Guía de Ejercicios Conjuntos 1.- Si de un conjunto se pueden obtener 16 subconjuntos, entonces por cuántos elementos está formado el conjunto 2.- Dados los conjuntos : A = { 1,2 } B = { 2,3,4 } y C = { 2 }. ¿Cuántos subconjuntos tiene (A ∩ B ∩ C) 3.- Sean los conjuntos : A = { 1, 2, 3, 4, 5 }; B = { 1, 2 } C = { 1, 5 } ; D = { 1, 4 } ; E = { 1 } ¿Cuál de todos ellos es subconjunto de todos los demás ? 4.- Sea el conjunto, A = {x / x ∈ IN , x < 5 }, ¿Cuántos subconjuntos podemos construir a partir de A ? 5.- Dado el conjunto A = { t, a, d }, represente al conjunto potencia de A ? 6.- Dados los conjuntos: H={x∈Z/x-2=0} I = { x ∈ Z / 2x - 6 = 0 } J={x∈Z/2<x<3} Entonces es verdadero que: I La cardinalidad de H e I es la misma II H ∪ I = J III H ∩ I = J 7.- Si el conjunto A tiene 5 elementos, el conjunto B tiene 3 elementos, y además se sabe que (A ∩ B) tiene 2 elementos entonces, ¿cuál es la cardinalidad de (A∪B)? 8.- Dado que el conjunto A está definido como : A = { (a, b) / a ∈ ΙN, b ∈ ΙN y a + b = 12- Entonces, ¿Cuál es a cardinalidad del conjunto A ? 11.- Determine cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) falsas : I φ' = U II A ∩ A' = U III A ∪ A' = U 12.- Si A = { 1,2,3,4,5 } y B = { 3,5 } .Determine el conjunto B - A . 13.- Si A = { a, b, c, d, e } , B = { b, c, e } y C = { a, e }, entonces ¿ Cuál es el conjunto ( A ∩ B ) - C ? 14.- Si el conjunto A está dado por: A = {p ∈ ΙN / p es número primo y 1< p < 10si U = IN, entonces, A' = ? e } y C = { a. 4 } . c.8 } B = { x ∈ ΙN / x es par y x < 10 } ¿Cuál de las siguientes alternativas es la correcta ? a) A = B b) A ⊆ B c) B ⊆ A d) A ∪ B = { 2.12..B = ? 16.N = φ 17.. ¿ Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s) ? I M=N II M ∪ N tiene 6 elementos III M .4.6. e }.2} y el Conjunto vacío ?20..Sean los conjuntos : A = { x ∈Z / x = 3n . 4. 3 } d) A ∩ B = . b.Si A = { a. c.Si M y N son dos conjuntos con tres elementos cada uno. 24 e) A .Sean los conjuntos: P = { x ∈ N / x es divisor de 12 } y Q = { x ∈ N / x es divisor de 24 } ¿Cuál de las siguientes alternativas es incorrecta ? a) P ∪ Q = { 1.7 } Señale que operación deberá efectuarse para que el resultado sea el conjunto { 3.. múltiplos de 5 c) A ∪ B = { múltiplos de 6 } d) A ∩ B = .. 24 } 22. 6. n < 13 } Entonces A . n < 14 } B = { x ∈Z / x = (5n/2).P) ∪ (P . 6.Q) = { 8.10 } .7. e } .8. B = { b.-Dados los conjuntos: A = { x ∈ N / x es múltiplo de 2 } y B = { x ∈ N / x es múltiplo de 3 } entonces..5 } .4. y n ∈ N ..6. y n ∈ N .Dados los conjuntos A = { 2. 2. 18. 12 c) P ⊆ Q d) P . 24 } b) P ∩ Q = .Q = { 8.. 24 } e) (Q .¿Cuál es la intersección del Conjunto H = {0.15. 4.Dados los conjuntos: A ={1. 3.Dados los conjuntos: A = {x ∈ N / x < 3} B = {x ∈ N / x + 1 = 3 } Entonces ellos verifican que: a) A ∩ B = 2 b) A ∩ B = {1. 6. 2 . 1. entonces ¿ Cuál es el conjunto (A∩B)-C? 18. 2 21. −1 23. C = { 3. 3.1. 3 .B = . 2. 2. d. 8. 5 } 19. se puede afirmar que : a) A ∪ B = { múltiplos de 5 } b) A ∩ B = . 12.4. 2 } c) A ∪ B = {1.1.5. B = { 2. A.(B . #(A U B U C)' = 5. y ∈ B. # ( B ∩ C ) = 8 . .Problemas de Aplicación 32) En un curso compuesto por 22 alumnos.B) ∩ B = φ . . tales que: # (A ∩ B) = (2/5) N. φ . # ( A ∩ C ) = 4 .B) . 11 estudian .C) = (A U B) .C) = (A .B) ∩ (A .(B U C) c) (A .C d) (A . # (B' ∩ A') = 15% de N a) Determinar # A b) Si N=80 Determinar # [(A-B) U (B-A)] II.C b) (A .Si A ∪ B = U.. z ∉ B.C c U considerando que #(U) = 30.φ --? b) ¿Existe algún conjunto que tenga 9 subconjuntos? 30) Determinar la cardinalidad de los conjuntos A. z ∉ A.e) A∩B=. y ∉ C. #(A-C) = 12.. ilustrar las igualdades anteriores con diagramas de Venn... x ∉ B. 28) Demostrar que: a) ∀ A ⊆ (A U X ) = ( A U Y ) ∧ ( A ∩ X ) = ( A ∩ Y) entonces X = Y b) T . #( A ∩ B ) = 11 31) En un universo de N elementos se tienen dos conjuntos A y B. 25) Las proposiciones siguientes son verdaderas x ∈ A.Determinar el valor de verdad de: a) y ∉ B v z ∈ A b) x ∉ C v y ∈ B c) x ∈ A ⇔ y∈ C d) (x ∈ A ⇒ z ∈ C) ⇒ (y ∉ A ⇒ z ∈ B) e) (z ∈ A ⇒ x ∈ B) ⇒ y ∈ B 26) Mostrar que los siguientes conjuntos son vacíos: a) (A U B)' ∩ (C U B')' b) A ∩ *B' U (C ∩ A')'+' 27) Demostrar que: a) (A . z ∈ C .C) U (B . 12 estudian Alemán . # ( A ∩ B ∩C ) = 3 . es siempre verdadero que : a) B = A' b) B = A . # B = 50% de N.C) .1.B c) A ∩ B = φ d) (A ∪ B)' = φ e) N.C) = A . y ∈ A.B.(T-S) = S ⇔ S ⊆ T c) B = (A ∩ B') U (A' ∩ B) ⇔ A = φ d) ( A ⊂ C ) ∧ ( B ∩ C ) ⇒ (A U B) ⊂ C 29) a) ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto: A = . #(A U B) = 23. entonces.7- 24. 000 diarios. gastaron a lo menos $ 30.000 diarios? c) ¿Cuántos visitantes permanecieron menos de una semana y gastaron menos de $ 30. 40 personas tomaban café con leche. 32 están completamente satisfechos del servicio . 9 y 13 se obtuvo la siguiente información : 55 Encuestados ven el canal 7 15 Sólo ven el canal 7 y el canal 9 33 Ven el canal 7 y el canal 13 3 Sólo ven el canal 13 25 Ven los tres canales 46 Ven el canal 9 6 No ven T. 80 personas tomaban leche. 30 personas tomaban té con leche.000 diarios y no quedaron completamente satisfechos.000 diarios pero no quedaron completamente satisfechos? b) ¿Cuántos visitantes quedaron completamente satisfechos .? 36) Al investigar un grupo de 480 estudiantes sobre sus intereses de estudios superiores se obtuvo la siguiente información : Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil .000 diarios . también querían estudiar Ingeniería de Ejecución Ninguno quería estudiar Ingeniería Civil y Educación Parvularia . 5 estudian alemán y francés y 2 estudian los tres idiomas.V.V. gastaron a lo menos $ 30. a) ¿Cuántos visitantes permanecieron a lo menos una semana. 30 permanecieron a lo menos una semana y gastaron a lo menos $ 30. 7. 27 gastaron a lo menos $ 30. de los cuales 37 permanecen a lo menos 1 semana. 130 personas tomaban té o leche y 150 tomaban café o leche a) ¿Cuántas personas tomaban té puro? b) ¿Cuántas personas tomaban leche pura? c) ¿Cuántas personas tomaban café puro? d) ¿Cuántas personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno? 35) Un hotel recibe 60 visitantes. 43 gastan a lo menos $ 30.inglés y 11 francés. 6 estudian alemán e inglés. 7 estudian Inglés y Francés . 26 permanecieron a lo menos una semana y quedaron completamente satisfechos. pero permanecieron menos de una semana y gastaron menos de $ 30.000 diarios y quedaron completamente satisfechos y 24 permanecieron a lo menos una semana .. 2 Sólo ven el canal 13 y el canal 9 Señale: a) La cantidad de personas encuestadas b) La cantidad de personas que ven sólo el Canal 9 34) En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las siguientes respuestas.000 diarios y quedaron completamente satisfechos. ¿Cuántos alumnos estudian sólo inglés? 33) En una encuesta sobre preferencias de los canales de T. 30 de los encuestados que son hombres no son propietarios de automóviles.R) Preguntas: a) ¿Cuántos equipos que tenían alguna de éstas tecnologías se vendieron? b) ¿Cuantos equipos se vendieron con (CD) y (CR)? c) ¿Cuántos equipos con (CR) pero sin (TC) se vendieron? 39) El diagrama representa un grupo de estudiantes que fueron encuestados y a los cuales se les pidió su opinión respecto de los temas A.10 alumnos preferían estudiar otras carreras 60 querían estudiar Educación Parvularia e Ingeniería de Ejecución 440 quieren estudiar Ingeniería de Ejecución 180 quieren estudiar Ingeniería Civil a) ¿Cuántos alumnos desean estudiar solamente Educación de Párvulos? b) ¿Qué porcentaje se interesa por estudiar 2 de las carreras mencionadas? 37) Se encuesta a 100 personas obteniéndose la siguiente información: -Todo encuestado que es propietario de automóvil también lo es de casa. .D) .D.R) y (T. Si se vendieron: . a) Hacer un diagrama adecuado a la situación e indicar la cardinalidad correspondiente a cada región.R) pero sin (C.16 equipos con (C. . .54 encuestados son hombres.) tienen Tocacassette (T.15 encuestados que son propietarios de casa no lo son de automóviles.9 equipos con (C. Al respecto se desea saber: a) ¿Número de estudiantes de la muestra? b) ¿Número de estudiantes que opinaron del tema B o C? c) ¿Cuántos no opinaron? d) ¿Cuántos estudiantes que habían opinado sobre el tema B opinaron sobre los temas A o C? e) ¿Número de estudiantes que opinaron de los temas A y B? f) ¿Cuántos dieron su opinión sólo referente al tema A? g) ¿Cuántos manifestaron su opinión sobre los tres temas? h) ¿Cuántos opinaron sobre el tema C pero no sobre el tema B? 40) Se tienen 3 conjuntos A .16 equipos con (T.C) pero sin (C. todos los que tienen Compac disk (C.12 equipos con (TC) pero sin (CD) ni (CR) .C) . B y C .R) . que cumplen las siguientes condiciones a) # ( A ∩ Β) = 3 b) # (A ∩ C) = 3 . .C.R) y otros ninguna de las tecnologías nombradas.30 de los encuestados que son mujeres son propietarios de casa.5 de los encuestados que son mujeres son solamente propietarios de casa. . b) ¿Cuántos encuestados que son hombres son solamente propietarios de casa? c) ¿Cuántas mujeres no son propietarios de casa? 38) Una tienda de artículos electrónicos vende en un día 44 equipos de música.). B y C.24 equipos sin (C. Algunos tienen control remoto (C. use propiedades para demostrar cada una de las afirmaciones que se entregan a continuación. AUB . 41) [(A – B) ∪ (A ∩ B)+’ = A’ 42) [A ∩ (B’U C)’+’ ∪ *(A ∩ B’) ∪ (A ∩ C)+ ∪(A ∩ C’) = U 43) C ∪ ** A − (B ∩ C)+ − *(B ∩ C) – A] = A ∪ C 44) Si B -.A = φ entonces * (A − C )’ − (B ∪ C )’] ∩ [A ∪ (C − B ) ]= C 45) (A ∩ B ) − (A ∩ C ) =( A ∩ B) − (A ∪ C) .c) # (B ∩ C) = 4 d) # A = 8 e) # B = 12 f) # C = 10 g) # (A ∩ Β ∩ C) = 1 Determinar la cardinalidad de A U B U C. BUC III.Algebra de Conjuntos En los siguientes ejercicios .. . . .. 5. . 9. . ... .. x } { o. unitarios. 3. ..... . i) I = { x / x es presidente del Oceano Pacífico} j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } . . .... . q. . . ... .. p. y } { países de Europa } { rios de América } () () () () () d) Perú e) Amazonas 3) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios. 4.. .... .} d) D = { x / x es un habitante de la luna} e) E = { x f) F = { x g) G = { x h) H = { x N / x < 15} Ny5<x<5} N y x > 15} N y x = x} ... p.. . 6. 9 } { o.. 5.2) Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso a) 6 b) y c) x { 2. .... infinitos? a) A = { x / x es día de la semana} b) B = { vocales de la palabra vals} c) C = { 1. .. q. . 7.. . . finitos... . q. y } { países de Europa } { rios de América } (V) (F) (V) (F) (F) d) Perú e) Amazonas 3) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios.} d) D = { x / x es un habitante de la luna} e) E = { x f) F = { x g) G = { x h) H = { x N / x < 15} Ny5<x<5} N y x > 15} N y x = x} finito unitario infinito vacio finito vacio infinito unitario vacio infinito i) I = { x / x es presidente del Oceano Pacífico} j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } . q. 3. 6. finitos. unitarios. p. 7. 4.2) Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso a) 6 b) y c) x { 2. . . 5. p. 9. x } { o. . . infinitos? a) A = { x / x es día de la semana} b) B = { vocales de la palabra vals} c) C = { 1. . 5. 9 } { o. Ocho estudiantes visitan la pajarera. El supermercado vende dos tipos de barras de chocolate: con relleno y sin relleno. y 47 compran como mínimo una barra con relleno cada uno. Cada persona compra como mínimo una barra. ¿cuántos de ellos tienen ojos pero no tienen cola? ¿Cuántos tienen solamente cola? Problema 4: Paseo al zoológico Un grupo de 30 estudiantes decide ir de paseo al zoológico. Si 15 personas compran conos de vainilla y 20 conos de chocolate. donde se ofrecen dos tipos de bebidas: jugo de naranja y leche. Usted y sus 24 amigos (25 personas en total). de los cuales seis visitan también la cueva del león. ¿cuántos niños en total participaron en el concurso de disfraz? ¿Cuántos fueron únicamente al concurso de disfraz? Problema 6: Cine Actualmente se están exhibiendo dos películas en un teatro de la ciudad: Ficción Increíble 3 y Las matemáticas en las estrellas.Problema 1: Conos de helado Hay conos de dos sabores: chocolate y vainilla. Si 30 niños fueron tanto al baile como al concurso de disfraz. Si 45 personas compran de los dos tipos de barras. otros tienen cola pero no tienen ojos. Si 35 personas vieron Las matemáticas en las estrellas. ¿cuántas personas vieron únicamente Ficción Increíble 3? ¿Cuántos boletas se vendieron en total en el teatro? Problema 7: Bebidas Se anotaron 75 órdenes de bebidas en un restaurante. Si 59 personas tomaron jugo de naranja y 18 tomaron leche. Estos extraterrestres se distinguen por dos características: sus ojos y sus colas. y solamente 24 niños fueron únicamente al baile. Algunos de ellos tienen ojos. y todos se van a vestir en forma especial para ir a una fiesta. van a comprar conos. y otros tienen ojos y cola. ¿cuántas personas tomaron tanto leche como jugo de naranja? . Si hay 75 extraterrestres que tienen ojos y 50 que tienen ojos y cola. pero no tienen cola. y 10 vieron tanto Ficción Increíble 3 como Las matemáticas en las estrellas. ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la cueva del león? ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la pajarera? Problema 5: Fiesta de disfraz Hay 70 niños en la ciudad de Cartagena. Hay dos actividades para la noche de la fiesta: un baile y un concurso de disfraz. ¿cuántas personas compraron únicamente barras de chocolate sin relleno? Problema 3: Invasión de extraterrestres Un grupo de 100 extraterrestres llega en la nave Estrella 2000 para invadir su planeta. Un total de 68 personas asistieron al teatro. ¿cuántas personas compraron conos de chocolate y vainilla? Problema 2: Barras de chocolate Un grupo de 50 personas va al supermercado a comprar barras de chocolate. Hay dos exhibiciones principales abiertas para visitas: la pajarera y la cueva del león. . basketball en el invierno y baseball en la primavera. y 10 juegan solamente fútbol. Cuarenta personas juegan fútbol. 10 tienen únicamente gatos. En total ¿cuántos juegos de computador hay en su vecindario? Respuestas: Respuesta 1: No menos de 10 personas y no más de 15 personas.Problema 8: Deportes Hay 100 atletas y tres estaciones diferentes en que se presentan deportes: fútbol en el otoño. Respuesta 2: 3 personas Respuesta 3: 25 extraterrestres tienen ojos pero no tienen cola. perro y serpientes. 15 personas tienen únicamente perros. 7 tienen Fútbol de lujo. y 19 tienen únicamente La invasión de los extraterrestres. Las carreras de carros y Fútbol de lujo. Respuesta 5: 46 niños participaron en el concurso. ¿cuántas personas juegan tanto baseball como fútbol? Problema 9: Mascotas Hay 49 personas que tienen mascotas. 16 fueron únicamente al concurso. Respuesta 10: Un total de 85 juegos de computador. Respuesta 6: 33 personas han visto únicamente Ficción increíble 3. Respuesta 7: 2 personas. otros dos y otros tres. En el teatro se vendieron un total de 78 boletas. 2 estudiantes visitan únicamente la pajarera. Respuesta 9: 19 serpientes. 25 tienen solamente cola. 5 personas tienen perro y gato y 3 tienen gato. Respuesta 8: 25 personas. Respuesta 4: Entre 0 y 22 estudiantes visitan únicamente la cueva del león (dependiendo de cuántas personas no visitan ninguna). 16 tienen los tres juegos. pero no baseball. ¿Cuántas serpientes hay? Problema 10: Juegos de computador Tres juegos populares de computador son: La invasión de los extraterrestres. Cincuenta personas de su barrio tienen juegos de computador. 5 juegan basketball y fútbol. Algunos de los atletas juegan solamente un deporte. 5 tienen Las carreras de carros. Si 15 juegan los tres deportes. 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. para n 4Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la matriz . siendo: 3 Sea A la matriz . La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. L y S. en tres terminaciones: N. A y B. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.A.3 horas de administración.Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos. 2.Representar la información en dos matrices. 5Calcular la matriz inversa de: 6 Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema: 7 Una fábrica produce dos modelos de lavadoras. Hallar An . 2Demostrar que: A2 . At.Matrices. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N.B. A x B. A .2 horas de administración. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N.2 I = 0. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1. Ejercicios y problemas 1Dadas las matrices: Calcular: A + B. 1. 8 Calcular el rango de la matriz siguiente: . 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. B x A. en forma matricial.9 Siendo: Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones: 10Resolver. el sistema: .