Problemas Resueltos de Interes Compuesto

PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERES COMPUESTO1. a) b) c) d) ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de: 30% anual capitalizable mensualmente? 16% anual capitalizable trimestralmente? 2% trimestral? 15% anual? SOLUCIONES SOLUCION Para conocer la tasa de interés por periodo se divide la tasa anual entre la frecuencia de conversión: a) 30% anual capitalizable mensualmente Tasa anual = 30% Frecuencia de conversión = 12 i= tasa de interès anual 0.30 = = 0.025 frecuencia de conversiòn 12 i = 2.50% mensual b) 16% anual capitalizable trimestralmente Tasa anual = 16% Frecuencia de conversión = 4 i= tasa de interès anual 0.16 = = 0.04 frecuencia de conversiòn 4 i = 4% trimestral c) 2% trimestral periodo = trimestre Tasa anual = 2% x 4 = 8% Frecuencia de conversión = 4 i= tasa de interès anual 0.08 = = 0.02 frecuencia de conversiòn 4 i = 2% trimestral d) 15% anual Tasa anual = 15% Frecuencia de conversión = 1 i= tasa de interès anual 0.15 = = 0.15 frecuencia de conversiòn 1 i = 15% anual 5. Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valores que paga 15% anual convertible mensualmente: a) Al cabo de un año b) Al cabo de dos años SOLUCION Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto: DATOS C = $50 000.00 j = 15% m = 12 La tasa de interés compuesto para cada inciso es: i= j 15% = = 1.25% _ mensual = 0.0125 _ mensual m 12 El número de periodos “n” depende del plazo, y se obtiene multiplicando el número de años por ñla frecuencia de conversión. a) Al cabo de un año n = 1(12) = 12 meses M = C (1 + i ) n 12 M = 50 ,000 (1 + 0.0125 .) M = 50 ,000 (1.025 ) M = 50 ,000 (1.160754518 12 ) M = $58,037.73 b) Al cabo de dos años n = 2(12) = 24 meses M = C (1 + i ) n 24 M = 50 ,000 (1 + 0.0125 .) M = 50 ,000 (1.0125 ) M = 50 ,000 (1.34735105 12 ) M = $67,367.55 9. Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300 000 si se reembolsa al año capital e interés y la tasa aplicada es de 0.24 anual convertible trimestralmente? DATOS C=$300 000.00 (cantidad prestada por el banco) Tasa nominal anual = 0.24 = 24% Plazo = 1 año Periodo de capitalización = trimestre Frecuencia de conversión = 4 (un año tiene 4 trimestres) M=? SOLUCION tasa nominal anual frecuencia de conversión 0.24 i= = 6% trimestral 4 i= n = ( frecuencia de conversión )( plazo en años ) n = 4(1) = 4 trimestres M = C (1 +i ) n 4 M = 300 ,000 (1 + 0.06 ) 4 M = 300 ,000 (1.06 ) M = 300 ,000 (1.26247696 ) (dinero que se le debe pagar al banco) M = $378,743.09 26. ¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de $250 000 en un plazo de 2 años, y la tasa de interés es de 9% convertible mensualmente? DATOS C = ? (La cantidad que se debe depositar es un valor actual) M = $250 000 (La cantidad a acumular es valor futuro) Plazo = 2 años j = 9% m = 12 SOLUCION Entonces, se busca el valor actual a interés compuesto conociendo el monto. n = 2(12) = 24 meses j 9% = m 12 i = 0.75% = 0.0075 i= y tiene vencimiento en 18 meses? DATOS C = ? (La cantidad que recibe en préstamo es un valor actual) M = $650 000 (valor nominal del documento o valor futuro) Plazo = 18 meses j = 18% m=4 SOLUCION Entonces.8358314 ) −24 ) −24 ) C = $208 957.C = M (1 + i ) −n C = 250000 (1 + 0.76789574 ) .045 ) −6 C = 499 132. se busca el valor actual a interés compuesto conociendo el monto.85 (Cantidad a depositar para acumular $250 000.229881 C = 650 000 ( 0.0075 C = 208 957.00 en dos años) 27.0075 C = 250000 (1.045 ) −6 C = 650 000 (1.50 % = 0.85 C = 250000 ( 0. ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18% convertible trimestralmente.45 i= C = M (1 + i ) −n C = 650 000 (1 + 0. j 18% = m 4 i = 4. j 12% = m 12 i = % = 0. Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagaré que incluye intereses a razón de 3% trimestral. ¿Qué cantidad puede obtenerse por él si se descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de interés de 12% convertible mensualmente? DATOS M = $50 000 (valor futuro de la deuda o del pagaré) i = 3% trimestral (Tasa de interés por periodo de la deuda) plazo = 1 año (Tiempo en que se pagará la deuda) plazo = 4 meses (tiempo transcurrido desde que se documentó la deuda) plazo = 12 – 4 = 8 meses (plazo que se anticipa el pago) j = 12% m = 12 SOLUCION Se busca el valor actual considerando el descuento y transcurridos 4 meses después de que se firmó el pagaré.23 es la cantidad que se recibe en préstamo 30.92348322 2 ) C = 46174.1611 24 . y que será pagadero al cabo de un año.01 i= n = 8 meses C = M (1 + i ) −n C = 50 000 (1 + 0.C = $499 132.01 ) −8 C = 50 000 ( 0. Por la venta de una casa.628894627 M = 228045 .05 )10 M = 140000 (1.25 (valor del pagaré cuando venza) .16 (Cantidad que se puede obtener si se descuenta) 34.2477 ) M = $228 045. es decir. ¿Qué cantidad recibirá la empresa si al cabo de un año descuenta el documento en su banco y éste le cobra 16% de interés anual? SOLUCION El pagaré produce intereses.C = $46 174. por lo que es necesario calcular el valor del mismo en la fecha de su vencimiento. se debe calcular el monto con los siguientes: DATOS C = $140 000 (importe de la venta de la casa a valor actual) Plazo = 5 años (tiempo en que vencerá el pagaré) j = 10% m=2 M = ? (valor nominal del pagaré) M = C (1 + i ) n M = 140000 (1 + 0. una compañía inmobiliaria recibe un pagaré por $140 000 con vencimiento a 5 años que devenga intereses a razón de 10% anual convertible semestralmente. 36 (valor que recibe la empresa un año después) 39.25 (1 + 0.3615 C = 228045 .25 Plazo = 4 años j = 16% m=1 C=? C = 228045 . la condición es que 18 meses después será el doble de esa cantidad. Con estos datos se calcula la tasa de interés con la que se duplica: C=C M = 2C n = 18 meses n=? . Una inversión duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de interés.552291097 ) C = $125 947. ¿En cuánto tiempo se duplica? SOLUCION La inversión inicial puede ser cualquier cantidad.Con este valor futuro se calcula su valor actual con las condiciones del descuento que aplica el banco: M = 228 045.25 ( 0.16 )−4 C =125947 . 4 por año) SOLUCION . se tiene: i =n i = 18 M −1 C 2C −1 C −1 i = 18 2 −1 =1. DATOS C = $100 000 (la cantidad depositada es el capital) M = $208 862 (la cantidad que ahora tiene es el valor futuro de su depósito) plazo = 3 años y 9 meses j=? m = 4 (la frecuencia de conversión es trimestral.aplicando la fórmula de la tasa de interés compuesto. y desea saber cuál es la tasa de interés que ha ganado si la capitalización es trimestral. tenemos: M −1 C i =n Sustituyendo los datos. Actualmente tiene $208 862.03925922 6 A esta tasa se duplica el capital 44. Pablo Pérez depositó $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 años y 9 meses.039259226 i = 0. o sea. que se despeja de la fórmula del monto a interés compuesto: M = C(1 + i ) n Despejando. 15 efectiva trimestral n = 10 años M = 20. Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con Capitalización trimestral. para disponer de 20..Se busca la tasa de interés por periodo y luego la tasa nominal: n = 15 trimestres trimestres i =n i = 15 M −1 C (3 años x 4) + 9/3 = 12 + 3 = 15 208862 −1 = i = 15 2.s)2/2 42 .c. capitalizable Trimestralmente? (1+ 0. n =tiempo 1.000 C =? C = 20.03% trimestral (tasa por periodo) FORMULAS DE INTERÉS COMPUESTO: M = C (1 + i)n C = M (1 + i)-n M = monto o también llamado VF.000 (1+ 0.586. i = 0.¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%.08862 −1 100000 i = 1.000 al cabo de 10 años.15)-10(4) 4 C =4.75 Respuesta 2.050325627 −1 = 0. i = tasa.08)4/2 = (1 + n. C = capital..050325627 i = 5. .000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral. C = 120. para que se conviertan en $10.¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.500.512 años Respuesta 6.51% Respuesta 5.06) 4 M =1..0808 _ 8.024 /2 n = 6..000(1 + 0.000=6. o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente? M =2 C=1 2=1(1+ i) 10 i = 7.0451 _4.08)-3 . 12.¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años. a un precio que le produzca el 8% efectivo anual.Una inversionista ofreció comprar un pagará de $120.08)n n = 13.000 (1+ 0.000 (1 +i )10 2 i =0.-Hallar la tasa nominal convertible semestralmente. a la cual $10.17% sociedad maderera -------------M = 1(1+0.i =0.000 se convierten en $12.8140 no duplico Respuesta es más conveniente la sociedad maderera 7. en 5 años.500 = 10.000 sin interés que vence dentro de 3 años.08% Respuesta 3. calcular el precio ofrecido.000? 10. C = 95.000(1 + 0. a la tasa del 5% de interés.87 Respuesta Hallar el VF a interés compuesto de $20. i = 0.000 en 10 años.19 convertible mensualmente Resp. Problemas de Interés Compuesto Formulas de Interés Compuesto: M = C (1 + i)n C = M (1 + i)-n M = monto o también llamado VF.05) 10 = 32.000(1 + 0. 4.000 al cabo de 10 años.75 Respuesta . convertible mensualmente.15)-10(4) 4 C =4.940. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%. VF = 20. a.000 (1+ 0.89 Respuesta VF = 20.05) 120 = 32.577. n =tiempo Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral.259.15 efectiva trimestral n = 10 años M = 20.586.000 C =? C = 20. i = tasa. C = capital. para dispones de 20. 000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral.000(1 + 0.08% Respuesta Hallar la tasa nominal convertible semestralmente.000 depositados al 8%.024 /2 n = 6.000 (1+ 0.500 = 10. VF = 20.000=6.500.08)4/2 = (1 + n.300.s)2/2 42 i =0.000 (1 +i )10 2 i =0. o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente? M =2 C=1 . capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses.0808 è 8.08)n n = 13.000? 10. para que se conviertan en $10.512 años Respuesta ¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años.c.52 Respuesta ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%.0451 è 4. 12. a la cual $10.000 se convierten en $12. capitalizable trimestralmente? (1+ 0.51% Respuesta ¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6. en 5 años.08) 10 (4/12) = 44.Hallar el valor futuro de $20. 000(1 + 0.259. (1 + i )n -1] =Valor futuro i . a la tasa del 5% de interés.19 convertible mensualmente Resp. 12 5. convertible mensualmente.2=1(1+ i) 10 i = 7.940. Problemas de Anualidades Vencidas Formulas de Anualidades Vencidas F = A [&uml. a un precio que le produzca el 8% efectivo anual.17% sociedad maderera -------------M = 1(1+0.577.8140 no duplico Respuesta es más conveniente la sociedad maderera Una inversionista ofreció comprar un pagará de $120.05) 120 = 32.000 en 10 años. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%.89 Respuesta VF = 20.06) 4 M =1.000(1 + 0. VF = 20. C = 120. calcular el precio ofrecido.87 Respuesta Hallar el VF a interés compuesto de $20.05) 10 = 32.000(1 + 0.08)-3 C = 95.000 sin interés que vence dentro de 3 años. 395. 0067)40 -1] =9.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%.000[¨ 1 – (1+ 0. n = tiempo Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias.P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ]=Valor presente i F = Valor futuro. capitalizable anualmente.34 valor presente 0.50 valor futuro 0. 04)-17 ]=24.073 P = 4.331.04 (b) $4.35 valor futuro 0. al 8% con capitalización mensual.3%.0067 P = 200[¨ 1 – (1+ 0.81 valor presente 0. capitalizable semestralmente.000[¨ (1 + 0. F = 4.000[¨ 1 – (1+ 0.0067 .000 anuales durante 6 años al 7.07 valor futuro 0. (a) $2.133. 04)17 -1] =47.073 (c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses. 073)-6 ]=18. F = 2.000[¨ (1 + 0.830. 073)6 -1] =28. 0067)-40 ]=7.001.85 valor presente 0.04 P = 2. A = anualidad.890. F = 200[¨ (1 + 0. 09/12=0.17 Respuesta.983.000 = 48.500.128.44 41.775.08 + 1.0075 P = 1.000[¨ 1 – (1+ 0.08 0.0075 2.78 Respuesta .292.000 de contado. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14. utilizar el 9% con capitalización mensual.836.01)-31=1. $1.33 + 1.01 P = 1.12/12=0.000 de cuota inicial.01 2.0075)-31=1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2.292.Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 = 57.836. 0075)-30 ]=26.500 un mes después de pagada la última mensualidad. 01)-30]=41.500(1+0.09 + 20.758. $1. i =0.500(1+0.983. Para el cálculo.09 26.44 + 14.775. si se carga el 12% con capitalización mensual? n=30 meses i =0.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.600[¨ 1 – (1+ 0.33 0. 420. aumento sus consignaciones a $3.000.162.500 en una cuenta que abona el 8%. un señor depositó $1.8 694.000.03 Respuesta En el momento de nacer su hija. 23 53. incluidas las utilidades. Encontrar el valor presente.114.4.19 respuesta.23 + 13420.08)-10 = 694.000[¨ 1 – (1+ 0. Al cumplir 12 años.Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.000.19 * 0.953. 0.80 = 14.680.500. Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de $1’500. P = 8. si el rendimiento del dinero es del 8%.000(1 + 0. Hallar el valor presente de la producción.08 En el ejercicio 5.651. dicha cantidad la consigna cada cumpleaños.162. .680.000 y se estima que se agotará en 10 años. 1.25 =13. si estas representan el 25% de la producción.651. 08)-10 ]=53.790.790. 08)11 -1] =24.968.09 Respuesta.500(1 + 0.41 0.08 24.1] =Valor futuro i .08 1.553. Problemas de Anualidades Anticipadas Formulas de Anualidades Anticipadas F = A [¨ (1 + i )n + 1 -1 . capitalizable mensualmente. 0. 005)240 -1] =46.791. 0.791.968.23(1 + 0. Calcular su saldo en la cuenta.16 + 26.08)18= 5994.08)7 =42.41 + 5994.02 = 75.768.005 6.500 [¨ (1 + 0.204.768.005 tasa mensual F = 100[¨ (1 + 0. al cabo de 20 años.F = 1.06 /12 =0.23 0.000[¨ (1 + 0.02 42.16 F = 3. 08)7 -1] =26.60 Respuesta Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés. 04 .494.464.04 )-4]= 231.000 de contado y $50.000 de contado.76 0.000.494.000 semestrales. (b) $190.01 Una persona recibe tres ofertas parea la compra de su propiedad: (a) $400. al finalizar el cuarto año. si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente. durante 2 ½ años (c) $20.P = A [¨1 + 1 – (1+ i )-n + 1]=Valor presente i F = Valor futuro.000 = 421.000 [¨1 + 1 – (1+ 0. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual? Oferta b P = 50.01 )-180 + 1]= 252.000 [¨1 + 1 – (1+ 0. n = tiempo Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo. A = anualidad.64 0.000 mensuales por mes anticipado.76 + 190. P = 3. con pagos de $3.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250. Oferta c P =20.46 215.0075 )-179]= 49.736.46 = 399.757.42 Respuesta. convertible mensualmente? P =500 [¨1 + 1 – (1+ 0.000(1 +0.02 )-11]= 215. si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo? .757.000 y con una vida útil de 5 años.494. ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes.736. en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $2.02 25.666.000 [¨1 + 1 – (1+ 0.42 Respuesta = Oferta b es la más conveniente.96 + 183.000.08)-4 = 183. durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%. 0.0075 ¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año.96 0. 1] 0.08 n = 76.85 Respuesta.000 = 1’800.08 )n + 1 -1 .000 al final de cada año.1] 0.000 = 300 [¨ (1 + 0.2’000.000 1´800.000 2’000.000 .06 )6 -1 .0075 A = 634.06 A = 301.479 meses . Sustituir una serie de pagos de $8.17 Respuesta.239. por el equivalente en pagos mensuales anticipados.10= 200. convertible mensualmente.000? 0. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.0075 )13 -1 .0067 12 30. 8. Un empleado consigna $300 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8%. con un interés del 9% convertible mensualmente.000 = A [¨ (1 + 0.000 * 0.08 = 0.000 = A [¨ (1 + 0.1] 0.200. 542.43 Respuesta En el problema anterior.08)-6 = 12.85 20. hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse.400. los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. hállese el valor de utilidad que espera obtener. Problemas de Anualidades Diferidas Formulas para anualidades diferidas Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas salvo que estas tienen un periodo de gracia.945.08)-15 ] 0.1] 0. Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. VP = 2. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2.748.000 [1 .85 (1 + 0.(1 + 0. en el momento de la adquisición de los yacimientos.7.400.542.416 Respuesta.516.08 VP = 20. VF = 2.503. suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación.08)15 .000.08 VF = 6.400. Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral.000 y ese rendimiento se .748. La producción anual se estima en $400.000 [(1 + 0. con la primera obligación por pagar dentro de 2 años.500.500 [ 1 + 1.000 (1 + 0.000 en un banco. si el banco abona el 6% convertible mensualmente? VF = 100.06)-20 ] 0.(1 + 0.67 = 2.90 Alguien deposita $100.000 c/u. VP = 400. con la intención de que dentro de 10 años se pague. .005)-n +1 ] 0.939. debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de $20.005 n = 90.(1 + 0.13 Respuesta = 7 años 7meses Una deuda contraída al 8% nominal.06)-5 = 3428396.67 181939.mantendrá por espacio de 20 años. a principio de cada mes.06 VP = 4587968. una renta de $2. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la producción.000 [1 .005)120 = 181. pagándose la primera de inmediato. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta. Sustituirla por una obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales.487 (1 + 0. a él o a sus herederos. 7136 0. cuyo primer pago se hará dentro de 6 meses.(1 + 0. A = anualidad.04 119. i = interés Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5.707. con tasa nominal del 12% convertible mensualmente . CC = costo capitalizado.204.02)-23] 0.04)-4 = 119.(1 + 0. Problemas de Rentas Perpetuas Formulas de Rentas Perpetuas P=A i P=A+A i CC= Co + Com i P = perpetuidad.707.71 = A [1 + 1 . Co = costo inicial.02 A = 6.04)-7 ] (1+0.000.20.000 [1 + 1 .97 Respuesta anualidades trimestrales 8. 29 P =76.1] 0.576. 6% convertible mensualmente.000 0.000 = A [(1 + 0. suponiendo un interés de: a. 6% convertible semestralmente 156.1] 0.000 por año vencido.01)-5 = 475.732.36 .P =5. 156. Hallar el valor actual de una renta de $156.000 = A [(1 + 0.847.35 Respuesta 0.06 b.000 = 2’561.005)12 .646.03 A = 76.03)2 .847.84 Respuesta.000(1 + 0.005 A = 12.03 c.01 M =500.000=500.576.35 Respuesta 0. 6% efectivo 156.29=2’561. 1] 0. Si el costo inicial de $200. Calcular con la tasa del 6%.36=2’529.92 = 886.000 = 700. con la tasa efectiva del 6%. hallar el valor de la donación.92 P = 53.000 y el mantenimiento se estima en $35. Hallar el valor del fondo. la junta vecinal decide establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras.000 Respuesta 0. P = 200. con el mismo costo.07 Para mantener en buen estado las carreteras vecinales.61 Respuesta 0.646.000 = A [(1 + 0. al final de los cuales debe remplazarse. si la tasa efectiva es del 7%.06 Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.272.218.000 y tiene una vida útil de 12 años.000 anuales. que se estiman en $300.982 Respuesta 0. .005 Los exalumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro.06)5 .000 cada 5 años.218.06 A = 53. 300.000 + 35.P =12. 800. la segunda oferta es de $510.000 + 40. suponiendo un valor de salvamento igual al 15% del costo original.62 CC = 800.37 0.000 = A [(1 + 0.000 680. calcular el costo capitalizado.06 CC = 1’471.62 0.38 CC = 800.06 A = 47.06)12 . ambas de igual rendimiento.1] 0.000 + 47421.000 por maquinas que tienen una vida útil de 10 años.1] 0.33 Respuesta Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo de máquina.421.06)12 . 800.000 = A [(1 + 0.000 * 0. Si el precio del dinero es el 6% efectivo.806. En el problema anterior.06 A = 40.308.06 CC = 1’590.39 Respuesta.308. La primer oferta es por $380.15 =120.360. ¿qué oferta es más conveniente? .000 y las maquinas tiene una vida útil de 7 años. 66 CC = 510.06 CC = 1’134.355.000 = A [(1 + 0.65 Respuesta Respuesta = El CC de la primera oferta en menor en 20.271.86 9.521. Problemas de Amortización Formulas para anualidades diferidas F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro i .78 Respuesta Segunda Oferta 510.66 0.000 + 38.30 CC = 380.06 A = 38692.000 + 45.06)7 .000 = A [(1 + 0.Primera oferta 380.06)10 .1] 0.1] 0.271.06 CC = 1’154.692.30 0.06 A = 45.877. con interés del 12% capitalizable semestralmente. (1+0. A = anualidad. y elaborar el cuadro de amortización para los dos primeros meses.19 Respuesta Una deuda de $100. Una deuda de $20. (1+0.(1 + 0. Hallar el saldo insoluto.000 = A [ 1 . n = tiempo Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas.0064)-12 ] 0. Hallar el valor de estos.029 A = 7.1 ] 0. 1.029)-9 .244.(1 + 0.737.244.12)2/4 = (1 +et)4/4 100.000= A [ 1 .029 .03 Anualidad Para encontrar el valor del noveno pago F = 7.P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ] =Valor presente i F = Valor futuro.03 [ (1 + 0.000 debe cancelarse con pagos trimestrales vencidos en 18 cuotas. a la tasa efectiva del 8%.0064 A = 1.029)-18 ] 0.m)12/12 i = 6.08)1/12 = (1+ e. al efectuar el noveno pago.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos.43 *10-3 20. 95 Respuesta Saldo insoluto al noveno pago.05)-5 .31 -170.256.00 M = 100. $100.000 (1 + 0. comprador + 84.83 ¿Con cuantos pagos semestrales iguales y vencidos de $9.17 = 300.05 F = 170.000.462.269.31 Derecho del Vendedor 255.36 F = 30.540 si se carga una tasa anual de 34% convertible mensualmente? .95 = 56.13 = 84.462.000 = 200.000 – 100.00 + 129. pagaderos así.000 D comprador = 215.000 = A [ 1 .944.F = 73.029)9 = 129.05 A = 30.36 [ (1 + 0.979.979.269.000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente.05)-8 ] 0.95 73.987.944.17 D.000 (1 + 0.987.730. al efectuarse el quinto pago 300.500 se pagaría la adquisición de un terreno que cuesta $29.(1 + 0.1 ] 0.256. Una propiedad se vende en $300.000 200.517.05)5 = 255.13 M = 200. Hallar los derechos del vendedor y del comprador. 75 con interés al 39% convertible mensualmente.1825) -0.000 y se vende con un enganche de 45% y el resto a pagar en mensualidades vencidas de $1.4325 = .838 = -n (0.254. Enganche 21.1825 ln 0.600 Quedan 26.1676) n = 5 pagos semestrales Respuesta Determine el número de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra a crédito de un automóvil que cuesta $48.Conversión de la tasa (1 +0.n ln(1.400 .1825)-n ] 0.1825 29.500 [ 1 .(1 + 0.) 12 Interés semestral = 0.34)6 = (1 +i.540 = 9.s. 0325 26.06 – i 0.0502 i = 0.39 12 i = 0.05 = 0.69 = 1 – (1 + i)-3 i Interpolación 0.06 – i 2.06 – 0. Problemas de Fondo de Amortización Formulas para anualidades diferidas .0325)-n ] 0.i = 0.05661 i = 5.(1 + 0.75 [ 1 .66 % Respuesta 10.7232 2.69 0.00017 = 0.6730 – 2.400 = 1254.6730 – 2.0325 n = 36 mensualidades Respuesta Una aspiradora se vende en $499 al contado o mediante 4 pagos mensuales anticipados de $135 ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que se paga al adquirir ese aparato a crédito? 499 = 135 [1 + 1 – (1 + i)-3 i 2. 000 5.03 Fecha Periodo Cuota Interés Valor agregado al fondo 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 5.000 5.85 1.319.150 15.04 38.26 6.795. n = tiempo Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas.03 2 F = 5. Hallar el valor acumulado en 5 años y elaborar el cuadro del fondo.304.454.333.000 5. 1.000 5.39 Saldo .463.000 5.970.5 20.85 6.54 5.523.67 32.31 44.319.149.13 26.000 5.26 1.000 5.39 0.54 796.5 5.000 0 0 150 304.63 5.461.150 5. A = anualidad.06 = 0.37 5.545.000 10.5 463. Se establece un fondo de $5.000 semestrales que abona el 6% capitalizable semestralmente.796.03 )10 -1] =57.63 627.36 1.627.312.000 5.86 0 5.000 [¨ (1 + 0.86 0 5.000 5.36 6.F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro P = A [¨ 1 – (1+ i )-n] =Valor presente i F = Valor futuro.68 50.523.342.37 970.333.918. 0.000 5.53 57.149. 191.06 M = 29234.71 Primeros dos años F = 14.1] 6. Hallar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo 80.185.191. cuyo valor es de $10.07)3 = 35. se establecen reservas anuales en un fondo que abona el 6%. ¿Qué deposito mensual debe hacer en una cuenta de ahorros que abona el 8%.07)3 .04 44.71 [¨ (1 + 0.622 * 10-3 10.Un artesano necesita remplazar cada 5 años todas sus herramientas. .000 = A [(1 + 6.11 Los 3 últimos años.622 * 10-3)2 .814.07 A = 13.1] 0.92 (1+ 0.000 a 5 años plazos.06 A = 14.06)5 .92 0.95 = A [(1 + 0. capitalizable trimestralmente? (1 + 0.000 = A [(1 + 0. transcurridos dos años eleva sus intereses al 7%.744.000.m)12/12 4 Tasa efectiva mensual = 6.1] 0.28 Respuesta Para cancelar una deuda de $80.08)4/12= (1 + e.06)2 -1] = 29.622 * 10-3 A = 136.234. 744.48 61.000 dentro de 12 meses por una deuda con anterioridad. ¿Qué depósitos anuales debe hacer en un fondo que abona el 6% y que egreso anual tendrá el municipio hasta el pago de la deuda? 2.000 Un municipio emite obligaciones a 10 años de plazo por $2.71 14.078.92 depósitos anuales 151.07)25 -1] 0.000.000.38 80. Si para pagarla se decide constituir un fondo mediante depósitos bimestrales vencidos ¿cuál sería el importante de los mismos si se colocan en un instrumento de inversión que rinde el 26% convertible mensualmente? .11 13.735.89 18.92 45.61 0 14.921.07 A = 1.895.71 13.44 3.744.92 Respuesta total egreso anual Hallar la reserva anual en un fondo que paga el 7% de interés.06)10 -1] 0.000 2.046.000 que devengan el 8% de interés.49 0 14. para cancelar en 25 años una deuda de $100.518.71 29.05 depósitos anuales Se deben pagar $29.06 A = 151.21 15.000 = A [¨ (1 + 0. 100.56 16.025.78 4.000.151.191.11 0 0 851.08 = 160.71 15.191.000 = 311735.191.735.234.000 * 0.Fecha Periodo Cuota Interés Valor agregado al fondo Saldo 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 0 14.502 2.043.000.191.000 = A [¨ (1 + 0.92 + 160.334.790.744.11 13. 0266 5.04380)6 -1] 0.1] 0.04380 29.000 = A [¨ (1 + 0.(1 + 0.32 12 i = 0. (1 + 0.027)12/24 = (1 +e.4922 Respuesta.0266 A = 997.04380 A = 4330.0134 .000 contratada hoy y que debe pagarse en 3 meses con interés al 12% trimestral capitalizable mensualmente si se decide constituir un fondo mediante depósitos quincenales vencidos en una cuenta de inversiones que rinde el 2.400 que vence dentro de 5 meses se va a construir un fondo mediante depósitos mensuales anticipados. bimestral)6/6 12 i = 0. Haga una tabla que muestre la forma en que amortizaría una deuda de $15. hallar su importe.0266)6 -1 .7% mensual efectivo. Si los depósitos se colocan en un fondo de inversiones que rinde el 32% anual convertible mensualmente.)24/24 Efectiva quincenal = 0. i = 0. Para pagar una deuda de $5.400= A [¨ (1 + 0.26)12/6 = (1 + i. q.32 Respuesta. 719.34 2.89 =A [¨ (1 + 0.0134 A = 2719.098.87 148.719.0% mensual .14 13.34 2.792.868.92 11.966.34 5.0134)6 -1] 0.34 2.89 que vence exactamente dentro de 8 meses? 8.76 2.82 187.719.872.42 110. Cuanto se habrá acumulado al final del año? Valor presente : $1.888.719.906.28 0 2.872.29 Respuesta Si se invierte en el día de hoy la suma de $1.32 16.719.000 Tiempo: n: Tasa: Valor futuro: ? Un año 12 meses 1.16.34 2.96 = A [¨ (1 + 0.63 0 2.4% convertible mensualmente con el objeto de amortizar una deuda de $8.22 2.02375)9 -1 .96 Saldo ¿Cuál debe ser el importe de cada uno de 8 depósitos mensuales anticipados que se colocan en un fondo de inversión que rinde el 28.34677 Respuesta. Fecha Periodo Cuota Interés Valor agregado al fondo 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 0 2.719.719.830.888.755.46 73.17 2.02375 A = 998.34 2.34 0 0 36.16 8267.34 2.1] 0.719.475.000 a una tasa de interés del 1% mensual.81 2. Los intereses de cada periodo se calculan con base en el capital acumulado resultado de la sumatoria del capital inicial y los intereses causados..000(1+0.000(1+0.000(1+0.10 Vf = 1. despejando Vp: Vp = Vf(1+i)^-n Ejemplo 4.1) .10) + 1. Vf = 1..000(1+0.126. Vf = P + I Vf = P + P*i Vf = P(1+i) .83 Valor presente: si Vf = P(1+i)^n .000 + 1.010)^12 = $1..2) (4. En el período uno (1) el resultado VF es igual al del interés simple calculado en el modulo anterior.010 Vf = 1..01)^2 ..000*0.2 (4.01) En el segundo período n = 2 Vf = P(1+i) +P(1+i)*i Vf = P(1+i) (1+i) = P(1+i)^2 En el período enésimo: Vf = P(1+i)^n En el ejemplo 4.1 Vf = 1... ... .010 Vf = 1..000(1+0. Vf = 1.10)*0.000+ 10 = 1. . 500.000.017. y al final de la operación financiera se ha acumulado un monto equivalente a $ 2.Cuanto se debería invertir hoy para poder retirar la suma de $ 1. a una tasa pactada del 2.1 Vf = P(1+i)^n se despeja n que es la expresión del tiempo por medio de períodos de capitalización.010. en este caso mensual.961.95*(1+0.95 i = 1.500.015)^-18 P = $ 1. Ln(F/P) = n*Ln(1+i) n = Ln(F/P)/Ln(1+i) (4.5% mensual n = 18 meses.961.010.961.3) .¿ Cuanto tiempo duró la operación? Solución: Tomado la formula : 4. si la tasa de interés es de 1.23 . es decir.3 Si se invierte la suma de $1.5% bimestral. P = $1.95 dentro de año y medio. P=? Nótese que si la tasa de interés es mensual. los períodos deben coincidir.333.000 Calculo del tiempo en función del Valor presente. del valor futuro y la tasa. Ejemplo 4.010. el tiempo de año y medio se debe reexpresar en términos del período que cubre la tasa de interés.5% de interés mensual? F = $1. 024692612859 n = 11.P = $1.500.500. .9999998.000 i = 2. entonces los períodos capitalizables son bimestrales.¿ Cual es la tasa de interés bimestral implícita? P = $1.5% bimestral F = $2.017.500. tiempo = 12* 2 = 24 meses = 2 años.017.333.333.23/$1.29631134793/0.017. es decir: n = dos años = 24 meses = 12 bimestres.23 n = 12 Solución: La tasa de interés a calcular es bimestral. aproximadamente n = 12 períodos bimestrales.23 .000 i = ? F = $2. Ejemplo 4.333. valor futuro y el tiempo.4 Si se invierte la suma de $1.000 y al transcurrir dos años se ha acumulado un monto equivalente a $ 2.23 n =? n = Ln ($2.017. Calculo de la tasa de interés en función del valor presente.025) n = 0.500.000)/Ln(1+.333. 1 Vf = P(1+i)^n F/P = (1+i)^n [(F/P)^(1/n)]-1 = i (4.n es el número de bimestres que hay en dos años.500.000)^(1/12)]-1 i = [(1.5% bimestral.333.4) i = [(2.23/$1.025 i = 2.0249999997 Aproximadamente 0.017.34488882)^(1/12)]-1 i = 0. De la Formula 4. .