Professor-Ambrósio-Elias-Material-Números-Complexos.pdf

MATEMÁTICA – PROFESSOR AMBRÓSIO ELIASNÚMEROS COMPLEXOS QUESTÕES: 01. Determine as raízes imaginárias das equações: a) x² + 9 = 0 b) 2x² + 10 = 0 c) 2x² – 6x + 9 = 0 d) x² – 10x + 34 = 0 02. Determine o valor real de x para que o número z = x + 1 + (x² – 1)i seja: a) real b) imaginário puro 03. Determine o valor de x, para que o número complexo z = (x² – x) + xi seja um número imaginário puro. Resp. 1 ou 0 04. Determine o número real , para que: a) z = (² – 4) + ( – 2)i seja imaginário puro b) w = 5 + (² – 5 + 6)i seja real 05. Se o número z = (x – 7) + (x² – 10x + 21)i é real, quais são os possíveis valores de x? 06. Determine x  R para que (x + 12i)(3 – xi) seja um número real. 07. Determine o real x para que z = (13i – 6) + (2x + i)(3 – 2xi) seja: a) imaginário puro b) real 08. Determine o valor de w, w  R, para que (3 + 4i)(w + i) seja um número real. 09. Dados os complexos z1 = a + 2i e z2 = 3 – bi, determine a e b para que 2z1 – z2 seja um imaginário puro. Resp. a = 3/2 , b  -4 10. (UFLA-MG) Determine os valores de x de modo que o número complexo z = 2 + (x – 4i)(2 + xi) seja real. a)  2 2 b)  1/3 11. Efetue os cálculos : 462 a) i 40 35 e) 5i + 8i – 1 8 i) (–i) c)  2 d)  2 756 931 b) i 5 37 302 f) i . i . i j) (5 + 3i)(2 – 4i) 12. (UFAL) Seja o número complexo z = i 101 +i c) i 37 g) 5i k) (6 + 2i)(6 – 2i) 102 103 +i 104 +i 105 +i e)  3 8 d) 3i 5 h) (–2i) 106 +i . Calcule z². Resp. –2i 13. (UFCE) Se i representa o número complexo cujo quadrado é igual a –1, determine o valor numérico da 2 3 27 soma 1 + i + i + i + ... + i . Resp. zero 2 3 4 5 1005 14. (UA-AM) O valor da expressão i + i + i + i + i + ... + i a) –i b) i c) 1 2 3 4 92 +i 2 3 4 31 +i 15. Dada a equação i + i + i + i + ... + i 93 94 = a + bi, determine o valor de a + b. 99 .i +i 16. Calcule o valor do produto P = i . i . i . i . ... . i 17. Determine o valor da expressão i 108 64 –i é igual a: d) –1 431 +i 100 . -795 .i 365 + 3i . 18. Dados os números z1 = 5 + 2i e z2 = 1 – 3i, calcule: a) z1 + z2 b) z1 – z2 c) z2 – z1 d) z1 . z2 19. Dado os números z1 = 5 + 4i e z2 = 13 + 5i, calcule: a) 5z1 – 4z2 b) z12  z 22 c) z1 . i e) 0 Simplifique as expressões: a) (2 – 5i)² + (4 – i)(4 + i) 2 19 d) –4i(3 – i) + (1 – i) – 2i b) (5 – 4i)² + 40i e) (2 – i)² + (2 + i)² + (2 – i)(2 + i) 24.Bauru-SP) A expressão a) 1 b) i 8 c) i – 2i(1 + 2i)(1 – 2i) 5 d) z i(i  1)  (i  2)  (i  3) .MATEMÁTICA – PROFESSOR AMBRÓSIO ELIAS 20. Efetue as seguintes divisões: 31  5i a) 4i b) 32  26i 3  4i c) 7  16i 1  2i 28. Escreva na forma de par ordenado os complexos: d) z = i 2 e) z = 4  5i 3 . a soma dos termos de ordem ímpar é 1 – i e a soma dos termos de ordem par é 2i. 27. (UFPA) Numa PG de quatro termos.z4 22. i17 1 1 2  f) z =  i 2i 2  i i 28  2i 30 1  3i é: 2i 5 7  i 3 3 3 4 e)  i 5 5 a) i 48  i 269 i 23  i 4  2i10 29. z2 = 15 – 2i. Sejam os números complexos z1 = 9 + 5i. Sendo z1 = 3 + 5i e z2 = 2 – 4i. Determine o número complexo a + bi que representa a razão desta progressão. Calcule: a) z1 + z2 – z3 b) z1 – z2 + z3 – z4 c) z3 – z1 – z3 + 5i d) (z4 + z1) – (z3 – z2) 23. efetue: a) z1  z1 b) z 2  z 2 c) z 2 21. Sendo z = 1 + i. é igual a: 10 c) –1 d) –i e) nda 26. Dados z1 = 2 – 3i. 1 + 2i 1i 1 i i 5  3i 7  i 41 b) z  5  5i 10  6i  2i 2  2i e) z = 1 2  3 2i 2i h) z = i18  i 6  1 . efetue: 4 a) z² b) z c) z 25. z3 = 6i e z4 = –8. Determine o valor de z : a) z  3  19i 13  4i  1  3i 2i d) z = 1 + i + g) z = 1 1  Resp. calcule: d) z1  z 2  b) (z1 + z2) z 3  z 4 a) 2z1 – z2 + z3 – iz4  d) z 32  iz 4 c) 3z1. (UEL-PR) A forma algébrica do número complexo z = 1  3i 2 1   7i 5 c) z = c)  b) 30. Determine o inverso dos seguintes números a) z = i b) z = 3i c) z = 4 + 2i 32. z2 = 5i. (UFPel-RS) Qual o conjugado do número complexo z = 1 7  i 5 5 d) 4 ? Resp. (F. onde i é a unidade imaginária. 2 – 2i 1 i 31. em que i é a unidade imaginária. z3 = 4 e z4 = –3 + i.E. Calcule os números reais x e y de forma que a igualdade (3x² + 8x) + (y² + 13y + 19)i = (2x² + 12x) + (y² + 10y + 4)i seja satisfeita. a) Calcule o produto (x + yi).(1 + i) Resp. Determine z1 + z2. y  R e z = x + yi um número complexo. Resp. x = 1 e y = –1 39. z = –3 + 5i ou z = 3 + 5i 42. para que se tenha (x + yi). (MACK-SP) O módulo de a) 0 b) 1 i 3 3 i 7i (7  2i)  (6  2i) i 40 l) z = m) z = –2 – 4i 3i n) z = 3  i o) z = –4i i3  i8 i15  i 6 vale: c) 3 d) 1/2 e) 1/4 . Calcule os módulos dos números complexos a seguir: a) z = 3 – 4i e) z = 24 – 10i i) z = 1 + b) z = 20 + 21i c) z = 5 f) z = –3 + g) z = 7i j) z = –8 – 15i k) z = (3 + 2i)(5 – 2i) d) z = 4  2i 3  2i h) z = 44.MATEMÁTICA – PROFESSOR AMBRÓSIO ELIAS a) z = –2 – 5i b) z = (3 + i)(3 – i) 33. z + (z – z ) = 34 + 10i. e) z  2z  4i  8 d) z . (UFSCar-SP) Sejam x. (MACK-SP)  1  i  a) i b) –i c) 1  2   36. i   1 . (ITA-SP) O valor da potência  1  i    1  i 1 i a) b) 2 2 93 é: c) 1  i d) 2  2 93 i e)  2 93  i 37. Determine o número complexo z tal que: a) 5z  3z  8  24i b) z  z  6z  7  24i c) 2z – 3 = z + 5i. (MACK-SP) Efetuando a) 0 50 5  2i 2i d) z = (4 + 2i)² é igual a: d) i e) –8i c) z = com o complexo w = (1 + i) c) –8 50 (1  i) 6 . 2 1 i 1 i 41.(1 + i) = 2 Resp. 38. obtemos: 8i b) 1 c) i d) –1 e) –i d) 1 + i e) –1 102 1  i   . A soma do complexo z = (1 – i) a) 8 b) 0 34. (UFU-MG) Sejam z1 e z2 os dois números complexos de parte imaginaria não-nula que são soluções da equação z² = z . é igual a: 35. 43. (x – y) + (x + y)i b) Determine x e y. Determine x e y reais tal que x 1 i  2yi  1  i   . Determine os valores reais de x e y de modo que (5 + 2xi) + (x + yi) = 7 + 10i. 40. sen30º) Resp. Determine  sabendo que |z – 2| = 5. (FEI-SP) Dado o número complexo z = 1 + 3 i. sendo z um número complexo. Resp. –1 a) escreva na forma trigonométrica o complexo z . z = 2 2  2 2 i 4 4      h) z = 3  cos  i sen  3 3  2 2    i sen i) z = 5  cos  3 3   . Expresse os números complexos na forma trigonométrica: 4 1 3  a) z = b) z = (7 – i)(3 + 4i) c) z = Resp. Determine p para que o módulo do número complexo z = (3 + pi)(2 + i) seja igual a 7. 2] é um argumento de z. w = 1 e   [0. (UFSC) Dada a expressão 2z + z = 2zi – 7. z = 3+i    b) z = 4. determine x sabendo que |z| = 5. z. então  é igual a: a) /3 b)  c) 2/3 d) 5/3 e) 3/2 56. Escrever na forma algébrica os números complexos: a) z = 2.MATEMÁTICA – PROFESSOR AMBRÓSIO ELIAS 45. Seja z =  + 2i. i 1 i 1 i d) z = (1 + 3 i)² e) z = 52. 47. determine:  3 i b) o argumento de z 4  3i . determine: 3  4i a) Seu argumento e seu módulo c) a forma trigonométrica de z 53.w. Determine o argumento dos seguintes números complexos: a) z = –7i b) z = -4 e) z = –8 + 8i f) z = –3 + i) z = 1 + 3i c) z = 1 + g) z = –1 – 3i j) z = –1 + i d) z = –1 + 3i 3i h) z = 5 3i k) z = 1 – i l) z = 3i 50. b) escreva o complexo z na forma trigonométrica 55. (ITA-SP) Se z = 1 + i 3 .   R. 54. 48. determine |z|². Escreva na forma trigonométrica os seguintes números complexos a) z = 7i b) z = 8i c) z = –2i d) z = –4 f) z = –3 + 3i g) z = –3 – 3 3 i h) z = 4 – 4i i) z   3  i j) z = i k) z = –4i l) z = 5 – 5i m) z = 3 + 3 3 i n) z = –3 + 3 3 i o) z = 3 – 3 3 i p) z = –5 q) z = –4 3 – 4i r) z = –7 – 7i s) z = – 3 – i t) z = 4 3 + 4i e) z = 3 +i 51. (FEI-SP) Dado z = b) A forma trigonométrica de z. 5 46.(cos30º + i. 49. Seja z = (x – 1) + ix. com x  R.  cos  i  sen  Resp. Dado o número complexo z = a) o módulo de z 1 i i f) z = 5 5   2  cos  i sen  4 4   (1  i) 2 (1  i) 4i . z3 Resp. z2 = 3  cos  i sen  isen  e z3 = 2  cos  .z3          60. determine o valor de z – 2z . Dado z = 2  cos  i sen  .z2 Resp. Dado os números complexos z1 = 9(cos 40º + i sen 40º).z4 d) z3  z4 e) 1 z5 7 7  5 5    59. z = 2  2i m) z = cos 3 3  i sen 4 4 g) z = cos 0º + i sen 0º Resp.z3 c) z2. z a) z1.z 5    6 3 64. calcule: 3 3  4 6 a) z² b) z³ c) z d) z 63.z2 = 18(cos 325º + i sen 325º). na forma trigonométrica.z3 c) z2. z = 3i 2 2  5 5   k) z = 2  cos  i sen  4 4      e) z = 2  cos  isen  4 4   l) z = 2 cos   i sen  f) z = 2(cos 315º + i sen 315º) Resp. o número complexo z2. escreva na forma trigonométrica as potências a seguir: 4 6 a) z 3 b) z   d) z 2 5 c) z . Determine.z3 d) z1.  cos  i  sen  Resp. em que z1 = 3(cos 130º + i sen 130º). sendo z1.MATEMÁTICA – PROFESSOR AMBRÓSIO ELIAS 5 5   c) z = 6. z2 = 4  cos  i sen  e z3 =  cos  i sen  . z4 = cos 20º + i sen 20º e z5 = 6(cos 25º + i sen 25º). z2 = 2(cos 20º + i sen 20º) e z3 = cos 15º + i sen 15º.    62. Calcule: a) z1. 8(cos 30º + i sen 30º) b) z2. 80 3 3   65. (UFSC) Dado o número complexo z = 2  cos  i sen  . 8  cos b) 2 3 Resp. 2  cos   z z3 12 12 12 12     1 61.z3 Resp.z3 Resp. 8(cos 45º + i sen 45º) 58. z = –3 2 – 3 2 i 4 4   3 3   j) z = 4  cos  isen  2 2      d) z = 3. Dado os complexos z1 = 2  cos  i sen  . Sendo z1 = 4(cos  + i sen ).  cos  i  sen  Resp. Calcule as potências: b) 2 8 e 8 3 c) 4 8 e  3  i8 são respectivamente: 8 9 d) 3 8 e 5 4 e) nda .z2.z2. 2(cos 35º + i sen 35º) c) z1. z2 = 2(cos 10º + i sen 10º). (PUCCAMP-SP) O módulo e o argumento do complexo a) 4 4 e 4 3 66. calcule: 4 4 2 2 3 3    z z z z 5 5  7 7     i sen  i sen a) 1 2 Resp. z3 = 3(cos 60º + i sen 60º). Calcule. Resp. 4(cos 25º + i sen 25º) d) z1.z2 b) z2. z = 1 57. determine: 4 4  6 6    a) z1. Dado z = 2 2 (cos 25º + i sen 25º). Considere os números complexos z1 = 4(cos 10º + i sen 10º).z2 b) z1. 8 n 70. –1 – 3i e . (FUVEST) Dado o número complexo z = n z é um número real ? a) 2 b) 4 3  i . determine parte real de 6 6   4 A = z – w . Resp. Dado z = 9 b) (3 + 3i)³ 1 3 16  i . determine n para que w seja: a) imaginário puro b) real 71. tal que complexo imaginário puro. cos e)  1. maior do que 10. 2 2 2 2       5 5       i  sen d)  1.MATEMÁTICA – PROFESSOR AMBRÓSIO ELIAS  1 3  a)    i  2 2   67. –1} c)  1. 74. O conjunto de todas as raízes complexas da equação x³ = –1 é:  3 i 3 i    . (UFPE) Encontre o menor número natural n. 2 2 68. calcule z . Dados os números complexos z = 6    2  cos  i sen  e w = 3i + 2i² + i³. cos  i  sen . com n  Z. 73. cos  i  sen   3 3 3 3 3 3     75. Determine as raízes cúbicas do número complexo: a) z = i b) z = 216 e) 10  3  in seja um número c) z = –27. Mostre que o número complexo z = – 3 – i é solução da equação z 3   1 7 z  8 3  0.   a) {–1} b) {1. 1 + 3 –i. 50 69. – 3 + i. Dado o número complexo w =  3  i . Resp. qual o menor valor do número inteiro n > 0 para o qual c) 6 d) 8 72. (UFU-MG) Calcule as raízes quartas do complexo z = –8 – 8 3 i. 3 i. 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