Problemas de Optimizacion

MATEMÁTICAS I. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.Curso 2002 - 2003 20.- Una compañía de mensajería analiza tres gamas de demandas para sus servicios:  demanda semanal: Q 1 = 90.5 p 1  demanda día de fiesta: Q 2 = 35-.25p 2  demanda nocturna.: Q 3 =30-.20p 3 siendo la función de costes totales C(Q) = 25-20(Q 1 +Q 2 +Q 3 ) a) Hallar el precio que debe establecer e cada servicio con el fin de maximizar el beneficio obtenido. b) Demuestre que si la compañía maximiza su beneficio, al servicio en el que la elasticidad precio-demanda en el punto critico es más baja tiene un precio más bajo que lo demás. Solución: a) 1 p1 2 1 Q 2 =35- p 2 4 1 Q 3 =30- p 3 5 Q 1 = 90- C(Q) = 25-20(Q 1 +Q 2 +Q 3 ) Ingresos = P*Q= Q 1 p 1 +Q 2 p 2 +Q 3 p 3 Los beneficios serán nuestra función a maximizar → B=I-C B=(90-(1/2)p1)p1+(35-(1/4)p2)p2+(30-(1/5)p3)p3-25+20(90-(1/2)p1+35-(1/4)p2+30-(1/5)p3)= 1 2 1 2 1 2 p - p - p 3 +80p 1 +30p 2 +26p 3 +3075 2 1 4 2 5 hayamos el máximo: Bp 1 = -p 1 +80=0 ; p 1 = 80 Bp 2 = -(1/2) p 2 +30=0 ; p 2 =60 Bp 3 =-(2/5)p 3 +26=0 ; p 3 = 65 Estos son los valores que debemos estudiar si son máximos o minimos para ello estudiaremos el hessiano: Bp1p1=-1 H1=-1 <0 Bp2p2=-(1/2) H2=(1/2)>0 por lo tanto es un máximo. Bp3p3=-(2/5) H3=-(1/5)<0 b) Q 1 = 90-0.50*80=50 Q 2 = 25-.25*60=20 ∂q1 p1 * Eq 1 p 1 = =-0.50*(80/50)=-0.80 ∂p1 q1 Eq 2 p2 =-0.25*(60/20)=-0.75 Eq3 p3 =-0.20*(65/17)=-.0.76 Q 3 = 30-0.20*65=17 Sin número.- Una compañía destina su planta a la elaboración de dos tipos de bienes A y B. Obtiene un beneficio de 4u.m. por unidad de A y de 6u.m por unidad de B. Los números de MATEMÁTICAS I. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA. Curso 2002 - 2003 unidades de los dos tipos que puede producir mediante la planta están restringidos por la ecuación de transformación del producto dada por : x2 + y 2 + 2x + y − 4 = 0 con X erY los numeros de unidades ( en miles) de A y B respectivamente producidas por semana. Hallar las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar el beneficio así como el beneficio máximo Solución: Beneficio: 4x+6y Ecuación de Lagrange: β = 4 x + 6 y + λ ( x 2 + y 2 + 2 x + 4 y − 4) Bx= 4 + 2λx + 2λ = 0 By= 6 + 2λy + 4λ = 0 λ=− λ =− 2 x +1 3 y +2 y= 3 x −1 2 1 (3 x −1) 2 + 2 x + 2(3 x −1) − 4 = 0 4 13 x 2 + 26 x − 23 = 0; x2 + X = 12 13 − 2 * 13 6 * 36 −13 = = .66 2 * 13 13 X=.66 ; Y= .49 Bxx = 2λ Byy = 2λ Bxy = 0 H 2 = 4λ2 > 0 H1 < 0 máximo El beneficio es de 5.58miles de u.m. Sin número.- Sabiendo que la función de producción de una empresa es: 16 z = 65 − ( x − 5) 2 − 4( y − 4) 2 los precios unitarios de los imputs X e Y ( en situación de competencia perfecta) son de 8U.m.y 4U.m.respectivamente y que el precio del bien producido es de 32u.m. determinar el beneficio máximo. Sabiendo que el coste conjunto de abastecer de estas frutas el mercado es de: C=2d N 2 -2d N d P +d P 2 +37.Supongamos que los precios de los plátanos y naranjas se ven influidos por las demandas respectivas de uno y otro producto a través de las siguientes expresiones : p N =70-2d N -3d P .2003 Solución: Ingreso: 32Z Gastos: 8x+4y B = 32 z − 8 − 4 y = 2 * 65 − 2 * ( x − 5) 2 − 4 * ( y − 4) 2 − 8 x − 4 y = = 130 − 4( x − 5) − 8( y − 4) − 8 x − 4 y Bx = −8( x − 5) − 8 = 0 2 2 [ ] By = −16( y − 4) − 4) = 0 X =4 15 Y = 4 Bxx = −8 Bxy = 0 Byy = −16 H1 < 0 H2 > 0 por lo que es un máximo 22. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE.MATEMÁTICAS I. Curso 2002 . p P =110-3d N -5d P donde pN y dN representan el precio y la demanda de naranjas respectivamente y p P y dP lo análogo para los plátanos. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.5 .. 6X² . Bº = I – C = . Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.8Y – 4X + 70 = 0 Y= 5 X = 15/ 2 P1 al Precio de Plátanos P2 al Precio de las Naranjas Derivadas parciales BXX = -12 BXY = .MATEMÁTICAS I. .12X – 4Y + 110 = 0 BY = .4XY + 110X + 70Y – 37. C = 2Y² .5 Ingresos .2XY + X² + 37. H1 < 0 y H2 > 0 Entonces máximo.5 Derivadas primeras BX = . I= P1*X+ P2* Y= 110 X+ 70Y – 6XY – 5X² -2Y² Beneficio.4Y² .4 H2 = BYY = -8 -4 -8 H1 = -12 -12 < 0 -4 > 0. Curso 2002 .2003 ¿Cuál será la demanda óptima para que el beneficio del vendedor sea máximo? Solución: Si llamamos X a la Demanda de Plátanos y Y a la Demanda de Naranjas y P1 = 110 – 3Y – 5X P2 = 70 – 2Y – 3X Costes . .5q2² – 6 Q1*Q2 + 70 Q1 + 110 Q2 Costes = 2Q1² – 2 Q1*Q2 + Q2² + 37. Q2 = 15 / 2 BQ2 = .5 BQ1 = . Q 2 )= 2Q 1 2 -2Q 1 Q 2 +Q 2 2 +37. Curso 2002 .4Q1² – 6Q2² – 4Q1*Q2 + 70Q1+110*Q2 + 37. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA. Solución: Q1= Q2= P1= P2= Ingresos = P1*Q1+P2*Q2 = -2q1² . Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE.MATEMÁTICAS I.12 Q2 – 4 Q1 + 110 = 0 BQ1Q1= -8 -8 BQ1Q2= -4 BQ2Q2= -12 H= -4 -12 -4 > 0 ENTONCES ES UN MÁXIMO.8 Q1 . hallar los niveles de producción para cada producto que maximizan el beneficio así como el beneficio máximo.5 Beneficio = Ingreso – Costo = .4 Q2 + 70 = 0 Q1 = 5 . Q 2 =10+3p 1 -2p 2 Sabiendo que su función de coste total es C(Q 1 . .5.Las funciones de demanda para dos productos de un monopolista son: Q 1 =20-5p 1 +3p 2 .2003 * 23. .m.2003 24. p 2 =30-2q2 las funciones de demanda en cada mercado..m...m..m.. H1 < 0 y H2 > 0 Entonces máximo... el precio que pondrá en cada mercado y el beneficio total.......MATEMÁTICAS I...C = 40 Q1-5 Q1² + 20Q2 – 2Q2² – 6 Derivadas primeras BQ1= 40 – 10Q1 = 0 ..... Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE..La función de coste total de un monopolista es C(Q)=10Q+6 donde Q=q 1 +q 2 siendo p 1 =50-5q 1 . Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA. <0 Q1= 4 Q2= 5 ... C = 10Q + 6 = 10( Q1+Q2) + 6 = 10Q1 + 10 Q2 + 6 Beneficio........ P2 = 30 – 2 Q2 = 20 u. B = I .. Curso 2002 .m... Hallar la producción que maximiza su beneficio en cada mercado. BQ2= 20 – 4 Q2 = 0 ... I =P1*Q1+P2*Q2= (50 – 5Q1)*Q1+ (30–2Q2)*Q2= 50Q1-5Q1²+30Q2-2Q2² Costes... Entonces P1 = 30 u.. Bº = I – C = 124 u. Solución: Ingresos.. Derivadas parciales H1 -10 BQ1Q1= -10 -10 BQ1Q2 = 0 BQ2Q2 = -4 P1= 50 –5Q1 = 30 u... Entonces P2 = 20 u... H2= 0 -4 0 > 0 . H1 < 0 y H2 > 0 Entonces máximo. 4 K½ = 1 .(1/32) BKL (16.(3/8) < 0 .MATEMÁTICAS I. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE.(3/8) 1/16 > 0 .( 8K + 4 L ) Derivadas primeras BK = 8 K ˉ¾ * L ½ .2003 29.64) = . el nivel de producción y el beneficio máximo. Solución: Ingresos. L= 16 ^ (3/2) .(3/8) Q = 128 Bº = 128 . I = P * Q = 4 * (8K¼ * L½) = 32 K¼ * L½ Costes. Hallar los niveles de inputs que maximizan el beneficio de la empresa. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.8 K¼ * L ^(-3/2) H1 = H2 = 1/16 . BLL (16.64) = 1/ 16 BKK (16.(3/8) L = 64 . K½ = 4 .8 = 0 K ˉ¾ * L ½ = 1 L ½ = K¼ BL = 16 Lˉ ½ * K¼ . L = 4³.64) = . Curso 2002 . K= 16 L ½ = 16¾ ..La función de producción de una empresa es Q=8K 1 / 4 L 1 / 2 . Bº = I – C = (32 K¼ * L ½ ) . Derivadas parciales BKK = -6 K ^(-7/4) * L ½ sustituimos BKL = 4 K ^ (-3/4) * Lˉ ½ L=64 y K=16 BLL = . C= W * L + K * R = 8K + 4 L Beneficio. El precio de su producto por unidad es 4 y los precios de los inputs capital (K) y trabajo (L) son r=8 y w=4 respectivamente.4 = 0 4 K¼ * Lˉ ½ =1 4 K¼ * K ˉ¾ = 1 . MATEMÁTICAS I.O. Obtiene un beneficio que viene dado por B(x. donde x e y son los números de unidades de A y V. t . Se tiene un pedido de 1000 unidades. y=±3 . : 60 + x2 y3 + 20 + 10 z + 30 + + 25 + 2t + t 2 10 3 α ( x.2003 31. respectivamente. λ) = 60 + x −λ = 0 5 α'y = 1 + y2 − λ = 0 x2 y3 + 20 +10 z + 30 + + 25 + 2t + t 2 − λ( x + y + z + t −1000) 10 3 α 'x = α 'z = 10 − λ = 0 ⇒ λ = −10 α 't = 2 + 2t − λ = 0 Igualando a cero llegamos a los valores de: x=50 . d 2α > 0 ⇒ mínimo * 32. Curso 2002 . z . C3 ( z ) = 20 + 10 z. z.. t=4 1 5 α' ' yy = 2 y α' ' xx = α' ' xy = 0 α' ' xz = 0 α' ' xt = 0 α' ' yz = 0 α' ' yt = 0 α' ' zt = 0 α' ' zz = 0 α' 'tt = 2 d 2α = 1 2 dx + 2 ydy 2 + 2dt 2 5 para y=3 .T.Determinada compañía elabora dos tipos de bienes A y B. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. . z=943 . t.Cuatro plantas fabrican cuatro productos iguales x. y .. C2 ( y ) = 30 + y + . C4 (t ) = 25 + 2t + t 2 10 3 3 Hallar el número de unidades que debe fabricar cada planta para que los costes sean mínimos. Sabiendo que los costos de fabricación en cada planta son: C1 ( x) = 60 + x2 y . y. Solución: S. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.:x+y+z+t=1000 F .y)=2x 3 +y 3 . λ = y 2 2 2 α ' λ = − x − y + 100 = 0 ⇒ S .15) = 30 Hα(0.30) 2 sustituir y=x 2 en la restricción.2λ ⇒α' ' yy = (0.2003 Los números de unidades de los dos tipos que puede producir.x2 α ( x. x = 0. como y=10 ⇒ λ=15 porque Sí y=0 ⇒ x=15 porque x 2 +y 2 =100 .y)=2x 3 +y 3 S. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. Solución: F.MATEMÁTICAS I.T.:x 2 +y 2 =100 ⇒ y = + 100 . y .:x 2 +y 2 =100 ⇒ x 2 +4x 2 =100 ⇒ Sí x =2 5 x =2 5 ⇒ y =4 5 ⇒ λ =6 5 ⇒ ( 2 5. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.10. Hallar las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar el beneficio.10.10. 4 5 . como x=10 ⇒ λ=30 porque λ = 3x = 3 y ⇒ y = 2x 2 x= 3 y ⇒ (0.: B(x. S.15) = − 30 0 0 30 = -90 H0=1 H1=-30 H2=-90 duda Hα(10.30) = 60 0 0 − 60 =-3600 .0.0. λ ) = 2 x 3 + y 3 − λ ( x 2 + y 2 − 100) = 2 x 3 + y 3 − λx 2 − λy 2 + 100λ α ' x = 6 x 2 − 2λx = 0 ⇒ 2 x(3x − λ ) = 0. y = 0.O. : x2 + y2 = 100 PUNTO CRÍTICO Sí x=0 ⇒ y=10 porque x 2 +y 2 =100 .3 x = λ 3 α ' y = 3 y 2 − 2λy = 0 ⇒ y (3 y − 2λ ).6 5 ) α' ' xx = 12 x − 2λ ⇒α' ' xx (0. así como el beneficio máximo.15) 2 3 x = y ⇒ (10.10. están restringidos por la ecuación de transformación del producto dada por: x 2 +y 2 =100. Curso 2002 .T .T.15) = −30 α' ' xy = α' ' yx = 0 α' ' yy = 6y . En una planta industrial se consume un único input del que se dispone en una cantidad limitada de 8 unidades que es preciso consumir completamente.2003 H0=1 H1=-60 H2<0 duda Hα(2 5. 4 5 . En dicha planta funcionan tres procesos independientes entre los que es preciso repartir la cantidad disponible de input.MATEMÁTICAS I.6 5 ) = 4 5 8 5 4 5 12 5 0 8 5 0 12 5 <0 mínimo relativo 34. z las cantidades asignadas a cada uno de los procesos y .10. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.15) = 0 − 20 0 − 30 0 − 20 0 30 = 12000 > 0 máximo relativo 0 HO(10.6 5 ) = 12 5 0 0 >0 12 5 H0=1 H1>0 H2>0 mínimo relativo 0 HO(0. y. Sean x. 4 5 ..30) = − 20 0 − 20 60 0 0 0 − 60 = 240000 > 0 máximo relativo 0 HO( 2 5. Curso 2002 .0. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. y . λ) = 230 − (2 x + 2) 2 + 345 − (2y + 8) 2 + 186 − (2 z + 10) 2 + λ( x + y + z − 8) α ' x = −2(2 x + 2)2 + λ = 0 ⇒ λ = 8 x + 8 α ' y = −2(2 y + 8)2 + λ = 0 ⇒ λ = 8 y + 32 α ' z = −2(2 z + 10) 2 + λ = 0 ⇒ λ = 8 z + 40 S.: M=2x+4y . H 2 = −8 0 0 −8 = 64 > 0. z . Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. ¿Qué cantidad de factores debe asignarse a cada uno de los procesos productivos para que el rendimiento total sea máximo? Solución: α ( x.2003 f(x)=230-(2x+2) 2 . H1 = −8 < 0 Máximo relativo * 35.La función de utilidad de un consumidor es: U=2lnx+lny y su restricción presupuestaria es M=2x+4y.T.: x+y+z=8 z=x-4 3x=15 .: U=2lnx+lny S. Curso 2002 .MATEMÁTICAS I. h(z)=186-(2z+10) 2 los rendimientos obtenidos de ellos. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA. g(y)=345-(2y+8) 2 .T.. Solución: F. Hallar los niveles de x e y que el consumidor debe asignar a fin de maximizar su utilidad. x=5 y=x-3 y=2 z=1 α' ' xx = −8 α' ' yy = −8 α' ' zz = −8 −8 H3 = 0 0 0 −8 0 0 0 −8 = −512 < 0.O. 2003 α (x. λ = 1 x 1 1 = ⇒ x = 4y x 4y 1 1 1 − 4λ = 0.  12 3 λ= 3 M . 3   M . Curso 2002 .MATEMÁTICAS I. . : M = 2 x + 4 y = 0 α 'x = α ’ x =0 .λ (2x+4y-M) 2 2 − 2λ ⇒ − 2λ = 0 x x 1 1 α ' y = − 4λ ⇒ − 4λ = 0 y y α 'λ = −2 x − 4 y − M ⇒ −2 x − 4 y − M = 0 ⇒ S . Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA. . 3 12 M )= )= ( ( α' ' yy = −1 y2 −2 M 3 −1 M 12 )2 )2 = − 18 M2 − 144 M2 = Hα ( M M 3 . 1 −λ x ) = 0. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. M = 2x + 4y M = 2(4 y ) + 4 y ⇒ y = M = 2 x + 4( M 12 x )⇒x=M 4 3 1 1 ⇒λ= = M Hallar λ : x 3 M M PUNTO CRÍTICO  .T . λ )=2lnx+lny. −2 x2 α' ' xy = 0 α' ' xx = α ' 'xx ( α ' ' yy ( M M 3 . 3 12 M − 18 0 2 ) = M − 144 0 M2 H0= 1 H 1 <0 H 2 >0 máximo relativo . 2( α ’ y =0 . = 4λ.y. λ = y y 4y sustituyendo en la restricción. . 3 12 M M M 3 . Solución: F.: U=(x+2) (y+1) S.p y =5.λ (2x+5y-51) . λ )=(x+2)(y+1).: 2x+5y=51 (presupuesto: px x + py y) α (x. Sabiendo que su poder adquisitivo es de 51 u.m.La función de utilidad de un consumidor viene dada por U=(x+2) (y+1).y.2003 La función de U=2lnx+lny presenta un máximo relativo para el valor de x = M y el valor y = M 12 3 36. Curso 2002 .O. hallar los niveles de x e y que maximizan la utilidad del consumidor.T.. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.MATEMÁTICAS I. y que los precios respectivos de x e y son p x =2 . Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. 3)= H 0= 1 H 1= 0 H 2 =-1 duda 0 1 1 0 =-1 α ’ λ = -2x-5y+51 α ’’ λ x =-2 α ’’ λ y =-5 α ’’ λ λ = 0 HO(13.5. Solución: F. Hallar la combinación de K y L para minimizar el costo a un nivel de producción Q=32.3)= 0 2 5 2 0 1 5 1 0 =20>0 máxim o relativo Para x=13 e y=5 se maximiza la función de utilidad del consumidor U=(x+2) (y+1). Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE.T. x+2-5 λ =0 ⇒ y+2 = λ 5 α ’ λ =-2x-5y+51 ⇒ α ’ λ =0 .3) α ’’ x x = 0 α ’’ x y = 1 α ’’ y y = 0 Hα(13.MATEMÁTICAS I.O. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.5. Curso 2002 . 2x+5y=51: 2(5y+1)+5y=51 ..La función de producción de un fabricante es Q=4K 1 / 2 L 1 / 2 . 37.5. Su función de costo es C=2K+8L. y+1-2 λ =0 ⇒ y+1 = λ 2 α ’ y =x+2-5 λ ⇒ α ’ y =0 . x=13 5 hallar λ : λ =y+1 =5+1 =3 2 2 PUNTO CRÍTICO: (13.: 4K 1 / 2 L 1 / 2 =32 . y=5 2 2x+5(2x-1)=51 .: C=2K+8L S.2003 α ’ x =y+1-2 λ ⇒ α ’ x =0 . -2x-5y+51=0 (y+1)5=2(x+2) 5y+5=2x+4 y=2x-1 5y+1=x 5 2 sustituir en la restricción. 0625 α' 'KL (16.4.L.1 / 2 L 1 / 2 ⇒ α ’ K =0 .2)= H0= 1 H1> 0 H 2 < 0 duda 0. para L=4 y K=16 el costo es mínimo 2 0 .4.4.λ [(4K 1 / 2 L 1 / 2 )-32]= 2K+8L-( λ 4K 1 / 2 L 1 / 2 )+32 λ α ’ K = 2.4.2) = 0.2) = − 4 0 − <0 2 1 − 16 − 0 mínimo relativo.25 −1 − 4 − 16 1 HO (16.λ 2K .25 0.MATEMÁTICAS I.4. α ’ L = 8.2) α ' ' KK = λK − 3 2 − 1 L2 1 2 1 1 1 − − 1 −2 α ' ' KL = λ 2 K L = λK 2 L 2 2 1 3 1 3 − 1 − α ' ' LL = λ 2 K 2 − L 2 = −λK 2 L 2 2 α' 'KK (16. K=16 Hallar λ: λ = 1 K L 1 2 1 2 ⇒ λ=2 PUNTO CRÍTICO (16. λ= 1 K L2 1 2 1 λ= 2K L 1 2 1 1 − 2 2 1 2 8 2K L 1 2 − 1 2 λ= 1 K L 1 2 1 2 = 8 2K L 1 1 − 2 2 ⇒ = 4⇒ K L K = 4 ⇒ K = 4L L sustituir en la restricción. 4K 1 / 2 L 1 / 2 =32: 4(4 L) L = 32 ⇒ 8 L L = 32 ⇒ 8 L = 32 ⇒ L = 4 1 2 1 2 1 2 1 2 Sí L=4 . Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.2003 α (K. 2= λ 2K .0625 0.25 α' 'LL (16.1 / 2 ⇒ α ’ L =0 .λ 2K 1 / 2 L . λ )=2K+8L.1 / 2 L 1 / 2 .2) = −1 Hα(16. Curso 2002 .4. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE.2) = 0. La relación entre el importe de las ventas S y las cantidades x e y gastadas en dos medios de publicidad está dada por: S = 200 x 100 y + 5 + x 10 + y Sabiendo que el beneficio neto es la diferencia entre 1/5 de las ventas y el costo de la promoción y que el presupuesto para publicidad es de 25.2003 * 38.. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA. ¿cómo debe asignarse éste entre los dos medios para maximizar el beneficio neto? Solución: . Curso 2002 .MATEMÁTICAS I. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. y.10.10.2 x = 30.T . Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE.10. λ ) = + − ( x + y ) − λ ( x + y − 25) 5 + x 10 + y 40(5 + x) − 40 x 200 α 'x = −1 − λ = 0 ⇒ λ = −1 2 (5 + x) (5 + x) 2 20(10 + y ) − 20 x 200 α 'y = −1 − λ = 0 ⇒ λ = −1 2 (10 + y ) (10 + y ) 2 200 200 α 'x = α ' y ⇒ λ = −1 = − 1 ⇒ (5 + x) 2 = (10 + y ) 2 = 5 + x = 10 + y ⇒ x − y = 5. y=10 Hallar λ: λ = 200 200 200 1 −1 = −1 = −1 = − 2 2 (10 + y ) (10 + 10) 400 2 PUNTO CRÍTICO α 'xx = 1 (15.− ) − 1 2 20 0 − 1 20 0 H0= 1 H 1 =-1/20 < 0 H2> 0 1 definido negativamente: máximo relativo en (15.2003 Bneto = 1 1 200 x 100 y S −C = ( + 5 5 5 + x 10 + y ) − ( x + y) α ( x. λ ) = f ( x.−2 ) . y ) − λg ( x.− ) = 0 2 1 1 α' yy (15. : x + y = 25 (5 + x) 2 (10 + y ) 2 Sustituir en la restricción. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.T .10. x + ( x − 5) = 25. y ) 40 x 20 y α ( x. y = x − 5 α ' λ = −x − y + 25 = 0 ⇒ S .− ) 2 1 1 2 20 1 α' xy (15.MATEMÁTICAS I.− ) = − 2 20 H α = − 200 ⋅ 2(5 + x ) − 400 = (5 + x ) 4 (5 + x )3 α 'xy = 0 α' xx (15.− ) = − α ' yy = − 200 ⋅ 2(10 + y ) − 400 = 4 (10 + y ) (10 + y )3 1 (15. y .10. x = 15 Sí x=15. : C = x + y = 25 Curso 2002 .10. ventas = S = 200 x 100 y + 5 + x 10 + y S . 550.000 20.000 u.000=x .000 α 'x = y +1 − 20000λ = 0 ⇒ λ = Sustituir en la restrición: 50000( y +1) = 20000( x + 2) 50000 y + 50000 = 20000 x + 40000 α’x= y+1-20.T .000 u. Curso 2002 .000 α’λ= -20.550. Estadísticamente se ha estimado que la relación entre estas variables es V=(x+2) (y+1).000(y+1)=20.m. Sabiendo que un anuncio en la prensa vale 20.000-50..000x+40.000y+2. y. 1'32*10-3) .2003 39.550..000x-10.000=20.000 u.000 50. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.000y+50.000(x+2) α’y= x+2-50. determinar la política publicitaria óptima. un minuto en TV 50..000y+10.550.000λ=0 ⇒ y+1 =λ 20. y.000=0 ⇒ S.El volumen de ventas de un detergente es función del número de anuncios en la prensa x y del número de minutos de propaganda en TV. Solución: F.000 50.: 20.000λ=0 ⇒ x+2 = λ 50.MATEMÁTICAS I.T.T.m. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. y que el presupuesto para publicidad es de 2.000 50.000x + 50000y = 2.000x+2.000=2'55*106 50.m.O.550. 25'4. y=20.: V=(x+2)(y+2) S.: 20. : 20.000 (presupuesto: px x + py y) α ( x. λ) = ( x + 2) ⋅ ( y + 1) − λ ⋅ (20000 x + 50000 y − 2550000) y +1 y +1 x+2 20000 λ= = x +2 20000 50000 α ' y = x + 2 − 50000λ = 0 ⇒ λ = 50000 α 'λ = −20000 x − 50000 y − 2550000 ⇒ S .000 PUNTO CRÍTICO (64.000x+50000y=2.000 sustituir en restricción x= 64 y=25'4 hallar λ: λ= y+1 = 1'32*10-3 20. m. para propósitos de producción. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA. Curso 2002 .000y+2.: Q(L.25'4. y 300 u.550.000 α''λx=-20.anunciarnos durante 25'4 min en TV (y=25'4) 40.000 u.000λ α'y= x+2-50.0'00132) = H0=1>0 H1=0 H2<0 duda 0 1 1 0 = -1 < 0 α'λ=-20.000 0 1 −50.24'5.000 1 0 = 10*108> para obtener una política presupuestaria óptima debemos: .000x-50.000 −50.MATEMÁTICAS I.000 0 α''λλ=0 HO (64.: 100L+300K=45.La función de producción de una empresa viene dada por Q(L.O.000λ α''xx=0 α''xy=1 α''yy=0 H α(64.0'00132)= 0 − 20.m.000 .m.000 α''λy=-50.2003 α'x= y+1-20.K)=50L 2 / 3 K 1 / 3 donde L y K representan respectivamente el número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y Q es el número de unidades elaboradas del producto.. respectivamente y que la empresa dispone de una cantidad de 45.K)=50L2/3 S. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE.T.editar 64 anuncios en prensa (x=64) . Sabiendo que los costos por unidad de mano de obra y capital empleados son de 100 u. se pide: Solución: F.000 −20. 000 1/3 L-1/3 K1/3 = 1/18 L2/3 K-2/3 6 L-1/3 K1/3 = L2/3 K-2/3 .: 100L-300K=45. Curso 2002 .T.50) = L K ∂L 3 ∂Q 50 3 − 3 (300.2003 a) Determinar. 6 L-1/3 K1/3 = 1 ⇒ 6L-1K-1=1 L2/3 K -2/3 La condición de pimer orden es: 6 K = L.000=0 ⇒ S. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. el cociente de las productividades marginales de los factores es igual al cociente de sus costes unitarios.K. K = L 6 b) Demuestre que en este nivel de producción.000) α´L=100L-1/3K1/3-100λ= 0 ⇒ 100/3 L-1/3K1/3 =λ ⇒ 1 L-1/3K1/3 100 3 α´K=50L2/3K-2/3-300λ=0 ⇒ 50/3 L2/3K-2/3 =λ ⇒ 5 L2/3K-2/3 3 300 90 α´λ=-100L-300K+45. la combinación de mano de obra y de capital que la empresa deberá utilizar con objeto de maximizar su producción. ∂Q 100 −3 3 (300. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA. utilizando sólo las condiciones de primer orden.MATEMÁTICAS I.λ)= 50L2/3-λ(100L+300K-45.50) = L K ∂K 3 2 2 1 1 Q'L=50/3 2L-1/3 K1/3 = 2K = 250 = 1 50/3 2L2/3 K-2/3 L 300 3 Q'L= 100 = 1 Q'K 300 3 Cociente costes unitarios Cociente productividades marginales de los factores en ese nivel de producción . α(L. C=5/4 .R)=L 2 +C 2 +R 2 . sabiendo que los factores de producción deben verificar las condiciones L+C+R=6..Dada la función de producción q=f(x. µ=9/4 α' 'LL = 2 α' 'CC = 2 α' 'RR = 2 α' 'LC = 0 α' 'LR = 0 α' 'CR = 0 α ' 'LL α ' 'LC 2 0 = =4>0 α ' 'LC α ' 'CC 0 2 H1 = α ' 'LL = 2 > 0.C. λ=19/4 . H 2 = α ' 'LL α ' 'LC α ' 'LR 2 0 0 H 3 = α ' 'LC α ' 'CC α ' 'CR = 0 2 0 = 8 > 0 α ' 'LR α ' 'CR α ' 'RR 0 0 2 mínimo relativo 42. λ )=f(x.y).λ g(x. Solución: Q=f(x. L-C-R=1.MATEMÁTICAS I.λ (ax+by+c-C) . Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.2003 * 41.y) α (x. L=7/2 . conociendo C(disponibilidad). y. a y b los precios respectivos de dichos factores y c los costes fijos. siendo x e y factores de producción. y.y).Dada la función de producción Q=f(L. hallar las condiciones de primer orden para la producción sea máxima. Curso 2002 . calcular los niveles mínimos de producción.y) y la restricción C=ax+by+c. C=ax+by+c α (x. λ )=f(x.. Solución: α = L2 + C 2 + R 2 − λ( L + C + R − 6) − µ ( L − C − R − 1) α 'L = 2 L − λ − µ α 'C = 2C − λ − µ α 'R = 2 R − λ − µ Restricciones: L+C+R=6 y L-C-R=1 . R=5/4 .y) . Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. y)=20x 3 / 2 y ejemplares de libros. aproximadamente.MATEMÁTICAS I. Supongamos que al editor le han asignado 61.T. para invertir en desarrollo y la promoción.O.y)=20x2/3y S.000 euros adicionales.A un editor se le han asignado 60.000.000 euros en vez de 60. Curso 2002 .. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.000 euros para invertir en el desarrollo y la promoción de un nuevo libro.: ax+by+c=C 43.200 euros.: x+y=60 . se venderán aproximadamente f(x.: f(x. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. Y si le asignaran 60. ¿Cuánto dinero debe invertir el editor en desarrollo y cuanto en la promoción para maximizar las ventas?.T. Calcular aproximadamente de que manera afectaran al nivel máximo de ventas los 1. con el nivel máximo de ventas? Solución: F.2003 α ´ x =f' x -a λ =o ⇒ λ = α ´ y =f' y -b λ =0 ⇒ λ = α ´ x =-ax-by-c-C =0 f' x a f' y b f' x f' y = =λ a b ⇒ S. ¿qué sucede. Se calcula que si se gastan x miles de euros en desarrollo e y miles en promoción. 24. α''yy(36.2003 α (x. λ=4320 PUNTO CRÍTICO (36.24.24.4320) α'x=30x y-λ 1/2 α'y=20x3/2-λ α'λ=-x-y+60.4320) = 1 1 máximo relativo .000=0 ⇒ S.T.(60) > 0 0 HOα(36. α´λλ(36.: x+y=60 3y+y=60 2 x+2x=60 3 30x1/2y=20x1/2 . y=20x3/2=2x . x=36 3/2 hallar λ: λ=20x .4320)= 180 . λ)=20x2/3-λ(x+y-60) α´x=30x1/2y-λ=o⇒ 30x1/2y=λ α´y=20x3/2-λ=o ⇒ 20x1/2=λ α´λ=-x-y+60. α''xx (36.4320) Hα(36.24.24.: x+y=60 sustituir en la restricción S.y) α (x.24. λ)=f(x.4320) = 60 α''yy=0 α´λλ=30x 1/2 . y.y)-λg(x. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE.4320) = 60 180 180 0 H0=1 H1=60 H2<0 duda 0 HOα = g ' X g 'Y g'X g 'Y α ' ' XX α ' 'YX α ' ' XY α ' 'YY 0 1 60 180 1 180 = (180 +180) . Curso 2002 . y. 30y=x3/2 ⇒ 3y=x 30x1/2 3 20 x1/2 2 3y+2y=120 3x+2x=60 5y=120 . Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.T. y=24 5x=180 .000 α''xx=15x--1/2y.MATEMÁTICAS I. 680+0’2*4. Curso 2002 . Padrón Noda Alumnos de Primero Grupo B en la Licenciatura de Economía Curso 2002 – 2003.680 unidades de millar de ejemplares Análisis de sensibilidad x+y=60 ⇒ λ=4.320 Ejercicios resueltos por: Jacobo Alvarado Sosa Marta Bernabé Castellano David González Márquez Efrén Hernández Martín Olaya López Carballiño Javier R. Tema 5: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE. Tema 6: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA.2003 V(36. se modifica 4.320) x+y=61 V= 103.320 x+y=60’2 V=103. Gracias adelantadas de los posibles usuarios .24)=103.MATEMÁTICAS I.O.320 (el λ mide que por cada unidad que se modifique mi recurso mi F.680+4.