OLIMPIADA MATEMÁTICAPROVINCIAL DE TOLEDO ENUNCIADOS DE PROBLEMAS COMISIÓN ORGANIZADORA DE LA IX OLIMPIADA PROVINCIAL DE MATEMÁTICAS CURSO 2008-09 NIVEL 12/14 1.- EL CASO DEL PASTEL DESAPARECIDO En la cocina había un pastel destinado al cumpleaños de papá, pero al llegar éste, ha desaparecido. En la casa hay cinco hijos: Ataúlfo, Basilia, Calepodio, Desdémona y Efialtes. Mamá sabe que alguno, o varios, son los autores del desaguisado y les interroga. He aquí sus respuestas: Ataúlfo: Esto es obra de uno solo de nosotros. Basilia: No, de dos de nosotros. Calepodio: No, de tres de nosotros. Desdémona: No, de cuatro de nosotros. Efialtes: Entre todos nos lo comimos. Mamá sabe que los inocentes dicen la verdad, mientras que los culpables mienten. ¿Quién o quiénes se comieron el pastel? Se comió o se comieron el pastel:......................................... 2.- EL RELOJ DIGITAL Un reloj digital marca la hora y la fecha con diez dígitos de la siguiente manera: 1 7 hora 5 8 min. 2 6 día 0 4 mes 9 3 año Esta hora y fecha es la última del siglo XX en que se utilizan los diez dígitos cada uno una sola vez ¿Cuál es la primera fecha del siglo XXI en que ocurre esa misma circunstancia? Escribe la solución: hora min. día mes año 3.- LOS HUEVOS DE GALLINA Y DE PATA El huevero tiene ante sí 6 cestas con huevos. Cada una tiene huevos de una clase, de gallina o de pata. Cada cesta tiene el número de huevos que se indica: 6 15 29 12 14 Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. Toledo. 23 2 COLOR DEL SOMBRERO En el dibujo...... porque .......El huevero dice............ .. Al cabo de un minuto................. y tienen 10 minutos para encontrar la solución de lo contrario todo se acaba.......... uno de ellos tiene que decir al verdugo cuál es el color de su sombrero.. por lo tanto sólo ven lo que tienen enfrente (D puede ver B y C)..... ¿cuál de ellos llama al verdugo? ¿Por qué está seguro del color de su sombrero? Llamó al verdugo el hombre.. No se pueden mover. Entre el hombre A y el B hay una pared opaca (no ven nada)....... señalando una cesta que no acierto a ver cuál es exactamente: Si vendo esta cesta............. no están autorizados ni a hablar ni a darse la vuelta...... Si se equivoca...... Para no ser fusilados... 3 ....... No saben de qué color es el sombrero que ellos mismos poseen.... ¿Podrías ayudarme a averiguar de que cesta está hablando? Está hablando de la cesta: 4.. me quedaré el doble de huevos de gallina que de pata.................ZONA NO SOMBREADA Calcula el área de la zona no sombreada de la figura Dato: Área del círculo: A=πr 2 Área = 5.......... Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. todos serán fusilados........... Toledo... hay 4 hombres enterrados hasta el cuello.... Saben que 2 de ellos tienen el sombrero negro y otros 2 lo tienen blanco............. situado en la parte más cara del área comercial de una zona residencial de Chicago. ¿Por qué crees que no se presentaron compradores? Solución: Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. en total pagan 270 euros y como el botones se queda con 20 euros. Toledo. halla el valor de A. ¿Dónde están los otros 10 euros? Respuesta: 7. ¿PARA QUÉ? Sin efectuar operaciones. Un rato después el recepcionista ve que se ha equivocado y que la habitación costaba sólo 250 euros. A = 838756834702 – (83875683469 x 83875683471) Solución: A = 8.¿LAS MATEMÁTICAS FALLAN? Tres mujeres van a un hotel y preguntan el precio de una habitación.. Ahora bien. como son tres. El anuncio era el que se adjunta. deciden coger una habitación para las tres.6. si cada una paga 100 euros y le devuelven 10 entonces cada una paga 90 euros. El botones decide quedarse con 20 euros y darles sólo 30 euros (10 a cada una).¡CALCULADORA!. por lo que manda al botones que las devuelva 50 euros. 4 . Cómo es mucho. en total hacen 290 euros.LA VENTA DE SOLARES Una agencia inmobiliaria puso a la venta un solar triangular. con lo que cada una paga 100 euros... a lo que el recepcionista contesta 300 euros. 12. podemos obtener como resultado 11. 16 o 17.DISCOS Aquí tienes dos discos circulares. 7 Solución: números: 10 En el anverso deberán figurar respectivamente los 10. En la otra cara tienen escrito otro número.9.. A una ventana circular de un metro de diámetro le añadieron dos líneas tangente y dos semicírculos cerrando la figura. 5 .LOS PINTORES DE LA CATEDRAL Unos pintores están pintando las paredes interiores de una catedral.. En la cara superior de cada uno de ellos hay escrito un número. Investiga qué números están escritos en la cara oculta de cada disco. Si lanzamos los discos al aire y sumamos los dos números que salen. ¿Qué área tiene la figura sombreada? Solución: Área = Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. Toledo. 2º Calcula cuál es el tiempo que. 53 minutos y 24 segundos. el obrero. En sólo tres pesadas separa 1800 gramos de semillas en dos bolsas de 400 y 1400 gramos. Carmelo: “Bonifacio es el obrero”. tardaría el depósito en vaciarse a través de la fuga.CON SÓLO DOS PESAS El juego de pesas de una balanza consta sólo de dos pesas.... ¿qué hora marcará un reloj revolucionario? 13. aunque no respectivamente. una de 10 gramos y otra de 40 gramos.EL RELOJ REVOLUCIONARIO Los revolucionarios franceses intentaron. además de buen trabajador.. cerrador de puertas y obrero. una vez lleno. cuando en un reloj normal sean las 7 horas. Bonifacio: “Aniceto abre las puertas”. Un día decidimos llenarlo usando los dos grifos a la vez y observamos que el depósito se ha llenado en cuatro horas. En cambio.11. (Suponemos que tanto el agua que sale por los grifos como la que se escapa por la fuga lo hace a un ritmo constante) 14.UN BUEN TRABAJADOR. era hombre veraz. Tres empleados de una fábrica – Aniceto. Cuestiones: 1º Deduce de los datos que el depósito tiene una fuga. 6 . medir el tiempo también de modo decimal. Debido a la naturaleza oscilante de sus tareas. el abridor y el cerrador de puertas habían adquirido el hábito de mentir. Bonifacio y Carmelo – realizaban las tareas de abridor de puertas. Solución: 1ª Pesada: 2ª Pesada: 3ª Pesada: 12. cada hora en cien minutos y cada minuto en cien segundos. Si llamamos reloj revolucionario al que marque la hora de ese modo y reloj normal al que usamos normalmente. ¿Cuál era la tarea de cada uno? Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. Toledo. a la manera del sistema métrico decimal. Dijeron lo siguiente: Aniceto: “Carmelo cierra las puertas”.UN DEPÓSITO CON FUGA Un depósito tarda tres horas en llenarse con un grifo y cinco horas con otro grifo. Se pensó que habría que dividir el día en diez horas. y tomando como unidad de medida la longitud de una. 32/2 si.) 16.. Sabiendo que la medida de sus aristas puede ser cualquier número entero del 1 al 10.... y el mayor terminado en 9.. …. En la primera duplicó el dinero que llevaba y se gastó 30 monedas. . (Importante: los polígonos a formar pueden tener cualquier forma.EL MALVADO COCODRILO Un cocodrilo le quitó el bebé a una mujer. ¿Cuántas monedas llevaba cuando salió de su casa? SALIÓ CON ____________________ MONEDAS. Al final le quedaron 48 monedas. de manera que al dividirse por su última cifra. 34/4 no. Entonces. Ejemplo: 31/1 si. En la segunda triplicó el dinero que tenía y desgraciadamente perdió 54 monedas. forma un polígono de área nueve. Toledo. 19.15. ¿cuántas cajas distintas puede realizar? 17.SIEMPRE EXACTO Encontrar los menores 9 números consecutivos (mayores que 10). le dijo: “Respóndeme correctamente y te lo devolveré: ¿Me voy a comer a tu hijo. el resultado de siempre exacto. En la tercera cuadruplicó todo el dinero que le quedaba y gastó 72 monedas. o no?. 33/3 si. el primero terminado en 1... ¿Fácil? Forma ahora uno de área cinco.LA HISTORIA DEL COMERCIANTE Esta es la historia de un comerciante que salió a visitar tres ferias.LAS CAJAS Una fábrica realiza cajas en forma de paralelepípedo de distintos tamaños. 18. 7 .” ¿Qué respondió la mujer para salvar a su hijo? LA MUJER DIJO AL COCODRILO (razona la respuesta): Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas.DOCE CERILLAS Dispones de doce cerillas iguales. Con todas ellas. ¿Lo has conseguido? Pues forma otro de área cuatro. Pero tenía que dar a Harim 10 denarios y a Ahmed 15 denarios.J. para vender 3 por un denario y Ahmed me dio otros 30. ¿Cuántos ladrones hay? HAY _____________ ESMERALDAS Y ______________ LADRONES..UN PROBLEMA DE MELONES Los hermanos Harim y Ahmed me encargaron vender 60 melones.F. todas ellas iguales. 8 . (Ladrones Fuertemente Jerarquizados) de cada grado sólo hay uno. ¿Cuánto mide el área sombreada? EL ÁREA VALE: 22. y así sucesivamente. Uniendo los centros obtenemos un cuadrilátero irregular. Como no quería tener dos precios diferentes.20. Salen a robar y roban unas esmeraldas. para vender 2 por un denario. Toledo. ¿Cuántas esmeraldas robaron?. ¿Dónde está el denario que me falta? SOLUCIÓN: 21. en total 25 denarios. Pero hecha la venta obtuve de los 60 melones. el tercero tres..EL LADRÓN INCONFORMISTA En los L. Cuando reparten el botín. el segundo 2 esmeraldas. Harim me dio 30. Pero uno no está de acuerdo y dice: “Ni hablar. 24 denarios. opté por vender 5 melones por 2 denarios que es vender 3 melones a 1 denario y 2 melones a 1 denario. Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. el primero se lleva 1 esmeralda. repartiremos 5 esmeraldas para cada uno”.. 12 lotes a 2 denarios.CUATRO CÍRCULOS IGUALES Tenemos cuatro círculos iguales de radio 1 m. . con lo que da 100 saltos. 24. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? 26. ¿Qué dinero tiene al comienzo de los 3 años? TENÍA ____________ ESCUDOS. de 9 .ESCALONES Un muchacho que vive en la planta alta de un edificio sube las escaleras de 2 en 2 y las baja de 3 en 3.TRIÁNGULOS ¿Cuántos triángulos pueden construirse uniendo puntos del tablero? 25.23.MULTIPLICANDO Completar.. Al cabo de tres años ha duplicado su dinero.. Toledo. razonadamente..EL HOMBRE QUE AHORRABA Un negociante separa al principio de cada año 100 escudos para los gastos del año y al finalizar cada año aumenta su capital un tercio de lo que tiene. multiplicar: la siguiente operación Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. . 10 .. 31. y Zape sólo miente los jueves.. Cuántos eslabones como mínimo se tienen que abrir para poder pagar el hotel diariamente. escritos en base 10. ¿En qué día de la semana estaban? Razona la respuesta.EL VIAJERO DE LOS ANILLOS En una oportunidad un viajero se presento en un hotel con una cadena de oro con siete eslabones. Un día los dos hermanos tuvieron esta charla: “Ayer me tocó mentir” dijo Zipi. El viajero acordó con el hostelero que el valor de la habitación seria de 1 eslabón diario. son tangentes entre sí y tangentes al círculo mayor. Como el viajero no conoce cuánto tiempo se va ha hospedar decide pagar la habitación diariamente.LOS HERMANOS ZIPI Y ZAPE Zipi sólo miente los lunes. Después hace 6 y vende 36 y le quedan menos de 42 por vender.MESAS Un carpintero hizo un número concreto de mesas. “Pues a mí también me tocó mentir” dijo Zape. que sean igual al cubo de la suma de sus cifras. martes y miércoles.. ¿Cuál es el área.. en cm2.27.UN CÍRCULO GRANDE Y DOS PEQUEÑOS Los círculos pequeños. de la zona sombreada? Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. viernes y sábados.CUBOS DE CUATRO CIFRAS Hallar todos los números naturales de 4 cifras. de radio 1 cm. 29. Al terminarse la semana se fue pagando todos los eslabones. vende 70 y le quedan por vender más de la mitad. 28. ¿Cuántas mesas ha hecho? 30. Toledo. ¿Cuál es el área y el perímetro del rectángulo sombreado? 36. El rectángulo central resulta ser otro cuadrado y las áreas de tres rectángulos de las esquinas. en cm2. incluyendo 1 y N.32. se restan 7 puntos por cada respuesta incorrecta y 0 por cada respuesta en blanco.EL HOTEL DE LOS LÍOS En un hotel numeran las habitaciones con tres cifras.MATRICULA DE PRIMOS El número de matrícula del coche de Pedro es de 4 cifras pero no es muy difícil de recordar.. ¿cuántas respuestas dejó en blanco? 35. Calcular el número entero que es su sexto divisor y el número N. se puntúa con 12 puntos cada respuesta correcta. pues es de la forma abba con a y b distintos y ab y ba números primos de dos cifras.. Por ejemplo. Toledo.CUADRADOS Y RECTÁGULOS Dividimos un cuadrado en 9 rectángulos con rectas paralelas a los lados como muestra la figura. Si el hotel tiene en total 5 plantas con 35 habitaciones por planta. son las que te mostramos. donde la primera indica la planta y las dos siguientes el número de habitación. Si Antonio obtuvo 234 puntos. 34.CONCURSO CON PROBLEMAS En un concurso de opción múltiple y con 30 problemas. 115 indica la habitación 15 de la primera planta y 311 la habitación 11 de la tercera planta..UN NÚMERO Y SUS DIVISORES El número entero positivo N tiene exactamente seis divisores. ¿Cuántos números podrían ser los números de matrícula del coche de Pedro? Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. Si el producto de cinco de ellos es 648.. ¿cuántas veces habrán utilizado la cifra 2 para numerar todas las habitaciones? 33.. 11 . 12 .UN LIO DE EDADES La edad del padre de Nacho es cuatro veces la edad de éste...37. B... 40. ¿Cuánto suman A + B? 39.FIGURAS SEMEJANTES Los tres triángulos de la figura son rectángulos y semejantes. QUE ES GERUNDIO En una caja hay más de 40 monedas pero menos de 70. pero si lo hacemos entre 5 sobran 3 monedas. determinar la longitud. C y D son cifras diferentes). Toledo. del segmento BC. ¿Cuántas sobrarían si las repartiéramos equitativamente entre 7 personas? 38. Si las repartimos a partes iguales entre 6 personas sobran 4.CURIOSA MULTIPLICACIÓN En la multiplicación A B A × C D = C D C D. ¿Cuántos años desde ahora deben pasar para que sea sólo el doble? Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. Dentro de cuatro años será sólo el triple. (A. Si el lado AP mide 12 cm.REPARTIENDO. en cm. Las abejas hembra nacen de huevos fecundados.NIVEL 14/16 1. Total de antepasados: Total antepasados machos: 2. ¿Cuántos antepasados tendrá una abeja macho en la duodécima generación? ¿Cuántos de ellos serán machos?.. 13 . Si el diámetro del círculo es de 10 cm.LAS ABEJAS Las abejas macho nacen de huevos sin fecundar. Toledo..UN ROMBO CURIOSO En una circunferencia hemos inscrito un rectángulo y en él un rombo. tomando los puntos medios de los lados del rectángulo. y por tanto tienen madre. ¿cuánto mide el perímetro del rombo? El perímetro del rombo mide: Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas.. pero no padre.ZONA SOMBREADA Calcula el área de la zona sombreada en la figura adjunta El área sombreada mide: 3. .. escogería tres sombreros y se los pondría en sus cabezas.. uno tiene visión normal. El carcelero ni se molestó en hacer la oferta al prisionero ciego... El prisionero confesó que no sabía.. Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas.. ni de lado ni en diagonal. y el tercero está totalmente ciego. claramente puedo ver que mi sombrero es . El segundo prisionero confesó que tampoco sabía. El carcelero les dijo a los prisioneros que... de lo que mis amigos con ojos han dicho.. Se reunió a los prisioneros y el carcelero ofreció liberar al prisionero con visión normal si podía decir el color del sombrero que tenía puesto.. Y queremos mantenerlos incomunicados hasta el momento de desvelar la sorpresa. Entonces el carcelero ofreció liberar al prisionero con sólo un ojo si podía decir el color del sombrero en su cabeza.. de modo que dos números consecutivos no estén nunca juntos.. el segundo sólo tiene un ojo. pero accedió a hacérsela en los mismos términos cuando la solicitó... Todos tienen por lo menos una inteligencia media... Se evitó que cada uno pudiera ver el color del sombrero puesto en su cabeza. 5.. por parentesco lingüístico.FIESTA SORPRESA Ocho personas de lenguas distintas.. Entonces el prisionero ciego sonrió ampliamente y dijo: “ No necesito tener mi vista.NO SÓLO SE VE POR LOS OJOS De tres prisioneros en cierta cárcel. que identificamos con los números del 1 al 8... Toledo. Llena el espacio correctamente. de una selección de tres sombreros blancos y dos sombreros rojos.. Cada hablante entiende la lengua de los números inmediatos. Sitúa en estas ocho casillas los números del 1 al 8.”.. acuden a una fiesta sorpresa.4..... 14 . 450 y además la suma de sus edades es exactamente el doble de tu propia edad.Multiplicando sus edades entre sí se obtiene 2.Es cierto. ¿Puedes tú calcular las edades de las chicas.6. Toledo. indica cuáles son.Muy interesante. me olvidé de mencionar que yo soy por lo menos un año más joven que la más vieja. Si la respuesta es afirmativa. a su vez. . Si la respuesta es negativa. El profesor. 15 . Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. (Contestó Raúl). justifícalo.CURIOSO CUADRADO ¿Existirán 16 números naturales distintos y menores de 100 tales que al colocarlos en las casillas de un tablero 4x4 el producto de los situados en cada fila sea el mismo y.LAS EDADES ESCONDIDAS . Edad de la chicas: Edad del profesor: Edad de Raúl: 7. ¿Y qué edad tienen esas tres chicas?. . Y con esto creo que queda todo bien claro. sabía la edad de su amigo. Raúl pensó un momento. Raúl coincidió con el profesor.¡Con que era eso!.¿Tienes prisa. . . . pero eso todavía no aclara las edades de ellas. Raúl?.. (Observó el profesor mientras su amigo tragaba el resto de su café y se levantaba para irse).. por supuesto. El profesor rió. coincida con el producto de los colocados en cada columna y en las dos diagonales principales?.Saco a pasear a tres muchachas en mi coche. la del profesor y la del propio Raúl?. El profesor negó con la cabeza. se encuentra el tesoro escondido?. que no ha sido dibujada a escala). Con el paso del tiempo y el abandono de la finca.8. se enterró un tesoro exactamente bajo el poste (situado en T) común a dos vallados internos de forma cuadrada y dispuestos como se indica en la figura. b = TS. Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. Toledo. Notaciones: a = QT. 16 . Pero se recuerda que el área de la finca era 12500 m2 y que el tesoro estaba enterrado más cerca de S que de Q. sólo quedaron los postes situados en Q y S cuya distancia entre ellos es 100 m.. en metros.. Todas las demás indicaciones habían desaparecido. ¿A qué distancia de Q.FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA Determinar los dos valores de x más próximos a 2004o que cumplen la siguiente ecuación: 1 1 1 1 1 1 − − 2 − − − = − 3 2 2 2 2 sen x cos x tg x cot g x sec x cos ec 2 x Solución: x1 = x2 = 9.EL TESORO ESCONDIDO En una finca cuya planta tenía forma de un trapecio PQRS (ver figura. f = PQ y h = RS Solución: A _________________ m. El Gran Visir. arroja al agua al que le toque cada vez”. Toledo. 20.10. ¿Cómo los colocó?.. 30. van a cruzar un río con un bote que sólo admite una carga de 50 a 70 Kg.MOROS Y CRISTIANOS Tras la batalla. el sultán Aben-Hazzar. mandó a su Gran Visir reunir a los 15 prisioneros cristianos y a otros 15 moros. “Colócalos en círculo y contando de 9 en 9. 17 . Solución: Considérate el Gran Visir y coloca en el siguiente cuadro a los 15 cristianos (C) y a los 15 moros (M) para cumplir sus deseos. con objeto de arrojar al mar a la mitad de ellos. que odiaba a los moros. colocó a los 30 prisioneros de tal forma que salvó a los 15 cristianos. 40 y 50 kilogramos. (ni menos de 50 ni más de 70). respectivamente. ¿Cómo lo cruzarán si deben procurar hacer el menor número posible de travesías?. Solución: Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas.TRAVESÍA POR PESO Cinco personas que pesan 10. 11.. si el diámetro de la boca del tubo se incrementa en 8%. 13.. La cuestión es: para una misma longitud de pasta.MUY ELEGANTE En la figura adjunta.PROBLEMA DEL DENTÍFRICO Cuando extendemos la pasta dentífrica en el cepillo no solemos reparar en su grosor y nos fijamos fundamentalmente en la longitud.. Toledo.12. un fabricante de pasta dentífrica decide incrementar el diámetro de la boca del tubo para así aumentar las ventas. Solución: Altura = Longitud = metros.CUADRADOS EN RECTÁNGULO El rectángulo de la figura ABCD está dividido en cuadrados. ¿cuánto mide B?.. metros. Calcula la altura y la longitud del rectángulo sabiendo que el cuadradito más pequeño de todos tiene 4 metros de lado. ¿en qué porcentaje se incrementa el volumen? Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. Solución: 14. 18 . Por tal motivo. quien expuso la respuesta acertada.. con razonamiento infalible. y decidió indultar a uno de los presos. se colgase una de estas cinco tiras.. ¿cuál es el área del rectángulo? 17.. que llamaremos A. Para procurar que este beneficio recayese en el más inteligente de los condenados. ¿Qué fue lo que dijo A y cómo lo razonó? 18. por separado. fueron capturados mientras robaban en el palacio de un Gobernador despótico.LOS TRES CONDENADOS Tres ladrones. Llamamos N al punto intersección del segmento AM con la diagonal BD.. 16. y dos tiras negras.. B y C.LA TIRA DE NUEVES Si el número 999…9 tiene 500 cifras. Podemos tender ropa en ambos lados de la cuerda. ordenó que a la espalda de cada preso.EL RECTÁNGULO En un rectángulo ABCD tomamos el punto medio M de CD y lo unimos a A. y a los pocos segundos pidió ser llevado ante el Gobernador.EL TENDEDERO Tenemos un tendedero en un patio que consta de una cuerda continua que se puede desplazar a un lado o a otro por medio de dos pequeñas poleas. ¿Cuántas cifras tiene el número (999. Prometió la libertad al que primero supiese acertar.9)2 – 1? Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. dispuso lo siguiente: A la vista de los presos mostró tres tiras de paño blancas. Toledo. Antes de cumplirse la sentencia. 1º Demuestra que es imposible tender ropa en toda la cuerda. Si el área del triángulo DNM es 1 m2.15. y condenados a muerte por el mismo. pero lo hacemos desde una ventana situada en un extremo del tendedero y que sólo nos permite acceder a un tercio de la longitud del mismo. 19 . pero que no se comunicasen.. 2º Supongamos que el tendedero mide 6 metros de largo (por tanto tenemos 12 metros de cuerda). El preso A vio que las tiras de B y C eran blancas. el color de su propia tira. el Gobernador se arrepintió de su severidad. Calcula cuál será la máxima longitud de cuerda que podemos aprovechar para tender. Hecho esto permitió que los presos se viesen libremente entre sí. Después. Como es un gran profesor de matemáticas. me contestó diciendo: “El número que forman las cifras de las posiciones 4 y 5 es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el teléfono de mi amigo? 20. 2.. Si N es el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas a dichos cuadrados.. y después elegir tu camino hacia la muerte o hacia la libertad. Toledo.. 21. uno siempre miente y el otro siempre dice la verdad. niño y niña. uno conducir a la selva.El punto H es el ortocentro del triángulo ABC. ¿Qué harías tú? SOLUCIÓN (razona la respuesta): Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas.EL TELÉFONO DE MI COLEGA Le pedí a mi amigo su número de teléfono (que tiene 7 cifras). Puedes hacer una sola pregunta a uno de ellos.. probar que: 1.DIFERENTES FIGURAS GEOMÉTRICAS Sea M un punto interior del segmento AB. a la olla”. de los dos guardias. 22. éste se llevará 2/3 de la herencia y 1/3 la madre. LA NIÑA: _______________________. muere disponiendo en su testamento que si nace niño. EL NIÑO: _______________________. ¿Pero cuál es cuál?. ésta se llevará 1/3 y 2/3 la madre.Los puntos B.. Cada camino está protegido por un guardián. N y C están alineados. al igual que el de las posiciones 5 y 6 y el de las posiciones 6 y 7. 20 . Si nace niña. cuya mujer está por dar a luz.EL EXPLORADOR INTELIGENTE Imagina que eres un explorador apresado por una tribu de caníbales y el jefe te ofrece una posibilidad de escapar: “Tú tener dos caminos.UN CASO IMPREVISTO Un hombre.19. La cosa está bastante negra. Pero hay una ligera pega. ¿Cómo deben repartirse la herencia si ésta consiste en 21 monedas de oro? LA MADRE: _____________________. Se construyen cuadrados AMCD y BEHM en el mismo lado de AB.. el otro. Ocurre que nacen mellizos. Las tres primeras cifras forman un cubo perfecto que es igual al producto de los otros cuatro dígitos”. dijo: No es cierto. según este reparto todas las hijas se llevarán el mismo número de perlas. 4 y 5.. 25. tras contar las perlas. dos perlas más 1/7 de las restantes. 24.23.. 21 . Cada una de las hijas recibirá: La primera. .. La tercera. ¿Cuánto vale el área del cuadrado? EL ÁREA DEL CUADRADO VALE: __________________________ Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. dejó en herencia cierto número de perlas y había que repartirlas de una forma muy especial. Las hijas menores se sintieron perjudicadas por este reparto. Al séptimo mes lo despide dándole la capa y 2 monedas de oro. más el juez.EL VALOR DE LA CAPA Un amo promete a su sirviente darle al cabo de un año 10 monedas de oro y una capa. ¿Cuántas hijas y perlas hay? HAY ____________ HIJAS Y __________ PERLAS..LA HERENCIA DEL RAJÁ Un día un rajá. tres perlas más 1/7 de las restantes.. inscribimos un cuadrado como se ve en la figura.EL CUADRADO INSCRITO En un triángulo rectángulo de lados 3. ¿Cuál es el valor de la capa? LA CAPA VALE:________________________. La segunda. Toledo. Así todas las hijas. una perla más 1/7 de las restantes. sobre sus lados. Determinar el área de dicho hexágono.UNO DE ÁLGEBRA Si 16 x 2 − 12 x + 1 = 0 .HEXÁGONO En el triángulo ACB se construyen. 27. Con 100 habitantes más sería un cuadrado perfecto más 1 y con otros 100 habitantes volvería a ser un cuadrado perfecto... 22 . Toledo. ¿Cuál será el menor número que habrá que sumarle para que sea divisible por 14? Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas..26. calcular el valor de J = 256 x 4 − 48 x 2 + 1 16 x 2 28.LOS HABITANTES DE VILLA HORACIA El número de habitantes de Villa Horacia es en un cierto instante un cuadrado perfecto.DIVISIBILIDAD POR 14 Al dividir un número x por 7 obtenemos de resto 6. De esta forma se determina un hexágono MFEKDP.. los cuadrados indicados en la figura. ¿Cuántos habitantes tenía Villa Horacia en el momento inicial? 29. Se come todas las cajas que contienen 6 bombones y otras tantas cajas de las que contienen 3 bombones. Las de 8 bombones están intactas. tal como se indica en la figura.3O. 22 + 42 + .EL HEXÁGONO Y EL HEXAGONITO Si el hexágono grande de la figura tiene 180 cm 2 de área. se sabe que su lado está formado por los lados de cuatro rombos y las hipotenusas de dos triángulos. es n ( n + 1) ( 2n + 1) .. + 202 es: 33.. entonces la suma de los diez 6 primeros cuadrados pares.. Los cuenta y tiene 85 bombones. 6 y 8 bombones. 23 .. 12 + 22 + 32 + .. + n2 . ¿Cuántas cajas tenía de cada clase? 32. Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas.MOSAICO De un mosaico cuadrado compuesto de triángulos rectángulos y de rombos.SUMA DE PARES Sabiendo que la suma de los n primeros cuadrados.. En el resto de las cajas de 3 bombones sólo queda un bombón en cada caja. Toledo. 31. calcula el área del hexágono central sombreado. Los lados de los rombos miden 1 unidad y los catetos de los triángulos rectángulos también miden 1 unidad.. ¿De cuántas piezas está compuesto el mosaico? (triángulos + rombos).COMIENDO BOMBONES Un muchacho tiene 215 bombones en cajas de 3.. . Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas...REUNIÓN DE NEGOCIOS En una reunión. · 2 · 1 (multiplicar diez por todos los enteros anteriores hasta el uno) ¿Cuál es el número más pequeño que multiplicado por 10! nos da un cubo perfecto? 38.EL FACTORIAL Designamos por n!. ¿cuánto será la suma de sus edades? 35. en cm2. Así por ejemplo: 5!=5×4×3×2×1=120 ¿Cuál es la última cifra de 20! que no es cero? 37..LA ABUELA Y EL NIETO Amparo le dijo a su nieto David: “Durante seis años seguidos mi edad ha sido un múltiplo de la tuya. Si el triángulo ABP tiene de área 12 cm2.UN CUBO Y UN FACTORIAL Con 10! (diez factorial) representamos al producto 10 · 9 · 8 · . donde n es un número natural.. ¿Cuál es el menor número posible de asistentes? 36.FIGURAS SEMEJANTES Los tres triángulos de la figura son rectángulos y semejantes. Cuando ocurra de nuevo que la edad de Amparo sea múltiplo de la de David. × 2 × 1 ..34.. determinar el área.. al producto n × ( n − 1) × ( n − 2 ) × .. pero este año ya no ha ocurrido eso”. del trapecio ABCD. 24 . exactamente el 76 % de los asistentes lleva móvil. Toledo. 25 . Tanto al ir como al volver lo hago con velocidad uniforme. ¿A qué distancia de mi casa está el punto en el que los tiempos empleados en ir desde casa y volver desde el instituto son los mismos? Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas.PODÍA ESTAR MÁS CERCA Mi casa dista del instituto 720 m. es la suma de las edades de sus tres hijos y hace N años era el doble de la suma de las edades T que sus hijos tenían entonces. ¿Cuál es el valor de ? N 40. Tardo 4 minutos al ir y 6 minutos al volver.PROBLEMA DE EDADES La edad actual de Juan. T años...39. Toledo.