UNIVERSIDAD D E EL SALVAD ORUNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL PRESUPUESTOS DE PRODUCCION y F acultad de Ingeniería y Arquitectura TEMA: PRONOSTICOS POR MINIMOS CUADRADOS DOCENTE Ing. Saúl Granados INTEGRANTES Carranza Martínez, YeniNathaly Hernández Amaya, Loida Eunice Orantes Tobar, David Alberto Santos Vásquez, Sandra Maribel CM06021 HA04010 OT 04001 SV06002 Ciudad Universitaria, 14 de abril de 2011 [PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Índice Contenido Introducción ........................................................................................................................i Objetivos ............................................................................................................................ ii Objetivo General ............................................................................................................. ii Objetivos Específicos ....................................................................................................... ii Contenido ...........................................................................................................................1 Pronostico ..........................................................................................................................1 Historia del método de mínimos cuadrados ........................................................................3 Definición del método .....................................................................................................4 Formulación dimensional de los problemas.....................................................................5 Deducción analítica de la aproximación discreta mínimo cuadrática lineal ......................6 Corolario .........................................................................................................................8 Deducción geométrica del problema discreto .................................................................9 Algunas Ventajas y restricciones del Modelo .................................................................12 Ventajas ....................................................................................................................12 Restricciones .............................................................................................................13 Pronostico por mínimos cuadrados ...................................................................................13 FÓRMULA GENERAL ......................................................................................................14 MÉTODO SIMPLIFICADO (PARES Y NONES) ....................................................................14 Ejemplos: ......................................................................................................................14 Método general ........................................................................................................14 Método simplificado .................................................................................................16 Conclusiones.....................................................................................................................22 Bibliografía .......................................................................................................................23 universidad de el salvador | Índice universidad de el salvador | Introducción i . dada en términos como por ejemplo. el crecimiento en las ventas. Tomando en cuenta lo anterior se puede hacer una inferencia en la necesidad de establecer o tomar en cuenta diversos modelos de pronóstico que pueden ayudarnos a determinar el comportamiento o tendencia de la o las variables seleccionadas. una descripción matemática de un fenómeno de la vida real. el pronóstico en la tendencia inflacionaria en los precios del petróleo y otras materia primas. se presentan los pronósticos en base al método de los mínimos cuadrados que es una de las herramientas de las más usadas en la actualidad para corregir tendencias y alinearlas hacia una tendencia lineal sobre el pronóstico de lo calculado. son ejemplos de fenómenos reales que se pueden modelar matemáticamente por una función. como consecuencia. de una función o de una ecuación es lo que constituye un modelo matemático. hacer pronósticos acerca de su comportamiento. En el caso en particular. el costo de la reducción de productos contaminantes en una determinada zona. El consumo continuo de un producto en el mercado. Este como todos los pronósticos tiene la finalidad de comprender los fenómenos y.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Introducción Como sabemos. el aumento o decremento en la producción. la necesidad de realizar pronósticos sobre la variación a futuro del PIB en un país determinado. [PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Objetivos Objetivo General Dar a conocer el método de Mínimos Cuadrados como una alternativa para pronosticar tendencias dentro de una diversa alternativas para elaborar dichos pronósticos. Conocer la forma de aplicación del método de mínimos cuadrados. Establecer las ventajas y limitaciones del método. Objetivos Específicos Establecer una formación histórica de donde deriva el método. Ejemplificar el uso de la técnica para dar una mejor comprensión de la misma. Dar a conocer el algoritmo para poder lograr hacer el ajuste de las tendencias mediante el método de mínimos cuadrados para usarla como herramienta de pronóstico. universidad de el salvador | Objetivos ii . será necesario definir primero algunas consideraciones sobre la necesidad de pronosticar Pronostico ¿Qué es un pronóstico? Es una serie de datos que en base a una serie de estudios determinan la demanda en un futuro de un determinado producto.Es una inferencia a partir de ciertos datos. Es necesario pronosticar cuándo se considera: Un entorno altamente incierto. Mejorar la planeación y la elaboración presupuestal Cuando se desea mejorar en competitividad y lograr un cambio en la búsqueda de crecimiento universidad de el salvador | Contenido 1 .[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Contenido Para hablar de Mínimos Cuadrados. ¿Cómo se define el pronóstico? Es una técnica que permite predecir lo que ocurrirá en el futuro. La intuición no necesariamente da los mejores resultados. El pronóstico dependerá de los cambios en las variables externas al sistema de producción. hay varias clases de pronósticos que se pueden considerar y a continuación se presenta una tabla que nos describe una de las clasificaciones existentes. Al paso del tiempo estas ideas las adoptan los comerciantes y empresarios y se fue formalizando poco a poco para el concepto de los pronósticos hasta llegar a la que hoy se conoce como un importante tema. ¿Cuándo una empresa está en condiciones de optimizar? Cuando una empresa determina la demanda futura de sus pronósticos. universidad de el salvador | Pronostico 2 . está en condiciones de optimizar el uso de todos sus recursos. los Políticos y personas adineradas acudían a los clarividentes para que les comentaran acerca de sus vidas en el futuro. y en base a esto planear y controlar la cantidad de productos que deberá producir. lograr sus objetivos y satisfacer la demanda de sus clientes oportunamente. ¿Dónde se utilizan las técnicas de pronósticos en una empresa para determinar la demanda? Estas técnicas se utilizan en empresas para determinar la demanda futura de sus productos. Por su plazo: Según el entorno a pronosticar y y y y y y De corto plazo De largo plazo Micro Macro Cualitativo Cuantitativo Según el procedimiento empleado ¿Qué significa pronosticar? Es predecir el futuro a partir de algunos indicios ¿Cuáles son los antecedentes de los pronósticos? Tuvieron su origen en aspectos informales de la vida cotidiana.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Para este efecto. En otras épocas los Reyes. La mayoría de evaluaciones fueron inútiles. Durante el curso de ese año. El día de Año Nuevo de 1801. Fue capaz de seguir su órbita durante 40 días. ¿Cuál es la validez de un pronóstico? No es la verdad absoluta respecto a algún evento en el futuro. el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió el planeta enano Ceres. un pronóstico solo es una aproximación a la realidad entre más se acerque a ella mejor será. En una Sistema de producción se presentan 2 grupos de problemas a) Probabilidad de diseño b) Probabilidad de la planeación ¿Cómo se agrupan las técnicas de pronósticos que utilizan en la actualidad? Cualitativas Cuantitativas Combinación de ambas Historia del método de mínimos cuadrados Carl Friedrich Gauss. el único cálculo suficientemente universidad de el salvador | Historia del método de mínimos cuadrados 3 .[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES ¿Quién utiliza las técnicas de pronósticos? Personal especializado y adscritos a las áreas de producción y mercadotecnia de las productoras o bienes. muchos científicos intentaron estimar su trayectoria con base en las observaciones de Piazzi (resolver las ecuaciones no lineales de Kepler de movimiento es muy difícil). dados un conjunto de pares (o ternas. apareciendo en el segundo volumen de su trabajo sobre mecánica celeste. que teniendo dichos datos históricos o experimentales. El argumento concreto se conoce como teorema de Gauss-Márkov.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES preciso para permitir aZach. etc. el método de mínimos cuadrados es óptimo en muchos aspectos. de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático. etc). reencontrar a Ceres al final del año fue el de un Carl Friedrich Gauss de 24 años (los fundamentos de su enfoque ya los había planteado en 1795. En 1829 Gauss fue capaz de establecer la razón del éxito maravilloso de este procedimiento: simplemente. en la que. Específicamente. se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"). intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. con el mínimo de operaciones (por iteración). En su forma más simple. se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Definición del método Mínimos cuadrados: es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática. Es decir. Pero su método de mínimos cuadrados no se publicó hasta 1809. Generalmente pueden ser datos históricos de determinadas variables como ventas. TheoriaMotusCorporumCoelestium in sctionibusconicissolemambientium. tasas de inflación. se pueden obtener la pendiente y la ordenada de origen de la recta que mejor se ajuste a los valores dados y con base a la ecuación o función poder estimar hacia el futuro. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado. astrónomo alemán. Su uso básicamente se centra en que permite encontrar la ecuación de una línea recta a partir de datos previos o experimentales. pero requiere un gran número de iteraciones para converger. El francés Adrien-Marie Legendre desarrolló el mismo método de forma independiente en 1805. costos de materias primas. universidad de el salvador | Historia del método de mínimos cuadrados 4 . cuando aún tenía 18 años). El error en un punto (xk. un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. definido como: universidad de el salvador | Historia del método de mínimos cuadrados 5 . o. por ejemplo. siendo . equivalentemente. Elteorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse. El criterio de mejor aproximación puede variar. pero en general se basa en aquél que dé un menor error en la aproximación. encontrar una función esto es: Se trata de hallar los m coeficientes cj que hagan que la función aproximante f(x) sea la mejor aproximación a los puntos (xk. Sea fj(x). el llamado error cuadrático.yk) se podría definir como: La aproximación mínimo cuadrada se basa en la minimización del error cuadrático medio.yk). una base de m funciones linealmente independientes.yk). También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos. a una distribución normal. en la minimización del radicando de dicho error. La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Queremos combinación lineal de las funciones base tal que . véase mínimos cuadrados ponderados). para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados. Formulación dimensional de los problemas Supóngase con el conjunto de puntos (xk. minimizando la energía o maximizando la entropía.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Desde un punto de vista estadístico. el método de mínimos cuadrados no ha sido superado. A las funciones que multiplican a los coeficientes buscados. supongamos que es cuadrática. Para los Modelos estáticos uniecuacionales. cualesquiera linealmente independientes universidad de el salvador | Historia del método de mínimos cuadrados 6 . se les conoce con el nombre de funciones base de la aproximación. a pesar de diversos intentos para ello. Deducción analítica de la aproximación discreta mínimo cuadrática lineal Sean n pares con abscisas distintas. Por ejemplo. La aproximación de mínimos cuadrados es la mejor aproximación al conjunto de puntos (xk. Se puede demostrar que. lo que quiere decir que . pero la dificultad que entraña operar con ellos debido al valor absoluto de su expresión hace que apenas se usen. Es posible generar otro tipo de aproximaciones si se toman los errores máximos o medios. esto es. Para hallar la expresión de la fórmula general.yk). es posible o bien minimizar el error cuadrático arriba expuesto. según el criterio del error cuadrático medio. desde principios del Siglo XIX. y sean m funciones . donde no conocemos aún . para lo cual se haría uso del cálculo multivariable (se trataría de un problema de optimización en cj). que se llamarán funciones base. o alternativamente hacer uso del álgebra lineal en la llamada deducción geométrica. y que minimicen la suma de los cuadrados de los residuos (S): Esto explica el nombre de mínimos cuadrados. en su género. La aproximación mínimo cuadrado tiene solución general para el caso de un problema de aproximación lineal en sus coeficientes cjcualesquiera sean las funciones base fj(x) antes expuestas.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Para alcanzar este objetivo. a x2. Dichas funciones base pueden ser cualesquiera funciones. y para ese caso se deduce a continuación la fórmula general en el caso de que la aproximación sea discreta y lineal. es el que proporciona la mejor aproximación. Por lineal se entiende f(x) es una combinación lineal de dichas funciones base. y . suponemos que la función f es de una forma particular que contenga algunos parámetros que necesitamos determinar. x y 1. Ahora buscamos los valores de . que recibe el nombre de "Ecuaciones Normales de Gauss". definido como el radicando del error cuadrático medio.m..2. .[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Se desea encontrar una función f(x) combinación lineal de dichas funciones base. esto es: Así. y podrán ser calculados derivando e igualando a cero este último: Siendo i=1. Se obtiene un sistema de m ecuaciones con m incógnitas. . de mínimo error cuadrático medio de la función f(x) con respecto a los puntos El error cuadrático medio será para tal caso: Minimizar el error cuadrático medio es equivalente a minimizar el error cuadrático. . tomando por ello la forma: Ello equivale por tanto a hallar los m coeficientes tal función f(x) sea la mejor aproximación a los n pares . los cj que minimizan Ecm también minimizan Ec. En concreto. se desea que empleando el criterio . Operando con ellas: universidad de el salvador | Historia del método de mínimos cuadrados 7 . Corolario Si se tratara de hallar el conjunto {cj} tal que f(x) pasara exactamente por todos los pares . se visualiza la ecuación "i" del sistema de ecuaciones normales: . se obtiene que: Siendo (a. entonces universidad de el salvador | Historia del método de mínimos cuadrados 8 . para el saber de ellos para cualquier base de funciones derivables localmente. definido para dos funciones dadas h(x) y g(x) como: y para una función h(x) y vector cualquiera u. proporciona la mejor aproximación siguiendo el criterio de mínimo error cuadráticoʹ. En forma matricial.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Si se desarrolla el sumatorio. como: La resolución de dicho sistema permite obtener. la mejor aproximación mínimo cuadrática f(x) al conjunto de puntos antes mencionado. La solución es óptima ʹesto es. puesto que se obtiene al optimizar el problema. tales que f(x)interpolara a tendría que cumplirse que: .b)d el producto escalar discreto. esto es. [PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES En forma matricial. y e le término independiente de las ecuaciones normales de Gauss coincide con el vector . quedaría sobre determinado: no tendría solución general. y como en general n>m. que son las ecuaciones normales de Gauss. de manera que puede escribirse que los {cj} que mejor aproximan f(x) pueden calcularse como la solución al sistema: . deberá tender a pasar exactamente por todos los puntos. Por tanto. siendo A la matriz de coeficientes exactas. Deducción geométrica del problema discreto La mejor aproximación deberá tender a interpolar la función de la que proviene el conjunto de pares (xk. la aproximación tratará en realidad de hallar el vector c que mejor aproxime . ello se expresaría: Esto establece un sistema de n ecuaciones y m incógnitas. esto es.yk). Se puede demostrar que la matriz de coeficientes de las ecuaciones normales de Gauss coincide con . Eso supone que se debería cumplir que: Sustituyendo f(x) por su expresión: universidad de el salvador | Historia del método de mínimos cuadrados 9 . r)2 el producto interior o escalar del vector residuo sobre sí mismo. lo que se realiza es una combinación lineal de las columnas de A: El problema de aproximación será hallar aquella combinación lineal de columnas de A lo más cercana posible al vector b. es posible definir el vector residuo como: De manera que el mínimo error cuadrático supone minimizar el residuo. no tiene solución general. dicho sistema está sobredeterminado. Dicho sistema podría expresarse en forma matricial como: Esto es: La aproximación trata de hallar el vector c aproximante que mejor aproxime el sistema Ac = b. entonces se ve claramente que al multiplicar A y c. definiendo su tamaño en base a la norma euclídea o usual del residuo. que equivale al error cuadrático: siendo (r. se tendría que verificar exactamente un sistema de n ecuaciones y m incógnitas. pero como en general n>m. De ahí surge la necesidad de aproximarlo. Se comprueba que el conjunto de las columnas de universidad de el salvador | Historia del método de mínimos cuadrados 10 . Si atendemos al sistema Ac = b.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Esto es. Con dicho vector c aproximante. esto es. ortogonal a cada columna de A.. Es inmediato ver que si el residuo une b con su proyección ortogonal. Si estas son la unidad y la función x. sean cuales sean las funciones base... el que cumple esto con respecto a la norma euclídea es la proyección ortogonal del b sobre span(A1. De entre todos ellos.. cada una de las m condiciones de perpendicularidad se puede agrupar en una sola: Sustituyendo el residuo por su expresión: Por tanto.. la mejor aproximación mínimo cuadrada lineal para un conjunto de puntos discretos. entonces la aproximación se llama regresión lineal.A2. se tratará de hallar el más cercano al vector b.Am) que son combinación lineal de los vectores de la base.. En el análisis de regresión.A2.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES A engendran un Span lineal: span(A1..A2.. A esta ecuación se le llama ecuación normal de Gauss. Entonces..A2.. y es válida para cualquier conjunto de funciones base. y que por tanto hace que el tamaño del vector r. al que el vector b no tiene porqué pertenecer (si lo hiciera. entonces es a su vez ortogonal al span(A1. que será el vector que una los extremos de los vectores b y proyección ortogonal de b sobre el span. La condición de minimización del residuo será: Esto solo es cierto si: A su vez. y a cada uno de los vectores de la base.. sea mínimo. que minimiza su norma euclídea.Am). el sistema Ac=b tendría solución)... se sustituye la relación por universidad de el salvador | Historia del método de mínimos cuadrados 11 ..Am).. de los infinitos vectores del span(A1.Am). se obtiene al resolver el sistema cuadrado: . esto es.. son más apropiados los métodos de regresión robusta. si tomamos f(x) = ax + b estandoa y b por determinar y con los términos de perturbación ɸ independientes y distribuidos idénticamente (véase el artículo si desea una explicación más detallada y con condiciones menos restrictivas sobre los términos de perturbación). (Es tentador pensar que la razón del nombre regresión lineal es que la gráfica de la función f(x) = ax + b es una línea. b y c por mínimos cuadrados es un ejemplo de regresión lineal porque el vector de estimadores mínimos cuadráticos de a. Como antes. solo depende de los resultados experimentales. los estimadores mínimos cuadráticos son ineficientes y pueden serlo en extremo. la regresión lineal es mucho más sencilla que la no lineal. De nuevo. Si aparecen valores atípicos en los datos. Ajustar una curva f(x) = ax2 + bx + c. distinguimos entre regresión lineal. f(x) = ax2 + bx + c). y regresión no lineal.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES siendo el término de perturbación ɸ una variable aleatoria con media cero. Los parámetros (a. no importando quien realice el análisis. proporciona la misma ecuación. La estimación de mínimos cuadrados para modelos lineales es notoria por su falta de robustez frente a valores atípicos (outliers). universidad de el salvador | Historia del método de mínimos cuadrados 12 . Algunas Ventajas y restricciones del Modelo Ventajas Es objetivo. en cuyo caso la función f es lineal para los parámetros a ser determinados (ej. b y c en el ejemplo anterior) se estiman con frecuencia mediante mínimos cuadrados: se toman aquellos valores que minimicen la suma S. estimando a. y que todos los errores están en los valores y. En presencia de cualquier valor atípico.. Obśervese que estamos asumiendo que los valores x son exactos. y por tanto de menor error cuadrático medio. Si la distribución de los atípicos es asimétrica. El teorema de Gauss-Márkov establece que los estimadores mínimos cuadráticos son óptimos en el sentido de que son los estimadores lineales insesgados de menor varianza. los estimadores pueden estar sesgados. b y c es una transformación lineal del vector cuyos componentes son f(xi) + ɸi). Es reproducible. Para aplicar este método en el cálculo de pronósticos de la demanda.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Proporciona una estimación probabilística. de la ecuación que representa unos datos experimentales. Luego de haber definido lo que es un pronóstico y el método de mínimos cuadrados definiremos nuestro tema que es pronóstico por mínimos cuadrados. de lo contrario es muy engorroso. que son conocidos como coeficientes de regresión. Requiere tener al menos 20 mediciones bajo las mismas circunstancias experimentales. Los pronósticos elaborados con este modelo sólo derivan en una tendencia lineal. Pronostico por mínimos cuadrados Esta es otra técnica de tipo cuantitativo que permite el cálculo de los pronósticos para períodos futuros. Proporciona intervalos pequeños de error. y es la variable dependiente (pronóstico de la demanda). Se requiere de algún equipo de cálculo. se deben tener en cuenta las siguientes expresiones matemáticas: universidad de el salvador | Pronostico por mínimos cuadrados 13 . reales y precisos. para lo cual requiere de registros históricos que sean consistentes. En la práctica se pueden utilizar dos métodos para calcular los pronósticos a través de mínimos cuadrados: Fórmula general y Métodos simplificado. Esta técnica como su nombre lo indica se trata de sacar el total de las desviaciones elevadas al cuadrado a un valor mínimo: su objetivo es determinar los coeficientes a y b. Restricciones Sólo sirve para ajustar modelos lineales. donde x es la variable independiente (tiempo). ) Nones: Es cuando los períodos considerados en los cálculos son impares (1. en la práctica es más simple y se llega al resultado de forma más rápida. teniendo como antecedentes los datos que se universidad de el salvador | Pronostico por mínimos cuadrados 14 . 7.... 8. 6.. empresa internacional en su área de pilas desechables.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES FÓRMULA GENERAL donde: n = tamaño de la muestra o el número de períodos x = período en el que se desea el pronóstico y = el pronóstico MÉTODO SIMPLIFICADO (PARES Y NONES) El método simplificado como su nombre lo indica. 4. 5. 9. desea calcular el pronóstico de ventas para el año 2003. 3. Las expresiones a usar son: Donde: n = tamaño de la muestra o el número de períodos x = período en el que se desea el pronóstico y = el pronóstico ¿Cuándo será par y cuando será non? Pares: Debemos entender por pares el numero de períodos expresados de dos en dos (2.) Ejemplos: Método general Ejemplo 1: Panasonic. El cálculo del pronóstico se deberá emitir mediante la fórmula general y corroborarse con el método simplificado que corresponda. Períodos 1990 1991 1992 1993 1994 1995 ɇ Ventas (miles) 85 89 92 95 93 98 552 x 1 2 3 4 5 6 21 xy 85 178 276 380 465 588 1972 x^2 1 4 9 16 25 36 91 Cálculo del pronóstico x son los períodos desde el primer dato histórico hasta el pronóstico a calcular Ejemplo 2: Sabritas S. para lo cual cuenta con el volumen de ventas anuales que se indican en la siguiente tabla. se hará la planeación de los recursos a utilizar en el sistema.V. desea elaborar el pronóstico de ventas para uno de sus productos en el año 2003 y en torno a éste resultado.A de C. universidad de el salvador | Pronostico por mínimos cuadrados 15 .[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES muestran en la tabla. Períodos 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 å Ventas (miles) 120 121 117 118 124 125 120 118 130 1093 45 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xy 120 242 351 472 620 750 840 944 1170 5509 285 x2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 Cálculo del pronóstico Método simplificado Ejemplo 1: universidad de el salvador | Pronostico por mínimos cuadrados 16 .[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES El cálculo de éste pronóstico se deberá hacer a través de Fórmula General y Método Simplificado. es decir para y = 6 (coeficiente que le correspondería al año 2005).160 965 1.106 universidad de el salvador | Pronostico por mínimos cuadrados 17 .150 4.858 -230 0 1. 1999 Para cada año anterior se resta 1 (uno) y para cada posterior se suma 1 (uno) Período A ño 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Totales Ventas (y) U$S x 1000 408 701 803 929 230 1.19 $45 En el año 2005. En el cuadro siguiente puede verse cómo se armaría la tabla para calcular los totales en base a los cuales calcularemos a y b. dado que la cantidad de años a analizar ³n´ es impar (n = 11).118 720 9.160 1.409 -1. a = 9.100 1. es decir.184 X Xy x2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 -2. las ventas serían: Y = 835 + 45 x 6 = 1. queriendo conocer cuál sería la tendencia para el 2005.472 3.90 $ 835 b = 4. El coeficiente X.050 1. en este caso año 6.040 -2.600 4.971 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 110 En función de las fórmulas mencionadas obtendremos.804 -2.930 3. se obtiene de la siguiente forma: 0 para el año que se encuentra exactamente a la mitad.971 / 110 = 45.184 / 11 = 834.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Vayamos a un ejemplo práctico: Cantidad de años a considerar impar Supongamos una empresa con información desde el año 1994 a 2004. El coeficiente X.882 / 11 = 877.826 6.480 5.246 / 330 = 15.246 x2 81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 330 a = 9.100 1.309 -5.621 -4. Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Año 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Totales Ventas (y) U$S x 1000 701 803 929 230 1.645 -690 -1.118 720 8. llevará coeficiente ±1 mientras que el que le sigue llevará coeficiente 1. dado que la cantidad de años a analizar ³n´ es par (n = 10) se obtiene de la siguiente forma: En este caso no existe un año medio.052 universidad de el salvador | Pronostico por mínimos cuadrados 18 .90 $16 En el año 2005. queriendo conocer cuál sería la tendencia para el 2005. El año que corresponde al total de años dividido dos (2).250 7. las ventas serían: Y = 988 + 16 x 11 = 1. según corresponda. El resto de los años.050 1.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Ejemplo 2: Vayamos a otro ejemplo práctico: Cantidad de años a considerar par Supongamos una empresa con información desde el año 1995 a 2004.895 5.100 1. En el cuadro siguiente puede verse cómo se armaría la tabla para calcular los totales en base a los cuales calcularemos a y b.160 2.776 x -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 0 xy -6.160 965 1. llevarán el coeficiente menos dos o más dos. es decir para y = 11 (coeficiente que le correspondería al año 2005). hacia atrás y hacia adelante.6 $877 b = 5. desea calcular el pronóstico de ventas para el año 2003.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Ejemplo 3: Desarrollando el ejemplo de 1. *los períodos se cuentan a partir de 1993 con números consecutivos impares de los asignados a x en un principio hasta llegar a 2003: universidad de el salvador | Pronostico por mínimos cuadrados 19 . teniendo como antecedentes los datos que se muestran en la tabla. Pares porque el número de períodos es par (6) Períodos 1990 1991 1992 Ventas (miles) 85 89 92 x -5 -3 -1 0 1993 1994 1995 ɇ 95 93 98 552 1 3 5 0 xy -425 -267 -92 0 95 279 40 80 x2 25 9 1 0 1 9 25 70 NOTA: A x se le asignan valore impares porque es un problema par. Panasonic. El cálculo del pronóstico se deberá emitir mediante la fórmula general y corroborarse con el método simplificado que corresponda. empresa internacional en su área de pilas desechables. para lo cual cuenta con el volumen de ventas anuales que se indican en la siguiente tabla.A de C. desea elaborar el pronóstico de ventas para uno de sus productos en el año 2003 y en torno a éste resultado. Nones porque el número de períodos es impar (9) Períodos 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Ventas (miles) 120 121 117 118 124 125 120 118 130 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 xy -480 -363 -234 -118 0 125 240 354 520 x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 universidad de el salvador | Pronostico por mínimos cuadrados 20 . se hará la planeación de los recursos a utilizar en el sistema.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES 96-7 97-9 98-11 99-13 2000-15 2001-17 2002-19 2003-21 Ejemplo 4: Desarrollando el ejemplo de 2.V. Sabritas S. [PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES ɇ 1093 0 44 60 NOTA: A x se le asignan valores consecutivos *los períodos se cuentan a partir de 1992 con números consecutivos de los asignados a x en un principio hasta llegar a 2003: 96-5 97-6 98-7 99-8 2000-9 2001-10 2002-11 2003-12 universidad de el salvador | Pronostico por mínimos cuadrados 21 . universidad de el salvador | 22 . pero este se vuelve el ideal cuando existe un ajuste de la tendencia y un programa mecanizado que nos permita su cálculo. El método de mínimos cuadrados es una técnica de las mejores aceptadas por sus resultados de fiabilidad en cuanto a la reducción del error derivado del ajuste en los datos reales respecto de la línea propuesta. Muchas veces el método de mínimos cuadrados es el más aceptado dentro de las leyes tributarias y económicas de un Estado.[PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Conclusiones No en todas las tendencias se puede aplicar con fiabilidad el método de mínimos cuadrados. El método tiende a ser un poco engorroso en su cálculo de forma manual. al mismo tiempo que es el de mayor uso dentro de las empresas. [PRONÓSTICO POR MINIMOS CUADRADOS] UES Bibliografía www.com/trabajos13/...blogspot.shtml http://henalova.es universidad de el salvador | Bibliografía 23 .monografias./placo.
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