Problemas UC3M Hidraulica

Colección de Problemas de Instalaciones y M´ aquinas Hidr´ aulicas ´ Area de Mecánica de Fluidos. Universidad Carlos III de Madrid. Febrero 2014 Índice general 1. Estacionario 1. Arqueta . . . . . . . . . 2. Tuber´ıa bajo la monta˜ na 3. Red de abastecimiento . 4. Plataforma petrol´ıfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4 7 12 2. Transitorio 1. Golpe de ariete con rebote . . . 2. Bomba de golpe de ariete . . . 3. Transitorio desde Embalse . . . 4. Transitorio debido a fuga . . . 5. Cohete combustible en serie . . 6. Cohete combustible en paralelo 7. Common rail . . . . . . . . . . 8. Depósitos en Y . . . . . . . . . 9. Sistema de lubricación . . . . . 10. Golpe con doble válvula . . . . 11. Inyector . . . . . . . . . . . . . 12. Distribución de hidrocarburos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 19 24 28 30 34 39 44 48 54 55 57 3. M´ aquinas Hidr´ aulicas 1. Bomba adimensional . . . . . . 2. Bomba centr´ıfuga . . . . . . . . 3. Bombas en parelelo . . . . . . 4. Central de acumulación . . . . 5. Bombeo entre depósitos . . . . 6. Bomba con surtidores . . . . . 7. Bifurcación con bomba . . . . . 8. Bombeo desde el mar . . . . . . 9. Fuentes . . . . . . . . . . . . . 10. Parque acuático . . . . . . . . . 11. Planta qu´ımica . . . . . . . . . 12. Adimensionalización de bombas 13. Regad´ıo con bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 . 60 . 62 . 65 . 71 . 74 . 78 . 79 . 83 . 87 . 95 . 99 . 102 . 104 . . . . . . . . . . . . i 4. Canales abiertos 1. Canal triangular . . . . . 2. Desembocadura de un r´ıo 3. Resalto hidráulico . . . . 4. Flujo supercr´ıtico . . . . . 5. Obstáculo en el fondo . . 6. Compuerta en el canal . . 7. Cable de teléfono . . . . . 8. Regad´ıo en canal abierto . 9. Depósito infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 110 114 116 119 123 126 129 132 136 5. M´ etodos num´ ericos 143 1. Problema tres depósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 ii Para resolver los problemas de este tipo.Cap´ıtulo 1 Flujo en conductos estacionario Los flujos en conductos cerrados tienen la caracter´ıstica de que pueden ir de puntos de mayor presión a otros de menor presión o viceversa con la ayuda de elementos que a˜ nadan presión como son las bombas hidráulicas. haremos algunas hipótesis: Proceso adiabático: No se produce intercambio de calor con el medio exterior y por tanto el comportamiento del fluido y sus propiedades serán a temperatura constante. 1 . que desemboca finalmente a la acequia (cota nula). 2 .6. h. de longitud L1 y diámetro D1 . ARQUETA 1. de longitud L2 y diámetro D2 . Arqueta Una balsa. En estas condicones de equilibro se pide: 1. entradas a los conductos. Calcule el caudal que sale de la balsa as´ı como la profundidad del agua en la arqueta. 2. sale un segundo conducto. 6). zB = 10m. H = 2m. ESTACIONARIO 1.CAPÍTULO 1. h. DATOS: Dimensiones de los conductos: L1 = 20m. Constantes de pérdidas singulares: válvula. Cuando la válvula se abre completamente (KV = 3. D2 = 10cm.4. Ke = 0. Cotas: zA = 3m . descarga agua por un sistema de conductos hasta una acequia situada a una cota inferior. L2 = 15m.005mm. KV = 3. v1 y v2 respectivamente. D1 = 5cm. cuyo piso se encuentra a una cota zA . h.De la arqueta. Rugosidad del material de ambos conductos: ε = 0. cuyo fondo se encuentra a una cota zB y que contiene agua hasta una profundidad H. el agua de la balsa empieza a llenar la arqueta. as´ı como la profundidad hasta la que se llena la arqueta. Un primer tramo de conducto. Escriba las ecuaciones que permitir´ıan determinar las velocidades del agua en los conductos 1 y 2. desemboca en una arqueta a través de una válvula. hasta que finalmente la profundidad del agua en ésta alcanza una altura de equilibro. 42 · 105 Re2 ∞ 1.CAPÍTULO 1. 35 + 400f1 + 9.0101 0. 32 · 105 1. 76m 3 f2 0.0158 Ya damos por bueno el cálculo iterativo. 21 · 105 f1 0. 6m/s2 Re1 ∞ 2. 65 · 105 2. ESTACIONARIO 1.0172 0.3 m/s 4.81 m/s .0115 0. ARQUETA Soluci´ on: Apartado 1 Tramo AB v2 H + zB = h + zA + 1 2g ( ) f1 L1 + Ke + Kv + 1 D1 Tramo A-acequia v2 h + zA = 2 2g ( f2 L2 + Ke + 1 D2 ) Equilibrio en la arqueta v1 D1 = v2 D2 Combinando las 3 ecuaciones anteriores ( ( 4) ( )) D1 f2 L2 v12 f1 L1 + Ke + Kv + 1 + + Ke + 1 H + zB = 2g D1 D2 D2 Ahora sustituimos para iterar 12m = Iter 1 2 3 v12 (5.83 m/s 4. por lo que Q1 = v1 A1 = 9. 375f2 ) 19. 4l/s Y si sustiuimos en la primera ecuación se obtiene h = 1.0175 v1 5.0153 0. de modo que el factor de √ fricción. 4. 2. TUBERÍA BAJO LA MONTANA 2.determine el caudal que circula por los tramos A-B y C-D respectivamente. 8 . f. CAPÍTULO 1. donde L1 = 1000m y L2 = 1500m. as´ı como el valor de la presión en el mismo. determine la distribución de presiones a lo largo de la tuber´ıa. pC = 1. Se pide: 1. Si considera que existe alguna fuga. Obtenga el lugar donde se ha producido la fuga. pB = 4atm. viene dado por la expresión 1/ f = 2. 3. 03log(Re f ) − 0. A partir de los datos obtenidos en los apartados anteriores.˜ 2. obteniéndose pA = 6atm. ESTACIONARIO Tuber´ıa bajo la monta˜ na Para determinar las fugas que se producen en una tuber´ıa lisa de diámetro d = 5 cm que atraviesa una colina se instalan cuatro puntos de control de la presión estática tal y como se muestra en la figura. Sabiendo que el flujo en el interior de la√tuber´ıa es turbulento. Tras una inspección visual se comprueba que no existen fugas en los tramos A-B y C-D. 4 . obtenga el caudal de la misma.5atm y pD = 1atm. xf . 8 ρ ∂x ρ ∂x ν ρ ∂x Sustituyendo los datos obtenemos la velocidad en el tramo AB de 0. habiendo sustituido el valor del coeficiente de pérdidas expuesto en el enunciado √ √ ( ( √ ) ) ) √ −2d ∂P ( −2d ∂P d −2d ∂P u= 2. 8 = 2.992 m/s y en el tramo CD 0. TUBERÍA BAJO LA MONTANA Soluci´ on: Apartado 1: La ecuación que define las pérdidas de carga es ∂P 1 1 =λ ρ ∂x 2 d Despejando la velocidad obtenemos la siguiente expresión.34l/min Apartado 2: El caudal de la fuga será la diferencia entre el QAB y QCD . sabiendo que Q=A·V Obtenemos un valor de QAB = 116.53l/min Apartado 3: La distribución de presiones de presiones para el tramo AB vendrá dada por − PA − PB PA − P (x) PA − PB ∂P = → = ∂x l1 x − xA l1 Despejando P(x) obtenemos P (x) = PA − PA − PB (x + l1 ) l1 De forma análoga a la anterior.453 m/s. calculamos la distribución de presiones para el tramo CD P (x) = PD + PC − PD (l1 + l2 − x) l1 Apartado 4: Para hallar el lugar donde se ha producido la fuga Xf .CAPÍTULO 1.03log(Rc λ) − 0. igualamos las distribuciones de presión del tramo AB y CD.7m 5 .03log − 0. por lo que Qf = QAB − QCD = 63. ESTACIONARIO ˜ 2. obteniendo la siguiente expresión Pf = PA − PA − PB PC − PD (xf + l1 ) = PD + (l1 + l2 − xf ) l1 l1 Despejamos xf xf = 1166.86l/min y QCD = 53. podemos calcular la presión dicho punto de la siguiente manera: Pf = PA − PA − PB (xf + l1 ) = 1. TUBERÍA BAJO LA MONTANA CAPÍTULO 1. ESTACIONARIO Una vez calculada la distancia xf .667bar l1 6 .˜ 2. DATOS: Diámetros: tuber´ıa principal: D = 0. en las condiciones más desfavorables (todos los grifos abiertos).001 kg/m·s 7 .3 mm Coeficientes de pérdidas: Codo de 90.9. entrada a la tuber´ıa Ke = 0. Calcule los caudales que suministrar´ıan los grifos 1 y 2. A su vez cada planta tiene una longitud de conducto. Conector tipo T (Tramo Recto) KT R = 0.05 m. generalice el resultado obtenido a un edificio de n plantas. el grifo del piso superior proporcione un caudal C3 = 10 l/s. Propiedades del fluido: ρ = 1000 kg/m3 . RED DE ABASTECIMIENTO Red de abastecimiento Se desea calcular la potencia de una bomba para abastecer un modelo simplificado de un edificio de tres plantas. H = 3 m. 3. que conecta el grifo con la conducción principal. sabiendo que el caudal en la u ´ltima planta debe seguir cumpliendo Cn = 10 l/s.5. En estas condiciones se pide: 1. K90 = 0. Calcule la potencia que debe entregar la bomba.8. Longitudes: L = 10 m. grifo Kg = 0. L. La bomba toma el agua de un depósito abierto a la atmósfera y cuya superficie libre se encuentra prácticamente a cota cero como se indica en la figura.2.01 m. ESTACIONARIO 3. y µ = 0. Despreciando ahora pérdidas secundarias y suponiendo que el factor de fricción no depende del n´ umero de Reynolds. 3.CAPÍTULO 1. C1 y C2 . Cada planta del edificio se modela como un u ńico grifo situado a una cota H respecto del grifo del piso inferior. Se desea que. Tuber´ıa del piso: D = 0. T (Tramo perpendicular) KT P = 1. Rugosidad de la tuber´ıas: ε = 0.8. 2. CAPÍTULO 1. RED DE ABASTECIMIENTO L C3 C2 3L L 8 C1 H H H . ESTACIONARIO 3. 0324 en lugar de 0. que son idénticas. pero este u ´ltimo se calcula inmediatamente una vez obtengamos Q1 y Q2 .01m. L=10m y las energ´ıas cinéticas de los chorros de salida han sido tenidas en cuentas en las energ´ıas mecánicas calculadas en 2 y 3. RED DE ABASTECIMIENTO Soluci´ on: Tenemos que resolver los apartados 1) y 2) simultáneamente.CAPÍTULO 1.0571 = fp y fT P = 0. ya que el trabajo de la bomba se debe calcular con el caudal total Wb = ρgCHb C = C1 + C2 + C3 Se ha de calcular Q1 . Q2 y Hb . y en una primera iteración las supondremos dadas por la correlación de Nikuradse: 0. Para la tuber´ıa principal obtendr´ıamos Re2 = Re3 /5 Colebrook nos dar´ıa f23 = 0. de aqu´ı en adelante tomaremos f1 = f2 = f3 = 0. ESTACIONARIO 3.05m. 9 . Los factores de fricción f2 y f23 son desconocidas. 07l/s α2 α2 3 El valor obtenido del C2 aproximadamente C3 (y se verá que. inmediatamente aguas arriba de la Te del segundo piso. se cumplirá esto siempre en los conductos de los pisos. H=3m. Reordenando la ecuación de Bernoulli. Como en el u ´ltimo caso sabemos que Re3 = 106 Lo que demostrar´ıa que para este tubo estamos en régimen dominado por rugosidad. Para calcular Q2 se ha de tener en cuenta que la presión en el punto A. es posible calcularla yendo por los caminos A2 y A3 : 8C 2 z2 + 2 2 4 π gd ( f2 L + KT P + Kg + 1 d + ) 8C 2 = z3 + 2 3 4 π gd ( ) f3 L + KT P + Kg + 1 + d 8C32 f23 H 8C22 + KT R π 2 gD4 D π 2 gd4 Donde d=0. 25 f=[ ( )]2 log10 ε/D 3.0321. ya que los n´ umeros de Reynolds en el resto de los tramos de la tuber´ıa principal serán mayores. De este modo. del mismo modo. D=0. un error relativo menor del 1 % en el peor de los casos. el C1 = C3 ). 0321 y f2 = f3 = 0. y además H es mucho menor que la pérdida de carga en cada piso. 0571. ya que el sistema está dominado por las pérdidas de carga en los pisos.71 Con lo que se obtiene f23 = 0. llamando α2 al factor que multiplica C2 . α3 al factor que multiplica C3 y H a z3 − z2 obtendr´ıamos el caudal 2 con la siguiente expresión: √ C2 = α3 2 H + C = 10.021 para la tuber´ıa principal. es decir. Dado que los otros pisos tendrán mayores caudales. 15 · 104 m Y de esta manera. dado aproximadamente por: ∆Hp = 8C32 fp L = 4. El valor de la potencia calculada de este modo es Wb = 13. Si vamos de la u ´ltima Te (pen´ ultimo piso) al grifo del u ´ltimo piso.3MW. pero ahora si vamos del punto B a los puntos 1 y 2: ( ( ) ) fp L fp L 8C 2 8C 2 z1 + 2 1 4 + KT P + Kg + 1 = z2 + 2 2 4 + KT P + Kg + 1 + π gd d π gd d + 8C12 8(C2 + C3 )2 fT P H KT R + π 2 gD4 D π 2 gd4 O bien. si despreciamos las pérdidas de carga secundarias y tenemos en cuenta que C1 = C2 = C3 . La potencia que ha de proporcionar la bomba podemos calcularla si se va del depósito al punto 1 (por ejemplo) 8(C1 + C2 + C3 )2 Hb = H + π 2 gD4 ( ) ) ( fp L 8C12 fT P (4L + H) + Ke + 2 · K90 + 2 4 + KT P + Kg + 1 D π gd d Hb = 5. esto es debido a que en la realidad el diámetro es mayor que 0. se tiene la estimación que: Wb = ρg3C3 ∆Hp Donde ∆Hp es la pérdida de carga en cada piso. conociendo Hb . y al grifo del pen´ ultimo. 3M W Si analizamos los valores se observará que son absurdos. el procedimiento es el mismo.01 metros y el caudal menor que 10l/s. Para calcular C1 se repetirá el mismo procedimiento. ESTACIONARIO 3.CAPÍTULO 1. RED DE ABASTECIMIENTO H << α3 C32 = 4. reordenando. Nótese también que. simplificándolo sin pérdidas secundarias. Apartado 3): Para el sistema de n pisos. 97 · 104 m La peque˜ na diferencia entre α2 y α3 se debe sólo a las pérdidas de carga secundarias. 15l/s α2 α2 2 α2 Los mismos razonamientos anteriores se aplican en este caso. podemos calcular finalmente Wb con la siguiente expresión: Wb = ρgHb (C1 + C2 + C3 ) = 15. la presión en la Te se calcula como: 10 . 72 · 104 m π 2 gd4 d Por lo que dicho resultado no es una mala aproximación de la real. 9M W en lugar de 15. obtenemos el valor de C1 : √ H β2 2 β3 C1 = + C + (C2 + C3 )2 = 10. ya que es aproximadamente 2 αCn √ 2 1 por lo que n es aproximadamente CHn α y si n << 126 no cuenta. 11 . En todo caso. 3 · 10−5 y desprecian se tiene H 2 αCn β ∑ (∑ )2 (n − i)H + Cj α α = 6. puesto que ser´ıa suficiente ir de piso en piso desde n-1 hasta 1: Ci2 = Cn2 H + Los parámetros αβ = 5.CAPÍTULO 1. Por lo tanto. tal como se indicó anteriormente. 25 · 10−5 son mucho menores que la unidad. recuérdese que resolver el problema numéricamente es trivial. Nótese que el término (n−i)H 2 αCn ∑ ∑ En todo caso. despreciar este término es mucho más restrictivo que despreciar la diferencia de cotas. 2 αCn−2 = H + αCn−1 + β(Cn + Cn−1 )2 Y en general. este término es expl´ıcito y no molesta. El otro término. y si se C = nCn Y la potencia necesaria es: Wb = ρgαnCn3 ∑ (n−i)H puede despreciarse siempre. RED DE ABASTECIMIENTO ) ( ) fp L fp L 8Cn2 8C 2 fT P H + 1 + (n − 1)H = z2 + 2 4 + 1 + 2 n4 + nH d π gd d π gD D Es decir: 2 αCn−1 = H + αCn + βCn2 Tomando del antepen´ ultimo al u ´ltimo. se tiene: αCi2 = H + αCi + 1 + β (∑ )2 Cj De este modo el problema ya estar´ıa resuelto. ESTACIONARIO 2 8Cn−1 π 2 gd4 ( 3. ( Cj )2 no es expl´ıcito. ∑ ∑ pero podemos estimar sin importancia suponiendo Ci = Cn con lo que αβ ( Cj )2 se hace de orden unidad para n=38 pisos. calcule el nuevo caudal de petróleo vertido tras el recorte. µp = 0. PT . dado que al partirse éste. PLATAFORMA PETROLÍFERA 4. ¿Es esto cierto en este caso? Justifique la respuesta. se propone calcular el incremento de caudal al que dará lugar el recorte de la boca del tubo de la siguienet forma: 1. DATOS: Longitud de conducto (vertical) desde el pozo hasta el fondo marino: L = 500m. De la boca del conducto empezó fluir petróleo con un caudal que los expertos estimaron en Q = 60000barriles/dia (1barril = 160litros). Se ha despreciado en un apartado anterior la pérdida de carga asociada a la entrada desde el pozo al conducto. ESTACIONARIO Plataforma petrol´ıfera Al hundirse la plataforma petrol´ıfera Deepwater Horizon la pasada primavera. Si la presión total dentro del pozo no ha variado al recortar la boca. Q′ . Presión en la superficie del mar: pa = 100000P a. En rigor. Es decir. como parece razonable. Desprecie la pérdida de carga debida a la entrada del pozo al conducto y suponga que el petróleo y el agua son completamente miscibles. Para facilitar la instalación se sugirió recortar la salida del conducto. dicha pérdida puede ser del orden de la que tiene la boquilla retorcida. Diámetro del conduto: D = 250mm. La solución adoptada para contener el vertido consistió en acoplar una campana de contención a la boca del conducto. el conducto por el que el petróeo era extraido del pozo se fracturó prácticamente a la profundidad del fondo marino. Propiedades del petróleo: densidad.03mm. la boca hab´ıa quedado retorcida dando lugar a una geometr´ıa complicada que hac´ıa dif´ıcil acoplar la campana. CAPÍTULO 1. Sin embargo despreciarla ser´ıa razonable si el caudal calculado de esta forma fuese mayor que teniédola en cuenta. 2.4. viscosidad. Densidad del agua: ρ = 1000kg/m3 . Rugosidad del conducto: ε = 0. Para verificar si los temores del experto son fundados. ρp = 800kg/m3 . estar´ıamos haciendo una hipótesis conservadora. Si la boquilla retorcida del conducto se puede modelar como un elemento de coeficiente de pérdidas Kboca = 5. calcule la presión total a la que se encuentra el pozo de petróleo.dando lugar por tanto a un incremento del caudal de petróleo vertido.01kg/m · s. ¿Justifica el aumento calculado los temores del experto? 3. Sin embargo uno de los expertos que asesoraban al gobierno sugirió que recortar la boca del tubo para dejarlo de sección circular y aristas vivas iba a reducir la pérdida de carga del circuito. h = 1500m. 12 . planteamos la ecuación de Bernouilli entre el pozo (A) y el lecho marino (B) 1 PA + ρA g(−L) = PB + ρP v 2 + ∆P 2 Y despejando la presión total (punto A).CAPÍTULO 1. calculamos el Reynolds y la rugosidad relativa V = Re = ρV D = 45200 µP ε = 1. obtenemos: ) ( 1 fL 2 PT = P a + ρgh + ρP v 1 + + Kboca = 1. ESTACIONARIO 4.49 · 107 P a 2 D Apartado 2: Al recortar la boquilla.48 · 107 P a La velocidad se calcula con la siguiente expresión (habiendo traducido el caudal a m3 /s) 4Q = 2. PLATAFORMA PETROLÍFERA Soluci´ on: Apartado 1: La presión en el lecho marino (punto B) es PB pB = P a + ρgh = 1.0218 A continuación.2 · 10−4 D Y en el diagrama de Moody observamos que f = 0.40 Re 45200 47740 48000 13 f 0. para a posteriori calcular el Reynolds y comprobar en el diagrama de Moody el nuevo valor del factor de fricción f .39 2.0218 0.0215 0. por lo que planteando la ecuación de Bernouilli de nuevo entre los puntos A y B tenemos ( ) fL 1 P a − ρgL = PB + ρP v 2 1 + 2 D Despejando la nueva V’ √ 2(PT − PB ) v′ = ρP (1 + fDL A continuación. iter 1 2 3 v’ (m/s) 2.0215 . no existirán las pérdidas producidas por la boquilla retorcidad.26 2. calcularemos el valor de V’ partiendo de las condiciones obtenidas en el primer apartado.26m/s πD2 Para saber el valor de f . Apartado 3: Cualquier otra pérdida adicional que se considere reduce el peso relativo de Kboca en la ∆Ptotal .4. PLATAFORMA PETROLÍFERA CAPÍTULO 1. 14 . damos bueno v ′ = 2. con lo que despreciarlas siempre dará un ∆Q menor.40m/s al conseguir el mismo factor de fricción tras dos iteraciones seguidas. y calculamos el caudal. un 6 % de incremento.1178m3 /s 4 Q′ = 63600barriles/dia Es decir. ESTACIONARIO De este modo. Q′ = v ′ πD2 = 0. Cap´ıtulo 2 Flujo en conductos transitorios El flujo en el conducto depende del tiempo. por lo que los problemas se calcularán resolviendo la ecuación diferencial. 15 . mientras que la sobrepresión (siempre relativa a la inicial. mientras que la otra comienza a avanzar aguas abajo en el conducto 2 (volviendo hacia la válvula). ¿Son de compresión o de expansión? NOTA: Los sentidos de las velocidades v1′ y v2′ de la figura se han puesto suponiendo que fueran positivas. sale del conducto 2 por una válvula con una velocidad v2 = 0. a partir de las ecuaciones obtenidas. Cuando la primera onda alcanza la contracción. S´ ubitamente se cierra la válvula situada aguas abajo de la contracción. 3. ∆p′ . 5. ésta se descompone en otras dos ondas. A la vista de este resultado. p0 ) en la región del campo fluido que queda comprendida entre ambas ondas se denominará ∆p′ . una de las cuales continua avanzando hacia aguas arriba del conducto 1. TRANSITORIO 1. as´ı como con cualquier otro parámetro que considere necesario. Las velocidades que aparecen tras estas ondas se denominarán v1′ y v2′ . Ambas tuber´ıas se pueden considerar infinitamente r´ıgidas. las ondas que avanzan por los conductos 1 y 2 respectivamente. como se indica en la figura. Se desea estudiar cómo se comporta dicha onda al llegar a la contracción. p0 = 100000P a. En estas condiciones la presión dentro de ambos conductos se puede considerar uniforme y cercana a la atmosférica. Obtenga las ecuaciones que relacionan la sobrepresión. con las nuevas velocidades. Para ello se propone seguir los siguientes pasos: 1. p0 . pero si son positivas o negativas es algo que a priori no se sabe (y que no es necesario calcular). Calcule el valor de dicha sobrepresión y compárela con la obtenida en el apartado 1. Obtenga la ecuación que liga las velocidades tras las ondas. relativa a la presión inicial. Un l´ıquido de densidad ρ = 800kg/m3 y velocidad del sonido a = 1100m/s.CAPÍTULO 2. Obtenga una expresión para la sobrepresión. Calcule la sobrepresión. 4. ∆p′ . v1′ y v2′ . que aparece aguas abajo de la onda de compresión antes de que ésta llegue a la contracción. ∆p. Golpe de ariete con rebote Se tiene un conducto con una contracción brusca en la que se pasa de un área A1 = 2cm2 a otra A2 = 1cm2 más peque˜ na como se indica en la figura. 16 . GOLPE DE ARIETE CON REBOTE 1. v1′ y v2′ . lo que genera una onda de compresión que detiene el fluido dentro del conducto. 2.1m/s. TRANSITORIO 1.CAPÍTULO 2. GOLPE DE ARIETE CON REBOTE 17 . CAPÍTULO 2. 18 . dado que el tubo es infinitamente r´ıgido. GOLPE DE ARIETE CON REBOTE Soluci´ on: Con el criterio de sentidos de la figura 1. ∆P ′ > 0 La onda refractada es de compresión ∆P ′ < ∆P La onda reflejada es de expansión Hay que considerar que c = a. 7kP a 3 Si. las sobrepresiones y velocidades aguas arriba (u) y agua abajo (d) de la onda cumplen: Pd − Pu = ∆P = ρc(vd − vu ) Apartado 1: Aplicando la ecuación anterior a la primera onda ∆P = ρc(0 − (−v2 )) = ρcv2 = 88kP a Apartado 2: Onda que avanza por el conducto 1 (refractado): ∆P ′ = ρc(−v1′ + v1 ) = ρc A2 (−v2′ + v2 ) A1 Onda que avanza por el conducto 2 (reflejado) ∆P ′ = ρc(v2′ + v2 ) Apartado 3: Por continuidad A1 v1′ v2′ A2 Apartado 4: Operando entre para eliminar v2′ 2v2 ∆P ′ = = 2/3v2 1 ρc 1+ A A2 Por tanto 2 ∆P ′ = ρcv2 < ∆P = ρcv2 3 Apartado 5: 2 ∆P ′ = ∆P = 58. TRANSITORIO 1. supuesto constante. f . la válvula C permite el paso de fluido de A-B a C-E. se supone que el punto C se encuentra a una distancia de B mucho menor que L. Adicionalmente. la válvula se cierra. 2.CAPÍTULO 2. BOMBA DE GOLPE DE ARIETE Bomba de golpe de ariete Una bomba de golpe de ariete es un dispositivo basado en este efecto y que permite elevar agua hasta alturas superiores a la de origen. Durante la fase de sobrepresión del golpe de ariete. su velocidad es V0 . El funcionamiento se puede describir de la siguiente forma simplificada (ver figura adjunta): El agua fluye hasta el ambiente desde un depósito cuya superficie libre se encuentra a una cota. la válvula B se cierra s´ ubitamente. al que está conectado mediante una válvula antirretorno (C) que se abre cuando la presión en A-B es mayor que en el punto C y se cierra en el caso contrario. y factor de fricción. Cuando la presión en C excede la de A-B. En ese momento. KC . suponga que las tuber´ıas son infinitamente r´ıgidas. Cuando el flujo en A-B se encuentra en estado estacionario. Su longitud se supone infinita. Asimismo. El conducto de elevación (C-E) parte del conducto principal (A-B). Se conoce el diámetro del conducto C-E (d ≪ D) y su factor de fricción. Desprecie todas las pérdidas de carga secundarias. H. TRANSITORIO 2. L. a excepción de la de la válvula C. por medio de un conducto (A-B) de longitud. conocidos. D. E ∆h H C V0 A B 19 . H. f . y que el cierre/apertura de la válvula C no genera golpes de ariete secundarios. diámetro. dando lugar a un golpe de ariete que se propaga por dicho conducto. Q. y despreciando variaciones en la presión del conducto A-B debidas a la pérdida de carga.5 m. V0 . t2 . Tras dicha fase. el fluido se encontrar´ıa parado en A-B. 3. Estime el caudal medio de agua elevada. t2 y Q. se abrir´ıa de nuevo la válvula B. por encima del nivel de partida. H = 5 m. H. V.CAPÍTULO 2. y se volver´ıa cerrar B. D = 0. Para que la bomba volviera a mandar otro volumen de agua. DATOS: L = 10 m. se esperar´ıa un tiempo. BOMBA DE GOLPE DE ARIETE Con estas hipótesis se pide calcular: 1. 2.02. a0 = 1500 m/s. f = 0. V. d = 1 cm. NOTA: ∫ t tanh s ds = ln(cosh t) 0 20 . hasta que la velocidad fuera próxima a la estacionaria. Calcule el tiempo t2 . calcule el volumen de agua. 4. En lo sucesivo suponga que ésta se extrae a una altura. suponiendo que el ciclo de elevación es el periodo comprendido entre dos cierres consecutivos de la válvula B. constante. KC = 15. ∆hmax . Suponga que el golpe de ariete se amortigua completamente tras la fase de depresión que aparece en A-B. Suponiendo que durante este periodo el flujo en C-E viene descrito por un transitorio lento. 5. Haga aplicación numérica de las expresiones obtenidas para calcular V0 . Calcule la duración del periodo desde que se cierra la válvula B (t = 0) hasta que se cierra la válvula C. t1 . calcule la altura máxima a la que se podr´ıa elevar agua. t1 . durante el cual el agua fluye al conducto C-E. Suponiendo la velocidad V0 conocida. TRANSITORIO 2. que pasar´ıa a dicho conducto hasta que se cerrara de nuevo la válvula C en t = t1 . ∆hmax . ∆h < ∆hmax . 6. ∆h = 10 m. TRANSITORIO 2. obtenemos: ( ) ( ) V2 a0 v0 1 f1 L f2 (H + ∆h) H + ∆h dVCE − v02 1 + = CE 1 + Kc + + g 2g D 2g d g dt Con la condición inicial VCE (0) = 0. BOMBA DE GOLPE DE ARIETE Soluci´ on: Apartado 1: Para calcular la v0 planteamos la ecuación de Bernouilli entre el punto B y la superficie libre P a V02 Pa = + H+ ρg ρg 2g ( ) f1 L 1+ D Despejamos v0 ( V0 = )1 2 2gH 1+ f1 L D = 8. 067s a0 Apartado 3: Planteamos la ecuación de Bernouilli emtre la superficie libre y el punto B ( ) 1 2 f1 L PB + ρv0 1 + = P a + ρgH + ρa0 v0 2 D Despejamos PB ( ) 1 2 f1 L PB = P a + ρgH + ρa0 v0 − ρv0 1 + 2 D De este modo. 86m/s Apartado 2: El conducto AB permanece presurizado con ∆P = ρa0 V0 durante el tiempo de ida y vuelta de la onda de golpe de ariete. que es: t1 = 2L = 0.CAPÍTULO 2. planteando de nuevo la ecuación de Bernouilli entre el punto B y el E. para cuando el transitorio es cero despejamos VC v ( ) u u a v − g∆h 1 v 2 1 + f1 L u 0 0 0 2 D V C = t2 f2 (H+∆h) 1 + Kc + d Cuando la velocidad es cero despejamos tC 21 . tenemos: V2 PB Pa = + H + ∆h + CE ρg ρg 2g ( ) f2 (H + ∆h) H + ∆h dVCE 1 + Kc + + d g dt Sustituyendo el valor calculado anteriormente de PB y desarrollando. BOMBA DE GOLPE DE ARIETE tc = H + ∆h ( V2 a0 V0 − g∆h − 20 1 + f1 L D ) VC Teniendo en cuenta las siguientes adimensionalizaciones VCE VC v∗ = t tc τ= Tenemos el sistema dv∗ + v∗2 = 1 dτ v ∗ (0) = 0 Resolviendo obtenemos v∗ = tanhτ Para calcular el caudal con respecto al tiempo. TRANSITORIO 2. tenemos la siguiente expresión πd2 vc v∗ 4 Q(t) = Para calcular el volumen ∫ t1 V ol = 0 πd2 v c tc Q(t)dt = 4 ∫ 2L a0 tc v ∗ (τ )dτ 0 [ ( )] πd2 H + ∆h 2L ln cosh V ol = 2 1 + Kc f2 (H+∆h) a 0 tc d Apartado 4: La estimación del tiempo caracter´ıstico de establecimiento de la corriente en el conducto AB es: t2 ∼ LV0 gH Apartado 5: El caudal medio de agua elevada es Q= V ol t1 + t2 Apartado 6: Sabiendo que el valor de PB es 22 .CAPÍTULO 2. CAPÍTULO 2. tenemos: ) ( ) 2 ( VCE f2 (H + ∆h) 1 2 f1 L ρg∆hmax + 1 + Kc = ρa0 v0 − ρv0 1 + 2g d 2 D Sabiendo que para hmax . TRANSITORIO 2.687 · 10−4 m3 /s ∼ 22.00335m3 t2 ∼ 9.03s ∆hmax = 1331m Q ∼ 3. BOMBA DE GOLPE DE ARIETE ) ( 1 2 f1 L PB = P a + ρgH + ρa0 v0 − ρv0 1 + 2 D Planteando la ecuación de Bernouilli con entre B y C sustituyendo el valor conocido de PB . nos queda: ∆hmax a0 V0 V02 = − g 2g ( ) f1 L 1+ D Apartado 7: Los resultados obtenidos son D ∼ 0.12l/min 23 . VCE = 0. en cuyos extremos. µ = 0. El embalse descarga por un sistema de conductos que consiste en un primer tramo. Todos los conductos mencionados (AB y BC) tienen la misma longitud.001 kg/m·s. supuesto independiente del Reynolds. se pide: 1. y despreciando las pérdidas secundarias. Para el proceso transitorio que ocurre a partir de este instante. Calcule as´ı mismo el caudal que circulará de manera permanente por los diferentes tramos. que termina en una bifurcación. L = 1000 m. En el instante t = 0 se abren simultáneamente las dos compuertas situadas en los extremos C. obtenga el orden de magnitud del tiempo caracter´ıstico de aceleración del fluido en los conductos. Propiedades del agua: densidad. obtenga una u ńica ecuación diferencial que permitir´ıa obtener el caudal que circula por el conducto AB. y un factor de fricción. se encuentran dos compuertas que inicialmente se encuentran cerradas. f = 0. Aplicando argumentos de análisis dimensional a la ecuación anterior. AB. de la que salen dos conductos idénticos. Cotas: H = 50 m. viscosidad.CAPÍTULO 2. 4. DATOS: Datos de los conductos: D = 0. ρ = 1000 kg/m3 . h. f . Transitorio desde Embalse Se desea estudiar el proceso transitorio de descarga de un embalse de volumen infinito que contiene una profundidad de agua H. Aceleración de la gravedad: g = 9. por debajo del fondo del embalse. h = 20 m. Haga aplicación numérica con los datos que figuran abajo. C. H A H B B h C 24 C C h . Obtenga el sistema de ecuaciones diferenciales y condiciones iniciales que permitir´ıa obtener el caudal que circula por cada conducto en función del tiempo. 2. con lo que la presión en estos puntos pasa a ser la atmosférica. BC.01. TRANSITORIO 3. Relacione éste con el caudal que circula en cada instante por cada conducto BC. Los puntos C está situados a una cota. 3. el mismo diámetro. L. Haciendo uso de la simetr´ıa existente entre los dos conductos BC.5 m.8 m/s2 . Integre la ecuación del apartado 2 y represente aproximadamente la curva caudal-tiempo que resulta de dicha integración. TRANSITORIO DESDE EMBALSE 3. B. D. se puede afirmar que v1 = v2 + v3 = 2 · v2 . De este modo. con las ecuaciones diferenciales obtenidas en el apartado anterior para el tramo AB y BC2 sumandolas: 3 dv1 5 2 f L ρL + ρv1 − ρgh + Pa − PA = 0 2 dt 8 D Sabiendo además que 1 PA = Pa + ρgH − ρv12 2 y sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos: 3 dv1 5 2 f L 1 ρL + ρv1 − ρgh − ρgH + ρv12 = 0 2 dt 8 D 2 25 . la ecuación diferencial es: dv2 1 2 f L 1 2 2 + ρv2 + ρ(vC − vB ) + ρg(zC − zB ) + PC − PB = 0 dt 2 D 2 Donde zC − zB = −h y vC = vB ρL Y para BC3 dv3 1 2 f L 1 2 2 + ρv3 + ρ(vC − vB ) + ρg(zC − zB ) + PC − PB = 0 dt 2 D 2 Donde zC − zB = −h y vC = vB ρL Teniendo en cuenta que las condiciones de contorno iniciales para t = 0 es que v1 = v2 = v3 = 0 y que para los tramos BC2 y BC3 la v2 = v3 . TRANSITORIO DESDE EMBALSE Soluci´ on: Apartado a) La ecuación diferencial del sistema ser´ıa: 1 2 dvi 1 1 f Li + ρLi ρv + ρgz1 + p1 = ρv22 + ρgz2 + p2 + ρvi2 2 1 2 2 Di dt Para el tramo de la tuber´ıa AB. por lo que las u ńicas incógnitas son v1 (t) y v2 (t).CAPÍTULO 2. TRANSITORIO 3. ecuación diferencial del sistema es dv1 1 2 f L 1 2 2 + ρv1 + ρ(vB − vA ) + ρg(zB − zA ) + PB − PA = 0 dt 2 D 2 y zA = zB ρL Donde vA = vB Para el tramo BC2 . Apartado b) Puesto que Q1 = Q2 + Q3 y el área es constante para todas las tuber´ıas. CAPÍTULO 2. TRANSITORIO 3. TRANSITORIO DESDE EMBALSE Si consideramos el sistema estacionario, la dv1 /dt = 0, por lo que la ecuación se simplificar´ıa y despejando v1 obtenemos: √ 2g(h + H) v1 = L 1 + 5f 4D Para estimar tc , realizamos la siguiente aproximación ( ) 3 v1c 1 5f L 2 L ∼ + v1c 2 tc 2 8D y despejando tc obtenemos: tc ∼ ( 1+ 3L 5f L 8D ) v1c v u u ∼ 3Lt ( 1+ 5f L 8D 1 ) 2g(h + H) Apartado c) Para adimensionalizar la ecuación anterior, conociendo de antemano las variables adimensionales, v= v1 v1c τ= t tc Sustituimos dichas variables en la ecuación anterior ( ) 3 v1c dv 5 fL L + 1+ v12 = 2g(h + H) 2 tc dτ 4 D y obtenemos ( ) dv 5 f L tc v1c 2 tc + 1+ v = 2g(H + h) dτ 4 D 3L 3Lv1c Sabiendo el valor calculado anteriormente de tc , averiguamos que tc v1c = 3L 1+ 5f L 4D tc 1 = 3Lv1c 2g(H + h) por lo que al final obtenemos ∫ 0 v dv + v2 = 1 dτ ∫ τ dv = dτ 1 − v2 0 26 CAPÍTULO 2. TRANSITORIO 3. TRANSITORIO DESDE EMBALSE ∫ v τ= 0 dx 1 − x2 Apartado d) El resultado de la anterior ecuación integral es igual a √ 1+v τ = ln 1−v y desarrollando v = tanh(τ ) As´ı pues, para tc = 0, tanh(τ ) ≃ τ v≃τ y si tc = ∞ , v≃ 1 − e−2τ 1 + e−2τ 27 CAPÍTULO 2. TRANSITORIO 4. TRANSITORIO DEBIDO A FUGA 4. Transitorio debido a fuga Una plataforma elevadora de un taller mecánico consiste en un cilindro de diámetro D que se llena de aceite hidráulico (de densidad ρ conocida) a presión para elevar un émbolo que soporta la plataforma en s´ı. El sistema plataforma + émbolo + carga (coche) tiene una masa M . El aceite se inyecta a través de un conducto de diámetro d que descarga a la altura del fondo del cilindro. A una distancia L del cilindro, el conducto dispone de una válvula de drenaje. En un instante dado (t = 0), cuando el sistema se encuentra en reposo con el émbolo elevado una altura H0 , la válvula sufre un fallo mecánico y sale despedida por la presión, con lo que el aceite empieza a fugar con una velocidad, v(t), como se indica en la figura. Suponiendo despreciables las pérdidas secundarias y que el flujo en ambos conductos está dominado por la rugosidad, se pide obtener (no integrar) la ecuación diferencial y condiciones inciales que permitir´ıan determinar la evolución temporal de la altura H(t). NOTA: Ignore el transitorio rápido inicial debido a la compresibilidad de los conductos y del l´ıquido. M H0 H(t) v(t) d D L 28 TRANSITORIO 4. necesitamos dos Posición: H(0) = H0 dH dt (0) = 0 (parte del reposo) 29 . TRANSITORIO DEBIDO A FUGA Soluci´ on: Ecuación de Bernouilli generalizada (con pérdidas y transitorio) Tramo 0-1 1 1 1 f0 H dv0 P0 + ρv02 + ρgH = P1 + ρv02 + ρv02 + ρH 2 2 2 D dt Tramo 1-2 (sin pérdidas secundarias): ∑ 1 1 1 fL dv 1 P1 + ρv02 + ρgH = P a + ρv 2 + ρv 2 + ρL + ρv 2 Ksec 2 2 2 D dt 2 Segunda ley de Newton para la plataforma más el coche (P0 − P a) πD2 d2 H − Mg = M 2 4 dt P0 − P a = 4M d2 H 4M g + πD2 πD2 dt2 Relaciones cinemáticas v0 = − dH dt Por se la V0 positiva hacia abajo ( v = v0 D d ) Combinando todas las fórmulas anteriores: 1 d2 H g dt2 ( 4M +H +L πρD2 ( D d )2 ) 1 − 2g (( D d )4 f L f0 H + d D )( dH dt )2 + 4M +H =0 ρπD2 Condiciones iniciales: como la ecuación es de segundo grado.CAPÍTULO 2. L = 8m. TRANSITORIO 5.4. Esto da lugar a una onda de golpe de ariete de expansión que se propagar´ıa por el conducto partiendo desde la unión. caudal de combustible: Q = 1m3 /min 30 . E = 80GP a.CAPÍTULO 2. l = 2m. pa = 1 bar. exceptuando las debidas a las válvulas. calcule la velocidad a la que saldr´ıa el combustible por la fractura del tubo. Kinj = 9. suponiendo que ésta se encontrara práacticamente en la unióon del conducto secundario con el principal. módulo de elasticidad del material. Se pide: 1. exponiendo al fluido en el conducto a la presión ambiente. 3. DATOS: Desprecie las pérdidas secundarias. a. Suponga que la fractura equivale a un corte limpio del tubo perpendicular a su eje. es decir. Conducto principal: D = 50mm. Durante la fase de despegue. ε = 0. COHETE COMBUSTIBLE EN SERIE 5. Constantes de pérdida de las válvulas: Kd = 5. Durante esta fase en la que la onda a´ un no ha llegado a la válvula. Cohete combustible en serie En la figura adjunta se muestra un esquema ultrasimplificado del sistema de distribución de combustible l´ıquido de un cohete. velocidad del sonido a0 = 2000m/s Aceleración del cohete: a = 5g Cámara de combustión: presión de la cámara: pc = 180bar. Calcule la velocidad de avance de la onda. Por razones de equilibrado de masas. que aporten el mismo caudal a la red. espesor de pared. la unión del conducto con el depósito 2 se parte s´ ubitamente. a través de una red de conductos y válvulas cuyas caracter´ısticas se especifican más abajo. desprecie la altura del combustible en los depósitos. pc . El sistema consiste en un conjunto de tres depósitos presurizados que suministran combustible a la cámara de combustión. en la que el cohete acelera verticalmente hacia arriba con una aceleración constante. Asimismo. 5mm. se desea que los tres depósitos se descarguen a la misma velocidad durante la fase de despegue. Conductos: depósitos-tuber´ıa principal: d = 25mm.3 Propiedas f´ısicas del combustible: ρ = 1140kg/m3 . δ = 1 mm. ε = 0. as´ı como el tiempo que tendr´ıa en llegar a la válvula Kd . que se encuentra a una presión. Calcular la presión a la que se deben presurizar los depósitos para proporcionar un caudal total de combustible Q a la cámara de combustión durante la fase de despegue. 2.5mm. µ = 10−5 kg/ms . COHETE COMBUSTIBLE EN SERIE 31 . TRANSITORIO 5.CAPÍTULO 2. en un sistema no inercial que acelera con aceleración → a = a→ ez . TRANSITORIO 5. 79bar Nota: En la componente hidrostática de la presión. COHETE COMBUSTIBLE EN SERIE Soluci´ on: Apartado 1: La resolución de la red se hará comenzando en la cámara. 31bar De ah´ı se puede obtener una segunda ecuación para P3 : 1 (Q/3)2 P3 + ρ(g + a)L = PB + ρ 2 A2d ( fd L + Kd d ) Sustituyendo los datos. las fuerzas másicas se expresan: − → → − − − − fm = − g −→ a = −g → ez − a→ ez = −(g + a)→ ez Con lo que la componente hidrostática de la presión se calcular´ıa: 0=− dP − ρ(g + a) dz 32 .En efecto. 42bar 2 d A2d Y de ah´ı: 1 (Q/3)2 P2 = −ρ(g + a)2L + PA + ρ 2 A2D ( fD L + Kd d ) = 187. Pe . la aceleración correcta que debe aparecer − − ser´ıa g + a. ε/D) = 0. dado que la presión all´ı es conocida. se tiene P3 = 188. conociendo PB es posible calcular PA : 1 (2Q/3)2 fd L PA = PB + ρ = 187. 0379 Aplicando la ecuación con los datos del problema: PB = 186.CAPÍTULO 2. La ecuación que determine la presión en el punto B ser´ıa ( ) 1 Q2 fD L PB = PC + ρ 2 + Kinj 2 AD D Siendo. 42bar Y finalmente: 1 (Q/3)2 1 (Q/3)2 P1 = −ρ(g + a)3L + PA + ρ + ρ 2 2 A2D A2d ( fd L + Kd d ) = 178. AD = πD2 4 f0 = f (Re = ∞. 14bar Por otra parte. la velocidad de avance de una onda de golpe de ariete es: c2 = 1 a20 1 + 1 a2e Siendo a0 la velocidad del sonido en el l´ıquido y a2e = el´ asticas en el conducto. Ee ρd la velocidad de propagación de ondas Sustituyendo se obtiene ae = 1675m/s . c = 1284m/s y t = l/c = 1.CAPÍTULO 2. esto significa que el fluido sale del conducto por la fractura. 17m/s ρc Es decir. 33 . TRANSITORIO 5. con el criterio de signos elegido. Pa − P2 = ρc(va − v2 ) con va = v2 − P2 − P a = 1. 6ms Apartado 3: Aplicando la ecuación de salto de presión en un golpe de ariete. COHETE COMBUSTIBLE EN SERIE P = cte − ρ(g + a)z Apartado 2: Seg´ un se ha visto en clase. En estas condiciones. caudal de combustible: Qc = 4m3 /min. obteniendo en particular el tiempo caracter´ıstico que tardar´ıa el sistema en alcanzar el régimen estacionario. TRANSITORIO Cohete combustible en paralelo En cohetes de combustible l´ıquido. Qhe . Escriba asimismo las condiciones inciales con la que se debe integrar dicha ecuación. suponiendo que ni la presión en la cámara pc ni el caudal de combustible en la misma. Datos del conducto: D = 50mm. Kreg .6. COHETE COMBUSTIBLE EN PARALELO 6. como el valor que debe tomar la constante de pérdidas de la válvula de regulación. éste se mantiene anclado a la torre de lanzamiento durante un cierto tiempo. se pide obtener la ecuación diferencial que permitir´ıa calcular el caudal que circula por el cambiador de calor en función del tiempo. ε = 0. L = 2m. Propiedades f´ısicas del combustible: ρ = 1140kg/m3 . z = 0. que se encuentra a una presión pa = 1bar. Suponga que la descarga de ambos conductos ocurre a la misma cota. se libera el cohete de los anclajes a la torre. que se modelará como una pérdida de carga singular de coeficiente Khe . Khe = 52. pc ) y al cambiador de calor. Adimensionalice la ecuación anterior. exceptuando las debidas a las válvulas y al cambiador de calor. Asimismo. lo que le permite ascender con una acceleración constante a = 5g. L. Qc . es com´ un derivar una fracción de combustible a través de un intercambiador de calor con el fin de refrigerar la tobera del motor. H = 5m. CAPÍTULO 2. pd = 200bar. 4. Durante esta fase. 2. Constantes de pérdida de las válvulas: Kd = 5. presión del depósito. µ = 10−5 kg/ms Presión de la cámara de combustión: pc = 50bar. se pide calcular tanto el caudal que circula por el cambiador de calor. y descarga a través de una red de conductos que se bifurcan en un punto J en dos tramos de igual longitud. Cuando el cohete arranca. constante. Qc . En el instante t = 0. El tramo que lleva combustible a la cámara dispone de una válvula de regulación para garantizar que a la cámara llega un caudal de combustible. 1. Dicho combustible se expulsa luego a la atmósfera. 5mm. DATOS: Desprecie las pérdidas secundarias. El depósito de combustible se encuentra presurizado a presión pd . Qhe . cambian. as´ı como el caudal Qhe cuando se alcanzara dicho régimen. En la figura adjunta se muestra un esquema simplificado de este sistema. 3. 34 . desprecie la altura del l´ıquido dentro del depósito. que llevan combustible a la cámara de combustión (a presión constante. COHETE COMBUSTIBLE EN PARALELO 35 .CAPÍTULO 2. TRANSITORIO 6. TRANSITORIO 6. sumamos las ecuaciones para eliminar PI . ρ Pd +ρg(H+L) = P a+ 2 2A ( fH fL + Khe + Kd + D D ) Q2he + ρ A2 ( ) ) ( ρQ2 f h fH + Kd Qc Qhe + 2 + Kd D 2A D Donde ) fH fL + Khe + Kd + D D ) ( ρ fH β= 2 + Kd Qc A D ( ) ρQ2 f h γ= + Kd P a − Pd − ρg(H + L) 2A2 D ρ α= 2A2 ( Esta ecuación tiene una u ńica raiz positiva.CAPÍTULO 2. podemos obtener una ecuación para Kreg 1 Q2 Pc − P a − ρ he 2 A2 ( fL Khe D despejando: 36 ) 1 Q2 + ρ 2c 2 A ( fL Kreg D ) . 8m3 /min Qhe = 2α Una vez calculado Qhe . √ −β + β 2 + 4αγ = 1. 0379 ) fH + Kreg L ) ( 1 Q2he f H PI = P a + ρ 2 + Khe 2 A L 1 Q2 PI = Pc + ρ 2c 2 A ( Para obtener una ecuación que nos proporcione Qhe . ε/D) = 0. COHETE COMBUSTIBLE EN PARALELO Soluci´ on: Aparatado 1: Ecuaciones de pérdida de carga de los diferentes tramos: 1 (Qhe + Qc )2 Pd + ρg(H + L) = P1 + ρ 2 A2 ( fH + Kd D ) siendo AD = πD2 4 f0 = f (Re = ∞. + Qhe (t = 0) = Qheo donde Qheo es el caudal obtenido en el apartado 1. Apartado 3 Hacemos el cambio de variable Qhe = Qhcos · q(τ ) t = tc · τ Donde Qhcos y tc son constantes con dimensiones de caudal y tiempo respectivamente. el término correspondiente a la presión hidrostática ρg(H + L). ( ) 1 (Qhe + Qc )2 f H ρH dQhe Pd + ρ(g + a)(H + L) = PJ + ρ + Kd + 2 2 A D A dt ( ) 1 Q2he f H ρL dQhe PJ = P a + ρ 2 + Khe + 2 A L A dt Sumándolos: 1 Q2 Pd −P aρ(g+a)(H +L)− ρ 2c 2 A ( fH + Kd D ) 1 Qhe Qc = ρ 2 A2 ( ) ) ( 1 Q2he f L fH + Kd + ρ 2 + Khe + D 2 A D ρ(L + H) dQhe A dt Esta ecuación debe completarse con una condición inicial. 896 Apartado 2 Al variar Qhe con el tiempo. Por otra parte. COHETE COMBUSTIBLE EN PARALELO Kreg = 1.CAPÍTULO 2. las ecuaciones anteriores deben modificarse para incluir el término de aceleracion del fluido en el conducto. pasa a ser ρ(a + g)(H + L) (ver solución al ejercicio A). ( ) 1 Q2c f H + Kd γ = Pd − P aρ(g + a)(H + L) − ρ 2 2 A D ρ(L + H) A ( ) 1 Qc f H β= ρ 2 + Kd 2 A D ( ) 1 Q2he f H fL α= ρ 2 + Khe + Kd 2 A D D δ= 37 . TRANSITORIO 6. tc = δQhcos = 0. el tiempo caracter´ıstico se podr´ıa determinar imponiendo que el coeficiente de la derivada se hace 1. la ecuación se podr´ıa reescribir 1 = (1 − m)q + mq 2 δQhcos dq δtc dτ Por u ´ltimo. 983 Qh cos 38 . COHETE COMBUSTIBLE EN PARALELO Por lo que queda 1= β α δ Qhcos dq Qhcos q + Q2hcos q 2 + γ γ γ tc dτ Para determinar Qhcos imponemos que. 834m3 /min Llamando m = αγ Q2hcos .CAPÍTULO 2. la ecuación diferencial quedará 1 = (1 − m)q + mq 2 + dq dτ que debe integrarse con la condición inicial: q(τ = 0) = q0 = Qh e = 0. Sustituyendo: Qhcos = 1. TRANSITORIO 6. q es 1. 0087s γ Con esta elección. en el l´ımite τ tiende a infinito. −1 + β α Qhcos + Q2hcos = 0 γ γ Esto ser´ıa por tanto el caudal a tiempos largos (en el estacionario). as´ı como de un tiempo caracter´ıstico tc apropiado. Este sistema eleva la presión del combustible l´ıquido de densidad ρ con una bomba B que mantiene la presión en el depósito common-rail a un valor constante pd . longitud L y espesor de pared e. dando lugar a la inyección de combustible. COMMON RAIL Common rail El sistema de inyección common-rail de un motor Diesel CDI de Mercedes-Benz se esquematiza en la figura para un solo inyector. El factor de fricción del conducto de acero puede considerarse constante e igual a f . Desprecie el tama˜ no del inyector frente a la longitud del conducto.5 ms. de coeficiente de pérdidas KEV . se pide: 1. El combustible l´ıquido se puede considerar en remanso en el depósito common-rail y pueden despreciarse todas las pérdidas secundarias a excepción de las asociadas a la electroválvula. Suponiendo que el proceso puede considerarse como un transitorio lento. Si la electroválvula se cierra al cabo de ti = 0. siendo la velocidad del sonido en el combustible a. Desprecie la diferencia de alturas entre los elementos. (1. y a la contracción brusca.CAPÍTULO 2. El inyector se puede esquematizar por una electroválvula EV y por una contracción brusca con diámetro m´ınimo d < D.5 puntos) Si consideramos que el combustible sigue siendo un fluido incompresible a esas presiones. (2 puntos) 2. 7. common−rail B pd D L EV d pc La electrov´ alvula se abre en t = 0. La sobrepresión ∆p por golpe de ariete que se produce en la conducción principal cada vez que la electroválvula se cierra. desde la apertura de la válvula. TRANSITORIO 7. (2 puntos) 39 . de coeficiente de pérdidas KCB . Obtenga la ecuación diferencial y las condiciones iniciales que permitir´ıa calcular la evolución temporal del caudal de inyección. Q(t). la densidad del acero ρa y su módulo de elasticidad E. (3 puntos) 3. Determine el caudal estacionario que se alcanzar´ıa para tiempos grandes. Q∞ . haciendo uso del caudal estacionario Q∞ obtenido en el apartado anterior como caudal caracter´ıstico. Se aconseja el uso de variables adimensionales apropiadas para el caudal y el tiempo. se pide además: 4. determinar el volumen de combustible en mil´ımetros c´ ubicos inyectado al cilindro en función de los datos. El combustible es dirigido posteriormente a cada uno de los inyectores del motor a través de unos conductos de acero de diámetro D. 5 puntos) DATOS: ρ = 880 kg/m3 .5 mm. = tanh s. D = 5 mm. e = 1. NOTAS: 1−s 2 = 2 ln 2s 1−s 0 tanh s ds = ln(cosh t). a = 1400 m/s1 . E = 210 GPa. pc = 500 bar. ρa = 7850 kg/m3 .4. TRANSITORIO 7. COMMON RAIL 5. pd = 2000 bar. KCB = 0. ( ) 2s ∫t ∫ ds 1 1+s e −1 .CAPÍTULO 2. f = 0. d = 1 mm. e +1 40 . ¿Es adecuado considerar el proceso de apertura de la electroválvula como transitorio lento? Razone la respuesta. (0. El tipo de onda que se produce al reflejarse la onda de compresión del apartado 4 en el depósito common-rail y el tiempo total que tarda la onda en volver a la electroválvula desde que ésta se cerró. (1 punto) 6. KEV = 200.01. L = 20 cm. CAPÍTULO 2. COMMON RAIL Soluci´ on: Apartado a) Para calcular el caudal estacionario Q∞ . TRANSITORIO 7. 23 · 1015 + 2A2d β = Pd − Pc = 1. 5 · 108 Finalmente √ Q = Q∞ = β = 3. planteamos la ecuación de Bernoulli incluyendo las pérdidas entre el depósito en remanso y la salida del inyector: ( ) 1 2 1 2 fL 1 Pd − (Pc + ρvd ) = ρVD + KEV + ρVd2 KCB 2 2 D 2 Sabiendo que VD = 4Q πD 2 y Vd = 4Q πd2 sustituimos en la ecuación de Bernoulli [ ( ] ) ρ fL ρ 2 Pd − Pc = Q (1 + KCB ) + KEV + 2A2D D 2A2d Donde [ ρ α= 2A2D ( fL + KEV D ) ] ρ (1 + KCB ) = 1. 5 · 10−4 m3 /s α Apartado b) Planteamos la ecuación de Bernoulli considerando el transitorio: ) [ ( ] ρ ρ fL ρL dQ(t) 2 + KEV + Pd − Pc = Q(t) (1 + KCB ) + 2 2 A0 dt 2AD D 2Ad Que queda β = Q(t)2 α + ρL dQ(t) A0 dt Sabiendo que las variables adimensionales son q= Q(t) Q∞ τ= t tc Sustituimos en la ecuación de Bernoulli √ ρL β dq √ 1=q + tc β αAD tc dτ 2 Donde 41 . 5 · 10−3 = 23.CAPÍTULO 2. 1 · 10−5 s tc αβAD Y la ecuación diferencial queda dq = 1 − q2 dτ Con q = 0 en τ = 0 Apartado c) El volumen de combustible se calcula con la siguiente fórmula: ∫ ti ∫ τi V = Q(t)dt = Q∞ tc q(τ )dτ 0 0 Para hallar q. 93 tc Obtenemos que el volumen de combustible es igual a ∫ τi V = Q∞ tc tanh(τ )dτ = Q∞ tc ln(cosh(τi )) = 170mm3 τi = 0 Apartado d) La sobrepresión ∆P por golpe de ariete se calcula con la siguiente fórmula: ∆P = ρc∆v Donde la velocida de la onda c se calcula ( c= 1 Dρ + 14002 eE )−1/2 = 1381m/s La velocidad media del fluido es v(ti ) = Q(ti ) Q∞ tanh(τ ) = = 17. desarrollamos la siguiente fórmula ( ) dq 1 1 = + dq = dτ 1 − q2 2(1 − q) 2(1 + q) ∫ q ∫ q ∫ τ 1 1 dq + dq = dτ 0 2(1 − q) 0 2(1 + q) 0 Quedando e2τ − 1 eτ − e−τ = = tanh(τ ) e2τ + 1 eτ + e−τ Sabiendo que el tiempo de inyección (cierre de la válvula) es igual a: q= 0. TRANSITORIO 7. COMMON RAIL tc = ρL √ = 2. 8m/s A A 42 . NO es >> 1. no habr´ıa golpe de ariete como tal.3 ms en alcanzar la electroválvula. por tanto U = (A = 17. En realidad a 2000 bar el fluido es compresible y la teor´ıa de las adecuado pues tariete tc peque˜ nas perturbaciones no es aplicable. mientras que el flujo en transitorio lento se produce en tiempos del orden tc ∼ 2. 5ms la velocidad del combustible por el conducto ya ha Q ∞) alcanzado su estacionario. COMMON RAIL Por lo que la sobrepresión ∆P es igual a ∆P = ρc∆v(ti ) = 2 · 107 P a Obsérvese que para el tiempo ti = 0. 9 · 10−4 s c Apartado f) El golpe de ariete tarde aproximadamente 0. 8m/s. por tanto. 1 · 10−5 . 43 . por tanto. TRANSITORIO 7.CAPÍTULO 2. Apartado e) El tipo de onda que se produce es una onda de expansión y el tiempo total que tarda la onda en volver a la electroválvula desde que se cerro se calcula con la siguiente expresión: tiempo = 2L = 2. En un instante inicial t = 0 se abre una válvula colocada en el extremo C y la descarga comienza. se pide: 1. Altura de los depósitos: HA = 10 m. 5. 4. haciendo uso del caudal que circular´ıa en régimen permanente y obtenga. que descarga a la atmósfera. obtenga la ecuación diferencial que permite calcular el caudal Q(t). el factor de fricción λ es constante e igual en todas las tuber´ıas y despreciando las pérdidas secundarias excepto la debida a la válvula de regulación Kr (t). En una de las conducciones se monta una válvula de regulación de constante de pérdidas Kr (t) variable en función del tiempo. dx tanh(x) = 1 − tanh (x) 44 C pa . HB = 15 m. (x) d 2 ex −1 1+ex = tanh 2 . 2. 3. el orden de magnitud del tiempo caracter´ıstico transitorio.01. Considerando que todas las conducciones tienen el mismo diámetro D.´ 8. Los dos depósitos están comunicados por sendas conducciones de longitud L y se unen a una tercera conducción. en particular. con las condiciones iniciales adecuadas. CAPÍTULO 2. Integre la ecuación diferencial del apartado 3. Obtenga el sistema de ecuaciones diferenciales y las condiciones iniciales que permitir´ıan obtener el caudal de salida de cada depósito en función del tiempo. lo suficientemente grandes como para considerar que su nivel se mantiene constante durante el transitorio de descarga. λ = 0. ρ = 1000 kg/m3 . DEPOSITOS EN Y 8. Adimensionalice la ecuación anterior de forma adecuada.5 m. también de longitud L. D = 0. Propiedades del agua: densidad. pa B HB L A Kr (t) HA L L DATOS: Propiedades de las conducciones: L = 100 m. TRANSITORIO Dep´ ositos en Y Se dispone de dos depósitos A y B. Obtenga la expresión algebraica de Kr (t) en función del tiempo que cumple la suposición hecha en el punto 2 y en particular el valor de Kr (t → ∞) y Kr (t = 0). Sabiendo que la constante de pérdidas de la válvula Kr (t) se regula para que los dos caudales que salen de los depósitos A y B sean iguales en cada instante de tiempo QA (t) = QB (t) = Q(t). sustituyendo la ecuación anterior en las dos primeras conseguimos el sistema de ecuaciones diferenciales requerido con las condiciones iniciales que en t = 0 entonces QA = QB = 0. DEPOSITOS EN Y Soluci´ on: Apartado 1: Planteamos la ecuación de Bernouilli entre la superficie libre del depósito A y la intersecci´ on entre tuber´ıas J 1 Q2 λL ρL dQA ρgHA − (pj − pa) = ρ A + 2 A2 D A dt Planteamos la ecuación de Bernouilli entre la superficie libre del depósito B y el punto J 1 Q2 ρgHB − (pj − pa) = ρ B2 2 A ( λL + Kr D ) + ρL dQB A dt Planteando de nuevo la ecuación de Bernouilli entre el punto J y el punto C tenemos 1 (QA + QB )2 (pj − pa) = ρ 2 A2 ( ) λL ρL d(QA + QB ) +1 + D A dt De este modo. 1 Q2 λL 1 (QA + QB )2 ρgHA = ρ A + ρ 2 A2 D 2 A2 1 Q2 ρgHB = ρ B2 2 A ( λL + Kr D ) ( ) ρL d(2QA + QB ) λL +1 + D A dt 1 (QA + QB )2 + ρ 2 A2 ( ) ρL d(QA + 2QB ) λL +1 + D A dt Apartado 2: Puesto que los caudales provenientes de los depósitos A y B son iguales.CAPÍTULO 2. utilizando la expresión calculada anteriormente. TRANSITORIO ´ 8. desarrollamos y obtenemos 1 Q2 ρgHA = ρ 2 2 A ( ) 5λL 3ρL dQ +1 + D A dt Apartado 3: Para obtener el caudal en regimen permanente la ecuación queda simplificada 1 Q2 ρgHA = ρ 2 2 A ( ) 5λL +1 D Despejando el caudal obtenemos √ Q∞ = 2A2 gHA 5λL D +1 Planteamos las variables adimensionales 45 . ´ 8. obtenemos √ 3 2L √ tc = √ = 12. ( 5λL ) 1 ρ 3ρLQ∞ 2 A2 D +1 Q2∞ = + ρgHA AρgHA tc Despejando el tc y sustituyendo el valor obtenido anteriormente de caudal permanente. TRANSITORIO τ= q(τ ) = t tc Q Q∞ Sustituyendo en la ecuación diferencial y desarrollando tenemos ( 5λL ) 1 ρ 3ρLQ∞ dq 2 A2 D +1 1= Q2∞ q 2 + ρgHA AρgHA tc dτ Para obtener el tiempo caracter´ıstico transitorio.92s 5λL gHA D +1 Con la ecuación diferencial y las siguientes condiciones iniciales planteadas dq = 1 − q2 dτ Y con la condición inicial que en τ = 0 q es cero. y suponiendo que el caudal sigue siendo el mismo en cada conducto. tenemos que ( ) 3ρL dQ 1 Q2 5λL + Kr (t) + 1 + ρgHB = ρ 2 2 A D A dt Despejando Kc (t) Kr (t) = 3ρL dQ A dt 1 Q2 ρ 2 A2 ρgHB − 46 ( − 5λL +1 D ) . DEPOSITOS EN Y CAPÍTULO 2. desarrollamos la ecuación diferencial ∫ q ∫ τ dq = dτ 2 0 1−q 0 Teniendo en cuenta que ∫ q 0 B 1 A + dq = 1+q 1−q 2 ∫ 0 q 1 1 1+q 1 + dτ = ln 1+q 1−q 2 1−q Resolvemos la ecuación planteada y despejamos Q q(τ ) = e2τ − 1 = tanh(τ ) 1 + e2τ Apartado 5: Partiendo de la otra ecuación diferencial planteada en el apartado 1. CAPÍTULO 2. DEPOSITOS EN Y 2A2 gHB − 6AL dQ 5λL dt − − 1) 2 Q D Finalmente desarrollando. TRANSITORIO Kr (t) = ´ 8. calculamos el valor de Kc (t) cuando el tiempo tiende a infinito y cuando es igual a cero ( )( ) 5λL HB − HA Kr (t = ∞) = +1 D HA Kr (t = 0) = ∞ 47 . La onda reflejada en la bifurcación que vuelve hac´ıa la válvula. SISTEMA DE LUBRICACION 9. Por razones de control de temperatura. El sistema consiste en un depósito que se presuriza a una presión total PD y a través de un conducto 1 suministra aceite de baja viscosidad. as´ı como la constante de la válvula KV 2 para que Q2 se mantenga constante e igual a 1 l/s. 48 . se produce un aumento instantáneo de la presión del depósito de alimentación. Se pide calcular: 1. 2.´ 9. ¿es de expansión o compresión?. ¿La onda es de expansión o compresión?. Obtenga el orden de magnitud del tiempo caracter´ıstico que tardar´ıa el sistema en alcanzar la nueva situación de equilibrio. Velocidad de avance de la onda y tiempo que tarda en llegar a la bifurcación. se pide: 2. Q3 (t). TRANSITORIO Sistema de lubricaci´ on En la figura adjunta se muestra un esquema simplificado de un sistema de lubricación de una instalación industrial. CAPÍTULO 2. Estando el proceso en la situación de equilibrio anterior. Considerar los coeficientes de fricción constantes e iguales a los del apartado anterior 3.2PD . se cierra instantáneamente la válvula KV 1 dando lugar a una onda de golpe de ariete que viaja hac´ıa la bifurcación. el conducto 2 debe descargar un caudal constante de aceite Q2 . PD′ = 1. Considerando que el sistema de control modifica KV 2 a lo largo del transitorio lento de tal manera que Q2 permanece constante con el tiempo e igual a 1 l/s y que Q1 y Q3 variarán con el tiempo. A partir de la condición de equilibrio del apartado 1). Se pide: 1. El conducto 1 se bifurca en dos conductos 2 y 3 los cuales descargan en unos ambientes 2 y 3 a través de unas toberas. Determinar la ecuación diferencial as´ı como la condición inicial que permitir´ıa integrar dicha ecuación y que permitir´ıa determinar el caudal Q3 en función del tiempo. Caudal Q1 y Q3 . L3 = 1 m. p3 = 25 kPa. SISTEMA DE LUBRICACION Datos e hip´ otesis: • Desprecie las pérdidas secundarias salvo las mostradas en la figura. ε = 5 · 10−2 mm. 49 . • Propiedades del fluido: ρ = 850 kg/m3 . d = 40 mm. • Presión total depósito alimentación: PD = 50 kPa. • Caudal Q2 = 1 l/s. • Pérdidas secundarias: Ke = 0. TRANSITORIO ´ 9. • Presiones de descarga: p2 = 37 kPa. a = 1000 m/s.5. KV 1 = 3. µ = 10−4 kg/m/s. L2 = 1. KV 3 = 5. D = 50 mm.CAPÍTULO 2. espesor de pared = 1 mm • Propiedades elásticas: E = 80 GPa.25 m. • Propiedades geométricas: L1 = 2 m. la ecuación anterior se puede poner solo función de Q3 . 01962 Al conocer Q2 . suponiendo que el Re es suficientemente grande. 946l/s 2A La constante Kv2 se calcula con la ecuación 50 . SISTEMA DE LUBRICACION CAPÍTULO 2. Teniendo en cuenta la ecuación de continuidad Q1 = Q2 + Q3 .´ 9. 71 f f1 = f2 = f3 = 0. el valor de f2 se podr´ıa haber calculado directamente con Colebrook: f2 = 0.C son conocidos salvo por los valores de fricción. TRANSITORIO Soluci´ on: Apartado 1) Las ecuaciones de pérdidas para los tubos 1-2 y 1-3 son: [ ] ( )4 ] [ 8ρQ22 f2 L2 D 8ρQ21 f1 L1 PD − p2 = 2 4 + Ke + Kv1 + 2 4 + Kv2 π D D π D D d [ [ ] ( )4 ] 8ρQ21 f1 L1 8ρQ23 f3 L3 D PD − p3 = 2 4 + Ke + Kv1 + 2 4 + Kv3 π D D π D D d Donde los coeficientes de fricción fi son función de ε/D y del Re y la presión dinámica 12 ρvi2 se ha puesto función del caudal.B y C Q3 = −B + √ B 2 − 4AC = 3. Asumiendo que los fi están dominados por la rugosidad. se pueden calcular los fi con la ecuación de Nikuradse: ( ) 1 ε/D √ = −2log 3. Sustituyendo los valores en la ecuación de A. con la siguiente expresión: [ Q23 8ρ π 2 D4 ( f1 L1 f3 L3 + Ke + Kv1 + + Kv3 + D D [ 8ρQ22 π 2 D4 ( ( D d f1 L1 + Ke + Kv1 D )4 )] ) [ +Q3 16ρQ2 π2 D4 ( f1 L1 + Ke + Kv1 D )] + ] − (PD − p3 ) = 0 Q23 A + Q3 B + C = 0 Donde los coeficientes A. es decir. 02093 Se estar´ıa comentiendo un error del 6.5 % en f2 .B. CAPÍTULO 2. TRANSITORIO Kv2 ´ 9. SISTEMA DE LUBRICACION [ ( )] ( ( )4 ) 8ρQ21 f1 L1 f2 L2 π2 D4 D (PD − p2 ) − 2 4 = + Ke + Kv1 − + = 10, 18 2 π D D D d 8ρQ2 Una vez calculados los Qi se pueden recalcular fi . Con los caudales tendr´ıamos: f1 = 0, 01991 f2 = 0, 02093 f3 = 0, 01998 Q3 = 3, 942l/s Kv2 = 10, 03 El error cometido es del orden de 0.1 % en Q3 y 1.5 % en Kv2 . Por lo tanto, los valores que teniamos inicialemnte son suficientemente buenos. Apartdo 2) La ecuación para calcular el transitorio lento en los tubos 1 y 3 (el tubo 2 permanece Q2 = cte = 1l/s) es exactamente igual introduciendo un término adicional de pérdidas de carga debido a la aceleración del fluido: [ ] ( )4 ] [ ′2 f L ′2 f L 8ρQ D 4ρ dQ′3 8ρQ 3 3 1 1 + Ke + Kv1 + 2 34 + Kv3 + PD′ − p3 = 2 14 π D D π D D d πD2 dt dQ3 1 Teniendo en cuenta que dQ on semejante dt = dt se obtiene una ecuaci´ [ ) ] ( 8ρQ′2 4ρ(L1 + L3 ) dQ′3 f1 L1 ′ ′ 1 Q′2 A + Q B + + K + K − (P − p ) + =0 e v1 3 3 3 D π 2 D4 D πD2 dt dQ′3 =0 dt Considerando los mismo factores de fricción iniciales A y B permanecen constantes y solo habr´ıa que calcular C ′ y E. Esta ecuación diferencial se debe integrar con la condición inicial ′ ′ Q′2 3 A + Q3 B + C + E Q′3 (t = 0) = Q3 = 3, 946l/s dQ′ La nueva solución de equilibeio se obtendr´ıa cuando dt3 = 0 y Q′3 es √ −B + B 2 − 4AC ′ Q3 = = 4, 743l/s 2A El tiempo caracter´ıstico hasta alcanzar Q′3 se obtiene al considerar ordenes de magnitud. Considerando que sea igual a cualquier otro término de la ecuación: 51 ´ 9. SISTEMA DE LUBRICACION CAPÍTULO 2. TRANSITORIO E dQ′3 = −C dt E tc = Q′3 ≈ −C tc −EQ′3 = 0, 1784s C Apartado 3) En el transitorio rápido, la velocidad de avance de la onda de presión viene dada por la ecuación: c2 = 1 1 a2 + ρD Ee c = 808, 12m/s El tiempo hasta llegar a la bifurcación L1 = 0, 0025s c La onda viajar´ıa de la válvula a la bifurcación: tbif = ∆V = Vd − Va Siendo Vd = 0 y Va = V1 Por lo tanto, ∆V = −V1 ∆P = ρc∆V = ρcV1 < 0 La onda es de expansión (∆P < 0) Cuando la onda llega a la bifurcación, se refleja por el tubo 1 y aparecen más ondas defractadas en los tubos 2 y 3: 52 CAPÍTULO 2. TRANSITORIO ´ 9. SISTEMA DE LUBRICACION La condición debe ser que en la bifurcacicón las ondas dejen la misma presión y además se cumpla la ecuación de continuidad: −V1 = V2′ + V3′ Onda 2: ∆P2 = ρc(V2′ − V2 ) Onda 3: ∆P3 = ρc(V3′ − V3 ) = p′3 − PD Igualando ondas 2 y 3: ∆P2 = ∆P3 = V2′ − V2 = V3′ − V3 Para onda 1: ∆P1 = p′ − PD + ρcV1 Considerando la ecuación de continuidad, tenemos un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas: V1′ − V1 = V2′ − V2 = V3′ − V3 Donde V1′ = V1 3 ∆P1 = ρcV1′ > 0 Onda reflejada, es de compresión V2′ − V2 = V3′ − V3 = −2/3V1 < 0 ∆P2 = ∆P3 < 0 Por lo tanto, las ondas en los tubos 2 y 3 son de expansión 53 Calcule ambas magnitudes. Velocidad de propagación de las ondas. pa = 100kP a. Al principio y al final del conducto existen dos electroválvulas. El espesor del conducto es d = 1mm y el módulo de Young del acero es E = 117GP a. tc . que se debe calcular. ambas ondas se cruzan. Presión que queda aguas abajo de cada una de ellas.´ 10. dejando en su interior una región en la que el fluido tiene una presión pi y una velocidad vi . Pasado un tiempo. a = 1500m/s. La presión en el interior del conducto es prácticamente uniforme e igual a la atmosférica. GOLPE CON DOBLE VALVULA 10. 54 . CAPÍTULO 2. 2. c. En el instante t = 0. ambas válvulas se cierran instantáneamente dando lugar a sendas ondas de golpe de ariete que se propagan la una hacia la otra por el conducto. Se pide calcular: 1. TRANSITORIO Golpe con doble v´ alvula Por el interior de un conducto de acero de diámetro interior D = 5cm y longitud L = 1000m circula agua a una velocidad v = 1m/s. 3. DATOS: Velocidad del sonido en el agua. y Q es el caudal que circula por la bomba. V. Q∞ . as´ı como la fuerza a la que está sometida inicialmente la válvula. Fv . pa . de coeficiente de pérdidas Kv . la bomba B toma el combustible desde un depósito a presión atmosférica.0 . y lo inyecta a la cámara de combustión. (1 punto) Dar una expresión para el volumen de combustible inyectado. Fv . (1 punto) Proporcione expresiones para la presión manométrica en el conducto de inyección. 5. Sabiendo que el proceso de arranque puede considerarse como un transitorio lento. (1 punto) Si la velocidad del sonido en el combustible es c0 y las paredes del inyector son perfectamente r´ıgidas. ti . Pueden despreciarse las pérdidas de carga en la tobera. (1 punto) Si la electroválvula se cierra cuando el caudal es un 99 % del valor estacionario calculado en el apartado 2. pi −pa . 4. determinar el tiempo de cierre. 3. as´ı como todas las pérdidas secundarias a excepción de las asociadas a la válvula. TRANSITORIO 11. La electroválvula se abre en t = 0. La bomba B. en función de los datos. ti y V. que est´ a operando permanentemente. como funciones de los datos del problema. Fv.CAPÍTULO 2. as´ı como una electroválvula V de regulación. se pide: 2. determine la sobrepresión inicial del golpe de ariete que se produce al cerrarse la electroválvula. donde la presión es pa + ∆p. a través de un conducto de diámetro D y longitud L. Para ello. En estas condiciones. (1 punto) Proporcionar los valores numéricos de pi − pa . 6. as´ı como la fuerza soportada por la electroválvula. Q(t). donde H0 y Q0 son constantes. El factor de fricción del conducto de inyección puede considerarse constante e igual a f . INYECTOR Inyector Se desea usar el sistema mostrado en la figura para la inyección rápida de combustible l´ıquido de densidad ρ y viscosidad µ en una cámara de combustión. (2 puntos) Determine el caudal estacionario que se alcanzar´ıa para tiempos grandes. 11. 7. ∆p0 y Fv. ∆p0 . Al final de dicho conducto hay una tobera de diámetro m´ınimo d < D. Q∞ . (3 puntos) Obtenga la ecuación diferencial con condiciones iniciales que permitir´ıa calcular la evolución temporal del caudal de inyección. dando lugar a la inyección de combustible. desde la apertura de la válvula. tiene una curva carac2 ter´ıstica HB = H0 [1 − (Q/Q0 ) ]. Se aconseja el uso de variables adimensionales apropiadas para el caudal y el tiempo. Para tiempos t < 0 la electroválvula está cerrada. as´ı como de un tiempo caracter´ıstico tc apropiado. 55 .0 . haciendo uso del caudal estacionario Q∞ obtenido en el apartado anterior como caudal caracter´ıstico. 1. 56 .647.99) ≃ 2. D = 1 cm.CAPÍTULO 2. f = 0. µ = 2 × 10−3 Pa s. INYECTOR DATOS: ρ = 880 kg m−3 . H0 = 100 m. Q0 = 0. d = 2 mm. L = 10 cm. ∆p = 3 bar. ∫t 0 tanh s ds = ln(cosh t). TRANSITORIO 11. Kv = 2.01 m3 s−1 . NOTAS: arctgh(0.01. c0 = 1350 m s−1 . c) El aumento de presión provocado por el golpe de ariete. Q(t). ´ DE HIDROCARBUROS 12. La diferencia de cotas entre el nivel superior del tanque de almacenamiento y el camión cisterna es de 8 m. la evolución temporal del caudal. tc . Densidad de la gasolina: ρ = 680 kg m−3 .CAPÍTULO 2. DISTRIBUCION Distribuci´ on de hidrocarburos En un centro de distribución de hidrocarburos se surte gasolina por gravedad desde un tanque de almacenamiento a través de una tuber´ıa casi horizontal de 100 m de largo y 50 mm de diámetro a un camión cisterna. provocando un golpe de ariete. Tenga en cuenta u ńicamente las pérdidas de carga primarias.015. de modo que Kv = 200. d) Si la presión máxima admisible en la tuber´ıa es de 250 kPa. as´ı como el tiempo caracter´ıstico del proceso. Q∞ . con un factor de fricción constante f = 0. Al final de la tuber´ıa se encuentra una válvula de actuación rápida y constante de pérdidas Kv . Velocidad del sonido en la gasolina: a = 1250 m s−1 . determine el caudal inicial Q0 . Una vez establecido un caudal estacionario Q ≃ Q∞ . TRANSITORIO 12. En un momento dado el operador decide incrementar la descarga abriendo la válvula a una posición tal que Kv = 4. el caudal final. Calcule: a) Suponiendo un proceso transitorio lento. Determine: b) La velocidad de la onda ac´ ustica y el tiempo que tardar´ıa en alcanzar el tanque de combustible. el operario decide cerrar s´ ubitamente la válvula. ¿qué se puede concluir? ¿qué caudal m´ınimo se podr´ıa alcanzar bruscamente con el cierre parcial de la válvula sin que provoque da˜ nos a la tuber´ıa? DATOS: Módulo elástico de la tuber´ıa de aluminio: E = 70 GPa. y las secundarias asociadas tanto a la válvula como al chorro de descarga en la cisterna. Inicialmente la válvula está parcialmente cerrada. 57 . TRANSITORIO . DISTRIBUCION 58 CAPÍTULO 2.´ DE HIDROCARBUROS 12. esto se hace para mover el fluido de una zona de menos presión a otra de mayor presión por lo que hay proporcionar un trabajo a dicho fluido. Cuando se incrementa la energ´ıa del fluido. se aumenta su presión. Por norma general. puesto que están relacionadas seg´ un el principio de Bernoulli. su velocidad o su altura o todas ellas.Cap´ıtulo 3 M´ aquinas Hidr´ aulicas Las bombas hidráulicas son máquinas generadoras de presión que transforman la energ´ıa eléctrica que reciben en generalmente energ´ıa mecánica del fluido incompresible que fluye. 59 . La nueva velocidad de giro en rpm. determine: 1. La potencia de accionamiento que requerir´ıa en el eje (en bhp). MAQUINAS HIDRAULICAS 1. Haciendo uso del análisis adimensional en turbomáquinas. 3. El nuevo diámetro del rotor en pulgadas (in) para conseguir tales especificaciones. Bomba adimensional Se desea modificar la bomba de 32 in de diámetro de la figura de tal forma pueda impulsar el agua a una altura efectiva de 700 ft y con un caudal de 28·103 gal/min en el punto de máximo rendimiento.´ ´ CAPÍTULO 3. BOMBA ADIMENSIONAL 1. 60 . 2. Tenemos: D2 = D1 ( H1 H2 )1/4 ( y por tanto D2 = 1. De la semejanza en turbomáquinas para una misma familia geométrica sabemos que: CH = CH (CQ ) Cp = Cp (CQ ) η = η(CQ ) y por tanto. Podemos escribir entonces las relaciones de semejanzas siguientes: ( ) Q2 n2 D 2 3 = Q1 n1 D 1 ( )2 ( )2 H2 n2 D2 = H1 n1 D1 ( ) ( )5 3 ˙ eje W D2 ρ2 n2 2 = ˙ eje ρ1 n1 D1 W 1 1. n2 = n1 = 1589 rpm Q1 D2 ( )3 ( )5 n2 D2 ˙ 3. La nueva bomba deberá suministrar un caudal de 28·103 gal/min y una altura efectiva de 700 ft y además estar trabajando también en el punto de máximo rendimiento. MAQUINAS HIDRAULICAS 1. BOMBA ADIMENSIONAL Soluci´ on: El punto de máximo rendimiento de la bomba de 32 in de diámetro se localiza para un caudal de 20·103 gal/min y una altura efectiva de 380 ft.1) (3.2) (3.01D1 ≈ 32 in ( ) Q2 D1 3 2.01 (3.3) .´ ´ CAPÍTULO 3. el rendimiento máximo de la nueva bomba 2 será el mismo que el de la bomba inicial 1 si CQ =cte. Weje2 = 2250 = 5924 bhp n1 D1 61 Q2 Q1 )1/2 = 1. BOMBA CENTRÍFUGA 2. La expresión de la altura efectiva ideal de la bomba H en función del caudal Q que circula por el rodete. El ángulo del álabe a la entrada del rodete β1 para conseguir un flujo a la entrada de la bomba radial 3. 2. 62 . Se sabe que su rodete presenta las siguientes caracter´ısticas geométricas: D2 = 380 mm b2 = 8 mm β2 = 35◦ D1 = 200 mm b1 = 18 mm β1 =? Además se sabe que el flujo a la entrada de la bomba es radial. La potencia al eje necesaria para mover la bomba. sabiendo que el rendimiento mecánico de la bomba es ηm = 0. MAQUINAS HIDRAULICAS Bomba centr´ıfuga Una bomba centr´ıfuga gira a 1490 rpm e impulsa un caudal de 64 l/s de agua.8. la velocidad a la entrada de la bomba sólo tiene componente normal. ´ ´ CAPÍTULO 3. Determinar: 1.2. es decir. teniendo en cuenta que los valores de la velocidad tangencial en la entrada no existen. BOMBA CENTRÍFUGA Soluci´ on: La bomba de este ejercicio produce los siguientes vectores velocidad en sus álabes: Apartado 1: La expresión de la altura efectiva ideal de la bomba viene expresada por la siguiente ecuación: Hb = 1 (U2 Vt2 − U1 Vt1 ) g Y sabiendo que la velocidad acimutal.´ ´ CAPÍTULO 3. Hb = 1 Hb = g ( 1 U2 Vt2 g ) ω 2 D22 ωcotgβ2 − Q 4 2b2 π Apartado 2: Puesto que la velocidad tangencial es igual a cero en la entrada de la bomba. normal y tangencial se calculan con las siguientes expresiones: U2 = ω D2 2 Vt2 = U2 − Vn2 cotgβ2 Vn2 = Q πD2 b2 Obtenemos la siguiente ecuación. tenemos que: Vn1 = V1 = U1 tanβ1 63 . MAQUINAS HIDRAULICAS 2. 2. 6kW ηm 64 . MAQUINAS HIDRAULICAS Calculando la componente normal y acimutal de las velocidades con las siguientes expresiones V1 = Q = 5. 6m/s 2 Obtenemos que el ángulo del álabe a la entrada del rodete es U1 = ω β1 = arctan V1 = 20o U1 Apartado 3: El rendimiento mecánico de la bomba se calcula con la siguiente expresión: ηm = Wb We je Por lo que la potencia al eje necesaria para mover la bomba es We je = Wb = 47. 66m/s πD1 b1 D1 = 15. BOMBA CENTRÍFUGA ´ ´ CAPÍTULO 3. despreciando además la pérdida de carga en el acoplamiento en paralelo de las bombas y haciendo uso de las curvas caracter´ısticas del fabricante. Calcular si existe riesgo de cavitación en las bombas.6 mm. se pide: 1. la potencia al eje necesaria para el motor eléctrico y el rendimiento.´ ´ CAPÍTULO 3. la potencia al eje de cada bomba y el rendimiento total. longitud L = 2 km y diámetro D = 15 cm. son iguales y de tipo radial modelo NK 40-200 con tama˜ no del impulsor de 170 mm. BOMBAS EN PARELELO Bombas en parelelo Las dos bombas de la figura están instaladas en paralelo en el sistema que permitirá subir agua de un embalse a nivel zA a otro a nivel zB . la altura efectiva de cada bomba. 3.15 m zA = 60 m ˙ b1 W ˙ b2 W 65 . El punto de trabajo si sólo funciona una de las bombas. es decir. el caudal por cada bomba. Suponiendo las pérdidas secundarias de la instalación despreciables. el caudal. 2. que girarán acopladas a un motor eléctrico. es decir. zB = 80 m L = 2 km D = 0. Las dos bombas. a través de una conducción de fundición de rugosidad ϵ = 0. MAQUINAS HIDRAULICAS 3. colocadas a la misma cota z = 0. El punto de trabajo si funcionan las dos bombas en paralelo. 3. la altura efectiva de la bomba. ´ ´ CAPÍTULO 3. MAQUINAS HIDRAULICAS 3. BOMBAS EN PARELELO 66 . podemos hallar el rendimiento de la instalación: η= WB ρgHB Q = = 65 % We je We je Y comprobar. para el caudal obtenido. Q = 40m3 /h .6 alto y conociendo el valor de Dϵ = 150 = 4 · 10−3 . 5m . MAQUINAS HIDRAULICAS 3. el punto de equilibrio entre las dos gráficas obtenemos los siguientes valores para la altura.´ ´ CAPÍTULO 3.9 31 Q m3 /h 16 32 48 De este modo. con el diagrama de Moody obtenemos un valor para el factor de fricción igual a λ = 0. obtenemos distintos valores de la altura resistente de la instalación Hi (m) 21.22 24. el caudal y la potencia consumida. como hemos supuesto al principio. BOMBAS EN PARELELO Soluci´ on: Apartado a) Se plantea la ecuación siguiente. V = 4Q πD 2 = 0. HB = 27. 62m/s por tanto Re = 95000 Cumple! 67 . dando distintos valores al caudal.0285 De este modo. 78 · 10−3 Q2 donde. We je = 4. obtenemos la siguiente curva resistente de la instalación: Hi = H + 4. vamos a suponer un n´ umero de Reynolds 0. 8ρQ2 ρgH + 2 4 π D H+ 8Q2 π 2 gD4 ( ) λL + 1 − ρgHB = 0 D ( ) λL + 1 − HB = 0 D Como desconocemos el valor del factor de fricción. 5kW De este modo. que el n´ umero de Reynolds es alto. en la cual la curva caracter´ıstica de la bomba (cuya gráfica se observa en el diagrama para un tama˜ no de impulsor de 170mm) es igual a la curva resistente de la instalación. cuya altura proporcionada por cada bomba es 35 mca seg´ un la curva de funcionamiento de una bomba. como cada bomba impulsará el mismo caudal. 4 % Weje1 + Weje2 2We je 68 . De este modo. ´ Esta tiene que conocerse para hallar de manera gráfica la nueva curva caracter´ıstica. mientras que la curva que variará en este caso sera la curva caracter´ıstica de las dos bombas trabajando en paralelo. Q1 = Q2 = 26. BOMBAS EN PARELELO Apartado b) Al estar el sistema trabajando en paralelo. para un caudal de 16 m3 /h obtendremos una altura de 35 mca. la estimación gráfica se har´ıa de la siguiente manera: para un caudal total de 16 m3 /h. caudal y potencia consumida: HB1 = HB2 = 33m . 5m3 /h . As´ı pues. por lo que debemos sumar las curvas de cada bomba (en este caso las dos bombas son iguales) a altura constante. la curva resistente de la instalación será la misma. cada bomba impulsará un caudal de 8m3 /h. el punto de equilibrio entre la curva resistente de la instalación y la curva de trabajo de las bombas en paralelo nos da los siguientes valores de altura. Este proceso se seguirá haciendo para distintos valores de caudal hasta hallar la curva dibujada en la gráfica con anotaciones. Weje1 = Weje2 = 3. MAQUINAS HIDRAULICAS 3. 75kW Y finalmente calculamos el rendimiento con la siguiente expresión: η= WB1 + WB2 2ρgHB Q = = 63. Esto significará que en la nueva curva de funcionamiento de las bombas con configuración en paralelo.´ ´ CAPÍTULO 3. BOMBAS EN PARELELO 69 .´ ´ CAPÍTULO 3. MAQUINAS HIDRAULICAS 3. 5m ρg Observamos que el N P SHd es ampliamente superior al N P SHr por lo que no habrá riesgo de cavitación. 70 . 3m >> 1. BOMBAS EN PARELELO Apartado c) Para las dos bombas trabajando en paralelo. Debemos comprobar que el N P SHd es mayor que el N P SHr para evitar la cavitación. Con la siguiente fórmula calculamos N P SHd : N P SHd > N P SHr + 0. vemos en la gráfica que obtenemos un valor de N P SHr = 1m para el caudal de trabajo. 5m N P SHd = Pa + zA = 70. esto se podr´ıa haber intuido al observar que el sistema de bombeo se sit´ ua en el fondo de un embalse a 60 metros.´ ´ CAPÍTULO 3. MAQUINAS HIDRAULICAS 3. Durante las horas punta del da. CENTRAL DE ACUMULACION Central de acumulaci´ on Se tiene una central hidroeléctrica de acumulación por bombeo representada esquemáticamente en la figura. Suponiendo que la diferencia de niveles entre el embalse superior e inferior se mantiene constante e igual a H = 300 m. una longitud de L = 1 km y una rugosidad de ϵ = 1 mm. ´ 4. rehacer los apartados anteriores. teniendo en cuenta que ahora el nivel del embalse superior puede variar. descarga a velocidad nula y presión ambiente. La tubera tiene un diámetro D = 4 m. 3. en que la energa es más cara. 4. y como bomba toma agua tambin a velocidad nula y presión ambiente. y supongamos que los caudales y los rendimientos de la bomba y de la turbina se mantienen constantes e iguales a los de los apartados anteriores durante los perodos tanto de bombeo como de turbinado.9. potencia de la bomba y energa consumida. Calcular el rendimiento energético de la instalación. Durante el perodo de bombeo que es de tB = 6 horas. 2. Considere sólo las pérdidas secundarias que habrá en el punto E. calcular el caudal. Supongamos fijo el nivel del embalse inferior. como turbina.´ ´ CAPÍTULO 3. siendo Ke = 0. El grupo localizado en la parte inferior es reversible y puede actuar como bomba o como turbina. El volumen total de agua que se turbina es el mismo que el que se bombea y vale V = 106 m3 . calcular el caudal. potencia de la turbina y energ´ıa suministrada. A E H L D I 71 . turbina el agua. la vuelve a bombear al embalse superior.8 y como turbina ηT = 0. En el nivel inferior I el grupo. y durante la noche.5 la pérdida a la salida cuando el grupo act´ ua como turbina. MAQUINAS HIDRAULICAS 4. Durante el periodo de turbinado que es de tT = 4 horas. se pide: 1. en que la energ´ıa es ms barata. El rendimiento del grupo como bomba es de ηB = 0. tomemos como valor máximo de la diferencia de niveles Hmax = 300 m. Suponiendo que el rea horizontal del embalse sea de A = 105 m2 . El flujo esta dominado por la rugosidad.52 m/s πD2 /4 Calculamos el n´ umero de Reynolds en la tuber´ıa y la rugosidad relativa. respectivamente: ⇒ WT = ρgHT QT ηT = 180 MW ET = WT tT = 720 MWh = 2.7 EB 72 .0145 La altura que debe dar la bomba ser: ( v2 HB = H + B 2g ) fL + 1 = 303. el caudal y la velocidad serán: QB = V = 46.59 · 1012 J 2. Durante el periodo de turbinado.00025 D Re = 1.1 m D y la potencia y energ´ıa consumidas por la bomba. v2 HT = H − T 2g ( fL + Ke D ) = 293.21 · 107 ⇒ f = 0.72 · 1012 J 3.00025 D Re = 2.3 m3 /s tB ⇒ vB = QT = 3. obtenindose el factor de fricción del diagrama de Moody. Esto se hace porque las turbinas suelen disponer a la salida de un tubo difusor cuya misión es precisamente recuperar dicha energ´ıa cinética.44 m3 /s tT ⇒ vT = QT = 5. Durante el per´ıodo de bombeo. CENTRAL DE ACUMULACION ´ ´ CAPÍTULO 3.8 m y la potencia y energ´ıa suministradas por la turbina serán.68 m/s πD2 /4 En este caso el flujo sigue dominado por la rugosidad: ϵ = 0. tal y como dice el enunciado.´ 4. respectivamente: WB = ρgHB QB = 172 MW ηB ⇒ EB = WB tB = 1031 MWh = 3.0145 Para calcular la altura a la que opera la turbina despreciamos la presión dinámica a la salida de ésta. ϵ = 0.47 · 107 ⇒ f = 0. MAQUINAS HIDRAULICAS Soluci´ on 1. El rendimiento global de la instalación será: η= ET = 0. el caudal y la velocidad serán: QT = V = 69. CENTRAL DE ACUMULACION 4.´ ´ CAPÍTULO 3. MAQUINAS HIDRAULICAS ´ 4.65 · 1012 J El rendimiento será: [( η = ηT ηB ) ( )] vT2 f L ∆H Hmax − − + Ke 2 2g D [( ) ( )] = 0. En este caso la variación del nivel del embalse con el tiempo será: dH QT =− dt A La altura y potencia turbinada dependerá del tiempo de la forma: ( ) vT2 f L HT (t) = H(t) − + Ke 2g D ( )) ( vT2 f L WT (t) = ρgQT ηT H(t) − + Ke 2g D y la energ´ıa producida por la turbina será: ∫ ∫ Hmax A WT (t) dt = WT (H) dH = QT Hmin 0 ) ( )] [( v2 f L ∆H − T + Ke = 2. de la forma: dH QB = dt A La altura y potencia de la bomba dependerá del tiempo de la forma: ) 2 ( vB fL HB (t) = H(t) + +1 2g D ( )) 2 ( vB ρgQB fL WB (t) = H(t) + +1 ηB 2g D siendo la energ´ıa consumida por la bomba: EB = ρgQB tB ηB [( Hmax − ∆H 2 ) + 2 vB 2g ( fL +1 D )] = 3.7 v2 f L ∆H Hmax − + B +1 2 2g D 73 .55 · 1012 J ρgQT tT ηT Hmax − 2 2g D tT ET = En el caso de la bomba el incremento de la altura del nivel del embalse con el tiempo es positivo. La diferencia entre el nivel máximo y m´ınimo del embalse superior será: ∆H = Hmax − Hmin = V /A = 10m En un principio se turbinará desde un nivel Hmax = 300 m hasta un nivel m´ınimo Hmin = 290 m. e. η0 . Para lograrlo. para la cual las curvas caracter´ısticas pueden representarse por las expresiones: [ ] Hm = H0 1 − (Q/Q0 )2 . La tuber´ıa que conecta ambos depósitos tiene una longitud total L = 1150 m. siendo entonces Kv = 4. η = 4 η0 Q/Q0 (1 − Q/Q0 ) .m.p.m).15 mm. se modifica el régimen de la bomba de manera que las nueva velocidad de giro sea 1. y se cierra parcialmente la válvula.´ 5. Calcular la potencia consumida por la bomba en las nuevas condiciones. Supóngase ahora que la misma instalación anterior es usada para elevar el mismo caudal del apartado a) una nueva diferencia de cotas Hg = 72 m. un diámetro D = 20 cm y una rugosidad absoluta ϵ = 0.5.. c. ´ ´ CAPÍTULO 3. Determinar el valor de Kv necesario para que el caudal de elevación sea el deseado. as´ı como una válcula de regulación cuya constante de pérdidas es Kv . Calcular el caudal que circula por la tuber´ıa y la altura manométrica que está suministrando la bomba cuando Hg = 28 m y la válvula de regulación está completamente abierta. razonando por qué se obtiene un rendimiento menor que en el régimen de funcionamiento anterior. d. En las condiciones de trabajo del apartado anterior. MAQUINAS HIDRAULICAS Bombeo entre dep´ ositos La figura adjunta representa una instalación hidráulica en la que se usa una bomba B para el trasvase de agua entre dos depósitos cuya diferencia de cotas es Hg . mientras que para la entrada hacia el depósito superior es Ke = 0. la bomba consume una potencia de 7. BOMBEO ENTRE DEPOSITOS 5. a. modificando por tanto el valor de Kv . La bomba B es operada inicialmente a la velocidad nominal de giro de 2200 r. En la instalación hay dos codos de igual constante de pérdidas Kc = 0.05 m3 s−1 . Determinar el rendimiento máximo de la bomba.5 veces la velocidad nominal de giro (2200 r. b. La salida del depósito inferior hacia el conducto tiene asociada una constante de pérdidas Ks = 0.3. 74 .p.5.7 kW. donde H0 = 36 m y Q0 = 0. Determinar las curvas caracter´ısticas de la bomba para la nueva velocidad de giro. MAQUINAS HIDRAULICAS ´ 5. BOMBEO ENTRE DEPOSITOS 75 .´ ´ CAPÍTULO 3. para obtener una primera aproximación del factor de fricción. BOMBEO ENTRE DEPOSITOS ´ ´ CAPÍTULO 3. 0194m3 /s. Hm = 30. Apartado b) Para el cálculo del rendimiento máximo. plantearemos la ecuación de Bernoulli entre los dos depósitos. su densidad. utilizamos la fórmula de Nikuradse: 0.71 y con este valor calculamos el caudal Q(0) = 0.´ 5. planteamos la ecuación del rendimiento: η= ρgQHm W Igualamos el rendimiento a la ecuación caracter´ıstica de la bomba para el rendimiento. y. resultando la siguiente ecuación: Hm 8Q2 = Hg + 2 4 π gD ( fL + Kv + Ks + 2Kc + Ke + 1 D ) Igualamos Hm con la Hm ofrecida por la curva caracter´ıstica de la bomba ( ) [ ] fL H0 8 + Kv + Ks + 2Kc + Ke + 1 + 2 Q2 = H0 − Hg π 2 gD4 D Q0 Donde despejamos Q. MAQUINAS HIDRAULICAS Soluci´ on: Apartado a) Para calcular el caudal circulante por la tuber´ıa y su altura manométrica. 23 · 105 πDν Con el valor obtenido del n´ umero de Reynolds. dado que conocemos la potencia consumida por la bomba. 798 4W QQ0 1 − QQ0 76 . 0217 log10 ε/D 3. 0196m3 /s y sustituyendo en la ecuación de Bernoulli inicial. de este modo. para calcular a posteriori el n´ umero de Reynolds con la siguiente fórmula: Re(0) = 4Q(0) = 1. obtenemos que el caudal Q = 0. su caudal Q y su altura Hm . observamos el nuevo valor del factor de fricción en el diagrama de Moody y. 47m. 25 f (0) = [ ( )]2 ≃ 0. obteniendo la siguiente ecuación: v u u Q=t 8 π 2 gD4 ( H0 − Hg fL D ) + Kv + Ks + 2Kc + Ke + 1 + H0 Q20 De este modo. podemos despejar el rendimiento máximo y hallar su valor η0 = ρgQHm ( ) ≃ 0. repitiendo el proceso. 5 Apartado d) Calculamos el valor de Hm con la curva caracter´ıstica de la bomba [ ( )2 ] Q Hm = H0 1. ) ( 8Q2 fL ′ Hm = Hg + 2 4 + Kv + Ks + 2Kc + Ke + 1 π gD D Despejamos y obtenemos el valor de Kv = 66. 77 . BOMBEO ENTRE DEPOSITOS Apartado c) Debido a que la nueva velocidad de giro es 1.´ ´ CAPÍTULO 3.51kW Se observa que el rendimiento baja porque la curva del rendimiento con respecto al caudal se modifica de forma que un mismo rendimiento se alcanza para un Q′ = 1.5 la anterior. 616 y obtenemos con dicho rendimiento el valor de la potencia consumida por la bomba W = 14. MAQUINAS HIDRAULICAS ´ 5. obtenemos la nueva Hm [( ) ( )2 ] ω′ 2 Q ′ Hm = H0 − ω Q0 Q= Del mismo modo. aplicaremos las condiciones de semejanza: Hm = ( ω )2 ω′ ′ Hm ω ′ Q ω′ Sustituyendo los nuevos valores de Hm y Q para la ecuación de la altura de la curva caracter´ıstica de la bomba. 1 Apartado e) Calculamos el nuevo rendimiento de la bomba: η = 0. y originalmente estábamos en rendimiento máximo. 5Q. 47m Q0 Y aplicando la ecuación de Bernoulli entre los dos depósitos. 52 − = 75. sustituimos el nuevo valor de Q para la ecuación caracter´ıstica de la bomba para el rendimiento ( ) Q′ ω Q′ ω ′ 1− η = 4η0 Q0 ω ′ Q0 ω ′ Siendo para este caso ω = 1 y ω ′ = 1. MAQUINAS HIDRAULICAS 6.001 kg/m·s 78 .1 m Rugosidad de la tubera: ε = 0. Calcule en este caso.8. Para evitar mojar la calzada los das de viento solo funciona el chorro 1. Calcule: 1.5. Conector tipo T (Tramo Recto) KT = 0.3 mm Coeficientes de prdidas: Codo de 90. En concreto se desea que la velocidad de salida del chorro 1 sea de v1 = 5 m/s. y el caudal se reduce de modo que la altura mxima del chorro es 1 m. y la velocidad de salida del chorro 2 sea v2 = 7 m/s.9. Longitud: L1 = 2 m Propiedades del fluido: ρ = 1000 kg/m3 . y µ = 0. 2. Filtro KF = 2. La altura mxima de los chorros (desprecie los efectos viscosos). BOMBA CON SURTIDORES 6. K90 = 0. DATOS: Dimetro de la tubera: D = 0. Bomba con surtidores Se quiere disear una fuente de 2 chorros de distintas alturas (ver figura).´ ´ CAPÍTULO 3. y entrada a la tubera Ke = 0. a qu potencia trabajar la bomba. Calcule la potencia de la bomba que debe utilizarse para la fuente 3. BIFURCACION Bifurcaci´ on con bomba Un circuito hidráulico transporta agua desde una superficie libre hasta un punto de descarga. Q0 siendo ∆PB la diferencia de presión que comunica la bomba al fluido. Q. MAQUINAS HIDRAULICAS 7. ´ CON BOMBA 7. DATOS: Datos de la bomba: P0 = 6 bar. Rugosidad de todos los conductos: ε = 0.1 mm. Kcodo = 0. respectivamente. se pide: 1. H = 20 m. Repita los apartados 1 y 3 suponiendo ahora que la válvula se cierra por completo. L2 = 10 m. Q0 = 1 m3 /s. cada uno de los cuales tiene una longitud total de conducto L2 .5. KT = 0. suponga flujo dominado por la rugosidad.´ ´ CAPÍTULO 3. mientras que el otro pasa por un cambiador de calor cuyo coeficiente de pérdidas es KC . Uno de los ramales tiene una válvula completamente abierta (V) de coeficiente de pérdidas KV . 3. que pasan por el cambiador de calor y la válvula. 4. Caudales. Potencia mecánica que la bomba entrega al fluido. Datos de los conductos: L = 100 m. Sabiendo que el fluido circula por la acción de una bomba B de curva caracter´ıstica. más dos ramales de diámetro menor. Caudal total. que pasa por la instalación. H. Q el caudal que pasa por ésta y P0 y Q0 constantes conocidas. S. d = 1 cm. KC = 4. situado a una altura. por encima de ésta. C S V B H 79 . El circuito consiste en una serie de conductos de diámetro D que suman una longitud total L. Coeficientes de pérdidas: KV = 2. QC y QV . ( ( )) Q ∆PB = P0 1 − .8. 2. d < D. Altura de descarga. D = 2 cm. con pérdidas para que una de las ramas que conectan los puntos A y S. la solución de ∆PB (Q) = ∆PT (Q) Nos proporciona el punto de trabajo del sistema como se ilustra en la figura. BIFURCACION ´ ´ CAPÍTULO 3. 80 . MAQUINAS HIDRAULICAS Soluci´ on: Apartado 1: Para resolver el problema planteamos la ecuación de Bernoulli. por ejemplo la que pasa por C: ( ) ( ) 1 2 1 2 fL 1 2 f2 L2 P a + ρg0 − P a − ρv − ρgH = −∆PB + ρv 2Kcodo + + ρvc 2KT + + Kc 2 2 D 2 d A continuación se plantean otras dos ecuaciones para resolver las ramas: Conservación de caudal ( Vc + Vv = P d )2 v Qc + Qv = Q Igualdad de presiones entre los puntos 1 y 2: ( Vv = Vc 2KT + 2KT + f 2 L2 d f 2 L2 d + Kc )1 2 + Kv Qv = αQc Se deduce: Sustituyendo y teniendo en cuenta Qc = 1 Q2 ∆PB = ρgH + ρ ( ) 2 πD2 2 Qc = Q 1+α πd2 4 Vc yQ= πD 2 4 V ( ) fL 1 1 + 2Kcodo + + ρ( D 2 4 se despeja Q2 (1 + α) ( ) f2 L2 + Kc )2 2KT + d πd2 4 Si al término de la derecha lo llamamos ∆PT .´ CON BOMBA 7. 5l/s 2A 81 . MAQUINAS HIDRAULICAS ´ CON BOMBA 7.´ ´ CAPÍTULO 3.64 · 1012 )2 2 2 (1 + α) πd4 B= P0 = 6 · 105 Q0 C = ρgH − P0 = −4.0238 Llegamos a: AQ2 + BQ + C = 0 Siendo ( 1 1 + 2Kcodo + A= ρ ( )2 2 πD2 4 fL D ) ( ) f2 L2 2K + + K c T d 1 + ρ ( = 1. BIFURCACION Para obtener la solución numérica sustituimos valores.96 · 10−4 m3 /s ∼ 0.0304 f2 = 0.04 · 105 Con lo que finalmente Q= −B + √ B 2 − 4AC = 4. sabiendo que: f = 0.0379 α = 1. Kv d Apartado 3: De la ecuación de la energ´ıa mecánica de la bomba se tiene: ) ( Q Q = 300W W = ∆PB Q = P0 1 − Q0 Apartado 4: La forma más rápida de resolver este apartado es darse cuenta de que al cerrar la válvula Qv = 0.25l/s 1+α Qv = αQc ∼ 0. sólo hay que recalcular el coeficiente A con α = 0 y volver a resolver: A = 4. Qc = Q Por tanto. Es decir. MAQUINAS HIDRAULICAS Apartado 2: Sustituyendo las formulas anteriores Qc = Q ∼ 0.25l/s Obsérvese que α ∼ 1 implica que ambas ramas son simétricas desde el punto de vista de la pérdida de carga. f2 L2 ∼ 38 >> Kc .3l/s W = 184W 82 .´ CON BOMBA 7.06 · 10−4 m3 /s ∼ 0. La razón es que la pérdida de carga se debe fundamentalmente al término f2dL2 .31 · 1012 Q = 3. a pesar de que Kc = 2Kv . BIFURCACION ´ ´ CAPÍTULO 3. En efecto. cuyas curvas caracter´ısticas se muestran en ∑ la figura adjunta. Eval´ ue el riesgo de cavitación en la bomba.2 en la de impulsión. proponga una solución. NOTA: 1gal/min = 0. W. Seleccione la bomba más adecuada entre las seis disponibles.25mm) de 38 cm de diámetro.3048m. b. cuya superficie libre se encuentra a una cota de 11 m respecto a la superficie libre inferior. se hace uso de tuber´ıa de hierro fundido (ε = 0. Determine el caudal Q.´ ´ CAPÍTULO 3. Se pide: a. c. se tienen dispones seis bombas. 1hp = 745. Para ello. as´ı como la potencia requerida para accionar la bomba. y K = 7. hasta un depósito superior. En caso afirmativo.5 ∑ en la l´ınea de aspiración. Se sabe que los coeficientes de pérdidas secundarias en la instalación suman K = 0. situado a nivel del mar.7W 83 .06309l/s. BOMBEO DESDE EL MAR Bombeo desde el mar La figura adjunta representa una instalación hidráulica con la que se pretende bombear agua desde un depósito inferior. 8. 1f t = 0. dispuesta como se muestra en el esquema. Justifique su respuesta. Asimismo. MAQUINAS HIDRAULICAS 8. MAQUINAS HIDRAULICAS 8.´ ´ CAPÍTULO 3. BOMBEO DESDE EL MAR 84 . ´ ´ CAPÍTULO 3. aproximadamente. la de 38 pulgadas. se alcanzan para las bombas de 38 y 411/2 ) pulgadas de 710 rpm. MAQUINAS HIDRAULICAS 8. Q = 1. Hm = 11 + 35. BOMBEO DESDE EL MAR Soluci´ on: Apartado a: La curva de la instalación se calcula si se va de la superficie libre inferior a la superior: ( ∑ ) 8Q2 fL ∑ Hm = 2 4 Ka Ki + 11 π gD D Calculamos f con Nikuradse (luego se comprueba): f=( 0. de la curva caracter´ıstica. 262m3 /min.7 Entrando con estos valores a las gráficas. a falta de requerimientos de caudal. Hm = 11 + 35. tenemos en cuenta que. será ventajoso escoger la que consuma menor potencia. 3048 para dar los siguientes valores en el rango de trabajo de las bombas. La altura es.71 ) luego. 063092 0. 71 · 0.25/380) 3. Q = 20 · 103 gal/min. se tiene un consumo de potencia: 85 . Si hacemos la conversión de unidades a pies y miles de galones por minuto 11 + 35. 71Q2 con Q en m3 /s y Hm en metros. 71Q2 = 68m y la potencia entregada al fluido: WB = ρgQHm = 842W Como el rendimiento. Para decidir entre ambas. entonces.62 304. Q103 gal/min 12 16 20 24 Hm (f t) 103. vemos que los rendimientos máximos. es decir. sale η = 0. 25 log (0. Apartado b: El caudal sale del punto de corte entre la curva de la bomba elegida y la curva de la instalación que da.47 222.24 155. algo mayores que el 88 %. 88. esto es. 86 . expresado en bhp. WB = 1286bhp Apartado c: Aplicando la ecuación de Darcy-Weisbach entre la superficie libre inferior y la entrada de la bomba. BOMBEO DESDE EL MAR WB = ρgQHm = 957kW η o.´ ´ CAPÍTULO 3. 26m ρg ρg π gD Al final cavita seguro. MAQUINAS HIDRAULICAS 8. 64 = −1. 1 P a = Peb + ρgze b + ρ 2 N P SHd = ( Q A ) )2 ( f L′ ∑ 1+ + Ka D Peb − Pv Pa − Pv 8Q2 = − zeb − 2 4 · 1. en cierto momento se abren las válvulas Kdd . Plantee la ecuación de Bernoulli con pérdidas entre la superficie libre del embalse y la fuente de las tortugas y calcule el caudal. Q1 . se pide: 1. Suponiendo que el chorro de la fuente es ideal (sin pérdidas).Q2 y Q3 . dos fuentes de chorro vertical. Para iniciar el espectáculo de las fuentes. que se sit´ ua a la misma cota hd. Considere que domina la rugosidad. comprobando posteriormente que esta hipótesis es correcta en los tres conductos. A la salida del embalse existe cierta válvula KE para permitir o no el paso de agua. pero suponga despreciables el resto de las pérdidas secundarias. Se decide realizar el espectáculo cerrando por completo la válvula de la fuente de los delfines. se prefiere que la altura de los chorros sea la misma que anteriormente para lo cual se decide cambiar el diámetro de la boquilla de la fuente. Ktt y KE . ¿qué altura hctt alcanzará? 4. Despreciando el transitorio de arranque y considerando unicamente el estado estacionario. con una pérdida de carga Ka . Dtt .25 mm. se dirige hacia la fuente de los delfines. Consta de un embalse cuya superficie libre se sit´ ua a cierta cota hE . Anteriormente a la bomba existe un filtro de pérdida de carga Kf y posteriormente una válvula antirretorno. as´ı como la ecuación de continuidad. de tal forma que u ńicamente funcione la fuente de las tortugas. distintas tuber´ıas que los conectan. A la entrada de ambas fuentes existen sendas válvulas. Una de las ramificaciones. plantee el sistema de ecuaciones que permitir´ıa calcular los caudales de las tres tuberas. Mediante el uso de la ecuación de Bernoulli con pérdidas en las tuber´ıas 1. para que el chorro tenga la misma altura que la calculada en el apartado 3. El agua de las fuentes lo recoge un estanque de área suficientemente grande como para considerar el nivel estacionario y aproximadamente a la misma cota de salida de cada chorro. 3. tuber´ıa (3). MAQUINAS HIDRAULICAS 9. Resuelva el sistema de ecuaciones anterior (por ejemplo por tanteo en HI ). a la fuente de las tortugas. y la otra ramificación. Calcule cuánto debe valer este nuevo diáetro. En estas condiciones. Para la resolución de las siguientes cuestiones considere unicamente las pérdidas de carga primarias. que regulan el paso de agua a las mismas. Desde el embalse sale una tuber´ıa (1) que se ramifica en el punto I a cierta cota hd . La tuber´ıa (1) es muy antigua y se cree conveniente cambiarla por una nueva de la misma longitud y diámetro pero rugosidad = 0. 2 y 3. 9. localizada a una cota ht . una bomba y ciertos elementos que se indican a continuación. HI . as´ı como el nuevo caudal de la fuente. Además el agua de la fuente de los delfines es recogida y llevada a través de una tuber´ıa (4) al estanque de la fuente de las tortugas. as´ı como la altura piezométrica de la intersecci´ on I. FUENTES Fuentes Se desea estudiar cierta instalación de fuentes de chorro vertical cuyo esquema se muestra adjunto. 87 . as´ı como las secundarias asociadas a las válvulas indicadas y el filtro de la bomba. de constantes Kdd y Kt t. tuber´ıa (2).´ ´ CAPÍTULO 3. Para recuperar el agua desembalsada se dispone de un conducto (5) y una bomba que conectan el estanque de las tortugas con el embalse original. 2. Por seguridad y estética. Cada una de las fuentes consiste en un chorro vertical generado por sendas boquillas de diámetros de salida Ddd y Dtt . hp = 3m Pérdidas de carga secundarias: KE = 5. la energ´ıa total consumida y el tiempo de funcionamiento necesario. 7. D3 = 6cm. ε1 = 2mm. Dd d = 4cm. el agua de las fuentes recogida en el estanque de las tortugas es reembalsada a través de la tuber´ıa (5) y por medio de una bomba con curva caracter´ıstica HB = H0 (1−(Q/Q0 )2 ). ε2 = 1mm. hd = 5m. L3 = 60m. y rendimiento η = 4η0 (Q/Q0 )(1−Q/Q0 ). e indique la condición de no cavitación. altura total que da la bomba. 91 88 . 5. MAQUINAS HIDRAULICAS 9. se pide: 5. 7. η0 = 0. Suponiendo que la instalación ha estado funcionando del modo indicado en el apartado (3) (sólo fuente de tortugas) durante 15 minutos y que se quiere reembalsar la misma cantidad de agua que se ha desembalsado. 6. Ka = 2.´ ´ CAPÍTULO 3. L5 = 200m. 0 Parámetros de la bomba: H0 = 60m. FUENTES Una vez finalizado el espectáculo. Kdd = 6. Ktt = 6. D2 = 6cm. Dt t = 3cm Cotas: hE = 30m. 5. DATOS: Tuber´ıas: L1 = 100m. Escriba la ecuación de funcionamiento de la instalación entre el estanque de tortugas y el embalse a través de la tuber´ıa (5). La N P SHr de la bomba seg´ un el fabricante es de 4 m. ε5 = 2mm. Q0 = 120l/min. L2 = 10m. 2. hB y el resto de parámetros conocidos. Calcule el N P SHd en función de la cota a la que situemos la misma. ε3 = 1mm. Calcule el caudal. D5 = 6cm. Kf = 3. ht = 0. D1 = 8cm. MAQUINAS HIDRAULICAS 9.´ ´ CAPÍTULO 3. FUENTES 89 . Q3 y HI ) Apartado 2) Al considerar que predomina la rugosidad.010166m3 /s Q2 = 0. observando en el diagrama de Moody. consideramos que el n´ umero de Reynolds >> 1 por lo que. Q2 . lo haremos por tanteo. lo que implica que HI < 15m 90 . obteniendo como valores de cada caudal Q1 = 0. 045 Sustituyendo esto en el sistema de ecuaciones anteriores 30 − HI = 145142Q21 HI − 5 = 121534Q22 HI − 0 = 430348Q23 Para resolver el anterior sistema.009071m3 /s Q3 = 0. MAQUINAS HIDRAULICAS 9.´ ´ CAPÍTULO 3.004809m3 /s Por lo que para acercarnos más a 0 tenemos que aumentar Q1 . FUENTES Soluci´ on: Apartado 1) Aplicando la ecuación de Bernoulli para las distintas tuber´ıas obtenemos: ) ( Q21 8 f1 L1 + KE hE − HI = D1 g(πD12 )2 ( ) ( ) Q22 8 Q22 8 f2 L2 HI − hdd + = + Kdd 2 )2 D2 g(πDdd g(πD22 )2 ) ( ( ) Q23 8 f3 L3 Q23 8 HI − htt + + Ktt = 2 )2 D3 g(πDtt g(πD32 )2 Y con la ecuación de continuidad tenemos que Q1 = Q2 + Q3 De este modo tenemos 4 ecuaciones y 4 incógnitas (Q1 . sabiendo que 0 < HI < 30. obtenemos: f1 = 0. probaremos con el valor HI′ = 15m. 053 f2 = f3 = 0.005904m3 /s Comprobando con la ecuación de continuidad tenemos que Q1 − (Q2 + Q3 ) = −0. MAQUINAS HIDRAULICAS 9. 000505 + 0. 268m/s πD22 Re2 = v3 = ρD1 v1 = 185000 µ ρD2 v2 = 136000 µ 4Q3 = 1. as´ı que del mismo modo que antes obtenemos Q1 = 0. 000505 = 10. 475m 0. interpolamos y calculamos HI como HI = HI′′ + (HI′ − HI′′ ) 0. planteando las ecuaciones de Bernoulli entre la superficie libre del embalse y la fuente de las tortugas obtenemos 91 . De este modo v1 = 4Q1 = 2.011739m3 /s Q2 = 0.´ ´ CAPÍTULO 3. tenemos que Q1 = Q3 = Q y Q2 = 0.011598m3 /s Q2 = 0.004934m3 /s Para comprobar que la hipótesis donde predomina la rugosidad es cierta tenemos que comprobar el n´ umero de Reynolds para cada tuber´ıa. Apartado 3) Puesto que la válvula de la fuente de los delfines está cerrada.006414m3 /s Q3 = 0. 004809 Obteniendo como valores de los caudales finales en las tuberias Q1 = 0. 307m/s πD12 Re1 = v2 = 4Q2 = 2. se encuentran en la zona del diagrama de Moody para los valores del factor de fricción supuestos. De este modo.000505m3 /s Con los datos obtenidos. 745m/s πD32 Re3 = ρD3 v3 = 105000 µ Y observamos que para los n´ umeros de Reynolds obtenidos.006414m3 /s Q3 = 0.00482m3 /s Y con la ecuación de continuidad tenemos que Q1 − (Q2 + Q3 ) = 0. ahora probaremos con un nuevo valor de HI . que será HI′′ = 10m. FUENTES De este modo. FUENTES ( ) f1 L1 Q21 8 hE − HI = + KE D1 g(πD12 )2 ( ) ( ) Q23 8 Q23 8 f3 L3 HI − h t + = + Ktt 2 )2 D3 g(πDtt g(πD32 )2 Sumando las dos fórmulas anteriores obtenemos: )) ( ) ( ( 1 1 1 Q2 8 f1 L1 f3 L3 + KE + + + Ktt hE − ht = gπ 2 D14 D1 Dt t4 D34 D3 Despejando Q Q = 0. de modo que Q′ = vtt πDt t2 4 De modo que igualando con la ecuación del caudal del apartado anterior y despejando Dt′ t obtenemos  ′ Dtt = 1 1 D14 ( f1′ L1 D1 2 2hE g/vtt ) + KE + 1 D34 De forma que el nuevo caudal es Q′ = 0. MAQUINAS HIDRAULICAS 9.´ ´ CAPÍTULO 3. 003125 D1 f1′ = 0. 00722m3 /s Para la altura del chorro. tenemos que: ε′1 = 0.0161m3 /s Apartado 5) 92 4 −1 ( f 3 L3 D3 ) + Ktt . 0265 Del apartado anterior vemos que para que el chorro tenga la misma altura se debe conservar vt t. tenemos que hctt = Htt = ht + 2 vtt Q = 2 = 5.2142m/s Apartado 4) Suponiendo de nuevo que domina la rugosidad y que por lo tanto el Re >> 1. 138m 2g A 2g donde vtt = 10. 0125 D5 f5 = 0. planteamos que: ( ) Q2B 8 f5 L5 H0 ht − hE = + KF + Ka + 2 Q2B − H0 D5 g(πD52 )2 Q0 Despejando el caudal QB = 0. 0598 Buscando el punto de funcionamiento de la instalación con la bomba. MAQUINAS HIDRAULICAS 9.498m3 El tiempo de reembalsado es: tr = V ol = 4790s = 1h20min QB Y la energ´ıa consumida.722kW h 93 . tenemos que: ε5 = 0. 75W ηB El volumen desembalsado es V ol = Q · t = 0. 399m Q0 ( )( ) QB QB ηB = 4η0 1− = 0. 001356m3 /s As´ı que calculamos la altura y el rendimiento ( ( ) ) QB 2 HB = H0 1 − = 32. Ec = Wb · tr = 2600kJ = 0. FUENTES La ecuación de funcionamiento de la instalación entre el estanque de tortugas y el embalse a través de la tuber´ıa es: ( ) f5 L5 Q2 8 ht − hE = + KF + Ka − HB D5 g(πD52 )2 Apartado 6) Suponiendo que domina la rugosidad (Re >> 1).00722(m3 /s) · 15(min) · 60(s/min) = 6.´ ´ CAPÍTULO 3. 7944 Q0 Q0 La potencia consumida es WB = ρgHB QB = 542. FUENTES Apartado 7) Calculamos el N P SHd del siguiente modo: patm N P SHd = − ρg Q2B ( 2 )2 D 2g π 4E ) ( L5 − (hE − hp ) + hB f5 + KF − hB D5 o bien patm N P SHd = + h E − h B − HB + ρg Q2B ( 2 )2 D 2g π 4E ) ( hE − hp − hB + Ka + 1 f5 D5 donde hb es la cota de la bomba y hemos despreciado la presión del vapor de agua. pv << patm 94 .´ ´ CAPÍTULO 3. MAQUINAS HIDRAULICAS 9. el agua fluye hacia la inferior por un tobogán de anchura b y ángulo de desnivel constante. H. 2. KE . Para ello. PARQUE ACUATICO Parque acu´ atico En un parque acuático se construye una instalación hidrálica para alimentar uno de los toboganes de agua. Suponiendo en este apartado y en los sucesivos que la profundidad de la piscina superior. A la vista de los resultados. hf . 4. vf . α << 1. Escriba la ecuación de Bernoulli con pérdidas entre la superficie libre de la piscina inferior y la de la superior en función de cuantas variables considere oportunas. viene dado por la expresión: Q η = 4η0 Q0 ( ) Q 1− Q0 con η0 = 0. calcule el N P SHd disponible de la bomba. las condiciones de la pel´ıcula de agua al final del tobogán as´ı como una serie de datos sobre el funcionamiento de la bomba. de longitud total L y diámetro D. extrae fluido a través de una rejilla de coeficiente de pérdidas. y de cuantas magnitudes adicionales considere necesarias. Q. Calcule la potencia necesaria para mover la bomba en las condiciones calculadas. Por otra parte. 5. El principal objetivo del problema es calcular. La instalación cuenta con una bomba para impulsar el fluido y conecta la piscina inferior. as´ı como la velocidad del fluido en este punto. Suponga para ello que el rendimiento de la bomba. cuya superficie libre se encuentra a una cota H + ∆h. Compruebe que la hipótesis hecha es razonable. η. ∆h. Suponiendo la presión de vapor prácticamente nula.´ ´ CAPÍTULO 3. ¿es razonable despreciar el efecto del n´ umero de Reynolds en el conducto? 3. a una distancia de conducto L1 de la rejilla de entrada. Desde la piscina superior. El conducto. lo expulsa a través de otra de coeficiente KS . es mucho menor que la cota a la que se encuentra su fondo. y cuenta con 2 codos de coeficiente Kc . entre ellos el caudal que circula por la instalación. de profundidad h. en función del caudal que cae. ¿Existe posibilidad de cavitación a la entrada? En el rango de funcionamiento. se sugiere seguir los siguientes pasos: 1. cuando el sistema funciona en régimen estacionario. la curva caracter´ıstica Altura-Caudal (HB − Q) de la bomba viene dada por la expresión: HB =1− H0 ( Q Q0 )2 siendo H0 y Q0 constantes conocidas. ´ 10. MAQUINAS HIDRAULICAS 10. se puede suponer que el NPSH requerido no depende del caudal y es N P SHr = 3m. 95 . calcule el caudal que circula por la instalación. escriba las ecuaciones de conservación de la energ´ıa espec´ıfica y de continuidad que permitir´ıan calcular el espesor de la pel´ıcula de agua al final del tobogán. una transición rápida). 92. Q. La bomba se encuentra después del primer codo. de profundidad ∆h. Tratando el tobogán como un canal abierto en el que la fricción es despreciable (o sea. Suponiendo también que hf << H calcule numéricamente el espesor de la pel´ıcula de agua hf y vf . con la superior. 6. ε = 1mm. 96 . KC = 0. 6. KS = 2. α = 10o .´ 10. 5m. h = 1. H = 5m. 8. KE = 1. PARQUE ACUATICO ´ ´ CAPÍTULO 3. Q0 = 10litros/min. b = 1m. D = 5cm. H0 = 40m. MAQUINAS HIDRAULICAS DATOS: L = 25m. 3. L1 = 5m. 4 · 109 s2 /m5 Q = 1.´ ´ CAPÍTULO 3. PARQUE ACUATICO Soluci´ on: Apartado 1) La ecuacion de Bernoulli entre las superf´ıcies libre de la piscina inferior y superior ser´ıa: ( ) fL 8Q2 h = H + ∆h + 2 4 + 2Kc + Ks + KE − HB gπ D D Apartado 2) Sabiendo que ∆h << H y que HB = H0 (1 − (Q/Q0 )2 ) Introduciendo esta fórmula en la ecuación de Bernoulli obtenemos ( ) ) ) ( ( 8Q2 fL QB 2 =H −h+ 2 4 + 2Kc + Ks + KE H0 1 − Q0 gπ D D Supondremos que el n´ umero de Reynolds es muy alto.6litros/min 97 . por lo que el factor de fricción se puede considerar constante. 0486 HT OT = 36. De este modo.6 · 10−4 m3 /s = 9. MAQUINAS HIDRAULICAS ´ 10. podemos escribir una ecuación simplificada para el caudal tras el siguiente proceso.5m R = 1. 02 D f = 0. ( ( ) ) 8 fL H0 H0 − H − h = + 2Kc + Ks + KE + 2 Q2 gπ 2 D4 D Q2 Agrupando HT OT = RQ2 Despejando √ HT OT R Sustituyendo los datos obtenemos los siguiente valores Q= ε = 0. Apartado 5) Para el cálculo de la potencia necesaria. obtenemos la ecuación siguiente: H + ∆h = 1 2 v + hf + h 2g f Por la ecuación de la continuidad tenemos Q = vf hf b Apartado 4) Puesto que suponemos que hf << H. 02mm vf b hf << H. 16 Q0 Q0 Y la potencia necesaria es W = ρgHB Q = 34. Esto implica que la hipótesis planteada no es buena. el sistema no cavita.´ 10. ( )( ) Q Q η = 4η0 1− = 0. calculamos el rendimiento con la siguiente fórmula. aplicando la ecuación del anterior apartado obtenemos: vf = √ 2g(H − h) = 8. 28m/s Y con la ecuación de continuidad del apartado anterior hf = Q = 0. 98 . 84m c E ρg 2gA2 D Puesto que el N P SHd > N P SHr . PARQUE ACUATICO ´ ´ CAPÍTULO 3. MAQUINAS HIDRAULICAS Apartado 3) Suponiendo despreciable la velocidad en la piscina superior. 7W η Apartado 6) Calculamos el N P SHd con la siguiente fórmula ( ) patm Q2 f L1 N P SHd = +h− + K + +K + 1 = 11. pero al no haber supuesto rozamiento en el canal da lugar a valores irreales de hf y Vf . 1 mm. Todas las pérdidas de carga secundarias a excepción de la de la válvula pueden considerarse despreciables. Determine el grado de apertura de la válvula necesario para reducir el caudal en un 50 %. as´ı como de una válvula de regulación cuya calibración se muestra en la figura b). ¿habrá riesgo de cavitación en alguno de los casos anteriores? 99 . Si el NPSHr de la bomba es de 10 m. donde HB viene expresado en metros y Q en m3 /s. PLANTA QUÍMICA Planta qu´ımica En una planta qu´ımica se desea elevar cierto caudal de l´ıquido desde un contenedor atmosférico hasta un tanque de procesado.01×103 Q2 . situado 30 m por encima del contenedor (ver figura a). Determine el caudal elevado cuando la válvula está completamente abierta. 2.´ ´ CAPÍTULO 3. 11. se hace uso de una bomba acoplada a una tuber´ıa vertical de 10 cm de diámetro con una rugosidad de ϵ = 0. Los niveles de l´ıquido en ambos tanques pueden considerarse constantes. Se pide: 1. 3. MAQUINAS HIDRAULICAS 11. La curva caracter´ıstica de la bomba se puede aproximar por HB = 52−1. Para ello. MAQUINAS HIDRAULICAS Soluci´ on: Apartado 1: Ecuación de Bernoulli con pérdidas entre A y E: Pa Q2 zA = =L+h+ ρg 2gA2 ( fL + Kv D ) − HB Siendo Kv = 0 La curva de la bomba la escribimos: HB = L + h + Q2 f L 2gA2 D HB = a − bQ2 Sustituyendo valores a = 52m y b = 1. implica un grado de apertura del 15 %. 68 · 10−2 m3 /s +b Al ser el n´ umero de Reynolds igual a 700. 100 . 01 · 103 m/(m3 /s)2 La intersección de ambas curvas produce: ( Q= a − (L + h) fL D2gA2 )1/2 = 5.000. se considera Reynolds infinito. PLANTA QUÍMICA ´ ´ CAPÍTULO 3. se llega a: Q2 a − (L + h) = 4 (( fL + Kv D ) ) 1 +b 2gA2 Y despejando ( Kv = 2gA 2 a − (L + h) Q2 /4 − b ) − fL = 21. Apartado 2: La ecuación de la altura de la bomba se modifica para Kv ̸= 0 y para un caudal Q/2 en vez de Q. 2 D Lo que seg´ un la figura.11. ( ) fL Q2 HB = L + h + + Kv 2gA2 D Combinándola nuevamente. ´ ´ CAPÍTULO 3. MAQUINAS HIDRAULICAS 11. PLANTA QUÍMICA Apartado 3: Suponiendo nula la presión del vapor, CASO 1 Pa Q2 N P SHd = − zB − ρg 2gA2 ( zB f +1 D ) Dos comentarios: a) Se ha incluido la presión dinámica en el conducto, ya que, como se verá, el margen es estrecho, e incluirlo puede cambiar los resultados. b) zB es, además de la altura de la bomba, la longitud de conducto entre el nivel de aspiración (A) y la entrada de la bomba (B) Imponiendo que N P SHr = N P SHd zB = Pa ρg − Q2 2gA2 1+ − N P SHr Q2 f 2gA2 D = −1, 6m Cavita siempre CASO 2 La u ńica diferencia con el caso 1 es que el caudal es Q/2. La válvula no afecta directamente el cálculo del N P SHd , ya que está después de la bomba. zB = Pa ρg − Q2 2gA2 1+ − N P SHr Q2 f 2gA2 D También cavita. 101 = −0, 4m ´ DE BOMBAS CAPÍTULO 3. MAQUINAS ´ ´ 12. ADIMENSIONALIZACION HIDRAULICAS 12. Adimensionalizaci´ on de bombas Se tiene una instalación hidráulica que consiste en un conducto AB que termina en una bifurcación y cuya presión total a la entrada (punto A) es conocida y de valor PA . De la bifurcación surgen otros dos conductos: uno BD que descarga a la atmósfera, y otro BC que descarga cerca del fondo de un depósito abierto que contiene una altura H de agua, desconocida a priori. En el fondo de dicho depósito se tiene una bomba sumergida que extrae fluido del depósito en el punto E (fondo) y la eleva, mediante un conducto hasta un punto, F, situado a una altura h sobre el fondo. Suponiendo que todas las alturas son despreciables, excepto H y h, y que el sistema se encuentra en estado estacionario, se desea calcular el caudal que circula por los conductos (QC ) y BD (QD ), as´ı como la altura del agua en el depósito, H. Para ello se sugieren los siguientes pasos: 1. Escriba la ecuación de Bernoulli generalizada entre los puntos A y C (ecuación 1), entre los puntos A y D (ecuación 2) y entre los puntos E y F (ecuación 3). 2. Sustituya la ecuación caracter´ıstica de la bomba en la ecuación para el tramo E-F (ecuación 4). 3. Haga adimensional el sistema de ecuaciones (1), (2) y (4), usando √ la altura máxima que puede levantar la bomba, H0 , como escala de alturas y V0 = 2gH0 como velocidad ˜ = H/H0 y V˜(C,D) = V(C,D) /V0 a la altura H y las velocidades caracter´ıstica. Denote por H adimensionales respectivamente. 4. Resuelva de manera iterativa el sistema compuesto por las ecuaciones adimensionales (1), (2) y (4). Para ello se sugiere el siguiente esquema: a) Inicie la iteración calculando un valor inicial de V˜D , suponiendo para ello despreciables las pérdidas en el trabo A-B en la ecuación (2). b) Use el valor de V˜D obtenido para calcular V˜C a partir de una ecuación obtenida ˜ de (4). restando (2) de (1) y sustituyendo H ˜ a partir de la ecuación (4). c) Calcule H d ) Calcule el nuevo valor de V˜D a partir de (2). Use este valor para comenzar una nueva iteración. Es suficiente con que itere 3 veces. ˜ y V˜(C,D) ) los valores 5. Finalmente, obtenga a partir de la solución adimensional obtenida (H con dimensiones H y V(C,D) . 102 ´ ´ ´ DE BOMBAS CAPÍTULO 3. MAQUINAS HIDRAULICAS 12. ADIMENSIONALIZACION DATOS: LAB = LBC = LBD = 10 m, LEF = 20. h = 20 m, d = 5 cm, ε = 0,1 mm Constante de pérdidas de los codos y de la bifurcación (usando la velocidad mayor): KC = 0,6 y KT = 1,2. Presión atmosférica: pa = 1 bar, y presión total en A: PA = 4pa . ( Curva de la bomba: HB = H0 1− ( Q Q0 )2 ) , siendo H0 = 9 m y Q0 = 1 l/s. Suponga pérdidas completamente dominadas por la rugosidad. 103 la potencia al eje necesaria para el motor eléctrico y el rendimiento de la bomba. ¿cuál deber´ıa de ser el diámetro del rotor y las revoluciones a las que deber´ıa girar la bomba si quisieramos impulsar un caudal Q = 0. 2. D1 = D2 = 10 cm. tal y como indica la figura. siendo su coeficiente de fricción λ1 = λ2 = λ3 = 0.m. Suponiendo que el fabricante dise˜ na todas sus familias de bombas geométricamente semejantes. MAQUINAS HIDRAULICAS Regad´ıo con bomba Una bomba suministra el agua de regad´ıo necesario que requiere una plantación. calcule el ángulo de salida del álabe β2 con el que ha sido dise˜ nado el rotor. Se sabe que el alto del álabe en la sección de salida es b2 = 8 mm. El punto de trabajo de la bomba. Sabiendo que L1 = 400 m. y eleva un caudal continuo de agua para salvar una peque˜ na cima a partir de dos embalses. D1 Kv2 Kv1 h H1 A h1 104 h2 . Con la bomba centr´ıfuga elegida y para el punto de trabajo calculado en el punto 1. L2 = 250 m. calcule: 1. el caudal que eleva y la altura efectiva. sabiendo que la presión de vapor a la temperatura ambiente es pv = 0. H1 = H2 = 2 m.13.p. L3 = 2 km. H3 = 14 m. Para ello elija de las seis bombas tipo NK 40-200 la bomba que ofrezca el mayor rendimiento en el punto de trabajo. estimar si habr´ıa o no cavitaci´ on. D3 = 15 cm. Para ello haga uso de la ecuación de Euler de las turbomáquinas. D2 H2 A−A L1 . es decir. REGADÍO CON BOMBA 13. 3. que el flujo está dominado por la rugosidad en todas las tuber´ıas.02 m3 /s en esa instalación? 4. Si la bomba se colocase justo después de la ramificación J. pa Kv3 L3 . Kv2 = 4 y Kv3 = 16.03 atm. ´ ´ CAPÍTULO 3. sabiendo que el flujo a la entrada de la bomba tiene sólo componente normal y suponiendo rendimiento hidráulico la unidad. D3 H3 A Bomba J L2 . Esta bomba modelo NK40-200 gira a 2900 r.04 y que se puede considerar despreciable todas las pérdidas secundarias excepto las debidas a las tres válvulas con constantes Kv1 = 6. ´ ´ CAPÍTULO 3. REGADÍO CON BOMBA . MAQUINAS HIDRAULICAS 105 13. REGADÍO CON BOMBA ´ ´ CAPÍTULO 3. 626 √ AQ2 y operando finalmente se obtiene que Q2 = Q3 √ (1 + A) Ahora se despeja HB para obtener la curva de la bomba en función del caudal quedando  HB = H3 + H2 + Q23  8 gπ 2 D34 ( λ3 L3 + Kv3 D3 ( ) + Que simplificada queda en m3 /h como HB = 16 + 9 · 10−3 Q2 Dando valores a la ecuación se obtiene la siguiente tabla 106 8 gπ 2 D24 ) + Kv2  √ (1 + A)2 λ2 L 2 D2 .13. MAQUINAS HIDRAULICAS Soluci´ on: Apartado 1: Se considera que el caudal en 3 es la suma de el caudal de 2 y de 1: Q3 = Q1 + Q2 y haciendo Bernoulli planteamos las ecuaciones 1 1 P a − (PJ1 + ρv12 + ρgH1 ) = ρv12 2 2 1 1 P a − (PJ2 + ρv22 + ρgH2 ) = ρv22 2 2 1 1 PT J3 − (P a + ρv32 + ρg(H2 + H3 )) = ρv32 2 2 ( ( ( λ1 L1 + Kv1 D1 λ2 L2 + Kv2 D2 λ3 L3 + Kv3 D3 ) ) ) − ρgHB Y asumiendo que la presión total se conserva porque no hay pérdida de carga en la ramificación 1 1 PJ1 + ρv12 + ρgH1 = PT J1 = PT J2 = PT J2 = PJ2 + ρv22 + ρgH2 2 2 Ahora. si se despeja Q1 ( Q1 = D1 D2 )4 ( Q22 ( ) λ2 L 2 D2 + Kv2 λ1 L 1 D1 + Kv1 ) Y relacionamos los diámetros en un factor ( A= Por lo que Q1 = D1 D2 )4 ( ( ) λ2 L 2 D2 + Kv2 λ1 L 1 D1 + Kv1 ) = 0. 5 = 3. la potencia al eje de 12 kW y un redimiento del 68.9 62. el caudal Q = 60.3 %.3 21. 4 < 3. si el redimiento lo calculamos con la fórmula se obtiene η= ρgHB Q = 67. 2 % Weje Apartado 2: Calculamos el N P SHd y lo comparamos con el N P SHr que se puede ver en la gráfica Pe Ve2 Pv + − ≥ N P SHr + 0.2 25. MAQUINAS HIDRAULICAS 13.5 18.4 36.2 30. Apartado 3: Haciendo la semejanza de bombas para los parámetros CQ y CH tenemos Q′ Q = nD3 n′ D′3 gH gH ′ = ′2 ′2 2 2 n D n D n Igualando las revoluciones de la forma n′ se tiene D H 1/4 Q′ 1/2 = D′ H′ Q 107 . 5m ρg 2g ρg ) ( ( ) v 2 λ2 L2 Pa P e ve2 − + + hb = − 2 + Kv2 ρg ρg 2g 2g D2 N P SHd = Y sustituyendo queda Pe v2 N P SHd = − hb − 2 ρg 2g ( λ2 L2 + Kv2 D2 ) − Pv = 10. 5m3 /h .7 44. REGADÍO CON BOMBA Q[m3 /h] 8 16 24 32 40 48 56 64 72 Hi [m] 16. 34 − 2 − 7. Sin embargo. 64 − 0.6 De la gráfica dato se saca la altura HB = 49m.´ ´ CAPÍTULO 3. 5m ρg Por tanto la bomba cavita. 31 = 0.2 52. 26o 108 . REGADÍO CON BOMBA ´ ´ CAPÍTULO 3. u2 = ωD2 /2 Para calcular β2 se despeja de la anterior ecuación y el resultado es 9. MAQUINAS HIDRAULICAS Por tanto el nuevo diámetro y las nuevas revoluciones son D′ = 225mm y n′ = 3195rpm Apartado 4: Ecuación de Euler de las turbomáquinas: H= 1 (u2 vt2 − u1 vt1 ) g Siendo vt1 = 0.13. vt2 = u2 − vn2 cotg(β2 ) . el ser humano crea acequias y similares que tienen una sección constante.Cap´ıtulo 4 Canales abiertos El flujo de canales abiertos tiene lugar cuando el fluido tiene una superficie de área mojada inferior a la sección del conducto. 109 . El flujo abierto también puede producirse en tuber´ıas cerradas cuando el fluido dentro de ésta forma una superficie libre. por tanto tiene una superficie libre y fluye u ńicamente por la acción de fuerzas másicas y a presión atmosférica. Este flujo abierto ocurre en la naturaleza en la forma de r´ıos o arroyos. pero como se puede suponer en dichos r´ıos la secciones no son constantes. Sin embargo. y su bisectriz es vertical. 2. 7. ¿c´ ual es el nuevo régimen? ¿c´ ual es la pérdida de carga por unidad de longitud del canal? 110 . El Froude cr´ıtico F rc . n = 0. 3. Se pide calcular: 1. Su pendiente es S = 0. Si aumentamos la pendiente a S = 0. CANALES ABIERTOS 1. El calado cr´ıtico hc . El nivel h del agua en el canal.01. La expresión de la energ´ıa espec´ıfica en función de Q y dibujar la curva h .E. Canal triangular Se tiene un canal cuya sección recta es un triángulo isósceles.001 y el coeficiente de Manning. El régimen del canal.CAPÍTULO 4.015s/m1/3 . La energ´ıa espec´ıfica cr´ıtica Ec . 4. Se sabe que transporta un caudal Q = 1m3 /s en régimen uniforme. 6. 5. El vértice inferior es un ángulo recto. CANAL TRIANGULAR 1. 003 1. Si la sección no es rectangular el ancho b var´ıa con y. 98m Apartado 2: Calado medio: ym = A h = b 2 U Fr = √ gym = 0. E= h (m) 1 1.75 E (m) 1.51 2.CAPÍTULO 4.4 0.05 1. 2 Además A = h2 y el per´ımetro Por lo tanto el radio hidráulico: RH = A h = √ P 2 2 Fórmula de Manning: U= Q= 1 2/3 1/3 R s n H h2 h2/3 √ s1/3 n (2 2)2/3 Q= h8/3 s1/2 2n Donde despejamos la altura ( h= Q2n s1/2 )3/8 = 0.5 0. CANAL TRIANGULAR Soluci´ on: Apartado 1: b = 2h es la anchura del nivel de la superficie.5 2 0.91 111 . El lado es P = √4 h 2 √2 h.39 0. Apartado 3: U2 Q2 +y = +h 2g 2gh4 Se usa la energ´ıa espec´ıfica referida al punto más bajo de la sección. CANALES ABIERTOS 1. 47 Régimen subcr´ıtico.31 2. 637m U= Q = 2. 46m/s h2 Entonces: 112 hC g 2 .CAPÍTULO 4. 72m Apartado 5: ( Ec = 2g Q2 2Q2 g ( )4/5 2Q2 g )1/5 Apartado 6: Uc F rc = √ =1 g h2e Porque 5/2 Q hc g 1/2 Uc = 2 = 2 1/2 = hc hc 2 √ Apartado 7: Como h = 0. CANAL TRIANGULAR Apartado 4: 2Q2 dE =− 5 +1=0 dh gh ( hc = 2Q2 g )1/5 = 0. CANALES ABIERTOS 1. CAPÍTULO 4. 39 g h2 Supercr´ıtico Como s= ∆hv = 0. 01 L Entonces la pérdida de carga queda: ∆Pv ∆hv = ρg = 98P a/m L L 113 . CANALES ABIERTOS 1. CANAL TRIANGULAR U Fr = √ = 1. CAPÍTULO 4. al subir la marea. el nivel del mar queda por encima de la profundidad del r´ıo en la desembocadura. U. calcule la velocidad de la corriente en la desembocadura. si la elevación del bore por encima del nivel del r´ıo es ∆h = 20cm y la profundidad a la desembocadura es h1 = 6m.2. Suponiendo que el comportamiento de un bore es similar al de un salto hidráulico de aguas poco profundas. 114 . CANALES ABIERTOS Desembocadura de un r´ıo En determinadas circunstancias se puede observar en la desembocadura de algunos r´ıos una ola estacionaria denominada bore que aparece cuando. DESEMBOCADURA DE UN RÍO 2. CANALES ABIERTOS 2.CAPÍTULO 4. √ h2 1 + 8F r2 − 1 = h1 2  4h2 F r0 =  2 h21 +1 4h22 h21 8 −1 1/2  ( = h2 2h1 ( h2 +1 h1 ))1/2 Finalmente la velocidad es: ( U1 = )1/2 gh2 (h2 + h1 ) = 7. DESEMBOCADURA DE UN RÍO Soluci´ on: La relación de alturas se establece a través del n´ umero de Froude. 86m/s 2h1 115 = U12 gh1 . en este l´ımite. El l´ımite de resalto muy débil es aquel en el que la diferencia de profundidades. 2. U0 y h0 .´ 3. 116 . CANALES ABIERTOS Resalto hidr´ aulico Para un resalto hidráulico como el de la figura: 1. 3. RESALTO HIDRAULICO 3. aplicando las ecuaciones de conservación de masa y cantidad de movimiento en su forma integral. la velocidad de propagación de las perturbaciones superficiales de peque˜ na amplitud. Deduzca. en función de los correspondientes valores de estas magnitudes aguas arriba. F r = √Ugh0 . las expresiones que permitir´ıan obtener la velocidad y profundidad aguas abajo de un resalto hidráulico. CAPÍTULO 4. U1 y h1 . Para ello haga las hipótesis que considere oportunas y justif´ıquelas. Adimensionalice las expresiones anteriores haciendo aparecer los siguientes parámetros: n´ umero de Froude. y relación de 0 velocidades. H = hh10 . Obtenga. ∆h = h1 − h0 . es peque˜ na en comparación con la profundidad aguas arriba (o aguas abajo). relación de profundidades. u = U1 U0 . CANALES ABIERTOS ´ 3. RESALTO HIDRAULICO Soluci´ on: Apartado 1: Continuidad q = U0 h0 = U1 h1 Cantidad de movimiento ∫ ∫ ∫ ∫ ρ⃗v (⃗v − v⃗c )⃗nds = − p⃗nds + ⃗τ ⃗nds + cρgdV Σ Σ Σ V Particularizando p(y) = P a + ρg(h − y) ( −ρU02 h0 + ρU12 h1 = ρg h20 h21 − 2 2 g 2 (h − h20 ) 2 1 ( ) 2q 2 1 1 − = h21 − h20 g h0 h1 q(U0 − U1 ) = 2q 2 = h0 h21 − h20 h1 g √ 1 + 8F r2 − 1 h1 = h0 2 Apartado 2: F r02 = U02 h20 U02 q2 = = gh0 gh30 gh30 Donde 117 ) .CAPÍTULO 4. CANALES ABIERTOS √ 1 + 8F r2 − 1 H= 2 Apartado 3: Si ∆h << 1 entonces h1 ≈ h0 por lo que H=1 √ 1 + 8F r2 − 1 1= 2 Y despejando U0 = √ gh0 Como hemos tomado el sistema de referencia montado en el resalto de éste. RESALTO HIDRAULICO CAPÍTULO 4. en realidad corresponde con la velocidad de la onda de peque˜ na perturbación en el sistema de referencia fijo.´ 3. 118 . los caudales por unidad de envergadura aguas arriba y aguas abajo de éste son iguales. h1 . h. Haciendo uso de la curva de energ´ıa espec´ıfica. Por u ´ltimo.CAPÍTULO 4. Aplique en este mismo sistema de referencia la relación fundamental del salto hidráulico para obtener otra ecuación que relacione h1 y U con las condiciones aguas arriba del resalto. 119 . q1 . Para ello siga los siguientes pasos: 3. se deposita accidentalmente una cantidad de arena sobre el obstáculo. CANALES ABIERTOS 4. q1 y h2 . U0 . Calcule la profundidad del flujo aguas abajo del obstáculo. obtenga una ecuación que permita relacionar q1 y h1 con la nueva altura máxima. h 0 . se ven modificados instantáneamente. h2 . U . h0 y U0 . es la máxima que el flujo considerado puede sortear (figura superior). aumentando su altura máxima a un valor zM > zmax . zm ax. Suponiendo que la longitud del obstáculo es suficientemente corta como para despreciar los efectos de la fricción (transición rápida). h1 y U con las condiciones aguas arriba del restalto. 5. obtenga una ecuación que le permita relacionar. a partir de q1 y h1 . Suponiendo que. se pide: 1. Sabiendo que en un sistema de referencia que se mueve con el resalto hidráulico a velocidad. excepto en el resalto. zm ax. 4. 6. zM . 4. supuestos estos dos ya calculados a partir de las ecuaciones obtenidas anteriormente. h1 . el flujo resultante aguas arriba y aguas abajo de éste se pueden considerar estacionarios. En un instante dado. U. Calcule el valor de la altura del obstáculo. escriba la ecuación que permitir´ıa calcular la altura aguas abajo del obstáculo. FLUJO SUPERCRÍTICO Flujo supercr´ıtico Un flujo supercr´ıtico de profundidad h0 y que transporta un caudal q0 = U0 h0 incide sobre un obstáculo cuya altura. q1 . Esta perturbación se propaga a su vez aguas arriba dando lugar a un salto hidráulico intenso que remonta la corriente a velocidad U > U0 . 2. la profundidad aguas arriba del obstáculo. se van a obtener ecuaciones para calcular las incógnitas del problema. as´ı como el caudal transportado por unidad de envergadura. Como consecuencia de esto. 4. CANALES ABIERTOS 120 . FLUJO SUPERCRÍTICO CAPÍTULO 4. CAPÍTULO 4. FLUJO SUPERCRÍTICO Soluci´ on: Apartado 1: Primero calculamos: ( hc = q02 g H = h0 + ) 13 q02 2gh20 La ecuación de la energ´ıa espec´ıfica queda: H − zf 1 =y+ 2 hc 2y La zmax que puede superar un fluido en altura total H cumple por tanto: 3 zmax = H − hc 2 Apartado 2: h = h0 Apartado 3: Cuando zf = zm se tienen de nuevo condiciones cr´ıticas. h′c ( = q12 g H ′ = h1 + ) 13 q12 2gh21 3 zm = H ′ − h′c 2 Apartado 4: Velocidad de la corriente agua arriba del resalto en un sistema que se mueve con éste: U0′ = U0 + U y aguas abajo: U1′ = U1 + U siendo q1 = U1 · h1 . La conservación de caudal impone: ) ( q1 +u h0 (U0 + U ) = h1 u1 121 . CANALES ABIERTOS 4. pero ahora. 4. FLUJO SUPERCRÍTICO CAPÍTULO 4. CANALES ABIERTOS Apartado 5: ) h1 h0 ( ) (U0 − U )2 1 h1 h1 = gh0 2 h0 h0 1 h1 Fr = 2 h0 ( 2 Apartado 6: Ecuación de la energ´ıa espec´ıfica de nuevo H ′ = h2 + 122 q12 2gh22 . 1. x = 0 y x = 1m.CAPÍTULO 4. y de la posición de la superficie libre. CANALES ABIERTOS 5. ´ 5. Determine el valor máximo que deber´ıa tomar la cresta del obstáculo para que el flujo pasase de ser subcr´ıtico a supercr´ıtico. Tomando zbmax igual al valor cr´ıtico obtenido anteriormente. donde zbmax representa el valor de la cresta del obstáculo. 123 . Obtenga el valor del calado. OBSTACULO EN EL FONDO Obst´ aculo en el fondo Una corriente de agua. y. 3. El contorno del 2 fondo del canal viene dado por zb = zbmax · e−x . Si la profundidad de la corriente aguas arriba del obstáculo es y1 = 2m. fluye sobre un obstáculo situado en el fondo de un canal rectangular tal y como se muestra en la figura. cuyo caudal por unidad de longitud es q = 4m2 /s. en x = −1m. obtenga la ecuación que determina la evolución del calado. 2. y(x) y de la posición de la superficie libre z(x) para −∞ ≤ x ≤ ∞. z. y(x) + q2 q2 2 = y + − zbmax · e−x 1 2 2 2gy(x) 2gy1 z(x) = y(x) + zbmax · e−x 2 Apartado 3: Debemos iterar.18 0. OBSTACULO EN EL FONDO CAPÍTULO 4.788 y(x = −1) = 1. 94m Para x = 0 124 .026 -0. 45 F r1 = √ gy1 y1 g 1/2 Subcr´ıtico Apartado 2: E2 = E1 − zb Por tanto.005 4 · 10−4 y(x) = −1 1. 438 · e−1 = 1.78 1.009 -0. 8cm q U1 = 3/2 = 0.´ 5.5 1. 788 + 0. usando el método de la bisección f = y(x) + q2 q2 2 − y + + zbmax · e−x = 0 1 2 2gy(x)2 2gy1 Para x = −1 iter 1 2 3 4 5 6 f -0.7 1. CANALES ABIERTOS Soluci´ on: Apartado 1: zbmax q2 3 = E1 − E2 = y1 + − 2 2 2gy1 ( q2 g )1/3 = 43.75 1.8 1.06 -0. 788m z(x = −1) = 1. 017 8 · 10−4 y(x) = −1 0. CANALES ABIERTOS iter 1 2 3 4 ´ 5. 638m Para x = 1 Si el fluido se mantiene subcr´ıtico y(x = −1) = y(x = 1) = 1. 2m z(x = 0) = 1.31 0.3 1. 788m En general el fluido puede pasar a régimen subcr´ıtico y entonces volver´ıamos a iterar para encontrar la solución. 816m z(x = 1) = 0. OBSTACULO EN EL FONDO f 0.8 1 1.05 0. 977m 125 . quedando: y(x = 1) = 0.2 y(x = 0) = 1.CAPÍTULO 4. 2. 2. 1. yc . Obtenga el valor del calado. Obtenga el valor del calado. y el n´ umero de Froude. 4. F2 . b >> y. aguas abajo del resalto hidráulico. Sabiendo que el flujo cr´ıtico ocurre en la compuerta se pide: 1. COMPUERTA EN EL CANAL 6. Calcule la altura de apertura de la compuerta. y2 . y3 . 4. 126 . F3 .CAPÍTULO 4. y el n´ umero de Froude. 3. Calcule el porcentaje de energ´ıa que se disipa en el resalto hidráulico. aguas abajo de la compuerta. 3. Compuerta en el canal En la figura se muestra un resalto hidráulico aguas abajo de una compuerta en un canal horizontal rectangular de anchura mucho mayor que su profundidad. CANALES ABIERTOS 6. 11 0.3 0.6 -1.86 0. 74 gy2 y2 g 1/2 127 .001 Por lo tanto y2 = 0.CAPÍTULO 4.84 -13. COMPUERTA EN EL CANAL Soluci´ on: Apartado 1: ( yc = q2 g ) 13 = 0. CANALES ABIERTOS 6. 691m Siendo q = U1 · y1 = 1.2 0.1 0. 245 Y el n´ umero de Froude U2 q F r2 = √ = 3/2 = 4.245 f 1. 11 gy1 y1 g 1/2 Subcr´ıtico Apartado 2: E 1 = y1 + q2 = 3m 2gy12 E1 = E2 Se desprecian las pérdidas de energ´ıa en la compuerta E2 = y2 + q2 2gy22 Siendo f = E1 − y2 − q2 2gy22 Iteramos por el método de la bisección iter 1 2 3 4 5 6 y2 0.25 0.5 0.33 0. 8m2 /s Y el n´ umero de Froude U1 q F r1 = √ = 3/2 = 0. 3 De nuevo subcr´ıtico Apartado 4: E2 = E1 = 3m E 3 = y3 + q2 = 1. COMPUERTA EN EL CANAL Supercr´ıtico Apartado 3: (√ ) 1 + 8F r2 − 1 y3 = y2 = 1.CAPÍTULO 4. CANALES ABIERTOS 6. 59m 2gy32 E2 − E3 = 0. 128 . 52m 2 F r3 = q 3/2 y3 g 1/2 = 0. 47 E2 Se disipa el 47 % de la energ´ıa. CAPÍTULO 4. 2. circula un caudal de 85m3 /s. 129 . ´ 7. 014 y la pendiente del canal es S 1/2 = 0. 3. Sabiendo que el factor de Manning es n = 0. 1. y1 . CABLE DE TELEFONO Cable de tel´ efono Por el canal de la figura. bm . 3. Determine el calado normal. se pide. 1. CANALES ABIERTOS 7. 015. En cierto lugar un conducto de cable de teléfono cruza el canal a una altura de h = 1m del fondo. Si la contracción sigue una ley b(x) = b1 − (b1 − bm )e−(x/L) 2 determine la posición x/L a partir de la cual se deber´ıa situar el cable. Determine la anchura m´ınima de la contracción que deber´ıamos realizar. Para evitar que dicho cable se encuentre sumergido se sugiere disminuir el nivel de agua mediante una contracción lateral simétrica tal y como se muestra en la figura. 2. cuya anchura es b1 = 25m. 15 2. 35 gy1 Es subcr´ıtico.44 -55. Apartado 2: E1 = E2 y1 + Q2 Q2 = ym + = E1 2 2 2 2gb2m ym 2gb1 y1 130 .´ 7. CABLE DE TELEFONO CAPÍTULO 4.2 2.5 2.13 m Siendo U1 F r1 = √ = 0.7 -1.13 f 7. CANALES ABIERTOS Soluci´ on: Apartado 1: A 2/3 1/2 R s n H Q= siendo A = by1 RH = A b1 y1 = P b1 + 2y1 Por tanto queda by1 Q= n ( b1 y1 b1 + 2y1 )2/3 s1/2 Iteramos por el método de la bisección Qn (b1 y1 )5/3 − s1/2 (b1 + 2y1 )2/3 iter 1 2 3 4 5 6 7 8 y1 2 3 2.8 -22.1 2.12 2.6 -4.21 0.54 -0.04 Por tanto y1 es 2.17 1. CAPÍTULO 4. la anchura del canal b(x) = bh y su calado coincide con h. 1m h 2g(E1 − h) La ecuación dada es bh = b1 − (b1 − bm )e−(xh /L) 2 si despejamos xh = L ( ( )) 1 2 b1 − bh −log = 0. desarrollando aguas abajo. 7m y que E1 = 2. Con esta anchura. 26m. Um F rm = √ =1 gym Um = Q = 3. CABLE DE TELEFONO Q 1 √ ym 2g(E1 − ym ) db =0 dy Como 2 ym = E1 = 1. 131 . régimen supercr´ıtico y por tanto y2 < y 1 . bm conseguiremos régimen cr´ıtico en la contracción . 40 b1 − bm A esta distancia. 85m/s bm ym Apartado 3: E1 = h + Q2 2gb2h h2 Por lo tanto bh = Q 1 √ = 17. CANALES ABIERTOS bm = ´ 7. 5m 3 √ 3 3 1 bm = Q 2 2 gE13 Finalmente se obtiene que bm = 14. 4. CAPÍTULO 4. 2. El canal posee una pendiente S = 0. tal y como se indica en la sección A − A. La altura máxima h con la que debemos dise˜ nar el canal triangular para que no haya derrame en ningun tramo. D1 Kv2 Kv1 h H1 A h1 132 h2 . El n´ umero de Froude (F r2 ) después del resalto hidráulico. El calado en el canal inclinado en régimen uniforme h1 . 5. CANALES ABIERTOS Regad´ıo en canal abierto Una bomba suministra el agua de regad´ıo necesario que requiere una plantación. D3 H3 A Bomba J L2 .8.01. El agua se eleva y se deposita posteriormente sobre un canal abierto de cemento y cuya sección es un triángulo isósceles con el vértice inferior en forma de ángulo recto. El flujo en el canal se considera uniforme hasta que el canal se hace horizontal.2 m3 /s para salvar una peque˜ na cima. El calado medio en el canal inclinado en régimen uniforme hm . pa Kv3 L3 . Esta bomba impulsa un caudal continuo de agua Q = 0. Calcule: 1. El n´ umero de Froude (F r1 ) en el canal inclinado o antes del resalto hidráulico. D2 H2 A−A L1 . REGADÍO EN CANAL ABIERTO 8.1 y su coeficiente de rugosidad de Manning es n = 0. 3. en ese momento el flujo no puede mantener su velocidad y aparece un resalto hidráulico. 5 1 1.5 133 2 y2 y1 2. CANALES ABIERTOS 8.5 3 3.CAPÍTULO 4. REGADÍO EN CANAL ABIERTO Datos: La función de resalto hidráulico para un canal triangular es: } ( )2 {( )3 h2 h2 −1 h1 h1 3 = F r12 ( )2 2 h2 −1 h1 Haga uso de la siguiente gráfica si lo considera necesario: 60 50 40 ¡ y 2 ¢2 n¡ y 2 ¢3 y1 y1 ¡ y 2 ¢2 y1 −1 o 30 −1 20 10 0 0 0.5 4 . 2 m 134 . 673m Apartado 2: hm = A h2 h = = = 0. 194m Entrando en la función del resalto hidráulico (gráfica) obtenemos ] ( )2 [( )3 h2 h2 −1 h1 h1 3 = F r2 = 44. CANALES ABIERTOS Soluci´ on: Apartado 1: Se considera flujo uniforme por lo que se toma de la fórmula de Maning: Q= A 2/3 1/2 h2 h2/3 h8/3 1/2 √ RH s = s1/2 = s n n (2 2)2/3 2n Donde RH √ √ A h2 2 h 2 h = = = = √ P 4h 4 2 2 Despejando h de la ecuación de Manning se obtiene el calado en el canal inclinado: ( h1 = 2nQ s1/2 )3/8 = 0.8. es decir. 55 ( )2 2 h2 −1 h1 Por lo tanto h2 = 0. REGADÍO EN CANAL ABIERTO CAPÍTULO 4. 1m b 2h 2 Apartado 3: Ya se ha obtenido en el apartado 1. que es igual a 0. CANALES ABIERTOS 8.CAPÍTULO 4. 45 F r1 = √ g 5 ghm ghm h2 h 2 1 Está en régimen supercr´ıtico Apartado 5: Q F r2 = √ = 0. 243 g 5 h 2 2 135 . REGADÍO EN CANAL ABIERTO Apartado 4: U1 A1 Q U1 =√ =√ = 5. 94 − η1 ( Q1 Q2 )0. Pintar la curva de la instalación sobre la curva caracter´ıstica de la bomba suponiendo que el factor de fricción es independiente del Re para toda condición (1 punto) Datos: ρqueroseno = 800 kg/m3 . de diámetro D y rugosidad ε.´ 9. (1 punto) Moody : 1 − η2 = 1 − η1 ( D1 D2 )0. La longitud de la tuber´ıa hasta la bomba desde la entrada es Le y la longitud total de las tuber´ıas de bombeo entre ambos depósitos es L. 1 gal = 3. Para bombear el queroseno se dispone de una bomba geométricamente semejante a la bomba de diámetro 9 in de la figura adjunta. 136 . µqueroseno = 0. Kc = 2.002 kg/(m·s) . DEPOSITO INFINITO 9. rendimiento y altura espec´ıfica en el punto de máximo rendimiento (1 punto) 3. Diámetro del rotor adecuado en el punto de máximo rendimiento (1 punto) 2. Si se desea bombear 1200 gal/min a 1500 rpm. La diferencia de alturas entre las dos superficies libres de los depósitos es H0 . pv. La tuber´ıa que une ambos depósitos. Altura espec´ıfica para caudal nulo (1 punto) 5. A una cierta altura Zent respecto a la superficie libre se encuentra la bomba. H0 = 10 m. determinar la altura máxima a la cual puede estar situada la bomba sin peligro de cavitación (1 punto) 6. determinar: 1. Le = 2 m.5.queroseno = 0 Pa. CANALES ABIERTOS Dep´ osito infinito La instalación de la figura consta de un depósito infinito del cual se bombea queroseno hacia un depósito superior. Estimar el rendimiento de la bomba seleccionada mediante las expresiones de Moody y Anderson.4 mm. 1 ft = 0. La constante de pérdidas en la entrada es Ke . L = 15 m. ρagua = 1000 kg/m3 .32 ¿Cuál de las dos expresiones es más conservativa? 4. Ke = 0.3048 m. ε = 0. D = 10 cm. Kf = 8.79·10−3 m3 .25 Anderson : 0. tras la cual se tiene un codo con constante de pérdidas Kc y un filtro con constante de pérdidas Kf . Potencia. se sumerge una cierta longitud en el depósito principal.94 − η2 = 0. CAPÍTULO 4. Suponiendo que el n´ umero adimensional de la N P SH es N P SH/D. Determinar la altura tras el resalto h2 como función de datos conocidos y de Lc 9. CANALES ABIERTOS ´ 9. Si la tuber´ıa rectangular es de cemento y tiene una constante de pérdidas de la ecuación de Manning de valor n. DEPOSITO INFINITO Pasado un cierto tiempo la bomba deja de funcionar y el depósito comienza a descargarse a través de la tuber´ıa de sección rectangular de base b y altura H. Determinar la Lc máxima para que se forme un resalto hidráulico a la salida de la tuber´ıa de cemento. menor que H. Determinar la carga del vertedero hcarga y la altura del vertedero Hvert para el caso Lc = (Lc )max /3 haciendo uso de la ecuación para vertederos triangulares de pared delgada ( ) 8 θ √ Q = ct tan 2· (hcarga )5/2 15 2 Nota: En un resalto hidráulico la relación de calados antes y1 y después del resalto y2 viene dada por la siguiente expresión: (√ ) y1 8q 2 y2 = 1+ 3 −1 2 gy1 137 . En el instante en el cual el queroseno dentro de la tuber´ıa rectangular sólo cubre hasta una altura h. Suponer además que la pendiente es suficientemente peque˜ na 8.CAPÍTULO 4. Suponer flujo uniforme en la tuber´ıa rectangular. dentro de la tuber´ıa rectangular. se pide: 7. 1500rpm Apartado 2: De nuevo usando la semejanza. pero esta vez para el parámetro adimensional de alturas y presiones: ( H2 = H1 · P2 = P1 · f2 f1 n2 2 D2 2 n1 D1 ( ) n2 3 D2 5 n1 D1 = 90. 5in Porque Q2 = 1200gal/min . 67bhp η2 = η1 = 78 % Apartado 3: Moody: η2 = 79. P1 = 17bhp Usando la propiedad de semejanza: ( Q nD3 ) = cte Por lo que obtenemos que: ( D2 = Q2 n1 · Q1 n2 )1/3 · D1 = 11. 7 % Moody es más conservativa. H1 = 76f t . n1 = 1760rpm . 62f t n1 D1 138 . CANALES ABIERTOS Soluci´ on: Apartado 1: La bomba funcionará en el Punto de Máximo Rendimiento (PMR). Apartado 4: H1 (Q = 0) = 84f t ( ) n2 D2 2 H2 (Q = 0) = H1 · = 99. 12f t ) = 28. 3 % Anderson: η2 = 80.´ 9. DEPOSITO INFINITO CAPÍTULO 4. que para un diámetro de 9 in tiene las siguientes caracter´ısticas: Q1 = 675gal/min . CANALES ABIERTOS ´ 9.CAPÍTULO 4. DEPOSITO INFINITO 139 . 4 62. 029 Para f: Re = 385000 .´ 9. N P SH2 = 14.06 39.0473 0.25 85. DEPOSITO INFINITO CAPÍTULO 4. CANALES ABIERTOS Apartado 5: De nuevo. 51m ρg ρg Siendo 8Q2 L f gπ 2 D5 hf ent = Pero antes: Q = 1200gal/min = 0.0758 Hb 10 23. 0756m3 /s . 76m ρg Apartado 6: Para la curva altura-caudal hay que poner la ecuación de Bernoulli en función de alturas piezométricas y del caudal quedando: Hb = H0 + 8Q2 π 2 gD4 ( ) fD + Ke + Kcodo + Kf + 1 L Q(gal/min) 0 500 750 1000 1200 Q(m3 /s) 0 0. semejanza: ( N P SH ) D 1 = ( N P SH ) D 2 Por tanto. f = 0.063 0. 82f t N P SH = Pa pv − zent − hf ent − ≥ N P SH2 = 4.0315 0. ϵ D = 4 · 10−3 zent ≤ 105 − hf ent − N P SH2 = 0.25 Apartado 7: Dentro de la tuber´ıa el flujo uniforme viene caracterizado por la ecuación de Manning: 1 2/3 1 Q = RH s1/2 A = n n ( bh b + 2h )2/3 ( El resalto hidráulico: h1 h2 = 2 (√ 8q 2 1+ 3 −1 gh1 Siendo Q = q · b 140 ) ∆z Lc )1/2 bh . despejando la longitud cr´ıtica √ Lc = ∆z b2/3 nh4/3 g(b + 2h)2/3 Apartado 8: h h2 = 2 (√ 8∆z(bh)10/3 1+ −1 Lc gh3 n2 (b + 2h)4/3 ) Apartado 9: Se despeja hcarga obteniendo: ( hcarga = )2/5 √ (bh)5/3 ∆z315 √ √ Ct 8tg( 2θ 2gn(b + 2h)2/3 Lc Y como h2 = hcarga + Hvert se despeja: Hvert h1 = h2 = 2 (√ ) 8q 2 1 + 3 − 1 − hcarga gh1 141 .CAPÍTULO 4. CANALES ABIERTOS Q 1 F r1 = = 3 bgh n ( ´ 9. DEPOSITO INFINITO bh b + 2h )2/3 ( ∆z Lc )1/2 bh ≥1 bgh3 Por tanto. DEPOSITO INFINITO CAPÍTULO 4.´ 9. CANALES ABIERTOS 142 . Cap´ıtulo 5 M´ etodos num´ ericos En este cap´ıtulo se resolverán algunos problemas expuestos anterirormente mediante métodos numéricos con el código comercial Matlab. El código está estructurado de la siguiente manera: Borrado de la memoria Declaración de constantes y variables conocidas Funciones Bucles Representación y postproceso 143 ´ 1. PROBLEMA TRES DEPOSITOS 1. 1 2 3 4 ´ ´ CAPÍTULO 5. METODOS NUMERICOS Problema tres dep´ ositos %% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % SOLUCION DEL PROBLEMA DE LOS TRES DEPOSITOS (CRESPO 2 7 . 9 . 4 ) %METODO MATRICIAL . %% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 6 % INICIALIZACION 7 8 9 10 % Limpiamos memoria y g r a f i c a s clear all close all 11 12 13 14 15 % L i q u i d o de t r a b a j o y gravedad rho = 1 e3 ; mu = 1 e −3; g = 9.81; 16 17 18 % C o r r e l a c i o n de Colebrook c o l e b r o o k = @( Re , r r , l a ) 1/ s q r t ( l a ) +2∗ l o g 1 0 ( r r / 3 . 7 1 + 2 . 5 1 / Re/ s q r t ( l a ) ) ; 19 20 21 22 % Depositos hA = 1 9 ; hB = 8 ; 23 24 25 26 27 % Elementos L1 = 4 e3 ; L2 = 1 e3 ; L3 = 2 . 4 e3 ; 28 29 30 31 D1 = 1 ; D2 = 0 . 6 ; D3 = 0 . 4 5 ; 32 33 34 35 r 1 = 4 . 6 e −5; r r 1 = r 1 /D1 ; r 2 = 4 . 6 e −5; r r 2 = r 2 /D2 ; r 3 = 4 . 6 e −5; r r 3 = r 3 /D3 ; 36 37 38 39 40 v v v v L D r rr = = = = [ L1 L2 L3 ] ; [ D1 D2 D3 ] ; [ r1 r2 r3 ] ; [ rr1 rr2 rr3 ] ; 41 42 43 % F a c t o r e s de f r i c c i o n . Comenzamos su po ni en do r u g o s i d a d dominante n i k u r a d s e = @( x ) 0 . 2 5 / ( l o g 1 0 ( x / 3 . 7 1 ) ) ˆ 2 ; 44 144 ´ ´ CAPÍTULO 5. METODOS NUMERICOS 45 46 47 ´ 1. PROBLEMA TRES DEPOSITOS la1 = nikuradse ( rr1 ) ; la2 = nikuradse ( rr2 ) ; la3 = nikuradse ( rr3 ) ; 48 49 v la = [ la1 la2 la3 ] ; 50 51 52 53 54 55 % Condiciones i n i c i a l e s Q1 = 0 . 1 ; Q2 = 0 . 1 ; Q3 = 0 . 1 ; HJ = 1 0 ; 56 57 v s o l = [ Q1 Q2 Q3 HJ ] ’ ; 58 59 60 61 62 63 64 % BUCLE PRINCIPAL maxiter = 1000; tol = 1 e −9; inc = 1; res = 1; iter = 0; 65 66 67 68 69 70 71 Q1 pp = z e r o s ( 1 , m a x i t e r ) ; Q2 pp = z e r o s ( 1 , m a x i t e r ) ; Q3 pp = z e r o s ( 1 , m a x i t e r ) ; HJ pp = z e r o s ( 1 , m a x i t e r ) ; inc pp = z e r o s (1 , maxiter ) ; res pp = z e r o s (1 , maxiter ) ; 72 73 74 w h i l e ( i n c >t o l ) && ( r e s >t o l ) && ( i t e r <m a x i t e r ) 75 76 i t e r = i t e r +1; 77 78 79 % Almacenamos s o l u c i o n a n t e r i o r para c a l c u l o de e r r o r y % d i a g n o s t i c o de c o n v e r g e n c i a 80 81 v sol old = v sol ; 82 83 84 85 86 Q1 Q2 Q3 HJ pp ( i t e r ) pp ( i t e r ) pp ( i t e r ) pp ( i t e r ) = = = = v v v v sol (1) ; sol (2) ; sol (3) ; sol (4) ; 87 88 89 90 % F a c t o r e s de f r i c c i o n con Colebrook v v e l = 4∗ v s o l ( 1 : 3 ) ’ / p i . / v D . ˆ 2 ; v Re = abs ( rho ∗ v v e l . ∗ v D/mu) ; 145 / v D . 122 123 124 end 125 126 % POSTPROCESO 127 128 129 130 131 132 133 Q1 pp ( i t e r +1: m a x i t e r ) = [ ] . ∗ abs ( v s o l ( 1 : 3 ) ’ ) . 105 106 % Solucion del sistema matricial v s o l = A\b . x ) . r e s 4 = −v s o l ( 1 )+v s o l ( 2 )+v s o l ( 3 ) . ∗ v l a . / v D . i n f ) . 134 135 figure (1) 136 146 . Q2 pp ( i t e r +1: m a x i t e r ) = [ ] . 114 115 116 117 118 119 res 120 = norm ( [ r e s 1 r e s 2 r e s 3 r e s 4 ] . 121 res pp ( i t e r ) = res . METODOS NUMERICOS 91 for i = 1:3 v l a ( i ) = f z e r o (@( x ) c o l e b r o o k ( v Re ( i ) . 104 b = [ hA −hB 0 0 ] ’ . Q3 pp ( i t e r +1: m a x i t e r ) = [ ] . i n f ) . 96 97 98 99 A = [ v K(1) 0 0 −1 100 101 102 103 0 0 v K(2) 0 0 v K(3) 1 1 1. PROBLEMA TRES DEPOSITOS ´ ´ CAPÍTULO 5. / v s o l .´ 1. r e s 2 = v s o l ( 4 )−hB−v F ( 2 ) ∗ v s o l ( 2 ) ∗ abs ( v s o l ( 2 ) ) . ∗ v L . 0]. 110 111 112 113 % Residuo d e l s i s t e m a de e c u a c i o n e s r e s 1 = hA−v s o l ( 4 )−v F ( 1 ) ∗ v s o l ( 1 ) ∗ abs ( v s o l ( 1 ) ) . −1. inc pp ( i t e r ) = inc . v l a ( i ) ) . v K = v F . 107 108 109 % Incremento r e l a t i v o en l a s o l u c i o n i n c = norm ( ( v s o l −v s o l o l d ) . r e s 3 = v s o l ( 4 )−v F ( 3 ) ∗ v s o l ( 3 ) ∗ abs ( v s o l ( 3 ) ) . r e s p p ( i t e r +1: m a x i t e r ) = [ ] . ˆ 4 . v r r ( i ) . −1. HJ pp ( i t e r +1: m a x i t e r ) = [ ] . end 92 93 94 95 % Matriz d e l s i s t e m a y t e r m i n o i n d e p e n d i e n t e v F = 8/ p i ˆ2/ g . i n c p p ( i t e r +1: m a x i t e r ) = [ ] . 3e ’ ) . g r i d on xlabel ( ’ iteracion ’ ) ylabel ( ’ residuo ’ ) 172 173 174 175 176 177 178 179 180 disp disp disp disp ([ ([ ([ ([ ’ ’ ’ disp ( [ ’ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ’ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ SOLUCION ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ’ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ’Q1 = ’ num2str ( v s o l ( 1 ) .´ ´ CAPÍTULO 5. g r i d on xlabel ( ’ iteracion ’ ) y l a b e l ( ’HJ ’ ) 160 161 162 163 164 165 subplot (325) semilogy ( 1 : it er . . Q2 pp ) box on . METODOS NUMERICOS 137 138 139 140 141 ´ 1. Q3 pp ) box on . ’ %. g r i d on xlabel ( ’ iteracion ’ ) y l a b e l ( ’Q3 ’ ) 154 155 156 157 158 159 subplot (324) p l o t ( 1 : i t e r . HJ pp ) box on . ’ %.3e ’ ) . Q1 pp ) box on . g r i d on xlabel ( ’ iteracion ’ ) y l a b e l ( ’Q1 ’ ) 142 143 144 145 146 147 subplot (322) p l o t ( 1 : i t e r . . g r i d on xlabel ( ’ iteracion ’ ) y l a b e l ( ’ incremento r e l a t i v o ’ ) 166 167 168 169 170 171 subplot (326) semilogy ( 1 : it er . . HJ = ’ num2str ( v s o l ( 4 ) . ’ %. . ’ %. . ’ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ 147 ’ ]) ’ ]) ’ ]) ’ ]) . Q2 = ’ num2str ( v s o l ( 2 ) . PROBLEMA TRES DEPOSITOS subplot (321) p l o t ( 1 : i t e r . inc pp ) box on . res pp ) box on .3e ’ ) .3e ’ ) ] ) . g r i d on xlabel ( ’ iteracion ’ ) y l a b e l ( ’Q2 ’ ) 148 149 150 151 152 153 subplot (323) p l o t ( 1 : i t e r . . Q3 = ’ num2str ( v s o l ( 3 ) .

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