Aplicación en problemas de física que involucran geometría. Muchos tipos de problemas de física dependen de alguna manera de la geometría.Por ejemplo, imagine un cilindro recto circular, lleno hasta la mitad con agua, y rotando con velocidad angular constante alrededor de su eje.La forma de la superficie del agua se determinará por la velocidad angular del cilindro. Aquí la física determina la forma geométrica de la superficie del agua. Como otro ejemplo, considere el agua que sale a través de un hueco en la base de un tanque cónico. Aquí la forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua. En los ejemplos ilustrativos siguientes consideramos tres problemas físicos que involucran geometría; a saber, el flujo de agua de un tanque, la forma de la superficie del agua en un cilindro que rota, y la forma de un reflector EJEMPLO Un recipiente con una sección transversal constante A se llena con agua hasta la altura H. El agua fluye del tanque a través de un orificio, de sección transversal B, en la base del recipiente. Encuentre la altura del agua en cualquier tiempo y encuentre el tiempo para vaciar el tanque. Formulación matemática Considere el tanque que aparece en la Figura 3.35, donde A es el área de la sección transversal constante, y B el área de la sección transversal del orificio. Sea h la altura del agua en el tanque en tiempo t (nivel 1) y h + Ah la altura en tiempo t + At (nivel 2). El principio básico que usamos es el principio obvio de que la cantidad de agua que se pierde cuando el nivel baja de 1 a 2 es igual a la cantidad de agua que se escapa por el orificio. la cantidad . tenemos.Cuando el nivel del agua baja de 1 a 2. Tenemos entonces -AΔh= BΔS.36). Sin embargo.A Δ h. Necesitamos tener ahora una expresión para la velocidad v de evacuación del agua. donde ΔS es la distancia que el agua viajaría en tiempo Δt si se mantuviera viajando horizontalmente. mayor es v. encontramos 1 donde v = ds/dt es la velocidad instantánea de evacuación a través del orificio. Puesto que Δh es realmente negativo. para el volumen real perdido en tiempo Δt. Es claro que a mayor altura del agua. Dividiendo por Δt y tomando el límite cuando Δt0. debemos ser cuidadosos con los signos. . el volumen perdido es numéricamente igual a AΔh. El volumen de agua que escapa a través del orificio es aquel volumen que contendría un cilindro de sección transversal B y longitud ΔS (Figura 3. El tiempo para vaciarse el tanque se obtiene al encontrar t donde h = 0.De hecho.6min. v =√ entonces 0 <C < 1. Obtenemos Si A = 4 pies2. con pérdidas. B = 1 pu12. entonces t =576seg. ò 9. encontramos c = √ de modo que 3 lo cual expresa la altura como una función de t. no es difícil mostrar que para condiciones ideales* convierte en v=√ Así. *Esto se cumple puesto que la energía potencial mgh de una masa m de agua es igual a la energía cinética ½*m v 2 En la práctica. H = 16 pies. . Solución La separación de variables en (2) produce usando h = H en t = 0. tenemos h = H en t = 0. g =32 pies/seg2. (1) se 2 Puesto que la altura es inicialmente H. donde c es el coeficiente de descarga. Recomendación La mayoría de aplicaciones están orientadas a ecuaciones de orden superior lo cual necesitan ser estudiadas para la aplicación de las mismas. .Objetivo: Conocer las distintas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales así como el medios en la q son sometidas. Conclusión Al aplicar las ecuaciones diferenciales se observa la variación de variables dependientes con respecto a las independientes como por ejemplo el tiempo en la velocidad q nos da como resultado la aceleración.
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