CAP´ITULO1 Espacios de Probabilidad 1.1. Introducci´ on El objetivo de la Teor´ıa de Probabilidad es desarrollar y estudiar modelos matem´aticos para experimentos cuyos resultados no pueden predecirse con exactitud. A´ un cuando la historia de la teor´ıa de probabilidades tiene ya varios siglos, y muchos autores consideran que se inici´o con la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre de Fermat sobre juegos de azar en el siglo XVII, se puede decir que no fue hasta el siglo XX cuando esta teor´ıa alcanz´o un desarrollo notable. Uno de los principales problemas por los cuales este desarrollo no ocurri´o antes fue la ausencia de una axiomatizaci´ on adecuada de las probabilidades, que le diese una base s´olida y le permitiese desarrollarse al igual que otras ramas de la Matem´ atica. En 1933, A. N. Kolmogorov propone una axiomatizaci´ on usando las ideas de la Teor´ıa de Medida, desarrollada a principios del siglo XX por H. Lebesgue. Esta axiomatizaci´ on propone modelar los experimentos que tienen comportamiento aleatorio usando un espacio de medida. A´ un cuando el desarrollo pleno de estas ideas est´a m´as all´a del alcance del material que presentamos, vamos a considerar este enfoque axiom´atico en las pr´oximas secciones, presentando numerosas aplicaciones de estas ideas. El objetivo de la Teor´ıa de Probabilidades es desarrollar modelos para experimentos que est´an gobernados por el azar y estudiar sus propiedades y aplicaciones. El modelo fundamental para un experimento de este tipo, como el lanzamiento de un dado, es el Espacio de Probabilidad, que describimos en las siguientes secciones. 1.2. Espacios de Probabilidad. Cada resultado posible de un experimento aleatorio ser´a llamado evento elemental y el conjunto de los eventos elementales ser´ a el espacio muestral. Usualmente, denotaremos con Ω el espacio muestral, y mediante ω los eventos elementales (o puntos de Ω). Veamos algunos ejemplos de experimentos aleatorios y sus espacios muestrales asociados. 1. En una f´ abrica se toma uno de los art´ıculos producidos y se prueba para determinar si es defectuoso. En este caso podemos considerar Ω = {B, D}, donde B indica bueno y D defectuoso. Si en cambio se extraen n art´ıculos y se prueban, podemos considerar Ω = {(1 , 2 , . . . , n ) : i = 0 ´o 1; i = 1, . . . , n} donde i = 0 indica que el i-´esimo art´ıculo es bueno y i = 1 indica que es defectuoso. Es decir, Ω 2 CAP´ ITULO 1. ESPACIOS DE PROBABILIDAD es el conjunto de n-uplas o vectores P de dimensi´on n de ceros y unos. En este caso Ω consta de 2n n eventos elementales y, en particular, i=1 i representa el n´ umero de objetos defectuosos del evento elemental (1 , 2 , . . . , n ). 2. En un punto de una carretera contamos el n´ umero de veh´ıculos que pasan durante un cierto lapso de tiempo. En este caso podemos tomar Ω = {0, 1, 2, . . . }, es decir el conjunto de los enteros nonegativos. Podemos, sin embargo, tomar otros conjuntos como espacio muestral en este caso. Por ejemplo, si sabemos que el n´ umero de veh´ıculos considerados no supera los mil, podemos considerar Ω1 = {n : 0 ≤ n ≤ 1, 000}, aunque no necesariamente del hecho de que Ω1 sea subconjunto de Ω, se concluye que la descripci´ on del experimento aleatorio mediante Ω1 sea m´as simple que la que se obtiene usando Ω. 3. En una sucesi´ on de c´ alculos realizados con una computadora, observamos los primeros k d´ıgitos no tomados en cuenta al truncar los resultados de las operaciones en una cierta cifra decimal. En este caso podemos tomar como espacio muestral Ω = {(a1 , . . . , ak ) : ai ∈ Z, 0 ≤ ai ≤ 9} 4. En una f´ abrica de componentes electr´onicos se eligen varios al azar y se conecta cada uno de ellos hasta que se da˜ na, observando en cada caso el tiempo de vida. Si se trata de un solo componente podemos tomar Ω = {t : t ∈ R, t ≥ 0} es decir, el conjunto de n´ umeros reales no-negativos. Si se consideran n componentes, podemos tomar Ω = {(t1 , t2 , . . . , tn ) : ti ∈ R, ti ≥ 0}. 5. Se lanza un dado repetidamente y se cuenta el n´ umero de lanzamientos hasta que salga el 6 por primera vez. En este caso el espacio muestral es el conjunto de los n´ umeros naturales: Ω = {1, 2, 3, . . . }. 6. Se mide la presi´ on y temperatura en una estaci´on meteorol´ogica. Aqu´ı, Ω = {(p, t) : p > 0, t ∈ R}. 7. Se escoge un punto al azar lanzando un dardo a un disco de radio un metro. En este caso el espacio muestral es el conjunto de puntos del plano que estan dentro de la circunferencia de radio 1: Ω = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}. Definici´ on 1.1 Si al realizar un experimento obtenemos como resultado el evento elemental ω, decimos que el evento A ⊂ Ω ha ocurrido si ω ∈ A En la pr´ actica, al realizar un experimento nos interesa con frecuencia saber si alg´ un subconjunto de Ω ha ocurrido. A estos subconjuntos los llamaremos eventos o sucesos. En el ejemplo 1 podemos estar interesados en el subconjunto: “entre los n art´ıculos extra´ıdos hay d defectuosos”, es decir, en el subconjunto de Ω definido por {(1 , . . . , n ) : i = 0 ´o 1, n X i = d}. 1 En el ejemplo 3 nos interesar´ a saber, por ejemplo, si la primera cifra no tomada en cuenta al truncar es mayor o igual que 5, o sea, {(a1 , . . . , ak )} : 0 ≤ ai ≤ 9, a1 ≥ 5}. Es decir. pediremos que “no ocurre A” tambi´en sea un evento.2 Una familia A de subconjuntos de Ω que satisface las condiciones a. ω ∈ / A} es el complemento de A. . es decir. si A es un evento. . la colecci´on de todos los subconjuntos de Ω. A1 . Cualquier otra σ-´algebra debe contener a T y estar contenida en P(Ω). . por lo tanto. . . ∅. Para cualquier conjunto Ω. El conjunto vac´ıo. Estas familias son la segunda componente de nuestro modelo para un experimento que depende del azar. y es necesario considerar σ-´algebras m´as peque˜ nas. por las leyes de de Morgan. En experimentos m´ as complicados. En primer lugar a. Ak ∈ A ⇒ n=1 An ∈ A. . En efecto. Estamos interesados. normalmente tomamos como σ-´ algebra de eventos el conjunto de partes de Ω. “ocurre alguno de los An ” tambi´en es un evento. A ∈ A ⇒ Ac ∈ A donde Ac = Ω − A = {ω : ω ∈ Ω. familias A de eventos. . Ω ∈ A es decir que al realizar el experimento el resultado es un elemento de Ω. . . ) ⇒ ∞ [ An ∈ A n=1 Definici´ on 1. y deben satisfacer una serie de condiciones. 2. . no siempre es posible tomar esta opci´ on. es un evento. 3 An´ alogamente. . A1 . An . A2 . son eventos. con una cantidad no-numerable de resultados posibles. 8. !c ∞ ∞ \ [ c An = An n=1 n=1 y basta ahora aplicar b y c. . ya que ∅ = Ωc .2. la familia A tambi´en debe satisfacer que si A1 . por ejemplo experimentos con un conjunto finito de resultados. es decir {(pi . . ∈ A ⇒ n=1 An ∈ A. Las siguientes propiedades se obtienen como consecuencia inmediata de la definici´on: 1. en considerar familias de subconjuntos de Ω. En adelante supondremos que las familias de eventos son σ-´algebras. en la situaci´ on planteada en 6. A2 . Basta considerar An+1 = An+2 = · · · = ∅ y aplicar la propiedad anterior y c. En el caso de experimentos sencillos. el conjunto de partes de Ω. nos interesar´an eventos del tipo: “la presi´on est´a comprendida entre p1 y p2 y la temperatura entre t1 y t2 ”. t1 ≤ t ≤ t2 }. . b. . . . T∞ 3. Finalmente.1. La mayor σ-´ algebra de subconjuntos de Ω es P(Ω). Sk 2. . . A Ω lo llamaremos evento cierto. ESPACIOS DE PROBABILIDAD. es decir. Veamos qu´e condiciones debe cumplir la familia de eventos A. b y c se llama una σ-´ algebra de subconjuntos o partes de Ω. An ∈ A (n = 1. ti ) : p1 ≤ p ≤ p2 . A2 . . o sea c. ∅}. la σ-´ algebra m´as sencilla es la σ-´algebra trivial T = {Ω. Ejemplos. An . . P (Ω) = 1 El evento cierto tiene probabilidad igual a 1. DDB. 2. Estamos interesados en asignar a cada evento A ∈ Ω un n´ umero real P (A). Tenemos. ya que hay tres lugares posibles para el objeto defectuoso en la muestra. DBD. A3 : “No hubo defectuosos”. De la producci´on de una f´abrica se extrae un art´ıculo al azar y se determina si es bueno o defectuoso (B o D. Se devuelve este art´ıculo al stock y se extrae de nuevo al azar un art´ıculo. La tercera componente del modelo es una (medida de) probabilidad. ya que en cada una de las tres extracciones hay dos resultados posibles. Podemos ahora combinar estos eventos utilizando operaciones de conjuntos. es decir. Si An ∈ A para n = 1. son eventos disjuntos dos a dos.CAP´ ITULO 1. BDB. Esta operaci´on se repite una vez m´as. Los eventos definidos son: A1 = {BBB. 2. por ejemplo. De una poblaci´on de N art´ıculos entre los cuales hay n defectuosos. El espacio muestral es: Ω = {BBB. que llamaremos la probabilidad de A. Consideramos los siguientes eventos: A1 : “El segundo art´ıculo result´ o bueno” A2 : “Se obtuvo un solo defectuoso en las tres extracciones”. A1 ∩ A2 = {BBD. DDD} Observamos que hay 23 eventos elementales. ESPACIOS DE PROBABILIDAD 4 9. que definimos a continuaci´on. de modo que en total se extraen tres. DBB. . una σ-´algebra de subconjuntos de Ω. . 3. DBD} A2 = {BBD. DBB} Ac1 ∪ Ac2 = {BBB. se extraen sucesivamente r sin reposici´on y se cuenta el n´ umero de defectuosos en la muestra. de modo tal que se cumplan las siguientes condiciones: 1. Muestreo con reposici´ on. BDD. BBD. BDB. DBD} 10. DBD. BBD. Definici´ on 1. es decir. . El espacio muestral contiene todos los subconjuntos de r elementos tomados entre los N dados. entonces P ∞ [ n=1 ! An = ∞ X n=1 P (An ) . DDD} A1 ∩ Ac2 = {BBB. BDB. P (A) ≥ 0 para todo A ∈ Ω La probabilidad de un evento cualquiera es un n´ umero real no negativo.3 Sean Ω un espacio muestral y A una familia de eventos de Ω. El evento A2 contiene 3 puntos muestrales. respectivamente). DDB. tales que Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j. BDD. DBB} A3 = {BBB} El n´ umero de eventos elementales incluidos en A1 es 22 ya que el resultado de la segunda extracci´ on est´ a fijo. que puede ser el mismo. Muestreo sin reposici´ on. DBB. . P )... ..... ..... . ... . . ... . Como Ac ∪ A = Ω y Ac ∩ A = ∅ se tiene P (Ac ) + P (A) = 1.. consideremos A1 = Ω y Ai = ∅.. . . . . ......... .... En consecuencia P (∅) = 0..... .. .... i ≥ 3 y aplicar la condici´on 3 de la definici´on de espacio de probabilidad...... .... . ... 5 Una terna (Ω....... .. . 3....´ 1. ... Usaremos la notaci´on A + B para indicar la uni´ on de los conjuntos A y B cuando ellos son disjuntos.. . 1 .. (4) A1 ⊂ A2 ⇒ P (A1 ) ≤ P (A2 ). A..... .. (2) A1 ∩ A2 = ∅ ⇒ P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ).... ....... .. . An son disjuntos dos a dos entonces ! n n X [ P (Ak )..... P (Ω) = P Ai = P (Ω) + i=2 i=1 Luego ∞ X P (Ai ) = 0 i=2 y como P (Ai ) ≥ 0 para todo i se tiene que P (Ai ) = 0 para i ≥ 2. ......... . . .. El problema de c´ omo definir la funci´ on P . ......... . . .... Algunas Consecuencias de la Definici´ on. Veamos a continuaci´ on algunas consecuencias de la definici´on anterior... .... .. P Ak = k=1 k=1 (3) P (Ac ) = 1 − P (A)... .......... Resulta ! ∞ ∞ X X P (Ai ).... .. ...... . ...3.. ... A2 A Ω .. . . . de c´omo asignar una probabilidad a cada evento...... o sea... ... .. . . ..... En efecto. .. . ...... .. ... . ...... ...... ......3. ......... . .. Como A2 = A1 + (A2 ∩ Ac1 ) resulta P (A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ∩ Ac1 ) . i = 2.... formada por un espacio muestral Ω.. ALGUNAS CONSECUENCIAS DE LA DEFINICION..... . ..... ....... debe ser resuelto de acuerdo a las condiciones concretas de cada experimento aleatorio en consideraci´ on....... 1.... una familia A de eventos y una probabilidad P se llama un espacio de probabilidad. (1) P (∅) = 0. .... ........ . De manera similar se puede demostrar que P es finitamente aditiva: Si A1 ...... .. Basta considerar Ai = ∅. ..... Entonces Ai ∈ A cualquiera que sea i y adem´ as si i 6= j se tiene Ai ∩ Aj = ∅. .. ................................................................................ .................................. .......................................... .......... .......................... ...... An+1 ........... ............ ........... .......................................... n→∞ n→∞ n→∞ (8) P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 )........... .................................................. .. ..... S∞ (6) A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · ⇒ P ( n=1 An ) = limn→∞ P (An )............................. ............ ..................... .... .......... ................ considerando que A1 ∪ A2 = A1 + (A2 ∩ Ac1 ) y A2 = (A1 ∩ A2 ) + (Ac1 ∩ A2 ) despu´es de aplicar (2) a ambas igualdades y restar resulta la proposici´on (6)...................................................... ....... .... ...... .................... ...... .................... ............................................ .................... ........ ...... ........ .......... .................. ........ .. .................... ... ................................... ....................................... .. ... .............................. .... y resulta ∞ [ Ai = i=1 ∞ X Bi i=1 y entonces P( ∞ [ Ai ) = P ( ∞ X Bi ) = n X = lim n→∞ P (Bi ) i=1 i=1 i=1 ∞ X P (Bi ) = lim P ( n→∞ i=1 n X Bi ) = lim P (An )......................... ...... .................................. ........................ ... ...... ....................... ..... ......................... ..................... .................. Esto es consecuencia inmediata del punto anterior al considerar que A ⊂ Ω...................... ..... .............. ............. .... ... .............. ESPACIOS DE PROBABILIDAD 6 Figura 1.... ...................n ............ (5) P (A) ≤ 1 para todo A ∈ A...................................................................... ..................... ................................. ...................7 y en consecuencia P (A1 ) ≤ P (A2 ) ya que P (A2 ∩ Ac1 ) ≥ 0........................................ .............. ............................................ ....... {Acn } es creciente... ........................................ .......... ........... .................................................. Figura 1........ ................ ...... ............... ...................................... ........ ............................. .......... .................................................... ... A2 .................. ........ ....... .......... ......................................................... En efecto............... ............ ....... ................................................. .CAP´ ITULO 1. ............. .... .......................... .......... . ............................ ........................... .............................8 (7) A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ · · · ⇒ P ( Como la sucesi´ on P T∞ n=1 An ) = limn→∞ P (An )........................................... ................................................................................ ............................................................ ...................... .......................... ..................... .............. ................ ....... . ..................................... ............................. ................. .................................. ............... usando (7) obtenemos ! !c ! ! ∞ ∞ ∞ \ [ [ c c An = P An =1−P An n=1 n=1 n=1 = 1 − lim P (Acn ) = 1 − lim (1 − P (An )) = lim P (An )........... ...... ................. ....................... i=1 n→∞ A1 A..................... Sean B1 = A1 Bn = An ∩ Acn−1 si n > 1.... ...... . ..<ik ≤n k=1 Queremos deducir de (1..... .. . . ... ..... ................ 7 .... .. (1.. i=1 Pongamos entonces B = P n+1 [ Sn i=1 Ai y apliquemos la propiedad (6) a ! Ai = P (B ∪ An+1 ) = P (B) + P (An+1 ) − P (B ∩ An+1 ) i=1 =P n [ i=1 ! Ai + P (An+1 ) − P ( n [ (Ai ∩ An+1 ))... . Veamos qu´e nos queda.... . .... ALGUNAS CONSECUENCIAS DE LA DEFINICION... .... .. .1) i=1 1≤i1 <i2 <..... ...... . . P (A1 ) + · · · + P (An ) + P (An+1 )... .... ... . .... ...... .. ....... Suponemos entonces que el resultado es cierto para n y queremos deducir que tambi´en lo es para n + 1........ Reemplazando las dos u ´ltimas expresiones en la primera obtenemos el resultado......... .´ 1.... .......... .......... ..... ..... .. en primer lugar. .. .. .. .. .. ..........3....... .. . . . ...1) que tambi´en es v´alida una f´ormula an´aloga para ! n+1 [ P Ai ...... .. .. . . Para ver esto apliquemos (8) a los eventos A ∪ B y C.. .. .... .. .. ..... Para demostrar esta proposici´ on procedemos por inducci´on completa en n siguiendo la misma idea que en la anterior..... . ...... .. ....... . ..... ..... ..... ..... ..... .... Ω Figura 1......... ...... A1 ........... A2 . obteniendo P (A ∪ B ∪ C) = P (A ∪ B) + P (C) − P ((A ∪ B) ∩ C) y de manera similar P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) P ((A ∪ B) ∩ C) = P ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) = P (A ∩ C) + P (B ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C)........ .... .... ¿Qu´e significa que el resultado es cierto para n? Significa que ! n n [ X X P Ai = (−1)k+1 P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik ) (1.... en lugar de cada Ai ponemos Ai ∩ An+1 . .. ........ . .1) y el u ´ltimo tambi´en s´olo que. ... ...9 (9) P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C). .... que corresponde al caso n = 3.. . .... Sn Pn Pn (10) P ( i=1 Ai ) = i=1 P (Ai ) − i<j=2 P (Ai ∩ Aj ) + · · · + (−1)n+1 P (A1 ∩ · · · ∩ An )..... . .........2) i=1 El primero de estos tres t´erminos lo reemplazamos utilizando (1..... .. Para n = 2 es la propiedad (8).... .... .2). 1.. En una situaci´ on como la descrita. 2. Esta definici´ on se conoce como la definici´ on cl´ asica y fue propuesta. De la misma manera. .2) y tenemos uno s´ olo en el tercero que es: (−1)n+2 P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ∩ An+1 ). m es decir que si todos los eventos elementales son igualmente probables. la probabilidad de un evento A es el cociente entre el n´ umero de elementos que pertenecen a A y el n´ umero total de elementos de Ω. queda una suma de la forma X X P (Ai1 ∩ · · · ∩ Aik )−(−1)k P (Ai1 ∩ · · · ∩ Aik−1 ∩ An+1 ) (−1)k+1 1≤i1 <i2 <. Probabilidades en Espacios Finitos.2) y el segundo. .<ik ≤n+1 k=1 Ejemplos y Aplicaciones. para k = n + 1. entre otros. En este sentido. . las t´ecnicas combinatorias facilitan estos c´alculos. 2. Elijamos m n´ umeros reales pi .. Sean Ω = {ω1 . en la cual todos los resultados posibles del experimento tienen la misma probabilidad de ocurrir. del tercero de (1. En segundo lugar − X P (Ai1 ∩ Ai2 ) − 1≤i1 <i2 ≤n n X P (Ai ∩ An+1 ) = − X P (Ai1 ∩ Ai2 ).4. Juntando todos los t´erminos resulta ! n+1 n+1 [ X P Ai = (−1)k+1 i=1 1. 1≤i1 <i2 ≤n+1 i=1 Aqu´ı el primer sumando viene del primero de (1..<ik ≤n 1≤i1 <i2 <. 1≤i1 <i2 <. . .1.CAP´ ITULO 1. para k ≤ n. m. el problema de calcular la probabilidad de un evento se reduce a contar cu´ antos resultados posibles tiene el experimento y cu´antos de estos pertenecen al evento que nos interesa. . X P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik ). tales que p ≥ 0. 1≤i1 <i2 <. .. .. no tenemos ning´ un t´ermino en el primer sumando de (1. para todo i. queda definida la probabilidad para todo evento A ∈ A mediante la asignaci´ on X P (A) = pi .. ωm } un conjunto finito y A = P(Ω) la familia de todos los subconjuntos de Ω. .<ik−1 ≤n = (−1)k+1 X P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik ). .4. y ahora si A tiene n elementos P (A) = n .2) y el u ´ltimo del segundo sumando. por Laplace. . ESPACIOS DE PROBABILIDAD 8 los primeros n provenientes del primer sumando en (1.<ik ≤n+1 Finalmente.. i m X pi = 1. m). i:ωi ∈A Un caso particular de inter´es es aquel en el cual pi = 1/m para todo i. i = 1. i=1 Poniendo P (ωi ) = pi (i = 1. Si los n´ umeros del ejemplo anterior se escogen con reposici´on ¿Cu´al es la probabilidad de obtener 1. en orden y sin reposici´on. EJEMPLOS Y APLICACIONES. 1 ≤ a. porque no podemos repetir el n´ umero que ocupa la primera componente. Ω = {(a. el juego de ruleta o la extracci´ on de una carta de un paquete que ha sido bien barajeado. podemos determinar si los resultados posibles tienen la misma probabilidad por consideraciones de simetr´ıa sobre el experimento que estamos analizando. Si lanzamos dos dados. 5). (5. Por supuesto que en la pr´ actica esto puede no ser cierto: el dado puede no ser perfectamente sim´etrico. 1. Para cada componente tenemos ahora 10 posibles valores. Los resultados que tienen componentes cuya suma es 7 son (1. en este orden? En este caso el espacio muestral incluye vectores con componentes repetidas: Ω = {(a. en este orden? En este problema podemos describir el espacio muestral como el conjunto de todos los vectores de tres componentes tomadas de los enteros del 1 al 10. c) : 1 ≤ a. 3. Finalmente.001. c) : 1 ≤ a. b ≤ 6}. El evento que nos interesa corresponde a un resultado particular. 2 y 3. para la tercera hay 8 posibilidades. la respuesta al ejemplo es 1/720. Algo similar sucede con el lanzamiento de una moneda. Como todos tienen la misma probabilidad. b. que lanzamos un dado primero y luego el otro. pero por los momentos no nos ocuparemos de este problema. De los n´ umeros del 1 al 10 escogemos tres al azar.4. b. . c ≤ 10. la respuesta en este caso es 1/1. Por lo tanto tenemos que contar cuantos elementos hay en Ω para saber cu´al es la probabilidad de cada uno de ellos. o la ruleta puede estar desbalanceada y favorecer ciertos resultados. y por lo tanto asumimos como modelo que todos los resultados son equiprobables. b. Para determinar si este es el caso existen procedimientos estad´ısticos que permiten contrastar la hip´otesis de simetr´ıa. Por lo tanto un espacio muestral adecuado para este experimento es el conjunto de pares ordenados formados con los enteros del 1 al 6. de modo que el espacio tiene 103 = 1. distintos}. c ≤ 10}. 2. 000 puntos. con reposici´on: Ω = {(a. en principio no hay razones para suponer que alguna cara tenga mayor o menor probabilidad de ocurrir que las dem´ as. 3). Como todos tienen la misma probabilidad. 000 = 0. 2). b. (2. 6). (4. si se trata del lanzamiento de un dado. todos los vectores del espacio tienen la misma probabilidad. 4). 3). Por ejemplo. 2 y 3. 1). (6. 2. sin repetir ninguna componente. ¿Cu´al es la probabilidad de obtener 1. Como estamos muestreando al azar. b). para facilitar el razonamiento. el vector (1. Veamos algunos ejemplos. (3. ¿Cu´ al es la probabilidad de que la suma sea 7? Vamos a suponer. Para la segunda s´ olo tenemos 9 posibilidades. Por lo tanto tenemos 10 × 9 × 8 = 720 puntos en el espacio muestral. En este caso todos los eventos elementales de Ω tienen la misma probabilidad: 1/36.1. 9 En un problema espec´ıfico. La primera componente del vector la podemos escoger de 10 maneras. (3) un ´aguila y un sol. Un caso similar al desarrollado en la secci´on anterior se presenta cuando Ω es un conjunto infinito numerable: X Ω = {ω1 . A = P(Ω) y P (A) = pi . ¿cu´ al es la probabilidad de obtener un ´aguila y un sol? Este problema lo hemos incluido para resaltar una dificultad importante que se ejemplifica con el razonamiento de D’Alembert. Por ejemplo. Esto es obvio si lanzamos una moneda tras otra y no simult´aneamente. 5. y concluy´ o que la probabilidad de obtener un ´aguila y un sol es 1/3. quien argument´o que s´ olo hay tres casos posibles en esta situaci´on: (1) dos aguilas. . i=1 . Si sabemos que uno de los lanzamientos fue A. Haremos una observaci´on importante sobre este caso en la secci´ on ??. para tener una suma de 2. 3. Por lo tanto la probabilidad es 2/3. ω2 . para todo i. . nos quedan tres resultados posibles y de ellos en dos casos el otro lanzamiento es S. 7.2. 9. ambos dados tienen que salir 1. }. 11.4. 6. . 1. Si lanzamos una moneda dos veces y una de las veces sale ´aguila ¿Cu´al es la probabilidad de que el otro lanzamiento haya sido sol? Para este ejemplo el espacio muestral es Ω = {SS. 36 6 En este ejemplo podemos considerar otro espacio muestral: el conjunto de las sumas posibles Ω0 = {2. el u ´ltimo caso en realidad debe separarse en dos: (3a) La primera moneda es ´ aguila y la segunda es sol.CAP´ ITULO 1. pues en este caso el segundo tiene dos posibilidades A y S con igual probabilidad. (2) dos soles. 12}. 10. (3b) La primera moneda es sol y la segunda es ´aguila. y acabamos de ver que la probabilidad de que la suma sea 7 es 1/6. ESPACIOS DE PROBABILIDAD 10 Por lo tanto la probabilidad de que la suma de los dados sea 7 es 6× 1 1 = . i:ωi ∈A donde los n´ umeros pi verifican p ≥ 0. i ∞ X pi = 1. 4. La situaci´ on ser´ıa distinta si nos dicen que el primer lanzamiento result´o A. SA. AA} y todos los resultados tienen igual probabilidad de ocurrir. . 5. Probabilidades en Espacios Numerables. . . Por lo tanto la respuesta correcta es 2/4 = 1/2. 8. ωm . Si lanzamos dos monedas. AS. El problema para usar este espacio como base para nuestro an´alisis es que sus elementos no son equiprobables. 4. famoso matem´atico franc´es del siglo XVIII. Como hemos visto. . y la respuesta en este caso ser´ıa que la probabilidad es 1/2. lo cual tiene probabilidad 1/36. o si las monedas son distinguibles. 1] es 1. Tenemos que verificar que esta asignaci´on define una probabilidad y para esto es necesario que ∞ X pn = 1.5) Lamentablemente. ya que de ser as´ı no pueden satisfacer las condiciones anteriores. Tenemos que A = {2.4) obtenemos que la suma pn vale 1. Vemos que la probabilidad de obtener ‘Aguila’ por primera vez en el n-´esimo lanzamiento es pn = 1/2n .4) obtenemos que P (A) = 1/4 1 = . este resultado muestra que con probabilidad 1 obtendremos un ‘Aguila’ en un n´ umero finito de lanzamientos. entonces la probabilidad de escoger un n´ umero en el intervalo [c. o equivalentemente. para todo [c. vemos que no s´ olo es proporcional sino que es igual a la longitud del intervalo: P ([c. d] ⊂ [0. Adem´as de comprobar que pn define una probabilidad sobre Ω. . Veamos un ejemplo. 4. La probabilidad de salga ‘Sol’ en el primer lanzamiento y ‘Aguila’ en el segundo es (1/2) × (1/2) = 1/4. La demostraci´on de este hecho est´a fuera de los objetivos de este curso. 1. 11 Claramente en este caso no es posible que los pi sean todos iguales. 1] que satisfaga la propiedad (1. En el cap´ıtulo 3 consideraremos en m´as detalle estos espacios y los del ejemplo anterior. EJEMPLOS Y APLICACIONES. Lanzamos una moneda hasta que salga ‘Aguila’ por primera vez. 6. Probabilidades en Espacios Continuos Si el experimento consiste en seleccionar al azar un n´ umero en el intervalo [0. d]) = d − c.5). Los resultados posibles de este experimento son los n´ umeros naturales: Ω = N. que la probabilidad de no obtener nunca ‘Aguila’ en una sucesi´ on de lanzamientos de una moneda balanceada es 0. (1. P Si ponemos r = 1/2 en (1.4. 1].4) y multiplicando ambos lados por r obtenemos r + r2 + r3 + r4 + · · · = para −1 < r < 1.4. n=1 Recordamos la f´ ormula para una serie geom´etrica: 1 + r + r2 + r3 + · · · = 1 1−r (1. .3) r 1−r (1. 2/3. 1. La probabilidad de tener ‘Sol’ dos veces y luego ‘Aguila’ es 1/8 y as´ı sucesivamente.3. 1]. d] ⊂ [0. La probabilidad de obtener ‘Aguila’ en el primer lanzamiento es 1/2. . 1 − 1/4 3 de modo que la probabilidad de que la primera ‘Aguila’ salga en un n´ umero par de lanzamientos es 1/3 y en un n´ umero impar.1. . } y P (A) = 1 1 1 1 1 2 1 3 + + ··· + + + ··· = + 4 16 64 4 4 4 Poniendo r = 1/4 en la ecuaci´ on (1. no es posible definir una medida de probabilidad sobre todos los subconjuntos de [0. Sea ahora A el evento ‘la primera Aguila se obtiene en un n´ umero par de lanzamientos’. 1] debe ser proporcional a la longitud del intervalo. pero como la probabilidad de que el n´ umero escogido caiga en el intervalo [0. 1]. Una posibilidad es usar la clase de los conjuntos borelianos en [0. que denotaremos por σ(C). P ({BDD}) = P ({DDB}) = P ({DBD}) = p2 q. que tiene gran importancia en el desarrollo de la teor´ıa de la medida. Extraemos una muestra de tres art´ıculos entre los cuales hay uno solo defectuoso. BDB. P ({BBD}) = P ({BDB}) = P ({DBB}) = pq 2 . que es la menor σ-´algebra generada por los subintervalos de [0. es importante observar que en este caso hay otras σ-´algebras que pueden considerarse. BBD. es posible demostrar que existe una σ-´algebra. Tambi´en es posible definir la σ-´ algebra de Borel como la σ-´algebra generada por los subconjuntos abiertos de [0. Calculemos la probabilidad del evento A: “se obtiene al menos un defectuoso en la muestra”. donde Ω = {BBB. por ejemplo.4. Consideremos ahora la siguiente situaci´on que se presenta en problemas vinculados a control de calidad. DBD. Retomemos el ejemplo 1. Se verifica que P (Ω) = p3 + 3p2 q + 3pq 2 + q 3 = (p + q)3 = 1. o los intervalos cerrados [a. 0 ≤ a < b ≤ 1. o de la forma [a. BDD. y se puede demostrar que esta definici´on es equivalente a cualquiera de las anteriores. Sin embargo. 1]. DDD} y sea A = P(Ω). b]. que sea una σ-´ algebra. A2 y A3. σ(C) se conoce como la σ-´ algebra generada por C y es posible demostrar que siempre existe y es u ´nica. a los cuales no podemos asignarles una probabilidad. que satisfaga las condiciones A1.CAP´ ITULO 1.4. resulta P (A) = 1 − P (Ac ) = 1 − q 3 . 1]. DBB.9 sobre el muestreo con reposici´on. b). 1]. Consideremos el evento elemental {DDD}. En total resultan n3 posibilidades de obtener los tres defectuosos y N 3 elecciones posibles de una terna cualquiera. En el ejemplo anterior mencionamos a la σ-´algebra de Borel B en [0. es decir.2. la proporci´on de buenos en la poblaci´ on es 1 − p = q. es necesario restringirse a una clase m´as peque˜ na F de subconjuntos de [0. entonces se cumple que σ(C) ⊂ D. que contiene a C y que es la menor de todas las σ-´algebras que contienen a C en el siguiente sentido: Si D es otra σ-´ algebra que contiene a C. b] o los de la forma (a. Es posible demostrar que todas estas definiciones son equivalentes. y que introdujimos como la σ-´algebra generada por los subintervalos de [0. b). . 1. donde n es el n´ umero de defectuosos en el total N de art´ıculos en el stock. Supongamos que se ignora la proporci´on p de defectuosos en la poblaci´on y estamos interesados en tener una estimaci´ on de ese valor. Para asignarle la probabilidad correspondiente razonamos as´ı: en cada una de las extracciones hay n formas posibles de elegir un defectuoso. Por lo tanto. Otros Ejemplos (1) Muestreo con Reposici´ on. DDB. De manera equivalente se puede definir como la σ-´algebra generada por la colecci´on de los intervalos abiertos (a. Esta definici´ on tiene la ventaja de que podemos usarla en cualquier espacio que tenga una topolog´ıa. 1]. en cualquier espacio m´etrico. Por lo tanto. es decir. Dada cualquier colecci´ on C de subconjuntos de Ω. ESPACIOS DE PROBABILIDAD 12 pero esto implica que hay conjuntos que no son ’medibles’. Como A es el complemento del evento Ac : “no se obtiene ning´ un defectuoso en la muestra”. Supongamos que la proporci´on de defectuosos en la poblaci´on es p = n/N . 1]. Asignamos al evento {DDD} la probabilidad P ({DDD}) = n3 = p3 N3 y an´ alogamente P ({BBB}) = q 3 . 189 0.. como indica el cuadro siguiente: p 3pq 2 0..... es decir....384 0. ......4 0. . seg´ un diversos valores de p......... .. . ..3 0.9 0. ... . ... . por lo tanto. ...... ..... valor que obviamente se adec´ ua a lo que indica la intuici´ on inmediata........... dado que en la muestra de tres result´o uno defectuoso. ..............8 0.........7 0.288 0. . adoptamos como estimaci´ on aqu´el que haga m´axima la probabilidad 3pq 2 = 3p(1 − p)2 del evento que efectivamente ocurri´ o........... .. y aceptando como posibles valores de p todos los n´ umeros reales entre 0 y 1..... ....432 0...... 13 Analicemos la probabilidad del evento: “se obtiene un solo defectuoso en la muestra”........ . ......... ........ Para maximizar esta funci´ on L(p) = 3p(1 − p)2 calculamos su derivada L0 (p) = 3(1 − p)(1 − 3p) que se anula en p = 1. .. .. p = 1/3...... .............. ..... .10 (2) Error de Redondeo. ... una opci´on posible ser´ıa admitir aqu´el que haga mayor la probabilidad del evento que ocurri´o efectivamente. .......... ............. que podemos considerar como un evento elemental del intervalo [0.6 0.. . .. ...... ......375 0........5 0... Utilizando este criterio.. y el m´aximo para p ∈ [0... ... L(p) 0.. Consideremos nuevamente el caso del error de redondeo. . .....1..... ...... que en lugar del n´ umero real no negativo x se toma su parte entera [x]............ .. como estimaci´on pˆ = 1/3....... .... . .. ......027 Si tuvi´eramos que seleccionar uno de estos valores para p.... .... . .......... ...... ......... ... ..........5 1 p Figura 2... .. o sea 0. . esto es............... 1] est´a en p = 1/3.. ... ..3... . ..... ............... ..2 0..... 1) = Ω..... ... .. ..... .... Este criterio de estimaci´on se llama de “m´ axima verosimilitud”. . tomado como espacio muestral.. ....... ...... . ......... ...... ............... ..4...10... .. ..... ....... .... ... el mayor entero que no supera x.......1 0........ . El gr´ afico de la funci´ on L(p) es el que se indica en la figura 2.. . .. ......243 0. El planteo es esencialmente el mismo si se trata del truncamiento en cualquier cifra decimal.. . Tomamos....441 0..... .... ....5 1/3 0.... .. ................. .... .. ..... EJEMPLOS Y APLICACIONES...... ...... Con frecuencia – como veremos al examinar este problema mas adelante – estaremos interesados en asignar al espacio muestral Ω una probabilidad uniforme en el siguiente sentido: intervalos de .............. ........ El error cometido al truncar es x − [x]..... ..096 0......... Supongamos que se trunca el resultado de una operaci´ on aritm´etica en la parte entera.. 9 = 0. No es dif´ıcil probar que una tal probabilidad P debe verificar P ([a. 1). k → ∞. = . que asigna probabilidades iguales a intervalos de igual longitud. consideremos dos sucesiones de n´ umeros racionales mk mk m0 m0k → x. + ··· + P . es decir.6) cualquiera que sea el intervalo [a. y se puede probar que existe efectivamente una probabilidad P definida para la familia de eventos B.19. b)) = b − a (1. b). ESPACIOS DE PROBABILIDAD 14 igual longitud deben tener igual probabilidad. nk nk nk n0k y se tiene mk =P nk mk 0.99. 1) y su probabilidad es z 10 veces }| { 1 1 P (B) = + ··· + = 0.2) ∪ · · · ∪ [0.1. → x.9. m < n.1. Hallar la probabilidad de cada uno de los eventos: a. nk m0 m0k = 0k . ≤ P ([0. llamada σ-´ algebra de Borel. 1)) = 1 − 0. x)) ≤ P 0. x)) ≤ x ⇒ P ([0. Determinemos ahora la probabilidad del evento A : “ La primera cifra truncada es 9 ”. ¿Cu´ al es la probabilidad de que la segunda cifra truncada sea 9? Este evento es B = [0.09.1) ∪ [0. 0. . = ··· = P . b.CAP´ ITULO 1. que satisface (1. para n natural se tiene 1 1 2 n−1 P 0. n n n n n Si x es un n´ umero real cualquiera perteneciente al intervalo (0. o sea que la probabilidad de cada intervalo es su longitud. x)) = x. resulta que h m 1 m−1 m m =P 0. Una manera de hacerlo es la siguiente: si P tiene esa propiedad. P 0. < x < 0k .6). 0 nk nk Pasando al l´ımite para k → ∞ resulta x ≤ P ([0. 0 ≤ a < b < 1. Resulta P (A) = P ([0. El resultado de arrojar el dado es un n´ umero par. El resultado es menor que 6. 100 100 (3) Un dado est´ a cargado de modo tal que la probabilidad de que salga la cara k es proporcional a k. 0.1 n n n n y como la suma de estas n probabilidades es P (Ω) = 1 resulta que cada una de ellas es 1/n. Si m y n son enteros positivos. Como familia de eventos podemos tomar la menor σ-´algebra que contiene a los intervalos. =P . que denotamos B. 3. Si ya tenemos las dos primeras quedan N − 2 posibilidades para la tercera y. 2. . . y por lo tanto 1 r−1 N (N − 1) · · · (N − r + 1) =1− 1− . Por otro lado los vectores que pertenecen a A no pueden tener componentes repetidas.. fr ) : 1 ≤ fi ≤ 365. Llamemos A el evento de que entre los r individuos seleccionados.. P (A) = ]A ]Ω donde ]A denota el cardinal del conjunto A. 21 7 N (4) El problema de los cumplea˜ nos. 15 Denotemos por pk la probabilidad de que ocurra la cara k (k = 1. fr ) : 1 ≤ fi ≤ 365. Cada componente del vector la podemos escoger de N maneras y por lo tanto hay N r vectores posibles: ]Ω = N k . . i = 1. . se deduce que 1 k ⇒ pk = C(1 + 2 + · · · + 6) = 1 ⇒ 21C = 1 ⇒ C = 21 21 Resolvamos ahora a y b. La pregunta es ¿cu´ al es la probabilidad de que no ocurra A? Esto es P (Ac ) = 1 − P (A) y como todos los eventos elementales de Ω son igualmente probables. 21 7 b. es decir que A = {(f1 . para la u ´ltima componente quedan N − r + 1. La probabilidad de obtener un resultado menor que 6 es p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 5 15 = . Por lo tanto. 6). 4. continuando de esta manera. Como p1 + p2 + · · · + p6 = 1. los fi son diferentes 2 a 2}. no hay dos que cumplan el mismo d´ıa. quedan N − 1 valores para escoger la segunda. ¿Cu´al es la probabilidad de que entre r personas al menos dos cumplan a˜ nos el mismo d´ıa? (Se supone que la duraci´on del a˜ no es de 365 d´ıas). . P (A ) = 1 − Nr N N c . 5. r} y la hip´ otesis natural es que todas las r-uplas son igualmente probables. EJEMPLOS Y APLICACIONES. ¿Cu´al es el menor valor de r para el cual esta probabilidad es superior a 1/2? Tomamos como espacio muestral el conjunto de todas las r-uplas de fechas posibles: Ω = {(f1 . . . tenemos N valores posibles para la primera componente. .1. En consecuencia ]A = N (N − 1) · · · (N − r + 1). para escoger un vector que satisfaga esta condici´on. 1 − . Una vez que la hemos seleccionado. La probabilidad de obtener una cara par es p2 + p4 + p6 = 12 4 = . f2 . . Para calcular ]Ω observamos que hay N = 365 fechas posibles para cada cumplea˜ nos y queremos seleccionar un vector de longitud r de fechas con reposici´ on. . . .4. Lo que establece el enunciado es que existe una constante C tal que pk = Ck. a. ......... verificar que m=1 pm = 1.. .. .............. . N Sea ahora m > 1. ............ ......... −x ......... .... lo cual es bastante sorprendente.. ESPACIOS DE PROBABILIDAD 16 Para acotar esta probabilidad utilizamos la desigualdad 1 − x ≤ e−x v´ alida para todo x ∈ R..... ...... ... Comencemos por m = 1..................... ..... .. .... .. . ... hay dos personas que cumplen a˜ nos el mismo dia..696 y para r = 50......... ................ .. ... M´as adelante podremos tratarlo de manera m´ as simple... . .. Obtenemos 1 2 P (Ac ) > 1 − e N + N +···+ r−1 N = 1 − e− r(r−1) 2N . . que es claramente n p1 = = p..... . .... .........706 0..... .......... n 10 20 23 30 50 57 100 P (An ) 0..... ......... que puede ser demostrada usando un desarrollo de MacLaurin de orden 2 o verificando que la figura 2.... . .. .... c Para r = 23 y N = 365 obtenemos P (A ) > 0. ..... . .... .. y realizamos muestreo con reposici´ on extrayendo un art´ıculo cada vez...............117 0.. superior a 0..507 0........... .............. ........ .......... ...... .... . . ........... ...97 0.965. ....... y 1 y=e 0 1 y =1−x x Figura 2.. .. ........ . ............... .... ............ .....9999997 N ... ......... .... en un grupo de 23 personas.. ................ ......... As´ı.. .. ..... ... .... ..... .... .......... ........99 0.. .. se escribe como Am = Bm−1 \ Bm . ..................... .. .......CAP´ ITULO 1... con probabilidad mayor que 1/2........ ... .... ....... ...... .....50000175.......... ..... ................. calcular la probabilidad de encontrarPel primer defectuoso en la ∞ m-´esima extracci´ on........ ..... ........411 0. ...... ...11 es correcta.. Veremos ahora una soluci´ on al ejercicio con los elementos de que disponemos.......... ..... . utilizando conceptos que a´ un no hemos introducido...... p1 es la probabilidad de extraer un defectuoso en la primera extracci´on................ ... Para r = 30 la probabilidad es superior a 0.. donde N es el n´ umero de elementos de la poblaci´ on y n el de defectuosos....... ...................... Si llamamos pm a esta probabilidad.11 (5) Si la probabilidad de encontrar un art´ıculo defectuoso en una poblaci´on es p = n/N .... El evento Am : “el primer defectuoso es extra´ıdo en la m-´esima extracci´on”...... . Si {Ai . La relaci´ on anterior expresa que “encontrar un defectuoso por primera vez en la m-´esima extracci´ on” es lo mismo que “no extraer defectuosos en las m−1 primeras pero si en las m primeras”. C. A4B = (A4C)4(C4B). D subconjuntos de Ω. d. Demuestre las siguientes propiedades. c. 2. h. 4. 3. B.5. b. 1−x v´alida para |x| < 1. la siguiente proposici´on es cierta: (A ∪ B) \ (C ∪ D) ⊆ (A \ C) ∪ (B \ D). a. C y D. Adem´ as. i. ∞ X p(1 − p) m−1 m=1 =p ∞ X (1 − p)m = m=0 p = 1. A4(B4C) = (A4B)4C. e. En resumen. deducimos que pm = P (Am ) = (1 − p)m−1 − (1 − p)m = (1 − p)m−1 (1 − (1 − p)) = p(1 − p)m−1 . A4B = C4D ⇒ A4C = B4D. i ∈ I} y {Bi . A \ B = A ∩ (A4B). 1 − (1 − p) Aqu´ı hemos usado la suma de la serie geom´etrica: ∞ X m=0 xm = 1 . ¿Cu´ ando son ciertas las siguientes relaciones? a. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) c. i ∈ I} son dos colecciones de conjuntos. J 1. (A ∩ B c )4(B ∩ Ac ) = A4B. g. (A \ B) \ C = A \ (B \ C) f. j. A∆(B∆C) = (A∆B)∆C g. demuestre que (∪i∈I Ai ) \ (∪i∈I Bi ) ⊂ ∪i∈I (Ai \ Bi ). EJERCICIOS 17 donde Bm es el evento de que en las primeras m extracciones no hemos encontrado art´ıculos defectuosos. la f´ ormula pm = p(1 − p)m−1 vale para todo m ≥ 1. Ejercicios 1. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) 5.5. . (A ∪ B) ∩ (A ∪ B c ) ∩ (Ac ∪ B) ∩ (Ac ∪ B c ) = ∅. ((A ∩ B) ∪ (C ∩ D))c = (Ac ∪ B c ) ∩ (C c ∪ Dc ). Demuestre que para cualesquiera conjuntos A. f. A ∩ (B4C) = (A ∩ B)4(A ∩ C). A ∪ (B ∪ C) = A \ (B \ C) e. Demuestre que la diferencia sim´etrica de dos conjuntos se puede escribir como A4B = (A \ B) ∪ (B \ A). A ∪ B = (A4B)4(A ∩ B). A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C d. Sea A. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) b. A4Ω = Ac . como p > 0. B. por lo tanto.1. Por otra parte P (Bm ) = (N − n)m = (1 − p)m Nm y. Como Bm ⊂ Bm−1 se tiene que P (Am ) = P (Bm−1 ) − P (Bm ). 16. P (A) + P (B) − 1} Pn c. 8.CAP´ ITULO 1. P (B). pero no A3 . ASS. Suponga que P (A) ≥ 0. Halle el conjunto ∩α≥1 Aα . Sea D el evento ’exactamente uno de los eventos A. Ocurre s´olo A1 . Ocurren A1 y A2 . d. AAS. Sea An el conjunto de los enteros positivos divisibles por n. donde A es ´aguila y S es sol. SAA}. Demuestre que a. 11. P (B) ≥ 0. Demuestre que las operaciones de uni´ on. min{P (A). d. A2 y A3 eventos de un espacio muestral. P (A ∩ B) + P ((A \ B) ∪ (B \ A)) + P (Ac ∩ B c ) = 1. B = {AAA. B y C tres eventos. 10. SSA. ASA. e. 9. Halle los conjuntos a) ∪∞ n=2 An . . SAS. P (B)} ≥ P (A ∩ B) ≥ m´ax{0. Pruebe que es equivalente a las proposiones (a) y (b): a. c. g.3. b + n . intersecciones y complementos los siguientes eventos: a. Ocurren dos y no m´ as. n=2 n 1 1 1 1 ∞ 7. P (∩n1 Ai ) ≥ 1 P (Ai ) − (n − 1). ASA. ASS. SSA}. Sea Ω = {AAA. Demuestre las siguientes propiedades: a. P (A) + P (B)} ≥ P (A ∪ B) ≥ m´ax{P (A). intersecci´ on y complemento se pueden expresar usando s´olo esta operaci´on. b) A1 ∪ A2 ∪ A3 . c. Si A1 ⊆ A2 ⊆ · · · es una sucesi´ on creciente de eventos y A = A1 ∪ A2 ∪ · · · entonces P (A) = limn→∞ P (An ). 18. P (A ∩ B). b − n . D = {AAS.9. ESPACIOS DE PROBABILIDAD 18 6. P (Ac ∩ B c ∩ C c ) + P (A) + P (Ac ∩ B) + P (Ac ∩ B c ∩ C) = 1. entonces P ((A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A)) = P (A ∩ B) + P (B ∩ C) + P (C ∩ A). P (C). ASA. P (B)} b. ASA. C = {AAA. SSS}. AAS. SSS}. ASS}. 14. La condici´ on de σ-aditividad para una medida de probabilidad es equivalente a otras propiedades. d. SAA. 17. b. b. b) ∩∞ A . P (A ∩ B) − P (A)P (B) = P (Ac ∩ B c ) − P (Ac )P (B c ). Describa con palabras los siguientes eventos y calcule sus probabilidades: a. 12. 15. c) Sn i=1 Ai . demuestre que P (C) ≤ 0. min{1. Expresar mediante uniones. No ocurre ninguno. El evento A \ B quiere decir que A ocurre pero B no. Ocurren al menos dos. P (Ac ∩ B c ) + P (A) + P (Ac ∩ B) = 1. f. B y C ocurre’. Ocurre al menos uno de los tres eventos. Si A1 ⊇ A2 ⊇ · · · es una sucesi´ on decreciente de eventos y A = A1 ∩ A2 ∩ · · · entonces P (A) = limn→∞ P (An ). b) ∩n=1 a − n . b. Sean A1 . Halle los siguientes conjuntos a) ∪∞ n=1 a + n . 13. Sean A. SAA. Exprese P (D) en t´erminos de P (A). P (A ∩ C). Sea Aα el conjunto de puntos sobre la curva y = 1/xα para 0 < x < ∞.8 y P (A ∩ B ∩ C) = 0. E = {AAS. SAS. b. Demuestre que si A ∩ B ∩ C = ∅. Expresar como uniones disjuntas a) A1 ∪ A2 . c. Los tres eventos ocurren. P (B ∩ C) y P (A ∩ B ∩ C). b. Ocurren exactamente tres Aguilas. La probabilidad de obtener 3 caras. Se extraen dos bolas al azar. Ocurren al menos tres Aguilas. (b) El 3 sale en segundo lugar. (e) Ning´ un n´ umero ocupa su lugar. Se lanzan al aire simult´ aneamente tres monedas balanceadas. Se realiza un test de conocimientos con 11 preguntas a contestar por s´ı o no. 27. B ∪ C. f) un n´ umero divide al otro. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos: a) obtenemos el mismo n´ umero en ambos dados. Describa en detalle un espacio muestral para los siguientes experimentos: (a) Tres lanzamientos de un dado. Un experimento consiste de tomar al azar tres focos de la producci´on de una f´abrica y probarlos. e) el producto es impar. En una bolsa hay tres cartas numeradas 1. ¿Cu´al es la probabilidad de aprobar el examen contestando al azar? . Describa el espacio muestral de este experimento. Se extraen 3 bolas al azar. A ∪ C. El resultado es una permutaci´on de los n´ umeros 1. Repetir el ejercicio suponiendo que la extracci´on es sin reposici´on. (A ∪ B c ) ∩ C. (Ac ∩ C) ∪ (B ∩ C). 22. (d) Medici´on de las velocidades de carros pasando por un punto dado. 2 y 3. 23. Ac ∩ B ∩ C c . con reposici´ on. Una caja contiene 10 bolas negras y 5 bolas rojas. b. (d) O bien el 2 sale en primer lugar o bien el 1 sale en tercer lugar (o ambos). 26. b) Liste los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos: A. 25. ¿Cu´al es el espacio muestral para este experimento? ¿Cu´al es la probabilidad de que las dos bolas tengan colores distintos. Sacamos las cartas al azar sucesivamente y sin reposici´ on. Halle la probabilidad de que la segunda carta sea mayor que la primera. Una caja contiene n bolas rojas y n bolas blancas. Calcular: a. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos: a. 21. 29. A ∪ B ∪ C. La probabilidad de que sean 2 negras y una roja. Ocurren exactamente tres Aguilas consecutivas. Para cada una de las siguientes descripciones. (e) Una sucesi´on infinita de lanzamientos de una moneda. c. b. liste los elementos correspondientes y calcule la probabilidad del evento. B. Se da por aprobada la prueba si se contestan correctamente al menos 6 de las 11 preguntas. La probabilidad de obtener por lo menos 2 caras. d. Halle la probabilidad pn de que las bolas sean del mismo color y eval´ ue limn→∞ pn . (b) Calificaciones de una clase de 20 estudiantes en un examen. con resultados posibles defectuoso (1) o bueno (0). 24. a) Describa el espacio muestral Ω para este experimento. 28. c) los n´ umeros son primos relativos. d) la suma es impar. Sea A el evento ‘El primer foco es defectuoso’. EJERCICIOS 19 19. (c) Medici´on de la temperatura a mediod´ıa en una estaci´on meteorol´ogica. (c) El 2 sale en primer lugar y el 1 en tercer lugar. La probabilidad de que sean las tres negras. Se extraen dos cartas sucesivamente de un juego de 52 cartas. Calcular: a. 2 y 3. Se lanzan dos dados. Repita el ejercicio anterior con 4 cartas numeradas de 1 a 4. 20. Ocurren al menos tres Aguilas consecutivas. A ∩ B. b) la suma es 7 u 11. B el evento ‘el segundo foco es defectuoso’ y C el evento ’el tercer foco es defectuoso’. Lanzamos una moneda balanceada cuatro veces. A ∩ B c ∩ C.5. c.1. (a) El 2 sale en primer lugar. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de lanzar el primer 6 en el tercer intento? b) ¿Cu´ al es la probabilidad de necesitar m´as de tres intentos? c) ¿Cu´ antos lanzamientos hacen falta para que la probabilidad de haber lanzado un 6 sea al menos 0. b. ¿Qu´e enteros pueden ser el cardinal de F? 34. Demuestre que para cualesquiera eventos A. o k. C) − d(A. P (D4 ). B) = P (A∆B). 40. e I = {ω : ω ∈ [0. Halle el valor de b para que pi defina una probabilidad.CAP´ ITULO 1. Probar que P ({ω}) = 0. a. Definimos la funci´ on d sobre F × F por d(A. Probar que 35. Sea Dr el evento: ‘se extrae una bola al azar y el n´ umero es divisible por r’. Sean: Ω = [0. Sean P1 . Se lanzan cuatro dados y se multiplican los n´ umeros que se obtienen. A2 . en cuyo caso pierde. B) = 0? c.95? d. Si es 2. ¿Cu´al es la probabilidad de que ocurran 4 caras antes que dos sellos? 36. Generalice el resultado a n medidas de probabilidad. Antonio tiene probabilidad p de ganar una manga y Bruno probabilidad q = 1 − p. En una caja tenemos n bolas con los n´ umeros del 1 al n. ¿Cu´ ando vale d(A. B y C d(A. . 1] es racional} P (Q) = 0 y P (I) = 1. ¿Cu´al es la probabilidad de que este producto sea divisible por 5? ¿Cu´al es la probabilidad de que el u ´ltimo d´ıgito en el producto sea 5? 37. En el juego de ’craps’ el jugador lanza dos dados. C) = 2P (A ∩ B c ∩ C) + P (Ac ∩ B ∩ C c ) b. b. 1]. B) + d(B. Sean Q = {ω : ω ∈ [0. una sucesi´ on no-decreciente de eventos: Ai ⊆ Aj para i ≤ j. Demuestre que para i ≤ j ≤ k. Halle P (D3 ). Sea F una σ-´ algebra de eventos en un espacio finito. donde {ω} es el subconjunto de Ω que consta s´olo del punto ω. . d(Ai . Se lanza reiteradamente una moneda balanceada. el jugador gana. Ak ) = d(Ai . Para comenzar un cierto juego es necesario lanzar un 6 con un dado. 32. continua lanzando hasta obtener un 7. a. ¿Cu´al es la probabilidad de que la competencia termine al cabo de k mangas? 38. Halle el valor de a para que pi defina una probabilidad. (Verificar previamente que {ω} ∈ B). Antonio y Bruno acuerdan una competencia de esgrima en una serie de mangas de modo que el primero en ganar dos mangas seguidas gana el combate. B la familia de conjuntos de Borel y P la probabilidad definida en el ejemplo 6 de la secci´ on 2. Aj ) + d(Aj . 31. ±2. P2 dos medidas de probabilidad definidas sobre la misma σ-´algebra F y sea 0 ≤ α ≤ 1. 3´ o 12. a. 39. pierde. Demuestre que F no puede contener exactamente 6 eventos.4. Sea pi = b/i2 para i = ±1. Sea pi = a/i2 para i ∈ N. Si el resultado es 7 u 11. 1] es irracional}. . ¿Cu´ al es la probabilidad de que el primer 6 ocurra en un n´ umero par de lanzamientos? 33. ¿Cu´ al es un espacio muestral adecuado para este juego? ¿Cu´al es la probabilidad de ganar? ¿Cu´ al es la probabilidad de ganar en el primero o segundo lanzamiento? ¿Cu´ al es la probabilidad de ganar si el primer lanzamiento es 6? . Ak ). ESPACIOS DE PROBABILIDAD 20 30. Demuestre que αP1 + (1 − α)P2 tambi´en es una medida de probabilidad sobre F. Sea A1 . en cuyo caso gana. . . Si es cualquier otro resultado k. P (D3 ∪ D4 ) y P (D3 ∩ D4 y obtenga los l´ımites de estas probabilidades cuando n → ∞. . .