Mecánica ICF – 161 – 214, Semestre I, 2010Universidad de La Frontera Facultad de Ingeniería, Ciencias y Administración Departamento de Ciencias Físicas Tema V. Trabajo y Energía. Fuerzas Conservativas y No Conservativas PROBLEMA RESUELTO El péndulo de la figura se libera desde la posición A, determine el ángulo Bedford – Fowler). α para que oscile hasta la posición B (Dinámica, L/2 L A α B m Para resolver este problema hacemos uso de la conservación de la energía mecánica en los puntos A y B. Para ello, consideramos que en la posición A la partícula está en reposo de la misma forma que en la posición B. De este modo, la energía potencial en las respectivas posiciones es la misma. Así: V A = mgL cos α = VB = mg L 2 ∴ cos α = 1 2 ⇒ α = 60º PROBLEMA RESUELTO r Sobre una partícula se aplica una fuerza dada por F = ( x − y )iˆ + ( x + y ) ˆj N . La fuerza actúa de tal forma que obliga a moverse a la partícula desde el origen hasta el punto (1, 1) de coordenadas a través de dos curvas dadas por y = x y 2 x = y 2 . Calcular el trabajo mecánico efectuado por la fuerza al mover la partícula por cada curva. y A(1, 1) x=y 2 y= x 2 O Walter Lebrecht y Francisco Peña x UNIDAD III: TRABAJO Y ENERGÍA Mecánica ICF – 161 – 214, Semestre I, 2010 r Dado que la fuerza es F = ( x − y )iˆ + ( x + y ) ˆj N , entonces por definición el trabajo mecánico es: ( )( ) r r w = ∫ F • dr = ∫ ( x − y )iˆ + ( x + y ) ˆj • dxiˆ + dyˆj = ∫ ( x − y )dx + ∫ ( x + y )dy De este modo si y = x 2 ⇒ dy = 2 xdx, ∴ 0 < x < 1 , reemplazando se tiene que: 1 1 1 0 0 0 w = ∫ xdx + ∫ x 2 dx + 2 ∫ x 3 dx = Alternativamente si x = y 2 4 J 3 ⇒ dx = 2 ydy, ∴ 0 < y < 1 y en este caso 1 1 1 w = 2 ∫ y dy − ∫ y dy + ∫ ydy = 3 2 0 0 0 2 J 3 Se puede decir además, que como los trabajos no son iguales, entonces la fuerza no es conservativa. PROBLEMAS SEMI RESUELTOS 1.- Una pequeña masa m se encuentra en la posición A de equilibrio inestable en el cilindro mostrado en la figura. Calcular el ángulo α en que la masa abandona el cilindro (Dinámica, Bedford – Fowler). A R B α ¿COMO HACERLO? Este problema es interesante, dado que se resuelve usando dos definiciones básicas de la dinámica. Por un lado se usa la conservación de la energía entre los puntos A y B. Sin embargo, como se desconoce la velocidad en el punto B, debemos realizar un diagrama de fuerza en ese punto considerando que el movimiento del bloque allí es curvilíneo. Así: 1 E A = mgR = E B = mgRsenα + mv B2 2 1 ∴ gR = gRsenα + v B2 2 El diagrama de fuerzas en el punto B es el siguiente: N A B R Walter Lebrecht y Francisco Peña α mg UNIDAD III: TRABAJO Y ENERGÍA Mecánica ICF – 161 – 214, Semestre I, 2010 De este modo, la suma de fuerzas es mgsenα − N = mv B2 . Como el bloque debe despegarse del cilindro, entonces cada R vez la normal se hace más pequeña hasta desaparecer, en este caso y de acuerdo con la ecuación anterior, la velocidad del bloque en el punto B es v B = Rgsenα . Reemplazando entonces en la ecuación de conservación de la energía, se tiene 2 α = sen −1 (2 3) 2.- Dado los siguientes campos de fuerzas, verificar si son o no conservativos. Si lo son obtener el potencial asociado. r 3 2 2 a) F = ( 2 xy + z )iˆ + x ˆj + 3 xz kˆ N r 2 2 2 2 b) F = xy ziˆ + x yzˆj + (1 2) x y kˆ N ¿COMO HACERLO? r r Para verificar si un campo de fuerzas es conservativo se debe cumplir que el rotor de la fuerza es nulo, es decir ∇ × F = 0 . r 3 2 2 Así para el caso en que la fuerza es F = ( 2 xy + z )iˆ + x ˆj + 3 xz kˆ N , se tiene: r ∇× F = iˆ ∂ ∂x ˆj kˆ x2 3 xz 2 r ∂ ∂y ∂ ∂z = iˆ(0 − 0) + ˆj (3z 2 − 3z 2 ) + kˆ(2 x − 2 x) = 0 2 xy + z 3 Por lo tanto el campo de fuerzas es conservativo. Eso significa que existe un potencial escalar que proviene del campo, el cual se puede calcular como: ∂φ = Fx ⇒ φ ( x, y, z ) = x 2 y + z 3 x + c1 ( y ) + c2 ( z ) ∂x ∂φ = Fy ⇒ φ ( x , y , z ) = x 2 y + c 3 ( x ) + c 4 ( z ) ∂y ∂φ = Fz ⇒ φ ( x, y, z ) = xz 3 + c5 ( x) + c6 ( y ) ∂z φ ( x, y, z ) = x 2 y + xz 3 , siendo el resto de las constantes nulas y el trabajo mecánico se calcula como r r r w = ∆φ ( x, y, z ) . Para la fuerza F = xy 2 ziˆ + x 2 yzˆj + (1 2) x 2 y 2 kˆ N , se tiene que ∇ × F = 0 , por lo tanto ella es De esta forma conservativa y cuyo potencial escalar es 1 2 φ ( x, y , z ) = x 2 y 2 z . (el desarrollo específico queda pare el estudiante siguiendo la metodología de la parte a) r 3.- Obtener el trabajo que efectúa el campo de fuerzas F = 3 xyiˆ − 5 zˆj + 10 xkˆ N , sobre una partícula que se mueve sobre la curva x(t ) = t + 1, y (t ) = 2t , z (t ) = t , entre los instantes de tiempo 2 2 3 t =1 y t = 2 s . ¿COMO HACERLO? Walter Lebrecht y Francisco Peña UNIDAD III: TRABAJO Y ENERGÍA El campo de fuerzas Mecánica ICF – 161 – 214, Semestre I, 2010 r F = 3 xyiˆ − 5 zˆj + 10 xkˆ N , y las ecuaciones paramétricas dadas por es x(t ) = t + 1, y (t ) = 2t , z (t ) = t 3 , entre los instantes de tiempo t = 1 y t = 2 s , así: 2 2 ( )( ) r r w = ∫ F • dr = ∫ Fx iˆ + Fy ˆj + Fz kˆ • dxiˆ + dyˆj + dzkˆ = ∫ Fx dx + ∫ Fy dy + ∫ Fz dz Reemplazando las coordenadas por Fx dx = 12t 3 (t 2 + 1)dt Fy dy = −20t 4 dt Fz dz = 30t 2 (t 2 + 1)dt , se tiene que w = 303 J . INTENTA HACER LO MISMO CON ESTOS PROBLEMAS m = 15 kg se está moviendo a una velocidad de v = 15 m / s a lo largo de una superficie horizontal sin rozamiento, que a continuación se inclina en 45º . Un resorte de constante k = 1 N / m está presente a lo largo del plano 4.- Una masa de inclinado. ¿Hasta qué altura subirá el bloque? Si se considera roce en la superficie inclinada, tal que el coeficiente de roce dinámico es µ = 0.15 calcular nuevamente la altura. (Dinámica, Irving, con modificaciones sugeridas por WL). 6m m v=15 m/s 45º Respuesta: 10.64 m 5.- Un pequeño cilindro de masa m puede deslizar sin rozamiento sobre una barra vertical. El cilindro está unido a un resorte de longitud l 0 sin deformar y de constante elástica k . Si el cilindro se suelta desde el reposo en A y recorre una distancia d hasta B a lo largo de la barra, determinar la velocidad en ese punto (Dinámica, Beer – Johnston Jr.). k m A d B Respuesta: v = r 2 gd − [ ] 2 m ´ d 2 + l 20 − l k 6.- Si F = ( 2 x + y )iˆ + (3 y − 4 x) ˆj N . Hallar el trabajo efectuado por el campo de fuerzas sobre una partícula en el sentido que indican las flechas en la figura. 2 Walter Lebrecht y Francisco Peña UNIDAD III: TRABAJO Y ENERGÍA Mecánica ICF – 161 – 214, Semestre I, 2010 y C(2, 1) x A(0, 0) Respuestas: w AB = 4 J , wBC = − B(2, 0) 13 13 J , wCA = − J 2 6 7.- Tres partículas de masas 2, 3 y 5 kg se mueven bajo la influencia de un campo de fuerzas tal que sus posiciones respecto de un sistema de referencia fijo son: r r1 = 2tiˆ − 3 ˆj + t 2 kˆ r r2 = (t + 1)iˆ + 3tˆj − 4kˆ Encontrar el trabajo mecánico total de las partículas entre los instantes r r3 = t 2 iˆ − tˆj + (2t − 1)kˆ t = 1 s y t = 2 s (Propuesto por WL). Respuesta: w = 42 J r 8.- La energía potencial asociada a una fuerza F que actúa sobre un cuerpo es V ( x, y ) = 2 x − y Nm . Determine: 2 a) La fuerza b) El trabajo mecánico si el cuerpo se mueve de 1 a 2 a lo largo de los caminos A y B en la gráfica. (Dinámica, Bedford – Fowler). y 2 (1,1) m x 1 Respuesta: .- a) 4 xiˆ − ˆj N b) 1 J 9.- Determinar cuales de los siguientes campos de fuerza son o no conservativos (Dinámica, Irwing). 15 2 ˆ y k N 2 r 2 ˆ ˆ b) F ( x, y, z ) = ( zsenx + y )i + ( 4 yz + x) j + 2 y − 5 cos x kˆ N r a) F ( x, y, z ) = (10 z + y )iˆ + (15 yz + x ) ˆj + 10 x + ( ) Respuesta: a) Conservativa b) No conservativa. Walter Lebrecht y Francisco Peña UNIDAD III: TRABAJO Y ENERGÍA Mecánica ICF – 161 – 214, Semestre I, 2010 10.- Dado el siguiente campo de fuerzas conservativo r 15 2 ˆ F ( x, y, z ) = (10 z + y )iˆ + (15 yz + x) ˆj + 10 x + y k N . 2 Hallar el potencial asociado y obtener el trabajo que realiza este campo sobre una partícula que se traslada desde las r r posiciones r1 = 10iˆ + 2 ˆj + 3kˆ m hasta r2 = −2iˆ + 4 ˆj + 3kˆ m (Dinámica, Irwing). Respuesta: U ( x, y ) = −(10 xz + 15 2 y z + xy ) , − 118 J 2 r 11.- Dado el siguiente campo de fuerzas F ( x, y ) = ( y − x )iˆ + (3 xy ) ˆj N . Determine el trabajo para llevar una 2 partícula desde la posición 1 a la 2 por las trayectorias WL). Respuesta: 2 y ( x) = x e y ( x) = x 2 . ¿El campo es conservativo? (Apuntes 1 J , (2 3) J , No conservativo SOLO PARA VALIENTES 12.- Una partícula de masa m resbala sin velocidad inicial partiendo de la posición en A y baja por una guía perfectamente lisa hasta llegar a B de la guía circular. Determinar la altura h y el ángulo α que corresponde al momento que la partícula abandona la pista (Apuntes curso Mecánica, Abarzúa et al). A B C h R Respuesta: h = (2 ) 3 +3 R 2 3 13.- Determinar si el siguiente campo de fuerzas es o no conservativo (Dinámica, Bedford – Fowler). r F (r ,θ ) = (2rsenθ − cosθ )rˆ + (r cosθ − senθ )θˆ N Respuesta: No conservativa Walter Lebrecht y Francisco Peña UNIDAD III: TRABAJO Y ENERGÍA