 10 atm. Prob. 13. Prob. 13. Un tanque con un volumen de 0.05 m 3 contiene O2 (peso molecular 32) a una presión de 150 atm y una temperatura de 20ºC. a) Encontrar el número de moles de O 2 en el tanque. b) Encontrar la masa en kg de O 2 en el tanque. c) ¿Cuál es el valor de la presión si la temperatura aumenta a 500ºC? d) A 20ºC, ¿cuántas moles de O 2 pueden extraerse antes de que la presión en el tanque disminuya a 15 atm? Prob. 14. Prob. 14. A 20ºC, un recipiente cerrado herméticamente está por completo lleno de agua líquida. Si aumentamos la temperatura a 25ºC, ¿qué presión ejercerá el agua sobre las paredes del recipiente? Tómese 1 4 10 x 2 − − · C o β y 1 5 ) ( 10 x 5 4 − − · atm . κ . Prob. 15. Prob. 15. Para una sustancia gaseosa se determinaron los siguientes valores: 1.3882 g ocupa un volumen de 420 ml a 220ºC y 747 mm Hg; se sabe, además, que la sustancia está compuesta de C, H y O con la siguiente proporción: C: 70.60%; H: 5.88%; O: 23.52% a) Calcúlese el peso molecular (usando la ecuación de los gases ideales). b) Determínese la fórmula química. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 73 73 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 74 74 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras II. 5. II. 5. Uso y aplicación de la carta de compresibilidad generalizada y de las tablas de vapor. En muchas ocasiones, al analizar el comportamiento de un gas, no es posible aplicar la ecuación de estado de los gases ideales, entonces tenemos que recurrir o bien a resultados experimentales directos, es decir, cifras obtenidas experimentalmente que dan los valores de las variables de estado para un conjunto de estados particulares, estos datos representan un esfuerzo experimental amplio y se registran, organizan y presentan en las llamadas tablas termodinámicas que, para el caso del agua, se denominan tablas de vapor; o bien a otra ecuación de estado que modele adecuadamente el comportamiento del gas en los rangos de de interés de los valores de sus variables termodinámicas, ecuación de estado que también se obtiene por vías experimentales. Por tanto es importante responder a la pregunta ¿Cuándo podemos considerar a un gas como ideal? Recordemos que el modelo teórico de un gas ideal, es el de un conjunto de esferas rígidas sin interacción entre sí, más que a través de choques elásticos (como bolas de billar) de esta manera se eliminan las complejidades derivadas de su estructura molecular y de las fuerzas de interacción entre ellas. Este comportamiento se observa cuando la presión a la que está sometido el gas es relativamente baja, debido a que en estas condiciones el gas se encuentra enrarecido y el camino libre medio de las moléculas que lo componen (trayectoria media entre choques) son grandes, en consecuencia la interacción molecular es despreciable y su comportamiento es muy cercano al de esferas rígidas, al de un gas ideal, independientemente de su temperatura; es conveniente señalar que las condiciones anteriores las podemos acentuar cuando la temperatura del gas es lo suficientemente alta, ya que esto agranda su camino libre medio. Para precisar los términos relativamente y suficientemente, usados en la discusión anterior, se debe partir nuevamente de la ecuación de estado de los gases ideales: T m pV R · . . . (II.14)´´ Al cociente T R v p RT pv mRT pV · · , se le llama factor de compresibilidad y se denota por Z, y se observa que cuando Z = 1, el gas en cuestión se comporta como ideal, por tanto, la desviación de Z desde la unidad es una medida de la desviación que tiene el comportamiento del gas respecto a un comportamiento ideal. La figura 2.9 muestra el comportamiento del factor de compresibilidad (eje-y) del nitrógeno, cuando se hace variar la presión (eje-x) a la que se somete al gas, cada una de las curvas corresponde a una temperatura determinada; a esta gráfica se Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 75 75 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 Fig. 2.9 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras le conoce como carta de compresibilidad. 11 El análisis de estos resultados experimentales confirma, más allá de lo suficiente, el modelo de esferas rígidas para un comportamiento cercano al ideal: 1) Para cualquier temperatura del gas, 1 → Z cuando 0 → p ; el valor de Z se conserva por debajo de la unidad. 2) Para temperaturas K 300 T ≥ , i. e., temperatura ambiente o mayores, 1 ≈ Z hasta presiones del orden de 10 MPa. Lo anterior significa que el nitrógeno se comporta como un gas ideal para temperaturas K 300 T ≥ y en un rango de presiones: a p MP 0 10 ≤ ≤ . 3) Si p es del orden de 4 MPa, muy cercana a la presión crítica y la temperatura está por abajo de la temperatura ambiental, 300 K, entonces Z < 1. Este comportamiento de Z se explica así, al disminuir la temperatura disminuye el volumen específico pero en la realidad esta disminución es más acentuada de lo que predice la ecuación de estado de los gases ideales, es decir, la densidad del gas real es mayor que la predicha por la teoría, ya que la distancia promedio entre las moléculas disminuye, pero la acción de la presión ( a MP 4 ≈ ) acerca aún más a las moléculas, provocando que éstas se atraigan; estas fuerzas de interacción producen un incremento adicional en la densidad, comparada con lo predicho por el modelo que supone al gas como compuesto de esferas rígidas sin otra interacción más que sus choques elásticos. 4) En la región de presiones mayores a 25 MPa, Z > 1. Se explica el aumento del factor de compresibilidad al hecho de que, al comprimirse las moléculas con presiones muy intensas, se reduce mucho la distancia entre ellas, lo que genera fuerzas de repulsión que las separa (evitando la penetrabilidad entre ellas) y de esta manera obligando a la densidad a disminuir (y al volumen específico a aumentar) por debajo de las predicciones de la ecuación de estado de los gases ideales. El análisis anterior se realizó sobre el nitrógeno, sin embargo el comportamiento de Z respecto a la temperatura y la presión es muy similar cualitativamente para todos los gases, por tanto es viable compararlos, esta comparación resulta más eficaz cuando cambiamos las variables temperatura y presión por las variables temperatura reducida y presión reducida, las que se obtienen dividiendo a las originales por su correspondiente valor crítico, es decir: c R c R p p p T T T · · y ; . . . (II.21) Las gráficas de Z, utilizando en su fórmula a estas variables, contra pR, a diferentes TR, concuerdan muy bien para los diferentes gases. 11 Gráfica obtenida del libro: VAN WYLEN, G. J., and et all. (2006). Fundamentos de Termodinámica. Edit. Limusa Wiley. 2ª Edición, México. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 76 76 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras A esta gráfica 12 , mostrada en la figura 2.10, se le conoce como Carta de compresibilidad generalizada. El uso de esta carta permite, bajo condiciones específicas, determinar si un gas tiene un comportamiento ideal o no. Veamos: 1. S i la presión del gas es muy baja, 1 << r p , i. e., c p p << , se cumple el modelo de gas ideal T ∀ . 2. Para temperaturas altas, 2 ≥ r T , i. e., c T T 2 ≥ , el cumplimiento del modelo de gas ideal se extiende hasta las presiones 5 ≤ r p , o sea c p p 5 ≤ . 3. Para temperaturas 2 < r T , i. e., c T T 2 < y presiones c c p p p . 5 5 0 < < , i.e., en las vecindades de la presión crítica y de la curva de vapor saturado, la desviación desde un comportamiento ideal del gas puede ser considerable, a esta región se le llama “región de vapor sobre calentado”. Ahora bien, para determinar el factor de compresibilidad, Z, del estado en el que se encuentre un gas real, primero tenemos que calcular los valores de su presión reducida p R y de su temperatura reducida T R y con ellas ubicar el valor de Z con ayuda de la gráfica anterior; 12 Idem Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 77 77 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 Fig. 2.10 A.1.1 – A.1.2 A.1.3 A.1.4 A.1.5 Fig. 2.12 Línea de vaporización Fase sólida Fase líquida Fase gaseosa Línea de fusión Punto triple Línea de sublimación Punto crítico • p T • TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras obviamente el valor obtenido es aproximado, por lo que es recomendable hacerlo muy cuidadosamente. El coeficiente Z nos da el factor por el cual debe multiplicarse el volumen específico del gas ideal correspondiente, ideal v , para obtener el volumen específico del gas real. Veamos, de la definición de Z se tiene: RT Pv Z · . . . (II.21) Pero para un gas ideal se cumple que: ideal v P RT · , por tanto: ideal real ideal real Zv v v v Z · ⇒ · . . . (II.22) Ecuaciones similares se cumplen para la temperatura y la presión, cuando se da el caso de que estas son las características a determinar. Asimismo, en problemas con gases reales, una vez determinado que no es posible el uso de una ecuación de estado, también se buscan posibilidades de solución a través del uso de las tablas termodinámicas. Éstas contienen mediciones experimentales, debidamente organizadas, para diversas substancias, en general todas guardan el mismo patrón en su estructura, apoyándonos en esto, se presentarán únicamente las “Tablas de vapor” 13 , es decir, las tablas termodinámicas relativas al agua, por ser esta una de las sustancias estables más comunes en la naturaleza y tener una amplia aplicación en la práctica de la ingeniería. La organización de las tablas de vapor es simple. Considere un sistema coordenado cartesiano con eje vertical-p, eje horizontal-T y un punto específico en él (po, To) que servirá como referencia, ver figura 2.11; a través de este punto pasamos dos líneas, que pueden no ser perpendiculares una respecto a la otra y, de esta manera el plano queda dividido en 4 regiones, digamos: A, B, C, D; cada una de éstas se caracteriza por los valores de las coordenadas (p, T) de sus puntos relativos a los del punto de referencia, p. ej., los puntos de la región A tienen una temperatura mayor que la del punto de referencia y una presión también mayor que la de ese punto, etc. Las tablas de vapor consideran para su organización como plano cartesiano al diagrama de fase p-T y como punto de referencia al punto triple. Las líneas de fusión, vaporización y sublimación, que parten del punto triple, parten al plano en regiones; pero deben observarse dos aspectos: 13 Ver Apéndice I. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 78 78 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 p T A B C D (p o , T o ) • Fig. 2.11 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras • La ausencia de una cuarta línea (continuación de la línea de fusión) que, para los procesos reales no existe y que, además, no altera en nada el análisis de los fenómenos. Ver fig. 2.12. • Que las líneas de fusión, vaporización y sublimación, requieren por sí mismas consideración como regiones, en razón a que en ellas se efectúan los procesos que su nombre indica, p. ej., sobre la línea de vaporización se realizan los proceso descritos en la figura 2.4. Así, como se indica en la figura, las tablas de vapor exhibidas en el Apéndice I describen: TABLA REGIÓN TERMODINÁMICA A.1.3 Vapor sobre calentado A.1.4 Líquido comprimido - - - Sólido comprimido (no se presenta tabla) (*) A.1.1 Líquido saturado–vapor saturado (de acuerdo a los valores de T) (**) A.1.2 Líquido saturado–vapor saturado (de acuerdo a los valores de p) (**) A.1.5 Sólido saturado–vapor saturado (de acuerdo a los valores de T) (***) - - - Sólido saturado–líquido saturado (no se presenta tabla) (*) Debe aclararse que, para las regiones donde no se presenta tabla (*), la fuente de datos no las presentó, pero existen; por otra parte, la región Líquido saturado – vapor saturado, presenta dos tablas (**) una de acuerdo a los valores de T y otra a los de p, esto se debe a que durante los procesos de evaporación T y p no son variables independientes; lo mismo ocurre para los procesos Sólido saturado – vapor saturado, sin embargo la fuente solo presenta una tabla para este caso (***). Por lo inmediato anterior, es de importancia que revisemos el concepto de propiedad o variable independiente. Como se sabe, el estado de una sustancia pura compresible se define por dos propiedades independientes; p. ej., T y v determinan el estado de un vapor sobrecalentado, pero cuando consideramos dos estados cualesquiera de una sustancia pura en la región líquido saturado – vapor saturado, es decir, en un cambio de fase, se encuentra que en estos estados T y p son las mismas, pero los estados no, por tanto para estados en esta región T y p, no son variables independientes, es decir, no son útiles para definir unívocamente a un estado termodinámico. En la región mencionada las propiedades independientes serían p y v, pero debería agregarse otra, por eso se utiliza χ, la calidad. La discusión anterior nos lleva a considerar al aire como una sustancia pura y especificar su estado mediante dos propiedades, siempre que permanezca en la fase gaseosa, pero para las transiciones de fase, esto ya no es posible debido a que los diferentes gases que constituyen la “mezcla” aire tienen diferentes puntos de fusión y de evaporación. Cuando se está analizando un proceso de cambio de fase, con el apoyo de las tablas termodinámicas, similares a las tablas de vapor, se utiliza A.1.1, si se conoce de antemano la Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 79 79 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras temperatura y A.1.2, cuando lo que se conoce es la presión. En estas tablas se usa el subíndice f para referirnos a las propiedades de un líquido saturado, el subíndice g para denotar las propiedades del vapor saturado y el subíndice fg para denotar la diferencia entre los valores del vapor saturado y del líquido saturado; esta simbología proviene del idioma alemán, p. ej.: f v es el volumen específico del líquido saturado, g v es el volumen específico del vapor saturado, y f g fg v v v − · Esta misma notación se utiliza, como se verá, para el caso de la densidad de energía interna u y para la densidad de entalpía h (conceptos que se estudiarán en la próxima unidad). Como se estableció al principio de esta unidad la calidad χ en una mezcla saturada de líquido- vapor o vapor húmedo, mezcla que se da en cualquier punto de un cambio de fase líquido- vapor y donde coexisten estas dos fases, se define como: total vapor m m · χ . . . (II.22) Donde g f vapor líqudo total m m m m m + · + · . . . (II.23) Asimismo, si un recipiente que contiene un vapor húmedo, el volumen total ocupado por la mezcla, V, se compone del volumen que ocupa el líquido saturado, Vf, más el que ocupa el vapor saturado, Vg: g f V V V + · . . . (II.24) Como en una mezcla saturada por lo general se desconocen la cantidad de masa de cada fase, es conveniente pensar al sistema compuesto por una mezcla completamente homogénea con las “propiedades promedio” del vapor húmedo bajo consideración, por tanto podemos escribir: g g f f prom t v m v m v m + · . . . (II.25) Y sustituyendo m f de la ecuación (II.23): g g f g t prom t v m v m m v m + − · ) ( . . . (II.26) Ecuación que al dividirla entre m t , se obtiene: fg f g f prom v v v v v χ χ χ + · + − · ) 1 ( . . . (II.27) Despejando de esta expresión a la calidad, se llega a: Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 80 80 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras fg f prom v v v − · χ . . . (II.28) Es obvio que la cantidad prom v tiene un valor intermedio a los correspondientes al líquido saturado y al vapor saturado, es decir: g prom f v v v ≤ ≤ . . . (II.29) El análisis anterior puede repetirse para las densidades de energía interna u y entalpía h, llegándose a ecuaciones similares para estas cantidades. Ejem. 13. Ejem. 13. Un recipiente rígido contiene 80 kg de agua líquida saturada a 90 o C, determinar (a) la presión en el recipiente, y (b) el volumen del recipiente. a) Como el agua se encuentra en un estado de saturación, su situación es como se muestra en la figura y leemos el valor de la presión a la que se encuentra en la tabla A.1.1, esta es: 70.139 kPa. b) En la misma tabla, leemos, para el volumen específico de este sistema: v = 0.001036 m 3 /kg. Entonces para calcular el volumen del recipiente se multiplica esta última cantidad por la correspondiente de masa que aloja, es decir, 80 kg: V = mv = 0.08288 m 3 . Ejem. 14. Ejem. 14. Un dispositivo que consta de cilindro-émbolo contiene 2 ft 3 de vapor de agua saturado a 50 Psi de presión. Determine (a) la temperatura y (b) la masa del vapor dentro del cilindro. (a) Primero cambiemos nuestras unidades al SI. Como 14.696 Psi=1.01325 bar y 1 bar=10 5 Pa, tenemos que: Pa. 338.45 696 14 ) 01325 1 )( 100 )( 50 ( 50 k kPa . . Psi · · Por otra parte, 1 ft = 0.3048 m ⇒ 2 ft 3 = 2 (0.3048) 3 m 3 = 0.0566 m 3 . Ahora bien, la figura muestra el estado de vapor saturado en un diagrama p-v y puesto que la presión debe ser de 338.45 kPa, buscamos el valor de la temperatura en la tabla A.1.2; sin embargo, la tabla no muestra valores de temperatura para este valor de la presión, muestra valores para una presión menor y para una mayor: Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 81 81 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 Vapor saturado a 50 Psi p v v g 50 Psi Líquido saturado a 90ºC T v v f 90ºC TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Para p = 325 kPa --- 136.30ºC y para p = 350 kPa --- 138.80ºC Observamos que en este intervalo de variación de la presión, ∆p = 350 – 325 = 25 kPa, la variación de la temperatura es muy poca: ∆T = 138.8 – 136.3 = 2.5ºC, entonces efectuamos una interpolación para calcular el valor buscado, es decir, suponemos que la variación de la temperatura respecto a la presión es lineal y en consecuencia podemos establecer las siguientes reglas de tres, partiendo del valor más pequeño de la presión p = 325 kPa y correspondientemente para la temperatura. Para que esta última presión alcance el valor de 338.45, le hacen falta 13.45 unidades, entonces: ∆p = 25 kPa --- ∆T = 2.5 13.45 kPa --- x Obteniéndose x = 1.345, valor que debe agregarse a 136.30, dando finalmente, 137.65ºC. (b) Para el cálculo de la masa que hay en el recipiente, primero debemos de calcular el volumen específico del vapor de agua bajo las condiciones indicadas, las cuales leemos en la tabla indicada y con los inconvenientes comentados, así: Para p = 325 kPa --- 0.562 m 3 /kg y para p = 350 kPa --- 0.5243 m 3 /kg Con estos valores obtenemos: ∆p = 25 kPa --- ∆v = -0.0377 13.45 kPa --- x Obteniéndose el valor de x = -0.0202826, valor que debe sumarse al volumen específico de 0.562, dando como resultado: v g = 0.5417 m 3 /kg. El signo menos indica que en la medida en que se aumenta la presión, disminuye el volumen específico. Finalmente la masa del sistema se obtiene dividiendo el volumen del recipiente que contiene al sistema, entre el volumen específico éste: kg . . . v V m 1045 0 5417 0 0566 0 · · · . Ejem. 15. Ejem. 15. Calcule el cambio de volumen de una masa de 550 gr de agua líquida saturada al evaporarse por completo a una presión constante de 150 kPa. En virtud a que conocemos la presión a la que se efectúa el proceso, buscamos en la tabla A.1.2, los valores de los volúmenes específicos para el líquido saturado y para el vapor saturado, se encuentra: kg / m . v . v g f 3 1593 1 y 001053 0 · · , por tanto el cambio en el volumen específico fue : kg / m . . v v v f g fg 3 1.158247 001053 0 1593 1 · − · − · , entonces, el cambio de volumen es: 3 637 0 ) )(1.158247 55 0 ( m . . mv V fg · · · ∆ Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 82 82 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Ejem. 16. Ejem. 16. Un recipiente rígido contiene 18 kg de agua a 85ºC. Si 12 kg están en forma líquida y 6 kg como vapor, determinar (a) la presión y (b) el volumen en el recipiente. (a) Como las dos fases coexisten, se tiene un vapor húmedo, la presión debe ser la presión de saturación a la temperatura de 85ºC. Nos remitimos a la tabla A.1.1, obteniéndose: p = 57.834 kPa. (b) Para la temperatura y presión de saturación dadas, se leen: v f = 0.001032 m 3 /kg y v g = 2.828 m 3 /kg. Una forma de encontrar el volumen del recipiente, es a través de determinar el volumen de cada fase y sumarlas: 3 16.98 ) 828 2 )( 6 ( ) 001032 0 )( 12 ( m . . v m v m V V V g g f f g f · + · + · + · Otra forma. Determine la calidad: 3333 0 18 6 . m m t g · · · χ , luego el volumen específico promedio: fg f v v v χ + · donde kg / m v v v f g fg 3 2.827 · − · , entonces kg / m v v v fg f 3 0.9433 · + · χ y multiplicando este valor promedio del volumen específico por la masa total, se llega a: 3 16.98 )(0.9433) 18 ( m mv V · · · Ejem. 17. Ejem. 17. Un recipiente de 50 l, contiene 12 kg de agua a una presión de 175 kPa. Determine (a) la temperatura, (b) la calidad, y (c) el volumen que ocupa la fase vapor. (a) En este caso no sabemos si el sistema es un líquido comprimido, un vapor húmedo o un vapor sobrecalentado, pero podemos determinarlo si comparamos su volumen específico promedio, v, con los valores de los volúmenes específicos del líquido saturado, v f , y del vapor saturado, v g , para la presión dada; veamos, el volumen específico promedio es: kg / m . m V v 3 0.00417 12 05 0 · · · ; ahora, consultando la tabla A.1.2, se tiene que: v f = 0.001057 m 3 /kg y v g = 1.0036 m 3 /kg; debido a que v se encuentra entre los respectivos valores de líquido saturado y vapor saturado, es decir, g f v v v < < , el sistema se encuentra en un estado de vapor húmedo, por tanto la temperatura del sistema debe ser la de saturación a la presión indicada, es decir: 116.06ºC. (b) La calidad se obtiene desde la expresión fg f prom v v v − · χ , dónde sustituyendo datos se tiene que: 0.00311 001057 0 0036 1 001057 0 00417 0 · − − · . . . . χ (c) Finalmente, la masa del vapor es kg . m m t g 0373 0 12) (0.00311)( · · · χ , por lo que el volumen que ocupa el vapor es 3 0.0374 ) 0036 1 )( 0373 0 ( m . . v m V g g g · · · Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 83 83 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Ejem. 18. Ejem. 18. Determine el volumen específico del vapor de agua a una temperatura de 500ºC y 35 Mpa de presión, utilizando (a) la ecuación de estado de los gases ideales, (b) la carta de compresibilidad generalizada, y (c) compare estos valores con el valor real de 0.006927, obtenido en la tabla A.1.3, vapor de agua sobrecalentado. (a) Primero, para aplicar la ecuación de estado de los gases ideales al vapor de agua, es conveniente conocer su R, consultando la tabla A.10 del apéndice, encontrándose 0.46152 kJ/kg-K, por tanto: 35000 ) 15 273 500 )( 46152 0 ( . . P RT v RT Pv + · · ⇒ · = 0.010195 m 3 /kg. (b) Para el cálculo de Z, es necesario calcular la presión reducida y la temperatura reducida, para ello, los valores críticos del agua son: MPa . P C 12 22 · y K . T C 3 647 · ¸ con estos valores tenemos: 1.591 12 22 35 · · · . P P P C R y 1.1944 3 647 15 773 · · · . . T T T C R ; con estos valores, la gráfica reporta: Z = 0.96, por tanto: 0.0097872 010195 0 96 0 · · · ) . )( . ( Zv v ideal m 3 /kg. (c) El porcentaje de error en cada caso es: x100 real calculado real v v v − , así el error en el caso del gas ideal es de: 47.2%, en tanto que con el uso de la gráfica de compresibilidad generalizada es de: 41.3 % Se observa que aun cuando los dos métodos se alejan del valor real, es más confiable la aproximación el uso de la gráfica de compresibilidad. Ejem. 19. Ejem. 19. ¿Es razonable suponer que en los estados indicados la sustancia se comporta como un gas ideal? a) Oxígeno a 30ºC, 3 MPa b) Metano a 30ºC, 3 MPa c) Agua a 1000ºC, 3 MPa d) R-134 a 20ºC, 100 kPa e) R-134 a -30ºC, 100 kPa a) Para el oxígeno: K .6 154 · c T , MPa . p 04 5 · c ; como MPa p K . 3 y 15 303 · · T , entonces 961 1 6 154 15 303 . . . c · · · T T T R , y 0.6 04 5 3 · · · . p p p c R ; si puede considerarse un gas ideal , dado que la temperatura es alta 2 ≅ r T y la presión reducida 1 6 0 < · . p r . Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 84 84 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras b) Para el metano: K .4 190 · c T , MPa . p 6 4 · c ; como MPa p K . 3 y 15 303 · · T ⇒ 592 1. · r T , y 0.652 · r p , en este caso 2 < r T , y 5 5 0 < < r p . , por tanto la sustancia no se comporta como un gas ideal porque sus coordenadas se encuentran en una región donde su presión es cercana al su valor crítico. c) Para el agua : K .3 647 · c T , MPa . p 12 22 · c ; como MPa p K . 3 y 15 1273 · · T ⇒ 967 1. · r T , y 0.136 · r p , debido a que la presión es muy baja, el sistema se comporta como un gas ideal para todas las temperaturas. d) Para el refrigerante R-134a (Tetrafluoretano): K .2 374 · c T , MPa . p 06 4 · c ; como MPa . p K . 1 0 y 15 293 · · T ⇒ 783 0. · r T , y 0.025 · r p , nuevamente, debido a que la presión es muy baja, el sistema se comporta como un gas ideal para todas las temperaturas. e) Para el refrigerante R-134a: K .2 374 · c T , MPa . p 06 4 · c ; como K .15 243 · T y MPa . p 1 0 · ⇒ 0.65 · r T , y 0.025 · r p , de nuevo, la presión es muy baja, por lo que el sistema se comporta como un gas ideal para todas las temperaturas. Ejem. 20. Ejem. 20. ¿Cuál es el porcentaje de error si se utiliza el modelo del gas ideal para representar el comportamiento del vapor sobrecalentado de R-22 (clorodifluorometano) a 50ºC y 0.03 m 3 /kg? La tabla A.4.2 correspondiente al vapor sobrecalentado de R-22, indica que a la temperatura y volumen específico dados, la presión del sistema es: 0.90 MPa. La tabla A. 8 indica que el R-22 tiene: K .3 369 · c T , MPa . p 97 4 · c y peso molecular de 86.469 k J/kg-K, con este último dato se calcula K kg kJ . . . M R R − · · · 09616 0 469 86 3145 8 . Además, 0.875 · r T , como la temperatura reducida no es mayor o igual a 2, entonces para considerarlo un gas ideal, su presión reducida debería ser muy pequeña. Consideremos a este vapor como un gas ideal, entonces: v R p T · ⇒ Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 85 85 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras . a . a k m kg K K kg kNm . p MP P 0362 1 1,035.76 03 0 323.15) (0.09616)( 3 · · ⋅ ⋅ · Entonces el error que se comete por considerar al sistema como un gas ideal es: i p p e − · , diferencia entre el valor real (el obtenido por las tablas) menos el valor obtenido por la aplicación de la ecuación de los gases ideales: 0.1362 0362 1 9 0 · − · − · . . p p e i , por tanto el error porcentual es: 15.13% 100 x · p e . Por otra parte, la presión reducida 0.181 · c p no es lo suficientemente pequeña como para considerar ideal al gas, más bien es un vapor sobrecalentado, lo que explica que el error porcentual sea grande. II. 6. II. 6. Otras ecuaciones de estado. La figura 2.13 presenta el comportamiento típico de una sustancia pura a través de su diagrama p-v; gráficas de este tipo se obtienen de manera experimental y en general todas las sustancias puras presentan características similares a las mostradas, es decir, cuando la sustancia se encuentra en estado líquido o gaseoso, en la medida en que disminuye la presión aumenta el volumen específico y viceversa. Este comportamiento es más definido decreciente cuando la temperatura de la sustancia es mayor a la crítica (T>Tc), en esta región, como se ha dicho, la sustancia no presenta un cambio de fase, sino únicamente un cambio continuo en su densidad. Si la sustancia se encuentra a la temperatura crítica (T = Tc) entonces la isoterma representativa de los estados del sistema, es una curva que presenta un punto de inflexión en el punto crítico de la sustancia; finalmente, si la temperatura del sistema es menor a la temperatura crítica (T < Tc) la curva representativa del sistema deja de ser estrictamente decreciente, dado que en la región donde se efectúa el cambio de fase (líquido-vapor) es horizontal. La gráfica 2.13 muestra un aspecto de interés adicional. En la fase líquida de una substancia pura, parte que se encuentra a la izquierda del “domo” donde se efectúa el cambio de fase líquido-vapor, en una región no cercana al punto crítico, las variaciones del volumen con respecto a la presión y con respecto a la temperatura, son muy pequeñas, lo que implica que: 0 1 ≅ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · p V V θ β y 0 1 ≅ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ − · θ κ p V V y . . . (II.30) Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 86 86 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 Punto crítico Fig. 2.13 T > T c T c T 1 < T c T 2 < T c p v Vapor • L í q u i d o Líquido - vapor TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Es decir, el comportamiento típico de los líquidos fuera de la región del punto crítico tienen expansividad volumétrica y compresibilidad isotérmica muy pequeños; por tanto, la ecuación de estado nos dice que: kdP dT V dV − · β Y el comportamiento (II.30) permite generar, en la mecánica de los fluidos, el concepto del fluido incompresible, como aquel para el que 0 · ·κ β y que, de acuerdo a la ecuación de estado, su volumen no cambia durante los procesos a los que se le someta. Obviamente, no existen fluidos incompresibles, pero la idealización es muy útil y describe con bastante exactitud muchos casos prácticos. La gráfica 2.13 también ilustra el hecho de que la ecuación de estado de un fluido, 0 ) ( · T , V , p f , es una función bastante compleja, sin embargo también se observa que, para una substancia pura, en la medida en que aumenta la presión o disminuye el volumen específico, el producto pv, para cada isoterma, permanece bastante estable; esta observación se ve corroborada por los resultados de los estudios experimentales sobre el comportamiento del producto pv contra las variaciones de p o de v -1 , mismos que se realizan ya desde la década de los 60´s del siglo pasado en laboratorios de normalización y de muchas universidades. Los resultados experimentales indican que, para un amplio rango de valores de la presión p o del inverso del volumen v -1 del sistema, manteniendo la temperatura constante, el producto pv puede expresarse como una serie de potencias bien de la variable p o de la variable v -1 , a estas series se les conoce como el desarrollo del virial, es decir: Si se considera ) ( p f pv · , entonces:  + + + · · 2 ) ( cp bp a p f pv . . . (II.31) Donde  , c , b , a son constantes para cada temperatura y especie química dada. Sacando como factor común a la constante a y renombrando a las demás constantes  , a c ´ C , a b ´ B · · ; la expresión (II.31) puede escribirse como: ) 1 ( 2  + + + · p ´ C p ´ B a pv . . . (II.32) De esta expresión, los resultados experimentales muestran que para presiones menores a 2 atmósferas, la aproximación de orden cero, modela adecuadamente la situación. Esta aproximación se obtiene cuando se desprecian, por pequeños, los términos cuya variación Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 87 87 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras respecto de p es lineal, cuadrática, etc.:  , p , p 2 , el único término que subsiste es a, al que experimentalmente se le asigna el valor de RT · a , quedando la ecuación (II.32) como: RT · pv . . . (II.14)´ Expresión a la que reconocemos como la ecuación de estado de los gases ideales. Estrictamente, el que a un gas real se le trate como ideal y por tanto que, para los cálculos relativos a sus procesos se utilice la ecuación de estado de los gases ideales, depende de cuánto error podamos admitir en esos cálculos. Es importante señalar que: en la medida en que aumenta el rango de valores en que varía p, aumenta el número de términos que deben ser considerados en (II.32), p. ej., para presiones mayores a 2 atmósferas, pero menores a 15, se encuentra que la relación (II.32) cortada hasta su término lineal, el de primero orden en p, es adecuada. En general, la decisión correspondiente a cuantos términos del desarrollo virial deben considerarse en un problema específico, se toma en base a los valores experimentales que se obtengan para los coeficientes: a, B´, C´, etc., y que al sustituirlos en (II.32) nos describan adecuadamente el fenómeno. Con el resultado RT · a , la ecuación (II.32) se transforma en: ) 1 ( 2  + + + · p ´ C p ´ B pv RT . . . (II.33) Misma que, dividiéndola entre el factor RT, se tiene:  + + + · · 2 1 p ´ C p ´ B pv Z RT . . . (II.34) Donde Z es el factor de compresibilidad. No es difícil comprobar que cuando ) ( -1 v f pv · , se obtiene para el factor de compresibilidad la ecuación:  + + + · · 2 1 v C v B pv Z RT . . . (II.35) A las ecuaciones (II.34) y (II.35) se les conoce como los desarrollos viriales del factor de compresibilidad y a los parámetros:   , C , B ´, C ´, B y los coeficientes viriales. En una gráfica donde ubicamos sobre el eje vertical los valores de Z y en el eje horizontal a los valores de la presión, p, todas las isotermas descritas por la ecuación (II.34), parten del punto (0, 1) entonces, como ya se discutió, una buena aproximación para una isoterma en un intervalo pequeño de variación de p, hasta presiones menores a 15 atmósferas, es una Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 88 88 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras aproximación a través de una línea recta; esta puede obtenerse de (II.34) suponiendo que , _ ¸ ¸ ∂ ∂ p Z es constante, ⇒ Const. 3 2 2 · + + · , _ ¸ ¸ ∂ ∂  p ´ D p ´ C ´ B p Z Es decir, se eliminan los términos con potencia 1 ≥ n , ´ B p Z p · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ ⇒ ·0 ; sustituyendo estos resultados en (II.34) se obtiene: p ´ B Z + ·1 . . . (II.36) Es decir, para presiones bajas la ecuación (II.36) que aproxima localmente a las gráficas de las isotermas, se obtiene conservando únicamente los dos primeros términos del desarrollo virial (II.34). Una aproximación alterna para las isotermas a bajas presiones se obtiene truncando hasta su segundo término a la ecuación (II.35): v B Z + ·1 . . . (II.37) Utilizando la aproximación de orden cero (II.14)´, no es complicado concluir que T R B ´ B ≈ , por lo que sustituyendo este valor en la ecuación (II.36) se llega a: T R Bp Z + ·1 . . . (II.38) La experiencia ha mostrado que esta última ecuación representa de manera muy satisfactoria el comportamiento de muchos vapores a temperaturas subcríticas y en un rango de presiones que se acercan a 15 bars (recuerde que atmósfera bar 1 1 ≅ ) . Los valores de B, el segundo coeficiente virial, depende de la naturaleza del gas y de la temperatura, pero existen valores experimentales de este coeficiente para varios gases. Para presiones mayores a 15 bars pero menores de 50 bars, la ecuación virial de tres términos proporciona resultados que compaginan bastante bien con la realidad. En este caso, la ecuación (II.35) resulta más adecuada que la (II.34), por tanto, para cálculos en este intervalo se usa: 2 1 v C v B pv Z + + · · RT . . . (II.39) La cual es una ecuación cúbica en el volumen; esta ecuación es explícita respecto a la presión, pero para el cálculo del volumen específico v se requiere del uso de computadoras y método iterativos. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 89 89 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Una descripción más precisa del comportamiento p-v-T de un fluido, desde el punto de vista del desarrollo virial requiere, en la medida en que aumentamos el rango de variación de las presiones en las que deseamos describir al sistema, cada vez de más términos relativos al volumen y a la temperatura. Sin embargo, al aumentar el número de términos, se involucran más constantes y los cálculos se tornan más complejos, debido a ello diversos investigadores han propuesto, en el proceso de desarrollo de la termodinámica, diversas ecuaciones de estado con el propósito de describir el comportamiento de las sustancias puras en rangos más amplios de variación de las coordenadas termodinámicas, entre estas ecuaciones tenemos: 1. 2 v a b v p − − · RT . Primera ecuación cúbica de estado, propuesta por Johannes Diderik Van der Waals en 1873 por este investigador; en ella van insertos 2 parámetros: a, b. 2. ) ( b v v a b v p − − − · T RT . Publicada en 1949 por Otto Redlich y J. N. S. Kwong; con ella inició el desarrollo moderno de las ecuaciones cúbicas de estado, cuenta con 2 parámetros: a, b. 3. ) ( b v v a b v p − − − · RT donde a = a c 2 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − + c k T T . Ecuación elaborada por Redlich, Kwong y Soave en 1972; en la que aparecen 2 parámetros: a, b c . 4. ) ( b v b ) b v ( v a b v p − + + − − · RT donde a = a c 2 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − + c k T T . Ecuación propuesta por Peng y Robinson en 1972; esta ecuación también cuenta con 2 parámetros: a, b c . 5. 2 ) 1 ( ) ( 2 2 3 6 3 2 2 0 0 0 v / e v v c v a v a b v / C A B v p γ γ α − + + + − + − − + · T RT T RT RT . Ecuación propuesta por Benedict, Webb y Rubin en 1940; en esta ecuación aparecen 8 parámetros: A0, B0, C0, a, b, c, α, γ. Es evidente que las ecuaciones que permiten una descripción en intervalos más amplios para las variables termodinámicas, son más complejas. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 90 90 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Ejem. 21. Ejem. 21. Los valores notificados para los coeficientes viriales del vapor de isopropanol a 200ºC son: B = -388 cm 3 /mol, y C = -26,000 cm 6 /mol 2 . Calcule v y Z para el vapor de isopropanol a 200ºC y 10 bar con los métodos siguientes: a) La ecuación del gas ideal; b) La ecuación virial de un parámetro; y c) La ecuación virial de dos parámetros. a) De la ecuación de los gases ideales, se tiene: p v RT · , donde T = (200+273.15) K, y R = 83.14 cm 3 bar/mol-K ⇒ mol cm , mol cm v 3 3 934 3 10 3.15) (83.14)(47 · · . En este caso Z = 1. b) Partimos de la ecuación: T R Bp Z + ·1 ⇒ B p R v + · T = 3,934 – 388 = 3,546 cm 3 /mol. En este caso: 0.9014 934 3 546 3 · · · · , , p / R v R pv Z T T ; este valor esta 9.86% por debajo del correspondiente a un gas ideal. c) Ahora se utiliza la ecuación: 2 1 v C v B pv Z + + · · RT , de donde se obtiene: , _ ¸ ¸ + + · 2 1 v C v B p v RT . Una forma de resolver esta ecuación es por medio de un proceso de iteración: , _ ¸ ¸ + + · + 2 1 1 i i i v C v B p v RT , donde en la primera iteración, cuando i = 0, v0 es el valor del volumen específico que corresponde al gas ideal bajo las condiciones del problema. Entonces: 1) , _ ¸ ¸ + + · 2 0 0 1 1 v C v B p v RT ; una vez calculado v1, 2) , _ ¸ ¸ + + · 2 1 1 2 1 v C v B p v RT ; y así sucesivamente … ¿En qué momento se termina el proceso iterativo? 3) En el momento en que i i i v % n v v ) ( 1 ≤ − + , donde n es un número lo suficientemente pequeño, determinado por quien resuelve el problema o por las condiciones de éste. Se deja al lector completar este problema determinando que i i i v % v v ) 5 ( 1 ≤ − + . Ejem. 22. Ejem. 22. Debido a su sencillez, para las ecuaciones de estado cúbicas (Van der Walls y Redlich/Kwong) las constantes pueden calcularse haciendo las consideraciones adecuadas en el punto crítico: (a) El punto (pc, vc) para la isoterma con T = Tc es un punto de inflexión, y (b) en el punto crítico el fluido puede considerarse como un gas ideal. Con estas consideraciones, calcular las constantes a, b, de la ecuación de Van der Walls. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 91 91 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Consideremos la ecuación de Van der Walls: 2 v a b v p − − · RT y la isoterma con T = Tc. Para esta isoterma se cumple que: 0 2 2 · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ c c T T v p v p en el punto de inflexión (pc, vc). Por tanto: 4 2 ) 2 ( ) ( v v a b v R v p c T − − − − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ T = 2 3 ) ( 2 b v R v a − − T . . . (1); similarmente, 4 3 2 2 6 ) ( 2 v a b v R v p c T − − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ T . . . (2); y por la condición del punto de inflexión, se llega al sistema: 4 3 3 2 6 ) ( 2 2 ) ( v a b v R v a b v R · − · − T T ; ahora se hará el cambio de variable z b v · − ⇒ 4 3 3 2 6 2 2 v a z R v a z R · · T T ; la primera ecuación puede escribirse como: 3 3 2 2 2 v a z R z · , _ ¸ ¸ T , ahora sustituimos lo que está entre paréntesis por su equivalente, de acuerdo a la 2ª ecuación: 3 4 2 6 2 v a v a z · , _ ¸ ¸ ; despejando a z, se obtiene: 3 2v z · ⇒ 3 3 2 v v v z v b · − · − · . . . (3) Ahora se sustituye el valor de z en la 1ª ecuación: 3 2 2 3 2 v a v R · , _ ¸ ¸ T ⇒ 8 9 v R a T · . . . (4) Sustituyendo c c p R v c T · en (3) y (4) se obtiene: c p R a 8 9 2 2 c T · y c c p R b 3 T · . Los valores para cada especie química se obtiene sustituyendo las R, Tc y pc correspondientes. II. 7. II. 7. Conclusiones. 1. La termodinámica establece la existencia de las ecuaciones de estado, aun cuando no se tenga la posibilidad de formularla analíticamente. 2. Las ecuaciones de estado se obtienen de manera experimental. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 92 92 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras 3. Las ecuaciones de estado relacionan las coordenadas termodinámicas de los estados de equilibrio de un sistema. 4. Cuando es posible escribir de manera analítica una ecuación de estado, su forma depende de la naturaleza del sistema que describe. 5. En general, las ecuaciones de estado tiene validez sólo en una determinada región de variación de las coordenadas termodinámicas. 6. Cuando se desconoce la ecuación de estado de un sistema o cuando ésta no lo describe adecuadamente, en un rango determinado de valores de las variables, se precisan los estados del sistema a través de mediciones experimentales de sus coordenadas. 7. Las mediciones experimentales de las coordenadas de los sistemas termodinámicos se encuentran organizadas en las llamadas “Tablas termodinámicas”. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 93 93 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras PROBLEMAS. SECCIÓN 3 Prob. 1. Prob. 1. Calcular las constantes a, b, de la ecuación de Redlich/Kwong. Prob. 2. Prob. 2. Determine si el agua en cada uno de los estados siguientes es un líquido comprimido, un vapor sobrecalentado o una mezcla de líquido saturado y vapor a) 18 MPa, 0.003 m 3 /kg b) 1 MPa, 150ºC c) 200ºC, 0.02 m 3 /kg d) 10 kPa, 10ºC e) 130ºC, 200 kPa f) 70ºC, 1 m 3 /kg Prob. 3. Prob. 3. Determine la calidad (si es saturado) o la temperatura (si es sobrecalentado) de las sustancias siguientes en los estados que se indican a) Agua en 1: 120ºC, 1 m 3 /kg; 2: 10 MPa, 0.2 m 3 /kg b) Nitrógeno en 1: 1 MPa, 0.03 m 3 /kg; 2: 100 K, 0.3 m 3 /kg c) Amoniaco en 1: 0ºC, 0.1 m 3 /kg; 2: 1000 kPa, 0.145 m 3 /kg d) R-22 en 1: 130 kPa, 0.1 m 3 /kg; 2: 150 kPa, 0.17 m 3 /kg Prob. 4. Prob. 4. Un depósito de agua contiene líquido y vapor en equilibrio a 110ºC. La distancia desde el fondo del depósito al nivel del líquido es de 8m. ¿Cuál es la presión absoluta en el fondo del depósito? Prob. 5. Prob. 5. Se construye un depósito de 400 m 3 para contener gas natural licuado, GNL, que se supone equivale a metano esencialmente puro. Si el depósito debe contener 90% de líquido y 10% de vapor, en volumen, a 100 kPa, ¿qué masa de GNL (kg) contendrá el depósito? ¿Cuál es la calidad en el depósito? Prob. 6. Prob. 6. Un depósito de 500 l almacena 100 kg de nitrógeno gaseoso a 150 K. Para diseñar el depósito se debe estimar la presión y se recomiendan tres métodos diferentes. ¿Cuál es el más exacto y cómo difiere en porcentaje de los otros dos? a) Ecuación de estado de Benedict-Webb-Rubin b) Tablas del Nitrógeno. c) Gas ideal Prob. 7. Prob. 7. El agua líquida saturada a 60ºC se somete a presión para disminuir el volumen en 1% manteniendo la temperatura constante. ¿A qué presión se debe comprimir? Prob. 8. Prob. 8. El vapor de agua saturado a 60ºC se le ha disminuido la presión para incrementar el volumen en 10% mientras se mantiene constante la temperatura. ¿A qué presión se debe expandir? Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 94 94 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 TERMODINÁMICA UNIDAD II. Propiedades de las sustancias puras Prob. 9. Prob. 9. Un conjunto de cilindro y pistón contiene agua a 105ºC y 85% de calidad, con un volumen de 1 l. El sistema se calienta, lo que hace que el pistón se eleve y encuentre un resorte lineal como se muestra en la figura. En este punto el volumen es de 1.5 l, el diámetro del pistón es de 150 mm y la constante del resorte es de 100 N/mm. El calentamiento continúa, de modo que el pistón comprime al resorte. ¿Cuál es la presión del cilindro cuando la temperatura llega a 600ºC? Prob. 10. Prob. 10. Un depósito de acero contiene 6 kg de propano (líquido + vapor) a 20ºC con un volumen de 0.015 m 3 . Ahora el depósito se calienta lentamente. ¿Se elevará el nivel del líquido en el interior hasta la parte más alta o descenderá hacia el fondo del depósito? ¿Qué sucede si la masa inicial es de 1 kg en lugar de 6 kg? Prob. 11. Prob. 11. Dos depósitos que contienen agua, se conectan como se muestra en la figura. El depósito A está a 200 kPa, v = 0.5 m 3 /kg, VA= 1 m 3 , y el depósito B contiene 3.5 kg a 0.5 MPa y 400ºC. Se abre la válvula y los dos depósitos llegan a un estado uniforme. Calcule el volumen específico final. Prob. 12. Prob. 12. Un depósito contiene 2 kg de nitrógeno a 100 K con una calidad de 50%. Por medio de un medidor de flujo y una válvula se retiran 0.5 kg mientras la temperatura permanece constante. Determine el estado final en el interior del depósito y el volumen de nitrógeno que se elimina si la válvula y el medidor se colocan en (a) La parte superior del depósito. (b) El fondo del depósito. Miguel Angel Jiménez Zavaleta Miguel Angel Jiménez Zavaleta Pág Pág 95 95 Rev.4 09/12 Rev.4 09/12 H 2 O A B