6.10 Problemas resueltos 1. Un protón se mueve con una velocidad v = ( 2i − 4 j − k ) ms -1 , en una región donde el campo magnético es B = (i + 2 j − 3k ) T ¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética que esta carga experimenta? Solución: La fuerza magnética esta dada por: F = qv × B = (22 .4i + 8 j −12 .8k ) ×10 −19 N , donde q es la carga del protón, q =1.6 ×10 −19 C y la magnitud esta dada por F = 2.70 ×10 −18 N 2. Un conductor suspendido por dos alambres flexibles, como se muestra en la figura 6.15 tiene una masa por unidad de longitud 0.040 kg/m. ¿Qué corriente debe de existir por el conductor para que la tensión en los alambres de soporte sea cero cuando el campo magnético es 3.6 T hacia el interior de la página? ¿Cuál es la dirección requerida para la corriente? a x k y x x x x x x x x Bin x d I y z x Figura 6.16 c b x x x Figura 6.15 Solución Para que la tensión en los alambres se anule es necesario generar una fuerza magnética por unidad de longitud igual al peso por unidad de longitud, pero de sentido contrario I ( l × B ) I − l × Bk mg F mg ILB = 0.109 A = = = = →I = LB L L L L L La dirección de la corriente es hacia la derecha 3. En la figura 6.16 el cubo mide 40.0 cm en cada lado. Cuatro segmentos de alambre ab, bc, cd y da forman un lazo cerrado que conducen una corriente I = 5.0 A en la dirección mostrada. Un campo magnético B = 0.02 T está en dirección positiva (j). Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre cada segmento. Solución 17 a) b) x x x x Bentra d) x x x Barriba i k + x x c) J + 37º BDerechaba + Figura 6.0 5.0 L (m) -0.04 (i + k) 4.4 (i -k ) B (T) 0.08 k 0.02 j 0.Segmento ab bc cd da I (A) 5.02 j 0.0 5.08 (-i) -0.4 (-i+j ) 0.17 BSobr e4 ° 5 Solución: Las partículas se desvían en la dirección de la fuerza magnética Figura a b c d q + + + Dirección de v +i -i 0. Indique la dirección inicial de la desviación de las partículas cargadas cuando éstas entran en los campos magnéticos indicados en las figuras 6.8 i + .0 5.6 j +j Dirección de B -k +j +i cos45° i+ sen45° j F = q ( v × B) J +k -k -k .4 k 0.4 j 0.02 j F = I (L ×B ) (N) 0 0.02 j 0. Calcule la fuerza resultante que actúa sobre el alambre si el campo magnético B es de 50 teslas de magnitud y dirigido hacia dentro del plano de la pagina.20a . de longitud L.5 A.20a. como se muestra en la figura 6. Queremos determinar el campo a una distancia y = R (punto P) y y P P Bsale j φ 1 φ 2 r k i I R φ r ur θ x Figura 6.19a lleva una corriente de 1. tenemos 6. determine el campo magnético producido en un punto que está a una distancia R y que subtiende ángulos φ 1 y φ 2 con los extremos del alambre.5.19 vemos que la fuerza de la parte superior del alambre es igual a la fuerza que actúa en la parte inferior (F1 = -F2). π 0 ∫ con dL = adθ .18 Solución: De la ecuación 6. Un alambre de la forma que se muestra en la figura 6. Con la ley de Biot-Savart. F1 dFcosθ dF dFsenθ dL I a I θ a F2 Figura 6.19 ∫dl ×B . la fuerza resultante se obtiene integrando F = ∫( dF sen θ)i = ∫( IB dL sen 90 °)sen θ i. conduce una corriente I. L En la figura 6. El cálculo de la fuerza en la parte semicircular se obtiene de la integral dFsenθ ya que la componente dFcosθ es anulada por la parte simétrica del semicírculo del alambre.20b 0 π -θ dl x I 0 Figura 6. Un segmento recto de alambre. y el radio del semicírculo es a = 0. se tiene F =I Figura 6. = ( IB sen θdθ ) i = 2 IaB = 15 N. Solución: Colocamos el alambre a lo largo del eje x.13.1 m. 4πR Para determinar el campo total. De la figura 11.20d µI µI B = 0 (sen φ + sen φ ) = 0 sen φ 4πR 2πR I L 1 =φ 2 = φ (figura 6.16.20c L/2 Figura 6. siendo dl y ur como se indica en la figura 6. La regla de la mano derecha indica que la cantidad dl ×u r se dirige hacia fuera de la página. 2 2 4π r 4π r 4π r 2 donde hemos reemplazado dl por dx. el campo magnético creado por el segmento dl en el punto P tiene magnitud dB = µ 0 I sen(π − θ ) µ I sen(π / 2 + φ ) µ I cosφ dx = 0 dx = 0 dx .20b se tiene tan φ = x → dx = R sec 2 φ dφ R cos φ = R → r = R sec φ .20c) P φ φ R • Si P está a una distancia R de uno de los extremos del alambre φ 2 = 0 y φ 1 = φ (figura 11.20b.20b. y que pasa por el punto medio del alambre: φ P φ R I L/2 Figura 6. r reemplazando las anteriores relaciones en la ecuación anterior se tiene dB = µ0 I cos φ dφ .20d) .del alambre. y empleado el ángulo φ de la figura 6. 4πR −φ1 4πR Los limites de integración se indican en la figura 6.20a Casos particulares de la ecuación anterior: φ • Determine el campo magnético en el plano perpendicular al alambre. Según la ecuación 6. integramos la anterior ecuación µI 2 µI B = 0 ∫ cos φ dφ = 0 (sen φ 2 + sen φ1 ) . para el elemento de corriente que se ve en la figura 6. al centro del cuadrado. se dirige hacia adentro del papel. donde sen φ = . a) Calcule la magnitud y dirección del campo magnético en el centro del cuadrado. para conseguir B→ µ0 I .21a. • En el límite en que L >> R (alambre infinito). Usemos la ley de Biot-Savart L/2 Figura 6. de la figura 11. y lo mismo sucede para los otros elementos de corriente que forman el cuadrado.21a Solución. 2 2 4π r 4π r 4π r 2 Las variables φ y r dependen de x.4 m conduce una corriente I = 10 A (ver figura 6.20b.20b se tiene las siguientes ecuaciones .B= µ0 I µ0 I µ I (sen 0° + sen φ ) = 0 sen φ → B = 4πR 4πR 4πR L L2 + R 2 L L2 + R 2 . φ 1 = φ 2 = 90°. 2πR 7. Por lo tanto el campo magnético total en el centro del cuadrado esta dirigido hacia adentro del papel.21 x dB = µ 0 Idl × u r 4π r 2 (1) El vector ur va desde el elemento de corriente dl.). Un conductor de forma de un cuadrado de longitud de lado L= 0. b) Si este conductor se forma como una sola vuelta circular y conduce la misma corriente. sino también de la longitud del alambre. La cantidad dlxur. El campo magnético del segmento dl tiene magnitud dB = µ 0 I sen(θ ) µ I sen(π / 2 − φ ) µ I cos φ dx = 0 dx = 0 dx . que es el punto donde queremos calcular B. El anterior resultado indica que el campo no solo depende de la distancia R al alambre. ¿cuál es el valor del campo magnético en el centro? I I I I L/2 φ I P r ur θ dL I I L Figura 6.. Por lo tanto el campo magnético total en el centro del círculo esta dirigido hacia dentro del papel (figura 6. tiene un perímetro igual a 1.6 m = 0.21c Figura 6.254 m 2π z ur r dl z ur r x dl θ θ Bentrante x Figura 6. y lo mismo sucede para los otros elementos de corriente que forman el círculo. al centro del círculo. = 0 = 2 4π r 4π r2 4π r 2 Por lo tanto el campo neto en el centro del círculo es .3 µ T .21d El vector u r va desde el elemento de corriente Idl. r 2 reemplazando las anteriores relaciones en la ecuación anterior se tiene dB = µ0 I cos φ dφ .21) dB = µ 0 I dl × u r µ Idl sen 90° µ 0 Idl . La cantidad dl × u r . La magnitud del campo del elemento de corriente.21d).6 m. para el elemento de corriente que se ve en la figura se dirige hacia dentro del papel. 4πL / 2 Para determinar el campo total. se obtiene mediante la ecuación (6. 4π L / 2 −45 b) El círculo que se forma con el cuadrado Figura 6. B =4 µ0 I 45° µ0 I ∫ °cos φ dφ = π L / 2 (sen 45° + sen 45 °) = 28 . L/2 2 cos φ = L/2 L → r = sec φ . por lo tanto 1.tan φ = x L → dx = sec 2 φ dφ . que es el punto donde queremos calcular B.6 m = 2π r → r = 1.21c). integramos la anterior ecuación y multiplicamos por 4. P I I Figura 6. Determine el campo magnético en un punto P localizado a una distancia x de la esquina de un largo alambre doblado en ángulo recto. solo contribuye la parte vertical. x cos θ = x → r 2 = x 2 sec 2 θ . r2 (1) De acuerdo con la regla del producto vectorial el campo en P entra perpendicular al plano de la figura 6.22b se tiene las siguientes ecuaciones: tan θ = y → dy = x sec 2 θ dθ .22a x I dl x θ P Bentra y I dl r ur Figura 6.22b Solución: Para la parte horizontal del alambre dl × u r = 0. 4πx 0 La dirección es entrando al plano de la pagina. Por el alambre que circula una corriente estable I. 2π r. . 8. r Reemplazando las anteriores relaciones en la ecuación anterior se tiene B= µ0 I 90 µI ∫ cos θ dθ = 4π0 x . r2 (2) Las variables θ y r dependen de y. por lo tanto la parte horizontal del alambre no contribuye al campo en el punto P. de la figura 6.B = ∫ dB = µ0 I 1 µ0 I 1 −7 ∫ dl = 2 r = 24. 2 4π r Nota: La integral de dl a lo largo del círculo es su circunferencia. aplicando la ley de Biot-Savart tenemos B= µ0 I 4π alambre ∫ dl × u r .22a.7 ×10 T .22b y la magnitud esta dado por B= µ0 I 4π alam ∫ dy cos θ . como se muestra en la figura 6. j I B k r P C D A i I rd θ dl ur P C D B Figura 6. r2 (1) De acuerdo con la regla del producto vectorial el campo en O entra perpendicular al plano de la pagina (figura 6. Para estos segmentos dl × u r es cero. 0 A. 0 A. r2 (2) Pero dl= rdθ . y el radio del arco circular es R = 5.21).24a O dθ R Figura 6.23a.0 cm. I I ur R O Figura 6. conduce una corriente I = 6. entonces B= µ0 I π µ0 I −5 ∫ dθ = 4 r = 3 ×10 T . de acuerdo con la ecuación (6. el campo magnético es cero.24b dl . punto O. 4π r 0 10. aplicando la ley de Biot y Savart tenemos B= µ0 I 4π ∫ l dl × u r .23b) y la magnitud esta dado por B= µ0 I 4π alam ∫ dl .9. Para el segmento semicircular dl × u r = dl k . Encuentre la magnitud y dirección del campo magnético en P cuando r = 2π cm. Encuentre la magnitud y dirección del campo magnético en el origen. El segmento de alambre de la figura conduce una corriente I = 5.23b Solución Para los segmentos rectos AB y y CD los elementos dl son paralelos al vector u r que unen el elemento de corriente y el punto P donde se desea calcular el campo.23a Figura 6. Un segmento de alambre de 4r de longitud total con una forma como se indica en la figura 6. Por lo tanto paran un punto (x. Estas figuras nos dicen que los campos únicamente se pueden cancelar en los cuadrantes II y IV. Solución: El problema consiste en averiguar en que puntos del espacio se cancelan mutuamente los campos magnéticos producidos por cada corriente. 6. Para el segmento semicircular dl × u r = dl k . R2 (2) pero dl = Rdθ . ⊗ x 4I ⊗ ⊗ ⊗ 4I y 4I Fig.y) Fig. 2πx Si la suma de estos campos la igualamos a cero. Dos alambres a y b rectos y largos que están sobre los ejes x y y. portan corrientes I y 4I. Las corrientes horizontal y vertical no contribuyen al campo magnético. 6.25b Fig. puesto que dl × u r es cero.25a . Averigüe en que puntos del espacio el campo magnético total es cero.7 µT Hacia dentro de la página 4π R 0 11.y) los campos creados por las corrientes de los alambres a y b (I y 4I) son: Ba = µ0 I k.(x. 6. encontramos B a + Bb = 0 → µ0 I 2π 1 4 1 − k = 0 → y = x y x) 4 . como se muestra en la figura.25c Las figuras 6.24b y la magnitud esta dado por B= µ0 I 4π alam ∫ dl . aplicando la ley de Biot-Savart tenemos: µI dl × u B= 0 (1) ∫ R2 r .25c muestran las direcciones de los campos creados por las corrientes I y 4I respectivamente. entonces B= µ0 I π / 2 µ0 I ∫ dθ = 8 R = 15 . 2πy Bb = − µ0 4I k.25b y 6. 4π alambre De acuerdo con la regla del producto vectorial el campo en O entra perpendicular al plano de la figura 6.Solución. Por lo tanto los campos creados por las dos corrientes se cancelan únicamente en todos los puntos de la recta y =1/4 x. .Esta es la ecuación de una línea recta.