Escuela Superior de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica y Diseño IndustrialTEMA 1 : CINEMÁTICA DE SISTEMAS INDEFORMABLES Problemas Propuestos ( (C CO ON NL LA AS SR RE ES SP PU UE ES ST TA AS S) ) José Cano Martín Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. P-1 PROBLEMA 1.1 VA La barra de la figura está girando alrededor de O con una velocidad angular ω = 2 rad/s y una aceleración angular α = 5 rad/s2, calcular la velocidad y aceleración del punto A cuando la barra pasa por la posición indicada. 2 rad/s 5 rad/s 2 60º t aA n aA A 10 cm 60º O SOLUCIÓN r V A = ω ⋅ OA ⊥ OA r r r r r V A = − 2 ⋅ 10 sen60 i + ....................... j = .............. i + .............. j cm / s r r n rt aA = aA + aA rn aA = ω 2 ⋅ OA // OA r r r r rn aA = − 2 2 ⋅10 cos 60 i − ....................... j = .............. i − .............. j cm / s 2 r a tA = α ⋅ OA ⊥ OA r r r r rt aA = ....................... i + 5 ⋅10 cos 60 j = .............. i + .............. j cm / s 2 Respuesta: r r r V A = − 17,32 i + 10 j cm / s r r r a A = − 63,3 i − 9,64 j cm / s 2 5 10 θ = .....2 30º + θ La placa rectangular gira alrededor de O con velocidad angular constante de 2 rad/s.....32 j cm / s ................. VP P 5 cm 30º A θ 2 rad/s 10 cm O SOLUCIÓN 30º r VP = ω ⋅ OP ⊥ OP r r r r r VP = − ω ⋅ OP sen(30 + θ ) i + ω ⋅ OP cos(30 + θ ) j = ........ j cm / s r r r r r VPA = − 2 ⋅ 5 cos 30 i − .................... r r r VP =V A + VPA siendo r r r r r V A = − 2 ⋅ 10 sen30 i + ..... i + ............................. calcular la velocidad del punto P cuando la placa pasa por la posición indicada............. i − ..... i + . j = . cm Otra forma tgθ = 5 = 0.......Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables... j = .......66 i + 12........... P-2 PROBLEMA 1. j cm / s Respuesta: r r r VP = − 18................. j cm / s siendo OP = 10 2 + 5 2 = .. ......... calcular la aceleración del punto P cuando la placa pasa por la posición indicada...... P-3 PROBLEMA 1... j = .................. j cm / s 2 Respuesta: r r r a P = − 24... r r r a P = a A + a PA siendo r r r r r a A = . 2 rad/s aP θ 10 cm 30º A O SOLUCIÓN 30º r a P = ω 2 ⋅ OP // OP r r r r r a P = − ω 2 ⋅ OP cos(30 + θ ) i − ω 2⋅ OP sen(30 + θ ) j = ............ cm Otra forma tgθ = 5 = 0.......... i − .......64 i − 37.....5 10 θ = . i − ..... i − 2 2 ⋅ 10 sen30 j = .32 j cm / s 2 ......... j cm / s 2 siendo OP = 10 2 + 5 2 = .........3 P 5 cm La placa rectangular gira alrededor de O con velocidad angular constante de 2 rad/s........................Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables....... i − .............. j cm / s 2 r r r r r a PA = 2 2 ⋅ 5 sen30 i − ............. ......73 m / s ω = 2... P-4 PROBLEMA 1... = − 2.. j = . j m / s r r VBA = ω ⋅ 1.5 r Se igualan las componentes en i y j ... Cuando la barra está en posición horizontal la velocidad de A es 3 m/s........ Hállense la velocidad lineal de B y la velocidad angular de la barra en este instante...Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables......4 En la figura... M A 3 m/s 60º 30º 150 cm B N O SOLUCIÓN r r r VB =V A + VBA r r r VB =VB cos 30 i + ..6 + ω ⋅ 1.. j m/s r r r r r V A = 3 cos 60 i − . el extremo A de una barra AB que tiene 150 cm de largo se mueve hacia abajo siguiendo la línea OM y el otro extremo B se mueve a lo largo de ON.......5 j m/s r VB cos 30 =1..........31 rad / s .................... i − .....5 Respuesta: VB =1.... .....33 rad / s α 3 = 3..... 3 A 2 45º 0...5 m.....Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables....... j r r r V A = − 4 ⋅ 0........5 2 sen45 i + .... O2A = 0.... i m / s r r VBA = ω 3 ⋅ 1...5 2 sen45 j r r − α 4 ⋅ 0..66 rad / s 2 .5 i = .332 ⋅ 1..... ω2 = 4 rad/s constante........ j m / s 2 ⇒ Respuesta: ω 3 =1..5 2 sen 45 i + .5 En la figura.5 i + ......55 rad / s 2 ω 4 = 4 rad / s α 4 =10.. j m / s 2 r r r a A = − 4 2 ⋅ 0........5 m 4 rad/s 4 1........5 m B O2 SOLUCIÓN O4 Velocidades En el sistema 3 r r r VB =V A + VBA r r r VB = − ω 4 ⋅ 0...... j m / s 2 r r r a BA = − 1............5 j m / s ⇒ m/ s Aceleraciones En el sistema 3 r r r a B = a A + a BA r r r a B = − 4 2 ⋅ 0........5 m y AB = 1.... P-5 PROBLEMA 1..5 2 cos 45 i − 4 2 ⋅ 0.......5 j = . Hállense las velocidades angulares ω3 y ω4 y las aceleraciones angulares α3 y α4... ⇒ r r r a B = a A + a BA VB = 8 m / s → r r VC = 8 3 j m/ s a B = 32 3 m / s 2 → α3 = 0 ..... j ⇒ 0 = 4 3 + ... la aceleración de B y la aceleración angular de BC.... P-6 PROBLEMA 1. Hallar la velocidad de B y C.......... C 3 A 4 2m 2m 2m 2 B 30º 30º O2 SOLUCIÓN Velocidades En el sistema 3 r r r VB =V A + VBA r r r r r VB i = 4 ⋅ 2 sen30 i + 4 ⋅ 2 cos 30 j − ω 3 ⋅ 2 ...... r r r VC =VB + VCB = Aceleraciones En el sistema 3 Respuesta: VB = 4 − ..........Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. i + ω 3 ⋅ 2 ............6 En el mecanismo de la figura la velocidad angular de la barra O2A es ω2 = 4 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj y constante... 20 cm ω A ω 4 3 2 30 cm 40 cm O2 B D 25 cm C SOLUCIÓN Velocidades En el sistema 3 ⇒ r r r VD =VC + VDC r r r VC =VB + VCB Calcular VC como perteneciente a la barra 2 ⇒ Aceleraciones Igual que velocidades. Determinar la velocidad y aceleración del bloque que desliza en el instante en que el mecanismo adopta la posición que se muestra.7 El cuerpo rígido ABC gira alrededor de un pivote O con una velocidad angular de 5 rad/s contraria a las manecillas del reloj y una aceleración angular de 10 rad/s2 de sentido opuesto.Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. P-7 PROBLEMA 1.5 m / s → aD = 3 m / s 2 → . r Respuesta: VD =1. P-8 PROBLEMA 1. determinar la aceleración angular de la barra AB y la aceleración del punto A en el instante que se indica.Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables.8 Si el disco gira con una velocidad angular constante de 3 rad/s. A 20 cm 10 cm 45º C B D ω = 3 rad/s Respuesta: α AB = 0 r r r a A = 135 i − 45 j cm / s 2 . calcule la velocidad y aceleración angulares de los elementos OBC y AD. Calcular también la velocidad y aceleración del punto C. Para el instante mostrado.656 i − 2. El elemento OBC es el brazo rígido de un maniquí. Respuesta: ω OBC = 1.45 j m / s α OBC = 4.1 i m/s².45 i − 0.4375 rad / s 2 2 (horario) ω AD = 1 rad / s (antihorario) α AD = 1.4 i m/s y una aceleración AD = -0.Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. P-9 PROBLEMA 1.5 rad / s (horario) r r r VC = 0.9 El émbolo hidráulico D tiene una velocidad instantánea VD = 0.006 j m / s 2 .625 rad / s (antihorario) r r r aC = 0. 10 La velocidad angular instantánea del elemento BC del mecanismo de la figura es 2 rad/s en sentido antihorario. y su aceleración angular es 4 rad/s² en sentido horario.5 i − 700 j mm / s 2 .Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables.84 rad / s 2 (antihorario) r r r aC = −4202. P-10 PROBLEMA 1. Respuesta: α AB = 12. Calcule la aceleración angular de la barra AB y la aceleración del bloque C. 4c m 30º B 30º G VA = 8 cm/s A aA = 3 cm/s2 m 4c Respuesta: ω AB = 2 rad / s (horario) r r r aG = 17.25 j cm / s 2 α AB = 7. Calcular la aceleración del punto G (punto medio de AB).68 rad / s 2 (horario) .11 Los extremos de la varilla AB sólo pueden moverse sobre las trayectorias que se indican.Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. En un instante determinado. A tiene una velocidad de 8 cm/s y una aceleración de 3 cm/s2. P-11 PROBLEMA 1. Determinar la velocidad angular y la aceleración angular de AB en este instante.3 i − 2. La varilla flexible D de la bomba está sujeta al sector en E y penetra siempre vertical en el ajuste situado bajo D. Respuesta: VD = 1.287 m / s ↓ a D = 0. Si OA tiene una velocidad constante de una revolución cada tres segundos en el sentido de las agujas del reloj. determinar la velocidad y aceleración del vástago D de la bomba cuando la viga y la manivela se hallan ambas en la posición horizontal que se indica.57 m / s 2 ↓ .Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables.12 En la figura puede verse un esquema de equipo de bomba para petróleo. P-12 PROBLEMA 1. La barra de conexión AB hace oscilar la viga BCE al girar la manivela OA con contrapeso. P-13 PROBLEMA 1.13 Este mecanismo corresponde a una instalación de bombeo.9 i cm / s 2 r aD = 0 α CD = 32.42 rad / s 2 (antihorario) . 70 cm B 4 127 cm O4 C 3 102 cm 5 127 cm 32 cm O2 2 A 6 ω = 10 rad/s const D Respuesta: r r VC = −900.57 j cm / s r r V D = −900.57 j cm / s r r aC = −4116. Hallar las velocidades y aceleraciones de los puntos C y D y la aceleración angular de la barra CD.Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. El radio AB es de 4 cm y el eslabón BC tiene 14 cm de largo. ¿cuál es la aceleración de la sierra? y B C A x θ Respuesta: aC = 89. un motor hace girar el disco circular montado en A. θ = 45º y el eslabón BC está horizontal. En la posición mostrada. P-14 PROBLEMA 1.14 En la figura.Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables.08 cm / s 2 ← . moviendo la sierra en vaivén (la sierra está soportada por una ranura horizontal de manera que el punto C se mueve horizontalmente). Si el disco tiene una velocidad angular constante de una revolución por segundo antihoraria. 8 rad/s y se quiere que la parte D tenga velocidad y aceleración nulas.8 rad/s. y el brazo CD permanece vertical (¿qué información nos están dando?).2 rad/s.Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. ¿cuál es la aceleración de la parte D? Si el brazo AB mantiene la velocidad angular constante horaria de 0.53 rad / s (antihorario) ω CD = 1. ¿cuáles son las velocidades angulares y aceleraciones angulares necesarias de los brazos BC y CD? Respuesta: r r r a D = −0.144 j m / s 2 ω BC = 0.15 Si el brazo AB de la figura tiene una velocidad angular constante horaria de 0. P-15 PROBLEMA 1. el brazo BC tiene una velocidad angular constante horaria de 0.598 rad / s 2 (horario) α CD = 1.48 rad / s 2 (antihorario) .325 rad / s (horario) α BC = 0.135 i − 0. ... B y C........... i Aceleraciones r rt aO = aO = Rα ⇒ α= 180 = 3 rad / s 2 60 r r r r r v a B = aO + a BO = ... + ..... Hállense las velocidades y las aceleraciones de los puntos A...... j r r r r r VC =VO + VCO = . La velocidad de su centro...16 Una disco de 120 cm de diámetro..........r. i − ................. en un momento dado........ i − ......Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. j r r r v aC = aO + aCO = ........... i + ... rueda sin deslizar......... sobre una vía fija......... es 120 cm/s hacia la derecha..........) VO = R ω ⇒ 120 = 2 rad / s 60 r r r r r VB =VO + VBO = ...i......... r r v a A = aO + a AO = Respuesta: r VA = 0 r r r VB = 120 i − 120 j cm / s r r r r a A = 240 j cm / s 2 a B = − 60 i − 180 r r r aC = 360 i − 240 j cm / s 2 r r VC = 240 i cm / s r j cm / s 2 .... P-16 PROBLEMA 1..... C D O B A SOLUCIÓN Velocidades Rodadura pura VA = 0 ω= A ≡ I (c... y la aceleración del centro es 180 cm/s2 en el mismo sentido..... i − 2 2 ⋅ 60 i − .. ......) VO = R ω ⇒ r r r VB =VO + VBO r r r VC =VO + VCO Aceleraciones 120 = 2 rad / s 60 r r = ....i........ rueda sin deslizar........... C D O B A SOLUCIÓN 100 cm Velocidades Rodadura pura VA = 0 A ≡ I (c. i + . j ............r. i ω= r r n rt aO = aO + aO ⇒ t aO = Rα ⇒ α= 180 = 3 rad / s 2 60 r r a B = aO r r aC = aO r r a A = aO r 120 2 r rn aO = − j = − ...... La velocidad de su centro..............Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables.. y la aceleración tangencial del centro es 180 cm/s2 en el mismo sentido..... B y C.... i − ..... j r r = ...... sobre una vía fija.... P-17 PROBLEMA 1...17 Una disco de 120 cm de diámetro..... r r r r v + a BO = 180 i − . Hállense las velocidades y las aceleraciones de los puntos A... j v + aCO = v + a AO = r VA = 0 r aA r aC r r r VB = 120 i − 120 j cm / s r r r = 150 j cm / s 2 a B = − 60 i − 270 r r = 360 i − 330 j cm / s 2 r r VC = 240 i cm / s r j cm / s 2 Respuesta: ..... en un momento dado...... es 120 cm/s hacia la derecha... j − 2 2 ⋅ 60 i − .. dentro de un agujero en forma de curva de radio 50 cm. cuando la velocidad angular del disco es 2 rad/s constante.Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. la velocidad angular del disco es 2 rad/s constante. rueda sin deslizar en el sentido del reloj sobre una línea recta. hallar la velocidad y aceleración de A con respecto a B. rueda en el sentido del reloj. Respuesta: r r r V A / B = − 20 i − 20 j cm / s r r r a A / B = − 40 i + 40 j cm / s 2 . Cuando los puntos A y B ocupan las posiciones indicadas en la figura. sin deslizar. siendo el plano del disco vertical. Suponiendo que sea A el extremo delantero del disco y B el extremo superior. Hallar la velocidad y aceleración de A con respecto a B. P-18 PROBLEMA 1.18 B A) Un disco de radio 20 cm. siendo el plano del disco vertical. O 20 cm 15 cm A Respuesta: r r r V A / B = − 40 i − 30 j cm / s r r r a A / B = − 60 i + 80 j cm / s 2 B) Un disco de radio 10 cm. 4 . Determinar la posición del centro instantáneo de rotación de cada una de las barras. P-19 PROBLEMA 1.67 rad / s 2 b) a B = 2967 mm / s 2 ↓ c) GO (92. Respuesta: a) α AB = 14.19 El disco de la figura rueda sin deslizar sobre la superficie curva. -94. b) La aceleración del bloque B.3) mm (horario ) . respectivamente. c) Considerando unos ejes de coordenadas cartesianas rectangulares en el punto C. y en la posición definida su velocidad y aceleración angulares tienen sentido horario y sus magnitudes son 3 rad/s y 5 rad/s². obtener las coordenadas del centro de curvatura de la trayectoria que está describiendo el punto G. Calcule a) La aceleración angular de AB.Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. Respuesta: α CD = 22. P-20 PROBLEMA 1.14 rad / s 2 (antihorario) . La velocidad y la aceleración angulares de la barra AB son ωAB = 2 rad/s y αAB = 4 rad/s2. la rueda dentada grande está fija. Determinar las aceleraciones angulares de las barras CD y DE. Determinar la posición del centro instantáneo de rotación de cada una de las barras.20 En la figura.96 rad / s 2 (horario) α DE = 31. 21 Se sabe que la velocidad del punto A de la barra AB es 50 cm/s y que su aceleración es horizontal. Determinar la aceleración angular del disco y la aceleración del punto G (punto medio de la barra BC). B 25 cm G 25 cm 60º C 10 cm O 25 cm A aA es horizontal VA Respuesta: α disco = 40 rad / s 2 (antihorario) r r aG = −300 i cm / s 2 . no operar las raíces. En el instante representado la barra AB forma un ángulo de 60º con la horizontal y el disco rueda sin deslizamiento.Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. Determinar la posición del centro instantáneo de rotación de cada una de las barras. P-21 PROBLEMA 1. Utilizar sen 60 = 3 2 y cos 60 = 1 2 . Determinar la velocidad angular y la aceleración angular de la barra OB.22 El disco de la figura rueda sin deslizar sobre la superficie curva fija. P-22 PROBLEMA 1. Respuesta: ω OB = 30 rad / s (horario) α OB = 0 . Determinar la posición del centro instantáneo de rotación de cada una de las barras. La barra OC gira a 10 rad/s constante en dirección antihoraria.Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. ambas en sentido antihorario. La barra OA gira con velocidad angular de 10 rad/s y aceleración angular de 2 rad/s2. Determinar la aceleración angular de la barra OE y el radio de curvatura instantáneo de la trayectoria descrita por el punto B.23 El disco de la figura rueda sin deslizar sobre la superficie curva fija. P-23 PROBLEMA 1.38 mm . Determinar la posición del centro instantáneo de rotación de cada una de las barras. Respuesta: α OE = 2 rad / s 2 (antihorario) ρ = 166.Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables. 4 rad / s 2 (horario) . determinar la velocidad y aceleración angular del disco 4. Determinar la posición del centro instantáneo de rotación de cada una de las barras.24 Los discos 2 y 4.928 rad / s (horario) α 4 = 173. Sabiendo que ruedan sin deslizar y que el disco 2 tiene una ω2 = 2 rad/s y α2 = 5 rad/s2. están enlazados por la barra AB. P-24 PROBLEMA 1. Respuesta: ω 4 = 8. ambas en sentido antihorario. cada uno de ellos de 3 cm de diámetro.Teoría de Mecanismos y Máquinas Cinemática de Sistemas Indeformables.