TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICOINSTITUTO TECNOLOGICO DE OCOTLAN Ingeniería Industrial INV. DE OPERACIONES I Modelación Dr. José Luis González García 1.- Un problema de producción. La Swelte Glove Company fabrica y vende dos productos. Dicha compañía obtiene una ganancia de $12 por cada unidad que vende de su producto 1, y de $4 por cada unidad de su producto 2. Los requerimientos en términos de horas de trabajo para la fabricación de estos productos en los tres departamentos de producción se enumeran de manera resumida en la siguiente tabla. Los supervisores de estos departamentos han estimado que tendrán las siguientes disponibilidades de horas de trabajo durante el próximo mes: 800 horas en el departamento 1, 600 horas en el departamento 2 y 2,000 horas en el departamento 3. Suponiendo que la compañía esté interesada en maximizar las ganancias, desarrolle usted el modelo de programación lineal correspondiente. 2.- Problema de producción. Wood Walker es propietario de un pequeño taller de fabricación de muebles. En ese taller fabrica tres tipos diferentes de mesas: A, B y C. Con cada mesa, se requiere determinado tiempo para cortar las partes que la constituyen, ensamblarlas y pintar la pieza terminada. Wood podrá vender todas las mesas que consiga fabricar. Además, el modelo C puede venderse sin pintar. Wood emplea a varias personas, las cuales trabajan en turnos parciales, por lo cual el tiempo disponible para realizar cada una de estas actividades es variable de uno a otro mes. A partir de los datos siguientes, formule usted un modelo de programación lineal que ayude a Wood a determinar la mezcla de productos que le permitirá maximizar sus ganancias en el próximo mes. 3.- Planificación financiera. Willie Hanes es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar las carteras de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de $100,000. A ese cliente le agradaría restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule usted un PL para mostrar cuántas acciones de cada tipo tendría que comprar Willie con el fin de maximizar el rendimiento anual total estimado de esa cartera. 1 TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE OCOTLAN Ingeniería Industrial INV. DE OPERACIONES I Modelación Dr. José Luis González García 4.- Problema de integración. Douglas E. Starr, administrador de la perrera Heavenly Hound Kennels, Inc., ofrece alojamiento en plan de pensión para mascotas. La comida de los perros alojados en la perrera se prepara mezclando tres productos granulados, con lo cual se obtiene una dieta bien balanceada para los canes. La información sobre los tres productos se muestra en la siguiente tabla. Si Douglas quiere asegurarse de que cada uno de sus perros ingiera diariamente cuando menos 8 onzas de proteínas, 1 onza de carbohidratos y no más de 0.5 onzas de grasas, ¿qué cantidad de cada producto en grano deberá incluirse en el alimento de los perros a fin de minimizar los costos de Douglas? (Nota: 16 onzas = 1 libra.) 5.- Un problema de integración. McNaughton, Inc. produce dos salsas para carne: Spicy Diablo y Red Baron (la más suave).Estas salsas se hacen mezclando dos ingredientes, A y B. Se permite cierto nivel de flexibilidad en las fórmulas de estos productos. Los porcentajes permisibles, así como la información acerca de ingresos y costos, aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. McNaughton puede vender toda la salsa que elabore. Formule un modelo PL cuyo objetivo sea maximizar las ganancias netas obtenidas por la venta de estas salsas. 6.- Un problema de integración. La Corey Ander’s Spice Company dispone de una cantidad limitada de tres ingredientes que se utilizan en la producción de condimentos. Corey emplea los tres ingredientes (HB01, HB02 y HB03) para la elaboración de cúrcuma y pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que la compañía puede vender todo el pimentón que sea capaz de producir, pero solamente puede vender un máximo de 1,700 botellas de cúrcuma. Los ingredientes no utilizados podrán venderse en el mercado. Los precios están expresados en $/onza. Los precios actuales son: HB01, $0.60; HB02, $0.70; HB03, $0.55. Además, Corey ha firmado un contrato para suministrar 600 botellas de pimentón a Wal-Mart. En la siguiente tabla se ofrece información adicional. Formule el problema de Corey como un modelo de programación lineal para maximización de ingresos 2 TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE OCOTLAN Ingeniería Industrial INV. DE OPERACIONES I Modelación Dr. José Luis González García 7.- Un problema de mezcla. Guy Chung, superintendente de los edificios y del terreno circundante de la Universidad Gótica, ha planeado aplicar fertilizante al césped del área cuadrangular a principios de la primavera. Ese prado necesita por lo menos las cantidades de nitrógeno, fósforo y potasio que figuran en la siguiente tabla. Hay tres tipos de fertilizante comercial disponibles; los análisis y precios por 1,000 libras se enlistan en la siguiente tabla. Guy puede comprar cualquier cantidad de cualquiera de los fertilizantes que quiera y combinarlos antes de aplicarlos al césped. Formule un modelo de PL que determine la cantidad de cada fertilizante que debe comprar para satisfacer los requerimientos con un costo mínimo. 8.- Un problema de producción. La Ebel Mining Company es propietaria de dos minas que producen cierto tipo de mineral. Dichas minas están localizadas en distintas partes del país y, en consecuencia, presentan diferencias en sus capacidades de producción y en la calidad de su mineral. Después de ser molido, el mineral se clasifica en tres clases dependiendo la calidad: alta, mediana y baja. Ebel ha sido contratada para suministrar semanalmente a la planta de fundición de su compañía matriz 12 toneladas de mineral de alta calidad, 8 toneladas de calidad mediana y 24 toneladas de calidad baja. A Ebel le cuesta $20,000 diarios operar la primera mina y $16,000 la segunda. Si embargo, en un día de operación, la primera mina produce 6 toneladas de mineral de alta calidad, 2 toneladas de mediana y 4 toneladas de baja, mientras que la segunda produce 2 toneladas diarias de material de alta calidad, 2 de mediana y 12 de baja. ¿Cuántos días a la semana tendría que funcionar cada mina para cumplir los compromisos de Ebel de la manera más económica posible? (En este caso resulta aceptable programar la operación de las minas en fracciones de día.) 9.- Un problema de producción. Cada una de las tres máquinas fabrica dos productos. Para elaborar una libra de cada producto se requiere una cantidad determinada de horas de trabajo en cada máquina, como se indica en la siguiente tabla. Las horas disponibles en las máquinas 1, 2 y 3 son 10, 16 y 12, respectivamente. Las contribuciones a las ganancias correspondientes a cada libra de los productos 1 y 2 son $4 y $3, respectivamente. Defina las variables de decisión, formule este problema como un programa lineal para la maximización de ganancias y resuélvalo. 3 TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE OCOTLAN Ingeniería Industrial INV. DE OPERACIONES I Modelación Dr. José Luis González García 10.- La Sally Solar Car Co. tiene una planta que fabrica automóviles sedán, deportivos y camionetas. Los precios de venta, costos variables y costos fijos correspondientes a la manufactura de estos vehículos se presentan en la siguiente tabla. Sally ha recibido recientemente pedidos por un total de 100 sedanes, 200 camionetas y 300 automóviles deportivos. Deberá atender todos esos pedidos. Ella desea planear la producción de manera que pueda alcanzar el punto de equilibrio con la mayor rapidez posible; es decir, quiere asegurarse de que el margen total de contribución sea igual al total de costos fijos y que los costos Variables de producción sean mínimos. Formule este problema como modelo de PL y resuélvalo. 11.- Planificación de cartera. Una compañía de inversiones tiene actualmente $10 millones disponibles para la inversión. La meta que se ha trazado consiste en maximizar la retribución esperada durante el siguiente año. Sus cuatro posibilidades de inversión se presentan resumidas en la siguiente tabla. Además, la compañía ha especificado que cuando menos 30% de los fondos tendrán que colocarse en acciones ordinarias y bonos de la Tesorería y que no más de 40% del dinero deberá invertirse en fondos de mercado y títulos municipales. Se invertirá la totalidad de los $10 millones actualmente a la mano. Formule un modelo de PL que indique a la empresa cuánto dinero debe invertir en cada instrumento. 4 TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE OCOTLAN Ingeniería Industrial INV. DE OPERACIONES I Modelación Dr. José Luis González García 12.- Administración de granjas. Una compañía opera cuatro granjas, cuyos grados de productividad son comparables. Cada una de las granjas tiene cierta cantidad de hectáreas útiles y de horas de trabajo para plantar y cuidar la cosecha. Los datos correspondientes a la próxima temporada aparecen en la siguiente tabla. La organización está considerando la opción de plantar tres cultivos distintos. Las diferencias principales entre estos cultivos son las ganancias esperadas por hectárea y la cantidad de mano de obra que cada uno requiere, como se indica en la siguiente tabla. Además, el total de las hectáreas que pueden ser dedicadas a cualquier cultivo en particular están limitadas por los requerimientos asociados por concepto de equipo de siega. Con la finalidad de mantener una carga de trabajo más o menos uniforme entre las distintas granjas, la política de la administración recomienda que el porcentaje de hectáreas plantadas deberá ser igual para todas las granjas. Sin embargo, en cualquiera de esas fincas puede crecer cualquier combinación de cultivos, siempre y cuando se satisfagan todas las restricciones (incluido el requerimiento de que la carga de trabajo sea uniforme). La administración desea saber cuántas hectáreas de cada cultivo tendrá que plantar en sus respectivas granjas, a fin de maximizar las ganancias esperadas. Formule este caso como un modelo de programación lineal y resuélvalo. 13.- Un problema de integración. La administración de un viñedo desea combinar cuatro cosechas distintas para producir tres tipos de vinos en forma combinada. Las existencias de las cosechas y los precios de venta de los vinos combinados se muestran en la siguiente tabla, junto con ciertas restricciones sobre los porcentajes incluidos en la composición de las tres mezclas. En particular, las cosechas 2 y 3 en conjunto deberán constituir cuando menos 75% de la mezcla A y cuando menos 35% de la mezcla C. Además, la mezcla A deberá contener cuando menos 8% de la cosecha 4, mientras que la mezcla B deberá contener por lo menos 10% de la cosecha 2 y a lo sumo 35% de la cosecha 4. Se podrá vender cualquier cantidad que se elabore de las mezclas A, B y C. Formule un modelo de PL que aproveche en la mejor forma las cosechas disponibles y resuélvalo. 5 TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE OCOTLAN Ingeniería Industrial INV. DE OPERACIONES I Modelación Dr. José Luis González García 14.- Un problema de programación. Cierto restaurante atiende al público los siete días de la semana. La administración ha contratado camareros para que trabajen seis horas diarias. En el contrato firmado con el sindicato se estipula que cada uno de ellos debe trabajar cinco días consecutivos y descansar dos. Todos los camareros perciben el mismo salario. En la siguiente tabla aparecen los requerimientos de personal. Suponga que este ciclo de requerimientos se repite indefinidamente y Pase por alto el hecho de que la cantidad de camareros contratados tiene que ser un número entero. La gerencia desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estos requerimientos a un costo mínimo. Formule este problema como modelo de PL y resuélvalo. 15.- Un problema de producción. Una planta tiene suficiente capacidad para manufacturar cualquier combinación de cuatro productos diferentes (A, B, C, D). Para cada producto se requiere invertir tiempo en cuatro máquinas distintas, el cual está expresado en minutos por kilogramo de producto, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Cada máquina tiene una disponibilidad de 60 horas por semana. Los productos A, B, C y D pueden venderse a $9, $7, $6 y $5 por kilo, respectivamente. Los costos variables de mano de obra son de $2 por hora para las máquinas 1 y 2, y de $3 por hora para las máquinas 3 y 4. Los costos de material para cada kilo del producto A son de $4. Los costos de material para cada kilo de los productos B, C y D son de $1. Formule un modelo de PL que maximice las ganancias, dada la demanda máxima por producto que se muestra a continuación, y luego resuélvalo. 6 TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE OCOTLAN Ingeniería Industrial INV. DE OPERACIONES I Modelación Dr. José Luis González García 16.- Un problema de producción. Un fabricante tendrá que atender cuatro pedidos de producción, A, B, C y D, en este mes. Cada trabajo puede ser llevado a cabo en cualquiera de los tres talleres. El tiempo necesario para completar cada trabajo en cada uno de esos talleres, el costo por hora y la cantidad de horas disponibles que tendrá cada taller durante este mes aparecen en la siguiente tabla. También existe la posibilidad de dividir cada uno de los trabajos entre los distintos talleres, en cualquier proporción que se desee. Por ejemplo, una cuarta parte del trabajo A puede hacerse en 8 horas en el taller 1 y una tercera parte del trabajo C puede hacerse en 19 horas en el taller 3. El fabricante desea determinar la cantidad de horas de cada trabajo que deberán realizarse en cada taller, para minimizar el costo total de terminación de los cuatro trabajos. Identifique las variables de decisión, formule un modelo de PL para este problema y finalmente resuélvalo. 17.- Kelson Sporting Equipment, Inc. fabrica dos tipos diferentes de guantes de beisbol: un modelo regular y un modelo para catcher. La empresa dispone de 900 horas de tiempo de producción en su departamento de corte y confección, 300 horas en su departamento de acabados y 100 horas en su departamento de empaque y envío. Los requerimientos de tiempo de producción y la contribución a las utilidades por guante se proporcionan en la tabla siguiente: Suponiendo que la empresa está interesada en maximizar la contribución total a las utilidades, responda lo siguiente: ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? 7 TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE OCOTLAN Ingeniería Industrial INV. DE OPERACIONES I Modelación Dr. José Luis González García 18.- Al restaurante Sea Wharf le gustaría determinar la mejor manera de asignar un presupuesto de publicidad mensual de $1000 entre los periódicos y la radio. La gerencia decidió que debe invertir por lo menos 25% del presupuesto en cada tipo de medio y que la cantidad de dinero gastada en la publicidad en los periódicos locales debe ser por lo menos del doble de la publicidad invertida en radio. Un consultor de marketing elaboró un índice que mide la penetración en la audiencia por dólar de publicidad en una escala de 0 a 100, en el que los valores más altos implican una mayor penetración. Si el valor del índice para la publicidad en los periódicos locales es 50 y el valor del índice para el espacio publicitario en la radio es 80, ¿cómo debe asignar el restaurante su presupuesto de publicidad para maximizar el valor de la penetración total en la audiencia? Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para determinar cómo debe asignar el restaurante su presupuesto de publicidad con la finalidad de maximizar el valor de la penetración total en la audiencia. 19.- New England Cheese produce dos quesos untables al mezclar queso cheddar suave con cheddar extra fi no. Los quesos untables se empacan en envases de 12 onzas que se venden a distribuidores de todo el noreste. La mezcla Regular contiene 80% de queso cheddar suave y 20% de cheddar extra fi no, y la mezcla Zesty contiene 60% de cheddar suave y 40% de extra fi no. Este año la cooperativa lechera ofreció proporcionar hasta 8100 libras de queso cheddar suave por $1.20 la libra y hasta 3 000 libras de queso cheddar extra fi no por $1.40 la libra. El costo de mezclar y empacar los quesos untables, sin incluir el costo del queso, es $0.20 por envase. Si cada envase de queso Regular se vende en $1.95 y cada envase de queso Zesty se vende en $2.20, ¿cuántos envases de cada producto debe producir New England Cheese? 20.- Applied-Technology, Inc. (ATI) fabrica cuadros para bicicleta utilizando dos materiales de fibra de vidrio que mejoran la razón fuerza a peso de los cuadros. El costo del material de calidad estándar es $7.50 por yarda y el costo del material de calidad profesional es $9.00 por yarda. Los materiales de ambas calidades contienen diferentes cantidades de fibra de vidrio, fibra de carbón y Kevlar, como muestra la tabla siguiente: ATI firmó un contrato con un fabricante de bicicletas para producir un cuadro nuevo con por lo menos 20% de contenido de fibra de carbón y no más de 10% de contenido Kevlar. Para cumplir con la especificación de peso requerida, se debe utilizar un total de 30 yardas de material para cada cuadro. a. Formule un programa lineal para determinar el número de yardas de cada calidad de material de fi bra de vidrio que ATI debe utilizar en cada cuadro para minimizar el costo total. 8 TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE OCOTLAN Ingeniería Industrial INV. DE OPERACIONES I Modelación Dr. José Luis González García 21.- Southern Oil produce gasolina de dos grados: regular y premium. La contribución a las utilidades es $0.30 por galón para la gasolina regular y $0.50 por galón para la gasolina premium. Cada galón de gasolina regular contiene 0.3 galones de petróleo crudo de grado A y el galón de gasolina premium contiene 0.6 galones de petróleo crudo de grado A. Para el siguiente periodo de producción, Southern cuenta con 18,000 galones de petróleo crudo de grado A. La refinería que produce la gasolina tiene una capacidad de producción de 50,000 galones para el periodo de producción siguiente. Los distribuidores de Southern Oil han indicado que la demanda de gasolina premium para el siguiente periodo de producción será como mínimo de 20,000 galones. Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para determinar el número de galones de gasolina regular y el número de galones de gasolina Premium que deben producirse para maximizar la contribución total a las utilidades. 22.- Expedition Outfi tters fabrica una variedad de ropa especial para excursionismo, esquí y alpinismo. Han decidido comenzar la producción de dos nuevos parkas diseñados para utilizar en un clima extremadamente frío: Mount Everest y Rocky Mountain. Su planta de manufactura tiene 120 horas de tiempo de corte y 120 horas de tiempo de costura disponibles para producir estos dos parkas. Cada parka Mount Everest requiere 30 minutos de tiempo de corte y 45 de tiempo de costura, y cada parka Rocky Mountain requiere 20 minutos de corte y 15 de costura. El costo de la mano de obra y del material es $150 para cada parka Mount Everest y $50 para cada parka Rocky Mountain, y los precios al menudeo en el catálogo de pedidos por correo de la empresa son $250 por el parka Mount Everest y $200 por el parka Rocky Mountain. Como la gerencia considera que Mount Everest es un abrigo único que mejorará la imagen de la empresa, especificaron que la producción de este modelo debe ser por lo menos 20% de la producción total. Suponiendo que Expedition Outfitters puede vender todos los abrigos de cada tipo que pueda producir, ¿cuántas unidades de cada modelo debe fabricar para maximizar la contribución total a las utilidades? 23.- Creative Sports Design (CSD) fabrica una raqueta de tamaño estándar y una de tamaño grande. Las raquetas de la empresa son sumamente ligeras debido a que se fabrican con una aleación de magnesio y grafito que inventó el fundador de la empresa. Cada raqueta tamaño estándar utiliza 0.125 kilogramos de la aleación y cada raqueta grande 0.4 kilogramos; para el siguiente periodo de producción de dos semanas sólo se cuenta con 80 kilogramos de la aleación. Para cada raqueta estándar se emplean 10 minutos de tiempo de manufactura y para cada raqueta grande 12 minutos. Las contribuciones a las utilidades son de $10 para cada raqueta estándar y de $15 para cada raqueta grande, y se dispone de 40 horas de tiempo de manufactura cada semana. La gerencia especificó que la raqueta estándar debe constituir por lo menos 20% de la producción total. ¿Cuántas raquetas de cada tipo debe fabricar CSD durante las dos semanas siguientes para maximizar la contribución total a las utilidades? Suponga que, debido a la naturaleza única de sus productos, CSD puede vender todas las raquetas que produzca. 24.- Digital Imaging (DI) fabrica impresoras fotográficas para los mercados profesional y de consumo. La división consumo de DI recientemente introdujo dos impresoras fotográficas que producen impresiones a color que rivalizan con aquellas hechas en un laboratorio de procesamiento profesional. El modelo DI-910 puede producir una impresión a hoja completa de 4" x 6" en aproximadamente 37 segundos. La DI-950, más sofisticada y rápida, puede producir incluso una impresión a hoja completa de 13" x 19". Las proyecciones financieras muestran una contribución a las utilidades de $42 por cada DI-910 y $87 por cada DI-950. Las impresoras se ensamblan, prueban y empacan en la planta de DI localizada en New Bern, Carolina del Norte, la cual está muy automatizada y utiliza dos líneas de manufactura para fabricar las impresoras. La línea 1 realiza la operación de ensamblaje con un tiempo de 3 minutos por impresora DI-910 y 6 minutos por impresora DI-950. La línea 2 realiza las operaciones de prueba y empaque. Los tiempos son 4 minutos por impresora DI-910 y 2 minutos por impresora DI-950. El tiempo más corto para esta impresora es resultado de la mayor rapidez de impresión. Ambas líneas de manufactura están en operación un turno de 8 horas por día. 9