1UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA PROGRAMA DE ASIGNATURA I - GENERALIDADES: NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ANALISIS ELECTRICO I. PRE-RREQUSITOS: MATEMATICAS IV y ELECTROMAGNETISMO I. CARRERA: INGENIERIA ELECTRICA. CICLO: I, AÑO ACADEMICO: 2017. UNIDADES VALORATIVAS: 4 (Asignatura Obligatoria). CODIGO: AEL-115. NIVEL: V Ciclo (3er año). PLAN DE ESTUDIOS: 1998. JEFE DEPTO. de ENERGIA y POTENCIA: MSc. e Ing. Luís R. Chevez. Catedrático: Ing. G. Marvin J. Hernández Instructores: Br. Cristian A. Aguilar Q. Br. Diego F. Guidos E. II - INTRODUCCION: El presente curso parte de los conocimientos previos en el manejo de herramientas numéricas (aritmética, algebra, geometría, trigonometría, cálculo) y conceptos físicos analizados en las áreas de las Matemáticas I/II/III/IV, Físicas I/II y Electromagnetismo I; entre dichas áreas se requiere como mínimo el dominio de las siguientes áreas: a) Area Matemática: Algebra Lineal: Cálculo Matricial en variable real y compleja (suma, resta, producto, inversa), Análisis Fasorial. Cálculo Diferencial: Límites, Derivadas, Integrales, Ecuaciones Diferenciales de primer y segundo orden. Funciones Singulares: Rampa, Escalón, Impulso. Trigonometría: Funciones Senos, Cosenos, Tangentes, Pitágoras, Ley de Senos/Cosenos/Tangentes, etc. b) Area Física/Electromagnética: Sistema Internacional de Unidades, Carga eléctrica, Tensión, Intensidad de Corriente, Resistencia/Conductancia, Inductancia, Capacitancia, Impedancia, Ley de Ohm, Leyes de Kirchhoff, Arreglos Serie/Paralelo de Redes Resistivas, Potencia y Energía. Posterior a Electromagnetismo I, este curso constituye el segundo contacto formal del estudiante de tercer año, enfocado a la Comprensión, Aplicaciones y Análisis de Conceptos, Teoremas y Leyes eléctricas fundamentales utilizando modelos matemáticos, particularmente del área de Circuitos Eléctricos Lineales, lo cual constituye una de las bases fundamentales de la Ingeniería Eléctrica. Otro aspecto importante es la disponibilidad del uso de Sistemas Computacionales como Herramienta de Análisis a través de la Simulación, para ello se tiene la opción del Soporte de la Computadora Personal (PC) y del Software Spice Opus bajo la plataforma de LINUX o WINDOWS, como una alternativa entre varios simuladores de Circuitos Eléctricos existentes. Y finalmente, lo que es indispensable, tener una excelente dosis de motivación, dedicación y disponibilidad a esfuerzos continuos para investigar, ampliar conceptos, evaluar y dar soluciones concretas a los retos que se planteen, porque eso permitirá continuar aprendiendo por cuenta propia, ya que el panorama y exigencias de la asignatura es tan amplio que difícilmente podría agotarse en dos semestres. 2 III - DESCRIPCION DE LA ASIGNATURA: Los Circuitos Eléctricos Lineales y no lineales son los bloques fundamentales que constituyen los diferentes Sistemas Eléctricos, en esencia dichos sistemas pueden estar comprendidos por Sistemas de Potencia, Electrónicos, Instrumentación, Control, Comunicaciones, etc. Este curso hace énfasis en el estudio y comportamiento de Circuitos Eléctricos Lineales, con el fin de adquirir una base sólida de Análisis dentro del campo de Circuitos Eléctricos. Las demostraciones son necesarias para recalcar que nuestro interés es por el “Análisis” y que a través de la Conceptualización Analítica, Simulada y Experimental se verifica la coherencia de los “Modelos” y la “Realidad”, lo cual debe permitir profundizar en calcular las soluciones óptimas de problemas de pequeña, mediana y gran complejidad. La primer unidad comprende el Estudio, Análisis y Aplicaciones de las Definiciones de Unidades, Parámetros, Conceptos, Modelos Matemáticos y Simbología utilizada para representar los diferentes fenómenos físicos/eléctricos de interés, tales como: Sistema de Unidades, Ley de Ohm, Leyes de Kirchhoff, Arreglos de Circuitos Serie/Paralelo, Teoremas y Métodos de Análisis de Circuitos excitados con Corriente Directa (CD/DC). La segunda unidad enfoca el estudio hacia los fenómenos Transitorios en Sistemas de Primer y Segundo Orden, se analiza el comportamiento de la respuesta completa (natural y forzada) de las redes RL, RC, RLC, RLL, RCC y LC en serie, paralelo y redes más generales, expresadas en el dominio del tiempo. Son muy importantes algunas fuentes típicas de excitación, por ejemplo: corriente directa, señales exponenciales, escalón, rampa, impulso, senoidales, etc. En la tercer unidad, se estudian las definiciones y conceptos asociados al valor medio, valor rms, factor de forma de señales expresadas en el dominio del tiempo, las características de la corriente alterna (CA/AC), definiciones de reactancia, impedancia, funciones de transferencia, potencia compleja y factor de potencia, tomando como base las diferentes Técnicas de Análisis descritas en la primer unidad, aplicando Conceptos de Frecuencia Compleja y Transformada Fasorial. En la cuarta unidad se estudian los conceptos, características, parámetros y modelos asociados a Sistemas Polifásicos, (monofásicos, bifásicos, trifásicos, etc.), particularmente son de interés los sistemas trifásicos excitados en régimen permanente de AC, finalizando con el estudio del régimen tarifario aplicable al sector eléctrico en AC. IV - OBJETIVOS GENERALES: § Definir, Comprender y Evaluar Científicamente la Fundamentación de los Conceptos Físicos-Eléctricos, Aplicando Modelos para un Análisis Completo y Eficiente de Circuitos Eléctricos constituidos de elementos lineales tales como: resistencias, inductores, capacitores, interruptores, amplificadores operacionales y fuentes de excitación de diferente naturaleza (corriente directa, señales singulares <rampa, escalón, impulso>, exponenciales y corriente alterna); Utilizando como apoyo los contenidos de al menos tres textos del curso. § Desarrollar habilidades y destrezas en el uso de la computadora personal como Herramienta Auxiliar de Análisis a través de la Simulación en la solución de problemas de mediana y gran complejidad, elaborando al menos una simulación de ejercicios para cada unidad, así como formular las conclusiones de los resultados respectivos obtenidos. § Desarrollar habilidades y destrezas en el uso y manipulación adecuada de equipo eléctrico/electrónico, elaborando al menos tres experimentos de laboratorio, así como Interpretar y formular conclusiones de los resultados experimentales, simulados y teóricos de los circuitos analizados § Proporcionar la Base Conceptual y Analítica necesaria para Interpretar y Asimilar asignaturas posteriores de Análisis Eléctrico II, Instalaciones Eléctricas I, Electrónica I y otros cursos sucesivos a lo largo de la formación académica en las áreas de Ciencias de la Ingeniería e Ingeniería Aplicada. 3 V - METODOLOGIA: La metodología a desarrollar comprende las actividades siguientes: § Dos sesiones de clase expositivas cada semana (2 horas clase c/u). § Sesiones participativas de discusión de problemas para cada unidad (2 horas clase c/u). § Sesiones de simulación de problemas para cada unidad (2 horas clase c/u). § Sesiones de al menos tres laboratorios experimentales durante el ciclo (2 a 3 horas clase c/u). § Sesiones semanales de consulta del profesor e instructores (2 horas clase c/u). § Material de clases de apoyo en el Aula Virtual de la FIA en el link siguiente: http://aula.fia.ues.edu.sv/course/view.php?id=259 Nota: Ver cronograma general de programación de actividades del desarrollo del curso, en literal VIII, pag. 9. VI - SISTEMA DE EVALUACION: El sistema de evaluaciones comprende lo siguiente: § Tres exámenes parciales (74%): 1er parcial (U-I) 20% 2do parcial (U-II) 24% 3er parcial (U-III y IV) 30% § Controles de lectura y aplicación (exámenes cortos): 14% § Simulaciones, laboratorios y/o tareas: 12% Nota: Los controles de lectura de clase, discusiones, simulaciones y laboratorios, se harán en cualquier fecha, dentro de los horarios establecidos de la asignatura, con la finalidad de prepararse para los exámenes parciales y también muestrear la asistencia a las actividades programadas. 4 VII - CONTENIDOS: UNIDAD: DESCRIPCION: I Conceptos, Leyes, Teoremas y Métodos de Análisis de Circuitos en CD/DC II Redes de Primer y Segundo Orden (RC, RL, RLC, RLL, RCC) III Estado Sinusoidal estable (CA/AC). IV Sistemas Polifásicos (monofásicos y trifásicos) Unidad I: Conceptos, Leyes, Teoremas y Métodos de Análisis de Circuitos (CD/DC) : Objetivos Específicos: § Comprender, Aplicar y Analizar la Terminología, Simbología y Conceptos en los cuales se basan los Principios Eléctricos fundamentales. § Comprender, Aplicar, Analizar y Evaluar las diferentes Leyes, Arreglos, Métodos de Análisis y Teoremas de Circuitos en la Solución de Problemas de mediana complejidad en sistemas excitados con “Corriente Directa” (CD/DC). § Comprender, Analizar y Evaluar las Características de Funcionamiento y Operación de Amplificadores Operacionales en al menos ocho configuraciones típicas. Contenidos de unidad I: 1.1 Definiciones de Parámetros Fundamentales: a) Factores Multiplicativos o Prefijos Normalizados. b) Sistema Internacional de Unidades [SI]: Definición de Unidades Fundamentales, Suplementarias y Derivadas. c) Parámetros Eléctricos: Carga: q, Q. Diferencia de Potencial o Tensión : v, V. Intensidad de Corriente: i, I. Resistencia y Conductancia: R/G. Inductancia: L. Capacitancia: C. Potencia y Energía: Convención de Potencia: Absorbida/Suministrada. d) Representación de Fuentes Ideales de Energía: Independientes y Dependientes. 1.2 Ley de Ohm. 1.3 Leyes de Kirchhoff: a) Ley de Tensiones de Kirchhoff: LVK: Vtrayectoria = 0 b) Ley de Corrientes de Kirchhoff: LCK: Inodo= 0 1.4 Modelos y Características de arreglos básicos de Circuitos: a) Circuito Serie. b) Circuito Paralelo. c) Reducciones Serie/Paralelo. 1.5 Técnicas de Análisis de Circuitos: a) Divisor de Tensión. b) Divisor de Corriente. c) Método de Análisis Nodal. d) Método de Análisis de Mallas. 5 e) Linealidad y Teorema de Superposición. f) Teorema de Helmholtz-Thevenin y Helmholtz-Norton. g) Transformación de Fuentes. h) Fuentes Prácticas (No Ideales) de Tensión y Corriente: Rectas de Carga. i) Teorema de Máxima Transferencia de Potencia. j) Otros Teoremas: Millman, Rosen, Compensación, Reciprocidad. k) Método de Arboles y Eslabones: Nodos y Lazos generalizados. 1.6 El Amplificador Operacional: Modelo, Características y configuraciones básicas: a) Concepto de Sistemas en lazo abierto y cerrado b) El Amp-Op. Seguidor de Tensión (buffer). c) El Amp-Op. Inversor. d) El Amp-Op. No Inversor. e) El Amp-Op. Sumador Inversor. f) El Amp-Op. Sumador No Inversor. g) El Amp-Op. Restador. Unidad II: Redes de Primer y Segundo Orden (Circuitos RC, RL, RLC, RLL, RCC, LC): Objetivos Específicos: § Comprender, Aplicar y Analizar la Ecuaciones Descriptivas que determinan el Comportamiento de los elementos almacenadores de energía: inductores y capacitores. § Aplicar las Técnicas de Solución de Ecuaciones Diferenciales de Primer y Segundo Orden en Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo. § Comprender, Aplicar, Analizar y Evaluar los diferentes Conceptos Eléctricos en la Solución de la Respuesta Completa en Sistemas de Primer Orden excitados con fuentes de interés práctico. § Identificar, Deducir, Clasificar y Analizar la Naturaleza del tipo de Amortiguamiento de la Respuesta Natural en los Sistemas de Segundo Orden. § Comprender, Aplicar, Analizar y Evaluar los diferentes Conceptos Eléctricos en la Solución de la Respuesta Completa en Sistemas de Segundo Orden excitados con fuentes de interés práctico. Contenidos de unidad II: 2.1 Relaciones, Modelos y Comportamiento del Inductor: a) Tensión. b) Corriente. c) Potencia y Energía. 2.2 Relaciones, Modelos y Comportamiento del Capacitor: a) Tensión. b) Corriente. c) Potencia y Energía. 2.3 Arreglos Serie y Paralelo de Inductancias y Capacitancias. 2.4 Dualidad. 2.5 Funciones Singulares: a) Rampa: r(t) b) Escalón: u(t) c) Impulso: (t) <delta-dirac> 6 2.6 Respuesta Natural: Red RC paralelo. 2.7 Respuesta Natural: Red RL serie. 2.8 Respuesta Completa en Redes de Primer Orden: Natural + Forzada. 2.9 Características de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden. 2.10 Respuesta Natural: Red RLC serie. 2.11 Respuesta Natural: Red RLC paralelo. 2.12 Respuesta Natural: Red RLL. 2.13 Respuesta Natural: Red RCC 2.14 Respuesta Completa en Redes de Segundo Orden: natural + forzada. 2.15 Redes LC sin pérdidas. Unidad III: Estado Senoidal Estable (CA/AC): Objetivos Específicos: § Comprender, Analizar y Calcular valores medios, rms y factor de forma asociados a señales expresadas en función y dominio del tiempo. § Comprender, Aplicar y Analizar Conceptos de Frecuencia Compleja, Impedancia Z(s) y Admitancia Y(s). § Aplicar los diferentes Conceptos, Leyes, Arreglos, Métodos de Análisis y Teoremas de Circuitos vistos en la unidad I, Utilizando Conceptos de Frecuencia Compleja y Transformada Fasorial. § Comprender, Aplicar, Analizar y Evaluar Conceptos de Potencia Instantánea, Potencia Media, Potencia Reactiva, Fasor de Potencia (Potencia Compleja), Factor de Potencia y su Corrección en Sistemas excitados con “Corriente Alterna” (AC/CA). Contenidos de unidad III: 3.1 Parámetros de señales (ondas) en el tiempo: a) Valor Promedio b) Valor efectivo o eficaz o rms (root-mean-square: raíz media cuadrática). c) Factor de Forma. 3.2 Características de la Corriente Alterna: Ondas Senoidales: Representación Fasorial. 3.3 Frecuencia Compleja, Excitación Exponencial Compleja y Transformada Fasorial. 3.4 Conceptos de Impedancia y Admitancia. 3.5 Análisis Fasorial 7 3.6 Aplicaciòn de las diferentes Leyes, Arreglos, Métodos, Técnicas y Teoremas de Análisis de Circuitos en Redes excitadas con Corriente Alterna: Diagramas Fasoriales: Tensiones, Corrientes e Impedancias: Ley de Ohm, Leyes de Kirchhoff, Arreglos: Serie, Paralelo, Reducciones, Divisor de Tensión, Divisor de Corriente. Método de Análisis Nodal, Método de Análisis de Mallas, Método de Arboles y Eslabones: Nodos y Lazos. Linealidad y Teorema de Superposición, Teorema de Thevenin y Norton, Transformación de Fuentes, Fuentes Prácticas de Tensión y Corriente: Rectas de Carga. Teorema de Máxima Transferencia de Potencia, Teorema de Millman, Teorema de Rosen, Teorema de Compensación, Teorema de Reciprocidad. 3.7 Potencia Eléctrica (Sistemas Balanceados y sin Distorsión Armónica): a) Potencia Instantánea: p(t) b) Potencia Media o Activa o Real: P c) Potencia Aparente: S d) Potencia Reactiva: Q e) Factor de Potencia: fp f) Potencia Compleja o Fasor de Potencia S (Triángulos de Potencia). g) Corrección del Factor de Potencia. h) Medición de Potencia Media (watímetros). Unidad IV: Sistemas Trifásicos: Objetivos Específicos: § Comprender, Analizar y Aplicar Conceptos de Impedancia, Admitancia, Diagramans Fasoriales de tensiones y corriente en los diferentes modelos y configuraciones de Sistemas Polifásicos (monofásico, bifásico, trifásico) de Corriente Alterna. § Analizar, Aplicar y Evaluar Conceptos de Potencia Media, Reactiva, Aparente, Factor de Potencia y su corrección en Sistemas Trifásicos Balanceados de mediana complejidad. Contenidos de unidad IV: 4.1 Definiciones relativas a sistemas polifásicos: a) Tierra, Polarización (Ground o Gnd) b) Neutro. c) Fase d) Referencia (nodo, fase, fasor) 4.2 Sistemas Monofásicos (una fase): a) Bifilar (dos hilos). (CAB: ckto. de alumbrado bifilar) b) Trifilar (tres hilos sin polarización). (CAT: ckto. de alumbrado trifilar) c) Tetrafilar (tres hilos principales + polarización). (CAT) 4.3 Sistema Bifásico (dos fases): a) Trifilar (tres hilos). b) Tetrafilar (cuatro hilos). 4.4 Generación Trifásica (tres fases): (CF: ckto. de fuerza ó 3Φ) 8 a) Secuencias de Fases: ABC (+), CBA (-): Diagramas Fasoriales. b) Fuentes en Estrella: tres, cuatro y cinco hilos. c) Fuentes en Delta: tres, cuatro y cinco hilos. 4.5 Cargas Trifásicas: a) Cargas en Estrella: Balanceadas y Desbalanceadas: tres, cuatro y cinco hilos. b) Cargas en Delta: Balanceadas y Desbalanceadas: tres y cuatro hilos. c) Conversiones Estrella-Delta y Delta-Estrella. 4.6 Sistemas Trifásicos Balanceados: Diagramas Fasoriales: a) Sistema Estrella - Estrella: tres, cuatro y cinco hilos. b) Sistema Estrella - Delta. c) Sistema Delta – Delta. d) Sistema Delta – Estrella. e) Equivalente Monofásico. 4.7 Sistemas Trifásicos Desbalanceados: Diagramas Fasoriales: a) Métodos tradicionales de análisis: Nodos, Mallas, Superposición, Conversiones, etc. b) Método del Desplazamiento del Neutro. c) Componentes Simétricas. 4.8 Potencia (media <activa>, reactiva y aparente en Sistemas Trifásicos Balanceados. 4.9 Medición tradicional de Potencia Media en Sistemas Trifásicos: a) Método de un watímetro. b) Método de tres watímetros. c) Método de dos watímetros. 4.10 Corrección del factor de potencia en Sistemas Trifásicos Equilibrados. 4.11 Conceptos de Potencia en Sistemas Trifásicos No Balanceados: Diagramas Fasoriales. 9 VIII – PROGRAMACION GENERAL DE ACTIVIDADES: AEL115 CICLO I - 2017: SEMANA CLASES SIM / LAB / DISCUSIONES EVALUACIONES Fechas Unidades Unidades Parciales 1) 20 ~ 24 febrero 2017 I 2) 27 feb ~ 03 marzo I Sim/Ley de Ohm, Leyes de Kirchhoff y Amp. Operacional 3) 06 ~ 10 marzo I Lab/Ley de Ohm y Leyes de Kirchhoff. 4) 13 ~ 17 marzo I Lab/Amplificador Operacional. 5) 20 ~ 24 marzo I Discusión participativa U-I. 6) 27 ~ 31 marzo II Sim/Circuitos de Primer Orden. 7) 03 ~ 07 abril II Lab/Circuitos de Primer Orden: red RC Primer Parcial: U-I Martes 04 abril 8) 10 ~ 17 abril --- Vacaciones de Semana Santa. 9) 18 ~ 21 abril II Sim/Circuitos Segundo Orden. 10) 24 ~ 28 abril II Discusión participativa U-II. 11) 01 ~ 05 mayo III Sim/Valores medios y rms 12) 08 ~ 12 mayo III Sim/Potencia en AC. 13) 15 ~ 19 mayo III Discusión participativa U-III. Segundo Parcial: U-II Jueves 18 mayo 14) 22 ~ 26 mayo IV Sim/Generación trifásica 15) 29 mayo ~ 02 junio IV Lab-Demo/Generación trifásica en AC 16) 05 ~ 09 junio IV Sim/Potencia en Sistemas trifásicos 17) 12 ~ 16 junio IV Discusión participativa U-IV. 18) 19 ~ 23 junio Evaluaciones finales: Tercer Parcial: U-III y IV: martes 20 junio 19) 26 junio ~ 30 junio Examen de Suficiencia::::::: martes 27 junio 20) 03 ~ 07 julio 2017 Cierre registro de calificaciones en adacad 10 IX - BIBLIOGRAFIA: TEXTOS DE CLASE: 1- Willian H. Hayt, jR & Jack E. Kemmerly & Steven M. Durbin Análisis de circuitos en ingeniería. Octava edición, McGraw-Hill Interamericana, 2012. ISBN: 978-607-15-0802-7 ISBN: 978-007-352957-8 (edición en inglés) 2- Richard C. Dorf | James A. Svoboda. Circuitos Eléctricos. Octava edición, Alfaomega, 2011. ISBN: 978-607-707-232-4 ISBN: 978-0-470-52157-1 (edición en inglés) 3- David E. Johnson; John L. Hilburn; Johnny R. Johnson; Peter D. Scott. Análisis Básico de Circuitos Eléctricos. Quinta Edición, Prentice Hall, 1996. ISBN 968-880-638-2 4- Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku. Fundamentos de Circuitos Eléctricos. Primer Edición, Mc Graw Hill, 2002. Contiene CD-ROM con ejemplos en formato Student “Electronics Workbench” p/windows. ISBN 970-10-3457-0 5- Leonard S. Bobrows Análisis de Circuitos Eléctricos. Nueva Editorial Interamericana, 1983. ISBN 968-25-0803-7 REFERENCIAS DE SIMULACION: 1- Vladimir A. Alvarado Cáceres; Luís Alfredo Pérez Orellana. Spice para LINUX. Proyecto de Ingeniería, EIE-FIA-UES, Ciclo I - 2001. Incluye CD con software Spice Opus para Linux. 2- Hector Enrique Carrillo Santamaría, Santos Benjamín Velasco Castro. Guías de Simulación y Laboratorio para Análisis Eléctrico I y II. Proyecto de Ingeniería, EIE-FIA-UES, Ciclo II - 2002. 3- David Báez López. Análisis de Circuitos por Computadora usando SPICE. Ediciones AlfaOmega S. A. de C. 1994. (Incluye dos disquetes con el programa Pspice versión 5.3 p/DOS). ISBN 970-12-1000-X 11 REFERENCIAS DE CONSULTA: 1- Tutle. Circuits. Mc-Graw-Hill, 1977. 2- Vincent Del Toro Engineering Circuits Prentice-Hall, Inc, 1987 ISBN 0-13-277922-6 3- Gene H. Hosteter. Engineering Network Analysis. Harper & Row Publisher, Ney York, 1984. ISBN 0-06-042907-0 4- Charles I. Hubert. Circuitos Eléctricos CA/CC, enfoque integrado. Primera Edición, Mc-Graw-Hill, 1986. 5- M. E. Valkenburg. Analisis de Redes. Tercera Edición, Editorial Limusa, 1990. 6- Joseph A. Edministir / Mahmood Nahvi. Circuitos Eléctricos. Tercera Edición, Serie Shaum, Mc-Graw-Hill, 1997. ISBN 0-07-018999-4 7- A. E. Fitzferald, David E. Higginbotham S. M., Arvin Gravel. Basic Electrical Engineering. Fifth Edition, Mc-Graw-Hill, 1981. ISBN 0-07-021154-X 8- Hugh Hildreth Skilling. Circuitos en Ingeniería Eléctrica. Primera Edición, C.E.C.S.A., 1977. LoCCCN: 65-19492 9- John O´Malley. Análisis de Circuitos Básicos. Primera traducción del ingles, Serie Shaum, Mc-Graw-Hill, 1987. 10- J. David Irwin. Análisis Básico de Circuitos en Ingeniería. Quinta Edición, Prentice Hall, 1997. ISBN 968-880-816-4 11- James W. Nilson. Circuitos Eléctricos. Cuarta Edición, Addison Wesley Iberoamericana, 1995. ISBN 0-201-60101-X 12- Rafael Sanjurjo Navarro / Eduardo Lazaro Sanchez / Pablo de Miguel Rodriguz. Teoria de Circuitos Eléctricos. Mc-Graw-Hill, 1997. ISBN 84-481-11133-8