Corriente alterna - 31CORRIENTE ALTERNA 1. a) Una corriente continua ¿pasa a través de un condensador? ¿Y a través de una bobina? b) Una corriente alterna ¿pasa a través de un condensador? ¿Y a través de una bobina? La intensidad a través de un condensador es: I ' en la que: VC XC f C = = = = VC XC ' 2 π f C VC diferencia de potencial entre placas del condensador. reactancia capacitiva. frecuencia de la corriente. capacidad del condensador. De esta expresión se deduce que cuanto mayor sea la frecuencia de la corriente mayor será la intensidad de la corriente a través del condensador. Como el período T de una corriente continua es infinito (por no cambiar de sentido) su frecuencia (f = 1/T) es nula. En consecuencia, una corriente continua no pasa por un condensador y una corriente alterna lo hará tanto más fácilmente cuanto mayor sea su frecuencia. La intensidad a través de una bobina es: I ' en la que: VL XL f L = = = = VL XL ' VL 2 π f L diferencia de potencial entre los extremos de la bobina. reactancia inductiva. frecuencia de la corriente. coeficiente de autoindución de la bobina. De esta expresión se deduce que cuanto mayor sea la frecuencia de la corriente menor será la intensidad de la corriente a través de la bobina. Como la frecuencia de una corriente continua es nula, ésta pasa sin dificultad alguna por una bobina (ideal), mientras que una corriente alterna lo hará tanto más fácilmente cuanto menor sea su frecuencia. Corriente alterna - 32 2. Una bobina de coeficiente L = 0,14 H y resistencia 12 Ω se conecta a un generador de 110 V eficaces y 25 Hz. Calcular: a) El factor de potencia. b) La pérdida de potencia en la bobina. a. Cálculo del factor de potencia. El factor de potencia es el coseno del desfase δ: cos δ ' VR g ' I R R ' ' I Z Z ' 12 R 2 % XL2 12 cos δ ' 12 122 % (Lω)2 cosδ ' 0,48 144 % (0,14.2.π.25)2 Y δ ' 61,4º b. Cálculo de la pérdida de potencia en la bobina. Una bobina ideal, sin resistencia óhmica, no disipa energía. La potencia disipada por una bobina con una cierta resistencia óhmica es debida exclusivamente a su propia resistencia R y según la ley de Joule es: P ' I 2 R ' I 2 12 por lo que es preciso calcular la intensidad. I ' g ' Z 110 R % 2 ' XL2 110 12 % (Lω) 2 2 ' 110 144 % (0,14.2.π.25) 2 ' 4,4 A quedando la potencia: Otra forma de resolver el problema. P ' 4,42.12 ' 232,3 W La energía disipada en el circuito (en este caso debida exclusivamente a la resistencia interna de la bobina), ha de ser igual a la suministrada por el generador: Pdisipada en bobina ' Psuministrada por generador ' g I cosδ ' 110 . 4,4 . 0,48 ' 232,3 W Corriente alterna - 33 3. Se conecta una bobina a un generador de corriente alterna de fuerza electromotriz eficaz 100 V y frecuencia 60 Hz. A esta frecuencia la bobina tiene una impedancia de 10 Ω y una reactancia de 8 Ω. Calcular: a) El valor de la corriente y su desfase respecto a la fuerza electromotriz. b) La capacidad del condensador que habría que añadir en serie para que estuvieran en fase la corriente y la fuerza electromotriz. c) El voltaje medido en el condensador en este caso. Recordemos que una bobina no ideal puede considerarse como una autoinducción más una resistencia en serie (fig. 1). a.1. Cálculo de la intensidad. I ' ge Z ' 100 ' 10 A 10 fig. 1 a.2. Cálculo del desfase. En la fig. 2: tg δ ' VL VR ' I XL I R ' XL R en la que XL = 8 Ω pero se desconoce el valor de la resistencia R de la bobina, que pasamos a calcular: Z ' R 2 % XL2 quedando el desfase: Y R ' Z 2 & XL2 ' 102 & 82 ' 6 Ω tg δ ' XL R ' 8 ' 1,33 6 Y δ ' 53,13º fig. 2 estando la f.e.m. g adelantada respecto de la intensidad. b. Cálculo de la capacidad del condensador. Si δ = 0 el circuito está en resonancia y, en estas condiciones, es XL = XC por lo que: e X C ' XL ' 8 ' C ' 1 Cω L 1 1 ' ' 3,32.10 &4 F ' 332 µ F 8.2πf 16.π.60 fig. 3 c. Cálculo de la d.d.p. en el condensador. Por estar el circuito en resonancia, la impedancia total es ahora Z 2 = R = 6 Ω y la d.d.p. en el condensador: VC ' I2 XC ' I2 XL ' 8 I2 ' 8 ge Z2 ' 8 100 ' 133,3 V 6 Cálculo de la d. de una resistencia de 44 Ω .80) & 1 ' 0 L ' 7. La impedancia en un circuito serie RCL es de 10 Ω cuando la frecuencia es 80 Hz y únicamente de 8 Ω en condiciones de resonancia. de un condensador de reactancia 30 Ω y de una bobina de reactancia 90 Ω y resistencia 36 Ω .10&6 7.π. siendo la frecuencia. ' 400 44 % 36 ' 320 W 100 P ' Ie R L ' 22 .π.60) 2 ' 7. Cálculo de la potencia disipada en la bobina. C y L.58.Corriente alterna . calcular los valores de R.10&4 F ' 258 µ F 2 7. V C ' I XC ' 2 .58.d. 44 ' 88 V VL ' I Z L ' 2 2 2 RL % X L ' 2 362 % 902 ' 193. Z ' ( R % R L) 2 % ( X L& X C ) 2 ' Ie ' ge Z ' (44 % 36)2 % (90 & 30)2 ' 100 Ω 200 ' 2 A 100 .04. Cálculo de la intensidad de la corriente. Cálculo de la potencia suministrada por el generador.10&6 (2. en esas condiciones. a.10&6 Z1 ' 10 ' 1 Cω1 2 R 2 % (X L & X C)2 ' 2 82 % Lω1 & 1 Cω1 2 100 ' 64 % Lω1 & Y LCω1 & 6Cω1 & 1 ' 0 Y 7. 30 ' 60 V b.π.p.80)2 & 6C (2.9 V R % RL Z 2 c. P ' I ege cos δ ' 2 .04.34 4. Determinar: a) La intensidad de la corriente. VR ' I R ' 2 .04. d.04.027 H ' 27 mH C 2.10&6 ' ' 0. condensador y bobina).04. c) la potencia suministrada por el generador. 200 . b) la d. d) La potencia disipada en la bobina.p.d.10&6ω1 & 6Cω1 & 1 ' 0 Y C ' 2. En resonancia las reactancias inductiva y capacitiva son iguales (X L = X C) y por ello la impedancia del circuito es igual a la resistencia óhmica: Z0 ' R ' 8 Ω XL ' X C Y Lω0 ' 1 Cω0 Y LC ' 1 2 ω0 ' 1 (2. 36 ' 144 W . Un circuito RCL serie consta de un generador de fuerza electromotriz eficaz 200 V y frecuencia 60 Hz. 60 Hz. en cada elemento. en cada elemento (resistencia.10&4 5. 0. . cos δ ' cos δ ' V R % VRB g ' IR % IRB I Z Y ' R % RB Z L RB R RB R 80 % 15. . VC = 150 V a) Calcular la resistencia del resistor y la capacidad del condensador. . .d. . c) Dibujar el diagrama de fasores del circuito y calcular el desfase entre la intensidad y el voltaje del generador.86 ' 378. . una bobina no ideal y un condensador se disponen en serie con un generador de 220 V eficaces y 50 Hz. .1.50) b. 2 . . (2) 12100 ' (80 % RB)2 % (X L & 75)2 XL ω y resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) se llega a la solución: R B ' 15.063 H 2. . .π. Cálculo de la potencia disipada en el circuito. XC ' VC I ' 150 1 ' 75 Ω ' 2 C ω Y C ' 1 1 ' ' 4. . . Cálculo de la capacidad del condensador. la impedancia total del circuito es: . . .86 Ω ' Lω Y L ' ' 19. Cálculo de la resistencia del resistor: R ' ' a.86 110 δ ' 30.86 ' 0. Como la potencia disipada es igual a la suministrada por el generador: C P ' g I cos δ ' 220 . . . .35 6. . . . . Diagrama de fasores y cálculo del desfase. . . . Un resistor. d) Calcular la potencia disipada en el circuito. . .4 W .1º L C d.18 ' 0. .p.24. . .Corriente alterna . (1) Z ' g 220 ' ' 110 Ω ' I 2 (R % R B)2 % (XL & X C)2 ' (80 % RB)2 % (X L & 75)2 . . en la bobina (incluída su resistencia RB) es: V B ' I ZB ' I R B2 % XL2 Y R B2 % XL2 ' VB I ' 50 ' 25 2 RB2 % X L2 ' 625 Por otra parte. . VR I 160 ' 80 Ω 2 a. .18 Ω y XL ' 19. .50 c. . . . . VR = 160 V . . . . .2. . Cálculo del coeficiente de autoinducción y la resistencia de la bobina. .10&5 F 75 ω 75 (2. Se mide la intensidad de la corriente y el voltaje en los tres elementos resultando (valores eficaces): I = 2. . La d. . . . . . .0 A .π. VB = 50 V . . . . b) Calcular el coeficiente de autoinducción y la resistencia de la bobina. . 9º R P ' ge Ie cos δ ' 100 . Calcular: a) la intensidad que circula por el circuito.1 .e. c) el desfase y la potencia media que suministra el generador. Cálculo de la intensidad. instantánea g del generador viene dada por la expresión: g ' g0 cos ωt y de su comparación con el dato que ofrece la figura se deduce que: g0 ' 141 V y ω ' 800 rad/s por lo que la f. 800 & ' 80 & 50 ' 30 Ω Cω 25. Aplicando la ley de Ohm entre los puntos A y B: siendo ZAB la impedancia entre los puntos A y B.d. 2 .8 ' 160 W .e.Corriente alterna . eficaz entre los puntos A y B es V AB = 60 V. a. 0.800 60 ' 2 A 30 Ie ' b. Aplicando la ley de Ohm a todo el circuito: Z ' ge Ie ' 100 ' 50 Ω ' R 2 % (XL & X C)2 2 R ' 502 & (XL & X C)2 ' 502 & (80 & 50)2 ' 40 Ω c. Cálculo del desfase y la potencia. L C cos δ ' VR g ' IR R 40 ' ' ' 0. eficaz es: ge ' g0 2 ' 141 2 ' 100 V Por otra parte.m.p. La f. Cálculo de la resistencia R. recordemos que los instrumentos de medida proporcionan valores eficaces por lo que la d.10&6.m. El voltímetro de la figura señala 60 V.8 IZ Z 50 Y δ ' 36.36 7. que pasamos a calcular: Ie ' V AB ZAB ' 60 Z AB Z AB ' (XL & X C)2 ' XL & X C ' Lω & quedando la intensidad: 1 1 ' 0. b) el valor de la resistencia R. La autoinducción puede variarse en el intervalo entre 10 mH y 50 mH insertando en la bobina un núcleo de hierro.37 8. Cálculo de la autoinducción. máxima de 200 V y una frecuencia angular de 2. Cálculo de la corriente máxima.035 H ' 35 mH 602 % 2500 L & c. Hallar: a) La corriente máxima si el voltaje en el condensador no puede exceder de 150 V. c) La potencia suministrada por el generador al circuito en las condiciones del apartado b). 60 ' 243.85 A y aplicando la ley de Ohm a todo el circuito se obtiene el valor de la autoinducción L que hace posible esta intensidad: I0 ' g0 R 2 % (XL & XC)2 200 ' R2 % g0 Lω & 1 Cω 2 2.85 1 1 I0g0 cos δ ' 2. La resistencia es de 60 Ω y la capacidad es de 8.86 Z g0/I0 200/2. 0.Corriente alterna .0 µF.10 .85. a. b) El valor de la autoinducción para que la corriente máxima sea un 5% inferior a la calculada en el apartado anterior. 8.85 ' Y 1 8.7 W 2 2 También se puede calcular la potencia a partir del factor de potencia: cosδ ' P ' Iege cos δ ' R 60 60 ' ' ' 0. Aplicando la ley de Ohm al condensador: I0 ' V0C XC ' 150 ' 150 Cω ' 150 .e.86 ' 243. 2500 &6 2 L ' 0. 3 ' 2. Cálculo de la potencia suministrada por el generador. 2500 ' 3 A 1/Cω b. El enunciado requiere que la intensidad máxima sea un 5% inferior al calculado por lo que la nueva intensidad máxima es: I0 ' 0. En un circuito serie LCR el generador tiene una f.95 I0 ' 0. Por tratarse de un circuito en serie la intensidad es la misma en cada elemento.95 . La potencia suministrada por el generador ha de ser igual a la disipada por la resistencia ya que condensador y bobina no disipan energía: P ' Ie R ' 2 1 2 1 I0 R ' 2.852.10&6 .7 W 2 2 .500 rad/s.m. 200. si están adelantadas o retrasadas respecto de la intensidad. Cálculo de la frecuencia angular del generador. Como el circuito está en resonancia.97 I ZRC Z RC 103. Calcular: a) la frecuencia angular del generador.5 .38 9. b) V1 y V2 (valores eficaces).5 .1 V ' V2 c. V1 es la suma fasorial de la d. en la resistencia y en el condensador: V2 ' VR % VC ' 2 2 Ie R 2 % Ie XC ' Ie 2 2 2 R 2 % XC 2 . Cálculo del desfase de V1 y V2 . en la resistencia y en la bobina: V1 ' VR % VL ' 2 2 Ie R 2 % Ie XL ' Ie 2 2 2 R 2 % XL 2 .d. (1) V2 es la suma fasorial de la d.10 -4 F 1 = 100 V a.97 I Z RL ZRL 103.d.5 H R = 100 Ω C = 8.p.Corriente alterna . Del diagrama de fasores de la figura se deduce que: cos δ1 ' VR V1 VR V2 ' I R R 100 ' ' ' 0.1 Y δ1 ' 14º δ1 ' 14º (V1 adelantada) cos δ2 ' ' Y (V2 retrasada) . 8. de la comparación de ambas expresiones se deduce que XL = XC por lo que el circuito está en resonancia: X L ' X C Y Lω ' 1 Y ω ' Cω 1 ' LC 1 0. 50)2 ' 103.1 I R R 100 ' ' ' 0. c) el desfase de V1 y V2 respecto de la intensidad indicando. 2 L = 0.10 &4 ' 50 rad s b. . en su caso. . En el circuito RLC de la figura las lecturas de los voltímetros V1 y V2 son iguales. su impedancia total es Z = R y la intensidad: Ie ' ge Z ' ge R ' 100 ' 1 A 100 e introduciendo este valor en cualquiera de las expresiones (1) y (2): V1 ' Ie R 2 % XL ' 1 2 1002 % (Lω)2 ' 104 % (0. (2) y como según el enunciado es V1 = V2 .p. Cálculo de V1 y V2 (valores eficaces). 314 2 2 ' 0. La diferencia de potencial entre los puntos a y c del circuito de la figura es de 429. (2) y puesto que la intensidad es la misma en todos los elementos. . . . . a.3 1002 % 1 (10&5ω)2 . Calcular: a) la frecuencia de la corriente. . .3 R % 2 2 XC ' 225. Cálculo de la frecuencia de la corriente.39 10. .e. . . .m. . 314 2 ' 220 V .68 R 2 % (XL& XC)2 ' 0. eficaz del generador. . Vac Z ac ' 2 429. .7 R % 2 2 XL ' 429. (1) y aplicándola a la combinación formada por la resistencia y el condensador: I ' Vbd Z bd ' 225.Corriente alterna .3 V. al igualar las expresiones (1) y (2) se obtiene una ecuación bicuadrada que ofrece la solución: ω = 314 rad/s = 2 π f b.e. . . .68 A Aplicando la ley de Ohm a todo en circuito: ge ' IeZ ' 0. Cálculo de la f. 314 & 1 10&5. . Sustituyendo el valor de ω en la (1) o en la (2): 6 f = 50 Hz I ' c. . . .7 100 % 2 . .68 1002 % 2 .7 V y entre los puntos b y d de 225. .7 1002 % 22ω2 . . . c) la f.m. .68 1002 % Lω & 1 Cω 2 ge ' 0. . b) la intensidad eficaz. eficaz. Cálculo de la intensidad eficaz. . . . . Aplicando la ley de Ohm a la combinación formada por la bobina y la resistencia: I ' Vac Z ac ' 429. . . . . . . está retrasada es porque VC es mayor que VL. estando la f. Un circuito RCL en serie tiene una impedancia de 50 Ω y un factor de potencia de 0. . (2) cos δ1 ' ' I R R ' IZ Z Y R ' Z cos δ1 ' 50 . ha de colocarse en serie una bobina.m. . . . para conocer la reactancia inductiva final X' L es preciso calcular XC: Z ' y como: R 2 % (XL & XC)2 VR g Y XL& XC ' Z2 & R2 ' 502 & R 2 . .6 cuando la frecuencia es de 60 Hz. . . según la ley de Ohm (VL = I.40 11. a) Si se desea aumentar su factor de potencia.e. En conclusión. siendo su coeficiente de autoinducción: Lω ' 40 Y L ' 40 40 ' ' 0. . que llamaremos X' L. Cálculo del coeficiente de autoinducción de la nueva bobina. El problema requiere que con la reactancia inductiva final. . . . Para que aumente el factor de potencia (cos δ) ha de disminuir el desfase δ lo que requiere que aumente VL (ver diagrama de fasores) y. el factor de potencia sea la unidad: cos δ2 ' 1 Y δ2 ' 0 por lo que el circuito en las condiciones finales estará en resonancia. 0.106 H ' 106 mH 2 π f 2 π 60 . . .m. ¿ha de colocarse en serie con el circuito un condensador o una bobina? b) ¿Qué valor ha de tener este elemento para que el factor de potencia sea la unidad? Si la f. . .6 ' 30 Ω y sustituyendo este valor de R en (2): XL & X C ' 502 & 302 ' ± 40 Ω Por ser inicialmente XC > XL se ha de tomar la solución negativa: XL & XC ' & 40 Ω y llevando este resultado a la (1): Y XC ' XL % 40 XL) ' XL % 40 Y XL) & XL ' 40 Y ∆XL ' 40 Ω En consecuencia para conseguir que el factor de potencia sea la unidad (circuito en resonancia) es preciso colocar en serie una bobina de reactancia 40 Ω. para que aumente VL es preciso que aumente la reactancia inductiva XL.XL).e. retrasada respecto de la intensidad. (1) En consecuencia. lo que requiere que: XL) ' XC .Corriente alterna . . . eficaz en la resistencia. De la figura del enunciado se deducen los valores máximos de la f. a.5 V 0C b.e.9 2 ' 39. Ie ' VL XL Y XL ' Y XL ' Lω ' 2685 Ω 2 .78.9 ' 0. V0C = 100 V . Cálculo de la capacidad del condensador.000 Ω y que la frecuencia es 50 Hz.75 75 Y δ ' 41.0395 X 2685 2685 ' 8.81º c.5 ' 0. 0.d. Ie ' XC ' 1 Cω VC XC Y Y XC ' C ' VC Ie ' V0C / 2 Ie ' 100 2 .p.0395 ' 1790 Ω 1 1 1 ' ' ' 1. Cálculo del desfase cosδ ' V0R g0 ' 55.55 H L ' L ' ' ω 2 π f 2 π 50 VL Ie ' V0L / 2 Ie ' 150 . Ie ' VR R ' 39. Cálculo de la intensidad eficaz.m.10&6 F ω XC 2 π f XC 2 π 50 1790 e. g0 = 75 V g0 ' V0R2 % (V0L & V0C)2 0L 0 V0R ' g02 & (V0L & V0C)2 ' 752 & (150 & 100)2 ' 55.9 V VR ' V0R 2 0L 0C 0 0R ' 55. VL y g representadas en la figura.Corriente alterna .5 mA 1000 d. y de las diferencias de potencial en la bobina y en el condensador: V0L = 150 V . Cálculo de las diferencias de potencial. calcular: a) la d. b) el desfase. Cálculo del coeficiente de autoinducción. d) la capacidad del condensador. 0. e) el coeficiente de autoinducción de la bobina. Al analizar con un osciloscopio un circuito RCL en serie se obtienen las variaciones de VC . c) la intensidad eficaz.0395 A ' 39. Sabiendo que R = 1.41 12. 20 . La anchura de resonancia ∆f es la diferencia de frecuencias (f2 . La potencia en cualquier situación y por lo tanto también cuando P = P∆f es: ge Z ge ' ge 2 R . . . tomando la potencia su valor máximo: P ' Pmax ' Iege cos δ ' Iege ' P ' Pmax ' c. b) la potencia para esa frecuencia.3 Hz b. .5 . En resonancia el desfase δ es nulo y Z = R. Cálculo de la frecuencia de resonancia. 10 &6 ' 50. En resonancia es: Lω ' 1 Cω Y ω ' 1 LC ' 2π f Y f ' 1 2π 0. Calcular: a) la frecuencia de resonancia. siendo la fuerza electromotriz eficaz del generador 220 V. . Cálculo de la potencia. a.18 Hz ∆f ' 2 ' ' 2π 2π L 2π 0.f1 ) para las cuales la potencia (P∆f) es la mitad de la máxima (Pmax). .Corriente alterna . . En un circuito RCL en serie.840 W 10 máx ∆f máx P∆f ge 2 R ' Iege cos δ ' g ' R Z e Z Z2 ge ge 2 Z 2 2 1 ge 2 R 1 2 y como esta potencia es la mitad de la máxima (1): P∆f ' ½Pmax R 2 % Lω & 1 Cω Y 2 R ' Y Z2 ' 2 R2 ' 2R 2 Y Lω & 1 ' R2 ' ± R Cω resultado que conduce a las ecuaciones de segundo grado: LCω2 & RCω & 1 ' 0 y LCω2 % RCω & 1 ' 0 que resueltas ofrecen las soluciones positivas y por lo tanto válidas: ω1 ' & RC % R 2C 2 % 4LC 2LC y Y ω2 ' ω2 & ω1 ' 2π f2 & 2π f1 ' 2π ∆f RC % R 2C 2 % 4LC R Y ω2 & ω1 ' 2LC L ω & ω1 R 10 ' 3. . R = 10 Ω. . Cálculo de la anchura de resonancia. .42 13.5 H y C = 20 µF. . L = 0. potencia ésta que se corresponde con la situación de resonancia. . (1) 2202 ' 4. c) la anchura de resonancia. .5 . m. al compararla con la dada por el enunciado se deduce que: a. calcular: a) el desfase. . cuya resistencia óhmica es despreciable. tal como se indica en la figura. Cálculo de C. Y L ' 100 100 ' ' 1 H ω 100 X C ' 2R ' 1 Cω Y C ' 1 1 ' ' 5. instantánea viene dada por la expresión g ' g0 cos ωt . g 200 2 Z ' 0 ' ' 100 2 ' R 2 % (XL & XC)2 ' R 2 % (R & 2R)2 ' R 2 I0 2 R ' 100 Ω c. b) la resistencia R .Corriente alterna . Puesto que la f. . . b. del signo negativo se deduce que la f. Cálculo de R. g está retrasada respecto de la intensidad. indicando si la intensidad está adelantada o retrasada. g0 ' 200 2 XL & XC R y ω ' 100 rad/s . (1) y como la intensidad es la misma en cada elemento: I ' V1 R ' ' Y XL ' R V1 R y ' V1 XL ' 2V1 XC de donde se deduce que: y sustituyendo en (1): X C ' 2R tg δ ' XL & XC R ' R & 2R ' & 1 R Y δ ' & 45º en la que.10&5 F 2Rω 2 . d) la capacidad C del condensador. Cálculo del desfase. En el circuito de la figura.e.43 14. tgδ ' V0L & V0C V0R V2 XL V3 XC ' IXL & IXC IR ' .e. c) el coeficiente de autoinducción L de la bobina. 100 . Cálculo de L. 100 .m. XL ' R ' 100 ' Lω d. Sabiendo que la intensidad máxima es de 2 A. las lecturas de los voltímetros V1 y V2 son iguales mientras que la lectura del voltímetro V3 es doble que las anteriores (valores eficaces). Corriente alterna . se obtuvo la variación de la intensidad con la frecuencia representada en la fig.m.10 .95.e. XL (Ohmios) XC 20 19 18 17 16 6000 7000 8000 9000 10000 11000 Frecuencia (Hz) fig.10&3 H XC ' 1 1 ' Cω0 C2πf0 Y C ' 1 1 ' ' 9. Para la frecuencia de resonancia. por lo que de la figura b se deduce que la frecuencia (oculta) para la que coinciden ambas reactancias es la de resonancia: para f = f0 = 8.10&3 ' 200 Ω XL ' 200 Ω ' Lω0 ' L2πf0 c. a. fig. Cálculo de R.10 3 ' 3. Y L ' XL 2πf0 ' 200 2.8. eficaz.8. de la figura a se deduce que: Imax (valor eficaz) = 20 mA y f0 = 8. por ser XL = XC es Z = R. b) la capacidad del condensador C y c) el coeficiente de autoinducción L de la bobina.π.98. ge Z ' ge R Y R ' ge Imax ' 4 20. Cálculo de L. Como la intensidad toma su valor máximo (Imax ) para la frecuencia de resonancia ( f0 ). b.π.000 Hz ÷ XL = XC = 200 Ω a. con un generador de 4 V de f.10&8 F 3 XC2πf0 200. por lo que: Imax ' b.000 Hz Para la frecuencia de resonancia. la reactancia inductiva (X L) es igual a la capacitiva (X C). A partir de estas gráficas calcular: a) la resistencia R. a y la variación de XL y XC con la frecuencia (cuyos valores se han ocultado) representada en la figura b.2. En el estudio experimental de un circuito RCL en serie realizado en el laboratorio.44 15. Cálculo de C. 45 16. 750 ' 50 V y por estar en resonancia es: VC ' VL ' IXL ' ILω ' IL2πf ' 0.10&8 F b.3 V 17. VR ' IR ' 0. la suma fasorial de ambas intensidades ha de ser nula. 1.5 . el circuito está en resonancia. mientras que en un condensador la intensidad IC está retrasada también 90º (ver figura). exclusivamente.p. Z ' R 2 % Lω & 1 Cω 2 ' I ' 7502 % 1. Calcular: a) la capacidad C del condensador. según el enunciado.p. 2 π 1000 ' 628.e. no ha de pasar corriente por R.067 .066 .10&82π50 ' 750 Ω c. Cálculo de la capacidad del condensador. En el circuito de la figura.Corriente alterna .067 A Z 750 1 1. siendo su frecuencia: X L ' XC Y Lω ' Y ω ' ' 2πf Y f ' LC . para una cierta frecuencia f. b) la intensidad eficaz. lo que requiere que los fasores representativos de estas intensidades sean iguales en magnitud: IC ' VC XC ' IL ' VL XL y como ambos elementos están sometidos a la misma d. a. por estar asociados en paralelo: VL ' V C Y XL ' X C 1 Cω 1 1 2π LC resultado del que se deduce que el circuito está en resonancia.d. e) la diferencia de potencial eficaz en L. d) la diferencia de potencial eficaz en C.5 (2π. En el circuito de la figura la intensidad está en fase con la fuerza electromotriz.1000) 2 2 ' 1. Calcular esa frecuencia expresándola. en función de los datos del problema que sean necesarios. no pasa corriente por la resistencia R.69. por lo que: XL ' X C Y Lω ' 1 Cω Y C ' 1 Lω 2 ' 1 L (2πf) 2 ' 1 1. En una bobina la intensidad IL está adelantada 90º respecto de la d. Cálculo de la intensidad eficaz. Cálculo de VR . c) la diferencia de potencial eficaz en R.69. Puesto que.52π50 & g 50 ' ' 0. Por estar en fase la intensidad con la f.d. VC y VL.m. en la bobina VL está adelantada 90º respecto de esta intensidad (fig.20 A 50 b.m.8 I2 Z2 Z2 50 I2 R2 R2 R2 δ2 ' 36.d.46 18.707 14. a su f. la diferencia de potencial en R2 está en fase con la intensidad mientras que la d. c) calcular la intensidad total y su fase respecto a la tensión aplicada.2.0 Ω b. la diferencia de potencial en R1 está en fase con la intensidad mientras que la d. 2 .d.d. Z1 ' R1 % (XL & XC)2 ' Z2 ' R2 % (XL & XC)2 ' 2 2 102 % (0 & 10)2 ' 14.p. 1). En el circuito de la figura: a) calcular la impedancia en cada rama.p. I1 ' VAB Z1 ' 110 ' 7.78 A 14.Cálculo de la intensidad en cada rama.e.14 fig. a.14 Ω 402 % (30 & 0)2 ' 50. es decir. I2 ' VAB Z2 ' 110 ' 2.Corriente alterna . Cálculo de la diferencia de fase de estas intensidades respecto de la tensión aplicada. total VAB en la asociación en serie de R1 y de C es igual a la diferencia de potencial en los extremos del generador.p. AB L 2 cos δ2 ' VR2 VAB ' VR2 g 40 ' ' ' ' 0. es decir. R1 cos δ1 ' VR1 VAB ' VR1 g ' I1 R1 I1 Z1 ' R1 Z1 ' 10 ' 0.m.1.d. g. La d.p. recorrida por la intensidad I2. 1 AB C δ1 ' 45º En la rama derecha.14 . total VAB en la asociación en serie de R2 y de L es igual a la diferencia de potencial en los extremos del generador.9º fig. 2). Cálculo de las impedancias. La d.e. En la rama central. g. recorrida por la intensidad I1. a su f. b) calcular la intensidad en cada rama y la diferencia de fase de estas intensidades respecto de la tensión aplicada. en el condensador VC está retrasada 90º respecto de esta intensidad (fig. 87 8.18 A Por último.2 sen 36.26 ' 0.38 A 1 1y y δ1 δ2 2y δ 2x 1x x VAB = 2 fig. I1y.262 % 4.78 cos 45 % 2.9 ' 4.78 sen 45 & 2. Cálculo de la fase respecto a la tensión aplicada.p. En la fig. VAB .2 cos 36. Para efectuar esta suma construimos un diagrama de fasores (fig.47 c. En este diagrama se han descompuesto los fasores I1 e I2 en sus respectivas componentes I1x .1.9 ' 7. La suma de las componentes x da lugar al fasor Ix mientras que el fasor Iy es la suma de las componentes y: Ix ' I1x % I2x ' I1 cos δ1 % I2 cos δ2 ' 7.Corriente alterna . la suma fasorial de Ix e Iy es la intensidad total I (fig.d. 3) que contiene a ambas intensidades y en el que se mantienen los respectivos desfases (δ1 y δ2) de éstas con la d. 3 c.9º AB fig.1. Cálculo de la intensidad total. 4 . el ángulo δ que forma la intensidad I con la tensión aplicada VAB = g es: cos δ ' Ix I ' 7.38 Y δ ' 29.182 ' 8. I2x e I2y. La intensidad total se obtiene mediante la suma fasorial de las intensidades I1 e I2. 4.4): I ' Ix % Iy 2 2 ' 7.26 A Iy ' I1y & I2y ' I1 sen δ1 % I2 sen δ2 ' 7. en la bobina.d. Z ' g 220 ' 440 Ω ' R 2 % (XL & XC)2 ' 0. 220 .72 ..d.e. en estas condiciones.9 ' 591. eficaces en la bobina (VL) y en el condensador (VC).10&7 F 2πf 591.9 Ω Como el circuito es capacitivo es XC > XL y por ello que se ha de tomar la solución negativa: XL & XC ' & 391. . Sabiendo que el circuito RCL de la figura es capacitivo.5 .5 I XL & XC ' 4402 & R 2 ' 4402 & 2002 ' ± 391. P ' Ie ge cos δ ' 0. VL ' VR ' I R ' 0.9 Ω XC ' 591. VC ' I XC ' 0.9 2π (1591. d) el desfase entre intensidad y f.m.p.p. 200 ' 100 V d.d. Si VL = VR es también XL = R por lo que: XL ' Lω ' R ' 200 Ω Y ω ' R 200 104 ' ' 104 rad/s ' 2πf Y f ' ' 1591. Cálculo de la frecuencia de la corriente.72 . 591.69.02 .e. que la intensidad eficaz es 0.5 A y que la d.9 ' R % 391. 0. 104 rad/s f ' ω 1.69.48 19. en la resistencia es igual a la d.9 c.0 W f.10&7 ' 1. e) la potencia sumininistrada por el generador. 1.9 ' 200 % 391.45 220 Y δ ' 63º (I adelantaa g) e.p.6 Hz L 0.9 ' 1 Cω Y Y XC ' XL % 391. Si VL = VC el circuito está en resonancia y.Corriente alterna . Cálculo de la potencia suministrada por el generador.p. Cálculo del desfase entre intensidad y f. Cálculo de las d.6) 591. c) las d.d. calcular: a) la frecuencia de la corriente. es: X L ' XC Y Lω ' 1 Cω Y ω ' 1 ' LC 1 0.5 .9 ' 295.5 .45 ' 50.9 Ω C ' 1 1 ' ' 1. b) la capacidad del condensador. 104 ' ' 2738 Hz 2π 2π . eficaces en la bobina (VL ) y en el condensador (VC ).02 2π b. Cálculo de la capacidad del condensador. f) la frecuencia para la cual VL = VC .9 V cos δ ' VR g ' 100 ' 0.m. a. Cálculo de la frecuencia para la cual VL = VC . p. . . . . a. . . . La d. (2) 2 Vbc ' 2 Vab . entre b y c es: y entre a y b (ver figura): Vbc ' I XC Vab ' VR % VL ' y como según el enunciado ha de ser: 2 2 I 2R 2 % I 2XL . . .5. En el circuito de la figura calcular: a. por lo que: XL ' X C Y Lω ' 1 Cω Y C ' 1 Lω 2 ' 1 0. a. . . .2. .m.1) Cálculo de la capacidad del nuevo condensador. (3) al sustitur (1) y (2) en (3) queda: XC ' 2 R 2 % XL ' 2 5002 % (L. . Si la intensidad es máxima el circuito está en resonancia. b. Por estar en resonancia es Z = R: I ' g g 220 ' ' ' 0. (1) b. . .50)2 ' 1031 Ω 2 C ' 1 XC ω ' 1 ' 3. . . . .π. . . .Corriente alterna .4 (2. .1) Cálculo de C para que la intensidad sea máxima. .2) la intensidad eficaz en este caso.10&6 F 1031 (2. .10&5 F a. . b.1) la capacidad C del condensador para que la intensidad sea máxima. .2) el valor eficaz de esta intensidad máxima. .4) la potencia media suministrada por el generador. .e.π. . . .44 A Z R 500 . .50) . b.π.1. . . . . .50) 2 ' 2.d.1) la capacidad que tendría que tener el condensador para que la diferencia de potencial entre los puntos b y c sea doble que la existente entre los puntos a y b. . . . b.49 20. . . .3) el desfase en este caso.2) Cálculo de la intensidad eficaz máxima. . . . indicando si la intensidad está adelantada o retrasada respecto de la f. . 21 .2) Cálculo de la intensidad eficaz en este caso. por estar en serie los elementos del circuito.m.e. cos 61.50 b.1 ' 22. la f. a.21 A R 2 % (XL & XC)2 b. indicando si la intensidad está retrasada o adelantada respecto de la f. En el circuito de la figura.m. Aplicando la ley de Ohm entre los puntos AB y entre los puntos BC teniendo en cuenta que.3) Cálculo del desfase.Corriente alterna . e) el valor de la frecuencia para el que la intensidad es máxima. b) la intensidad.1º 125.81 500 en la que el signo negativo indica que la intensidad está adelantada respecto de la f. la lectura de un voltímetro acoplado a los puntos A y B es la misma que si se acopla a los puntos B y C. Cálculo de la frecuencia.e. está retrasada respecto de la intensidad (ver figura). P ' g I cos δ ' 220 .m.7 & 1031)2 ' 0.3 W 21. según el enunciado es VAB ' VBC ha de ser: R ' ZLC ' (XL & XC)2 Y XL & XC ' R 2 ' ± R ' ± 300 .7 & 1031 ' & 1. la intensidad que pasa por cada uno de ellos es la misma: I ' VAB R ' VBC ZLC y como. b. c) la diferencia de potencial entre B y C. I ' g ' Z 220 ' 220 500 % (125. g. Calcular: a) la frecuencia de la corriente. d) el desfase. en consecuencia.e. tg δ ' tg δ ' VL & V C VR ' IXL & IXC IR ' Y XL & X C R δ ' & 61. 0. Por ser XC > XL es VC > VL y.4) Cálculo de la potencia media suministrada por el generador. La intensidad es máxima cuando el circuito está en resonancia: X L ' XC Y Lω & 1 1 ' 0 Cω ' 1 Y L 2π f0 & 1 ' 0 C 2π f0 f0 ' 2π LC 2π 0. g 150 ' ' 0. Cálculo de la intensidad.10&5 ' 79. Cálculo de VBC . Puesto que el enunciado no precisa el carácter del circuito ofrecemos las dos soluciones: Lω & 1 ' ± 300 Cω Y 0. tg δ ' XL & X C R ' ± R ' ± 1 R Y Y Y δ ' ± 45º si: si: δ = + 45º δ = .3 Ω I ' c. Y f2 ' ω2 2π ' 39. Cálculo del desfase. 300 ' 105 V d.6 Hz .51 Si XL > XC el circuito sería inductivo y si XL < XC sería capacitivo.35 A Z 424.45º circuito inductivo: g adelanta a I circuito capacitivo: I adelanta a g e.3 VBC ' VAB ' IR ' 0.8 Hz Z ' R 2 % (XL & XC)2 ' R 2 % R 2 ' R 2 ' 300 2 ' 424.4ω & 1 10&5ω ' ± 300 La resolución de las dos ecuaciones de segundo grado contenidas en esta expresión ofrece dos soluciones válidas y otras dos no válidas por ser negativas: ω1 ' 1000 rad s rad s Y f1 ' ω1 2π ' 159.Corriente alterna . Cálculo de la frecuencia para intensidad máxima.35 .2 Hz ω2 ' 250 b.4. 1: tg α ' VL VR ' IXL IR ' 2πfL 2π 50 (0. fig. 2π . (ver fig.e. 1 b.38 R 15 α ' 83. Una bobina de 0. 1 2 a. El cáculo del desfase de I1 se realiza a partir de la fig. Puesto que I2 es la intensidad que recorre la rama inferior. b) la intensidad en el condensador.e. 2. en la bobina y en el resistor es igual a la f.58 A 2 15 % (0. I2 ' c. c) la intensidad total.4) ' ' 8. en la que únicamente hay un condensador. Cálculo de I.m.p.2º con lo que el diagrama de fasores queda como se indica en la fig. Si la frecuencia de la corriente es de 50 Hz.m. En la rama superior. 20. Cálculo de I1.4 H y 15 Ω de resistencia y un condensador de 20 µF están en paralelo y reciben en sus bornes una tensión eficaz de 200 V. VAB XC ' g ' g 2 π f C ' 200 . Para realizar esta suma es preciso conocer la orientación de cada uno de estos dos fasores. calcular: a) la intensidad en la bobina.26 A XC La intensidad I es la suma fasorial de las intensidades I1 e I2.10&6 ' 1. 2π50) fig. Cálculo de I2. la suma fasorial de la d.52 22. g.4 . 1): 2 2 VAB ' g ' VR % VL ' I1 ' 200 15 % (L2πf ) 2 2 I1 R 2 % I1 XL ' I1 R 2 % XL ' 2 2 2 2 2 VAB R 2 % XL g R 2 % XL 200 2 I1 ' ' 2 ' 1. .d. 50 . esta intensidad está adelantada 90º respecto de la f. d) la impedancia del circuito y e) el desfase.Corriente alterna . 2. m.19 A I1y ' I1 sen α ' 1. el circuito es capacitivo siendo por lo tanto VC > VL y XC > XL (fig. Cálculo de la reactancia del condensador.2º ' 0.36 Y δ ' 58º fig.Corriente alterna . 1 En el segundo caso .6º estando la intensidad adelantada respecto de la f. b) la reactancia del condensador. Si a este circuito se le añade un condensador en serie el desfase es δ2 = 32.2º ' 1. Cálculo de la impedancia. 23.e.58 sen 83. sumando este fasor y el I1X se obtiene el fasor intensidad total I que forma un ángulo δ (desfase) con la f. g 200 ' ' 550 Ω I 0. En el circuito de la figura el desfase es δ1 = 8.36 En la fig. En consecuencia: tg δ2 ' V C & VL VR ' I XC & I X L I R ' X C & XL R XC ' XL % R tg δ2 ' 15. 2).53 0.9º ' 15.m. Cálculo del desfase.7 Ω b.6 Ω fig. fig.57 A La suma de los fasores colineales I2 e I1y (fig. Cálculo de la reactancia de la bobina. 0.e.53 Conocida la orientación de los fasores I1 e I2 se proyecta el fasor I1 para obtener sus componenetes I1x e I1y: I1x ' I1 cos α ' 1. 3: cosδ ' I1x I ' 0. 3 estando I retrasada respecto de g como queda patente en la fig.57)2 ' 0.58 cos 83. Por último.19 ' 0. En el primer caso (fig.I1y .26 & 1. a. Calcular: a) la reactancia de la bobina.7 % 100 tg 32. 1): tg δ1 ' VL VR ' I XL I R ' XL R XL ' R tg δ1 ' 100 tg 8. 3. por estar adelantada la intensidad. g (fig. 3): I ' (I1x)2 % (I2 & I1y)2 ' d.192 % (1. 2) da lugar al fasor I2 .9º.6º XC ' 79. 2 .36 A Z ' e. p. . tal como se ha visto. . . . .10&3) ' 62.d. (3) VAB = I X1 = 62.84VCD)2 % (0. .54VCD % 62. VCD ha de estar adelantada 32. . . Como en una resistencia la intensidad (I1) está en fase con la d. la d. . .8 Ω XC ' 1 1 ' ' 1591. . . la f. .54 24. (2) Vy = VCD sen 32. . . .p. . . . . la suma fasorial de las d.10&7 En la combinación de resistor y bobina en paralelo. g.5 I)2 . . .p.5º fig. . el diagrama de fasores queda como se indica en la fig. . la suma fasorial de ΣVy y Vx es la f. . . (1) g = 10 V Vx = VCD cos 32. 1 Por otra parte.5 = 0. . . (6) fig.637 X2 1570. . BC y CD. .5º respecto de I.8 I & 1591. c) las diferencias de potencial entre los puntos AB. . . siendo: tg α ' I2 I1 ' VCD / X2 VCD / R ' R 1000 ' ' 0. . .Corriente alterna . .d. . g. 2 se deduce: g ' Vx % (ΣVy)2 ' Vx % (Vy % VAB & VBC)2 en la que: 2 2 . . .p. . . . . 1. . . . . VAB. .e. . 2) teniendo en cuenta que. . VBC y VCD es la d. . . . . . . . . es decir. . .8 I .d. I1 e I2. la intensidad I es la suma fasorial de las intensidades I1 e I2.8 Ω X2 ' X250 mH ' 2πf L250 mH ' 2π1000(250. . Descomponiendo VCD en Vx y Vy. . (5) y sustituyendo en (1): 10 ' (0. .8 Y α ' 32.5 Ω 2πf C 2π1000. En primer lugar calcularemos las reactancias de las bobinas y del condensador: 1 2 X1 ' X10 mH ' 2πf L10 mH ' 2π1000(10. b) la impedancia total. .d.5 I . 2 . . . . . (VCD) y en una bobina la d. d) el desfase.d. . total. (4) VBC = I XC = 1591. .10&3) ' 1570. calcular: a) las intensidades I. .54 VCD . .e.m. (VCD) está adelantada 90º respecto de la intensidad que la recorre (I2). . . . Por último. En el circuito de la figura. . . De la fig. .84 VCD . . . VAB y VBC da lugar al fasor ΣVy. la suma fasorial de los fasores colineales Vy.m. . Para realizar esta suma construimos el correspondiente diagrama de fasores (fig. . .p. . .5 = 0. que pasamos a calcular: 1 ' ZLR y sustituyendo en (7): 1 R 2 % 1 2 X2 ' 1 (1000) 2 % 1 1570. a. . .54 ' 6. Cálculo de las intensidades. Cálculo de I2: b.51 % 0.8 . . . .2. En la fig.m. . . . Aplicando la ley de Ohm entre los puntos C y D: I ' VCD ZLR . Cálculo de I1: . Cálculo del desfase. .54 = 5. . . I2 ' ' Z ' c. . . (7. . I ' 7. .75. (7. .10 -3) = 0.6 I . . .75 mA ' 6. .3. . .54 = 3.49 V VBC = 1591.e. . . .54 V a.8 I = 62. Cálculo de las diferencias de potencial. .Corriente alterna . 2. .5 5. .82 Y ZLR ' 843. (7) en la que ZLR es la impedancia de la asociación en paralelo del resistor de 1000 Ω y la bobina de 250 mH. . . . . 6.6 Ω VCD ' 843. . . Cálculo de la impedancia total. . 6. . . . . . . . .5 I = 1591.54 ' 4. . .75.16.84 VCD = 0. . . . . 2: tg δ ' ΣVy Vx ' Vy % VAB & VBC Vx ' 3. Cálculo de I.52 V Vy = 0. . g 10 ' ' 1290Ω I 7. .54 VCD = 0. . . .52 Y δ ' & 56.54. .75. tal como se representa en la fig.10 -3) = 12. . . .1. .54 . . (8) La resolución del sistema formado por las ecuaciones (6) y (8) ofrece la solución: VCD ' 6.3 ' & 1.10&3 A ' 7. .75. .84 . g está retrasada respecto de la intensidad.8 I1 ' VCD R VCD X2 a.3 V d.55 a.49 & 12.10&3 A 1000 6.51 V VAB = 62. . . .10&3 Sustituyendo los valores de I y VCD en las expresiones (2) a (5): Vx = 0.5 .10&3 A 1570. .4º en la que el signo negativo indica que la f. . . . entre los puntos A y B (VAB) y la d. . De esta figura se deduce que: VAC ' VR % VL ' I 2R 2 % I 2XL ' I 2 (R 2 % XL ) 1502 ' 22 (R 2 % XL ) 2 2 2 2 2 2 Y (R 2 % XL ) ' 5625 2 .p. . (2) y resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) se obtiene: L = 0.8 . en la bobina (VL) está adelantada 90º (fig.p. . Cálculo de C.p. Cálculo de L y R.m. su resistencia RL es distinta de cero por lo que. 1 Por tratarse de una bobina no ideal.10&6 F 2πf C 2π 50 100 b. calcular los valores de R.21 H . Sabiendo que las diferencias de potencial eficaces en la bobina (no ideal) y en el condensador son VL = 150 V y VC = 200 V. se trata de un circuito RCL. expresando los resultados en unidades del S. En un circuito LC serie.d. fig. . . 2). entre los puntos A y C (VAC) es igual a la suma fasorial de la d.56 25.p. a. es decir.Corriente alterna . a todo el circuito: Z ' Z 2 ' R 2 % (XL & XC)2 ge Ie ' 100 ' 50 Ω 2 Y 502 ' R 2 % (XL & 100)2 . entre los puntos B y C (VBC). la f. . .d. . La d. al aplicar la ley de Ohm entre los puntos A y D.e. eficaz es de 100 V y la frecuencia 50 Hz. L y C. (1) fig.d. con generador. en realidad.d.3 Ω . .I. . la intensidad eficaz es de 2 A. la d. . Aplicando la ley de Ohm entre los puntos C y D: XC ' C ' VC Ie ' 200 1 ' 100 Ω ' 2 Cω 1 1 ' ' 31. . 2 Por otra parte. Mientras que VR está en fase con la intensidad. R = 36. 71 OR OL OC δ ' 45º c. . (1) VR ' V0R cos α VL ' V0L cos (90 % α) ' &V0L sen α VC ' V0C cos (90 & α) ' V0C sen α quedando al sustituir en (1): g ' V0R cos α % (V0C & V0L) sen α ' 0. los valores máximos de las diferencias de potencial son: VOR = 0.71 0.71 V De la figura: OL O cos δ ' V0R g0 ' 0. . a. .e.e.52 % (1.71 cos ωt . En un circuito RCL serie con un generador de frecuencia angular ω. . . . Cálculo del desfase. . únicamente para los valores instantáneos.57 26. .5 V . . . . a este mismo resultado se puede llegar considerando que. . Del diagrama de fasores de la figura se deduce que: g0 ' V0R % (V0L & V0C)2 b. se cumple que la fuerza electromotriz es igual a la suma algebraica de las diferencias de potencial existentes entre los extremos de los elementos asociados en serie: g ' VR % VL % VC en la que: .5 cos α % (1 & 1. 2 Y g0 ' 0. .Corriente alterna .5 [cos (ωt & 45) & sen (ωt & 45)] g ' 0.m. b) el desfase.5 V . . . . . Puesto que la expresión general de la f. Cálculo del valor máximo de la fuerza electromotriz del generador. instantánea es: L C R g ' g0 cos ωt OC al sustituir el valor de g0 queda: g ' 0.5 & 1)2 ' 0. . . . VOL = 1.5 (cos α & sen α) y teniendo en cuenta que: al sustituir queda: y operando se llega a: α ' ωt & δ ' ωt & 45 g ' 0.m. .71 cos ωt No obstante. Cálculo del valor instantáneo de la f. . c) el valor instantáneo de la fuerza electromotriz g = f(t) . .5 ' 0. . VOC = 1 V. Calcular: a) el valor máximo de la fuerza electromotriz del generador (g0). . . .5) sen α ' 0. . . p.Corriente alterna . b. Por asociación con una resistencia. VBC entre los extremos de la resistencia R que se asocia ha de ser también 120 V y.d. por lo que es preciso calcular ésta. la d.p.p. la bombilla ha sido diseñada para disipar una potencia de 75 W cuando está sometida a una d. El valor máximo que puede tomar la intensidad eficaz en el circuito ha de ser.p. igual a la máxima intensidad IB que puede soportar la bombilla.58 27. en consecuencia. a) una resistencia R.5 Z 384 P ' Ie ge cos δ ' 0. en consecuencia. Esta intensidad es: PB ' IB VB Y IB ' PB VB ' 75 ' 0. Según el enunciado. en cada una de las resistencias asociadas.625 A 120 La impedancia del circuito cuando circule esta intensidad es: Z ' ge Ie 2 XL ' 240 ' 384 Ω 0.626 . a. VAB de 120 V. Puesto que una bombilla únicamente tiene resistencia óhmica y en una resistencia la d. la potencia disipada por una resistencia R debe ser la mitad que la disipada por la asociación 2R del apartado a. 0.p.d. 240 .5 ' 75 W Resultado que concuerda con el obtenido si se considera que la bobina no disipa potencia y. Por asociación con una autoinducción. total (240 V) es la suma algebraica de las d. Una bombilla eléctrica de 75 W está fabricada para funcionar a 120 V (eficaces).625 Z ' 384 ' 2 RB % ' 2 RB % L ω 2 2 Y L ' Z 2 & RB ω2 2 ' 3842 & 1922 (2π50)2 ' 1. ¿Se puede hacer que funcione correctamente conectando en serie con ella. b) una bobina de autoinducción L? En caso afirmativo calcúlense los valores de R y L y la potencia extraida de la toma de corriente en cada caso. su resistencia ha de ser igual a la de la bombilla RB. y la intensidad están en fase.d. la d.d.d. lógicamente.p.d. de 120 V por lo que: PB ' I V B ' VB RB VB Y RB ' VB 2 PB ' 1202 ' 192 Ω 75 R ' RB ' 192 Ω Como el desfase δ es nulo. Como la bombilla ha de trabajar con una d. suma de las dos asociadas. .1 H Para calcular la potencia extraída en este caso es precido conocer el factor de potencia (cos δ): cos δ ' quedando la potencia: R 192 ' ' 0. cos δ = 1 y la potencia extraída es: P ' ge Ie cos δ ' ge 2 RT ' 2402 ' 150 W 192 % 192 en la que RT es la resistencia total. Sólo se dispone de una toma de corriente de 240 V (eficaces) y 50 Hz. Cálculo de la intensidad (eficaz) en el inductor.10&3 A ' 7. entre sus respectivos extremos es la misma: VAB ' VR ' VL ' ge ' 7.07 V a.59 28. Calcular el módulo de las corrientes que circulan por el resistor. está dada por 10.10&3 A ' 7.d.t. IL ' ge XL ' 7. la d.p.072 % 7. Puesto que la f.07 7.07. el diagrama de fasores queda como se indica en la figura. Recordando que en una resistencia la d.e.07 ' 1 7.07 ' ' 7. en voltios. está adelantada 90º.103 c. está en fase con la intensidad y que en una bobina la d. si la tensión del generador.07 Y δ ' 45º .07 mA Lω 1.m. ' 10 2 ω ' 103 rad/s ' 7. IR ' ge R ' 7. Cálculo del desfase. de un generador viene dada por la expresión: g ' g0 cos ωt por comparación con la dada por el enunciado se deduce que: g0 ' 10 V ge ' g0 2 . Cálculo de la intensidad (eficaz) en la resistencia. 2 2 7.07 V Por estar todos los elementos asociados en paralelo.072 ' 10 mA Del diagrama de fasores de la misma figura se deduce: L tg δ ' IL IR ' 7.d. De ella se deduce que: R R L I ' IR % IL ' d.p.d. por el inductor y por el generador en el circuito de corriente alterna de la figura.cos 103.Corriente alterna .p.07 ' 7. Cálculo de la intensidad (eficaz) en el generador.07 mA 1000 b.07. e I para esta frecuencia. calcular: b. a.e. En el circuito de la figura: a) Calcular: a. ya que una resistencia no produce desfase.73 ' 1. su valor se obtiene mediante la suma algebraica de ambas intensidades: I ' I1 % I2 ' 1. Cálculo de la frecuencia para que I2 sea máxima.2. Puesto que la intensidad en esta rama es: I2 ' VAB Z2 ' g Z2 la intensidad I2 será máxima cuando la impedancia Z2 de esta rama sea mínima lo que. Calcular el desfase δ entre I y g en este caso.60 29. I2 . que es la suma fasorial de I1 e I2 .2. I2 ' VAB Z2 ' g ' Z2 220 ' R2 % (XL & XC)2 2 220 220 ' ' 0.10 A 200 R1 Esta intensidad I1 está en fase con la f.m. ya que: cos δ2 ' R2 Z2 ' R2 R2 ' 1 Y δ2 ' 0 fig.2. I1 ' VAB R1 ' g 220 ' ' 1.1 % 0.1. según la expresión: Z2 ' R2 % (XL & XC)2 requiere que las reactancias inductiva y capacitiva sean iguales (resonancia): 2 XL ' X C Y Lω ' 1 Cω Y ω ' 1 ' 1 0. e I para esta frecuencia. 8. la intesidad I. b. Las intensidades eficaces I1 .m.e. la I2 si lo hace por existir reactancias en esa rama.5 .6 Hz 2π 2π a. I2 .1. 1 En consecuencia.m.10 &6 ' 500 rad/s LC ω 500 f ' ' ' 79. Cálculo de las intensidades eficaces I1 . I2 . Las intensidades eficaces I1 .73 A R2 300 Esta intensidad I2 está también en fase con la f. Mientras que la intensidad I1 que pasa por R1 no depende de la frecuencia. está también en fase con la f.83 A .Corriente alterna . por lo que.1.e. e I para esta frecuencia. a. Para qué valor de la frecuencia de la corriente alterna suministrada por el generador la intensidad que circula por R2 será máxima. b) Si la frecuencia toma un valor de 50 Hz. en este caso. 314 & .m.75 ' 0.104 % 0.80 300 δ2 ' & 38. 314) & ' 1 R2 8. Cálculo del desfase en este caso. Para efectuar esta suma se descompone el fasor I2 en los I2X e I2y (fig.61 b. 3.362 I ' 1. como se indica en la fig.1 % 0.58 A b. siendo: I2x ' I2 cos δ2 ' 0. 314 ' & 0. 3 .5 .e.57 sen 38. la intensidad I1 en R1 no depende de la frecuencia de la corriente por lo que I1 = 1.5 . Como queda dicho.m.75 ' 0.e.2. La intensidad I es la suma fasorial de I1 e I2.Corriente alterna .2º estando la intensidad I adelantada respecto de la f. fig.75º en la que el signo negativo indica que I2 está adelantada respecto de la f.1.57 cos 38.e.36 ' 0. Ahora la frecuencia angular es: ω ' 2πf ' 2π50 ' 314 rad/s y la intensidad I2: I2 ' VAB Z2 ' g ' Z2 220 ' 220 3002 % Lω & 1 Cω 2 R2 % (XL & XC)2 220 2 I2 ' ' 0. 3): I ' (I1 % I2x)2 % I2y ' (1. según se indica en la fig.23 1.1 % 0. siendo el desfase: tg δ2 ' X L & XC R2 Lω & ' 1 Cω (0. 2. I2 . 2 De la fig. 3 se deduce que: tg δ ' I2y I1 % I2x ' 0. Cálculo de las Intensidades eficaces I1 . 314 Esta intensidad I2 no está en fase con la f.2).10 &6 2 9.44)2 % 0.1 A.m.10&6 .44 δ ' 13.44 A I2y ' I2 sen δ2 ' 0.57 A 1 8.36 A con lo que la intensidad I queda (ver fig. e I cuando la frecuencia es 50 Hz. 840 W c) 3.2 A b) VR = 80 V.5 H y C = 20 µF. Hallar: a) La resistencia de la bobina. c) 79. c) calcular la frecuencia y la intensidad en el caso de la resonancia. 0.5.5 y 9 V. Solución: a) 26. En el circuito de la figura. 31 y 38 vueltas.200 H c) 70o. Calcular: a) la frecuencia de resonancia. ¿Cuántas vueltas son necesarias para cada una de las partes de la bobina secundaria? Solución: 10. En un circuito RCL en serie. Se utiliza un voltímetro de corriente alterna para medir la tensión eficaz que aparece por separado en la bobina y en el condensador.25 H y un condensador C. Solución: a) 0.62 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. 7. 4. 2. L = 0.25 A. R = 10 S. Se conecta en serie con un generador de corriente alterna de 60 Hz una bobina de 0. b) 0. siendo la fuerza electromotriz eficaz del generador 220 V. Solución: a) 50. 3.6 Hz. a) Hallar la capacidad C y la corriente eficaz en el circuito b) ¿Cuál será el valor de la tensión eficaz medida en el conjunto condensador-bobina? Solución: a) 18. VC= 20 V. 5. VL = 80 V. La tensión eficaz que aparece en el condensador es 75 V y en la bobina 50 V.10-6 F . calcular: a) la intensidad eficaz. b) la potencia para esa frecuencia. . c) el desfase entre la corriente y la tensión.7 S b) 0.Corriente alterna .5 A. c) la anchura de resonancia.53 A b) 25 V. Una bobina con resistencia e inductacia se conecta a un generador de 60 Hz y 120 V eficaces. b) La inductancia de la bobina.3 Hz b) 4. Un transformador tiene un primario de 500 vueltas que está conectado a 120 V eficaces.7.20 Hz. La potencia media suministrada a la bobina es 60 W y la corriente eficaz es 1. b) el voltaje eficaz en cada uno de los elementos del circuito. Su bobina secundaria posee tres conexiones diferentes para dar tres salidas de 2. p. A los extremos de una bobina.707 .p.7 Hz d) 1. La intensidad eficaz es 0. f) la potencia instantánea para t = (1/200) s.295 A c) 177 V.m. en la resistencia. obteniéndose una corriente eficaz de 22 A a) ¿Cuál es el valor del coeficiente de autoinducción de la bobina? b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre la intensidad y la d. e) el factor de potencia y el desfase.118 V 7.5 A y las lecturas de los voltímetros V1 y V2 son iguales. b) I1 = 0. V1 y V2. Calcular: a) la f. eficaz entre los puntos A y B. L = 0.d.d. L = (10/B) H. se aplica una diferencia de potencial alterna de 220 V eficaces y 50 Hz.d. Calcular: a) la intensidad en L y en C. cuya resistencia en corriente contínua es de 8 S.p.5 H y C = 0.000 S.63 6. R2 = 600 S. Solución: a) 100 V b) 100 V c) 711.9º.059 A . b) la d. en los extremos de la bobina? Solución: a) 1. d) la potencia media suministrada por el generador. b) la intensidad en cada resistencia.7 W. En el circuito RCL de la figura es R = 200 S. e) 0. eficaz.Corriente alterna .d.p. Solución: a) 0.1 µF. C = (20/B) µF y g = 250/2. d) las d. c) d. 45º f) 0 . b) 36. 8. c) la frecuencia.91. d) 62. I2 = 0.cos Tt.10-2 H.e. En el circuito de la figura es: R1 = 3.354 A. siendo la frecuencia 50 Hz. calcular: a) b) c) d) I1.m. En el circuito de la figura. El desfase entre I y g.e.π. b) 63. VR1 = 72 V .23 A . A una fuente de tensión alterna se aplican sucesivamente una resistencia óhmica pura de 50 S. En el circuito de la figura.24 A . VL = 96 V .39 A. 11. I = 0. I2 = 0. LC . una autoinducción pura L y un condensador C midiéndose en cada caso intensidades de corriente de 4. XL = 100 S. La diferencia de potencial en cada elemento. I2 e I. 19. R = 290 S .79 A. ¿A qué circuito en serie de resistencia y reactancia equivale? Solución: a) b) c) d) I1 = 0. 10. L y C.5 V. VC = 34.1o. ¿ Cuál es la intensidad de la corriente cuando se conectan estos tres elementos en serie a la fuente de tensión? ¿Cuál es la diferencia de fase entre corriente y f. para una cierta frecuencia. en este caso? Solución: a) 1. Solución: f ' 1 2.Corriente alterna . Calcular esa frecuencia expresando el resultado en función de R. VR2 = 115 V . no pasa corriente por R.4º (I adelantada). 2 y 1 A respectivamente.64 9. 65 12. c) la intensidad I2. . f) la potencia suministrada por el generador.m. Solución: a) 1.e. b) 32.6 W.Corriente alterna .m. d) 1. En el circuito de la figura. e) el desfase de I respecto de la f. e) 24.4º. calcular: a) la intensidad I1.73 A.e.86 A.1º c) 0. d) la intensidad I. b) el desfase de I1 respecto de la f.28 A. f) 346.