1 Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra Recinto Santo Tomás de Aquino Facultad de Ciencias Sociales y Administrativas Departamento de Administraciónde Empresas MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones en honor a Carlos Dreyfus PROGRAMA GENERAL Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro
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[email protected] www.atalayadecristo.org • SEPTIEMBRE, 2008 Modelos de Programación Lineal. o Método Gráfico. o Método Simplex. o Método PERT. o Diagrama de Gantt. Proyecto Final – Modelos de Programación Lineal. • • Bibliografía de Programación Lineal. o ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas. Métodos Cuantitativos para los Negocios. International Thomson Editores: Novena Edición. 2004 - Séptima Edición. 1999. ARREOLA RISA Jesús S. And ARREOLA RISA Antonio. Programación Lineal – Una introducción a la toma de decisiones cuantitativa. International Thomson Editores: Primera Edición. 2003. HILLIER Frederick S., HILLIER Mark S. Métodos Cuantitativos para Administración. McGraw-Hill: Tercera Edición, 2008. HAEUSLLER Ernest F. And PAUL Richard S. Matemáticas para Administración y Economía. Pearson Educación – Prentice Hall: Décima edición 2003. BONINI Charles, HASUMAN Warren and BIERMAN Harold. Análisis Cuantitativo para Negocios. McGraw-Hill: Novena Edición, 2000. BIERMAN Harold, BONINI Charles and HASUMAN Warren. Análisis Cuantitativo para la Toma de Decisiones. McGraw-Hill: 1994. Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro o o o o o [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella, MBA – Cavaliere 1 PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com 2 o LORA Ricardo and GRULLON Ramón. METODOS CUANTITATIVOS EN LA TOMA DE DECISIONES. Departamento Editorial de la Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra. Santiago de los Caballeros, República Dominicana: Tercera Edición, 1994. o HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald. Introducción a la Investigación de Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1997. CHASE Richard and AQUILANO Nicholas. Dirección y Administración de la Producción y de las Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1995. o o EPPEN G.D., GOULD F.J., SCHMIDT C.D., MOORE Jeffrey and WEATHERFORD Larry. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Pearson Educación – Prentice Hall: Quinta edición 2000. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella, MBA – Cavaliere 2 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com 3 • Modelos de Programación Lineal. La Programación Lineal es una de la más vieja y aún una de las más importantes herramientas de la investigación de operaciones, se utiliza cuando un problema se puede describir utilizando ecuaciones y desigualdades que son todas lineales. La Programación Lineal (PL) es una técnica matemática de optimización. Por técnica de optimización se entiende un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo; por ejemplo, maximizar las utilidades o minimizar los costos. La programación lineal es un subconjunto de un área más extensa de procedimientos de optimización matemática llamada Programación Matemática. La Programación Lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado optimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución. La Programación Lineal no da espacio para que haya incertidumbre en ninguna de las relaciones; no incluye ninguna probabilidad o variable aleatoria. Por consiguiente, el problema de maximizar la función objetivo, sujeta a las distintas restricciones, es conceptualmente simple. Cuando hay sólo unas pocas variables, el sentido común y algo de aritmética pueden dar una solución, y es que así se han resuelto esos problemas por generaciones. Sin embargo, como es frecuente, la intuición es poco valida cuando el problema es más complejo; ya que cuando el número de variables de decisión aumenta de tres o cuatro a cientos de miles, el problema desafía los procedimientos empíricos. La programación lineal ha hecho posible manejar de una manera ordenada, problemas con grandes cantidades de restricciones. Esta técnica tiene excepcional poder y aplicación general. Es aplicable a una gran variedad de problemas organizacionales de los negocios modernos y puede manejarse como una rutina con la ayuda de los computadores actuales. Es una de las técnicas cuantitativas que le ha dado a la gerencia elementos eficaces para abordar un conjunto de problemas que admitían sólo soluciones parciales hasta hace pocos años. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella, MBA – Cavaliere 3 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com MBA – Cavaliere 4 Ingeniero de Sistemas. Algunos ejemplos específicos de tales restricciones son: 1.4 En todo problema de programación lineal hay que tomar ciertas decisiones. Restricciones estructurales y restricciones de no negatividad. Las decisiones del administrador de una planta están limitadas por la capacidad de dicha planta y por la disponibilidad de recursos. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . Matemático. Restricciones de no negatividad. 2. la meta es encontrar una que sea una solución óptima (esto es. Aunque por lo regular existe un numero infinito de soluciones para el sistema de restricciones (llamadas soluciones factibles o puntos factibles). una que dé el valor máximo o mínimo de la función objetivo). Un administrador de cartera tiene determinada cantidad de capital a su disposición.Trial :: http://www. Las decisiones están limitadas por la cantidad de capital disponible y por las regulaciones gubernamentales. Estas se representan con variables de decisión xj que se utilizan en el modelo de programación lineal. 3.docudesk. la función por maximizar o minimizar se llama función objetivo. 2. El Modelo de programación lineal se ocupa de maximizar o minimizar una función objetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones: 1. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. La función objetivo. Rubén Estrella. Los planes de una aerolínea para llevar a cabo la asignación del personal y los vuelos están restringidos por las necesidades de mantenimiento de los aviones y por la cantidad de empleados disponibles.com . Administrador. Las restricciones son limitaciones impuestas al grupo de decisiones permisibles. satisfaciendo al mismo tiempo un grupo de condiciones restrictivas o restricciones (que limitan el grado en que se puede perseguir algún objetivo). Restricciones estructurales. En un problema de programación lineal. La estructura básica de un problema de este tipo es maximizar o minimizar la función objetivo. X2 ≥ 0. MBA – Cavaliere 5 Ingeniero de Sistemas. transformándolas en ecuaciones. donde cada punto en esta región representa una solución factible. Administrador. las cuales generalmente están planteadas como inecuaciones. El Método Gráfico Este método se fundamenta en la versión gráfica que presentemos de todas las restricciones planteadas. Ya convertidas las restricciones en ecuaciones para su grafica aplicamos el método de los interceptos consistente en determinar los puntos donde la recta intercepta los ejes (X e Y). Rubén Estrella. La condición de no negatividad hace que el grafico de la restricción X1. denominada área factible. Las restricciones de no negatividad garantizan que ninguna variable de decisión sea negativa. pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta.docudesk. El procedimiento más funcional para la aplicación de este método es introducir una pequeña modificación en las restricciones. La región que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible. sea todo en el primer cuadrante.5 Las restricciones estructurales reflejan factores como la limitación de recursos y otras situaciones que impone la situación del problema. Graficada la recta se sombrea la parte superior o inferior de esta dependiendo del tipo de inecuación. debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo. Matemático. Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima de la línea.Trial :: http://www. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. las cuales se superpondrán una sobre otra. hasta llegar a limitar un área. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .com . Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles. Administrador.6 Caso I. Un fabricante esta tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos x1 y x2. El margen de beneficio es el mismo para ambos artículos US$5. Para 12x1 + 8x2 = 96 a) Si x2 = 0 implica 12x1 + 8(0) = 96 12x1 = 96 x1 = 96/12 x1 = 8 (8.docudesk. MBA – Cavaliere 6 Ingeniero de Sistemas. 12x1 + 8x2 = 96 6x1 + 12x2 = 72 x1 = 2 2. Matemático.com .Trial :: http://www. Función objetivo: Z = 5x1 + 5x2 Restricciones x1 y x2 ≥ 0 (condición de no negatividad) 12x1 + 8x2 ≤ 96 6x1 + 12x2 ≤ 72 x1 ≥ 2 Maximice: Z = 5x1 + 5x2 1. El fabricante prometió construir por lo menos dos artículos del producto x1 Determinar la cantidad a producir y vender de cada artículo que garanticen mayores beneficios.12) b) Si x1= 0 implica [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas líneas rectas interceptan los ejes. Rubén Estrella. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .0) 12(0) + 8x2 = 96 8x2 = 96 x2 = 96/8 x2 = 12 (0. Cada producto x1 requiere 12 unidades de materiales y 6 horas de obra al máximo. Convertimos las restricciones en ecuaciones. Mientras que el producto x2 usaría 8 unidades de material y 12 horas de mano de obra. Se dispone de 96 unidades de material y 72 horas de mano de obra. Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles. Para 12x1 + 8x2 = 96 (8.12) Para 6x1 + 12x2 = 72 (12.0) (0. Graficamos.0) 3. MBA – Cavaliere 7 Ingeniero de Sistemas. Rubén Estrella. pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta.0) [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima de la línea.0) (0.7 Para 6x1 + 12x2 = 72 a) Si x2 = 0 implica 6x1 + 12(0) = 72 6x1 = 72 x1 = 72/6 x1 = 12 (12. Administrador.com .Trial :: http://www.6) Para x2 = 2 (2. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo. donde cada punto en esta región representa una solución factible. Matemático.6) b) Si x1= 0 implica Para x2 = 2 (2.0) 6(0) + 12x2 = 72 12x2 = 72 x2 = 72/12 x2 = 6 (0.docudesk. La región que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible. 5). Maximice: Z = 5x1 + 5x2 En el punto (8. Es preciso aclarar que cualquier punto que caiga dentro del área factible garantiza beneficios. (2.0) implica Z = 5(8) + 5(0) = $40 En el punto (6.3).0) y (2. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .Trial :: http://www. Administrador.0) implica Z = 5(2) + 5(0) = $10 En el punto (2. Rubén Estrella.8 Esta área factible tiene los siguientes vértices (8. Si pretendemos obtener los mayores beneficios. (6. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. MBA – Cavaliere 8 Ingeniero de Sistemas.5) implica Z = 5(2) + 5(5) = $35 El mayor valor es $45 lo que implica que habrá que vender 6 unidades del producto x1 y 3 producto x2. Matemático. pero son los puntos extremos o vértices de la figura lo que garantizarían máximos beneficios.com .0).docudesk.3) implica Z = 5(6) + 5(3) = $45 En el punto (2. 9 Caso II. 5 unidades de X y 7 unidades de unidades Y. 50 unidades de vitamina X y 49 de unidades vitaminas Y. MBA – Cavaliere 9 Ingeniero de Sistemas. 10 unidades de vitamina X y unidades de vitamina Y. Administrador.Trial :: http://www. cada onza de alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W. Rubén Estrella.docudesk. cada onza de alimento B proporciona 10 unidades de W. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitaminas W. Convertimos las restricciones en ecuaciones. 4unids/onza 10unids/onza 40 10unids/onza 5unids/onza 50 7unids/onza 7unids/onza 49 5cents/onza 8cents/onza Vitamina W Vitamina X Vitamina Y Costo Determinar la combinación que disminuirá los costos: Función Objetivo: Minimizar C = 5A + 8B Restricciones: A. Matemático. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . B ≥ 0 4A + 10B ≥ 40 10A + 5B ≥ 50 7A + 7B ≥ 49 1. 4A + 10B = 40 10A + 5B = 50 7A + 7B = 49 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.com . Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos alimentos. Requerimiento Alimento A Alimento B Vitamínico Mín. El alimento A cuesta 5 centavos/onza y el alimento B 8 centavos/onza. que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. 0) 10(0) + 5B = 50 5B = 50 B = 50/5 B = 10 (0.10 2. Matemático.10) b) Si A = 0 implica Para 7A + 7B = 49 a) Si B = 0 implica 7A + 7(0) = 49 7A = 49 A = 49/7 A=7 (7. Administrador.0) 7(0) + 7B = 49 7B = 49 B = 49/7 B=7 b) Si A = 0 implica [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.4) Para 10A + 5B = 50 a) Si B = 0 implica 10A + 5(0) = 50 10A = 50 A = 50/10 A=5 (5.Trial :: http://www. Rubén Estrella.0) b) Si A = 0 implica 4(0) + 10B = 40 10B = 40 B = 40/10 B=4 (0.docudesk. MBA – Cavaliere 10 Ingeniero de Sistemas. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . Para 4A + 10B = 40 a) Si B = 0 implica 4A + 10(0) = 40 4A = 40 A = 40/4 A = 10 (10. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas líneas rectas interceptan los ejes.com . Para 4A + 10B = 40 (10.11 (0.2) + 8(2.5) a) En el punto (0.10) implica C = 5(10) + 8(0) = $50 implica C = 5(4.10) Para 7A + 7B = 49 (7.7) Región Factible Minimizar C = 5A + 8B a) En el punto (10. debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo. Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima de la línea. Administrador. MBA – Cavaliere 11 Ingeniero de Sistemas.5) = $41 implica C = 5(2.0) (0.5) a) En el punto (2. pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta. donde cada punto en esta región representa una solución factible. Matemático.Trial :: http://www.2) + 8(5) = $51 implica C = 5(0) + 8(10) = $80 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .2.7) 3.0) b) En el punto (4.2. La región que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible.0) (0.2.4) Para 10A + 5B = 50 (5. Rubén Estrella. Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles.0) (0.com .docudesk. Graficamos. 12 El menor costo a que se podría comprar es a $41. Rubén Estrella. En la tabla se resumen las necesidades de horas de trabajo por unidad de cada producto en uno y otro departamento. de los productos A y B. respectivamente. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . Si z se define como la aportación a los costos y utilidades totales.5 onzas del producto B y se mantendría el nivel vitamínico. Una empresa fabrica dos productos. También se incluyen las capacidades de horas de trabajo semanales en ambos departamento y los márgenes respectivos de utilidad que se obtienen con los dos productos. La que hace cada uno se obtiene al multiplicar el margen de utilidad por unidad por el número de unidades producidas y vendidas. El problema consiste en determinar el número de unidades que hay que fabricar de cada producto. Caso III.2 onzas del producto A y 2. MBA – Cavaliere 12 Ingeniero de Sistemas. se tendrá: Z = 5x1 + 6x2 Las restricciones vienen dada de la siguiente forma: 3x1 + 2x2 ≤ 120 4x1 + 6x2 ≤ 260 departamento 1 departamento 2 El modelo de programación lineal que representa el problema se formula así: Maximice Z = 5x1 + 6x2 Sujeta a 3x1 + 2x2 ≤ 120 4x1 + 6x2 ≤ 260 x1 ≥ 0 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.docudesk. los cuales deben procesarse en los departamentos 1 y 2. con el objeto de maximizar la aportación total a los costos fijos y a las utilidades. pero esto implicaría 4. Producto A Departamento 1 3h/unidad Departamento 2 4h/unidad Margen de utilidad $5/unidad Capacidad de Producto B Trabajo semanal 3h/unidad 120h 6h/unidad 260h $6/unidad Si se supone que x1 y x2 son el número de unidades fabricadas y vendidas. Administrador.Trial :: http://www. Matemático. entonces puede calcularse la aportación a las utilidades totales sumando las contribuciones de ambos productos.com . Convertimos las restricciones en ecuaciones. MBA – Cavaliere 13 Ingeniero de Sistemas. Matemático.0) 3(0) + 2x2 = 120 2x2 = 120 x2 = 120/2 x2 = 60 (0.33 (0.Trial :: http://www.60) 4x1 + 6(0) = 260 4x1 = 260 x1 = 260/4 x1 = 65 (65. Para 3x1 + 2x2 = 120 a) Si x2 = 0 implica 3x1 + 2(0) = 120 3x1 = 120 x1 = 120/3 x1 = 40 (40.13 x2 ≥ 0 4. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas líneas rectas interceptan los ejes. Administrador. Inecuaciones o Desigualdades lineales 3x1 + 2x2 ≤ 120 departamento 1 4x1 + 6x2 ≤ 260 departamento 2 Ecuaciones o Igualdades lineales 3x1 + 2x2 = 120 departamento 1 4x1 + 6x2 = 260 departamento 2 5.com .33) b) Si x1= 0 implica Para 4x1 + 6x2 = 260 a) Si x2 = 0 implica b) Si x1= 0 implica [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.docudesk. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . Rubén Estrella.0) 4(0) + 6x2 = 260 6x2 = 260 x2 = 260/6 x2 = 43.43. MBA – Cavaliere 14 Ingeniero de Sistemas.43. debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo.60) Para 4x1 + 6x2 = 260 (65.14 6. Para 3x1 + 2x2 = 120 (40.0) (0. donde cada punto en esta región representa una solución factible. Rubén Estrella. La región que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible. cada una con pendiente de –5/6 e intersección de y (0.33) 3x1+2x2≤120 4x1+6x2≤260 7. Administrador. Z/6).Trial :: http://www. Matemático. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles. Ya que la función objetivo Z = 5x1 + 6x2. Graficamos. pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta. es equivalente a: 6/6x2 = -5/6 x1 + Z/6 x2 = -5/6 x1 + Z/6 Define una familia de rectas paralelas.com .0) (0. Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima de la línea.docudesk. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella. Si quisiéramos maximizar las utilidades.com . A partir de la figura anterior vemos que el punto o vértice A del área factible pertenece a las rectas: 3x1 + 2x2 = 120 departamento 1 4x1 + 6x2 = 260 departamento 2 Sus coordenadas pueden hallarse resolviendo el sistema anterior. Se determina exclusivamente por los coeficientes de las dos variables de la función objetivo.docudesk. tendríamos que desplazar la línea de utilidades lo más afuera posible.8x2 = 300 .6x2 4 120 . al cambiar el valor de z. La intersección con el eje x2 está definida por (0. Matemático. Una vez definida el área factible usted puede tratar de encontrar la solución óptima.8x2 = 780 . y no recibe el influjo del valor de Z. sin dejar de tocar un punto dentro del área de las soluciones factibles. lo mismo sucede con la intersección con el eje x2.6x2 3 4 480 .18x2 . Administrador.Z/6).2x2 3 x1 = 260 . identificando combinaciones de los dos productos que generen un nivel de utilidad previamente establecido. MBA – Cavaliere 15 Ingeniero de Sistemas. también lo hace la intersección con el eje x2. Desde ella se advierte que. lo cual significa que la línea de utilidades iguales se desplaza hacia arriba y hacia la derecha. por ejemplo: a) 5x1 + 6x2 = $120 b) 5x1 + 6x2 = $180 c) 5x1 + 6x2 = $240 8.18x2 10x2 = 300 x2 = 30 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.Trial :: http://www.2x2 = 260 . Si Z aumenta el valor. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .15 La pendiente de la función objetivo es –5/6. Por igualación: x1 = 120 . Matemático. Este punto se encuentra en la línea de utilidades de $280 cuando se fabrican 20 y 30 unidades.Trial :: http://www.com . de los productos A y B. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.docudesk. Administrador. MBA – Cavaliere 16 Ingeniero de Sistemas.8x2 = -480 departamento 1 12x1 +18x2 = 780 departamento 2 10x2 = 300 x2 = 30 3x1 + 2(30) = 120 3x1 = 60 x1 = 60/3 x1 = 20 Al deslizarse hacia fuera.16 3x1 + 2(30) = 120 3x1 = 60 x1 = 60/3 x1 = 20 Por eliminación: 3x1 + 2x2 = 120 (-4) 4x1 + 6x2 = 260 (3) -12x1 . respectivamente. el último punto que debe tocarse es A. Rubén Estrella. Además. respectivamente. manuales y eléctricos. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizantes en el mercado. B y C. La utilidad por cada artículo manual es de $4 y por cada artículo eléctrico es de $6. supongamos que el numero máximo de horas disponibles por mes para el uso de las maquinas A. Caso I. Si la compañía vende todos los artículos que puede producir. Cada uno requiere para su fabricación del uso de tres maquinas. MBA – Cavaliere 17 Ingeniero de Sistemas. Crece Fácil cuesta $6 cada bolsa. 2 horas de la maquina B y 1 hora de la maquina C. ¿cuántas bolsas de cada marca debe comprar? La información se resume como sigue: Crece Rápido 3 unidades 5 unidades 1 unidad $8 Crece Fácil 2 unidades 2 unidades 2 unidades $6 Unidades Requeridas 160 200 80 Nutriente A Nutriente B Nutriente C Costo/bolsa [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. contiene 3 unidades de A. Si el cultivador desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrimentos. Matemático. Un agricultor va a comprar fertilizante que contienen tres nutrientes: A. Una compañía produce dos tipos de artículos. Optimice cada situación basado en el modelo gráfico e interprete los resultados.com . y contiene 2 unidades de cada nutriente. Los mínimos necesarios son 160 unidades de A. Un articulo eléctrico requiere 1 hora de la maquina A. 160 y 100. Rubén Estrella. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . 200 unidades de B y 80 unidades de C. 5 unidades de B y 1 unidad de C. Crece Rápido cuesta $8 una bolsa. A.Trial :: http://www. Administrador.17 Ejercicios Propuestos. B y C es de 180. Cada artículo manual requiere del uso de la maquina A durante 2 horas. B y C. de la maquina B por 1 hora y de la maquina C otra hora. ¿cuántos artículos de cada tipo debe producir con el fin de maximizar la utilidad mensual? Artículo Manual 2 1 1 $4 Artículo Eléctrico 1 2 1 $6 Horas Disponibles 180 160 100 Máquina A Máquina B Máquina C Utilidad/unidad Caso II. La tabla siguiente da la información relacionada con la fabricación de estos artículos.docudesk. MBA – Cavaliere 18 Ingeniero de Sistemas. Construye el diagrama de red para el siguiente listado de actividades que permitiría el traslado de una oficina del sector financiero. F ≥ 0 (Máxima contribución a las ganancias) (Requisito de Producción Mínima) (Capacidad en el Departamento A) (Capacidad en el Departamento B) (Horas de trabajo empleadas en las pruebas) (Condición de no negatividad) Caso IV. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .docudesk.E. Hacer arreglos financieros con instituciones Capacitar nuevo personal Predecesores Inmediatos B A. Administrador. personal clave.com . etc.Trial :: http://www. Resuelva por el Método Gráfico: Maximizar 5000E + 4000F E+F≥5 10E + 15F ≤ 150 20E + 10F ≤ 160 30E + 10F ≥ 135 E. Matemático. Actividad A B C D E F G H I J Descripción Seleccionar sitio de oficinas Crear plan organizacional y financiero Determinar requerimiento de personal Diseñar la instalación Construir el interior Seleccionar al personal que se va a transferir Contratar nuevos empleados Trasladar registros.B D C F F B H.18 Caso III. Rubén Estrella.G [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. 000 + 3x) B = 17(4.000) – 80.000/17 = 4. de tipo de bolsillo. El costo de preparación de una línea de producción es de US$3.000 ejemplares.com .Trial :: http://www. ¿Qué utilidad o pérdida se puede prever.000. Los costos variables de producción y materiales se estiman igual a US$3 dólares por libro. Representa Gráficamente.docudesk. La demanda durante la vigencia del libro se estima en 4.706 b.000 ejemplares? B = I – CT B = 20x – (80.000 B = 68. con una demanda de 4. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . represente gráficamente cada situación e interprete los resultados. El costo fijo de preparación del manuscrito. Administrador. sobre la aplicación de hojas de cálculos en los negocios. Eastman Publishing Company está considerando la publicación de un libro de texto. Matemático.000 B = -12. MBA – Cavaliere 19 Ingeniero de Sistemas. los costos de mano de obra y material variables son de US$2 por cada unidad producida.000 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000 Cu=3 Pu=20 B = I – CT = 0 20x = 80.000 + 3x 17x = 80. El editor planea vender el libro a las librerías de colegios y universidades a US$20 dólares cada uno. Además. CT = 3000 + 2x Caso II. Rubén Estrella.000 – 80. Construya los modelos. a. Caso I.000 x = 80. el diseño del libro y la puesta en marcha de la producción se estima en US$80. ¿Cuál es el punto de equilibrio? CF = 80. sobre la aplicación.19 MODELOS LINEALES Ejercicios Propuestos.000 dólares. en el que se incurre independientemente del número de unidades que finalmente se produzcan. Con una demanda de 4.000 dólares.000 Cu = 50.000 ejemplares.Trial :: http://www.500.com .500.500.000/4000 = 23 d. Los palcos pueden ser adquiridos por empresas e individuos seleccionados.000x = 1. ¿qué acción recomendaría usted? ¿Qué utilidad o pérdida se podría prever? B = 25. MBA – Cavaliere 20 Ingeniero de Sistemas.000 + 12.95x – (80.000/50.000 4000Pu = 80.000 + 3x) B = 22.000 x = 1.95x – 80.000x = 1. Si el editor piensa que el precio por ejemplar pudiera incrementar hasta US$25. Están en marcha planes preliminares para la construcción de un nuevo estadio de béisbol.000 = 80.docudesk.000 Pu = 92. El costo fijo de construcción del área en el piso superior se estima en US$1. ¿Cuál será el punto de equilibrio para los palcos de lujo del nuevo estadio? Pu = 100.000 4000Pu – 12. a US$100. ¿cuál es el precio mínimo por ejemplar que debe cobrar el editor para llegar a punto de equilibrio? Q = CF / (Pu – Cu) 4000 = 80. Matemático.000) – 80.500.000 dólares por cada palco construido. Administrador. Represente gráficamente.000 + 50. con un costo variable de US$50.000 = 30 palcos [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000x 50. Caso III.95(4.000 / (Pu – 3) 4000 (Pu – 3) = 80.000 I = CT 100.500. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . a. Los funcionarios de la ciudad han cuestionado el número y rentabilidad de los palcos corporativos de lujo planeados para el piso superior del estadio.95 dólares sin afectar la demanda prevista de 4.20 c.800 e. Rubén Estrella.000 ejemplares.000 B = 11.000 B = 22.000 CF = 1.000 dólares cada uno. son de US$22. B = I – CT B = 30x – (250.000.000 / 7. Dibujos preliminares del estadio muestran que hay espacio disponible para la construcción de hasta 50 palcos de lujo.500. Estiman que el precio de venta será de US$30 dólares por detector. mano de obra y costos de mercadotecnia.000 / (30 –22.000 Caso IV.000 B = . si le pone un precio de US$30 cada uno. ¿Cuál es su recomendación respecto a la Construcción de los palcos de lujo? ¿Qué utilidad se puede esperar? B = I – CT B = 100. a) Determine el número de detectores de humo que han de venderse para que la empresa alcance el equilibrio en el negocio.333. Rubén Estrella.000.5x) B = 30(30.000 – 22. Administrador.33 b) Los datos preliminares de mercadotecnia indican que la empresa venderá aproximadamente 30.5) Q = 250. Cu = 22.000 detectores de humo a lo largo de la vida del proyecto.25. Los promotores indican que hay compradores detectados y que si se construyen.000.000(50)) B = 5.5(30.docudesk.21 b.000 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.Trial :: http://www. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .com .000 – 4.000 + 50. Los costos fijos relacionados con la formación.5 Q = 33. Un grupo de ingenieros quiere formar una compañía para producir detectores de humo.5 CF = 250. Han ideado un diseño y estiman que los costos variables por unidad. Determine las utilidades esperadas en este nivel de producción. se venderían los 50. Matemático.000(50) – (1.000) B = 900.000 = 1. MBA – Cavaliere 21 Ingeniero de Sistemas. operación y dirección de la compañía y la compra de equipo y maquinaria dan en total US$250. incluyendo material.000) – (250.000 Pu = 30 Q = CF / (Pu – Cu) Q = 250.000 dólares.000 – 22.000 – 925.50 dólares. 200x3 CT (x1. Los costos variables por unidad son de US$20 dólares por concepto de materiales y de US$27.300x1 + 1.000 U = 17.000 U = 250.000 + 1.650x2 + 1. Una empresa vende un solo producto a US$65 dólares por unidad.000 U = I – CT U = 65x – (100.5x – 100.x2.Trial :: http://www.5 = 47. Además de esos costos fijos. Los costos fijos anuales ascienden a US$100. Rubén Estrella.300x1 + 1. Cada una está dotada de características especiales que la hacen adecuada sólo para un tipo de cultivo.100x2 + 175.000) + 75.5x) U = 17.000 + 750x3 + 125.000 125. MBA – Cavaliere 22 Ingeniero de Sistemas.000 U = 350.000 unidades? Pu = 65 Cu = 20 + 27.000 + 75.650 1.650x2 + 1.000) – 100.000 I (x1. el ingreso que es espera obtener por acre y los costos fijos de la administración de las granjas.50 por concepto de mano de obra.000 175. el costo anual de plantar 1 acre.000 – 47.100 750 Ingreso/acre 1.22 Caso V.000 + 750x3 + 125.000 U = I – CT = 1.x2.5(20.000 + 1. Formule la función de utilidad expresada en término de unidades producidas y vendidas.x3) = 1.000. La siguiente tabla contiene el cultivo seleccionado para cada granja.000 – 100. ¿Qué utilidad se gana si las ventas anuales son de 20. Una empresa agrícola tiene tres granjas que se utilizarán el año entrante. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .000) U = 400x1 + 550x2 + 450x3 – 525.000.100x2 + 175.x3) = (900x1 + 150.com . la corporación en conjunto tiene costo fijos anuales de US$75.200 Costo Fijo 150. Granja 1 2 3 Cultivo Soya Maíz Papas Costo/acre 900 1.000 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Determine la función de utilidad para la operación de las tres granjas. Administrador.300 1.docudesk.5 CF = 100.000 Caso VI.200x3 – (900x1 + 150. Matemático. m = tg θ = y2 – y1 = 20 30 = -10/12. Administrador. Matemático.docudesk.000 unidades.250y = 20. Dos puntos sobre una función lineal de demanda son (US$20 dólares. x + 1.000 = 0 1.com .000 = 0 65. 47. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000 = 0 b) Determine que precio originará una demanda de 65.250y – 25.000 unidades) y ($30 dólares.000) = 1.Trial :: http://www. d) Grafique la función.250y – 85.000 = 0 x + 1.000 y = 20.250y – 85.500 unidades). Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .500 x2 – x1 60.250y – 85.250 (x – 60.250 (y – 20) -x + 60. Rubén Estrella.250y + 85.250y – 20.000 (-1) -x – 1.000 – 47.000 = 0 1.000 / 1.000 = 1.250 y = 16 c) Interprete la pendiente de la función. a) Determine la función de la demanda.23 Caso VII. 60.000) = (y – 20) -1 (x – 60.000 + 1.500 m = -1/1250 m (x – x1) = (y – y1) -1/1. MBA – Cavaliere 23 Ingeniero de Sistemas. 000).000 m = 1.000y = -143.000 y = 23.000 x2 – x1 28.000 x .docudesk.5 dólares. 28. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. m = tg θ = y2 – y1 = 6 7. Matemático.5 = -1.000/-6.000y = 0 -6. e) Grafique la función. d) Interprete la intersección con el eje x.000 – 37.000y + 8.000 m (x – x1) = (y – y1) 1/6. 37.000y + 8.000 = 1/6.000 – 6. MBA – Cavaliere 24 Ingeniero de Sistemas.Trial :: http://www.000 unidades) y (US$7.6) x – 28.000 = 6. Rubén Estrella.5/9.000 = 0 143.6.000 = 0 135.000 = 0 b) ¿Qué precio hará que los proveedores ofrezcan 135.5/-9.000 = 6.000 – 6.83 c) Interprete la pendiente de la función.000) = (y – 6) x – 28.000y + 8. Dos puntos sobre la función lineal de la oferta son (US$6 dólares. Administrador.000 y = -143.000 unidades a la venta? x .000y – 36. a) Determine la función de la oferta. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .24 Caso VIII.000 (x – 28.com .000 (y .6. Una compañía ha analizado sus ventas y ha determinado que sus clientes compran 20% más de sus productos por cada US$2 de reducción en el precio unitario. MBA – Cavaliere 25 Ingeniero de Sistemas.25 Caso IX. Y X Pu=12 D=500 unidades Pu=12 .docudesk. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .20*500) = 600 Pu=10 D=600 m = tg θ = y2 – y1 = 12 . Matemático.100 = 0 (0)+ 50y – 1. Administrador.100 = 0 x + 50y – 1.100 = 0 x + 50(0) – 1.2 = 10 20% más de D=500+(0.100 = 0 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Cuando el precio es US$12 la compañía vende 500 unidades.com .100 c) ¿Cuál sería el mayor precio a pagar por el artículo? x + 50y – 1. a) Formule el modelo de demanda. Rubén Estrella.100 = 0 x = 1.Trial :: http://www.100 = 0 b) ¿Cuál sería la mayor cantidad a demandar? x + 50y – 1.10 = 2/-100 x2 – x1 500 – 600 m = -2/100 = -1/50 m (x – x1) = (y – y1) -1/50 (x – 500) = (y – 12) -1(x – 500) = 50 (y – 12) -x + 500 = 50y – 600 -x –50y + 1. 26 50y – 1,100 = 0 y = 1,100/50 = 22 d) ¿Cuál sería el precio si la cantidad demandada asciende a 600 unidades? x + 50y – 1,100 = 0 600 + 50y – 1,100 = 0 50y – 500 = 0 50y = 500 y = 10 e) ¿Cuál será la demanda si el precio del producto es US$8? x + 50y – 1,100 = 0 x + 50(8) – 1,100 = 0 x + 400 – 1,100 = 0 x – 700 = 0 x = 700 Caso X. Una compañía pretende entregar 5,000 artículos mensualmente a un precio de US$5 por unidad. Si el precio tiene una disminución de un 30%, la compañía sólo se compromete a entregar un 40% de la oferta anterior. a) Formule el modelo de la oferta. Y Pu=5 X D=5,000 unidades Pu= 5 – (5 * 0.30) = 3.5 D = 5,000 * 0.4 = 2,000 Pu=3.5 D=2,000 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella, MBA – Cavaliere 26 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com 27 m = tg θ = y2 – y1 = 5 - 3.5 = 1.5/3,000 x2 – x1 5,000 – 2,000 m = 1/2000 m (x – x1) = (y – y1) 1/2000 (x – 5,000) = (y – 5) x – 5,000 = 2,000 (y – 5) x – 5,000 = 2,000y – 10,000 x – 5,000 – 2,000y + 10,000 = 0 x – 2000y + 5,000 = 0 b) ¿Cuál sería la menor oferta? x – 2000y + 5,000 = 0 x – 2000(0) + 5,000 = 0 x = -5,000 c) ¿Cuál sería la oferta si el precio es US$7? x – 2000y + 5,000 = 0 x – 2,000(7) + 5,000 = 0 x – 14,000 + 5,000 = 0 x – 9,000 = 0 x = 9,000 d) ¿Cuál será el precio si se solicitan 6,000 unidades del producto? x – 2000y + 5,000 = 0 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella, MBA – Cavaliere 27 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com 28 6000 – 2,000y + 5,000 = 0 11,000 – 2,000y = 0 -2,000y = - 11,000 y = -11,000/-2,000 = 5.5 Caso XI. Los siguientes modelos representan la oferta y la demanda de un determinado producto. Determine gráfica y analíticamente el mercado de equilibrio. O x+y=5 D 2x – y = 5.5 y=5–x - y = 5.5 – 2x y = 2x – 5.5 5 – x = 2x – 5.5 - x – 2x = - 5.5 – 5 -3x = -10.5 x = 3.5 3.5 + y = 5 y = 5 – 3.5 y = 1.5 Caso XII. Una compañía fabrica dos productos diferentes. Para la semana entrante dispone de 120 horas de trabajo destinadas a la elaboración de ambos productos. Puede asignar horas de trabajo a la fabricación de ambos productos. Además, como los dos tipos de producción aportan buenas ganancias, a la dirección le interesa utilizar las 120 horas durante la semana. Cada unidad del producto A requiere 3 horas de trabajo de elaboración, y cada unidad del producto B requiere 2.5 horas. a) Defínase una ecuación que establezca que las horas totales de trabajo dedicadas a la producción “x” unidades del producto A y “y” unidades del producto B son 120. 3x + 2.5y = 120 b) ¿Cuántas unidades del producto A pueden fabricarse si se elaboran 30 unidades del producto B? [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella, MBA – Cavaliere 28 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com El primer avión que se enviará a la zona tiene una capacidad de volumen de 6000 pies cúbicos.5y = 120 2. Matemático. En la tabla adjunta se incluyen los cuatro suministros que urgen y sus respectivos volúmenes por caja o recipiente.000 pies cúbicos Cajas X1 = Numero de recipientes de sangre X2 = Numero de contenedores de equipo medico X3 = Numero de cajas de alimentos X4 = Numero de recipientes de agua 20x1 + 30x2 + 8x3 + 6x4 = 6.com . Suministro Volumen/Caja. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . Administrador.Trial :: http://www. Determine la ecuación cuyo conjunto solución contenga todas las posibles combinaciones de los cuatro suministros que llenarán el avión en toda su capacidad.5y = 120 y = 120/2. MBA – Cavaliere 29 Ingeniero de Sistemas.docudesk.5y = 120 3x + 2.5y = 120 3x + 2.5(30) = 120 3x + 75 = 120 3x = 120 – 75 3x = 45 x = 15 unidades del producto A c) Si la gerencia decide producir sólo un artículo. La Cruz Roja Internacional está haciendo planes para transportar por avión alimentos y suministros médicos a Iraq.000 Total [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. ft3 Sangre 20 Equipo médico 30 Alimentos 8 Agua 6 Volumen de sangre + Volumen de Equipo Medico + Volumen de Alimentos + Volumen de agua = 6. ¿cuál será la cantidad máxima que puede fabricarse del producto A? ¿Y cuál será la cantidad máxima que puede fabricarse del producto B? 3x + 2.5(0) = 120 3x = 120 x = 40 unidades del producto A 3(0) + 2. Rubén Estrella.5 y = 48 unidades del producto B Caso XIII.29 3x + 2. 000 personas. Rubén Estrella. Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función que expresa el costo total anual y en función de la cantidad de unidades producidas.000 y 15.25 de empaque y embarque Cu = 9 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. radio y prensa.75 en el cuarto de acabado y US$1.Trial :: http://www.75 mano de obra de acabado Cu4 = 1. También han estimado que los costos de materias primas por cada unidad producida ascienden a UD$5. 25.250. la publicidad llegará a 25.30 pies3 20 30 5 6 cajas 40 65 350 250 Volumen 800 1950 1750 1500 6000 Sangre Equipo M.25 en el departamento de empaque y embarque. a fin de llegar a 10 millones de personas.700.000 Personas 10. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .000 70 1. El objetivo es lograr que 10 millones de personas vean los anuncios.50 mano de obra de montaje Cu3 = 0.000 Inversion Alcance por Publicidad Alcance en USD 1000 en miles Personas 25.000 18.000 Cu1 = 5.000x2 + 15.000 250 6. Los contadores indican que los gastos cada año son de US$50.000x3 = 10. Alimentos Agua x1 x2 x3 x4 Caso XIV. respectivamente.000 15. MBA – Cavaliere 30 Ingeniero de Sistemas.000.docudesk. Determine el modelo (ecuación) cuyo conjunto solución especifique todas las asignaciones de publicidad que den por resultado la obtención de esta meta.50 y que los costos de mano de obra son de US$1.000.000. $0. Las decisiones que han de adoptarse se refieren a cuánto dinero se asignará a cada forma de publicidad.050.000 dólares. Una compañía nacional está iniciando una campaña publicitaria por medio de la televisión. Matemático. La experiencia revela que. por cada 1000 dólares asignados a la publicidad por televisión.000x1 + 18.000 150 2.50 en el departamento de montaje.50 materia prima Cu2 = 1. Administrador. la radio y la prensa.000 TV RADIO PRENSA x1 x2 x3 Caso XV.com . 18. CF = 50. MBA – Cavaliere 31 Ingeniero de Sistemas.000 + 0.50x +0.com .75x + 1.50x + 1.000 Punto de Equilibrio: 0. a) Formule la función de ingreso total relacionada con el alquiler de los automóviles por millas. El dueño de la agencia estima que los costos variables de operación de los automóviles. Los automóviles se alquilan en US$0.Trial :: http://www.000 dólares.40x = 12.40 por milla (sin incluir gasolina).000 + 0.000 + 0.25x c) Formule la ecuación de utilidad. Matemático.25 por milla.31 CT = 50. Cu = 0.500 dólares.40/milla I = 0. Pu = 0.25/milla CT = 12.25 x = 12.000 + 9x Caso XVI.000 x = 80.25x 0.000 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.25x) CT = 50.000 0.15x – 12. Administrador. son de US$0.40x b) Formule el modelo de costo total asociada al alquiler de un automóvil por millas. sin contar la gasolina.25x) U = 0. U = I – CT U = 0. Una agencia de alquiler de automóviles compra nuevas unidades cada año para rentarlas.docudesk.40x – (12. Los automóviles nuevos cuestan US$12. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .40x – 0.15x = 12. Rubén Estrella.000 + (5. Se emplean tres años y luego se venden en US$2. 66 y US$1.00 para la de primera calidad sin plomo. Una gasolinera vende gasolina regular y de primera calidad sin plomo.000 = . determine la función que describa el valor en libros de V en función de la edad del automóvil t.166. MBA – Cavaliere 32 Ingeniero de Sistemas. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.67(t) Calendario de Depreciación en línea recta Automovil (al costo original de adquisición) Menos: Depreciación acumulada (la parte del costo original que ya se ha cargado en forma de un gasto) Valor neto en libros 12.500.R Vida útil n Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C – R = 12.000 millas durante el período de los tres años? U = 0. El precio por galón es de US$1. El costo por galón que cobra el proveedor es de US$1.000. respectivamente.67 Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t) Valor en libros V(t) = 12.33 9.500.docudesk.166.Trial :: http://www.00 Caso XVII.833.88.166.000.00 12.80 para la gasolina regular y de US$2.000 U = 0. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .com . Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C .00 12.00 8.15(60.666.000) – 12.00 3. Matemático.33 5. Rubén Estrella.000 – 3.3.000 e) Si los contadores aplican la depreciación en línea recta.500 Vida útil n 3 D = 3. Administrador.32 d) ¿Cuál será la utilidad si el vehículo se renta por 60.15x – 12.67 6.000.000-2.333.67 2. I = Pu * x I1 = 1.com .600 Caso XVIII.000) + 0.000) U = 28.600 U = 37.000 galones de gasolina de primera calidad sin plomo? U = 0. U = I – CT U = 1. Decisión sobre la renta de computadora o la contratación de una empresa de servicio computacionales.Trial :: http://www.12x2 U = 0.80x1 I2 = 2. Un numero grupo médico se compone de 20 médicos de tiempo completo.66x1 C2 = 1. CV = Cu * x C1 = 1. En el momento actual.80x1 + 2x2 – (1. Matemático.docudesk.14x1 + 0.000 + 9. los empleados preparan manualmente las facturas de los [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. MBA – Cavaliere 33 Ingeniero de Sistemas.33 a) Formule la función de ingreso obtenido para cada tipo de gasolina y para ambas.000 galones de gasolina regular y 80.14x1 + 0.88x2 c) Formule la función de utilidad total.66x1 + 1.66x1 + 1.14(200. Rubén Estrella.80x1 + 2x2 b) Formule la función de costo para cada tipo de gasolina y para ambas.00x2 IT = 1. Administrador. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .88x2) U = 0.12(80.12x2 d) ¿Cuál es la utilidad esperada si la estación vende 200.88x2 CT = 1. Rubén Estrella.000 + 0.34 pacientes.000 por año.000 + 0. MBA – Cavaliere 34 Ingeniero de Sistemas. Servicios de Facturación = S(x) = 3.Trial :: http://www.95x = 15.com . La firma estima que.000 + 0.65 por factura los costos variables de realizar la facturación de este modo.000 x = 12.30x = 12. Los costos de desarrollo (costos fijos) son US$150. a un costo de US$15. Están estudiándose dos opciones: 1) el grupo médico puede alquilar la computadora y los programas y hacer él mismo la facturación (la opción de hacer) o 2) puede contratar a una empresa de servicios computacionales que se encargue de efectuar la facturación (contratar). Debido al enorme volumen de facturas.000 dólares y la firma pagará US$15. Los costos de una y alternativas depende de la cantidad de facturas.000/0. La oferta más baja presentada por una empresa de servicios computacionales originará una cuota de US$3. la opción de alquilar es más barata. el gerente administrativo piensa que ha llegado el momento de hacer la transición de la facturación manual a la computarizada.000 + 0. Caso XIX.000 Si el número esperado de facturas de pacientes por año rebasa las 40.95 por factura procesada.000 dólares anuales más US$0.65x 3.3 x = 40.000 dólares por minutos en cada spot de televisión. Una firma está diseñando una campaña publicitaria por televisión. Matemático.65x 0. la opción de contratar los servicios cuesta menos. Se estima en US$0.000. se obtendrá un aumento de US$70.000. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . Con ayuda de un experto en computación.95x Alquilar y Facturar = A(x) = 15. por cada minuto de publicidad. el gerente administrativo estimó que el grupo puede rentar un pequeño sistema de cómputo para negocios. Si se espera que el número de facturas sea menor que 40.000 en [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. junto con los programas necesarios. Administrador.docudesk. 900 Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t) [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.500 CT = 150.35 las ventas. Rubén Estrella.500 Caso XX.500 – 375.000 CV= Cu * x = 15. De esta cifra.000(15) = 375. US$47.500)x = 22. determine el ingreso total. Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C – R = 20.000x Aumento de Venta en: I = Pu * x = (70. MBA – Cavaliere 35 Ingeniero de Sistemas. a) ¿Cuántos minutos de publicidad se necesitan para recuperar los costos de desarrollo de la campaña publicitaria? Costos de Desarrollo CF = 150.000 Vida útil n 10 D = 1.000) Q = 150.000-47. Matemático. Administrador. I = 22.500x Q = CF / (Pu – Cu) Q = 150.000 dólares se deprecia linealmente de manera que su valor comercial al cabo de 10 años es US$1.000 + 15.000 = -37.500 – 15.000 – 1.000 sirven para pagar el minuto de publicidad.docudesk. a) Exprese el valor de la maquinaria como una función de su antigüedad y dibuje la gráfica.Trial :: http://www. los costos totales (producción y publicidad) y la utilidad ( o pérdida) total que resultan de la campaña.500 Q = 20 minutos b) Si la compañía se sirve de 15 spots de 1 minuto de duración.000 / (22.500 * 15 = 337.500x I = 22.com .000 dólares.000x CT = 150.000 + 15.000 U = I – CT = 337. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .500 se absorben para cubrir el costo variable de producir los artículos y US$15.000 / 7. La maquinaria que compra un fabricante por US$20. El resto es la contribución al costo fijo y a la utilidad. 400 c) ¿Cuánto se despreciará por completo la maquinaria? El fabricante puede no esperar tanto tiempo para disponer de la maquinaria.000 12.600 = 12. MBA – Cavaliere 36 Ingeniero de Sistemas.900(4) = 20.000 – 1.1/180q + 12 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.900(t) b) Calcule el valor de la maquinaria al cabo de 4 años. Si los modelos de la oferta y la demanda son respectivamente: Oferta => p = 1 q + 8 300 Demanda => p = .000 720.000 – 7.000 700.000 100.000 80.000 – 1. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .000 640.000 89.000 Caso XXII.000 120.000 688.000 50. Rubén Estrella.000 11.900(t) Valor en libros V(t) = 20.36 Valor en libros V(t) = 20.000 80. Valor en libros V(t) = 20. 1/300q + 8 = . Administrador.000 330.Trial :: http://www.000 70.000 400.000 110. Encuentre las incógnitas para cada uno de los siguientes casos independientes: PRECIO DE VENTA POR CASO UNIDAD COSTO VARIABLE POR UNIDAD TOTAL DE UNIDADES VENDIDAS MARGEN DE CONTRIBUCION TOTAL COSTOS FIJOS TOTALES UTILIDAD NETA 1 2 3 4 5 10 20 30 10 25 6 15 20 8 19 100.docudesk. Analice los aspectos que el fabricante puede considerar para decidir cuándo venderla.000 160.000 70.1 q + 12 180 a) Determinar el precio y la cantidad de equilibrio.com . Matemático.000 20. Caso XXI.000 – 1. E. Rubén Estrella.500 Pu = $250 Cu = $180 Capacidad/año = 1.E. Administrador.(q) * 100 / Capacidad P.E. Indique el punto de equilibrio.Trial :: http://www.000 q = 4 480q = 216. S.docudesk.000 unidades por año.(q) * Pu = 350 * 250 = $87.(%) = P.($) = P. Los costos fijos son $24.500 /[(250-180)/250] = 24.500 + 180* 350 = $87.500/(250-180) = 350 unidades Comprobación: CT = 24.000 q = 450 p = (450/180) + 8 p = 9. Matemático.28 = $87. Si se espera que esos valores permanezcan constantes durante el año y siendo la capacidad de la planta de 1.com .500 y el precio de venta de las utilidades producidas es de $250.E.E.(%) = 350 * 100 / 1000 = 35% [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. dinero y % de capacidad de producción. se desea determinar: a) El punto de equilibrio de la compañía en unidades.500 P. CF = $24.500 P.A. c) ¿Por qué se llama punto de equilibrio? Caso XXIII. MBA – Cavaliere 37 Ingeniero de Sistemas.500 P.5 b) Representar gráficamente.E. De los datos de producción se conoce que el costo variable/unidad es de $180.500 I = 250 * 350 = $87.($) = CF /RMC = 24.37 1/300q + 1/180q = 12 – 8 480/54. cuando hay excedente y cuando hay escasez.500/0. La Compañía RL & RG. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .(q) = CF / (Pu – Cu) = 24.000 unidades P.E. se dedica a la producción y venta de neveras. a) ¿Cuál es el punto de equilibrio de la empresa en unidades. Administrador.(q) * Pu = 3.000/(15-10) = 3. La empresa CADESA produce el artículo AD12.000 al año.(q) * 100 / Capacidad P.docudesk. B = I – CT = Pu * q – (CF + Cu * q) B = (Pu *q) [(Pu – Cu)/Pu] – CF B= I * RMC – CF B(300) = (250 * 300 * 0. La capacidad de la empresa es de 60.000/[(15-10)/15] = 18. La importancia de conocer este punto es que si la compañía opera por debajo de ese punto tendrá pérdidas.E.(%) = P. Los costos fijos de la empresa son de $18.000 artículos/año P.500 B(350) = (250 * 350 * 0.($) = P. Matemático.000 = 6% b) ¿Cuáles serán los beneficios cuando la empresa trabaje a un 80% de capacidad? [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.Trial :: http://www.E.000 P. MBA – Cavaliere 38 Ingeniero de Sistemas.(%) = 3.500 = .E.000 P.E.($) = CF /RMC = 18.E.000 + (10 * 3. b) Beneficios que resultan para los niveles de producción y venta de 300.E.500 Caso XXIV. si opera por encima.28) – 24.com .600 = $54. 350 y 500 unidades.600) = $54.000 P.000 Capacidad = 60.28) – 24.(q) = CF / (Pu – Cu) = 18.$3.E.3333 = $54.000 artículos por año.500 = $0 B(500) = (250 * 500 * 0.38 Con la utilización del 35% de la capacidad de producción cubre todos sus gastos.600 * 100 / 60. tendrá ganancias.000 I = 15 * 3. Rubén Estrella. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . a un costo unitario de $10 y lo vende a $15 la unidad.600 artículos Comprobación: CT = 18.500 = $10.28) – 24.600 * 15 = $54.000/0. dinero y % de capacidad de producción? Cu = $10 Pu = $15 CF = $18. 800. % de contribución de cada producto será igual a: [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) RMC * (% participación en ventas) P.E.000.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto En este caso la contribución está expresada en porcentaje. Matemático.Trial :: http://www. podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %. A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y los beneficios a un nivel de producción del 75% de su capacidad.000 * (15-10)] – 18. En la tabla siguiente aparecen los datos del caso: Producto Mesas Lámparas Sillas Precio Unitario 70 50 40 Costo Unitario 50 40 30 % Valor ventas ($) 40 25 35 Capacidad de ventas $1. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000) = [48. Administrador. MBA – Cavaliere 39 Ingeniero de Sistemas. por lo tanto. Un fabricante de artículos para el hogar está produciendo actualmente mesas.39 0. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .000 Caso XXV. Costo fijos $250. Rubén Estrella.000 artículos = 48.80 * 60.docudesk. y sillas. lámparas.000 = $222.com .000.000 artículos B(q) = [q * (Pu – Cu)] – CF B(48. Rubén Estrella. La participación de cada producto es la siguiente: Producto Bicicleta Velocípedo Precio Unitario 120 50 Costo Unitario 70 25 % Valor ventas ($) 60 40 A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y el beneficio cuando esté trabajando a un 70% de su capacidad. por lo tanto.350. I = 0. la capacidad total anual es de $250.0500+0.E.000 * 0.000 = $89.2518 – 250.40 [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) % Mesas = [(70-50)/70)] * 0.350.000 en ventas.2518 = $992.com .1143 % Lámparas = [(50-40)/50)] * 0.930 Caso XXVI.1143+0.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto En este caso la contribución está expresada en porcentaje.851.2518 P. [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %. Matemático.25 = 0. Los costos fijos de la empresa son de $60.47 Beneficios a un nivel de producción del 75% de su capacidad.000 = $1.000 B = I * RMC – CF B = 1.75 * $1.($) = 250. Administrador.Trial :: http://www.0875 = 0.E.000 al año.docudesk.0875 ∑ del % de contribución de cada producto = 0.000/0.35 = 0. Una empresa produce bicicletas y velocípedos. MBA – Cavaliere 40 Ingeniero de Sistemas.40 = 0. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .800. % de contribución de cada producto será igual a: [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) RMC * (% participación en ventas) P.0500 % Sillas = [(40-30)/40)] * 0. 45 = $133.000 * 0.docudesk.000 20.20 = 0.45 P.(65.45) – 60.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto P.000. La compañía TERDAS presenta el siguiente Estado de Ingreso Presupuestado: Estado de Ingresos Ventas Menos Costos y Gastos Variables Margen de Contribución Menos: Costos Fijos Ingresos Netos 100.000 B = I * RMC – CF B = (175.(Cu/Pu) RMC = 1 .com .E.($) = 60.35 = $ 57.000) = 0.20 ∑ del % de contribución de cada producto = 0.35 P.41 % Bicicleta = [(120-70)/120)] * 0.(Costos Variables/Valor de Ventas) Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC B = RMC * Ventas . los beneficios para unas ventas de $120.000 15.142.25 % Velocípedo = [(50-25)/50)] * 0.000 35. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .000 y el nivel de ventas necesario para lograr el beneficio proyectado de $25.33 Beneficios a un nivel de producción del 70% de su capacidad.60 = 0. Matemático. MBA – Cavaliere 41 Ingeniero de Sistemas.E.000/0.70 * $250. RMC = [(Pu – Cu) /Pu] = (Pu/Pu) – (Cu/Pu) RMC = 1 .000 = $18.000 Se desea conocer el punto de equilibrio.CF a) RMC = 1 .86 b) [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000 65.25+0.($) = CF/RMC = 20.Trial :: http://www. I = 0.000/100. Rubén Estrella.750 Caso XXVII.000/0. Administrador.40 = 0.333.000 = $175.E. docudesk.200 unidades de alimentos.571.000.000. Suponemos que los costos variables mantienen una proporción constante de las ventas.00 25. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .com . Rubén Estrella.000 de ventas al año.00 Caso XXVIII.35 = $128.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto En este caso la contribución está expresada en porcentaje. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.571. por lo tanto.000) / 0.000 – 20. Estado de Ingresos Ventas Menos Costos y Gastos Variables Margen de Contribución Menos: Costos Fijos Ingresos Netos 128. b) Determinar cual es el ingreso total cuanto se están vendiendo 1.000. a) Hallar el punto de equilibrio en dinero y en % de capacidad de la fábrica.Trial :: http://www.CF B = 0. Matemático.42 La exactitud de esos resultados se puede comprobar con un estado de ingreso para ese nivel de ventas.E.000 al año y capacidad de $200.00 20.000 = $22. % de contribución de cada producto será igual a: [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) RMC * (% participación en ventas) P. Administrador. MBA – Cavaliere 42 Ingeniero de Sistemas.42 45.42 83.35 * 120.000 c) Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC Ventas para un nivel de beneficio = (20.000 + 25. podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.42 B = RMC * Ventas . Una fabrica de alimentos para animales presenta las siguientes informaciones: Alimento % ventas para Precio Costo ($) Gallinas 30 15 40 Vacas 40 16 20 Puercos 36 16 25 Perros 32 12 15 Costos fijos de $80.571. 25 = $5/unidad Contribución Unitaria de Perro = (32-12) * 0.8/unidad En función de unidades el punto de equilibrio viene dado: P.743.000 de ventas al año.98 30 40 36 32 Alimento % ventas para Precio Costo ($) Gallinas 30 15 40 Vacas 40 16 20 Puercos 36 16 25 Perros 32 12 15 Costos fijos de $80.743.000 al año y capacidad de $200.256 unidades [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.98 144.000/0. En este caso debemos determinar la contribución promedio por unidad.00 21.7237 = 72.1200 % Puercos = [(36-16)/36)] * 0.1389 % Perros = [(32-12)/32)] * 0.E.59 28.743.711.20+0. ∑ (Pu – Cu) * (% participación en ventas) Contribución Unitaria de Gallina = (30-15) * 0.743.25 = 0.948.0938= 0.98/200.docudesk. Rubén Estrella.( $) = CF/∑ del % de contribución de cada producto P.Trial :: http://www.98 40 20 25 15 100 57.000/18.(q) = 80.743.com .186.930 724 1.20 = $4.E($) % ventas ($) Ventas Precio Unidades 1. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .8/unidad Contribución Unitaria de Puerco = (36-16) * 0.60 144.37% Alimento para P.337 Gallinas Vacas Puercos Perros 144.8+5+3= $18.E.E.12+0.897.43 [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) % Gallinas = [(30-15)/30)] * 0. Matemático. MBA – Cavaliere 43 Ingeniero de Sistemas.40 = 0.743.40 = $6/unidad Contribución Unitaria de Vaca = (40-16) * 0.0938 ∑ del % de contribución de c/producto = 0.98 144.15 = $3/unidad ∑ (Pu – Cu) * (% participación en ventas) = 6+4.743.15 = 0.(q) = CF/Contribución promedio por unidad P.000 =0.2000 % Vacas = [(40-16)/40)] * 0.98 144.8=4. (%) = 144.($) = 80.5527 P.20 = 0. Administrador.E.80 36.98 P.005 678 4.5527 = $144.E.1389+0. 560 Alimento para Gallinas Vacas Puercos Perros 1200 1200 1200 1200 0.15 480 240 300 180 30 40 36 32 14400 9600 10800 5760 40560 Ejercicios Propuestos.743.E. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . ¿Cuál es la intersección con el eje x? C.($)/pu = $144.(q) = P.E. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.200 unidades de alimentos.($) = P.docudesk. Determinar cual es el ingreso total cuanto se están vendiendo 1. Matemático. represente gráficamente cada situación e interprete los resultados. Determine la función del ingreso total. Construya los modelos. Rubén Estrella. A.200 * 33.000 – 3.E.20 = $8/unidad Precio de Puerco = 36 * 0.98/33.15 = $4.25 = $9/unidad Precio de Perro = 32 * 0.4 0. I es una función de p o sea R = g(p). Administrador. Caso I. ¿A qué precio se maximizará el ingreso total? A. ¿Cuál es el ingreso total con un precio de $20? D.25 0.283 unidades b. MBA – Cavaliere 44 Ingeniero de Sistemas. ¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio? E.com .40 = $12/unidad Precio de Vaca = 40 * 0.(q) * pu P.8/unidad I = 1.Trial :: http://www.8 = $40. ¿Cuál es la concavidad de la función? B. Precio de Gallina = 30 * 0.2 0.44 P.E.000 p donde q se expresa en unidades y p en dólares.8 = 4. La función de demanda de un producto particular es: q = f(p) = 500. 200.000 – 3.000.000 – 3.000) [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Matemático.000.000 – 60.000.000(20)² I = 10.00 5. Administrador.00 0.000.com .3.000.45 I=500. Rubén Estrella.000 q = f(20) = 440.docudesk.800.000.000.000 = US$83.000 E.000p² C. q = f(p) = 500.00 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Precios I=p*q I = p * (500.000.33 2A 2(-3.3.000(20) .000.000 p q = f(20) = 500.000p .000p .3000p2 25. I = 500.000.00 Serie1 10.00 20.3.00 Ingresos 15.000p² x = -B = -500.000 p) I = 500.000 (20) q = f(20) = 500.000 I = 8.000 D.000.Trial :: http://www.000 – 1. MBA – Cavaliere 45 Ingeniero de Sistemas. I = 500.000 – 3.000p . Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . 00 1. MBA – Cavaliere 46 Ingeniero de Sistemas.00 80.00 6.00 6.50 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .750 A 3.900.750.750 = a(60)² + b(60) + c 6. 6.750) q = f(p) q = ap² + bp + c Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general cuadrática se obtiene el sistema resultante de ecuaciones: 2.400a + 80b + c = 9.400.46 Caso II.00 A 2.Trial :: http://www.000.00 60.750 4.000.900. 6000) y (80.00 => 1.750.750.00 70.750.00 1. Matemático.000 = a(70)² + b(70) + c 9.00 4.400.00 -2.00 1.00 6.com .600a + 60b + c = 2. 9. ( p.00 1. Tres puntos que se encuentran en ella son (60.00 B 60. La función de oferta qs = f(p) para un producto es cuadrática.600. 9750).900a + 70b + c = 6. Administrador.00 y 2.600.000) (80.000.docudesk.00 80.750 = a(80)² + b(80) + c o o o 3.00 1.00 80.00 3.000.00 70. 2750).00 B 60.00 c 1.00 9.00 => 1. (70.00 numerador denominador -5. 2.00 6. a) Determine el modelo de la oferta.00 c 1. Rubén Estrella.00 4.00 a= 2.000 6.00 70.00 a= 9. q) (60.750) (70. 00 60.00 B 60.0 -2.812.00 => 1.0 c= -6.00 70.000.00 1.250.00 9.00 3.5(75)² .6.00 numerador denominador 0.00 60.00 80.250= 7.6.0 b= 0.00 6.900.00 => 1.00 9.00 6.com . c) ¿Qué cantidad ofrecerá a un precio de $75? q = f(p) = 2.000. Rubén Estrella. MBA – Cavaliere 47 Ingeniero de Sistemas.750.47 a 3. La función de la demanda qd = f(p) para un producto es cuadrática. 1600). Administrador. ¿Qué cantidad se demandará a un precio de mercado de $15? [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. 900) y (20.400. (10.600.0 -2.docudesk.00 6.900.00 1.600.00 4.Trial :: http://www.750.00 3.00 => 1.900.00 6.00 => 1.00 B 2.00 b= 4.600.00 c 1. Tres puntos que se encuentran en ella son (5.00 80.00 c 2.750.00 70. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .400.600.900.00 70.250 b) Calcule e interprete la intersección con el eje x.5p² .00 6.50 Caso III.000.6.750.400.250 q = f(75) = 2.00 c= 4.00 1.00 numerador denominador 12. 100).500. Matemático.00 1.000.00 80.400.5p² .000.00 4.00 6.0 q = f(p) = 2.0 a 3. Determine el modelo correspondiente de la Demanda. Por ejemplo.225 Caso V. el precio que se cobra a todos ellos disminuirá en $2.400 = p² -40p + 2600 p² .docudesk. Sea x el número de personas después de 100.5(x – 100) si x > 100 p = 300 – 2.400 Demanda qd = p² -40p + 2600 Determine el precio y cantidad de equilibrio del mercado. Las funciones de demanda y oferta de un producto son: Oferta qs = p² . qo = qd p² .400 .000 / 40 p = 75 Oferta Demanda qs = (75) ² . Ha cotizado un precio de $300 por persona. Por cada pasajero después de los 100. MBA – Cavaliere 48 Ingeniero de Sistemas. Un agente de viajes está organizando una excursión a un conocido lugar de recreo.48 Caso IV.50. o sea p = f(x). Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . cada uno pagará $297.000 = 0 p = 3.Trial :: http://www.5x + 250 si x > 100 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. p = $300 si x ≤ 100 p = $300 – 2. Rubén Estrella. si se inscriben en la excursión 101 pasajeros. Administrador. Matemático.40(75) + 2600 = 5.225 qd = (75) ² . si reúne a 100 o menos pasajeros.p² +40p – 2600 = 0 40p – 3.com .400 = 5. a) Determine la función que exprese el precio por persona p en función de x.50. 5x si x > 100 b) Formule el modelo I = h(x). [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.5(x – 100)] * x I = 300x – 2.5x(x – 100) I = 300x – 2.500 – 30. Matemático. El vendedor planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada $5 de reducción en el precio se venderán 10 artículos más cada mes.docudesk. a este precio los consumidores han estado demandando 40 artículos al mes. Un vendedor al por menor puede obtener un producto del fabricante a $50 cada uno. Administrador.550 = 110 2A 2(-2.5(x – 100) si x > 100 I=p*x I = [300 – 2. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .5) d) ¿Cuál es el valor máximo de I? I = 550x – 2. que exprese el ingreso total en boletos I en función de x. MBA – Cavaliere 49 Ingeniero de Sistemas.com .Trial :: http://www.5x² c) ¿Qué valor de x produce el máximo valor de I? I = 550x – 2. El vendedor ha estado vendiendo el producto a $80 cada unidad y.5x² + 250x I = 550x – 2.250 = 30.250 / 110 p = 275 Caso VI.5x² I = 550(110) – 2.5(110)² I = 60.5x² x = -B = .250 e) ¿Con qué precio por boleto se obtiene un I máximo? 30. Rubén Estrella. p = $300 si x ≤ 100 I = 300x p = $300 – 2.250 = 110p p = 30.49 p = 550 – 2. 40 artículos [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000 B= -2pv² + 300pv . Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . Rubén Estrella. MBA – Cavaliere 50 Ingeniero de Sistemas.50 a) Formule el modelo de beneficio en función del precio de venta.com .docudesk.000 b) Dibuje el gráfico. Administrador. Matemático. pc = 50 pv = 80 Bu = pv – 50 Por c/$5 menos se venderán 10 artículos más 10/5 = 2 artículos por cada $1 q = 40 + 2 (80 – pv) q = 40 + 160 – 2pv q = 200 – 2pv B = Bu * q B = (pv – 50) (200 – 2pv) pv – 50 200 – 2pv 200pv – 10.Trial :: http://www.000 -2pv² + 100pv ================== -2pv² + 300pv – 10.10. Matemático.300 = $75 2A 2(-2) Caso VII. x = -B = .10x CT2 = 10 + 0. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .10. Rubén Estrella. Halle el criterio para decidir cuál banco ofrece el mejor negocio. Un banco de la competencia cobra $10 por mes más 14 centavos por cheque girado. CT1 = 12 + 0.51 B = -2pv2 + 300pv .com .14x [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. MBA – Cavaliere 51 Ingeniero de Sistemas. Administrador.docudesk.000 1400 1200 Beneficio 1000 800 600 400 200 0 0 20 40 60 Precio de Venta 80 100 120 Serie1 c) Estime el precio al que se obtendrían mayores beneficios. El costo de mantener una cuenta corriente en cierto banco es $12 por mes más 10 centavos por cada cheque girado.10x = 10 + 0.14x 12 + 0.Trial :: http://www. El alquiler del garaje cuesta US$1. a) Elabore una tabla que muestre el costo de producir 2.000 ejemplares.000.500 / 150 = 10 b) ¿Cuántos kayaks deben vender los estudiantes para obtener una utilidad e US$1. e) Represente gráficamente ambos modelos en el mismo eje de coordenada. d) Escriba el modelo matemático que represente el ingreso como una función del número de libros vendidos.200 + 5.500 = 0 x = 1. CT = 74. El libro se vende a las librerías a US$19. Matemático. 6. 4.com .000? [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000.) Los costos de impresión y encuadernación son US$5.5x b) Elabore una tabla que muestre el ingreso de la venta de 2. MBA – Cavaliere 52 Ingeniero de Sistemas. ilustración.500 en el verano.500 + 125x I = 275x 275x = 1.200 preparar un libro para publicación (digitación de texto. Rubén Estrella. c) Escriba el modelo matemático que represente el costo como una función del número de libros producidos. Durante el verano un grupo de estudiantes construye kayaks en un garaje adaptado para tal fin.000.52 Caso VIII. ¿Pueden venderse los kayaks a US$275 la unidad? a) ¿Cuántos kayaks deben vender los estudiantes para alcanzar el punto de equilibrio? CT = 1.000 y 8.000.5x I = 19.000 ejemplares. Administrador.500 + 125x 150x – 1.000. 4. edición. etc. 6.000 y 8.50 cada ejemplar. A un editor le cuesta US$74.50 por ejemplar. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .Trial :: http://www. ¿Cuánta utilidad deja este número de libros? Caso IX. y los materiales necesarios para construir un kayak cuesta US$125.docudesk. f) ¿Cuándo el costo iguala el ingreso? g) Utilice la gráfica para determinar cuántos libros deben publicarse para producir un ingreso de por los menos US$85. 30 1. El fabricante desea incrementar el precio y estima que por cada incremento de US$1 en el precio.500 150x – 1. Administrador. Rubén Estrella.500 x = 2.000pu – 594.000 – 1000pu) pu – 18 33.com . Matemático.000 – 1000pu 33.500 + 125x) B = 150x – 1.000 150x = 2.000 q = 33.000 Dibuje la gráfica. pu = 30 q = 3. los consumidores compran 3.000 pu ======================= -100pu² + 51. se venderán 1.500 = 1. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .000 – 1000 pu U = Bu * q U = (pu – 18) (33.000 pu – 594.1000 (Pu – 30) q = 3000 – 1000pu + 30.000 lámparas menos cada mes.Trial :: http://www. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.docudesk.53 B = I – CT B = 275x – (1.67 Caso X.500 / 150 = 16.000pu – 594.000 lámparas al mes.000 -100pu² + 18.000 pu = x . MBA – Cavaliere 53 Ingeniero de Sistemas. El fabricante puede producir las lámparas a US$18 la lámpara.000 lámparas menos Cu = 18 Bu = pu – 18 q = 3000 .000 U= -100pu² + 51. Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al que se venden las lámparas. A este precio. Un fabricante vende lámparas a US$30 por unidad. U = -100pu² + 34. MBA – Cavaliere 54 Ingeniero de Sistemas. dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de venta.Trial :: http://www.000 x = -B = . A este precio.560= $14 2A 2(-20) Caso XII.500 -20pu + 60pu ================== -20pu² + 560pu – 1. Rubén Estrella. La librería planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción US$1 en el precio.000pu – 594.34.54 Y calcule el precio óptimo de venta. Una librería puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el ejemplar. Administrador.500 x = -B = . La librería ofrece el libro a US$15.000= $170 2A 2(-100) Caso XI.com . Exprese la utilidad mensual de la librería por la venta de este libro como una función del precio de venta. Matemático.pu) q = 200 + 300 – 20pu q = 500 – 20pu U = Bu * q U = (pu – 3) (500 – 20pu) pu – 3 500 – 20pu 500pu – 1.500 U = -20pu² + 560pu – 1. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . cu = 3 pu = 15 se venden 200 Bu = pu – 3 q = 200 + 20 (15 . se venderán 20 libros más cada mes. se venden 200 ejemplares.docudesk. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. respectivamente.600/80 = 70 p=80 p=-70 Caso XIII. b) Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes.com . y dibuje las curvas de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes.600 = 0 S(80) = 80 –10 = 70 D(80) = 5. MBA – Cavaliere 55 Ingeniero de Sistemas.600/p P(P – 10 – 5. Administrador.600/p.600/p P – 10 = 5. Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades que se ofrecieron y se demandaron.600/p) = 0 p² .55 Los modelos de oferta y de demanda de cierto artículo son S(p) = p –10 y D(p)=5.10p – 5. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . c) ¿Dónde corta la curva de oferta el eje p? Explique la interpretación económica de este punto.docudesk. S(p)=4p+200 D(p)=-3p+480 4p – 200 = -3p + 480 4p – 200 + 3p – 480 = 0 7p – 680 = 0 Caso XIV. respectivamente. Rubén Estrella. S(p) = p –10 D(p) = 5. Matemático. Las funciones de la oferta y la demanda de cierto artículo son S(p)=4p+200 y D(p)=-3p+480. a) Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas.Trial :: http://www. com . y “x” es la de la clínica. MBA – Cavaliere 56 Ingeniero de Sistemas. b) Determine la ubicación que minimice a S.14 2A 2(35) Caso XV. P = 35x + 15 Q=x I=p*q I = (35x + 15) * x I = 35x² + 15x x = -B = .docudesk. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . Si se venden todas las x unidades a este precio. Matemático.Trial :: http://www. La ubicación de la clínica x deberá ser tal que se minimice la suma de los cuadrados de las distancias entre la clínica y cada ciudad.56 Cada unidad de cierto artículo cuesta p=35x+15 centavos cuando se producen x unidades del artículo. La figura a continuación contiene las localizaciones relativas de tres ciudades. Administrador. Este criterio puede formularse así: Minimice S = Σ dj² J=1 3 3 S= f(x) = Σ (x . Rubén Estrella. exprese el ingreso derivado de las ventas como una función de x. Una gran organización para la conservación de la salud desea construir una clínica satélite para dar servicio a las tres ciudades.xj)² J=1 Donde xj es la ubicación de la ciudad j.15= $2. a) Determine la función distancia S = f(x). Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 MILLAS ===========*===============*=========================================*================= 0 20 50 120 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. 003q² a) Determine el ingreso en función de las unidades vendidas I = f(q) I = 500q – 0. Un fabricante ha ideado un nuevo diseño para los paneles solares. Administrador. -B/2ª = -400/2(-0. Rubén Estrella. U = -0. MBA – Cavaliere 57 Ingeniero de Sistemas.000 – q)/200 p = 500 – 0. Según los estudios de mercadotecnia que se han realizado.008q2 + 400q – 150.875 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.008) = 25.005q Los estudios de ingeniería indican que el costo total de la producción de q paneles está representado muy bien por la función: C = 150. la demanda anual de los paneles dependerá del precio al que se venden. X1 = 378. Matemático.Trial :: http://www.005q2 b) Formule la función de utilidad U = f(q) que exprese la utilidad anual en función del número de unidades q que se producen y venden. La función de su demanda ha sido estimada así: q = 100.621.000 – 200p p= (100.com . Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .125 X2 = 49.000 + 100q + 0.000 c) Determine el punto de maximización de las utilidades.57 Caso XVI.000 d) Represente Gráficamente la utilidad en función de las unidades producidas y vendidas.docudesk. 67 Caso XVIII. Una compañía de televisión por cable ha averiguado que su rentabilidad depende de la tarifa mensual que cobra a sus clientes.000/2(-50.2. se venderán 3 unidades menos cada mes.000) = 25 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Administrador.500.245/2(-3) = 40.250 -b/2ª = .83 x1 = 25 x2 = 56. los jugadores han comprado 50 unidades al mes.com . El propietario del almacén desea aumentar el precio del juego y estima que por cada aumento de US$1 en el precio.500.000r² + 2. ¿a qué precio debería venderse el juego para maximizar la utilidad? Represente gráficamente.000 a) Determine la tarifa de renta mensual que dé por resultado la utilidad máxima. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . Pu = 40 => q = 50 Si Pu aumenta en 1 => q reduce en 3 Cu = 25 q = 50 – 3 (x-40) q = 50 – 3x + 120 = 170 – 3x bu = x – 25 U = bu * q U = (x – 25) * (170 – 3x) 170 – 3x x – 25_________ 75x – 4.000r – 5.000.58 Caso XVII. Si cada unidad cuesta al almacén US$25. 25 -b/2ª = . Rubén Estrella. Matemático. A este precio. Un almacén vende un popular juego de computador a US$40 la unidad.Trial :: http://www. Específicamente.docudesk. la relación que describe la utilidad anual U (en dólares) en función de la tarifa mensual de renta r (en dólares) es la siguiente: U = .250 -3x² + 170x______ -3x² + 245x – 4.50. MBA – Cavaliere 58 Ingeniero de Sistemas. Una librería puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el ejemplar.20x² + 560x – 1.com .1. se venden 200 ejemplares.560/2(-20) = 14 x1 = 3 x2 = 25 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .250. MBA – Cavaliere 59 Ingeniero de Sistemas. La librería planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción US$1 en el precio. Cu = 3 Pu = 15 => q = 200 Por cada reducción en el Pu en 1 => q aumenta en 20 Bu = x – 3 q = 200 + 20 (15 – x) q = 200 + 300 – 20x q = 500 – 20x U = Bu * q U = (x – 3) * (500 – 20x) 500 – 20x x – 3__________ 60x . A este precio. ¿Cuál tarifa produce la utilidad máxima a la compañía? b.000 c) Suponga que la comisión local de servicios ha impuesto a la compañía la obligación de no cobrar una tarifa mayor que $20.Trial :: http://www. ¿Cuál es el efecto que la decisión de la comisión tiene en la rentabilidad de la empresa? Caso XIX.500 -b/2ª = . Matemático.docudesk. Administrador.500 .59 b) ¿Cuál es la utilidad máxima esperada? 26. a.20x² + 500x______ . dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de venta. Rubén Estrella. La librería ofrece el libro a US$15. se venderán 20 libros más cada mes. Exprese la utilidad mensual de la librería por la venta de este libro como una función del precio de venta. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .60 Caso XX.000 = 150x – 10.000 + 300x I = CT 450X = 10. Se trata de una actividad tendiente a recaudar fondos.000 + 300x 150x = 10. Administrador.000 x = 67 personas (66. La organización proyecta cobrar el paquete a US$450 por persona. ¿Cuántas personas han de participar para poder conseguirla? U = I – CT U = 450x – (10.com .Trial :: http://www. Matemático.000 150x – 10.000 x = 134 personas (133.33) [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000 10. el hotel.67) b) La meta de la organización es obtener una utilidad de US$10. y la organización pagará un costo fijo de US$10. Una organización de caridad está planeando un tour por avión y una semana de vacaciones en el Caribe. Esta última cantidad cubre el costo del vuelo. Rubén Estrella. las comidas y propinas.000 = 10.000 150x = 20. los traslados.000 más US$300 por persona. Se ha contratado un paquete con una aerolínea comercial. a) Determine el número de personas necesarias para alcanzar el equilibrio en esta actividad. MBA – Cavaliere 60 Ingeniero de Sistemas.000 – 300x) U = 150 x – 10.000.docudesk. I = 450x CT = 10. Rubén Estrella.50 U = B = Bu * q U = B = (p – 50) * (200 – 2p) U = B = -2p² + 300p – 10. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . = (50 + 100)/2 = 75 -b/2ª = -300/2(-2) = -300/-4 = 75 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. los consumidores compran 40 cámaras al mes. El minorista vende las cámaras a US$80 cada una. se venderán 10 cámaras más cada mes.m. Un minorista puede obtener cámaras del fabricante a un costo de US$50 la unidad. a este precio. Dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de venta.docudesk. El minorista planea reducir el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción de US$5 en el precio.61 Caso XXI.Trial :: http://www. MBA – Cavaliere 61 Ingeniero de Sistemas. Matemático.000 p = 50 p = 200/2 = 100 p. Cu = $50 Pu = $80 => q = 40 cámaras Por cada $5 menos se venderán 10 cámaras más 10/5 = 2 cámaras por $1 q = 40 + 2 (80 – p) q = 40 + 160 – 2p q = 200 – 2p Bu = p . Administrador. Exprese la utilidad mensual del minorista proveniente de la venta de cámaras como una función del precio de venta.com . 20 ± √20²-4(1)(-1.000p – 30p² p=0 p = -45. Las funciones de oferta y demanda de un producto son: qs = 4p² .B ± √B²-4AC Fórmula Cuadrática 2A X = .000 – 30p donde q es la cantidad demandada y p indica el precio de venta en dólares. MBA – Cavaliere 62 Ingeniero de Sistemas.62 Caso XXII.20p + 1000 Determine el precio y cantidad del equilibrio del Mercado. 4p² . a) ¿Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el producto para generar beneficio? b) ¿Qué precio corresponde al ingreso máximo? c) ¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio (b)? d) ¿Cuál es la concavidad de la función? I=p*q I = p * (450.500 qd = 3p² .500) Fórmula Cuadrática [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000 precio máximo = 7.com . Determine la función del ingreso total.20p + 1000 4p² .Trial :: http://www.docudesk. Administrador. La función de demanda de un producto es: q = f(p) = 450.000 / -3 = 15. Rubén Estrella.500 Caso XXIII.000 – 30p) I = 450. Matemático.500 – 3p² + 20p – 1000 = 0 p² + 20p – 1500 = 0 X = .500 = 3p² . Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . f) Determinación del precio o precios que deben fijarse en el punto o puntos de equilibrio. La compañía solicita al lector lo siguiente: a) Formulación de la función de la demanda q = f(p).docudesk. Es decir.63 2(1) X = . Handy Corporation es un gran fabricante de computadoras. La función de demanda para un producto es p = 1. q.000). Y actualmente está planeando penetrar en el mercado de microcomputadoras.000. Administrador. donde p es el precio en dólares por unidad cuando q unidades son demandadas (por semana) por los consumidores. Los investigadores de mercado realizaron algunos estudios preliminares y llegaron a la conclusión de que la función de la demanda para el nuevo producto será aproximadamente lineal. La empresa necesita ayuda para analizar este nuevo producto. y determinar ese ingreso.000 – 2q) * q I = 1. variará según el precio.000) y (500 . Dos puntos de datos (p.com .000 – 2q.20 ± 80 Fórmula Cuadrática 2(1) X1 = 30 X2 = -50 Caso XXIV.500. Encontrar el nivel de producción que maximice el ingreso total del productor. Los ingenieros de manufactura estiman que los costos variables de producción serán de $100 por unidad. Los costos fijos que se requieren para establecer la línea de producción se calculan en $2. q) que se utilizarán al definir esta función son (100 .000q – 2q² Caso XXV. en forma lineal. I=p*q I = (1. MBA – Cavaliere 63 Ingeniero de Sistemas. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. 26. 10. La I. p. Rubén Estrella. c) Formulación de la función del costo total.Trial :: http://www. el número de unidades demandado. e) Una representación gráfica de las funciones de ingresos y costos que muestre el punto o puntos de equilibrio. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . d) Determinación del nivel o niveles de equilibrio de la producción. Matemático. M. b) Formulación del ingreso total I = f(q). 00 100.00 U 0.00 5.000.00 3.26.000.00 100.000.00 400.000 + 100q) U = 650q – qq/40 .00 cu 100.00 3.500.500.00 2.000.000.000.600.00 5.00 5.q/40) * q CT = 2.00 100.30.00 12.00 1.700.000.Trial :: http://www.000. Matemático.00 3.00 1.325.000 .61 2.000.800.00 2.000.500.500.64 g) Una explicación de por qué hay más de un punto de equilibrio (en caso de que existan varios). ¿Cuál es la utilidad esperada? j) Determinación del precio que debería fijarse en el nivel de producción correspondiente a la maximización de utilidades.000.00q1 500.00 100.40p p = (30.000.00 2.00 3.000.000.000.600.00 1.00 2.00 3. Rubén Estrella.00 3.00 2.00 3.00 1.00 100.000.000.000.000.000.00 425.000.000.000.000.00 2. MBA – Cavaliere 64 Ingeniero de Sistemas.00 14.500.500.000.00 CT 2.qq/40) .q)/40 p = 750 .00 100.000.000 = 0 40x + y .500.000.00 4.500.000.969.337.000.00 100.500. i) Determinación del número de unidades que deberían venderse a fin de maximizar las utilidades totales.000.00 2.300.00 9.000.000.00 500.500.00 8.500.000.500.00 5.000.000.00 625.00 -40 (x-100) = y .00 3.000.docudesk.y + 26. CU = CF = p1 p2 100.00 1.00 7.00 10.67 650.900.61 2.00 1.2. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .500.000.725.000.600.000.00q2 26.00 I 2.500.00 475. Administrador.000.00 100.000.000.500.000.000.000.000.00 100.com .y + 30.200.00 100.00 600.700.000 -40x + 4.00 3.400.000.00 5.00 2.000 = 0 q = 30.500.337.500.000.000.00 2.125.000.100.000.000.00 P 632.625.00 525.000.00 3.500.100.000.00 1. h) Formulación de la función de las utilidades totales.225.00 11.00 500.525.00 450.00 6.00 125.000.00 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.025.00 2.00 -300.693.00 100.00 550.00 3.q/40 I=p*q I = (750 .00 825.00 13.00 575.000.00 100.00 3.900.000.000.000.400.00 5.00 4.000 = 0 40p + q .000 Q 4.000.30.000 .000.600.00 M -40.00 1.000.000 .(2.00 10.00 2.000 = 0 -40x .725.400.00 CF 2.725.700.00 4.000 + 100q I = CT U = (750q .00 2.969.38 4. 00 4.00 375. Administrador.00 100.00 250.00 100.00 2.docudesk.600.300.00 1.00 2.200.500.000.00 -300.00 21.000.000.62 26.00 22.100.000.500.306.00 4.65 15.000.500.400.000.000.000.000.000.630.00 825.00 4.000.000.00 100.00 4.00 4.00 217.00 4. MBA – Cavaliere 65 Ingeniero de Sistemas.00 100.500.630.000.700.00 100.000. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .00 200.000.00 2.600.500.525.33 100.225.000.000.00 -2.00 5.00 5.00 5.000.000.500.00 350.000.00 17.000.000.500.000.000.000.000.100.00 4.00 4.500.00 100.00 100.00 4.00 2.000.500.000.00 4.00 325.000.000.000.00 1.00 19.662.00 5.662.500.00 2.00 2.00 16.00 5. Matemático.000.00 2.00 1.00 20.500.00 18.00 0.000.000.625.000.00 4.00 275.00 5.00 100.000.39 2.625.100.000.00 2.500.400.00 4.00 225.000.000.00 2.Trial :: http://www.39 5.000.000.00 1.600.000.com .00 100.000.00 21.00 125.725.00 100.000.00 2.000.500.000.400.325. Rubén Estrella.000.00 300.000.00 500.00 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. 250 X = .com . Rubén Estrella.50 Fórmula Cuadrática Fórmula Cuadrática x1 = 0. La función de costo que describe el costo total en términos del número de unidades producidas y vendidas x es: C(x) = 40x + 0.025x² .360 ± √360²-4(-0.439.66 Caso XXVI.360 ± 359.7 x2 = 1.000 d) ¿Cuál es el costo total en este nivel de producción? CT = 40(720) + 0. Una firma vende cada unidad de un producto en $400.30 Max = 720 b) ¿Cuántas unidades deberían producirse y venderse a fin de maximizar la utilidad total? c) ¿Cuál es el ingreso total en este nivel de producción? I = 400 * 720 = 288. U = I – CT = 400x – 40x .650 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.25 (720) ² + 250 CT = 158.25x² + 250 a) Formule la función de utilidad U = f(x).025x² .docudesk. Represente gráficamente. MBA – Cavaliere 66 Ingeniero de Sistemas.250 = 360x . Administrador.65 . Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .25) X = .0.25)(-250) 2(-0. Matemático.Trial :: http://www. Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas si la función de oferta por cierto artículo es S(p) = p² + 3p – 70 y la función de demanda es D(p) = 410 – p. Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . p² + 3p – 70 = 410 – p p² + 4p – 480 = 0 X = .200 – 3q I = p * q = 1. Administrador. La función de demanda para el fabricante de un producto es p = f(q) = 1.200/2(-3) = 200 Caso XXVIII.200q – 3q² q = -b/2a = . Represente gráficamente.4 ± 44 2 Fórmula Cuadrática Fórmula Cuadrática x1 = 20 x2 = 24 -b/2a = -4/2a = -4/2 = -2 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.67 Caso XXVII.Trial :: http://www. donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).4 ± √4²-4(1)(-480) 2(1) X = . MBA – Cavaliere 67 Ingeniero de Sistemas.200 – 3q. Matemático.docudesk.com . p = f(q) = 1.1. Rubén Estrella. Matemático. ¿Cuántas licuadoras se venderán a este precio? p²/10 = 60 – p p² = 600 – 10p p² . los fabricante ofrecerán p²/10 licuadoras a los minoristas locales. y la oferta de licuadoras de los fabricantes. Un cultivador de frutas cítricas de Bonao estima que si planta 60 naranjos.docudesk. mientras que la demanda local será 60 – p licuadoras. dibuje la gráfica y calcule el número total de árboles que el cultivador debe plantar para maximizar la producción. La producción media disminuirá en 4 naranjas por árbol adicional plantado. Administrador. Producción = (60 + n) (400 – 4n) Caso XXXI. Cuando se venden licuadoras a p dólares la unidad.600 + 10p = 0 Caso XXX.600/p a) Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas.68 Caso XXIX. Las funciones de la oferta y demanda de cierto artículo son: S(p) = 4p + 200 D(p) = 5.Trial :: http://www. la producción media por árbol será 400 naranjas.com . Rubén Estrella. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . MBA – Cavaliere 68 Ingeniero de Sistemas. ¿a qué precio en el mercado será igual a la demanda de los consumidores. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Producción Agrícola. Exprese la producción total como una función del número de árboles adicionales plantados. P = 35 + x Tarifa = 60 – x [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.500q = q² + 1.200 + 2q I = 100√q q =400 q = 900 Caso XXXIII. Caso XXXII. $1200. Rubén Estrella.000 = 0 CT = 1. 100√q. En grupos grandes. Determinar la cantidad de equilibrio de Fabricaciones XYZ dada la información siguiente: costo fijo total. costo variable por unidad.600 .200 + 2q)/2 (50√q)² = (600 + q)² 2. Determine el punto o puntos de equilibrios y Represente gráficamente las funciones anteriores. Administrador.1. cada persona paga US$60.600/p = 4p + 200 5. $2.Trial :: http://www.200q + 360. 100√q = 1. Represente gráficamente.600 = 4p² + 200p 5. Matemático. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .docudesk. Si un grupo tiene exactamente 35 personas. MBA – Cavaliere 69 Ingeniero de Sistemas.000 q² .200p = 0 b) Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes.com .300q + 360. Determine el tamaño del grupo para el cual el ingreso de la compañía de buses será máximo.4p² .69 5.200 + 2q (100√q)/2 = (1. la tarifa se reduce en US$1 por cada persona adicional a las 35. ingreso total por la venta de q unidades. Una compañía de autobuses alquilará un autobús con capacidad para 50 personas a grupos de 35 personas o más. Administrador. Sin embargo. se tendrán tres departamentos desocupados sin posibilidad de que se renten. La Compañía quiere recibir $54.com . = 2.256 Caso XXXIV. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .70 I = (35 + x) (60 – x) I = 2.docudesk. Matemático. MBA – Cavaliere 70 Ingeniero de Sistemas. ¿Cuál debe ser la menta mensual de cada departamento? Apartamentos = 96 Renta = $550/mensuales Renta + 25 3 apartamentos menos 550 + 25x 96 – 3x Solución 1: 54.600 = (550+25x) (96-3x) [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. el cual consiste en 96 departamentos.Trial :: http://www. Rubén Estrella. Una compañía de bienes raíces es propietaria del conjunto de departamentos Torre Alegro. por cada $25 mensuales de aumento en la renta.100 + 25x . cada uno de los cuales puede ser rentado en $550 mensuales.600 mensuales de rentas.x² I max. 1.600 = [96 – 3(r – 550)/25] r 54.800 + 750x – 75x² – 75x² + 750x – 1.650)/25] 3/-25 (x-550) = y – 96 3x – 1.800 = 0 .400x .71 550 + 25x 96 – 3x 52. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .12 p) * p I = 162p – 0.800 + 750x – 75x² 54.600 = 162p – 0. Matemático. Rubén Estrella.600 = 52.650x – 75x² ==================== 52.docudesk.050 + 25y = 0 25y = 4.Trial :: http://www.800 + 2.050 – 3x)/25 y = q = 162 – 0.600 = r [(2.com . MBA – Cavaliere 71 Ingeniero de Sistemas.x² + 10x – 24 = 0 (x – 6) (x-4) = 0 x=6 x=4 Solución 2: q = 96 – [3 (r – 550)/25] 54.400 – 3r + 1.12 p I = (162 – 0. Administrador.12 p² 54.640 = -25y + 2.400 3x – 4.12 p² [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.050 – 3x y = (4. 000 = 0 X = . Un robot cuesta $180.1.350² .350p + 455. Un fabricante quiere introducir la tecnología de la robótica en uno de sus procesos de producción.docudesk.000 y tiene costos estimados de mantenimiento de $100 por hora de operación. El proceso creará un “ambiente hostil” para los hombres.000 con costos de mantenimiento estimados en $80 por hora de operación. En concreto.000) 2(1) Fórmula Cuadrática p = 750 p = 650 Caso XXXV. El segundo modelo cuesta $250. Administrador. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer .1. Al parecer no hay importantes diferencias en la velocidad a que ambos trabajan.350 ± √1.4 (1)(455. MBA – Cavaliere 72 Ingeniero de Sistemas. Se han identificado dos robots que parecen tener la capacidad para ejecutar las funciones del proceso de producción. a) ¿a qué nivel de operación (horas totales de producción) costarán lo mismo los dos robots? [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Matemático. Rubén Estrella.com . requiere exponerse a temperaturas muy altas y a emanaciones potencialmente tóxicas.72 p² .Trial :: http://www. 500 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.Trial :: http://www. Matemático.000 + 80h h = 3. Teólogo y Maestro PDF Created with deskPDF PDF Writer . MBA – Cavaliere 73 Ingeniero de Sistemas.000 + 100h CT = 250. Administrador.73 b) Defina los niveles de operación en que cada robot será el menos caro? CT = 180.000 + 100h = 250.docudesk. Rubén Estrella.com .000 + 80h 180.