PROBLEMAS DETRANSFERENCIA DE CALOR Juan Carlos Ramos González Doctor Ingeniero Industrial Raúl Antón Remírez Doctor Ingeniero Industrial Diciembre de 2010 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 2 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas i ÍNDICE Problemas Tema 1. Introducción a la transferencia de calor y a la conducción ............................. 1 Problemas Tema 2. Conducción unidimensional en régimen estacionario ..................................... 7 Problemas Tema 3. Conducción bidimensional en régimen estacionario ..................................... 15 Problemas Tema 4. Conducción en régimen transitorio ............................................................... 21 Problemas Tema 5. Introducción a la convección ......................................................................... 29 Problemas Tema 6. Convección forzada en flujo externo ............................................................ 33 Problemas Tema 7. Convección forzada en flujo interno ............................................................. 37 Problemas Tema 8. Convección libre o natural ............................................................................ 41 Problemas Tema 9. Introducción a la radiación ............................................................................ 45 Problemas Tema 10. Intercambio radiativo entre superficies ....................................................... 51 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 2 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 1 PROBLEMAS TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA CONDUCCIÓN 1. (2.7 del Incropera; Ley de Fourier) En el sistema mostrado en la figura se produce una conducción de régimen estacionario unidimensional sin generación de calor. La conductividad térmica es 25 W/m·K y el espesor L es 0,5 m. Determine las cantidades desconocidas para cada caso de la tabla siguiente y dibuje la distribución de temperatura indicando la dirección del flujo de calor. Caso T 1 T 2 dT/dx (K/m) x q ′ ′ (W/m 2 ) 1 400 K 300 K 2 100 ºC -250 3 80 ºC 200 4 -5 ºC 4.000 5 30 ºC -3.000 Solución: 1) 200 K/m, -5.000 W/m 2 ; 2) 498 K, 6.250 W/m 2 ; 3) -20 ºC, -5.000 W/m 2 ; 4) -85 ºC, -160 K/m; 5) -30 ºC, 120 K/m. 2. (1.13 del Incropera; Convección) Un chip cuadrado isotérmico de lado 5 mm está montado en un sustrato de manera que sus superficies laterales e inferior están bien aisladas, mientras que la superficie frontal se expone a la corriente de un fluido refrigerante a 15 ºC. La temperatura del chip no debe sobrepasar los 85 ºC. Si el fluido refrigerante es aire (h = 200 W/m 2 ·K), ¿cuál es la potencia máxima admisible del chip? Si el fluido refrigerante es un líquido dieléctrico (h = 3.000 W/m 2 ·K), ¿cuál es la potencia máxima admisible del chip? Solución: 0,35 W y 5,25 W. 3. (Radiación y balance de energía) Un antiguo alumno de la Escuela que trabaja en la ESA (Agencia Espacial Europea) nos ha transmitido la siguiente cuestión: Una sonda de exploración espacial cuyas placas de energía fotovoltaica tienen una superficie A p y una temperatura de fusión T p = 2.000 K es enviada en dirección al Sol. Calcular el radio de la órbita solar mínima (R o ) a la que se podrá acercar la sonda al Sol. Datos: constante de x T 2 T 1 L Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 2 Stefan-Boltzmann σ = 5,67·10 -8 W/m 2 ·K 4 ; temperatura de la superficie solar T s = 6.000 K; radio del Sol R s = 7·10 8 m; suponer que tanto el Sol como las placas se comportan como cuerpos negros (ε = α = 1). Solución: R o = R s (T s /T p ) 2 . 4. (Convección y radiación) Una persona desvestida tiene una superficie de 1,5 m 2 expuesta a un ambiente y a unos alrededores de 27 ºC. La temperatura de su piel es de 33 ºC y se puede considerar un emisor de radiación perfecto. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 9 W/m 2 ·K, hállese: a) Las pérdidas de calor por convección y por radiación. b) El gasto energético en kcal/día. Solución: a) q conv = conv Q & = 81 W, q rad = rad Q & = 56,8 W; b) 2.846 kcal/día. 5. (2.6 del Incropera; Ley de Fourier) Para determinar el efecto de la dependencia de la temperatura de la conductividad térmica sobre la distribución de temperatura en un sólido, considere un material para el que esta dependencia puede representarse como k = k o + aT donde k o es una constante positiva y a es un coeficiente que puede ser positivo o negativo. Dibuje la distribución de temperatura de régimen estacionario asociada con la transferencia de calor en una pared plana para tres casos que corresponden a a > 0, a = 0 y a < 0. 6. (2.11 del Incropera; Ley de Fourier) En el cuerpo bidimensional que se muestra en la figura se encuentra que el gradiente en la superficie A es ∂T/∂y = 30 K/m. ¿Cuánto valen ∂T/∂y y ∂T/∂x en la superficie B? Solución: ∂T/∂y = 0; ∂T/∂x = 60 K/m. 7. (1.27 del Incropera; Balance de energía) Una placa de aluminio de 4 mm de espesor se monta en posición horizontal con su superficie inferior bien aislada. Se aplica a su superficie superior un recubrimiento que absorbe el 80% de cualquier radiación solar incidente y tiene una emisividad de 0,25. La densidad y el calor específico del aluminio son 2.700 kg/m 3 y 900 J/kg·K, respectivamente. a) Considere las condiciones para las que la placa está a una temperatura de 25 ºC y la superficie superior se expone súbitamente al aire ambiente a T ∞ = 20 ºC y a radiación solar que proporciona un flujo incidente de 900 W/m 2 . El coeficiente de transferencia Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 3 de calor por convección entre la superficie y el aire es h = 20 W/m 2 ·K. ¿Cuál es la velocidad inicial de cambio de la temperatura de la placa? Suponga que no hay alrededores. b) ¿Cuál será la temperatura de equilibrio de la placa cuando se alcancen las condiciones de régimen estacionario? c) Represente mediante Excel® una gráfica de la temperatura de régimen estacionario como función de la emisividad para 0,05 ≤ ε ≤ 1, para tres valores de la absortividad de la placa de 0,5, 0,8 y 1 con el resto de condiciones constantes. Si la finalidad es maximizar la temperatura de la placa, ¿cuál es la combinación más deseable de emisividad y absortividad de la placa? Solución: a) 0,052 K/s; b) T s = 321 K. 8. (1.31 del Incropera; Balance de energía) En una etapa de un proceso de recocido, 1 hoja de acero inoxidable AISI 304 se lleva de 300 K a 1.250 K conforme pasa a través de un horno calentado eléctricamente a una velocidad de v s = 10 mm/s. El espesor y ancho de la hoja son t s = 8 mm y w s = 2 m, respectivamente, mientras que la altura, ancho y largo del horno son H o = 2 m, W o = 2,4 m y L o = 25 m, respectivamente. La parte superior y cuatro lados del horno se exponen al aire ambiental y a alrededores a 300 K, y la temperatura de la superficie del horno, su emisividad y el coeficiente de convección respectivos son T s = 350 K, ε s = 0,8 y h = 10 W/m 2 ·K. La superficie inferior del horno también está a 350 K y reposa en una placa de cemento de 0,5 m de espesor cuya base está a 300 K. Estimar la potencia eléctrica que se requiere suministrar al horno. Datos: k cemento (a 300 K) = 1,4 W/m·K. Propiedades termofísicas del acero inoxidable AISI 304: ρ = 7.900 kg/m 3 . T (K) c p (J/kg·K) 600 557 800 582 Solución: 841 kW. 9. (2.12 del Incropera; Ley de Fourier) Algunas secciones del oleoducto de Alaska están tendidas sobre tierra, sostenidas por columnas verticales de acero (k = 25 W/m·K) de 1 m de longitud y sección transversal de 0,005 m 2 . En condiciones normales de operación se sabe que la variación de temperatura de un extremo a otro de la longitud de una columna se rige por una expresión de la forma Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 4 T = 100 – 150x + 10x 2 donde T y x tienen unidades de ºC y metros, respectivamente. Las variaciones de temperatura son insignificantes sobre la sección transversal de la columna. Evalúe la temperatura y la rapidez de conducción de calor en la unión columna-ducto (x = 0) y en la interfaz columna-tierra (x = 1). Explique la diferencia en las transferencias de calor. Solución: 18,75 W y 16,25 W. 10. (2.17 del Incropera; Ley de Fourier) Un aparato para medir la conductividad térmica emplea un calentador eléctrico intercalado entre dos muestras idénticas de 30 mm de diámetro y 60 mm de longitud, prensadas entre placas que se mantienen a una temperatura uniforme T o = 77 ºC mediante la circulación de un fluido. Se pone grasa conductora entre todas las superficies para asegurar un buen contacto térmico. Se empotran termopares diferenciales en las muestras con un espaciado de 15 mm. Las caras laterales de las muestras se aíslan para que la transferencia de calor sea unidimensional. a) Con dos muestras de acero inoxidable AISI 316 en el aparato, el calentador toma 0,353 A a 100 V y los termopares diferenciales indican ∆T 1 = ∆T 2 = 25,0 ºC. ¿Cuál es la conductividad térmica del material de la muestra de acero inoxidable y cuál la temperatura promedio de las muestras? Compare los resultados con los valores de la Tabla A.1 del Incropera. b) Calcular la conductividad térmica y la temperatura promedio de una muestra de hierro Armco puesta en lugar de la muestra inferior del acero AISI 316. En este caso el calentador toma 0,601 A a 100 V y los termopares diferenciales indican ∆T 1 = ∆T 2 = 15,0 ºC. c) ¿Cuál es la ventaja de construir el aparato con el calentador intercalado entre dos muestras en lugar de construirlo con una sola combinación muestra-calentador? ¿Cuándo resulta significativo el escape de calor por la superficie lateral de las muestras? ¿Bajo que condiciones esperaría que ∆T 1 ≠ ∆T 2 ? Datos: Propiedades termofísicas del acero inoxidable AISI 316: T (K) k (W/m·K) 300 13,4 400 15,2 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 5 Propiedades termofísicas del Armco: T (K) k (W/m·K) 300 72,7 400 65,7 Solución: a) k = 15 W/m·K y T = 400 K; b) k = 70 W/m·K y T = 380 K. 11. (2.21 del Incropera; Ecuación de calor) En una varilla cilíndrica de 50 mm de diámetro de combustible de un reactor nuclear ocurre generación interna de calor a 7 1 10 · 5 = q& W/m 3 , y en condiciones de régimen estacionario la distribución de temperatura es T(r) = a+br 2 , donde T está en grados Celsius y r en metros, mientras a = 800 ºC y b = -4,167·10 5 ºC/m 2 . Las propiedades de la varilla de combustible son k = 30 W/m·K, ρ = 1.100 kg/m 3 y c p = 800 J/kg·K. a) ¿Cuál es la velocidad de transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla en r = 0 (línea central) y en r = 25 mm (superficie)? b) Si el nivel de potencia del reactor aumenta súbitamente a 8 2 10 = q& W/m 3 , ¿cuál es la velocidad de cambio de temperatura en el tiempo inicial en r = 0 y en r = 25? Solución: a) W/m 10 8 , 9 ) 25 ( y 0 ) 0 ( 4 × = = ′ = = ′ r q r q r r ; b) 56,8 K/s. 12. (2.24 del Incropera; Ley de Fourier, ecuación de calor y balance de energía) Un estanque solar poco profundo con gradiente salino consiste en tres capas fluidas distintas y se utiliza para absorber energía solar. Las capas superior e inferior están bien mezcladas y sirven para mantener las superficies superior e inferior de la capa central a temperaturas uniformes T 1 y T 2 , donde T 2 > T 1 . Considere condiciones para las que la absorción de la radiación solar en la capa central proporciona una generación no uniforme de calor de la forma ax Ae x q − = ) ( & , y la distribución de temperatura en la capa central es: C Bx e ka A x T ax + + − = − 2 ) ( Las cantidades A (W/m 3 ), a (1/m), B (K/m) y C (K) son constante conocidas, y k es la conductividad térmica que también es constante. a) Obtenga expresiones para la rapidez a la que se transfiere calor por unidad de área de la capa inferior a la capa central y de ésta a la capa superior. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 6 b) Determine si las condiciones son estacionarias o transitorias. c) Obtenga una expresión para la rapidez a la que se genera energía térmica en la capa central, por unidad de área superficial. Solución: a) Bk a A x q Bk e a A L x q x aL x − − = = ′ ′ − − = = ′ ′ − ) 0 ( ; ) ( ; b) Régimen estacionario; c) ( ) aL gen e a A E − − = ′ ′ 1 & . Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 7 PROBLEMAS TEMA 2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO Pared plana 1. (3.2 del Incropera) La ventana posterior de un automóvil se desempaña mediante el paso de aire caliente sobre su superficie interna. a) Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de una ventana de vidrio de 4 mm de espesor, siendo la temperatura del aire caliente T ∞,int = 40 ºC y su coeficiente de convección h int = 30 W/m 2 ·K y la temperatura del aire exterior T ∞,ext = - 10 ºC y su coeficiente de convección h ext = 65 W/m 2 ·K. b) Evalúe cualitativamente la influencia de T ∞,ext y h ext sobre las temperaturas. Datos: k vidrio (a 300 K) = 1,4 W/m·K. Solución: a) T int = 7,7 ºC y T ext = 4,9 ºC; b) Ambas disminuyen al aumentar h ext y aumentan al aumentar T ∞,ext . 2. (3.3 del Incropera) En la ventana posterior del automóvil del problema anterior se instala como sistema para desempañar su superficie interior un elemento de calentamiento consistente en una película transparente delgada con resistencias eléctricas. Al calentarse eléctricamente este dispositivo se establece un flujo de calor uniforme en la superficie interna. a) Calcular la potencia eléctrica por unidad de área de ventana necesaria para mantener la temperatura de la superficie interna a 15 ºC cuando la temperatura del aire interior es T ∞,int = 25 ºC y su coeficiente de convección h int = 10 W/m 2 ·K. El aire exterior está en las mismas condiciones que en el problema anterior. b) Calcular la temperatura de la superficie externa de la ventana. c) Evalúe cualitativamente la influencia de T ∞,ext y h ext sobre la potencia eléctrica. Solución: a) elec P′ ′ = 1,27 kW/m 2 ; b) T ext = 11,1 ºC; c) elec P′ ′ aumenta al aumentar h ext y disminuye al aumentar T ∞,ext . 3. (3.15 del Incropera) Una casa tiene una pared compuesta de madera, aislante de fibra y tablero de yeso, como se indica en el esquema. En un día frío de invierno los coeficientes de transferencia de calor por convección son h ext = 60 W/m 2 ·K y h int = 30 W/m 2 ·K. El área total de la superficie es de 350 m 2 . Datos: Tablero de yeso: k (a 300 K) = 0,17 W/m·K. Propiedades termofísicas de la fibra de vidrio: T (K) ρ (kg/m 3 ) k (W/m·K) 300 16 0,046 300 28 0,038 300 40 0,035 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 8 Tablero de madera contraplacada: k (a 300 K) = 0,12 W/m·K. a) Determine una expresión simbólica para la resistencia térmica total de la pared incluyendo los efectos de convección. b) Determine la pérdida de calor total de la pared. c) Si el viento soplara de manera violenta elevando h ext a 300 W/m 2 ·K, ¿cuál sería el porcentaje de aumento relativo de la pérdida de calor? d) ¿Qué resistencia térmica influye en mayor medida sobre la pérdida de calor a través de la pared? Solución: b) 4.214 W; c) 0,45 %; d) La de la fibra de vidrio, que es el aislante y tiene la k menor. Resistencia de contacto 4. (3.25 del Incropera) Un circuito integrado (chip) disipa 30.000 W/m 2 de calor eléctrico. El chip, que es muy delgado, se expone a un líquido dieléctrico en su superficie superior con h ext = 1.000 W/m 2 ·K y T ∞,ext = 20 ºC. En la superficie inferior se une a una tarjeta de circuitos de espesor L b = 5 mm y conductividad k b = 1 W/m·K. La resistencia térmica de contacto entre el chip y la tarjeta es c t R , ′ ′ = 10 -4 m 2 ·K/W. La superficie inferior de la tarjeta se expone al aire ambiente para el que h int = 40 W/m 2 ·K y T ∞,int = 20 ºC. a) Dibuje el circuito térmico equivalente señalando las resistencias térmicas, las temperaturas y los flujos de calor. b) ¿Cuál es la temperatura del chip para las condiciones de disipación de c q ′ ′ = 30.000 W/m 2 ? c) ¿Qué influencia tendría en la temperatura del chip el aumentar en un orden de magnitud la conductividad de la tarjeta de circuitos y en disminuir en un orden de magnitud la resistencia térmica de contacto entre el chip y la tarjeta? Solución: b) T c = 49 ºC; c) Prácticamente ninguna. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 9 Pared cilíndrica 5. (3.37 del Incropera) Un calentador eléctrico delgado se inserta entre una varilla circular larga y un tubo concéntrico con radios interior y exterior de 20 y 40 mm. La varilla A tiene una conductividad térmica k A = 0,15 W/m·K y el tubo B k B = 1,5 W/m·K. La superficie externa está en contacto con un fluido a temperatura T ∞ = -15 ºC y un coeficiente de convección de 50 W/m 2 ·K. a) Determine la potencia eléctrica por unidad de longitud de los cilindros que se requieren para mantener la superficie externa del tubo B a 5 ºC. b) ¿Cuál es la temperatura en el centro de la varilla A? Solución: a) 251 W/m; b) 23,4 ºC. 6. (3.44 del Incropera) Una corriente eléctrica de 700 A fluye a través de un cable de acero inoxidable que tiene un diámetro de 5 mm y una resistencia eléctrica de 6·10 -4 Ω/m. El cable esté en un medio que tiene una temperatura de 30 ºC y el coeficiente total asociado con la convección y la radiación entre el cable y el medio es aproximadamente 25 W/m 2 ·K. a) Si el cable está expuesto, ¿cuál es la temperatura de la superficie? b) Si se aplica un recubrimiento muy delgado de aislante eléctrico al cable, con una resistencia de contacto de 0,02 m 2 ·K/W, ¿cuáles son las temperaturas superficiales del aislante y del cable? c) Si se usa un aislante de conductividad térmica 0,5 W/m·K, ¿cuál será el espesor de este aislante que dará el valor más bajo de la temperatura del cable? ¿Cuál es el valor de esa temperatura? Solución: a) T s,cable = 778,7 ºC; b) T s,cable = 1.153 ºC y T s,aislante = 778,7 ºC; c) e = 17,5 mm y T s,cable = 318,2 ºC. 7. (3.45 del Incropera) Un tubo de acero de pared delgada de 0,20 m de diámetro y emisividad 0,8 se utiliza para transportar vapor saturado a una presión de 20 bar (T sat = 485 K) en un cuarto para el que la temperatura del aire y de las paredes es 25 ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie externa del tubo es 20 W/m 2 ·K. a) ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de longitud del tubo expuesto (sin aislante)? b) Calcule la pérdida de calor por unidad de longitud del tubo si se añade una capa aislante de 50 mm de óxido de magnesio que también tiene una emisividad de 0,8. Calcular también la temperatura superficial exterior del aislante. c) El coste asociado con la generación del vapor saturado es de 4 €/10 9 J y el del aislante y su instalación de 100 €/m. Si la línea de vapor opera 7.500 horas al año, ¿cuánto tiempo se necesita para amortizar la instalación del aislante? Datos: Propiedades termofísicas del óxido de magnesio: T (K) k (W/m·K) 310 0,051 365 0,055 420 0,061 Solución: a) 3.702 W/m; b) q′ ≈ 162 W/m y T s,ail,ext ≈ 30 ºC; c) ≈ 3 meses. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 10 Pared esférica 8. (3.56 del Incropera) Una sonda esférica crioquirúrgica se incrusta en tejido enfermo con el propósito de congelarlo y destruirlo. La sonda tiene un diámetro de 3 mm y su superficie se mantiene a -30 ºC cuando se incrusta en tejido que está a 37 ºC. Se forma una capa esférica de tejido congelado alrededor de la sonda con una temperatura de 0 ºC en su superficie de contacto con el tejido normal. Si la conductividad térmica del tejido congelado es 1,5 W/m·K y el coeficiente de transferencia de calor por convección entre el tejido congelado y el normal es 50 W/m 2 ·K, ¿cuál es el espesor de la capa del tejido congelado? Resolución: En primer lugar se expone una manera de obtener una expresión de la resistencia térmica para una esfera. En un elemento diferencial de esfera la aplicación de la conservación de la energía implica que q r = q r+dr , es decir que la transferencia de calor es independiente del radio, para condiciones unidimensionales de régimen estacionario y sin generación interna de calor. La ecuación de Fourier para una esfera hueca cuyas superficies están en contacto con fluidos a temperaturas distintas y en condiciones de régimen estacionario sin generación de calor adopta la forma: dr dT r k dr dT kA q r ) 4 ( 2 π − = − = donde A = 4πr 2 es el área normal a la dirección de la transferencia de calor. Al integrar la ecuación anterior: ∫ ∫ − = 2 1 2 1 ) ( 4 2 s s T T r r r dT T k r dr q π Suponiendo k constante y al resolver para las condiciones de contorno de temperaturas conocidas en las superficies se obtiene: ) / 1 ( ) / 1 ( ) ( 4 2 1 2 1 r r T T k q s s r − − = π La resistencia térmica para conducción adopta, por la tanto, la forma: | | . | \ | − = − = 2 1 2 1 , 1 1 4 1 ) ( r r k q T T R r s s cond t π Y la de convección: h r R conv t 2 , 4 1 π = Una vez visto esto se puede representar el circuito térmico equivalente al enunciado del problema: | . | \ | + − e r r k 1 1 4 1 π h e r 2 ) ( 4 1 + π q q T ∞ T s1 Ts2 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 11 La velocidad de transferencia de calor se puede expresar: | . | \ | + − − = + − = ∞ e r r k T T e r h T T q s s s 1 1 4 1 ) ( 4 1 1 2 2 2 π π Al resolver se obtiene la siguiente ecuación en e 2 : 0 2 1 2 2 = − − − + ∞ r T T T T h k re e s s s Al resolver se obtiene: e = 5,34 mm. Generación interna de calor 9. (3.73 del Incropera) El aire dentro de una cámara a T ∞,int = 50 ºC se calienta convectivamente con h int = 20 W/m 2 ·K mediante una pared de 200 mm de espesor que tiene una conductividad térmica de 4 W/m·K y una generación de calor uniforme de 1.000 W/m 3 . Para prevenir que algo del calor generado se pierda hacia el exterior de la cámara, a T ∞,ext = 25 ºC con h ext = 5 W/m 2 ·K, se coloca un calentador de listón muy delgado sobre la pared exterior para proporcionar un flujo de calor uniforme, o q ′ ′ . a) Dibuje la distribución de temperaturas en la pared (T-x) para la condición de que no se pierde nada del calor generado dentro de la pared hacia el exterior de la cámara (es decir, quitando el calentador y aislando la superficie externa de la pared). b) ¿Cuáles son las temperaturas en las superficies externa e interna de la pared para esa condición? c) Determine el valor de o q ′ ′ que debe suministrar el calentador de listón de modo que todo el calor generado dentro de la pared se transfiera al interior de la cámara. d) Si la generación de calor en la pared se cortara mientras el flujo de calor del calentador de listón permanece constante, ¿cuál sería la temperatura de la pared exterior en régimen permanente? Solución: b) T(0) = 65 ºC y T(L) = 60 ºC; c) 200 W/m 2 ; d) 55 ºC. 10. (3.83 del Incropera) Un elemento de combustible de reactor nuclear consiste en un núcleo cilíndrico sólido de radio r 1 y conductividad térmica k f . El núcleo de combustible está en buen contacto con un material de encamisado de radio externo r 2 y conductividad térmica k c . Considere condiciones de régimen estacionario para las que ocurre una generación de calor uniforme dentro del combustible a una razón volumétrica q& = gen e& y la superficie Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 12 externa del encamisado se expone a un fluido refrigerante que se caracteriza por una temperatura T ∞ y un coeficiente de convección h. a) Obtenga expresiones para las distribuciones de temperatura en el combustible y en el encamisado, T f (r) y T c (r). b) Considere un núcleo de combustible de óxido de uranio para el que K f = 2 W/m·K y r 1 = 6 mm y un encamisado para el que K c = 25 W/m·K y r 2 = 9 mm. Si q& = gen e& = 2·10 8 W/m 3 , h = 2.000 W/m 2 ·K y T ∞ = 300 K, ¿cuál es la temperatura máxima en el elemento de combustible? c) Evalúe cualitativamente la influencia de h sobre las temperaturas. ¿Es posible mantener la temperatura de la línea central del combustible por debajo de 1.000 K ajustando el flujo de refrigerante y, por tanto, el valor de h? Solución: b) T f (r = 0) = 1.458 K; c) Si h aumenta T f y T c disminuyen. No es posible. Superficies extendidas y aletas 11. (3.109 del Incropera) Varillas de cobre circulares de diámetro D = 1 mm y longitud L = 25 mm se usan para reforzar la transferencia de calor de una superficie que se mantiene a T s1 = 100 ºC. Un extremo de la varilla se une a esta superficie (en x = 0) y el otro (x = 25) se une a una segunda superficie que se mantiene T s2 = 0 ºC. El aire que fluye entre las superficies también está a una temperatura T ∞ = 0 ºC y tiene un coeficiente de convección h = 100 W/m 2 ·K. a) ¿Cuál es la transferencia de calor de una sola varilla de cobre? b) ¿Cuál es la transferencia total de calor de una sección de 1 m x 1 m de la superficie a 100 ºC, si se instala una disposición de varillas separadas entre centros 4 mm? Datos: k cobre (a 300 K) = 401 W/m·K. Solución: a) q f = 1,51 W; b) q t = 103,8 kW. 12. (3.114 del Incropera) A menudo se forman pasajes de aletas entre placas paralelas para reforzar la transferencia de calor por convección en núcleos compactos de intercambiadores de calor. Considere una pila de aletas de 200 mm de ancho y 100 mm de profundidad con 50 aletas de 12 mm de longitud. La pila completa está fabricada de aluminio (k = 240 W/m·K) de 1 mm de espesor. Las temperaturas máximas permisibles asociadas a las placas opuestas son T o = 400 K y T L = 350 K. El aire que fluye entre las placas tiene una h = 150 W/m 2 ·K y una T ∞ = 300 K. ¿Cuáles son las disipaciones de calor de una aleta y del sistema de aletas en cada una de las placas? Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 13 Solución: q fo = 114,95 W; q fL = -88,08 W; q to = 5.972,5 W; q tL = -4.291,5 W. 13. (3.131 del Incropera modificado, examen septiembre 2005) Se quiere disipar el calor generado en el interior de un transformador situando en una de sus paredes un dispositivo de aletas rectas. La pared del transformador tiene una conductividad térmica de 5 W/m·K y un espesor de 6 mm. Sobre ella se coloca un dispositivo de aletas de sección rectangular de aluminio (k al = 240 W/m·K). El soporte del dispositivo de aletas tiene un espesor de 4 mm. Entre la pared del transformador y el soporte de las aletas hay una resistencia de contacto de valor ·K/W m 10 2 4 , − = ′ ′ c t R . Las aletas tienen una longitud de 25 mm, un espesor de 2 mm y la distancia entre ellas es de 2 mm. El calor generado en el transformador se puede asimilar a un flujo de calor uniforme sobre la pared de valor 2 5 W/m 10 = ′ ′ i q . El aire exterior está a 320 K y proporciona un coeficiente de convección de 100 W/m 2 ·K. q" i Pared del transformador Soporte de las aletas R" t,c t = 2 mm δ = 2 mm T ∞ = 320 K 6 mm 25 mm 4 mm h = 100 W/m 2 ·K T int T al T b k tra = 5 W/m·K k al = 240 W/m·K Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 14 a) Dibuje el circuito térmico equivalente entre el interior del transformador y el aire exterior para la parte de pared que le corresponde a una aleta teniendo en cuenta que la dimensión perpendicular al dibujo es muy larga. b) Calcule los valores de las resistencias térmicas que aparecen en el circuito térmico anterior. c) Calcule la temperatura de la superficie interna del transformador, T int . d) Calcule la temperatura de la superficie interna del soporte de aluminio (en contacto con la resistencia de contacto), T al . e) Calcule la temperatura de la base de las aletas, T b . Solución: c) T int = 532,3 K; d) T al = 402,3 K; e) T b = 400,6 K. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 15 PROBLEMAS TEMA 3. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO Factores de forma 1. (4.16 del Incropera) Con las relaciones de resistencia térmica desarrolladas en el tema 3 determine expresiones del factor de forma para las siguientes geometrías: a) Pared plana, capa cilíndrica y coraza esférica. b) Esfera hueca de superficie isotérmica de diámetro D en el interior de un medio infinito. Solución: a) A/L, 2πL/ln(r 2 /r 1 ), 4πr 1 r 2 /(r 2 -r 1 ); b) 2πD. 2. (4.20 del Incropera) Un cable largo de transmisión de energía se entierra a una profundidad (distancia de la tierra a la línea central del cable) de 2 m. El cable está enfundado en un tubo de pared delgada de 0,1 m de diámetro y para hacer al cable superconductor (esencialmente cero disipación de energía), el espacio entre el cable y el tubo está lleno de nitrógeno líquido a 77 K. Si el tubo se cubre con un superaislante (k i = 0,005 W/m·K) de 0,05 m de espesor y la superficie de la tierra (k g = 1,2 W/m·K) está a 300 K, ¿cuál es la carga de enfriamiento por unidad de longitud de tubo [W/m] que debe suministrar un refrigerador criogénico para mantener el nitrógeno a 77 K? Solución: 9,89 W/m. 3. (4.25 del Incropera) Por un tubo de cobre de pared delgada de 30 mm de diámetro fluye agua caliente a 85 ºC. El tubo está forrado de una capa cilíndrica excéntrica que se mantiene a 35 ºC y mide 120 mm de diámetro. La excentricidad, definida como la distancia entre los centros del tubo y la capa, es 20 mm. El espacio entre el tubo y la capa está lleno de un material aislante que tiene una conductividad térmica de 0,05 W/m·K. Calcule la pérdida de calor por unidad de longitud de tubo y compare el resultado con la pérdida de calor para una disposición concéntrica. Solución: 12,5 W/m y 11,33 W/m. Factores de forma con circuitos térmicos 4. (4.28 del Incropera) Un fluido caliente pasa por tubos circulares de una plancha de hierro colado de espesor L A = 60 mm que está en contacto con unas placas de cubierta de espesor L B = 5 mm. Los canales tienen un diámetro D = 15 mm con un espaciado de línea central de L o = 60 mm. Las conductividades térmicas de los materiales son k A = 20 W/m·K y k B = 75 W/m·K, y la resistencia de contacto entre los dos materiales es 4 , 10 · 2 − = ′ ′ c t R m 2 ·K/W. El fluido caliente está a T i = 150 ºC y el coeficiente de convección es 1.000 W/m 2 ·K. Las placas de cubierta se exponen al aire ambiental que está a 25 ºC y tiene un coeficiente de convección de 200 W/m 2 ·K. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 16 a) Determine la transferencia de calor de un solo tubo por unidad de longitud de la plancha en dirección normal a la página, i q′ . b) Determine la temperatura de la superficie externa de la placa de cubierta, T s . c) Comente los efectos sobre i q′ y T s de un cambio en el espaciado de los canales. ¿Cómo afectaría a i q′ y T s aislar la superficie inferior? Solución: a) i q′ = 1.578,6 W/m; b) T s = 90,8 ºC; c) Si L o aumenta, i q′ aumenta y T s disminuye. Si la superficie inferior está aislada, i q′ disminuye y T s permanece constante. 5. (4.31 del Incropera) En el Tema 3 se supuso que cuando se une una aleta a un material base, la temperatura de la base no cambia. Lo que en verdad ocurre es que, si la temperatura del material de la base excede la temperatura del fluido, al colocar una aleta disminuye la temperatura de la unión, T j , por debajo de la de la base y el flujo de calor del material de la base a la aleta es bidimensional. Considere condiciones en las que una aleta larga circular de aluminio de diámetro D = 5 mm se une al material de la base cuya temperatura lejos de la unión se mantiene a T b = 100 ºC. Las condiciones de convección en la superficie de la aleta son T ∞ = 25 ºC y h = 50 W/m 2 ·K. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 17 a) Calcule la temperatura de la unión y la transferencia de calor cuando el material de la base es (i) aluminio (k = 240 W/m·K) y (ii) acero inoxidable (k = 15 W/m·K). b) Repita los cálculos anteriores para el caso del aluminio si entre la unión de la aleta y el material de la base hay una resistencia térmica 5 " 10 · 3 − = tc R m 2 ·K/W c) ¿Cómo influye el coeficiente de convección en la transferencia de calor? Solución: a) (i) T j = 98 ºC, q f = f Q & = 4,44 W; (ii) T j = 78,4 ºC, q f = f Q & = 3,24 W; b) T j = 92 ºC, q f = f Q & = 4,08 W; c) Si h aumenta q f aumenta. 6. (4.32 del Incropera) Se construye un iglú en forma de hemisferio con un radio interno de 1,8 m y paredes de nieve compactada de 0,5 m de espesor. En el interior del iglú el coeficiente de transferencia de calor por convección es 6 W/m 2 ·K; en el exterior, en condiciones normales de viento, es 15 W/m 2 ·K. La conductividad térmica de la nieve compactada es 0,15 W/m·K. La temperatura de la capa de hielo sobre la que se asienta el iglú es de -20 ºC y tiene la misma conductividad térmica que la nieve compactada. a) Suponiendo que el calor corporal de los ocupantes proporciona una fuente continua de 320 W dentro del iglú, calcule la temperatura del aire interior cuando la del aire exterior es -40 ºC. Considere las pérdidas de calor a través del suelo. b) ¿Cómo afecta a la temperatura interior el que el coeficiente de convección exterior se triplique debido al viento? ¿Y cómo afecta el doblar el espesor de las paredes? Solución: a) T i = 1,2 ºC; b) T i = 0,8 ºC; T i = 20,8 ºC. 7. (4.34 del Incropera) Un dispositivo electrónico en forma de disco de 20 mm de diámetro disipa 100 W cuando se monta sobre un bloque grande de aleación de aluminio (2024-T6) cuya temperatura se mantiene a 27 ºC. En la interfaz entre el dispositivo y el bloque hay una resistencia de contacto 5 " 10 · 5 − = tc R m 2 ·K/W. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 18 a) Calcule la temperatura que alcanzará el dispositivo suponiendo que toda la potencia que genera debe transferirse por conducción al bloque. b) Para aumentar la potencia del dispositivo se instala un sistema de aletas en la parte superior del dispositivo. Las aletas rectas de sección circular (aletas de aguja) están hechas de cobre (k = 400 W/m·K) y están expuestas a un flujo de aire a 27 ºC para el que el coeficiente de convección es 1.000 W/m 2 ·K. Para la temperatura del dispositivo que se calculó en el apartado a), ¿cuál es la potencia de operación permisible? Datos: Propiedades termofísicas de la aleación de aluminio 2024-T6: T (K) k (W/m·K) 200 163 300 177 400 186 Solución: a) T d = 57 ºC; b) P eléct. = 138,65 W. Método de las diferencias finitas 8. (4.41 del Incropera) Las superficies superior e inferior de una barra de conducción se enfrían convectivamente por acción de aire a T ∞ , pero con h sup ≠ h inf . Los lados se enfrían manteniendo contacto con sumideros de calor a T o , a través de una resistencia térmica de contacto c t R , ′ ′ . La barra tiene conductividad térmica k y el ancho es el doble del espesor L. Considere condiciones de estado estacionario para las que se genera calor de manera uniforme a una tasa volumétrica q& debido al paso de una corriente eléctrica. Obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1 y 13. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 19 9. (4.48 del Incropera) Las temperaturas de estado estacionario (en K) en tres puntos nodales de una varilla rectangular son como se muestra en la figura. La varilla experimenta una rapidez de generación de calor volumétrica uniforme de 5·10 7 W/m 3 y tiene una conductividad térmica de 20 W/m·K. Dos de sus lados se mantienen a una temperatura constante de 300 K, mientras que los otros dos están aislados. a) Determine las temperaturas en los nodos 1, 2 y 3 resolviendo el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que forman las ecuaciones nodales. b) Calcule la transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla (W/m) a partir de las temperaturas nodales. Compare este resultado con la transferencia de calor calculada a partir del conocimiento de la generación volumétrica de calor y las dimensiones de la varilla. Solución: a) T 1 = 362,4 K; T 2 = 390,2 K; T 3 = 369 K; b) q’ = 7.502,5 W/m; q’ = 7.500 W/m. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 20 10. (4.52 del Incropera) Una barra larga de sección transversal rectangular tiene 60 mm de ancho, 90 mm de largo, y una conductividad térmica de 1 W/m·K. Uno de sus anchos está sometido a un proceso de convección con aire a 100 ºC y un coeficiente de convección de 100 W/m 2 ·K. El resto de los lados se mantiene a 50 ºC. a) Con un espaciado de malla de 30 mm y mediante el método iterativo de Gauss-Seidel, determine las temperaturas nodales y la transferencia de calor (por unidad de longitud normal a la página) desde el aire a la barra. b) Utilizando Matlab® para resolver el sistema de ecuaciones (método de inversión de matrices), repita los cálculos con un espaciado de malla de 15 mm. Solución: a) Empezando desde el lado sometido a convección las temperaturas nodales son: 81,7 ºC, 58,5 ºC y 52,1 ºC; q’ = 205 W/m; b) Temperaturas de los nodos a lo largo del ancho sometido a convección: 50 ºC, 80,33 ºC, 85,16 ºC, 80,33 ºC y 50 ºC; q’ = 156,27 W/m. 11. (Basado en Ejemplo 5.1 del Chapman, 5ª edición) Se dispone de una varilla de hierro (k = 50 W/m·K) de 1 cm de diámetro y 20 cm de longitud. La varilla se une en un extremo a una superficie calentada a 120 ºC y en el extremo libre se encuentra aislada. Su superficie lateral está en contacto con un fluido a 20 ºC para el que el coeficiente de transferencia de calor por convección es 10 W/m 2 ·K. a) Determine la distribución de temperaturas en la varilla resolviendo las ecuaciones nodales mediante el método iterativo de Gauss-Seidel y con un ∆x = 5 cm. El número de iteraciones viene dado por un criterio de convergencia en la temperatura del extremo de un 1 %. Es decir, la diferencia relativa de la temperatura en el extremo en dos iteraciones sucesivas ha de ser inferior al 1 %. % 1 100 (%) 1 ≤ − = − i extremo i extremo i extremo r T T T E b) Determine una aproximación a la pérdida de calor de la varilla a partir de la distribución discreta de temperaturas calculada en el apartado anterior. c) Compare la solución anterior con el calor perdido por la aleta calculado de manera exacta. Solución: a) Comenzando desde la base la distribución de temperaturas es: 120 ºC, 84,8 ºC, 63,6 ºC, 52,8 ºC, 49,9 ºC; b) q faprox. = 3,24 W; c) q f = 3,32 W. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 21 PROBLEMAS TEMA 4. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO Método de la resistencia interna despreciable 1. (5.8 del Incropera) Una bala esférica de plomo de 6 mm de diámetro se mueve aproximadamente a Mach 3. La onda de choque resultante calienta el aire alrededor de la bala a 700 K, y el coeficiente de convección promedio para la transferencia de calor entre el aire y la bala es 500 W/m 2 ·K. Si la bala sale de la escopeta a 300 K y el tiempo de vuelo es 0,4 s, ¿cuál es la temperatura en la superficie en el momento del impacto? Datos: Propiedades termofísicas del plomo a 300 K: k = 35,3 W/m·K; ρ = 11.340 kg/m 3 ; c p = 129 J/kg·K. Solución: T = 351 K. 2. (5.10 del Incropera) Una unidad de almacenamiento de energía térmica consiste en un canal rectangular largo, que está bien aislado en la superficie externa y encierra capas alternadas del material de almacenamiento y rejillas para el flujo. Cada capa del material de almacenamiento es una plancha de aluminio de ancho W = 0,05 m que está a una temperatura inicial de 25 ºC. Considere condiciones en las que la unidad de almacenamiento se carga con el paso de un gas caliente a través de las rejillas, suponiendo que la temperatura del gas y el coeficiente de convección tienen valores constantes de T ∞ = 600 ºC y h = 100 W/m 2 ·K a lo largo del canal. ¿Cuánto tiempo se tardará en alcanzar el 75 % del almacenamiento máximo posible de energía? ¿Cuál es la temperatura del aluminio en ese momento? Datos: Propiedades termofísicas del aluminio: ρ = 2.702 kg/m 3 . T (K) k (W/m·K) c p (J/kg·K) 300 237 903 400 240 949 600 231 1.033 Solución: t = 933,5 s ≈ 15,55 min y T = 456 ºC. 3. (5.14 del Incropera) La pared plana de un horno se fabrica de acero al carbono simple (k = 60 W/m·K; ρ = 7.850 kg/m 3 ; c p = 430 J/kg·K) y tiene un espesor de L = 10 mm. Para protegerla de los efectos corrosivos de los gases de combustión del horno, una superficie Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 22 de la pared se cubre con una película delgada de cerámica que, para un área superficial unitaria, tiene una resistencia térmica de tf R′ ′ = 0,01 m 2 ·K/W. La superficie opuesta está bien aislada de los alrededores. Al poner en funcionamiento el horno, la pared está a una temperatura inicial de T i = 300 K y los gases de combustión entran en el horno a T ∞ = 1.300 K, con lo que proporcionan un coeficiente de convección de 25 W/m 2 ·K en la película cerámica. Suponiendo que la película tiene una resistencia térmica interna insignificante, ¿cuánto tiempo tardará la superficie interior del acero en alcanzar una temperatura de T si = 1.200 K? ¿Cuál es la temperatura T so de la superficie expuesta de la película cerámica en ese momento? Resolución: Se dibuja el circuito térmico equivalente del sistema: hA 1 A R tf ′ ′ Como entre la pared y el fluido existe una película que aporta una resistencia térmica de contacto, para poder calcular el número de Biot y estudiar si se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable hay que trabajar con el coeficiente global de transferencia de calor, U: ·K W/m 20 01 , 0 25 / 1 1 1 1 1 2 = + = ′ ′ + = ⇒ = ∑ tf t R h U R UA El número de Biot correspondiente será: 0033 , 0 60 01 , 0 · 20 = = = k UL Bi c Al ser menor que 0,1 se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable: | . | \ | − = − − ∞ ∞ τ t T T T T i si exp q T ∞ T si T so Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 23 s 75 , 687 . 1 20 430 · 01 , 0 · 850 . 7 = = = = s p c t UA Vc C R ρ τ min 65 s 886 . 3 300 . 1 300 300 . 1 200 . 1 ·ln 75 , 687 . 1 ln ≈ = − − = − − − = ∞ ∞ T T T T t i si τ A partir del circuito térmico equivalente, la temperatura de la superficie de la película vendrá dada por: K 220 . 1 / 1 / / ) ( ) ( = ′ ′ + ′ ′ + = ⇒ ′ ′ − = − ∞ ∞ tf tf si so tf si so so R h R T hT T R T T T T h Efectos espaciales: análisis de semejanza 4. (5.28 del Incropera) Considere la pared unidimensional que se muestra en el dibujo que inicialmente se encuentra a temperatura uniforme T i y se somete de pronto a la condición de frontera de convección con un fluido a T ∞ . Para una pared en particular, caso 1, la temperatura en x = L 1 después de t 1 = 100 s es T 1 (L 1 ,t 1 ) = 315 ºC. Otra pared, caso 2, tiene diferentes condiciones de espesor y térmicas como se muestra en la siguiente tabla. Caso L (m) α (m 2 /s) k (W/m·K) T i (ºC) T ∞ (ºC) h (W/m 2 ·K) 1 0,10 15·10 -6 50 300 400 200 2 0,40 25·10 -6 100 30 20 100 ¿Cuánto tiempo tardará la segunda pared en alcanzar 28,5 ºC en la posición x = L 2 ? Solución: t = 960 s = 16 min. Conducción unidimensional: pared plana 5. (5.32 del Incropera) Considere la unidad de almacenamiento de energía del problema 2, pero con un material de mampostería de k = 0,70 W/m·K; ρ = 1.900 kg/m 3 ; c p = 800 J/kg·K empleado en lugar del aluminio. ¿Cuánto tiempo se tardará en alcanzar el 75 % del almacenamiento máximo posible de energía? ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima de la mampostería en ese momento? Solución: t = 1.174 s ≈ 19,6 min; T mín (x = 0) = 412 ºC; T máx (x = W/2) = 538 ºC. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 24 Conducción unidimensional: cilindro 6. (5.45 del Incropera) Una varilla larga de 40 mm de diámetro fabricada de zafiro (óxido de aluminio) e inicialmente a una temperatura uniforme de 800 K, se enfría de súbito con un fluido a 300 K que tiene un coeficiente de transferencia de calor de 1.600 W/m 2 ·K. Después de 35 segundos la varilla se envuelve en un aislante y no experimenta pérdidas de calor. ¿Cuál será la temperatura de la varilla después de un largo tiempo? Datos: Propiedades termofísicas del óxido de aluminio (zafiro) a T = 600 K: k = 18,9 W/m·K; ρ = 3.970 kg/m 3 ; c p = 1.110 J/kg·K. Solución: T inf = 510 K. Conducción unidimensional: esfera 7. (5.48 del Incropera) En el tratamiento térmico para endurecer bolas de acero de rodamientos (k = 50 W/m·K; ρ = 7.800 kg/m 3 ; c p = 500 J/kg·K) se desea aumentar la temperatura de la superficie por un tiempo corto sin calentar de manera significativa el interior de la bola. Este tipo de calentamiento se lleva a cabo mediante la inmersión súbita de la bola en un baño de sal derretida con T ∞ = 1.300 K y h = 5.000 W/m 2 ·K. Suponga que cualquier posición dentro de la bola cuya temperatura exceda 1.000 K se endurecerá. Estime el tiempo que se necesita para endurecer el milímetro externo de una bola de 20 mm de diámetro si su temperatura inicial es de 300 K. Solución: t = 3,4 s. Sólido semiinfinito 8. (5.61 del Incropera) Una grúa para levantar losas adheridas al suelo emplea un bloque de hierro que se mantiene a temperatura constante de 150 ºC mediante un calentador eléctrico empotrado. El bloque de hierro se pone en contacto con la losa para suavizar el adhesivo, lo que permite levantarla posteriormente. El adhesivo entre la losa y el suelo se suavizará lo suficiente si se calienta por encima de 50 ºC durante al menos 2 minutos, pero su temperatura no debe superar 120 ºC para evitar su deterioro. Suponga que la losa y el suelo tienen una temperatura inicial de 25 ºC y propiedades termofísicas equivalentes de k = 0,15 W/m·K; ρ·c p = 1,5·10 6 J/m 3 ·K. a) ¿Cuánto tiempo se tardará en despegar una losa de espesor 4 mm empleando el bloque de hierro? ¿La temperatura del adhesivo excederá 120 ºC? b) Si el bloque de hierro tiene un área superficial cuadrada de 254 mm de lado, ¿cuánta energía se eliminará de él durante el tiempo que se tarda en despegar la losa? Solución: a) t = 168,7 s; la temperatura es menor que 120 ºC; b) Q = 56.063,6 J. Conducción multidimensional 9. (5.75 del Incropera) Una punta cilíndrica de cobre de 100 mm de longitud y 50 mm de diámetro está inicialmente a una temperatura uniforme de 20 ºC. Las caras de los extremos se someten de pronto a una intensa rapidez de calentamiento que las eleva a una temperatura de 500 ºC. Al mismo tiempo, la superficie cilíndrica se somete a calentamiento por un flujo de gas con una temperatura de 500 ºC y un coeficiente de transferencia de calor de 100 W/m 2 ·K. Determine la temperatura en el punto central del cilindro 8 segundos después de la aplicación súbita del calor. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 25 Resolución: En el problema en cuestión la longitud y el diámetro del cilindro son comparables por lo que se tiene una transmisión de calor bidimensional. La expresión de la ecuación de calor para este caso será: t T x T r T r r r ∂ ∂ = ∂ ∂ + | . | \ | ∂ ∂ ∂ ∂ α 1 1 2 2 Se puede demostrar que la solución ha esta ecuación se puede obtener por el método de separación de variables, llegando a la siguiente expresión: infinito Cilindro plana Pared ) , ( · ) , ( ) , , ( ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − − − − = − − T T T t r T T T T t x T T T T t r x T i i i Es decir, la solución bidimensional se expresa como producto de las soluciones unidimensionales correspondientes a una pared plana y a un cilindro infinito. Para las soluciones unidimensionales se emplearán el método de la resistencia interna despreciable (si Bi < 0,1), la solución exacta o la aproximada con el primer término (si Fo > 0,2) según corresponda. En la Tabla 4.2 del Cuaderno de Fórmulas, Tablas y Figuras se presenta un resumen de soluciones para distintos sistemas multidimensionales como productos de las soluciones unidimensionales. Visto esto se resuelve este problema en concreto. Como se pide la temperatura central en t = 8 s, a partir de la ecuación vista antes se tiene que: infinito Cilindro plana Pared ) 8 , 0 ( · ) 8 , 0 ( ) 8 , 0 , 0 ( ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − − − − = − − T T T T T T T T T T T T i i i A continuación se resuelve cada sistema unidimensional por separado. Se calcula el número de Biot para la conducción a través de una pared plana: ∞ = = k hL Bi c pp Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 26 Como para este caso la temperatura superficial está fijada esto es equivalente a tener una h infinita. Como el número de Biot es mayor que 0,1 no se puede emplear el método de la resistencia interna despreciable. Empleamos la solución aproximada con el primer término. A partir de la Tabla 4.1 del Cuaderno de Fórmulas, Tablas y Figuras se obtienen los coeficientes de la aproximación de un término: ξ 1 = 1,5707 y C 1 = 1,2733. Se buscan las propiedades del cobre para una temperatura media de: K 533 C º 260 2 500 20 = = + = T ⇒ ρ = 8.933 kg/m 3 ; k = 384 W/m·K; c p = 410 J/kg·K. Se calcula el número de Fourier: 304 , 0 05 , 0 · 410 · 933 . 8 8 · 384 2 2 2 = = = = c p c L c kt L t Fo ρ α . Como Fo > 0,2 la aproximación con el primer término es correcta. 601 , 0 ) 304 , 0 · 5707 , 1 ·exp( 2733 , 1 ) exp( ) 8 , 0 ( 2 2 1 1 plana Pared = − = − = − − ∞ ∞ Fo C T T T T i ξ A continuación se resuelve la conducción a través de un cilindro infinito. Se calcula el número de Biot: 3 . 10 · 51 , 6 384 025 , 0 · 100 − = = = k hr Bi o cil Por ser menor que 0,1 se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable: | . | \ | − = − − ∞ ∞ τ t T T T T i exp ) 8 , 0 ( infinito Cilindro s 8 , 457 2 · 100 410 · 025 , 0 · 933 . 8 = = = = s p c t hA Vc C R ρ τ 9827 , 0 8 , 457 8 exp ) 8 , 0 ( infinito Cilindro = | . | \ | − = − − ∞ ∞ T T T T i 5906 , 0 9827 , 0 · 601 , 0 ) 8 , 0 ( · ) 8 , 0 ( 500 20 500 ) 8 , 0 , 0 ( ) 8 , 0 , 0 ( infinito Cilindro plana Pared = = − − − − = − − = − − ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ T T T T T T T T T T T T T i i i T (0,0,8) = 216,5 ºC Lo correcto sería volver a calcular las propiedades del cobre para esta temperatura y repetir el problema. Método de las diferencias finitas 10. (5.82 del Incropera) Un cilindro de material plástico (α = 6·10 -7 m 2 /s) está inicialmente a una temperatura uniforme de 20 ºC y está bien aislado a lo largo de su superficie lateral y en un extremo. En el tiempo t = 0 se le aplica calor en el extremo izquierdo de manera que T 0 aumenta linealmente con el tiempo a una razón de 1 ºC/s. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 27 a) Con el método explícito obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1, 2, 3 y 4. b) Con Fo = ½ construya una tabla que tenga como encabezados p, t y las temperaturas nodales de T 0 a T 4 . Determine la temperatura de la superficie, T 0 , cuando T 4 = 35 ºC. c) Resuelva el problema mediante el método implícito y el método de la inversión de matrices Solución: b) ∆t = 30 s; T 0 (t = 210 s) = 230 ºC. Resolución del apartado c): De las ecuaciones nodales explícitas se pueden deducir las ecuaciones nodales implícitas fácilmente: Nodo 1: ( ) p p p p p p p p p T FoT FoT T Fo T T Fo T T T 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 ) 2 1 ( 1 2 − − = + + − ⇒ − = − + + + + + + + + Nodo 2: p p p p T FoT T Fo FoT 2 1 3 1 2 1 1 ) 2 1 ( − = + + − + + + Nodo 3: p p p p T FoT T Fo FoT 3 1 4 1 3 1 2 ) 2 1 ( − = + + − + + + Nodo 4: p p p T T Fo FoT 4 1 4 1 3 ) 2 1 ( 2 − = + − + + Expresadas en forma matricial: ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − − = ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ( ¸ ( ¸ + − + − + − + − + + + + + p p p p p p p p p T T T T FoT T T T T Fo Fo Fo Fo Fo Fo Fo Fo Fo Fo 4 3 2 1 1 0 1 4 1 3 1 2 1 1 ) 2 1 ( 2 0 0 ) 2 1 ( 0 0 ) 2 1 ( 0 0 ) 2 1 ( | || | | | | | | | | | C A T C T A · · 1 − = ⇒ = Se inicia un proceso iterativo en que para cada tiempo p hay que evaluar el vector [C] antes de resolver las temperaturas en el tiempo siguiente p+1. Los resultados se pueden expresar en forma de tabla. Con Fo = 0,5 ⇒ ∆t = 30 s. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 28 p t T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 0 0 20 20 20 20 20 1 30 50 2 60 80 3 90 110 11. (5.100 del Incropera) Se sueldan dos barras muy largas en la dirección normal a la página, las cuales tienen las distribuciones de temperaturas iniciales que se muestran en la tabla inferior. En el tiempo t = 0, la cara m = 3 de la barra de cobre hace contacto con la cara m = 4 de la barra de acero AISI 1010. La soldadura actúa como una capa interfacial de espesor insignificante y resistencia efectiva de contacto c t R , ′ ′ = 2·10 -5 m 2 ·K/W. a) Obtenga la ecuación en diferencias finitas explícita en términos de Fo y c t c R k x Bi , · ′ ′ ∆ = , para T 4,2 y determine el criterio de estabilidad correspondiente. b) Si Fo = 0,01, determine T 4,2 un intervalo de tiempo después de que se hace contacto. ¿Cuál es el ∆t? ¿Se satisface el criterio de estabilidad? Datos: Propiedades termofísicas del acero AISI 1010 a 1.000 K: k = 31,3 W/m·K; ρ = 7.832 kg/m 3 ; c p = 1.168 J/kg·K. Solución: a) Criterio de estabilidad: Fo ≤ 1/(4 + 2Bi c ); b) ∆t = 1,17 s; T 4,2 (t = 1,17 s) = 806,3 K; sí se satisface el criterio de estabilidad. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 29 PROBLEMAS TEMA 5. INTRODUCCIÓN A LA CONVECCIÓN Coeficientes de transferencia de calor 1. (6.2 del Incropera) Para la convección laminar libre de una superficie vertical caliente, el coeficiente de convección local se expresa como h x = Cx -1/4 , donde h x es el coeficiente a la distancia x desde el inicio de la superficie y la cantidad C, que depende de las propiedades del fluido, es independiente de x. Obtenga una expresión para la razón x h / h x , donde x h es el coeficiente promedio entre el inicio (x = 0) y la posición x. Dibuje la variación de h x y x h con x. Solución: x h / h x = 4/3. 2. (6.5 del Incropera) Aire a una temperatura de flujo libre T ∞ = 20 ºC está en un flujo paralelo sobre una placa plana de longitud L = 5 m y temperatura T s = 90 ºC. Sin embargo, los obstáculos colocados en el flujo intensifican la mezcla al aumentar la distancia x desde el inicio, y la variación espacial de las temperaturas medidas en la capa límite están correlacionadas por una expresión de la forma T (x, y) [ºC] = 20 + 70 exp(-600xy), donde x e y están en metros. Determine y elabore una gráfica de la forma en que varía el coeficiente de convección local h con x. Evalúe el coeficiente de convección promedio h para la placa. Solución: h x = 600·k·x [W/m 2 ·K] = 15,44·x[W/m 2 ·K]; h = 38,6 W/m 2 ·K. Perfiles de la capa límite 3. (6.10 del Incropera) Agua a una temperatura T ∞ = 25 ºC fluye sobre una de las superficies de una pared de acero (AISI 1010) cuya temperatura es T s1 = 40 ºC. La pared es de 0,35 m de espesor y la temperatura de la otra superficie es T s2 = 100 ºC. Para condiciones de estado estacionario, ¿cuál es el coeficiente de convección asociado con el flujo de agua? ¿Cuál es el gradiente de temperatura en la pared y en el agua que está en contacto con la pared? Dibuje la distribución de temperaturas en la pared y en el agua contigua. Datos: Propiedades termofísicas del acero AISI 1010: ρ = 7.832 kg/m 3 . T (K) c p (J/kg·K) k (W/m·K) 300 434 63,9 400 487 58,7 Solución: h = 700 W/m 2 ·K; y T pared ∂ ∂ = -171,4 K/m; 0 = ∂ ∂ y agua y T = -17.222,22 K/m. Transición de la capa límite 4. (6.12 del Incropera) Considere un flujo de aire sobre una placa plana de longitud L = 1 m en condiciones para las que ocurre la transición en x c = 0,5 m con base en el número de Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 30 Reynolds crítico Re x,c = 5·10 5 . En las regiones laminar y turbulenta los coeficientes de convección local son, respectivamente: 5 , 0 ) ( − = x C x h lam lam y 2 , 0 ) ( − = x C x h turb turb donde C lam = 8,845 W/m 3/2 ·K, C turb = 49,75 W/m 1,8 ·K y x tiene unidades de m. a) Mediante la evaluación de las propiedades termofísicas del aire a 350 K determine la velocidad del flujo de aire. b) Desarrolle una expresión para el coeficiente de convección promedio ) (x h lam , como función de la distancia desde el inicio de la placa, x, para la región laminar, 0 ≤ x ≤ x c . c) Desarrolle una expresión para el coeficiente de convección promedio de toda la placa ) (x h , como función de la distancia desde el inicio de la placa, x, para la región turbulenta, x c ≤ x ≤ L. d) Dibuje una gráfica de ) (x h lam , ) (x h lam , ) (x h turb y ) (x h para 0 ≤ x ≤ L. Solución: a) V = u ∞ = 20,92 m/s; b) 5 , 0 2 ) ( − = x C x h lam lam ; c) | | 8 , 0 8 , 0 5 , 0 25 , 1 25 , 1 2 1 ) ( c turb turb c lam x C x C x C x x h − + = . Ecuaciones de conservación y soluciones: flujo de Couette 5. (6.18 del Incropera 5ª edición en inglés) Considere un cojinete hidráulico ligeramente cargado que usa aceite con propiedades constantes ρ = 800 kg/m 3 , ν = 10 -5 m 2 /s y k = 0,13 W/m·K. El diámetro del eje es de 75 mm, el espacio hasta su apoyo es de 0,25 mm y trabaja a 3.600 rpm. a) Determine la distribución de temperaturas en la película de aceite suponiendo que no hay transferencia de calor hacia el interior del eje y que la superficie del apoyo del cojinete se mantiene a 75 ºC. b) ¿Cuál es la transferencia de calor del cojinete? Solución: a) ( ¸ ( ¸ − | | . | \ | ∂ ∂ − = Ly y y u K T y T 2 ) ( 2 2 0 ρν ; b) q’(y = 0) = -1.508 W/m. 6. (6.21 del Incropera) Considere el flujo de Couette con transferencia de calor para el cual la placa inferior (placa móvil) se mueve con una velocidad de U = 5 m/s y está perfectamente aislada. La placa superior (placa estacionaria) está construida con un material de conductividad térmica k pe = 1,5 W/m·K y espesor L pe = 3 mm. La superficie externa se mantiene a T pe = 40 ºC. Las placas están separadas por una distancia L o = 5 mm, que se llena con un aceite de motor de viscosidad µ o = 0,799 N·s/m 2 y conductividad térmica k o = 0,145 W/m·K. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 31 a) Determine la distribución de temperaturas en la película de aceite, T o (y). b) Determine la temperaturas en los extremos de la película de aceite en contacto con las dos placas, T o (y = 0) y T o (y = L o ). c) Dibuje la distribución de temperaturas en la película de aceite y en la placa estacionaria. Solución: a) T(y) = -2,755·10 6 ·y 2 + 390 [K]; b) T o (y = 0) = 390 K y T o (y = L o ) = 321 K. 7. (6.22 del Incropera) Un eje con un diámetro de 100 mm gira a 9.000 rpm en un cojinete hidráulico de 700 mm de longitud. Las propiedades del aceite lubricante son µ = 0,03 N·s/m 2 y k = 0,15 W/m·K, mientras que el material del cojinete tiene una conductividad térmica de k c = 45 W/m·K. a) Determine la disipación viscosa µΦ [W/m 3 ] en el lubricante. b) Determine la transferencia de calor [W] del lubricante suponiendo que no se pierde calor a través del eje. c) Si la cubierta del cojinete se enfría con agua, de modo que la superficie externa del cojinete se mantiene a 30 ºC, determine las temperaturas del cojinete y del eje, T c y T e . Solución: a) µΦ = 6,66·10 7 ·W/m 3 ; b) q = 14.646 W; c) T c = 81,3 ºC y T e = 303,3 ºC. Similitud y parámetros adimensionales 8. (6.27 del Incropera, examen septiembre 2002) Un objeto de forma irregular tiene una longitud característica L 1 = 1 m y se mantiene a una temperatura superficial uniforme T s,1 = 400 K. Cuando se coloca en aire atmosférico a una temperatura T ∞ = 300 K y se mueve con una velocidad V 1 = 100 m/s, el flujo promedio de calor desde la superficie al aire es 20.000 W/m 2 . Si un segundo objeto de la misma forma, pero con una longitud característica, L 2 = 5 m, se mantiene a la misma temperatura superficial y se coloca en aire atmosférico a T ∞ = Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 32 300 K, ¿cuál será el valor del coeficiente promedio de convección si la velocidad del aire es V 2 = 20 m/s? 9. (6.31 y 6.34 del Incropera) Considere las condiciones para las que un fluido con una velocidad de flujo libre V = 1 m/s fluye sobre una superficie con una longitud característica L = 1 m, lo que proporciona un coeficiente promedio de transferencia de calor por convección h = 100 W/m 2 ·K. a) Calcule los parámetros adimensionales L Nu , Re L y Pr para los siguientes fluidos: aire, aceite de motor, mercurio y agua. Suponga que los fluidos están a una temperatura de 300 K. b) Dibuje la variación relativa entre el espesor de la capa límite hidrodinámica y la capa límite térmica para el flujo laminar sobre una placa plana para los cuatro fluidos anteriores. Suponga un coeficiente del número de Prandtl n = 0,35. Datos: Propiedades termofísicas del mercurio: T (K) ρ (kg/m 3 ) c p (kJ/kg·K) µ·10 2 (N·s/m 2 ) ν·10 6 (m 2 /s) k·10 3 (W/m·K) α·10 7 (m 2 /s) Pr 300 13.529 0,1393 0,1523 0,1125 8.540 45,30 0,0248 Solución: a) aire: Nu L = 3.802; Re L = 62.932; Pr = 0,706; aceite de motor: Nu L = 690; Re L = 1.818; Pr = 6.403; mercurio: Nu L = 11,7; Re L = 8.888.889; Pr = 0,0248; agua: Nu L = 163; Re L = 1.166.092; Pr = 5,83; b) 885 , 0 = aire t δ δ ; 5 , 21 = aceite t δ δ ; 27 , 0 = mercurio t δ δ ; 85 , 1 = agua t δ δ . 10. (6.35 del Incropera) Se utiliza aire forzado a T ∞ = 27 ºC y V = 10 m/s para enfriar elementos electrónicos sobre una tarjeta de circuitos. Uno de tales elementos es un chip, de 4 mm por 4 mm, que se localiza a 120 mm desde el inicio de la tarjeta. Los experimentos revelan que el flujo sobre ésta es perturbado por los elementos y que la transferencia de calor por convección está correlacionada mediante una expresión de la forma: 3 / 1 85 , 0 04 , 0 Pr Re Nu x x = Estime la temperatura superficial del chip si éste disipa 30 mW. Nota: Las propiedades del fluido se deben calcular a la temperatura media entre el fluido y la superficie. Solución: T = 317 K = 44 ºC. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 33 PROBLEMAS TEMA 6. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO EXTERNO Placa plana en flujo paralelo 1. (7.3 del Incropera) Sobre ambas superficies de una placa plana de 1 m de longitud que se mantiene a 20 ºC fluye aceite de motor a 100 ºC y a una velocidad de 0,1 m/s. Determine: a) Los espesores de las capas límite de velocidad y térmica al final de la placa. b) El flujo local de calor al final de la placa. c) La transferencia de calor por unidad de ancho de la placa. Solución: a) δ L = 146,7 mm; δ t,L = 14,3 mm; b) L q ′ ′ = 1.304 W/m 2 ; c) total q′ = 5.216 W/m. 2. (7.11 del Incropera) Una placa plana de 1 m de ancho se mantiene a una temperatura superficial uniforme T s = 150 ºC mediante el uso de módulos rectangulares generadores de calor, controlados de manera independiente, de espesor a = 10 mm y longitud b = 50 mm. Cada módulo está aislado de sus alrededores, así como de su parte posterior. Aire atmosférico a 25 ºC fluye sobre la placa a una velocidad de 30 m/s. Las propiedades termofísicas del módulo son k = 5,2 W/m·K, c p = 320 J/kg·K y ρ = 2.300 kg/m 3 . a) Encuentre la generación de potencia que se requiere, q& [W/m 3 ], en el módulo situado a 700 mm del inicio. b) Encuentre la temperatura máxima en ese módulo generador de calor. Solución: a) q& = 873.448 W/m 3 ; b) T máx = 158,4 ºC. 3. (7.32 del Incropera) Un conjunto de componentes electrónicos disipadores de calor se monta sobre el lado inferior de una placa horizontal de aluminio de 1,2 x 1,2 m, mientras que el lado superior se enfría con un flujo de aire para el que u ∞ = 15 m/s y T ∞ = 300 K. La placa se une a un recinto bien aislado de manera que todo el calor se debe transferir al aire. Además la placa de aluminio es lo suficientemente delgada para asegurar una temperatura casi uniforme en ella. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 34 a) Si la temperatura del aluminio no debe exceder de 350 K, ¿cuál es la disipación de calor máxima permisible? b) Determine la disipación de calor máxima permisible si sobre la placa de aluminio se coloca un sistema de aletas longitudinales cuya longitud, espesor y espaciado (entre planos centrales de las aletas) son 25 mm, 5 mm y 10 mm, respectivamente. Datos: Propiedades termofísicas del aluminio: T (K) ρ (kg/m 3 ) c p (J/kg·K) k (W/m·K) 300 2.702 903 237 Solución: a) q = 2,14 kW; b) q = 12,71 kW. Flujo alrededor de un cilindro 4. (7.42 del Incropera) Un tubo circular de 25 mm de diámetro exterior se coloca en un flujo de aire a 25 ºC y presión de 1 atm. El aire se mueve en flujo cruzado sobre el tubo a 15 m/s, mientras que la superficie externa del tubo se mantiene a 100 ºC. ¿Cuál es la transferencia de calor del tubo por unidad de longitud? Solución: q′ = 527 W/m. 5. (7.49 del Incropera) Aire a 27 ºC y a velocidad de 5 m/s pasa sobre la pequeña región A s (20 x 20 mm) en una superficie grande que se mantiene a T s = 127 ºC. Para estas condiciones se eliminan 0,5 W de la superficie A s . Con el fin de aumentar la velocidad de eliminación de calor, se sujeta una aleta de alfiler de acero inoxidable AISI 304 de diámetro 5 mm a A s , que se supone permanece a T s = 127ºC. Datos: Propiedades termofísicas del acero inoxidable AISI 304: T (K) ρ (kg/m 3 ) c p (J/kg·K) k (W/m·K) 300 7.900 477 14,9 400 7.900 515 16,6 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 35 a) Determine la velocidad máxima posible de eliminación de calor a través de la aleta. b) ¿Qué longitud de aleta proporciona esa velocidad máxima de eliminación de calor? c) Determine la efectividad de la aleta, ε f . d) ¿Cuál es el porcentaje de aumento en la transferencia de calor de A s debido a la instalación de la aleta? Solución: a) q fmáx = 2,3 W; b) L = 37,4 mm; c) ε f = 93,7; d) 455 %. 6. (7.62 del Incropera) En un proceso de fabricación, una varilla larga recubierta de plástico (ρ = 2.200 kg/m 3 , c p = 800 J/kg·K, k = 1 W/m·K) de diámetro D = 10 mm está inicialmente a una temperatura uniforme de 25 ºC y súbitamente se expone a un flujo cruzado de aire a u ∞ = 50 m/s y T ∞ = 350 ºC. ¿Cuánto tiempo le costará a la superficie de la varilla alcanzar 175 ºC, temperatura por arriba de la cual se curará el recubrimiento especial? Solución: t = 8,27 s (Calculado con T f = ((25+175)/2 +350) /2 y correlación de Hilpert ⇒ 240 = h W/m 2 ·K); Fo = 0,1879. Flujo a través de bancos de tubos 7. (7.76 del Incropera) Considere un banco de tubos escalonado para el que el diámetro exterior del tubo es 16,4 mm y los espaciados longitudinal y transversal son S L = S T = 20,5 mm. Hay siete líneas de tubos en la dirección del flujo de aire y ocho tubos por línea (N L = 7 y N T = 8). La temperatura superficial de los tubos es de 70 ºC y la temperatura y velocidad del flujo de aire son 15 ºC y 6 m/s, respectivamente. Determine el coeficiente de convección y la transferencia de calor para el banco de tubos. Comience evaluando las propiedades del aire a T ∞ = 15 ºC. Solución: h = 235 W/m 2 ·K; q’ = 28,5 kW/m. 8. (7.80 del Incropera) Los componentes eléctricos montados en cada una de dos placas isotérmicas se enfrían al hacer pasar aire atmosférico entre ellas, y se usa un dispositivo en línea de aletas de alfiler de aluminio para aumentar la transferencia de calor al aire. Las aletas son de diámetro D = 2 mm, longitud L = 100 mm y conductividad térmica k = 240 W/m·K. Los espaciados longitudinales y transversales son S L = S T = 4 mm con un dispositivo cuadrado de 625 aletas (N L = N T = 25) montadas en placas cuadradas de ancho W = 100 mm. El aire entra a una velocidad de 10 m/s y a una temperatura de 300 K. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 36 a) Evaluando las propiedades del aire a 300 K, estime el coeficiente promedio de convección para el dispositivo de aletas. b) Suponiendo el coeficiente de convección anterior uniforme sobre las aletas y las placas determine la temperatura de salida del aire y la transferencia total de calor cuando las placas se mantienen a 350 K. Sugerencia: La temperatura de salida del aire está gobernada por una relación exponencial de la forma [(T placa – T sal ) / (T placa – T ent )] = exp[-( h A t η o ) / ( m& c p )], donde m& = ρVLN T S T es el flujo de masa del aire que pasa a través de las aletas, A t es el área superficial total de transferencia de calor (placas más aletas) y η o es la eficiencia superficial global del conjunto placas más aletas. Solución: a) h = 435 W/m 2 ·K; b) T sal = 321 K; q total = 2.467,3 W. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 37 PROBLEMAS TEMA 7. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO INTERNO Consideraciones térmicas y balance de energía 1. (8.12 del Incropera) Considere una varilla cilíndrica de combustible nuclear de longitud L y diámetro D que está encerrada en un tubo concéntrico. Por la región anular entre la varilla y el tubo fluye agua presurizada a un flujo másico m& y la superficie exterior del tubo está bien aislada. Hay generación de calor dentro de la varilla de combustible y se sabe que la rapidez de generación volumétrica varía senoidalmente con la distancia a lo largo de la varilla: ) / ( ) ( L x sen q x q o π & & = , siendo o q& [W/m 3 ] una constante. Se puede suponer que existe un coeficiente de convección uniforme entre la superficie de la varilla y el agua. a) Obtenga expresiones para el flujo de calor local ) (x q ′ ′ y para la transferencia total de calor q de la varilla de combustible al agua. b) Obtenga una expresión para la variación de la temperatura media del agua a lo largo del tubo, T m (x). c) Obtenga una expresión para la variación de la temperatura superficial de la varilla a lo largo del tubo, T s (x). Desarrolle una expresión para la posición x para la que se maximiza. Solución: a) 2 ; 4 ) ( 2 o o q L D q L x sen q D x q & & = | . | \ | = ′ ′ π ; b) ( ¸ ( ¸ | . | \ | − + = L x c m q L D T x T p o ent m m π cos 1 4 ) ( 2 , & & ; c) | | . | \ | − = ′ ′ + = DLh c m L x h x q x T x T p máx m s & arctan ; ) ( ) ( ) ( π . 2. (8.15 del Incropera) Aire atmosférico entra en la sección caliente de un tubo circular con un flujo de 0,005 kg/s y una temperatura de 20 ºC. El tubo es de diámetro D = 50 mm y existen condiciones completamente desarrolladas con h = 25 W/m 2 ·K sobre toda la longitud L = 3 m. a) Para el caso de un flujo de calor superficial uniforme, s q ′ ′ = 1.000 W/m 2 , determine la transferencia total de calor, q, y la temperatura media del aire que sale del tubo, T m,sal . Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 38 ¿Cuál son los valores de las temperaturas superficiales del tubo en la entrada y en la salida, T s,ent y T s,sal ? Dibuje la variación con x de T m y T s . b) Si el flujo de calor superficial varía linealmente con x, ) (x q s ′ ′ = 500x [W/m 2 ], ¿cuáles son los valores de q, T m,sal , T s,ent y T s,sal ? Dibuje la variación con x de T m y T s . c) Para cada tipo de proceso de calentamiento anterior, ¿qué flujos de calor se requieren para alcanzar en la salida una temperatura del aire de T m,sal = 125 ºC? Solución: a) q = 471,24 W; T m,sal = 113,6 ºC; T s,sal = 153,6 ºC; T s,ent = 60 ºC; b) q = 353,4 W; T m,sal = 90,2 ºC; T s,sal = 150,2 ºC; T s,ent = 20 ºC; c) s q ′ ′ = 1.122 W/m 2 ; ) (x q s ′ ′ = 748x [W/m 2 ]. Correlaciones de transferencia en tubos circulares 3. (8.19 del Incropera) Aceite de motor a razón de 0,02 kg/s fluye por un tubo de 3 mm de diámetro y de 30 m de longitud. El aceite tiene una temperatura de entrada de 60 ºC, mientras que la temperatura de la pared del tubo se mantiene a 100 ºC por condensación de vapor sobre su superficie externa. a) Estime el coeficiente promedio de transferencia de calor para el flujo interno del aceite. b) Determine la temperatura de salida del aceite. c) Calcule la transferencia total de calor al aceite. Solución: a) h = 201 W/m 2 ·K; b) T m,sal = 89,6 ºC; c) q = 1.249 W. 4. (8.24 del Incropera) En las etapas finales de producción se esteriliza un fármaco calentándolo de 25 a 75 ºC a medida que se mueve a 0,2 m/s por un tubo recto de acero inoxidable de pared delgada de 12,7 mm de diámetro. Un flujo de calor uniforme se mantiene mediante un calentador de resistencia eléctrica enrollado alrededor de la superficie externa del tubo. Si el tubo es de 10 m de longitud, ¿cuál es el flujo de calor que se requiere? Si entra fluido al tubo con un perfil de velocidad completamente desarrollado y un perfil uniforme de temperatura, ¿cuál es la temperatura superficial en la salida del tubo y a una distancia de 0,5 m desde la entrada? Las propiedades del fluido se pueden aproximar a: ρ = 1.000 kg/m 3 ; c p = 4.000 J/kg·K; µ = 2·10 -3 kg/s·m; k = 0,48 W/m·K; Pr = 10. Solución: s q ′ ′ =12.700 W/m 2 ; T s,sal = 152 ºC; T s (x = 0,5) = 65,7 ºC. 5. (8.39 del Incropera) El núcleo de un reactor nuclear de alta temperatura enfriado por gas tiene tubos de fluido refrigerante de 20 mm de diámetro y 1.500 mm de longitud. Entra helio a 600 K y sale a 1.000 K cuando el flujo es de 8·10 -3 kg/s por tubo. a) Determine la temperatura superficial uniforme de la pared del tubo para estas condiciones. b) Si el gas refrigerante es aire en vez de helio, determine el flujo másico y la temperatura de salida del aire si la rapidez de eliminación de calor y la temperatura superficial del tubo permanecen iguales. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 39 Datos: Propiedades termofísicas del helio: T (K) ρ (kg/m 3 ) c p (J/kg·K) µ·10 7 (N·s/m 2 ) ν·10 6 (m 2 /s) k·10 3 (W/m·K) α·10 6 (m 2 /s) Pr 800 0,05924 5193 382 - 304 - 0,654 Solución: a) T s = 1.142,8 K; b) T m,sal ≈ 919 K; aire m& ≈ 0,0474 kg/s. 6. (8.50 del Incropera) Considere un tubo de pared delgada de 10 mm de diámetro y 2 m de longitud. Entra agua al tubo desde un recipiente grande a m& = 0,2 kg/s y T m,ent = 47 ºC. a) Si la superficie del tubo se mantiene a una temperatura uniforme de 27 ºC, ¿cuál es la temperatura de salida del agua, T m,sal ? b) ¿Cuál es la temperatura de salida del agua si se calienta mediante el paso de aire a T ∞ = 100 ºC y V = 10 m/s en flujo cruzado sobre el tubo? Las propiedades del aire se pueden evaluar a una temperatura de película supuesta de 350 K. Solución: a) T m,sal ≈ 35-36 ºC; b) T m,sal ≈ 47 ºC. 7. (8.53 del Incropera) Una tubería de acero (k = 60 W/m·K) que conduce agua caliente se enfría externamente mediante aire en flujo cruzado a una velocidad de 20 m/s y una temperatura de 25 ºC. Los diámetros interno y externo de la tubería son D int = 20 mm y D ext = 25 mm, respectivamente. En cierta posición a lo largo de la tubería, la temperatura media del agua es 80 ºC. Suponga que el flujo dentro del tubo está completamente desarrollado con un número de Reynolds de 20.000. Encuentre la transferencia de calor al flujo de aire por unidad de longitud de tubería. Solución: q′ = 490 W/m. Correlaciones en conductos no circulares 8. (8.72 del Incropera) Aire a 3·10 -4 kg/s y 27 ºC entra en un conducto de sección rectangular de 1 m de longitud y con una sección de 4 por 16 mm. Se impone un flujo de calor uniforme de 600 W/m 2 sobre la superficie del conducto. ¿Cuáles son las temperaturas del aire y la de la superficie del conducto en la salida? Solución: T m,sal = 106,2 ºC; T s,sal ≈ 128,5 ºC. 9. (8.80 del Incropera) Una placa fría es un dispositivo de enfriamiento activo que se une a un sistema generador de calor con el fin de disipar el calor mientras se mantiene el sistema a una temperatura aceptable. Normalmente se fabrica de un material de alta conductividad térmica, k pf , dentro del que se hacen canales por los que pasa el fluido refrigerante. Considere la placa fría de las dimensiones de la figura en la que las paredes laterales se pueden suponer aisladas y las paredes superior e inferior se mantienen en contacto con el dispositivo generador de calor a una temperatura constante T s . La velocidad y la temperatura media del refrigerante son u m y T m,ent , respectivamente. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 40 a) Suponiendo flujo turbulento completamente desarrollado a través de cada canal plantee todas las ecuaciones necesarias para calcular la temperatura de salida del refrigerante, T m,sal , y la transferencia total de calor a la placa fría, q. b) Resuelva el sistema con los siguientes datos: W = 100 mm, H = 10 mm, 10 canales cuadrados de w = h = 6 mm, δ = 4 mm. T s = 360 K y k pf = 400 W/m·K. El refrigerante es agua a u m = 2 m/s y T m,ent = 300 K. Propiedades promedio del agua: ρ = 984 kg/m 3 , c p = 4.184 J/kg·K, µ = 489·10 -6 N·s/m 2 , k = 0,65 W/m·K, Pr = 3,15. Solución: T m,sal = 305,3 K; q = 15.818 W. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 41 PROBLEMAS TEMA 8. CONVECCIÓN LIBRE Placas verticales 1. (9.12 del Incropera) La puerta de un horno de 0,5 m de altura y 0,7 m de ancho alcanza una temperatura superficial promedio de 32 ºC durante el funcionamiento del horno. Estime la pérdida de calor al cuarto con aire ambiente a 22 ºC. Si la puerta tiene una emisividad de ε = 1 y los alrededores también están a 22 ºC, comente la pérdida de calor por convección libre con relación a la de radiación. Solución: q conv = 9,9 W; q rad = 21,4 W; q conv / q rad = 46 %. 2. (9.17 del Incropera) El vidrio delgado de una ventana cuadrada de 1 m de lado separa aire quieto de una habitación a T ∞int = 20 ºC del aire ambiental exterior a T ∞ext = -20 ºC. Las paredes de la habitación y el medio externo están a la misma temperatura (T alr, int = 20 ºC, T alr, ext = -20 ºC). Si el vidrio tiene una emisividad de ε = 1, ¿cuál es su temperatura T? ¿Cuál es la pérdida de calor a través del vidrio? Solución: T ≈ 1 ºC; q = 174 W. 3. (9.20 del Incropera) Un contenedor de paredes delgadas con agua caliente a 50 ºC se coloca en un baño de agua fría en reposo a 10 ºC. La transferencia de calor en las superficies interna y externa del contenedor se pueden aproximar por la convección libre en una placa vertical. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 42 Determine el coeficiente global promedio de transferencia de calor, U , entre el agua caliente del contenedor y el agua fría del baño. Solución: U ≈ 350 W/m 2 ·K. Placas inclinadas 4. (9.42 del Incropera) Una placa cuadrada de 1 m de lado inclinada un ángulo de 45º se expone a un flujo neto de calor por radiación de 300 W/m 2 en su superficie inferior. Si la superficie superior de la placa está bien aislada, estime la temperatura que alcanza la placa cuando el aire ambiente está en reposo y a 0 ºC. Solución: T = 61 ºC. Placas horizontales 5. (9.34 del Incropera) Una parrilla circular de 0,25 m de diámetro y emisividad de 0,9 se mantiene a una temperatura superficial constante de 130 ºC. ¿Qué potencia eléctrica se requiere cuando el aire ambiente y los alrededores están a 24 ºC? Suponga que la parte inferior de la parrilla está aislada. Solución: q = 91 W. 6. (9.29 del Incropera) Se tiene un transformador de potencia eléctrica de forma cilíndrica de diámetro 300 mm y altura 500 mm. Se desea mantener su temperatura superficial a 47 ºC mediante refrigeración por convección libre y radiación. La superficie tiene una emisividad de ε = 0,80. a) Determine cuanta potencia se puede eliminar de sus superficies lateral y horizontal superior (la inferior se supone aislada) cuando la temperatura ambiente y los alrededores están a 27 ºC. b) Se añaden 30 aletas verticales de 5 mm de espesor y 75 mm de longitud a lo largo de toda la superficie lateral. ¿Cuál es ahora la rapidez de eliminación de calor si las aletas tienen la misma emisividad de 0,80 y una conductividad térmica de 240 W/m·K? Solución: a) q = 104,5 W; b) q = 531 W. Cilindros horizontales 7. (9.60 del Incropera) En un tubo de pared delgada de 20 mm de diámetro circula un fluido caliente a una temperatura media de 45 ºC. El tubo se monta horizontalmente en aire en reposo a 15 ºC. Se enrolla una cinta delgada de calentamiento eléctrico sobre la superficie externa del tubo para evitar pérdidas de calor del fluido caliente al aire ambiente y mantener su temperatura constante. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 43 a) Ignorando las pérdidas de calor por radiación, calcule el flujo de calor e q ′ ′ que se debe suministrar mediante la cinta eléctrica. b) Calcule el flujo de calor teniendo en cuenta la radiación. La emisividad de la cinta es 0,95 y los alrededores también están a 15 ºC. c) Calcule el flujo de calor si se añade una capa de aislante (k = 0,050 W/m·K) de espesor 20 mm y emisividad 0,60. ¿Cuál será la temperatura superficial del aislante? Solución: a) e q ′ ′ = 208 W/m 2 ; b) e q ′ ′ = 388 W/m 2 ; c) e q ′ ′ = 113,65 W/m 2 ; T aisl = 20 ºC. 8. (9.51 del Incropera) Vapor saturado a 4 bar de presión con una velocidad media de 3 m/s fluye a través de una tubería horizontal de acero inoxidable AISI 302 cuyos diámetros interior y exterior son 55 y 65 mm, respectivamente. Se sabe que el coeficiente de transferencia de calor por convección para el flujo de vapor es 11.000 W/m 2 ·K. a) Si la tubería se cubre con una capa de 25 mm de espesor de aislante (k = 0,051 W/m·K) y se expone a aire atmosférico a 25 ºC, determine la transferencia de calor por convección libre al cuarto por unidad de longitud de tubería. ¿Cuál es la temperatura de la superficie exterior del aislante? b) La radiación neta a los alrededores también contribuye a la pérdida de calor de la tubería. Si el aislante tiene una emisividad ε = 0,80 y los alrededores están a 25 ºC, ¿cuál será ahora la pérdida de calor de la tubería por unidad de longitud? Calcule la temperatura de la superficie exterior del aislante en estas condiciones. Datos: Acero inoxidable AISI 302: k (a 300 K) = 15,1 W/m·K. Solución: a) q′ ≈ 50 W/m; T aisl ≈ 52 ºC. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 45 PROBLEMAS TEMA 9. INTRODUCCIÓN A LA RADIACIÓN Intensidad, potencia emisiva e irradiación 1. (12.11 del Incropera) Con el fin de iniciar la operación de un proceso se emplea un sensor de movimiento infrarrojo (detector de radiación) para determinar la aproximación de una pieza caliente sobre un sistema transportador. La señal de salida del sensor es proporcional a la rapidez a la que la radiación incide sobre el sensor. Para L d = 1 m, ¿en qué posición x 1 la señal S 1 del sensor es el 75 % de la señal correspondiente a la posición directamente debajo del sensor, S o (x = 0)? Solución: x 1 = 0,39 m. Radiación de cuerpo negro 2. (12.17 del Incropera) Suponiendo que la superficie de la Tierra es negra, estime su temperatura si el Sol tiene una temperatura equivalente de cuerpo negro de 5.800 K. Los diámetros del Sol y de la Tierra son 1,39·10 9 y 1,29·10 7 m, respectivamente, y la distancia entre ellos es 1,5·10 11 m. Solución: T T = 279 K = 6 ºC. 3. (12.24 del Incropera) Un elemento de calentamiento radiante eléctrico en forma de anillo se comporta como un cuerpo negro y se mantiene a una temperatura de T h = 3.000 K y se usa en un proceso de producción para calentar una pequeña pieza que tiene un área superficial A p = 0,007 m 2 . La superficie del elemento de calentamiento se puede suponer negra. Para θ 1 = 30º, θ 2 = 60º, L = 3 m y W = 30 mm, ¿cuál es la rapidez a la que la energía radiante emitida por el calentador incide sobre la pieza? Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 46 Solución: q = 278,4 W. Emisividad, absortividad, reflectividad y transmisividad 4. (12.25 del Incropera) La emisividad hemisférica espectral del tungsteno se puede aproximar mediante la distribución que se describe más adelante. Considere un filamento cilíndrico de tungsteno de diámetro D = 0,8 mm y longitud L = 20 mm. El filamento se encierra en un bulbo al vacío y se calienta mediante una corriente eléctrica a una temperatura de estado estable de 2.900 K. a) ¿Cuál es la emisividad hemisférica total cuando la temperatura del filamento es 2.900 K? b) Suponga que los alrededores están a 300 K. ¿Cuál es la rapidez inicial de enfriamiento del filamento cuando se desconecta la corriente? Suponga que el tungsteno se comporta como una superficie difusa. Propiedades termofísicas del tungsteno: ρ = 19.300 kg/m 3 ; c p (T = 2.000 K) = 167 J/kg·K; c p (T = 2.500 K) = 176 J/kg·K. Solución: a) ε = 0,352; b) dT / dt = -1.996 K/s. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 47 5. (12.39 del Incropera) Un pequeño objeto difuso y opaco a T s = 400 K se suspende en un horno grande cuyas paredes interiores están a T f = 2.000 K. Las paredes son difusas y grises y tienen una emisividad de 0,20. La emisividad hemisférica espectral para la superficie del objeto se da a continuación. a) Determine la emisividad y la absortividad total de la superficie del objeto. b) Evalúe el flujo radiante reflejado y el flujo neto radiativo hacia la superficie. c) ¿Cuál es la potencia emisiva espectral a λ = 2 µm? d) ¿Cuál es la longitud de onda λ 1/2 para la que la mitad de la radiación total emitida por la superficie está en la región espectral λ > λ 1/2 ? Solución: a) ε s = 0,5; α s = 0,6; b) ref q ′ ′ = 362.880 W/m 2 ; neto rad q , ′ ′ = 543.594 W/m 2 ; c) E λ (λ = 2 µm) = 0,1265 W/m 2 ·µm; d) λ 1/2 = 10,26 µm. 6. (12.55 del Incropera) Considere una superficie difusa opaca cuya reflectividad espectral varía con la longitud de onda como se muestra. La superficie está a 750 K, y la irradiación sobre un lado varía con la longitud de onda como se muestra. El otro lado de la superficie está aislado. ¿Cuáles son la absortividad total y la emisividad de la superficie? ¿Cuál es el flujo neto de calor radiativo hacia la superficie? Solución: α = 0,72; ε = 0,756; neto rad q , ′ ′ = -11.757 W/m 2 . Aplicaciones 7. (12.74 del Incropera) Un procedimiento para medir la conductividad térmica de sólidos a temperaturas elevadas implica la colocación de una muestra en la parte inferior de un horno. La muestra tiene espesor L y se coloca en un contenedor cuadrado de lado W cuyos lados están bien aislados. Las paredes de la cavidad se mantienen a T w , mientras que la superficie inferior de la muestra se mantiene a una temperatura mucho más baja T c al hacer circular un refrigerante a través del contenedor de la muestra. La superficie superior de la Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 48 muestra es difusa y gris con una emisividad ε s . Su temperatura T s se mide de manera óptica. a) Ignorando los efectos de la convección, obtenga una expresión de la cual se pueda evaluar la conductividad térmica de la muestra en términos de las cantidades medidas y conocidas (T w , T s , T c , ε s y L). Las mediciones se realizan bajo condiciones de estado estacionario. Si T w = 1.400 K, T s = 1.000 K, T c = 300 K, ε s = 0,85 y L = 0,015 m, ¿cuál es la conductividad térmica de la muestra? b) Si W = 0,1 m y el refrigerante es agua con un flujo másico de c m& = 0,1 kg/s, ¿es razonable suponer una temperatura uniforme T c de la superficie inferior? Solución: a) k = 2,93 W/m·K; b) ∆T agua = 3,3 K ⇒ Sí es razonable suponer T c uniforme. 8. (12.78 del Incropera) Un termógrafo es un dispositivo que responde a la potencia radiativa que incide sobre su detector en la región espectral 9-12 µm. El termógrafo proporciona una imagen, por ejemplo del lado de un horno, de la que se puede determinar la temperatura superficial. a) Para una superficie negra a 60 ºC determine la potencia emisiva para la región espectral 9-12 µm. b) Calcule la potencia radiante (en W) recibida por el termógrafo en el mismo rango (9-12 µm) cuando ve, en una dirección normal, una pequeña área de una pared negra, 200 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 49 mm 2 , a T s = 60 ºC. El ángulo sólido ω subtendido por la abertura del termógrafo cuando se ve desde el área objetivo es 0,001 sr. c) Determine la potencia radiante (en W) que recibe el termógrafo para la misma área de pared y ángulo sólido anterior cuando la pared es un material gris, opaco y difuso a T s = 60 ºC, con emisividad 0,70 y los alrededores son negros a T alr = 23 ºC. Solución: a) E b (9-12) = 144,77 W/m 2 ; b) q rad = 9,216·10 -6 W; c) q rad = 8,08·10 -6 W. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 51 PROBLEMAS TEMA 10. INTERCAMBIO DE RADIACIÓN ENTRE SUPERFICIES Factores de forma 1. (13.1 del Incropera) Determine F 12 y F 21 para las siguientes configuraciones con el uso de las relaciones básicas de los factores de forma. No use tablas ni gráficas. Solución: a) F 12 = 1 y F 21 = 4/3π; b) F 12 = 0,5 y F 21 = 0,25; c) F 12 = 1 y F 21 = 2/π; d) F 12 = 0,5 y F 21 = 1/ 2 ; e) F 12 = 0,5 y F 21 = 0; f) F 12 = 1 y F 21 = 1/8; g) F 12 = 0,5 y F 21 = 2/π. 2. (13.4 del Incropera) Una capa metálica hemisférica delgada de diámetro D = 0,8 m se suspende dentro de un recinto cúbico de 1,5 metros de lado. Determine los factores de forma F 11 , F 22 y F 33 . Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 52 Solución: F 11 = 0,5; F 22 = 0; F 33 = 0,888. 3. (13.7 del Incropera) Determine el factor de forma F 12 de los rectángulos perpendiculares que se muestran en la figura. Solución: F 12 = 0,075. Intercambio de radiación de cuerpo negro 4. (13.15 del Incropera) Un calentador tubular con una superficie interior negra de temperatura uniforme T s = 1.000 K irradia un disco coaxial. Determine la potencia radiante del calentador que incide sobre el disco, q s→1 , y la irradiación sobre el disco, G 1 . Solución: q s→1 = 15,6 W; G 1 =7.938 W/m 2 . Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 53 5. (13.32 del Incropera) El agua que fluye a través de un número grande de tubos largos circulares de pared delgada se calienta por medio de placas paralelas por encima y por debajo del dispositivo de tubos. El espacio entre las placas está al vacío y las superficies de las placas y tubos se pueden aproximar como cuerpos negros. Ignorando las variaciones axiales, determine la temperatura superficial de los tubos, T s , si el agua fluye a través de cada tubo con un caudal másico m& = 0,2 kg/s y a una temperatura media T m = 300 K. Solución: T s ≈ 308 K. Intercambio de radiación entre superficies grises difusas 6. (13.39 del Incropera) Considere dos placas paralelas muy largas con superficies grises difusas. Determine la irradiación y la radiosidad para la placa superior. ¿Cuál es el intercambio neto de radiación entre las placas por unidad de área? Solución: G 1 = 14.175 W/m 2 ; J 1 = 56.700 W/m 2 ; 12 q ′ ′ = 42.525 W/m 2 . 7. (13.51 del Incropera) Considere el recinto de tres superficies que se muestra en la figura. La placa inferior (A 1 ) es un disco negro de 200 mm de diámetro y se le suministra calor a razón de 10.000 W. La placa superior (A 2 ), un disco coaxial a A 1 , es una superficie gris difusa con ε 2 = 0,8 y T 2 = 473 K. Los lados, grises y difusos, entre las placas están perfectamente aislados. Suponga que la transferencia de calor por convección es insignificante. Determine la temperatura de operación de la placa inferior, T 1 , y la temperatura de los lados aislados, T 3 . Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 54 Solución: T 1 = 1.823 K; T 3 = 1.581 K. 8. (13.57 del Incropera) El extremo de un tanque propulsor cilíndrico de líquido criogénico en el espacio se va a proteger de la radiación externa solar mediante la colocación de un escudo metálico delgado en la parte frontal del tanque. Suponga que el factor de forma F ts entre el tanque y el escudo es la unidad. Todas las superficies son difusas y grises y los alrededores están a 0 K. Encuentre la temperatura del escudo, T s , y el flujo de calor al extremo del tanque. Solución: T s = 338 K; st q ′ ′ = 25,4 W/m 2 . 9. (13.67 del Incropera) Un elemento cilíndrico largo de calentamiento de diámetro D 1 = 10 mm, temperatura T 1 = 1.500 K y emisividad ε 1 = 1 se usa en un horno. El área de la parte inferior (A 2 ) es una superficie gris difusa con ε 2 = 0,6 y se mantiene a T 2 = 500 K. Las paredes lateral y superior están construidas con ladrillo refractario aislante que es difuso y gris con ε 3 = 0,9. La longitud del horno en dirección normal a la página es muy larga en comparación con el ancho w y el alto h. Ignorando la convección y tratando las paredes del horno como isotérmicas, determine la potencia por unidad de longitud que se debe proporcionar al elemento calentador para mantener condiciones de estado estacionario. Calcule la temperatura de la pared del horno. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 55 Solución: 1 q′ = 8.542 W/m; T 3 = 733 K. Transferencia de calor multimodal 10. (13.87 del Incropera) Una placa cuadrada, gris, difusa y opaca de 200 mm de lado y con una emisividad de 0,8 se coloca en la abertura de un horno y se sabe que está a 400 K en cierto instante. La parte inferior del horno, que tiene las mismas dimensiones que la placa, es negra y opera a 1.000 K. Las paredes laterales del horno están bien aisladas. La parte superior de la placa se expone al aire ambiente con un coeficiente de convección de 25 W/m 2 ·K. El aire y los alrededores están a 300 K. Suponga que la convección en la superficie inferior de la placa es insignificante. a) Evalúe la transferencia neta de calor radiativa para la superficie inferior de la placa. b) Si la placa tiene una masa de 2 kg y una calor específico de 900 J/kg·K, ¿cuál será el cambio en la temperatura de la placa con el tiempo, dT / dt? Solución: a) q 2, rad = 1.153 W (entrante); b) dT / dt = 0,57 K/s. 11. (13.93 del Incropera) La absortividad espectral de una superficie difusa grande es α λ = 0,9 para λ < 1 µm y α λ = 0,3 para λ > 1 µm. La parte inferior de la superficie está bien aislada, mientras que la superior se puede exponer a dos condiciones diferentes. Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Problemas 56 a) En el caso (a) la superficie se expone al Sol, que proporciona una irradiación de G s = 1.200 W/m 2 , y a un flujo de aire para el que T ∞ = 300 K. Si la temperatura superficial es T s = 320 K, ¿cuál es el coeficiente de convección asociado al flujo de aire? b) En el caso (b) la superficie está protegida del Sol por una placa grande y se mantiene un flujo de aire entre la placa y la superficie. La placa es difusa y gris con una emisividad ε p = 0,8. Si T ∞ = 300 K y el coeficiente de convección es el mismo que el del caso (a), ¿cuál es la temperatura de la placa, T p , necesaria para mantener la superficie a T s = 320 K? Hay que tener en cuenta que sobre la placa incide la radiación del Sol. Solución: a) h = 35 W/m 2 ·K; b) T p = 484 K.