Magnitudes Físicas21 ANÁLISIS DIMENSIONAL Estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Toda unidad física, está asociada con una dimensión física. Así, el metro es una medida de la dimensión “longitud” (L), el kilogramo lo es de la “masa” (M), el segundo pertenece a la dimensión del “tiempo” (T). Sin embargo, existen otras unidades, como el m/s que es unidad de la velocidad que puede expresarse como la combinación de las antes mencionadas. Dimensión de longitud Dimensión de velocidad = Dimensión del tiempo Así también, la aceleración, la fuerza, la potencia, etc, pueden expresarse en términos de las dimensiones (L), (M), y/o (T). El análisis de las Dimensiones en una ecuación, muchas veces nos muestra la veracidad o la falsedad de nuestro proceso de operación; esto es fácil de demostrar ya que el signo “=” de una ecuación indica que los miembros que los separa deben de tener las mismas dimensiones. Mostraremos como ejemplo: A×B×C = D×E×F Es una ecuación que puede provenir de un desarrollo extenso, una forma de verificar si nuestro proceso operativo es correcto, es analizándolo dimensionalmente, así: (dimensión de longitud) = (dimensión de longitud) 2 2 Fines del análisis dimensional 1.- El análisis dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales. 2.- Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional. 3.- Sirven para deducir las fórmulas a partir de datos experimentales. ECUACIONES DIMENSIONALES Son expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales; utilizando para ello las reglas básicas del algebra, menos las de suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes. NOTACIÓN A : Se lee letra “A” [A] : Se lee ecuación dimensional de A Ejemplos: Hallar la Ecuación Dimensional de: Velocidad (v) v= e L e ⇒ v = = t t T v = LT −1 En el presente caso comprobamos que ambos miembros poseen las mismas dimensiones, luego la ecuación es correcta. En la aplicación del Método Científico, ya sea para la formulación de una hipótesis, o en la experimentación también es recomendable usar el Análisis Dimensional. Aceleración (a) a= v LT −1 v ⇒ a = = t t T a = LT −2 a .22 Jorge Mendoza Dueñas Fuerza (F) F = m. siendo a = aceleración F = m. a Presión (P) P= F MLT−2 Fuerza ⇒ P = = Area A L2 F = MLT−2 P = ML−1T −2 Trabajo (W) W = F. Así: E – A + B + C = D P = ML2T−3 ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ Area (A) A = (Longitud)×(Longitud) ⇒ A = L ⋅ L A = L2 V =V =V =V =V Por lo tanto se tendrá: E = A = B = C = D Volumen (V) V = (Longitud)×(Longitud)×(Longitud) V = L3 OBSERVACIÓN Los números. . d Densidad (D) D= M M Masa ⇒ D = = Volumen V L3 W = F. los ángulos. no tienen dimensiones. pero para los efectos del cálculo se asume que es la unidad. d ⇒ W = F d = MLT−2L W = ML2T −2 D = ML−3 Potencia (P) P= W ML2T −2 W ⇒ P = = t t T PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Si una expresión es correcta en una fórmula. se debe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. los logaritmos y las funciones trigonométricas. . a) b) c) VVF VVV FVV d) e) VFV FVF ¿Cuál será las dimensiones de Q = 3 kg / m... II.. III.. II.Dimensionalmente todos los ángulos y funciones trigonométricas representan lo mismo. [a] . que proposición o que proposiciones siempre se cumplen: I.Pueden existir dos magnitudes físicas diferentes con igual fórmula dimensional.VVV VVF FFF d) e) FFV VFV Respecto a una fórmula o ecuación dimensional. 4.. kg ⋅ s m m kg ⋅ 2 s m A⋅ s kg ⋅ m2 A ⋅ s2 − MTL−1 − MLT −2 − ILT d) − ML2A −1T −2 − ML3T −4 e) kg ⋅ m3 s4 .[a] = 0 a) b) c) 2.. III. [a] .Magnitudes Físicas 23 TEST 1. señalar verdadero o falso: I.[a] = [a] III.. e igual a 1.... con carácter geométrico.Todos los términos en el primer y segundo miembro tienen las mismas dimensiones. a) b) c) I II III d) e) I y II III y II ¿Qué unidad va asociada incorrectamente a las dimensiones dadas? a) b) c) 6...Se usa para deducir fórmulas...Siendo “a” una magnitud física.- Respecto al análisis dimensional señalar verdadero o falso: I..La ecuación dimensional de los términos del primer miembro..- Precisar verdadero o falso dimensionalmente: I) II) L+L+ L–L=L x⋅ m kg ( ) En sec (P + 12) ⇒ P = 1 ( ) ⇒ x = ML−1 ( ) d) e) FVV FFV 9.I II I y II d) e) III N. II...Todos los números y funciones trigonometricas que figuran como coeficientes tienen las mismas dimensiones. difieren de las dimensiones del segundo miembro..T −1 [velocidad angular] = T −2 2 −2 8.VVF FFF VVV ¿Qué magnitud no está asociada a sus correctas dimensiones? a) b) c) d) e) Velocidad Fuerza Volumen Densidad Aceleración LT −2 ML T 3 L −3 ML 2 LT −1 ¿Qué proposición o proposiciones son falsas respecto al Análisis Dimensional? 10.Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos..A.I.. s2 ? a) b) c) ML T −1 −2 ML T 2 MLT −1 −1 d) e) M LT M LT −1 3.....I..- III) En a a) b) c) 5.... a) b) c) d) e) Tres magnitudes – dos auxiliares Siete magnitudes – dos auxiliares Seis magnitudes – una auxiliar Tres magnitudes – una auxiliar N. fundamentales y ...- ¿Qué relación no es correcta dimensionalmente? a) b) c) [fuerza] = M LT d) [trabajo] = M L T −1 [frecuencia] = T e) [carga eléctrica] = I .A.. a) b) c) 7.... III.Se emplea para verificar fórmulas propuestas........ considera .. [a] + [a] + [a] = [a] II.- El S.Los arcos en la circunferencia son adimensionales.. V = α A = β D t Determinando: α V = α A = bMgeLT j MLT −2 −1 = ML2T −2 MLT −2 L3 = α L2 ⇒ α =L t Determinando: β V = β D K =L 2. m : masa F : fuerza v : velocidad Solución: t Analizando cada elemento: m =M v = LT −1 F = MLT −2 t Luego tendremos: K = m⋅ v F 2 2 3. V : volumen A : área D : densidad Solución: t Aplicando el principio de homogeneidad.- Hallar la dimensión de “α” y “β” en la siguiente fórmula: V = α. Siendo.D Donde.A + β. entonces: r Ax + By = C A x = B y = C r A = MLT −2 B = ML2T −2 C = ML−3 t Luego tendremos: S = F d m c S =1 2 = eMLT jbLg = ML T bMgeLT j ML T 2 −1 −2 2 −2 2 −2 t Con lo cual se tiene: A x = C MLT −2 x = ML−3 x = ML−3 MLT −2 ⇒ x = L−4 T 2 .24 Jorge Mendoza Dueñas PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS A 1. determinar la ecuación dimensional de “x” e “y” .problemas de aplicación Halle la dimensión de “K” en la siguiente fórmula física: m⋅ v 2 K= F Donde. F : fuerza m : masa d : distancia v : velocidad Solución: t Analizando cada elemento: F = MLT −2 d =L m =M c = LT −1 Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea.Halle la dimensión de “S” en la siguiente fórmula física: S= F⋅ d m⋅ c2 4. A : fuerza B : trabajo C : densidad Ax + By = C Solución: t Si la expresión es dimensionalmente homogénea.- L3 = β ML−3 ⇒ β = M−1L+6 Donde. pues estos siempre son números y por lo tanto estos exponentes se conservan siempre como tales (números). P : presión q : fuerza R : volumen s : longitud Hallar: x – 3y Solución: t P = ML−1T −2 R = L3 t P = qzR − y s x q = MLT −2 s =L LM W OP = LM v OP N A Q NBQ W A = F 1/ 2 = F t Determinando A P = q R ML T −1 −2 z −y s x −2 z −y = MLT e j eL j bLg 3 x ML2T −2 = MLT −2 ⇒ A t Determinando B v B 1/ 2 1/ 2 A =L ML−1T −2 = MzLz T −2zL−3 yLx ML−1T −2 = MzLz − 3 y + x T −2z = F v F 2 ⇒ L3 B 1/ 2 = v 1/ 2 F M1 = Mz ⇒ z =1 ⇒ − 1 = z − 3y + x − 1 = 1 − 3y + x L−1 = Lz − 3 y + x t Nos piden: B = = eMLT j −2 2 x – 3y x – 3y = −2 2. E : trabajo F : fuerza v : velocidad a : aceleración Solución: t Aplicando el principio de homogeneidad: E = AF = Bv 2 = C ⋅ a t Determinando A : E = A F ML2T −2 = A MLT −2 ⇒ A =L . más no a los exponentes. De lo expuesto.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente homoz −y x génea: P = q R s Donde. W v = +F A B Donde. “B” y “C” en la siguiente fórmula física. 2 E = A.⇒ y = L−5T 2 problemas complementarios 25 ML2T −2 y = ML−3 y = ML−3 ML2T −2 Halle la dimensión de “A” y “B” en la siguiente fórmula física.- B = M−2LT 4 NOTA Las ecuaciones dimensionales sólo afectan a las bases.Magnitudes Físicas t B y = C B 1.F + B. queda claro que la ecuación dimensional de todo exponente es la unidad. v + C⋅a Donde. Halle la dimensión de “A” . W : trabajo v : volumen F : fuerza Solución: t Aplicando el principio de homogeneidad: 5. t: tiempo Solución: t Observamos por el principio de homogeneidad: x =T y = x = T2 z = y = T2 2 2 x ML2T −2 = B LT −1 e j 2 ⇒ B =M t Determinando C : E = C a ML2T −2 = C LT −2 ⇒ C = ML 3.y.5 mcx + Agh + BP Siendo: Q = A x ⋅ B . b. y c. Solución: P = K R x ML2T −2 = M LT −1 e j x x y z ML2 T −2 = MLx T − x x=2 velocidad angular (en rad/s) radio de la hélice (en m) densidad del aire (en kg/m3) número t Finalmente: Q = A x B 1/ 2 Q = M2T1/ 2 W y x D z y −3 z 6. R . que se desplaza con movimiento bidimensional. es tiempo. a. puede determinarse con la fórmula empírica: V = aT 3 + b T2 − c ML2T −3 = Lx T − yMzL−3z ML2T −3 = MzLx − 3z T − y M1 = Mz ⇒ z = 1 L2 = L x−3 1 Donde: T. Determine las dimensiones de a. b.⇒ R = T7 B =T t W = m c x La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula: P = K. son constantes dimensionales. Además.- Halle la dimensión de ”R” en la siguiente fórmula física: 2 2 t Aplicando el principio de homogeneidad: W = m c = A g h = B P t W = A g h ML2T −2 = A = LT −2L A =M x e j 2 = T4 t B P = W B⋅ W t = W ⇒ B = t t Luego tendremos: R = x y z R = T × T2 × T 4 4. para que la fórmula sea homogénea dimensionalmente. c. W : trabajo h : altura m : masa P : potencia c : velocidad A.z.- ML2T −3 = 1 L b gb g eT j eML j −1 Suponga que la velocidad de cierto móvil. W = 0. D Donde.Determinar las dimensiones que debe tener Q para que la expresión W sea dimensionalmente homogénea. W .26 t Determinando B : E = B v 2 Jorge Mendoza Dueñas 5. W : R : D : K : Calcular x.B : constantes dimensionales g : aceleración Solución: R = (x + t)(x – y)(y + z) Donde . Solución: Por el principio de homogeneidad: bg ⇒ x − 3= 2 ⇒ x = 5 ⇒ y=3 T −3 = T − y . a : aceleración v : velocidad t : tiempo Mx + yLx − 3y + z T −2 x − z = M3L0 T0 r r Solución: Dimensionalmente se tiene: 1= k 1° = k y−x y−x Mx + y = M3 L x − 3y + z −2 x − z ⇒ x+y=3 0 =L ⇒ x − 3y + z = 0 ⇒ − 2x − z = 0 r T =T 0 Resolviendo: z = -9 ⇒ y−x=0 ⇒ x x x y=x y−y 9.. Hallar: ”x – 2y” a = vt x 1 + k y − x D y v = n + tan θ m1 m2 m3 x −3 y −1 z z e j eMLT j eML j eLT j = b1gbMgbMgbMg MxLx T −2 xMyL−3 yLz T − z = M3 −2 Siendo.Magnitudes Físicas t de: t T2 − c ⇒ 3 27 c = T2 Solución: t a = LT −4 tan θ = número V = a T LT −1 = a T 3 ⇒ t V = b T 2 Dimensionalmente. para que (n + tan θ ) sea homogénea: [n] = [tan θ ] = 1 LT −1 = 7..- b T2 Con lo cual: n + tan θ = número ⇒ b = LT [n + tan θ ] = 1 t Con todo el sistema: F x Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea. Determinar la ecuación dimensional de “x” .- t Luego tendremos: a = vt 1 + k e j a = vt e1 + k j a = vt b1 + 1g 0 En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. ∞ Donde. m2..- En la expresión mostrada.... Hallar “z” F D v = (n + tan θ) m1 m2 m3 Donde. F : fuerza D : densidad v : velocidad m1. ∞ 1444 4 24444 3 E = LT −1T x E = Mvx + E ⇒ E = Mvx + E 2 LT −2 = LT x − 1 T −2 = T x − 1 ⇒ x − 1 = − 2 Con lo cual: x = −1 ⇒ y = −1 t Dimensionalmente: E = M v x = E E = E ⇒ Además: M v x = E M v x =1 2 2 Nos piden: “x – 2y” x – 2y = –1 – 2(–1) x – 2y = 1 E =1 8... v : velocidad Solución: a = 2vt x t Dimensionalmente: a = 2 v t x x LT −2 = 1 LT −1 T LT −2 b ge jb g E = Mvx + Mvx + Mvx + .. E = Mvx + Mvx + Mvx + .... M : masa ..m3 : masas x y z bMgeLT j x = 1 x = 1 MLT −1 ⇒ x = M−1L−1T −1 .. A = LT B = T −1 Halle la dimensión de “α” y “β” en la siguiente fórmula física. v2 F + E= α β .Siendo: h medida en m. 3. 2. peso específico. t : tiempo .problemas de aplicación Halle la dimensión de “H” en la siguiente fórmula física.28 10.Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea.t = MT −2 Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula: V= x2 g + A B Donde. Determinar la ecuación dimensional de “K” K = GMb x+y Jorge Mendoza Dueñas Resolviendo: x = y = z = t Luego: K = 2 M 3 2 gLbz + x gTb y + zg + 2Mb 6 − 2x gLb6 − 2ygTb6 − 2zg Solución: t Dimensionalmente: b 6 − 2 x g L b 6 − 2 y g T b 6 − 2z g L T b x + yg L bz + x g T b y + x g = b 6 − 2z g T G M De donde: G = M 2 2 M b6 − 2x g L b6 − 2yg K = 1 M bg FG 6 − 2F 3 I IJ FG 6 − 2F 3 I IJ FG 6 − 2F 3 I IJ H H 2K K H H 2KK H H 2K K K = M3L3 T3 b x + y g = M b6 − 2x g bz + x g = L b6 − 2yg L b y + x g = T b 6 − 2z g T ⇒ x + y = 6 − 2x ⇒ z + x = 6 − 2y ⇒ y + x = 6 − 2z PROBLEMAS PROPUESTOS A 1. F : fuerza. g : aceleración Rpta.[H] = 1 La medida de cierta propiedad (t) en un líquido se determina por la expresión: h= 2t rd Donde. D : densidad A : aceleración V : volumen F : fuerza Rpta. E : trabajo . x : distancia . A = LT −2 B = T −1 5. ¿Cuál será la ecuación dimensional de t para que r se mida en m? Rpta. d. Rpta. v : velocidad . v : velocidad . H= D⋅A⋅ V F Donde. x : distancia Rpta.Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula: v = A⋅t + B⋅ x Donde. α = M−1 β = L−1 4. v : velocidad . es dimensionalmente correcta: π tan α = bw + wlog 2g + z bg + gsen φgx 3 w : peso . Determinar: 4. hallar las dimensiones de “b” . 10. sabiendo que la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: G= 4 π 2L2 L − b cos θ T2 ⋅ a b g donde.En la siguiente expresión. MLT-2 Determinar las dimensiones de “a” . L1/2T-1/2 5F log a 8F2C − 2 x b +v Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea. A =L B = LT −2 C = LT −3 7. G =M H = MT −1 I = MLT −2 3. L-14T28/3 a+p b−q 5.- 3 Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea. L T 3 -4 3Ry 2Nx eN − 2j x 2 6.y.z) .- En la ecuación: P = Kgy dxhz Hallar: (x. si la ecuación es dimensionalmente correcta.M2LT-2 Hallar la ecuación dimensional de z.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea. L2 Rpta. “H” e “I” en la siguiente fórmula física: F = Ga + Hv + I Donde. “B” y “C” en la siguiente fórmula física: e = A + Bt 2 + Ct 3 29 B 1. v : velocidad Rpta. determinar la ecuación dimensional de “C” .Halle la dimensión de “G” . 9. F : fuerza . calcular x + y S = Ka x t y K: constante numérica S : espacio a : aceleración t : tiempo v : velocidad a : aceleración M : masa W : trabajo Rpta. W= W : trabajo v : velocidad F : fuerza Rpta.- LM a OP = ? Nb Q 20 + t + k = a : aceleración t : tiempo Rpta. G : aceleración de la gravedad T : tiempo b y L : longitud Rpta. g : aceleración Rpta.T 2 La fracción mostrada es dimensionalmente correcta y homogénea: Ax3 + Bx2 + Cx + D A8 + B 6 + C 4 + D y A = L−6 T 4 . e : distancia (m) . determinar las dimensiones de “x” . C= R : longitud y : aceleración Rpta.problemas complementarios Determinar la dimensión de “x” .Magnitudes Físicas 6.8.Halle la dimensión de “A” . t : tiempo (s) Rpta. 2. si la ecuación mostrada. Rpta. donde: sen 30° Donde. xv 2 = WMa + bt2 . a : aceleración . mBL sen 30° Jorge Mendoza Dueñas h : altura m: masa A . v : velocidad e : espacio m : masa t : tiempo B : número real Rpta. P: presión g: aceleración de la gravedad h: altura K: constante numérica d: densidad Rpta. A : areas 1 2 Rpta.30 donde. B y C para que sea dimensionalmente homogénea. sabiendo que la igualdad mostrada es dimensionalmente correcta.- Hallar [x][y]: x = sen π + α Donde. M F πα IJ = e tan G A + H 2K ± C(Ftan 10 n−1 2 60° cos 60° ) Hallar las dimensiones de A.1 9. W : trabajo e : espacio a : aceleración Rpta. W = ba + b2c e Donde.- Hallar las dimensiones de “x” e “y” . M2LT 2 d b gi 2 vy + emB t 8. x=L y = M−1 En la expresión: Determinar la dimensión de “b” para que la ecuación sea homogénea. FG 2 − x IJ H hK 2 0 . A = adimensional -1/2 B=L -3/2 -3/2 3 C=M L T 10. donde: α : ángulo en radianes L : longitud F : fuerza e : base de los logaritmos neperianos m y n : números Rpta. 7. 85 m = xy A1 − A2 .