Capítulo 16.Temperatura y dilatación 16-1. La temperatura normal del cuerpo humano es de 98.6º F ¿Cuál es la temperatura correspondiente en la escala Celsius? tC = 5 9 (t F ! 32º ) = 5 9 (98.6º !32º ) ; tC = 37º C 16-2. El punto de ebullición del azufre es 444.5º C. ¿Cuál es la temperatura correspondiente en la escala Fahrenheit? t F = 9 5 tC + 32º = 9 5 (444.5º ) + 32º ; tF = 832º F 16-3. Un riel de acero se enfría de 70 a 30º C en 1 h. ¿Cuál es la variación de temperatura en grados Fahrenheit en ese mismo lapso? Δt = 70º C – 30º C = 40 Cº; ! 9 Fº " #t = 40 Cº $ %; & 5 Cº ' Δt = 72 Fº *16-4. ¿A qué temperatura la escala Celsius y la escala Fahrenheit coinciden en una misma lectura numérica? 5 9 ( x ! 32º ) = 9 5 x + 32º ; x = –40º C o –40º F 238 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 16 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 16-5. Un trozo de carbón vegetal que estaba inicialmente a 180º F experimenta una disminución de temperatura de 120 Fº. Exprese este cambio de temperatura en grados Celsius. ¿Cuál es la temperatura final en la escala Celsius? Δt = 120 Fº; ! 5 Cº " 120 Fº # $ = 66.7 Cº ; % 9 Fº & Δt = 66.7 Cº La temperatura final es 180º F – 120º F = 60º F los cuales se deben convertir en ºC: tC = 5 9 (t F ! 32º ) = 5 9 (60º !32º ) ; tC = 15.6º C 16-6. La acetona hierve a 56.5º C y el nitrógeno líquido a −196º C. Exprese estas temperaturas específicas en la escala Kelvin. ¿Cuál es la diferencia entre esas temperaturas en la escala Celsius? Acetona: T = tC + 273º m = 56.5º + 273º; T = 329.5 K Nitrógeno: T = tC + 273º m = –196º + 273º; T = 77.0 K Δt = 56.5º C – (–196º C) = 252.5 Cº; Δt = 252.5 Cº Nota: La diferencia en grados kelvin es la misma que en grados Celsius. 16-7. El punto de ebullición del oxígeno es −297.35º F. Exprese esta temperatura en kelvin y en grados Celsius. tC = 5 9 (!297.35º !32º ); tC = –183º C T = tC + 273º = –183º C + 273º; T = 90.0 K 239 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 16 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 16-8. Si el oxígeno se enfría de 120 a 70º F, ¿cuál es la variación de temperatura en kelvin? Δt = 120º F – 70º F = 50 Fº; ! 5 Cº " 50 Fº # $ = 27.8 Cº ; % 9 Fº & 1 K = 1 Cº; Δt = 27.8 K 16-9. Una pared de ladrillo refractario tiene una temperatura interna de 313º F y una temperatura exterior de 73º F. Exprese la diferencia de temperaturas en kelvin. Δt = 313º F – 73º F = 240 Fº; ! 5 Cº " 240 Fº # $ = 133 Cº ; 1 K = 1 Cº; % 9 Fº & Δt = 133 K 16-10. El oro se funde a 1336 K. ¿Cuál es la temperatura correspondiente en grados Celsius y en grados Fahrenheit? tC = 1336 K – 273º = 1063º C; tC = 1060º C t F = 9 5 tC + 32º = 9 5 (1063º ) + 32º ; tF = 1950º F 16-11. Una muestra de gas se enfría de −120 a −180º C. Exprese la variación de temperatura en kelvin y en grados Fahrenheit. [Dado 1 K = 1º C, el cambio en grados kelvin es el mismo que en °C.] Δt = –180º C – (–120º C) = –60 Cº; ΔT = –60 K ! 9 Fº " #t = $60 Cº % & = $108 Fº ; ' 5 Cº ( Δt = –108 Fº 240 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 16 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados Temperatura y dilatación 16-12. Una losa de concreto tiene 20 m de largo. ¿Cuál será el incremento en su longitud si la temperatura cambia de 12º C a 30º C? Suponga que α = 9 × 10−6/Cº. #L = ! L0 #t = (9 $ 10"6 /Cº)(20 m)(30º C " 12º C) ; ΔL = 3.24 mm 16-13. Un trozo de tubo de cobre tiene 6 m de longitud a 20º C. ¿Qué incremento de longitud tendrá cuando se caliente a 80º C? #L = ! L0 #t = (1.7 $ 10"5 /Cº)(6 m)(80º C " 20º C) ; ΔL = 6.12 mm 16-14. Una barra de plata tiene 1 ft de longitud a 70º F. ¿Cuánto se incrementará su longitud cuando se introduzca en agua hirviendo (212º F)? #L = ! L0 #t = (1.1 $ 10"5 /Fº)(1 ft)(212º F " 70º F) ; ΔL = 0.00156 ft; ΔL = 0.00156 ft(1 in/12 ft); ΔL = 0.0187 in 16-15. El diámetro de un orificio en una placa de acero es de 9 cm cuando la temperatura es de 20º C. ¿Cuál será el diámetro del orificio a 200º C? #L = ! L0 #t = (1.2 $ 10"5 /Cº)(9 cm)(200º C " 20º C) ; ΔL = 0.0194 cm; L = L0 + ΔL = 9.00 cm + 0.0194 cm; L = 9.02 cm *16-16. Una varilla de bronce tiene 2 m de longitud a 15º C. ¿A qué temperatura habrá que calentarla para que su nueva longitud sea de 2.01 m? [ΔL = 2.01 m – 2.00 m = 0.01 m] #L = ! L0 #t ; #t = #L 0.010 m = ; ! Lo (1.8 $ 10"5 /Cº)(2.00 m) #t = 278 Cº t = to + Δt = 15º C + 278 Cº; t = 2930C 241 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 16 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 16-17. Una placa cuadrada de cobre que mide 4 cm por lado a 20º C se calienta hasta 120º C. ¿Cuál es el incremento en el área de la placa de cobre?[γ = 2α = 2(1.7 × 10–5/Cº) = 3.4 × 10–5/Cº] ΔA = γAoΔt = (3.4 × 10-5/Cº)(4 cm)2(120º C – 20º C); ΔA = 0.0544 cm2 *16-18. Un orificio circular en una placa de acero tiene un diámetro de 20.0 cm a 27º C. ¿A qué temperatura se tendrá que calentar la placa para que el área del orificio sea de 314 cm2? ! D 2 ! (20 cm) 2 A= = = 314.16 cm 2 a 27º C 4 4 El cambio en el área debe ser 314 cm2 – 314.16 cm2: #A = 2! A0 #t ; #t = ΔA = – 0.16 cm #A "0.16 cm = = "21.2 Cº 2! A0 2(1.2 $ 10"5 /Cº)(314.16 cm) Así, la temperatura final es 27º C – 21.2º C: t = 5.88º C 16-19. ¿Cuál es el incremento de volumen en 16.0 litros de alcohol etílico cuando la temperatura se incrementa en 30 Cº? ΔV = βVoΔt = (11 × 10–4/Cº)(16 L)(50º C – 20º C); ΔV = 0.528 L 16-20. Un matraz Pyrex tiene un volumen interior de 600 ml a 20º C. ¿A qué temperatura el volumen interior será de 603 ml? [ΔV = 603 mL – 300 mL = 3 mL] #V = !V0 #t ; #t = #V 3 mL = = 556 Cº "5 !V0 (0.3 $ 10 /Cº)(600 mL) t = 20º C + 556º C; t = 576º C 242 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 16 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 16-21. Si 200 cm3 de benceno llenan exactamente una taza de aluminio a 40º C y el sistema se enfría a 18º C, ¿cuánto benceno (a 18º C) se podrá agregar a la taza sin que se derrame? #V = #VB $ #VAL = ! BV0 #t $ (3" )V0 #t ; Δt = (18 – 40) = –22 Cº ΔV = (12.4 × 10–4 /Cº)(200 cm3)(–22 Cº) – 3(2.4 × 10–5/Cº)(200 cm3)(–22º C) ΔV = –5.456 cm3 + 0.3168 cm3 = –5.14 cm3; VB = 5.14 cm3 16-22. Un vaso de laboratorio Pyrex se llena hasta el borde con 200 cm3 de mercurio a 20º C. ¿Cuánto mercurio se derramará si la temperatura del sistema se eleva a 68º C? Vo = 200 cm3; βm = 1.8 × 10–4/Cº; αp = 0.3 × 10–5/Cº #V = #Vm $ #V p = ! mV0 #t $ (3" p )V0 #t ; Δt = 68º C – 20º C = 48 Cº; ΔV = (1.8 × 10–4 /Cº)(200 cm3)(48 Cº) – 3(0.3 ×10–5/Cº)(200 cm3)(48 Cº) ΔV = 1.728 cm3 – 0.0864 cm3 = 5.14 cm3; VB = 1.64 cm3 Problemas adicionales *16-23. El diámetro de un orificio en una placa de cobre a 20º C es de 3.00 mm. ¿A qué temperatura se deberá enfriar el cobre para que ese diámetro sea de 2.99 mm? [ΔL = (2.99 – 3.00) = –0.01 mm] #L = ! L0 #t ; #t = #L "0.010 m = ; #t = " 196 Cº ! Lo (1.7 $ 10"5 /Cº)(3.00 m) t = to + Δt = 20º C – 196 Cº; t = –176º C 16-24. Una hoja rectangular de aluminio mide 6 × 9 cm a 28º C. ¿Cuál es su área a 0º C? Ao = (6 cm)(9 cm) = 54 cm2; Δt = 0º – 28º C = –28º C ; γ = 2α ΔA = 2αAoΔt = 2(2.4 × 10-5/Cº)(54 cm2)(–28 Cº) = –0.0726 cm2 A = 54 cm2 – 0.0726 cm2; A = 53.9 cm2 243 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 16 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *16-25. La longitud de una varilla de aluminio, medida con una cinta de acero, fue de 60 cm cuando ambas estaban a 8º C. ¿Cuál será la lectura de la longitud de la varilla en la cinta si ambas están a 38º C? La varilla de aluminio se dilatará más que la cinta de acero. Así, la cinta de acero dará una lectura menor basada en la diferencia en el cambio de longitud. ΔLAL = αALL0Δt = (2.4 × 10–5/Cº)(60 cm)(30 Cº); ΔLAl = 0.0432 cm ΔLA = αAL0Δt = (1.2 × 10–5/Cº)(60 cm)(30 Cº); ΔLAl = 0.0216 cm La lectura será menor por la diferencia en las dilataciones. Lectura = 60 cm + (0.0432 cm - 0.0216 cm); Lectura = 60.02 cm 16-26. Un cubo de cobre mide 40 cm por lado a 20º C. ¿Cuál es el volumen del cubo cuando la temperatura llega a 150º C? [V0 = (40 cm)3 = 64 000 cm3; Δt = 150 – 20 = 130Cº] V = V0 + 3αV0Δt = 64 000 cm3 + 3(1.7 × 10–5/Cº)(64 000 cm3)(130 Cº) V = 64,000 cm3 + 424 cm3; V = 64 420 cm3 16-27. Un vaso de laboratorio Pyrex (α = 0.3 × 10−5/Cº) está lleno hasta el borde con 200 mL de glicerina (β = 5.1 × 10−4/Cº). ¿Cuánta glicerina se derramará por el borde si el sistema se calienta de 20º C a 100º C? [Vo = 200 mL; βg = 5.1 × 10-4/Cº; αp = 0.3 × 10–5/Cº] #V = #Vm $ #V p = ! mV0 #t $ (3" p )V0 #t ; Δt = 100º C – 20º C = 80 Cº; ΔV = (5.1 × 10–4 /Cº)(200 mL)(80 Cº) – 3(0.3 × 10–5/Cº)(200 mL)(80Cº) ΔV = 8.16 mL – 0.1444 mL = 8.016 mL; VB = 8.02 mL 16-28. Un horno se ajusta a 450º F. Si la temperatura desciende 50 kelvin, ¿cuál es la nueva temperatura en grados Celsius? tC = 5 9 (t F ! 32º ) = 5 9 (450 ! 32º ) ; tC = 232.2º C Puesto que 1 K = 1 Cº: t = 232.2º – 50º t = 182º C 244 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 16 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *16-29. Una cinta de acero de 100 ft mide correctamente la distancia cuando la temperatura es de 20º C. ¿Cuál es la medición verdadera si esta cinta indica una distancia de 94.62 ft un día en el cual la temperatura es de 36º C? ΔL = αLoΔt = (1.2 × 10–5/Cº)(100 ft)(36º C – 20º C) = 0.0192 ft L = Lo + ΔL = 94.62 ft + 0.0192 ft; L = 94.64 ft *16-30. El diámetro de una varilla de acero es 3.000 mm cuando la temperatura es de 20º C. El diámetro de una argolla de bronce es 2.995 mm, también a 20º C. ¿A qué temperatura en común la argolla de bronce se ensartará deslizándose suavemente sobre la varilla de acero? ΔLb – ΔLs = 3.000 mm – 2.999 mm = 0.001 mm (1.8 × 10–5/Cº)(3.000 mm) Δt – (1.2 × 10–5/Cº)(2.999 mm) Δt = 0.001 mm Por lo cual: Δt = 55.2 Cº y t = 20º C + 55.2º C t = 75.2º C *16-31. El volumen de un cubo de metal se incrementa en 0.50% cuando la temperatura del cubo se eleva en 100 Cº. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación lineal de este metal? [0.5 % = 0.005] %V = !V0 %t = 3"V0 %t ; " = 1 # %V & 3%t ( V0 $ 1 (0.0050) '= ) 3(100 Cº) α = 1.67 × 10–5/Cº 16-32. ¿En qué porcentaje se incrementa el volumen de un cubo de bronce cuando se calienta de 20º C a 100º C? [β = 3α y Δt = 100º C – 20º C = 80 Cº] $V = !V0 $t = 3"V0 $t ; $V = 3" $t = 3(1.8 % 10#5 /Cº)(80 Cº) V0 "V = 4.32 # 10!3 ; V0 (ΔV/V) = 0.432% 245 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 16 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 16-33. Un tapón de bronce redondo tiene un diámetro de 8.001 cm a 28º C. ¿A qué temperatura se deberá enfriar el tapón para que ajuste correctamente en un orificio de 8.000 cm? #L = ! L0 #t ; #t = #L "0.001 cm = ; #t = " 6.94 Cº ! Lo (1.8 $ 10"5 /C0 )(8.001 cm) t = to + Δt = 28º C – 6.94 Cº; t = 21.1º C *16-34. Un vaso de laboratorio Pyrex se llena por completo con 500 cm3 de alcohol etílico. Si la temperatura del sistema se eleva 70 Cº, ¿qué volumen de alcohol se derramará? Vo = 500 cm3; βm = 11 × 10–4/Cº; αp = 0.3 × 10–5/Cº #V = #Vm $ #V p = ! mV0 #t $ (3" p )V0 #t ; Δt = 70 Cº; ΔV = (11 × 10–4 /Cº)(500 cm3)(70 Cº) – 3(0.3 × 10–5/Cº)(500 cm3)(70 Cº) ΔV = 38.5 cm3 – 0.315 cm3 = 5.14 cm3; VB = 38.2 cm3 Preguntas para la reflexión crítica 16-35. Un aparato de laboratorio que permite medir el coeficiente de dilatación lineal se ilustra en la figura 16.17. La temperatura de una varilla de metal se eleva haciendo pasar vapor a través de una cubierta metálica cerrada. El incremento de longitud resultante se mide con un tornillo micrométrico en uno de sus extremos. En virtud de que la longitud original y la temperatura son conocidas, el coeficiente de dilatación se puede calcular a partir de la ecuación (16.8). Los siguientes datos fueron obtenidos en el curso de un experimento realizado con una varilla de metal desconocido: Lo = 600 mm to = 23º C ΔL = 1.04 mm tf = 98º C ¿Cuál es el coeficiente de dilatación lineal para este metal? ¿Puede identificarlo? != "L 1.04 mm ; = L0 "t (600 mm)(98º C # 23º C) α = 2.3 ×10–5/Cº; aluminio 246 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 16 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *16-36. Suponga que los extremos de una varilla están firmemente sujetos entre dos paredes para impedir la dilatación cuando la temperatura se eleva. A partir de las definiciones del módulo de Young (capítulo 13) y sus conocimientos de la dilatación lineal, demuestre que la fuerza de compresión F que ejercen las paredes está dada por F = αAY Δt, en donde A = sección transversal de la varilla, Y = módulo de Young, y Δt = incremento en la temperatura de la varilla. Del capítulo 15, el módulo de Young es: Y= FL ; A"L # "L $ F = YA % & ; y "L = ! L0 "t o ' L ( "L = ! "t L F Eliminando (ΔL/L), tiene: F = YAα Δt *16-37. Demuestre que la densidad de un material cambia junto con la temperatura, de manera que la nueva densidad ρ se calcula mediante ! = ! o 1 + "#t , en donde ρo = densidad original, β = coeficiente de expansión del volumen, y Δt = cambio en la temperatura. Vf = Vo + βVoΔt = Vo(1 + αΔt), de lo cual Ahora, ρ = m/V o V = m/ρ , así que: !o = 1 + " #t ; ! != Vf V0 = 1 " ! #t ; m /! = 1 + " #t m / !0 !0 1 + " #t 16-38. La densidad del mercurio a 0º C es 13.6 g/cm3. Aplique la relación del ejemplo anterior para hallar la densidad del mercurio a 60º C. != !0 (13.6 g/cm3 ) ; = 1 + " $t 1 + (1.8 % 10#4 /Cº)(60 Cº) ρ = 13.5 g/cm3 247 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 16 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 16-39. Un anillo de acero con un diámetro interior de 4.000 cm a 20º C tiene que encajar en un eje de cobre cuyo diámetro es de 4.003 cm a 20º C. ¿A qué temperatura deberá ser calentado el anillo? Si el anillo y el eje se enfrían uniformemente, ¿a qué temperatura se empezará a deslizar el anillo sobre el eje? [ΔLs = 4.003 cm – 4.00 cm = 0.003 cm] (a) ΔLa = αLoΔt; "t = 0.003 cm = 62.5 Cº (1.2 # 10!5 /Cº)(4.000 cm) El anillo de acero debe calentarse a: 20º C + 62.5º o 82.5º C (b) Encuentre la temperatura a la cual el anillo se desliza afuera con facilidad. Empiece a 20º C, donde La = 4.000 cm y Lc = 4.003 cm, en seguida enfríe ambos hasta que los diámetros sean iguales. Esto ocurre cuando la varilla de cobre se encoge más que el anillo del acero de modo que ΔLcobre – ΔLacero = 0.003 cm αcLcΔt – αaLaΔt = 0.003 cm; "t = "t = 0.003 cm ! c Lc # ! s Ls 0.003 cm = 150 Cº (1.7 # 10 /Cº)(4.003 cm) ! (1.2 # 10!5 /Cº)(4.000 cm) !5 Así la temperatura de ambos, cobre y acero, debe decrecer en 150° C. tf = t0 – 150 Cº = 20º C – 150 Cº; tf = –130º C 248 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 16 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados