PROBLEMAS RESUELTOSSUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrados en la figura tienen la misma magnitud (10 unidades) El vector (b+c) + (d+a) - 2c, es de magnitud: c a) 0 b) 20 a b c) 10 d) 20 2 d e) 10 2 Solución: Este es un problema de aplicación del método del polígono. Proceda primeramente a encontrar el vector ( b + c), haga lo mismo con el vector (d + a). b a c d b+c d+a Notará usted observando el gráfico, que el vector ( b + c) tiene la misma magnitud del vector ( d + a), pero dirección contraria, por tanto: (b + c) + (d + a) = 0 En consecuencia, el resultado de la operación (b + c) + (d + a) - 2c = -2c. Si el vector c tiene 10 unidades de magnitud, entonces el vector –2c tendrá 20 unidades Florencio Pinela C. 2. Si el ángulo con el que un objeto rebota es el mismo con el que incide, con respecto a un eje perpendicular a la superficie de impacto. ¿Cuál de los siguientes vectores representaría mejor al vector V2 - V1?, donde V2 es la velocidad con que rebota de la superficie II. II V1 I a) b) c) d) cero e) Solución: V2 II V1 I Para poder realizar la diferencia entre los dos vectores, necesitamos conocer la magnitud y dirección del vector velocidad con que el objeto rebota de la segunda pared. Tracemos entonces la trayectoria del objeto luego de rebotar de las dos superficies, como se indica en el gráfico superior. Una vez obtenido el vector V2, la velocidad con que rebota de la segunda pared, podemos obtener la diferencia entre ellos. Recordemos que la diferencia de dos vectores es equivalente a la suma de uno de ellos con el negativo del otro Florencio Pinela C. Al realizar la diferencia entre el vector V2 y el vector V1 por el método geométrico, tenemos: -V1 V2 V2 + (-V1)= La respuesta se aproxima a la alternativa C 3. Los vectores A, B y C se muestran en la figura, cuyas magnitudes son 10 unidades, 15 unidades y 20 unidades respectivamente. El vector A – B – C es: a) 5 unidades dirigido hacia la derecha b) 25 unidades dirigido hacia la izquierda C A B c) 15 unidades dirigido hacia la derecha d) 40 unidades dirigido hacia la derecha e) 5 unidades dirigido hacia la izquierda Solución: Realicemos la operación utilizando el método del polígono, unamos el extremo de un vector con el origen del otro (de acuerdo a la operación que nos estén pidiendo realizar), el vector – C lo ubicamos ligeramente debajo para que no oculte a los otros vectores en el diagrama, el vector resultante es el que se dirige desde el origen del primero al extremo del último 15 10 -B A -C 20 Sería un vector de 5 unidades dirigido a la izquierda Florencio Pinela C. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la correcta? a) j + g . Para los vectores mostrados en la figura. en consecuencia la alternativa a) no es correcta.c = a + 2e. a continuación mostramos el desarrollo de la alternativa verdadera. 4.c = a + 2e b) b+f-i=j+h-a c) a + b + c = 2g d) a+b+d+e=f+h+i e) b+f+i=a+j+h Solución: Tomemos una de las alternativas múltiples para ilustrar la aplicación del método del polígono a este problema. podemos comenzar pasando el vector –c al lado derecho de la igualdad j + g = a + 2e + c Comprobemos gráficamente si el vector ( j + g) es igual al vector ( a + 2e + c) ( a+2e+c) g (j +g) c a j 2e Como podemos observar en los gráficos estos vectores no son iguales. c g La alternativa correcta es la C b g a Florencio Pinela C. escojamos la alternativa a) j + g . . Para el conjunto de vectores mostrado en la figura. el vector D que equilibra (que al sumarse da una resultante nula) al conjunto de vectores es: a) 2i – 4j 4u b) 2i + 4j A c) –2i + 4j d) –2i – 4j e) 2i + 2j B 4u 2u C 3. Todos los vectores que forman el cuadrado mostrado en la figura tienen una magnitud de 10 unidades. PROBLEMAS PROPUESTOS SUMA DE VECTORES METODO GRAFICO 1. En el triángulo isósceles OAB.b) B d) a+b+m=0 e) m·(b-a)=0 a m b O . La resultante de la suma de los cinco vectores es: a) 10 2 b) 20 c) 10 d) 5 2 e) 5 2. y M es el punto medio del lado AB. los lados OA y OB son iguales. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta? a) m=a+b b) m = ½ (a + b) A M c) m = ½ (a . 0 . Sean los vectores A y B. La magnitud del vector B es a) 18. La magnitud de la resultante de la suma de los cinco vectores es: a) R diámetro b) 2R c) 3R d) 4R e) 5R 6.4. El vector A – B es perpendicular al vector A y tiene 15 unidades de magnitud.2 e) 8. Para los vectores dados en la figura. el vector A tiene 10 unidades de magnitud. Los vectores mostrados en la figura están inscritos en una circunferencia de radio R.0 c) 13.a j 5.0 d) 11.0 b) 16. la alternativa correcta es: a) a+e+j=c a b b) c + h + f = a + b h c) e+j=c+a c d e f d) b + d -f -j = 0 e) c + h + f = b . c2 a2 b2 cos( ) 2ab 20 2 10 2 15 2 cos( ) 2 *10 * 15 cos( ) 0.25 = 75. LEY DEL COSENO Y DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. a sí como del ángulo formado entre los vectores componentes.5º d) 60. Llamemos c al vector resultante de la suma de los vectores a y b c a b De la ley del coseno C2 = a2 + b2 + 2ab cos representa el ángulo formado entre los dos vectores a y b unidos por su origen. PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO ANALÍTICO: LEY DEL SENO.5º Solución: En este problema disponemos de las magnitudes de los dos vectores componentes y de la resultante de la suma de ellos. . Recuerde que la ley del coseno relaciona las magnitudes de los vectores componentes y de la resultante. el ángulo entre los vectores es a) 75. si la resultante de la suma de los vectores tiene 20 unidades. Dos vectores a y b tienen 10 y 15 unidades respectivamente. Un problema típico de aplicación de la ley del coseno.0º c) 65.5º b) 70.0 e) 55.5 Florencio Pinela C. 8º e) 55. Para el paralelepípedo de la figura.2º c) 50. (c = a + b).2 Florencio Pinela C.b y c Cos = (185-52-61)/112.2º d) 53. Con los valores de los lados del paralelepípedo obtenemos los vectores a y b en función de sus componentes rectangulares.2.0º b) 48. digamos el vector c.2º y 6 a x b 4 z 5 Solución: Apliquemos nuevamente la ley del coseno para encontrar el ángulo entre los vectores. .60 Utilizando la ley del coseno C2 = a2 + b2 + 2ab cos Despejando el coseno de y reemplazando los módulos de los vectores a. Aquí necesitamos conocer las magnitudes de los vectores a y b y de la resultante de la suma de ellos. a) 45. determine el ángulo formado entre los vectores a y b.62 Cos = 0.81 Llamamos c al vector (a + b) = 5i + 12j – 4k c= 52 12 2 4 2 = 13.64 Por tanto es igual a 50.21 b = 5i + 6j b2 = 52 + 62 b= 52 6 2 = 7. a = 6j – 4k a2 = 62 +42 a= 62 4 2 = 7. una vez determinados a y b pasamos a calcular la resultante de la suma de los dos. 3. por ejemplo: la componente sobre el eje “y” del vector a vale 6 y apunta en dirección negativa (-j).9 j + 12 k b) 3 i + 12 j +6 k c) 6i .9j + 4 k d) 4 i + 8 j +12 k b 4 x e) 8 i + 5 j + 10 k a 8 z Solución: Los vectores a y b se encuentran dentro del paralelepípedo. De esta manera podemos escribir los vectores: a = 4i –6j +8k b = -4i +6j +8k El vector b/2 lo obtenemos dividiendo cada uno de los módulos de sus componentes para 2 b/2 = -2i +3j +4k Por tanto (a – b/2) = 4i – 6j +8k +2i – 3j – 4k a – b/2 = 6i –9j +4k la respuesta es la c 4. el vector que representa la operación: a . Para los vectores mostrados en la figura. . observando el origen y el extremo de cada uno de ellos podemos determinar sus componentes rectangulares (las proyecciones del vector sobre cada uno de los ejes coordenados).b/2 es y 6 a) 6 i . proyectemos el vector sobre el plano x-z. y la componente sobre el eje “z” vale 8 y apunta en la dirección +k. Para determinar las componentes sobre los ejes “x” y “z”. el ángulo formado entre los vectores a y b es a) 128 º b) 84º c) 56º d) 48º e) 38º Florencio Pinela C. seguidamente podemos observar que la componente sobre el eje “x” vale 4 y apunta en la dirección +i. Para el problema anterior. 205.103 Por tanto = 84 5.7 u . esto significa que sus componentes también deben serlo. utilizaremos el teorema de Pitágoras para calcular la magnitud del vector A. la suma de todas las componentes en “x” deben dar cero Ry = 0. y la otra para las componentes en “y”.6º 40 u b) 60.2º x 30 20 u Solución: Utilizando el método de descomposición vectorial podemos obtener dos ecuaciones. esto es: Rx = 0. Determinemos primeramente la resultante de sumar los dos vectores. b y c Obtenemos cos = (256-116-116)/2*116 cos = 0.5 u . 18.Solución: Tomando los vectores a y b. la suma de todas las componentes en “y” deben dar cero. y a) 60. .6º d) 50. Obtenidas las componentes en “x” y en “y” del vector.5 u . La magnitud y dirección del vector A es. Rx = Ax + 40 cos50° + 20 cos(-30°) = 0 Ry = Ay + 40 sen50° + 20 sen(-30°) = 0 . vamos a aplicar la ley del coseno para determinar el ángulo entre estos vectores. 25. una para las componentes en “x”.3 u . 198.3 u. a = 4i –6j +8k a2 = 116 b = -4i +6j +8k b2 = 116 c = (a + b) = 4i – 6j + 8k -4i +6j +8k c = 0i + 0j + 16k c = 16 c2 = a2 + b2 + 2ab cos Despejando el cos y reemplazando las magnitudes de a. y luego valiéndonos de una función trigonométrica podemos determinar la dirección del vector.2º A c) 47.2º 50 e) 50. 108. Si los tres vectores al sumarse dan una resultante nula (R = 0). Los vectores mostrados en la figura al sumarse dan una resultante nula. .72 La línea de acción del vector la determinamos utilizando una función trigonométrica.6 Florencio Pinela C. la dirección será = 180 + 25. la cual puede coincidir con la dirección del vector.64 A = 47. Ax 25.71+ 17. Es conveniente ubicar estas componentes sobre ejes coordenados para identificar la dirección del vector.6 = 205. Ax + 25.20.6 Ay A Utilizando el teorema de Pitágoras determinamos la magnitud del vector A A Ax2 Ay 2 2 2 A 43.64 representa el ángulo que forma el vector A con el eje positivo de las “x”.64 . por ejemplo Tan = Ay/Ax= .03 = Tan-1 ( 0.32= 0 Ax=.20. Los ángulos son positivos cuando se miden en sentido antihorario y negativo cuando se miden en sentido horario.64/-43.43.10= 0 Ay = .03 Ay + 30. Por tanto.479) = 25. vea el grafico de los vectores en la parte superior.03 20.6 ¡ Cuidado! La calculadora le da a usted la línea de acción del vector. Cz = 2 Recordando la definición de los cosenos directores.5k (N) d) 73i + 63.2º e) 32. Como solamente nos piden determinar el ángulo que forma el vector A+B con el eje de las “x”.100.5j .5j .15.63.4 Por tanto el ángulo es 20.6.5k (N) e) 73i . .4 7.100.5k (N) F2 F1 x (m) F2 = 2F1 = 100 N 10 8 z (m) Florencio Pinela C. Sean los vectores A = 2i – j + 3k y B = 4i + 2j – k.100.5º Solución: Observando los vectores nos podemos dar cuenta que estamos en presencia de vectores en tres dimensiones. y por su puesto su magnitud.5j .4 Cx = 6.5k (N) 5 c) 123i + 63. llamemos C a este vector C = A + B = 6i +j + 2k C = 36 1 4 = 6. Con referencia al paralelepípedo de la figura.5j . Para utilizar los cosenos directores debemos conocer las componentes ortogonales del vector. El ángulo que forma el vector A+B con el eje positivo de las x es a) 16. en consecuencia podemos utilizar los cosenos directores para determinar la dirección del vector con cada uno de los ejes coordenados. Cy = 1.15. necesitamos conocer solamente la componente en “x” del vector C. el ángulo que forma el vector C con el eje positivo de las “x” es Cx cos( ) C cos( ) = 6/6.9j . esto es Cx Determinemos primero el vector A +B.5º d) 26.5k (N) b) 123i + 63. esto es F1+ F2 es: y (m) a) 73i + 62.2º b) 20.4º c) 23. el valor de la fuerza resultante. 5k. las dimensiones del paralelepípedo en este problema sirven para indicar la dirección de los vectores.Solución: Tenga cuidado con la magnitud de los vectores y las dimensiones del paralelepípedo. El problema sólo nos da la magnitud de los vectores fuerza. para poder sumarlos tenemos que expresarlos en forma vectorial. “y” y “z” F2 = F2 cos i + F2 cos j + F2 cos k 10 cos( ) 0.58 2 10 52 82 F2 = 100(0.73 2 10 52 82 5 cos( ) 0. . alternativa a Florencio Pinela C.73) i + 100(0. cos y cos .53 52 82 8 cos( ) . .9 j – 100.58) k F2 = 73 i + 36.0.36 10 2 5 2 8 2 8 cos( ) .0.53)j + 50(-0.4 j – 58 k Por tanto F1 + F2 = 73 i +62. esto es: F1 = F1 cos i + F1 cos j + F1 cos k Donde: cos .85)k F1 = 26. los cosenos directores. los podemos determinar del gráfico de arriba 0 cos( ) 0 5 82 2 5 cos( ) 0.364) j + 100(-0. y representan los ángulos que forman cada uno de los vectores con los ejes “x”.5j – 42.85 5 82 2 F1 = 50(0) i + 50(0.5k . 45/21.13 i + 8.45 j A 18. y direcciones contrarias.13 i 8 .45 j ) Newtons.45 j Observando el gráfico del problema.13 N Esto significa que: Bx = 21.87) = 21. es decir que: By = 8.87 N Conociendo las componentes ortogonales del vector B.45 N Tomando la información de que la resultante apunta en dirección “x” Ax + Bx = 40 Siendo Ax = 18.87 i + 8. La cuerda A ejerce una fuerza de (18. el ángulo es: Tan = By/Bx = tan-1(8.1 . y tenga un módulo de 40 Newtons a) 10º b) 15º A c) 21º d) 42º e) 69º x B Solución: De acuerdo a la información del problema. podemos expresarlo B = 21. Determine el valor del ángulo .45 j Ax Ay Si la resultante de la suma de los dos vectores se encuentra en la dirección “x” esto significa que la componente Ay debe tener la misma magnitud que la componente By. el vector A es igual a: A = 18.8.13 i + 8. de tal forma que la resultante de la suma de las tensiones de las dos cuerdas se encuentre en la dirección del eje x +. Dos cuerdas A y B halan una caja como se indica en la figura. 0 u . b.86. El ángulo que forma el vector con el eje y es: y a) 30.4 u .4º 10 u c) 22. 63.93.4 u .6º 2. LEY DEL COSENO Y DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1.0º c) 72.0 u . La magnitud y dirección de un vector.0º b) 60. . que sumado a los vectores indicados en la figura dan una resultante nula es y 20 u a) 22. 63. es y a) 4 b) 6 b c) 8 5 d) 10 a e) 12 c x 4 z 6 . 93.5º d) 41.4º 60º 30º x e) 22.4 u . . PROBLEMAS PROPUESTOS SUMA DE VECTORES METODO ANALÍTICO: LEY DEL SENO. La magnitud del vector a + b – c.4º d) 30. Para los vectores a.1º e) 35.2º x 6 8 z 3. y c indicados en el plano x-y-z. El vector mostrado en la figura tiene una magnitud de 20 unidades.4º b) 30. Un avión desarrolla una velocidad máxima de 800 Km/h en ausencia de viento.5° x 5.8° c) 888 14.8 64. Determine la velocidad resultante de un avión cuando el viento sopla a 200 Km/h y a 250° de dirección. Para los vectores mostrados en la figura determine la magnitud y dirección del vector R.6 216° 40 c) 23. a) 15.7 183° c=20 e) 28.3° a=10 x d) 29.2 u 6.0 u c) 19.0 u d) 23.8° e) 755 10.1 u e) 25.6 36° b=15 b) 36.1 u b) 18. Magnitud (Km/h) Dirección a) 755 -14. donde: R = 2 a – b – c/2 Magnitud Dirección y a) 36.4° y b) 755 -22.4° d) 888 -22. Las velocidades del viento y del avión se encuentran en el plano x-y.2 215° . 4. Determine la magnitud del vector que al sumarse a los vectores a y b de la figura dan como resultado una resultante nula. para cuando el avión se mueve en la dirección indicada. 7. la suma de todas las fuerzas tendrá como magnitud y a) 38 N. la fuerza resultante. 5 b) 42 N. a) i – 10j + 3k y b) 2i – 5j + 6k c) 5j + 6k d) 10j – 3k e) –10j + 3k b a 5 x 3 z 7 8. 1 d) 55 N. es decir. 20N . 40N 50N c) 48 N. Para los vectores del problema anterior determine el ángulo formado entre los vectores ay–b a) 55° b) 62° c) 72° d) 82° e) 90° 9. Los tres vectores mostrados en la figura representan las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. -4 -1 1 3 x e) 60 N. Determine el vector que al sumarse a los vectores a y b den una resultante nula. 1 . -71º a .10.8 . 210º 40º 60º X d) 18. -79º c) 15. los valores de a y son ( es el ángulo con respecto al eje x+) y 30 a) 20.7 . -68º e) 38.0 .8 . Los vectores mostrados en la figura al sumarse dan una resultante nula. 230º 20 b) 20. es 6 = 3 (6 ) = 1/3 2. by = -2. PROBLEMAS RESUELTOS PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL 1. el valor de para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud de AxB. es más práctico utilizar la operación: a b = axbx + ayby + az bz ax = 6. az = 6 bx = . Dado los vectores A= 2i + aj y B= 6i. Por tanto. el valor de a para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud de AxB es: a) 3 b) 1/3 c) 6 d) 1/6 e) no puede determinarse Solución: La magnitud del vector B es 6. ay = -3. Como los vectores vienen dados en función de sus componentes ortogonales. determinemos la magnitud del vector AxB i j k AxB = 2 0 = i (0) – j (0) + k (-6 ) = -6 k 6 0 0 La magnitud del vector AxB es 6 . . Para que los vectores: a = 6 i – 3 j + 6 k y b = i – 2 j + 3 k sean ortogonales. si dos vectores son ortogonales su producto escalar es cero. bz = 3 a b = 6 + 6 +18 = 0 = -4 Florencio Pinela C. debe tomar el valor de a) –4 b) 4 c) –6 d) 6 e) –8 Solución: De acuerdo a la definición de producto escalar. .06 ab = 2.8 d) 2.2 e) 1. La proyección del vector a sobre el vector b es.4º 5 x A Florencio Pinela C.2 4.0º b) 86.2 c) 2.4 B d) 76.2 Solución: Por definición.6 b) 3. 3. a) 4. Sean lo vectores: a = 5i .4º e) 70. a b ab ab = proyección del vector a sobre el vector b a b = ab cos = ab b = axbx + ayby + az bz a xbx a yby a z bz ab = b (5)( 2) ( 2)(5) (3)( 6) ab = 4 25 36 18 ab = 8.4º c) 80. el producto escalar representa el área de un rectángulo que tiene por uno de sus lados la magnitud de uno de los vectores.2j + 3k y b = 2i + 5j + 6k. Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 15 u. y el otro lado la proyección del segundo vector sobre el primero. el ángulo formado entre los vectores A y B es y a) 90. geométricamente. B) · C = 4 + 48 – 33 (A . B y C se dirigen desde el origen de un sistema de coordenadas rectangulares a los puntos (2. los vectores A. (4. B y C los expresamos como: A = 2i + 3j + 5k B = 4i – 5j – 6k C = -2i + 6j – 3k Realizamos la operación (A – B): A – B = .4 5. A B = AB cos = AxBx + AyBy + AzBz De acuerdo al gráfico.B) · C es: a) 4i + 48j . Conocemos el módulo de los vectores y sus componentes las podemos obtener del gráfico.2i + 8j + 11k) (-2i + 6j – 3k) (A . El resultado de la operación (A . 6. -3) respectivamente. 5). (A .Solución: En este problema podemos hacer uso de la definición de producto escalar.33k b) 19 c) 10 d) 9 e) 5 Solución: Con las coordenadas del punto del extremo de cada vector.B) · C = (. -6) y (-2. -5. 3. Ay = 0.B) · C = 19 Florencio Pinela C. .16666) = 80. Bz = 0 Por lo tanto AB cos = AxBx Donde Ax = 5 y Bx = 5 (5)( 5) Cos = (10 )(15 ) = cos-1(0. Los vectores A.2i + 8j + 11k Luego multiplicamos escalarmente este resultado con el vector C. Sean lo vectores: a = 5i . el valor de para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud de AxB. 8. Para que los vectores: a = 6 i – 3 j + 6 k y b = i – 2 j + 3 k sean ortogonales. es 6 = 3(6 ) = 1/3 7. ay = -3.6 . determinemos la magnitud del vector AxB i j k AxB = 2 0 = i(0) – j(0) + k(-6 ) = -6 k 6 0 0 La magnitud del vector AxB es 6 . 6. Como los vectores vienen dados en función de sus componentes ortogonales. La proyección del vector a sobre el vector b es. es más práctico utilizar la operación: a b = axbx + ayby + az bz ax = 6. si dos vectores son ortogonales su producto escalar es cero. el valor de a para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud de AxB es: f) 3 g) 1/3 h) 6 i) 1/6 j) no puede determinarse Solución: La magnitud del vector B es 6.2j + 3k y b = 2i + 5j + 6k. az = 6 bx = . Por tanto. by = -2. debe tomar el valor de f) –4 g) 4 h) –6 i) 6 j) –8 Solución: De acuerdo a la definición de producto escalar. f) 4. bz = 3 a b = 6 + 6 +18 = 0 = -4 Florencio Pinela C. Dado los vectores A= 2i + aj y B= 6i. Conocemos el módulo de los vectores y sus componentes las podemos obtener del gráfico.2 Solución: Por definición.4 B i) 76. a b ab ab = proyección del vector a sobre el vector b a b = ab cos = ab b = axbx + ayby + az bz a xbx a yby a z bz ab = b (5)( 2) ( 2)(5) (3)( 6) ab = 4 25 36 18 ab = 8.4º j) 70. geométricamente. Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 15 u.g) 3.4º h) 80.8 i) 2. Solución: En este problema podemos hacer uso de la definición de producto escalar.2 9.0º g) 86.06 ab = 2. el producto escalar representa el área de un rectángulo que tiene por uno de sus lados la magnitud de uno de los vectores.4º 5 x A Florencio Pinela C. .2 h) 2. y el otro lado la proyección del segundo vector sobre el primero. el ángulo formado entre los vectores A y B es y f) 90.2 j) 1. m b) 330 N. esto es: AB = (-2i + 5j + 8k) – (2i + 10j – 5k) AB = -4i – 5j + 13k En consecuencia el trabajo debe ser: F AB = (10 i + 20j +30k) (-4i – 5j + 13k) Trabajo = -40 . El trabajo se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.4 7. -5). A B = AB cos = AxBx + AyBy + AzBz De acuerdo al gráfico.-5) m hasta el punto (-2. a) 250 N.5.8) m.8).m c) 450 N.m e) 550 N.5. 10. Representemos cada uno de estos puntos por los vectores: A = 2i + 10j –5k B= -2i + 5j + 8k Al ir del punto A al punto B habrá experimentado un desplazamiento AB = B – A. Bz = 0 Por lo tanto AB cos = AxBx Donde Ax = 5 y Bx = 5 (5)( 5) Cos = (10 )(15 ) = cos-1(0.m Solución: El cuerpo se mueve desde el punto A(2.100 + 390 = 250 N .10. Determine el trabajo que realiza una fuerza F = 10i + 20j + 30k (N) al actuar sobre un cuerpo haciendo que éste se mueva desde un punto de coordenadas (2. Ay = 0. hasta el punto B(-2.16666) = 80.m d) 500 N. F = Fcos i + Fsen j . . el vector r se representa en su real magnitud. evalúe el producto vectorial entre el vector F de 50 unidades de magnitud y el vector posición r. Para el gráfico mostrado.8. representa la dirección del vector F r = rx i + ry j F = 50 cos45° i + 50 sen45° j = 25 2 i + 25 2 j r = -5i + 6j i j k Fxr = 25 2 25 2 0 = [6(25 2 ) + 5(25 2 )]k -5 6 0 Fxr = 275 2 k Florencio Pinela C. Observe que el plano en el que están graficados los vectores. Expresemos los vectores F y r en función de sus coordenadas rectangulares. a) -125 2i m y b) 150 2 i + 125 2 j 6 c) 275 2 k F d) 125 2 k r e) 150 2 i 2 -5 1 5 m Solución: Podríamos pensar en utilizar |Fxr| = F r sen . los ejes representan unidades de longitud. pero recordemos que esta expresión es para el módulo del vector |Fxr|. mientras que para el vector F las coordenadas sirven para su dirección. Solución: ( a · b ) es un número. . De todas maneras resolvamos el problema. Sean los vectores a = ( 6i + 8k ) y b = ( 2j . es a) 0 b) -100 c) 20 d) –60 i –80 k e) No se puede realizar la operación. 9.60 i–80 k Florencio Pinela C. de las alternativas.5/8 k ). el resultado de la operación: 2 ( a · b ) a. ( a · b ) = 6(0) + 0(2) + 8(-5/8) = -5 2( a · b )a = 2(-5)( 6i + 8k) 2( a · b )a = . sólo una da la posibilidad a que el resultado sea un vector. que al multiplicarlo por a debe dar un vector. F2 = 10i +2j - 3k (N) y F3 . B= -i +3j – k.-5.5) y (5.6).3. Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de coordenadas (4. la proyección del vector A sobre el vector B es: a) 0 b) 1 c) 13/5 d) 14 e) 5/13 2.4. Dado los vectores A=2i + 3j + k y B=3j + 4k. y los puntos B y C de coordenadas (2. Sobre un cuerpo de masa M actúan tres fuerzas: F1 = 2i -10j + 8k (N) .¿Cuál de las siguientes alternativas representaría un vector perpendicular al plano formado por las rectas?. Si el cuerpo se mueve con velocidad constante. a) –23 i – 9 j – 26 k b) 9 i – 14 j + 8 k c) 9 i – 23 j + 26 k d) 23 i – 9 j + 26 k e) –9 i + 14 j – 8 k 4. Considere la línea que une los puntos extremos de los vectores A= 2i – j – k. el valor de F3 es: a) 12i-8j+5k N b) –2i+10j-8k N c) –12i+8j-5k N d) –10i-2j-3k N e) Imposible que se mueva con velocidad constante . PROBLEMAS PROPUESTOS PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL 1. ¿Cuál de las siguientes alternativas es verdadera? a) La línea es paralela al plano YZ b) La línea es perpendicular al plano YZ c) La longitud de la línea es 10 d) La línea es paralela al plano XY e) Ninguna de las anteriores 3.2) respectivamente. El ángulo que forma la velocidad en el punto p1 y el desplazamiento de la partícula es: a) 27. El desplazamiento de la partícula entre los puntos p1 y p2 de coordenadas (2.2º e) 71. la cual se encuentra en el plano x- z.3 e) 15.1 y c) 8.1º c) 56.1 d) 10.6.5.4º b) 34.8º d) 65. determine la magnitud de la proyección del vector 8i – 5j + 7k sobre la recta l.6 b) 6. Si en el punto p1 la partícula tenía una velocidad de V = 2i + 4j m/s.-2.1 8 x 4 z l 7. al punto p2 de coordenadas (10. a) 4.-3.5) y (5.1)m.8. Una partícula se desplaza desde el punto p1 de coordenadas (3.4º 6.7)m.-4) respectivamente es: a) 3i + 9j – 9k b) –3i –9j + 9k y c) 3i – 3j + k p2 d) 3i + 9j – k e) 3i + 3j – 9k x p1 z . Para el sistema de coordenadas mostrado en la figura. Una partícula describe la trayectoria mostrada en la figura. x. Encontrar el valor de x para que los vectores A (5. 6) sean perpendiculares.2º d) 68. 8. 1. d) Son perpendiculares.k B = i . a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 0 10. e) Todas las alternativas anteriores son falsas.3 i . b) Son paralelos y apuntan en direcciones contrarias. -2) y B (2. Sean tres vectores: A = 3i + 2j .B y N = C x A. el ángulo formado entre los vectores M y N es a) 60. B = 4i .2º c) 51.j + k es a) 3/ 26 i + 4/ 26 j + 1/ 26 k b) 18 / 26 i + 24/ 26 j + 6/ 26 k c) -2/ 2 i + 8/ 2 j + 2/ 2 k d) -6/ 2 i + 24/ 2 j + 6/ 2 k e) 1/ 2 i + 2/ 2 j + 3/ 2 k .j + 2k C=j+k Si M = A. c) Forman un ángulo de 45º entre sí. Dos vectores A y B vienen expresados por: A = 3i + 4j + k . Es verdad que A y B: a) Son paralelos y apuntan en la misma dirección. El vector de módulo 6 y que es perpendicular al plano formado por los vectores A = 2 i + j -2 k y B = . 9.1º 11.5º e) 72.5j + 8k.5º b) 41. b. y 6 a) 24i + 20j + 30k b) –5i + 6j + 8k c) –12i – 10j + 15k 5 x d) 12i – 10j –15k e) 24i + 20j+ 15k 4 .8/ 128 k b) 8/ 192 i + 8/ 192 j .8/ 186 k d) 8/ 192 i . c.8/ 192 j + 8/ 192 k e) 8/ 384 i + 16/ 384 j . ¿Cuál de las siguientes alternativas representa un vector perpendicular al plano sombreado de la figura.b a) 500 e =10 c =30 b) 799 c) 890 30º b=50 d) 1299 a =10 e) 23 d = 20 13. Sean los vectores a. el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A y B es a) 0 i + 8/ 128 j .8/ 384 k 15. evalúe la siguiente operación (a+c+d+e). d y e. Sean los vectores A = 3 i – j + 2 k y B = -2 i – 2 j – 4 k. evalúe la siguiente operación: (a – b ) a a) 4 b) –4 c) 6 d) 8 e) -8 14. 12.8/ 192 k c) –1/ 186 i . Sean los vectores a = 2 i – j + 2 k y b = 2 i – 3 j – k.11/ 186 j . B y C siendo m un escalar. . 16. Dados los vectores A. ¿cuál proposición no se cumple? a) A·B=B·A b) A–B B–A c) m(A x B) = (m A) x B d) Ax B = B xA e) Todas se cumplen.