1.Encontrar en el eje de ordenada un punto que diste 2 5 unidades del punto P = (–3, 1). A) 2 B) 2 2 C) 2 A) (0, 2) B) (0, 3) C) (0, 4) D) (0, 5) 3 2 2 D) E) E) (0, 6) 2 4 2. Encontrar en el eje de abscisas un punto 8. El segmento cuyos extremos son los puntos: equidistante de los puntos P = (–1, 0) y Q = (7, –4) A = (–2, 3) y B = (4, –1), está dividido en tres partes iguales. Halle el punto de trisección interior y cerca al punto B. A) (2, 0) B) (3, 0) C) (4, 0) D) (4, 1) E) (5, 0) 2 2 1 A) 2, B) 1, C) 2, 3. Desde el punto A = (–3, 1) se han trazado un 3 3 3 segmento al punto B = (4, –2). ¿Hasta qué punto es 21 1 D) 2, E) 3, necesario prolongarlo en la misma dirección para 3 3 que se duplique su longitud? 9. En la figura, si P es un punto tal que el área del A) (11, 5) B) (11, 5) C) (11, 4) triángulo es cinco veces el área del triángulo , D) (12, 5) E) (10, 5) calcular la longitud de P 4. Dado los puntos A = (2, 5), B = (9, 2) y C = (–3, 4), Y encontrar un punto D tan que su abscisa sea (0, 6) negativo y de tal manera que ABCD sea un paralelogramo. P A) (11, 7) B) (11, 6) C) (10, 7) D) (10, 6) E) (12, 7) 5. Hallar el punto Q que divide al segmento AB , A = X ( 10, 0) O (1, 2) y B = (9, 7) en la razón 3:2 A) (, 5) B) (6, 5) C) (29/5, 5) 5 10 A) 5 10 B) C) 10 D) (, 5) E) (29/5, 6) 2 5 10 5 10 D) E) 6. En la figura, dados los vectores a y b . Determine: 3 4 a.b Y 10. Se tiene los vectores a r p, b tq, b a c 3, 2 3 . Calcular || b || si: c r p tq, Y 9 3 6 3 p 30° 30° X A) 9 B) 36 C) 54 D) 81/2 E) 81 q 60° X O 7. Halle la longitud de la mediana del lado PQ en el triángulo cuyos vértices son P = (3, 7), Q = (–4, 0) A) 6 B) 2 6 C) 3 6 y R = (1, –4). D) 4 6 E) 3 6 11. Dados los vectores u a, b , v 2b, c , 19. Se tiene un cuadrado ABCD, A(2, 3), B(6, 7). Halle las coordenadas en el segundo cuadrante del u v 1, 1 , si u / / v . Calcular: abc vértice D. A) 0 B) 1 C) 1 D) 2 E) 2 A) (2, 5) B) (2, 6) C) ( D) (1, 6) E) (1, 7) 12. Dado los puntos A(2, 8), B(–1, 3) y C(3, 6). Halle el área del triángulo ABC 20. Dado un triángulo equilátero ABC, A(–6, –2), B(2, –8), halle la coordenadas positivas del vértice C 7 2 9 2 11 2 A) u B) u C) u 2 13 2 2 2 A) 3 3, 4 3 B) 3 3 2, 4 3 3 C) 3 3 2, 4 3 4 2 D) u E) 12u D) 3 3 1, 4 3 5 2 E) 3 3 2, 4 3 5 13. Dado un segmento AB = 10u, que es paralelo al vector (–3, 4), además A(4, 2). Halle la suma de las componentes de las coordenadas del vértice B. 21. Si: a b c 0, y || a || 2, || b|| 5, || c|| 6 . Calcular: a.b A) 6 B) 8 C) 10 D) 7 E) 9 14. Halle la suma de sus coordenadas del punto M 7 3 1 9 A) B) C) D) E) 6 sobre el segmento QP tal que: 5PM 2 PQ , si: 2 2 2 2 P(3, 5) y Q(9, –7) t 22. Sea c ta sb , halle el valor de , si 26 27 28 29 s A) 5 B) 5 C) 5 D) 5 E) 6 c a b , donde a 3, 5 y b 2, 2 15. Dado el cuadrado ABCD cuya diagonal BD es 12 25 24 paralelo al vector (–7, 1), si A(3, 0) y B(7, 3); halle las A) B) C)25 D)12 E) coordenadas del vértice D 25 12 25 A) (0, 4) B) (0, 4) C) (1, 4) 23. En la figura: TP / /OX , || OP || 8. Si: D) (1, 4) E) (0, 3) OT mOP nOP . Calcular: m + n 16. En un rectángulo ABCD de área 64u2, calcular las coordenadas del punto D, si la abscisa de D es Y positiva, B = (9, 12) y C = (1, 4). T P A) (4, 0) B) () C) (3, 6) D) (5, 0) E) (3, 0) 17. En un cuadrado ABCD de centro P =(3, 1) y 45° C = (7, 5), halle las coordenadas del vértice D. 30° X A) (7, 1) B) () C) (7; 3) O D) (6, 2) E) (6, 3) 7 3 1 9 A) B) C) D) E) 6 18. En un rectángulo ABCD de área 50u2, calcular las 2 2 2 2 coordenadas positivas del vértice C, si A = (8, –1) y B = (0, 5). 24. Halle el área del triángulo cuyos vértices son: A = (3, 2), B = (3, 2) y C = (4, 5) A) (2, 8) B) () C) (4, ) D) (3, ) E) (3, 10) A) 20u2 B) 21u2 C) 22u2 D) 23 u2 E) 24u2 A) (4, 4) B) (3, 3) C) (5, 5) 25. Calcular || a b || , si || a || 13 , || b || 19 y D) (4, 5) E) (5, 4) || a b || 24 33. Sea ABCD un rectángulo, una de cuyas diagonales tiene por extremos los puntos A = (3, 4) y C = (9, 16), A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 si los lados de mayor longitud son paralelos al vector (1, 1); determine el vértice B. 26. Los vectores a y b forman un ángulo de 60°, si sabe además que: || a || 5 y || b || 8 . Determine: A) (12, 16) B) (12, 14) C) (13, 16) D) (14, 16) E) (12, 18) || a b || 34. Los vértices de un triángulo ABC son: A = A) 7 B) 6 C) 5 D) 8 E) 9 (), B = (5, 10) y C = (14, 34). Halle la pendiente de la bisectriz interior trazada del vértice A. 27. Los vectores a y b forman un ángulo de 45°, || a || 3 y a b a . Halle: || b || A) 2 B) 2 1 C) 2 1 D) 2 E) 1 2 A) 2 B) 3 C) 2 3 D) 3 2 E) 3 3 35. Dado un rectángulo ABCD, A = (2, 4), D = (6, 1) y 28. Halle el vector x que es paralelo al vector la diagonal AC es paralelo al vector (4, 3). Halle las a 2, 1, 1 y satisface la condición a. x 3 coordenadas del vértice C. 114 103 Rpta: , 1 1 1 1 7 7 A) 2,1, 1 B) 1, , C) 1, , 2 2 2 2 1 1 1 1 36. En el segmento AB, A = (2, 2) y B = (6, 8) D) 1, , E) 1, , encontrar un punto P que diste 5 unidades del punto B 2 2 2 2 A) (2, 4) B) (1, 5) C) (2, 4) D) (3, 5) E) (1, 4) 29. Dado el vector a 3, 4 , halle el vector b , tal que sea perpendicular a a y || b || 10 37. Los puntos medios de los lados de un triángulo son P = (0, 1), Q = (3, 5) y R = (1, 2). Halle las A) 8, 6 B) 8, 6 C) 8, 6 coordenadas de los vértices. D) 8, 6 E) 8, 6 A) (4, 5), (4, 8) y (5, 6) B) (4, 4), (2, 6) y (4, 2) C) (4, 4), (6, 2) y (4, 9) D) (4, 4), (6, 2) y () 30. Calcular el ángulo entre los vectores: E) (4, 3), (3, 6) y () a 12, 2 y b 3, 3 38. Si: a b c 0 y || a || 3 , || b || 5 y || c || 7 . A) 30° B) 45° C) 60° D) 90° E) 120° Determine el ángulo que forma los vectores a y b Rpta: 60° 31. El ángulo entre a y b es 150°, || a || 3 y || b || 5. Calcular: || a b || Los vectores a y b tienen la misma longitud y forman un ángulo de 60°, si la longitud de a b es 4 unidades A) 34 15 3 B) 34 15 3 C) 17 15 3 mayor que la longitud que uno de ellos. Halle || a || D) 17 15 3 E) 17 30 3 Rpta: 2 3 32. El vértice A = (1, 6) es uno de los vértices del cuadrado ABCD cuyo centro es el punto P(3/2, 5/2), 39. En la figura ABCD es un cuadrado y ABE es un halle el vértice D que está en el primer cuadrante. triángulo equilátero, si A = (4, 9) y B = (12, 3). Halle la ordenada del punto E. 3 3 D) 1. 0) y B = 5. En el hexágono regular de la gráfica. 3 3 2 C) 0. Calcule: || M || 31 d b c a Rpta: || M || 2a 42. Halle el centro de gravedad de un hexágono regular ABCDEF si A = (2. En la figura. Si: 21 AC Rpta: CompBC 93 M a b c d . En la figura: a b 3. 3 3 43. 3 3 E) 2. Halle: CompBC AC B 30° 60° X O 120° Rpta: m n 3 3 C A 41. calcular el vector FD B Y D D 3 P(12. 3 . Halle: m + n 13 13 Y a 44. si || a || m y 33 56 Rpta: FD = . de lado a. 5) X O G C 4 A) 6 4 3 B) 6 3 C) 3 3 3 D) 3 3 E) 6 3 3 F X O 40. 2 3 1 B) . Dado el gráfico ABC. || b || n . donde || AB || 4 y b || AC || 7 . . E Y A A) 1. 3 3 son dos de sus vértices adyacentes. calcule x A) 97. ¿Cuántos 12. Si el M = SCSCSC SCx complemento del menor y el suplemento del mayor n veces están en la relación de 4 a 11. El complemento del suplemento de un ángulo es 7. si ABC es un triángulo E) 46º 2x . 9. Calcule el ángulo xº igual al doble del suplemento del doble. Al calcular E m se obtiene: x´ x valores enteros tomaría x? A) 160 B) 161 C) 162 D) 163 E) 164 A) 42 B) 43 C) 44 D) 45 E) 46 . halle x. En la figura A y B son puntos medios de los lados del cuadrado. Si: S suplemento A) 90° 118° Calcular ° en: m B) 70° x C) 68° S + SS2 + SSS3 = 300° q D) 96° E) 86° q A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° 156° n 11. Halle la medida del ángulo.1. OC y OD de tal E) 90º L2 manera que: 1 1 m BOC m AOB COD y 3 4 8. Calcular la diferencia entre el mayor y el menor. calcular x 10.5º B) 15º 60º B) 122.5º C x C) 20º C) 127. Si L1 // L2. Alrededor de un punto y en un mismo plano se trazan los rayos consecutivos OA. OB. Si: S suplemento y C complemento Simplificar: 5. Tres ángulos consecutivos situados a un mismo lado de una recta están en progresión aritmética.A) En 30ºla figura: m // n. Si “4x + 48” es un ángulo no convexo. En la figura determinar el menor valor entero 4 expresado en grados sexagesimales que puede tomar m DOA m AOB “x” 3 Calcule la medida del ángulo COD A) 36º B) 35º A) 90° B) 110° C) 120° D) 140° E) 135° C) 44º D) 37º y 3.y x+y equilátero.5º A 45º 4. A) 45n + x B) 60n + x C) 30n + x D) 90n + x E) 0 A) 30° B) 15° C) 10° D) 20° E) 25° x x´ x g x m 6. L1 q q A 70º 40º B) 75º A) 72° B) 80° C) 90° D) 60° E) 85° C) 80º x 30º D) 85º 2. Si m / / n .5º D) 40º x B x D) 120º E) 10º E) 137. Datos: BC =4m. A un sector circular de área 100. A) 1. se tiene el cuadrante AOB. La figura muestra un montacarga con un tambor de CS CS 60cm de diámetro.67 m B) 12 2 m C) 1. si los radios de dichas ruedas miden 4 y 8m. siendo O. Se tiene dos ruedas en contacto exteriormente. y el ángulo 220´ 3g10m que gira la menor es de 240o.13.68 m A) 12 m B) 1. De la figura. CD = 2m D A R A) m A) m P B) 2 m 30° B) 2 m C) 3 m Q C) 3 m 150g C D) 4 m D) 4 m E) 5 m E) 5 m O B B A m 23. En la figura AOB y CBO son sectores circulares 14. región sombreada.65 m D) 12 4 m 6m E) 1. OQ y OP respectiva- 17. A y B centros de los arcos AB. A) 71 B) 72 C) 73 D) 74 E) 75 A) 60° B) 90° C) 120° D) 240° E) 300° .66 m O C) 12 3 m D) 1. calcular el perímetro de la m que recorre desde “A” hasta “B”. simplificar: 40° O B CS 5S 2C J 1 21. calcule el espacio que recorre la masa mente: AO = OB = 6m.1416) 16. Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo.63 m E) 6 m 30° 3 22. Reducir: E = m 14´ 5 la mayor rueda. calcular el ángulo de giro 18. si el montacarga gira 7/4 rad. entonces la carga se eleva aproximadamente a una A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5 altura de: ( = 3. En la figura. Calcular 1 A) q L2 B) q C) q A) 4/7 A D) q B) 7/4 L2 q E) q C) 3/7 L1 x D) 7/3 E) 5/7 15. 1rad 2rad 2012rad 200 380 A) 36 B) 54 C) 53 D) 72 E) 81 A) B) C) D) E) 180 2 20. De la figura calcular el valor de x L con centro en O y B respectivamente. Al calcular se obtiene 19. Obtener el área de este nuevo sector. En la figura halle el perímetro de la región sombreada. se le aumenta su 1 2 3 2012 radio en 20% y se le disminuye su longitud de arco en E 40%. Hallar la medida del ángulo MRC. Calcular x + y + z.6” C) 240° D) 175° x A) 12º18’24” B) 12º6’36” C) 12º16’18” y D) 12º18’36” E) 12º18’ 54” E) 205° qq q z S S3 26. a la prolongación de CB . calcular: BC ba ab A) B) C) a + b 2 2 S2 b ab D) a E) S1 2 2 S3 32. Del gráfico. Una recta perpendicular a la base AC de un Donde. mide E) 45° 62°. rad B) 60º. 70g.311º 3. Calcular x. Si AM = a y NC = b.24. Las mediatrices de AB y BC. si AF = BF + BC B A) 12° B) 24° 108° 27. Calcular x. 50g. equilátero. 80g. “M” es punto interior del ABC. Calcular: M = 12. rad 5 5 2 30. 29. ¿A cuánto equivale 1 del ángulo de 1 vuelta en a AC . Exteriormente y relativo . S1. en el gráfico mostrado D) 66° E) 48° A) 40° B) 80° q y C) 20° x D) 30° 34. Calcular M 2 S1 31. El ángulo exterior B. S2 y S3 son las áreas de las regiones triángulo isósceles ABC. respectivamente. Hallar la medida del ángulo EBF. de modo que. de un triángulo ABC. 70g. Calcular x y. en el gráfico mostrado C) 72º. rad D) 64º. tal A) 56° B) 62° C) 52° D) 66° E) 64° que: MAC = 24° y MBC = 28°. intersecta en M a AB y en N sombreadas. C) 36° a D) 15° m m E) 30° n x 24° n A C F b 33. si: + q = 124° q p p q A) 2b + a = 360º B) 3b + 2a = 240º mm A) 56° C) 4b + a = 540º D) b + a = 180º B) 72° E) b + 2a = 180º C) 62° x 28. halle la relación correcta. rad 5 5 A) 150° B) 180° 25. cada sistema? 3 A) 52° B) 62° C) 48° D) 68° E) 58° A) 30º. el ARM sea 5 equilátero. cortan a AC en los q 160° q puntos E y F. se toma un punto R. A) 8m B) 9m C) 10m D) 12m E) 15m A) 36º B) 54º C) 72º D) 48º E) 45º 38. Por el baricentro de un triángulo ABC se traza medio de AB y AC es la base. En un triángulo ABC. recto en B. uno de sus ángulos agudos mide 30°. A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 8 A) 2. calcular PB. En un triángulo ABC. E) 720° e a A) 3m B) 2m C) 4m D) 6m E) 8m 45.25 B) 2 C) 2. Hallar QC 5.QC. sí sus lados miden: 5. En un triángulo rectángulo la distancia del Si: I Incentro del ABC ortocentro al baricentro es 5m. Si ABC es un triángulo rectángulo. Calcular la m IAH . si la altura relativa a la hipotenusa 44. 48. Calcular la m ABC . una bisectriz exterior es paralela a uno de los lados del triángulo. se conoce que m B = 124º. 13. Calcular PQ si el lado EC del triángulo dado mide 2 3. b A) 180° d A) 15º B) 30º C) 22º30´ D) 45º E) 26º30´ B) 270° 36.75 D) 2. Si AQ = 2. siendo: H A) 34º B) 33º C) 42º D) 46º E) 48º ortocentro. En un triángulo acutángulo la distancia del de uno de los ángulos agudos. “M” es punto 43. Del punto medio M del lado AB de un triángulo 49. AB = 12. I incentro y K circuncentro 47. Hallar: a º bº cº d º eº determina sobre este segmento que se encuentran en la c relación de 1 a 3. Calcular el valor de la bisectriz BR si se sabe D) 540° también que la altura relativa al lado AC mide 3 2m. m A = 78° y m C = 39°. tal que: AP = 10 y 3. equilátero ABC se traza la perpendicular MP a AC y la mediatriz de BC corta a AC en el punto E. 12 y 46. Se traza MQ AC (Q PQ ( P AB y Q AC ). circuncentro al ortocentro es 24. si DB = 3 y DC = 7 B 41.5 E) 3. Determinar el menor ángulo de un triángulo A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 rectángulo.35. si se sabe B) 7 D que la distancia del incentro al vértice C es de 2 C) 4 M A) 3 B) 2 C) 4 D) 2. Hallar de P la perpendicular PQ a BC. A) 4 B) 6 C) 8 D) 2 E) 3 . Calcular la distancia del incentro de un triángulo A) 10 rectángulo ABC (recto en B) al excentro BC.5 D) 3 E) 6 A C 42.5 E) 3. se sabe que: m EIC m IEC 36º 37. Hallar uno de los ángulos agudos de un A) 90° B) 105° C) 120° D) 135° E) 150° triángulo rectángulo si la mediana relativa a la hipotenusa es perpendicular a una bisectriz interior 40. calcular la m HIK . En un triángulo rectángulo. Determinar la distancia del circuncentro al baricentro en un triángulo. El ángulo A de un triángulo isósceles ABC mide C) 360° 120º. calcular la distancia A) 15° B) 37° C) 45° D) 60° E) 53° del ortocentro al baricentro del triángulo mencionado. En un ABC.AQ = en AC). En un triángulo isósceles ABC. ¿Cuánto mide la EExcentro del ABC relativo al lado hipotenusa? BC. Hallar BM. A) 13/2 B) 13/3 C) 13/4 D) 13/6 E) 13/5 Si: I Incentro del ABC H ortocentro del ABC 39.5 50. A) 8 B) 16 C) 12 D) 15 E) 13 AD bisectriz. Del gráfico. en: 7 5 A) 2 2 E) 7 O 53° P B) 2 1 12.Csc Tan Secx 1 A C 8 3 H b c Tan a b Tan 2 2 Calcular: Tanx A) c B) b + c C) a + b D) a + c E) a. Del gráfico obtener: Tan.1. Las bases de un trapecio isósceles son B y b. El coseno del mayor ángulo Calcular: Cot agudo de ese triángulo es: 2 A) 2 3 B) 2 3 C) 1 3 3 3 1 3 4 D) 4 3 E) 5 3 A) B) C) D) E) 2 4 2 5 5 8. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 51m y la tangente de uno de los ángulos agudos del 1 A) triángulo es 8/15. Siendo x un ángulo agudo. si OP / /TQ 5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C). Calcular la proyección B) 1/2 del arco comprendido entre la quinta y décima división C) 3 sobre el diámetro horizontal. Siendo x ángulo agudo se cumple que: D) Tan E) Tan Sen(x + 21º)Tan(x + 22º) = Cos(69º – x) 4 4 . A) 9/14 Calcular: B) 2 a b C) 1/2 M A B D) 9 7 aCot bC ot E) 5 2 2 A) 1/2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 2 4. se cumple que: 2. Del gráfico. Si C) 2 2 1 los lados no paralelos forman con la base mayor un R D) 2 2 1 ángulo . hallar: TanTan 10. halle el área del trapecio. reducir: Sen Cot Secx . 2 B) 7 3 A) 80m B) 90m C) 100m D) 110m E) 120m C) 7 4 D) 6. calcular: P = Sen2 2 9. Los lados de un triángulo rectángulo están en x 7o progresión aritmética. D) 4 E) 2 1 1 5 A) B) C) 1 D) E) 2 4 2 4 11.c 22 23 2 6 26 29 A) B) C) D) E) 11 11 11 11 11 3. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º). Determinar: Cot. Una semicircunferencia de radio 3 1 se A) 1 divide en treinta arcos iguales. calcular (en m) el perímetro del 7 T Q triángulo. 1 E) Bb B2 h2 Bb 4 A) Tan B) Cos C) Sen 2 2 2 R B 2 b2 Bb 7. Calcular dos ángulos coterminales que están en la Cot18. 2592° E) 504°. Si la torre tiene 75m de altura. es: 60 60 60 32 3 A) 25 A) B) C) D) E) B) 31 3 3 1 1 3 60 60 C) 33 4 15.Cot torre. 2692° C) 452°. y la suma de ambos están 1 1 comprendidos entre 4032° y 4608° Evaluar: A) 1320° B) 1240° C) 1620° A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 D) 1610° E) 1840° . Los ángulos de elevación de la cúspide de una 21. De la figura calcular: M = 4Cot. Desde la parte superior e inferior del segundo piso 19. siendo ABCD un cuadrado de lado 2m 16. Sabiendo que “” y “” son complementarios. Calcular el valor de: E) 7 M= 4Cos36 9Sen54 Sec36 23. A) 50 6 B) 30 3 C) 20 6 D) 30 2 E) 90 22. 0) X 2 B 17. E) 37 la elevación es de 30°. La elevación de una torre desde un punto A al D) 35 oeste de ella es de 60° y desde un punto B al sur de A. si la distancia entre los puntos de 1 observación es de 60m. Simplificar: de un edificio de cuatro pisos iguales. 2592° 18. 3228° además: Sen Sen Cos Cos 0 24. la altura de la torre (en m). Si: Tan = 2 1 Tan Tan Tan = Calcular: 4 Sen Cot 270 Sec 180 La altura del edificio es: M= Cos 360 Tan 270 Csc 180 A) 6m B) 10m C) 9m D) 8m E) 12m A) 1 B) 2 C) 4 D) –3 E) –4 14. 2592° B) 432°. A partir del gráfico. Hallar la medida de dos ángulos coterminales que están en la relación de 3 a 5. calcular el valor de: 3 B) x y x y 2 W Sen Cos TanxTany 2 3 3 C) 2 6 3 2 6 2 A) B) C) D) E) D) 7 4 4 4 2 2 2 A ( 3. calcular Tan. Si se cumple que: 7 A) CosxCscy + Cot26º30´ = Cot18º30´ 2 C N Y D siendo x e y ángulos agudos.Cot 72 relación de 1 a 6. vistos desde 2 puntos situados en línea recta y a Y un mismo lado con el pie de la torre son de 45° y 30° respectivamente. D) 432°. Desde la A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 parte mas alta del edifico la depresión angular para la piedra es . X Determinar la distancia comprendida entre A y B.13. se observa una Cot 360 x Tan 450 x M= piedra en el suelo y a una distancia de 12m con Tan 270 x Cot 180 x ángulos de depresión y respectivamente. sabiendo que su suma está entre 2520° y 3228° A) 13 B) 13 C) 5 D) 5 E) 3 A) 532°. Si se conoce que: 20. A) Sen170° B) –Sen170° C) Sen100° donde: D) –Sen100° E) –Cos160° E = Tan40° + Cot80° + Tan130° 37.Cot x 2 2 A B 27. obtenga: 12 12 12 12 Tan 7 7 7 7 7 A) B) C) D) E) Y 3 2 4 5 9 A) 0. El valor de la siguiente expresión: 7 28. Simplificar: 25. expresar E en términos de n.6 B) –0.Sen x . 2 31. Según la figura: A) Secx B) Cosx C) Tanx D) Cotx E) Tanx y 34.Cos x .4 D) –0.1 35. Halle el valor de “x” del IIIC y menor que una Sen Sen 12 12 vuelta de modo que: 7 Cos Cos Cosx Sen 12 12 11 Es igual a: A) 0 B) 1 C) –1 D) 2 E) –2 27 29 31 35 37 A) B) C) D) E) 22 22 22 22 22 36. Simplificar: A) –2n B) –n C) n D) 3n E) 2n Sen 4 x Cos 4 x Sen 6 x Cos 6 x R= 30.1 3 3 13 C) 1 Tan x . Reducir al segundo cuadrante: Sen280° 29. Simplificar: 2 2 SenxCosx 3 3SenxCosx Sen 120 Cos210 Sec300 M= 3 2 2 3 2 3 2 2 3 3 Tan 135 Sec 225 Sec 315 A) B) C) 6 6 6 A) 1 B) 2 C) 3 D) –1 E) –2 3 2 2 3 1 D) E) 6 6 . Del cuadrado ABCD que se muestra. Si: = .2 E) –0.Sec x 2 2 2 D) 2 5 E) 3 Csc x 4 . Si: Tan10° = n.5 D C 33. calcular 3 Sen 180 Cos 90 Tan 1260 16Tan2397° – 9Sec4210° –(2Cot315°)3 M= Cos 270 Sen 540 Tan 450 A) 0 B) 1 C) –10 D) –13 E) –24 A) 4 3 B) 3 C) 3 3 D) –3 E) –1 32. Simplificar: X B) 0.5 C) –0. Sabiendo que: x 1 Sen(3 + 2) = y += 3 2 Calcular el valor de: Calcular: Sec x y Cosx Cosy H= Tan(2 + 3) x y Csc Senx Seny A) 2 2 B) 2 2 C) 2 D) 2 E) 2 6 4 4 A) –0. Calcular: 5 7 11 M = Cos 4 Cos 4 Cos 4 Cos 4 26. Secy 52. n 1 1 Senx Cosx A) 1 – n2 = 2m3 B) m3 + 1 = n2 C) m3 – n2 = 0 Halle: Senx D) n – m2 = n3 E) m – n3 = 1 2n n n 2n n2 1 A) B) C) 2 D) 2 E) 1 n 2 1 n 2 n 1 n 1 n 44. b = 1 C) a + b = 1 A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 D) a2 b2 = 1 E) a2 b2 = 2 .Secy n = Cosx. Simplificar: F= 2 Sen 3Sen Csc 3 M= 1 Secx Tanx 1 Cscx Cotx 2Cos 3 3Cos Sec 1 Tan Sec1 Tan Sec A) Tanx B) Tan C) Cotx D) Cot E) 1 A)Tan3 B) Cot3 C) Tan3 D) Tan E) Cot 2 47. 46. Reducir: bSen + Cos = 1 M = (Senx + Cscx)2 + (Cosx + Secx)2 – (Tanx + Cotx)2 A) a – b = 1 B) a . Senx – Cosx = n. Reducir: Tan 2 x Cot 2 x 7 Tan 2 x Cot 2 x 1 Halle: P = Tanx + Cotx + Secx – Cscx M= Tanx Cotx 3 Tanx Cotx 1 A) 1 m B) 1 m C) 2 1 m 1 1 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 D) 2 1 m E) 2 1 m 1 49. Si: Senx Cosx = 39. Siendo: Senx – Cosx = m 48. Sabiendo que IC. Si: SenxCosx = m3. Hallar “K” de: 41. Elimine las expresiones trigonométricas: 50. la relación 1 Senx Cosx entre m y n es: 51. Eliminar “” aSen Cos = 1 45. Si: m = Senx. Simplificar: 38. Sabiendo que: n. Si: Senx + Cos2x = 1. Csc4x A) 1 B) 1/2 C) Sen2x D) Cos2x E) 1/2 A) 2 B) 1 C) 4 D) 8 E) 2 42. Sabiendo que: F(n) = (Senx)2n + (Cosx)2n – n Sen2x Cos2x a2Sec2x = b + a2Tan2x Reducir: M = F(1) + F(2) F(3) (Tanx + Cotx)2 A) a2 b = 1 B) a2 + b2 = 0 C) b = a2 + 1 D) a2 b = 0 E) a – b2 = 1 A) 0 B) 1 C) 1 D) 2 E) 2 43. Coty 1 1 1 1 q = Cotz. señale el valor mínimo de: 7 Determinar: E = (1 + Senx)(1 – Cosx) M = (Sen+ Sec)2 + (Cos + Csc)2– (Tan – Cot)2 A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 81 81 9 9 18 A) B) C) D) E) 49 98 7 14 7 40. Coty M= 1 Sen x 1 Cos x 1 Sec x 1 Csc 2 x 2 2 2 Calcular: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 3/2 (m2 + n2 1)(p2 q2) A) Tan4y B) Cot4y C) Sen2y D) Cos2y E) 1 53. A = (1 + Senx + Cosx)2 – 2(1 + Cosx) B = (1 + Senx Cosx)2 – 2(1 Cosx) Halle: M = Senx + Cos4x K = AB. Simplificar: p = Cscz. De la figura mostrada. Si AB BC . Q y T son puntos de A O B C tangencia. halle x 9. halle x x C A) 125° A) 80° B) 70° x B) 34° Q C) 175° C) 60° T D) 35° P D) 40° B E) 90° E) 50° 60° M R A 3. Si P. Q y T son puntos de tangencia. calcular x. Calcular: x siendo: mPQ mQT = 250° 50° 7.1. En la figura mostrada. Si AB es diámetro. Si ABCD es un romboide. halle x B A) 25° A) 18° B) 15° B) 9° C) 30° C C) 20° D) 20° A 40° D) 30° E) 40° x E) 36° x 18° D 4. P. halle x 8. Halle x . Si: M. P 5. Calcular x A) 20º B) 30º A ) 30º M x C) 36º 3x F D) 45º B ) 45º E) 35º C ) 60º x N Q D ) 53º E ) 37º 11. De la figura mostrada. Si AB es diámetro y AO = OB = MN = NC. hallar x x x A) 120° B) 40° A) 120° C) 60° B) 60° D) 100° C) 90° 20° 40° E) 80° D) 150° 120° E) 30° A B 10. En la figura calcular x 6. hallar x 2x A) 36° B) 54° A) 80° 50° C) 30° B) 20° D) 18° C) 40° E) 20° D) 70° 3x x x E) 50° 2. En la figura mostrada. En la figura mostrada. 5] E) [4.sen6 B) sen4. Sabiendo que: 80º E) 36º Sen(Sen − 2)(Sen − 4)(Sen − 8) < 0 Q 60º Además . En la figura mostrada. Halle x . calcular el área del O B triángulo sombreado 13.sen(1). B) 22º 30´ 2 2 2 C C) 30º 3 D) 37º D) 0. E) 45º 2 A 19. es positivo y menor que una vuelta. Cosx1 < Cosx2 III. B 20. En la figura mostrada. T. Ordenar en forma creciente: sen4.sen5. Cos(6) 2 Dar como respuesta el mayor de todos.. Ordenar de mayor a menor 22.sen5. si ABCD es un cuadrado: B y C A) Cos A) 15º B) 22º30´ B) Sen x C) 30º Cos C) D) 24º 2 O x E) 18º30´ Sen D) 2 A D E) 1 14. Calcular el ángulo x C) 1 O x 1 D) A) 30 2 B) 45 E) Sen C) 90 D) 120 21. Sen2. Cos4. sen6. −2] B) [1. Si: 30º 150º. 5] 16.sen4. sen5. Senx1 < Senx2 D) Cos4 E) Cos3 II. Decir si es verdadero o falso. calcular D 3 A) 18º30´ A) . calcular el área del a) 50º x b) 45º triángulo sombreado c) 35º y d) 27º O e) 60º A) Cos A C B) Sen 15. . T. 2] D) [2.sen6 B) 18º E) sen(1). 2] C) [0.sen4. Tan(−x1) > Tan(−x2) 17.sen(1). B) 0.sen4.sen5.sen6 D) sen5. calcular la variación de: x E) 60 M = 2Sen − 4 60° A) [−3. E) 0. O es centro calcule x. las desigualdades: A) Sen2 B) Sen 2 C) Cos(6) I. Si: x1 x2 0 Sen 2 . sen(1) A) FFF B) FVF C) VFF D) FVV E) VVV . Halle T el intervalo al que pertenece 12. En la circunferencia es C. A) sen5.sen4.sen6 x C) 15º D) 30º 18. En la figura mostrada.sen6 P A) 20º C) sen(1). C) 0.sen(1). En la circunferencia es C. Cos3. En la figura. se cumple: 8PB = 7AQ y CR = 4m. 4 4 4 2 3 3 D ) 2.23. En la figura mostrada. Del gráfico. Si: M // N // L // R. BC = 7. B) . “m” que no verifican la igualdad se encuentran C comprendidos en: A) 4 A) −2. Cos4 Cos5 C)4 D)6 III. 1 C) −2. 2] B) [−3/4. Si: Secx = . AB = 11. Teniendo en cuenta que: IC. 2] D) [3/5. 4 B) −3. Cos2 < Cos3 9 E)8 12 A) VVF B) FVF C) VFF D) VVV E) FFV .5 2 1 3 E)4 D) 0. 4 E) 2. 2] E) [3/4. 26. En la figura mostrada. Identifica los valores de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: A ) 10 I. Sabiendo que: M = 4Sen x – 1. Si [0.6m B si: x . Cos1 > Cos3 x B)7 II. 1 E) −1. E) . Si EB//CD. calcular la variación de “m” en: C 4m 3 A)1 Sec = 2 B)2 B 5 2 2 3 1 2 1 3 C)3 A) . E) 1. 3] 32. 1 C) 8 P D) 10 28. Hallar FE. 0] C) [−3/4. se pide calcular la Q suma del máximo y mínimo valor que puede tomar M. entonces todos los valores de 3 EF y BP = 14. Hallar PF. 3 B) 6 D) −2. se pide determinar 30. Calcular el intervalo de valores para M: C) 3 L M = 1 + Cosx + Cos2x D) 4 6 y E) 5 R A) [1/4. AE = 27. 3 C) 3. 2 D) 3.8m D 2 24. 1 B) −2. Hallar x A) −1 B) 0 C) 2 D) −3 E) 3 6 29.5m C A) 0. C) . En la figura. BE//CD. 31.2m R D) 2. halle “x” 6 4 M A) 1 x 2 A) −1 B) 2 C) 0 D) −3 E) −2/5 N B) 2 3x+2 2y+1 25. /4]. 2 3 3 A D F E 2m 1 33. AD = 9 y AE = 6. 0 C) 1. Determine el valor de “a + b” si se verifica la E) 16 siguiente desigualdad: 7Cos 3 A F a b E D 2 34. el intervalo de variación de W si: Calcular RD Cos 3 A W= Cos 1 A) 3m P B) 3. Calcule la longitud del inradio del triángulo ABC 37. halle CF MN B P C A) 3m B) 4m C) 5m D) 6m E) 7m A) 3 M 44. Calcular la distancia del punto P a la recta tangente común exterior. En un triángulo ABC se sabe que AC = 12m. recto en B. además I es el incentro. recto en B. se traza la bisectriz interior CD y luego DM paralelo a AC (M en BC).35. se B) 4 traza la bisectriz interior BS. En un triángulo rectángulo ABC. Halle R circunferencias. sobre la P C altura AB se toma el punto medio R tal que m∢CRF = 38.5m D) 6. para que el ángulo formado por las dos tangentes exteriores A) 1 A comunes sea 600. N en BC. B) 1. si el primer piso mide 3m. C) 6 Halle IS.25 B E) 1.75 R C) 1. Hallar OP .5 11m. calcular DM 42.5 N 11 2 11 11 2 11 11 2 A) m B) m C) m D) m E) m A D 6 12 12 6 3 39. E) 3. además la sombra proyectada por el primer piso es igual a la A) 3 E altura del tercer piso. Halle BC B ab 2 a b 2ab A) B) C) ab ab ab A) 24m 2ab 2 2ab B) 28m D) E) ab ab C) 18m A D) 36m E) 40m 43. BP = 12m. Halle FC 45. si BP = 2. se C inscribe un cuadrado MNPQ (M en AB. Calcular la altura del tercer piso. ABCD es un cuadrado. recto en B. Se tiene dos circunferencias tangentes PC = 18m exteriormente en el punto P. cuyos radios miden 6m y 18m. La sombra proyectada por el tercer piso de un B edificio es de 12m. B) 4 F C) 5 A) 6m B) 9m C) 10m D) 5m E) 8m Q D) 6 E) 8 46. En la figura: AB = 4m. si AQ = 8m y 40. Se tiene un trapecio rectángulo ABCF de tal manera que la base BC =1 y la base AF = 4. En qué relación deben estar los radios de dos 41. Se tiene un triángulo rectángulo ABC. ABCD es un cuadrado de 30cm de lado. Calcular la longitud de MN. si el inradio mide 1m y el circunradio mide D) 4. PC = 4. EF = 2. Si AB = 8m y BC = 6m. En un triángulo ABC rectángulo.875 2 36. BC C = 10m. Del grafico AB // QE //PF y BE = 4. tangentes exteriores.5m E) 60/11m AF = a y EC = b.5 D) 1. A) 6m B) 12m C) 15m D) 18m E) 14m A) 9m B) 8m C) 7m D) 6m E) 5m 47. hallar 90°. se trazan las bisectrices interiores AE y CF .5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 2. P y A P Q en AC). tal que: A) 6m B) 5m C) 5. si BP = 9m y PC = 15m D) 1. si m∢BMC = 90. AH . exteriormente se 58. siendo E B ) 17. En un ABC.6 D) 1. siendo M un punto situado B C A)3 sobre AD. la construyen los cuadrados BPRA y BQSC. A) 1 B) 2 A) 4m B) 1m C) 3m D) 0. En un triángulo rectángulo ABC. Calcular la mPCA.5 E) 1. A) 21º30´ B) 43º C) 47º D) 57º E) 45º A) 4 B) 4. recto en A y 55. que corta en D a la A D prolongación de la altura BH . hallar DE. hallar la longitud R 54. Los diámetros AC y AB de la figura miden 20 y A ) 20 16 respectivamente. si AB = 6m y la distancia del punto D a BC mide se pide calcular el valor de x 8m. Si EC = 9. A) 1. A) 5 A B) 6 E F A)9 C) 7 B ) 4.5 E E ) 15 C)5 D ) 5. Hallar EF.2 C) 4. En un triángulo acutángulo ABC.5 D) 4.5 D C E)6 48. En el paralelogramo ABCD de la figura Calcular D.5m E) 2m C) 3 51.5 A ) 16m C E) 2. Hallar AB. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se D ) 30m traza la altura BH y en el triángulo BHC la bisectriz P E ) 20m interior BM. B)4 C)5 A) 3 2 B) 4 2 C) 5 2 D) 6 2 E) 7 2 Q P D)6 50. En la figura AP = 9 y AN = 3. Hallar . A B 53.8 E) 5 . Además AM = 2 y MC = 3. En el gráfico. Se da un trapecio rectángulo ABCD. si AB = 12 y 4(BQ) = 3(BD) trapecio. AB = BC = 10 y AC = 8. F. se traza la E)8 bisectriz exterior del ángulo A.8 B) 1. tal que MD = (AD)/3. las bases BC y AD del trapecio A C O1 O2 B ABCD miden 4 y 12 respectivamente. Las bases AB = 2 y CD = 8. si mQAC circunferencia inscrita es tangente a AB en E y BC en = 43º.5 O P punto de tangencia C ) 17. si T es de la base media del trapecio GEFH r B C punto de tangencia.2 C) 1. Hallar la altura del CP.5 B ) 18m 2 x 3 C ) 24m 57. Si GH es la base media del trapecio mencionado. A partir de los datos que se muestran en el gráfico. Calcular la longitud de 56.5 N R G H D) 8 C)6 r E) 9 D)3 E)5 P T A D 49.2 A)4 D D ) 16 B ) 4.4 A B 52. Calcule HM. 73 sen 3θ cos 3θ 6 Efectuar: M = − sen θ cos θ 12 Calcular: tan α A) 2 B) 1 C) 5 D) 3 E) 4 A) 1 8 B) −1 B C 15 2 7 Siendo. m m 2m n 2n A) − B) C) − D) − E) − A) n+1 B) n C) n−1 D) n +1 E) n −1 2 2 n n n m m 10 Calcular: tan x 4 Si: α − β = 60o . Halla tan A. α ∈ IV C 13 8 C) F a 5 16 sec β = .73 C) 1. Hallar el valor de D) 11 2 cos(x − y) M= E) 13 A x D 3 C sen(x + y) + sen(x − y) A) 1.73 B) 0. x D 4 a A) 15 B D) 5 o A 2a M 2a C B) 17 45 E) 3 C) 9 12 √ 11 Si cot x = 1 + 3 − tan y. Hallar: cos(α − β) 4 16 3 D) 77 76 66 85 13 A D A) B) C) D) E) 1 4 E 85 88 85 77 E) 2 .41 E) 2.41 D) 2. m−n Hallar: tan(a − c). Calcular: A) 1 2 T = (cos α + cos β) + (sen α + sen β) 2 B B) 2 A) 2 B) 1 C) 6 D) 3 E) 4 7 3a C) 6 5 Calcula el valor de x en la figura mostrada. β ∈ IV C. tan α = − . QUINTA MATEMÁTICA II SEMANA sen(a + b) + sen(a − b) 8 Calcular: tan β 1 Reducir: E = cos(a + b) + cos(a − b) A) 1 B 2a F 4a C A) tan a B) tan b C) cot a D) cot b A) 1 B) 2 3a 1 2 Calcular: M = 2 cos 80o + 4 sen 70o · sen 10o C) E 2 A) 3 B) 1 C) 5 D) 2 E) 4 1 b D) 3a 3 3 Si: A + B + C = π E) 3 A D sen A = n sen B · sen C m+n cos A = n cos B · cos C 9 Si tan(b − c) = 1 y tan(a − b) = . P T = 4. Hallar OP . √ √ √ √ 10 √ 3 10 D) 3 D A) 10 B) 5 C) D) 2 10 E) √ A B C 2 2 E) 5 2 . Hallar M N . B) 2 x +3 A) 5 B C C) 5 x +5 x B) 4 4 D) 4 C) 6 A D E E) 6 D) 7 3 22 Si. Calcule: 6 A) 3 sen3 α + cos3 α √ B) 4 3 A . O es centro. E) 4. halla x. calcule AC. √ B 4 5 13 12 8 C) 3 3 R A) B) C) D) E) √ 9 9 27 27 9 D) 2 3 C o o1 √ √ 3 + tan 50o + tan 70o E) 3 14 Calcular: F = tan 50o tan 70o √ √ √ √ 3 3 3 3 √ 20 En un rect´angulo ABCD se considera un A) B) C) D) E) 3 punto interior E. 21 En la siguiente figura: ABCD es un cua- BP = 3 y P Q = 2. 3 2 4 6 EC = 10. Hallar: ED. hallar x. 13 Si: sen(α + 45o ) = . Matemática II : Quinta Semana √ 2 19 Hallar R si. 15 En un tri´angulo ABC. P Q = 3. EB = 8. √ B) 3 6 5 Q A) 10 B C) 5 C √ P B) 2 10 D) 4 √ G 4 O C) 12 10 F E) 6 o T B 5 8 √ D) 4 5 A D E 23 En la semicircunferencia √ mostrada: AB = BC = CD = 2. AB = BC = 6. en AC √ √ y en la prolongaci´on de BP se ubican los A) 13 B) 10 C) 1 D) 2 13 E) 13 puntos P y Q respectivamente (P ∈ AC). Si m∠BQC − m∠BCP = m∠P CQ = 45o . A) 34 B) 6 C) 7 D) 2 17 E) 58 A) 3 B C 16 En la figura. E) 6 A) 2 18 Hallar el cateto mayor de un tri´angulo N rect´ B) 3 √ angulo conociendo que el per´ımetro es 2 10+5 y la altura relativa a la hipotenusa √ C) 2 M la divide en la relaci´on 1 a 9.5 A F x D A) 7 A 17 Calcula BC. recto en B. √ √ √ drado. cumpli´endose: EA = 4. E) 15 A D M C = 2. corta D) 9 a la circunferencia circunscrita al tri´angulo. CD = 2. 80o . ABCD es un cuadrado. Matemática II : Quinta Semana 24 En un tri´angulo acut´angulo ABC. 28 La figura muestra un cuarto de circunferen. 31 Hallar r.5 B) 12 C C) 13 F 32 En un tri´angulo ABC.5 26 En un cuadril´atero ABCD. m∠BCA = 20o . 34 En un cuadril´atero ABCD: m∠BAC = di´ametro AP = 12 y P D = 7. hallar E) 14 AB. A) 5 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7 A) 3 B) 4 r 27 Halle AB. Si BP = 9 y P Q = 3. Calcular BN · N C si.5 son perpendiculares. AB = BC. una circunferencia y una semicircunfe. √ 2 2 C) 5 GC = 120 y F E − AG = 24. las diagonales E) 2. AB = 9. A) 4 T A) 7 B) 5 x √ B) 2 13 B C H M C) 6 H C) 5 D) 7 D) 6 A D E) 8 B √ O E Q E) 3 2 29 En la figura. 3 . BC = 6. Hallar AD. O es centro. Hallar x. A) 12 B) 15 C) 10 D) 6 3 E) 7 rencia. si F E = BC. A 33 En la figura HC = 2. AD. A) 19 B C za la altura AN . OE = EB = 8. √ cia. A) 11 D) 6 9 D E E) 3. m∠ABD = 25o . la pro- G longaci´on de la ceviana interior BP . A O B en el punto Q. Hallar AB. B) 3 B M A) 2 C C) 5 B) 1 r 8 D) 1 A D C) 3 O E) 2 D) 1. 2 2 2 B) 12 AN = 4. GD = BD + AG. AB + AC − BC = 6 C) 13 A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 10 P D) 14 25 ABCD es un paralelogramo. Hallar P B. A) 4 30 Hallar r. BM = 7. se tra. Hallar BH. CD = 6. C) 2 DE = 2LE y AB · LE = 40 C D) 4 M A) 6 B) 7 C) 4 D) 8 E) 5 E) 6 N 4 . AD = 10. AC = 6 y CN = 3. Calcular CM . A) 35o B) 37o C) 39o D) 41o E) 43o 39 En el gr´afico mostrado.5 D) 4 1 E) 5. Calcule AE. el tri´angulo ABC A) 6 B) 7 C) 7. A) 5 A) 3 9 B) 4 B) 4 2 a C) 5 r 11 x b 5 C) 4 2 2 D) 4.5 es equil´atero.5 D) 8 E) 6. B) 1 T 1 Q A) C) 2 3 2 D) 4 A B C B) 3 r E) 8 4 4 C) 2 3 o o1 41 Hallar x. 43 La recta tangente en B a la circunferen- m∠B = 57o . BC 3 √ √ A) 2 2 B) 3 2 C) 4 D) 2 E) 8 A) 6 35 Hallar r. lela a la bisectr´ız interior CD. 8 Sabiendo que las bisectrices de los ´angulos D) 13 x internos so concurrentes. BD = 4. LD = 2BL = 8. Calcular AC +BD .5 E) 6 38 En un tri´angulo oblicu´angulo ABC.5 A) 170 B) 175 C) 180 D) 185 E) 190 37 Hallar x. si m∠BEA = m∠LED. tal que ABLE es un B) 1 cuadril´atero inscriptible. 40 En el gr´afico: AB y BC son di´ametros.Hallar AC. Calcular m∠C sabiendo que cia circunscrita al tri´angulo ABC es para- a2 − c2 = bc. Cal. 42 Hallar r. D) 1 A) 10 5 E) 3 B) 11 36 En un trapecio ABCD (BC//AD). AB = C) 12 2 2 18 8. B 44 En un cuadril´atero ABDE se ubica el A) 5 A punto L en BD. cular la longitud del segmento que une los AB 2 = y AQ = 8. si ab = 40. E) 12. si AD = 5. Calcular QT . Matemática II : Quinta Semana 2 2 m∠BDC = 70o y AB + AD = 32. puntos medios de las diagonales. P Q = b C) 3 D) 2 a+b a A) E) 4 A D C cot θ − 1 M B C a+b B) N cot θ + 1 3 b−a 02. AP = d. si B) 4 M N = a. Calcular tan β. SEXTA MATEMÁTICA II SEMANA ´ DE TRIANGULOS RESOLUCION ´ A) sen α + tan α ´ RECTANGULOS C B) sen α + cot α 01. Hallar N P . tan θ = C) 2 cot θ − 1 y AB = BC. si AM = 2. Calcular: tan α · tan β. si: AB = 1. Hallar el m´aximo valor de EF . Hallar BP . DC = 3. P a+b D) q 1 B tan θ − 1 A D Q A) E) a+b 2 1 M B) 06. Sabiendo que: C) cos α + tan α O AD = AB = 1 y DC = 2 D D) cos α + cot α a 1 B E) sec α + cot α A B A) 2 1 b 05. C) 5 b 4 A) d(tan2 α − 1) 3 P B) d cot2 α D) C 5 d tan2 α B A D C) 4 1 − tan2 α E) P 5 d cot2 α D) 1 − cot2 α a A D 04. Hallar P C. si BC = CD. si: CD = 1 E) d tan2 α O . si AB = 4CN f D 5 A) sen ϕ − tan ϕ B) 3 sen ϕ − tan ϕ A) M 6 B C C) 2 tan ϕ D) 4 sen ϕ − tan ϕ 5 E) sen ϕ + 3 tan ϕ B) 3 N ⌢ ⌢ 07. C) 1 q A E D) 2 A B C E) 3 O F C 03. 3 P N BC = 4. ABCD es un cuadrado. Hallar AB. CN = 1. Desde un punto de observaci´on situado so- A) 250o B) 210o C) 225o D) 270o E) 185o bre la costa se le observa en un instante determinado bajo un ´angulo de elevaci´on 18. Hallar AB. ve B) cos x cot x un ´arbol plantado sobre la rivera opuesta bajo un ´angulo de 60o se aleja 40m y es- C) sec x csc x x te ´angulo no mide mas de 30o ¿cu´al es la D) sen x tan x q q altura del ´arbol? E) tan x cot x A) 43. tan β = . Si el avi´on vuela con veloci- la distancia entre la UNA y nuestras casas dad constante. si AM = d 12. con respecto a un punto ini- A cial A. 17. P A = b respecto √ a un punto inicial. luego se despla- za 5 2 km. 6m B) 30m C) 34. si ambos partier´on simultanea- E) b sen β − a cos α mente de A. sabiendo que la cot α = . Un barco navega en la direcci´on S30o E y a otro barco la hace en la direcci´on N 30o E. P B A) 11km B) 5km C) 7km D) 13km E) 16km b 15. direcciones SE 14 S y N 14 N E. de Rendo respecto a la casa de Maria?. Matemática II : Sexta Semana 08. Ha- llar la distancia entre las hermanas Nataly B y Vanessa. ¿En qu´e direcci´on est´a la casa tan α = . Rendo le dice a Maria. Un avi´on vuela horizontalmente a una altu. Hallar cu´antos km se ha desplazado C 7 hacia el oeste. Un m´ovil se desplaza 7km hacia el oeste con 09. La UNA est´a al α. si P C = a. Hallar tan θ A) 10 3km B) 20km C) 20 3km D) 10km A) sen x cos x 16. 24 A) d(cot2 θ − cot θ) B) cot2 θ + d C) d(cot2 θ + cot θ) D) d(cot3 θ − 1) A) 288 B) 144 C) 84 D) 100 E) 200 E) d(cot3 − cot θ) 14. Cal- A) b sen β − a sen α B) b sen α − a sen β cular la separaci´on del primero con respecto C) b cos β − a cos α D) b cos α − a cos β del punto A. 6m D) 36. 21 11 A)100m/s B)200m/s C)300m/s D)400m/s A) N ON B) SOS C) N EN D) SES E) ESE 2 . Calcular dicha velocidad si 4 2 es la misma. hacia el N O con respecto a su nueva ubicaci´on. Un m´ovil se desplaza 300km. Hallar BC. hallar su desplazamiento total. √ √ 10. Calcular el mayor ´angulo formado por las ra de 2000m con respecto al nivel del mar. seg´ un la di- P recci´on OαN . 4m 11. luego de 5 seg el nuevo ´angulo de ele- OSO de mi casa y al SSE de la tuya y vaci´on es β. q A) 40m B) 50m C) 100m D) 120m E) 90m M 13. C O A en un instante dado el segundo barco se en- cuentra al norte del primero y a 60km. Una ni˜na colocada a la orilla de un rio. Nataly se encuentra a 80m de su casa en la direcci´on SE y Vanessa se encuentra a 60m de su casa en la direcci´on N E. Calcular el per´ımetro 5 a+c a−c b+c b−c a−b de dicho tri´angulo. simplificar: = = cos A cos B cos C √ 2R + r − a ¿Qu´e tipo de tri´angulo cumple la relaci´on? E= 2R A) sen A B) cos A C) tan A D) sec A A) Is´osceles B) Rect´angulo 23. En un tri´angulo ABC se verifica: 22. Determinar el valor de: cos(B − C) tan(A − B). Calcular el ´area de dicho tri´angulo. 3 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 28. Calcular el valor de x para el E) No se puede afirmar cual el ´angulo comprendido entre los dos √ √ 30. Indicar uno de los ´angulos de un tri´angulo C es igual al cuadrado de la hipotenusa a ABC en el cual se cumple: multiplicado por: A A 1 1 3 A) cos sen B B) cos C cos + = 2 2 a+b a+c a+b+c C) sen A sen C D) sen A sen B E) sen B sen C A) 30o B) 45o C) 60o D) 120o E) 75o 3 . Siendo R el circunradio y r el inradio de un a b c tri´angulo ABC. simplificar: 31. En un tri´angulo ABC se sabe que: b cos B + c cos C C = 60o y a = 3b. En un tri´angulo ABC simplificar: 21. El coseno de mayor ´angulo de un tri´angulo (cos B + cos C)(1 + 2 cos A) cuyos lados son tres n´umeros enteros y con- M= 1 1 + cos A − 2 cos2 A secutivos es igual a . Los lados de un tri´angulo miden: x2 + 1. 2x. En un tri´angulo sus lados: 9. 10 y 17. Hallar 5 A) 2 cos θ B) cos 2θ C) cos θ D) 2 sen θ E) la tangente de la mitad del mayor ´angulo. En un tri´angulo rect´angulo ABC el produc- to de los lados opuestos a los ´angulos B y 32. Matemática II : Sexta Semana ´ DE TRIANGULOS RESOLUCION ´ 26. Los √ lados de un tri´a ngulo son: 26. √ A) a B) b C)c D) b + c E) b − c √ √ √ 3 A) 4 3 B) 2 3 C) 3 D) E) 1 2 29. El ´area de un pol´ıgono regular de 36 lados ´ OBLICUANGULOS es igual al cuadrado de su lado multiplicado por: 19. A) B) C) D) E) b b a a c A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 25. √ √ √ 1 3 √ 3 6 A) B) C) 3 D) E) A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 2 2 3 2 24. 20 y primeros lados mide: 60o 18. La A) 120o B) 90o C) 150o D) 135o E) 108o relaci´on del lado mayor es: 20. En un tri´angulo ABC se cumple que: cos A cos B cos C c A) 9 csc 5o B) 9 cot 5o C) 9 sec 5o D) 9 cos 5o + + = a b c ab Calcular la medida del mayor ´angulo del 27. son tres n´umeros enteros consecutivos y el ´angulo mayor es el doble del menor (θ). En un tri´angulo ABC. C) Equil´atero D) Escaleno x2 − 1. Las longitudes de los lados de un tri´angulo tri´angulo. Calcular cot α impares consecutivos siendo el mayor ´angu- lo 120o . cuando el primero recorre (2 − √4 currentes a un mismo v´ertice los ´angulos α. Un tri´angulo tiene por lados tres n´ umeros 40. 7. 5. E) 7 sen β m 35. 9. ax. 3. m n+m A) 60o B) 15o C) 7o 30′ D) 45o E) 130o C) P m n+m b 36. En un tri´angulo ABC se cumple que: D) 2bc n C a2 − b2 − c2 = n−m A m Q n 3 E) A n+m . Determinar el ´angulo C de un tri´angulo A) n B ABC. Calcular la distancia que separa a 1 3 1 los barcos en ese instante. Una diagonal de un paralelepipedo un punto A. siguiendo rumbos N E 14 N y rect´angulo forma con las tres aristas con. Calcular: cos2 α + cos2 β + cos2 ϕ. SE 14 E. 7 C)5. Hallar cot α C) 3 millas D) 1. Calcular x. Hallar las longitudes de los lados. Los lados de un tri´angulo miden x. E 1 SE. 9 D) 7. 11 1 B) 34. 5 millas A) m + 2n m 44. Dos barcos parten al mismo tiempo de 38. A) 0 B) C) D) E) 1 2 2 3 A) 2 millas B) 1 milla 39. b y c de un tri´angulo ABC √ √ 1 A) 2 B) 2 C) 3 D) 3 E) est´an en progresi´on aritm´etica. A) 2 A) 1. En un tri´angulo ABC. 3 a √ 3 A) 2 C) 2 √ 30 o B) 3 D) 3 13 √ o 5 2 C) 5 x 5 E) 2 √ 2 D) 6 o 45 o 60 sen α √ 41. 2)millas observa al segundo con direcci´on β y ϕ. 2ax. √ sabiendo que: B = 120o . Calcule: 2 A C tan tan 37. B) m − 2n Calcular el valor de a sabiendo que el ´angu- mn m lo opuesto x mide 120o . a = 2m n B) a y c = ( 3 − 1)m. 5 millas m E) 2. Del gr´afico hallar: J = .Hallar: tan 2 42. 5 B) 3. Los lados a. C) m+n √ n m √ √ √ √ D) a 2a 2 6 5 7 √ m−2n m A) 1 B) C) D) E) E) m+2n 2 6 5 7 4 . Matemática II : Sexta Semana 33. reducir: 2 2 a(sen 2A + sen 2B) 1 1 1 2 4 Q= A) B) C) D) E) sen A cos(A − B) 2 4 3 3 5 3c c A) c B) 2c C) 4c D) E) 2 2 43. k ∈ Z 5 { kπ4} { kπ } 09. k ∈ Z D) R− . k∈Z cos x − 1 {5 π } 3 E) R − kπ + . k∈Z sec2 x csc2 x { 2kπ } 3 { kπ } E) R − . Determine el dominio de la funci´on f defi- Y COMPUESTAS. { kπ } nida por: A) R− . k ∈ Z 156 tan x cot x 2 f (x) = | sen x| − | cos x| 04. Calcule el dominio de la funci´on f definida { 2kπ } 3 por: E) R − . k∈Z A) R− . RANGO Y nida por: ´ GRAFICAS √ π f (x) = 4 csc(x − ) + 5 6 01. defi. k ∈ Z 4 { kπ } y = cos x cot x C) R. SÉPTIMA MATEMÁTICA II SEMANA ´ FUNCIONES TRIONOMETRICAS ´ BASICAS 05. k ∈ Z B) R − {kπ}. k∈Z A) R−{2kπ}. k∈Z 07. k ∈ Z D) R− . k ∈ Z { kπ4} { kπ } √ √ C) R− . k ∈ Z B) R − {kπ}. k ∈ Z 5 4} { kπ 5} { kπ 08. k ∈ Z D) R. Calcule el dominio de la funci´on f definida { kπ } por: A) R − . k ∈ Z B) R − {kπ}. k∈Z f (x) = sen x + − cos x { 2kπ } 7 { kπ } kπ E) R − . k ∈ Z E) R − (2k + 1)π . k ∈ Z x x f (x) = tan2 + sec2 2 2 02. k∈Z A) R − . k∈Z sec x + cos x 5 f (x) = cos 2x − 1 03. DOMINIO. Determine el dominio de la funci´on f defi- { kπ } nida por: A) R − . Determine el dominio de la funci´on f defi- C) R− . Calcule el dominio de la funci´on f definida 2 por: E) R − {(2k + 1)π}. k∈Z f (x) = sen x + cos x + sen x + cos x 5 . k ∈ Z 06. k ∈ Z B) R − {kπ}. Calcule el dominio de la funci´on f definida C) R− . k ∈ Z D) R− . k ∈ Z { kπ4} { kπ } C) R− . k∈Z por: { 2kπ } 3 √ √ E) R − . k∈Z nida por: [ 2 π ] 3 E) (4k + 1) . k ∈ Z B) R−{ }. k ∈ Z B) R−{2kπ}. Determine el dominio de la funci´on f . k∈Z { kπ } { } 5 A) R − . k ∈ Z 6 { kπ } C) R − . k ∈ Z D) R− . k ∈ Z D) R− . (2k + 1)π . Determine el dominio de la funci´on dada: { kπ } A) R − . k ∈ Z D) R− . k ∈ Z B) R − {kπ}. k ∈ Z { kπ4} { kπ } 1 1 f (x) = + C) R− . k ∈ Z D) R− . k ∈ Z { kπ4} { kπ } sen 2012x f (x) = + sen 2012x + cos 2012x C) R− . k ∈ Z B) R−{kπ}. 5 ⟨ π⟩ int´ervalo − π. ). 2 B) . C) ⟨2. [ ⟩ [ ] ⟨ π] ⟨ 2 ⟩ A) [ − 1. Calcule el de la siguiente funci´on f definida ⟨ π 4 4⟩ 2 2 π por: E) − . Calcule el rango de la funci´on f definida por: por: √ √ sen x + 3 f (x) = tan x + 1 + 1 − tan x f (x) = sen x + 2 ⟨ π π⟩ [4 ] ⟨3 ] en el intervalo − . C) ⟨ − 1. por: ma ordenada de la funci´ ⟨ o⟩n | sen x| es [ ] π en el intervalo de 0. Calcule el rango de la funci´on f definida 2 3 por: 13.2 B) . [4 ] [3 ] finida por: A) . 16.2 B) . 3] B) ⟨ − 2. 5 ⟨ciones⟩ sen x y cos x en el intervalo 0. x ∈ 0. 2 2 f (x) = sen6 x − sen2 x cos4 x − sen4 x + 1 11. Matemática II : Séptima Semana ⟨ ⟩ en el int´ervalo de 0.1 III. π B) 0. 3⟩ D) − 2. 2π √ √ [4 ] [3 ] π 2 3π 2 A) . +∞ f (x) = cos(sen x−cos x)+sen(sen x−cos x) E) − 4. B) − . 3 E) 0. 3 ] C) 0. 3⟩ D) 3.1 [3 ] ⟨4 ] I. Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones: [4 ] [3 ] A) . 3 E) − 4. 2 17. 3 te entre las gr´aficas sen x y cos x en el E) − 4.2 B) . 3 A) − . 5 [ π4 π4 ] ⟨ 4π 4π ] C) − . 3⟩ D) − 2. D) − . 2π f (x) = | sen x| + 2. 2π . 2π 14. 1 [3 ] [4 ⟩ adem´as f ( π2 ) = −1. 3 2 2 [3 ] ⟨4 ] ⟨ π π⟩ [ π π⟩ C) ⟨ − 1. 2π ⟨ 2] C) ⟨ − 1. − ) y (− . 2 B) . 5 10. Calcule el rango de la funci´on f definida por: ⟨ ⟩ ⟨ π⟩ f (x) = sen 2x − 2 sen x A) 0.1 [3 ] [4 ⟩ C) ⟨ − 1. 3⟩ D) − 2. +∞ ⟨ 3 3⟩ A)2 B) − 1 C)1 D) − 3 E) − 2 E) 0. 3 √ D) 3. 3 ⟩ D) − 2. es π. Calcule el dominio de la funci´on f definida 15. Calcule el m´aximo valor de la funci´on f de. Calcule el rango de la funci´on f definida II. Los puntos (− . Calcule el rango de la funci´on f definida por: A)F F F B)F V F C)V V F D)V V V f (x) = tan2 x + cot2 x + 1 12. 2π E) − 4. E) − 4. Calcule el m´ınimo valor de la funci´on f ⟨ π⟩ f (x) = sen x + tan x . 5 √ √ √ √ 2 3 √ A) 2 B) 3 C) D) E) 6 19. A) . La distancia entre dos puntos de cor. x ∈ π. D) 0. 2 2 . f (2π) = 5 C) − 1. La distancia entre dos puntos de m´axi. [3 ] ⟨4 ] 4 2 4 2 son los puntos de corte enter las fun. 18. siendo 3 [4 ] [3 ] f (x) = a cos 2x + b cos x A) . Si x ∈ 0. Calcule el rango de la funci´on f definida 26. Indique el valor de verdad de las siguien- [ ] [3 ] tes proposiciones respecto de la funci´on f A) − 1. Si. f es una funci´on impar. f (x) = 2 sen x + 3 cos x C) 0. Dada las funciones definidas por: 6 f (x) = sen x + cos x 6 f (x) = sen4 x+sen x y g(x) = cos4 x. 5 22. Ranf = − 5. Domf =R − {kπ}. 2 B) . x ∈ − . Domf =R − {0} A)V F V B)V V F C)F F V D)V V V E)V F F II. f (x) = A) . Calcule el n´umero de puntos en los que se intersecan la funci´on f y el eje de ⟨abscisas. 3 D) 3. A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 ⟩ siendo f (x) = cos x en el intervalo 0. Indique el valor de verdad de las siguientes ⟨ π ⟩ proposiciones respecto a la funci´on f defi. Del gr´afico adjunto. 2 [ √ √ ] I. f (x) = sen x + 2 sen x x [4 ] [3 ] I. Calcule el periodo m´ınimo de la funci´on f A)V F V B)V V F C)F V V D)V V V E)V F F definida por: 29. +∞ √ ⟨ 3 3⟩ f (x) = sen x + 2 cos x E) 0. III D)II E)I. 30. f es una funci´on peri´odica tes proposiciones respecto de la funci´on f definida por: A)F F F B)F V F C)V V F D)V V V E)V F V f (x) = tan x − cot x 23. II. 10π . Indique el valor de verdad de las siguien- III. f (x) = x3 tan πx E) 0. +∞ √ ⟨ 3 3⟩ III. 25. 0 . 2π . 1 cos x [3 ] [4 ⟩ II. 2 B) . . 1 [ ] [4 ⟩ definida por: C) 0. Calcule el periodo m´ınimo de la funci´on f definida por: I. calcule el ´area de la re- A)2 B)4 C)5 D)10 E)20 gi´on sombreada. f es de periodo 2π f (x) = x I. entonces f (x) < 2 π 8 A)2π B)4π C)π D)3π E) 2 24. Indique las funciones pares que tienen por por: √ regla de correspondencia. II C)II. 3 . Matemática II : Séptima Semana 20. Halle cu´antos puntos de cortes existen entre las π π π gr´ A)2π B) C) D)3π E) [ aficas ] de dichas funciones en el intervalo 8 4 2 0. f es creciente nida por: 8 esen |x| III. Ranf =R f (x) = 10 sen x + sen ⟨ 3π ⟩ 2 III. 28. k ∈ Z x II. Calcule el rango de la funci´on f definida A)III B)I. 2 21. 3 D) 3. III por: f (x) = | sen x| − cos 2x 27. Calcule el periodo y amplitud de la funci´on 1/2 f definida por: y f (x) = 2 cos(−3x) 2π π 3π 3π A) . Resolver: [ ⟩∪x⟨ ] es − 1. 1 2 cos 2x + 3 = 4 cos x III. Calcule el periodo y amplitud de la funci´on A) B) C)π D)2π E)3π f definida por: 3 2 31. Resolver: A)V F V B)V V F C)F F V D)V F V E)V F F 3(1 − cos x) = sen2 x 34. Hallar las tres primeras soluciones positivas proposiciones de: 1 cos(2x + 15) I. Si la funci´on f est´a definida por: ( 4| cos x| ) 3 tan2 x + 5 = 7 sec x f (x) = cos . entonces el do- |x|2 + 1 minio de f es R. 2 C) . π C)5π 2 . Hallar la suma de las tres primeras solucio- proposiciones nes positivas de: √ I. entonces el rango de f (x) [= sen A)2kπ± B)4kπ± C) ± D)2kπ± f es 0. Si la funci´on f est´a definida por: π π kπ π π ] |x|. entonces el rango de f 40. Si la funci´on f est´a definida por: 1 f (x) = sen . Indique el valor de verdad de las siguientes 37. Siendo k entero. 335o 715o 725o 0 735o II. f es 0. Indique el valor de verdad de las siguientes 39. π 3 8 8 32. 2 E)π. π D)3π. Si la funci´ A) B) C) D)360 E) √ on f est´a definida por: 2 2 2 2 f (x) = cos x − 1 entonces el rango de f es {1} 38. 1 . entonces el rango de sen(5x − 10 ) = o 2 f es − 1. Calcular el valor m´aximo de la funci´on f π kπ π π definida por: A)2kπ B)4kπ± C) ± D)2kπ± √ 3 2 3 6 16 f (x) = 4 tan x + cot4 x 4 . Matemática II : Séptima Semana x √ √ √ √ √ A) 2 B)2 3 C)2 2 D)3 2 E) 3 y = sen x 35. A)115o B)117o C)119o D)121o E)123o II. Resolver: III. π π kπ π π A)2kπ± B)kπ± C) ± D)2kπ± A)V F V B)V V F C)F F V D)V F V E)V F F 3 3 2 3 6 33. 2π B)2π 2 . entonces el rango de Indicar la suma de ´estas. π E)1. 1 . Si la funci´o√n f est´a definida por: 2 f (x) [= sen ] x. 2 B) . 2 3 3 2 4 π π 36. Halle el m´ınimo√valor de la funci´on f si x f (x) = −π sen f (x) = cos 2x − 3 cos x π 11 11 21 A) B)− C)− D)21 E)−11 A)2π 2 . 3 3 2 3 6 41. 2 D) . 0 0. Si la funci´ √ on f est´a definida por 2 f (x) [= ] cos x. 1 . 5 C) −4 y 1. ¿Para que valores de t el vector ⃗c es paralelo al vector ⃗a? 02. Los puntos P1 = (x1 . 7). 4) · (x. 8) E) (42. 0) + t(m. En el tri´angulo ABC se tiene AM = M C. 460) B)(35. A) 4 y−2 B) −4 y 0. Sean ⃗a y ⃗b vectores no paralelos y ⃗c = 2 2 3 2 (cos t)⃗a + (sen t)⃗b. √ √ √ √ A) 8x + 15y = 24 B) 8x + 15y = 20 A)√ 34 − 15 3 B) √ 34 + 15 3 C) 4 √ √ C) 8x+15y = 146 D) 8x+15y = 14 D) 34 − 15 2 E) 34 − 15 5 E)8x + 15y = 120 −→ 05. 0) y R = (1. 12) C) (29. (2. Hallar r − t. 5) D) ( . [ +15 = 0 distan ] 3 unidades −−→ −→ −−→ 4 de L : (3. valor x1 + x2 . 6) C) ( . y2 ) de −−→ 3 −−→ la recta 5x−12y 03. y1 ) y P2 = (x2 . 0) C) nπ + . n ∈ Z D) 2πn. 46) 37 √ √ √ √ A) 234 B) 324 C) 432 D) 324 06. 5) 5 5 5 5 C 11. x2 − 8). 3) = 0. n ∈ Z A) 1 B) 2 C) − 2 D) 3 E) − 3 07. A 15 L1 : P = (2. Encontrar el vector AB de la figura. Determinar los valores m y n para los cua- B) les la recta de ecuaci´on (m + 2n − 3)x + 7 3 (2m − n + 1)y + 6m + 9 = 0 es paralelo al C) eje de abscisas e intersecta al eje Y en el 7 4 punto (0. n) sean coinciden- n O X tes. n ∈ Z B) nπ + . OCTAVA MATEMÁTICA II SEMANA 01. Hallar x ∈ R tal que si A = (x2 − 9. El ´angulo entre ⃗a y ⃗b es 150o . y) − (0. 7). 3). 0) + s(−2. ||⃗a|| = 3 y una distancia igual a 5 unidades del punto ||⃗b|| = 5. −3).12) 29 29 2 19 8 A) ( . D) 7 A C A) 7 y−2 B) −7 y 2 C) 7 y 2 D) 7 y−3 5 M E) 7 09. n ∈ Z −→ −−→ 2 π AP + 3P B = (0. 2 Y B P(35. Calcular: ||⃗a + ⃗b||. 460) do P Q en el tri´angulo cuyos v´ertices son 37 37 1 P = (3. 5 . −4). 1 1 A) (429. Hallar el punto Q que divide al segmento 3 AB en la raz´on . x − 5) y A) nπ. Determinar m y n para que las rectas. Hallar la ecuaci´on de la recta paralela a la recta 8x + 15y = 10 y que se encuntra a 04. 10. 5) B) ( . 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 1 B 08. 2) y B = (9. hallar el Si BM = rBA + tBC. D) (15. 5 D) 2 y 0. π B = (1 − x. Hallar la longitud de la mediana del la. 1) y 1 L2 : P = ( . si A = (1. P = (2x2 − 1. −x). n ∈ Z 3 E)nπ + π. Q = (−4. 11) C) (−33. 4). 1) y B = (9. Halle su ecuaci´on. Hallar el valor de a tal que la recta tuada a 6 unidades del origen. Dados los puntos A = (1. (3. que pasa por L1 : ax + (a − 1)y + 18 = 0 sea paralela a (10. −4). Hallar su ecuaci´on. A) B) C) 5 D) 3 E) 9 8 7 A) (−2. 6) con res- 25 25 25 pecto a la recta L : P = (3. Hallar el valor de la constante k. Matemática II : Octava Semana 12. 2x − 3y = 12 C) 3x + 2y = 18. Hallar la ecuaci´on de la recta que est´a si. determinar las coordenadas de un punto de la recta L : y = x − 6. 2x + 3y = 18 ACB sea recto. 4). 7). Si las bases de un trapecio tienen las ecua. y la ecuaci´on del rayo refle- el segmento de ella. Y. 8x + 6y = 48. un rayo va dirigido por la recta 2x − 3y = E)3x − y = 7 12. 2). situado entre los ejes jado. 2x − 3y = 18 15. 1 1 1 A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 A) (33. ecuaciones 4x + 3y = 12. Determinar los valores de k para los cua- les las rectas ky + (2k − 1)x + 7 = 0. Una recta corta segmentos de longitudes (k − 1)y + kx = 5 se cortan en un punto iguales en los ejes coordenados y pasa por situado en el eje de las abscisas. Hallar el punto sim´etrico de (4. 2x − 3y = 12 D) (15. es dividido por el punto dado en su mitad. −11) B) (33. O 6 X A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 L1 14. 3x + 2y = −12 B) (0. 17. 0) y que corta a la parte positiva del eje la recta L2 : 4x + 3y + 7 = 0. Si el ´area del de la figura es 2u2 y L1 es C) 3x + 4y = 31 D) 3x + 4y = 15 ortogonal a L2 . −2). Al llegar al eje de las ordenadas se re- fleja en ´el. −4). 4) 5 5 a la recta 5x + 3y = 7. 1) 23. 0) B) (2. Determinar el punto de contacto 18. Una recta pasa por (3. 2x − 3y = −12 E)5x + y = 20 E)(0. 12) E)3x − 4y = 9. 5) de modo tal que del rayo con ´el. encontrar las ecuaciones de E)3x + 4y = 12 dichas rectas. 0) C) (2. −7). 1) + t(2. tal que el ´angulo A) 3x − 2y = 18. 5) D) (2. 5) y Q = (9. 19. Calcular el ´area del cuadril´atero limitado −→ −→ segmento P Q tal que 5P R = 3P Q donde por los ejes coordenados y las rectas de P = (3. 2) B) (5. 16. A) (1. 4) D) 3x + 2y = 18. 2x − 3y = 12 A) (10. Hallar las coordenadas del punto R sobre el 21. 1 1 2 5 5 A) B) C) D) E) A) x − y = 1 B) x + y = 5 5 3 5 16 17 C) 2x + y = 8 D) x + 2y = 7 24. hallar la altura del trapecio. 2x + 3y = −12 C) 2x + y = 11 D) x + 2y = 13 D) (0. A) 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 5 A) 3x + 4y = 30 B) 4x + 3y = 20 20. 8x − 6y + 30 = 0. Y L2 ciones 4x − 3y + 10 = 0. 2x + 3y = −12 A) x + y = 8 B) 5x + 3y = 30 C) (0. coordenados. B) 3x + 4y = 9. 13. 4) C) (10. 4) E)(10. −4). 2x − 3y = 12 2 . La recta L1 : 3kx + 5y + k = 2 es paralela D) (3. 1) E) (2. 11)) 5 5 5 1 1 22. 26) a la cir- de las dos part´ıculas. 7) C) (2. −7) A) x + 9y = 0 B) 3x + 9y = 0 C) 2x + 9y = 0 D) x − 9y = 0 32. A) 2y + 5x = 12 B) 3y − 2x = 11 encontrar el valor de k para que las tres rec. Dada la recta L1 : 3x − 2y = −12. L2 : (a − 1)x + by = −15. con la recta de pendiente − y que pasa el origen y divide al segmento en dos partes 3 por (1. 6) y parte del punto (−120. E)3y + 2x = 21 A) 1 B) − 1 C) − 4 D) 3 E) 5 34. 2x + 3y = 17 C) (x + 3)2 + (y − 9)2 = 18 B) 3x + 4y = 9. Hallar la ecuaci´on 26. Hallar la m´axima distancia del punto (10. 75) D) (80. 2). −75) en el instante t = 0. en el punto (2. hallar de la circunferencia que es tangente a am- la ecuaci´on de la recta que es paralela a L1 bas rectas y cuyo centro se encuentra en el y que forma con L1 y los ejes coordenados eje Y . 3) B) (2. Dado el segmento de extremos A = (2. La part´ıcula P1 tiene una velocidad v⃗1 = 2y − 20 = 0. 2x − 3y = 1 E)(x + 5)2 + (y − 1)2 = 7 D) 3x − y = 13. Matemática II : Octava Semana 25. Dadas las rectas L1 : 3x + ky + 10 = 0. E)9x + 5y = 0 x + 2y + 4a = 0. cuyas longitudes est´an en la relaci´on de 5 a 3. Una segunda part´ıcula P2 A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 tiene una velocidad v⃗2 = (8. 70) A) 21 B) 23 C) 24 D) 962−7 E) 19 3 . un trapecio de ´area igual 15u2 . Hallar los puntos de intersecci´on de la cir- y B = (6. determinar la ecuaci´on de la cunferencia con centro en el origen y radio recta con pendiente positiva que pasa por 4 5. 3)+t(1. 33. A) (4. A) (x + 3)2 + (y − 3)2 = 5 B) (x + 4)2 + (y − 3 = 5 A) 3x − 2y = 18. L3 : x−4y+14 = 0. 1). 7) a la circunferencia x2 + y 2 − 4x − 30. 28. 4x − 3y = 12 D) (x + 3)2 + (y − 7)2 = 9 C) 3x + 2y = 13. 4x − 3y = 18 35. 5x + 2y = −1 y de radio 3. −5) y parte del punto (−100. x − 2y − 6 = 0. Hallar la distancia del punto (4. cunferencia x2 + y 2 + 10y = 6x + 15. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia con centro en la intersecci´on de las rectas x + 29. Hallar los valores de a y b si el punto de in. ¿En qu´e punto se intersectar´an las trayectorias 36. √ A) (70. 3 A) x2 + (y − )2 = 5 A) 2y + x = 8 B) 3y + x = 16 2 C) 2y − 3x = 18 D) 2y + 3x = 13 B) x2 + (y − 3 = 5 E)5y + x = 28 C) x2 + (y − 2)2 = 25 3 D) x2 + (y + )2 = 5 27. x + 3y = 1 E)3x − 4y = 9. 60) C) (80. los ´angulos formados por las rectas 2x + y − 7 = 0. 150) en el instante t = 0. La distancia entre las√rectas x + 2y − a = 0. (12. −2) 31. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de y = 4. 6) D) (4. es 2 5. Determinar la ecuaci´on del di´ametro de la circunferencia x2 + y 2 − 6x + 4y − 12 = 0 A) 4 y − 7 B) − 4 y 6 C) 4 y 7 D) 2 y 7 que biseca a la cuerda cuya ecuaci´on es: 3y + x = 6. L2 : P = (1. C) 3y − 2x = 12 D) 3x − y = 11 tas sean concurrentes. 2 √ tersecci´on de las rectas L1 : ax + (2 − b)y = E)x2 + (y − 1)2 = 5 23. 75) B) (40. 7). −3). 6) es el centro de una cuerda 45. C) 3x + 4y = 39 D) 4x − 3y = 29 A) y − 2 B) y = 1 C) y = 2 E)3y + 2x = 39 D) y = 3 E)y = −3 43. 2). Si una par´abola vertical tiene el foco en (0. 53) 10 10 51. 2) se han trazado tangen- tes a la circunferencia x2 + y 2 = 10. 50) 15 15 15 10 10 A) 5 y− B) −5 y C) 4 y 7 D) 2 y − 1 1 4 2 7 C) (−32. Hallar las abscisas de los puntos de inter- sa por (0. si el A) x2 = 6(y − 1) B) x2 = 12(y − 2) ´angulo formado por sus as´ıntotas es 90o . 4) y su lado recto mide 12. C) x2 = 12(y − 3) D) x2 = 12(y − 1) √ √ √ √ √ E)x2 = 4(y − 1) A) 3 B) 2 2 C) 2 D) 3 2 E) − 2 4 . un ´angulo agudo con la horizontal.25 A) 16 pies B) 16. El techo en el pasillo de 20 pies de ancho tiene la forma de una semielipse de 18 pies 41. A) x = 2 B) x = 1 C) x − y = 1 D) x − y = 2 A) 2y + 5x = 26 B) 3y − 2x = 11 E)x = 3 C) 3y − 2x = 26 D) 4x − 3y = −26 E)3y + 2x = 21 47. 52. Una piedra arrojada hacia arriba formando de la circunferencia x2 + y 2 − 12x − 4y = 0. 1 1 A) (−32. hallar su A) 45o B) 600 C) 75o D) 90o E) 120o ecuaci´on. 3) B) (−5. 2) y foco en 49. Hallar la ecuaci´on del lado recto de la D) 16. sea tangente 4 3 4 3 A) B) 1 C) D) E) a la circunferencia x2 + y 2 + 6x + 4y = 0. 5 D) 3 E) 3. Hallar el centro de la elipse. El punto (8. −8) y (17. 8 pies E) 14 pies par´abola con v´ertice en (2. Una elipse tiene los focos en (−7. Hallar A) (−5. Determinar el valor de la constante k para de 12m. Encontrar la altura tancia del foco al v´ertice. D) (5. 40. Hallar la ecuaci´on de la cuerda com´un a 2 la par´abola y = 18x y a la circunferencia 39. 4y 2 = 16 que es trazada desde el punto A) 3x + 5y = 26 B) 3y + 2x = 11 (3. 2 pies C) 16. Hallar el par´ametro de esta A) 2 5 B) 3 5 C) 4 5 D) 7 5 E) 5 5 par´abola si la altura m´axima alcanzada es 38. del techo a 4 pies de cualquier pared. 4). Hallar la excentricidad de la hip´erbola. que la recta 2x + 3y + k = 0. Hallar la dis- en las paredes laterales. 5) A) 45o B) 600 C) 75o D) 90o E) 120o 48. 52) D) (32. El ancho de un reflector parab´olico es 12m de altura en el centro y 12 pies de altura y su profundidad es de 4m. Matemática II : Octava Semana 37. 6). 44. A) 2 B) 2. −2)) el ´angulo formado por dichas tangentes. 25 C) 2. 6). 53) B) (−33. circunferencia x2 + y 2 − 4x − 6y = 12 en el punto (−2. descri- Hallar la longitud de dicha cuerda. Hallar el centro de la circunferencia que pa- 50. Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la (x + 6)2 + y 2 = 100. 53) as´ıntotas de una hip´erbola si la excentri- 10 cidad es 2. 2). 5 4 3 2 A) 21 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26 46. be el arco de una par´abola y cae a una dis- √ √ √ √ √ tancia de 16m. 4 pies 42. 5) C) (5. Hallar el ´angulo formado por las rectas 1 E) (32. Hallar la recta tangente a la elipse 3x2 + (5. 1) y que es tangente a la curva de secci´on de la recta 20x + 21y + 12 = 0 con ecuaci´on y = x2 en (2. Desde el punto (4. la hip´erbola 16x2 − 9y 2 = 144. −3) E)(5.