CETis No.77 ÁLGEBRA Productos notables Son multiplicaciones o productos con factores “tipo” de uso común que aparecen en distintas expresiones y operaciones algebraicas que tienen resultados conocidos. Una de las formas en que pueden servir los productos notables es para calcular la cantidad de material que necesitas para cubrir varias superficies cuadradas de diferente tamaño, y expresar las dimensiones (el lado) de esa superficie mediante una forma general. Binomios conjugados Uno de los binomios es la suma de dos términos y el otro es la diferencia de estos mismos términos. Se tiene a y b y serán conjugados si uno de los factores es (a + b) y el otro (a – b) Se aplica la propiedad distributiva: (a + b) * (a – b) = a * a – a * b + b * a – b * b = a2 – ab + ba – b2 = a 2 – b2 Conjugar los siguientes binomios: (2x2 + 3x) (xy - y) Binomios con término común A veces en el producto de dos binomios, uno de sus términos es común a ambos binomios, por ejemplo: (a + b) * (a + c), a es el término común ya que aparece en ambos binomios. Al desarrollar el binomio, tenemos: (a + b) * (a + c) = a * a + a * c + b * a + b * c = a2 + ac + ba + bc 1 CETis No. 77 ÁLGEBRA Aplicamos propiedad distributiva a los términos ac + ba, a2 + ac + ba + bc = a2 + a (c + b) + bc Así tenemos que, el producto de dos binomios que tiene un término común es igual al cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes multiplicados por el término común, más el producto de los términos no comunes. Determinar el producto de los siguientes binomios: (10h2 – g3) * (10h2 – g2) = (3yz2 – 8 xy2) * (–yz2 – 8 xy2) = El cuadrado de un binomio Sean los dos términos, a y b, tenemos (a + b) 2 Al desarrollar la expresión tenemos: (a + b) 2 = (a + b) * (a + b) Aplicamos la propiedad distributiva (a + b) * (a + b) = a * a + a * b + b * a + b * b Resolvemos a * a + a * b + b * a + b * b = a2 + 2ab + b2 Y el resultado es un trinomio cuadrado perfecto, ya que es igual al cuadrado del primer término más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término. Desarrollar el cuadrado de los siguientes binomios: (3x3 + 2z)2 = 2 CETis No. 77 ÁLGEBRA (10x7 – 2z3)2 = El cubo de un binomio Sean los dos términos, a y b, tenemos (a + b) 3 Al desarrollar la expresión tenemos: (a + b) 2 = (a + b) * (a + b) * (a + b) Aplicamos la propiedad distributiva: (a + b) * (a + b) * (a + b) = [(a + b) * (a + b)]* (a + b) Resolvemos: [a2 + 2ab + b2] * (a + b) = a2 * a + a2 * b + 2ab * a + 2ab * b + b2 * a + b2 * b = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + b2a + b3 = a3 + 3ab2 + 3ab2 + b3 El resultado es el cubo del primer término más el triple producto cuadrado de primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Desarrollar el cubo de los siguientes binomios: (z4 + 2x3)3 = (a2b + 7b)3 = 3 CETis No. 77 ÁLGEBRA Factorización Consiste es transformar un polinomio en el producto de un monomio por un polinomio o por varios monomios o polinomios, para ello se utilizan los productos notables. La factorización comprende varios casos que ayudan a identificar sistemáticamente términos comunes que previenen del resultado de los distintos casis de productos notables. La factorización es una herramienta muy útil de Álgebra para simplificar expresiones racionales; en geometría analítica ayuda a hacer bosquejos rápidos de gráficas polinomiales; en cálculo diferencial sirve para encontrar la derivada o pendiente de una curva con la definición mediante el uso de límites. Factor común El factor común de todos los términos de un polinomio es el máximo común divisor de los términos y corresponde con el máximo común divisor de sus coeficientes, multiplicado por las literales comunes elevadas a su máxima potencia común. Por ejemplo, encontrar el factor común de la siguiente expresión: 120a4b3 - 180a 5b4 + 252a3b5 Primero debe encontrarse el máximo común divisor de los coeficientes 120 60 30 15 5 1 Factor común 2 2 2 3 5 Entonces el máximo común divisor de 120 es 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 2 3 * 3 * 5 180 90 45 15 5 1 Factor común 2 2 3 3 5 Entonces el máximo común divisor de 180 es 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 2 2 * 32 * 5 252 126 63 21 Factor común 2 2 3 4 CETis No. 77 7 1 ÁLGEBRA 3 7 Entonces el máximo común divisor de 252 es 2 * 2 * 3 * 3 * 7 = 2 2 * 32 * 7 Así, el factor común en los tres coeficientes es 2 y 3, y la máxima potencia común en ambos factores en 2 es 2 y en 3 es uno, entonces, 22 * 31 = 4 * 3 = 12 Ahora se identifican los términos comunes de las literales del polinomio, 120a4b3 - 180a5b4 + 252a3b5, en los tres monomios las literales a y b son comunes, y los exponentes comunes en los tres son para a 3 y para b también es 3, por la tanto el mcd de las literales es a3b3 El factor común del polinomio es el producto del mcd de los coeficientes y de las literales, en este caso, 12a3b3 El siguiente paso es dividir y multiplicar el polinomio inicial por este factor: 120𝑎4 𝑏 3 − 180𝑎5 𝑏 4 + 252𝑎3 𝑏 5 ( ) ∗ (12𝑎3 𝑏 3 ) = 3 3 12𝑎 𝑏 (10a – 15 a2b + 21b2) * (12a3b3) Factorización del polinomio por factor común Encontrar el factor común y factorizar los siguientes polinomios: 30rs2t3 + 10rt3 + 100t2 12x2y + 4x2 – 8xy Factorización por agrupación Cuando se tienen polinomios cuyos términos no contienen el mismo factor común pero algunas literales se repiten en él, se aplicamos la propiedad asociativa y después la conmutativa para efectuar la asociación de los términos que son semejantes: ax + by + cx + dx – ey = (ax – cx + dx) + (by – ey) 5 CETis No. 77 ÁLGEBRA Factorizando por factor común cada una de las expresiones en las que se efectuó la asociación tenemos: (ax – cx + dx) = x(a – c + d) (by – ey) = y(b – e) Así, (ax – cx + dx) + (by – ey) = x(a – c + d) + y(b – e) Factoriza los siguientes polinomios: am – an + bm – bn -5a2 + 3ax – 10a + 6x Factorización de una diferencia Toda diferencia de dos cantidades a – b, se puede factorizar y el resultado es el producto de la suma de las raíces cuadradas de sus términos por la diferencia de dichas raíces cuadradas, así se tiene: 𝑎 − 𝑏 = (√𝑎 + √𝑏)(√𝑎 − √𝑏) Factorizar las siguientes diferencias: 9a4b6 – 16a2b8 100s4t8 - 25t4 6