ElectromagnetismoGrado de Ingenier´ıa electr´onica Relaci´on de problemas 2014-2015 1. 1.1. Ley de Coulomb y campo el´ ectrico Formulario Constante de permitividad del vacio: ε0 = 8,8542 · 10−12 [C2 /(N · m2 )]. Carga del electr´ on: e = 1,602 · 10−19 [C] Masa del prot´ on: 1,673 · 10−27 [kg] Masa del electr´ on: 9,109 · 10−31 [kg] Ley de Coulomb para la fuerza electroest´atica ejercida por una carga puntual q1 sobre otra carga q2 . q1 q2 ˆ F=k 2 R (1) R donde k = 1/(4πε0 ) ' 9 · 109 [N · m2 /C2 ]. R = r − r0 donde r indica la posici´on de q2 y r0 indica la posici´ on de q1 ; R = ||R|| = ||r − r0 ||. Campo el´ ectrico. Campo el´ectrico en un punto r debido a una carga puntual con carga q, E(r) = k q ˆ R R2 on cont´ınua de carga fuente Q, Para una distribuci´ Z dq ˆ E(r) = k R 2 R Q (2) (3) donde dq es un elemento diferencial de la distribuci´on de carga. En S.I. la unidad es V/m o equivalentemente N/C. Una part´ıcula de masa m y carga q en un campo el´ectrico E(r) tiene una aceleraci´on dada por: qE(r) a(r) = (4) m 1.2. Problemas 1. [Serrano, 1.4] Dos protones en una mol´ecula de hidr´ogeno est´an separados por una distancia de 0,74 × 10−10 [m]. Calcule la fuerza el´ectrica que ejerce un prot´on sobre el otro. 2. [Serrano, 1.6] Con respecto a la figura 1, calcule la fuerza electrost´atica sobre la carga q2 de −2 [µC] que produce la carga q1 de 4 [µC]. 1 Figura 1: Configuraci´on de las cargas. 3. [Serrano, 1.8] Una carga Q se divide en dos partes: q y Q − q. ¿Cu´al es el valor de q para que las dos partes colocadas a una distancia de separaci´on r, tengan la m´axima repulsi´on el´ectrica? 4. [Serrano, 1.16] Cuatro cargas puntuales id´enticas, de valor arbitrario, se localizan en las esquinas de una placa r´ıgida cuadrada. Demuestre que el momento de una fuerza alrededor del centro de la placa es cero. 5. [Serrano, 1.17] Tres cargas puntuales est´an alineadas sobre el eje x. La carga q1 = −6 [µC] est´a en x = 2,5 m, q2 = −4 [µC] est´ a en x = −2, 6 m. ¿D´onde debe colocarse la tercera carga q para que la fuerza neta sobre ´esta sea cero? 6. [Serrano, 1.26] ¿Cu´ al es la magnitud y la direcci´on del campo el´ectrico que compensa el peso de: a) un electr´on? b) un prot´on? 7. [Serrano, 1.28] Una esfera con carga el´ectrica, sostenida por un hilo, se encuentra en un campo el´ectrico vertical. Cuando el campo se dirige hacia arriba, la tensi´on en el hilo es de 0,027 [N]. Cuando el campo se dirige hacia abajo la tendsi´on es cero. Encuentre la masa de la esfera. 8. [Serrano, 1.50] Una barra cargada uniformemente de 30 cm se dobla para formar un semic´ırculo como se indica en la figura 2. Si la barra tiene una carga de −10,5 [µC], determine la magnitud y direcci´ on del campo el´ectrico en O, el centro del semic´ırculo. Figura 2: Geometr´ıa del problema. 9. [Serrano, 1.52] Un electr´ on, una part´ıcula alfa y un prot´on est´an en reposo dentro de un cam2 po el´ectrico externo de 460 [N/C]. Calcule la rapidez de cada part´ıcula despues de 48 nanosegundos (considere que las tres part´ıculas fueron colocadas en el campo el´ectrico en diferentes tiempos para no considerar la fuerza electromagn´etica entre ellas). 10. [Serrano, 1.58] Una part´ıcula tiene carga positiva q, masa m y una velocidad inicial v0 , la velocidad inicial forma un ´ angulo θ sobre la horizontal. La part´ıcula entra a un campo el´ectrico uniforme E dirigido verticalmente hacia abajo, como se muestra en la figura. Despreciando la gravedad, determine: a) El tiempo que le toma a la part´ıcula regresar a la misma altura del punto donde entr´o al campo el´ectrico. b) la altura m´ axima alcanzada por la part´ıcula. c) su desplazamiento horizontal cuando alcanza su altura m´axima. d) el alcance horizontal de la part´ıcula al regresar al a msima altura del punto donde encontr´ o al campo el´ectrico. 1.3. Problemas de examen 11. [Septiembre 2014] Una carga Q est´a distribuida uniformemente a lo largo del eje-x desde x = 0 hasta x = a. Una carga puntal positiva q est´a localizada en la parte positiva del eje-x en x = a + r (Fig. 3). a) Demuestre que el m´ odulo del campo el´ectrico generado por la distribuci´on de carga Q en un punto x, que no est´ a dentro de la distribuci´on Q, y situado en el eje-x viene dado por: E(x) = 1 Q 4π0 x(x − a) ∀x ∈ / [0, a] (5) b) Supongamos que la distribuci´ on de carga est´a en el intervalo x ∈ [a/2, a/2]. ¿Cual es el m´ odulo del campo el´ectrico a una distancia r = a en uno y otro caso?. c) Demuestre que si r >> a, la fuerza el´ectrica que ejerce Q sobre q es igual a la que ejercer´ıa una carga puntual de valor Q situada en el origen. Figura 3: Descripci´on geom´etrica del problema. 3 ˆ • Elemento infinitesimal de l´ınea: dl = drˆr + rdθθˆ + r sin θdϕϕ. Z ˆ dS φ= E·n (6) S ˆ es el vector perpendicular a la superficie.2. Ley de Gauss Formulario Flujo el´ ectrico que atraviesa una superficie S.1. 2. donde n Ley de Gauss. 4 (7) . Se mide en V · m. I qin ˆ dS = E·n φ= ε0 S donde qin es la carga el´ectrica encerrada por la superficie. Para una superficie cerrada S. • Elemento infinitesimal de superficie de radio constante: dS = r2 sin θdθdϕˆr • Elemento infinitesimal de volumen: dV = r2 sin θdrdθdϕ Coordenadas cil´ındricas. ˆ + dz z. Coordenadas esf´ ericas. ˆ • Elemento infinitesimal de l´ınea: dl = dρρˆ + ρdϕϕ • Elemento infinitesimal de superficie de radio constante: dS = ρdϕdz ρˆ • Elemento infinitesimal de volumen: dV = ρdρdϕdz (a) Coordenadas esf´ericas (b) Coordenadas cil´ındricas. 72 [µC] uniformemente distribuida en su superficie. Calcule la intensidad del campo el´ectrico a una distancia r del eje donde r < d/2. [Serrano.2.2] Un campo el´ectrico uniforme dado por a ˆi + b ˆj + c k 2 superfice plana de ´ area A [m ]. de diametro d. Problemas 1. 2. 2. 8. [Serrano.1] Una superficie plana de ´area de 1. ˆ N/C intersecta una 2. Determine la carga total que podr´ıa estar almacenada en la Tierra en dicha situaci´on.14] a) Dos cargas de 24 [µC] y −7 [µC] est´an dentro de un cascar´on esf´erico de radio 25 cm.40] Un cilindro s´ olido recto muy largo de di´ametro d. [Serrano. [Serrano. [Serrano. ¿Cu´ al es el flujo el´ectrico total a trav´es del cascar´on?. Suponga que el campo el´ectrico tiene esta magnitud en toda la superficie de la Tierra. [Serrano.12] En un d´ıa claro. donde a es una constante y suponemos que el origen de nuestro sistema de coordenadas est´ a en el centro de la distribuci´on. b) Repita el apartado anterior si las mismas cargas est´an dentro de un cubo de lado 25 cm. ¿Cu´ al es el flujo a trav´es del ´area si la superficie se encuentra: a) en el plano yz b) en el plano xz c) en el plano xy? 3. 5. Encuentre la intensidad del campo el´ectrico como una funci´ on de r.2. Calcule la intensidad del campo el´ectrico a las siguietnes distancias desde el centro del globo: a) 5 cm b) 15. se rota en un campo el´ectrico uniforme de mangitud E = 8.9 × 105 N/C.26] Un globo inflado en la forma de una esfera de radio 15 cm tiene una carga total de 3. el campo el´ectrico cerca de la superficie de la Tierra es aproximadamente 120 N/C apuntando radialmente hacia adentro.25 m2 . Calcule el flujo el´ectrico a trav´es de la superficie cuando el campo el´ectrico est´ a: a) perpendicular a la superficie b) paralelo a la superficie c) haciendo un ´ angulo de 35o con el plano de superficie. [Serrano.28] Una esfera s´ olida de aislante de di´ametro 30 cm tiene una densidad de carga uniforme de 18. 2. [Serrano. tiene una densidad de carga dada por ρ(r) = a/r. 2. 2. tiene una densidad de carga uniforme ρ0 . 2. 5 .1 cm c) 30 cm 6. Calcule el flujo el´ectrico a trav´es de una superficie esf´erica conc´entrica de radio: a) r = 5 cm b) r = 30 cm c) r = 50 cm 7. 2. 2.32] Una distribuci´ on de carga esf´ericamente sim´etrica.2×10−3 C/m3 . 4. 2. b) Suponga que ambas esferas est´ an muy alejadas en el espacio. [Serrano..3. Y a continuaci´on movemos muy lentamente la esfera B hasta una posici´on rB no muy alejada del origen. a) Calcule la carga total qA y qB contenida en cada una de las esferas. Encuentre una expresi´on para el campo el´ectrico EA (r) generado por la esfera A. con conductividad nula. donde rB indica la posici´on del centro de la esfera B. 2. Suponga que un prot´ on (e << qA ) se libera desde la superficie de la esfera A. Una vez se llega al equilibrio electroest´atico. est´a rodeado por un tubo cil´ındrico conductor con una carga neta por unidad de longitud de 2λ y de grosor despreciable. c) Repita el apartado anterior para encontrar el campo el´ectrico EB (r) generado por la esfera B. Encuentre una expresi´on para su velocidad transcurrido un tiempo muy largo. 13. a) ¿Cu´al es el campo el´ectrico a uan distancai de 2 cm de la placa? b) ¿Var´ıa el resultado si se modifica la distancia a la placa? 10.53] Un alambre recto y muy largo que presenta una carga por unidad de longitud λ.. con carga Q. utilice la ley de Gauss para determinar: a) la carga por unidad de longitud en las superficies interna y externa del cilindro hueco b) la intensidad del campo el´ectrico fuera del cilindro hueco a una distancia d del eje. Determine: a) la densidad de carga inducida en cada cara de la placa b) la carga total inducida en cada cara 11. (Consejo: Encuentre una expresi´ on para calcular la energ´ıa potencial del prot´on cuando se encuentra en la superficie de la esfera A aplicando el principio de superposici´ on). [Serrano.[Final 2014] Una esfera maciza de radio a con densidad de carga uniforme ρ0 en todo su volumen se introduce en el interior de una esfera met´alica hueca de radio interno b (b ≥ a) y externo c. b) El campo el´ectrico en todas las regiones del espacio.Suponga dos esferas.67 [µC/cm2 ]. Con esta informaci´on.42] Una placa cuadrada aislante de dimensiones grandes y grosor despreciable tiene una densidad de carga uniforme de σ = 28. pero cargadas el´ectricamente. La esfera B. de radio b tiene una distribuci´ on de carga radial ρB (r) = ρ0 ||r − rB || > 0. d) Suponga que escogemos un sistema de referencia con origen en el centro de la esfera A.9. 6 . [Serrano.46] Una placa circular de radio 80 cm descargada se coloca en un campo el´ectrico intenso de 27 × 104 N/C. calcular: a) Las densidades de carga en las superficies de la esfera conductora. Problemas de examen 12. La direcci´ on de la intensidad del campo el´ectrico es perpendicular a la placa. 2. 2. Una de ellas (esfera A) tiene un radio a con una distribucion de carga homogenea ρA (r) = ρ0 > 0. 7 .ρ0 a c b Figura 5: Esfera maciza de densidad de carga constante ρ0 y esfera hueca met´alica. 0. Calcule la energ´ıa potencial el´ectrica del ´atomo de 8 . 4. el campo el´ectrico est´a dado por E = 5000 ˆi−300 ˆj [N/C]. 3. Unidad de energ´ıa: 1 eV = 1.1. [Serrano.12] En una cierta regi´ on. Una carga q0 que se mueve de una posici´on rA a una posici´on rB en presencia de un campo el´ectrico E(r) experimenta una diferencia en su energ´ıa potencial ∆U dada por Z rB ∆U = −q0 E · dl (8) rA ∆U es una variaci´ on de energ´ıa y por tanto se mide en J. 3.60 · 10−19 J. separadas por una distancia de 3. Diferencia de potencial. [Serrano. [Serrano. hasta obtener una diferencia de potencial de 30 V. Problemas 1. Potencial el´ ectrico Formulario Diferencia de energ´ıa potencial. 3.36] El modelo de Bohr del ´atomo de hidr´ogeno establece que el electr´on s´ olo puede estar en ciertas ´ orbitas.2.6] Considere un prot´ on con una energ´ıa cin´etica de 80. Z rB ∆U =− E · dl ∆V = q0 rA (9) Potencial el´ ectrico.0 mm se cargan con la misma magnitud de carga pero de signo contrario. Si el deuter´ on alcanza una velocidad de 1. 2.. Encuentre la diferencia de potencial VB − VA si rA = (0.3. 5) m..2×10−19 J. el potencial generado por una carga puntual de carga q es q (10) V (r) = k r Para una distribuci´ on de carga Q Z dq V (r) = k (11) Q R Donde R es la distancia entre r y el elemento de carga dq situado en r0 . 3. El radio de cada una de las ´orbitas de Bohr esta dado por la expresi´on r = n2 (0.0529 [mm]).14] Dos grandes placas met´alicas paralelas. ¿Qu´e diferencia de potencial se necesita para detener el prot´on?.. 3. Electronvoltio.4] Un deuter´ on es acelerado entre dos puntos donde hay una diferencia de potencial. 0) y rB = (0. ¿cu´al es la diferencia de potencial? 2. [Serrano. 3. ¿Cu´ al es la intensidad del campo el´ectrico entre las placas? 5. 3. Si tomamos rA = ∞. 3. 0. donde n = 1. El potencial y la diferencia de potencial se miden en V. 3. La diferencia de potencial el´ectrico ∆V se define como. [Serrano.5 × 106 m/s desde el reposo. [Serrano. Exprese su respuesta en electron-volts. Encuentre: a) la intensidad del campo el´ectrico b) las componentes del campo el´ectrico en el punto rb = (1. [Serrano. [Serrano.58] Suponga dos esferas conductoras. 3. 3. b) la magnitud de la carga transferida. 2) [m]. +∞] con V (r = ∞) = 0. 6. r = ∞. calcular: a) la carga y el potencial final en la superficie de cada esfera.54] La expresi´ on del potencial el´ectrico dentro de una esfera aislante uniformemente cargada de radio a est´ a dada por kQ r2 V (r) = 3− 2 2a a y afuera por kQ r Utilice Er = −dV /dr para deducir la intensidad del campo en: a) dentro (r < a) b) fuera (r > a) de esta distribuci´ on de carga. 3. n = 1 b) en la segunda ´ orbita. V (r) = 9. n = 2 c) cuando el electr´ on ha escapado del a´tomo. y est´an separadas por una gran distancia. ¿Cu´ al es la diferencia de potencial entre el punto en el centro del anillo y un punto sobre el eje del anillo a una distancia de 3a de su centro? 7. b) viene dado por la expresi´on E(r) = Vab 1 ˆr a−1 − b−1 r2 9 (13) . Una esfera met´ alica de radio a est´ a situada en el centro de una carcasa esf´erica met´alica hueca de radio b. b) Muestre que la diferencia de potencial Vab entre las dos esferas es q 1 1 Vab = − (12) 4πε0 a b c) Demuestre que el campo el´ectrico en el intervalo r ∈ (a.2 × 10−8 C. Cada esfera tiene una carga de 6.42] Considere un anillo de radio a con carga total Q distribuida uniformemente sobre su per´ımetro.hidr´ogeno cuando el electr´ on est´ a en: a) la primera ´ orbita. La esfera met´ alica interna tiene carga +q y la externa tiene carga −q. a) Calcule el potencial V (r) en todo el intervalo r ∈ [0. 3. de radio 5 cm y 66 cm respectivamente. Si las esferas se conectan con un alambre conductor. 3. [Serrano.48] El potencial el´ectrico en cierta regi´on del espacio est´a dado por V (r) = 80x2 + 60y 2 − 70z 2 voltios. 8. 6 · 10−27 kg. 10 (15) . 2012] Suponga dos esferas conductoras. ra es el radio del cable. un cable fino yace en el eje axial de un cilindro met´ alico hueco aislado de el y se establece una diferencia de potencial elevada entre el cable y el cilindro exterior. [Parcial. de radio 5 cm y 66 cm respectivamente. mp = 1. Demuestre que el potencial en un punto a distancia r del eje viene dado por la expresi´on: V (r) = λ ra ln 2π0 r (14) donde λ es la carga por unidad de longitud del cable.6 · 10−19 C. Figura 6: Contador Geiger. a) Calcular el potencial en la superficie de cada esfera. e) Suponga que un prot´ on se libera de la superficie de la esfera de radio menor despu´es de ser conectadas. Si las esferas se conectan con un alambre conductor de dimensiones despreciables. d) La magnitud. Repita los c´alculos suponiendo que se libera de la esfera de radio mayor. a) Indique como deberemos colocar la polaridad de la bateria del contador para que los electrones liberados se dirijan hacia el cable delgado. Cuando la radiaci´on entra en la cavidad. ionizando m´as mol´eculas y produciendose un pulso de corriente en el cable que mediante la circuiteria apropiada genera un caracter´ıstico click. [Septiembre.3. y est´an separadas por una gran distancia. Los electrones son acelerados hacia el cable por la diferencia de potencial. Cada esfera tiene una carga de 6200 µC. se ionizan las mol´eculas de aire en su interior liberandose electrones. calcular: b) La carga y el potencial final en la superficie de cada esfera. 11. En un Geiger. c) Demuestre que el campo el´ectrico entre el cable y el cilindro es: ~ E(r) = Vab rˆ ln(rb /ra ) r donde rb es el radio del cilindro. b) Suponiendo que el cable y el cilindro son muy largos en comparaci´on con sus radios. direcci´ on y sentido del campo el´ectrico en la superficie de las dos esferas antes y despu´es de ser conectadas (considerar en este u ´ltimo caso que el alambre conductor no influye significativamente sobre la simetr´ıa del problema). 2013] Un contador Geiger (figura 6) detecta radiaci´on de part´ıculas alfa aprovechandose de que la radiaci´ on ioniza el aire que atraviesa.3. qp = 1. Problemas de examen 10. ¿Cual ser´ a su velocidad despu´es de un tiempo muy largo?. c) La magnitud de la carga transferida. 11 .10] Un capacitor cil´ındrico tiene conductores interno y externo cuyos radios tienen una raz´on de b/a = 5/3. Capacidad entre dos placas planas paralelas en vacio. El conductor interno se reemplaza por un alambre cuyo radio es la mitad del radio del conductor original. U= 1 q2 1 1 = CV 2 = qV 2C 2 2 (19) la energia potencial se mide en Julios [J]. 4. ε0 S C= (17) d en el caso de que hubiera un material diel´ectrico de permitividad ε = εr ε0 la capacitancia se obtiene mediante εr ε0 (18) C= d Energ´ıa potencial almacenada en una capacidad. La capacitancia C entre dos conductores es el cociente entre el valor absoluto de la carga |q| y la diferencia de potencial V entre ellos.4. energ´ıa el´ ectrica y propiedades de los aislantes 4. n X 1 1 1 1 1 = + + . Con una superficie S y separadas por una distancia d.4] Los conductores de un capacitor de 83 µF tienen una carga en cada conductor de 70 µC (las cargas son de signos contrarios). [Serrano..1. [Serrano. + Cn = n X Ci (20) i=1 Capacidades en serie. ¿Cu´al es la diferencia de potencial entre los conductores? 2.2. [Serrano. C= q V (16) Se mide en Faradios [F] ´ o en [C/V]. Formulario Capacitancia. 4. + = Ceq C1 C2 Cn Ci (21) i=1 4. Capacidades en paralelo. Problemas 1. . . ¿Por qu´e factor deber´ıa incrementar la longitud del capacitor para que tuviera la capacitancia del capacitor original? 3.. 4. Ceq = C1 + C2 + . Capacidad.20] La figura 7 muestra la conexi´on de varios capacitores entre las terminales a y b. [Serrano. Evalue la expresi´ on para d = 0.Figura 7: Asociaci´on de capacidades a) Reduzca este conjunto a un solo capacitor equivalente.64] A un capacitor con placas paralelas.9 y s = 0. Para ello se plantea hacerlo mediante 12 . b) el voltaje m´ aximo. El suelo del contenedor est´ a fabricado de un material pl´astico aislante. [Serrano. de separaci´on d y capacitancia C0 . 4. [Serrano. C0 = 16 pF. ¿Cu´antos valores diferentes de capacitancia efectiva se puede obtener utilizando todas las combinaciones posibles de uno a tres capacitores separados? Determine la capacitancia en t´erminos de la capacitancia C de un capacitor muestra para cada combinaci´on.3. Encuentre la expresi´on para la nueva capacitancia.50] Demuestre que las placas paralelas de un capacitor se atraen con una fuerza dada por la expresi´ on. 4. de altura h y radio b.54] Un capacitor con placas paralelas cuya ´area es de 200 cm2 tiene un relleno de caucho (neopreno) que tiene 12 mm de espesor. b) Calcule la carga y la diferencia de potencial en cada uno de los capacitores cuando los capacitores est´an totalmente cargados por una bateria de 13 V conectada en los terminales. Calcule: a) la capacitancia. 5. 4. Q2 F = 2Aε0 (Sugerencia: calcular el trabajo para aumentar la separaci´on de las placas. se le introduce una placa diel´ectrica de espesor s.24] Un estudiante de ingenier´ıa electr´onica consigue un descuento al comprar un gran n´ umero de capacitores del mismo valor. [Serrano. 4. Problemas de examen 8. 4.[Parcial 2014] Suponga que necesita medir el combustible restante en un dep´osito contenedor cil´ındrico met´ alico (Figura 8). de x hasta x + dx. situado en posici´on vertical. (Emax = 12 × 106 V/m) 7. 6. 4.5 mm.2 mm.) Entonces el trabajo realizado en separar las placas cargadas es W = F dx. κ = 6. b despreciando por tanto los efectos del suelo y la tapa. (Sugerencia: suponga que el deposito se puede descomponer en dos capacitores conectados en paralelo). Si consideramos que si en alg´ un punto de la estructura se supera este campo de ruptura podemos estar poniendo en riesgo la seguridad del dep´osito. encuentre una expresi´on para el voltaje m´ aximo que se puede aplicar entre los dos cilindros. Figura 8: Dep´osito. Obtenga una expresi´on para la capacitancia en funci´on de la altura de combustible. tiene un potencial dado por la expresi´on: a q V (r) = log (22) 2π0 h r b) Demuestre que cuando el dep´ osito est´a vac´ıo su capacitancia viene dada por la siguiente expresi´on: 2πε0 h C= (23) log(b/a) c) Suponga que el combustible tiene una permitividad el´ectrica relativa εr = 35. con carga q en el cilindro interior y −q en el exterior. 13 . d) Suponga que el campo de ruptura del aire es E max. a) Demuestre que cuando el dep´ osito est´a vac´ıo. En este ejercicio supondremos siempre que h >> a. aire = 1 [M V /m] y que el del combustible es Emax.una medida de la capacitancia entre la estructura del contenedor y un cilindro de altura h y radio a < b que se situar´ıa en el centro del contenedor. combustible = 20 [M V /m]. 1. Para un conductor de resistividad y secci´ on transversal constantes y longitud l R=ρ l A (28) la resistencia se mide en Ohmios [Ω]. Relaci´ on entre el voltaje y la resistencia entre los extremos de un conductor.5. Es la oposici´on de un material al paso de corriente. La intensidad se mide en Amperes [A] = [C/s] donde n Densidad de corriente el´ ectrica. P = I 2R = La potencia se mide en Watts [W] = [J/s]. ˆA I = nqvd · n (25) ˆ es un vector normal a esa superficie. P =VI (30) Para un resistor (o asociaci´ on de resitores) con resistencia equivalente R. I es la cantidad de carga el´ectrica q que atraviesa un conductor por unidad de tiempo t. 5. dq I= (24) dt Una densidad de portadores n. 14 V2 R (31) . con carga q. Intensidad de corriente por unidad de ´area: J = nqvd (26) El m´odulo de J cumple J = I/A. I= V R (29) Potencia el´ ectrica. moviendose a una velocidad vd que atraviesan un superficie con area A dan lugar a una corriente dada por. Resistencia el´ ectrica. Ley de Ohm. Corriente y resistencia el´ ectricas Formulario Intensidad de corriente el´ ectrica. La resistividad de un material se mide en Ohmios-metro [Ω · m]. La densidad de corriente producida por un campo el´ectrico E viene dada por J = σE (27) siendo σ la conductividad del material y cuya inversa es la resistividad ρ. [Serrano. [Serrano. a) Calcule el valor del resistor que se conecta en paralelo con el galvan´ometro (resistencia de derivaci´on) que permite medir una intensidad de corriente m´axima de 1A .14] Por un alambre de radio uniforme de 0.5 A. [Serrano. [Serrano. 7. 6.22] Determine la resistencia equivalente entre las terminales a y b para el circuito de la figura 9. Problemas 1.8] Por un alambre de cobre de 2. ¿Cu´al es la resistividad del material?. Suponga que la concentraci´on de electrones libres es 8 × 1028 m−3 3. Calcule la velocidad de deriva vd . 4.6] Suponga que la corriente que circula a trav´es de un conductor decrece exponencialmente con el tiempo de acuerdo con: I(t) = I0 e−t/τ donde I0 es la intensidad de corriente inicial (en t = 0) y τ es una constante que tiene dimensioneps de tiempo.30] Un alambre tiene una forma de cono cicrcula truncado. 6. Si la abertura es peque˜ na. 5.54 mm de di´ametro circula una corriente de 0.5. [Serrano. [Serrano. 5.57] Un galvan´ ometro cuya resistencia interna es de 100Ω puede medir una intensidad de corriente m´ axima de 15 µA a plena escala (deflexi´on de escala completa). considerando que todos tienen una resistencia R.26 cm fluye una corriente de 10 A producida por un campo el´ectrico de magnitud 110 V/m. Considere que se realiza una observaci´on en un punto interno del mismo conductor. 5. a) ¿Cu´anta carga pasa por ese punto entre t = 0 y t = τ ? b) ¿Cu´anta carga pasa entre t = 0 y t = 10τ ? c) ¿Cu´anta carga pasa entre t = 0 y t = ∞? 2. Figura 9: Esquema circuital 6.20] Calcule la resistencia equivalente del circuito de resistores ideales de la figura 9.2. [Serrano. encontrar una expresi´on de la resistencia entre los extremos del alambre. 5. Los radios de los extremos son r1 y r2 y altura L. 6. b) ¿Cu´al es la resistencia equivalente del amper´ımetro? 15 . 5. Figura 11: Circuito. 16 . Problemas de examen 9.[Parcial 2014] Para el circuito de la figura (11) deduzca: a) La potencia suministrada por la bateria de 10 [V ]. 6.3. a) Calcule el valor del resistor que permite al medidor de voltaje tener una lectura de 15 V a plena escala. b) ¿Cu´al es la resistencia equivalente del volt´ımetro? 5. b) La corriente que circula por el resistor de 30 [Ω].Figura 10: Esquema circuital 8.. [Serrano.58] Utilizando el mismo galvan´ometro del problema anterior. q(t) = Q(1 − e−t/τ ) (37) q(t) = Qe−t/τ (38) y se descarga como donde Q = CE es la carga m´ axima del capacitor. Energ´ıa y corriente en circuitos de corriente continua Formulario Fuerza electromotriz (FEM).1.. VA − VB = E − rI (32) donde r es la resistencia interna del generador.6. . a trav´es de un resistor R. Req = R1 + R2 + . es toda causa capaz de mantener una diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito abierto o una corriente en un circuito cerrado. + Rn = n X Ri (33) i=1 Resistencias en paralelo. . la suma de las fuerzas electromotrices es igual a la suma de las caidas de tensi´on en las resistencias de esa malla. Referida a un generador el´ectrico. Resistencias en serie. n X 1 1 1 1 1 = + + . La FEM. 17 . 6. cuando circula una corriente I entre los bornes A y B del generador se cumple que. X Ii = 0 (35) Segunda ley de Kirchoff.. En una malla cualquiera. y τ es una constante de tiempo definida como τ = RC. + = Req R1 R2 Rn Ri (34) i=1 Primera ley de Kirchoff. La suma de las corrientes que entran a cualquier nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de ese nodo. E. X X Ei = Ri Ii (36) Carga de un capacitor. 33] Calcule las intensidades de corriente en cada rama para el circuito de la figura 13 y el valor de E. ¿Cu´al es el valor de la resistencia interna de la bater´ıa? 2. 6. I2 e I3 . Si la diferencia de potencial entre las terminales de la bateria se reduce a 19 V . Calcule la raz´on R1 /R2 para la cual la potencia disipada en la combinaci´ on en paralelo es cuatro veces mayor que para la combinaci´ on en serie.52] Un capacitor de 3 µF con una carga inicial de 63 [µC] se descarga a trav´es de un resistor de 25 kΩ. [Serrano. 6. 6.6. [Serrano. [Serrano. Figura 13: Esquema circuital 5. Figura 12: Esquema circuital 4. [Serrano.8] Una bateria cuya FEM es 20 V se conecta a un resistor de 14 Ω. Problemas 1. 6.16] Dos resistores R1 y R2 se pueden conectar en serie o paralelo a trav´es de una bater´ıa (desprecie la resistencia interna) cuya fem es E. 18 .2. 6. [Serrano. 3.28] Determine la diferencia de potencial entre los puntos a y b en el circuito de la figura 12 y las corrientes I1 . una estufa el´ectrica de 1500 W.[Parcial.. [Serrano. De acuerdo con el C´odigo El´ectrico Nacional de Estados Unidos. [Serrano. 6.72] Por razones econ´omicas. una l´ampara el´ectrica de 120 W y una cafetera el´ectrica de 600 W se conecta al contacto m´ ultiple y ´este opera a 120 V.[Parcial 2014. 8. ¿se funde el fusible si todos los aparatos se utilizan al mismo tiempo?. [Serrano.3. 2013] El circuito mostrado en la figura 16 muestra un conjunto de resistencias y condensadores que van a ser utilizados en un circuito de corriente continua: a) Calcule la resistencia equivalente entre los terminales C y D. b) ¿Qu´e carga queda en el capacitor despu´es de 6 ms? c) ¿Cu´al es la m´ axima intensidad de corriente que circula en el resistor? 6.56] El circuito mostrado en la figura 14 se ha conectado hace mucho tiempo.5 nC en cada una de sus placas. Un tostador de 1200 W. Problemas de examen 10. 6.47] En el circuito de la figura 15 cada condensador tiene una carga de magnitud 3. ¿cu´ anto tiempo le tomar´ıa al capacitor descargarse hasta 1/10 de su voltaje inicial? Figura 14: Esquema circuital 7. la m´axima intensidad de corriente permitida para un alambre calibre 12 de cobre con aislante de hule es 20 A. Zemansky 26.70] Un contacto m´ ultiple tiene un fusible de 30 A de protecci´on. 19 . 6. 6.a) Calcule la intensidad de corriente en el resistor 8 ms despu´es de que el resistor se conecte a trav´es de las terminales del capacitor.. a) ¿Cu´al es el voltaje a trav´es del capacitor? b) Si la bateria se desconectara. Cuando se cierre el interruptor S: a) ¿Cual ser´ a la corriente en el circuito en el momento en que ha perdido el 80 % de su energ´ıa almacenada? b) Encuentre una expresi´ on en funci´ on del tiempo para la carga almacenada y la tensi´on entre los extremos de cada uno de los condensadores. ¿Cu´al ser´ıa la m´ axima corriente permitida en un alambre de aluminio calibre 12 si ´este disipa la misma potencia por unidad de longitud que el alambre de cobre? 9. el algunas ocasiones se usan alambres de aluminio en lugar de cobre. [Examen parcial. . 11. A efectos de este examen se considerar´a que las placas de mica tienen una resistividad electrica a 300 K de ρ0 = 500 µΩ · m y un coeficiente de variablidad de la resistividad con la temperatura α = −5 · 10−4 K −1 . mayo 2012] Queremos dise˜ nar un tostador que proporcione 800 W de potencia cuando se conecta a una tensi´on continua de 120 V. b) Calcule la resistencia equivalente entre los terminales A y D. (Pista: resuelva el circuito conectando una fuente de tensi´ on Vx entre esos dos terminales y despeje en funci´on de Vx la corriente que suministrar´ıa esta fuente). Figura 16: Esquema circuital. .Un fusible.Figura 15: Esquema circuital.Cables de conexi´ on de resistencia despreciable. . Los componentes se conectan como se indica en la figura 17. y se supone una densidad de corriente homog´enea a lo largo de las placas. c) Calcule la resistencia equivalente entre los terminales A y B. Para ello se disponen los siguientes componentes: .Seis placas de mica. d) Explique como afecta a los resultados anteriores un cambio en el valor de la capacitancia. y una longitud de 120 mm. 20 . Las placas tienen unas dimensiones de ´area correspondiente a una altura de 20 mm y espesor d.Un interruptor. Figura 17: Componentes del tostador a) Calcular la resistencia equivalente (en funci´on de d) de las placas de mica. [Examen parcial. d) Suponga que la resistividad de las placas var´ıa como se indica en la ecuaci´on (39). a efectos de los puntos marcados como A y B en la figura 17. mayo 2012] Queremos dise˜ nar un tostador que se conectar´a a una tensi´ on continua de 120 V. a) Demuestre que las seis resistencias de la figura 18a son equivalentes a una sola resistencia equivalente Req de 6 Ω. (b) Circuito RC. Sus componentes se conectan como se indica en la figura 18a. (a) Esquema de conexion del tostador. ρ(T ) = ρ0 [1 + α(T − T0 )] (39) 12. proponga un valor de ruptura (corriente m´axima que dicho fusible sea capaz de soportar sin romperse) para el fusible que garantice que el circuito no sobrepasar´ a los 1300 K. Utilizando el cableado original mostrado en las figuras del enunciado. 21 . b) Determine el espesor d de las placas de mica que dada la configuraci´on mostrada satisfaga los requisitos de funcionamiento en el momento en que se enciende el tostador. c) Proponga otra forma de conectar el cableado de las placas de mica entre los puntos A y B de tal forma que el espesor de las placas deba ser de 1 mm. donde ρ y T representan la resistividad del material y la temperatura respectivamente. Figura 18: Esquemas circuitales para el tostador. 1V . vB (t) = −t RB U e (Req +RB )C Req + RB (40) c) Determine el valor de RB para que la bombilla permanezca encendida durante 15 segundos con el fin de indicar que el tostador est´a caliente una vez que se abre el interruptor. La bombilla se considerar´a encendida mientras en sus extremos caigan al menos 0. Indique donde lo conectar´ıa mediante un esquema y demuestre que en esas circunstancias la tensi´ on que cae en la bombilla viene dada por la siguiente expresi´on una vez que se abre el interruptor. Para ello. Consta de un condensador electrol´ıtico de 220 µF conectado en serie con una bombilla que presenta una resistencia de RB . aplique la aproximaci´on RB >> Req y cuando llegue al final del ejercicio discuta si la aproximaci´on era adecuada.b) Queremos conectar el circuito mostrado en la figura 18b al tostador. 22 . dF = I(dl × B) (42) donde dl tiene la direcci´ on que lleva la corriente.7. 3. [Serrano.2 × 10−26 kg. 7.34] Un alambre de 0. dentro de un campo magn´etico de 440 mT. 7.1. [N · m] (44) Problemas 1. Se mide en A · m2 . 23 . 2. Fuerza que act´ ua sobre una carga q que se mueve con velocidad v en un campo magn´etico B F = q(v × B) (41) N La unidad de B es el Tesla [T] = [ A·m ]. Una espira de area A por la cual circula una corriente I tiene un momento magn´etico m dado por ˆ m = IA n (43) ˆ es un vector unitario adimensional con direcci´on perpendicular al plano de la espira donde n y sentido dado por la regla del tornillo aplicada a la corriente I. Fuerza magn´ etica sobre un elemento de corriente. Momento de torsi´ on sobre una espira. Campo magn´ etico Formulario Fuerza magn´ etica. Se acelera desde el reposo por una diferencia de potencial de 900 V. Momento magn´ etico de una espira. perpendicularmente. Determine la magnitud y direcci´on de la corriente en el alambre para que la tensi´on de las puntas sea cero.14] Un ion con carga 2e tiene una masa de 3. 7.98 T. τ =m×B 7. como se muestra en la figura 19.12] Demuestre que el trabajo realizado por la fuerza magn´etica sobre una particula cargada movi´endose en un campo magn´etico es cero para cualquier desplazamiento de la part´ıcula. 7. [Serrano.06 kg/m est´a suspendido por un par de puntas flexibles. luego entra en un campo magn´etico uniforme de 0. [Serrano.2. Calcule: a) la velocidad del ion b) el radio de su trayectoria dentro del campo magn´etico. La bobina est´a articulada a lo largo del eje y con su plano formando un ´angulo de 33o con el eje x. ¿Cu´al es la magnitud del momento de torsi´on sobre la espira debido a un campo magn´etico de 0. ¿Cu´al es el trabajo realizado al girar la bobina desde una posici´ on donde el momento magn´etico forma un ´angulo de 0o con el campo magn´etico hasta la posici´ on donde el momento magn´etico forma un ´angulo de 180o con el campo? (La expresi´on para calcular el trabajo que se realiza al girar un cuerpo un diferencial de arco es dW = τ dα.56] La figura 20 muestra una bobina rectangular de 160 vueltas de 26 cm por 17 cm.62] En un campo magn´etico uniforme de 2 T hay una bobina de 150 vueltas de un radio de 0. [Serrano. por la bobina circula una intensidad de corriente de 0. 7.5m que lleva una intensidad de corriente de 0.65 A en la direcci´on mostrada.2 A. 7.Figura 19: Ejercicio 3 4.57 T dirigido a lo largo del eje x? ¿En que direcci´on gira la bobina? Figura 20: Ejercicio 5 5. donde τ es el momento de torsi´on y dα es el ´angulo que se gira.) 24 . [Serrano. 8. Problemas 1. Utilizando la ley de Biot-Savart. a = 9. El campo magn´etico en un punto r debido a un elemento infinitesimal de corriente I es ˆ µ0 Idl × R dB(r) = (45) 2 4π R donde dl es el elemento de camino tomado en la direcci´on y sentido de la corriente.8. Ley de Biot-Savart. Calcule la magnitud y direcci´on de la fuerza resultante. localizado a una distancia a/4 del alambre de la derecha. se cumple que. separados por una distancia a llevan una intensidad de corriente I en la misma direcci´on.6 25 .1. 8. I1 = 28.20. La integral de l´ınea a lo largo de cualquier trayectoria cerrada cumple que I B · dl = µI (47) 8. Campo magn´ etico en el interior de un solenoide. Fuentes de campo magn´ etico Formulario Permeabilidad magn´ etica. encuentre la direcci´ on y magnitud del campo magn´etico en el punto P que es el centro de la semicircunferencia.12.2 cm. 8. 8. [Serrano. de radio r = 20 cm. La espira rectangular conduce una intensidad de corriente I2 . en su interior B = µr µ0 N I = µnI L (46) Ley de Ampere (no generalizada). Suponga que c = 1. L = 32.3 cm. Figura 21: Configuraci´on del alambre. 2. µ0 = 4π · 10−7 [Wb A−1 m−1 ]. Sep.1 cm. Final 2014] La figura 22 muestra un alambre largo que conduce una intensidad de corriente I1 . Determine la magnitud y direcci´on del campo magn´etico en un punto P entre los alambres. Para un solenoide de N espiras y longitud L. [Serrano. 3. 2013] Un alambre largo est´a doblado en al forma mostrada en la figura 21 y lleva una intensidad de corriente de 13 A. [Serrano.6] Dos conductores rectos. largos y paralelos. Recuerda que R = r − r0 .2. Figura 22: Configuraci´on del alambre largo y la espira. ¿Cu´antas vueltas deber´a tener la bobina para producir un campo magn´etico de magnitud 6.5 A. I2 = 10 A.28] Un estudiante f´ abrica un electroim´an con una bobina delgada de largo 4.A. 4.3 mT en el centro? 26 . 8. [Serrano.8 cm por donde circula una intensidad de corriente de 11. 4. FEM en un conductor en movimiento. donde t est´ a en segundos. [Serrano. 9.9. Si el campo aumenta linealmente de 2 µT a 8 µT en tiempo de 0.7 cm y 24 vueltas.6 s. Z ˆ dS B·n φm = [Wb] (48) S ˆ es un vector unitario adimensional perpendicular en cada punto a la superficie S. [Serrano. 9. [Serrano. se coloca en un campo magn´etico uniforme B y entonces se impulsa para que gire con una velocidad angular ω alrededor de un eje a trav´es de su di´ ametro. E =− dφm dt (50) Ley de Lenz.4] Una espira circular de alambre. [Serrano.1. Problemas 1. dE = (v × B) · dl (51) 9. I ˆ dS = 0 B·n (49) φm = S Ley de Inducci´ on de Faraday.2. circula por un solenoide circular de radio 4 cm que tiene 2500 vueltas/metro. El campo magn´etico es perpendicular al plano de las espiras. Ley de Faraday Formulario Flujo magn´ etico. La FEM E en un circuito viene dada por. 9. 9. El flujo magn´etico en una superficie cerrada es cero.24] Una corriente que var´ıa en el tiempo de acuerdo a la expresi´on I = 5 exp−0. Un planeador de aluminio con una longitud de 12 m de un extremo de un ala al extremo de la otra ala pasa por esta regi´on a una 27 . Ley de Gauss del magnetismo. Calcule la magnitud del campo el´ectrico inducido a una distancia de 8 cm del eje del solenoide en el instante t = 3 s. 9. ¿cu´ al es la fem inducida? 3. de radio a. La corriente inducida en un circuito se opone a la causa que lo produce. Determine el flujo magn´etico a trav´es del a espira como funci´on del tiempo si el eje de rotaci´ on est´ a: a) perpendicular a B b) paralelo a B 2. el campo magn´etico terrestre tiene una magnitud de 54 µT y apunta hacia abajo formando 60o con la vertical. Se donde n mide en Weber [Wb].10] Una bobina circular tiene un di´ametro de 16.4t A.30] En cierta regi´ on de la Tierra. Un conductor de longitud d que se mueve en el interior de un campo magn´etico B con velocidad v experimenta una FEM en sus extremos dada por. m.3. d) Obtenga la magnitud y sentido de la fuerza magn´etica F~ que produce el campo magn´etico sobre la barra de metal. situada por completo dentro de un campo magn´etico uniforme de magnitud 3. Colomagn´etico uniforme B camos una barra de metal movil y de longitud L a lo largo de los brazos del conductor. formando un circuito cerrrado. 28 . Problemas de examen 7.e.44] Un alambre conductor con una longitud de 60 m puede ser devanado en N vueltas cuadradas y usado como la armadura de un generador de CA de frecuencia 60 Hz. [Serrano.velocidad de 50 m/s hacia el oeste. Esto induce una fuerza electromotriz y una corriente. Figura 23: Generador de cable movil. Obtenga una expresi´ on para la potencia el´ectrica disipada Pdisipada en el circuito debido a la corriente inducida por el campo magn´etico. inducida es. b) Demuestre que la magnitud de la f. y la movemos hacia la derecha con velocidad constante ~v .23 T. por lo que podriamos decir que este circuito es un generador. 9. a) Indique la direcci´ on de la f. Calcule el valor m´ aximo de la fem inducida cuando gira la bobina a raz´ on de 1200 revoluciones por minuto alrededor de un eje perpendicular al campo. Si se usa un campo magn´etico de 1. que se induce en el circuito. 9. 6. e) Obtenga una expresi´ on para la potencia Paplicada = F v que deberiamos aplicar para que no var´ıe la velocidad de la barra met´ alica.56 V? 9. [Serrano.5 mT.[Final.42] Un generador consta de 97 vueltas de alambre formadas en una bobina rectangular de 50 cm por 20 cm. La resistencia total del circuito es R. 2013. ¿Cu´ al debe ser la longitud del lado del cuadrado de la armadura para generar una fem m´ axima de 155.e. Zemansky] La figura (23) muestra un conductor con forma de U en un campo ~ perpendicular al plano de la figura y dirigido hacia dentro del papel.m. a) ¿Cu´al es la diferencia de potencial desarrollada entre los extremos de las alas? b) ¿C´omo cambiar´ıa la respuesta del apartado a) si el aeroplano estuviera volando hacia el sur? 5. E = −BLv (52) c) Suponga que en un momento dado del movimiento.. al cerrarse presenta una corriente que var´ıa con el tiempo I(t) = E (1 − e−t/τ ) R (60) Si se elimina la bater´ıa del circuito. n X 1 1 1 1 1 = + + . Inductancia de una bobina. Se mide en Henrios [H] = [ V·s A ]. Leq = L1 + L2 + . Un circuito serie integrado por un resistor.. La inductancia L es una medida de la oposici´on de un circuito a un cambio en la corriente. . 29 E −t/τ e R (61) . Formulario Inductancia. Se define como.. La inductancia mutua M21 de una bobina 2 respecto a una bobina 1 como N2 φ21 M21 = (58) I1 Esta inductancia mutua. dI1 E21 = −M21 (59) dt Circuito RL.10. + Ln = n X Li (55) i=1 Inductancias en paralelo. L= N φm I (54) Inductancias en serie. una bobina y una bateria FEM. Inductancia mutua. la corriente viene dada por I(t) = donde τ = L/R es una constante de tiempo. + = Leq L1 L2 Ln Li (56) 1 UB = LI 2 2 (57) i=1 Energ´ıa en una bobina. . induce una FEM en la bobina 2 debida a una variaci´on de corriente en la bobina 1 dada por. EL L = − dI [H] (53) dt donde E es la fuerza electromotriz autoinducida y dI/dt es la tasa de cambio de la intensidad de corriente en el tiempo.1. Inducci´ on magn´ etica 10. el cual ha sido doblado para formar un c´ırculo de radio a. d) ¿Cu´al es la suma algebraica de las rapideces individuales de transferencia de energ´ıa en el circuito? Figura 24: Configuraci´on del circuito 6. donde t est´a en segundos.0 V. c) la rapidez con la cual se extrae energ´ıa de la bater´ıa.16] Un toroide de secci´on transversal circular. L = 25. 8 mm de radio y longitud 1. 10. Problemas 1. [Serrano.1 s de haber cerrado el interruptor: a) la rapidez con la cual se almacena energ´ıa en el campo magn´etico del inductor. Determine la energ´ıa almacenada en el campo magn´etico.98 Ω y E = 12V.22] Dos bobinas adyacentes y con el mismo eje tienen una inductancia mutua de 377 µH. [Serrano. [Serrano.10. [Serrano. con N vueltas. Si a es mucho mayor que b. a) Si el interruptor se cierra en el punto S y se abre en Snot (conectando la bater´ıa). R = 5. a) Calcule la mangitud de la fem inducida en t = 2 s y t = 4 s. 10. ¿Cu´ al es el voltaje m´ aximo en una de las bobinas cuando una intensidad de corriente cosenoidal dada por I(t) = (38 cos 60t) A fluye en la otra bobina? 4.43 A.2. con n´ ucleo de aire. b) la potencia instantanea suministrada al resistor. 10. el campo magn´etico en el interior del toroide es basicamente igual al de un solenoide muy largo.53 mH pasa una intensidad de corriente que var´ıa en el tiempo de acuerdo a la expresi´ on I(t) = (2t3 − 5t2 + 3t + 6) A. Utilizando el campo uniforme de un solenoide largo. ¿cu´anto tiempo 30 .10] Por un solenoide de 1. muestre que la autoinductancia del toroide est´ a dada (aproximadamente) por L' µ0 N 2 A 2πa 3. b) ¿Para qu´e valor del tiempo la fem ser´a cero? 2.2 m. 10.48] Considere el circuito de la figura 25 con L = 104 mH. [Serrano. radio interior a y radio de la secci´ on transversal b.30] Considere un inductor de n´ ucleo de aire de 5980 vueltas. 10. 5. Por el solenoide circula una intensidad de corriente de 3. tome E = 12. [Serrano.3 mH y R = 1.04 Ω Calcule las siguientes cantidades despu´es de 0.32] En la figura 24. 10. 2014. 2013.. que tiene una secci´on de area A y un radio medio r.1 s despu´es de que el interruptor se cierra? c) Despu´es de un tiempo considerablemente grande los interruptores cambian de estado repentinamente. 8.[Sept.pasa antes de que la intensidad de corriente alcance los 130 mA? b) ¿Cu´al es la intensidad de corriente que circula por el inductor 0. 31 . 2013. Zemansky] En el circuito de la figura 26. Zemansky] Disponemos de un solenoide toroidal. el interruptor ha estado abierto (no permitiendo el paso de corriente) por un tiempo muy largo y es cerrado repentinamente. Figura 26: Circuito RL. a) ¿Cual es la lectura del amper´ımetro A justo despu´es de que se cierre el interruptor? b) ¿Cual es la lectura del voltimetro V justo despu´es de que se cierre el interruptor? c) ¿Cual es la lectura del amper´ımetro A despues de un tiempo muy largo? d) ¿Cual es la lectura del voltimetro V despues de un tiempo muy largo? e) Represente en una gr´ afica la corriente mostrada por el amper´ımetro A en funci´on del tiempo. ¿Cu´anto tiempo debe pasar antes de que la intensidad de corriente disminuya a 250 mA? Figura 25: Configuraci´on del circuito 10.[Julio.. Problemas de examen 7. Ni la bateria ni los inductores tienen una resistencia apreciable.3. devanado con N vueltas de cable muy pr´oximas entre si sobre un nucleo no magn´etico (Figura 27). Calcule la intensidad que circula por la bobina en t = 1s. A = 5. demuestre que el campo magn´etico en el interior del toroide viene dado por B= µ0 N iA 2πr (62) b) Demuestre que la autoinductancia del solenoide toroidal es. 32 . d) En t = 0s conectamos una generador de E = 12V con una resistencia interna R = 15Ω a los terminales del solenoide. Figura 27: Solenoide toroidal.a) Suponiendo que la diferencia entre el radio interior y exterior del toroide es peque˜ na.0cm2 y r = 10cm. L= µ0 N 2 A 2πr (63) c)Calcule L suponiendo que N = 200 vueltas.