PROBLEMAS DE MECANICA DE FLUIDOS(CAVITACION Y GOLPE DE ARIETE) 1.- Por una tubería de acero ( =2x10^10 kg/cm2), de 30 cm de diámetro fluye un caudal de 100 l/s de agua, el espesor de la tubería es de e = 2 cm, el sistema es horizontal y la altura de presión en la válvula de control de 42 m, si ocurre un cierre instantáneo determine: a) la celeridad (velocidad) de la onda de presión. b) La presión máxima provocada por el golpe de ariete en la válvula de control. Solución: a) Por la ecuación de Allievi a= 9900 √ 48.3+ KD /e Como K =10^10/ ε K = 10^10/2X10^10 = 0.5 D/e = 30/2 = 15 cm Sustituyendo datos en a= 9900 √ 48.3+.05 x 15 m/s = 1325.31 m/s b) por la ecuación de Joukowsky ΔP/ γ= aVo/g De la ecuación de continuidad Vo = 4Q/ πD^2 = (4 0.100)/ π x .30^2) m/s Vo = 1.41 m/s ΔP/γ = 1325.31(1.41/9.81) m ΔP/γ = 190.44m (sobrepresión debida al golpe de ariete) La altura de presión total sobre la válvula será de ΔP/γ = 42+190.44 m = 232.44 m 2.- Por una conducción de 1200 m de longitud y 400 mm de diámetro se transporta un caudal de 200 l/s de agua. Se conoce que la tubería de 8 mm de espesor de paredes es de acero cuyo modulo de elasticidad es de 2.10^7 N/cm^2. Si se cierra una válvula dispuesta en su extremo final se desea conocer la sobrepresión producida por golpe de ariete. a) Si el cierre se efectúa en 4 s. b) Si el cierre se realiza en 2 s. solución: a) En primer término hay que conocer si el cierre de la válvula es lento o rápido, para ello es necesario conocer la velocidad de la onda sonora. 9900 a = √ 48.3+ KD /e 9900 = a = √ 48.3+(.5 x 50) = 1156.33 m/s Como K =10^7/ ε K = 10^7/2X10^7 = .5 D/e = 400/8 = 50 Donde E es el modulo de elasticidad del material de que esta constituida la tubería, D su diametro interior y e el espesor. El tiempo que tarda la onda sonora en ir y volver es: T= 2L a = 2 x 1200 1156.33 = 2.07 seg luego si el tiempo de cierre de la válvula es Tcv = 4 seg el cierre es lento y se aplica la formula de Michaud para calcular el golpe de ariete. H= 2 LV agTcv = 2 x 1200 x 1.59 9.81 x 4 = 97.85 mca = 960000 Pa donde V es la velocidad del flujo en la tuberia en funcionamiento normal Q V= S = .2 ( π x .42 )/ 4 = 1.59 m/s b) Si el cierre se efectua en 2 s es rapido, aplicandose la formula de Allievi para el calculo del golpe de ariete. H= aV g = 1156.33 9.81 = 117.87 mca = 1850 KPa 3.- Una turbobomba rigurosamente radial trasiega agua girando a una velocidad de 720 rpm. Las características geométricas de su rodete son: β2 = 60º, anchura de los álabes a la entrada b1 = 35 mm, idem. a la salida b2 = 21 mm; los álabes el 10% de la superficie de paso tanto a la entrada como a la salida; D1 diámetro a la entrada de los álabes del rodete = 200 mm; idem a la salida D2 = 350 mm. Cuando la bomba funciona en su punto óptimo, con un caudal de 50 l/s, los rendimientos de la máquina son manométrico = 75 %, volumétrico = 95 % y mecánico = 90 %. Adóptese como eficacia del álabe 0,72. Se pide: a) Dibujar los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida de los álabes del rodete. b) Alturas de Euler, interna, manométrica y absorbida de la bomba. c) Potencias manométrica, interna y absorbida. - .- 5.4. 0372 s KD ( 0. si la válvula se cierra en un tiempo Tc=12 s.6 m ) 48.5 ) ( 0. el sistema es horizontal y la altura de presión en la válvula de control es de 95 m.- 7.06 m. espesor e=0.3+ 48.6. longitud L=3. circula un caudal de agua de 400 l/s.000 m.06 m √ . de 60 cm de diámetro.- Por una tubería de hierro (ε=2x1010 kg/m2).3+ e 0.5 10 ϵ 2 x 10 9900 9900 m = =1356 . determine: a) La celeridad de la onda de presión b) La presión máxima provocada por el golde de ariete en la válvula de control 10 K= a= √ 10 10 10 = =0. 4247 s<Tc=12 s a 1356.1050 m+95 m=167 .000 m) 2L = =4.0372 m s 3 ( ) m 4 0.4147 2 2 s πD π ( 0.1050 m (9.000 m ) 1.T= 2 ( 3.0372 m/s b) 167. 1050 m .4 s 4Q m V o= = =1.4147 a) 1356.81 ms )( 12 s ) m s ) =72.6 m) ∆ P 2 LV o = = γ gTc ( 2 ( 3. 9269m/ s densidad / g 820 kg /m 3 9.3174 s C m 1446.9269 s El T debe ser mayor a 3.81 2 s ( )( )( ) El aumento de Presión es 24.Si una tubería rígida de acero tiene 2400 m de longitud y se cierra un flujo de 560 l/s de aceite de densidad relativa 0.85 y módulo de elasticidad volumétrico 17.85 y módulo de elasticidad volumétrico 17500 kg/cm2? 3 m 0.9269 m/s 3 densidad / g 820 kg /m 9.56 Q s m Q= AV →V = = =1.500 kg/cm2.. ¿Qué tiempo debe durar la operación de cierre de una válvula para evitar el golpe de ariete? c= √ T= √ mó dulo de elasticidad en kg/m 2 175000000 kg/m 2 = =1446.8309 kg/cm2 9.3174 s .81m/ s 850 kg m3 m m kg ∆ P= ρCV = 1446.81 m/s 2 ( 2400 m ) 2L = =3.-Suponiendo rígida una tubería de acero de 60 cm.4705 2 m s s m 9.9806 A π ( 0.3 m)2 s c= √ √ mó dulo de elasticidad en kg/m 2 175000000 kg/m2 = =1446.9269 1. ¿qué aumento de presión tiene lugar cuando se frena instantáneamente un flujo de 560 l/seg de aceite. de densidad relativa 0.8.309.9806 =248. 1 ft ( 13.-Un líquido (s= 0.7 )=13.7 psia 26.8 .8 psia fluye por el estrechamiento horizontal de la figura la presión atmosférica es 26.86 ( 62.4 ) ) =− v 1= Q 4 Q 4Q Q = = 2= 2 A1 π D1 π 3 7.92 Patm = De la ecuación ( p❑ ) crit relativa ( p❑ ) crit relativa ( p❑ − ❑p ) =− atm v 144=−25.10. Desprecie las pérdidas de carga.785 .16−3.92 inHg y 14. Solución: Como la atmosfera estándar es equivalente a 29.8 inHg. Hallar el caudal teórico máximo(es decir ¿para qué valor de Q ocurre la cavitación?).86) con una presión de vapor de 3.07 v 2= 4Q Q = 2 π 1 .8 ( 14.16 psia 29. 110 fps ) Ahora con la siguiente ecuación obtenemos Tr T r =2 L cT . Con la siguiente formula obtenemos cT cT = cT = c √ 1+ D Ev t E ( ) 4.785 ) 2 1 ( ) ( 2(32.Ahora sustituimos nuestros datos en la siguiente formula: p1 v 21 p2 v 22 + z 1+ = + z 2+ γ 2g γ 2g Sustituyendo 10 (144) Q + 0+ .4) 7.2) ) De esto despejamos Q y obtenemos la respuesta Q=45 . reduciendo la velocidad a 6 fps.7 cfs 11.720 √ 1+ ( 5 8 3 x 10 .07 2 ( )( 1 Q =−25+ 0+ 2(32.2) ..El agua fluye a 10 fps por una tubería de acero de 400 ft de longitud y de in de diámetro. Calcule la duración de un pulso y el máximo de presión teórico originado por el cierre a) completo y b) parcial.25 3 x 107 =4. siendo el espesor de la pared .25 in.86 (62. 97 m .T r =2 400 =. H.10.276 ft de agua B) En el caso del cierre parcial.110) (6-10) = 31. Una unidad homóloga instalada en un lugar donde p a=90 kPa y pv= 3. La pérdida de cabeza desde el tanque de succión hasta el impulsor de la bomba es 0.10 (25) – 0.600 psf = 553 psi De donde Δp/γ= 79.. De Δp = � cT ΔV Δp= . 13.600/ 62.5 kPa.800 psf 12. INSTALADA EN UN LUGAR DONDE Pa = 90 kPa y Pv= 3.LAS PRUEBAS SOBRE EL MODELODE UNA BOMBA INDICAN UN PARÁ METRO DE CAVITACIÓN σC DE 0.110 Para esta tubería el impacto del golpe de ariete inicialmente equivalente a una presión de 1.35 N.4/32.4/32.62. A) De la ecuación Δp= cT ΔV = 62.�’H – h1 = Entre menor sea el valor de 90000−3500 9806 zs – 0.276 ft de agua produce aproximadamente cinco veces por segundo.2 (4.35= 5.- Las pruebas sobre el modelo de una bomba indican un �c de 0.m/N ¿Cuál es la cabeza de succión permisible máxima? p a−¿ p −γ z ∓ γ h Ve2 �’= 2 g h = v s 1 γH ¿ Despejando la ecuación para zs y sustituyendo los valores de �c. pa y pv zs = p a−¿ p γ ¿ v .5 kPa tiene que bombear agua con una cabeza de 25m.11) (10) = 79. UNA UNIDAD HOMOLOGA.2 (4. TIENE QUE .4= 1. mayor será el valor de s y mayor la seguridad contra la cavitación. cT y T permanecen constantes.195 s 4.10. 35 m g=9.Pv)/ ϒ) – zS+ h1 zS=((Pa .Pv)/ ϒ) -σ'H-h1 Zs=((90 000 Pa -3500 Pa)/((1000 kg/m 3)*(9.81m/s2))) – (0.Pv)/ ϒ) -σ'H+ h1 h1 pasa a ser negativo porque es una succión y se invierte el flujo.96 m .35 Nm/N ¿CUÁL ES LA CABEZA DE SUCCIÓN PERMISIBLE MÁXIMA? DATOS: σ'= 0.BOMBEAR AGUA CON UNA CABEZA DE 25 m.10*25) – 0.LA PÉRDIDA DE CABEZA DESDE EL TANQUE DE SUCCIÓN HASTA EL IMPULSOR DE LA BOMBA ES 0.10 Pa= 90 000 Pa Pv=3500 Pa ϒ = 1000 kg/m3 h1= 0. zS=((Pa .81 m/s2 σ'= (Pa-Pv– ϒzS+ ϒh1)/ ϒH σ'H=((Pa .35 Zs= 5. 14.- . 15.- . y la diferencia de cotas entre el depósito y el grupo de bombeo es de 70 m. b) Calcular la sobrepresión producida por el golpe de ariete.80 m 3/h.. El caudal a suministrar es 28. Representarla gráficamente en el mismo perfil.800 m de longitud para alimentar desde un grupo de bombeo a un depósito de regulación de una población.16. El perfil de la tubería esquematizado es el siguiente: Se pide: a) Determinar el diámetro de la tubería y las pérdidas de carga (despreciar las pérdidas de carga en puntos singulares. .Se pretende instalar una tubería de fibrocemento de 2. 17.- . . + para succión sobre la bomba) . El agua hervirá y se formarán burbujas de vapor.18. Para evitar la cavitación podemos definir la condición que tiene que cumplir la presión del sistema en la entrada: pentrada > pvapor. teniendo en cuenta las presiones: patmosférica ± psucción – pfricción – pbomba > pvapor Donde: Psucción: es la presión hidrostática ρgh (para succión. Luego el agua y las burbujas son impulsadas hacia afuera por el impulsor a la parte de mayor presión de la bomba donde las burbujas colapsan e implotan originando desprendimiento de materiales. O sea. Este colapso es incontrolado y violento y causa daños graves a todo el equipo.- CAVITACIÓN es el fenómeno por el cual la presión total en la entrada de la bomba (lugar de la más baja presión en todo el sistema) alcanza la presión de vapor del líquido bombeado. Pfricción: expresa la fricción en la tubería de succión Pbomba: la baja de presión generado por la bomba.- . 19. . . . . . 20.- . . . . - .21. . . . - .22. . 23.- . - .24. cuando Q ’ = Q+10%Q =1. En el punto E. 1. En el tramo de aspiración los resultados experimentales demuestran que cuando fluye un caudal de 10m 3/min las pérdidas por rozamiento son equivalentes a 1.5m columna de agua.25.- Las prestaciones en el punto de máximo rendimiento de una bomba centrífuga montada en la instalación esquematizada en la figura son: H0 = 50m Q0 =15m3/min La bomba está accionada por un motor eléctrico de corriente continua regulado a 1500 rpm. Calcular el incremento de velocidad de accionamiento para provocar la cavitación.37X106 Q2 Q (m3/s) PE (Pa) Con relación a las condiciones de aspiración se sabe que los síntomas de cavitación empiezan a manifestarse cuando el caudal de la bomba incrementa en un 10%. la presión requerida en función del caudal vine definida por la ecuación: PE = 39.2 + 6.Evaluar en qué condiciones está trabajando la bomba..1Q Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y E resulta: . 5 mc de agua Con esto se evalúa la constante A: 1.5= A [10/60]2 A = 1.25Q]2 H= 0.81) = 4+650 Q2 ZE = 0 VE2 / 2g = 0 y V12 / 2g = 0 Σζ 1E = Σζaspiración = A Q2 = 54 Q2 Esto significa que cuando Q=10m3/min.Donde P1 / ρg = o Z1= -2 PE/ ρg= 39.88 Q2 Cuando el caudal incrementa un 10% entonces para Q ’=1.25 m3/s 50H = 6+704[0.1848m.37X106 Q2 / 1000(9. La velocidad de rotación se puede calcular aplicando la teoría de la semejanza comprobando que los puntos A y B tengan el mismo rendimiento. HA/ωa2 = HB/ωb2 . Σζ 1E = 1.12+. Para conseguir esta altura de elevación debemos hacer girar la bomba más rápido.5/[10/60]2 =54 Luego H=4+650 Q2+54 Q2+2 H=6+704 Q2 donde Q (m3/s)y H(m) H=H/H0 siendo H0 =50m Q=Q/Q0 siendo Q0 =15 m3/min =0.1 le corresponde H’=1.2 + 6. Datos: L=500 m V=1.2 m/s T=1 s G=9.185[15000]2 =1633rpm 26.81 m/s2) (1 s) Resultado: ΔH=122.HA/HB= 1.2 m/s)/ (9. la tubería fuese totalmente rígida y el liquido incompresible.- Se tiene una conducción de 500 m de longitud por la que se conduce agua a una velocidad de 1.185 = ωb2/ ωa2 ωb = √1.2 m/s.81 m/s2 ΔH=? Fórmula: ΔH=2LV/GT Sustitución: ΔH=2(500 m) (1.185 1.32m . Se desea conocer la sobrepresión que se producirá si se cierra la válvula situada en su extremo final en el supuesto siguiente: Si la válvula se cerrase en 1 s. - .27. Propiedades de la tubería E= L= t= d= 2.- En una tubería deformable de acero que transporta glicerina a 20° C.1x106 kg/cm2 300m 9.0x10 4kg/m2. se efectúa el cierre rápido de una válvula. frenándose el líquido instantáneamente y provocando una diferencia de presión de 7. Calcular el caudal probable y el tiempo que tarda la onda de presión en propagarse desde la válvula hasta la embocadura de la tubería y de nuevo a la válvula.5mm 120cm Propiedades de la glicerina EB = 44350 kg/cm2 Dr = 1.28.262 Primero debemos calcular la densidad en UTM/m3 . 6442 )¿ m3 kg (2.435 x 10 2 m ¿ UTM (126.95 cm 8 kg 4.49 ) ) ) m s Ahora calcular la diferencia de velocidad .1 x 1010 2 ) m ¿ c=√ ¿ 2.ρ=Dr (ρagua ) ρ=1.81 kg ρ=(1262 kg 1 UTM UTM ) =128.81 kg m ( ) Ahora calculamos la celeridad: √ ( (( EB c= ρ[1+ ( EE )( dt )] B kg m2 120 cm 1+ ( ) 0.262(1000 ρ=1262 kg ) m3 kg m3 1UTM =9.1 x 10 10 c=166.6442 3 3 m 9. 13 m ) (3.268 m/ s Con la velocidad podemos calcular el caudal: A= π d2 4 A= π (1.6928 s Tiempo de propagación de la onda: T= 2L c .49 ) (128.dP=ρcdV d V= dP ρc 4 7.13 m 2 Q= AV 2 Q=( 1.0 x 10 dV = kg m2 m (166.6442 UTM ) s m 3 dV =3.2 m)2 4 A=1.268 m ) s 3 m Q=3. 6 s 29.T= 2(300 m) m 166.49 s T =3.- . La salida de la bomba está a 1.30.2 por .Una bomba succiona un reservorio de agua a una temperatura de 50°C por un tubo de succión de 3 m de longitud.. Ho = 50 m Uo = 2 m/s Calculamos la celeridad de la onda: . A 50°C. Por otra parte. no se considera el efecto amortiguador de las pérdidas de energía.29− 12350 =5.96m Hd= Patm −zf −Hrof γ Hd= 101325 −1.- supondremos un tramo simple regulado aguas abajo y supondremos a la tubería horizontal para que H sea representativo de los términos de presión sin necesidad de descontar el término Z. Datos: Tubería de Acero. .29 ( 988 )( 9.02 m 988∗9. por lo que los resultados quedan del lado de la seguridad.encima de la entrada y se considera un régimen permanente.81) ( NPSH ) D=Hd − Pv γ ( NPSH ) D=6. 50 cm de diámetro. pero hay que hacer corrección por cambio de densidad del agua Hrof=3m(988/1000)=2. L=2000m. espesor 3 cm.2−2. Pv=12350 Pa y grav específica 988kgf/m3 Hrof= 3m. Calcular la altura neta de succión disponible. Cierre Instantáneo.81 31.96=6. 60 cm de diámetro. L=3000m. Calcular cuando es cierre brusco.16× 106 =1356 m/s = εD 2.2 ×10 4 × 60 1+ 1+ Ee 2. espesor 5 cm. Ho = 60 m Uo = 1 m/s Tiempo de cierre: Tc = 4s √ ε ρ √2.√ √ ε ρ √ 2.. Datos: Tubería de Asbesto Cemento.1× 105 × 5 √ √ .16 ×10 6 =980 m/s c= = εD 2.2× 104 ×50 1+ 1+ Ee 2.1 ×106 ×3 √ La sobrepresión máxima (válida para la faz de golpe directo) de golpe de ariete vale: ∆ h= cU0 =276 m g El diagrama envolvente será: 32.. determine el diámetro que debe tener la tubería de aspiración. se quiere instalar a 4. Si la longitud total equivalente de la tubería de succión es de 63 m.1 seg > Tc ⇒ Cierre brusco.Calculamos 2 L / c=2× 3000/980 = 6.2 0. Determinar las pérdidas de carga disponibles en la tubería de succión.6): hf succmax 4. El diámetro económico determinado para la tubería de descarga es de 10 in (0.25 m). Considere C = 130..Una bomba con capacidad igual a 42 l/s y Hsmax = 4.6 4. Solución 1. La sobrepresión máxima (válida para la faz de golpe directo) de golpe de ariete vale: ∆ h= cU0 ≈100 m g El diagrama envolvente será: 33.4 m 2.2 m de altura estática sobre el nivel mínimo del líquido en el depósito de succión.6 m. Determinar las pérdidas que se producen en la tubería de succión.64b): . Aplicando la expresión (3. Aplicando la expresión (4. 671 q 1.25 m sólo se producen 0.25 in).671 (0. De haber sido las pérdidas de carga para 42 l/s mayor de 0.2 m 3. Comparar los valores de pérdidas hf succmax 0. comenzando por el comercial inmediato superior a 0.852 63 (130)1. y con la tubería de 0.871 LT succ C D 10.4 m se hubiera tanteado con otros diámetros.4 hfT succ 0.852 hf T succ hfT succ 10.25 m.2 m.25) 4.4 m.852 (0. es posible proponer para la tubería de succión el mismo diámetro de la tubería de impulsión (0.871 hf T succ 0.042)1.852 v4.1. .2 m Como la carga que hay disponible para pérdidas es 0.