UNIVERSIDADE DE SAO PAULOESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS i 1tf / m lliill i ll V\ 'J I ll l IJJ 0~63 ~2,00 ' . . ' . '11-711,18 0,634 tfm (o) ( b ) DA.047 , ~~HlfE,RES L3,647 { tf) , '. TOU!I CLêSSI- ..... r{.6 47 13,225 } . ( tf ) . ô.779 22 Edição JOÃO .CARLOS ANTUNES . DE O. E SOUZA HELENA M. ·e. CAflMO ANTUNES UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA OE ENGENHARIA DE SAO CARLOS UNIVERSIDADE DE SÃO PAU LO Reitor: Roberto Leal Lobo e Silva Filho Vice-Reitor: Ruv Laurenti Obra produzida na Escola de Engenharia de São Carlos- EESC Composição e Edição: CETEPE - Centro de Tecnologia Educacional para Engenharia da EESC PROCESSOS GERAIS Impressão: Serviço Grâfico da EESC DA "' ,,,. HIPERESTATICA CLASSICA 2ª edição - 1995 JOÃO CARLOS ANTUNES DE O. E SOUZA HELENA M. C. CARMO ANTUNES TOOOS 05 DIAEITOS RESERVADOS - Nos termos da Lei que resguarda os Direitos Autorais, é proibida a reprodução total ou parcial deste trabalho, de qualquer fornia ou por qualquer iaeio - eletrônico ou mecânico, inclusive através de processos Kerográficos, de fotocópia e de gravação - sell per•lssão, por escrito, do(s) autor(es) . PREFÁCIO Er. te como livro , publicado já o "Processo de Cross" e os em fase de preparação , "Técnicas Computacionais na Estática das Estruturas" e "I n trodução à Isostáti c a" , pretende ter um caráter didát i co, apresentando os mas desnecessárias, se m cornpl i cações tratados entretanto, c onscientemente processo de tratados são gerais qualquer tipo encarados Catalogação na Fonte - Se r viço de Bibl i oteca da EESC - USP Estática das a de como correspondem carlos, ensino a prolixo necessita tanto no estruturas variações alguns d os Estruturas na como ser. muitas Os tópicos senrl o , v e r. es processos aspecto da aplicabilidode quanto duais temas de de woa abordados Escola par com processos de no uso de o aqui a poderem ser idéia ; mesma na di sc ip lina Engenharia restrito, de como os São de Cross e de Propagação, e antecedendo todo o desen volvi mento S729p SOUZA, João Carlos Antunes de OI iveira e Processos gerais da hiperestática clãs sica/Joâo Carlos Antunes de OI i ve i ra ~ Souza, Helena Maria Cunha do Carmo Antunes. São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos, Serviço Gráfico, 1992. 346p. ISBN matri~]al visando a programação em computador. São Carlos , março de 1992 85- 85205 -02 - 4 1. Estruturas - Estática 1. Titulo. CDD - 624 .1 715 Os Autores rN D1eE 1. 1NTROOUÇÃO l . 1. 1. 2. · · · -•· · · · · ·· •· · · · · ·· · · · -· · ·· -· · · · · · · · · · · OBJETIVOS l.ERA IS ••. . . . . . • . . . . .. . . . . . • . . . . . . . . ESTRUTLJRllS LI N F.ARF.S 1 . .. . .. .. . .. . .. . . . . .. . .. . .. 2 I.3 . O MÉTODO CLÁSS TCO 1. ~. li ~[Jl'F.H Pn~; 1çiio 2 IW F FE r·r ·o~: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. O PR 1NCfP1 O DOS TR ARALHOS V 1RTLJA 1S F SUAS API 1CACõFS 2.1. CONSTDERAÇÕFS G F RAIS • . . • . . • . • . • . . . . . . . . . . . • •• 2. 2. o 2.1. POSSIBILIDADES DE J\PLICAÇÃO DO PRTNCiPTO DOS PRINC1 PIO Dor; THABALHOS VIR'flll\IS TRABALllOS VIRTlll\ I S . . . .. .. . . . . . . . . .•. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 9 'J 2l 2.1.1. Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas .. . .. . . . . .. . . . . . .. . .. .. . . . . 2.1.2. Seleção de uma equação de equilíbri o numa estrutura isostáti ca . . . . . . . . . . . . . 2.1 .l. 22 27 o teorema da reciprocidade dos t rabalho s ou Teorema de Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 . 4. O teorema da reciprocidade dos desloca- mC'ntos ou Teorema de Ma x wrl 1 . . . . . . . . . . 34 3. CALCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS ISOSTAT ICAS US UA i S . .. ........ . ... ... . . 37 3.1. CONSIDERAÇÕE S GERAIS 37 3. 2. DESLOCAMENTOS EM TRELIÇAS PLANAS IDEAIS . •.• . . . • . . . . . ••• . . . . . • . . . 3.2.1. A treliça plana ide a l 3 . J . •. . • . . . . . .. . . . . ....... . 38 38 J .2 .2 . Exemplo l 40 J. 2.3 . Exemplo 2 49 DESLOCAME NTOS EM ESTR U TURAS PLANAS FLETIDAS USUAIS 55 J.J .1 . Estruturas planas fletidas usuais . .. . . 55 l.J .2. Exe mpl o 63 l - Integração analítica . . . . . . . 3. 3. 3. Exemplo 2 - Integração numérica ...... 3. 3.4. Exemplo 3 - Integração utilizando tabelas 3. 4. DESLOCAMENTOS EM OUTROS TIPOS DE ESTRUTURA . .. 3. 4 .1. outros Tipos usuais de estrutura ....... 66 72 84 4 . 4. 2.. Exemplo 1 ...... . . . . . . .. . ... . - ... .. · · · · · · · 161 4 . 4. 3. Exemplo 2 165 . . . . ..... - - ... · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 . 4.4. Cálculo de grelhas desprezando a rigidez 84 . ....... à torção das barras ... . ... . .... . ··· · · · 169 84 4. 4. 5. Exemplo 3 ......... . .... .. .... .. .... .. . 176 3. 4. 3. Exemplo 2 - Viga com vínculos elásticos 87 . - - ....... .. .... - . - ....... 4. 5. O PROCF.SSO DOS F.SFORÇOS APLTCADO AOS ARCOS . . . 181 90 4.5.1. o que caracteri z a um arco . .. . . ..... . .. 181 4. O PROCESSO DOS ESFORÇOS • · · • • · • · · • • • • · · · • • • • · • • • • · · 95 4. 5 . 3 . Exemplo de def in .i ção de eixos de ar cos 4. 1. CONSIDERAÇÕES GERAIS . . . . . . . . . . . . • . . • . . . . . . . . . 95 4.5.4. Formulários para arcos h i perestáL icos 4.2. O PROCESSO OOS ESFORÇOS APLICADO A VIGAS . . . . . 101 4.2.1. Detalhes característicos das vigas •. . . 101 usuais ... . ........ .. .... · - · · · · · · · · · · · · 4.5 .4. 1. Convenções ... . ... .. .. . .... . . . 4.2.2. Exemplo 1 . • . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.5.4 . 2. Arco biarticulado simétrico . . 1 90 4.5.4.3 . Arco atirantado simétrico . . .. 1 95 4.5.4.4 . Arco biengastado simétrico 199 3. 4. 2. Exemplo 1 - Pórtico atirantado 3. 4. 4. Exemplo 1 - Grelha 4. '> . ;,>. 'J' i pos 4.2.2.1. Resolver a viga submetida ao carregamento dado . . . . . . . . . . . . 104 4.2.2.2. Resolver a viga submetida a uma u,;11;i i s de a r-co,; . . . . . . . . . • . . .. . .. 1 87 188 188 4.5.5. Casos usuais de integ ração em arcos 20 8 114 4. 5. 6 . Exemplo 1 - Integração analítica ..... . 4.5. 7 . Exemplo 2 - Integração numérica 209 calques de apoio............. 121 4. 5 .8. Exemplo 3 - Variação imposta de EI .... 223 4.2.J. Exemplo 2 •......... ...••.. •.• . . . . . . . .. 128 Exemplo 4 - Arco prismático por trechos 229 variação de temperatura ...••. 4.2.2.1. Resolver a viga submetida are- 4.3. O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PóRTICOS PLANOS 4. 5. 9 . 4.5.10.Exemplo 5 - Adaptação para pórticos 134 4.3.1. Detalhes característicos dos pórticos 134 4 . 3. 2. Exemplo 1 . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . 136 4.3.2.1. Resolver o pórtico submetido ao 240 4 .6. O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO ÀS 'l'REI. IÇAS PLANAS IDEAIS . ........ .. . . . . . . . . . . . . . ..... .. . plana ideal .. . . . . .. . .. . ..... . ... .. . .. · 4 . 6. 2. Exemplo l 142 4.1.2.3. Resolver o pórtico para efe ito de variação de temperatura ... 144 4 . 3 . 3 . Exemplo 2 •.•................ . . . . . . . . . . 149 4.4. O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A GREI.J{AS ... 1 57 157 4.4.1 . Detalhes característicos das qrelhas .. 234 246 4.6 . 1 . Detalhes ca racterísticos da treliça 138 4 .3 .2.2. Resolver o pórtico para efeito de recalque de apoio . . . . . . . . . simétricos 4. 5 .11.0bservações adicionais . .. .. ..... . ... . . planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . carregamento dado •.•......... 215 . ... . . .. .. .. . . ... ..... . · · · · · · 246 248 4.7. O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A ESTRUTURAS MISTAS . . . . . . . . . . . ... .....• • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 4. 7. l. Estruturas mistas usuais . . . ... . ...... . . 255 4 . 7 . 2. Exemplo l - Viga sobre apoios e lásticos 255 4. 7.3 . Exemplo 2 - Pórtico treliçado .. ... . . ·· 260 PROCESSOS GERAIS DA HIPEREST ATICA CLÁSSICA 5. O PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS ••••··••••••••••······ 5 .1. CONSIDERAÇÕES GERAIS 5. 2. EXEMPLO DE APLICAÇÃO .............. . ............ A VIGAS . .................. A PóRTICOS . .............. EXEMPLO DE APLICAÇÃO 5. 4. EXEMPLO DE APLICAÇÃO A TRELIÇAS PIANAS IDEAIS 5. 5. EXEMPLO DE API.ICAÇÃO A GRELHAS . . - ....... "' ....... 5. J. 267 267 273 CAPITULO 1 277 284 289 INTRODUCÃO 6. O PROCESSO M 1STO • . . . . • . . . • • . . . . . . • . • • . . . • . • . • . . . . . 6. 1. r;oNSIDERAÇÕES GERAIS ••......•.........•••.... 297 297 6.2. EXEMPLO DE PÓRTICO PLANO..................... 302 1. l . OH,J E'!' I VOS G ERA JS Esta publicação pretende ter um caráter didático de 7. Sltvf>LIFICACOES DEVIDAS A SIMETRIA················· 309 introdução à hiperestática clássica de estruturas lineares, 7. 1 . CONSIDERAÇÕES GERAIS . . . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . 309 discutindo hipóteses de cálculo , c omportamento df> estruturas 7.2. REDUÇÃO DA ESTRUTURA • •. .............•..... . .. 312 e 7.3. EXEMPLO 1 - PÓRTICO PLANO SIMÉTRICO •••••• . ... 318 process os de cálculo muito simples mas aplicáv eis a qualquer 7.4. EXEMPLO 2 - GRELHA COM DOIS EIXOS DE SIMETRIA. 324 7.5. EXEMPLO 3 - VIGA VIERENDELL 333 tipo de estrutura linear. Os proc essos aqui tratados , que poderiam ser c olocado s simplificações gera i s para estruturas usuais, utilizando c omo u m úni c o proc esso geral de solução de uma estrutura a 8. BIBLIOGRAFIA · · · .•. • · • • · · · · . • . . . . . • . . • . . • • • • • •••••...• 339 partir de outra supo sta conhec ida, esforços, o esforços tem resolver o incluem o processo dos misto . proc esso o um caráter apropriado para uma hiperestútica, elementar deslocamentos e dos permitindo, estruturas de em sua dos introdução à ci.plicação mais simples, hiperestáticas recaindo no cál c ulo O pro cesso dos isostáticas. estruturas desl oca me n t os , dual do anterior , tem como maior v antagem a sua s i mpli c idade, o que o torna ideal para uma posterior estruturas resolve automatizaç ão c omputacional ; hiperestátic as recaindo no c álc ul o de estrutur~s c om maior grau de hiperestatícidade, até tabeláveis. demonstrativo de O mas mais simples , e v entualmente processo uma misto tem generali z ação apenas o caráter idéias , sendo de vantajoso a penas em alguns c asos particulares. Todos os inúmeros processos partic ulares , aplicáveis só 1 CAPfTULO li O PRINCIPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS E SUAS APLICACõES 2.1. CONSIIJEHAÇÕES GERAIS O Princípio dos Trabalhos Virtuais, ou Teorema dos Trabalhos Virtuais, doravante apelidado de P.T.V . , é o único teorema da energia realmente essencial ao desenvolvimento de toda a estática c lássi c a; diversos outros teoremas que venham, por questão de síntese , a ser utilizados, serão demonstrados a partir dele . As condições de equ ilibrio po dem ser demonstradas a partir do P. T. V. , ou o P. T . V. pode ser demonstrado, agora como teorema , não como principio, a partir das condições de equilíbrio; optar-se-á por esta última versão, por mera questão de se ter em geral uma previa assimilação, em caráter mais intuitivo, das relações de equilíbrio . A utilidade essencial do P. T. V. será a de permitir interessantes transformações de problemas eminentemente geométricos em problemas estáticos e vice-versa, fornecendo alternativas extremamente simples e eficientes em diversas situações . 2.2. O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS Seja definida uma estrutura linear qualquer e estejam definidas suas vinculações, isto é, suas ligações internas e vínculos externos. Seja um estado de forç as (a) sobre essa estru~ura, com 8 9 j CAPíTU..O 111 CÁLCU..O DE OESLOCAtvENTOS EM ESTRUT~AS ISOSTATICAS USUAIS 3.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS Conforme discutido no capitulo II, item 2.3.1, dado um estado de hipóteses deslocamentos ( b), real mas satisfazendo as Método Clássico, conhecido a partir das do deformações dub, dvb e d~b de um elemento infinitesimal de coaprimento ds situado numa posição genérica I, provocadas por uma causa física qualquer, é possível utilizar o P.T.V. para calcular qualquer tipo de deslocamento dos pontos da estrutura. Para isso cria- se ua estado de forças (a), com "forças externas" convenientes e criteriosamente escolhidas de forma que, se se impuser o estado de deslocamentos (b) ao estado de forças (a), seu trabalho, o trabalho externo , seja exatamente igual ao deslocamento que se quer medir. Se a estrutura for isostática, ter-se-á waa única distribuição de esforços inte:rnos, tendo-se, em .§., Nª , V• e M• . Do P. T. V. , então, ter-se-á: T ••l T lnl ou: T • "l J N e• t. r • du b + J V ealr • dv b + f M • d.b (3.1) ••tr O que se pretende, em todo o transcorrer deste capitulo III, é detalhar a aplicação da expressão (3.1), tanto para o 37 CAPITU..O IV O PROCESSO DOS ESFORÇOS 4.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS o processo dos esforços é simples para de processo mais resolver estruturas hiperestáticas, rompendo a indeterminação tipo certamente o dos esforços estruturas. internos Numa e das estrutura reações nesse hiperestática as condições de equilíbrio não são suficientes para determinar esses esforços internos e reações; existem infinitas possibilidades de se ter equilíbrio, donde a necessidade . de se gerar adicionais, equações para adicionais, resolver o provenientes problema; de essas hipóteses equações adicionais se caracterizarão, no caso da estática clássica, como condições de compatibilidade, ou condições de coerência de deslocamentos, donde a ênfase que se deu, no capítulo anterior, ao cálculo de deslocamentos. O processo dos esforços se caracteriza essencialmente por se procurar determinar esforços em número igual ao grau de indeterminação estática, conhecidos esses ou grau esforços, de arbitrados hiperestaticidade; como incógnitas hiperestáticas, com as condições de equilíbrio se determinam os diagramas de esforços internos e as reações. 94 95 { 0,567 F 2 o 0,567 F 1 + 1,922 F 2 o 7,875 + 2,200 F 1 -7,875 a diferença de temperatura de uma face para outra das barras provoca flexão; também a variação uniforme é capaz disso; de qualquer forma o encaminhamento da solução é o mesmo. Seja, no exemplo, o caso de se computar os efeitos de um aquecimento uniforme de t.t = 60°C. donde: { F F 1 -2,731 t f m 2 3,292 t f m a) Esquema de solução Consta da fig. 4.35. e) Montagem de resultados t. t àt àt àt Tendo F 1 e F 2 , para quaisquer resultados que se queira basta analisar o probleaa isostático da fig. 4.34.a: observe-se que, para efeito de cálculo de deslocamentos, tem-se que computar também os deslocamentos impostos à estrutura isostática básica. Na fig. 4.34.b + (r) (r) está (0) 1 1 l esquematizado o diagrama de Mr, devido ao recalque. ( 1) 12) 3,292 Fig . 4 .35 - Esquema c:te so luçõo poro variação c:te temperatura Com isso se tem, também: (o 1 1b1 b) Condições de coerência de deslocamentos Fig . 4 . 34 - Montagem 4. 3. 2. 3. Resolver o pórtico de resultados para' efeito de variação o de temperatura o Nos pórticos, diferentemente do caso das vigas, não só 144 ou: 145 o ô ô 10 20 +Fô 1 +Fô 1 11 21 +Fô 2 +Fô 2 12 22 0,200 o "'"'ó "'"' ô-· o "' "'...< "'"' ó ...< ...< ó ' ' c) Cálculo de deslocamentos F 19 4 36 Esforços ax i ais Os dos problemas (1) e (2) já foram calculados no item 4.3.2.2 e valem, em unidades coerentes com tf e m: Do P.T.V.: E I ô e e 11 2,200 J N Sendo a e ô )o J du 1 est r E I 6 e e 22 E (_·I e 6 12 1,922 N .a.tit.ds l f': Stf tit constantes para a estrutura e , sendo N constante por barra: E I ô e t.· 21 ô -0,567 a.tit [ Jo N l li 1 donde: Resta, então, calcular os ô 'º , do problema (O). No estado de deslocamentos correspondente ao problema (O) , sendo uniforme a variação de temperatura ao longo da altura das barras, tem-se, num elemento de barra de comprimento ds, uma única deformação: duo ô 10- 5 60(0+0,12 5 .5,0-0,125.5,0) 10 10-5 .60(0,200.8,0-0,125.5,0+0,125.5,0) e o estado de forças convenierrte é o próprio problema ( j), só que agora interessam os esforços axiais N1 : esses esforços axiais N , para j = l; 2, constam da fig. 4.36. , 146 0,000960 Para ter todos os deslocamentos multiplicados por Ecic: E I ô a.tit.ds o e E I ô e e 10 20 o 2100.10000.10- 4 .0,000960 2,016 Observe-se que o cálculo dos ô j o foi feito de maneira a mais geral possível, prevendo um tratamento semelhante em situações mais complicadas; no exemplo, com geometria 147 elementar,se obteria esses deslocamentos de modo muito mais simples. Determinar os diagramas de esforços internos e também o deslocamento horizontal do ponto 4 para o pórtico com barras de mesma seção transversal da fig. 4.38. d) Solução do sistema de equações Multiplicando as equações por I I { 0,567 F 2 o 2,016 - 0,567 F l + 1,922 F 2 o o + 2,200 F l 4.3.3. Exemplo 2 e substituindo: 4 F { F l -0,293 t f m 2 -1,135 t f m E V 5 e) Montagem de resultados Tendo F 1 e F2 , 3m que no cálculo de deslocamentos não 4m áxial. Na fig. 4.37.b 4m EI ~ 4m 3 000 t f m 2 Fig 4 36 - Exemplo 2 _Estruturo e carregamento se pode esquecer das deformações axiais du0 , provocadas pela variação de temperatura; essas não são desprezíveis como as provocadas esforço 6 o problema consiste agora em resolver a estrutura isostática da fig. 4.37.a; é interessante observar por E N donde: está esquematizado a) Determinação do grau de hiperestaticidade o É diagrama de Mr. 0.293 ~........................................................._._, 1,135 e imediato, no caso: 1 b n 3c b 3 6 sobram 3 h 3 b) Esquema de solução Recaindo Montagem estrutura básica triarticulada, esquema de solução está esquematizado na fig. 4.39. lo l Fig 4 37 numa de resultados poro vorioçõo 148 de temperatura 149 esse rT l rI II n ' l EUII:I 1 ITD 1. .s Jk J estr . + Sendo EI constante para a estrutura: (01 EH l 111 131 121 Jk MM ds J k l Os momentos fletores M1 e F19 4 39 - Esquema de soluc;õo poro o Exemplo Mk constam da fig. 4.40. 2 Com esse esquema, formalmente se tem: 0,250 c) Condições de coerência de deslocamentos c'i lr o c'i 10 +Fc'i 1 11 +Fc'i 2 12 +Fc'i 3 13 l,000 c'i c'i 2r 3r o o c'i 30 +F.S 1 31 +F.S 2 32 +F.S 3 33 o - o, 750 d) Cálculo de deslocamentos "-1 .000 No cálculo de .SJk' tem-se: Fig . 4 . 40 - Momentos estado de deslocamentos prpblema (k) estado de forças problema (j) nos diversos problemas Utilizando convenientemente a TABELA 1: Do P.T.V.: EI.S 10 150 fletores 1 -4,00.~.10,58(2.0,833+1,00) 151 + 1 + 4,472.-j--.15,88.0,250 - 4,472.-j--.2,00.0,250 + EicS + 6,00.-3-.15,88.0,250 1 33 -4,646 1 ! +l,o) + 8,944.-}-.18,ooco,50+1,0)+4,472. 1 2 4,00.-3-.0,333 +8,944.-3-.0,333 + 4,472.3-.0,50 -4,oo.-j--.10,5e.o,5-8,944. 2 . 2 + 4,472.-j--.c1,00 2 +1,oo.o,15+0,15 2 ) + 6,oo.-j--.0,150 2 =10,123 + 4,472. ~.2,00(0,833+0,417) + 4,472.-j--.2,00.0,417 + 1 1 2 EicS 22 = 4 , 00.--.0,50 +8,944.3-(0,50 +0,50.1,00+1,00 )+ 3 8,944.-}-.15,08.o,833 + e,944.-}-.18,00.0,833 + 1 2 2 + 2 2 + 6,0o.3-.(1,00 +l,00.0,50+0,50) .15,08(2.0,50+ 1 EI6 12 = EicS 21 = 4,00.6 .0,50(1,00+2.0,833) + ~.2,00(0,50+0,15) + + e,944.-i--.o,833(2.0,50+1,oo) - 4,472.-i--.0,250(1,00+ + 4,472.--j--.2,00(0,75+1,00) - 4,472.~.15,88(1,0+2.0,75) + + 4,412.--j--.2,00(1,oo+o,15) - 6,oo.-j--.15,88.0,75 1 +2.0,75) - 6,00.-3-.0,75.0,25 -30,888 EU EicS 30 4,oo.-j--.10,58.0,333 + 8,944.--}-.15,08.0,333 + 8,944.i.18,00.0,333 - 4,472. ~.2,ooco,333+0,161) 2,531 1 -4,00.~.0,333(1,00+2.0,833) 13 + 1 1 8,944.-3-.0,333.0,833-4,472.-3-.0,25.0,50 + + 1 6 ,00 ·~·o ,.25( 2. o, 50+1,00) -2,105 4,472.-j--.2,00.0,161 - 4,472.~.15,88.0,50 + +4,472.-j--.2,00.0,50 - 6,00. EicS 11 ! .15,88.(2.0,50+1,00)= -37,828 = 4,0o.~ 3 (l,002 +0,833.1,00+0,833 2 ) + 1 -.o,833 2 + 4,472.1-. 0,2'50 2 + 6,oo.1 -.o, 2502 + 8,944.3 3 3 EU - 1 -4,00.-3-.0,50.0,333 + 23 1 8,944.~.0,333(2.0,50+1,00) +2.0,75) + + 1 6,00.~.0,75(2.0,50+1,00) 5,656 152 153 1 4,472.~.0,50.(l,OO+ 1,217 4,351 e) Solução do sistema Multiplicando as equações por EI e substituindo-se os valores obtidos: 10,704 11 m - 4,646 + 5,656 F + 1 2 - 2,105 F 3 o -30,888 + 2,531 F + 10,123 F 1 2 + 1,217 F 3 o -37,828 - 2,105 F + 1 z + 4,351 F 3 o 2,531 F [ 1,217 F M, 4,52211 m ( lf m) 4,52 - 1o) 1 b) 7,512 donde: 3,647 3,647 1 t) 1b) 4,522 t,m [ Fio . 4 . 41 - Montooem de resultados 0,634 t,m em equilíbrio com essa carga externa unitária; com qualquer F 10,704 t,m 3 delas se obtem possibilidade, intrínseca f) Montagem de resultados o mesmo valor descartável da solução, hiperestática outra vez, de para o imediato seria deslocamento. pela resolver Uma dificuldade a estrutura impondo as condições de coerência de deslocamentos; outra seria obtida carregando a estrutura básica Tendo F 1 , F2 e F3 o problema consiste em resólver a estrutura isostática da fig. 4.41.a. Os diagra•as esforços internos constam das fig. 4.41.b, c e d. Para cria-se calcular o um estado de unitária na direção e deslocamento horizontal fig. 4.41.a, conforme obtendo o diagrama de Na da fig. 4.42.b, com a afirmação de que o problem~ fig. 4.42.a, isso em coerência isostático expresso na fig. 4.41.a é idêntico ao problema real hiperestático; outra 4, possibilidade seria carregar com a carga unitária qualquer externa outra estrutura isostática obtida da real pela retirada de sentido desse deslocamento. Sendo a vínculos, por exemplo a estrutura da fig. (a)'• com uma ponto da carga forças do de isostática estrutura hiperestática existiriam infinitas distribuições de esforços internos, em particular de momentos fletores M , • 4.42.c com a qual se obtem a distribuição extremamente simples de Mª da fig. 4.42.d . 154 155 - EU! H4 = 3,0 1 1 -4,0.~6-.2,0(2.10,06-4,52)-8,944.~3-.2,0.14,56+ l 1 1 + 8,944.~ 3 -.2,0.(~,0+l,O) 4 -.2,0.18,0+4,472.~ + 4,472.~ 3 -.2,o.1,o 1 + 1 + 4,472.~.3,0(-o,63+2.11,18) + 6,0.~.3,0(2 . 11,18-10,70) + 1bl 1 4,472.~3-.3,0.2,0 - 1 59;4 1 e portanto: 59,4 3000 lc 1 0,0198 m Adotando agora como estado de forças Fi9. 4 42 - Estados de forças la 1 interessantes 4.42.c, com os momentos fletores da fig. (a) o 4.42.d, da fig. tem-se, também com o uso conveniente da TABELA 1: Com qualquer dos estados de forças (a) e o estado d• EU! deslocamentos (r), tem-se, do P.T.V.: 1 6,0.~.6,0(-11,18+2.10,70) H4 61,3 e portanto: M J M r ds .. EI 8 84 0,0204 m eatr A ménos de imprecisão devida á diferença no número de ou: operações numéricas efetuadas, ambos os resultados são idênticos. M M ds EI6 H4 a r 4.4. O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A GREIJIAS o Adotando o estado de forças (a) da fig. 4.42.a, momentos fletores da fig. 4.42.b, tem-se, com com os o 4.4.1. Detalhes característicos das grelhas uso Uma grelha é definida como uma estrutura plana, com cargas normais ao seu plano, com vinculações que não introduzam solicitações no plano, e com elementos lineares simétricos em relação a planos que os contenham e sejam conveniente da TABELA 1: 156 157 CAPfTULO V O PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS Fig. 4.115 - Esforços finois pedidos fig. 5.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS O prqcesso dos deslocamentos é, de certa forma, dual do processo dos esforços; toda a linha de raciocínio é mantida se se trocar esforços por deslocamentos, coerência de deslocamentos por coerência de esforços, retirada de vínculos por introdução de vínculos, estrutura básica estaticamente determinada por estrutura básica geometricamente determinada, e assim sucessivamente. A idéia essencial para resolver uma estrutura hiperestática é a de adicionar vínculos para recair numa estrutura básica conhecida, mais ve7.es hiperestática mas mais simples; nesta altura dos acontecimentos isso seria didaticamente viável, já que o processo dos esforços permite a solução de estruturas hiperestáticas que possam servir como estruturas básicas no processo dos deslocamentos. Como caso são adicionados vínculos, ou anulados nesse deslocamentos, o processo fica mais flexível, por se poder trabalhar não com um número fixo de incógnitas, mas com um número mínimo de incógnitas; não existe o risco, inerente ao processo dos esforços, de a estrutura resultar hipostática; a única implicação de se introduzir um vínculo a mais é de se ter urna incógnita a mais no problema. 266 267
Report "Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d"