UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁFACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL FOLLETO DIRIGIDO A LOS ESTUDIANTES DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL PARA LOS CURSOS DE: Investigación de Operaciones, Métodos Cuantitativos y Administración de la Producción MODELOS DE PRONÓSTICOS PARA NEGOCIOS Elaborado por: ING. BOLÍVAR BERNAL MOJICA Panamá, República de Panamá Fecha de Elaboración: Abril de 2013 a Abril de 2015 Fecha de impresión: Abril de 2015 29 INTRODUCCIÓN El uso de distintos modelos para la realización de pronósticos para la entrega de productos y servicios es cada vez más importante. Por esta razón hemos decidido documentar las técnicas de atenuación para el desarrollo de pronósticos según el comportamiento de la serie de tiempo El documento presenta en principio una introducción en la cual se da a conocer los conceptos más importantes relacionados con el Análisis de una Serie de Tiempo. Aquí se define como realizar el Análisis Descriptivo de la Serie y posteriormente se presentan algunos Indicadores de Eficiencia de uso común para evaluar el modelo que mejor se ajusta a los datos En los capítulos siguientes se presentan las distintas técnicas para realizar pronósticos según el comportamiento de la serie en estudio. Para el caso se presentaran los modelos que a juicio de los autores resultan más fáciles de comprender por los lectores, en gran parte por la simplicidad que proponen los mismos en la matemática empleada para el análisis. Esta sencillez en el modelo matemático no implica que la validez de los mismos sea menor. Con este documento esperamos satisfacer todas las dudas que le han surgido con respecto al tema que aquí se expone. Invitamos a los lectores a realizar las sugerencias que consideren con la intención de mejorar la primera edición de este documento que con mucho gusto hemos preparado para Ustedes Bolívar Bernal Mojica bolí[email protected] 29 OBJETIVOS Con la elaboración de este documento se espera que una vez el estudiante culmine la lectura del mismo esté en capacidad de: Identificar en que situaciones aplican cada uno de los modelos presentados Comprender cuales son los supuestos que aplican a cada modelo Determinar la información necesaria para la solución de los distintos problemas según la situación que aplique Tomar decisiones para casos presentados al aplicar los modelos expuestos 29 TABLA DE CONTENIDO Introducción Objetivos 1. Introducción a los Pronósticos 1.1 Componentes de una Serie de Tiempo 1.2 Visualización de los datos por medio de gráficas 1.3 Coeficiente de Autocorrelación 1.4 Medición del Error en el Pronóstico 2. Promedios Móviles y Métodos de Suavización Exponencial para Series Estacionarias 3. Análisis de Tendencia para Series de Tiempo con Tendencia Pura 4. Modelo de Descomposición Estacional para Datos que presentan Tendencia con Estacionalidad 5. Inferencia Estadística en los Modelos de Pronóstico Conclusiones Recomendaciones y Proyectos Futuros Bibliografía 29 29 . en un principio recurría a todo de tipo de técnicas basadas en creencias populares y ritos para definirlo.1. INTRODUCCIÓN A LOS PRONÓSTICOS Desde los inicios de la Historia. que han permitido pronosticar con mayor precisión diversas variables de interés. ejemplo de esto es el uso de las técnicas de regresión.1. el ser humano siempre ha sentido la necesidad de poder predecir el futuro. Con el pasar de los años han aparecido diversas técnicas. aquí algunos de los más populares: Minitab Statistical Package for Social Sciences (SPSS) Statistical Analysis System (SAS) E-Views Easy Forecast Plus Forecast Pro La generación de un pronóstico preciso y útil implica dos consideraciones básicas: Primero: Reunir los datos que sean aplicables para la tarea de pronósticos y que contengan información que pueda producir pronósticos precisos Segundo: Seleccionar una técnica de pronóstico que utilice al máximo la información contenida en los datos y los patrones que éstos presenten 1. días festivos. Es allí donde aparecen las primeras técnicas de Análisis de Series Temporales para finales del Siglo XIX. La variación estacional puede reflejar condiciones de clima. Con el avance de la “ciencia como la base del conocimiento” se empieza a pensar en un conjunto de herramientas para describir patrones de comportamiento que pudiesen darnos luces de los valores futuros más probables. de las más simples (como los métodos de suavización) hasta las más refinadas (como los Métodos ARIMA). Componentes de una Serie de Tiempo Para evaluar la técnica que mejor se ajusta a los datos debemos definir primero las componentes de una serie de tiempo: La Tendencia de una serie de tiempo es el componente de largo plazo que representa un crecimiento o disminución en la serie de tiempo sobre un periodo amplio El Componente Cíclico es la fluctuación en forma de onda alrededor de la tendencia. Por general está influenciada por cambios de expansión y contracción económicas La Componente Estacional es un patrón de cambio que se repite a sí mismo año tras año. Esto ha sido acompañado con el desarrollo de medios informáticos que han hecho más fácil el cálculo laborioso que representaba el uso de estas técnicas Existen diversos paquetes computacionales que permiten realizar evaluaciones de los datos que se han recolectado. etc. Para ilustrar este caso veremos el Caso de las Empresas Marine Motors y Electronic Store. De esta forma se podrá con la inspección de la gráfica que se obtiene determinar si una o más de las componentes antes mencionadas están presentes en la Serie de Tiempo. cuyos valores de ventas se presentan a continuación: Ventas Mensuales de Marine Motors Ene-08 a Dic-09 Ventas Ventas Periodo Periodo (Unidades) (Unidades) ene-08 113 ene-09 191 feb-08 128 feb-09 183 mar-08 125 mar-09 200 abr-08 138 abr-09 207 may-08 145 may-09 201 jun-08 153 jun-09 216 jul-08 150 jul-09 223 ago-08 162 ago-09 242 sep-08 167 sep-09 233 oct-08 173 oct-09 256 nov-08 177 nov-09 261 dic-08 185 dic-09 270 29 . Visualización de los Datos por medio de Gráficas Por simple que parezca. 1.2. Contabiliza la variabilidad aleatoria en una serie de tiempo ocasionada por factores imprevistos y no recurrentes Antes de elegir el Modelo de Pronóstico que mejor se ajusta a los patrones encontrados en los datos. El Componente Aleatorio mide la variabilidad de las series de tiempo después de que se retiran los otros componentes. la primera evaluación que se hace a los datos es realizar un diagrama de dispersión de los mismos. se deberá realizar una Exploración de Patrones en los Datos. Para el caso de Marine Motors se puede apreciar en el gráfico de serie de tiempo que existe una marcada tendencia a la alza en la venta de productos. Por lo tanto se debe esperar que para los meses siguientes la venta aumente si los distintos factores económicos se mantienen a iguales condiciones Ventas Trimestrales de Electronic Store T1-84 a T4-93 Ventas Ventas Periodo Periodo (Unidades) (Unidades) T1-84 147 T1-89 264 T2-84 251 T2-89 402 T3-84 273 T3-89 411 T4-84 249 T4-89 385 T1-85 139 T1-90 232 T2-85 221 T2-90 309 T3-85 260 T3-90 310 T4-85 259 T4-90 293 T1-86 140 T1-91 205 T2-86 245 T2-91 234 T3-86 298 T3-91 285 T4-86 287 T4-91 258 T1-87 168 T1-92 193 T2-87 322 T2-92 263 T3-87 393 T3-92 292 T4-87 404 T4-92 315 T1-88 259 T1-93 178 T2-88 401 T2-93 274 T3-88 464 T3-93 295 T4-88 479 T4-93 311 29 . Lo que no se puede distinguir de forma clara es si existe o no una leve tendencia. Este coeficiente mide la correlación existente entre una variable desfasada uno o más periodos y la misma variable en el periodo t n Y Y Y t t k Y Rk t k 1 n 2 Y Y t 1 t En donde Rk = coeficiente de correlación para un desfase de k periodos Y = media de los valores de la serie Yt = observación en el periodo t Yt-k = observación en k periodos anteriores o en el periodo t – k n = total de observaciones Los patrones de datos que incluyen componentes de tendencia.3. aunque de estar presente esta componente es más débil que la de estacionalidad 1. estacionalidad e irregularidad se pueden estudiar usando el enfoque del análisis de autocorrelación. Los coeficientes de autocorrelación para diferentes desfases de tiempo de una variable se emplean para identificar patrones en las series de tiempo de los datos 29 . Coeficiente de Autocorrelación Una primera medida de asociación o fuerza entre los datos es el Coeficiente de Autocorrelación. En el caso de Electronic Store se da un comportamiento estacional a lo largo del periodo de estudio. 2 -52.2 5652. Para ello se calculará el coeficiente de correlación para un periodo de desfase Periodo Yt Yt .64 T3-86 298 13.2 371.8 -540.84 T3-87 393 108.2 -24.44 10160.56 615.2 -145.96 6272.44 8317.04 T3-90 310 25.84 2520.24 14352.Prom (Yt .24 948.64 T2-91 234 -50.44 T3-92 292 7.84 20793.8 108.64 1536.84 635.2 -50.84 T3-89 411 126.2 -3018.8 10.2 -144.84 125.04 1102.2 -3270.04 T3-93 295 10.84 T2-84 251 -33.2 -39.8 227.Prom)^2 T1-84 147 -137.2 394.44 T2-87 322 37.2 -20.2 2389.44 T2-92 263 -21.2 -11.2 -25.84 T4-92 315 30.44 449.2 -21.8 639.8 2.20 Totales= 1.2 1933.8 38.96 686.8 35025.04 16078.44 718.64 11837.2 -20.44 T2-93 274 -10.2 -3934.2 -33.8 13.2 5111.8 37.2 -63.8 8.143E+05 2.04 T1-86 140 -144.Prom)*(Yt-k .96 408.24 1239.96 635.84 T2-90 309 24.24 T3-84 273 -11.36 60.84 665.24 T3-88 464 179.64 T4-90 293 8.24 T3-85 260 -24.44 T4-86 287 2.8 -4392.36 1428.8 7.8 -110.2 3975.44 T4-87 404 119.04 21083.84 T1-87 168 -116.Prom Yt-k .2 1083.96 11278.44 T1-92 193 -91.64 T4-85 259 -25.2 18823.64 T1-93 178 -106.8 -1294.2 4555.16 116.04 37947.8 -2943.8 0.04 T4-88 479 194.2 609.64 T2-86 245 -39.04 T3-91 285 0.2 -25.04 T2-88 401 116.8 14937.2 -26.8 -2379.76 2724.2 3633.64 3994.2 -325.24 104.64 T4-93 311 26.8 25.36 13502.8 30.44 T4-84 249 -35.8 24.64 7.44 T1-91 205 -79.Para ilustrar este cálculo veamos el Ejemplo de Electronic Store.2 -10.2 -35.44 585.8 116.2 -696.2 -79.8 119.8 100.2 1529.36 13642.2 -137.719E+05 29 .96 190.2 -106.64 T4-91 258 -26.8 240.56 13876.8 4112.8 12781.04 T2-85 221 -63.64 T1-90 232 -52.2 -116.8 21000.2 -5261.8 289.Prom) (Yt .8 -165.8 179.04 T1-85 139 -145.04 T1-88 259 -25.24 Promedio= 284.8 117.8 126.04 77.8 -40.8 13034.2 9176.04 T2-89 402 117.64 32328.16 0.2 -91.24 T4-89 385 100.04 T1-89 264 -20.8 194. Existe un gráfico de suma utilidad conocido como Función de Autocorrelación.29818 -0.143E+05 / 2.02897 El Gráfico de la Función de Autocorrelación suele presentar unas franjas de color rojo que representan los límites de significancia de las autocorrelaciones calculadas.11961 K 7 8 9 10 11 12 R -0.44132 -0. Para que una Autocorrelación sea significativa debe sobrepasar las franjas rojas del Gráfico indicando así que la fuerza entre esos dos periodos presenta significancia A manera de resumen presentaremos los comportamientos de los Gráficos de Funciones de Autocorrelación según el Patrón de las Componentes de la Serie de Tiempo Autocorrelación y Tendencia Pura: en una serie con tendencia pura notará que el valor de la autocorrelación para un periodo de desfase tendrá una correlación muy 29 . En dicho gráfico se presentan los valores de las correlaciones para k periodos desfasados.17660 -0.73328 0.19349 0.05240 0.34628 0. para ilustrar mostraremos este gráfico para 12 desfases para la Serie de Tiempo de Electronic Store.719E+05 se obtiene R1 = 0.Dividiendo los valores de 1. Este mismo cálculo se puede realizar para un desfase de dos.19314 -0. según la forma del Gráfico se puede corroborar la presencia de las distintas componentes de la serie de tiempo inspeccionadas en la exploración visual de los datos K 1 2 3 4 5 6 R 0.42059. tres. cuatro periodos o más.42059 0.31146 0. Como se presenta a continuación: Autocorrelación y Estacionariedad: una serie tendrá estacionariedad cuando se presente un coeficiente de autocorrelación significativo en el primer periodo de desfase o en el primer y segundo periodo de desfase. e irá decayendo lentamente hasta llegar a cero. Como se presenta a continuación: 29 . como se presenta a continuación: Autocorrelación y Estacionalidad: una serie tendrá un patrón estacional cuando se presente un coeficiente de autocorrelación significativo en el periodo de desfase correspondiente. casi cercana a 1.alta. cuatro en los datos trimestrales o doce en los datos mensuales. Las medidas de dicho error implican una función de la diferencia entre el valor real y su pronóstico. Esta medida es conocida como residuales. De manera formal se definirá como residual a la diferencia entre el valor real y su valor de pronóstico A continuación mostraremos varias de las medidas del error de los pronósticos realizados: Desviación Absoluta Media (DAM): equivale al promedio de los errores absolutos n Y Yˆ t t DAM t 1 n Error Medio Cuadrático (EMC): equivale al promedio de los residuales cuadrados n Y Yˆ 2 t t EMC t 1 n Porcentaje de Error Medio Absoluto (PEMA): equivale al error porcentual de los residuales absolutos 29 .1.4. Medición del Error en el Pronóstico Cada técnica particular de pronóstico posee cierto grado de error. el método de pronóstico está sobreestimando de manera consistente. su valor será muy próximo a cero. Por otro lado si el porcentaje es un valor positivo grande. n Yt Yˆt t 1 Yt PEMA n Porcentaje Medio de Error (PME): equivale al error porcentual de los residuales. Si el resultado del porcentaje en un valor negativo grande. el método de pronóstico esta subestimando de manera consistente n Yt Yˆt Yt PME t 1 n Debido a la simplicidad que implican los cálculos de los distintos indicadores de error en los pronósticos no se mostrará un ejemplo en esta sección 29 . Si el pronóstico no presenta sesgo. 38 0.95 0.56 0.63 2012 0.47 0.57 a.57 0.86 0. Calcule las autocorrelaciones para 1 y 2 periodos de desfase. 2009-2014 (en millones de dólares) Año I Trim II Trim III Trim IV Trim 2009 2313 2495 2609 2792 2010 2860 3099 3202 3161 2011 3399 3471 3545 3851 2012 4458 4850 5093 5318 2013 5756 6013 6158 6289 2014 6369 6568 6646 6861 a. Muestre en un correlograma la significancia de ambos cálculos b.38 0.63 0.61 2011 0. Para los pronósticos encontrados evaluar DAM.PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO Presto Fácil: Presto Fácil es una financiera que se ha logrado consolidar en el mercado nacional.32 2008 0. EMC.93 0. PME Pricing Company: Un inversionista desea determinar si existe un patrón sobre las utilidades por acción de la compañía que opera en varios estados de los Estados Unidos de América. Describa cualquier patrón existente en la serie temporal presentada b.49 2010 0.29 0.37 0.24 0. Para analizar la cartera de préstamos de dicha financiera se han registrado los montos en préstamos comprendidos entre el 2009 y el 2014.1 c.43 0.51 0.47 0. Determine con dicho correlograma si los datos presentan patrones de estacionalidad c. Los datos son los siguientes: Utilidades por acción de Pricing Company. Para los pronósticos encontrados evaluar DAM.42 0. PEMA.60 2014 0.76 0.42 0.39 2009 0.30 0.40 0.50 0. Determine los valores pronosticados para cada periodo asumiendo que el pronóstico se resolverá a través de la fórmula Ft = Ft .65 2013 0.1 d.94 0.34 0. Determine los valores pronosticados para cada periodo asumiendo que el pronóstico se resolverá a través de la fórmula Ft = Ft . EMC. 2007-2014 (en dólares por acción) Año I Trim II Trim III Trim IV Trim 2007 0. PEMA 29 . Estos se presentan a continuación Préstamos de Presto Fácil por trimestre.51 0. Mercado Inmobiliario: Un indicador importante de la salud financiera de la economía es la venta de viviendas. 2007-2014 (en miles de viviendas) Año I Trim II Trim III Trim IV Trim 2007 121 144 126 116 2008 153 152 130 123 2009 161 179 172 138 2010 178 185 165 142 2011 192 204 201 161 2012 211 212 208 174 2013 227 248 221 185 2014 256 299 294 239 a.1 c. Es por ello que se presenta a continuación la venta trimestral de viviendas de un país: Viviendas Vendidas en el país X. PEMA 29 . Describa cualquier patrón existente en la serie temporal presentada b. Determine los valores pronosticados para cada periodo asumiendo que el pronóstico se resolverá a través de la fórmula Ft = Ft . EMC. Para los pronósticos encontrados evaluar DAM . No maneja muy bien la presencia de tendencia o estacionalidad en la serie de tiempo. este viene a ser una especie de media móvil ponderada pero donde los pesos se van atenuando en el tiempo.2. PROMEDIOS MÓVILES Y MÉTODOS DE SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL PARA SERIES ESTACIONARIAS Se entenderá que una serie es del tipo estacionaria cuando los datos suelen variar con respecto a un valor medio en forma netamente aleatoria. Dicho modelo funciona mejor cuando los datos son del tipo estacionarios. Es preferible un número pequeño para cambios súbitos en el nivel de la serie. En este modelo el analista es quien debe definir el número de periodos que se emplearán para el pronóstico. ya que de esta forma se dará mayor peso a los valores más recientes de la misma Yt 1 Yt 2 Yt n Yˆt n Como se aprecia en la fórmula en promedio móvil en “t” es la media aritmética de las “n” observaciones más recientes Media Móvil Ponderada Un promedio móvil ponderado se obtiene encontrando la media ponderada de los “n” últimos periodos en el pronóstico Cuando el investigador siente que debe variar los pesos de las “n” últimas observaciones que empleará para realizar el pronóstico surge la técnica de las medias móviles ponderadas como herramienta para predecir Yˆt W1 * Yt 1 W2 * Yt 2 Wn * Yt n W1 W2 Wn 1 La asignación de los pesos se pondrá dar de forma tal que se pueda reducir la medida del error para la serie de tiempo presentada Suavización Exponencial Simple Es un procedimiento para revisar constantemente un pronóstico a la luz de las experiencias más recientes Si se examina con más detalle el método. siendo mayor para la observación más reciente y menor para la observación mas distante. Para ello se presentará a continuación los modelos usados con mayor frecuencia para este caso: Media Móvil Simple Un promedio móvil se obtiene encontrando la media de un conjunto específico de valores y empleándolo después para pronosticar el siguiente periodo Debemos destacar que la técnica solo emplea los últimos “n” periodos de datos conocidos. 29 . 5 -4.4 -17.3 71.7 15 76 70.6 69.0 71.5 70.8 16 78 67.5 7.8 64. En la práctica el valor de “α” es determinado en función de aquel que minimice la medida del error.0 3.7 -9.5 2 61 64.4 -3.7 61.5 19. Con el uso del computador es posible definir el mismo a través de la iteración de dicho valores Yˆt Yt 1 (1 )Yˆt 1 De igual forma que la media móvil simple y la media móvil ponderada.1 4 75 65.0 -3.4 11.7 -16.50 al mes más reciente.1 10 78 67.0 1.7 -9.8 -21.3 9.3 11.7 73.9 -8.6 -3.4 13 63 78.7 10.3 -22. este método se emplea en series de tiempo del tipo estacionarias.3 72.3 5.4 7 56 65.3 11 72 75.7 11.20 Adicional presentaremos la DAM para cada uno de los tres modelos para los valores de los parámetros definidos Sem Venta MMS-3 Error MMP-3 Error SES Error 1 61 65.7 69.7 3.3 8.7 66.3 17.Debemos agregar que el coeficiente de suavización “α”.4 69. está comprendido entre cero y uno.3 -10. 0.3 8.30 al mes anterior y 0.1 5 71 70.4 8.5 8.5 4.9 67.2 6.8 68.5 63.7 57.6 3 74 63.3 -15.20 al mes más distante Suavización Exponencial Simple con un coeficiente de suavización de 0. Para el modelo se recomienda 6 que el valor de Y t y el resto del pronóstico de t = 2 en adelante se realice Yˆ1 t 1 6 con la fórmula antes presentada EJEMPLO ILUSTRATIVO: Para ilustrar los métodos explicados en esta sección emplearemos los datos de ventas de una compañía de las últimas 43 semanas a fin de mejorar la planificación operacional de la empresa.9 9 70 61.9 4.5 29 .3 6 51 73.3 69.3 79.7 14 63 73.9 -0.5 65. Para ello se realizará el pronóstico a través de: Media Móvil Simple a tres periodos Media Móvil Ponderada a tres periodos con ponderadores de 0.4 70.9 8 77 59.6 15.3 10.9 10.5 65.1 13.4 -8.7 72.7 67.7 67.5 7.9 9.6 69.8 -5.0 75.0 12 85 73.7 65.7 -7. 3 4.7 51.7 57.9 25 64 57.0 0.3 6.0 41 57 53.3 48.7 38 55 48.9 -9.3 3.6 -13.7 60.7 -9. Por esta razón invitamos al lector para que pruebe con distintos valores hasta obtener los que minimicen el DAM 29 .0 80.3 0.7 -4.0 3.0 0.0 -19.0 48.3 0.1 -1.3 -0.4 9.8 2.3 11.7 -6.7 65.0 34 53 62.5 DAM= 7.3 -12.3 -0.6 -10.5 56.4 53.0 7.3 54.7 21 59 81.3 6.6160 Vale la pena resaltar que los valores del DAM variarán para los métodos de media móvil ponderada y para suavizado exponencial en la medida que se cambien los parámetros.7 20 85 81.7 74.3 -22.7 60.5 11.1 62.0 4.3 82.3 2.9 -1.3 -0.7 -5.8 65.3 8.5 27 62 59.5 -10.5 4.4 6.0 -9.9 30 55 63.9 0.0 52.3 11. 17 84 72.8 -5.3 54.7 43 46 58.4 -8.6 19 80 80.6 72.3 78.4 -1.3 0.5 4.6 3.0 52.7 -12.2 23 57 66.3 -1.3 -9.5 -14.5 61.1 63.7 63.4 37 49 49.3 -11.5 -8.2 -14.7 -4.3 75.2 32 61 60.0 60.3 -0.1 -9.9 -1.4 42 66 53.0 54.6 54.7 63.6 39 52 51.6 4.0 -2.7 63.7 57.7 71.5833 7.7 1.4 0.2 54.1 55.7 12.3 33 62 60.3 60.0 7.4 28 67 60.1 3.5 76.3 62.7 62.0 22 56 74.7 -8.3 -2.5 54.0 35 46 58.3 80.6 Pronostico= 56.9 29 62 61.5 31 64 61.3 6.3 -23.3 80.0 -15.5 63.2 -18.9 67.0 4.1325 7.3 57.0 18 79 79.0 52.2 36 49 53.0 2.0 58.7 60.9 0.7 70.5 -2.1 62.6 -1.3 54.5 40 52 52.0 1.7 -18.9 26 55 59.6 74.3 60.7 63.3 -0.1 0.0 57.6 24 58 57.7 59.0 0.0 12.3 62.4 4.0 74.5 -8. Los jóvenes suelen comprar con bastante frecuencia el helado de mango que tiene un sabor espectacular. dato que presentamos a continuación: Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 # de pacientes 52 72 58 69 54 69 46 48 60 46 El administrador de la clínica le ha pedido a Usted que le proponga un modelo de pronóstico para la demanda de pacientes para la semana 11 utilizando: a.30 y mes más antiguo 0. Media Móvil Ponderada a tres semanas. Determine de igual forma la DAM d. Basado en el indicador de eficiencia propuesto (DAM) cuál elegiría Usted como mejor modelo para pronosticar. con las siguientes ponderaciones: la semana más reciente 0. ¿Cuál de los dos métodos propuestos elegiría Usted usando como criterio de eficiencia la Desviación Absoluta Media (DAM)? 29 . mes anterior 0.50. la semana anterior 0. Por ello se presenta a continuación la venta de los últimos doce meses de este helado: Mes 1 2 3 4 5 6 Venta 220 215 195 180 220 235 Mes 7 8 9 10 11 12 Venta 170 210 190 230 220 250 a.50. Para los dueños de dicha heladería es importante tener un estimado de las ventas mensuales de dicho helado para planificar así la producción del mismo.20. Determine también la DAM de dicho modelo c. Las ponderaciones serán las siguientes: mes más reciente 0. Utilice un coeficiente de suavización de 0. Pronostique la demanda del siguiente mes utilizando el Método de Suavización Exponencial Simple.30 y la semana más antigua 0. Pronostique la demanda para el siguiente mes utilizando el Método de Media Móvil Ponderada a tres meses. Media Móvil Simple a tres semanas b. Determine también la DAM b.PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO Helados Don Frío: Esta pequeña heladería está ubicada cerca de un colegio de la localidad. Pronostique la demanda para el siguiente mes utilizando el Método de Media Móvil Simple a tres meses.40. Justifique su respuesta de forma breve y concisa Consultorio Médico: Un pequeño consultorio médico particular ubicado en el área de Pedregal ha registrado la demanda real de pacientes que asisten para medicina general de las últimas 10 semanas.20 c. ANÁLISIS DE TENDENCIA PARA SERIES CON TENDENCIA PURA Se entenderá que una serie de tiempo presenta tendencia pura sí de forma consistente la misma presenta un comportamiento a la alza o a la baja en el largo plazo. exponencial. Invitamos al lector a que se informe del mismo en textos del Área de Estadística Matemática para una mayor comprensión Cuando la serie de tiempo presenta tendencia lineal de los datos se propone un modelo bajo las siguientes ecuaciones: Yˆt a b * t n XY X Y b n X 2 X 2 a Y b X n n EJEMPLO ILUSTRATIVO: Para ilustrar los métodos explicados en esta sección emplearemos los datos de ventas de una compañía que vende motores fuera de borda de los últimos 15 meses. potencial u otro tipo de comportamiento que pueda ser transformado a lineal resulta sencillo y conveniente el uso del modelo de regresión lineal.3. Este principio no será definido en este apartado del documento por la derivación matemática que representa. Tal como se realizó en el capítulo anterior se presentarán los modelos más usados para dicho caso: Regresión Lineal con Tendencia Cuando los datos presentan una tendencia pura. Para ello se realizará el pronóstico para los próximos cuatro meses a través del modelo de regresión lineal con tendencia Queremos destacar la importancia del uso adecuado de los distintos modelos de pronóstico es por ello que utilizaremos la técnica de media móvil simple a tres periodos para los datos para que el lector comprenda que el uso incorrecto de un modelo puede llevar a estimaciones equivocadas y luego de ello se presentarán los resultados para el modelo de regresión lineal con tendencia y los cálculos del DAM y el PEMA De igual forma mostraremos en un gráfico los resultados de las estimaciones con el modelo de media móvil simple a tres periodos 29 . ya sea lineal. Para el cálculo de los estimadores se deberá tener presente el concepto de los Mínimos Cuadrado Ordinarios. 0 17.0 2.0 0.0 7.0 3. es decir que los pronósticos de demanda siempre aparecen por debajo de la línea de las ventas reales (línea en color rojo) lo que implicaría que para el mes 16 para el cual se 29 .00% 11 702 699.0 1.0 3.0 7.14% 10 703 696.0 1.0 21.0 1.0 2.16% 9 701 686.0 El lector podrá que para la técnica empleada se subestima el valor de la venta.03% 8 694 679.19% 6 671 670.3 2.38% 12 710 702.98% 14 711 708.0 15.0 1.42% 15 728 711.0 2.0 8.0 1.0 13.0 15.13% 13 712 705.15% 7 693 672. Media Movil Simple a tres periodos Error Mes Venta MMS-3 Error Abs % 1 654 2 658 3 665 4 672 659.93% 5 673 665.3% Pronostico(t=16)= 717.0 0.0 8.7 0.0 0. 29 Pronostico(t=17)= 734.02% 4 672 670.22 Pronostico(t=18)= 739.4 1.5 0.33% 7 693 684.0 0.1 1.41 8.06 1.74 6.80 4.3 0.09 A= 650.61% 9 701 694.35 3.99 2.6 0.7 B= 4.19% 2 658 660.35% 14 711 719.61 2.48 2.67 3. A continuación mostramos los resultados que se obtendrían de utilizar la regresión lineal como modelo de tendencia Regresión Lineal con Tendencia Error Mes Venta RLT Error Abs % 1 654 655.19 2.93 8.30% 6 671 679.89% 10 703 699.47% 11 702 704.6 0.18% 15 728 724.5% Pronostico(t=16)= 729.86 8.06% 13 712 714.29% 5 673 674.54 0.25 0.54% 29 .37% 12 710 709.2 0.5 0.16 Pronostico(t=19)= 744.9357 PEMA= 0.pronostica la demanda tiene una alta probabilidad de ser un valor muy por debajo de la que se podría presentar es por ello que se hace necesario utilizar otra técnica de pronóstico adecuada.31 DAM= 3.3 0.25 1.2 0.17% 8 694 689.9 1.9 0.33% 3 665 665.1 0.12 0. ya que los mismos solo se presentaron en la tabla y se obvio los cálculos respectivos para la obtención de estos 29 .Como podrás apreciar la línea de tendencia presenta un mejor ajuste a la información pues no tiende a subestimar o sobreestimar a través del pronóstico de venta que se desea hacer por el uso del modelo propuesto. Invitamos al lector a realizar los cálculos de los parámetros de la intersección (A) y de la pendiente (B). PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO Lechería La Vaquita Feliz: La Vaquita Feliz suministra leche grado A en diversas tiendas de comestibles independientes en el Área Metropolitana. Por esta razón le ha solicitado a Usted que mediante los datos de la demanda de los últimos siete años le determine esa demanda. Determine la DAM y el PEMA Hacienda Pasto Verde: La Hacienda Pasto Verde está interesada en planificar la demanda de café de la compañía para los próximos 3 años (2015. Pronostique la demanda para la venta de galones de leche para las próximas tres semanas b. La administración desea elabora un pronóstico de la cantidad de galones de leche vendidos semanalmente. podrá hacer frente a la demanda de los próximos 3 años o necesitará realizar inversiones de capital para aumentar su capacidad actual 29 . A continuación se muestran los valores: Mes 1 2 3 4 5 6 Venta 2536 2859 3250 3327 3421 3526 Mes 7 8 9 10 11 12 Venta 3423 3712 3888 3925 4066 4200 a. Para ello lleva un registro de las ventas de las últimas doce semanas. Si la capacidad instalada de producción de café de la hacienda es de 7600 quintales por año. Determinar la demanda para los años 2015. 2016 y 2017). 2016 y 2017 b. datos que presentamos a continuación: Año 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Quintales 6100 6400 6500 6700 7000 6900 7200 Para la información entregada a Usted se le solicita lo siguiente: a. 4. Este modelo parte de la premisa que el pronóstico es el resultado del efecto multiplicativo de la componente de tendencia por la componente de estacionalidad Yˆt Tt S t Para fines prácticos sólo se presentará el modelo para cuando los datos han sido agrupados en periodos trimestrales (en la práctica los datos de ventas de las empresas son presentados de esta forma). se propone un modelo que une el efecto de ambas componentes por medio de una función multiplicativa de ambas. Para modelar el comportamiento de las mismas. Para comprender mejor los cálculos necesarios para estimar de manera más eficiente los pronósticos mostraremos un ejemplo para este modelo EJEMPLO ILUSTRATIVO: Se cuenta con los datos de unidades vendidas trimestralmente de una compañía de los últimos ocho años. Es por ello que debemos desestacionalizar los datos para suavizar la información y obtener una serie sin los efectos de la estacionalidad trimestral propia de la serie de tiempo mostrada. Con la información suministrada presente el pronóstico de las ventas para los cuatro trimestres del próximo año Año Trim Venta Año Trim Venta I 121 I 192 II 144 II 204 1 5 III 126 III 201 IV 116 IV 161 I 153 I 211 II 152 II 212 2 6 III 130 III 208 IV 123 IV 174 I 161 I 227 II 179 II 248 3 7 III 172 III 221 IV 138 IV 185 I 178 I 256 II 185 II 299 4 8 III 165 III 294 IV 142 IV 239 Para realizar el pronóstico para el próximo año es necesario tener presente que el gráfico de la serie de tiempo mostrada presenta puntos máximos y mínimos de forma cíclica. Para desestacionalizar se procede a realizar un 29 . MODELO DE DESCOMPOSICIÓN ESTACIONAL PARA DATOS QUE PRESENTAN TENDENCIA CON ESTACIONALIDAD Es común encontrar series de tiempo que presentan estas dos componentes juntas. tanto para la MAt como para la CMAt Año Trim Venta MAt CMAt I 121 II 144 1 III 126 126.75 130.75 29 . la venta real (Y t) y la serie suavizada con Media Móvil Centrada (CMAt) Tal como se puede apreciar el suavizado nos da como resultado una línea en color verde sin los efectos de la estacionalidad presente en la serie de tiempo original.doble suavizado con Media Móvil Centrada (CMA). En la tabla a continuación se muestran todos los resultados de los cálculos respectivos. la cual no debe ser confundida con el método expuesto en capítulos anteriores.75 IV 116 134. El centrado consta de dos etapas presentadas a continuación: Yt 2 Yt 1 Yt Yt 1 MAt 4 MAt Mat 1 CMAt 2 A continuación presentaremos los valores obtenidos para los datos mostrados al igual que la gráfica respectiva de las dos series de tiempo. 88 II 179 158.75 137.5 223.25 218.25 144.13 6 III 208 201. que para el caso presentado serán cuatro ya que la información se presentó trimestralmente.25 167.38 4 III 165 167.00 IV 142 171 169.75 7 II 248 217.50 187.13 IV 161 194.25 233.25 203.25 209.75 180.75 153.00 265.50 3 III 172 162.50 I 161 148.88 II 299 258.25 II 212 198.5 140.50 II 185 166.50 160. En este caso se obtuvo el siguiente valor: Tt a b t Tt 108.50 167.25 IV 239 Una vez obtenidos os cálculos de la Media Móvil Centrada se debe proceder a realizar una regresión sobre la serie de tiempo centrada para obtener la componente de tendencia (Tt) en el modelo propuesto.75 164.1796 4.75 II 152 137.25 I 227 214.63 I 178 168.88 IV 185 227.63 IV 174 205.00 197.63 IV 123 141.25 I 192 175.75 173.25 195.25 191.50 167.50 249.25 2 III 130 139.50 138. estos índices se obtienen por medio de las siguientes formulaciones: 29 .38 II 204 184.2721 t Para obtener la componente estacional de la serie de tiempo propuesta se deben obtener los Índices Estacionales (SI).88 I 256 240.88 III 221 220.75 135. I 153 136.63 IV 138 166.25 5 III 201 189.50 215.25 199.38 8 III 294 272.88 I 211 196. 75 0. Veamos los cálculos respectivos para el ejemplo mostrado en esta sección: El gráfico muestra como el cálculo de los factores estacionales eliminan el efecto de la tendencia de en la serie de tiempo. para cada trimestre Recuerde que el valor del promedio de los SI debe ser igual a 1. de no ser así debe normalizar los mismos. A continuación mostramos los valores obtenidos de forma tabular: Año Trim Venta CMAt SF I 121 II 144 1 III 126 IV 116 130.0000.8872 29 . Yt SFt CMAt SI Pr omedio SFt . 50 1.1075 2 III 130 138.50 1.0650 II 1. I 153 135.0741 IV 161 191.1990 1.38 1.1113 II 179 153.0951 1.1661 1.0946 II 299 249.1488 7 III 221 218.1022 29 .00 0. I 1.88 0.0097 IV 185 223.8390 I 192 173.63 1.1488 1.1074 II 204 180.0755 1.8561 I 227 209.1318 1.8754 I 161 144.1271 II 152 137.25 1.63 1.1075 1.88 1.88 1.0755 6 III 208 199.1053 4 III 165 167.8264 I 256 233.1084 IV 239 Con los valores obtenidos del Factor Estacional se obtendrá el índice estacional de cada trimestre respectivo: AÑO PROM.38 1.9378 IV 123 140.25 1. SI DE FILA NORM.0420 IV 174 203.25 0.1990 8 III 294 265.25 1.0807 II 212 197.0807 1.13 1.8391 I 211 195.0627 1.88 1.88 1.0822 1.0627 II 185 167.75 1.1661 3 III 172 160.25 0.13 1.1271 1.38 1.88 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 TRIM.50 0.0946 1.25 1.1318 5 III 201 187.9880 IV 142 169.63 0.63 0.1334 1.8383 I 178 167.1113 1.75 1.1053 1.0822 II 248 215.1074 1.0708 IV 138 164. III 0.8561 0.1022 128.8754 0.45 1.0951 entre 1.9880 1.8872 0.9378 1.0650 119.0741 1.0330 1.0046 IV 0.0708 0.8391 0.0650 proviene de dividir 1.0000 La normalización de los promedios según periodo trimestral se obtiene de dividir el promedio de fila entre el gran promedio.72 1.0046 121.0097 1.8383 0.0420 1.8516 0. ejemplo el valor de 1.1084 1.00 1.76 II 144 116.66 III 126 121. A continuación mostramos los datos tabulados y la gráfica que se obtiene del pronóstico indicado Año Trim Venta Tt SI Yt 1 I 121 112.0283 1.8282 GRAN PROM .8390 0.8264 0. 1.0283 Encontrados los valores de la Función de Tendencia y los Índices Estacionales podemos pronostica para los cuatro trimestres del próximo año.55 29 . 00 5 III 201 189.51 I 227 214.16 1.26 1.36 I 211 197.0046 138.0046 155.88 IV 261.38 IV 174 210.98 0.56 II 204 185.90 I 161 146.1022 260.70 1.55 IV 185 227.51 8 III 294 240.0046 173.26 1.71 IV 123 142.17 1.27 0.62 1.34 9 III 257.0650 210.98 1.63 1.08 1.1022 185.71 IV 239 244.83 6 III 208 206.0046 190.8282 132.44 1.75 I 153 129.0046 258.82 I 249.49 2 III 130 138.36 II 253.0046 207.8282 117.1022 204.16 II 179 150.88 IV 138 159.76 II 212 202.97 29 .8282 174.96 II 152 133.0650 137.53 1.99 1.80 0.16 II 299 236.96 II 248 219.21 IV 161 193.81 1.1022 241.62 0.71 0.1022 166.21 I 192 180.1022 222.54 1.0650 156.16 4 III 165 172.0650 228.43 1.8282 160.8282 146.67 7 III 221 223.34 1.89 1.89 0.72 1.81 1.53 0.0650 174.36 0.66 I 256 232.33 3 III 172 155.0046 241.17 1.05 I 178 163.90 1.8282 103.1022 147.8282 188.0650 247.8282 202.0650 265.35 1.07 1.05 IV 142 176.0650 192.1022 279.08 1.45 0.0046 224. IV 116 125.36 II 185 167.8282 216. 4 a.1 6.PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO Electrónica El Baratillo: Electrónica el Baratillo es una empresa dedicada a la venta de artículos electrónicas a buen precio y buena calidad. A continuación presentamos un registro de la venta total de lentes para sol (en cientos de unidades).9 8. de los últimos cuatro años.4 2013 6.8 2014 6.0 8.2 6.0 5. Realice el pronóstico de demanda para los cuatro trimestres del próximo año La Gran Feria de la Moda: Este pequeño negocio vende de todo tipo de productos para vestimenta. Se ha caracterizado por su buen servicio y ubicación. Interesada en la buena planificación de las operaciones ha mantenido un registro histórico de las ventas de su producto estrella.8 7. de los últimos cinco años. Los cuales se presentan a continuación: Trimestre Año I II III IV 2010 5 4 2 1 2011 14 6 4 4 2012 16 10 3 5 2013 22 12 9 7 2014 25 15 10 13 a. Los cuales se presentan a continuación: Trimestre Año I II III IV 2011 4.5 2012 5.3 5.8 4. el Modelo ABC de la Marca Buen Precio (en miles de unidades). Realice el pronóstico de demanda para los cuatro trimestres del próximo año 29 .0 6.6 7. Este pequeño negocio está ubicado en el Centro de la Ciudad.8 5.5 7. 3786 -9.0254 3.4522 9.7310 -4.4203 16 29 . INFERENCIA ESTADÍSTICA EN LOS MODELOS DE PRONÓSTICO Para el Análisis de las Series Temporales es necesario cumplir con una serie de supuestos que se hacen para el mismo.8152 7.5.4203 Para el cálculo del estadístico de Shapiro Wilk se seguirán los siguientes pasos: Paso 1: Ordenar los valores del menor al mayor. daremos explicación a la técnica de Shapiro Wilk a través de un ejemplo.6000 3. A continuación detallaremos los mismos: Normalidad de los errores Una vez que se realiza el pronóstico con la técnica adecuada. 13.5000 -3.1200 11.6637 -8.2817 13. se debe partir por encontrar el error del pronóstico el cual es igual a: error YREAL YPRONOSTICADA Al tener cada uno de estos errores se puede realizar una prueba de bondad de ajuste que me permita establecer si la distribución de los errores pertenece a una distribución normal..8777 15.2768 4. que para nuestro caso ya están dispuestos de esa forma Paso 2: Calcular el promedio de las observaciones Pr omedio 17.8777 15.9028 -7.6637 .1022 6.. Estas son algunas de las pruebas que se pueden emplear: Prueba de bondad de ajuste de Chi Cuadrado Prueba de bondad de ajuste de Kolmogórov-Smirnov Prueba de Shapiro-Wilk Prueba de Anderson-Darling Para el cálculo de la normalidad de los errores.0960 10.3786 9. Invitamos al lector e revisar el resto de las otras pruebas o el uso de paquetes estadísticos para las mismas: Suponga que los siguientes datos representan los errores de estimación de un pronóstico realizado para las ventas de un producto dado: -17. 2 2 2 X Pr omedio 2 1382.6646 0. dividida por 2.6637 2.6134 0.3526 Paso 4: Calcular el numerador del estadístico W de prueba. a9 X 9 X 8 Los valores de a16. Por lo tanto b será el resultado de: b a16 X 16 X 1 a15 X 15 X 2 .0000 4 0.0947 0.0000 3 0. En el caso de que la división no de exacta se elige el entero superior Para nuestro caso será k = 16/2 = 8..0174 0.1401 0.1224 6 0. a13.6052 0.3291 8 0.0000 2 0.3244 0.2806 0.6431 0.6233 0.7071 0.1677 0.0000 29 ..7071 0. a10.0875 0. a12.5888 0. a9. Pr omedio 2.0432 Paso 3: Calcular la suma de los desvíos cuadrados con respecto a la media X Pr omedio 17.6872 0.0432 .3031 0. a14.0399 5 0.1976 0. el cual llamaremos b: k b ani 1 ( X ni 1 X i ) i 1 Donde k es el valor del total de observaciones (n).0561 0.2141 7 0. a15.5739 9 0.2413 0.0432 9. se obtendrán de la siguiente tabla Valor de n n-1+i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 0..3786 2.. a11. 1271 13 0.2260 0.4886 0.2521 0.0725 0.0303 10 0.5056 0.0000 6 0.2347 0.0000 0.5601 0.505615.0593 0.3232 17 0.9.3526 29 .0880 0.1197 0.0727 0.0433 0.4808 18 0.0000 Reemplazando los respectivos valores obtenemos: b 0.0303 0.329013.0539 0.1005 0.6637 .2460 0.1802 0.3253 0.5150 0.1429 0.0496 0.2495 0.2027 0.2059 15 0.5475 0.3318 0.5359 0.3290 0.2412 0.1707 0.0612 11 0.2553 0.0240 0.4203 .1971 2 .1586 0.5251 0.1641 14 0.3315 0.17.2540 0.2561 16 0.1240 0. b 36.1988 0.. Valor de n n-1+i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 0.1099 0.3325 0.1971 Paso 5: Calcular el estadístico W de prueba: b2 W n (X i 1 i Pr omedio) 2 W 36.1878 0.0000 9 0.3786 0.0000 7 0.3273 0.0695 0.1353 0.9478 1382.3590 0.0932 12 0.1587 0.8777 ..4968 0.0927 0.0163 0.0837 0.1109 0.3306 0.0196 8 0.1939 0.3325 0.1447 0. 753 0.887 0.866 0.764 0.858 0. los datos se aproximan mejor a una Distribución Normal.749 0.859 10 0. para ello se puede realizar observar la Función de Autocorrelación de los errores.917 Para nuestro caso el valor crítico para un nivel de significancia del 5% y una N de 16 observaciones el valor es de 0.835 0.829 0.914 19 0.869 11 0.781 0.Paso 6: Comparar el estadístico W de prueba contra el valor crítico obtenido de la tabla que a continuación presentaremos.9478.889 14 0. Tome en cuenta que cuanto más cercano a uno sea el valor de W calculada.895 15 0.910 18 0.687 0.686 0.713 0.826 7 0. Dado que W calculada es de 0.748 0.818 0.901 16 0.842 0.883 13 0.874 0.851 0.806 6 0.814 0.859 0.876 12 0. En el caso de estas correlaciones habrá independencia si ninguna correlación es significativa 29 .825 0.788 0. Se puede decir que los errores de los pronósticos siguen una Distribución Aproximadamente Normal Independencia de los errores Aparte de la prueba de normalidad es necesario que los errores no estén correlacionados.792 0.887.850 0.851 9 0.803 0. Es por eso que si W de prueba es mayor que W crítica (la que se obtiene de la tabla) se acepta Normalidad Valores de W tabulados para una Prueba de Shapiro & Wilks Nivel de Significancia del N 0.906 17 0.897 0.892 0.762 0.789 4 0.901 0.05 0.10 3 0. la cual es mayor que W crítica.730 0.838 8 0.863 0.01 0.881 0.792 5 0.805 0.767 0.844 0. 96 * 4.07 27. se debe esperar que la cantidad a vender el próximo lunes es un valor ubicado entre 27 y 43 ejemplares.256 4. 30 martes.07 LI 35 1. A continuación la ecuación que define el intervalo de confianza: LI YPRONOSTICADA Z / 2 EEYˆ LS YPRONOSTICADA Z / 2 EEYˆ EEYˆ 1.96 * 4. Encuentre el intervalo de confianza para el pronóstico con un nivel de confianza de 95% EEYˆ 1. con una desviación absoluta media de 3.25 * 3.25 * DAM 1. con un nivel de confianza del 95% 29 . Para el siguiente lunes se obtuvo que el pronóstico de venta para el Supermercado Kung Fu es de 35 ejemplares.0228 LS 35 1.256. … Una vez se realizaron los respectos análisis a los supuestos se encontró que los errores presentan normalidad e independencia.9772 Por lo tanto. Para ello tiene recogido los datos de las ventas de los últimos 30 lunes.Intervalos de confianza para el pronóstico Además del pronóstico propiamente en un conjunto de datos en series de tiempo. El cual será válido para una muestra grande (al menos 30 observaciones).07 42.25 * DAM EJEMPLO ILUSTRATIVO: Suponga que se empleo un modelo de Suavizado Exponencial Simple para pronosticar las ventas de periódicos para la siguiente semana. Si el modelo cumple con los dos supuestos anteriores se puede construir un intervalo de confianza para el pronóstico. En resumen. Esto se puede evidenciar en el hecho de que se pone principal énfasis en el desarrollo de los modelos matemáticos que dan como resultado cada una de las formulaciones correspondientes a los distintos casos que puedan presentarse en los modelos de pronóstico que se expusieron. De igual forma se intenta presentar ejemplos lo más aproximados a situaciones reales. 29 . CONCLUSIONES Los objetivos planteados con la elaboración de este documento se alcanzan de manera satisfactoria. la comprensión clara de los elementos que se deben definir para el desarrollo de las formulaciones de modelos de pronósticos conlleva a postular modelos más completos aplicados a casos reales. de empresas de nuestro entorno. Se expuso de manera sencilla cuales son los principios elementales que se deben tomar en cuenta a la hora de elegir el modelo que aplica a cada caso que se presente según las componentes de la serie de tiempo analizada. RECOMENDACIONES Y PROYECTOS FUTUROS Como parte del trabajo del estudiante que hace uso de este documento se recomienda que realice visitas a empresas de la localidad con departamentos relacionados con la labor de estimación de pronósticos de demanda para la toma de decisiones. Como trabajo futuro el autor se plantea ampliar la aplicación de modelos de pronósticos más complejos. como es el caso de los modelos ARIMA. Esta metodología ha tenido un uso más extensivo con el desarrollo de la tecnología de información y por la precisión de la misma 29 . cuya metodología de análisis fue expuesta por los estadísticos George Box y Gwilym Jenkins. Primera Edición. Primera Edición. Econometría básica: Técnicas y herramientas. BIBLIOGRAFÍA Anderson. Métodos Cuantitativos para los Negocios. J. Editorial Pearson. Gallagher. Jeffrey y Martin. Williams. (2007). y Vining. Dennis. Peck. Editorial Pearson. Segunda Edición. Elizabeth A. Thomas. Ralph y Hanna. Michael. Stair. Métodos Cuantitativos para los Negocios.. Charles y Watson. Wilson. (2007). Geoffrey. Montgomery. Render. David. Barry. (2006). y Reitsh. Editorial McGraw Hill. César. Kipp. Camm. Hugh. Tercera Edición. Hanke. (2006). Editorial Pearson. Sweeny. Editorial Cengage Learning. (2012). (2011). Pronósticos en los Negocios. (1982). Holton y Keating. Pérez López. Econometría de las Series Temporales. César. Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en Administración. Douglas C. (1996). Pérez López. John E. Pronósticos en los negocios con ForecastXMR basado en Excel. Compañía Editorial Continental CECSA. Barry. G. Undécima Edición. Editorial McGraw Hill. Quinta Edición. Introducción al Análisis de Regresión Lineal. Arthur G. Primera Edición. Undécima Edición. 29 . Editorial Pearson.