Programación Lineal - Modelos para la Toma de Decisiones 3 SEP 2008

1 Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra Recinto Santo Tomás de Aquino Facultad de Ciencias Sociales y Administrativas Departamento de Administraciónde Empresas MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones en honor a Carlos Dreyfus PROGRAMA GENERAL Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro [email protected] ; [email protected] ; [email protected] www.atalayadecristo.org SEPTIEMBRE, 2008 • Modelos de Programación Lineal. o Método Gráfico. o Método Simplex. o Método PERT. o Diagrama de Gantt. Proyecto Final – Modelos de Programación Lineal. • • Bibliografía de Programación Lineal. o ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas. Métodos Cuantitativos para los Negocios . International Thomson Editores: Novena Edición. 2004 - Séptima Edición. 1999. o ARREOLA RISA Jesús S. And ARREOLA RISA Antonio. Programación Lineal – Una introducción a la toma de decisiones cuantitativa. International Thomson Editores: Primera Edición. 2003. o HILLIER Frederick S., HILLIER Mark S. Métodos Cuantitativos para Administración. McGraw-Hill: Tercera Edición, 2008. o HAEUSLLER Ernest F. And PAUL Richard S. Matemáticas para Administración y Economía. Pearson Educación – Prentice Hall: Décima edición 2003. BONINI Charles, HASUMAN Warren and BIERMAN Harold. Análisis Cuantitativo para Negocios. McGraw-Hill: Novena Edición, 2000. o [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella, MBA – Cavaliere 1 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro 2 o BIERMAN Harold, BONINI Charles and HASUMAN Warren. Análisis Cuantitativo para la Toma de Decisiones. McGraw-Hill: 1994. o LORA Ricardo and GRULLON Ramón. METODOS CUANTITATIVOS EN LA TOMA DE DECISIONES. Departamento Editorial de la Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra. Santiago de los Caballeros, República Dominicana: Tercera Edición, 1994. o o HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald. Introducción a la Investigación de Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1997. CHASE Richard and AQUILANO Nicholas. Dirección y Administración de la Producción y de las Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1995. EPPEN G.D., GOULD F.J., SCHMIDT C.D., MOORE Jeffrey and WEATHERFORD Larry. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Pearson Educación – Prentice Hall: Quinta edición 2000. o [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella, MBA – Cavaliere 2 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro 3 • Modelos de Programación Lineal. La Programación Lineal es una de la más vieja y aún una de las más importantes herramientas de la investigación de operaciones, se utiliza cuando un problema se puede describir utilizando ecuaciones y desigualdades que son todas lineales. La Programación Lineal (PL) es una técnica matemática de optimización. Por técnica de optimización se entiende un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo; por ejemplo, maximizar las utilidades o minimizar los costos. La programación lineal es un subconjunto de un área más extensa de procedimientos de optimización matemática llamada Programación Matemática. La Programación Lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado optimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución. La Programación Lineal no da espacio para que haya incertidumbre en ninguna de las relaciones; no incluye ninguna probabilidad o variable aleatoria. Por consiguiente, el problema de maximizar la función objetivo, sujeta a las distintas restricciones, es conceptualmente simple. Cuando hay sólo unas pocas variables, el sentido común y algo de aritmética pueden dar una solución, y es que así se han resuelto esos problemas por generaciones. Sin embargo, como es frecuente, la intuición es poco valida cuando el problema es más complejo; ya que cuando el número de variables de decisión aumenta de tres o cuatro a cientos de miles, el problema desafía los procedimientos empíricos. La programación lineal ha hecho posible manejar de una manera ordenada, problemas con grandes cantidades de restricciones. Esta técnica tiene excepcional poder y aplicación general. Es aplicable a una gran variedad de problemas organizacionales de los negocios modernos y puede manejarse como una rutina con la ayuda de los computadores actuales. Es una de las técnicas cuantitativas que le ha dado a la gerencia elementos eficaces para abordar un conjunto de problemas que admitían sólo soluciones parciales hasta hace pocos años. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella, MBA – Cavaliere 3 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro Matemático. Administrador. la meta es encontrar una que sea una solución óptima (esto es. Rubén Estrella. Aunque por lo regular existe un numero infinito de soluciones para el sistema de restricciones (llamadas soluciones factibles o puntos factibles). Restricciones de no negatividad. Las decisiones están limitadas por la cantidad de capital disponible y por las regulaciones gubernamentales. El Modelo de programación lineal se ocupa de maximizar o minimizar una función objetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones: 1. Estas se representan con variables de decisión xj que se utilizan en el modelo de programación lineal. Restricciones estructurales. una que dé el valor máximo o mínimo de la función objetivo). 2. Las decisiones del administrador de una planta están limitadas por la capacidad de dicha planta y por la disponibilidad de recursos. 3.4 En todo problema de programación lineal hay que tomar ciertas decisiones. La estructura básica de un problema de este tipo es maximizar o minimizar la función objetivo. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Algunos ejemplos específicos de tales restricciones son: 1. 2. MBA – Cavaliere 4 Ingeniero de Sistemas. Las restricciones son limitaciones impuestas al grupo de decisiones permisibles. En un problema de programación lineal. satisfaciendo al mismo tiempo un grupo de condiciones restrictivas o restricciones (que limitan el grado en que se puede perseguir algún objetivo). Restricciones estructurales y restricciones de no negatividad. Los planes de una aerolínea para llevar a cabo la asignación del personal y los vuelos están restringidos por las necesidades de mantenimiento de los aviones y por la cantidad de empleados disponibles. la función por maximizar o minimizar se llama función objetivo. Un administrador de cartera tiene determinada cantidad de capital a su disposición. Teólogo y Maestro . La función objetivo. Administrador. Ya convertidas las restricciones en ecuaciones para su grafica aplicamos el método de los interceptos consistente en determinar los puntos donde la recta intercepta los ejes (X e Y). Matemático. transformándolas en ecuaciones. hasta llegar a limitar un área. El procedimiento más funcional para la aplicación de este método es introducir una pequeña modificación en las restricciones. denominada área factible. Graficada la recta se sombrea la parte superior o inferior de esta dependiendo del tipo de inecuación. sea todo en el primer cuadrante. La región que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible. donde cada punto en esta región representa una solución factible. Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles. Las restricciones de no negatividad garantizan que ninguna variable de decisión sea negativa. X2 ≥ 0. pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta. Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima de la línea. MBA – Cavaliere 5 Ingeniero de Sistemas. debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. El Método Gráfico Este método se fundamenta en la versión gráfica que presentemos de todas las restricciones planteadas.5 Las restricciones estructurales reflejan factores como la limitación de recursos y otras situaciones que impone la situación del problema. Teólogo y Maestro . las cuales se superpondrán una sobre otra. La condición de no negatividad hace que el grafico de la restricción X 1. Rubén Estrella. las cuales generalmente están planteadas como inecuaciones. Matemático. Se dispone de 96 unidades de material y 72 horas de mano de obra. Administrador.6 Caso I. Función objetivo: Z = 5x1 + 5x2 Restricciones x1 y x2 ≥ 0 (condición de no negatividad) 12x1 + 8x2 ≤ 96 6x1 + 12x2 ≤ 72 x1 ≥ 2 Maximice: Z = 5x1 + 5x2 1. Convertimos las restricciones en ecuaciones. Cada producto x 1 requiere 12 unidades de materiales y 6 horas de obra al máximo. El margen de beneficio es el mismo para ambos artículos US$5. Rubén Estrella. Teólogo y Maestro .0) 12(0) + 8x2 = 96 8x2 = 96 x2 = 96/8 x2 = 12 b) Si x1= 0 implica [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. 12x1 + 8x2 = 96 6x1 + 12x2 = 72 x1 = 2 2. Mientras que el producto x 2 usaría 8 unidades de material y 12 horas de mano de obra. MBA – Cavaliere 6 Ingeniero de Sistemas. Para 12x1 + 8x2 = 96 a) Si x2 = 0 implica 12x1 + 8(0) = 96 12x1 = 96 x1 = 96/12 x1 = 8 (8. El fabricante prometió construir por lo menos dos artículos del producto x1 Determinar la cantidad a producir y vender de cada artículo que garanticen mayores beneficios. Un fabricante esta tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos x1 y x2. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas líneas rectas interceptan los ejes. debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo. Graficamos. Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima de la línea.0) (0.0) b) Si x1= 0 implica Para x2 = 2 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.0) 6(0) + 12x2 = 72 12x2 = 72 x2 = 72/12 x2 = 6 (0. Matemático.0) 3. Para 12x1 + 8x2 = 96 (8. Teólogo y Maestro . Rubén Estrella.6) (2. Administrador. pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta.12) Para 6x1 + 12x2 = 72 a) Si x2 = 0 implica 6x1 + 12(0) = 72 6x1 = 72 x1 = 72/6 x1 = 12 (12.12) Para 6x1 + 12x2 = 72 (12.0) (0. Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles.7 (0. donde cada punto en esta región representa una solución factible.6) Para x2 = 2 (2. La región que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible. MBA – Cavaliere 7 Ingeniero de Sistemas. MBA – Cavaliere 8 Ingeniero de Sistemas.0) implica Z = 5(8) + 5(0) = $40 En el punto (6. Es preciso aclarar que cualquier punto que caiga dentro del área factible garantiza beneficios. Matemático. (6.8 Esta área factible tiene los siguientes vértices (8.0) y (2. Rubén Estrella.5). [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Teólogo y Maestro .3) implica Z = 5(6) + 5(3) = $45 En el punto (2.3). (2. pero son los puntos extremos o vértices de la figura lo que garantizarían máximos beneficios.0) implica Z = 5(2) + 5(0) = $10 En el punto (2.5) implica Z = 5(2) + 5(5) = $35 El mayor valor es $45 lo que implica que habrá que vender 6 unidades del producto x1 y 3 producto x2. Administrador.0). Maximice: Z = 5x1 + 5x2 En el punto (8. Si pretendemos obtener los mayores beneficios. Requerimiento Alimento A Alimento B Vitamínico Mín. MBA – Cavaliere 9 Ingeniero de Sistemas. El alimento A cuesta 5 centavos/onza y el alimento B 8 centavos/onza. 10 unidades de vitamina X y unidades de vitamina Y. 50 unidades de vitamina X y 49 de unidades vitaminas Y. cada onza de alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W. 4unids/onza 10unids/onza 40 10unids/onza 5unids/onza 50 7unids/onza 7unids/onza 49 5cents/onza 8cents/onza Vitamina W Vitamina X Vitamina Y Costo Determinar la combinación que disminuirá los costos: Función Objetivo: Minimizar C = 5A + 8B Restricciones: A. Matemático. 4A + 10B = 40 10A + 5B = 50 7A + 7B = 49 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Convertimos las restricciones en ecuaciones. Administrador. Teólogo y Maestro .9 Caso II. cada onza de alimento B proporciona 10 unidades de W. 5 unidades de X y 7 unidades de unidades Y. B ≥ 0 4A + 10B ≥ 40 10A + 5B ≥ 50 7A + 7B ≥ 49 1. Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos alimentos. Rubén Estrella. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitaminas W. Matemático. Teólogo y Maestro . Administrador.0) b) Si A = 0 implica 4(0) + 10B = 40 10B = 40 B = 40/10 B=4 (0.0) 10(0) + 5B = 50 5B = 50 B = 50/5 B = 10 (0. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas líneas rectas interceptan los ejes.10 2. Para 4A + 10B = 40 a) Si B = 0 implica 4A + 10(0) = 40 4A = 40 A = 40/4 A = 10 (10. Rubén Estrella.0) 7(0) + 7B = 49 7B = 49 B = 49/7 B=7 Para 10A + 5B = 50 a) Si B = 0 implica b) Si A = 0 implica Para 7A + 7B = 49 a) Si B = 0 implica b) Si A = 0 implica [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.10) 7A + 7(0) = 49 7A = 49 A = 49/7 A=7 (7. MBA – Cavaliere 10 Ingeniero de Sistemas.4) 10A + 5(0) = 50 10A = 50 A = 50/10 A=5 (5. Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima de la línea.10) Para 7A + 7B = 49 (7.7) 3.0) (0. Teólogo y Maestro .0) b) En el punto (4. Graficamos. Administrador. pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta.2.11 (0.10) implica C = 5(10) + 8(0) = $50 implica C = 5(4. Matemático.2) + 8(2.5) a) En el punto (0. Rubén Estrella.0) (0.5) a) En el punto (2.2) + 8(5) = $51 implica C = 5(0) + 8(10) = $80 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.2.0) (0. donde cada punto en esta región representa una solución factible. La región que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible.2. debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo.7) Región Factible Minimizar C = 5A + 8B a) En el punto (10. Para 4A + 10B = 40 (10.4) Para 10A + 5B = 50 (5.5) = $41 implica C = 5(2. Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles. MBA – Cavaliere 11 Ingeniero de Sistemas. La que hace cada uno se obtiene al multiplicar el margen de utilidad por unidad por el número de unidades producidas y vendidas. Matemático. Producto A Departamento 1 3h/unidad Departamento 2 4h/unidad Margen de utilidad $5/unidad Capacidad de Producto B Trabajo semanal 3h/unidad 120h 6h/unidad 260h $6/unidad Si se supone que x1 y x2 son el número de unidades fabricadas y vendidas.2 onzas del producto A y 2. con el objeto de maximizar la aportación total a los costos fijos y a las utilidades. También se incluyen las capacidades de horas de trabajo semanales en ambos departamento y los márgenes respectivos de utilidad que se obtienen con los dos productos. pero esto implicaría 4. respectivamente. Rubén Estrella.12 El menor costo a que se podría comprar es a $41. de los productos A y B. los cuales deben procesarse en los departamentos 1 y 2. Teólogo y Maestro . Si z se define como la aportación a los costos y utilidades totales. entonces puede calcularse la aportación a las utilidades totales sumando las contribuciones de ambos productos. Administrador. se tendrá: Z = 5x1 + 6x2 Las restricciones vienen dada de la siguiente forma: 3x1 + 2x2 ≤ 120 4x1 + 6x2 ≤ 260 departamento 1 departamento 2 El modelo de programación lineal que representa el problema se formula así: Maximice Z = 5x1 + 6x2 Sujeta a 3x1 + 2x2 ≤ 120 4x1 + 6x2 ≤ 260 x1 ≥ 0 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Una empresa fabrica dos productos. MBA – Cavaliere 12 Ingeniero de Sistemas. En la tabla se resumen las necesidades de horas de trabajo por unidad de cada producto en uno y otro departamento. Caso III. El problema consiste en determinar el número de unidades que hay que fabricar de cada producto.5 onzas del producto B y se mantendría el nivel vitamínico. 13 x2 ≥ 0 4. Convertimos las restricciones en ecuaciones.60) 4x1 + 6(0) = 260 4x1 = 260 x1 = 260/4 x1 = 65 (65. MBA – Cavaliere 13 Ingeniero de Sistemas. Administrador.33 (0. Matemático. Teólogo y Maestro .0) 4(0) + 6x2 = 260 6x2 = 260 x2 = 260/6 x2 = 43. Para 3x1 + 2x2 = 120 a) Si x2 = 0 implica 3x1 + 2(0) = 120 3x1 = 120 x1 = 120/3 x1 = 40 (40. Inecuaciones o Desigualdades lineales 3x1 + 2x2 ≤ 120 departamento 1 4x1 + 6x2 ≤ 260 departamento 2 Ecuaciones o Igualdades lineales 3x1 + 2x2 = 120 departamento 1 4x1 + 6x2 = 260 departamento 2 5. Rubén Estrella.43.0) 3(0) + 2x2 = 120 2x2 = 120 x2 = 120/2 x2 = 60 (0. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas líneas rectas interceptan los ejes.33) b) Si x1= 0 implica Para 4x1 + 6x2 = 260 a) Si x2 = 0 implica b) Si x1= 0 implica [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. MBA – Cavaliere 14 Ingeniero de Sistemas. pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta.60) Para 4x1 + 6x2 = 260 (65. Ya que la función objetivo Z = 5x1 + 6x2. donde cada punto en esta región representa una solución factible. debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo.14 6. Z/6). Rubén Estrella. Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles. Teólogo y Maestro . cada una con pendiente de –5/6 e intersección de y (0. Graficamos. La región que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible.33) 3x1+2x2≤120 4x1+6x2≤260 7. Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima de la línea. Para 3x1 + 2x2 = 120 (40. Administrador.0) (0. Matemático.43. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.0) (0. es equivalente a: 6/6x2 = -5/6 x1 + Z/6 x2 = -5/6 x1 + Z/6 Define una familia de rectas paralelas. Teólogo y Maestro . Si Z aumenta el valor. identificando combinaciones de los dos productos que generen un nivel de utilidad previamente establecido.2x2 = 260 .8x2 = 780 . Rubén Estrella. Si quisiéramos maximizar las utilidades.2x2 3 x1 = 260 . Una vez definida el área factible usted puede tratar de encontrar la solución óptima. también lo hace la intersección con el eje x2. La intersección con el eje x2 está definida por (0. Por igualación: x1 = 120 . al cambiar el valor de z. lo mismo sucede con la intersección con el eje x2.Z/6).18x2 10x2 = 300 x2 = 30 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.6x2 3 4 480 . y no recibe el influjo del valor de Z.15 La pendiente de la función objetivo es –5/6. tendríamos que desplazar la línea de utilidades lo más afuera posible.6x2 4 120 . Matemático.8x2 = 300 . A partir de la figura anterior vemos que el punto o vértice A del área factible pertenece a las rectas: 3x1 + 2x2 = 120 departamento 1 4x1 + 6x2 = 260 departamento 2 Sus coordenadas pueden hallarse resolviendo el sistema anterior. Desde ella se advierte que.18x2 . MBA – Cavaliere 15 Ingeniero de Sistemas. por ejemplo: a) 5x1 + 6x2 = $120 b) 5x1 + 6x2 = $180 c) 5x1 + 6x2 = $240 8. Se determina exclusivamente por los coeficientes de las dos variables de la función objetivo. Administrador. sin dejar de tocar un punto dentro del área de las soluciones factibles. lo cual significa que la línea de utilidades iguales se desplaza hacia arriba y hacia la derecha. Rubén Estrella. Este punto se encuentra en la línea de utilidades de $280 cuando se fabrican 20 y 30 unidades. de los productos A y B.16 3x1 + 2(30) = 120 3x1 = 60 x1 = 60/3 x1 = 20 Por eliminación: 3x1 + 2x2 = 120 (-4) 4x1 + 6x2 = 260 (3) -12x1 . Teólogo y Maestro . respectivamente. el último punto que debe tocarse es A.8x2 = -480 departamento 1 12x1 +18x2 = 780 departamento 2 10x2 = 300 x2 = 30 3x1 + 2(30) = 120 3x1 = 60 x1 = 60/3 x1 = 20 Al deslizarse hacia fuera. Matemático. MBA – Cavaliere 16 Ingeniero de Sistemas. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Administrador. Una compañía produce dos tipos de artículos. Un articulo eléctrico requiere 1 hora de la maquina A. y contiene 2 unidades de cada nutriente. Rubén Estrella.17 Ejercicios Propuestos. Si la compañía vende todos los artículos que puede producir. supongamos que el numero máximo de horas disponibles por mes para el uso de las maquinas A. Cada uno requiere para su fabricación del uso de tres maquinas. Administrador. 5 unidades de B y 1 unidad de C. Los mínimos necesarios son 160 unidades de A. Crece Fácil cuesta $6 cada bolsa. ¿cuántas bolsas de cada marca debe comprar? La información se resume como sigue: Crece Rápido 3 unidades 5 unidades 1 unidad $8 Crece Fácil 2 unidades 2 unidades 2 unidades $6 Unidades Requeridas 160 200 80 Nutriente A Nutriente B Nutriente C Costo/bolsa [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. 160 y 100. La tabla siguiente da la información relacionada con la fabricación de estos artículos. Además. MBA – Cavaliere 17 Ingeniero de Sistemas. manuales y eléctricos. Matemático. de la maquina B por 1 hora y de la maquina C otra hora. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizantes en el mercado. contiene 3 unidades de A. Optimice cada situación basado en el modelo gráfico e interprete los resultados. respectivamente. B y C. B y C. Teólogo y Maestro . Si el cultivador desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrimentos. 200 unidades de B y 80 unidades de C. B y C es de 180. La utilidad por cada artículo manual es de $4 y por cada artículo eléctrico es de $6. ¿cuántos artículos de cada tipo debe producir con el fin de maximizar la utilidad mensual? Artículo Manual 2 1 1 $4 Artículo Eléctrico 1 2 1 $6 Horas Disponibles 180 160 100 Máquina A Máquina B Máquina C Utilidad/unidad Caso II. Cada artículo manual requiere del uso de la maquina A durante 2 horas. A. Crece Rápido cuesta $8 una bolsa. Caso I. 2 horas de la maquina B y 1 hora de la maquina C. Un agricultor va a comprar fertilizante que contienen tres nutrientes: A. Rubén Estrella.18 Caso III. Construye el diagrama de red para el siguiente listado de actividades que permitiría el traslado de una oficina del sector financiero.G MODELOS LINEALES [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. F ≥ 0 (Máxima contribución a las ganancias) (Requisito de Producción Mínima) (Capacidad en el Departamento A) (Capacidad en el Departamento B) (Horas de trabajo empleadas en las pruebas) (Condición de no negatividad) Caso IV. Resuelva por el Método Gráfico: Maximizar 5000E + 4000F E+F≥5 10E + 15F ≤ 150 20E + 10F ≤ 160 30E + 10F ≥ 135 E.E. MBA – Cavaliere 18 Ingeniero de Sistemas.B E Construir el interior D F Seleccionar al personal que se va a transferir C G Contratar nuevos empleados F H Trasladar registros. F I Hacer arreglos financieros con instituciones B J Capacitar nuevo personal H. etc. Predecesores Actividad Descripción Inmediatos A Seleccionar sitio de oficinas B Crear plan organizacional y financiero C Determinar requerimiento de personal B D Diseñar la instalación A. Teólogo y Maestro . Matemático. personal clave. Administrador. los costos de mano de obra y material variables son de US$2 por cada unidad producida. Construya los modelos. MBA – Cavaliere 19 Ingeniero de Sistemas. Los costos variables de producción y materiales se estiman igual a US$3 dólares por libro. Caso I.000 + 3x) B = 17(4. Rubén Estrella. Además.000 B = -12. Matemático.000/17 = 4. el diseño del libro y la puesta en marcha de la producción se estima en US$80. Eastman Publishing Company está considerando la publicación de un libro de texto. ¿Cuál es el punto de equilibrio? CF = 80.000 x = 80.000 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000 dólares. represente gráficamente cada situación e interprete los resultados. Teólogo y Maestro . ¿Qué utilidad o pérdida se puede prever. de tipo de bolsillo. a. con una demanda de 4. Administrador.706 b.19 Ejercicios Propuestos. Representa Gráficamente. sobre la aplicación.000 + 3x 17x = 80. La demanda durante la vigencia del libro se estima en 4. El costo de preparación de una línea de producción es de US$3.000. en el que se incurre independientemente del número de unidades que finalmente se produzcan. CT = 3000 + 2x Caso II.000 ejemplares? B = I – CT B = 20x – (80.000) – 80.000 ejemplares.000 – 80. El editor planea vender el libro a las librerías de colegios y universidades a US$20 dólares cada uno. sobre la aplicación de hojas de cálculos en los negocios.000 Cu=3 Pu=20 B = I – CT = 0 20x = 80.000 B = 68. El costo fijo de preparación del manuscrito. 000 B = 22. Con una demanda de 4.000) – 80.500.000x = 1.000 ejemplares. ¿Cuál será el punto de equilibrio para los palcos de lujo del nuevo estadio? Pu = 100.95x – 80.000 Cu = 50.000/4000 = 23 d.000x = 1.000 B = 11. Si el editor piensa que el precio por ejemplar pudiera incrementar hasta US$25.20 c.95 dólares sin afectar la demanda prevista de 4.500. El costo fijo de construcción del área en el piso superior se estima en US$1. Los funcionarios de la ciudad han cuestionado el número y rentabilidad de los palcos corporativos de lujo planeados para el piso superior del estadio.000 x = 1.95(4.000x 50.500.000 = 80.000 dólares cada uno.000 + 12.000 dólares.000/50. Matemático. ¿cuál es el precio mínimo por ejemplar que debe cobrar el editor para llegar a punto de equilibrio? Q = CF / (Pu – Cu) 4000 = 80.000 4000Pu – 12.000 CF = 1. Administrador.500. Están en marcha planes preliminares para la construcción de un nuevo estadio de béisbol.000 + 50. Rubén Estrella. Teólogo y Maestro . ¿qué acción recomendaría usted? ¿Qué utilidad o pérdida se podría prever? B = 25.000 + 3x) B = 22. a US$100.000 Pu = 92.000 dólares por cada palco construido. Caso III.000 4000Pu = 80.000 ejemplares.95x – (80. con un costo variable de US$50. Represente gráficamente.000 / (Pu – 3) 4000 (Pu – 3) = 80. Los palcos pueden ser adquiridos por empresas e individuos seleccionados.800 e.000 I = CT 100. MBA – Cavaliere 20 Ingeniero de Sistemas. a.000 = 30 palcos [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.500. Rubén Estrella.000) B = 900.000. B = I – CT B = 30x – (250.000 detectores de humo a lo largo de la vida del proyecto. si le pone un precio de US$30 cada uno.5 CF = 250.000 – 22.000 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.21 b. Administrador.500.000 + 50. son de US$22. se venderían los 50.000 – 925. MBA – Cavaliere 21 Ingeniero de Sistemas. incluyendo material. Han ideado un diseño y estiman que los costos variables por unidad.000(50)) B = 5.25. a) Determine el número de detectores de humo que han de venderse para que la empresa alcance el equilibrio en el negocio. ¿Cuál es su recomendación respecto a la Construcción de los palcos de lujo? ¿Qué utilidad se puede esperar? B = I – CT B = 100.5 Q = 33.000.000 – 22.000 – 4. Cu = 22.33 b) Los datos preliminares de mercadotecnia indican que la empresa venderá aproximadamente 30.000) – (250. Un grupo de ingenieros quiere formar una compañía para producir detectores de humo.000 = 1. Teólogo y Maestro . Los costos fijos relacionados con la formación.5) Q = 250.50 dólares.5(30. Determine las utilidades esperadas en este nivel de producción.000 Caso IV.000 / 7.000 Pu = 30 Q = CF / (Pu – Cu) Q = 250.5x) B = 30(30.000 / (30 –22. Los promotores indican que hay compradores detectados y que si se construyen.000 dólares.333. Estiman que el precio de venta será de US$30 dólares por detector. mano de obra y costos de mercadotecnia.000(50) – (1.000. operación y dirección de la compañía y la compra de equipo y maquinaria dan en total US$250. Dibujos preliminares del estadio muestran que hay espacio disponible para la construcción de hasta 50 palcos de lujo.000 B = . Matemático. 000 – 100.650x2 + 1.200x3 – (900x1 + 150.000 + 1. el costo anual de plantar 1 acre.000 + 1. Granja 1 2 3 Cultivo Soya Maíz Papas Costo/acre 900 1.100 750 Ingreso/acre 1. MBA – Cavaliere 22 Ingeniero de Sistemas.000 U = 250. Rubén Estrella.650x2 + 1.x2.50 por concepto de mano de obra. Además de esos costos fijos. Una empresa vende un solo producto a US$65 dólares por unidad. el ingreso que es espera obtener por acre y los costos fijos de la administración de las granjas.22 Caso V.000. Teólogo y Maestro . Administrador.300x1 + 1.000 U = I – CT U = 65x – (100.000 Caso VI.000 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.200 Costo Fijo 150.000 U = I – CT = 1. Una empresa agrícola tiene tres granjas que se utilizarán el año entrante. Los costos variables por unidad son de US$20 dólares por concepto de materiales y de US$27.5x) U = 17.5(20.000 U = 350.5x – 100. Formule la función de utilidad expresada en término de unidades producidas y vendidas.x3) = 1.000 U = 17.000 + 750x3 + 125.000 unidades? Pu = 65 Cu = 20 + 27. la corporación en conjunto tiene costo fijos anuales de US$75. Los costos fijos anuales ascienden a US$100.5 = 47.200x3 CT (x1. La siguiente tabla contiene el cultivo seleccionado para cada granja.000 I (x1.x3) = (900x1 + 150.000 125.000) + 75.000 + 750x3 + 125.000.x2.000) – 100.000 – 47. Matemático. Cada una está dotada de características especiales que la hacen adecuada sólo para un tipo de cultivo.100x2 + 175.000 + 75. ¿Qué utilidad se gana si las ventas anuales son de 20.000) U = 400x1 + 550x2 + 450x3 – 525.000 175.650 1.300x1 + 1. Determine la función de utilidad para la operación de las tres granjas.100x2 + 175.300 1.5 CF = 100. 250y + 85. Teólogo y Maestro . Matemático.000 = 1.000 – 47.000 / 1.000 = 0 x + 1.000 unidades) y ($30 dólares. Administrador.250y – 85.000) = (y – 20) -1 (x – 60. m = tg θ = y2 – y1 = 20 30 = -10/12.500 x2 – x1 60. MBA – Cavaliere 23 Ingeniero de Sistemas. 60.000 = 0 1.000 + 1. Dos puntos sobre una función lineal de demanda son (US$20 dólares.000 = 0 65.500 m = -1/1250 m (x – x1) = (y – y1) -1/1. Rubén Estrella.500 unidades). a) Determine la función de la demanda.000 unidades.250 y = 16 c) Interprete la pendiente de la función.23 Caso VII.000 y = 20.000) = 1. 47.250y – 85. d) Grafique la función.250 (y – 20) -x + 60.250y – 20.250 (x – 60.000 (-1) -x – 1.250y – 85. x + 1. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000 = 0 1.250y – 25.250y = 20.000 = 0 b) Determine que precio originará una demanda de 65. 000/-6. d) Interprete la intersección con el eje x.000 x2 – x1 28.000 x .83 c) Interprete la pendiente de la función.000y + 8.000). [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Dos puntos sobre la función lineal de la oferta son (US$6 dólares.000 – 6.5/9.000y – 36.000 = 1/6. a) Determine la función de la oferta.000 (y .5 = -1.000 – 37.24 Caso VIII.000 – 6.6) x – 28.000y = -143.000 m (x – x1) = (y – y1) 1/6.000y = 0 -6. Matemático.000y + 8.000y + 8.000 (x – 28.5/-9.6. Rubén Estrella. Teólogo y Maestro .000 = 6. Administrador.000 = 0 b) ¿Qué precio hará que los proveedores ofrezcan 135.000 = 0 143. e) Grafique la función.000 = 6.000 y = -143. m = tg θ = y2 – y1 = 6 7.000) = (y – 6) x – 28.000 = 0 135.000 y = 23.5 dólares.6.000 unidades) y (US$7. MBA – Cavaliere 24 Ingeniero de Sistemas.000 m = 1.000 unidades a la venta? x . 37. 28. 100 = 0 x = 1. Rubén Estrella.20*500) = 600 Pu=10  D=600 m = tg θ = y2 – y1 = 12 .100 = 0 x + 50y – 1. Teólogo y Maestro .10 = 2/-100 x2 – x1 500 – 600 m = -2/100 = -1/50 m (x – x1) = (y – y1) -1/50 (x – 500) = (y – 12) -1(x – 500) = 50 (y – 12) -x + 500 = 50y – 600 -x –50y + 1.2 = 10 20% más de D=500+(0. Administrador. a) Formule el modelo de demanda. Cuando el precio es US$12 la compañía vende 500 unidades. Una compañía ha analizado sus ventas y ha determinado que sus clientes compran 20% más de sus productos por cada US$2 de reducción en el precio unitario.100 = 0 b) ¿Cuál sería la mayor cantidad a demandar? x + 50y – 1.100 c) ¿Cuál sería el mayor precio a pagar por el artículo? x + 50y – 1. Y  X Pu=12  D=500 unidades Pu=12 .25 Caso IX.100 = 0 x + 50(0) – 1. Matemático.100 = 0 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.100 = 0 (0)+ 50y – 1. MBA – Cavaliere 25 Ingeniero de Sistemas. 26 50y – 1,100 = 0 y = 1,100/50 = 22 d) ¿Cuál sería el precio si la cantidad demandada asciende a 600 unidades? x + 50y – 1,100 = 0 600 + 50y – 1,100 = 0 50y – 500 = 0 50y = 500 y = 10 e) ¿Cuál será la demanda si el precio del producto es US$8? x + 50y – 1,100 = 0 x + 50(8) – 1,100 = 0 x + 400 – 1,100 = 0 x – 700 = 0 x = 700 Caso X. Una compañía pretende entregar 5,000 artículos mensualmente a un precio de US$5 por unidad. Si el precio tiene una disminución de un 30%, la compañía sólo se compromete a entregar un 40% de la oferta anterior. a) Formule el modelo de la oferta. Y  X Pu=5  D=5,000 unidades Pu= 5 – (5 * 0.30) = 3.5 D = 5,000 * 0.4 = 2,000 Pu=3.5  D=2,000 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella, MBA – Cavaliere 26 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro 27 m = tg θ = y2 – y1 = 5 - 3.5 = 1.5/3,000 x2 – x1 5,000 – 2,000 m = 1/2000 m (x – x1) = (y – y1) 1/2000 (x – 5,000) = (y – 5) x – 5,000 = 2,000 (y – 5) x – 5,000 = 2,000y – 10,000 x – 5,000 – 2,000y + 10,000 = 0 x – 2000y + 5,000 = 0 b) ¿Cuál sería la menor oferta? x – 2000y + 5,000 = 0 x – 2000(0) + 5,000 = 0 x = -5,000 c) ¿Cuál sería la oferta si el precio es US$7? x – 2000y + 5,000 = 0 x – 2,000(7) + 5,000 = 0 x – 14,000 + 5,000 = 0 x – 9,000 = 0 x = 9,000 d) ¿Cuál será el precio si se solicitan 6,000 unidades del producto? x – 2000y + 5,000 = 0 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella, MBA – Cavaliere 27 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro 28 6000 – 2,000y + 5,000 = 0 11,000 – 2,000y = 0 -2,000y = - 11,000 y = -11,000/-2,000 = 5.5 Caso XI. Los siguientes modelos representan la oferta y la demanda de un determinado producto. Determine gráfica y analíticamente el mercado de equilibrio. Ox+y=5 D  2x – y = 5.5 y=5–x - y = 5.5 – 2x y = 2x – 5.5 5 – x = 2x – 5.5 - x – 2x = - 5.5 – 5 -3x = -10.5 x = 3.5 3.5 + y = 5 y = 5 – 3.5 y = 1.5 Caso XII. Una compañía fabrica dos productos diferentes. Para la semana entrante dispone de 120 horas de trabajo destinadas a la elaboración de ambos productos. Puede asignar horas de trabajo a la fabricación de ambos productos. Además, como los dos tipos de producción aportan buenas ganancias, a la dirección le interesa utilizar las 120 horas durante la semana. Cada unidad del producto A requiere 3 horas de trabajo de elaboración, y cada unidad del producto B requiere 2.5 horas. a) Defínase una ecuación que establezca que las horas totales de trabajo dedicadas a la producción “x” unidades del producto A y “y” unidades del producto B son 120. 3x + 2.5y = 120 b) ¿Cuántas unidades del producto A pueden fabricarse si se elaboran 30 unidades del producto B? [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella, MBA – Cavaliere 28 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro 5(30) = 120 3x + 75 = 120 3x = 120 – 75 3x = 45 x = 15 unidades del producto A c) Si la gerencia decide producir sólo un artículo.5y = 120 3x + 2.5(0) = 120 3x = 120 x = 40 unidades del producto A 3(0) + 2. ft3 Sangre 20 Equipo médico 30 Alimentos 8 Agua 6 Volumen de sangre + Volumen de Equipo Medico + Volumen de Alimentos + Volumen de agua = 6. MBA – Cavaliere 29 Ingeniero de Sistemas.000 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Suministro Volumen/Caja.000 pies cúbicos Cajas X1 = Numero de recipientes de sangre X2 = Numero de contenedores de equipo medico X3 = Numero de cajas de alimentos X4 = Numero de recipientes de agua 20x1 + 30x2 + 8x3 + 6x4 = 6. En la tabla adjunta se incluyen los cuatro suministros que urgen y sus respectivos volúmenes por caja o recipiente. Determine la ecuación cuyo conjunto solución contenga todas las posibles combinaciones de los cuatro suministros que llenarán el avión en toda su capacidad. Rubén Estrella.5y = 120 2. Matemático.29 3x + 2.5 y = 48 unidades del producto B Caso XIII.5y = 120 y = 120/2. Teólogo y Maestro . Administrador. El primer avión que se enviará a la zona tiene una capacidad de volumen de 6000 pies cúbicos. La Cruz Roja Internacional está haciendo planes para transportar por avión alimentos y suministros médicos a Iraq.5y = 120 3x + 2. ¿cuál será la cantidad máxima que puede fabricarse del producto A? ¿Y cuál será la cantidad máxima que puede fabricarse del producto B? 3x + 2. Las decisiones que han de adoptarse se refieren a cuánto dinero se asignará a cada forma de publicidad. Administrador. Una compañía nacional está iniciando una campaña publicitaria por medio de la televisión.50 materia prima Cu2 = 1.000 Cu1 = 5. También han estimado que los costos de materias primas por cada unidad producida ascienden a UD$5.000.000.000 250 6. Determine el modelo (ecuación) cuyo conjunto solución especifique todas las asignaciones de publicidad que den por resultado la obtención de esta meta. a fin de llegar a 10 millones de personas. MBA – Cavaliere 30 Ingeniero de Sistemas. $0.000 70 1.000x1 + 18. la publicidad llegará a 25. respectivamente. 25.75 mano de obra de acabado Cu4 = 1. Matemático. por cada 1000 dólares asignados a la publicidad por televisión.000 150 2. 18.000. Teólogo y Maestro .000 personas.050. la radio y la prensa. El objetivo es lograr que 10 millones de personas vean los anuncios.000x3 = 10. Alimentos Agua x1 x2 x3 x4 pies3 20 30 5 6 cajas 40 65 350 250 Caso XIV.50 en el departamento de montaje. Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función que expresa el costo total anual y en función de la cantidad de unidades producidas.000 dólares.000x2 + 15.250.000 Personas 10. Rubén Estrella.000 TV RADIO PRENSA x1 x2 x3 Caso XV.50 y que los costos de mano de obra son de US$1.25 de empaque y embarque Cu = 9 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. radio y prensa.25 en el departamento de empaque y embarque.700.75 en el cuarto de acabado y US$1. La experiencia revela que.000 y 15.30 Total Volumen 800 1950 1750 1500 6000 Sangre Equipo M.50 mano de obra de montaje Cu3 = 0.000 15. Los contadores indican que los gastos cada año son de US$50.000 Inversion Alcance por Publicidad Alcance en USD 1000 en miles Personas 25.000 18. CF = 50. U = I – CT U = 0. son de US$0.40x – (12. Una agencia de alquiler de automóviles compra nuevas unidades cada año para rentarlas. a) Formule la función de ingreso total relacionada con el alquiler de los automóviles por millas.31 CT = 50.000 0. Matemático.40x – 0.25/milla CT = 12.40x b) Formule el modelo de costo total asociada al alquiler de un automóvil por millas.000 + (5.40/milla I = 0.40x = 12.000 + 9x Caso XVI. MBA – Cavaliere 31 Ingeniero de Sistemas. Cu = 0.000 + 0.75x + 1.000 + 0. sin contar la gasolina. Los automóviles se alquilan en US$0. El dueño de la agencia estima que los costos variables de operación de los automóviles.40 por milla (sin incluir gasolina).15x = 12.25 por milla.15x – 12.25x 0.25 x = 12. Rubén Estrella.25x c) Formule la ecuación de utilidad.500 dólares.50x + 1.25x) CT = 50. Se emplean tres años y luego se venden en US$2.000 + 0.25x) U = 0. Pu = 0.000 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Teólogo y Maestro .000 x = 80.000 dólares.50x +0. Los automóviles nuevos cuestan US$12.000 Punto de Equilibrio: 0. Administrador. R Vida útil n Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C – R = 12.000. respectivamente.000 millas durante el período de los tres años? U = 0.000 e) Si los contadores aplican la depreciación en línea recta. Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C . Una gasolinera vende gasolina regular y de primera calidad sin plomo.00 12. Teólogo y Maestro .00 para la de primera calidad sin plomo. determine la función que describa el valor en libros de V en función de la edad del automóvil t.33 5.15x – 12.67(t) Calendario de Depreciación en línea recta Automovil (al costo original de adquisición) Menos: Depreciación acumulada (la parte del costo original que ya se ha cargado en forma de un gasto) Valor neto en libros 12.166.000) – 12.833.000 U = 0.15(60. MBA – Cavaliere 32 Ingeniero de Sistemas.166.80 para la gasolina regular y de US$2. Administrador.500.000-2.166.000.500 Vida útil n 3 D = 3.500.00 Caso XVII.333.000 = . El precio por galón es de US$1.3.88.66 y US$1. Matemático. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella.00 3.666.67 6. El costo por galón que cobra el proveedor es de US$1.67 2.67 Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t) Valor en libros V(t) = 12.33 9.000.000 – 3.00 12.00 8.32 d) ¿Cuál será la utilidad si el vehículo se renta por 60. U = I – CT U = 1.000 galones de gasolina de primera calidad sin plomo? U = 0.00x2 IT = 1. los empleados preparan manualmente las facturas de los [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Matemático.88x2) U = 0.000) U = 28.80x1 + 2x2 b) Formule la función de costo para cada tipo de gasolina y para ambas.12x2 d) ¿Cuál es la utilidad esperada si la estación vende 200.000) + 0. MBA – Cavaliere 33 Ingeniero de Sistemas.80x1 I2 = 2. CV = Cu * x C1 = 1.33 a) Formule la función de ingreso obtenido para cada tipo de gasolina y para ambas. Decisión sobre la renta de computadora o la contratación de una empresa de servicio computacionales.000 galones de gasolina regular y 80.66x1 + 1.88x2 CT = 1.66x1 C2 = 1.14x1 + 0.12x2 U = 0.14(200.14x1 + 0.80x1 + 2x2 – (1. Un numero grupo médico se compone de 20 médicos de tiempo completo. En el momento actual. Administrador.88x2 c) Formule la función de utilidad total.66x1 + 1. Rubén Estrella.12(80.600 U = 37.600 Caso XVIII. Teólogo y Maestro . I = Pu * x I1 = 1.000 + 9. Una firma está diseñando una campaña publicitaria por televisión.3 x = 40. Los costos de una y alternativas depende de la cantidad de facturas. la opción de alquilar es más barata.000 dólares y la firma pagará US$15. Teólogo y Maestro .000 dólares anuales más US$0.65x 0. el gerente administrativo estimó que el grupo puede rentar un pequeño sistema de cómputo para negocios.95x Alquilar y Facturar = A(x) = 15. la opción de contratar los servicios cuesta menos. La firma estima que.30x = 12. se obtendrá un aumento de US$70.000.000. Caso XIX.000 por año. MBA – Cavaliere 34 Ingeniero de Sistemas.000 + 0.000 dólares por minutos en cada spot de televisión. Servicios de Facturación = S(x) = 3. La oferta más baja presentada por una empresa de servicios computacionales originará una cuota de US$3.95x = 15. Se estima en US$0. Con ayuda de un experto en computación. Administrador. Debido al enorme volumen de facturas.95 por factura procesada. junto con los programas necesarios.000/0.000 + 0.65 por factura los costos variables de realizar la facturación de este modo. Rubén Estrella. Matemático.000 + 0. por cada minuto de publicidad. Si se espera que el número de facturas sea menor que 40.65x 3. a un costo de US$15.000 en [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Los costos de desarrollo (costos fijos) son US$150. Están estudiándose dos opciones: 1) el grupo médico puede alquilar la computadora y los programas y hacer él mismo la facturación (la opción de hacer) o 2) puede contratar a una empresa de servicios computacionales que se encargue de efectuar la facturación (contratar).000 + 0.000 Si el número esperado de facturas de pacientes por año rebasa las 40. el gerente administrativo piensa que ha llegado el momento de hacer la transición de la facturación manual a la computarizada.000 x = 12.34 pacientes. a) ¿Cuántos minutos de publicidad se necesitan para recuperar los costos de desarrollo de la campaña publicitaria? Costos de Desarrollo CF = 150.000 + 15. Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C – R = 20.000(15) = 375. Administrador. US$47. I = 22.000x Aumento de Venta en: I = Pu * x = (70.000x CT = 150.500 se absorben para cubrir el costo variable de producir los artículos y US$15.500 CT = 150. El resto es la contribución al costo fijo y a la utilidad. determine el ingreso total.000 sirven para pagar el minuto de publicidad.000 + 15. La maquinaria que compra un fabricante por US$20.500 Caso XX.000 / (22. los costos totales (producción y publicidad) y la utilidad ( o pérdida) total que resultan de la campaña. MBA – Cavaliere 35 Ingeniero de Sistemas.000 – 1. Matemático.000 dólares. a) Exprese el valor de la maquinaria como una función de su antigüedad y dibuje la gráfica.900 Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t) [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000 = -37.000 dólares se deprecia linealmente de manera que su valor comercial al cabo de 10 años es US$1.500 – 375.500 – 15.500)x = 22.000 / 7.000 CV= Cu * x = 15.35 las ventas.000 Vida útil n 10 D = 1.500 Q = 20 minutos b) Si la compañía se sirve de 15 spots de 1 minuto de duración. Teólogo y Maestro .500 * 15 = 337.000) Q = 150.500x I = 22.500x Q = CF / (Pu – Cu) Q = 150.000 U = I – CT = 337. De esta cifra.000-47. Rubén Estrella. 400 c) ¿Cuánto se despreciará por completo la maquinaria? El fabricante puede no esperar tanto tiempo para disponer de la maquinaria.000 – 1.000 11. Administrador.000 Caso XXII.000 70.1/180q + 12 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000 – 1.900(t) b) Calcule el valor de la maquinaria al cabo de 4 años.000 100.000 640.000 330. Encuentre las incógnitas para cada uno de los siguientes casos independientes: PRECIO DE VENTA POR CASO UNIDAD COSTO VARIABLE POR UNIDAD TOTAL DE UNIDADES VENDIDAS MARGEN DE CONTRIBUCION TOTAL COSTOS FIJOS TOTALES UTILIDAD NETA 1 2 3 4 5 10 20 30 10 25 6 15 20 8 19 100.900(t) Valor en libros V(t) = 20.000 700.000 400.000 50.000 160.600 = 12.000 720.000 120. Analice los aspectos que el fabricante puede considerar para decidir cuándo venderla.000 70. Matemático.36 Valor en libros V(t) = 20.000 89.000 – 7. Si los modelos de la oferta y la demanda son respectivamente: Oferta => p = 1 q + 8 300 Demanda => p = . Valor en libros V(t) = 20. 1/300q + 8 = . Teólogo y Maestro .000 80.000 688. Caso XXI.000 110. MBA – Cavaliere 36 Ingeniero de Sistemas.900(4) = 20.000 12.000 – 1.1 q + 12 180 a) Determinar el precio y la cantidad de equilibrio. Rubén Estrella.000 80.000 20. c) ¿Por qué se llama punto de equilibrio? Caso XXIII. La Compañía RL & RG.(q) * 100 / Capacidad P.500 y el precio de venta de las utilidades producidas es de $250.500 I = 250 * 350 = $87. cuando hay excedente y cuando hay escasez.28 = $87.E. Administrador. dinero y % de capacidad de producción. Teólogo y Maestro .37 1/300q + 1/180q = 12 – 8 480/54. De los datos de producción se conoce que el costo variable/unidad es de $180. Los costos fijos son $24. Matemático.000 q = 4 480q = 216.($) = P.A.E.500 P. CF = $24. Indique el punto de equilibrio.500 /[(250-180)/250] = 24.500/0.500 P. S.500/(250-180) = 350 unidades Comprobación: CT = 24.(%) = 350 * 100 / 1000 = 35% [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.500 Pu = $250 Cu = $180 Capacidad/año = 1. se dedica a la producción y venta de neveras.E.E.000 unidades P.E.000 q = 450 p = (450/180) + 8 p = 9.(q) * Pu = 350 * 250 = $87.E.(%) = P. se desea determinar: a) El punto de equilibrio de la compañía en unidades. Si se espera que esos valores permanezcan constantes durante el año y siendo la capacidad de la planta de 1.($) = CF /RMC = 24.5 b) Representar gráficamente.500 P.E. Rubén Estrella. MBA – Cavaliere 37 Ingeniero de Sistemas.(q) = CF / (Pu – Cu) = 24.000 unidades por año.500 + 180* 350 = $87. 600 * 15 = $54.000 al año.(q) = CF / (Pu – Cu) = 18.600 = $54.28) – 24.E.E. Matemático.000 I = 15 * 3.E.(%) = P.(%) = 3.E. Teólogo y Maestro .28) – 24. La empresa CADESA produce el artículo AD12.000 P.500 = $10.28) – 24. a un costo unitario de $10 y lo vende a $15 la unidad.E. a) ¿Cuál es el punto de equilibrio de la empresa en unidades.E.$3.000 P.(q) * 100 / Capacidad P.($) = P.000 Capacidad = 60.500 Caso XXIV.000 artículos/año P.000/0.000 + (10 * 3. Los costos fijos de la empresa son de $18. si opera por encima. tendrá ganancias. La importancia de conocer este punto es que si la compañía opera por debajo de ese punto tendrá pérdidas.(q) * Pu = 3.($) = CF /RMC = 18.600 * 100 / 60.000 P.600 artículos Comprobación: CT = 18. 350 y 500 unidades. MBA – Cavaliere 38 Ingeniero de Sistemas. Administrador. B = I – CT = Pu * q – (CF + Cu * q) B = (Pu *q) [(Pu – Cu)/Pu] – CF B= I * RMC – CF B(300) = (250 * 300 * 0. dinero y % de capacidad de producción? Cu = $10 Pu = $15 CF = $18. La capacidad de la empresa es de 60. b) Beneficios que resultan para los niveles de producción y venta de 300.000 = 6% b) ¿Cuáles serán los beneficios cuando la empresa trabaje a un 80% de capacidad? [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.500 = .000/(15-10) = 3.500 = $0 B(500) = (250 * 500 * 0.600) = $54.000 artículos por año.E. Rubén Estrella.500 B(350) = (250 * 350 * 0.3333 = $54.38 Con la utilización del 35% de la capacidad de producción cubre todos sus gastos.000/[(15-10)/15] = 18. 000 artículos = 48. A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y los beneficios a un nivel de producción del 75% de su capacidad. En la tabla siguiente aparecen los datos del caso: Producto Mesas Lámparas Sillas Precio Unitario 70 50 40 Costo Unitario 50 40 30 % Valor ventas ($) 40 25 35 Capacidad de ventas $1.80 * 60. por lo tanto. Matemático.000 = $222.000 Caso XXV.000.39 0. Administrador.800. Teólogo y Maestro .($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto En este caso la contribución está expresada en porcentaje.000. lámparas.000 artículos B(q) = [q * (Pu – Cu)] – CF B(48. Rubén Estrella. Un fabricante de artículos para el hogar está produciendo actualmente mesas.E. % de contribución de cada producto será igual a: [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) RMC * (% participación en ventas) P. MBA – Cavaliere 39 Ingeniero de Sistemas. Costo fijos $250. y sillas. podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.000 * (15-10)] – 18.000) = [48. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. MBA – Cavaliere 40 Ingeniero de Sistemas.E.75 * $1. [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000 * 0.2518 = $992.0500 % Sillas = [(40-30)/40)] * 0.($) = 250. Administrador.25 = 0. Matemático.0875 ∑ del % de contribución de cada producto = 0.851.2518 – 250.000/0.0500+0.35 = 0.350. Una empresa produce bicicletas y velocípedos.1143 % Lámparas = [(50-40)/50)] * 0.1143+0.000 = $89. % de contribución de cada producto será igual a: [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) RMC * (% participación en ventas) P.40 = 0.000 = $1. La participación de cada producto es la siguiente: Producto Bicicleta Velocípedo Precio Unitario 120 50 Costo Unitario 70 25 % Valor ventas ($) 60 40 A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y el beneficio cuando esté trabajando a un 70% de su capacidad.000 en ventas. Los costos fijos de la empresa son de $60.000 B = I * RMC – CF B = 1. podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.2518 P. la capacidad total anual es de $250.000 al año.350. por lo tanto.800.0875 = 0. Teólogo y Maestro . Rubén Estrella.40 [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) % Mesas = [(70-50)/70)] * 0.47 Beneficios a un nivel de producción del 75% de su capacidad.E.930 Caso XXVI. I = 0.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto En este caso la contribución está expresada en porcentaje. 86 b) [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.E.000 * 0.000 20.45 = $133.000 y el nivel de ventas necesario para lograr el beneficio proyectado de $25.333.142.000) = 0. MBA – Cavaliere 41 Ingeniero de Sistemas.750 Caso XXVII. Administrador.($) = 60.000 65. Rubén Estrella.60 = 0.(Cu/Pu) RMC = 1 .35 = $ 57. Matemático.000/0. La compañía TERDAS presenta el siguiente Estado de Ingreso Presupuestado: Estado de Ingresos Ventas Menos Costos y Gastos Variables Margen de Contribución Menos: Costos Fijos Ingresos Netos 100.($) = CF/RMC = 20. los beneficios para unas ventas de $120.E.000 Se desea conocer el punto de equilibrio.45 P.000.(65.35 P. Teólogo y Maestro .20 = 0.000 35.(Costos Variables/Valor de Ventas) Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC B = RMC * Ventas .41 % Bicicleta = [(120-70)/120)] * 0.33 Beneficios a un nivel de producción del 70% de su capacidad. I = 0.E.20 ∑ del % de contribución de cada producto = 0. RMC = [(Pu – Cu) /Pu] = (Pu/Pu) – (Cu/Pu) RMC = 1 .CF a) RMC = 1 .25 % Velocípedo = [(50-25)/50)] * 0.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto P.000 = $18.000/0.45) – 60.40 = 0.25+0.000 B = I * RMC – CF B = (175.000 = $175.000/100.000 15.70 * $250. 000 de ventas al año. Matemático. Administrador.00 25. Teólogo y Maestro . Estado de Ingresos Ventas Menos Costos y Gastos Variables Margen de Contribución Menos: Costos Fijos Ingresos Netos 128.571.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto En este caso la contribución está expresada en porcentaje.42 La exactitud de esos resultados se puede comprobar con un estado de ingreso para ese nivel de ventas.35 = $128.000 = $22.42 45.000 c) Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC Ventas para un nivel de beneficio = (20.00 20. por lo tanto. % de contribución de cada producto será igual a: [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) RMC * (% participación en ventas) P. MBA – Cavaliere 42 Ingeniero de Sistemas.000. b) Determinar cual es el ingreso total cuanto se están vendiendo 1.000.35 * 120.000 – 20.000) / 0.42 B = RMC * Ventas .571.571. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.E.42 83.000.000 al año y capacidad de $200. Rubén Estrella. Una fabrica de alimentos para animales presenta las siguientes informaciones: Alimento % ventas para Precio Costo ($) Gallinas 30 15 40 Vacas 40 16 20 Puercos 36 16 25 Perros 32 12 15 Costos fijos de $80. Suponemos que los costos variables mantienen una proporción constante de las ventas.CF B = 0.00 Caso XXVIII.200 unidades de alimentos.000 + 25. a) Hallar el punto de equilibrio en dinero y en % de capacidad de la fábrica. E($) % ventas ($) Ventas Precio Unidades 1.E.897.98 40 20 25 15 100 57.59 28.948.8=4.1200 % Puercos = [(36-16)/36)] * 0.40 = 0.98 144.8/unidad En función de unidades el punto de equilibrio viene dado: P. Administrador.337 Gallinas Vacas Puercos Perros 144.5527 P.20 = $4.($) = 80.0938= 0. Matemático. Rubén Estrella. ∑ (Pu – Cu) * (% participación en ventas) Contribución Unitaria de Gallina = (30-15) * 0.98 144.60 144.20 = 0.12+0.00 21.98 30 40 36 32 Alimento % ventas para Precio Costo ($) Gallinas 30 15 40 Vacas 40 16 20 Puercos 36 16 25 Perros 32 12 15 Costos fijos de $80.186.743.(q) = 80.005 678 4. (%) = 144. En este caso debemos determinar la contribución promedio por unidad.743.2000 % Vacas = [(40-16)/40)] * 0.743.8+5+3= $18.25 = $5/unidad Contribución Unitaria de Perro = (32-12) * 0.15 = 0.98/200.743.000 al año y capacidad de $200.743.743. Teólogo y Maestro .7237 = 72.930 724 1.25 = 0.8/unidad Contribución Unitaria de Puerco = (36-16) * 0.000/18.256 unidades [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.15 = $3/unidad ∑ (Pu – Cu) * (% participación en ventas) = 6+4.000 =0.98 P.98 144.80 36.0938 ∑ del % de contribución de c/producto = 0.E.43 [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) % Gallinas = [(30-15)/30)] * 0.1389 % Perros = [(32-12)/32)] * 0.20+0.743.1389+0.E.( $) = CF/∑ del % de contribución de cada producto P.40 = $6/unidad Contribución Unitaria de Vaca = (40-16) * 0.37% Alimento para P.711.E.E.(q) = CF/Contribución promedio por unidad P.000 de ventas al año.000/0.5527 = $144. MBA – Cavaliere 43 Ingeniero de Sistemas. 44 P. Precio de Gallina = 30 * 0. Determinar cual es el ingreso total cuanto se están vendiendo 1.E.20 = $8/unidad Precio de Puerco = 36 * 0. Teólogo y Maestro .25 = $9/unidad Precio de Perro = 32 * 0.($) = P. Determine la función del ingreso total.E.283 unidades b.200 unidades de alimentos.8 = $40. I es una función de p o sea R = g(p). ¿Cuál es la concavidad de la función? B. A. MBA – Cavaliere 44 Ingeniero de Sistemas.2 0. ¿A qué precio se maximizará el ingreso total? A. La función de demanda de un producto particular es: q = f(p) = 500.8/unidad I = 1.(q) = P.000 p donde q se expresa en unidades y p en dólares.743. ¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio? E. Rubén Estrella.25 0. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.8 = 4.E.($)/pu = $144. represente gráficamente cada situación e interprete los resultados. ¿Cuál es el ingreso total con un precio de $20? D.98/33. Administrador.15 480 240 300 180 30 40 36 32 14400 9600 10800 5760 40560 Ejercicios Propuestos.E. ¿Cuál es la intersección con el eje x? C.(q) * pu P.200 * 33.560 Alimento para Gallinas Vacas Puercos Perros 1200 1200 1200 1200 0. Construya los modelos.4 0. Matemático.15 = $4.40 = $12/unidad Precio de Vaca = 40 * 0. Caso I.000 – 3. 000.800.000p² C.000p .000p² x = -B = -500. Administrador.000 I = 8.3000p2 25. MBA – Cavaliere 45 Ingeniero de Sistemas.00 Ingresos 15.3. Matemático.000(20) .000.00 0.000. Teólogo y Maestro . q = f(p) = 500. I = 500. Rubén Estrella.000 E.00 20.000.00 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Precios I=p*q I = p * (500.000 – 60.000.00 5.000.000 = US$83.000 – 3.000 p q = f(20) = 500.00 Serie1 10.000p .000) [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.33 2A 2(-3.000.000.3.000 – 1.000 q = f(20) = 440.000.3.000p .000 (20) q = f(20) = 500.45 I=500.200.000.000 – 3.000(20)² I = 10.000 – 3.000 p) I = 500.000 D. I = 500.000. 00 6. MBA – Cavaliere 46 Ingeniero de Sistemas.00=> 1.750 A 3.00 1. 2750).000.000 = a(70)² + b(70) + c 9.00 70.750.000.750 = a(80)² + b(80) + c o o o 3. Administrador.900.00 numerador denominador -5.900.900a + 70b + c = 6.600.400.00 70.00 1.00 70.00 c 1.750. 6000) y (80.00 6.000.00 1. La función de oferta qs = f(p) para un producto es cuadrática.000) (80. Rubén Estrella.00 B 60.00 80.750 4. 6. 9.00 c 1.750) q = f(p) q = ap² + bp + c Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general cuadrática se obtiene el sistema resultante de ecuaciones: 2.00 9. Tres puntos que se encuentran en ella son (60.00 6.00 3.00 A 2. ( p.00 a= 2.750) (70.00 80.46 Caso II.00 y 2.750.00 80. 2. a) Determine el modelo de la oferta.750 = a(60)² + b(60) + c 6.00 60.750. 9750).00 1. Matemático. q) (60.00 1.00 4.00 6.400a + 80b + c = 9.000.00=> 1.00 a= 9.00 B 60.50 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.00 4. (70.600a + 60b + c = 2. Teólogo y Maestro .400.000 6.00 -2.600. 0 -2.400.400. 1600).00 80.00 9.900.250= 7.0 a 3.00 B 2.00 1. MBA – Cavaliere 47 Ingeniero de Sistemas.6.00 6.00 b= 4. c) ¿Qué cantidad ofrecerá a un precio de $75? q = f(p) = 2.750.750.000.00 1.0 q = f(p) = 2.00 c 2. Determine el modelo correspondiente de la Demanda.600.600.6.6.00 6.00=> 1. Rubén Estrella.00 6.00 60.00 1.00 numerador denominador 0.00 3.00 6. Matemático.00 6.00 70.00 3.00 4. 100).600. Las funciones de demanda y oferta de un producto son: [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000.00 numerador denominador 12. Tres puntos que se encuentran en ella son (5.5p² .812.00 80.5(75)² .00 1.000.750.000.00=> 1. Teólogo y Maestro .0 b= 0.900.250.00 60. (10.47 a 3.00 9.00 B 60.00 c= 4.5p² .500.400.250 q = f(75) = 2.50 Caso III.00 70. Administrador. 900) y (20.0 c= -6.00 4.00=> 1.00 c 1.750.400.000.0 -2. La función de la demanda qd = f(p) para un producto es cuadrática.00 80.900.00 70.900. ¿Qué cantidad se demandará a un precio de mercado de $15? Caso IV.00 6.600.250 b) Calcule e interprete la intersección con el eje x.00=> 1. Rubén Estrella. Ha cotizado un precio de $300 por persona.225 qd = (75) ² .400 .400 Demanda qd = p² -40p + 2600 Determine el precio y cantidad de equilibrio del mercado. Matemático. MBA – Cavaliere 48 Ingeniero de Sistemas.50.48 Oferta qs = p² . el precio que se cobra a todos ellos disminuirá en $2. p = $300 si x ≤ 100 p = $300 – 2. Un agente de viajes está organizando una excursión a un conocido lugar de recreo.225 Caso V.000 = 0 p = 3.40(75) + 2600 = 5.5(x – 100) si x > 100 p = 300 – 2. Administrador.5x + 250 si x > 100 p = 550 – 2. a) Determine la función que exprese el precio por persona p en función de x. o sea p = f(x).5x si x > 100 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Por ejemplo.50. Sea x el número de personas después de 100. cada uno pagará $297.000 / 40 p = 75 Oferta Demanda qs = (75) ² .400 = 5. si reúne a 100 o menos pasajeros. Teólogo y Maestro . si se inscriben en la excursión 101 pasajeros.400 = p² -40p + 2600 p² . qo = q d p² .p² +40p – 2600 = 0 40p – 3. Por cada pasajero después de los 100. Rubén Estrella. Un vendedor al por menor puede obtener un producto del fabricante a $50 cada uno.5) d) ¿Cuál es el valor máximo de I? I = 550x – 2. MBA – Cavaliere 49 Ingeniero de Sistemas.5x² c) ¿Qué valor de x produce el máximo valor de I? I = 550x – 2.5x² I = 550(110) – 2. a este precio los consumidores han estado demandando 40 artículos al mes.250 e) ¿Con qué precio por boleto se obtiene un I máximo? 30.5(x – 100) si x > 100 I=p*x I = [300 – 2.5x(x – 100) I = 300x – 2. Matemático. Teólogo y Maestro . que exprese el ingreso total en boletos I en función de x.5x² + 250x I = 550x – 2. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. El vendedor ha estado vendiendo el producto a $80 cada unidad y. Administrador.550 = 110 2A 2(-2.250 / 110 p = 275 Caso VI. El vendedor planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada $5 de reducción en el precio se venderán 10 artículos más cada mes.5(110)² I = 60.250 = 110p p = 30. p = $300 si x ≤ 100 I = 300x p = $300 – 2.5(x – 100)] * x I = 300x – 2.49 b) Formule el modelo I = h(x).5x² x = -B = .500 – 30.250 = 30. 000 -2pv² + 100pv ================== -2pv² + 300pv – 10. MBA – Cavaliere 50 Ingeniero de Sistemas.000 b) Dibuje el gráfico. Rubén Estrella. Matemático. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. pc = 50 pv = 80  40 artículos Bu = pv – 50 Por c/$5 menos se venderán 10 artículos más 10/5 = 2 artículos por cada $1 q = 40 + 2 (80 – pv) q = 40 + 160 – 2pv q = 200 – 2pv B = Bu * q B = (pv – 50) (200 – 2pv) pv – 50 200 – 2pv 200pv – 10.000 B= -2pv² + 300pv .10. Teólogo y Maestro . Administrador.50 a) Formule el modelo de beneficio en función del precio de venta. CT1 = 12 + 0. MBA – Cavaliere 51 Ingeniero de Sistemas.51 B = -2pv2 + 300pv . Matemático. x = -B = . Rubén Estrella.000 1400 1200 Beneficio 1000 800 600 400 200 0 0 20 40 60 Precio de Venta 80 100 120 Serie1 c) Estime el precio al que se obtendrían mayores beneficios.10x CT2 = 10 + 0.10.10x = 10 + 0. Un banco de la competencia cobra $10 por mes más 14 centavos por cheque girado. Administrador.14x [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.300 = $75 2A 2(-2) Caso VII. Teólogo y Maestro . Halle el criterio para decidir cuál banco ofrece el mejor negocio.14x 12 + 0. El costo de mantener una cuenta corriente en cierto banco es $12 por mes más 10 centavos por cada cheque girado. d) Escriba el modelo matemático que represente el ingreso como una función del número de libros vendidos.000 ejemplares.500 + 125x I = 275x 275x = 1.) Los costos de impresión y encuadernación son US$5.500 = 0 x = 1. ¿Pueden venderse los kayaks a US$275 la unidad? a) ¿Cuántos kayaks deben vender los estudiantes para alcanzar el punto de equilibrio? CT = 1. Matemático. a) Elabore una tabla que muestre el costo de producir 2.500 en el verano.200 preparar un libro para publicación (digitación de texto.52 Caso VIII. ¿Cuánta utilidad deja este número de libros? Caso IX.000 y 8.500 + 125x 150x – 1. e) Represente gráficamente ambos modelos en el mismo eje de coordenada. Administrador. f) ¿Cuándo el costo iguala el ingreso? g) Utilice la gráfica para determinar cuántos libros deben publicarse para producir un ingreso de por los menos US$85. El alquiler del garaje cuesta US$1. CT = 74. Durante el verano un grupo de estudiantes construye kayaks en un garaje adaptado para tal fin. etc.200 + 5. c) Escriba el modelo matemático que represente el costo como una función del número de libros producidos. y los materiales necesarios para construir un kayak cuesta US$125.000.5x I = 19. Teólogo y Maestro . 6.000 y 8.000? [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. El libro se vende a las librerías a US$19. 4.000. 4. A un editor le cuesta US$74. MBA – Cavaliere 52 Ingeniero de Sistemas. 6.50 cada ejemplar. Rubén Estrella. ilustración.000.5x b) Elabore una tabla que muestre el ingreso de la venta de 2.50 por ejemplar.000.000. edición.000 ejemplares.500 / 150 = 10 b) ¿Cuántos kayaks deben vender los estudiantes para obtener una utilidad e US$1. 500 x = 2. MBA – Cavaliere 53 Ingeniero de Sistemas.000 150x = 2.000 lámparas menos Cu = 18 Bu = pu – 18 q = 3000 .500 150x – 1.30  1. A este precio.000 lámparas al mes.000 Dibuje la gráfica.000 pu – 594. pu = 30  q = 3.000pu – 594. Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al que se venden las lámparas.000 pu = x . El fabricante puede producir las lámparas a US$18 la lámpara. Matemático. Rubén Estrella.000 – 1000pu) pu – 18 33. se venderán 1. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000 – 1000 pu U = Bu * q U = (pu – 18) (33.000 – 1000pu 33.000 pu ======================= -100pu² + 51.500 + 125x) B = 150x – 1.67 Caso X.000pu – 594. Teólogo y Maestro . los consumidores compran 3.000 lámparas menos cada mes.500 = 1.1000 (Pu – 30) q = 3000 – 1000pu + 30.000 U= -100pu² + 51.500 / 150 = 16. Administrador.53 B = I – CT B = 275x – (1.000 q = 33. Un fabricante vende lámparas a US$30 por unidad.000 -100pu² + 18. El fabricante desea incrementar el precio y estima que por cada incremento de US$1 en el precio. 500 -20pu + 60pu ================== -20pu² + 560pu – 1.pu) q = 200 + 300 – 20pu q = 500 – 20pu U = Bu * q U = (pu – 3) (500 – 20pu) pu – 3 500 – 20pu 500pu – 1.54 Y calcule el precio óptimo de venta. Administrador. Exprese la utilidad mensual de la librería por la venta de este libro como una función del precio de venta.500 U = -20pu² + 560pu – 1. A este precio.34. Matemático.000= $170 2A 2(-100) Caso XI. Teólogo y Maestro . U = -100pu² + 34. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. se venderán 20 libros más cada mes. dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de venta.560= $14 2A 2(-20) Caso XII.000pu – 594. Una librería puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el ejemplar.500 x = -B = . cu = 3 pu = 15  se venden 200 Bu = pu – 3 q = 200 + 20 (15 . Rubén Estrella.000 x = -B = . La librería planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción US$1 en el precio. MBA – Cavaliere 54 Ingeniero de Sistemas. se venden 200 ejemplares. La librería ofrece el libro a US$15. c) ¿Dónde corta la curva de oferta el eje p? Explique la interpretación económica de este punto. Administrador.55 Los modelos de oferta y de demanda de cierto artículo son S(p) = p –10 y D(p)=5.600/80 = 70 p=80 p=-70 Caso XIII. MBA – Cavaliere 55 Ingeniero de Sistemas.10p – 5. Rubén Estrella. S(p) = p –10 D(p) = 5. a) Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas. respectivamente.600/p P(P – 10 – 5. S(p)=4p+200 D(p)=-3p+480 4p – 200 = -3p + 480 4p – 200 + 3p – 480 = 0 7p – 680 = 0 Caso XIV. respectivamente. Las funciones de la oferta y la demanda de cierto artículo son S(p)=4p+200 y D(p)=-3p+480. Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades que se ofrecieron y se demandaron. y dibuje las curvas de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes.600/p.600/p P – 10 = 5. Teólogo y Maestro . [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. b) Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes. Matemático.600 = 0 S(80) = 80 –10 = 70 D(80) = 5.600/p) = 0 p² . 15= $2. Rubén Estrella. MBA – Cavaliere 56 Ingeniero de Sistemas. Una gran organización para la conservación de la salud desea construir una clínica satélite para dar servicio a las tres ciudades. Teólogo y Maestro . Si se venden todas las x unidades a este precio. La figura a continuación contiene las localizaciones relativas de tres ciudades. La ubicación de la clínica x deberá ser tal que se minimice la suma de los cuadrados de las distancias entre la clínica y cada ciudad. P = 35x + 15 Q=x I=p*q I = (35x + 15) * x I = 35x² + 15x x = -B = . exprese el ingreso derivado de las ventas como una función de x. Matemático. b) Determine la ubicación que minimice a S. Administrador. y “x” es la de la clínica.14 2A 2(35) Caso XV.xj)² J=1 Donde xj es la ubicación de la ciudad j.56 Cada unidad de cierto artículo cuesta p=35x+15 centavos cuando se producen x unidades del artículo. a) Determine la función distancia S = f(x). Este criterio puede formularse así: Minimice S = Σ dj² J=1 3 3 S= f(x) = Σ (x . Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 ===========*===============*=========================================*=================  MILLAS 0 20 50 120 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella.003q² a) Determine el ingreso en función de las unidades vendidas I = f(q) I = 500q – 0.000 – q)/200 p = 500 – 0. Teólogo y Maestro .005q2 b) Formule la función de utilidad U = f(q) que exprese la utilidad anual en función del número de unidades q que se producen y venden.008q2 + 400q – 150.000 c) Determine el punto de maximización de las utilidades.000 d) Represente Gráficamente la utilidad en función de las unidades producidas y vendidas. -B/2ª = -400/2(-0. La función de su demanda ha sido estimada así: q = 100.000 – 200p p= (100. Según los estudios de mercadotecnia que se han realizado.621. Un fabricante ha ideado un nuevo diseño para los paneles solares. la demanda anual de los paneles dependerá del precio al que se venden. Matemático. U = -0.875 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. X1 = 378.000 + 100q + 0.005q Los estudios de ingeniería indican que el costo total de la producción de q paneles está representado muy bien por la función: C = 150.008) = 25.125 X2 = 49. MBA – Cavaliere 57 Ingeniero de Sistemas. Administrador.57 Caso XVI. 500. Matemático.000r – 5.000.245/2(-3) = 40. El propietario del almacén desea aumentar el precio del juego y estima que por cada aumento de US$1 en el precio. se venderán 3 unidades menos cada mes. la relación que describe la utilidad anual U (en dólares) en función de la tarifa mensual de renta r (en dólares) es la siguiente: U = . Rubén Estrella.2.250 -b/2ª = . Específicamente. MBA – Cavaliere 58 Ingeniero de Sistemas. los jugadores han comprado 50 unidades al mes.67 Caso XVIII. Un almacén vende un popular juego de computador a US$40 la unidad.50.58 Caso XVII.83 x1 = 25 x2 = 56. 25 -b/2ª = .000/2(-50. ¿a qué precio debería venderse el juego para maximizar la utilidad? Represente gráficamente. Administrador.000 a) Determine la tarifa de renta mensual que dé por resultado la utilidad máxima. Si cada unidad cuesta al almacén US$25.000r² + 2.500.000) = 25 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.250 -3x² + 170x______ -3x² + 245x – 4. Teólogo y Maestro . Pu = 40 => q = 50 Si Pu aumenta en 1 => q reduce en 3 Cu = 25 q = 50 – 3 (x-40) q = 50 – 3x + 120 = 170 – 3x bu = x – 25 U = bu * q U = (x – 25) * (170 – 3x) 170 – 3x x – 25_________ 75x – 4. Una compañía de televisión por cable ha averiguado que su rentabilidad depende de la tarifa mensual que cobra a sus clientes. A este precio. La librería planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción US$1 en el precio. Una librería puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el ejemplar.560/2(-20) = 14 x1 = 3 x2 = 25 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. MBA – Cavaliere 59 Ingeniero de Sistemas. ¿Cuál es el efecto que la decisión de la comisión tiene en la rentabilidad de la empresa? Caso XIX. A este precio.250. Cu = 3 Pu = 15 => q = 200 Por cada reducción en el Pu en 1 => q aumenta en 20 Bu = x – 3 q = 200 + 20 (15 – x) q = 200 + 300 – 20x q = 500 – 20x U = Bu * q U = (x – 3) * (500 – 20x) 500 – 20x x – 3__________ 60x . se venden 200 ejemplares.20x² + 500x______ . Rubén Estrella. dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de venta. Exprese la utilidad mensual de la librería por la venta de este libro como una función del precio de venta.1. Matemático. Teólogo y Maestro .20x² + 560x – 1. Administrador. La librería ofrece el libro a US$15.000 c) Suponga que la comisión local de servicios ha impuesto a la compañía la obligación de no cobrar una tarifa mayor que $20.500 -b/2ª = . se venderán 20 libros más cada mes. a.500 .59 b) ¿Cuál es la utilidad máxima esperada? 26. ¿Cuál tarifa produce la utilidad máxima a la compañía? b. 000 x = 134 personas (133.000 = 10. Se trata de una actividad tendiente a recaudar fondos. los traslados.000 x = 67 personas (66. Se ha contratado un paquete con una aerolínea comercial.000 10.67) b) La meta de la organización es obtener una utilidad de US$10. Administrador.000 150x – 10. Teólogo y Maestro . las comidas y propinas. Esta última cantidad cubre el costo del vuelo. La organización proyecta cobrar el paquete a US$450 por persona.000 150x = 20. y la organización pagará un costo fijo de US$10.000 más US$300 por persona.000 + 300x I = CT 450X = 10. a) Determine el número de personas necesarias para alcanzar el equilibrio en esta actividad.000 – 300x) U = 150 x – 10.60 Caso XX. Rubén Estrella.000.000 = 150x – 10.33) [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. el hotel.000 + 300x 150x = 10. I = 450x CT = 10. Una organización de caridad está planeando un tour por avión y una semana de vacaciones en el Caribe. ¿Cuántas personas han de participar para poder conseguirla? U = I – CT U = 450x – (10. Matemático. MBA – Cavaliere 60 Ingeniero de Sistemas. m. Administrador. Cu = $50 Pu = $80 => q = 40 cámaras Por cada $5 menos se venderán 10 cámaras más 10/5 = 2 cámaras por $1 q = 40 + 2 (80 – p) q = 40 + 160 – 2p q = 200 – 2p Bu = p . se venderán 10 cámaras más cada mes. El minorista vende las cámaras a US$80 cada una.50 U = B = Bu * q U = B = (p – 50) * (200 – 2p) U = B = -2p² + 300p – 10. MBA – Cavaliere 61 Ingeniero de Sistemas.000 p = 50 p = 200/2 = 100 p. Dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de venta. El minorista planea reducir el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción de US$5 en el precio. a este precio. Rubén Estrella. Matemático. los consumidores compran 40 cámaras al mes.61 Caso XXI. Teólogo y Maestro . Exprese la utilidad mensual del minorista proveniente de la venta de cámaras como una función del precio de venta. Un minorista puede obtener cámaras del fabricante a un costo de US$50 la unidad. = (50 + 100)/2 = 75 -b/2ª = -300/2(-2) = -300/-4 = 75 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. 000p – 30p² p=0 p = -45. Determine la función del ingreso total. 4p² .20p + 1000 4p² .B ± √B²-4AC  Fórmula Cuadrática 2A X = . a) ¿Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el producto para generar beneficio? b) ¿Qué precio corresponde al ingreso máximo? c) ¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio (b)? d) ¿Cuál es la concavidad de la función? I=p*q I = p * (450. Las funciones de oferta y demanda de un producto son: qs = 4p² .000 – 30p) I = 450.20p + 1000 Determine el precio y cantidad del equilibrio del Mercado. La función de demanda de un producto es: q = f(p) = 450.000 precio máximo = 7.20 ± √20²-4(1)(-1.500)  Fórmula Cuadrática [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. MBA – Cavaliere 62 Ingeniero de Sistemas.62 Caso XXII.500 – 3p² + 20p – 1000 = 0 p² + 20p – 1500 = 0 X = .000 / -3 = 15. Matemático.000 – 30p donde q es la cantidad demandada y p indica el precio de venta en dólares.500 Caso XXIII. Administrador.500 qd = 3p² . Teólogo y Maestro . Rubén Estrella.500 = 3p² . f) Determinación del precio o precios que deben fijarse en el punto o puntos de equilibrio. Encontrar el nivel de producción que maximice el ingreso total del productor. y determinar ese ingreso. c) Formulación de la función del costo total. Los costos fijos que se requieren para establecer la línea de producción se calculan en $2. La empresa necesita ayuda para analizar este nuevo producto. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Y actualmente está planeando penetrar en el mercado de microcomputadoras.000 – 2q. MBA – Cavaliere 63 Ingeniero de Sistemas. p. La compañía solicita al lector lo siguiente: a) Formulación de la función de la demanda q = f(p).000 – 2q) * q I = 1.500. Administrador.000. Handy Corporation es un gran fabricante de computadoras. Los ingenieros de manufactura estiman que los costos variables de producción serán de $100 por unidad. Dos puntos de datos (p.000). el número de unidades demandado.000) y (500 . donde p es el precio en dólares por unidad cuando q unidades son demandadas (por semana) por los consumidores. variará según el precio. q. Es decir. Los investigadores de mercado realizaron algunos estudios preliminares y llegaron a la conclusión de que la función de la demanda para el nuevo producto será aproximadamente lineal. d) Determinación del nivel o niveles de equilibrio de la producción. en forma lineal. La I. q) que se utilizarán al definir esta función son (100 . Rubén Estrella. e) Una representación gráfica de las funciones de ingresos y costos que muestre el punto o puntos de equilibrio. I=p*q I = (1.63 2(1) X = . Matemático. La función de demanda para un producto es p = 1. Teólogo y Maestro . 26. M. b) Formulación del ingreso total I = f(q).20 ± 80  Fórmula Cuadrática 2(1) X1 = 30 X2 = -50 Caso XXIV. 10.000q – 2q² Caso XXV. 300.400.000.00 1.000 -40x + 4.00 2.000.900.00 3.000.000.000.000.00 600.600.00 2.000.000.00 100.00 U 0.500.000 Q 4.525.00 14.000.00 2.00 125.625. Administrador.693.00 550.q)/40 p = 750 .40p p = (30.000.969.000.500.00 100.500.00 450. Teólogo y Maestro .000.125.2.00 100.00 3.700.00 475.000.00 5.00 13.q/40 I=p*q I = (750 .100.00 -300. CU = CF = p1 p2 100.000.64 g) Una explicación de por qué hay más de un punto de equilibrio (en caso de que existan varios).000.700.00 4.000.500.000.000.000 = 0 40x + y .00 1.500.000.000.725.000.000.00 100.00 8.00 3.000.00 3.000.00 3.00 1.400.00 2.00 5.000.000.00 500.00 10.00 625.500.700.00 3.000 = 0 40p + q .00 I 2.000.000.000.500.00 100.000.00 5.500.00 425.00 3.000 = 0 q = 30.500. MBA – Cavaliere 64 Ingeniero de Sistemas.000. ¿Cuál es la utilidad esperada? j) Determinación del precio que debería fijarse en el nivel de producción correspondiente a la maximización de utilidades.725.00 P 632.q/40) * q CT = 2.000.00 400.600.30.000.y + 26.000. Matemático.00 1.38 4.00 1.000.00 2.00 2.00 500.00 2.000.00 575.000.800.000.26.000.500.600.00 3.500.000.000.00 1.00 7.000.00 6.00 2.025.00 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.000.725.00 3.00 9.67 650.00 100.000.500.000 + 100q) U = 650q – qq/40 .00 100.000.00 5.000.000 = 0 -40x .00 2.000.00 5.30.00 M -40.000 + 100q I = CT U = (750q .00 4.61 2.00 100.00 3.00 2.00 2.000.qq/40) .200. Rubén Estrella.00 11.000.900.00 cu 100.00 3.y + 30.337.00 CF 2.000.500.000 .000. i) Determinación del número de unidades que deberían venderse a fin de maximizar las utilidades totales.600.000.337.000.00 525.000.225.00 1.500.00 100.000.00 -40 (x-100) = y .00 100.00q1 500.00 12.500.00 2.969.000.500.61 2.000.00 100.00 5.00 4.000 .000.00 10.500.000.00 1.500.100.(2.00 3.00 825.00 100.00q2 26. h) Formulación de la función de las utilidades totales.000 .00 CT 2.400.000.000.325.000. 525.00 1.000.00 22.39 2. Administrador.00 4.500.000.00 4.000.65 15.500.00 2.00 4.625.000.500.000.630.00 2.00 5.600.000.00 5.000.725.00 100.00 4.000.00 4.200.000.00 1.000.625.00 2.600.000.00 100.000.00 217.00 4.500.00 100.000.000.000. Rubén Estrella.00 325.000.100.00 825.00 200.325.00 250.00 100.000.500.00 21.00 300.306.00 2.600.00 -2.00 100.000.62 26.500.225.500.00 100.00 2.00 18.00 275. Matemático.00 375.000.000.000.00 4.00 2.630.00 5.00 350.00 4.000.39 5.00 5.000.00 2.000.000.000.00 4.000.00 2.400.00 16.00 -300.000.662.000.000.00 100.400.00 17. Teólogo y Maestro .500.00 5. MBA – Cavaliere 65 Ingeniero de Sistemas.00 0.00 2.000.100.000.000.000.000.000.00 1.00 21.33 100.00 5.00 225.00 125.000.00 500.000.00 100.400.00 20.000.00 2.00 4.000.700.500.100.00 1.00 100.000.000.300.00 4.662.000.000.000.00 19.000.000.000.00 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.00 100.00 4.500.500.500.500. La función de costo que describe el costo total en términos del número de unidades producidas y vendidas x es: C(x) = 40x + 0.0. Una firma vende cada unidad de un producto en $400. Represente gráficamente.250 X = .360 ± 359. Teólogo y Maestro .30 Max = 720 b) ¿Cuántas unidades deberían producirse y venderse a fin de maximizar la utilidad total? c) ¿Cuál es el ingreso total en este nivel de producción? I = 400 * 720 = 288.025x² .000 d) ¿Cuál es el costo total en este nivel de producción? CT = 40(720) + 0.25x² + 250 a) Formule la función de utilidad U = f(x).66 Caso XXVI.25) X = .360 ± √360²-4(-0.250 = 360x . Matemático.25)(-250)  Fórmula Cuadrática 2(-0.50 x1 = 0.025x² . U = I – CT = 400x – 40x .7 x2 = 1.65  Fórmula Cuadrática .25 (720) ² + 250 CT = 158. Administrador.439.650 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. MBA – Cavaliere 66 Ingeniero de Sistemas. Rubén Estrella. MBA – Cavaliere 67 Ingeniero de Sistemas.1. Administrador. Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas si la función de oferta por cierto artículo es S(p) = p² + 3p – 70 y la función de demanda es D(p) = 410 – p. p = f(q) = 1.200/2(-3) = 200 Caso XXVIII.200q – 3q² q = -b/2a = . donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana). Represente gráficamente.4 ± √4²-4(1)(-480)  Fórmula Cuadrática 2(1) X = . Rubén Estrella. Matemático.67 Caso XXVII.200 – 3q. La función de demanda para el fabricante de un producto es p = f(q) = 1. Teólogo y Maestro . p² + 3p – 70 = 410 – p p² + 4p – 480 = 0 X = .200 – 3q I = p * q = 1. Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.4 ± 44  Fórmula Cuadrática 2 x1 = 20 x2 = 24 -b/2a = -4/2a = -4/2 = -2 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Producción Agrícola. Administrador. Matemático. y la oferta de licuadoras de los fabricantes. Un cultivador de frutas cítricas de Bonao estima que si planta 60 naranjos. la producción media por árbol será 400 naranjas.600/p a) Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas. dibuje la gráfica y calcule el número total de árboles que el cultivador debe plantar para maximizar la producción. Cuando se venden licuadoras a p dólares la unidad. mientras que la demanda local será 60 – p licuadoras. Las funciones de la oferta y demanda de cierto artículo son: S(p) = 4p + 200 D(p) = 5. MBA – Cavaliere 68 Ingeniero de Sistemas. Producción = (60 + n) (400 – 4n) Caso XXXI. ¿a qué precio en el mercado será igual a la demanda de los consumidores. Teólogo y Maestro . Rubén Estrella. los fabricante ofrecerán p²/10 licuadoras a los minoristas locales.68 Caso XXIX. Exprese la producción total como una función del número de árboles adicionales plantados.600 + 10p = 0 Caso XXX. ¿Cuántas licuadoras se venderán a este precio? p²/10 = 60 – p p² = 600 – 10p p² . La producción media disminuirá en 4 naranjas por árbol adicional plantado. Represente gráficamente. Teólogo y Maestro . 100√q = 1. Matemático. Una compañía de autobuses alquilará un autobús con capacidad para 50 personas a grupos de 35 personas o más.600 .300q + 360.200 + 2q (100√q)/2 = (1.000 q² .000 = 0 CT = 1. cada persona paga US$60. En grupos grandes.1. costo variable por unidad.200 + 2q)/2 (50√q)² = (600 + q)² 2.200 + 2q I = 100√q q =400 q = 900 Caso XXXIII.500q = q² + 1. Determine el tamaño del grupo para el cual el ingreso de la compañía de buses será máximo. MBA – Cavaliere 69 Ingeniero de Sistemas. Si un grupo tiene exactamente 35 personas. 100√q.4p² . $1200. Determine el punto o puntos de equilibrios y Represente gráficamente las funciones anteriores. Determinar la cantidad de equilibrio de Fabricaciones XYZ dada la información siguiente: costo fijo total.69 5. ingreso total por la venta de q unidades.200q + 360.200p = 0 b) Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes. Rubén Estrella. la tarifa se reduce en US$1 por cada persona adicional a las 35.600/p = 4p + 200 5. $2. P = 35 + x Tarifa = 60 – x [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.600 = 4p² + 200p 5. Administrador. Caso XXXII. Teólogo y Maestro .x² I max.256 Caso XXXIV. ¿Cuál debe ser la menta mensual de cada departamento? Apartamentos = 96 Renta = $550/mensuales Renta + 25  3 apartamentos menos 550 + 25x 96 – 3x Solución 1: 54. Rubén Estrella.600 mensuales de rentas. La Compañía quiere recibir $54. Una compañía de bienes raíces es propietaria del conjunto de departamentos Torre Alegro.600 = (550+25x) (96-3x) [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. por cada $25 mensuales de aumento en la renta.70 I = (35 + x) (60 – x) I = 2. = 2. Sin embargo. Administrador. el cual consiste en 96 departamentos. MBA – Cavaliere 70 Ingeniero de Sistemas. se tendrán tres departamentos desocupados sin posibilidad de que se renten. Matemático.100 + 25x . cada uno de los cuales puede ser rentado en $550 mensuales. 800 + 2.12 p) * p I = 162p – 0.800 + 750x – 75x² – 75x² + 750x – 1.400 3x – 4. Rubén Estrella.650x – 75x² ==================== 52. Administrador.600 = 52.050 – 3x)/25 y = q = 162 – 0. Teólogo y Maestro .1.650)/25] 3/-25 (x-550) = y – 96 3x – 1.640 = -25y + 2.800 + 750x – 75x² 54.71 550 + 25x 96 – 3x 52.600 = [96 – 3(r – 550)/25] r 54.12 p² [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing.800 = 0 .050 – 3x y = (4.400 – 3r + 1.12 p² 54.600 = r [(2.x² + 10x – 24 = 0 (x – 6) (x-4) = 0 x=6 x=4 Solución 2: q = 96 – [3 (r – 550)/25] 54. MBA – Cavaliere 71 Ingeniero de Sistemas.400x . Matemático.050 + 25y = 0 25y = 4.12 p I = (162 – 0.600 = 162p – 0. El segundo modelo cuesta $250. Se han identificado dos robots que parecen tener la capacidad para ejecutar las funciones del proceso de producción. Un fabricante quiere introducir la tecnología de la robótica en uno de sus procesos de producción. Al parecer no hay importantes diferencias en la velocidad a que ambos trabajan.000 = 0 X = . Rubén Estrella. requiere exponerse a temperaturas muy altas y a emanaciones potencialmente tóxicas.350 ± √1.000 con costos de mantenimiento estimados en $80 por hora de operación. Administrador. En concreto.72 p² . MBA – Cavaliere 72 Ingeniero de Sistemas. Matemático. Un robot cuesta $180.350p + 455. Teólogo y Maestro .000)  Fórmula Cuadrática 2(1) p = 750 p = 650 Caso XXXV.000 y tiene costos estimados de mantenimiento de $100 por hora de operación.350² .4 (1)(455. a) ¿a qué nivel de operación (horas totales de producción) costarán lo mismo los dos robots? [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. El proceso creará un “ambiente hostil” para los hombres.1.1. Rubén Estrella.000 + 100h = 250.73 b) Defina los niveles de operación en que cada robot será el menos caro? CT = 180.500 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Administrador.000 + 80h h = 3. MBA – Cavaliere 73 Ingeniero de Sistemas.000 + 100h CT = 250. Teólogo y Maestro .000 + 80h 180. Matemático.