´ Matematica e RealidadeMilton C. Lopes Filho IMECC-UNICAMP September 20, 2010 Milton C. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte, Belem setembro de 2010. Preliminares. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade - quantificando incerteza Complexidade - os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia - turbulencia ˜ Conclusoes Introducao ¸˜ Milton C. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte, Belem setembro de 2010. Preliminares. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade - quantificando incerteza Complexidade - os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia - turbulencia ˜ Conclusoes ´ ´ Um olhar sobre a maneira em que a matematica e usada como ´ instrumento cient´fico e tecnologico. ı ´ ´ Modelagem matematica - teorias matematicas que se comportam de maneira “parecida” com sistemas de interesse no mundo real. Modelagem instrumental (computacional) ´ encarnacoes concretas e operaveis de teorias ¸˜ ´ matematicas. ´ ´ ´ Analise assintotica - estrategia para obtencao de ¸˜ modelos mais simples a partir de outros mais complicados. ´ ´ Analise rigorosa - estrategia para explorar propriedades ´ ˜ ´ (obvias ou nao) de modelos matematicos. Milton C. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte, Belem setembro de 2010. Preliminares. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade - quantificando incerteza Complexidade - os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia - turbulencia ˜ Conclusoes Exemplo - o problema do pastor ˆ Figure: rebanho de ovelhas na Patagonia Milton C. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte, Belem setembro de 2010. na sa´da ¸˜ ı para a pastagem e na chegada.um pastor do Conde da Patagonia ´ esta encarregado de um grupo de ovelhas para engorda.turbulencia ˜ Conclusoes ˆ ´ Problema tecnologico . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. Belem setembro de 2010. ´ Modelo matematico .contagens cuidadosas produzem sempre o mesmo resultado e as operacoes com inteiros correspondem ¸˜ corretamente a operacoes com ovelhas. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . Duas contagens ocorrem sob condicoes controladas . . Devolve as mesmas ovelhas gordas ou sofre as ˆ consequencias.o numero de ovelhas. ´ O modelo e robusto . ´ ´ ´ ˜ ´ ˜ O modelo matematico nao e a realidade! Numeros nao ´ ˜ produzem la nem ficam bons no espeto. ¸˜ Milton C.Preliminares.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . ¸˜ O pastor precisa de uma metodologia para obter contagens ´ razoavelmente confiaveis em condicoes de campo.quantificando incerteza Complexidade .numero inteiro N . . ou seja. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . calcular pode significar “fazer contas com pedrinhas”. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. ´ Um saco com N pedrinhas e um modelo computacional para o ´ modelo matematico N. Resultado um saco de ∼ 5kg . Belem setembro de 2010. peso ∼ 10g por pedrinha. N ∼ 500.turbulencia ˜ Conclusoes Modelagem Instrumental ou Computacional Primeira aproximacao . com a operacao aritmetica associada. Milton C. Digamos. em um ¸˜ saco. Ele associa corretamente operacoes com ovelhas no mundo real.quantificando incerteza Complexidade . ´ ´ Calcular tem a mesma raiz etimologica que pedrinha (calculo renal = pedra no rim).uma pedrinha para cada ovelha. N = N1 + N2 e ¸˜ ˜ ı com uma divisao f´sica das pedrinhas em dois sacos com N1 e N2 pedrinhas. ou para o rebanho de ovelhas.um saco para carregar.Preliminares. ¸˜ por exemplo.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . dividir o rebanho em dois rebanhos com N1 e N2 ´ ovelhas. Este e um ´ ´ modelo mais simples. o Conde oferece 2N ovelhas ao Duque de Cordoba como dote para sua filha. Por exemplo. Belem setembro de 2010. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. mais que 20). Milton C.quantificando incerteza Complexidade . e o ´ Conde mede seu rebanho em numero de pastores P. valido desde que as flutuacoes das ¸˜ ˜ ovelhas por pastor em torno de N nao sejam muito ferozes.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . Se P e razoavelmente ˜ ´ grande (digamos. O ´ ´ rebanho do conde e ∼ NP ovelhas. Para realizar o pagamento ´ ele simplesmente instrui os dois pastores mais proximos de Cordoba a levar seus rebanhos diretamente ao Duque. as ovelhas individuais desaparecem. .turbulencia ˜ Conclusoes ´ ´ Analise Assintotica ˆ O Conde da Patagonia tem P pastores trabalhando para ele. ´ Na escala do Conde.Preliminares. o Conde nao esta interessado no numero exato de ovelhas de cada pastor. cada um com aproximadamente N ovelhas para engordar. ´ ˆ ´ mas. Belem setembro de 2010. o numero de pedras no saco e ´ divis´vel por seis. um resultado matematico deveria ser de algum interesse para o pastor. Para ´ ser relevante. Teorema ´ O rebanho e divis´vel em seis grupos com igual numero de ı ´ ´ ovelhas se e somente se.quantificando incerteza Complexidade .Preliminares. . ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . Milton C. sem revelancia pratica. ignorando-se as cores. ı ´ ´ ´ ˆ Isso e um bom criterio rapido de consistencia na contagem. na maior parte dos casos.turbulencia ˜ Conclusoes ´ Analise Rigorosa Toda a teoria dos numeros se aplica a conjuntos de ovelhas. Exemplo: Para economizar seu lombo o pastor introduziu um sistema de pedras coloridas: uma pedra azul valem sete ovelhas. dezenove ovelhas.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . uma vermelha. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. ´ ˜ * Apesar de sua origem recente.quantificando incerteza Complexidade . boas para fazer estimativas.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . como o modelo aproximado do ˜ rebanho do Conde pelo numero de pastores sao aproximacoes ¸˜ ´ reconhecidamente grosseiras. que descreve o movimento dos corpos celestes e dos objetos do cotidiano humano. Milton C. talvez imposs´velmente ı enorme complexidade. ˜ * Outros modelos sao quase magicamente adequados. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.turbulencia ˜ Conclusoes ´ * Alguns modelos matematicos. que parecem se confundir com ´ ´ esta. Este e o caso do numero de ovelhas como modelo matematico ´ do rebanho. . Belem setembro de 2010. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .Preliminares. o modelo Newtoniano e tao poderoso que ele se tornou a raiz de nossa intuicao sobre como o ¸˜ mundo funciona. a assintotica utilizada ignora uma situacao real em ¸˜ escala pequena que apresenta enorme. ´ Frequentemente. capturando ˜ de maneira tao perfeita a realidade. ´ ´ ˆ * Um outro modelo matematico de enorme poder e a mecanica Newtoniana. turbulencia ˜ Conclusoes ˜ Linear versus nao-linear Milton C. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .quantificando incerteza Complexidade .os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. Belem setembro de 2010. .Preliminares. Um elemento X do espaco de estados (ou um estado) do ¸ ˆ ´ ´ sistema dinamico e um equil´brio. chamado de espaco de ı ¸ estados do sistema. . mas tambem a trajetorias ´ ˜ ˆ periodicas. Belem setembro de 2010. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . pois estas sao equil´brios do sistema dinamico ı discreto dada pela evolucao do sistema por tempo igual a um ¸˜ per´odo.quantificando incerteza Complexidade . que pode ser cont´nua ou discreta. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. em um conjunto.Preliminares. ˜ Equil´brios nao correspondem apenas a situacoes em que o ı ¸˜ ´ ´ sistema real modelado fica parado. ı Milton C.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia .turbulencia ˜ Conclusoes Equil´brios ı ´ Modelos matematicos que incorporam. e descrevem variacao ¸˜ ˜ ˆ no tempo sao chamados de sistemas dinamicos. ou estado estacionario se a ı ´ trajetoria do sistema partindo de X fica parada em X . Um sistema ˆ ´ dinamico descreve uma trajetoria temporal. Preliminares. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .quantificando incerteza Complexidade .turbulencia ˜ Conclusoes Exemplo . . Belem setembro de 2010. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia .Pontos Lagrangeanos Figure: pontos de equil´brio no sistema Sol-Terra ı Milton C. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . Belem setembro de 2010.(dX )n . ˆ ou seja. um equil´brio X∗ e uma solucao da equacao ı ¸˜ ¸˜ X∗ = f (X∗ ). o novo sistema dinamico (dX )n+1 = Df (X∗ ).X = X∗ + dX . ´ ˆ Na pratica. ı f (X ) = f (X∗ + dX ) ∼ f (X∗ ) + Df (X∗ ). ˆ chamado linearizacao do sistema original descreve a dinamica ¸˜ ´ do sistema proximo ao equil´brio X∗ .dX = X∗ + Df (X∗ )dX . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. ı Milton C. Neste caso. muitos problemas importantes tratam da dinamica ´ de estados proximos ao equil´brio . .turbulencia ˜ Conclusoes Linearizacao ¸˜ ˆ Se nosso sistema dinamico se escreve na forma Xn+1 = f (Xn ). ´ onde f e uma transformacao do espaco de estados nele ¸˜ ¸ ´ mesmo.quantificando incerteza Complexidade .Preliminares. os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . e ainda hoje estes metodos retem grande ¸˜ ˆ importancia. . Milton C. metodos perturbativos eram a principal ferramenta das ´ ´ ´ aplicacoes de matematica.quantificando incerteza Complexidade . ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .Preliminares. a aproximacao linear fica justificada e pequenos ¸˜ ˜ deslocamentos a partir do equil´brio sao descritos por sistemas ı ˆ dinamicos lineares. Belem setembro de 2010. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. correcoes de ordem mais alta que linear podem ¸˜ ˜ ser empregadas para economizar esforco ou obter maior precisao. da forma xn+1 = Axn . O ¸ ´ ˆ ´ conjunto de tecnicas para estudar sistemas dinamicos proximo ao ´ ´ ´ equil´brio chama-se metodos perturbativos.turbulencia ˜ Conclusoes Estabilidade de Equil´brios ı ´ ´ ´ ´ Um equil´brio X∗ e estavel se trajetorias que comecam proximo ı ¸ ´ ao equil´brio continuam proximas do equlil´brio para sempre. ı ı Neste caso. Ate meados do seculo ı ´ XX. Existe um poderoso ferramental anal´tico para estudar sistemas ı ´ lineares. alem disso. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . feita pelo astronomo Johann Galle. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.turbulencia ˜ Conclusoes Urbain Le Verrier (1811-1877) e o planeta Netuno ´ Talvez o maior triunfo dos metodos perturbativos tenha sido a ˆ descoberta. em 1846.Preliminares. com base na estimativa de sua posicao ¸˜ calculada por Le Verrier a partir de pequenas flutuacoes da ¸˜ ´ orbita do planeta Urano. do Planeta Netuno. . Milton C.quantificando incerteza Complexidade .os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . Belem setembro de 2010. ¸˜ ´ A teoria de bifurcacoes .os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia .quantificando incerteza Complexidade . ˆ Aparicao de caos . .fenomeno caracter´stico da ¸˜ ı ˜ ˆ nao-linearidade plenamente desenvolvida. ı Milton C.aparicao de modos instaveis ou ressonancias.Equil´brios mudam de carater e ¸˜ ı tornam-se mais complicados. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.modelos lineares ´ deixam de ser validos pois o equil´brio subjacente deixa de ı ´ ´ ˆ ser estavel .Preliminares. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .turbulencia ˜ Conclusoes ˜ caminhos para a nao-linearidade O desenvolvimento de instabilidades . Dinamica ´ torna-se imprevis´vel na pratica. Belem setembro de 2010. Belem setembro de 2010. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. .quantificando incerteza Complexidade .turbulencia ˜ Conclusoes Figure: a esteira de um cilindro Milton C.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia .Preliminares. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . geometria fractal. 1 2 Caos . analise funcional ˜ nao-linear. ´ Teoria geometrica da medida . ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . analise harmonica.dinamica de estruturas ˜ irregulares em problemas nao-lineares. Milton C. Belem setembro de 2010. 3 4 que permitem o estudo rigoroso de muitos problemas ˜ ´ nao-lineares classicos. .turbulencia ˜ Conclusoes ´ A segunda metade do seculo XX trouxe diversas novidades no ˜ ˜ tratamento nao-perturbativo de problemas nao-lineares.comportamento complicado com causas simples ´ ˆ ˆ Metodos de convergencia fraca .Preliminares.curvas e ¸˜ superf´cies generalizadas.interpretacao .quantificando incerteza Complexidade . ı ´ ´ ˆ ´ Analise Microlocal. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. . Belem setembro de 2010.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .quantificando incerteza Complexidade . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.turbulencia ˜ Conclusoes Estocasticidade Milton C.Preliminares. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. Belem setembro de 2010.quantificando incerteza Complexidade .turbulencia ˜ Conclusoes ´ Modelos determin´sticos ou estocasticos ı Figure: Movimento Browniano Milton C. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . .os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia .Preliminares. turbulencia ˜ Conclusoes ´ Movimento Browniano . mas que. Belem setembro de 2010. esta quase ¸ ` ´ sempre desbalanceada devido as flutuacoes aleatorias nestas ¸˜ ˜ colisoes.quantificando incerteza Complexidade . ´ ´ Modelo matematico . .os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia .W (t) processo de Wiener. ˜ ´ ´ Explicacao intuitiva: um grao de polen suspenso no ar e ¸˜ ´ ´ bombardeado constantemente por moleculas de gas. trajetorias quase certamente cont´nuas.modelo matematico para o movimento irregular de pequenas part´culas suspensas em um fluido ı (Einstein . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. de fato.1905 e Smoluchowski 1906). ¸˜ Milton C. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . com incrementos W (t) − W (s) ı ˆ independentes com distribuicao normal com variancia t − s.Preliminares. exercendo ´ ´ uma forca que na media se anula. Belem setembro de 2010. ´ Em compensacao.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia .ao ¸˜ ´ ´ inves de funcoes.turbulencia ˜ Conclusoes ˆ Sistema dinamico com ru´do: ı dX (t) = f (X (t))dt + αdW (t). Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. a natureza do modelo muda drasticamente . os modelos passam a ser processos estocasticos.quantificando incerteza Complexidade . ¸˜ animais de natureza muito mais complicada. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . ´ Solucoes resultam em modelar a perturbacao das trajetorias do ¸˜ ¸˜ ˆ ´ sistema dinamico dX /dt = f (X ) com ru´do aleatorio ı ´ ´ O ru´do aleatorio tambem pode modelar incerteza sobre os dados ou ı ˆ ´ parametros de um modelo matematico. . Milton C.Preliminares. permitindo propagar os efeitos destas incertezas no tempo. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.turbulencia ˜ Conclusoes Figure: Simulacao de precos de acoes ¸˜ ¸ ¸˜ Milton C. Belem setembro de 2010. .quantificando incerteza Complexidade .Preliminares.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . . ¸˜ ´ A necessidade de manejar modelos estocasticos quotidianamente em empresas atuando no mercado financeiro criou uma demanda por profissionais com ´ formacao sofisticada me matematica. Milton C. estat´stica ¸˜ ı ı (nem engenheiros aprendem a lidar com modelos ´ estocasticos).turbulencia ˜ Conclusoes ´ ¸˜ Uma area bem estabelecida de aplicacao para modelos ´ ´ estocasticos e financa quantitativa . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. A atuacao conjunta destes profissionais (”quants) foi ¸˜ ´ considerada parcialmente responsavel pela crise de 2008. f´sica.Preliminares. Belem setembro de 2010. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .quantificando incerteza Complexidade .em grande parte ¸ ˆ porque os precos de ativos financeiros tendem a ser ¸ sujeitos a violentas oscilacoes em todas as escalas.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.turbulencia ˜ Conclusoes Complexidade Milton C.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . Belem setembro de 2010.Preliminares. . ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .quantificando incerteza Complexidade . os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . balanco ecologico e a ¸ ˆ conciencia humana. que nao sao ¸˜ ´ ˆ ´ trataveis pelo paradigma reducionista da ciencia classica. ¸˜ Milton C. ˜ Alguns exemplos de comportamentos emergentes: El Nino. entre a ordem r´gida dos sistemas ı determin´sticos e a completa desordem da estocasticidade pura. Axioma da Complexidade: existem comportamentos. chamados ´ emergentes que so aparecem ao se considerar sistemas com ˜ ˜ interacao efetiva entre muitas partes. . ou seja.quantificando incerteza Complexidade . Belem setembro de 2010. isto e. ı ˜ Sistemas no limiar do caos sao capazes de auto-organizacao.turbulencia ˜ Conclusoes ´ ´ Modelagem matematica tende a ser reducionista. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. ´ ´ multicelularidade. busca compreender sistemas complicados isolando e analisando suas partes mais simples.ou seja.Preliminares. resposta imunologica. ˆ Complexidade pode aparecer espontaneamente no limiar do caos . os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia .Preliminares.turbulencia ˜ Conclusoes ´ Figure: Diagrama historico de complexidade Milton C. .quantificando incerteza Complexidade . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. Belem setembro de 2010. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . ı envolvendo problemas complicados de aquisicao e integracao ¸˜ ¸˜ de grandes quantidades de dados. Belem setembro de 2010. multi-f´sica. Milton C.Preliminares.turbulencia ˜ Conclusoes ˜ Modelos de sistemas complexos sao projetos enormes de engenharia computacional.quantificando incerteza Complexidade .os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . . ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. multi-escala. os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia .quantificando incerteza Complexidade . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.Preliminares. Belem setembro de 2010. . ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .turbulencia ˜ Conclusoes Figure: Elementos de um modelo global de clima Milton C. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .turbulencia ˜ Conclusoes ˆ Turbulencia Milton C. . Belem setembro de 2010.Preliminares.quantificando incerteza Complexidade . quantificando incerteza Complexidade . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. .Preliminares.turbulencia ˜ Conclusoes Milton C. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . Belem setembro de 2010.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . ı talvez o maior problema em aberto.Preliminares.turbulencia ˜ Conclusoes ˆ ´ Em f´sica.quantificando incerteza Complexidade . E o que um f´sico quer dizer com o ”problema da ı ˆ turbulencia? ´ A busca de uma ”teoria matematica. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . a turbulencia e considerada um dos grandes. que interpretada ˜ corretamente. Milton C. produza previsoes que concordem com os resultados de experimentos e observacoes dispon´veis. Belem setembro de 2010. . ¸˜ ı ˜ Nao existe uma teoria assim no momento. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . adequado ´ para modelos de uso pratico. ´ ´ Escoamento e modelado como um processo estocastico. ´ fundamentada em consideracoes de analise dimensional e ¸˜ fractalidade.turbulencia ˜ Conclusoes Kolmogorov 1941 ˆ ˆ ´ Teoria de turbulencia homogenea e isotropica. Belem setembro de 2010. fundamentado na nocao de cascata de energia. ¸˜ Concorda bem com experimentos mais simples.quantificando incerteza Complexidade .Preliminares. .os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. Milton C. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . ˜ Teoria e refinamentos mais modernos nao capturam comportamento observado em experimentos mais sutis. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia .quantificando incerteza Complexidade . ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . . Belem setembro de 2010.Preliminares.turbulencia ˜ Conclusoes Milton C. Belem setembro de 2010.turbulencia e as equacoes de Navier-Stokes. p = ν∆u (1) ´ ´ onde u = (u1 . ¸˜ Milton C. A equacao obtida ¸˜ fazendoν = 0 chama-se equacao de Euler.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . u3 ) e a velocidade do escoamento. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.Preliminares. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . . ¸˜ ∂t u + (u · )u + div u = 0.turbulencia ˜ Conclusoes ´ ˆ ˆ O problema matematico associado a turbulencia .quantificando incerteza Complexidade . u2 . p e a ˜ ´ pressao e ν > 0 e a viscosidade do fluido. na equacao. bastando ¸˜ ¸˜ ´ colocar dados. de fato. ´ ´ e e isso.Preliminares. solucoes suaves que se tornam estocasticas ¸˜ ´ sozinhas. ´ ´ O problema matematico e procurar fam´lias de solucoes ı ¸˜ ˜ de Navier-Stokes que se comportem de das Equacoes ¸ maneira turbulenta. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .turbulencia ˜ Conclusoes ˜ As equacoes de Navier-Stokes. que sao.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . Milton C. . ¸ ¸˜ ´ ˆ ˆ O problema e que turbulencia aparece espontaneamente.quantificando incerteza Complexidade . Belem setembro de 2010. sao um daqueles ¸˜ ´ ”modelos magicos. uma ¸˜ ˜ encarnacao da segunda lei de Newton. ´ ´ ´ E relativamente facil construir processos estocasticos que ˜ sao solucoes das equacoes de Navier-Stokes. que nunca ninguem viu. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. ou forcamento estocastico. turbulencia ˜ Conclusoes ´ ´ Parte da dificuldade e que a propria equacao de Navier-Stokes ¸˜ ´ ´ ainda apresenta alguns misterios matematicos importantes. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .solucoes de Navier-Stokes que sao ¸˜ inicialmente suaves ficam suaves para todo tempo.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. Belem setembro de 2010.u ´ e solucao de Euler.Preliminares. Pergunta . em um dom´nio limitado ı com fronteira suave e velocidade zero na fronteira. suave. ˆ (Problema da Camada Limite) Seja u ν uma sequencia de solucoes das equacoes de Navier-Stokes com viscosidade ¸˜ ¸˜ ν > 0 e dado inicial fixado.quantificando incerteza Complexidade . . Suponha que u ν converge a u quando ν → 0. em algum sentido? ¸˜ Milton C. que tem uma relacao complicada com o problema ¸˜ ˆ ˜ da turbulencia sao: 1 2 ˆ ˆ (Problema do Milenio. vale US$ 106 ) Mostre ou de ˜ contra-exemplo . Dois deles. turbulencia ˜ Conclusoes ˜ ˆ Conclusoes e Referencias Milton C. Belem setembro de 2010. .os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia .Preliminares. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade .quantificando incerteza Complexidade . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia .Preliminares.turbulencia ˜ Conclusoes ´ Quem faz matematica aplicada? ´ E importante manter a situacao concreta na cabeca ¸˜ ¸ ´ ´ mais divertido que a realidade. matematica e ˜ ˆ ´ Nao se vai longe em ciencia e tecnologia sem matematica. ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . . Belem setembro de 2010. mas seu uso limita dramaticamente os participantes da conversa. ´ ´ Matematica sofisticada pode ser necessaria.quantificando incerteza Complexidade . ou ´ conveniente. Milton C. the legacy of Kolmogorov. Stewart . 1995. Belem setembro de 2010. Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.turbulencia ˜ Conclusoes ˆ Algumas Referencias ¨ T. Lin and L. A. Cambridge University Press. Frisch .The Origins of Order .quantificando incerteza Complexidade . S.Preliminares. Blackwell. Segel . I.Does god plays dice? .Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences.Oxford University Press. Kauffman . ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . . 1996. Milton C.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia . C.The Pleasures of Counting. 1993.Turbulence. Cambridge University Press. 1989. C.the new mathematics of chaos. W. SIAM 1988. Korner . U. quantificando incerteza Complexidade . ˜ Linear versus nao-linear Estocasticidade . Lopes Filho ´ ´ Coloquio Regional Norte.Preliminares. Belem setembro de 2010. .turbulencia ˜ Conclusoes Obrigado! Milton C.os limites da modelagem ˆ ˆ Na fronteira da ciencia .
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