UNIVERSIDADNACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y SISTEMAS SEPARATA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I DUALIDAD Y ANALISIS 1 DE SENSIBILIDAD Profesor :Ing. Luis Medina Aquino 2014-1 2 . ... . . + a2n .... 2.. Si el PPL primal es un problema de maximización. .. + am2 Ym C2 . . . Primero aprenderemos como hallar el programa dual de un problema primal de maximización. Por conveniencia la variable de la función objetivo del primal se denomina Z.... + am1 Ym C1 a12 Y1 + a22 Y2 + ..DUALIDAD Asociado con cualquier problema de programación lineal (PPL) existe otro llamado DUAL.. y sus variables duales se denominan Yj.... .. ..... entonces su dual será un problema de minimización y viceversa... bm Xi 0 (i = 1... + amn Ym C2 Yj 0 (j = 1. y sus variables primales de decisión se denominan Xi. m) Encuentre el dual de: 3 .. .. En el caso del dual la variable de la función objetivo se denomina W..... + Cn Xn Sujeto a: a11 X1 + a12 X2 + .. + bm Ym Sujeto a: a11 Y1 + a21 Y2 + ... con todas sus variables no negativas y cuyas restricciones son todas del tipo menor o igual (Problema estándar de maximización). ....... Cuando se habla del dual de un PPL entonces este último se denomina PRIMAL.. Conocer la relación de un PPL y su dual es vital para entender el análisis de sensibilidad.. Un problema estándar de maximización se puede escribir como: Maximizar Z = C1 X1 + C2 X2 + .. n) El dual de un problema de maximización se define como: Minimizar W = b1 Y1 + b2 Y2 + ......... a1n Y1 + a2n Y2 + .. ........ + a1n a21 X1 + a22 X2 + .. + amn b1 b2 .... ...... 2. am1 X1 + am2 X2 + . X2 0 Maximizar Z = 3 X1 + 2 X2 + X3 Sujeto a: X1 + 2 X2 + X3 10 X1 + X2 + 2 X3 9 2 X1 + 3 X3 12 X1.X2 1 X1 0.X2 3 X1 . X2 srs Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X3 Sujeto a: 4 X1 . X3 srs 4 . X2. restricciones y de sus respectivos lados derechos.Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 Sujeto a: X1 + 2 X2 1000 3 X1 + 2 X2 1800 X2 400 X1 0.2 X2 + 3 X3 12 -2 X1 + 3 X2 + X3 6 -5 X1 + X2 . b) Aplique el mismo análisis del problema estándar para hallar los coeficientes de la función objetivo. c) Aplique la siguiente tabla de signos: Modelos max Modelo min Xi la iésima restricción es Xi la iésima restricción es Xi srsla iésima restricción es = la iésima restricción es Yj la iésima restricción es Yj la iésima restricción es Yj srs OBSERVACIÓN: EL DUAL DEL PROBLEMA DUAL ES OTRA VEZ EL PROBLEMA PRIMAL TEOREMA DEL DUAL: EL VALOR OPTIMO Z DEL PROBLEMA PRIMAL ES IGUAL AL VALOR OPTIMO W EN EL DUAL Maximizar Z = 2 X1 + 4 X2 Sujeto a: X1 + X2 2 2 X1 .6 X3 4 3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10 X10X2 0. X3 0 Dual de un problema no estandar No todos los problemas de programación lineal tienen la forma del problema de maximización estándar. Pasos: a) Identifique las variables correspondientes en el dual de su problema primal. ¿Cómo leer la solución óptima del Dual desde la tabla óptima del primal de un problema de maximización? Valor en el óptimo de la variable yj del Dual es: Si la restricción j en buscar en la tabla óptima el primal es del primal = (zj) de la variable de holgura sj (zj) de la variable artificial aj (zj) de la variable artificial aj 5 . Indica cuánto tendría que mejorar el coeficiente de la función objetivo de cada variable de decisión antes de que sea posible que tal variable asuma un valor positivo en la solución óptima. Análisis de rango para el Lado Derecho de las Restricciones Mientras los lados derechos de las restricciones se mantengan dentro de estos intervalos.También llamado precio dual. Estos cambios de valor se analizarán en el reporte de análisis de sensibilidad que se obtiene del programa SOLVER. es decir se encuentra en el mismo punto (se mantiene la misma solución). Si el valor es negativo indica lo contrario de lo anterior. Al cambiar un coeficiente. y será negativo si la variable es no básica.ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD El objetivo de este análisis es determinar los cambios en el valor de la función objetivo al variar: a)los coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo. A continuación se dará una explicación y análisis de este reporte. 6 . Si es positivo indica el mejoramiento en el valor óptimo de la función objetivo por cada aumento unitario en el lado derecho de la restricción. Cada restricción tiene un precio dual cuyo valor puede ser positivo. el precio dual correspondiente nos indica el mejoramiento del valor de la función objetivo por aumento unitario en el valor del lado derecho.. El costo reducido será cero si la variable correspondiente es básica.También llamado costo reducido. negativo o cero. Gradiente Reducido. cambia únicamente la pendiente de la función objetivo. Signo del Precio dual + + - Maximización o Minimización Maximización Maximización Minimización Minimización Efecto del aumento de una unidad en el valor del lado derecho Aumento en los beneficios Disminución en los beneficios Aumento en los costos Disminución en los costos Análisis de rango para los coeficientes de la Función Objetivo Rango en el que la solución óptima no cambie. y b)los valores en el lado derecho de las restricciones. Si el valor cero no afecta ningún cambio en el valor óptimo de la función objetivo.. Precio Sombra. por lo que el polígono de soluciones factibles se mantiene sin cambio. La base no cambia en este rango. incluso si la suma de los cambios porcentuales excede a 100%. Los requisitos de tiempo (en horas por unidad) y la ganancia por cada unidad del producto son: Producto Producto Producto A B C Departamento I 2 1 2 Departamento II 3 1 2 Departamento III 2 2 1 Ganancia $16 $12 $15 ¿Cuántas unidades de cada producto debe fabricar la compañía para maximizar las ganancias? El programa lineal respectivo será la siguiente: Maximizar Z = 16 x1 + 12 x2 + 15 x3 7 . sume los porcentajes tanto de los incrementos como de los decrementos permisibles. El total disponible de horas de trabajo por semana por cada departamento es de 900. II y III. aunque sus valores si pueden cambiar. Si la suma de los cambios porcentuales no excede del 100%. respectivamente. b) para cambios simultáneos en el lado derecho de las restricciones. Si la suma de los porcentajes no excede de 100%. Sin embargo. 1080 y 840 horas. los precios duales no se modificarán. La solución óptima pudiera no cambiar. Cada producto se procesa en tres departamentos: I. B y C. deberemos resolver el problema y determinar los efectos que tendrán estos cambios en la solución óptima. la regla del 100% no nos dice si la solución óptima cambiará si la suma de los cambios porcentuales excede a 100%. la solución óptima no se modificará. Cuando no se satisfaga la regla del 100%. a) Para todos los coeficientes de la función objetivo que se modifican sume los porcentajes tanto de los incrementos como de los decrementos permisibles representados por los cambios. b) Una versión similar a la regla del 100% también es aplicable a cambios simultáneos en los lados derechos de las restricciones. las variables básicas siguen siendo básicas. Ejemplo Una compañía elabora los productos A. Para todos los lados derechos que se modifiquen. es decir. Cambios Simultaneos Se aplica la regla del 100% en dos casos: a) para cambios simultáneos en la función objetivo y. Celdas cambiantes Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución Celda Nombre Igual reducido objetivo permisible permisible $B$5 Cantidad a producir A 0 -2 16 2 1E+30 $C$5 Cantidad a producir B 260 0 12 18 3 $D$5 Cantidad a producir C 320 0 15 9 3 Restricciones Celda Nombre $E$7 Departamento 1 $E$8 Departamento 2 $E$9 Departamento 3 Valor Sombra Restricción Aumento Disminución Igual precio lado derecho permisible permisible 900 6 900 180 480 900 0 1080 1E+30 180 840 3 840 960 390 El análisis de sensibilidad nos sirve para responder a las preguntas ¿Qué pasa si? Preguntas: 1. por lo cual esas horas se dejan de trabajar. ¿Cuánto deja de ganar la empresa? 4. por lo cual esas horas se dejan de trabajar.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [Libro1]Hoja1 Informe creado: 06/12/02 04:47:00 p. obtenemos los resultados del reporte de Análisis de Sensibilidad: Microsoft Excel 9. ¿Cuánto deja de ganar la empresa? 5. x2.Sujeto a: 2 x1 + x2 + 2 x3 900 3 x1 + x2 + 2 x3 1080 2 x1 + 2x2 + x3 840 x1. ¿Conviene programar horas extras en el Departamento 2? Si su respuesta es afirmativa ¿hasta cuantas horas extras conviene programar? ¿Cuánto aumenta la utilidad por cada hora extra que se programe? 3. Debido a problemas laborales. en la empresa se pierden 150 horas en el departamento 3. ¿Conviene programar horas extras en el Departamento 1? Si su respuesta es afirmativa ¿hasta cuantas horas extras conviene programar? ¿Cuánto aumenta la utilidad por cada hora extra que se programe? 2. x3 0 Resolviendo por el programa SOLVER.m. en la empresa se pierden 150 horas en el departamento 2. ¿Varía el plan de producción óptimo? ¿Cuál es la nueva utilidad? 8 . Debido a problemas laborales. Debido a la mayor demanda la ganancia del producto B aumenta $2. a. estos precios asegurarán la venta de todo el aditivo para el combustible y de toda la base disolvente que se produzca. ¿Varía el plan de producción óptimo? ¿Cuál es la nueva utilidad? 7. ¿Cuánto debe ser la ganancia mínima del producto A para que sea rentable producirlo? PRACTICA DIRIGIDA CURSO: OPTIMIZACION DE SISTEMAS I TEMA : ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD PROFESOR: M. Debido a la mayor demanda la ganancia del producto C aumenta $10. En un proceso de producción en particular se utilizan tres materias primas para elaborar dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. cuya composición y disponibilidad se muestran en la siguiente tabla: Materia Materia Materia Prima 1 Prima 2 Prima 3 Aditivo para combustible 2/5 0 3/5 Base disolvente 1/2 1/5 3/10 Disponibilidad 20 ton 5 ton 21 ton Esta tabla muestra que una tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 2/5 de tonelada de materia prima 1 y 3/5 de tonelada de la materia prima 3. 1/5 de tonelada de la materia prima 2 y 3/10 de tonelada de la materia prima 3. LUIS MEDINA AQUINO 1. cualquier materia prima que no se utilice para producción actual resulta inútil y debe descartarse. A. Debido a la menor demanda la ganancia del producto C disminuye $5. El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la producción de gasolina y otros combustibles relacionados. Química del Pacífico es una pequeña empresa que produce diversos productos químicos. Una tonelada de base disolvente es una mezcla de ½ tonelada de la materia prima 1. Debido al deterioro y la naturaleza del proceso de producción. Según la administración de la empresa. La base disolvente se vende a varias empresas químicas y se utiliza tanto para productos de limpieza para el hogar como industriales. Para formar el aditivo para combustible y la base disolvente se mezclan tres materias primas.6. Debido a la menor demanda la ganancia del producto B disminuye $2. ¿Cuántas toneladas de cada producto deberá producir Química del Pacífico para maximizar la contribución total a la utilidad? 9 . ¿Varía el plan de producción óptimo? ¿Cuál es la nueva utilidad? 8. ¿Varía el plan de producción óptimo? ¿Cuál es la nueva utilidad? 9. La contribución a la utilidad se determinó en 40 dólares por cada tonelada de aditivo para combustible y 30 dólares por cada tonelada de base disolvente producida. 25 2. ¿qué materia prima compraría para aumentar los beneficios? e. Una reducción en precio hace que la contribución a la utilidad para el aditivo para combustible se reduce de 40 a 35 dólares por tonelada ¿Cambiará los valores de la cantidad a producir de ambos productos? ¿Cuál es la nueva contribución total a la utilidad? c. Microsoft Excel 8. De acuerdo con el sistema de medición de riesgo de Orión. que se trata de la inversión más riesgosa. cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo de 8. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares.000 dólares en el fondo del mercado de dinero. simplemente. cada unidad del fondo del mercado de dinero cuesta 100 dólares. 10 . Basándose en la contribución a la utilidad. La materia prima 1 está escasa y el proveedor le ofrece cambiarle 1 tonelada de materia prima 3 por una tonelada de materia prima 1. Para un cliente nuevo. a Orión se le ha autorizado invertir 1. Financiera Orión administra fondos de empresas y clientes pudientes. El índice de riesgo más elevado asociado con el fondo de acciones indica.2 millones de dólares en dos fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. con una tasa de rendimiento anual de 10%. Suponga que usted tiene dinero para comprar una tonelada de materia prima. El cliente de Orión también ha especificado que se inviertan por lo menos 300. ¿Se llega a utilizar toda la disponibilidad de materia prima? ¿En cuál de las materias primas queda disponibilidad? ¿Cuánto? d.000 dólares.33333333 20 1. con una tasa de rendimiento anual de 4%.b. pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos 60. La estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. y cada unidad adquirida en el fondo del mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. Usted ¿haría ese cambio? Justifique su respuesta con cálculos. El cliente desea minimizar el riesgo.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [Libro2]Hoja1 Informe creado: 9/07/00 09:09:05 PM Celdas cambiantes Valor Celda Nombre Igual $C$5 X1 25 $D$5 X2 20 Gradiente reducido Coeficiente objetivo 0 0 Aumento Disminución permisible permisible 40 20 16 30 20 10 Restricciones Celda $E$7 $E$8 $E$9 Valor Nombre Igual MP1 20 MP2 4 MP3 21 Sombra Restricción Aumento Disminución precio lado derecho permisible permisible 33.5 6 0 5 1E+30 1 44.44444444 21 9 2. 25 10000 0 3 3. Sujeto a: 50 X1+100 X2 <= 1200000 5 X1 + 4 X2 >= 60000 Celdas cambiantes X2 >= 3000 Celda Nombre $C$5 Inversión X1 $D$5 Inversión X2 Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución Igual reducido objetivo permisible Permisible 4000 0 8 1E+30 4.000 ¿Cómo afecta el riesgo total? d) El valor del riesgo de las unidades adquiridas en el fondo de acciones ha bajado a 6. utilizar anuncios en radio y televisión.166666667 60000 42000 12000 10000 0 3000 7000 1E+30 3. ¿En cuánto aumentará o disminuirá el valor total del riesgo? ¿O no se puede afirmar nada con la información actual? Microsoft Excel 9.a) ¿Cuántas unidades de cada uno de los fondos deberá adquirir Orión para el cliente.000? c) Si el ingreso anual mínimo sobre la inversión que pide el cliente es de $100. es una empresa importadora de autos que opera en la ciudad de Lima. y el valor del riesgo de las unidades adquiridas en el fondo del mercado de dinero ha aumentado a 4. b) No se deben programar más de 25 anuncios de radio.4 millones de dólares ¿Cómo afecta el riesgo total? ¿Variará el ingreso anual mínimo sobre la inversión de $60. Los lineamientos generales de la estrategia publicitaria planteada la expresaron de la siguiente manera: a) Para una cobertura combinada. manifestaban que éstos eran los medios idóneos para llegar al público objetivo planteado para Maquinarias.m. Los recientes cambios en la competencia están preocupando a sus propietarios por lo que han creído conveniente replantear toda su estrategia de marketing. Maquinarias S. En este sentido.A.000 en vez de $60. Los propietarios pensaban que el mensaje debía girar en torno a su sistema de financiamiento directo.056666667 1200000 300000 420000 60000 2. se decidió la contratación de una empresa de consultoría en Marketing para que elabore una estrategia publicitaria. atributo que la empresa consideraba como su mejor arma para enfrentar la actual situación competitiva del mercado. Los consultores recomendaron usar anuncios tanto de radio como de televisión. si el objetivo es minimizar el índice de riesgo total para esta cartera? ¿Cuál es el valor del riesgo total? Para las preguntas de b) a d) contestar como casos independientes.4 1E+30 Restricciones Celda Nombre $E$7 Fondos disponibles Valor $E$8 Ingresos anuales Valor $E$10 el mercado de dinero Valor Valor Sombra Restricción Aumento Disminución Igual precio lado derecho permisible permisible 1200000 -0.2 a $1. 11 . b) Si el monto de inversión de Orión aumenta de $1.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [Libro1]Hoja1 Minimizar Z = 8 X1 + 3 X2 Informe creado: 24/07/00 01:30:31 p. una hora de montaje y vale $10 en el inventario en proceso. de anuncios RADIO $C$6 Cant. tres horas de montaje y vale $5 en el inventario en proceso.200 por anuncio. B.500. El presupuesto total para esta campaña se ha establecido en $25.5 horas de montaje y vale $2 en el inventario en proceso. C y D. cada unidad del producto D 12 . 2.m. La estación de televisión seleccionada. b) ¿Qué es lo que limita el uso de más anuncios por radio? c) ¿Qué es lo que limita el uso de más anuncios por televisión? d) ¿Qué calificación debería tener el programa de radio a fin de que tuviera sentido incrementar el número de anuncios por este medio? e) ¿Qué calificación debería tener el programa de televisión a fin de que tuviera sentido incrementar el número de anuncios por este medio? f) ¿Qué restricciones recomendaría a Maquinarias alterar? g) ¿Cuál es el mejor uso que daría a cualquier aumento en el presupuesto? Microsoft Excel 9. Una fábrica produce cuatro productos: A. Cada unidad del producto A requiere de 2 horas de maquinado. Responda a las siguientes preguntas: a) El número de anuncios de radio y de televisión recomendados. Los consultores tienen una evaluación global de los diferentes medios de publicidad en términos de la capacidad de recordación de los anuncios y de la audiencia que cubren.5 horas de maquinado. Celdas cambiantes Celda Nombre $B$6 Cant. Para el caso de los medios seleccionados. Finalmente.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [Libro1]Hoja2 Informe creado: 24/07/00 04:13:53 p.5 25500 12000 18000 4. las calificaciones son de 600 puntos para el anuncio en televisión propuesto y 200 puntos para el de la radio. Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado. Cada unidad del producto C requiere de 2.c) El número de anuncios que se programen por radio no debe ser menor que el número de anuncios que se programen por televisión. Al propietario de Maquinarias le interesa saber cuántos anuncios de televisión y cuántos de radio deberán contratar de modo que obtengan la máxima calificación global de la campaña publicitaria. de anuncios TV Maximizar Z= 200 RADIO + 600 TV Sujeto a: RADIO <= 25 RADIO – TV >= 0 300 RADIO + 1200 TV <= 25500 Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución Igual reducido objetivo permisible Permisible 25 0 200 1E+30 50 15 0 600 200 600 Restricciones Valor Sombra Restricción Aumento Disminución Celda Nombre Igual precio lado derecho permisible permisible $D$8 Max de anuncios por radio 25 50 25 60 8 $D$9 Mas anuncios por radio que TV 10 0 0 10 1E+30 $D$10 Presupuesto para anuncios 25500 0. mientras que la radiodifusora ha cotizado uno de $300 por anuncio. ha cotizado un costo de $1. 2 120000 $F$8 Horas de Montaje 160000 1. Cada unidad del producto A genera una utilidad de $40. cada unidad del producto B genera una utilidad de $24.000 unidades del producto C. no puede tener más de un millón de dólares de inventario en proceso.333333 a) ¿Cuál es la solución a este problema? ¿Cuántas unidades se producen de cada producto y en cuáles restricciones no hay inactividad o hay excedente? ¿Cuál es la utilidad óptima? b) ¿Cuánto es el valor de una hora adicional de maquinado? ¿Cuánto el de una hora adicional de montaje? ¿Cuánto el de $1 adicional en el capital de trabajo para el inventario en proceso? c) Suponer que la empresa puede invertir dinero en publicidad.6 160000 $F$9 Inventario en proceso 470000 0 1000000 $F$10 Cant. Sobre estas condiciones.000 unidades (en lugar de 10.66667 16666. Celdas cambiantes Valor Gradiente Coeficiente Celda Nombre Igual reducido objetivo $B$5 Cantidad a producir A 10000 0 40 $C$5 Cantidad a producir B 50000 0 24 $D$5 Cantidad a producir C 0 -16 36 $E$5 Cantidad a producir D 10000 0 23 Restricciones Valor Sombra Restricción Celda Nombre Igual precio lado derecho $F$7 Horas de Maquinado 120000 19. Máxima A 10000 0 20000 $F$11 Cant.000 horas de tiempo de maquinado y 160. Sin embargo. cada unidad del producto C genera una utilidad de $36 y cada unidad del producto D genera una utilidad de $23.m. Mínima D 10000 -73 10000 Aumento Disminución permisible permisible 8 16 73 4 16 1E+30 73 1E+30 Aumento Disminución permisible permisible 16666. No pueden venderse más de 20. ¿qué efecto tendría en la utilidad? 13 . Además.000 horas de tiempo de montaje.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [solver ABCD. ¿Cuánto podría invertir la empresa para aumentar la demanda del producto A en una unidad? ¿Cuánto para aumentar la demanda del producto C en una unidad? d) Si el contrato para el producto D fuera de 13. 16.000 unidades del producto A.66667 50000 50000 1E+30 530000 1E+30 10000 1E+30 16000 3333.000 unidades del producto D para cumplir con los requerimientos de un contrato.000).xls]Hoja2 Informe creado: 22/06/01 05:11:28 p.requiere de cinco horas de maquinado. Máxima C 0 0 16000 $F$12 Cant. a fin de aumentar la demanda de los productos A ó C. y puede venderse la cantidad que se quiera de los productos B y D. La fábrica dispone de 120. no necesita tiempo de montaje y vale $12 en el inventario en proceso. se resuelve el problema de programación lineal a través del SOLVER y se obtienen los siguiente datos: Microsoft Excel 9.333333 3333. deben producir y vender por lo menos 10. La utilidad por unidad es $50. 5 horas de montaje y $20 en capital de trabajo. está en consideración. el producto E. Requiere de 2 horas de maquinado. ¿cómo cambiaría la solución? f) Un nuevo producto.e) Si la Utilidad por unidad del producto C fuera de $46 (y no $36). ¿Debe producirse alguna unidad del producto E? 14 .