PROCESOS ERGÓDICOSEmily Tobar [email protected] Febrero 09, 2015 Resumen Un proceso es ergódico si los parámetros estadísticos calculados en un conjunto de realizaciones (promedios de conjunto) son iguales que los parámetros estadísticos calculados en una única realización (promedios temporales). Para que un proceso sea ergódico primero tiene que ser estacionario pero lo contrario no siempre se cumple. En general nunca nos vamos a encontrar con un proceso estacionario real. Sin embargo, la hipótesis de estacionaridad proporciona resultados suficientemente exactos para nuestros propósitos. Lo mismo ocurre con la hipótesis de ergodicidad. A veces sólo se ha medido una realización de un proceso estocástico y tenemos que admitir ergodicidad para poder extraer conclusiones de nuestros datos. INTRODUCCIÓN Un problema central en las aplicaciones de procesos estocásticos es la estimación de varios parámetros estadísticos en tiempo real. Muchos de los parámetros pueden ser expresados como valores esperados de alguna función de un proceso . El principal problema de estimación de un proceso dado es, por lo tanto, central en esta investigación1. PROCESOS ERGÓDICOS2 La ergodicidad es una forma muy restrictiva de estacionariedad y puede ser complacido demostrar que constituye una suposición razonable en cualquier situación real. No obstante, a menudo supondremos que es un proceso ergódico para simplificar los problemas. En la práctica, normalmente estaremos forzados a trabajar con una única función muestra de un proceso, y por tanto, queramos o no, tendremos que obtener el valor medio, las funciones de correlación, etc., a partir de la forma de onda temporal. Un proceso es ergódico en la media si su valor medio temporal es igual al valor medio estadístico, es decir [ ̅ ] [ ] ̅ donde se utiliza para indicar el valor medio temporal de forma análoga a para el valor medio estadístico. El promedio temporal se calcula para todos los instantes de tiempo ya que, en lo que se refiere a procesos aleatorios, se presupone que las funciones muestra de los procesos existen en todo instante de tiempo. [ El valor medio ̅ muestra se define como: [ ̅ ] de una función ] El valor medio de ∫ ̅ es [ ] PROCESO ERGÓDICO EN LA MEDIA 1 (Papoulis & Pillai, 2002) 2 (Pebbles, 2006) PROCESOS ESTOCÁSTICOS ̅ { ∫ } Página 1 Para que un proceso sea ergódico respecto a la media se debe cumplir que ∫( PROCESOS ESTOCÁSTICOS | | ) Página 2 . De hecho. Es necesario comprobar varias condiciones para afirmar que un proceso es ergódico. la integral puede evaluarse fácilmente: | | ∫( ∫| ) | Por último. un estudio cuidadoso de los procesos ergódicos requiere que se definan varios niveles de ergodicidad. Para que esta condición se cumpla se tiene la siguiente expresión ( ) ∫ ∫ El teorema de ergodicidad establece la validez de las dos expresiones anteriores.̅ ∫̅ ̅ LA varianza temporal de un proceso ergódico debe ser . Entonces podríamos escribir: ̅ ̅ ∫ La exposición anterior sobre procesos ergódicos nos lleva a la idea general del significado de ergodicidad. comprobamos que la varianza es cero si | | ∫| . es decir que ̅ y fueran constantes. Dos procesos aleatorios se dice que son conjuntamente ergódicos si son ergódicos individualmente y tienen también una función temporal de correlación cruzada que es igual a la función de correlación cruzada estadística: Aplicando la relación de simetría . Otro valor promedio de interés es la función temporal de autocorrelación. Los procesos que satisfacen el teorema de ergodicidad se denominan procesos ergódicos. será un proceso ergódico respecto a la media. y sólo si. no pretende sin embargo ser muy rigurosa ni precisa. para todo ∫ CONCLUSIONES La mayor parte de los procesos estacionarios en el sentido amplio son procesos ergódico. PROCESO ERGÓDICO EN LA CORRELACIÓN Un proceso estacionario continuo con una función de autocorrelación se dice que es ergódico respecto a la correlación si.y | En consecuencia. designada por [ ] ∫ Para que el proceso sea ergódico en la media la varianza temporal debe ser igual a cero. variables aleatorias y señales aleatorias (Vol. (2006). BIBLIOGRAFÍA [1] Papoulis.. Madrid. IV).Lo cual es una condición necesaria y suficiente. (2013). [2] Pebbles. & Pillai.pdf Página 3 . Recuperado el 09 de Febrero de 2015. Random Variables.). | | | Y estas dos últimas condiciones que son solo condiciones suficientes. and PROCESOS ESTOCÁSTICOS [3] Procesos Estocásticos Ergódicos.upm. Probability. ∫| Stochastic Processes (Cuarta ed. Principios de probabilidad. A. (2002).es/ingor/estad istica/fjcara/mme_construccion/02_ pest_tiempo. P.etsii. New York: McGraw-Hill. U. de Análisis de Procesos Estocásticos en el Dominio del Tiempo: http://www. España: McGraw-Hill.