Magnitudes Físicas21 ANÁLISIS DIMENSIONAL Estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Toda unidad física, está asociada con una dimensión física. Así, el metro es una medida de la dimensión “longitud” (L), el kilogramo lo es de la “masa” (M), el segundo pertenece a la dimensión del “tiempo” (T). Sin embargo, existen otras unidades, como el m/s que es unidad de la velocidad que puede expresarse como la combinación de las antes mencionadas. Dimensión de longitud Dimensión de velocidad = Dimensión del tiempo Así también, la aceleración, la fuerza, la potencia, etc, pueden expresarse en términos de las dimensiones (L), (M), y/o (T). El análisis de las Dimensiones en una ecuación, muchas veces nos muestra la veracidad o la falsedad de nuestro proceso de operación; esto es fácil de demostrar ya que el signo “=” de una ecuación indica que los miembros que los separa deben de tener las mismas dimensiones. Mostraremos como ejemplo: A×B×C = D×E×F Es una ecuación que puede provenir de un desarrollo extenso, una forma de verificar si nuestro proceso operativo es correcto, es analizándolo dimensionalmente, así: (dimensión de longitud) = (dimensión de longitud) 2 2 Fines del análisis dimensional 1.- El análisis dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales. 2.- Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional. 3.- Sirven para deducir las fórmulas a partir de datos experimentales. ECUACIONES DIMENSIONALES Son expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales; utilizando para ello las reglas básicas del algebra, menos las de suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes. NOTACIÓN A : Se lee letra “A” [A] : Se lee ecuación dimensional de A Ejemplos: Hallar la Ecuación Dimensional de: Velocidad (v) v= e L e ⇒ v = = t t T v = LT −1 En el presente caso comprobamos que ambos miembros poseen las mismas dimensiones, luego la ecuación es correcta. En la aplicación del Método Científico, ya sea para la formulación de una hipótesis, o en la experimentación también es recomendable usar el Análisis Dimensional. Aceleración (a) a= v LT −1 v ⇒ a = = t t T a = LT −2 los ángulos.22 Jorge Mendoza Dueñas Fuerza (F) F = m. siendo a = aceleración F = m. . a Presión (P) P= F MLT−2 Fuerza ⇒ P = = Area A L2 F = MLT−2 P = ML−1T −2 Trabajo (W) W = F. d Densidad (D) D= M M Masa ⇒ D = = Volumen V L3 W = F. d ⇒ W = F d = MLT−2L W = ML2T −2 D = ML−3 Potencia (P) P= W ML2T −2 W ⇒ P = = t t T PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Si una expresión es correcta en una fórmula. a . no tienen dimensiones. Así: E – A + B + C = D P = ML2T−3 ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ Area (A) A = (Longitud)×(Longitud) ⇒ A = L ⋅ L A = L2 V =V =V =V =V Por lo tanto se tendrá: E = A = B = C = D Volumen (V) V = (Longitud)×(Longitud)×(Longitud) V = L3 OBSERVACIÓN Los números. se debe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. pero para los efectos del cálculo se asume que es la unidad. los logaritmos y las funciones trigonométricas. . [a] .Los arcos en la circunferencia son adimensionales.Siendo “a” una magnitud física.Todos los términos en el primer y segundo miembro tienen las mismas dimensiones. a) b) c) d) e) Tres magnitudes – dos auxiliares Siete magnitudes – dos auxiliares Seis magnitudes – una auxiliar Tres magnitudes – una auxiliar N....- Respecto al análisis dimensional señalar verdadero o falso: I..Se emplea para verificar fórmulas propuestas. fundamentales y .T −1 [velocidad angular] = T −2 2 −2 8..- Precisar verdadero o falso dimensionalmente: I) II) L+L+ L–L=L x⋅ m kg ( ) En sec (P + 12) ⇒ P = 1 ( ) ⇒ x = ML−1 ( ) d) e) FVV FFV 9.I..Pueden existir dos magnitudes físicas diferentes con igual fórmula dimensional.Se usa para deducir fórmulas.- ¿Qué relación no es correcta dimensionalmente? a) b) c) [fuerza] = M LT d) [trabajo] = M L T −1 [frecuencia] = T e) [carga eléctrica] = I . II.. a) b) c) VVF VVV FVV d) e) VFV FVF ¿Cuál será las dimensiones de Q = 3 kg / m..Magnitudes Físicas 23 TEST 1.. 4. que proposición o que proposiciones siempre se cumplen: I...... señalar verdadero o falso: I.[a] = 0 a) b) c) 2...VVF FFF VVV ¿Qué magnitud no está asociada a sus correctas dimensiones? a) b) c) d) e) Velocidad Fuerza Volumen Densidad Aceleración LT −2 ML T 3 L −3 ML 2 LT −1 ¿Qué proposición o proposiciones son falsas respecto al Análisis Dimensional? 10. a) b) c) 7..Todos los números y funciones trigonometricas que figuran como coeficientes tienen las mismas dimensiones.[a] = [a] III.. kg ⋅ s m m kg ⋅ 2 s m A⋅ s kg ⋅ m2 A ⋅ s2 − MTL−1 − MLT −2 − ILT d) − ML2A −1T −2 − ML3T −4 e) kg ⋅ m3 s4 . e igual a 1. III. III.La ecuación dimensional de los términos del primer miembro...Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos... s2 ? a) b) c) ML T −1 −2 ML T 2 MLT −1 −1 d) e) M LT M LT −1 3..- El S... II.... [a] + [a] + [a] = [a] II. II.I... [a] .Dimensionalmente todos los ángulos y funciones trigonométricas representan lo mismo.A.... con carácter geométrico. considera ...I II I y II d) e) III N.......VVV VVF FFF d) e) FFV VFV Respecto a una fórmula o ecuación dimensional.. difieren de las dimensiones del segundo miembro.A.- III) En a a) b) c) 5... a) b) c) I II III d) e) I y II III y II ¿Qué unidad va asociada incorrectamente a las dimensiones dadas? a) b) c) 6. III. D Donde. A : fuerza B : trabajo C : densidad Ax + By = C Solución: t Si la expresión es dimensionalmente homogénea.- L3 = β ML−3 ⇒ β = M−1L+6 Donde. Siendo. V : volumen A : área D : densidad Solución: t Aplicando el principio de homogeneidad. entonces: r Ax + By = C A x = B y = C r A = MLT −2 B = ML2T −2 C = ML−3 t Luego tendremos: S = F d m c S =1 2 = eMLT jbLg = ML T bMgeLT j ML T 2 −1 −2 2 −2 2 −2 t Con lo cual se tiene: A x = C MLT −2 x = ML−3 x = ML−3 MLT −2 ⇒ x = L−4 T 2 . determinar la ecuación dimensional de “x” e “y” .24 Jorge Mendoza Dueñas PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS A 1. F : fuerza m : masa d : distancia v : velocidad Solución: t Analizando cada elemento: F = MLT −2 d =L m =M c = LT −1 Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea.Halle la dimensión de “S” en la siguiente fórmula física: S= F⋅ d m⋅ c2 4.A + β.problemas de aplicación Halle la dimensión de “K” en la siguiente fórmula física: m⋅ v 2 K= F Donde. m : masa F : fuerza v : velocidad Solución: t Analizando cada elemento: m =M v = LT −1 F = MLT −2 t Luego tendremos: K = m⋅ v F 2 2 3.- Hallar la dimensión de “α” y “β” en la siguiente fórmula: V = α. V = α A = β D t Determinando: α V = α A = bMgeLT j MLT −2 −1 = ML2T −2 MLT −2 L3 = α L2 ⇒ α =L t Determinando: β V = β D K =L 2. Magnitudes Físicas t B y = C B 1. queda claro que la ecuación dimensional de todo exponente es la unidad. 2 E = A. W : trabajo v : volumen F : fuerza Solución: t Aplicando el principio de homogeneidad: 5. más no a los exponentes. W v = +F A B Donde.⇒ y = L−5T 2 problemas complementarios 25 ML2T −2 y = ML−3 y = ML−3 ML2T −2 Halle la dimensión de “A” y “B” en la siguiente fórmula física. pues estos siempre son números y por lo tanto estos exponentes se conservan siempre como tales (números). v + C⋅a Donde. P : presión q : fuerza R : volumen s : longitud Hallar: x – 3y Solución: t P = ML−1T −2 R = L3 t P = qzR − y s x q = MLT −2 s =L LM W OP = LM v OP N A Q NBQ W A = F 1/ 2 = F t Determinando A P = q R ML T −1 −2 z −y s x −2 z −y = MLT e j eL j bLg 3 x ML2T −2 = MLT −2 ⇒ A t Determinando B v B 1/ 2 1/ 2 A =L ML−1T −2 = MzLz T −2zL−3 yLx ML−1T −2 = MzLz − 3 y + x T −2z = F v F 2 ⇒ L3 B 1/ 2 = v 1/ 2 F M1 = Mz ⇒ z =1 ⇒ − 1 = z − 3y + x − 1 = 1 − 3y + x L−1 = Lz − 3 y + x t Nos piden: B = = eMLT j −2 2 x – 3y x – 3y = −2 2.- B = M−2LT 4 NOTA Las ecuaciones dimensionales sólo afectan a las bases. “B” y “C” en la siguiente fórmula física. Halle la dimensión de “A” .F + B. De lo expuesto.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente homoz −y x génea: P = q R s Donde. E : trabajo F : fuerza v : velocidad a : aceleración Solución: t Aplicando el principio de homogeneidad: E = AF = Bv 2 = C ⋅ a t Determinando A : E = A F ML2T −2 = A MLT −2 ⇒ A =L . 26 t Determinando B : E = B v 2 Jorge Mendoza Dueñas 5. que se desplaza con movimiento bidimensional.Determinar las dimensiones que debe tener Q para que la expresión W sea dimensionalmente homogénea. Solución: P = K R x ML2T −2 = M LT −1 e j x x y z ML2 T −2 = MLx T − x x=2 velocidad angular (en rad/s) radio de la hélice (en m) densidad del aire (en kg/m3) número t Finalmente: Q = A x B 1/ 2 Q = M2T1/ 2 W y x D z y −3 z 6.5 mcx + Agh + BP Siendo: Q = A x ⋅ B . b.⇒ R = T7 B =T t W = m c x La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula: P = K. D Donde. es tiempo.- ML2T −3 = 1 L b gb g eT j eML j −1 Suponga que la velocidad de cierto móvil. t: tiempo Solución: t Observamos por el principio de homogeneidad: x =T y = x = T2 z = y = T2 2 2 x ML2T −2 = B LT −1 e j 2 ⇒ B =M t Determinando C : E = C a ML2T −2 = C LT −2 ⇒ C = ML 3. y c. Determine las dimensiones de a.B : constantes dimensionales g : aceleración Solución: R = (x + t)(x – y)(y + z) Donde . W .y. Además. W = 0. para que la fórmula sea homogénea dimensionalmente. b. R . W : R : D : K : Calcular x. c. Solución: Por el principio de homogeneidad: bg ⇒ x − 3= 2 ⇒ x = 5 ⇒ y=3 T −3 = T − y .z. W : trabajo h : altura m : masa P : potencia c : velocidad A. a. son constantes dimensionales.- Halle la dimensión de ”R” en la siguiente fórmula física: 2 2 t Aplicando el principio de homogeneidad: W = m c = A g h = B P t W = A g h ML2T −2 = A = LT −2L A =M x e j 2 = T4 t B P = W B⋅ W t = W ⇒ B = t t Luego tendremos: R = x y z R = T × T2 × T 4 4. puede determinarse con la fórmula empírica: V = aT 3 + b T2 − c ML2T −3 = Lx T − yMzL−3z ML2T −3 = MzLx − 3z T − y M1 = Mz ⇒ z = 1 L2 = L x−3 1 Donde: T. para que (n + tan θ ) sea homogénea: [n] = [tan θ ] = 1 LT −1 = 7.- b T2 Con lo cual: n + tan θ = número ⇒ b = LT [n + tan θ ] = 1 t Con todo el sistema: F x Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea... M : masa ..- En la expresión mostrada.. v : velocidad Solución: a = 2vt x t Dimensionalmente: a = 2 v t x x LT −2 = 1 LT −1 T LT −2 b ge jb g E = Mvx + Mvx + Mvx + .. E = Mvx + Mvx + Mvx + ... a : aceleración v : velocidad t : tiempo Mx + yLx − 3y + z T −2 x − z = M3L0 T0 r r Solución: Dimensionalmente se tiene: 1= k 1° = k y−x y−x Mx + y = M3 L x − 3y + z −2 x − z ⇒ x+y=3 0 =L ⇒ x − 3y + z = 0 ⇒ − 2x − z = 0 r T =T 0 Resolviendo: z = -9 ⇒ y−x=0 ⇒ x x x y=x y−y 9.m3 : masas x y z bMgeLT j x = 1 x = 1 MLT −1 ⇒ x = M−1L−1T −1 . Hallar “z” F D v = (n + tan θ) m1 m2 m3 Donde. ∞ 1444 4 24444 3 E = LT −1T x E = Mvx + E ⇒ E = Mvx + E 2 LT −2 = LT x − 1 T −2 = T x − 1 ⇒ x − 1 = − 2 Con lo cual: x = −1 ⇒ y = −1 t Dimensionalmente: E = M v x = E E = E ⇒ Además: M v x = E M v x =1 2 2 Nos piden: “x – 2y” x – 2y = –1 – 2(–1) x – 2y = 1 E =1 8... ∞ Donde...- t Luego tendremos: a = vt 1 + k e j a = vt e1 + k j a = vt b1 + 1g 0 En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta.... m2. Hallar: ”x – 2y” a = vt x 1 + k y − x D y v = n + tan θ m1 m2 m3 x −3 y −1 z z e j eMLT j eML j eLT j = b1gbMgbMgbMg MxLx T −2 xMyL−3 yLz T − z = M3 −2 Siendo. F : fuerza D : densidad v : velocidad m1.Magnitudes Físicas t de: t T2 − c ⇒ 3 27 c = T2 Solución: t a = LT −4 tan θ = número V = a T LT −1 = a T 3 ⇒ t V = b T 2 Dimensionalmente. Determinar la ecuación dimensional de “x” . [H] = 1 La medida de cierta propiedad (t) en un líquido se determina por la expresión: h= 2t rd Donde. Rpta. A = LT −2 B = T −1 5.Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea. Determinar la ecuación dimensional de “K” K = GMb x+y Jorge Mendoza Dueñas Resolviendo: x = y = z = t Luego: K = 2 M 3 2 gLbz + x gTb y + zg + 2Mb 6 − 2x gLb6 − 2ygTb6 − 2zg Solución: t Dimensionalmente: b 6 − 2 x g L b 6 − 2 y g T b 6 − 2z g L T b x + yg L bz + x g T b y + x g = b 6 − 2z g T G M De donde: G = M 2 2 M b6 − 2x g L b6 − 2yg K = 1 M bg FG 6 − 2F 3 I IJ FG 6 − 2F 3 I IJ FG 6 − 2F 3 I IJ H H 2K K H H 2KK H H 2K K K = M3L3 T3 b x + y g = M b6 − 2x g bz + x g = L b6 − 2yg L b y + x g = T b 6 − 2z g T ⇒ x + y = 6 − 2x ⇒ z + x = 6 − 2y ⇒ y + x = 6 − 2z PROBLEMAS PROPUESTOS A 1.Siendo: h medida en m. 2. d. A = LT B = T −1 Halle la dimensión de “α” y “β” en la siguiente fórmula física. x : distancia .t = MT −2 Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula: V= x2 g + A B Donde. α = M−1 β = L−1 4. v : velocidad .Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula: v = A⋅t + B⋅ x Donde. peso específico. g : aceleración Rpta. x : distancia Rpta. ¿Cuál será la ecuación dimensional de t para que r se mida en m? Rpta.28 10. H= D⋅A⋅ V F Donde. v2 F + E= α β . v : velocidad . D : densidad A : aceleración V : volumen F : fuerza Rpta. F : fuerza.problemas de aplicación Halle la dimensión de “H” en la siguiente fórmula física. v : velocidad . E : trabajo . 3. t : tiempo . - En la ecuación: P = Kgy dxhz Hallar: (x. a : aceleración . t : tiempo (s) Rpta. L T 3 -4 3Ry 2Nx eN − 2j x 2 6. sabiendo que la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: G= 4 π 2L2 L − b cos θ T2 ⋅ a b g donde. MLT-2 Determinar las dimensiones de “a” . donde: sen 30° Donde.y. G : aceleración de la gravedad T : tiempo b y L : longitud Rpta. 10. Determinar: 4. G =M H = MT −1 I = MLT −2 3.Halle la dimensión de “A” . si la ecuación mostrada.z) .problemas complementarios Determinar la dimensión de “x” . si la ecuación es dimensionalmente correcta. xv 2 = WMa + bt2 . calcular x + y S = Ka x t y K: constante numérica S : espacio a : aceleración t : tiempo v : velocidad a : aceleración M : masa W : trabajo Rpta. es dimensionalmente correcta: π tan α = bw + wlog 2g + z bg + gsen φgx 3 w : peso .T 2 La fracción mostrada es dimensionalmente correcta y homogénea: Ax3 + Bx2 + Cx + D A8 + B 6 + C 4 + D y A = L−6 T 4 . Rpta.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea. C= R : longitud y : aceleración Rpta. F : fuerza . determinar la ecuación dimensional de “C” . “H” e “I” en la siguiente fórmula física: F = Ga + Hv + I Donde. 2.M2LT-2 Hallar la ecuación dimensional de z.Magnitudes Físicas 6. g : aceleración Rpta. hallar las dimensiones de “b” .Halle la dimensión de “G” . L-14T28/3 a+p b−q 5.En la siguiente expresión. e : distancia (m) .- LM a OP = ? Nb Q 20 + t + k = a : aceleración t : tiempo Rpta. determinar las dimensiones de “x” . L2 Rpta.- 3 Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea.8. W= W : trabajo v : velocidad F : fuerza Rpta. 9. A =L B = LT −2 C = LT −3 7. “B” y “C” en la siguiente fórmula física: e = A + Bt 2 + Ct 3 29 B 1. v : velocidad Rpta. L1/2T-1/2 5F log a 8F2C − 2 x b +v Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea. A = adimensional -1/2 B=L -3/2 -3/2 3 C=M L T 10. M2LT 2 d b gi 2 vy + emB t 8.mBL sen 30° Jorge Mendoza Dueñas h : altura m: masa A .- Hallar las dimensiones de “x” e “y” . sabiendo que la igualdad mostrada es dimensionalmente correcta.1 9.30 donde. 7. P: presión g: aceleración de la gravedad h: altura K: constante numérica d: densidad Rpta. x=L y = M−1 En la expresión: Determinar la dimensión de “b” para que la ecuación sea homogénea.- Hallar [x][y]: x = sen π + α Donde. A : areas 1 2 Rpta. donde: α : ángulo en radianes L : longitud F : fuerza e : base de los logaritmos neperianos m y n : números Rpta. W : trabajo e : espacio a : aceleración Rpta. W = ba + b2c e Donde. M F πα IJ = e tan G A + H 2K ± C(Ftan 10 n−1 2 60° cos 60° ) Hallar las dimensiones de A. v : velocidad e : espacio m : masa t : tiempo B : número real Rpta. B y C para que sea dimensionalmente homogénea. 85 m = xy A1 − A2 . FG 2 − x IJ H hK 2 0 .