,MISCELANEA Jean Trujillo Doyle Problemas Resuel liD PROBLEMA .. Asomb - a '[ 5' -126./3] Encontrar el área sombreada • 1• 1 Al a 2 (21f._ ./3)/4 llfl PROBLEMA El hexágono regular inscrito en la circunferencia tiene como apotema "a". Calcula r e l área de la sombreada~....iIi.~---, región B) a 2 (n - 2./3)13 C) a 2 {5lt - sJ 3 )112 D) a 2 (./3 - 11)/4 E) a 2(3./3 + 11)/5 RESOLUCiÓN : 2.' - 3./31 Al -(, 3 C) a 2(}!" - 3,/3) 2a 2 r.: El T (lf - 3 v3) RESOLUCiÓN : Asomb = Aw + A.b Asomb = ~ - ~ ... (1) =~ - 6 A II equilaterQ =nr2 6r 2 .[3 ; como r =2al,[3 4 Entonces : A ~b A~, JJ ._,---12 3 2 rra 2 na 2 a2 A$OITlb = Asomb (732.]'[ 2.' (21l =""3 1! - -3./3' 2-, ) PROBLEMA I!! Perímetro de la región sombreada:: AP + AP En la fi gura, ASCO es un cuadrado . Determine la razó n entre el perímetro de la parte sombreada y el lado del cuadrado. = 4 + '::' x4 • 3 = 4 + 4Jt :: 4(3 ¡ Tt) B A 1'-----,. 3 T , ~1 e PROBLEMA 3 liI:'I Para hallar el perímetro de la figura: , a , b , a , D a , el 3 Bl 2 Al 1 El 6 Dl 4 RESOLUCiÓN : Perímetro parte sombreada = 2(AB + Be) :: 2{2x) :: 4x 4, Razón=- : 4 , 1. 10 b 1, a e , Necesito conocer "a" 11. Necesito conocer "b" PROBLEMA 111. Necesito conocer "e" mi Hallar el períme tro de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 4 cm . Al Sólo I Bl Sólo 11 D) Sólo I y 11 El NA el Sólo I y 111 RESOLUCiÓN: p En el gráfico notamos que siendo a+b+a=10=c, entonces tenemos información suficiente. No se necesita mas información. PROBLEMA A "----------' D Al 2(1r + 3) B)4(J!'+3) e) 2(3 + r.: )f3 O) (3 + :r)/3 llIll Hallar el área ~~ o~ m:b~,e~a~d~a~.~::=;CC,..-, El 4(3 + Jr )/3 RESOLUCiÓN: A====~ 18=====D~~~L-- PR01ll.8 m El 8. Hallar la longulud "L" de la escalera. otro cateto 2 7 m: Dado el sistema de coordenadas.60 2 _ 6m 81(2-%) PROBLEMA I!lll ¿Que parte del área lolal representa el área sombreada? RESOLUCiÓN: Para obtener el area sombreada restamos del area del triángulo rectángulo (BAO). B) 1/5 1/3 O) 2/7 El 2/5 RESOLUCiÓN: De la fig.2 + 3.6 m.~) BI O) 42[2 .8 m.EMAS RBSUlILT'O$ • . halle el área de la región sombreada. Al = 56a y Asomb Paso: 0. RESOLUCiÓN: de 3. si juntamos los contrapasos.40 m PROBLEMA B) Sm O) 4. 18 2 2 18 71 ¡ Areasomb=T . = 16 a 16a 56a Contrapaso: 0. el área de un 1/8 de circulo con radio 18.4 m C) 6 m Si juntamos lodos los pasos tendremos un cateto ::le 4 .80. Al 27 [2 + ~) el 71 [2+~) El 92 [2 .-B-' = 8\2 - PROBLEMA n) 2 Al lIiil La escalera mostrada tiene 12 peldaños.30 m Al4m C)1f7 3 .~) Por Pilágoras: L = J4. 1)..c A$OIllD = AAB + A OE +A SCO + A BOE = '1((1)2 +'1( 1)2 + 2 AGE x BA => 72m3 .5 E) 22 . "b" m y "c" m. C(4.-. ---.8h· 5 -5.) A) Jt-2 D) 1f B) + 17.-4) l -1 -4 16 4 A=-3 8:::25 . B(2 .=> b .5 RESOLU CiÓN: B (1. 6).5+10=17.5 C) 1f -3.8) O ~--22=::3I:= lE "Rotando" convenientemen te el sólido para una mejor vIsión del problema Nólese que PF = DE = BA '" CG = DE C(2.-4) C) 360 m 3 RESOLUCiÓN: 3 A) 31.5 B) 32. A (·5.5 E) 29 C) 33. 0(7 . 1) 3 Operando · 2 6be 72=-3.5+ '1( Volumen del paralelepípedo PROBLEMA lIil = 12" b·c= 12 " 36= 432 m l a siguiente figura es un para leleplpedo rectángular de dimensiones 12 m. 3).5.-_ 3 5 x 3 +~x 2 2 (2) 3 A(2 .2.")J. 3). Si hay una pirámide cuya ba se es la zona sombreada y con vértice en el punto "P" tienen volumen del paraleplpedo es : A) 216 m3 3 D) 432 m B) 288 m 3 3 E) 576 m ID PROBLEMA Calcular el area dellriángulo sombreado. c = 36 = '1( +7 .5 + 211" = altura de la pirámide BA = c Volumen de la pirámide = área de la base x altura • RESOLUCiÓN: 12 x b -.5 Ir +5. E(7 .5 O) 44. Luego : 1 ~33 ./15 .. (1) PROBLEMA P 1 = figura izquierda P2 = figura derecha P1 = 2 (511 + u: Hallar el área sombreada siendo P. Pf = 12n + rcJ5+2n.. MP = !!.251 Ssomb = 58 = 29 2 2 lI:l PROBLEMA Determine el perim~tro de la figura.. DI 4 (21"t- L' ~(n .At = 80 3 MN = 11/5 => PN =!!... /5 . el triángulo es equilátero de I %J15)= Ji5 + %Ji5) rc/5 P2 = 2(%/5 10 lt + lt lt + = + 21"t + 1"t. .. A) 40 BI 80 D) 60 E) 90 e) 100 RESOLUCiÓN: A) 12 lf B) 22 lt C) 12lt + /iSlt D) lf(12+/5 + 2/iS) E) Del gráfico : lt(6 + /5 + 2/iS) A somb = 2(a + b) RESOLUCiÓN: 2 Como : A somb =../15 B) - PROBLEMA e Hallar el área~ la Erte sombreada. Si MN = lI/5 cm. Además./31 12 . si el área total es 20 y CE = 2AE ./15 2 2 Perimetro total = P 1 + P2 . Q Y R puntos medios. seis cajas cada una de ancho "a" y altura "h". semicircunferencias (una circunferencia) más 1/4 de ci rcunferencía . En la fig. el recorridoAC es igual a: a/ 2 '" D) 25:tu 2 Bl El e . e PROBLEMA . hallar el área del círculo. La zona sombreada podria plantearse de la forma mostrada: A)6h+3a B)5h+3a el D) 3h+3a 6h + 2a E) F. D.--) RESOLUCiÓN : Dl PROBLEMA En la figura mostrada. ¿cual es el largo tata) de la linea gruesa en términos de "a" y "h'". Dl 20 lt RESOLUCiÓN : AS =)(9 _ 6)2 + (12 _8)2 AIJJ '" lt (5)2 ". S. RESOLUCiÓN: El recorrido estará dado poc do. 6h+3a. En total se recorre "2a"' horizontalmente (en cada lado "a").12) Las circunferencias del gráfico tienen un radio de 10 m.. RESOLUCiÓN : En total se recorre 6h (3h en cada lado de subida y bajada). A{6. 8) Y 8(9. 25lt E PROBLEMA Y '" J25 '" 5 Bl El 25. En el nivel superior "a" horizontalmente. O Al 9 ltU 2 C) 16 ltu 2 36ltu 2 Al 19. C) 70" 30. Su 2 AN 10 El radio del circulo pequeño será: ..[3 ::) AD =39 -2 1 13 BC = -...íC =2.::::> PQ = 5 - As...~IE A) . sabiendo que "O" es cenlro del circulo mayor.. (11) = 56 ""9 En (11) : (PO PM)2 ..~2~6~<3~3:. 51t(10) 2 = 25./14/3 u 2 M /3 u2 Asomb o:A e _A e RESOLUCiÓN : Asomb=1'!R2-1I~ .NO) (R_4)2=R(R_S) R2 _8R+1S=R 2 _SR::) IS=2R 8=R 13M 2 o: . PQ"QR 2 PROBLEMA 3 ffHl' f! 13 2 -- MO :: AO "ON . R x (00 .¡R + JlR -= 5ñR 2 2 PROBLEMA lIi =:.T AD Sabiendo que Be .. - 3 - .39 = 13 ..3 El área sombreada será- o A) 29¡r2 Bl3S¡r2 D) 46 1(2 El 49 1(2 C) 391(2 RESOLUCiÓN : e 30' =:~Ai'~~. NO"./13/3 u2 2 C) 13/14/9 u E) D) 2./1312 u2 Bl 14. 8 y AN = AO+ON =8+2 Además ' MP = 4u .omb .u 9 lE También Enlonces ' Hallar el área de la región sombreada... (1) AE = L = 26. - -- 3 PQ 1 BC .::::> BQ = QR = RC . AO = OO ... 43 u 2 RESOLUCiÓN: ABC = 900. el área sombreada es : 11 + pe = '3x 18 + 11: (18) 1l 150)( 1800 )( 18 ./3) u2 C) (21[ - . l '"' 2 ::::) Be ='!:J3 ::::) Be z J3 2 b = ~ _ A~ = lI r2 A _ bh =lt . Cl=30o.fi . hallar el perimetre de la región sombreada . si el perimetre del cuadrado ABCO es 16 J2 unidades .!2 . M Y D son centros. A. a "../3)12 u .= S " !uegor =5 2 2 . RESOLUCiÓN : PROBLEMA E --PSomb = BP + -Be- En la figura. PROBLEMA 4. 61t + l8n: + 151t Psomb = 39 n: PROBLEMA E Si el perimetre del cuadrado es 24 m.---1 D PROBLEMA es ASCO un paralelogramo./ 2) . $i:a=300. A8 = lu . BAC = 60"./3 _ las y sus radios miden 18 cm.. Hallar el area de la reg ión sombreada. En (1) : RESOLUCiÓN : El perimetre es : 4a = 16. ~:./3)u2 O) (2. 11)U 2 E) ('1f. semicircunferencias son congruentes A) (11 - 2 B) (lt .::::.) AN 10 c .J3 222 2 10m AB = ~ Al l8n Bl 211( O) 43 1t El 561t C) 39 1( Hallar el perrmetro de la región sombreada. L= JI Perímetro región 50mb = 22( If ) + 24 PROBLEMA o Por simetría: =---=.·'._wt·:·ii. calcular el perimetro de la reglón sombreada = (las curvas son semicircunferencias) 3 =27tm ..¡.(9) .. J Al 211"m Bl D) 6ifm El 8J1"m C) 5 Km 3Jrm Al 20 JI" + 24 Bl 2111" + 24 C) 22 Jr+24 D) 23 Jf '" 24 RESOLUCiÓN : E) 24 JC+24 A.- OM : ON : -. 20 = 38 Jt Jr . BO = L = -(6) = 6 1l .. RESOLUCiÓN : Ar-__ - . MN = -(6m) 6 = llm P IOlal PROBLEMA = 57tm El Si el lado del cuadrado ASCD mide 12 cm.. (6m) m Si el perimetro del penlagono ASeDE es 40 cm y R 9 cm.._________-..islamos un sector Circular y con trazos auxiliares con l =6cm..-__ .lit. calcular el perimetro de la región sombreada A) 291!cm Bl 4911"cm D) 19lrcm El14lrcm el 38 ITcm RESOLUCiÓN : Perimetro _ = 40 => L=8 Perimetro región sombreada = 2 "..íh¡..8 . 52 2m 2.... l'. •• 2 1~=-. Si : AB + BC = 2(AC) = 28cm El costo será : 200 >C 10 = S2000 PROBLEMA El Del gráfico ' ASCO es un cuadrado.. 84 2 2 2 r(28) = 84-H = 6 2 ~ => 75=84 =:> S= 12 . calcular el costo de la alfombra. r7Yl .... calcular: · 5)(" = = B) 14 cm 2 2 E) 80 cm A) 10 cm 2 O) 12 cm 2 RESOLUCiÓN : 2x AC = 28 => AC :: 14 ABxr + BC x r = 84 ==> r(AB+BC) .-:11=~I A) $1 000 B) $1600 O) $2000 El $2400 10 = 200 SK = 10 m PROBLEMA El área de la alfombra estará dado por: >C 5 K +A= 10 +A C) $1800 RESOLUCIÓ N: (1 1 + 9 ~ D (propiedad) En la figura se muestra al triángulo ABC cu ya área es 84 cm 2. Además: PC CO 5 1 = 8m 2.. f p Propiedad $.•••. 10 9 • A . si el metro cuadrado de alfombra cues ta 10 dólares. calcular el área de la región no sombreada.m PROBLEMA RESOLUCiÓN : Se desea alfombrar la escalera Que se mueslra en la figura (la escalera consta de 20 escalones).. ¿Cuál de las siguientes expresiones representan la superficie del paralelogramo? AABCO = 3ah:= 12 ~ ah = 4 . AB = 8 u . 11) 24a(a + bl2) 11 1) 18a(a + b) • A) B) 11 D) 1.::: el área sombreada es: (20 -%1f)uZ E) (%1f -10)u2 RESOLUCiÓN : Por "inspección·' de la figura tenemos que : A!KKT1b .-A • ..A _¡ .. 11 E) 1. 4 [ A. 20 . (1) 2 RESOLUCiÓN : 232 2 3 2 A!KKT1b = 5(2) --1'1:(1) ". ¿qué porcentaje del área total es el área sombreada? ASCD = cuadrado.PROBLEMA El 1) 12a(a + 2b) En la figura..A . (1) Además : AS omD = AAMND .:::. .AAOD 6a 1: A somb " (a+3a)h 2 ..111 C) 111 RESOLUCiÓN : Sparalelogramo = (3a)(4a) + (6b)(4a) = 12a(a + 2b) PROBLEMA Enla y BM C) m I área del paralelogramo es 12m2 .J+ IA .-11 PROBLEMA m I\BCD es un paralelogramo que se ha dividido en 2 rectángulos como indica la figura.. (1) 2 3 e SA .~. ABC es equilátero de lado "L': A A) .:: x2 + 2 X2 4 4 RESOLUCiÓN: PROBLEMA lEE El rectángu lo ABCD se ha formado con 5 cuadrados iguales. 3./3)/6 . 75~ e .. si AB BC X2 (AC es 1/4 de circunferencia).RR 60 360 _ AD = 30 m. (1) = "::"x 2 + x 2 + x 2 =.Asomb = 2ah .12/4 Asomb = 2(4) . e • E1l PROBLEMA Encontrar el área sombreada. si el l!.'(¡+1] ( ( R' 2. I~i . Si : 2 0 . E) "(2+¡J e) A) L2(fr+2)/4 2 C) L (2Jr E) Lfi B) L2(r.(1) 4 RL2 L2J3 18 12 RESOLUCiÓN: PROBLEMA ES Hallar el perímetro de la figura ABC./3)/3 D) (LJ3+Ir)/2 x 2 2 +- D) " (2 ~.3 = Sm .] RESOLUCiÓN : Perim Ir 2 =Ac + BC +AB . 2 B) x 1 _ _ R' 2.. el área sombreada será: R2J3 . ABCO es un cuadrado cuyo lado mide 4 cm SI . 1 _ 3u2 2 2 4. 4 .2x 1./3 PROBLEMA S~. ABS y BHC son Calcular el area de la región sombreada luego Asombleada =' 6"15 -2- m PROBLEMA En la figura.... J3 u2 RESOLUCiÓN : De la figura AH 2 Asomb 4 4 =!:iD =HS = OS ..EF 15 30 75 I'iEF M -lI ADM~. OEFG = cuadrado RESOLUCiÓN: O) 1I3u 2 E) ./3 cm 2 m Hallar el perimetro de la reglón sombreada.- => EF=6 m PROBLEMA La figura ABCO es un cuadrado y los triángulos • equilateros Si AH = 4 cm. hallar el area de la región sombreada sIendo ABC un triangulo Isósceles. 2 . ".e. SlI"-S... ABCDE y F son vértices de un 2.J3 1 A5Omb=A AOP-{A ANM+Ab:::::. BC .J3 hexágono regular de lado 12 cm. DE y AF .¡.mtn"M- ) Perímelro = 611"r = 611"(6) = 3611" • E PROBLEMA Calcular el área de la superficie sombreada ON=NA=2J3m. A somb = SJl-6J3 4 . Sí AB. CD..!3 -3l1" ." D) (SIf.6 J3 )m 2 2 2 RESOLUCiÓN: PROBLEMA TAr--- En la figura . (cm) 2. Son diámetros..It ZP2Wi.ONP es notable (30 0 y 60°) QP = 2(ON) :::> NP = S A 50mb'" A) 30 tr B) 32l1" Dl 36 tr E) 37 lI"600 (4.13 )m E) (SII"_SJ3)m . Hallar el tN~ perímetro de la regíón sombreada. A) 16cm B) 32cm C) 1611"cm D) 32 Ifcm E) 16(1I"+1)cm RESOLUCiÓN : Perímelrode la regíón somb.PNO) b:::::..6 3600 2 Cl 3411" tr RESOLUC iÓ N: La región sombreada está limitada por seis semicircunferencias... A somb ".WP¿I.13 . = S ~r + 2(2Jlr) + 16 =4I1" r +4I1"r+ 16 = 8l1"(2) + 16 =16{1I"+1) B) A) (211"- C) (4 11"-3.13)2 2. ~. se tendrá la posición final.8 8 OAM = 45° y OA = QM Asegmento.¡""". c' PROBLEMA EII Calcular el área de la región sombreada. o el área del ser. AED = C)N6 360 o •• "~J'¡_ (1) ~(II) r e O -Be 11 Be. si el triángulo ABe es equilátero y los 3 arcos son igu al e~ .2) Al A14 Bl Ai5 DI Af7 El Al8 RESOLUCiÓN : Con siderando que el desplazamiento del triángulo es paralelo a los lados del rectángulo..~"ángulo ACM A.. _ __ . pQ S'C' a . al A -.. (111) 2 . Si el triangulo ~mbreado se desplaza hasta que "M" ocupe el centro del rectángulo de área "A".A segmenlo AB A 45n(2) 2 4. I B Al !! Bl +2 C) .AM = A sedor AOM ._ . RESOLUCiÓ N: A {x) = A ¡ector AED ...2 (11"+2)/4 O) 2(11" + 2) El4( 1f. :-'-= 2 :. Asomb .oÁM = n( 1)' 4 (11 ) Y (111) en (1) : _ ~ .T ._... (a/2)(U2) Para el segmento CIrcular AM ... hallar el area sombreada.PROBLEMA PROBLEMA Si eltado del cuadrado mide 2 rn.. 2(6 .) D) 2(5-18.[2 -9.0] .[2>' 2 2 J3 "" Asomb = 2 36.-9 .RESOLUCiÓN: D) 311"m 2 El 4 11" m 2 RESOLUCiÓN: B Asomb = 12I+1S1 .1'1' .) El 18(4.3..[2 -9.4 ~ PMa A 4-13 M Asomb = 2 [O .[2)2]_ 4(6 . ¿El PROBLEMA lE Hallar el área sombreada de la lúnula de radio "R" . área de la región sombreada esrá? A) 2(5-18.[2 -9.4~PMa Por ser "O" baricentro del AABC : Se cumple OAG A 30° Entonces como AM = 2 ~O M =2[62 _ .2-2] .(3.) B) 2(10-9./2 -2-.) e) 2(10-8.3012) = 2 yOA= 4 Además OA somb [ =OB =4 ::::>4+ x=5::::>x =1 ::::> A = II" m PROBLEMA 2 lE La figuraABCO es un cuadrado de lado 6m.1'1') A) R 2 2 Dl R + 4 RESOLUCiÓN: al R212 El3R 2 .[2 . /2/2 = 2./2 OG = OF = EGI2 = 4 ./2 x 2.·.-:-_ _----: .A llfOG • . mostradaA8CO es un cuadrado de lado " L". si ABCD es un cuadrado de lado 6m./2 '" 6 A 2 OFxOG óFOG '" Pero : 2 2 = En (1) : A 1 2 Apedida = 4A(1) =8m 2 PROBLEMA PROBLEMA El Hallar el area sombreada./212= 3. RESOLUCiÓN : D) 10m 2 E) 12m 2 RESOLUCiÓN: A.."""'---~c _L. y EFGH es un cuadrado de lado4m nl En la fig . hallar el area sombreada./2 A óBOG = OB x OG "" 3.• (11) OB= BD/2 =6. hl ~ A50mb --+ 2 2 . Apedlda = 4A(D '" (1) ACI) = A llBOG . Asomb = E PROBLEMA L Calcular el área d~ la región sombreada. 3 Ir 3 = -frr 3 2 4 4 Simplificando : r = - Ir PROBLEMA Entonces : AB = 211 AC = 2n. En ellriángulo OBe: "G" es baricentro . Radio de la circunferencia = 1 u. hallar AC Al J3 14 u2 8) O) ./2 E El área de la parte sombreada corresponde al desarrollo de: .[2 D) 2.[2 K Bl J2 /2 E) K Ir C) Ir 12 RESOLUCiÓN : En el b::::.f5 12 u2 El J3 13 u2 J2 15 u2 C) J2 13 u 2 RESOLUCiÓN : A) . E PROBLEMA Si el area sombreada es: '¡n 3 u2 Además. 2 En el b:::::.. OPB (30 0 Y 60°) : 08 ". CM '" M5 '" AÑ . GAG (30 0 Y 60°) : OC = 2 Luego el triángulo OBe: equilátero.NO. (11) En (11) : Rx+ 2y= 2 2 _21f De Iy 11 Ssomb =4x Asomb :::(a+b+ c)z_ (A . -OB =-4DB =_2.Y.~)U 2 El (. ::::r----~-1--0 --j j 1-.1+ Y./2 . (1) SOMN = X. Al (./2 ./2 .OLUCIÓN: .l.1. Luego: 2X+2Y ".fia~ .lu' Dl 2(.1- llI: PROBLEMA la figuraABCD es un cuadrado de lado 2u. +Az +Al) = (a + b + C)2 _ a2 _ bz_c z PROBLEMA lIIi :. ( a~r .Ji ./2 ./2 MB 2 2 Al (a+b +C)z_(a _ b+C)2 Bl (a _ b+c)2_ a z _ b2 _ c 2 C) (a+b _ c) z _a z_ bz_ cz D) a2 + b2 + el_ (a + b _ c)z El {a+b+c)z_ az _b z _ c 2 RESOLUCiÓN : SAMN=2./2 . calcular el area de la zona sombreada."./3 a 2 Bl El --j .1 .. v .lu' Al 3i1¡{ Dl 4.lu' C) 4 (2. ~) En la figura. (1_~r . hallar el área de la regi ón sombreada. a2 _ .1- rz}U Z Bl 2(./ial{ na/{ el . .. S$OI'1lb = 2Z( 2./2 ..~~~===~=~==~~=~R:E:S. y=3+---l.. = 3 con 2 En la figura . RESOLUCiÓN: El punto es : C(5 .2--= 4. 3) respectivamente.14 = O Cálculo de "C" ..'" 1:0 BOC = 45° 3 RESOLUCiÓN: T9 AÓC "" B . y=x . Al 3-./3 9 .4y+ 6)( .4 u2 2 RESOLUCiÓN : De la figura: . lE PROBLEMA En la figura las coordenadas de los puntos A y B son (3 . -.. el área de la parte rayada será .) 3=x-2 :o x=5./3) El NA x=2 Al 2U Bl 312 - C) 5.= Los puntos B y A son respectivamente ' el y'l . 3) Y A(2 .5 u E) 12u J3 J3 u2 D) 312 (3 - .5 ./3) m PROBLEMA Hallar el área de la región sombreada formada por las rectas.2.A~ACO 3>13 3 x . V es el vértice de la parábola P B(2./3 2 2 2 . )( = 2: y= 3. .3. 3 • Tg BOC '" ./3 u2 el 1/3+ D) 6u 2 2 2 B) 4. 3) - A -'- Be '" 3 : BA Enlonces 3 u2 3x3 A_ somb='~ABC= .¡ ~ AÓC 30° Area rayada =Ac::::"BOC . y (3 . O) Interseclando y PROBLEMA " y= le - 2 Calcular el área de la región sombreada. . el área de la región rectángular sombreada es 128 u 2 Hallar la ecuación de la parábola P de foco F y jlrectriz al eje x.4} 2 P :X = 4(4)(y_ 4) x2 -16y+64=O PROBLEMA m Hallar el área de la reglón sombreada que se muestra en la figura y En la figura.16y+ 48=O i + 18y-64=O RESOLUCiÓN: 3 y RESOLUCiÓN: p ly-2}=-6I'-3} ~A¡.14y + 42=O O) i ../2 u2 E) ?.fi 14p} 12p} = 128 p=4 VIO..fi u2 A) 2 2 C) 5/2 u' El B) x2 . p·(-2)3=~(a_3) a=713 Be P (b-2)2=~(-3) ~ b=2+3.A) x2 _ 16y +64=0 Cl x2 -12y+60=O ~Ii u2 B) !. ...fi u2 O) 7. ¿Cuál es el área total del paquete (cm 2)? D) 4u 2 E) 5u 2 RESOLUCiÓN : A) 800 B) 500 D) 600 E) 100 C) 400 RESOLUCiÓN : Sea: "r = Longitud del paquete 81 +20= 100 ::) 81 =80 ::!> l =10 Punto : V=(O. A = (2. a. B ~ a-8= .-- ~ x=2 Para el punto B 4.--. 4) - 2. Si en el nudo se han u!llizado 20 cm. de dicha cin ta.4 '" - ~ 2JX = 2x . O)e a2 0 = 2x . 1 = --.2 i ::::) x=46x=1 (x . 2~ pendiente a2 es m 2 ". es: y = 2JX .8=0.4 . "2(OB)(AC) = 20 u2 m PROBLEMA Calcular el área de la región sombreada PROBLEMA liD En la figura se muestra un paquete cúbico que ha sido envuelto con una cin ta de 1m de longitud.0) RESOLUCiÓN : Como la pendiente de Si y=O::> O~ a =8 .0 .) A) 18u 2 2 D) 21 u C) 20u 2 Bl 24u 2 2 E) 40u m. 4 2 BP = 4 ::::) Asomb " ' .O) es decir x=4 ::> y= 4 x+2y .".1) • 2 ComoC(a ..(. =(4 .4 ::::> JX = x. O) Para el punto A : Área = 6(10)2 :: 600 cm 2 . 0 .- Luego: A .. Y = 2x-4 Yla ecuación de a2 es Y . para mejor presentación dibujamos más pequeñas las láminas ...= n +12n =13ncm PROBLEMA 2 Illll Hallar el perímetro de la región sombreada.bc 1 B) 13 ncm 2 El 16Jtcm 2 e) 14ncnl 2 RESOLUCiÓN: Esbozamos un gráfico.C») = a 2 _( ab + a2 _ ~c . (1) 1 21tr aZ+ ac-bc 1 2m Como n = .=:> L = 671: 3 Luego : ASecc = 6Jt x2:: 12 TI (pues 2 = diámetro) RESOLUCiÓN: ASomt> "..(A bABP + AtECE) =az_(a2b + (a .. Al a2 + ac .ac 2 aZ+ ac . si los 8 circulas son iguales de radio 5.=:> 3 '" .bc 2 2 PROBLEMA D) 15rrcm 2 En(I) : A..bc 2 BI 2 el El a +cb-b 2 DI a 2 + ab . ADAsco .m PROBLEMA A) 12ncm La figura es un cuadrado. m Una lámina circular de 1cm de radio se desplaza tangencialmente sobre una superficie recta. ¿cuál es el área de la región generada por la lámina? A) 60n D) 90n Bl 70n El 40n C) 80lt RESOLUCiÓN: Perimetro de la región sombreada =8x2n =8x2n(5l= n . Si la rueda da 3 vueltas. calcular el área de la región sombreada . como muestra la figura. Luego el área de la región generada (A~ será : Ar o:: A o + 3 ASeco6n .b~a .ab +bC) 2a 2 _ a 2 + ac _ bc a 2 + ac .
Report "Problemas Resueltos-De-De Areas Sombreadas"